Perdidas Por Friccion Fin

7/31/2019 Perdidas Por Friccion Fin

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LABORATORIO DE INGENIERIA QUMICA I PRDIDAS POR FRICCIN ENTUBERAS Y ACCESORIOS

TABLA DE CONTENIDO

Pg.

I. INDICE DE TABLAS. 2

II. INDICE DE GRAFICOS. 3

III. RESUMEN. 4

IV. HISTORIA. 5

V. INTRODUCCION. 6

VI. PRINCIPIOS TERICOS. 7

VII. DETALLES EXPERIMENTALES. 21

VIII. TABULACIN DE DATOS Y RESULTADOS.

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IX. DISCUSION DE RESULTADOS. 30

X. CONCLUSIONES. 31

XI. RECOMENDACIONES. 32

XII. APNDICE. 33

XIII. BIBLIOGRAFA. 40

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NDICE DE TABLAS

Pg.

Tabla N 1: Condiciones de laboratorio. 25

Tabla N 2: Propiedades del lquido. 25

Tabla N 3: Caractersticas del sistema. 25

Tabla N 4: Dimensiones del tanque de descarga. 25

Tabla N 5: Datos del equipo y longitudes equivalentes. 25

Tabla N 6: Descripcin del sistema. 26

Tabla N 7: Caudales de cada corrida. 26

Tabla N 8: Velocidades de cada corrida. 26

Tabla N 9: Reynolds de cada corrida. 27

Tabla N10: Factor de friccin de cada corrida. 27

Tabla N11: Datos experimentales. 27

Tabla N12: Resultados experimentales de las prdidas por friccin. 28

Tabla N13: Resultados tericos de las prdidas por friccin. 28

Tabla N14: Resumen de las cadas de presin. 29

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NDICE DE GRFICAS

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Grfica N 1: Prdidas por longitud de tubera experimentales. 39

Grfica N 2: Prdidas por longitud de tubera tericas. 39

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RESUMEN

El presente informe tiene como objetivo principal determinar las prdidas por

friccin en las tuberas y accesorios experimentalmente. Donde se hacecircular un fluido liquido en este caso agua, con diferentes caudales .Lascondiciones a las cuales se trabajaron fue a T=19C.El quipo de diseo consiste en tuberas de dos dimensiones 2pulg y 1.5pulg,el material es acero comercial en toda su trayectoria, accesorios comouniones codos de 90 corto y largo, vlvulas y un medidor Venturi; cada ciertotramo se encuentran los piezmetros los cuales nos ayudaran para medir lacada de presin y con esto poder hacer nuestros clculos determinado deesta forma la perdidas por friccin experimentales.Para la siguiente practica se mantuvo un nivel de referencia, luego se midi lalectura de cada piezmetro esto se hizo para las 5 corridas correspondientes(5 caudales diferentes), tambin se midi el tiempo que demora el fluido enascender una determinada altura, esto se hizo con la finalidad de poderdeterminar los caudales, luego de realizar los clculos correspondientestenemos:

N Corrida 1 2 3 4 5

P(cm Hg) 30 60 97 123 132

Q(m3/s)0.692x10-

3

1.03x10-3

1.30 x10-3 1.43 x10-3 1.48 x10-3

Prdidas

tericas

0.15342 0.30677 0.45930 0.54373 0.57603

PrdidasExperimentale

s0.223 0.425 0.667 0.913 0.898

Con los valores de la lectura de los piezmetros en cada corrida se determinlas prdidas de friccin totales experimentales y tericos para cada caudalcorrespondiente, los valores tambin se observan en la tabla.

Luego se construyeron las graficas Caudal vs Variacin de Presin en la cualse observa una curva, y la grafica Cada de presin vs Longitud de tuberas.

Las prdidas por friccin a nivel econmico en un proceso productivo, generagastos, para disminuir estos, se busca una optimizacin y este se aplicara alsistema de tuberas. Algunos mtodos a analizar para disminuir las prdidaspor friccin serian: Utilizacin de tubera plstica (PVC, etc.) en lugar detubera metlica, Seleccin o Sustitucin de la tubera por tubera de igualmaterial pero mayor dimetro y cambio de la ruta del sistema de tuberas.

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HISTORIAEL EXPERIMENTO DE REYNOLDS

Reynolds en 1883 presentaba el siguiente dilema, en sus extensos trabajos:"Aunque las ecuaciones de la hidrodinmica sean aplicables al movimientolaminar, o sea sin remolinos, mostrando que entonces la resistencia esproporcional a la velocidad, no haban arrojado hasta ese entonces ningunaluz sobre las circunstancias de las cuales dicho movimiento depende. Y, contodo y que en aos recientes estas ecuaciones se haban aplicado a la teoradel torbellino, no se haban aplicado en lo absoluto al movimiento del aguaque es una masa de remolinos, movimientoturbulento, ni haban ofrecido unapista para descubrir la causa de que la resistencia a tal movimiento varecomo el cuadrado de la velocidad" y agregaba: "Mientras que, cuando seaplican a olas y al movimiento del agua en tubos capilares, los resultados

tericos concuerdan con los experimentales, la teora de la hidrodinmicahaba fracasado hasta la fecha en proporcionar la ms leve sugerenciaacerca del porqu no logra explicar las leyes de la resistencia encontrada porgrandes cuerpos que se mueven a travs del agua con velocidadessensiblemente grandes, o por el agua en tuberas bastante anchas"Reynolds buscaba determinar si el movimiento del agua era laminar oturbulento, existen varias influencias para el orden, como su viscosidad oaglutinamiento, cuando ms glutinoso sea el fluido, menos probable es que elmovimiento regular se altere en alguna ocasin. Por otro lado tanto lavelocidad y el tamao son favorables a la inestabilidad, cuanto ms anchosea el canal y ms rpida la velocidad mayor es la probabilidad de remolinos.La condicin natural del flujo era, para Reynolds, no el orden sino eldesorden; y la viscosidad es el agente que se encarga de destruircontinuamente las perturbaciones. Una fuerte viscosidad puedecontrarrestarse con una gran velocidad.

Reynolds bajo el punto de vista dimensional y con las ecuacionesfundamentales del movimiento comenz a resolver dichas dudas. A presinconstante, pens, las ecuaciones del movimiento de un fluido equilibran elefecto de inercia, representado por la energa cintica contenida en la unidadde volumen, U2, con el efecto viscoso, representado por el esfuerzo deNewton, U/c, donde U es la velocidad media y c una longitud caractersticade la corriente en estudio (el dimetro del tubo por ejemplo). Dio origen al

siguiente parmetro llamado "Nmero de Reynolds":

Efecto de inercia/Efecto viscoso = U2/(U/c) = Uc/

Resulta ser un parmetro sin dimensiones, capaz de cuantificar la importanciarelativa de las acciones mencionadas: un valor pequeo indica que los efectosviscosos prevalecen, con lo que el escurrimiento ser probablemente laminar,un valor grande, es sea de que predomina la inercia, sugiere uncomportamiento turbulento. Debe pues existir un valor intermedio concluaReynolds- que separe los dos regmenes; y este identificar no solo lavelocidad crtica, conocindose la viscosidad y la longitud caracterstica, sinotambin la viscosidad y la velocidad crticas, dados los valores de los otrosdos parmetros. Haba ahora que acudir al experimento para confirmar estaprevisin.

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Entonces se propuso determinar bajo que condiciones se produce elescurrimiento laminar y el turbulento, siendo que este ltimo se caracterizapor la presencia de remolinos y el otro no, la primera idea que se le ocurrifue visualizar con colorante.Por otro lado se analizan gran nmero de frmulas propuestas por diversosinvestigadores. Sin embargo, no es hasta que Blasius (1913) y Stanton(1914), relacionan el coeficiente de friccin, f, de la frmula de Weisbach-Darcy, con el nmero de Reynolds y la rugosidad de la tubera, que se iniciaun nuevo camino en el anlisis racional de las prdidas de carga en lasconducciones a presin.

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INTRODUCCIN

La perdida de presin del transporte de agua u otro tipo de fluido ensistemas de tuberas y diferentes accesorios, son originadas por diversosfactores como la rugosidad del tubo que lo contiene; viscosidad de los fluidos;densidad; longitud de la tubera y los diferentes accesorios (codos, medidoresde flujo, tuberas de contraccin, propiedad del material constitutivo de latubera, desnivel de la instalacin y accesorios, etc.). En al industria eltransporte de agua u otro fluido puede llegar a ser una partidapresupuestaria muy importante; por lo tanto, la optimizacin d lasinstalaciones de las tuberas para dicho transporte puede significar unanotable reduccin de la inversin inicial y del posterior mantenimiento de laplanta.

Dado un caudal, para el agua, las perdidas de carga por unidad de longitudson inversamente proporcionales al dimetro de la tubera, mientras que porel contrario, el precio aumenta directamente con dicho dimetro. Para unmejor manejo econmico de las instalaciones de las tuberas es necesariocalcular un dimetro ptimo al que corresponde para el transporte del aguacon un caudal determinado (sabiendo la perdida de presin que sufre el aguaal transportarlo).

A su vez se determinara la potencia de la bomba a utilizar.

La cada de presin esta relacionada con la fuerza de friccin donde la fuerza

de friccin se calcula de la siguiente ecuacin

=

gcvfh Ff .2. 2

.

Y la cada de presin se calcula a partir de la ecuacin anterior:

D

L

gc

vfP D ..2

. 2=

El factor de Darcy se puede calcular por diferente ecuaciones debido a losdiferentes tipos de fluidos que se presenta en la tuberas (N Re).

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PRINCIPIOS TERICOS

FLUIDOS:Todos los gases y lquidos reciben el nombre de fluidos, con lo cual se indicaque no tienen forma definida como los slidos, sino que fluyen, es decir,escurren bajo la accin de fuerzas. En los lquidos las molculas estn mscercanas entre s debido a las fuerzas de atraccin, y toman la forma delrecipiente que los contiene. Los gases estn formados por molculas que semueven en todas direcciones, por lo que ocupa todo el volumen del recipienteque los contiene.

FLUJO:Se llama flujo al movimiento de las partculas del fluido.

Tipos de flujos:

Laminar: Se llama flujo laminar al tipo de movimiento de un fluido cuandoste es perfectamente ordenado, estratificado, de manera que el fluido semueve en lminas paralelas sin entremezclarse si la corriente tiene lugarentre dos planos paralelos, o en capas cilndricas coaxiales como, por ejemplola glicerina en un tubo de seccin circular. Las capas no se mezclan entre s.El mecanismo de transporte es exclusivamente molecular. Se da en fluidos

con velocidades bajas o viscosidades altas, cuando se cumple que el nmerode Reynolds es inferior a 2300.

Turbulento: Se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimientode un fluido que se da en forma catica, en que las partculas se muevendesordenadamente y las trayectorias de las partculas se encuentran

formando pequeos remolinos aperidicos, como por ejemplo el agua en uncanal de gran pendiente. Debido a esto, la trayectoria de una partcula sepuede predecir hasta una cierta escala, a partir de la cual la trayectoria de lamisma es impredecible, ms precisamente catica.

Compresible: cuando su densidad vara con la presin y la temperatura.Ejemplo: los gases.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A1minahttp://es.wikipedia.org/wiki/Planohttp://es.wikipedia.org/wiki/Glicerinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tubohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Reynoldshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Reynoldshttp://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Caoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculahttp://es.wikipedia.org/wiki/Canal_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caoshttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A1minahttp://es.wikipedia.org/wiki/Planohttp://es.wikipedia.org/wiki/Glicerinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tubohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Reynoldshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Reynoldshttp://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Caoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculahttp://es.wikipedia.org/wiki/Canal_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Fluido


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Incomprensible: correspondiente al movimiento de los lquidos. Secaracterizan por ser incomprensibles para fines prcticos pues la densidadvara poqusimo con la presin y la temperatura que se consideradespreciable.

NMERO DE REYNOLDS:Es un parmetro adimensional que permite determinar cuando un flujo eslaminar o turbulento, matemticamente:

Donde es la densidad del fluido, V s es la velocidad, D es el dimetro detubera y es la viscosidad absoluta. Si el Reynolds es menor a 2100 el flujo

es laminar, si es Reynolds es mayor a 10000 el flujo es turbulento.

Reynolds demostr que a velocidades ms elevadas, surgen fluctuaciones enla velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que nisiquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

ECUACIN DE CONTINUIDAD

La ecuacin de continuidad es una consecuencia del principio deconservacin de la masa. Para un flujo permanente, la masa de fluido queatraviesa cualquier seccin transversal perpendicular a la seccin recta de la

tubera de un conducto, por unidad de tiempo, es constante. Esta puedecalcularse como sigue para el caso de flujo permanente.

Figuras 3.3 y Figuras 3.4

Consideramos un flujo a travs de un tubo o conducto circular, figura 3.3.,siendo las secciones 1 y 2 normales a las lneas de corriente formadas por lacirculacin del lquido que forman la circulacin del lquido en el tubo. Paraun valor de la densidad 1 y una velocidad normal V1, el caudal en masa porunidad de tiempo que atraviesa la seccin es 1V1 dA1, ya que V1dA1 es elvolumen por unidad de tiempo. Anlogamente, el caudal en masa queatraviesa la seccin 2 es 2V2dA2. Como en un flujo permanente la masano puede variar con el tiempo, y como no hay paso de fluido a travs de lasuperficie de contorno del tubo, el caudal en masa a travs del tubo decorriente es constante. Por tanto:

1V1 dA1 = 2V2 dA2

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Las densidades 1 y 2 se mantienen constantes en cada seccin genricadA, y las velocidades V1 y V2 representan las velocidades del fluido en el tubode corriente en las secciones 1 y 2, respectivamente. De aqu:

Integrando:1V1 A1 = 2V2 A2

Para fluidos incompresibles (y para algunos casos de flujos comprensibles) ladensidad es constante, es decir 1 = 2, por tanto:

PRINCIPIO DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, tambin denominado ecuacin de Bernoulli oTrinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose alo largo de una lnea de corriente. Expresa que en un fluido ideal (sinviscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado,la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

Cintico: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido.

Potencial gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluidoposea.

Energa de flujo: es la energa que un fluido contiene debido a lapresin que posee.

La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" (Trinomio de

Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:BernoullisLawDerivationDiagram.png


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Donde:

V= velocidad del fluido en la seccin considerada.

g = aceleracin gravitatoriaz= altura en la direccin de la gravedad desde una cota de referencia.P = presin a lo largo de la lnea de corriente. = densidad del fluido.

Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea decorriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa'del fluido.

Caudal constante Fluido incompresible - es constante. La ecuacin se aplica a lo largo de una lnea de corriente.

Un ejemplo de aplicacin del principio lo encontramos en el Flujo de agua entubera.

ECUACIN DE BERNOULLI Y LA PRIMERA LEY DE LATERMODINMICA

De la primera ley de la termodinmica se puede concluir una ecuacin

estticamente parecida a la ecuacin de Bernoulli anteriormente sealada,pero conceptualmente distinta. La diferencia fundamental yace en los lmitesde funcionamiento y en la formulacin de cada frmula. La ecuacin deBernoulli es un balance de fuerzas sobre una partcula de fluido que se muevea travs de una lnea de corriente, mientras que la primera ley de latermodinmica consiste en un balance de energa entre los lmites de unvolumen de control dado, por lo cual es ms general ya que permite expresarlos intercambios energticos a lo largo de una corriente de fluido, como lo sonlas prdidas por friccin que restan energa, y las bombas o ventiladores quesuman energa al fluido. La forma general de esta, llammosla, "formaenergtica de la ecuacin de Bernoulli" es:

Donde:: es el Peso especfico ( = g).

h: es una medida de la energa que se le suministra al fluido.hf: es una medida de la energa empleada en vencer las fuerzas de friccin atravs del recorrido del fluido.

Los subndices 1 y 2 indican si los valores estn dados para el comienzo o el

final del volumen de control respectivamente.

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Donde EB es la energa externa suministrada por alguna mquina, como unabomba y ET es la energa extrada al sistema por alguna mquina, como unaturbina.

PRDIDAS POR FRICCIN EN FLUJO DE FLUIDOS:

Para la aplicacin industrial de Bernoulli es necesario conocer el trmino deprdidas por friccin por unidad de masa de fluido.

Rugosidad absoluta y rugosidad relativa.

En el interior de los tubos comerciales existen protuberancias oirregularidades de diferentes formas y tamaos cuyo valor medio se conocecomo rugosidad absoluta ( ), y que puede definirse como la variacin media del radio interno de la tubera.

Los experimentos de Nikuradse permitieron determinar el valor de estarugosidad absoluta. Consistieron en producir una rugosidad artificial pegandoen el interior de un tubo de vidrio (liso) ridos de diferentes granulometrastamizados, es decir, de rugosidad conocida, hasta conseguir una prdida decarga igual que la producida en un tubo comercial de un materialdeterminado con igual longitud y dimetro que el de vidrio. Estos tubosartificialmente preparados se conocen como tubos arenisca.

Cuando una casa comercial da el valor de rugosidad es en realidad la rugosidad media equivalente, lo que significa que se comporta del mismomodo que una tubera artificialmente preparada con la rugosidad absoluta .

Un mismo valor de rugosidad absoluta puede ser muy importante en tubos depequeo dimetro y ser insignificante en un tubo de gran dimetro, es decir,la influencia de la rugosidad absoluta depende del tamao del tubo. Por ello,para caracterizar un tubo por su rugosidad resulta ms adecuado utilizar larugosidad relativa (e/D), que se define como el cociente entre la rugosidadabsoluta y el dimetro de la tubera.

Prdidas lineales.

Debido a la disipacin viscosa en fluidos y paredes, descrita por la frmula deDarcy-weisbach.

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Prdidas singulares.

Tambin llamadas locales o por accesorios, pues se deben a la presencia deestos en las tuberas.

Otra forma de calcular estas prdidas es por longitud equivalente, de maneraque:

n

equiv

fg

v

D

Lfh

2

2

=

Para ambas frmulas:

Lequiv: que es la longitud equivalente, siendo la longitud del tubo recto queprovocara una cada de presin semejante a la causada por el accesorioestudiado.

V: Velocidad en lnea.: Coeficiente de friccin o factor de Darcy.

L: Longitud de tubera.D: Dimetro de tubera.Ks: Coeficiente de prdidas por accesorios.

Ambos tipos de prdidas son siempre proporcionales a V2 e inversamenteproporcional al D.

Clculo del coeficiente de friccin.

Si el flujo es laminar (Re < 2300):

Para flujo turbulento (Re > 10000): usamos la frmula iterativa de coolebrock

Donde:

: rugosidad de la tubera./D: rugosidad relativa

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Por otro lado, se encontr que aplicable en las tres zonas de flujo turbulento(Zona lisa turbulenta, zona de transicin turbulenta y zona rugosa turbulenta)fue graficada en la forma de - vs - Re por Moody, dando origen a lo quegeneralmente se denomina como "Diagrama de Moody". En ste diagrama,conocidos el nmero de Reynolds Re y la rugosidad relativa /D, para el flujo en una determinada tubera, obtenemos el coeficiente de rugosidad .

PRDIDAS DE ENERGA POR CAMBIOS DE DIRECCIN Y PORACCESORIOS

Cuando la direccin del flujo se altera o distorsiona, como ocurre enserpentines, codos o a travs de reducciones y vlvulas, se producen

prdidas de friccin que no se recuperan. Esta energa se disipa en remolinosy turbulencias adicionales y se pierde finalmente en forma de calor.

Las prdidas en los accesorios son proporcionales a la velocidad. Confrecuencia estas prdidas se encuentran en forma de tablas basadas en datosexperimentales, aunque en ciertos casos pueden calcularse.

Una forma de obtener estas prdidas por friccin es mediante la siguienterelacin:

==cg

KM

FP

2

2

donde K es un coeficiente que depende del accesorio y se obtiene por tablas.

Otra manera de calcular estas prdidas es por la longitud equivalente, demanera que:

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D

L

gf

M

FP eq

c

D ==2

2

donde Leq es la longitud equivalente, siendo la longitud del tubo recto que

provocara una cada de presin semejante a la causada por el accesorioestudiado. La longitud equivalente se obtiene por medio de grficas o tablas.

Las prdidas de friccin total en un sistema de bombeo estarn dadas por:

D

LL

g

vf

M

FP eq

c

D

)(

2

2 +==

Donde:L = longitud del tubo recto

F = F tubo recto + F de accesorios:

ACCESORIOS

El trmino accesorio, se refiere a una pieza que puede hacer una de lassiguientes funciones:

Unir dos piezas de tubos (uniones) Cambiar la direccin de la lnea de tubos (codos con salida lateral,

etc.) Modificar el dimetro de la lnea de tubos (ampliacin, reducciones y

los manguitos).

Terminar una lnea de tubos. Unir dos corrientes para formar una tercera (tes, cruces, etc.)

Vlvulas

Una vlvula se puede definir como un aparato mecnico con el cual se puedeiniciar, detener o regular la circulacin (paso) de lquidos o gases medianteuna pieza movible que abre, cierra u obstruye en forma parcial uno o msorificios o conductos.Debido a las diferentes variables, no puede haber una vlvula universal; portanto, para satisfacer los cambiantes requisitos de la industria se han creadoinnumerables diseos y variantes con el paso de los aos, conforme se handesarrollado nuevos materiales. Todos los tipos de vlvulas recaen en nueve

categoras: vlvulas de compuerta, vlvulas de globo, vlvulas de bola,

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vlvulas de mariposa, vlvulas de apriete, vlvulas de diafragma, vlvulas demacho, vlvulas de retencin y vlvulas de desahogo (alivio).Estas categoras bsicas se describen a continuacin. Sera imposiblemencionar todas las caractersticas de cada tipo de vlvula que se fabrica yno se ha intentado hacerlo. Ms bien se presenta una descripcin general decada tipo en un formato general, se dan recomendaciones para servicio,aplicaciones, ventajas, desventajas y otra informacin til para el lector.

Vlvulas de compuerta.

La vlvula de compuerta es de vueltas mltiples, en la cual se cierra el orificiocon un disco vertical de cara plana que se desliza en ngulos rectos sobre elasiento (fig. 1-1).

Figura 1-1 Vlvula de compuerta.Vlvulas de macho

La vlvula de macho es de de vuelta, que controla la circulacin por mediode un macho cilndrico o cnico que tiene un agujero en el centro, que sepuede mover de la posicin abierta a la cerrada mediante un giro de 90 (fig.1-2).

Figura 1-2 Vlvula de macho.

Vlvulas de globo

Una vlvula de globo es de vueltas mltiples, en la cual el cierre se logra pormedio de un disco o tapn que sierra o corta el paso del fluido en un asientoque suele estar paralelo con la circulacin en la tubera (fig. 1-3).

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Figura 1-3 Vlvula de globo.

Vlvulas de bola

Las vlvulas de bola son de de vuelta, en las cuales una bola taladrada giraentre asientos elsticos, lo cual permite la circulacin directa en la posicinabierta y corta el paso cuando se gira la bola 90 y cierra el conducto (fig. 1-4).

Figura 1-4 Vlvula de bola.

PRDIDAS POR FRICCIN DEBIDAS AL ENSANCHAMIENTO

BRUSCO DE LA SECCIN.Si se ensancha bruscamente la seccin transversal de la conduccin, lacorriente de fluido se separa de la pared y se proyecta en forma de chorro enla seccin ensanchada. Despus el chorro se expansiona hasta ocupar porcompleto la seccin transversal de la parte ancha de la conduccin. El espacioque existe entre el chorro expansionado y la pared de la conduccin estocupado por el fluido en movimiento de vrtice, caracterstica de laseparacin de capa lmite, y se produce dentro de este espacio una friccinconsiderable. En la figura se representa este efecto.

Las prdidas por friccin correspondientes a una expansin brusca de la

conduccin (hfe,), son proporcionales a la carga de velocidad del fluido en laseccin estrecha, y estn dadas por:

)1(2

2

=

c

a

eg

vkhfe

Siendo ke un factor de proporcionalidad llamado coeficiente de prdida porexpansin y a la velocidad media en la parte estrecha de la conduccin. Eneste caso puede calcularse ke tericamente con resultados satisfactorios.Para hacer el clculo se utiliza la ecuacin de continuidad, el balance de

cantidad de movimiento para flujo estacionario y la ecuacin de Bernoulli.Consideremos un volumen de control definido por las secciones AA y BB y la

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superficie interna del ensanchamiento que existe entre estas dos secciones,tal como se indica en la figura. Como la tubera es horizontal no existenfuerzas de gravedad y por ser la pared relativamente pequea, la friccin enellas es despreciable, de forma que prcticamente no hay gradiente develocidad en la pared comprendida entre las dos secciones. Por consiguiente,las nicas fuerzas que actan son las fuerzas de presin sobre las seccionesAA y BB. De la ecuacin de la cantidad de movimiento resulta:

( ) ( ) ( )2aabbcbbba vvmgSS =

Puesto que (Za - Zb) puede escribirse en este caso:

( )32

22

fe

c

aabbba hg

vv +=

En las condiciones normales de flujo, a= b = 1 y a= b= 1, los factores decorreccin se ignoran. Por otra parte, eliminando (a-b) entre las ecuaciones

(1) y (2) puesto que bb

VS

m= se obtiene:

( ) ( )42

2

c

bafe

gvvh =

De acuerdo con

S

Sv-v

b

aab pudindose escribir la ecuacin (3)

)5(12

22

=

b

a

c

a

feS

S

g

vh

Comparando las ecuaciones (1) y (5) se obtiene que:

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2

1

=

b

a

eS

Sk

Si el tipo de flujo entre las dos secciones es diferente, han de tenerse encuenta los factores de correccin y . Por ejemplo, si el flujo es laminar enla tubera ensanchada y turbulento en la estrecha, ha de tomarse b igual a 2y b igual a 4/3 en las ecuaciones (l) y (3).

PRDIDAS POR FRICCIN DEBIDAS A UNA CONTRACCINBRUSCA DE LA SECCIN.

Cuando se reduce bruscamente la seccin transversal de una conduccin, elfluido no puede adaptarse al borde en ngulo recto y la corriente pierde elcontacto con la pared de conduccin. Como consecuencia de esto, se formaun chorro que se proyecta en el interior del fluido estancado en la parteestrecha de la conduccin. El chorro primero se contrae y luego seexpansiona hasta ocupar toda la seccin estrecha, restablecindose aguasabajo del estrechamiento la distribucin normal de velocidad. La seccin derea mnima en la que el chorro pasa de la contraccin a la expansin recibeel nombre de vena contracta. En la figura se representa el tipo de flujo enuna contraccin brusca. La seccin CC corta a la vena contracta. Como seindica en la figura, se forman vrtices.

La prdida por friccin en una contraccin brusca, es proporcional a la cargade la velocidad en la conduccin estrecha y puede calcularse mediante la

ecuacin:

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)6(2

2

c

b

cg

vkhfc =

Siendo kC un factor de proporcionalidad, que recibe el nombre de coeficiente

de prdida por contraccin y bv la velocidad media aguas abajo en la seccinestrecha. Se encuentra experimentalmente que para el flujo laminar, kC < 0.1y la prdida por contraccin hfe es despreciable. Para el flujo turbulento elvalor de kC est dado por la ecuacin emprica:

=

a

b

S

Skc 14.0

Siendo Sa y Sb las reas de las secciones transversales de las conduccionesaguas arriba y abajo, respectivamente.

TUBO DE VENTURI

Si se desea medir el fluido que circula por el interior de un tubo, puedetambin utilizarse una estrangulacin del mismo, como elemento primario deun dispositivo de medida del gasto. Por ejemplo en la figura representa unaestrangulacin con entrada y salida en forma troncocnica, de inclinacinsuave, constituyendo el aparato llamado tubo de Venturi. Intercalando estedispositivo en un tubo horizontal, no existirn diferencias de altitud, no habrproduccin de trabajo y la operacin ser adiabtica. Haciendo un balanceentre los puntos 1 y 2, como en la figura, se reduce a la ecuacin:

2

2

21

2

1

22

P

g

vP

g

v

cc

+=+

Para un fluido incompresible:

2

2

1

12

=

D

Dvv

21


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Sustituyendo:

P

D

Dvv

gc

=

4

2

12

1

2

1

2

1

Despejando v 1 y sabiendo que D1 = dimetro de garganta:

4

2

1

1

1

2

=

D

D

Pg

v

c

En caso se consideren las prdidas por friccin, es necesario agregar elcoeficiente de orificio Cv teniendo lo siguiente:

4

2

1

1

1

2

=

D

D

Pg

Cv

c

v

D1 = Dimetro de garganta.D2 = Dimetro de tubera.

Cv = Coeficiente de velocidad (su valor medio es de 0.98)= Velocidad en la garganta del Venturi

DETALLES EXPERIMENTALES

EQUIPO:

1. 4 tuberas lisas, variables en dimetro y rugosidad (en una de

ellas).2. Bomba de succin.

3. Vlvulas de succin y descarga.

4. Vlvulas en cada tubera.

5. 2 manmetros (mercurio y agua).

6. Conexiones a manmetros.

7. Vlvulas entre conexiones a manmetros (2 para cada uno).

8. Tanque de agua con bolla y medidor de caudal.

9. Bureta de 250ml para medicin de caudales menores.

22


23/42


Tanque de abastecimiento de agua Tanque dedescarga

Vlvula de compuerta Piezmetro

23


24/42


Medidor Venturi

Codo Largo de 90

Codo Corto de 90

Expansin Reduccin

24


25/42


Unin universal sistema analizado

PROCEDIMIENTO

Medir la distancia de las tuberas entre los niveles de los piezmetros,conocer las dimensiones de la tubera, su dimetro.

Luego debemos abrir la llave del agua para llenar el tanque, hacerpasar el flujo de agua teniendo de esta forma todo el diseo de laprctica completamente lleno de agua, no debemos abrir la llave dedescarga hasta mantener una referencia, una vez obtenida esto medirla altura de los 12 piezmetros, esto ser para el caudal cero.

Abrir la llave de descarga manteniendo la referencia; cuando se logreesto ,medir rpidamente la altura de los piezmetros.

Para poder determinar el caudal se debe tomar el tiempo que demorael flujo de agua en llenar el recipiente.

Realizar 5 corridas (para 5 caudales diferentes).

25


26/42


TABLAS DE DATOS Y RESULTADOS

TABLA N 1: CONDICIONES DE LABORATORIO

Temperatura ( C)

19

TABLA N 2: PROPIEDADES DEL LQUIDO

TABLA N 3: CARACTERSTICAS DEL SISTEMA

TABLA N 4: DIMENSIONES DEL TANQUE DE DESCARGA

TABLA N 5: DATOS DEL EQUIPO Y LONGITUDES EQUIVALENTES

EN ACCESORIOS

26

Temperatura(0C)

Viscosidad(Kg/m*s)

Densidad(Kg/m3)

19 1.035 x 10-3 998.468

Dimetro Nominal Cdula40

2 1

Dimetro Interno (m) 0.0525 0.0409

Rugosidad Relativa 0.0009 0.0015Material Acero Comercial

Largo (m) 0.415Ancho (m) 0.415rea (m2) 0.172


27/42


TABLA N 6: DESCRIPCIN DEL SISTEMA DE TUBERAS YACCESOSRIOS

Estaciones

Piezomtricas

Longitud

tubera(cm.)

Dimetr

o detubera(Pulg.)

Accesorios

1-2 306.07 21 vlvula de compuerta +

tubera recta 2

2-3 163.83 2Unin universal + tubera

recta 2

3-4 717.55 2Medidor de Venturi +tubera

recta 2

4-5 227.33 2Codo90 de radio corto +

tubera recta 2

5-6 180.34 2 2 codos de 90 radio largo +tubera recta 2

6-7 209.55 21 codo de 90 radio largo +

tubera recta +uninuniversal

7-8 151.13 2 Tubera recta

8-9 160.02 2 1 Tubera 2 + reduccin +

tubera 1

9-10 459.74 1 Tubera recta 1 + unin

universal

10-11 160.02 1 - 2 Tubera 1 + expansin+ tubera 2

27

AccesoriosLeq (m)

Codo de 90 radio Corto( 2)

1,7

Vlvula de compuertaabierta 0,4

Codo de 90 radio Largo( 2)

1,1


28/42


11-12 307.34 2 Tubera recta 2

TABLA N 7: CAUDALES PARA CADA CORRIDA

H

(cmHg) V(m3) t (s) Q (m3/s)

Q130

0.00861

12.72 0.691x10-3

Q260

0.00861

8.25 1.03 x10-3

Q397

0.00861

6.6 1.30 x10-3

Q4123

0.00861

6.14 1.43 x10-3

Q5132

0.008

61

5.83 1.48 x10-3

TABLA N 8: VELOCIDADES PARA CADA CORRIDA

TABLA N 9: NUMERO DE REYNOLDS PARA CADA CORRIDA

#REYNOLDSDimet

roCorrida

1Corrida

2Corrida

3Corrida

4Corrida

5

2''1.62 x

1042.42 x

1043.04 x

1043.34 x

1043.45 x

104

1 1/2''2.08 x

1043.11 x

1043.90 x

1044.29 x

1044.43 x

104

TABLA N 10: FACTOR DE FRICCION PARA CADA CORRIDA

Factor de friccin

28

Velocidades (m/s)

DimetroCorrida

1 Corrida 2Corrida

3Corrida

4Corrida

52'' 0.319 0.478 0.6 0.659 0.681

1 1/2'' 0.526 0.787 0.989 1.086 1.123


29/42


DimetroCorrida

1Corrida

2Corrida

3Corrida

4Corrida

52'' 0.029 0.0268 0.0257 0.0253 0.0251

1 1/2'' 0.0287 0.0269 0.0261 0.0258 0.0257

TABLA N 11: DATOS EXPERIMENTALES DE LAS LECTURAS DELOS PIEZMETROS (VERGRAFICA)

Piezmetro

NivelReferencial

Corrida1

Corrida2

Corrida3

Corrida4

Corrida5

1 142.1 139.7 137 134.5 138.6 131.22 143.6 140.1 136.9 132.5 130 125.2

3 144.6 139.8 136 131.5 128.2 1274 140.3 128.1 116.3 103 92.5 89.15 143.7 129.7 116.7 101.5 90.4 876 141.1 126.8 111.5 94.5 81.5 77.57 140.8 123.2 107.5 88.5 74.5 70.3

8 139.2 122.2 105.8 87 72.5 67.4

9 138.8 118.8 100.5 79.2 62.5 57.5

10 141.8 118.1 95.8 68.7 50.2 43.9

11 141.1 117.3 95.1 68.4 49.4 43.6

12 139.8 115.1 92.2 65.5 45 39.1

TABLA N 12: RESULTADOS EXPERIMENTALES DE LAS PRDIDASDE PRESION POR FRICCION Hf

PERDIDAS CALCULADAS EXPERIMENTALMENTECorrida

1Corrid

a 2Corrida

3Corrid

a 4Corrida

5

TRAMO Hf(m) Hf(m) Hf(m) Hf(m) Hf(m)1-2 0.011 0.016 0.035 0.101 0.0752-3 0.013 0.019 0.02 0.028 -0.0083-4 0.074 0.154 0.242 0.314 0.3364-5 0.018 0.03 0.049 0.055 0.0555-6 0.003 0.026 0.044 0.063 0.0696-7 0.033 0.037 0.057 0.067 0.069

29


30/42


7-8 -0.006 0.001 -0.001 0.004 0.0138-9 0.03 0.049 0.074 0.096 0.0939-10 0.037 0.077 0.135 0.153 0.16810-11 0.001 0 -0.004 0.001 -0.004

11-12 0.009 0.016 0.016 0.031 0.032Hf 0.223 0.425 0.667 0.913 0.898

TABLA N 13: RESULTADOS TEORICOS DE LAS PRDIDAS DE PRESIONPOR FRICCION Hf

Corrida 1 Corrida 2 Corrida 3 Corrida 4 Corrida 5

TRAMO Hf Hf Hf Hf Hf1-2 0.01000 0.02061 0.03114 0.03698 0.03918

2-3 0.00469 0.00974 0.01471 0.01747 0.018513-4 0.02056 0.04265 0.06445 0.07653 0.081084-5 0.01138 0.02362 0.03569 0.04238 0.044905-6 0.01147 0.02380 0.03596 0.04270 0.045246-7 0.00915 0.01899 0.02870 0.03408 0.036117-8 0.00433 0.00898 0.01357 0.01612 0.017088-9 0.01123 0.01123 0.01123 0.01123 0.011239-10 0.04596 0.09509 0.14401 0.17094 0.1813410-11 0.01584 0.03379 0.05225 0.06252 0.0666511-12 0.00880 0.01827 0.02760 0.03278 0.03473

Hf 0.15342 0.30677 0.45930 0.54373 0.57603

TABLA N 14: RESUMEN DE LAS CAIDAS DE PRESION TOTALES

TEORICAS Y EXPERIMENTALES

Q (m3/s)HftotalTerica

HftotalExperimentale

s

%Error

Q1 = 0.691x10-3 0.15342 0.223 45.3Q2 = 1.03 x10-3 0.30677 0.425 38.5Q3 = 1.30 x10-3 0.45930 0.667 45.2Q4 = 1.43 x10-3 0.54373 0.913 67.9Q5 = 1.48 x10-3 0.57603 0.898 55.9

30


31/42


DISCUSIN DE RESULTADOS

Las prdidas por friccin experimentales tuvieron un alto ndice deerror (entre 38.5% y 67.9% de error) al ser comparadas con lastericas; no obstante esto se pudo deber a muchos factores, uno deellos el no considerar algunos accesorios en el sistema, por ejemploel medidor de Venturi (tramo 3-4) y la unin universal (tramo 6-7;9-10); justamente en los tramos donde exista la presencia de estosaccesorios las prdidas de friccin son mayores tanto en lasexperimentales como en las tericas , siendo ms altas en estas

ltimas mayormente.

31


32/42


Otro factor importante es el no haber mantenido constante elvolumen de tanque de descarga, pues el caudal de alimentacin dedicho tanque no era constante lo cual dificultaba mantenerloestable, esto originaba una oscilacin en la altura de lospiezmetros y por consiguiente una mala lectura. Es por ello que al

calcular las prdidas por friccin se obtuvieron lecturas negativas.

De acuerdo a las grficas, prdidas de friccin por longitud detubera, se observa que a medida que aumenta la presin existenmayores prdidas, esto debido que al aumentar dicha presin loscaudales tambin aumentan y con ellos las velocidades lo que haceque el flujo del fluido sea ms desordenado.

Tambin se observa en las grficas que a medida que aumenta lalongitud de tubera existen mayores prdidas esto sucede porque amayor recorrido del fluido, mas energa se disipa; los accesoriostambin son los responsables de esta prdida de energa, algunasveces ms que la misma tubera.

32


33/42


CONCLUSIONES

Las prdidas por friccin ocasionadas en el sistema es la energa que

se disipa en forma de calor debido al rozamiento del fluido con la

superficie de las tuberas y al cambio de direccin del mismo debido a

accesorios.

Debido a que las velocidades eran bajas, las perdidas por friccin en el

sistema no fueron tan considerables.

Se puede observar en la tabla 14 (% error) que a medida que aumenta

el caudal el error aumenta, esto se debe que al momento de leer la

altura de los piezmetros la altura del agua va oscilar entre 1 a 2 cm con

la cual provocara una mala lectura de las alturas de los piezmetro.

La forma geomtrica de los accesorios influye en las prdidas por

friccin que genera esta ms aun cuando el accesorio cambia de

direccin el recorrido del fluido.

33


34/42


RECOMENDACIONES

Eliminar todas las burbujas de aire existentes antes de iniciar las

mediciones abriendo y cerrando la vlvula adems de pequeos toqueso golpecillos, para su correcta lectura.

Es recomendable asegurarse que las vlvulas de trayectoria del fluido

se encuentren completamente abiertas. As mismo, las vlvulas de

salida del tanque de descarga.

Al momento de mantener el caudal constante a una altura

determinada, es necesario leer de manera rpida y precisa las alturas

correspondientes a los piezmetros, ya que es difcil mantener el

caudal a un nivel constante y por ende la altura tambin variar.

Durante las mediciones del tiempo para la determinacin del caudal en

el tanque de descarga; se recomienda tomar diferentes alturas y por

ende tiempos para luego poder sacar un promedio del caudal, adems

se debe cerrar rpidamente la vlvula, medir el tiempo e

inmediatamente volver a abrirlas para evitar que el tanque se rebalse

o llene y moje nuestros ambientes en el laboratorio.

Para la instalacin de sistemas de hidrulicos, se debe considerar un

sobredimensionamiento (normalmente 5% ms) para poder prever

futuras perdidas por friccin.

34


35/42


APNDICE

EJEMPLO DE CLCULOS

CALCULOS DE PRDIDAS POR FRICCION CON DATOSEXPERIMENTALES

1. Clculos experimentales de Prdida de altura de lquido

Sea:ho : altura de lquido de referenciahi prom : altura de lquido en el piezmetro i

Para determinar la perdida de altura, se procede de la siguiente manera:

H1 = h0 h1 prom = 142.1 139.7 = 2.4 cm H2OH2 = h0 h2 prom = 143.6 -- 140.1 = 3.5 cm H2O

Por lo tanto, H= H2 H1 = 1.1 cm H2O =0.011 cm H2O

Repetir de igual manera para todos los piezmetros. Ver Tabla

2. Calculo de caudal experimental

De las mediciones del tanque de descarga en la corrida 1 podemos calcular

el caudal:

t

hA

stiempo

mVolumenQ b

==

)(

)( 3

Donde:Ab = rea de la base = (0.415m x 0.415m) = 0.172 m2

h = altura de llenado = 5 cm = 0.05 m (para cada lectura, 3 entotal)

t = tiempo de llenado = 12.72 s (para la primera lectura, 3 en total)

Entonces:

Reemplazando en las otras dos lecturas tenemos:

35

smmmQ

34

11076.6

72.12

05.0172.0 ==

mmm 342

1097.610.0172.0 ==


36/42


Proceder de igual manera para obtener los caudales en las dems corridas

CALCULOS DE PRDIDAS POR FRICCION CON DATOS TEORICOS

3. Calculo de velocidad para la tubera de 2

A partir de la ecuacin de continuidad:

Donde:

D = dimetro interno = 0.0525 mQ = 6.91 x 10-4 m3/s

Reemplazando:

Proceder de igual manera para obtener las velocidades en las demscorridas.

4. Calculo de velocidad para la tubera de 1

Donde:D = 0.04089 mQ = 6.91 x 10-4 m3/s

Reemplazando:

Proceder de igual manera para obtener las velocidades en las demscorridas.

5. Prdidas por friccin para el tramo 1-2

La formula de las prdidas por friccin para tuberas rectas y accesorios es:

Donde:

36

mmm 343

1001.715.0172.0 ==

msm

sm

sm

4

444

1091.6

1001.71097.61076.6

=

++

=

2

4D

QAQvAvQ

===

smv 526.0

04089.04

1091.2

4

"5.1=

=

g

v

D

LeLfhf

2

+=

smv 319.0

0525.04

1091.6

2

4

"2=

=


37/42


L = longitud de tubera recta =3.06 mLe = longitud equivalente = 0.4 m (Accesorio: Vlvula de compuerta)Rugosidad relativa = e/D = 0.0009

Conociendo la velocidad: v2 = 0.319 m/s

Para calcular el factor de friccin:

Con la correlacin de COLEBROOK e iterando: f = 0.029

Por tanto, las prdidas por friccin:

Prdidas por friccin para el tramo 2 -3

Donde aplicamos la misma ecuacin para fh :

Donde:

L = longitud de tubera recta =1.638 mLe = longitud equivalente = 0.0 m (Accesorio: Unin Universal)Rugosidad relativa = e/D = 0.0009

Prdidas por friccin para el tramo 3-4


Donde:

L = longitud de tubera recta =7.175 mLe = longitud equivalente = 0.0 m (Accesorio: Medidor Venturi)Rugosidad relativa = e/D = 0.0009

37

.16153

100352.1

319.0468.9980525.0

e3

3

=

==

mkg

smgmvD

m

sms

m

m

mmhf 0.009916

81.92

319.0

0525.0

4.0061.3029.0

2

2

=

+=

mm

sm

m

mhf 0.004693

81.92

319.0

0525.0

638.1029.0

2

2

=

=

mms

m

m

mhf 0.020556

81.92

319.0

0525.0

175.7029.0

2

2

=

=


38/42


Prdidas por friccin para el tramo 4 - 5


Donde:

L = longitud de tubera recta =2.273 mLe = longitud equivalente = 1.7 m (Accesorio: Codo de 90 radio

corto)Rugosidad relativa = e/D = 0.0009



Donde:

L = longitud de tubera recta =1.803 mLe = longitud equivalente = 1.1 m (Accesorio: Dos codos de 90 radio

largo)

Rugosidad relativa = e/D = 0.0009



Donde:

L = longitud de tubera recta =2.095 m

Le = longitud equivalente = 1.1 m (Accesorio: Un codo de 90 radiolargo)

Rugosidad relativa = e/D = 0.0009



Donde:


38

mm

sm

m

mmhf

0.01138281.92

319.0

0525.0

7.1273.2029.0

2

2

=

+=

(m

sms

m

m

mmhf 0.0115

81.92

319.0

0525.0

2.2803.1029.0

2

2

=

+=

(m

sm

sm

m

mmhf 0.0092

81.92

319.0

0525.0

1.1095.2029.0

2

2

=

+=


39/42


Le = longitud equivalente = 0.0 m (Sin accesorio)Rugosidad relativa = e/D = 0.0009


Donde aplicamos la ecuacin para fh considerando una reduccin:

Donde:

L2 = longitud de tubera recta =0.8 mL1 = longitud de tubera recta =0.8 mf2 = 0.029

f1 = 0.029

"2v = 0.319 m/s

"2

11v = 0.526 m/s

D2 = 0.0525m

D1 = 0.0409m



Donde:


Le = longitud equivalente = 0.0 m (Accesorio: Unin universal)Rugosidad relativa = e/D = 0.0015


Donde aplicamos la ecuacin para fh considerando una expansin:

Donde:

39

mmx

sm

xm

mxhf 0.0043

81.92

319.0

0525.0

511.1029.0

2

2

=

=

( )ms

ms

m

m

m

ms

m

m

mhf 0.0113

2

.

197.0

81.92

526.0

04089.0

8.0029.0

81.92

319.

0525.0

.029.0

2

2

2

=+

+

=

g

v

D

Lf

g

v

D

Lff

222

"2

11

"11

"2

11

"2

11

2

"2

"

"2

"2+

+

=

m

sm

sm

m

mhf 0.0460

81.92

526.0

04089.0

597.4029.0

2

2

=

=

g

vk

g

v

D

Lf

g

v

Dff

222

2

"2

"2

"2

"2

"2

11

"

"2

11

"2

11+

+

=


40/42


L2 = longitud de tubera recta =0.8 mL1 = longitud de tubera recta =0.8 m

"2f = 0.029

"2

11f = 0.029

"2v = 0.319 m/s"

211

v = 0.526 m/s

D2 = 0.0525mD1 = 0.0409m



Donde:

L = longitud de tubera recta =3.073 mLe = longitud equivalente = 0.0 m (Sin accesorio)Rugosidad relativa = e/D = 0.0009

40

mms

ms

m

m

m

ms

m

m

mhf 0.0158

2

.393.0

81.92

319.0

0525.0

8.0029.0

81.92

526.

04089.0

.029.0

2

2

2

=+

+

=

)m

ms

m

m

mhf 0.0088

81.9*2

319.0

0525.0

073.3029.0

2

2

=

=


41/42


GRFICAS

Grfica 1: Prdidas por longitud de tubera experimental:

Grfica 2: Prdidas por longitud de tubera terico:

41


42/42


BIBLIOGRAFA

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