DINMICA

IntroduccinEn el captulo anterior, abordamos la descripcin del movimiento de un cuerpo, describindolo en funcin de la posicin (x), tiempo (t), velocidad (v) y aceleracin (a), de tal forma que mediante el anlisis decamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante de tiempo predecir en que posicin se encontraba y con que velocidad se estaba moviendo. En tal descripcin, no nos interesaba el porque se mueve el cuerpo.En el presente captulo abordaremos las causas del movimiento de los cuerpos, que es el objeto de estudio de la Dinmica. Desde el punto de vista de la Mecnica Clsica que es el nivel que nos atae, al igual que en Cinemtica, restringiremos nuestro estudio considerando:Cuerpos grandes como si fuesen partculas o corpsculos (modelo corpuscular) y que adems se mueven con velocidades mucho muy pequeas en comparacin con la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s ).Las causas que originan el movimiento de los cuerpos se deben a la interaccin con otros cuerpos que conforman su medio ambiente, entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o speros; cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.

Introduccin ( Leyes de Fuerza )Dentro de las Leyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones:Interaccin por contactoInteraccin a distancia

Interaccin por contacto

Fuerzas de friccin F = mN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una superficie spera.F = mv Un cuerpo que se mueve en un medio que puede ser aire o un lquido.

Fuerza elstica:F = kx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.

Fuerza de sostn o soporte:F = P/A Por ejemplo cuando aplicamos una presin sobre un objeto.

Introduccin ( Leyes de Fuerza )Interaccin a distancia

Fuerza gravitacional (de atraccin) F = may Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde ay = g)F = (GmMr2) r Por ejemplo la fuerza de atraccin que existe entre el Sol y la Tierra.

Fuerza Elctrica (atraccin o repulsin)F = (kq1q2r2 ) r Por ejemplo la fuerza de repulsin que existe entre dos electrones.

Fuerza magntica (atraccin o repulsin) F = q (v x B) Por ejemplo un electrn que se mueve en un campo magntico.

Introduccin (Leyes de Movimiento)De las Leyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados de las Leyes de Newton:

Primera Ley.- Todo cuerpo permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiar dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza.

Segunda Ley.- La aceleracin que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional su masa.

Tercera Ley.- A toda accin le corresponde una reaccin de igual magnitud pero en sentido contrario.

IntroduccinEn esta primera parte de la Dinmica de los cuerpos, consideraremos nicamente casos ideales en los cuales:

No existe friccin,

adicionalmente, trabajaremos exclusivamente con

Fuerzas constantes,

es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una fuerza que no cambia de magnitud ni de direccin ni sentido.

En la segunda parte de la Dinmica se abordarn problemas que involucran friccin.

Posteriormente (Captulo de Trabajo y Energa) se abordarn fuerzas tanto constantes como variables, as como conservativas y disipativas.

Primera Ley de NewtonSi nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, entonces no habr aceleracin y por consiguiente el cuerpo estar en reposo o movindose con velocidad constante. Por tal razn, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso especial de la Segunda Ley, sin embargo, la Primera Ley se atribuye a marcos de referencia inerciales, ya que sobre un cuerpo puede estar obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleracin del cuerpo es cero. Ejemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierra observa como se acelera un automvil, un pasajero que vaya en el auto, observar que todas las cosas en el interior del auto estn en reposo con respecto a l.

Aplicaciones de las Leyes de NewtonSuma de fuerzas en xSuma de fuerzas en y

Friccin esttica ( fs )

Friccin cintica ( fk )Al igual que la fuerza de rozamiento esttica, la de rozamiento cintica tambin se da entre un par de superficies secas no lubricadas que se encuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, su direccin es opuesta a la direccin del movimiento. En la ltima ilustracin del dibujo anterior, con las cuatro personas empujando el camin con la misma fuerza con la que se inici el movimiento, ste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimos ejerciendo esa misma fuerza, observamos que la velocidad empieza a incrementarse paulatinamente, es decir, el camin empieza a acelerarse de tal forma que despus de unos segundos, prcticamente iremos corriendo detrs de l. La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamiento cintico fk (donde el subndice k proviene de la palabra "kinematics" que significa movimiento). La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la esttica, ya que el camin empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida al comenzar el movimiento.

Friccin cintica ( fk )

Friccin cintica ( fk )Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegar un momento en que sta se iguale con la fuerza de rozamiento cintico, en cuyo caso la aceleracin ser igual a cero. Pero como el camin ya tiene una velocidad en dicho instante de tiempo, entonces se seguir moviendo con esa misma velocidad (movimiento rectilneo uniforme). De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamiento cintico ser mayor, por lo que nuevamente el camin entrar a un movimiento rectilneo uniformemente acelerado (desacelerado), disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo. De lo anterior se concluye que:fs > fk

Coeficientes de Friccin Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello, supongamos que cargamos el camin y que nuevamente queremos moverlo.

Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el camin, necesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos indica que la fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al peso del camin. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar que:La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camin.

Coeficientes de Friccin Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a la fuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento est relacionada con dicha fuerza normal.

Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:

a) Camin en piso horizontal.b) Camin en piso inclinado i) de subida.ii) de bajada.

Coeficientes de Friccin

Coeficientes de Friccin Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso, decimos que es proporcional a la Fuerza normal.La constante de proporcionalidad depende de las superficies que estn en contacto. As por ejemplo, si el camin se encuentra en una superficie horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierra que de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen como superficies en contacto concreto-hule que cuando se tiene tierra-hule y una fuerza an mayor cuando las superficies son arena-hule.Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de superficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamos coeficientes de rozamiento. Cuando est en reposo es esttico ( ms ) y en movimiento, cintico ( mk ). Generalmente, el coeficiente de rozamiento esttico es mayor que el cintico.ms > mk

Coeficientes de Friccin Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de rodamiento, el otro es el de deslizamiento, siendo menor el de rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover el camin sin freno (rodamiento) que cuando estn puestos (deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento son proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto, dichas fuerzas son aproximadamente independientes del rea de contacto. Para ello analicemos los siguientes dibujos:

Coeficientes de Friccin El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se coloque, si de lado, de canto o parado, las tres reas en las que se apoya son diferentes, el rea A1 es mayor que el rea A2, y sta a su vez es mayor que el rea A3. La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al apoyarse el bloque en un rea mayor, la presin que ste ejerce sobre la superficie se reduce, y al apoyarse en un rea menor, la presin que ejerce sobre la superficie aumenta. Esto hace que el rea efectiva de apoyo sea la misma independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar apoyado en una mayor rea, las irregularidades (picos) de las superficies no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un rea menor, si se afectan las irregularidades, quebrndose y aumentando el rea efectiva de apoyo. Lo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivel microscpico.

Coeficientes de Friccin

Coeficientes de Friccin Resumiendo, las fuerzas de friccin son directamente proporcionales a la fuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son los coeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuacin matemtica se reduce a:fuerza de rozamiento esttica:fs msfuerza de rozamiento cintica:fk = mkDonde el signo menor (< ) en la de rozamiento esttico indica que esta fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igual ( = ) es cuando la fuerza de rozamiento esttica adquiere su mximo valor, siendo ste justo en el instante en que se va a iniciar el movimiento.

Aplicacin de FriccinEJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento esttico entre un tabln y un ladrillo.Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Uno de los extremos del tabln se apoya en un cuerpo fijo para evitar que resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se va levantando el tabln y se deja de levantar cuando se observa que el ladrillo empieza a deslizarse.Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.

Aplicacin de FriccinAl levantar el tabln, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el eje horizontal se toma paralelo al tabln, de esta forma, la fuerza normal sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es vertical y hacia abajo) forma un ngulo de 5 grados con la "vertical", de tal forma que en este sistema de referencia tiene una componente en el eje vertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento en ninguno de los ejes (de la observacin vemos que el bloque no se mueve), al aplicar la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso ( N = Wy ). En el caso de la componente horizontal, sta es la que debera hacer que el ladrillos se deslizara sobre el tabln, pero como no lo hace, inferimos que existe una fuerza que se opone al movimiento, siendo sta la fuerza de rozamiento esttica ( fs = Wx = mg sen )NWf s El tabln se levanta 5 grados

Aplicacin de Friccin

Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso. La componente horizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza de rozamiento esttica.

Aplicacin de Friccin

Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo an permanece en reposo. Hagmoslo ahora mediante ecuaciones.

Wx - fs = m ax N - Wy = may

(Como no hay movimiento ax = 0 ; ay = 0 )

Wx - fs = 0 N - Wy = 0Wx = fs N = Wy mg sen = fs N = mg cos

Aplicacin de FriccinObsrvese que la fuerza de rozamiento esttica depende del peso del cuerpo (que es constante) y del ngulo de inclinacin del tabln, el cual estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cual disminuye a medida que aumentamos el ngulo (1 < cos < 0; cos 00 = 1 , cos 900 = 0).Ahora bien, existir un ngulo al cual denominamos s bajo el cual el ladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos de levantar el tabln y con un transportador medimos el ngulo.

Aplicacin de Friccin

Wx - fs = max N - Wy = may

(Como apenas se va a inciar el mov. ax = 0 ; ay = 0 )

Wx - fs = 0 N - Wy = 0Wx = fs N = Wy mg sens = fs N = mg cos s Pero Fs = msN (adquiere el mximo justo cuando se inicia el movimiento)

Aplicacin de Friccinsustituyendo:mg sen s = msN sustituyendo nuevamente:mg sen s = msmg cos s despejando:ms = tan s

Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento esttico entre cualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra y levantar gradualmente la inferior, detenindonos y midiendo el ngulo bajo el cual se inicia el movimiento. A ste ngulo le sacamos la tangente y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento esttico.

Para el caso del coeficiente de rozamiento cintico, se procede de igual manera, pero resulta problemtico debido a que debemos medir el ngulo ( = k ) bajo el cual el cuerpo superior desliza sobre el inferior con velocidad constante.

Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que los problemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes de Newton, la nica diferencia es que debemos de incorporar una nueva fuerza (fuerza de rozamiento esttica o cintica segn sea el caso).

Aplicacin de Friccin EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una persona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse hacia arriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal, si el coeficiente de rozamiento esttico entre ambas superficies es de 0.60. Una vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza aplicada, determine la aceleracin del bloque si el coeficiente de rozamiento cintico es de 0.40. Y por ltimo, determine la fuerza necesaria para que el bloque se deslice hacia arriba con velocidad constante.

Aplicacin de FriccinPara que empiece a moverse:De la aplicacin de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos que: Fx = max P - fs - Wx = 0 (el cuerpo est en reposo, ax = 0 )P = fs + Wx P = msN + mg sen De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal. Fy = may N - Wy = 0 (el cuerpo en ningn momento se mueve en el eje vertical ay= 0 )N = mg cos

Aplicacin de Friccinsustituyendo en la expresin de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)

P = ms mg cos + mg sen P = mg ( ms cos + sen )

sustituyendo valoresP = ( 40kg )( 9.81m/s2 )( 0.6 cos 300 + sen 300 )P = 400.09 Nt

El cuerpo ya se est moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de rozamiento cintico, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el cuerpo se acelera, la aceleracin es: Fx = max P - fk - Wx = max

Aplicacin de FriccinDe la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal. Fy = may N - Wy = 0 (el cuerpo en ningn momento se mueve en el eje vertical ay= 0 )N = mg cos sustituyendo en la expresin de la aceleracin encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)

sustituyendo valoresa = 1.69 m/s2Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga moviendo hacia arriba con velocidad constante Fx = max P - fk - Wx = 0 (el cuerpo est movindose con velocidad constante, ax = 0 )P = fk + Wx

Aplicacin de FriccinP = mk N + mg sen De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.Fy = may N - Wy = 0 (el cuerpo en ningn momento se mueve en el eje vertical ay = 0 )N = mg cos sustituyendo en la expresin de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)P = mk N + mg sen P = mk mg cos + mg sen P = mg ( mk cos + sen )sustituyendo valoresP = ( 40 kg )( 9.81m/s2 )( 0.4 cos 300 + sen 300 )P = 332.13 N.