PERBANDINGAN METODE JACKKNIFE JIANG DAN AREA-SPESIFIC

PADA PENDUGAAN MEAN SQUARED ERROR

MODEL BETA-BINOMIAL

Skripsi

Oleh

DITA PARAMITHA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2017

ABSTRACT

COMPARISON JACKKNIFE JIANG AND AREA-SPESIFIC METHOD

IN ESTIMATION MEAN SQUARED ERROR

OF BETA-BINOMIAL MODEL

By

DITA PARAMITHA

Empirical Bayes (EB) method is one of method in small area estimation for count

or binary data. Estimation with EB method based on posterior which its parameter

be estimated by data. Beta Binomial model is a model that can be used for binary

data. In this research, parameter estimation from the EB estimator is estimated use

the method of momen. MSE of the EB estimator is evaluated by Jackknife Jiang

and Area-spesific both in theory and empirical. Empirical studied with Ri386

using the data of preprosperous family in Bandar Lampung 2014 we know that

EB estimator is biased. Based on calculation from the data, it showed that the

MSE of Area-spesific Jackknife method is smaller than the MSE of Jackknife

Jiang method.

Keyword: Small Area Estimation, Empirical Bayes (EB), Beta Binomial Model,

Method of Momen, Jackknife.

ABSTRAK

PERBANDINGAN METODE JACKKNIFE JIANG DAN AREA-SPESIFIC

PADA PENDUGAAN MEAN SQUARE ERROR

MODEL BETA-BINOMIAL

Oleh

DITA PARAMITHA

Metode Empirical Bayes (EB) merupakan salah satu metode pada pendugaan area

kecil untuk data cacah atau biner. Pendugaan dengan pendekatan EB didasarkan

pada sebaran posterior yang parameternya diduga dari data. Model Beta Binomial

merupakan salah satu model yang dapat digunakan pada respon biner. Pada

penelitian ini pendugaan parameter dari penduga EB dilakukan menggunakan

Metode Momen. Evaluasi Mean Square Error (MSE) pada penduga EB

dilakukan dengan metode Jackknife Jiang dan Area-spesific Jackknife baik secara

teori maupun empiris. Kajian secara empiris dilakukan dengan bantuan software

R i386 menggunakan data Keluarga Prasejahtera Tahun 2014 di Kota Bandar

Lampung. Hasil penelitian ini menunjukan bahwa penduga EB bersifat bias.

Berdasarkan perhitungan dari data diperoleh bahwa metode Area-specific

Jackknife menghasilkan MSE yang relatif lebih kecil dibandingkan MSE dengan

metode Jackknife Jiang.

Kata kunci: Pendugaan Area Kecil, Empirical Bayes (EB), Model Beta

Binomial, Metode Momen, Jackknife.

PERBANDINGAN METODE JACKKNIFE JIANG DAN AREA-SPESIFIC

PADA PENDUGAAN MEAN SQUARED ERROR

MODEL BETA-BINOMIAL

OLEH

Dita Paramitha

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kurungan Nyawa pada tanggal 17 Juli 1995, sebagai anak

pertama dari tiga bersaudara, dari Bapak Awaludin dan Ibu Marwiyah.

Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Dharma Wanita Utama diselesaikan tahun

2001, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 01 Bumi Dipasena Utama diselesaikan pada

tahun 2007, Sekolah Menengah Pertama Negeri (SMPN) 26 Bandar Lampung

diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah Atas Negeri (SMAN) 14

Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2013.

Tahun 2013, penulis terdaftar sebagai mahasiswi Jurusan Matematika FMIPA

melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa penulis aktif organisasi pada

periode 2014/2015 sebagai anggota bidang kaderisasi Himpunan Jurusan

Matematika (HIMATIKA), sebagai sekretaris biro sirkulasi dan periklanan Unit

Kegiatan Mahasiswa Fakultas (UKMF) Natural, dan sebagai staff ahli kementrian

Pendidikan dan Kepemudaan Badan Eksekutif Mahasiswa Universitas (BEMU),

sedangkan periode 2015/2016 sebagai pimpinan usaha UKMF Natural. Pada

tanggal 18 Januari–14 Februari 2016 penulis melakukan kerja praktek di Badan

Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung dan pada 25 Juli–25 Agustus 2016

penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Kebangsaan di Desa Sungai

Buluh, Kecamatan Singkep Barat, Kabupaten Lingga, Provinsi Kepulauan Riau.

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT kupersembahkan skripsi ini kepada :

Kedua Orang Tua Tercinta,

Ayahanda Awaludin dan Ibunda Marwiyah

Orang yang telah membesarkan, merawat, dan mendidik saya hingga saat ini, memberikan dukungan materil maupun moril selama menempuh pendidikan

hingga saat ini. Terimakasih atas doa dan harapan yang besar kepada saya, atas segala cinta kasih sayang yang tulus ikhlas serta telah menjadi pembimbing

hidup disetiap langkah ini.

Adik David Adie Chandra dan Ricard Arjunandito Zetira

Adik kandung yang selalu memberikan motivasi dari canda tawa dan keisengan kalian. Terima kasih telah membuat saya menjadi kuat dan bersemangat untuk

menikmati hari-hari.

Dhanil Ajitama

Seseorang yang hadir dan memberikan warna-warni di hidup saya. Terima kasih setiap waktunya telah memberikan semangat dan motivasi.

Almamater Tercinta

Universitas Lampung

SANWACANA

Segala bentuk puji syukur penulis curahkan kehadirat Allah SWT, yang telah

melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyusun dan

menyelesaikan skripsi ini. Skripsi dengan judul “PERBANDINGAN METODE

JACKKNIFE JIANG DAN AREA-SPESIFIC PADA PENDUGAAN MEAN

SQUARED ERROR MODEL BETA-BINOMIAL” adalah salah satu syarat untuk

memperoleh gelar sarjana Sains di Universitas Lampung.

Penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan, bimbingan dan dukungan dari

berbagai pihak yang tentunya sangat bermanfaat dan berharga sehingga skripsi

ini dapat diselesaikan oleh penulis. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima

kasih kepada :

1) Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah

meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi

penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2) Bapak Suharsono S, M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing pembantu yang

memberikan bantuan dan saran dalam penyelesaian skripsi ini.

3) Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si., selaku dosen penguji atas saran dan kritik

yang diberikan bagi skripsi ini.

4) Ibu Netti Herawati, M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing akademik yang

telah membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan.

5) Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6) Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7) Ibu, Bapak tersayang yang selalu memberikan dukungan baik moril maupun

materil dalam menyelesaikan skripsi ini serta adik David dan Dito yang

selalu memberikan canda tawa di sela-sela penulisan skripsi ini.

8) Dhanil Ajitama penyemangat dan motivator dalam menyelesaikan skripsi ini.

9) Sahabat tersayang Sisca A, Lena, Widya Ast, Aulianda P, Rifa RP, Dimas

RS, Efrizal, Shela M, Nina D, Galuh ISP, Hanifah S, Para Pejuang (Tiyas,

Nafisa) dan Anak Bawang (Della, Lia, Chaterine) Karina, Eka, Yucky, Heni,

Shintia, Dafri, Bang Gery, Bang Yefta, teman-teman angkatan 2013 dan

seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu

persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan, namun

penulis berharap penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca.

Bandar Lampung, Mei 2017

Penulis

Dita Paramitha

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ....................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xiv

I. PENDAHULUAN ................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang dan Masalah .......................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ........................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian ......................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA ....................................................................... 4

2.1 Pendugaan Area Kecil .................................................................... 4

2.2 Metode Empirical Bayes ................................................................ 5

2.3 Model Beta Binomial ..................................................................... 7

2.4 Pendugaan Parameter dengan Metode Momen .............................. 11

2.5 Karakteristik Penduga Parameter ................................................... 12

2.5.1 Ketakbiasan ............................................................................ 12

2.5.2 Varian Minimum .................................................................... 13

2.6 Evaluasi Mean Squared Error (MSE) ........................................... 13

III. METODOLOGI PENELITIAN ............................................................ 16

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 16

3.2 Data Penelitian ............................................................................... 16

3.3 Metode Penelitian .......................................................................... 16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................... 19

4.1 Model Beta Binomial ..................................................................... 19

4.2 Pendugaan Parameter Empirical Bayes Model Beta Binomial ...... 20

4.3 Karakteristik Penduga Empirical Bayes (𝑝�̂�𝐸𝐵).............................. 22

4.3.1 Ketakbiasan Penduga Empirical Bayes (𝑝�̂�𝐸𝐵) ....................... 22

4.3.2 Varian Penduga Empirical Bayes(𝑝�̂�𝐸𝐵) ................................. 23

4.4 Pendugaan Parameter dengan Metode Momen .............................. 24

4.5 Mean Squared Error Penduga Empirical Bayes(�̂�𝑖𝐸𝐵) ................... 29

4.6 Aplikasi Pendugaan Area Kecil pada Data Keluarga Prasejahtera

Tahun 2014 di Kota Bandar Lampung .......................................... 31

V. KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................. 38

5.1 Kesimpulan .................................................................................... 38

5.2 Saran .............................................................................................. 38

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 39

LAMPIRAN ................................................................................................ 41

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Data Keluarga Prasejahtera Tahun 2014 di Kota Bandar Lampung ..... 32

2. Proporsi Dugaan Data Keluarga Prasejahtera Tahun 2014 di Kota Bandar

Lampung ................................................................................................ 33

3. Nilai Mean Squared Error Data Keluarga Prasejahtera Tahun 2014 di Kota

Bandar Lampung ................................................................................... 35

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Scatterplot antara Penduga Langsung dan Penduga Bayes................... 34

2. Scatterplot Mean Squared Error antara metode Langsung, Metode

Jackknife Jiang dan Area specific-Jackknife………………………….. 36

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Survei merupakan salah satu cara yang digunakan untuk memperoleh suatu

informasi. Penerapan sistem sampel dalam survei pada area yang kecil

menyebabkan objek survei menjadi terbatas dan menyebabkan informasi yang

diperoleh tidak mewakili populasi secara keseluruhan, sehingga pendugaan

langsung tidak dapat menghasilkan dugaan yang teliti. Guna menghasilkan

pendugaan yang lebih baik, maka digunakan metode pendugaan tidak langsung

pada area kecil (Rao, 2003).

Small Area Estimation (SAE) merupakan teknik statistika yang digunakan untuk

menduga parameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang kecil dengan

mengembangkan data survei dan sensus guna mengestimasi tingkat kesejahteraan

atau indikator lainnya sebagai peubah yang menjadi perhatian pada domain yang

lebih kecil. Biasanya objek survei jumlahnya kecil bahkan mungkin area tersebut

tidak tersampling sehingga analisis yang didasarkan pada objek tersebut memiliki

ketepatan yang rendah. Selain itu metode ini dapat mengestimasi karakteristik dari

subpopulasi yang dikembangkan dengan menghubungkan informasi dari daerah

tertentu dengan daerah lain melalui model pendekatan untuk meningkatkan

efektifitas ukuran sampel yang disebut estimasi tidak langsung (Rao, 2003).

2

Berbagai metode pendugaan area kecil telah dikembangkan khususnya

menyangkut metode yang berbasis model (model-based area estimation). Metode

tersebut adalah penduga prediksi tak bias linier terbaik empirik atau Empirical

Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) untuk data kontinu, bayes empirik atau

Empirical Bayes (EB), dan bayes hierarkhi atau Hierarchical Bayes (HB) untuk

data biner atau cacahan.

Proporsi merupakan salah satu peubah respons yang menjadi perhatian dalam

SAE yang didapat dari hasil survei data cacahan yaitu banyaknya pengamatan

dibagi dengan jumlah keberhasilan dari pengamatan tersebut, dengan

mengasumsikan pengamatannya menyebar binomial. Dalam pendugaan Bayes

terdapat dua jenis informasi yaitu informasi prior diperoleh dari sebaran prior dan

informasi posterior dari hasil survei. Untuk peubah Binomial, sebaran prior yang

dapat dipilih adalah sebaran Beta. Sehingga pada penelitian ini model yang

digunakan adalah model Beta-Binomial.

Kebaikan suatu penduga dapat dievaluasi melalui sifat tak bias dan varian

minimum. Karena penduga Bayes biasanya bersifat bias (Bolstad, 2007), maka

dalam penelitian ini kualitas penduga EB yang diperoleh akan dievaluasi melalui

kriteria Mean Squared Error (MSE). MSE merupakan suatu besaran untuk

mengukur keragaman penduga area kecil. Beberapa penelitian yang membahas

tentang metode pendugaan MSE adalah Prasad dan Rao (1990), Wan (1999),

Chen (2001), Jiang et al (2002), Rao (2003), serta Chen dan Lahiri (2008). Pada

penelitian ini peneliti tertarik untuk mengkaji MSE dengan membandingkan

metode Jackknife Jiang et al (2002) dan Area-spesifik Jackknife.

3

1.2 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji karakteristik penduga Empirical Bayes

dengan mengevaluasi Mean Squared Error menggunakan metode Jackknife Jiang

dan Area-spesific Jackknife baik secara teori maupun empiris menggunakan data

Keluarga Prasejahtera tahun 2014 di Kota Bandar Lampung.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah memberikan informasi tentang

karakteristik penduga Empirical Bayes melalui evaluasi Mean Squared Error

menggunakan metode Jackknife Jiang dan Area-spesific Jackknife pada

pendugaan area kecil dengan model Beta-Binomial.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pendugaan Area Kecil

Small Area Estimation (SAE) adalah salah satu teknik statistik yang digunakan

untuk menduga parameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang relatif kecil.

Teknik ini mengembangkan data survei dan sensus untuk mengestimasi tingkat

kesejahteraan atau indikator lainnya untuk unit geografis seperti kecamatan atau

pedesaan. Terdapat dua masalah pokok dalam pendugaan area kecil. Masalah

pertama adalah bagaimana menghasilkan suatu dugaan parameter yang cukup baik

untuk ukuran sampel kecil pada suatu domain. Kedua, bagaimana menduga mean

Squared error (MSE) dari dugaan parameter tersebut. Kedua masalah pokok

tersebut dapat diatasi dengan cara “meminjam informasi” dari dalam area, luar

area maupun dari luar survei (Pfefferman, 2002).

SAE merupakan metode estimasi tidak langsung yang menduga area yang lebih

kecil dan memberikan tingkat akurasi yang lebih baik. Model area kecil

dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu model level area dan model level unit

(Rao, 2003).

5

1.Pendugaan Area Kecil Berbasis Area

Pada model pendugaan area kecil berbasis area, data pendukung yang tersedia

hanya sampai level area. Model level area menghubungkan penduga langsung

pendugaan area kecil dengan data pendukung dari domain lain untuk setiap area.

2. Pendugaan Area Kecil Berbasis Unit

Pada model pendugaan area kecil berbasis unit diasumsikan bahwa data variabel

penyerta unit 𝑥𝑖𝑗𝑇=(xij1,xij2,....,xijp)

T tersedia untuk setiap elemen ke-j pada area ke-i

selanjutnya variabel respon 𝑦𝑖𝑗 diasumsikan berkaitan dengan 𝑥𝑖𝑗sehingga bentuk

persamaan model area kecil berbasis level unit sebagai berikut :

𝑦𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝑗𝑇𝛽 + 𝑒𝑖𝑗 + 𝑣𝑖 ; j=1,2, . . ., m; i=1,2,. . . ., n (2.1)

Dengan 𝑣𝑖 merupakan pengaruh acak area, β merupakan koefisien regresi dan

diasumsikan galat sama dengan 0. Namun kadang cukup dengan rata-rata populasi

�̅�𝑖𝑗 yang diketahui (Rao, 2003).

2.2 Metode Empirical Bayes

Dasar pengembangan pendekatan statistik Bayes adalah hukum Bayes yang dibuat

oleh Thomas Bayes. Hukum ini diperkenalkan oleh Richard Price tahun 1763 dua

tahun setelah wafatnya Thomas Bayes. Pada tahun 1774 dan 1781, Laplace

memberikan analisis lebih rinci dan lebih relevan untuk statistik Bayes sekarang

(Gill, 2002).

6

Bila penduga Bayes ini akan digunakan maka harus diketahui terlebih dahulu nilai

parameter sebaran priornya. Namun seringkali informasi mengenai parameter

prior belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah Bayes

Empirik. Emperical Bayes (EB) merupakan metode dengan menggunakan

inferensia dari estimasi posterior untuk menduga parameter. Pertama kali model

ini diperkenalkan oleh Fay-Herriot (1979), untuk menduga rata-rata pendapatan

area kecil di Amerika Serikat. Metode EB merupakan metode yang cocok

digunakan dalam menangani data biner dan data cacahan pada pendugaan area

kecil. Misalkan x1, x2, …, xn merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi

yang mempunyai fungsi kepekatan peluang berbentuk f(x1, x2, …, xn|θ) dan

sebaran dari peubah acak θ yaitu h(θ) sebaran prior. Metode EB dalam konteks

pendugaan area kecil secara ringkas sebagai berikut:

1. Mendapatkan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari x1, x2, …, xn

dengan f(x1, x2, …, xn) yang didefinisikan sebagai berikut:

f(x1, x2, …, xn|θ) = f(X1,X2,…,Xn|θ).h(θ)

∫ f(X1,X2,…,Xn|θ).h(θ)dθ (2.2)

2. Menduga parameter model dari fungsi kepekatan peluang marginal.

3. Menggunakan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dugaan untuk

membuat inferensi parameter area kecil yang menjadi perhatian.

(Kismiantini, 2010)

Pendugaan langsung melalui pendekatan Bayes adalah menganggap parameter pi

merupakan peubah yang memiliki distribusi tertentu. Dalam pendugaan Bayes

terdapat dua jenis informasi yaitu informasi prior diperoleh dari sebaran prior dan

informasi posterior dari hasil survei. Untuk peubah Binomial, sebaran prior yang

digunakan adalah sebaran Beta atau Logit Normal (Rumiati, 2012).

7

2.3 Model Beta Binomial

Distribusi Beta digunakan untuk menjelaskan distribusi dari sebuah nilai

probabilitas yang tidak diketahui sebagai distribusi prior pada sebuah parameter

probabilitas sukses dalam distribusi Binomial (Bolstad, 2007). Dalam hal ini

dianggap bahwa probabilitas sukses dapat menjalani setiap nilai real antara 0 dan

1, sehingga distribusi prior tidak diskrit melainkan kontinu (Subanar, 2013).

Model ini merupakan model yang berawal dari model Bernoulli dengan model

peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan :

yi| pi ~ Binomial (ni, pi) = 0, . . ., ni, 0 < pi < 1, i = 1, . . ., m (2.3)

dengan model dasar

yi| pi ~ Bernoulli (pi) atau yi| pi ~ Binomial (ni, pi) (2.4)

pi ~ Beta (α, β) α > 0, β > 0 (2.5)

Beta (α, β) menyatakan sebaran beta dengan parameter α dan β serta fungsi

kepekatan untuk pi adalah

f(pi |α, β) = Γ(𝛼+𝛽)

Γ(𝛼)Γ(𝛽)𝑝𝑖𝛼−11 − 𝑝𝑖𝛽−1; 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 untuk 0 ≤ pi ≤ 1 (2.6)

(Hogg dan Craig, 1995).

Model yang digunakan dalam penelitian ini adalah model berbasis area dua level.

Model dua level tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑦𝑖 = 𝑝𝑖 + 𝜀𝑖 (2.7)

8

dengan:

𝑦𝑖= penduga langsung area ke-i

𝜀𝑖= pengaruh acak di dalam area

𝑝𝑖 = Parameter yang ingin diduga

dimana:

Level 1: yi| pi ~ Binomial (ni, pi)

Level 2: pi ~ Beta (α,β), i= 1,2,3,...,m (2.8)

Dengan yi menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada area ke-i, ni

adalah banyaknya ulangan keberhasilan suatu kasus pada area ke-i, pi adalah

peluang keberhasilan suatu kasus pada area ke-i yang tidak diketahui dan m

menyatakan jumlah area, sedangkan α dan β merupakan parameter yang belum

diketahui. Level pertama diasumsikan bahwa yi ~ Binomial (ni, pi) dan level kedua

diasumsikan bahwa pi ~ Beta (α,β) (Kismiantini, 2007).

Diketahui bahwa pi ~ Binomial (ni, pi) mempunyai fungsi kepekatan sebagai

berikut :

f(yi |pi) = (𝑛𝑖𝑦𝑖) 𝑝𝑖𝑦𝑖(1 − 𝑝𝑖)𝑛𝑖−𝑦𝑖 (2.9)

Berdasarkan fungsi kepekatan 𝑝𝑖 dan fungsi kepekatan yi maka :

𝑓(𝑝𝑖|𝑦𝑖) =𝑓(𝑝𝑖; 𝑦𝑖)

𝑚(𝑦𝑖)

=(𝑛𝑖𝑦𝑖)𝛤(𝛼+𝛽)

𝛤(𝛼)𝛤(𝛽)𝑝𝑖𝑦𝑖+𝛼−1(1−𝑝𝑖)

𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽−1

(𝑛𝑖𝑦𝑖)𝛤(𝛼+𝛽)

𝛤(𝛼)𝛤(𝛽)

𝛤(𝑦𝑖+𝛼)𝛤(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

𝛤(𝛼+𝑛+𝛽)

=𝑝𝑖𝑦𝑖+𝛼−1(1−𝑝𝑖)

𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽−1

𝛤(𝑦+𝛼)𝛤(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

𝛤(𝛼+𝑛𝑖+𝛽)

9

=𝛤(𝛼+𝑛𝑖+𝛽)

𝛤(𝑦𝑖+𝛼)𝛤(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)𝑝𝑖𝑦𝑖+𝛼−1(1 − 𝑝𝑖)

𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽−1

= 𝐵((𝑦𝑖 + 𝛼), (𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)) (2.10)

Menurut Berger (1990) nilai ekspektasi dan varian dari distribusi Beta adalah

𝐸(𝑋) =𝛼

𝛼+𝛽 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =

𝛼𝛽

(𝛼+𝛽+1)(𝛼+𝛽)2 Diketahui bahwa distribusi dari p

adalah fungsi Beta ((𝑦𝑖+α),( 𝑛𝑖-𝑦𝑖+β)). Sehingga diperoleh nilai ekspektasi dari

distribusi posteriornya adalah:

𝐸(𝑝𝑖|𝑦𝑖) =𝑦𝑖 + 𝛼

𝑦𝑖 + 𝛼 + 𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽

=𝑦𝑖+𝛼

𝛼+𝑛𝑖+𝛽 (2.11)

dan varian dari distribusi posterior adalah

𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑖|𝑦𝑖) =(𝑦𝑖 + 𝛼)(𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)

(𝑦𝑖 + 𝛼 + 𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽 + 1)(𝑦𝑖 + 𝛼 + 𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)2

=(𝑦𝑖+𝛼)(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

(𝛼+𝑛𝑖+𝛽+1)(𝛼+𝑛𝑖+𝛽)2 (2.12)

Oleh karena itu penduga Bayes bagi pi adalah rata-rata dari posteriornya,

�̂�𝑖𝐵 = 𝐸[𝑝𝑖|𝑦𝑖] = ∫ 𝑝𝑖. 𝑓(𝑝𝑖|𝑦𝑖)𝑑𝑝

1

0

= ∫ 𝑝𝑖𝛤(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽)

𝛤(𝑦𝑖 + 𝛼)𝛤(𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)𝑝𝑖𝑦𝑖+𝛼−1(1 − 𝑝𝑖)

𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽−11

0

𝑑𝑝𝑖

=𝛤(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽)

𝛤(𝑦𝑖 + 𝛼)𝛤(𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)∫ 𝑝𝑖

𝑦𝑖+𝛼(1 − 𝑝𝑖)𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽−1

1

0

𝑑𝑝𝑖⏟

𝐵(𝑦𝑖+𝛼+1,𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

10

=𝛤(𝛼+𝑛𝑖+𝛽)

𝛤(𝑦𝑖+𝛼)𝛤(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

𝛤(𝑦𝑖+𝛼+1)𝛤(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

𝛤(𝑦𝑖+𝛼+1+𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

=𝛤(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽)

𝛤(𝑦𝑖 + 𝛼)𝛤(𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)

𝛤(𝑦𝑖 + 𝛼 + 1)𝛤(𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)

𝛤(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽 + 1)

=𝛤(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽)𝛤(𝑦𝑖 + 𝛼 + 1)

𝛤(𝑦𝑖 + 𝛼)𝛤(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽 + 1)

=(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽 − 1)! (𝑦𝑖 + 𝛼)!

(𝑦𝑖 + 𝛼 − 1)! (𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽)!

=(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽 − 1)! (𝑦𝑖 + 𝛼)(𝑦𝑖 + 𝛼 − 1)!

(𝑦𝑖 + 𝛼 − 1)! (𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽)(𝛼 + 𝑛𝑖 + 𝛽 − 1)!

=𝑦𝑖+𝛼

𝛼+𝑛𝑖+𝛽 (2.13)

(Mayasari, 2016)

Dengan ragam posterior bagi pi adalah :

𝑉(𝑝𝑖|𝑦𝑖, 𝛼, 𝛽) = (𝑦𝑖+𝛼)(𝑛𝑖−𝑦𝑖+𝛽)

(𝑛𝑖+𝛼+𝛽+1)(𝑛𝑖+𝛼+𝛽)2 (2.14)

Sebaran penghubung f(pi, α, β) yang merupakan prior pada sebaran posterior

tersebut, f(pi | yi, α, β) mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya.

Dari sebaran penghubung tersebut, maka digunakan model Beta-Binomial dengan

sebaran peluang marginal sebagai berikut :

f(yi | ni, α, β) = (𝑛𝑖𝑦𝑖)Γ(𝛼+𝑦𝑖)Γ(𝛽+𝑛𝑖−𝑦𝑖)

Γ(α+β+ni)

Γ(𝛼+𝛽)

Γ(𝛼)Γ(𝛽)

= (𝑛𝑖𝑦𝑖)Β(𝛼+𝑦𝑖,𝛽+𝑛𝑖−𝑦𝑖)

Β(𝛼,𝛽) (2.15)

Menurut Lohr dan Rao (2009) jika α dan β tidak diketahui, maka �̂�𝑖𝐵 dapat

dievaluasi dengan pendugaan �̂�𝑖𝐸𝐵 dimana �̂� dan �̂� dihitung dari data.

�̂�𝑖𝐸𝐵 =

𝑦𝑖+�̂�

�̂�+𝑛+�̂� (2.16)

11

Pendugaan dan inferensi pada pendekatan EB didasarkan pada sebaran posterior

yang parameternya diduga dari data. Salah satu metode yang dapat digunakan

untuk menduga parameter adalah Metode Momen.

2.4 Pendugaan Parameter dengan Metode Momen

Secara umum pendugaan parameter digolongkan menjadi dua yaitu pendugaan

titik dan pendugaan selang. Beberapa metode pendugaan titik yang digunakan

untuk menduga parameter diantaranya adalah metode kuadrat terkecil, metode

MLE (Maximum Likelihood Estimation) dan metode momen. Metode kuadrat

terkecil prinsip kerjanya adalah meminimumkan jumlah kuadrat penyimpangan

atau error nilai-nilai observasi terhadap rata-ratanya. Selanjutnya metode MLE

merupakan suatu metode pendugaan parameter yang memaksimalkan fungsi

likelihood. Sedangkan metode momen merupakan metode pendugaan dengan cara

menyamakan momen ke-k sampel dengan momen ke-k populasi dan

menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan secara bersama atau simultan

yang ditulis sebagai berikut :

m1 = 1

𝑛∑ 𝑋𝑖

1,𝑛𝑖=1 𝜇1 = 𝐸(𝑋

1)

m2 = 1

𝑛∑ 𝑋𝑖

2,𝑛𝑖=1 𝜇2 = 𝐸(𝑋

2)

.

.

. . . .

mk = 1

𝑛∑ 𝑋𝑖

𝑘,𝑛𝑖=1 𝜇𝑘 = 𝐸(𝑋

𝑘) (2.17)

12

Momen populasi 𝜇𝑗 sering ditulis sebagai fungsi dari θ1, θ2, . . ., θk, yaitu

𝜇𝑗(θ1, θ2, . . ., θk). Metode momen penduga (𝜃1, 𝜃2, . . ., 𝜃k) dari (θ1, θ2, . . ., θk) di

dapat dengan menyelesaikan sistem persamaan untuk (θ1, θ2, . . ., θk) dalam notasi

(m1, m2, . . ., mk) sebagai berikut m’j = 𝜇′𝑗(𝜃1, 𝜃2, . . ., 𝜃k)j = 1, 2, . . . k

m1 = 𝜇1 = (θ1, θ2, . . ., θk)

m2 = 𝜇2 = (θ1, θ2, . . ., θk)

.

.

. . . .

mk = 𝜇𝑘 = (θ1, θ2, . . ., θk) (2.18)

(Berger, 1990).

Metode momen yang diciptakan oleh Karl Pearson pada tahun 1800 merupakan

metode tertua dalam menentukan estimator titik. Metode momen memiliki

keunggulan lebih mudah dalam menurunkan rumus penduga parameternya,

namun maksimum likelihood juga dikenal memiliki penduga yang efisien dari

sekian banyak penduga yang ada, walaupun kadang tidak mudah untuk mencari

bentuk rumus penduganya.

2.5 Karakteristik Penduga Parameter

Estimator yang baik adalah yang memenuhi sifat tertentu, diantaranya sifat tak

bias dan varian minimum.

2.5.1 Ketakbiasan

Sifat penduga yang baik salah satunya adalah sifat takbias. Suatu penduga

dikatakan takbias apabila asumsi yang telah ditentukan terpenuhi, yaitu misalkan

13

Y1, Y2, Y3 merupakan sampel acak dari fungsi kepekatan peluang kontinu

𝑓𝑦(𝑦; 𝜃), dimana θ merupakan parameter yang tidak diketahui.

Penduga 𝜃 = [ℎ(𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛)] dikatakan takbias bagi θ, jika 𝐸(𝜃) = 𝜃.

2.5.2 Varian Minimum

Selain sifat ketakbiasan, penduga parameter dikatakan baik apabila memenuhi

sifat penduga ragam minimum. Bila 𝜃 merupakan penduga bagi g(θ), maka θ1

dikatakan sebagai penduga beragam terkecil, jika

𝜎θ12 ≤ 𝜎θ

2 (2.19)

dimana θ merupakan sembarang penduga bagi g(θ)

(Hogg dan Craig, 1995).

2.6 Evaluasi Mean Squared Error (MSE)

Jika suatu penduga merupakan penduga yang tak bias, maka nilai varian θ akan

sama dengan MSE θ. Pada pendugaan EB penduga yang dihasilkan bersifat bias

sehingga performa dari penduga dievaluasi melalui MSE. Jika �̂�𝑖𝐸𝐵 merupakan

sebuah estimator untuk p, maka MSE tidak bersyarat dari �̂�𝑖𝐸𝐵 adalah:

𝑀𝑆𝐸(�̂�𝑖𝐸𝐵) = 𝑀𝑆𝐸(�̂�𝑖

𝐵) + 𝐸(�̂�𝑖𝐸𝐵 − �̂�𝑖

𝐵)2 (2.20)

dimana 𝑀𝑆𝐸(�̂�𝑖𝐵) = 𝐸{𝑣𝑎𝑟(𝑝|𝑦)} (2.21)

(Lohr dan Rao, 2009).

14

Metode pendugaan MSE lainnya adalah metode Jackknife yang pertama kali

diperkenalkan oleh Quenouille pada tahun 1949 dengan tujuan mengoreksi bias

dugaan. Metode ini merupakan metode resampling dengan prosedurnya adalah

menghapus area satu persatu. Misalkan y1, y2, … , ym contoh acak berukuran m

area, kemudian y1 dihilangkan dan dilakukan perhitungan untuk memperoleh

sebuah pendugaan. Operasi ini dilakukan sebanyak m kali dengan menghilangkan

satu area pada masing-masing tahap.

Metode Jackknife lainnya adalah Rao (2003) yang dikenal sebagai metode Area-

specific Jackknife yang merupakan pengembangan dari metode Jackknife Jiang et

al (2002). Metode ini menggunakan ragam dari sebaran posterior sebagai

pendekatan bagi nilai dugaan MSE. Dari segi perhitungan, metode ini lebih

mudah dan sederhana karena tidak perlu mencari nilai harapan dari ragam sebaran

posterior yang secara analitik terkadang sulit untuk dilakukan. MSE dari (�̂�𝑖𝐵)

yaitu:

𝑀𝑆𝐸(�̂�𝑖𝐵) = E{Var (θi | yi, )} = ki(φ) (2.22)

diperoleh secara integrasi numerik dengan menggunakan sebaran marjinal dari yi

Rao menggunakan gi sebagai pendekatan bagi ki, yaitu gi (�̂�, yi) = Var(θi | yi, �̂�).

Penduga MSE metode Area-specific Jackknife yaitu:

MSEASi = �̂�A1i + �̂�2i; i = 1, 2, . . ., m

�̂�A1i (yi) = gi (�̂�, yi) – ∑ {𝑔𝑖 (�̂� (–𝑗), 𝑦𝑖) − 𝑔𝑖(�̂�, yi)}𝑚𝑗≠𝑖

�̂�2i = 𝑚−1

𝑚∑ (𝜃 𝑖(−𝑗)

𝐸𝐵 − 𝜃 𝑖𝐸𝐵) 2𝑚

𝑗=1 (2.23)

15

Metode Jackknife Jiang (2002) digunakan untuk menduga M1i dan M2i secara

terpisah pada iterasi ke-j dari sisa area (m-1) dihitung dengan menduga �̂�(-j) pada

𝜑 dimana kuantitas �̂�1i sama dengan penduga ki(𝜑) yaitu sebagai berikut :

MSE(𝜃 𝑖𝐸𝐵) = 𝐸(𝜃 𝑖

𝐵 − 𝜃𝑖) 2 + 𝐸(𝜃 𝑖

𝐸𝐵 − 𝜃 𝑖𝐵) 2

= ki(𝜑) + 𝑀2𝑖

= 𝑀1𝑖+ 𝑀2𝑖

�̂�1i = ki(�̂�) –𝑚−1

𝑚∑ {ki(φ̂ (−j)) − ki(�̂�)}𝑚𝑗=1

= ki(�̂�) –𝑚−1

𝑚{ki(φ̂ (−j)) − ki(�̂�)}

�̂�2i = 𝑚−1

𝑚∑ (𝜃 𝑖(−𝑗)

𝐸𝐵 − 𝜃 𝑖𝐸𝐵) 2𝑚

𝑗=1 (2.24)

Jiang et al (2002) menunjukan bahwa penduga Jackknife MSE(𝜃 𝑖𝐸𝐵) = �̂�1𝑖+ �̂�2𝑖

mendekati ketakbiasan (Lohr & Rao, 2009).

III. METODE PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2016/2017,

bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam, Universitas Lampung, Lampung.

3.2. Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder, yaitu data

Keluarga Prasejahtera tahun 2014 di Kota Bandar Lampung yang diperoleh dari

Bandar Lampung Dalam Angka, Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar

Lampung.

3.3. Metode Penelitian

Penelitian ini menetapkan model dua tahap distribusi Beta Binomial. Level

pertama diasumsikan bahwa yi ~ Binomial (ni, pi) dan level kedua diasumsikan

bahwa pi ~ Beta (α,β).

Dengan :

yi = banyaknya pengamatan dalam suatu kasus pada area ke-i

ni = banyaknya ulangan keberhasilan suatu kasus pada area ke-i

17

pi = peluang keberhasilan suatu kasus pada area ke-i

α, β = parameter yang akan diduga (biasanya dapat diketahui melalui data)

Model dua level ini dapat ditulis sebagai model linear campuran

Yi= pi + ei

Dengan menentukan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari model linear

campuran di atas untuk menduga parameter distribusi Binomial dengan metode

EB seperti pada persamaan (2.16). Pendugaan parameter dari penduga EB

dilakukan menggunakan Metode Momen dengan persamaan (2.17) dan

mengevaluasi MSE pada penduga EB dengan metode Jackknife Jiang et al (2002)

dan Area-spesific Jackknife seperti pada persamaan (2.23) dan (2.24).

Langkah-langkah dalam mengevaluasi MSE adalah sebagai berikut :

1. Menentukan penduga proporsi �̂�𝑖 = 𝑦𝑖

𝑛𝑖 dari data Keluarga Prasejahtera tahun

2014 di Kota Bandar Lampung

2. Menentukan dugaan Mean Squared Error (MSE) penduga langsung

3. Menentukan parameter penduga �̂� dan �̂� dengan metode momen

4. Menentukan penduga Bayes empirik �̂�𝑖𝐸𝐵

5. Menghitung nilai MSE dengan membandingkan metode Jackknife Jiang et al

(2002) dan Area-spesific Jackknife

�̂�A1i (yi) = gi (�̂�,�̂�,, yi) – ∑ {𝑔𝑖(�̂�−𝑗, �̂�−𝑗, 𝑦𝑖) − 𝑔𝑖(�̂�, �̂�, yi)}𝑚𝑗≠𝑖 dengan gi

(�̂�,�̂�,, yi) = Var (pi | yi, �̂�,�̂�) untuk area-spesific Jackknife

18

�̂�1i = ki(�̂�,�̂�) –𝑚−1

𝑚∑ {ki(�̂�−𝑗, �̂�−𝑗) − ki(�̂�, �̂�)}𝑚

𝑗=1 dengan

ki (�̂�,�̂�) = E{Var (pi | yi, �̂�,�̂�)} untuk Jackknife Jiang (2002)

MSE �̂�𝑖𝐵 = 𝑘𝑖(�̂�𝑖, �̂�,�̂�), �̂�𝑖,−𝑗

𝐵 = 𝑘𝑖(�̂�𝑖, �̂�−𝑗,�̂�−𝑗) dan

�̂�2i = 𝑚−1

𝑚∑ (�̂� 𝑖(−𝑗)

𝐸𝐵 − �̂� 𝑖𝐸𝐵) 2𝑚

𝑗=1

mencari �̂�−𝑗 dan �̂�−𝑗 yang merupakan penduga momen yang diperoleh

dari data ke-j yang dihapus dan dihitung secara simultan

Menentukan galat baku, yaitu MSE = �̂�1i + �̂�2i; i = 1, 2, . . ., m

6. Membandingkan nilai MSE metode Jackknife Jiang et al (2002) dan Area-

spesific Jackknife dimana proses hitungan dilakukan dengan R i386.

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil kajian secara teori diperoleh kesimpulan bahwa pendugaan

Mean Squared Error metode Jackknife Jiang et al (2002) menggunakan

pendekatan ki sebagai nilai harapan dari ragam posteriornya sedangkan Area-

spesific Jackknife menggunakan pendekatan gi sebagai ragam posteriornya. Pada

data proporsi keluarga prasejahtera di Kota Bandar Lampung tahun 2014 Area

specific-Jackknife menghasilkan nilai Mean Squared Error yang mendekati nilai

Mean Squared Error penduga langsung dibandingkan metode Jackknife Jiang et

al (2002).

5.2 Saran

Pada pendugaan area kecil level kecamatan, data yang tersedia memenuhi untuk

dilakukan pendugaan secara langsung sehingga nilai Mean Squared Error relaif

kecil. Untuk penelitian selanjutnya disarankan menggunakan level area yang

memiliki informasi yang terbatas.

DAFTAR PUSTAKA

BadanPusat Statistik. 2015. Bandar Lampung DalamAngka 2014. BPS Kota

Bandar Lampung. Bandar Lampung.

Berger, C., 1990.Statistical Inference. California: Wadsworth and Brooks/Cole.

Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. America:

A John Wiley & Sons.

Chen S. 2001. Empirical Best Prediction and Hierarchical Bayes Methods in

Small Area Estimation. [disertation]. Nebraska: The Graduate College,

University of Nebraska.

Chen S, Lahiri P. 2008. On Mean Squared Prediction Error Estimation in Small

Area Estimation Problems. Communications in Statistics 37:1792-1798.

Fay, R.E., & Herriot, R.A. 1979. Estimates of income for small places: an

application of James-Stein procedures to census data. Journal of the

American StatisticalAssociation, 74 (366), 269-277.

Giil, J. 2002. Bayesian Methods: A social and Behavioral Sciences Approach.

Chapman and Hall, Boca Raton.

Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics,

Fifth Edition. New Jersey: Pretice-Hall.

Jiang J., Lahiri P.,dan Wan S.M. 2002. A Unified Jackknife Theory for Empirical

Best Prediction with M-estimation. The Annals of Statistics 30(6):1782-1810.

Kismiantini. 2010. Pendugaan Statistik Area Kecil Berbasis Model Poisson-

Gamma.Seminar NasionalPenelitian,

PendidikandanPenerapanMIPA.Yogyakarta : FMIPA UniversitasYoyakarta.

Lohr, S.L., dan Rao, J.N.K. 2009. Jackknife Estimation of Mean Squared Error

of Small Area Predictors in Nonlinear Mixed Models. Journal of Biometrika.

96, 457-468.

Martinez, E.Z., Achcar, J.A., dan Aragon, D.C. 2015. Parameter estimation of the

beta-binomial distribution: anapplication using the SAS software. Cienciae

Natura,Vol 37 n. 4. P 12-19.

Mayasari, D. 2016. Karakteristik Penduga Empirical Bayes Pada Pendugaan Area

Kecil dengan Model Beta Binomial. Skripsi. Universitas Lampung. Lampung.

Pfefferman D., (2002). Small Area Estimation - New developments and

directions, International Statistical Review, Vol70, 1, 125-143.

Htpp://www.ibge.gov.br/ amostragem/download/trabalhodanny.doc. [24

Oktober 2016]

Prasad, N.G.N., and Rao, J.N.K. 1990. The Estimation of Mean Square Errors

of.Small Area Estimators. Journal of American Statistical Association. 85:

163-171.

Rao, J.N.K. 2003. Small Area Estimation. New York: John Willey and Sons.

Rumiati,A.T. 2012. Model Bayes Untuk Pendugaan Area Kecil Dengan Penarikan

Contoh Berpeluang Tidak Sama Pada Kasus Respon Binomial dan

Multinomial. Disertasi. Bogor: Institut Pertanian Bogor

Subanar. 2013. Statistika MatematikaProbabilitas, Distribusi, dan

AsimtotisdalamStatistika. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Wan, S.M. 1999. Jackknife Methods in Small Area Estimation and Related

Problems. [disertation]. Nebraska: The Graduate College, University of

Nebraska