Upload
vudang
View
239
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PERANGKAT PEMBELAJARAN
MATA KULIAH : PROGRAM LINEAR
KODE : MKK206515
DOSEN : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
KONTRAK PEMBELAJARAN
PROGRAM LINEAR MKK206515
Semester II / 3 SKS
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
A. Identitas Mata Kuliah
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Semester / SKS : II / 3 SKS
Pengampu Mata Kuliah : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
Kode Mata Kuliah : MKK206515
B. Manfaat Mata Kuliah
Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :
1. Mengenal program linear sebagai penunjang pengambilan keputusan
2. Memahami syarat-syarat pemecahan persoalan program linear dengan metode grafik
3. Memahami masalah teknis dalam program linear
4. Memahami bentuk standar model program linear
5. Memahami metode simpleks untuk memecahkan permasalahan program linear
C. Deskripsi Mata Kuliah
Program Linear adalah mata kuliah yang mempelajari tentang metode optimasi untuk menentukan
nilai optimum dari fungsi tujuan linear pada kondisi pembatasan-pembatasan tertentu. Metode yang
digunakan dalam optimasi adalah : metode grafik dengan titik ekstrim, metode grafik dengan isoline,
serta metode simpleks. Kejadian-kejadian khusus dalam permasalahan program linear juga dipelajari
dan disertai pula dengan cara pengambilan keputusan apabila terjadi kejadian khusus, baik untuk
metode grafik maupun metode simpleks.
D. Kompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar Indikator
1. Membentuk model
matematika dari
permasalahan program linear
1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan
program linear
1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program
linear
1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program
linear
2. Menyelesaikan permasalahan
program linear dengan
metode grafik
2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari
permasalahan program linear
2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear
dengan metode grafik menggunakan isoline
2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear
menggunakan metode grafik dengan menentukan titik
ekstrim
2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang
muncul saat optimasi dengan metode grafik
3. Menyelesaikan permasalahan
program linear dengan
metode simpleks
3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika
3.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear
dengan metode simpleks
3.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear
dengan metode simpleks menggunakan teknik M
3.4 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear
dengan metode simpleks dua tahap
3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks
3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang
muncul saat optimasi dengan metode simpleks
E. Organisasi Materi
F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran
Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang
digunakan adalah sebagai berikut :
1. Questions Students Have
2. Kelompok Belajar (The Study Group)
3. Concept Sentences
4. The Learning Cell
G. Sumber Belajar
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa
Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 %
2. Tugas Terstruktur : 20 %
3. UTS : 20 %
4. UAS : 30 %
100 %
I. Jadwal Perkuliahan
Pertemuan P E M B E L A J A R A N
1
Materi : a. Pengenalan Pemrograman Linear
b. Membentuk permasalahan program linear ke dalam model matematika, yang
menyangkut :
Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear
Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear
Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear
2
Materi : a. Menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear
b. Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program linear
3
Materi :
Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik
menggunakan isoline
4
Materi :
Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik
menggunakan titik ekstrim
5
Materi :
Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi
dengan metode grafik
6 QUIZ 1 : KD 1 dan KD 2
KD I KD II
KD III
7 Materi : a. Bentuk standart dari permasalahan program linear
b. Konsep dasar dan algoritma metode simpleks
8 Materi : Penyelesaian permasalahan program linear dengan metode simpleks
9 Ujian Tengah Semester
10
Materi : a. Peyelesaian awal semu
b. Metode simpleks dengan teknik M
11 Materi : Metode simpleks dua tahap
12 Materi : Interpretasi tablo optimal simpleks
13 Materi :
Berbagai kejadian khusus pada metode simpleks
14 QUIZ II Materi : KD 3
15 REVIEW:
Persiapan Ujian Semester
16 Ujian Akhir Semester
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
SILABUS
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar
Standar Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok
Alokasi
Waktu
(menit)
Sumber/ Bahan/
Alat
Penilaian/
Evaluasi
1. Membentuk model
matematika dari
permasalahan
program linear
1.1 Menentukan variabel keputusan
dari permasalahan program
linear
1.2 Menentukan fungsi kendala dari
permasalahan program linear
1.3 Menentukan fungsi tujuan dari
permasalahan program linear
Tatap muka
Memberikan deskripsi tentang program
linear
Memberi contoh permasalaahan program
linear
Memberikan gambaran tentang variabel,
fungsi kendala dan fungsi tujuan
Kegiatan terstruktur
Pre-test
Mendiskusikan pemodelan dengan
menentukan variabel keputusan, fungsi
kendala dan fungsi tujuan pada
permasalahan pemrograman linear
Post-test
Pengenalan
Pemrograman Linear
Membentuk
permasalahan program
linear ke dalam model
matematika
3 50 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Program Linear
Modul
Alat :
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
2. Menyelesaikan
permasalahan
program linear
dengan metode
grafik
2.1 Menentukan daerah layak
(feasible region) dari
permasalahan program linear
2.2 Menentukan nilai optimum
permasalahan program linear
dengan metode grafik
menggunakan isoline
2.3 Menentukan nilai optimum
permasalahan program linear
menggunakan metode grafik
Tatap muka
Memberikan deskripsi singkat tentang
daerah layak (feasible region)
Memberikan definisi dari titik ekstrim cara
penentuan nilai optimum dengan evaluasi
nilai fungsi tujuan pada titik ekstrim
Menjelaskan secara singkat tentang
isoline dan cara penentuan nilai optimum
dengan isoline
Kegiatan terstruktur
Daerah penyelesaian
dari pertidaksamaan
linear
Penentuan daerah
layak (feasible region).
Meetode grafik dengan
titik ekstrim.
Metode grafik dengan
isoline
9 50 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Program Linear
Modul
Alat :
Bentuk
evaluasi :
Pre-test
Post-test
Instrumen :
Lembar
Diskusi
Kelompok
dengan menentukan titik ekstrim
2.4 Menentukan nilai optimum dari
kejadian khusus yang muncul
saat optimasi dengan metode
grafik
Pre-test
Mendiskusikan berbagai kejadian khusus
yang muncul saat optimasi dengan
metode grafik
Post-test
Menentukan nilai
optimum dari kejadian
khusus
3. Menyelesaikan
permasalahan
program linear
dengan metode
simpleks
3.1 Menentukan bentuk standar dari
model matematika
3.2 Menentukan nilai optimum
permasalahan program linear
dengan metode simpleks
3.3 Menentukan nilai optimum
permasalahan program linear
dengan metode simpleks
menggunakan teknik M
3.4 Menentukan nilai optimum
permasalahan program linear
dengan metode simpleks dua
tahap
3.5 Menentukan nilai optimum dari
kejadian khusus yang muncul
saat optimasi dengan metode
simpleks
Tatap muka
Menjelaskan tentang bentuk standar
(bentuk kanonik) dalam pemodelan
matematika permasalahan program linear
Menjelaskan optimasi permasalahan
pemrograman linear dengan metode
simpleks, metode simpleks dengan teknik
M, dan metode simpleks dua tahap
Kegiatan terstruktur
Post test
Bentuk
standart/bentuk
kanonik
Metode simpleks.
Interpretasi tablo
optimal simpleks
Kejadian khusus pada
metode simpleks
Peyelesaian awal semu
Metode simpleks
dengan teknik M
Metode simpleks dua
tahap
18 50 Sumber :
Buku panduan
mata kuliah
Program Linear
Modul
Alat :
Bentuk
evaluasi :
Post-test
Instrumen :
Lembar
Kerja
Individu
Lembar
diskusi
kelompok
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 1
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 1. Membentuk model matematika dari permasalahan program linear
Indikator : 1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear
1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear
1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear
Tujuan : Menentukan model matematika dari permsalahan pemrograman linear
MATERI
A. DEFINISI PEMROGRAMAN LINEAR
Suatu perusahaan atau organisasi harus membuat keputusan mengenai cara mengalokasikan
sumber-sumbernya dan tidak ada organisasi yang beroperasi secara permanen dengan sumber yang
tidak terbatas, akibatnya manajemen harus secara terus menerus mengalokasikan sumber langka
untuk mencapai tujuan yang optimal. Tiap organisasi mencoba untuk mencapai tujuan tertentu sesuai
dengan batasan sumber daya, seperti : bahan mentah, uang, waktu, tenaga, dll.
Pemrograman Linear adalah metode optimasi untuk menentukan nilai optimum dari fungsi
tujuan linear pada kondisi pembatasan-pembatasan (constrains) tertentu. Persoalan pemrograman
linear dapat ditemukan pada berbagai bidang dan dapat digunakan untuk membantu membuat
keputusan, memilih suatu alternatif yang paling tepat. Aplikasi program linear misalnya untuk keperluan
: perencanaan produksi, produksi campuran, penjadwalan, relokasi sumber daya, masalah transportasi,
dll.
B. MODEL PEMROGRAMAN LINEAR
Bentuk umum model program linear adalah :
Optimumkan :
Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Dengan batasan :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm
x1, x2,... , xn 0
Terminologi umum untuk model program linear di atas adalah :
1. Fungsi yang akan dicari nilai optimumnya (Z) disebut fungsi tujuan (objective function)
2. Fungsi batasan (constrains) yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu :
a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m.
b. Fungsi batasan non-negatif (non-negative constrains)
3. Variabel keputusan (decision variables)
4. Parameter model
C. PERSOALAN PEMROGRAMAN LINEAR
Persoalan pemrograman linear adalah persoalan optimasi yang memenuhi ketentuan sebagai
berikut :
1. Fungsi tujuan merupakan fungsi linear dari variable keputusan.
2. Nilai variabel keputusan harus memenuhi pembatasan-pembatasan yang berbentuk persamaan
atau ketaksamaan.
3. Setiap variabel keputusan harus dibatasi yaitu non negatif.
Model adalah sebuah tiruan terhadap realitas. Langkah yang dilakukan untuk membuat
peralihan dari realita ke model kuantitatif disebut perumusan model. Ada beberapa tahap dalam
memformulasikan persoalan pemrograman linear ke model kuantitatif, yaitu :
1. Mengidentifikasi variabel keputusan
2. Mendeskripsikan fungsi tujuan sebagai kombinasi linear dari variabel keputusan
3. Mendeskripsikan pembatasan-pembatasan sebagai kombinasi linear dari variabel keputusan
4. Mengidentifikasi batas bawah atau batas atas dari variabel keputusan
5. Mengekspresikan semua hasil identifikasi tersebut dalam model kuantitatif
Contoh 1.1 :
Sebuah perusahaan memproduksi sofa, meja dan kursi. Sumber daya untuk produksi tersebut adalah
kayu, bahan pelapis, dan waktu produksi. Sumber daya yang dibutuhkan untuk pembuatan tiap unit
barang per minggunya ditunjukkan sebagai berikut :
Jenis Produk Kebutuhan sumber daya
Kayu (lembar) Pelapis (m) Waktu kerja (jam)
Sofa 7 12 6
Meja 5 - 9
Kursi 4 7 5
Sumber daya tersedia 1400 840 540
Pembuatan produk dibatasi perminggunya 500 buah karena keterbatasan tempat penyimpanan. Laba
masing-masing produk per unit adalah Rp. 50.000,00 untuk sofa, Rp. 25.000,00 untuk meja dan Rp.
40.000,00 untuk kursi. Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak masing-masing produk harus
dibuat agar mencapai laba maksimum. Tentukan model matematikanya!
Penyelesaian :
Variabel keputusan : a = banyak produksi sofa
b = banyak produksi meja
c = banyak produksi kursi
Fungsi tujuan (Z) : Memaksimumkan laba
Memaksimumkan Z = 50.000a + 25.000b + 40.000c
Fungsi pembatas : 7a + 5b + 4c 1400 (keterbatasan kayu)
12a + 7b 840 (keterbatasan pelapis)
6a+ 9b + 5c 540 (keterbatasan waktu)
a + b + c 500 (keterbatasan tempat penyimpanan)
Batas variabel keputusan : a, b, c 0
Model matematisnya :
Tentukan nilai a, b, c Memaksimumkan : Z = 50.000a + 25.000b + 40.000c
Dengan pembatas : 7a + 5b + 4c 1400
12a + 7b 840
6a+ 9b + 5c 540
a + b + c 500
a, b, c 0
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberi gambaran tentang permasalahan program linear
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear
dalam kehidupan sehari-hari
10 menit
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan
tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi
tujuan.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
15 menit
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian membentuknya dalam model matematika
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 2
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program
linear.
Tujuan : Menentukan daerah feasible dari permalsalahan program linear
MATERI
PENYELESAIAN PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR
DAERAH LAYAK (FEASIBLE REGION)
Pada setiap kasus pemrograman linear, susunan dari kendala-kendala akan membentuk suatu
bidang yang menjadi tempat kedudukan bagi variabel-variabel yang memenuhi seluruh kendala.
Fungsi Pembatasnya : a – b 1 (i) a 7 (iii)
3a + 2b 12 (ii) b 6 (iv) b 3 (v)
(i) (ii)
(iii) (iv) dan (V)
Gambar 1.1
1
-1
6
4
7
6
3
a
b
a
b
a
b
a
b
1
-1
3
6
4 7
Jika keempat daerah tersebut dijadikan satu bidang kemudian dicari irisannya diperoleh :
Gambar 1.2
Masing-masing kendala pertidaksamaan di atas menjangkau suatu bidang penyelesaian dimana
variabel-variabel keputusan memenuhi fungsi-fungsi matematikanya. Perpotongan antara bidang
penyelesaian dari masing-masing kendala membentuk suatu bidang baru yang dinamakan dengan daerah
layak (feasible region). Oleh karena itu, penyelesaian optimum, yaitu variabel-variabel keputusan yang
memenuhi seluruh kendala dan mengakibatkan fungsi tujuan bernilai ekstrim, pasti terletak pada daerah
layak.
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan
tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi
tujuan
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear
dalam kehidupan sehari-hari
10 menit
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta
mahasiswa menjelaskan tentang penentuan variabel keputusan,
fungsi kendala dan fungsi tujuan.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan penetuan daerah feasible.
b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.
c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
15 menit
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian membentuknya dalam model matematika
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 3
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode
grafik menggunakan isoline.
Tujuan : 2.2.1 Menentukan penyelesaian basis awal yang feasible.
2.2.2 Menggunakan bantuan isoline untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi
tujuan
MATERI
METODE GRAFIK DENGAN ISOLINE
Ada dua cara untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan
metode grafik. Teknik yang pertama adalah dengan teknik kesamaan garis (isoline). Langkah yang
dilakukan untuk menentukan solusi optimum dengan teknik isoline adalah :
1. Tentukan kemiringan garis fungsi tujuan (merupakan himpunan infinitif dari isoline)
Pilihlah titik tertentu pada daerah layak
Gambarkan garis fungsi tujuan yang mengenai titik tersebut
2. Tentukan arah peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan persoalan maksimum/minimum. Pilih dua
garis (isoline) fungsi tujuan di daerah layak dan evaluasi nilai fungsi tujuan pada kedua garis isoline.
3. Ikuti arah peningkatan/penurunan sampai mencapai titik batas (sudut) dimana
peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan keluar dari daerah layak.
4. Solusi optimum diperoleh dari titik batas dimana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan akan
meninggalkan daerah layak.
Contoh 1.3
Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear
menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Z1
Z2
Z3
Z4
Z4 (Solusi Optimum)
Maksimum
Z3 (Solusi Optimum)
Minimum
METODE PEMBELAJARAN
Learning Cell
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan
daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya
dalam menentukan nilai optimum fungsi
b. Motivasi
Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah
layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai
optimum dari permasalahan program linear
15 menit
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi
a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta
mahasiswa membentuk dalam model matematis, yang meliputi
penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan.
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi
d. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi
contoh permasalahan beserta langkah pemecahannya dengan
metode titik ekstrim menggunakan isoline.
e. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup
menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.
f. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan
grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II
bertanya, dan grup I menjawab.
Eksplanasi
Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
15 menit
10 menit
5 menit
10 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik
menggunakan isoline.
30 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 4
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear menggunakan
metode grafik dengan menentukan titik ekstrim.
Tujuan : Menggunakan bantuan titik ekstrim untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi
tujuan
MATERI
METODE GRAFIK DENGAN BANTUAN TITIK EKSTRIM
Teknik kedua untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan
metode grafik adalah titik ekstrim. Titik ekstrim merupakan titik-titik sudut pada daerah layak. Nilai ekstrim
dari fungsi tujuan pasti terletak pada salah satu titik ekstrim. Langkah yang dilakukan untuk menentukan
solusi optimum dengan teknik titik ekstrim adalah :
1. Tentukan irisan (intersection) daerah penyelesaian dari semua fungsi kendala, sehingga diperoleh
daerah layak (feasible region).
2. Tentukan tiitik ekstrim (titik sudut) dari daerah layak.
3. Evaluasi nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim daerah layak. Solusi optimum terletak pada salah
satu titik ekstrim daerah layak.
4. Tentukan nilai optimumnya, dengan aturan: nilai terbesar dari evaluasi pada langkah 3 menjadi nilai
maksimum, dan nilai terkecilnya menjadi nilai minimum
Contoh 1.4
Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear
menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
A
B
C
O
Jika fungsi tujuan dari permasalahan diatas adalah Z, setelah ditentukan koordinat titik O, A, B,
dan C, maka selanjutnya eveluasi nilai Z di setiap titik tersebut. Tentukan ZO, ZA, ZB, dan ZC.
Nilai maksimum = maks (ZO, ZA, ZB, ZC)
Nilai minimum = min (ZO, ZA, ZB, ZC)
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan
daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya
dalam menentukan nilai optimum fungsi
b. Motivasi Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah
layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai
optimum dari permasalahan program linear
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat
kejadian khusus berikut :
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai
permasalahan pemrograman linear.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik
menggunakan titik ekstrim.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 5
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik
Indikator : 2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat
optimasi dengan metode grafik.
Tujuan : 2.4.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi
2.4.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif
2.4.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas
2.4.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible
MATERI
KEJADIAN KHUSUS PADA METODE GRAFIK
Permasalahan program linear terkadang ada yang memiliki lebih dari satu penyelesaian, atau
memiliki penyelesaian yang nilainya tidak terbatas, bahkan ada permasalahan yang tidak dapat dicari
penyelesaiannya. Berikut akan dibahas berbagai kejadian khusus yang dapat muncul saat optimasi fungsi
tujuan dengan menggunakan metode grafik.
1. Degenerasi
Satu titik terbentuk dari perpotongan antara dua buah garis. Apabila terjadi perpotongan tiga garis
melalui satu titik maka kejadian ini disebut dengan over determined. Over deternimed inilah yang
menyebabkan salah satu kejadian khusus pada metode grafik, yaitu degenerasi. Dengan alasan ini
dapat dikatakan bahwa terdapat satu batasan yang melimpah atau berlebih. Batasan yang seperti ini
dinamakan dengan batasan redundan (redundant constarins).
2. Optimal Alternatif
Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan. Hal
ini terjadi apabila fungsi tujuan sejajar dengan fungsi batasan pembentuk penyelesaian optimal.
Akibatnya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian.
3. Penyelesaian tidak feasible
Suatu model pemrograman linear dikatakan memiliki penyelesaian tak feasible apabila fungsi-fungsi
batasan dalam model tersebut tidak dapat dipenuhi secara simultan. Dengan kata lain, Interseksi dari
semua fungsi batasan yang ada tidak dapat ditemukan.
4. Penyelesaian tidak terbatas
Pada model masalaah program linear ada beberapa model dimana variabel-variabel tersebut dapat
dinaikkan sampai tak terhingga tanpa melanggar fungsi batasan. Hal ini berarti ruang penyelesaian
atau daerah penyelesaian dari permasalahan pemrograman linear tersebut tidak terbatas. Akibatnya,
nilai fungsi tujuan dalam kasus memaksimumkan dapat naik sampai tak terhingga. Melihat kejadian
ini dikatakan bahwa permasalahan pemrograman linear tersebut memiliki daerah penyelesaian yang
tak terbatas dan nilai fungsi tujuannya pun tidak terbatas.
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan
program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang
tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak
tunggal.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat
kejadian khusus berikut :
1). Degenerasi
2). Optimal alternatif
3). Penyelesaian tidak terbatas
4). Penyelesaian tidak layak
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai
permasalahan pemrograman linear.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan
program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik
menggunakan titik ekstrim.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 7
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika.
Tujuan : Mengubah permasalahan pemrograman linear menjadi bentuk standar
MATERI
PENDAHULUAN
Apabila suatu persoalan program linear hanya mengandung dua variabel keputusan, maka untuk
menentukan solusinya dapat dilakukan dengan metode grafik. Akan tetapi apabila permasalahan
mengandung tiga variabel atau lebih, maka akan sangat sulit, bahkan tidak bisa dilakukan optimasi
dengan metode grafik sehingga diperlukan metode lain untuk menentukan titik serta nilai optimumnya.
Salah satu metode yang bisa digunakan adalah metode simpleks.
Gagasan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris atau grafik dari titik ekstrim
atau titik sudut menjadi definisi aljabar. Metode simpleks adalah suatu teknik penyelesaian pemrograman
linear secara iterasi. Metode simpleks mencari suatu penyelesaian dasar yang feasible ke penyelesaian
dasar feasible lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang sehingga akhirnya tercapai suatu
penyelesaian optimum. Setiap tahap penyelesaian menghasilkan nilai fungsi tujuanyang selalu lebih
optimum atau sama dari tahap-tahap penyelesaian sebelumnya. Metode simpleks sangat sistematik dan
dilengkapi test kriteria yang dapat memberitahukan kapan perhitungan harus dilanjutkan atau dihentikan
sampai diperoleh solusi optimum.
BENTUK STANDAR MODEL PROGRAM LINEAR
Pada metode simpleks permasalahan pemrograman linear selalu diubah menjadi bentuk standart
(bentuk kanonik). Ciri dari bentuk kanonik adalah sebagai berikut :
1. Semua batasan atau kendala adalah persamaan dengan sisi kanan yang non negatif.
2. Semua variabel keputusan adalah non negatif.
3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi dan minimasi.
Secara umum bentuk kanonik dari permasalahan program linear adalah sebagai berikut :
Optimumkan :
Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Dengan batasan :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
x1, x2,... , xn 0
b1, b2,... , bm 0
Berikut ini adalah cara pengubahan dari masalah program linear ke dalam bentuk kanonik.
No Tinjauan Cara Pengubahan ke Bentuk Kanonik
1 Fungsi Batasan Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel slack biasa disimbolkan
dengan S dengan S 0.
Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0
Bentuk kanoniknya menjadi
3a + 2b + S = 36 dengan a, b, S 0
Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel surplus biasa disimbolkan
dengan S dengan S 0.
Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0
Bentuk kanoniknya menjadi
3a + 2b S = 36 dengan a, b, S 0
Fungsi batasan dengan nilai kanan negatif
Mengalikan masing-masing sisi dari fungsi batasan dengan 1.
Contoh : 3a + 2b 12 dengan a, b 0
3a + 2b + S = 12 dengan a, b, S 0
Bentuk kanoniknya menjadi
3a 2b S = 12 dengan a, b, S 0
2 Variabel Keputusan Variabel yang tidak dibatasi tanda Misalkan ada variabel x yang nilainya tidak dibatasi, maka x harus disubstitusi
dengan x1 – x2 dengan x1, x2 0. Substitusi ini menyebabkan perubahan pada
fungsi tujuan dan fungsi batasannya.
3 Fungsi Tujuan Catatan : Sisi kanan dari fungsi tujuan dibuat nol (0)
Bentuk memaksimumkan fungsi tujuan ekuivalen dengan meminimumkan
negatif dari fungsi tujuan tersebut.
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kelemahan metode grafik, yang
dapat diselesaikan dengan metode simpleks
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan sebuah contoh permasalahan program linear, dan
meminta siswa mengidentifikasi cara mengubahnya kedalam
bentuk standar.
b. Memberikan beberapa permasalahan program linear dan
membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan bentuk standar dari berbagai
permasalahan pemrograman linear berikut.
1. Memaksimumkan : Z = 8p + 6q
Terhadap batasan : 4p + 3q 18
6p + 5q 30
2p + q 8
p, q 0
2. Meminimumkan : P = 3x + 2y + 4z
Terhadap batasan : x + y – z 12
2x + y 3
x, z 0, y tidak dibatasi
15 menit
10 menit
40 menit
50 menit
3. Meminimumkan : W = 6a + 5b + 2c
Terhadap batasan : 3a + 2b + 5c 30
2a + 7b 28
3a 5c 15
a, b 0, c tidak dibatasi
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat dua buah
permasalahan program linear kemudian mengubahnya ke dalam
bentu standar.
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 8
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode
simpleks.
Tujuan : Menentukan penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan metode
simpleks
MATERI
KONSEP DASAR METODE SIMPLEKS
Konsep dasar metode simpleks bertolak dari konsep dasar metode grafik, yaitu penyelesaian
optimum terjadi pada titik ekstrim. Metode simpleks dalam bekerja menggunakan proses iterasi dimulai
dari titik ekstrim feasible awal ke titik ke titik ekstrim feasible lain yang terhubung (adjecent), dan iterasi
akan berhenti jika penyelesaian optimal telah diperoleh.
Perhatikan contoh permasalahan program linear dan penyelesaiannya dengan metode grafik berikut ini:
Memaksimumkan : Z = 3a + 5b
Terhadap batasan : 2a 6
3b 15
6a + 4b 24
a, b 0
Algoritma simpleks dimulai dari titik feasible awal (misalkan titik asal O) dan akan menghasilkan
penyelesaian awal. Kemudian iterasi dilanjutkan ke titik ekstrim lain yang terhubung dengan O. Dalam
permasalahan ini ada dua kemungkinan titik ekstrim yang terhubung dengan O yaitu titik A dan D. Untuk
menentukan titik mana yang terpilih untuk iterasi selanjutnya dapat dilihat dari koefisien-koefisien pada
fungsi tujuannya. Jika koefisien a b dan masalahnya memaksimumkan maka penyelesaian akan
bergerak sejalan dengan kenaikan b. Jadi,iterasi selanjutnya terjadi di titik D. Di titik D ini proses diulang
untuk melihat apakah ada titik ekstrim lain yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Demikian
seterusnya sehingga diperoleh nilai optimum. Cara penentuan titik awal feasible pada metode simpleks
adalah sebagai berikut :
Ubah permasalahan program linear kedalam bentuk kanonik.
D C
B
A O
Misal permasalahan tersebut terdiri atas n buah variabel dan m buah fungsi batasan, titik ekstrim
feasible awal ditentukan dengan terlebih dahulu mengambil sebanyak (n – m) variabel yang
disamadengankan nol, dan disebut sebagai variabel non basis. Variabel selain variabel non basis,
disebut sebagai variabel basis.
Penyelesaian tunggal yang dihasilkan dengan menetukan variabel basis, disebut dengan
penyelesaian basis. Untuk dapat menyelesaikan dengan metode simpleks penyelesaian basis awal
yang diperoleh harus merupakan penyelesaian basis awal yang feasible, yang memenuhi syarat non
negatif.
A. ALGORITMA SIMPLEKS
Berikut ini merupakan algoritma penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan
menggunakan Metode Simpleks.
1. Langkah 1 :
Ubah permasalahan menjadi bentuk kanonik.
2. Langkah 2 :
Tentukan variabel basis dan variabel non basis dari bentuk kanonik persamaan linear untuk mencari
penyelesaian basis awal yang feasible.
3. Langkah 3 :
Susun persamaan-persamaan ke dalam tablo simpleks. Berikut ini adalah cara menyusun bentuk
kanonik kedalam tablo simpleks.
Variabel
Bais Z X1 X2 ... Xn Xn+1 Xn+2 ... Xn+m
Nilai
Kanan Rasio
Z 1 -c1 -c2 0 0 ... 0 0
Xn+1 0 a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 b1
Xn+2 0 a21 a22 ... a2n 0 1 ... 0 b2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Xn+m 0 am1 am2 ... amn 0 0 ... 1 bm
Keterangan :
Nilai kanan adalah nilai di belakang tanda sama dengan dan sering disebut sebagai
penyelesaian.
Xn+1, Xn+2, ... , Xn+m merupakan simbol lain dari variabel slack yang biasa disimbolkan S1, S2, ... ,
Sm.
4. Langkah 4 :
Memilih entering variable yang biasa disimbolkan dengan ev. Entering variable adalah variabel non
basis yang masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya. Cara menentukan ev adalah :
Jika fungsi tujuan memaksimumkan
Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai negatif dengan angka
terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai
terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai
non negatif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti.
Jika fungsi tujuan meminimumkan
Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai positif dengan angka
terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai
terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai
non positif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti.
5. Langkah 5:
Memilih leaving variable yang biasa disimbolkan dengan lv. Leaving variable adalah variabel basis
yang akan keluar menjadi variabel non basis pada iterasi berikutnya. Berikut adalah cara penentuan
lv.
Baik untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan lv. Dipilih diantara variabal
basis yang memiliki nilai rasio terkecil. Rasio ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Rasio = ev kolom Elemen
Kanan Nilai
Hal yang perlu diperhatikan dalam mencari nilai rasio adalah sebagai berikut :
Baris fungsi tujuan tidak dicari nilai rasionya.
Jika elemen pada kolom ev nol atau negatif maka nilai rasio diabaikan.
Baris yang memuat variabel yang terpilih sebagai lv disebut sebagai baris pivot. Irisan antara
baris pivot dan kolom pivot disebut sebagai elemen pivot.
6. Langkah 6 :
Memperbaiki nilai-nilai pada baris persamaan pivot, caranya :
Nilai baris pivot baru = pivot Elemen
lamapivot baris Nilai
7. Langkah 7 :
Memperbaiki nilai pada baris lain selain baris pivot, dengan aturan :
Nilai baris baru = nilai baris lama – (koefisien kolom ev nilai baris pivot baru )
8. Langkah 8 :
Ulangi langkah 4 sampai dengan 8 sampai diperoleh penyelesaian optimal.
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas pengubahan permasalahan program linear menjadi bentuk
standar
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya menggunakan metode simpleks
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
35 menit
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kelebihan metode simpleks.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 10
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode
simpleks menggunakan teknik M.
Tujuan : 3.3.1 Menetukan bentuk kanonik dari permasalahan dengan penyelesaian
awal semu.
3.3.2 Menggunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan permasalahan
yang mengandung variabel semu dengan metode simpleks teknik M.
MATERI
PENYELESAIAN AWAL SEMU
Perhatikan contoh permasalahan linear berikut :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)
3j + 4k 5 (2)
i, j, k 0
Meminimumkan : W 6i 15j 24k = 0
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 = 3 (1)
3j + 4k S2 = 5 (2)
i, j, k, S1, S2 0
Bentuk kanonik tersebut terdiri atas dua persamaan dan lima variabel tek diketahui. Sehingga
untuk menentukan penyelesaian basis awal terlebih dahulu harus menentukan sebanyak n – m = 5 – 2 =
3 variabel non basis. Misalkan dipilih i = j = k = 0 maka diperoleh variabel basisnya adalah S1, dan S2
dengan nilai S1 = -3 dan S2 = -5. Karena terdapat variabel basis yang nilainya negatif, berarti penyelesaian
basis awal yang diperoleh merupakan penyelesaian basis awal yang tidak feasible.
Untuk mengatasi hal tersebut maka pada bentuk kanonik untuk setiap persamaan yang tidak
mengandung variabel slack ditambah variabel semu pada ruas kirinya. Variabel semu biasa disimbolkan R
dengan R 0. Penambahan variabel ini diperlakukan seperti variabel slack maupun variabel surplus.
Sebagai konsekuensi dari penggunaan variabel semu ini adalah penambahan sebesar MR pada ruas
kanan fungsi tujuan yang meminimalkan dan adanya pengurangan sebesar MR pada ruas kanan fungsi
tujuan yang memaksimalkan (M adalah bilangan positif yang sangat besar)
Karena variabel semu tidak berarti pada masalah aslinya, maka prosedur akan valid hanya
apabila pada saat optimasi, variabel semu ini bernilai nol. Dengan kata lain, variabel semua hanya
digunakan pada awal penyelesaian dan sebagai konsekuensinya harus dinolkan pada penyelesaian
akhirnya. Apabila ada variabel semu yang tidak sama dengan nol pada penyelesaian akhirnya berarti
penyelesaian tersebut tidak feasible.
METODE PENALTI / TEKNIK M
Metode ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan program linear yang bentuk kanoniknya mengandung variabel semu.
Perhatikan contoh berikut.
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)
3j + 4k 5 (2)
i, j, k 0
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2)
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1)
3j + 4k S2 + R2 = 5 (2)
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 – 2i – 6k + S1
(2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 – 3j – 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2
Sehingga bentuk kanoniknya menjadi :
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2) = 6i + 15j + 24k + M (8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2)
W = (6 – 2M)i + (15 – 3M)j + (24 – 10M)k + MS1 + MS2 + 8M
W + (–6 + 2M)i + (–15 + 3M)j + (–24 + 10M)k – MS1 – MS2 = 8M
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3
3j + 4k S2 + R2 = 5
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Ambil sebanyak 7 – 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5
sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = 8M.
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Ket Var.
Basis W I j k S1 S2 R1 R2 Nilai Kanan Rasio
Iterasi Awal W 1 -6+2M -15+3M -24+10M -M -M 0 0 8M -
ev = k R1 0 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2
lv = R1 R2 0 0 3 4 0 -1 0 1 5 5/4
Iterasi (1) W 1 2-(4M/3) -15+3M 0 -4+(2M/3) -M 4-(5M/3) 0 12+3M -
ev = j k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 ½ -
lv = R2 R2 0 -4/3 3 0 2/3 -1 -2/3 1 3 1
Iterasi (2) W 1 -14/3 0 0 -2/3 -5 4/6 - M 5 – M 27
Optimal k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 ½
j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 -2/9 1/3 1
Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian
optimal tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k) =
2
1 1, 0, dengan
Wmin = 27.
METODE PEMBELAJARAN
Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi
Mengulas tentang metode simpleks
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks untuk
35 menit
menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu.
Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear
b. Kegiatan Kelompok
Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan
penyelesaiannya menggunakan metode simpleks teknik M.
Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat
yang telah disediakan.
c. Diskusi antar kelompok
3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di
posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan
atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.
3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu
kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan
bertanya pekerjaan kelompok lain.
Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang
sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.
5 menit
30 menit
5 menit
40 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kejadian penyelesaian awal
semu.
5 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 11
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.4 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode
simpleks Dua Tahap.
Tujuan : 3.4.1 Menentukan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap
3.4.2 Menentukan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II
3.4.3 Menentukan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II
3.4.3 Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linear
MATERI
METODE SIMPLEKS DUA TAHAP
Pemberian koefisien M pada variabel semu fungsi tujuan untuk metode penalti, ternyata
menghambat sekali. Karena pemberian bilangan yang sangat besar tersebut akan mengurangi kecepatan
perhitungan. Jika pada tablo optimal simpleks dari permasalahan yang mengandung variabel semu
ternyata R tidak sama dengan nol, maka penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian optimal yang
tidak feasible.
Untuk mengatasi hal tersebut maka dikembangkan metode dua tahap. Sesuai dengan namanya,
cara kerjanya dibagi menjadi dua tahap. Tahap I bertujuan untuk mengetahui apakah R dalam suatu
permasalahan dapat mencapai nilai nol atau tidak. Jika R mencapai nilai nol berarti penyelesaian optimal
yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang feasible. Jika R tidak nol berarti
penyelesaian optimal yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang tidak
feasible. Jika hal ini terjadi maka tahap II pada metode dua tahap tidak perlu dikerjakan. Tahap II pada
metode duan tahap bertujuan untuk mencari penyelesaian optimal dari permasalahan aslinya.
LANGKAH METODE DUA TAHAP
Tahap I
Mencari nilai minimal dari jumlah variabel-variabel semu terhadap fungsi batasan pada masalah
aslinya.
Meminimumkan r =
n
1iiR
Jika rmin = 0 maka dilanjutkan ke tahap II
Jika rmin > 0 maka tidak dilanjutkan ke tahap II
Tahap II
Menggunakan penyelesaian basis optimal pada tahap I sebagai penyelesaian basis awal pada
masalah aslinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan conoth berikut.
Contoh
Tahap I
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)
3j + 4k 5 (2)
i, j, k 0
Meminimumkan : r =
2
1iiR
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1)
3j + 4k S2 + R2 = 5 (2)
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 – 2i – 6k + S1
(2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 – 3j – 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2
Sehingga bentuk kanoniknya menjadi :
Meminimumkan : r =
2
1iiR = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2
r + 2i + 3j + 10k – S1 – S2 = 8
Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3
3j + 4k S2 + R2 = 5
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Ambil sebanyak 7 – 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5
sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan r = 8.
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Keterangan Var.
Basis R i j K S1 S2 R1 R2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal r 1 2 3 10 -1 -1 0 0 8 -
ev = k R1 0 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2
lv = R1 R2 0 0 3 4 0 -1 0 1 5 5/4
Iterasi (1) r 1 -4/3 3 0 2/3 -1 -5/3 0 3 -
ev = j K 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2 -
lv = R2 R2 0 -4/3 3 0 2/3 -1 -2/3 1 3 1
Iterasi (2) r 1 0 0 0 -5/3 0 -1 -1 0
Optimal k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2
j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 -2/9 1/3 1
Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian
optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa rmin = 0 berarti masalah tersebut
memiliki penyelesaian yang feasible dan dapat dilanjutkan pada tahap II.
TAHAP II
Karena rmin = 0 berarti R1 = R2 = 0 sehingga variabel-variabel semu pada perhitungan tahap II dapat
diabaikan. Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi :
3
1i + k –
6
1S1 =
2
1 (1) dan
9
4 i + j +
9
2S1
3
1 S2 = 1 (2)
Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi :
Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k
Terhadap batasan : 3
1i + k –
6
1S1 =
2
1
9
4 i + j +
9
2S1
3
1 S2 = 1
i, j, k, S1, S2 0
Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 5 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan
pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa :
(1) 3
1i + k –
6
1S1 =
2
1 k =
2
1 –
3
1i +
6
1S1
(2) 9
4 i + j +
9
2S1 –
3
1S2 = 1 j = 1 +
9
4i –
9
2S1 +
3
1S2
Sehingga penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : k =2
1–
3
1i +
6
1S1 dan j = 1 +
9
4i–
9
2S1 +
3
1S2
dengan : W = 6i + 15j + 24
W = 6i + 15
21 S
3
1 + S
9
2 - i
9
4 + 1 + 24
1S
6
1 i
3
1 -
2
1
W = 3
14i +
3
2S1 +5S2 + 27
W 3
14i
3
2S1 5S2 = 27
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Keterangan Variabel
Basis W i j k S1 S2 Nilai Kanan Rasio
Iterasi awal W 1 -14/3 0 0 -2/3 -5 27
(0) k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/2
Optimum j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 1
Karena pada iterasi awal (0) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka
penyelesaian optimal telah tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k)
=
2
1 1, 0, dengan nilai Wmin = 27.
METODE PEMBELAJARAN
Practice Rehearsal Pairs
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan a. Apersepsi
Mengulas kembali tentang metode penalti.
b. Motivasi
1. Memberikan permasalahan program linear yang penyelesaian
awalnya semu
2. Mengungkapkan kesulitasn yang dialami pada saat
menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode
penalti
5 menit
10 menit
3. Memberikan wawasan tentang metode dua tahap sebagai
salah satu alternatif untuk menyelesaikan permasalahan
program linear
2. Penyajian Eksplorasi
Memberi penjelasan tentang metode simpleks dua tahap untuk
menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu.
Elaborasi
a. Memberikan permaslahan program linear yang penyelesaian
awalnya semu.
b. Meminta mahasiswa berkelompok.
c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan meggunakan metode simpleks
dua tahap dan menjawab pertanyaan yang ada pada LKM.
d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi
Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang
konsep yang harus dipahami mahasiswa.
10 menit
5 menit
5 menit
30 menit
30 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut :
a. Penentuan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap
b. Penentuan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II
c. Penentuan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II
d. Penentuan nilai optimum dari permasalahan program linear
10 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 12
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks
Tujuan : 3.5.1 Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks
3.5.2 Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks
3.5.3 Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks
MATERI
INTERPRETASI TABLO OPTIMAL SIMPLEKS
Dalam suatu tablo optimal simpleks terdapat beberapa informasi penting yang dapat digunakan
sebagai bahan pertimbangan dalam meningkatkan nilai keoptimalan fungsi tujuan. Informasi penting
tersebut meliputi : 1. Penyelesaian optimal
2. Status sumber
3. Bobot satuan (unit worth) suatu sumber
Contoh 2.5
Sebuah industri rumah tangga memproduksi dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan B dengan bahan dasar
berupa terigu, keju dan daging. Kebutuhan dasar utama per unit produksi dan batas maksimum
persediaan bahan dasar utama untuk satu masa produksi serta laba dari penjualan kue tertera pada tabel
berikut :
Bahan Dasar
Utama
Jenis Kue Persediaan
Maksimum Satuan
A B
Terigu 12 8 52 Kg
Keju 0 6 30 ons
Daging 4 0 12 ons
Laba 6 10 Ratusan Rupiah
Permasalahan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matematis menjadi :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : P = 6a + 10b
Terhadap batasan : 12a + 8b 52 (1)
6b 30 (2)
4a 12 (3)
a, b 0
Memaksimumkan : P – 6a – 10b = 0
Terhadap batasan : 12a + 8b + S1 = 52 (1)
6b + S2 = 30 (2)
4a + S3 = 12 (3)
a, b, S1, S2, S3 0
Apabila permasalahan tersebut diselesaikan dengan metode simpleks, maka diperoleh tablo simpleks
berikut :
Keterangan Variabel
Basis P a b S1 S2 S3
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal P 1 -6 -10 0 0 0 0 -
0 S1 0 12 8 1 0 0 52 13/2
ev = b S2 0 0 6 0 1 0 30 5
lv = S2 S3 0 4 0 0 0 1 12 -
Iterasi P 1 -6 0 0 5/3 0 50 -
(1) S1 0 12 0 1 4/3 0 12 1
ev = a b 0 0 1 0 1/6 0 5 -
lv = S1 S3 0 4 0 0 0 1 12 3
Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56
(2) a 0 1 0 1/12 -1/9 0 1
Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5
S3 0 0 0 -1/3 4/9 1 28/3
PENYELESAIAN OPTIMAL
Dalam membaca informasi penyelesaian optimal, klasifikasi variabel sebagai variabel basis
maupun non basis tidak begitu penting. Variabel yang tidak tercantum dalam kolom variabel basis berarti
bernilai nol. Sedangkan nilsi variabel-variabel yang terletak pada kolom variabel basis dapat dilihat pada
kolom nilai kanan. Dari tablo optimal simpleks pada contoh 2.5 dapat diperoleh informasi seperti yang
terlihat pada tabel berikut:
Variabel Keputusan Nilai Optimal Keputusan
a 1 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis A sebanyak 1
B 5 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis B sebanyak 5
P 56 Keuntungan yang diperoleh sebesar Rp. 5.600,-
STATUS SUMBER
Status dari sumber dalam satu masa produksi diklasifikasikan menajdi dua jenis, yaitu :
Scarce, sumber dikatakan scarce apabila kapasitas persediaan sumber tersebut dipakai semua
Abundant, sumber dikatakan abundant apabila kapasitas persediaan sumber tersebut tidak dipakai
semua
Dalam pembahasan mengenai status sumber ini berkaitan dengan persediaan sumber yang
mempunyai batas maksimal, yang ebrarti fungsi batasan yang berkaitan dengan sumber tersebut
merupakan pertidaksamaan dengan tanda . Sehingga untuk permasalahan program linear dengan fungsi
batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda secara fisik tidak dapat dikaji tentang status sumber dari
permasalahan tersebut. Informasi mengenai status sumber dapat dilihat langsung dari tablo optimal
simpleks dengan cara memperhatikan nilai-nilai variabel slacknya. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan
dibahas status sumber pada permaslaahan dari contoh 2.5.
Sumber Variabel slack Status sumber
Sumber 1 (terigu) S1 = 0 Scarce / terpakai semua
Sumber 2 (keju) S2 = 0 Scarce / terpakai semua
Sumber 3 (daging) S3 = 28/3 Abundant / melimpah
Variabel slack yang bernilai positif berarti kapasitas dari sumber melimpah atau tidak digunakan
seluruhnya. Sedangkan apabila variabel slack bernilai nol berarti persediaan sumber dipakai semua dalam
produksi.
Berdasar tabel di atas terlihat bahwa terigu dan keju dipakai semua dalam produksi roti. Sehingga,
baik terigu maupun keju apabila kapasitasnya ditambah akan menigkatkan keuntungan. Untuk daging
kapasitas sebesar 12 ons dalam satu masa produksi ternyata tidak dipakai seluruhnya, jadi masih ada
sisa. Sehingga apabila kapasitas daging ditambah maka akan sia-sia karena tidak akan menambah
keuntungan.
BOBOT SATUAN (UNIT WORTH) SUATU SUMBER
Unit worth suatu sumber adalah laju penambahan nilai optimal dari fungsi tujuan sebagai akibat
kenaikan persediaan/kapasitas sumber. Informasi mengenai unit worth suatu sumber dapat diperoleh
langsung dari tablo optimal simpleks. Untuk lebih jelasnya akan dilihat unit worth dari tablo optimal
simpleks pada contoh 2.5 berikut :
Keterangan Variabel
Basis P a b S1 S2 S3
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56
(2) a 0 1 0 1/12 -1/9 0 1
Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5
S3 0 0 0 -1/3 4/9 1 28/3
Dari tabel di atas diperoleh informasi bahwa :
Unit worth dari sumber 1 (terigu) sebesar 1/2
Berarti penambahan kapasitas terigu setiap 1 kg menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp.
50,-
Unit worth dari sumber 2 (keju) sebesar 1
Berarti penambahan kapasitas keju setiap 1 ons menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp.
100,-
Unit worth dari sumber 3 (daging) sebesar 0
Berarti penambahan kapasitas daging tidak akan mempengaruhi keuntungan
Penambahan kapasitas sumber 2 (keju) seharusnya lebih diprioritaskan dibandingkan sumber yang lain.
METODE PEMBELAJARAN
Practice Rehearsal Pairs
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang metode penalti.
10 menit
2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang cara menginterpretasikan tablo optimal
simpleks
Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear.
b. Meminta mahasiswa berkelompok.
c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus
menyelesaiakan permassalahan dengan metode simpleks dan
menginterpretasi hasilnya.
d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim
yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.
Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang
konsep yang harus dipahami mahasiswa.
20 menit
5 menit
5 menit
40 menit
30 menit
25 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi
Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut :
a. Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks
b. Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks
c. Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks
15 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.
NIP : 19860715 2013032174
Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Kode Mata Kuliah : MKK206515
Bobot : 3 SKS
Semester : II
Pertemuan ke- : 13
Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan
menggunakan berbagai metode
Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks
Indikator : 3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat
optimasi dengan metode simpleks.
Tujuan : 2.6.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi
2.6.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif
2.6.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas
2.6.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible
MATERI
KEJADIAN KHUSUS PADA METODE SIMPLEKS
DEGENERASI
Dalam penggunaan metode simpleks syarat ke-feasible-an ditunjukkan dengan rasio minimal.
Dalam aplikasinya dimungkinkan terjadi rasio minimal tersebut lebih dari satu. Apabila hal itu terjadi maka
satu atau lebih variabel basis akan bernilai nol pada iterasi berikutnya. Kejadian seperti ini
dikatakanbahwa penyelesaian baru yang diperoleh adalah degenerate. Peristiwa ini terjadi disebabkan
permasalahan program linear tersebut memiliki satu fungsi batasan yang berlebih.
Contoh 2.6
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : Z = 3a + 9b
Terhadap batasan : a + 4b 8 (1)
a + 2b 4 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : Z – 3a – 9b = 0
Terhadap batasan : a + 4b + S1 = 8
(1)
a + 2b + S2 = 4
(2)
a, b, S1, S2 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis Z a b S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal
(0) Z 1 -3 -9 0 0 0 -
ev = b S1 0 1 4 1 0 8 2
lv = S2 S2 0 1 2 0 1 4 2
Iterasi (1) Z 1 -3/4 0 9/4 0 18 -
ev = a B 0 1/4 1 1/4 0 2 8
lv = S1 S2 0 1/2 0 -1/2 1 0 0
Iterasi (2) Z 1 0 0 3/2 3/2 18
Optimal B 0 0 1 1/2 -1/2 2
a 0 1 0 -1 2 0
Secara umum, pada peristiwa degenerasi, prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada
baris yang sama, nilai fungsi tujuan tidak berubah dan perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini
disebut cycling. Tabel pada contoh 2.6 diatas memperlihatkan degenerasi terjadi karena pada iterasi (1)
dan (2) walaupun variabel basis dan non basisnya berbeda, namun tetap menghasilkan nilai yang sama
untuk semua variabel dalam fungsi tujuan, yaitu : a = 0, b = 2, S1 = 0, dan S2 = 0 menghasilkan Wmaks = 18.
Jadi peristiwa degenerasi tidak selamanya seperti pada cycling, namun ada kemungkinan degenerasi
tersebut sifatnya hanya sementara saja (temporarily degenerate).
OPTIMAL ALTERNATIF
Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan.
Artinya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian. Perhatikan contoh
berikut ini :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : P = 2a + 4b
Terhadap batasan : a + 2b 5 (1)
a + b 4 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : P – 2a – 4b = 0
Terhadap batasan : a + 2b + S1 = 5 (1)
a + b + S2 = 4 (2)
a, b, S1, S2 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis P a B S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal (0) P 1 -2 -4 0 0 0 -
ev = b S1 0 1 2 1 0 5 5/2
lv = S1 S2 0 1 1 0 1 4 4
Iterasi (1) Optimal P 1 0 0 2 0 10 -
ev = a b 0 1/2 1 1/2 0 5/2 5
lv = S2 S2 0 1/2 0 -1/2 1 3/2 3
Iterasi (2) P 1 0 0 2 0 10
Optimal b 0 0 1 1 1 1
a 0 1 0 -1 2 3
Pada metode simpleks iterasi terjadi dari satu titik ekstrim ke titik ekstrim lain yang saling
terhubung. Pada tabel diatas terlihat bahwa penyelesaian optimal tercapai di titik (a, b) = (0, 5/2) dan
menghasilkan Pmaks = 10. Perhatikan iterasi (1), koefisien dari variabel non basis a pada fungsi tujuan
adalah nol, selanjutnya a masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya tanpa mengubah nilai P,
tetapi berakibat pada perubahan nilai variabelnya. Pada iterasi (2), a masuk menjadi variabel basis dan
memaksa S2 keluar menjadi variabel non basis. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal baru terjadi di (a, b)
= (3, 1) dan menghasilkan Pmaks = 10.
PENYELESAIAN TIDAK TERBATAS
Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : T = 2a + b
Terhadap batasan : a b 10 (1)
2b 40 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : T – 2a – b = 0
Terhadap batasan : a b + S1 = 5 (1)
2a + S2 = 40 (2)
a, b, S1, S2 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis P a b S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal (0) T 1 -2 -1 0 0 0 -
ev = b S1 0 1 -1 1 0 10 10
lv = S1 S2 0 2 0 0 1 40 20
Iterasi (1) T 1 0 -3 2 0 20 -
ev = b A 0 1 -1 1 0 10 -
lv = S2 S2 0 0 2 -2 1 20 10
Iterasi (2) T 1 0 0 -1 3/2 50 -
A 0 1 0 0 1/2 30 -
b 0 0 1 -1 1/2 10 -
Perhatikan tabel di atas. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal belum tercapai, S1 terpilih sebagai
entering variable, akan tetapi leaving variable-nya tidak dapat ditentukan. Jadi permasalahan tersebut
memiliki penyelesaian yang tidak terbatas.
Secara umum, perhatikan tabel diatas, a dan b merupakan variabel non basis. Salah satu variabel
ini akan terpilih menjadi entering variable yang akan masuk sebagai variabel basis pada iterasi
selanjutnya. Tetapi perhatikan bahwa semua fungsi batasan di kolom b adalah non-positif. Artinya, nilai b
dapat dinaikkan sampai tak hingga tanpa melanggar satupun batasan. Jadi dengan melihat tablo awal
simpleks, tanpa melalui perhitungan pun dapat disimpulkan bahwa permasalahan tersebut memiliki
penyelesaian yang tidak terbatas.
PENYELESAIAN TIDAK FEASIBLE
Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut :
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Memaksimumkan : K = 3a + 2b
Terhadap batasan : 2a + b 2 (1)
3a + 4b 12 (2)
a, b 0
Memaksimumkan : K – 3a – 2b + M(12 – 3a – 4b + S2)= 0
Terhadap batasan : 2a + b + S1 = 2 (1)
3a + 4b – S2+ R = 12 (2)
a, b, S1, S2, R 0
Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :
Keterangan Variabel
Basis K a b S1 S2 R
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal (0) K 1 –3 – 3M –2 – 4M 0 M 0 0 -
ev = b S1 0 2 1 1 0 0 2 2
lv = S1 R 0 3 4 0 -1 1 12 3
Iterasi (1) T 1 1 + 3M 0 2 + 4M M 0 4 – 4M
Optimum b 0 2 1 1 0 0 2
R 0 -5 0 -4 -1 1 4
Pada tabel tersebut terlihat bahwa pada iterasi (1) telah tercapai penyelesaian optimum. Untuk
penyelesaian optimum tersebut diperoleh nilai variabel semu R = 4. Hal ini menunjukkan bahwa
penyelesaian permasalahan tersebut merupakan penyelesaian yang tidak feasible.
METODE PEMBELAJARAN
Kelompok belajar (The Study Group)
LANGKAH PEMBELAJARAN
No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan
program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang
tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak
tunggal.
15 menit
2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat
kejadian khusus berikut :
1). Degenerasi
2). Optimal alternatif
3). Penyelesaian tidak terbatas
4). Penyelesaian tidak layak
b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok
Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai
permasalahan pemrograman linear.
Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan
hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.
5 menit
10 menit
50 menit
50 menit
3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan ciri kejadian khusus pada metode simpleks
20 menit
MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD, Laptop
SUMBER BELAJAR
[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga
[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains
[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga
[4] Handout Kuliah
PENILAIAN
3. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test
4. Bentuk Instrumen : Tes Uraian
METODE PENALTI (TEKNIK M)
Tentukan nilai a dan b dari permasalahan berikut dengan Metode Penalti (Teknik M)
Meminimumkan : P = 6a + 4b
Terhadap batasan : 3a + b 30
a + b = 15
a + 2b 24
a, b 0
\
S O L U S I
Bentuk Kanonik
Permasalahan Bentuk Kanonik
Meminimumkan :
P = 6a + 4b
Terhadap batasan:
3a + b 30
a + b = 15
a + 2b 24
a, b 0
Variabel basis dan non basis
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Tablo Simpleks
Kesimpulan :
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
PENDALAMAN MATERI
1. Pada kasus seperti apa metode penalti (Teknik M) digunakan?
Jawab : ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2. Batasan apa saja yang ditambah dengan variabel semu? Berikan Alasannya!
Jawab : ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
3. Apa ciri batasan yang harus ditambah dengan variabel semu?
Jawab : ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
4. Pada fungsi tujuan (meminimumkan) apa arti penambahan MR? Bagaimana jika kasusnya
meminimumkan?
Jawab : ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Anggota Kelompok :
1. __________________________ ( ______________________ )
2. __________________________ ( ______________________ )
3. __________________________ ( ______________________ )
4. __________________________ ( ______________________ )
METODE DUA TAHAP
PERMASALAHAN
Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks dua tahap :
Meminimumkan : P = 20r + 30s
Terhadap batasan : 2r + s 10
r + 4s 12
r, s 0
PENYELESAIAN
TAHAP I
Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik
Meminimumkan : P = 20r + 30s
Terhadap batasan : 2r + s 10 (1)
r + 4s 12 (2)
r, s
Meminimumkan : W =
2
1iiR
Terhadap batasan : 2r + s S1 + R1 = 10 (1)
r + 4s S2 + R2 = 12 (2)
i, j, k, S1, S2, R1, R2 0
..... [ 10 ]
Karena (1) 2r + s S1 + R1 = 10 R1 = 10 – 2r – s + S1
(2) r + 4s S2 + R2 = 12 R2 = 12 – r – 4s + S2 Maka R1 + R2 = 22 – 3r – 5s + S1 +
Sehingga bentuk kanoniknya menjadi :
Meminimumkan : W =
2
1iiR = 22 – 3r – 5s + S1 + S2 W + 3r + 5s – S1 – S2 = 22
Terhadap batasan : 2r + s S1 + R1 = 10
r + 4s S2 + R2 = 12
r, s, S1, S2, R1, R2 0
Permasalahan tersebut memiliki ___ persamaan dengan ___ variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Ambil sebanyak ____ variabel non basis yaitu : _________________. Akibatnya R1 = ___, R2 = ___
sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = ____
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Keterangan Var.
Basis
Nilai
Kanan Rasio
Iterasi Awal
ev = .....
lv = .....
Iterasi (1)
ev = .....
lv = .....
Karena pada iterasi _____ semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian
optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa Wmin = ______.
TAHAP II
Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi :
Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi :
Meminimumkan :
Terhadap batasan :
Permasalahan tersebut memiliki ____ persamaan dengan ____ variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya
permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :
Mencari penyelesaian basis awal feasible.
Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan
pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa :
(1)
(2)
Penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : r = ________________ dan s = ________________
dengan : P = 20r + 30s
P =
Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :
Keterangan Variabel
Basis P r s S1 S2
Nilai
Kanan Rasio
P 1 0 0 –50/7 –40/7 140
r 0 1 0 4/7 1/7 4
s 0 0 1 1/7 2/7 2
Kesimpulan:
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Anggota : 1. ________________________
2. ________________________
3. ________________________
4. ________________________
ISOLINE
Suatu industri kecil memproduksi kue jenis A dan B. Kue tersebut dibuat dari 2 bahan pokok. Kebutuhan bahan
setiap kue sebagai berikut :
Jenis Kue
Bahan Pokok Keterangan (dalam ribuan)
X Y Bahan
Baku
Biaya
Produksi Harga Jual
A 3 ons 1 ons 9 2 14
B 2 ons 2 ons 12 3 19
Kapasitas
Bahan 180 ons 100 ons
Pada satu periode produksi, industri kecil tersebut paling tidak harus membuat kue sebanyak 20 buah.
Jika industri tersebut menginginkan laba sebesar-besarnya, maka tentukan model matematika dari permasalahan
tersebut, kemudian cari penyelesaiannya dengan Metode grafik teknik isoline.
POST TEST
Tentukan solusi dari permasalahan berikut ini menggunakan metode grafik dengan teknik isoline :
1. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi :
Fungsi Tujuan : Memaksimumkan Z = 40a + 30b
Terhadap kendala : 2a + b 20
2a + 3b 32
2a – b 0
b 2 dan a 0
2. Tentukan nilai t dan u yang memenuhi :
Fungsi Tujuan : Meminimumkan P = 20t + 30u
Terhadap kendala : 2t + u 10
t + u 14
t + 4u 12
t 8 dan u 0
KEJADIAN KHUSUS METODE GRAFIK
ANGGOTA KELOMPOK
1. ______________________________ NIM : ___________________
2. ______________________________ NIM : ___________________
3. ______________________________ NIM : ___________________
4. ______________________________ NIM : ___________________
5. ______________________________ NIM : ___________________
1. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi :
Fungsi tujuan : Memaksimumkan W = 3a + 9b
Terhadap kendala : a + 4b 8
a + 2b 4
a, b 0
SOLUSI :
Nilai maksimum Wmaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )
Perhatikan daerah feasiblenya kemudian jawab pertanyaan berikut :
1. Titik mana saja yang menjadi batas dari daerah feasiblenya ?
Jawab : _____________________________________________________________________
2. Adakah batasan yang sama sekali tidak mempengaruhi daerah feasible ?
Jawab : _____________________________________________________________________
3. Apabila batasan yang tidak mempengaruhi daerah feasible tersebut direduksi (dihilangkan) apakah
daerah feasible-nya berubah ?
Jawab : _____________________________________________________________________
Batasan yang memiliki sifat seperti pada pertanyaan 2 dan 3 disebut sebagai batasan redundan (redundant
constrains)
Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut
dengan ________________________________________
2. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi :
Fungsi tujuan : Memaksimumkan T = 2x + 4y
Terhadap kendala : x + 2y 5
x + y 4
x, y 0
(Kerjakan dengan isoline dan titik ekstrim, kemudian bandingkan hasilnya)
SOLUSI :
Titik ekstrim
(x, y) T = 2x + 4y
Nilai maksimum Tmaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )
Penjelasan : _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Adakah keanehan yang anda temukan ? atau kesulitan yang anda hadapi dalam menentukan titik optimumnya
? Jika ada, tuliskan :
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut
dengan ________________________________________
3. Tentukan nilai r dan s yang memenuhi :
Fungsi tujuan : Memaksimumkan K = 3r + 2s
Terhadap kendala : 2r + s 2
3r + 4s 12
r, s 0
SOLUSI :
Nilai maksimum Kmaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )
Penjelasan : _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut
dengan ________________________________________
4. Tentukan nilai t dan u yang memenuhi :
Fungsi tujuan : Memaksimumkan S = 2t + u
Terhadap kendala : t – u 10
2t 40
t, u 0
(Kerjakan dengan isoline dan titik ekstrim, kemudian bandingkan hasilnya)
SOLUSI :
Titik ekstrim
(t, u) T = 2t + u
Nilai maksimum Smaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )
Penjelasan : _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut
dengan ________________________________________
MODEL MATEMATIKA PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR
1. Suatu perusahaan memproduksi 3 jenis barang dengan 2 bahan yang tersedia. Kebutuhan barang dan
ketersediaan sumber terlihat pada tabel berikut ini:
Sumber Barang
Kapasitas Sumber
K L M
P 3 4 2 Minimal 60 unit
Q 5 1 3 Minimal 75 unit
Waktu 8 jam 5 jam 7 jam Maksimal 450 jam
Biaya Produksi 45 30 50
(dalam ribuan) Biaya Transport 15 12 13
Harga Jual 90 75 80
Kebijakan yang diambil perusahaan :
Dalam satu periode produksi, produk K dibuat lebih banyak dari pada produk L dengan selisih tidak kurang dari
10 unit. Tentukan model matematika dari permsalahan tersebut apabila :
a. Perusahaan ingin menekan biaya pengeluaran
b. Perusahaan ingin memperoleh hasil penjualan barang yang sebesar-besarnya
MENENTUKAN DAERAH FEASIBLE
PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR
Suatu perusahaan memproduksi 2 jenis barang dengan 2 buah bahan mentah. Kebutuhan bahan untuk setiap
unit barang terlihat pada tabel berikut!.
Barang Bahan Baku Biaya Produksi
(Jutaan Rp.)
Biaya Distribusi
(Jutaan Rp.)
Harga Jual
(Jutaan Rp.) X Y
A 1 3 70 13 113
B 2 2 60 12 82
Dalam satu periode produksi, perusahaan tersebut memiliki bahan X paling tidak 240 unit, dan bahan Y tidak
lebh dari 400 unit. Banyak produkdi barang A tidak boleh diproduksi melebihi 4 kali banyak produksi barang B.
Perusahaan menginginkan pendapatan sebesar-besarnya.
Tentukan model matematikanya!
Gambarkan Daerah Feasible.nya!
QUIZ I (Tipe A)
Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap
barang terlihat pada tabel berikut.
Jenis
Barang
Bahan Utama Keuntungan
per unit X Y
A 3 2 Rp. 30.000,00
B 1 2 Rp. 20.000,00
Kapasitas
Bahan
Utama
Bahan X disediakan
tidak kurang dari 60 unit
tetapi tidak melebihi
240 unit
Bahan Y disediakan
tidak melebihi 120 unit
Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang A diproduksi paling tidak 10 unit. Kebijakan perusahaan
menetapkan bahwa 3 kali banyak produksi barang A tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang B.
Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mendapatkan
keuntungan sebesar-besarnya!
QUIZ I (Tipe B)
Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap
barang terlihat pada tabel berikut.
Bahan
Utama
Jenis Barang Kapasitas
X Y
A 2 3
Bahan A disediakan tidak kurang
dari 60 unit tetapi tidak melebihi
240 unit
B 2 1 Bahan B disediakan tidak
melebihi 120 unit
Biaya
Produksi
Rp.
400.000,00
Rp.
600.000,00
Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang Y diproduksi paling tidak 10 unit. Kebijakan perusahaan
menetapkan bahwa 3 kali banyak produksi barang Y tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang X.
Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mengeluarkan biaya
produksi sekecil-kecilnya!
QUIZ I (Tipe C)
Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap
barang terlihat pada tabel berikut.
Jenis
Barang
Bahan Utama Keuntungan
per unit P Q
X 1 1 Rp. 30.000,00
Y 1 3 Rp. 20.000,00
Kapasitas
Bahan
Utama
Bahan P disediakan
tidak kurang dari 90 unit
Bahan Q disediakan
tidak kurang dari 150
unit
Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang A diproduksi paling tidak 20 unit. Kebijakan perusahaan
menetapkan bahwa banyak produksi barang A tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang B. Tentukan
model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mendapatkan keuntungan
sebesar-besarnya!
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 2014/2015
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR
Waktu : 90 Menit
Semester : II
Dosen Pengampu : Erika Laras Astutiningtyas, S.Pd., M.Pd.
KETENTUAN UJIAN:
Sifat ujian : Closed Book
Boleh menggunakan alat bantu hitung selain handphone.
KASUS:
UD. Bahagia adalah suatu industri yang bergerak dalam bidang handycraft. Ada 2 jenis handycraft yang dibuat, yaitu
jenis X dan jenis Y. Kedua jenis handycraft tersebut akan dipasarkan per lusin. Untuk membuat 1 lusin handycraft X
diperlukan 2m kayu dan 1m papan. Sedangkan untuk membuat 1 lusin handycraft Y diperlukan 3m kayu dan 1m
papan. Handycraft jenis X lebih digemari dari pada jenis Y sehingga X harus diproduksi lebih banyak daripada Y.
Disisi lain, industri tersebut memiliki kebijakan bahwa selisih produksi kedua jenis produk tersebut tidak lebih dari 6
lusin. Pada satu periode produksi, industri tersebut hanya memiliki 72m kayu dan 26m papan. Tabel berikut
menunjukkan biaya operasional dari UD. Bahagia.
Jenis Hadycraft
Biaya Operasional (per unit) Harga Jual
(per unit) Biaya Produksi Biaya
Pengemasan
X Rp. 1.800,00 Rp. 300,00 Rp. 2.700,00
Y Rp. 2.000,00 Rp. 400,00 Rp. 3.000,00
UD. Bahagia ingin menghitung berapa laba terbesar yang bisa diperoleh dan menentukan berapa lusin masing-
masing jenis handycraft harus diproduksi untuk mencapai laba terbesar itu.
SOAL
1. Tentukan model matematika untuk permasalahan di atas!
2. Selesaikan permasalahan tersebut dengan metode grafik teknik isoline!
_Semoga Berhasil dengan Jujur_
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2014/2015
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA
Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156
Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Semester : II
Waktu : 90 Menit Dosen Pengampu : Erika Laras Astutiningtyas, M.Pd.
KETENTUAN UJIAN: Sifat ujian : Closed Book
Boleh menggunakan alat bantu hitung selain handphone.
Tuliskan tanggal, bulan dan tahun lahir pada lembar jawab
A. Kasus I : Untuk mahasiswa yang bulan lahir bulan Januari, Pebruari, Maret, April
Suatu perusahaan memproduksi barang A dan B dengan 2 jenis bahan mentah P dan Q. Kebutuhan bahan untuk
setiap barang terlihat pada tabel berikut.
Barang Bahan Laba per unit
(ratusan) P Q
A 2 2 12
B 3 1 18
Kapasitas Maksimal 96
unit
Minimal 48
unit
Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks.
Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan!
B. Kasus II : Untuk mahasiswa yang bulan lahirnya bulan Mei, Juni, Juli, dan Agustus
Suatu perusahaan memproduksi barang P dan Q dengan 2 jenis bahan mentah A dan B. Kebutuhan bahan untuk
setiap barang terlihat pada tabel berikut.
Bahan Barang
Kapasitas P Q
A 3 2 Maksimal 90 unit
B 3 5 Minimal 90 unit
Laba per unit
(ratusan) 24 16
Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks.
Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan!
C. Kasus IV : Untuk mahasiswa yang bulan lahirnya bulan September, Oktober, Nopember dan Desember
Suatu perusahaan memproduksi barang P dan Q dengan 2 jenis bahan mentah A dan B. Kebutuhan bahan untuk
setiap barang terlihat pada tabel berikut.
Bahan Barang
Kapasitas P Q
A 3 2 Maksimal 144 unit
B 1 2 Minimal 72 unit
Laba per unit
(ratusan) 24 16
Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks.
Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan!
QUIZ II
Waktu : 90 menit
Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks.
1. Memaksimumkan : Z = 15a + 30b
Terhadap batasan : 2a – 3b 30
a + 2b 40
a 0, b tidak dibatasi
2. Meminimumkan : T = 20x + 30y
Terhadap batasan : x + y 15
4x + 3y 75
3x + 2y 60
x tidak dibatasi, y 0
QUIZ II
Waktu : 90 menit
Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks.
1. Memaksimumkan : W = 50x + 25y
Terhadap batasan : 6x – 4y –60
2x + y 40
x tidak dibatasi, y 0
2. Meminimumkan : P = 24a + 16b
Terhadap batasan : a + b 10
2a + 3b 40
3a + 4b 50
a 0, b tidak dibatasi
QUIZ II
Waktu : 90 menit
Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks.
1. Memaksimumkan : F = 18r + 36s
Terhadap batasan : 6r – 9s 90
r + 2s 40
r 0, s tidak dibatasi
2. Meminimumkan : Y = 24t + 36u
Terhadap batasan : t + u 20
4t + 3u 60
3t + 2u 48
t tidak dibatasi, u 0
QUIZ II
Waktu : 90 menit
Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks.
1. Memaksimumkan : W = 40x + 20y
Terhadap batasan : 3x – 2y –45
2x + y 30
x tidak dibatasi, y 0
2. Meminimumkan : M = 45p + 30q
Terhadap batasan : p + q 20
2p + 3q 80
3p + 4q 100
a 0, b tidak dibatasi
QUIZ II
Waktu : 90 menit
Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks.
1. Memaksimumkan : H = 18p + 36q
Terhadap batasan : 6p – 9q 45
p + 2q 20
p 0, q tidak dibatasi
2. Meminimumkan : G = 32a + 48b
Terhadap batasan : a + b 30
8a + 6b 80
9a + 6b 96
a tidak dibatasi, b 0