Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ProgramIlmu Alam
2
Sutrima
Budi Usodo
Wahana
MATEMATIKAMATEMATIKA
Program Ilmu Pengetahuan AlamUNTUK SMA/MAKELAS XI
UN
TU
K S
MA
KE
LA
S X
IS
utrim
a B
ud
i Uso
do
MA
TE
MA
TIK
AM
AT
EM
AT
IKA
Wah
an
aP
rog
ram
Ilmu
Pen
ge
tah
uan
Ala
m
SutrimaBudi Usodo
Wahana
MAMAMAMAMATEMATEMATEMATEMATEMATIKATIKATIKATIKATIKAUntuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XIProgram Ilmu Pengetahuan Alam
Penulis : SutrimaBudi Usodo
Editor : Giyarti
Setting/Lay-out : Lilis Handayani
Desain Cover : Romiyanto
Wahana
MAMAMAMAMATEMATEMATEMATEMATEMATIKATIKATIKATIKATIKAUntuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XIProgram Ilmu Pengetahuan Alam
510.07SUT SUTRIMA w Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu
Pengetahuan Alam / penulis, Sutrima, Budi Usodo ; editor, Giyarti. — Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009x
ix, 352 hlm, : ilus. ; 25 cm
Bibliografi : hlm. 345IndeksISBN 978-979-068-854-4 (No. Jil. Lengkap)ISBN 978-979-068-856-8
1. Matematika-Studi dan PengajaranI. Judul II. Budi Usodo III. Giyarti
Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit : CV. HaKa MJ
Diterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2009
Diperbanyak oleh : ...
Hak Cipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi oleh Undang-Undang
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPAii
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membelihak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepadamasyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telahditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakandalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 9 Tahun2009 tanggal 12 Februari 2009.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen PendidikanNasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada DepartemenPendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan,atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial hargapenjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwabuku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indone-sia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajarini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kamiucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabuku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kamiharapkan.
Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat Perbukuan
Kata Sambutan
iii
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPAiv
Matematika menurut sifatnya merupakan ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu,maka sebagai ratu matematika mempunyai struktur yang sistematis dan logis tidak dapatdipengaruhi oleh ilmu yang lain, sedangkan sebagai pelayan Matematika menyediakan alatyang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pada ilmu-ilmu yang lain.Buku ini ditekankan pada cara berpikir sistematis dan logis, di samping menyajikan aplikasinyapada kehidupan sehari-hari. Dengan karakteristik ini diharapkan setelah mempelajari bukuini siswa-siswa dapat berpikir secara sistematis dan logis untuk mengambil kesimpulan.
Di dalam setiap awal bab buku ini disajikan tujuan yang hendak dicapai dalammempelajari pokok bahasan yang bersangkutan dan informasi beberapa syarat yangdiperlukan. Penjelasan materi disajikan secara singkat dengan menyertakan beberapa buktidari sifat atau teorema yang dipandang perlu. Untuk mempermudahkan pemahaman konsep,disajikan juga pembahasan satu atau beberapa contoh soal. Di akhir setiap bab disajikanrangkuman, math info, dan uji kompetensi sebagai evaluasi bagi siswa di dalam memahamisuatu konsep. Sebagai refleksi terhadap tingkat penguasaan konsep, setelah mengerjakan ujikompetensi siswa dapat melihat kunci jawaban untuk mengetahui tingkat penguasaan.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihakyang membantu penerbitan buku ini. Semoga buku ini mampu memberikan motivasi belajarbagi Anda dan nilai tambah bagi para pemakainya. Kritik dan saran kepada penulis akanditerima dengan senang hati dan akan penulis perhatikan untuk perbaikan pada edisiberikutnya.
Surakarta, April 2008
Penulis
Kata Pengantar
Tujuan PembelajaranTujuan pembelajaran mencakup kemampuan dasar yang diharapkan Anda miliki setelahmembaca materi pada bab yang bersangkutan.
PengantarPada bagian awal bab dimulai dengan pengenalan masalah nyata (contextual proplem) darimateri yang akan dipelajari. Hal ini dimaksudkan untuk memotivasi Anda tentang pentingnyamateri yang akan dipelajari.
Materi BahasanMeskipun matematika sendiri bersifat deduktif, namun pembelajarannya dapat menggunakanmetode induktif. Oleh karena itu agar mudah Anda ikuti, materi bahasan dideskripsikansecara induktif, diawali dari kajian hal yang konkrit ke abstrak, dari sederhana ke kompleks,dan dari mudah ke sulit. Dengan metode ini Anda diharapkan dapat menemukan sendirikonsep, sifat, aturan, atau rumus dalam matematika. Meskipun masih dimungkinkan denganbimbingan guru.
Contoh dan Pemecahan MasalahUntuk membantu Anda memahami konsep, sifat, aturan, dan rumus yang telah dikaji dalammateri bahasan, diperlukan contoh soal pemecahan masalah. Contoh soal pemecahanmasalah dalam buku ini dibedakan menjadi dua yaitu: mencari nilai suatu besaran yangtidak diketahui yang memenuhi syarat yang ditetapkan dalam soal, dan membuktikankebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan.
Soal LatihanSebagai evaluasi proses belajar Anda dalam menguasai materi bahasan, pada setiap akhirsub-bab diberikan latihan soal yang sajikan secara bergradasi. Latihan ini juga untuk melatihkecermatan, keakuratan dan kecepatan siswa dalam memecahkan masalah.
Soal AnalisisSoal ini bersifat masalah kontekstual yang berkaitan dengan permasalahan di dunia nyata.Hal ini bertujuan membantu Anda berpikir kritis, yang ditandai dengan keterampilan siswamemahami masalah, memilih pendekatan atau strategi pemecahan, menyelesaikan modelmatematika yang diperoleh, serta bagaimana menafsirkan solusi terhadap masalah semula.
Tugas MandiriSesuai namanya tugas ini untuk mengevaluasi sejauh mana Anda secara mandiri dapatmemecahkan masalah. Soal-soal untuk Tugas Mandiri bersifat terbuka, sehingga Anda dapatmencari jawaban atau strategi penyelesaian yang bervariasi. Tugas ini mendorong Andauntuk memperoleh informasi lebih lanjut dari berbagai sumber lain seperti internet, buku,atau artikel.
Petunjuk Penggunaan Buku
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPAvi
Tugas KelompokTugas ini diberikan dengan tujuan untuk melatih Anda berdiskusi, bekerjasama danberkomunikasi dengan teman Anda. Tugas dapat berbentuk gagasan tertulis, denganmenggunakan narasi, tabel, dan diagram serta lisan.
Math InfoMerupakan informasi tentang matematika untuk meningkatkan cakrawala pengetahuan yangrelevan dengan materi bahasan yang bersangkutan.
RangkumanMerupakan kumpulan konsep kunci bab yang dinyatakan dengan kalimat ringkas danbermakna, serta memudahkan Anda untuk memahami isi bab.
Uji KompetensiUntuk setiap materi bahasan diakhiri dengan uji kompetensi. Uji kompetensi terdiri atassoal-soal pemecahan masalah, untuk mengevaluasi sejauh mana kompetansi siswa terhadappemahaman konsep, penggunaan sifat, aturan dan rumus matematika dalam pemecahanmasalah yang berakitan dengan materi bahasan. Selain itu soal-soal Latihan Uji Kompetensidiharapkan dapat melatih ketrampilan Anda untuk meningkatkan kemampuan dalampemecahan masalah.
Aktivitas ProyekMerupakan kegiatan untuk mengaktifkan serta meningkatkan kreativitas dan kemampuanmotorik Anda. Sajian materi memuat tugas observasi, investigasi, eksplorasi, inkuiri atauhands-on activity.
Teka-Teki MatematikaTeka-teki matematika bersifat recreational mathematics dan bertujuan menimbulkan minat Andauntuk mengkaji lebih jauh tentang matematika.
Latihan Ulangan Umum SemesterLatihan Ulangan Umum Semester terdiri atas soal-soal pemesahan masalah yang meliputiseluruh materi bahasan dalam kurun waktu satu semester atau satu tahun. Terdapat duajenis soal yang disajikan dalam latihan ulangan umum semester ini, yaitu soal berbentukpilihan ganda, dan soal berbentuk uraian terstruktur. Soal-soal ini dipersiapkan untukdigunakan sebagai pelatihan Anda dalam menghadapi ulangan umum semester maupunulangan akhir tahun.
GlosariumMerupakan kumpulan istilah penting beserta penjelasannya yang dilengkapi dengan nomorhalaman kemunculan istilah dan disajikan secara alfabetis.
IndeksMerupakan kumpulan kata penting, antara lain objek Matematika, nama tokoh ataupengarang, yang diikuti dengan nomor halaman kemunculan dan disajikan secara alfabetis.
� ������������ ����
� ������������ ����
� �� ���������� �����
a ������������������������������� ��
� �a ������ ���������������������� ��
fD ������������������������� ����
fK ��������������������������� ����
fR ����������������� �������� ����
( )f A ������������ ���������������� ����
1f − ��������������� ����
ix ���������������
minx �� ����������������
maksx �� �����������������
if ������������������� ixx ���������������������� , ,1 2 , nx x x�
�� ��������
�� �������
iQ ��������������
iD �������������
iP ����������������
������ ��������
�� ������� ����������� 3 1Q Q−
dQ ���������������������� �������
� �� ��������
� ������� ����
2S �� �� ����������
( )P E ������� ������������
( )hF E �����������������������
cE �����������������������
'( )f c ���������� ������������� ��
( )nf ������������������� �����
n
n
d ydx
������������������� �����
Daftar Simbol dan Notasi
vii
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPAviii
Kata Sambutan ............................................................................................................................................. iiiKata Pengantar ............................................................................................................................................. ivPetunjuk Penggunaan Buku ....................................................................................................................... vDaftar Simbol dan Notasi ............................................................................................................................ viiDaftar Isi ........................................................................................................................................................ viii
BAB I STATISTIKA ............................................................................................................................. 11.1 Populasi, Sampel dan Data Statistika ............................................................................ 31.2 Menyajikan Data dalam Bentuk Tabel dan Diagram .................................................. 41.3 Menyajikan Data dalam Tabel Distribusi Frekuensi ................................................... 121.4 Ukuran Pemusatan (Tendensi Sentral) .......................................................................... 221.5 Ukuran Letak ....................................................................................................................... 321.6 Ukuran Penyebaran (Dispersi) ........................................................................................ 39Rangkuman ................................................................................................................................. 47Uji Kompetensi ........................................................................................................................... 49Aktivitas Proyek ......................................................................................................................... 54
BAB II PELUANG .................................................................................................................................. 552.1 Aturan Pencacahan ........................................................................................................... 572.2 Ruang Sampel dan Kejadian ........................................................................................... 722.3 Peluang suatu Kejadian .................................................................................................... 752.4 Peluang Kejadian Majemuk ............................................................................................. 822.5 Peluang Kejadian Bersyarat ............................................................................................ 89Rangkuman ................................................................................................................................ 94Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 96Aktivitas Proyek ........................................................................................................................ 100
BAB III RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI .................................................................................... 1013.1 Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut ....................................... 1033.2 Rumus Trigonometri Sudut Ganda ................................................................................ 1073.3 Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus ............................................................................. 1123.4 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut .................................................. 115Rangkuman ................................................................................................................................ 119Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 120Aktivitas Proyek ........................................................................................................................ 126
BAB IV LINGKARAN ........................................................................................................................... 1274.1 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O ........................................................................ 1294.2 Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) ................................................................... 1314.3 Persamaan Umum Lingkaran ......................................................................................... 1334.4 Perpotongan Garis dan Lingkaran ................................................................................. 1354.5 Garis Singung Lingkaran .................................................................................................. 137Rangkuman ............................................................................................................................... 144Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 145Aktivitas Proyek ......................................................................................................................... 151
LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER 1 ....................................................................................... 153
BAB V SUKUBANYAK .......................................................................................................................... 1615.1 Menghitung Nilai Suatu Sukubanyak ............................................................................ 1635.2 Pembagian Sukubanyak ................................................................................................... 165
Daftar Isi Diunduh dari BSE.Mahoni.com
Daftar Isi ix
5.3 Teorema Sisa ...................................................................................................................... 1685.4 Teorema Faktor .................................................................................................................. 1725.5 Persamaan Sukubanyak .................................................................................................. 173Rangkuman ................................................................................................................................ 176Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 178Aktivitas Proyek ........................................................................................................................ 182
BAB VI KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI .................................................................. 1836.1 Produk Cartesius dan Relasi ........................................................................................... 1856.2 Fungsi atau Pemetaan ...................................................................................................... 1886.3 Beberapa Fungsi Khusus ................................................................................................. 1936.4 Sifat-sifat Fungsi ................................................................................................................ 2006.5 Aljabar Fungsi .................................................................................................................... 2046.6 Komposisi Fungsi ............................................................................................................... 2066.7 Invers Fungsi ...................................................................................................................... 2126.8 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi ............................................................................ 217Rangkuman ................................................................................................................................ 221Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 222Aktivitas Proyek ........................................................................................................................ 226
BAB VII LIMIT FUNGSI ......................................................................................................................... 2277.1 Pengertian Limit ................................................................................................................ 2297.2 Teorema Limit .................................................................................................................... 2377.3 Laju Perubahan (Pengayaan) .......................................................................................... 2427.4 Kekontinuan (Pengayaan) ................................................................................................ 2447.5 Limit Tak Hingga (Pengayaan) ........................................................................................ 2477.6 Limit di Tak Hingga ............................................................................................................ 2507.7 Limit Fungsi Trigonometri ................................................................................................ 254Rangkuman ................................................................................................................................ 259Uji Kompetensi ........................................................................................................................... 261Aktivitas Proyek ......................................................................................................................... 264
BAB VIII TURUNAN ................................................................................................................................. 2658.1 Turunan Fungsi ................................................................................................................... 2678.2 Teorema Turunan Fungsi Aljabar ................................................................................... 2728.3 Turunan Fungsi Trigonometri .......................................................................................... 2818.4 Persamaan Garis Singgung Kurva ................................................................................. 2848.5 Kecepatan dan Percepatan ............................................................................................. 2888.6 Aturan L’Hopital ................................................................................................................. 294Rangkuman ................................................................................................................................ 297Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 299Aktivitas Proyek ........................................................................................................................ 304
BAB IX NILAI EKSTRIM FUNGSI DAN TEKNIK MEMBUAT GRAFIK FUNGSI .................. 3059.1 Fungsi Naik dan Fungsi Turun ......................................................................................... 3079.2 Nilai Ekstrim ........................................................................................................................ 3109.3 Ekstrim Mutlak pada Interval Tertutup ......................................................................... 3189.4 Menggambar Grafik Fungsi Aljabar .............................................................................. 3229.5 Masalah Pengoptimuman ................................................................................................ 325Rangkuman ................................................................................................................................ 331Uji Kompetensi .......................................................................................................................... 332Aktivitas Proyek ........................................................................................................................ 336
LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER 2 ........................................................................................ 338
Daftar Pustaka ............................................................................................................................................... 345Glosarium ....................................................................................................................................................... 346Indeks .............................................................................................................................................................. 349Kunci ................................................................................................................................................................ 351
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPAx
�������������������� 1
STATISTIKA�
BAB
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ��������������������������������������������������� ������� �
������������ ���� �������� �� ������ �������� ���������� �������� �
����������������������
� ����������������������������������������������� ������! �����������
����� ��
"� ���!�� ����������� ������������������������������������� ��
#� ������������� ������������������ ������������������������
$� ������������� ������������������ ������������������ ��������
%� ������������� ���������� �������� � �������� ������������ ����� ���
���������������
&� �� �����������������������������������������������
'� ��� ���������!�� ��� �� �������� ���������������� ��� ����������
��� ���������� ���
Tujuan Pembelajaran
����������� �� ����������������2
(���������������������� ��������)� ���*+,��-����������������������������������
������ �� ������� ������.������ ��/������0���� ����� �.�0�� ��������*+,���������������
� ����������� ��������)� ���������������������� �������������� ������������������ ����/����
��� �������� ���� �������� ������������������� ��������� �� �����*+,��������� �����-����
���������� ��������������������������)� ��������.�0��� ���������������������
���������������������������������� ������� ��������������������������������������� ���
.�0� �� ����������������� ��/�� ��������� �/��������� ���� )� ���*+,� �����
�� �������������
1�������������������������������� ������ ������������)������� ����������������������������
���2���������������������������������������2������� ����������� ����������2
-����������������� ��������������������������������� ����� �������������������
�������������3������������������ ������������ ������������������������ ���� �������
���������������� �� ���� ����� ����� ����������������� ��������������������
��� ������ ����������� ������������������� ����������� ����� ��������
��� �3� ��
�������������������������������������� �!
Pengantar
������"�###��������
�������������������� 3
���� � � ���� ����� ������ ��� � ��� ������
(��������� ����������������� ������� �������������������������������������
������������������ ��������������� �������������������������������������������
����� ������������������������������
�� ������� ������ ������� �����3�������������� ������������� �������
��� ��������� ������������������� �������4����������������������� �����
�������������������������������0������������������������������������������������������
��������������� ����*+,�����������������������
�� ��������������������� ����������������� ������������������� ����������������
����� �������/������� ��������� �������0�����������������������������������������
������&�$�����������$%&��� �����/��������5+�+(��������������������1��������������
���������������������������� �� ���6���������������������������������'�������������
������������� �����������������������
�� ������ ������������� ����������������� �� ������������ ������� ���
�� ����������������� ����������������������������� ������� �������������������
)����� �� ���� ������������������������������������������������������������
�������������!����� ������������ ������� ���� �� ��������� �������� ��� ���
�������������� ����� �������� �� ������ � ����������� ���������� ����!����� ���� ����
���������������)������� ���� ���������������������������������������������
��������������� ���������������� �� ������ � ����������
0��������������� ����������������������������������������� ������ �����/��1����
5+�+(������ ��+�������������� �����/��1�����5+�+(�������������������������������� ���
����������������� �������������� ����7������������������������ �������������
�����������/������������������������������3�� ��������/��1�����5+�+(����3+���������
(����������������� ���� ��������������������������������������� ������������� ������
������������������������������������������������� �����8������������� ������������
����������������������
6��������������� ������������ ����������� ������������� � � ��������� �����
������������ ��������������� ���������������������������������0��� �����!�����
������������������������������� � ��� ��� ��������� � ��� ���� �����6�������������!������
������������ ������������� �� ������� ������ ��������� �� 97����� ���� � ������ �� ���
�����������������9���������������������������!������������������� ����������������
����������9*� ��������������������:� �$;;�;;;�;;9��7������������������������ �
���������� ���� ���������������������������!��0��� ��� �� ����� ������������
����������!��������������������������������������������������������� ����� �
� � � ���������������������� ������������� �������������������������������
�������������� �������� ����������������� ��������������� ���/�� ������ �����������
��������(��)'(��� �*(���� � ����� �� �������������������� ������������� �
������ ����� ���������� �������� ����������������� �������� ������� ���/����������
���������� ������/����������������8���������/������ ����������������� ������������
������������ ������� ����������������������
����������� �� ����������������4
�� ������������������������
�� �������������������������
�� ��������������������!��������������������!�
�� ������������������������ ���
� 0��������������������������� ������)����3����)������� ���������
�� ������������ ;����/���� ������ �����/��������������������������
�� �����
�� (�����������������$���������� ��$;���'�'����������/� ����
�� 6� �������� ������������������������� ������� ��� �����
"� ��� ����������������������������;�� ���������������� ����� ��$&������������� ��
6���������:������*����������������������������������������������� �����
� ���� ���
�� 6� ������������������������������������������������������2
�� 0������������� �������������������!��������������������������!2
�� 0������������� ����������������������������� ��2
��� ��! "�� ��� � �� � ���������� ����� ���� #� �
6������������������������������ ��������������������������������������������
��� ������������� ��������������������������������� ��������������������������������
������������� �������� �������� ������������ ������������������������������� ���
���!�� ��������������� #� ���� �!����
-���������������������������������� ��������������� ���������� ���� ���
�������������������� �� ��� ������� ������������������� ������ ������� ������ �����
�������� �� ���� ������ ��������������������������������������������� ����������������
���������������� �������1������ ��������������������� �� ������������ �����
Latihan 1.1
$�
���"��
� �##��# �
%��� �#
&� �#'
���#� ��� �(��� �
&� � �� ��� �'
)� �
��� � �# �
&� � ����'
�����" �
�
"
#
$
%
&
'
<
�;
"
�
#
"
$
�
$;;�;;;
&$;�;;;
�� ;;�;;;
�;;;�;;;
%$;�;;;
';;�;;;
���$;;�;;;
�&$;�;;;
�� ;;�;;;
�$;;�;;;
�;;
� ;
$;
;;
�$;
;;
$;
�$;
";;
";;
�� �����
�� ��/������ ��
/� ��/����
/� ��/����
�� ������
�� ��/������ ��
����/������� �
�� ��/��������
����/������� �
������� �
�������������������� 5
� ���� ���� ������� ��*� � �%� +�� ���� �
��� �������
6� ���������������� �
=���������� ����(� �� ����>�����1���3�����4��� ����+��������
=��������� ����1�����>���������������1��������
=������� �� ����������4��������6������ �����
4���������� ����6������������� �/���������������������������������������
���� ���������� �+���������� �=���� �� ;;&
6������������������������� ������������������������������������������������������
�����?������� ��������� �=���� �� ;;&�����1����6������ ����� �� ��������������
$@�A�"�@�����������������&"B�A�<%B�
*���������
6��� ������������������������� ��������0���� ���� ������ ����������������������
������� ������������������� �����
� ���� ��,
%� ���*� � ����� &-*' %����� � �� &.'
���� ����� �/�� "�A�"" �������%��A�<$
4������ ������� �<�A� < �������%$�A�<$
6������ ������� $�A�"� �������&"�A�<%
=��� �� ������� $�A�"" �������%$�A�<"
=����� � ������� #�A�"" �������%;�A�<;
0����� ������� #�A�"" �������%%�A�<;
0���� ������� #�A�"; �������%"�A�<"
(������� ������� "�A�" �������%'�A�<'
(�������� ������� #�A�"" �������%$�A�<%
��� ��� ������� #�A�" �������$'�A�<
�� ����� ������� #�A�"" �������$%�A�<
C������ �� ������� #�A�"" �������$'�A�<"
������"���'�������)�����*�++�,�������+--$
����=��� $$ &# $� & % %& "'�
���� �
��� ��� � � �
) �� �� ) �� �� ) �� ��
/��� �
�0���
�0��
�0��"
�0��#
�$
�;
�
�'
;
�&
�
$
�;
�#
�
�$
�&
�'
�$
�;
�'
�'
�%
�'
�'
�%
�$
<;
<<
''
�;#
����������� �� ����������������6
6� ���������� �
�� 4� ��������������������� ���0���2
�� 4� ������ ������������������� ���0��"2
�� 4� ����������������������/������3������� ��=� �����+(�2
�� 4� ������ ������������������� �����2
�����������
�� (������ ����� ������ �������� ��������������������������/�� ����� �������
�� ���0����������<;����/��
�� (������ ������������ ����������������������������/����������������� ���0��"
������''� ���/�������������������� ��� �� ��� ���������� �� ��� �������� ���
��/����������� ����������������"'�����/������������� ������������������ �
�0��"������
×''�;;B D "��B
"'�
�� (����������� ������ ���������������������������/������������������/������3
������� ���� �����+(��������$$����/��
�� (�����������3�����3"�������3$�������� ��������������������/������3����������
$$�E�$��E�% �D��%'����/��
���������� ����������������
�%'
�;;B D ##B
"'�
�
6�������������������������������������������������������������������������� �
������ �!����4��� ������������ ���������������������������� ������������ ���������
���� �������� ������������ ���� ����6���������������������������������������
������������������������!�� ����
����� �� #� ��� � �#
6��� ��������� ���������� ��������� ���� ���������������������
������ ������������������������������������������������ ����������������
/����� �� ������� ����� ���/����� ���� ������� �������/����� �� ����������
������������6��� ��������������������������������)� ���������������������� �3
F�������.�����3����������������������� ���������
G ��������������������� ����������)� �����?
G ������������������������3������������������ ������������� ��������
�������H�����������������������������������������������! �������������� ��
���� ����������������������������������� ������?
G ��������������������� ��/� ����������� �� ���������� ��������������������
���� ����� ����������������������������� ��������/��������� ������ �����
���������������H�����������
�������������������� 7
*���������
6������������/������������������������������������������������������� ;;&
���� ����������������� �����
� ���� ��0
��������������������������������� ���������
�����������
6��� ����������� ������������������� ������������� ������� ���������
���������+�.������������/����(����#����(���+--$
�
6������ �������� ����������� ������������� �� ������� ������ � �����
������� ���� � �!��� ������� ������������ ����������������������
�0��1��23��������������������������������� ���������������0(��������������
������� ����� ����� ������ �� � � ������ ����� ������������ ���������������
"��������
���#� �� ���� �
81
�6
�0(
�0�
�01
/��� �� ���1
��$;;
��';;
��#;;
��%$;
��;$;
(7���������������������6������������������0(�������������������0��������������������01
�;;;
��';;
��%;;
��#;;
�� ;;
��;;;
����';;
��%;;
��#;;
�� ;;
������;
��$;;
��';;
��#;;
��%$;
��;$;
8�������������
=�������/�
����������� �� ����������������8
�����
���������4�.������������4.�/����(����#����(���+--$
����� �� #� ��)��#� � �
=������������� ��������������������������� �������������������������������
��������������������������������������������������������������������� �
������ ����0��������� ����� �������� �� � ���/�� ������ �������� ��������
����� ��������������������������� ������ ������������������������������ ��
������ �������������������/�����������������������
8������������������/������ ��������������������� ������ ���������"%;@�
����������� ���������� ������������������������������������>� �����������3
� �������� ��������������� ��������������������� ������ ���������� �������
��������� ��� ������� �� ����� ������� ��������������������� ������� �������
(� ����������������������������������
°�������������� ��� ��������������/�������� ���
D"%; ��������������� ����
*��������,
0���������� �������������������������� ���� ;;����/���� ���0����������
� ���� ��2
��������������������������������� �������� ���������!�� ����
�����������
1� ����������� ���������� ������������������������������������������ �������
������������� ����������������������������������� ���6�������� �����������
������� ���������������������������� ��
��';;
��%;;
��#;;
�� ;;
��;;;
��';;
��%;;
��#;;
�� ;;
��;
81����������6���������0(���������0����������01
8�������������
=�������/�
��$;;
��';;
��#;;
��%$;
��;$;
������3�� /��� �� ���1
���������� ";;
4���������� �$;
4����)��� ;;
4����������� $;
1� ��� �;;
.���3���� ;;
=��� �� ;;
�������������������� 9
��������� ≈ � × ° °";;
"%; D <;
�� ;;
4����������� ≈ � × ° ° $;
"%; D &$
�� ;;
4����4����� ≈ � × ° °�$;
"%; D #$
�� ;;
1� ��� ≈ � × ° °�;;
"%; D ";
�� ;;
4����,���� ≈ � × ° ° ;;
"%; D %;
�� ;;
.���3���� ≈ � × ° ° ;;
"%; D %;
�� ;;
6��������������������������������� �������� �������� ������
���������5�.���������������(������#��� ��������
6� ������ �� ������ ��� ����������������������������/�� ���/������
������������������������������������������������������������������� ���
��������� ���������� ������� ��� ���� �� ���� ������ ��� ���� ����� �������
����������
�
����, �� #� ��4 ���
6��� ���� ��������������������� ������������������������6���������3
� ���� ����������������������������������� �������4������������ ���� ��
������������������������������������������������ ������ �����������
�� ��/��������/������������ � ������������ ������ ���� ���������/�����
*��������0
6���������������� ���� ����� ;;&���������������� ���� ����� ������ ���
���� �=�������� ����� ������������������� �����
� ���� ��5
��������������������������������� ���� �����������������!�� ����
������ � ��� � � �� &%1�'
=���� � �#'
I�� �� � �<
0� �� �"%
�� �� �&;
0�� �';
=��� �'#
1� ���
4����)���
����������
4����������
4�����������
.���3����
25%
16,7%12,5%
20,8%
8,3%
16,7%
����������� �� ����������������10
�����������
6��������������������������������������� ���� ������� ����� �����
���������%�.�����������'������������������'������������,���
6� ������ ���� ��������������������������������!�� �������������
G (���� ������ =���� �� A� I�� �� �� ��������� ���� ��� �� ����� ������
��� �������� ������������!�
G (����������I�� �� ��A�0� ����������������� ������ ������������� �����
�� ������������!�
G 6� �� ������0� ��� A� =���� ��������� ���� ��� ���������������� ������
��� �������� ������������!����������������������������������� �����
����������������������������������������� �����������=���� ��A�I�� �� ��
�
6��� ���� �������������������������������� �����������������������
���������������8� ����������������������������� ����������������������
��������������������������������� ������� ����������� � ������� ��������� � �
������ ��� ���� �� �������� ������� ������������������������ ������� ���� �
����������������� ��������������������������������� ���� ���J��� ���#������
�������� �������������������� ���1��� �������� �=����������� �������������
I�� �� �� ;;&�������� � ������� � ��� ���� �� �������� ������� �����������
������������ �������������������������� ��� ����������������*�����������������
����������������� ����� ���������� ������� ��������������������������
��/���� ���������������������� �����������3�������������������������������
��������� ��������� ������������������������ ���1��� �������� �=��������������
=��������������������� ������
1� ���������� ���� ���������>� ���������������� �������������������������� �
�������� ���� �� ������ ����������� ���� ��� �� �� �� ���������� ����� ���� ����
1������������������������������������ ��������������� ������� ���� ������
���� ���!� �����6���������������������������������� ���������!�� ����� ��������
����������������� ����
=���� �������������I�� �� ����������0� ��������������� ���������������0������������������=���
$;
;;
�$;
�;;
��$;
����;
4����
(����������/�
�#'
�<
�"%
�&;�';
�'#
Tugas Kelompok
�������������������� 11
��� ���������������� �������������������������������������������
���������������������� �������������
�� *������������������������� ������� ��� ����� �������������������������������
����� ;;&�������
� ���� ��6
� *������������� �������8����0��� ������������������ ����������������� �����
� ���� ��7
��� ������������������ ����������������������������������������
"� *������������������������������ ��� ��� ����� �������������������������������
����������� ��� �������
� ���� ��8
Latihan 1.2
���/������ � �# /��� �
(������ #;
��� ���� "
8���)��� "'
1���������� $
���� �������� �� ;
,>6 #$
�����������/���� /��� ��� ���� &����� �'
(��� �$;;
=����� �� $;
-�� ���&;
1������ ��%$;
1���������� ��';;
������� �;;;
� ���
/��� �
;;; ;;� ;; ;;" ;;# ;;$
$ �"' ' "� � ; &;
����������� �� ����������������12
#� 6������ ������������������������ �������������������������������������
��������
� ���� ���9
$� 4� ���������������� ���������� ������������� �+����������� ���� ������ ����
������'����������������� ;;&�
� ���� ����
(� ��������
�� 6�������������������� ������������� ���� ����� ����������������
�� 8�!�� ������ ��� �!�����������������������
�� ( ����������� ��� ��� � ������������������������� �����K����� ���� �
������������
��, ��! "�� ��� � �� � ��� ���������������:��������
�� ������������������������������������������������������������ �������
���� �������������������-�� ����������������� �������������������� ���������������� �
���������������������������������������������������������������������� �����
��������� )����� �������4�������������������������������������������������������
�� ��������������� )����� ����������������������������
;%�;; "&
;<�;; "<
� �;; "%
�$�;; #;
�'�;; #
��;; "&
#�;; "%
;"�;; "$
/ � ����� &� � ��-*'
=���� � ������� ;
I�� �� � &
0� �� "$
�� �� �&
0�� %
=��� "$
=��� ";
������� #;
��� � 3 �# � &�� ����(��'
��������1������'�7�)��� � ;;&
�������������������� 13
8��������������������������������������������������� ��������������� )����� �����
�� ���3���� ! ����������� �������� �������� � ���� ����������� ����������� �������
��������������������������������������������������������� ��������������
���������� ���## ������ � ��������������� ���������� ����������6����������������
������ ���� ������ ! ��������� ����� ����� ��������� ���������� ������ ���� ����
�� ������������������
��,�� � ��������������� :������������## �
-������������ �������������������������� ����������������������3
�� ����������� ���0����������� ��";����/��
'; "; $; &; &; &; #; '; <; $;
'; <; &; &; %; %; %; &; $; %;
%; %; &; %; %; '; '; '; %; &;
1�������������������� �������������������������� ��!�������������!�� ��
�� ����/�3�� ����/��������� ��!�������������!���������������������������������
��������������� ��������������/���������� ������������������';������ ����!
�������� ������������������������������!�� ������������������������
���� ��� ���������� ��������������� �������";��������������������� ���� ��<;���7���
�� �����������������������!����!���� �������������������������������������
��������������� ������������/���������� ����������������� ��$;�������<;�
6� �������������������������������������������/��
�����/����������������";
�����/����������������#;
"����/����������������$;
<����/����������������%;
'����/����������������&;
%����/����������������';
����/����������������<;
1��� �����3���� �������������������������������� ��������������������������
���� ���������������� ���������
� ���� ����
";
#;
$;
%;
&;
';
<;
$�� ��;"� ��&�' ����� � �! ��! � ���1 (:��������� &�
'
L
L
LLL
LLLL���LLLL
LLLL���LLL
LLLL���L
LL
�
�
"
<
'
%
����������� �� ����������������14
8�������� ����� ��� ������������������������ � ����������������������������## ���6�����
��������������������������������������� ��������������/���������� ����������";�����/�
�������� ����������#;��M���������� ������
��,�� � ��������������� :�����������������
=����������������������������������������������������������� �����
������������������� ������! ����������������������� �����!����!��-����������
�������������������������������������������������� ���������������������
������������ �������������� )����������������� �������������! �����������
4������������������� ������! ���������� ��������������
� ���� ���,
4��� ������������������ ������������������������ ������! ��������
< +��� )��3���� )��������������� ������ ��8��������"������������ �������= ��
8��������"���������$����������� )�������������������0�6�)��������������
���� )�����3 ��(�������������������������������������� ��������� ����
��������� ������������=����������������� ��� ��������������������������
���������� �������� �������������������������������
≈ �E "�"������ �
< 4���������*�0*��*�*�����������3��������������� � ��� 1 ����� ������������
����������*�)*�1*�(*�����/������3��������������� � �� � ����� ��
< ���� � 1 �� ������������ ��/������ ���������������������������� ����
����������� ���� � �� ������ ������ ����� ������� ������� ����������
������� ����=�������������� ���������������������������������� ����������
������������������ ���������;�$����������
����� 1 ��>�� � ��� 1 ��?�9�2
���� � ��>�� � �� � ��@�9�2
8������/���� ������������� � ��� 1 ���! � ����� ������������������� � �
� ���! � �
��?��
0�?�)
��?�1
�?�(
��?�/
$�� ��� � ���������# �� &�'
3�
3
3"
3#
3$
1�
1
1"
1#
1$
:��������� &�'
∑�1 �
�������������������� 15
< $�� �����# ��������������������� �������������3���������� ����������/�
������������������������� )��������������������������������N���������/�
E�������������������������������������������������� )�����3 ��� ��8��������"
������ 2x ���������
� �3 0 )= + �
< � �" �#���� ���������� ����� ������!���������������������������� �����������
��������������/����������
�" �#���� ��>� ���� � ��?� ����� 1 ��
=���� �������� ������ ������ �'� ���� ����� ����������� ����������
�� �����
������������� ���� � �������������� �����'
�
−=
6��������� ��������������3����������������������������� �����
�������������������3����������������������� ������! ���������������
�� 8��������������������� ����������������������� ���� �
� 8�������������
"� 8����������������������
#� 8�������������3���������� )����������������������
$� 8��������! ���������������������������������� �������������������������
���� ������! ���������� ������������ ������������"�
*������,��
0������������ �����';�������������� ��������� ��������� ��������������
&; &" <" <; #" '% %$ <" "' &%
&< '" %' %& '$ $& %' < '" <�
"$ & #' << &' &; '% '& & <"
%" '; &� &� <' '� &$ &# #< &#
'' <� &" &# '< <; &% '; '' $%
&; && < &� %" <$ ' %& &< '"
'# <& %" %� '; '� & &$ &; <;
%% %; '' $" <� '; &# %; ' '�
4���������������� ������! ���������� �������������������
�����������
�� 7������������ ������������"$������������������������ ���� �������<<�
� 0������������������������� )��
-�� ����������������D�';�
�� � "�"��� � "�"���'; � "�"���<� &� &� �≈ + = + = + ==�������������������������&������'����������������������������D�&�
"� 0�����������������������
������������� ���� � �������������� ����� << "$<��#
&
'
�
− −= = =
(�����������������������������<�������;����������������������������'�D��;�
#� 0���������������3���������� )������������������
1� ��������������� �� ������ ������"$������"$������ ��������� �������������
��/������������ )����� ������������ �������������6�������������������
�;���������� ���������3���������� )������� ���������������������� �������
���������#�
����������� �� ����������������16
� ���� ���0
$� 0���������! ����������������������� ��
1������������������������������������������� )���������������������������
�� ���
� ���� ���2
6��������������������� �������������� ���������� ����������
� ���� ���5
"$�?�##
#$�?�$#
$$�?�%#
%$�?�&#
&$�?�'#
'$�A�<#
<$�A��;#
%�� �� �����= � ���������# �
"<�$
#<�$
$<�$
%<�$
&<�$
'<�$
<<�$
"$�?�##
#$�?�$#
$$�?�%#
%$�?�&#
&$�?�'#
'$�A�<#
<$�A��;#
%�� �� �����= � ���������# �
"<�$
#<�$
$<�$
%<�$
&<�$
'<�$
<<�$
:��������
"
"
&
"
�
;
"
=��� ';
"$�?�##
#$�?�$#
$$�?�%#
%$�?�&#
&$�?�'#
'$�A�<#
<$�A��;#
%�� �� �����= � �����
LLL
LLL
LLLL��LL
LLLL��LLLL��LLLL��LLLL��LLL
LLLL��LLLL��LLLL��LLLL��L
LLLL��LLLL��LLLL��LLLL
LLL
:��������
"
"
&
"
�
;
"
=��� ';
�������������������� 17
��,�, � ��������������� :���������%���� ���
6������ ������ ���� ������ ! �������� �� �������� ������������ ����� �����
�������� ������ ���� ������ ! �������� �������!�� 8� ������ �������� �����
���� ������! ���������������!������������������ ������! ���������������!��� ���
�� ���������������� ������! ���������������!�������� ��
:�������������� ������� �#�� ��� � &�1 ���� �#�� ���� �����!����������������
�����! �������������������������������� ������ �����������������������
�������������������������������� )����������������������������1 ≤ �
:��������� ����� ���� ������� ��� &�1 � ������� ���� ����!��������� �������� ����
! ������������������������������������� �������������������������������/�
���������������������� )����������������������������1 ≥ �
������������� ������� ������������ ������! ���������� ����������������������%
����������������������������� �������������!�����6������������������
�������������� �����������%������������������������������������/����������
������������ ���� ���������&��1� ���������������������� ��������������������
�� �������������'����#�(�7���������#�(�A�;�$��������'�������7������������E�;�$�
� ���� ���6
�������������� �����������&��������� �������������� �������������!��� ���
�� ���������������� �������������!�������� ���� ���������
�������������������� �������7+ �������� �������7+�
"$�?�##
#$�?�$#
$$�?�%#
%$�?�&#
&$�?�'#
'$�A�<#
<$�A��;#
%�� �� �����= � ����� 1 �
"#�$
##�$
$#�$
%#�$
&#�$
'#�$
<#�$
:��������
"
"
&
"
�
;
"
������ �
##�$
$#�$
%#�$
&#�$
'#�$
<#�$
�;#�$
≤ �##�$
≤ �$#�$
≤ �%#�$
≤ �&#�$
≤ �'#�$
≤ �<#�$
≤ ��;#�$
3 ���
���#���� �
&� � ����'
:��������
%���� ���
��� ≤
"
%
�"
"%
$&
&&
';
≥ �"#�$
≥ �##�$
≥ �$#�$
≥ �%#�$
≥ �&#�$
≥ �'#�$
≥ �<#�$
3 ���
���#���� �
&� � ����'
:��������
%���� ���
��� ≥
';
&&
&#
%&
##
"
"
����������� �� ����������������18
6���������������� �������������!��� ������ ����������������'3�������������
���������������� �����
3 ����"�������������� ����������������������##�$�������� ����
3 ����%�������������� ����������������������$#�$�������� ����
3 �����"�������������� ����������������������%#�$�������� ����� �������
���� ������
6������������������������������ �������������!�������� ����������������'3
������������������������������ �����
3 ����';�������������� ����������������������"#�$�����������
3 ����&&�������������� ����������������������##�$�����������
3 ���� &#������� ������� ���������������� ������ $#�$� ����� ������ ���� ���
���� ������
6���������! ���������������!����������� �����������������������3������
�� ������������������! ���������������!� �����!��� ������������������������
�� ������ �������������� ������������������������� ��������I ���������������!
�����!��������������������� �����B���������� ������ �����
I ���������������!� �����!�D�
frekuensi kumulatif 100%
ukuran data×
��������������
3 ! ���������������!� �����!���� ������ ��$#�$������
%�;;B &�$B
';
× = �
3 ! ���������������!� �����!���� ������ ��%#�$������
�"�;;B �%� $B
';
× = �
3 ! ���������������!� �����!��������� ��&#�$������
##�;;B $$B
';
× = �
3 ! ���������������!� �����!��������� ��'#�$������
"�;;B '�&$B
';
× = �
0������� ���� ������������������������/��
3 &�$B��������������� �����������������/��������$#�$�
3 �%� $B�������������� �����������������/��������$#�$�
3 $$B��������������� ��������������������&#�$�
3 '�&$B��������������� ��������������������'#�$�
��,�0 3���#� ��� �� �!�
(������������/����������������������������������������������������������
��������������������������� ����� ������ �������������� �������� ��
�������� ���� ���������������������������1�������������������������������
������������������������������ ���������� ������ ! �������� ����� ���������� �����
! ���������������!����������������������������������������� ��
�������������������� 19
J��� ����� ���� ������������ ������! ��������������������#� �������������
����������������� ���#��������������������������� ���� ������������ �����
! ���������������!�����������!��
� 3���#� �
3���#� �� ������ ����� ����� �� ����������������������� ��������������
����������� ��*����� ���� ��������������������� �!���! ��������������� �������
������� �� ���� ���� ���������������������������������������������������
���� )������� ����������������������� )�������������������������������������
�������! ��������������� ����������������3���������� )���������� ����������
4������� ��������������� ����������6����������� �������������������� �
��������������������������������������������>� ��������� ��������� �
�� �������������������� ���������� ��������������������
���������������������� ������������������������ ������! ���������������
����� ������ ��� �� 8����� ���� ������ ����� �������� ������� ����� �� ���� ��� ��
��/������
���������8� ��������������/���
��� ����� ������������������/����������� ����������������������������3
� ���/�������������� ������������������� �����
3 ���� ��� �������������������������������������
3 ��������� �����������������������! ������������������������ �������� �
)� ������
K����� �������������������������������������������������������������
��������� ������������������� ���������� ����������! ������������������������
�������������������������� ��������������������� ����������������������� �����
����������������������� �������� ���� ����6��� ���� ��� ������ ���
����������#�� ����������
�;
'
%
#
�";������#;�����$;������%;�����&;������';�����<;
�7����
�I �������
����������� �� ����������������20
=���������3�������������� �������������� ��������������������������� ������
��������! ������������� ���������� �������������� ���&�
���������$������1����������������/���
� �!�� & "�!'
8���� ����������� ��/�� ������ ���� ������ ! �������� �������!� �����
������ �������� ����� �� ���� �����1� ���� ������ ���� ������ ! �������
�������!������������������������������ ������! ���������������!��� ������ �
�������������� ������! ���������������!�������� ������������������������������
�������������������������������������!���������������!��>� �������
����������������������3��������������������������������� ����������3�����
! ���������������!������������������8����3��������������� �������������������
������������������������ ! ���������������!���������������������� ��� �� ���
�������� �������� ���� ������������������#����������������� �����1� )�
! ��������������!������������������������
���������������������� ������������������������ ������! ���������������!
�� ������ ���������������� ������! ���������������!�������� ����������������'�
1� )��! ���������������!����������������� ������! ���������������!��� ���
�� ������ ����������������� ���'3������ )����������������!������������������
�� )��! ���������������!����������������� ������! ���������������!�������� �
���� �������������J��� ���'3���������� )����������������!����# ����
���������9��K��)��������(������/���
�;
'
%
#
�";������#;�����$;������%;�����&;������';�����<;
�7����
�I �������
���������! �������
������ �I ��������1������!
<;
';
&;
%;
����;
$;
#;
";
;
���;
����##�$ ����$#�$ ����%#�$ ����&#�$ ����'#�$ ����<#�$ �����;#�$
I ��������1������!
<;
';
&;
%;
����;
$;
#;
";
;
���;
����"#�$ ����##�$ ����$#�$ ���%#�$ ����&#�$ ���'#�$ ����<#�$
" %�"
"%
$&
&&
';
';&&
&#
%&
##
"
"
�������������������� 21
�� 6� �� ;�� �������/���������������������������� ������ �������������������� �����
'� '� %; %; '# %& '� &$ & &$
& %& '& <; &$ '� '# <; '� <;
6� �������������������
�� 8������������������ ������! �������������������
�� 4� ������ �������/���������������������
����&;�������� ��������';�������� ���
�� 4� ������ �������/�������������������
����&$���������� �����'$����������
� 6�������������������������������������:8����� ���������������� �����
� ���� ���8
4� ���� �������������<�����
�� 4� ������ ����/� ������������������������������� �������������������3
�� )�����3#�2
�� 4� �����������/� ������������������������������� ������ ���%%�"��2
�� 4� �����������/� �������������������������������������������%#� ��2
�� 4� ������ ����/� ������������������������������� ������ ���%'�#��2
�� 4� ������ ����/� �������������������������������������������%%�"��2
"� 6��������������� ��������
������ �������9
Latihan 1.3
�%;�;�A��% �;
�% ���A��%#��
�%#� �A��%%�
�%%�"�A��%'�"
�%'�#�A��&;�#
�&;�$�A��& �$
���##��� � � � �! ��A� �#
'
��
�$
�
�;
%
=��� %;
$$�A�$<
%;�A�%#
%$�A�%<
&;�A�&#
&$�A�&<
';�A�'#
$�� � :��������
'
�#
"$
<
<
$
����������� �� ����������������22
4� ���� ������������ ;�����
�� ������������������������ )���������������������3���������� )�������
�� 8����������������/���������������������������������������� )���
�� 8���������������/���������������������������3���������������� )���
�� 8������������������������������������������������������������� )���
�� 8��������! ������������! �������� �����!������������������������ )���
!� 8������������������ )����������������! ���������� ���� ��������������� 3
)����������������! ���������� ������
#� 6��� ������������������������������ ����������������� �������
'; & %% &' %% &" &$ %< &# &"
&# &� &# & &" &; &; &$ &# &<
'; %; &# & && &# && &< &< &
&# &# &� &% & % &; %& %' &$
6������������������������
�� - ���������������������� ������������ ������������� �� �����������������
������� ���� �
�� 4���������������� ������! ��������������������������������� )���"��
�� 6� ����������/������������������������� ������! ���������������!��
������ ������ � ������������ ��
�� 8��������! ���������������!� �����!��� ������ ���
����&; �����&%
�� 8��������! ���������������!� �����!�������� ���
����%# �����&"
$� 6����������������������� ��������
��� ��������
6� ���������� ������
�� 4���������������� ������! ���������������!���� ������ ���������������� �����
! ���������������!��������� ��
�� J��� ��������� ��������������! �����������
�� J��� �����������
��0 ;��� ������� � �� &��������� ����� �'
0������������ ������������ ��� ���;����/�������������� ���
�' �% �$ �$ �&
�% �% �& �' �'
# �A�#%
#&�A�$�
$ �A�$%
$&�A�%�
% �A�%%
%&�A�&�
& �A�&%
$�� � :��������
�
$
$
�$
'
#
�������������������� 23
6� �� �������� ���������� ��� ������ ����� ����� ���������!�� ���� ����
��������������3���� �������������3����������� �����8� ������ ����������� ��������������
������������������������������� ��������������������� �� ������������� � � �����+
�� �� ���������� 1������ ������ ���� �������� ���� � ����������� ���������������
���!�� �������������������������������3�������� ����������������������������1� ���
����������������������������������������������������������������������������� ������ � �
��������� �� ��������� ����� ��
��0�� B � �� & � �'
7����� ������������������������� ����������� ��������� ������������
��������������������������������������������������������������������������
������ ���������������:��������������� ������ �� ����� ������� ��� �����
����������������������������� ��������������� ������ ��������������������� �3
��� ��:����������������������� ������������� ��������� ����� ������� �����
7������ x �����������3��� �������������������� �����������������������μ ��������
������������������� ����������������������7������������������������� ���������
���������������� �������������� ��������
� B � �� � ��B � ��3����#
:������ ����� �������������� �� ����������������������� ����� �������
�� ���������������������������������������������������������=����
:������D�
jumlah semua nilai data yang diamatibanyak data yang diambil
-������������ ��� ���;����/�������������� ����������������� ���
�' �% �$ �$ �& �% �% �& �' �' �%% ����� �%�%
�; �;
+ + + + + + + + += = =
���� ���������������������� ���������� 1 2 3, , , , nx x x x� �� ���������� ����
���� ���
�������������������������������� 1 2 3 1=∑+ + + +
= =�
n
in i
xx x x xx
n n������������������������������������������������������� �
�������
3 D������������ �������� ��������������
�3 D���������������������3�
� D����������������������������������� �������
7������∑ ����������������������������������������3�����
*������0��
*�������� �������� ����������������� �����
<���;��� ��<��'��� ��<����
����������� �� ����������������24
�����������
4�������������������������������D�'��6����������������� ������� ��
� " �3 3 3 3
3
�
=+ + + += �
������
< �; � < ' � < �� ';�;
' '
+ + + + + + += = =
=����� �������� ����������������������������� 10x = �
�
*������0��
:����������������������������� ��������������������%�<��=�����������/���� �
��������������#�����%������������������������������ ����������� ��������
�������%�'��4� �����������������/�������������2
�����������
0������������������/�������������������������������������� ���
�%�<
�
�
�
3
�
=∑
= �⇔ �
�
%�<
�
�
�
3 �
==∑
������ 9⇔ 9� ������� 9/���� )��� (����� /���9�� ������� ������ ���� ���/�� �� �
�������������������������/������ �������������E� �������������� ������%�'�
6�������������������������� �����
��
# %
%�'
�
�
�
3
�
=+ +∑
=+ ⇔
�
�; %�'� �
�
�
�
3 �
=+ = +∑
⇔ �
�
�; %�' �"�%
�
�
�
3 �
=+ = +∑
⇔ � %�< �; %�' �"�%� �+ = + �����������
�
%�<
�
�
�
3 �
==∑ �
⇔ %�< %�' �"�% �;� �− = −⇔ ;�� "�%� =
⇔"�%
"%
�;
� = =
=������������������/��������������"%�
�
1������ ��������������������� ��� ���;����/�������������� ���
�' �% �$ �$ �&
�% �% �& �' �'
7����� �������� �������������������������
�' �% �$ �$ �& �% �% �& �' �' �%%�%�%
�; �;
3+ + + + + + + + += = =
�������������������� 25
4���������������������� ������������������������������������������
�$ " �% �& " �' �%%× + × + × + × =I� ���� ���� ������������������ ���� ������� ! ��������������������������
(� ��������������� �
� ���������
K��� �� ���� ����� �������� �� ������ ������ ���� ������ ! �������� ��������� ����
�� ������������������������������������� ����
����������������������������������������������
1
1
=
=
∑=
∑
n
i ii
n
ii
f xx
f �������������������������������������������������������������������"�
��������1 �����������! ��������������������
�3 �
*������0�,
*�������������� �������� ��������� �����
� ���� ���,
"
"
$�� �
&�'
� �! �� ���1 (:��������
&�'
�$
�%
�&
�'
��<��
";
#'
"#
$#
= =∑�1 � �; ⋅ =∑ ��
31 �%%
'
�&
#&
"
%
$�� ��;"� �� &�' :��������� &�
'
$"
%�
&
'$
<#
����������� �� ����������������26
�����������
1����������������������������� ������! ����������������
� ���� ���0
6����������������� �������"��������� ����
�
�
'� <&"�<
��;
�
� �
�
�
�
�
3 1
3
1
=
=
∑= = =
∑
=����������� ������������������������� &"�<3 = �
�
#����� ���$�������������$������%��������
8� �������� ������������������!����!���������������� ����������������
�� ��������������������������� ������������ ���6�������� �����������������
�� ��������������������31∑ � ����������������������������� ��:�����
������ ���������������������������������� ������ �������������� )����0�������
�3 ������� ������������ ������������������� id ������������������ ��������
�������������������� ������3 ��������
� � �) 3 3= − ��:������������ ������������ ���
����������������� ������������ ������������������ ������
∑= +∑
i is
i
f dx x
f ���������������������������������������������������������#�
*������0�0
8�������� ������������� ������������ ���� ��������� ���������
� ���� ���2
'
�&
#&
"
%
$�� ��;"� �
&�'
:��������� &�'
$"
%�
&
'$
<#
��<��
# #
��;"&
"�"'#
�& ;
$%;
= =∑�1 � ��; ⋅ =∑ ��
31 '�� <
#
�;
�%
'
$�� � :��������� &�'
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
�������������������� 27
�����������
=�������������� ������������ �� # �3 = �������� ������������������� ���
� ���� ���5
6������������
" # �;) = − = − ��
"& # $) = − = − ��"
# # ;) = − = ���������� ������
6��������������
∑∑
�� ;
D E D # E D #$
#;
�
�
�
1 )
3 3
1
�
��0�� ���
0����������������������������������
" $ # %
# " # ' �;
���� ������ ����� "��������� ! �������� � � ���� #��������� ! �������� "�
���������� ! ������������� �����������1� ����#��������� ! �������� �� ������
������������������������#���������������� ������������������ ������ =����
����� ������������������� �� ����!��������� �������� ������ ���������� ����
��������! ���������� �������
*������0�2
8��������������� �������������������������� �����
�� 1�������������� ��"��&��#��'��%��� ��<����������������������� ���������
��������������������������! ���������� �������
�� 1�������������� "�� ;�� $�� $�� "�� &�� %�������������� "����� $�
�
6� ��� �����������������������������������������������/���� �����
�������������������������������������������������������������������
���������������������������� ������������
-������������ ����������������������������������� ������ �����
�����������������������������������������������1
1 2
= ++
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
bMo Bb p
b b�������������������������������������������������$�
#
�;
�%
'
$�� � :��������� &�' �
�<��
A ;
A ;
;
';
';
=∑ #;�1 ⋅ =∑ � ;
��)1
"
"&
#
#&
$
���������# �� &�'
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
��� �# �� &�'
A�;
A$
;
$
�;
����������� �� ����������������28
�������
:� D���������/������������ )����������������! ���������� ������
1b D���������! ���������� ��������������! �����������������
2b D���������! ���������� ��������������! �����������������
' D�������������������� )��
*������0�5
8��������������� ��������� ���������� �����
� ���� ���6
�����������
6� ������������������������������ ���
:��D�$%�A�;�$�D�$$�$� ���
; �; �;� = − = �
; �" &� = − = �������'�D�&�
6������ �������$��������� ������������
�
�
�;$$�$ & $<�%
�; &
� :� '
� �
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= + = + =+ +
�
��0�, ��� �
��� �������������������� ������������������������������������������ ��
� ����� ��������� �������������� ���� ���� ���� ��7������ ������ ��� ��
��������� ���� ������ ��� 7����� �� �� ���� �������� ����������������
������� ���������������������������������������� ��������������������3�����
��������� ����������������������������������������������� ��������������
=���������������������������� ��� ������������������������� �������������3
�������0������������������������������� � ��
� "� $� '� ��� �"� ;�
��������'�
=������������������������������������������ ������� ����������������
�������� ������������������0������������������������������� � ��
"� "� #� $� $� %� &� '�
���
$ $$
�+= =
"
�;
;
�"
#
%�� �� �����= � :��������� &�'
# �A�#'
#<�A�$$
$%�A�%
%"�A�%<
&;�A�&%
�������������������� 29
���%�
���� ������������������������������������������� � ����� ��������� �����
������������� ���� �
1 2, , , nx x x�
������������ ��������������������������������������� ���� �����
�� =�������������������������������������������������������
��3
12+n
���������� 12+= nMe x �
�� =�������������������������������� �������� �������� �������
�������3 2n������������������3 1
2+
n���������
112 1
2 2+ +
=⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
n nMe x x
*������0�6
6�������������������������(��)�'(�������������������� �� ��3�� ���������
��� 0�������� �������;��'��� ��<��<��� ��'���;��#�
��� 0�������������� ;��"��<������#��� ������;��<��� ��'���;�
4� ����������������������������������� �����������������2
�����������
��� -�� ������������������������ ���������� ���D�<�������������������
��� ������������
#� '� '� <� <� �;� �;� � � � �
K����� ���������� $
<�
� 3 3+= = = �
��� -�� ���������������������������������� ��� D�� ������������������
��� ������������
�� "� #� '� <� <� �;� �;� ��� � � � � ;�
=����� ( ) ( )� � �
% & �
< �; <�$� �
� 3 3 3 3+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= + = + = + = �
�
-������������ ��������������������������������������� ����
����������������������������������������������
2 −= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
n
m
FMe Bb p
f ���������������������������������������������������&�
�������
:� D���������/������������ )������������� �
mf D��! ������������������ )������������� �
; D��! ���������������!������������������ )������������� �
' D�������������������� )��
����������� �� ����������������30
*������0�7
*��������������������������� ���������� �����
� ���� ���7
�����������
1� ������� �����������������$;������ ���� ��������������������� )���$%�A�% �
�������
:��D�$%�A�;�$�D�$$�$? ��� 20mf = ? 13F = ? '�D�&�
K����� ��������
$;
�"
$$�$ & $<�&
;
�
�
;
� :� '
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
− −= + = + =
�
�� 8�������� �������� ��������� �����
�� <��&��� ��%���#��'���;�����
�� �$���'���%�� ;���&���%���&���<���%���$�
� 8������������������������� ��������� �����
�� '��&��%��&��$��%��'��<��'��<�
�� �� "�� #�� #�� $�� $�� %�� �� "�� #�� $�� &�� $�
"� 8�������� �������� ��������� �����
� ���� ���8 � ���� ��,9
�� ���
"
�;
;
�"
#
%�� �� �����= � :��������� &�'
# �A�#'
#<�A�$$
$%�A�%
%"�A�%<
&;�A�&%
:���������%���� ���
"
�"
""
#%
$;
=��� $;
Latihan 1.4
# �A�#%
#&�A�$�
$ �A�$%
$&�A�%�
% �A�%%
%&�A�&�
& �A�&%
�
$
$
�$
'
#
$�� � :��������
#;
%��A�%$
%%�A�&;
&��A�&$
&%�A�';
'��A�'$
'%�A�<;
<��A�<$
$
'
%
$
��� � :��������
$;
�������������������� 31
#� 8������������������������������������������"�
$� *�������������� ������������� ���������� ������������������ ��
� ���� ��,�
%� ������ �� ������� ������������� ����� ���� ����� ������� ���� ��������
��� ���������������� ������������� ���������������� �����
� ���� ��,�
4� ������ ����������������� �����������������������2
&� 7����� ���������������������'�$����������� ������������:�������%�$��(� ���������
��������/������������:�D�$���#��4� ������������ ������������������:2
'� 8����������/�����������������������������������������(��� �������������������
����������������������� �%;��4� �����������������������2
� ���� ��,,
=���
;�A� #
$�A� <
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
"
'
�"
;
�&
<
%�� �� �����= � �
&;
�
"
#
$
$;
#<;
<<;
��'<;
"�&<;
��##����+ ��� ��� � �� &#'
��A�";
"��A�#;
#��A�$;
$��A�%;
%��A�&;
&��A�';
'��A�<;
�
'
#
%
'
%
#
$�� � :��������
����������� �� ����������������32
<� 7����� ����������������������� ��#;����/���0��������&;��=������� �������/�
�������������� �;;����� "� � ���� ���/������������3��������������� ";� �����
����������������� ����������� ���������� ��������2
�;� :������ ��������� �� ���� ���/�� ����3����������� �������� �� ������ ������
�����3������������"� �������&� ���� =���� ������ ��������� �� �������� �
���/����������� ������������%�����������������/����������� �����������
';;�� ������� ��������������/������3����2
��2 ;��� ��)�� �
(�������������������������������������� �����������������0�����������������
����������������� �������������3������������������������������������� �������6�����
������������������������������������������������������6���������������*���+
�� ������������ ������ ��
��2�� %� ����
8����������������/����������������� ����� ������������������������
�������� "����������� ��������������������������������������� �� � ��
�������#�������������������������1������������������������������������� �����
< �� �������� � �������� ������ 1 ��������������������� 1Q �
< �� ��������� �������� ��������# ��������������������� 2Q �����
< �� ���������# �������� ����� � �������������������� 3Q �
K����� ��������������������������� ������ � ���������� 2Q D� ��
0��������������������� ����������������������������� ���������� ����
��� �����
��� � � �
�3 3 3�
.������� ����� ���� 1Q �� 2Q ������ 3Q ��� �������������������������������� ���
����� ������������� ���<��� �����
����������������������������������������������������������"
#�����
�����������������������������������������������
#�����
�������������������������������������
#�����
������3���������������������<
�������������������<
+�������������������<
4������������������3
�
���������=�>��������������������
�������������������� 33
6��������� ����������� ������������������������������������/��
G ��� ������ �����< ��� ������������������ �������������
�
#� ���+ �
G ��� ���������� < ��� ������������������ ������������
#� ���+ �
G ��� �����������"< ��� ������������������ �������������
"
#� ���+ �
���� ������������ 1, 2, 3i = �
��������� ����� iQ ��� ������������������ �������������
#
� ���
�+
=���� ������ � ����� ����� ����� �� ���� ������ ��������� ���������� �����
������������ ���� ������������������������ ���� ������� ����� ��-����� ����
���������������� ��������������� �����
*������2��
8����������������� ���3��� ��������� ���������������
%$��� '���<;���&;���#$���"&���#$����%$���&;���'$�
�����������
1����� ��������������������������� ������
' "&���� � #$ #$ %$���� � %$ &; &;���� � '$ <;�
��������<������������������������<
�����������������������<
"
-�� ������������������������D��;�������< ��� ������������������ ������������
� "
##
��; �� + = ��1� ����������� �������������������������������< ��������������
����������� ������������ �
�< �D���������������3 �E
"
#��������������3"� − �������������3 �
���"
#
"& �#$ "&� #"= + − =
.�������� ���� ������ < � ������������ �������������
�
#
��; �� $+ = � ������
�����������������������
< �D���������������3$�E
�
��������������3%� − �������������3$�
����
%$ �%$ %$� %$= + − =
1�� ����"< ��� ������������������ �������������
" �
##
��; �� '+ = ���������������
���������������
"< �D���������������3'�E
�
#��������������3<� − �������������3'�
���� �
##
&; �'$ &;� &�= + − =
0������� ����� ���3��� �����������������/���� ������ $B��� �������������
�������������������/��#"���� ������$;B��� ����������������������������/��%$�
����&$B��� ����������������������������/���
#&� �
�
����������� �� ����������������34
-����� ����� �� �������� ��������������������� ���� ����
� ��������������������� �� �����������������
����������������������������������������������
4 −= +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠i
i
iQ
n FQ Bb p
f ��������������������������������������������������'�
�������
:� D���������/������������ )������������� iQ
�<1 ��D��! ������������������ )������������� iQ; D��! ���������������!������������������ )������������� iQ' D��������������������� )��
*������2��
6��������������� ������������ ����������� �����
� ���� ��,0
8�������� 1Q ����� 3Q �
�����������
1� ������� ������������������������D�';������ 1Q ��� ������������������ ����
��������� �
##
�'; �� ;+ = ������������! ���������������!������������� ����������
���������� )���";�A�"#��6����������
:��D� <�$? 5p = ? ���� 18F = ?�������� 8iQf = �
�;�A��#
�$�A��<
;�A� #
$�A� <
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
$$�A�$<
%;�A�%#
%$�A�%<
&;�A�&#
"
%
&
'
$
��
�;
�
#
'
%�� �� �����= � :��������� &�' :�����%����&�
�'
$
��
�'
%
"�
#
$
%#
%'
&%
&'
';
=∑ � �';�1
�������������������� 35
=���
�
� �
# #
�
'; �'
<�$ $ ";�&$
'<
� ;
< :� '
1
⎛ ⎞ ×⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− −= + = + =
1�� ���� 3Q ��� ������������������ �������������3 3
44 (80 1) 60+ = �����������! �������
�������!��������� ��������������������� )���$;�A�$#��1������ ���
�
" "
# #
"
"
'; $
#<�$ $ $ �'"
'<
� ;
< :� '
1
⎛ ⎞ ⎛ × ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− −= + = + =
=������< D�";�&$�����
"< D�$ �'"�
�
��2�� ������� �����������
=��������������������� � ������������������;������������������������
�������������������������������������������������� ������<�������� 1D �� 2D ��M� 9D �
8������������������������������������ ����������������������������������������
�������������� ������������������������<<��� �������� 1P �� 2P ��M� 99P �
���� ����������������� �������������� ��������� ����������������� ���
���������������������������� iD ������� ������� iP ��������
iD ��� ������������������ ������������� � ��
�;
��+ �� �� � �<� = �
���
iP ��� ������������������ ������������� � ��
�;;
��+ �� �� � �<<� = �
���� ����������������� ����������������� ����������������� ������������������
���������������������������� �������������������������������� ������������ �
*������2�,
6����������������������� ���� �
&���<���� ���� ���� ����%����'�� ��� ���� �� "��� "�� "�
'�� '�� <��" ��""��"#���"$��"$���"$��"$��"'���"<���#;�
8�������� 7D �����% � �
�����������
-�� ��� ����� �������� D� %��6�����&. � �� ������ ����� ������ � ����� ����� ��
& �
�; $� % �� �'+ = ��������������������������������������������������������������
��������������� ������������ �
7D D��������������3�'�E��
$���������������3�<�A��������������3�'�
D�""�E��
$��"#�A�""��D�""�
����������� �� ����������������36
(� �������% � ��� ������������������ �������������
% "&
�;; $;� % �� �%+ = ����������������
��������������
% � �D��������������3�%�E�
"&
$;
��������������3�&�A��������������3�%�
D� <�E�
"&
$;��" �A� <��D�";� #
0������� ��&. D�""� ������� �� ������&;B��� ������������������������������
��/��""� ������������% � D�";� #��� �������/��% B��� ����������������������
�����/��";� #�
�
����������������������� �������������� iD ����� iP ����� ���������
����������������10 −
= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠i
i
iD
n FD Bb p
f����D���� ��������< ���������<�
�������
:� D���������/������������ )������������� iD
iDf D��! ������������������ )������������� iD
; D��! ���������������!������������������ )������������� iD
�' D�������������������� )��
���
����������������100 −
= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠i
i
iP
n FP Bb p
f����D���� �������<< ��������;�
�������
:� ����������/������������ )������������� iP
iPf ���! ������������������ )������������� iP
; ���! ���������������!������������������ )������������� iP' ��������������������� )��
�������������������� 37
*������2�0
6��������������� �������������������������� ��������� ����� �����
� ���� ��,2
*��������� 8D ����� 87P �
�����������
-�� ��� ����� �������� D� ';��7����� 8D � �� ������ ����� ������ � ����� ����� ��
' #
$�;
�'; �� %#+ = �����������! ���������������!������������������������ )���$"�A
$<���������
:��D�$ �$ ? '�D�&? ��;�D�$�? ������8Df D��$?
'
'
�;
'
%# $�$ �$ & $'�$%
�$.
� ;
. :� '
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− −= + = + =
7����� 87P ��� ��������������������� )���%;�A�%%���� ������������������������! �������
�������!�������� �������'& #&
�;;�;;
�'; �� &;+ = ��6�����
:��D�$<�$? '�D�&? ��;�D�%%?'&�1 D�&?
'&
'&
�;;
'&
%<�% %%$<�$ & %"��
&�
� ;
� :� '
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− −= + = + =
=����� 8D D�$'�$%����� 87P D�%"���
�
�� 6��������������� ���� �
$;��� �����#<��� %����%;��";���&&���"&���'$���#"���#$���&'
$���%<����$ ���$<��� <���%$���� ���& ���#;���""���&&���#$
8��������"< ���
$. ������
& � �
���A��&
�'�A� #
$�A�"�
" �A�"'
"<�A�#$
#%�A�$
$"�A�$<
%;�A�%%
%&�A�&"
&#�A�';
�
#
�"
�#
�&
�$
%
"
$
%�� �� �����= � :��������� &�' :�����%����&�
�'
"
&
;
"#
$�
%%
&
&$
';
Latihan 1.5
����������� �� ����������������38
� 7�������������������� ���$�� ����� ������������������������� �����
&������<�����&�����$�����'�����<�����$�����#�����%�����%�����&�����'�����&�����'�����%
�� 8�������� �������������������
�� 8���������< ��
< ������
"< �
�� 4���������������� �������� ���������������������������������������2
"� =��������� ����� ��"
�%< = ���%
%". = ������&'
" � = 2
#� ����������������� �� ���� ���$����� ��8����������������� ����� ���� ������"< �
%. �����
'�� 2
$� 6������������������ �������� ���������
� ���� ��,5
*���������������� ��"< ��
%. ������
'�� �
%� *����������� ���;;�� ��������� ����� ��������� ����������������� �����
��� ������,6
(���� ���������� ���#$B���� ����������������� ������� ����� ��2
&� 4� ������������������������ ��������� ��������� ������ ���������������� ���
������������������ ��";�� �������/���������0��
"; �#; "$����� $ "$�����$; #;�����#$�����#;����� ;
;�����"$ #$����� $ #;�����";����#$ �#$����� $�����""
;����� ; ;�����#$ "$�����"#�����$�����";����� $�����#;
�� 8����������� ������/������ ����������������� ���������
�� 8����������������3"�������������3'�
'� 7����� ����� 3��� � ���������� ������ ����� +����������������8�������( ���
�������� ���������� ;;�3� ;;%����� ����������������� �����
���������� ������,7
�����������"�:�)�������������������@:��A*
����)�����1�)������'��*��=� �����+--9�
";�A�"<
#;�A�#<
$;�A�$<
%;�A�%<
&;�A�&<
';�A�'<
<;�A�<<
�
;
�#
#
�
%�� �� �����= � :��������� &�'
$�� �� ��� $" %� & '$ <#
:�������� � $ " ��<
;;�
;;
;;"
;;#
;;$
;;%
� ���
�&�$
�&�$
�'
#
%
�$
�$
�$
#
#
C��� ����� 8�������� �������
�< ��
< ������
"<
�� ������������ 3��� ���������
�� 4� ���� ���� ��/����� ����
����������� ���������� �� �� �����
��������������� ������
�������������������� 39
��5 ;��� �����!�� � �� &�������'
��������������������������� ������������������������������� ������� ������
������������ ��������� ���������������������������������0�����������������/����
�� ������������������������������������������������������ ���������������������������
��!� ��������������� ����� ���������������������7��������������������������������
�������������� ������ ���������������������3���������������� ������������
������������� ������
��5�� B��� �#�� �� ���� �# ��%� ����
(�������������������!��� ������������������� ����������������������� ���� �������
�����������3�������������� �������� �� ��������������� ���3 �� ���� �� ������
� �����������3 ���=� ������� ������������������������������ �#���������������
���� ��������OB9��7�����B��������������������������� ���������� �������
�������������B�D�3���
�A�3��
����������
������� ����������� ������������������ ���������������������������������
��������� �#� �� �+�� ������:����������� 3��� ������������� � � �������������
������� ������!���������������������������� �������� 3Q �������������� 1Q �
����������������� �D�<"�A�<
��������� �
���������� ��� �� ������������������� ��� ������������ ������� ����� ����
��� �# ���� ������������������������� dQ �����������!����������������
��������������1 1
3 12 2 ( )= = −dQ H Q Q ��������"�
6������)< � ���� ������������������!������ ����������� �� ��������������
������������������ ������������������������������������������������������
�� �������������� ���� )���� "
P " � " Q) )
< < < <− + ������������������� ������ �
��� ���7�������������������� )����������������!� ��������� �����!�����������
����3����� ��������������������� �� ������������������������������ �� ��������
��� � ���� )���� "
P " � " Q) )
< < < <− + � ����� �������� ��� �� ��������� ������ �
����������8�����������������������������������������������������������������
���� ���� ��������������� ��������� �������!� ����������������������� ������
8� ���������� ���������������������������������������������������������
������������������ ��������
G 8� �������������������������������������
G 8� ���������������������������������������� �����������������������
��� ���������������������������������� �
G 8� ����������������������� ������ ������������������������������
���������
����������� �� ����������������40
*������5��
(����������� ���������� �����������#�����������������3�������� �����
����������
&;����$%������%�����& ������%<�������%&���������$#
%;����%$������$&����%%������% ��������%"��������$<�
-����������������������
�� 8�������� ����������� ���������������� �������
�� =����������������������������������� ���������������3�������� �����
#$��������'������������������������������������������������������������
��������� ������ �����2
�����������
6� �������������������������� �������������������������� ���
�$<�$< = ?��
% �$< = ?��
"%&�$< = ?�
��$#3 = ?�����
���& 3 = �
4� ���� ������������������������ ����
�� :�������B�D����3 A�
��3 D�& �A��$#�D��'�
*��� ��� �D�" �< <− D�%&�$�A�$<�$�D�'�
������������ ����� �
" � � �
)< < <= = − D�
�
' #× = �
�� 1����������������������� )������������������� �������������������
�" $<�$ � #&�$
)< <− = − = �������
"" %&�$ � &<�$
)< <+ = + = �
=��������� )�����������������������P#&�$���&<�$Q��1� ���������������#$�����'�
������ ����� )��������������������������������������������
�
��5�� �� #� ��%� �+4 ���
-���������������������� �����!���� ������������������������� ��������
�� ���������������������������������� #� ���� �+# �����6��� ���������� �
�����3�� ����� �������� �������� ������������������������� �����������������
� �� � �������� ���� �� ��� ����� �� ���� ��� � ��� �� �� ���� ��� ������� ����
������ �������������� ����� ������
(������� ������ ���� ������� ������� ���� 3��� ���� ����� ��� ��
" � < <= − �� ����� ��������������� ������������������ �������� ��
�< ����� ����
�������������������������������������� �����������"< ��1�� ����������������3
����� < �� ��������������������������� ��������������E��
4�������������� ��� ���� ���� ��������� �� ������� ���������� ��������������
������� ������������������������������� ���� ��������� ������������������ ���
���������������� �� ���� ��1��������� ������ ������������� ��������������������
�� ���������������������=��������������������������������������������
������ ���������� ��������� ����������� ������������ ����R��
-������������������������� �������3�� ����������� ������������
�� ����������0�������������������������������� ���� �������� ��� �����D� ;�
< < �; �" �# �& �< �< �
" $ $ < "" "$ "$ "< #" #&
6� ��������������������������� �����������< D�
3414 �� ��D�
< D�
�
�����
"< D
�
"# ��6��� �������3�� ������� ����������������� ����;�
�������������������� 41
����������-��.���������������
������� ���� �������������������������� ���< D�
"
#�# ���������E�����������
������ ��D� < D�
�
����������������������������������������� ��
"< D�
�
"# �
S�� ���������� �������������������������/�������3��������� �����"< � ����
�� ������������������ � ������������������� ������/�������3��������
��/���< ������������������ �������� ����������
�< �
6��� �������3�� ��������������� �������� ���� ������������������������
���������������������������������� ������������������
*������5��
4� ������������������������������������� ������ �������������������� ��
������ �� ����� ";� ������ ����� ��� ����� ���������� ���� ���� � ���� ��������
���� ����� ����� ���������� �#� ������*����� ����������� (������� �
����������
&;����$%������%�����& ������%<�������%&�������$#���#$
%;����%$������$&����%%������% ��������%"������$<�
*����������������(�������4�����������
%;����$%������%�����$'������#%�������%&�������$#�%$
%$����%;������%#����$&������% ��������%"������$<�
�����������
1�������������� ��(�����������������
�$&< = ?��
% < = ?��
"%&< = ?� $
)< = ?�
��#$3 = ?�����
���& 3 = �
���������������������������������2�=��������
1�������������� ��(�������4���������
�$&< = ?��
%;< = ?��
"%#< = ?� "
)< = ?�
��#%3 = ?�����
���%&3 = �
7����������#%�������������������������������� �������������������������������2
=��������
����������� �� ����������������42
�������������.���������������
�
��5�, B � ����� �# ���B # ���� ����� �# ��� ��
=���������������������� 1 2, , , nx x x… �������� ������ x ����������������
������������������� ��������������������� x �������������� ����� ���������
�� ��
� � ��� �� �� �
�3 3 3 3 3 3− − … −
- �����������������������������������!������������!��1� ������ ��������������
���������������������������� ������������!������������!��������������������
����������������� ������������
� � � �
�3 3 3 3 3 3− − … −
=����� ����������������������������������������������������������� ��
���������������������� ���������������������� � ����� �# ���B���
�����
−∑�
D
3 3
B�
�
��������#�
�������
B� D�� ���������������3 D���������������������3�
3 D�� ����� �� D����� �������
-������������ �������� ����������������� �������������
����
−∑∑
D� �
�
1 3 3
B�
1��������$�
�������
B� D�� �������������� ix D������������������������ )�����3�
x D�� ����� if D��! ���������� ������������ )�����3�
� ���� � �
� ���� ��
@
@
�������������������� 43
1��������� �� ������ ������ �������������������� ���� ���������
���������� �����������������������������������������������������
�������� ��������������������� �������� �������������������������
�������� ���������������������������������������
& # �"
" "
− + − += �
����������������������8�����������������
& # �"
" "
+ + = �
������������� �������$�
-�������������� �������� ������ ���������� ���������������
��� �# ��� �������������������������������1��� ����� ���������������
��������� # �������= �� ����
0�������� x ������� �������� ���������������� �� 1 2, , , nx x x… �����
���������)� �������� ���������������������������������� ����
��
∑
�� 3 �
D
3 3
�
�
��������%�
�������
� D�� ���������)� ����� ix D���������������������3�
3 D�� ����� �� D����� �������
�������������������������������)��������������!��������� �����������
�� �� ������������
����������
∑
3�
� �
D
3 3
�
�
��������&�
-������������ �������������������������� ��������
��������
−∑
� �
D� �1 3 3
�
�
��������'�
�������
� D��������������� ix D������������������������ )�����3�
x D�� ����� if D��! ������������������ )�����3�
6���������� �����������2( )ix x− �� ������������/�� ������������
���������&��������������������������
( )−∑ n
� �
D�3 3
�
�
Tugas Mandiri
����������� �� ����������������44
*������5�0
0������������������������ ���� �
"$� #&� "<���#$���#;���" ���# �
8��������� ���������������� �������������������������
�����������
6������ ��������#���������� ���� ��������������
" #; "$ #; "< #; #; #; # #; #$ #; #& #; '#
& &
B�
− − − − − − −=
+ + + + + + = = �
���������� ���������������������� ������ �� ������� ;�������
�" #;� �"$ #;� �"< #;� �#; #;� �# #;� �#$ #;� �#& #;�
&
�−
=+ − + − + − + − + − + − =
�����
�%' #
&
= =
=���������������������������� # #�<� = = �
�
*������5�2
*������ ����������������� ����������������� �����
� ���� ��,8
�����������
1������������ ��������$��
� ���� ��09
�&&;##� $
#;
� �
�
1 3
3
1
∑= = =∑ ? B��D��
�'�#�$ $
#;
� �
�
1 3 3
1
−∑ = =∑
=����� ���������������������#�$ $�
�
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
%
�;
�%
%
%�� �� �����= � �
=∑ #;�1
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
%
�;
�%
%
%�� �� �����= � �
=���
�
��&��
ix x− ix x−
#;
"
"&
#
#&
$
%#
# ;
&$
"�
��&&;
A� � $
A&� $
A � $
�&$
&�&$
� � $
&� $
� $
�&$
&�&$
� ix x−
#�$
#"�$
�$
##
#%�$
�'�
�������������������� 45
*������5�5
8�������� ������������������������ ����������������������������%�$�
�����������
-�������������� ������������������������������������ ��������%�����
����&��
� ���� ��0�
1������ ����
� � ��#&�#
'�%'$
#;
� �1 3 3
�
�
−∑= = = �������D�$�"%
=����� ����� �D� '�%'$���������������������D�$�"%�
�
���� ���������� �������� ����������������������������������������������
����������� ������������ ���������������������������������������������
�� �������6������������������������������ ���
����
∑ ∑⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D 3� � � �1 ) 1 )
�
� �
��������<�
�������
� D�������������� if D�! ������������������ )�����3�
id D� ix x−
*������5�6
8����������������������������������������%�%��������� ������������ ��# �
�����������
1������������ ��������'�
� ���� ��0�
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
%
�;
�%
%
%�� �� �����= � �
=���
�
��&��
ix x− ( )2ix x−
#;
"
"&
#
#&
$
%#
# ;
&$
"�
��&&;
A� � $
A&� $
A � $
�&$
&�&$
�$;�;%
$ �$%
$�;%
&�$%
%;�;%
�
";;��
"�$�"%
$;�%
� ;�<%
"%;�"%
���#&�#
( )2ix x−
";�A�"#
"$�A�"<
#;�A�##
#$�A�#<
$;�A�$#
%
�;
�%
%
%�� �� �����= � �
=���
�
�
#;
"
"&
#
#&
$
A�;
A$
;
$
�;
A ;
A";
;
';
%;
;;
�$;
;
#;;
%;;
��"$;
��&��
<;
��&��
�
����������� �� ����������������46
�"$; <;$�"%
#; #;
� � � �1 ) 1 )
�
� �
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑= − = − =
=������������������������������D�$�"%��������������� ����������������%�%�
�
�� *������ �������������������� ����� ������������������������������������ �
��������������� �����
� ���� ��0,
��
� ���� ��00
��
� *������ ����������������������������������� ��������� ���������� �����
������������������������ ������02 �� ������05
�� ��
"� *���������������������� ������3������������������ �������������� �����
������ ��
#� (������������������ ����������������� ���������������������� ����� ����3
������������� �;�������<&���� ��#������<&���� �;;���8������������ )�������
������������������������� ����
$� 8������������������������ ��������������������������������������������
�� ���������
�� #��$��$��&��'��#��%��%��<��"��<��� �� ;���;�
�� ;�� $�� %�� '��";��" ��""��""��" �� '�� <��";��";��";�
%� 8����������������������������������������������������������� ����������������� �
Latihan 1.6
$�� � " # $ % & ' <
:�������� � " # $ " " �
���##� %; %$ &; &$ '; '$ <;
� �! ���� � � ' % " " &
$��A�$$
$%�A�%;
%��A�%$
%%�A�&;
&��A�&$
$
<
%
"
%�� �� �����= � �
�$��A��$$
�$%�A��%;
�%��A��%$
�%%�A��&;
�&��A��&$
$
'
�
"
���##� �
�������������������� 47
&� 4� ��������������������������������������/��������� ����� �������� �������
����������� ;;&�
����������� ������06
�� 4���������� �������3�� ����� ������ ��������������������� ������
�� 4������������ ���� �������� ����������������� ������
�;;
�;
�;
�;$
�;%
�;&
�;&
�;'
��;
��$
��%
��%
=���� �
I�� �� �
0� ��
�� ��
0��
=���
=���
�������
�������
K�����
��)���
6�����
��� � �D� �� �� �D�B " 1 ��
<$
<'
<<
�;"
�;$
�;%
�;%
�;'
�;<
��;
���
��$
�� ����������� ������������ ����������������� �� ������������������� ���
�� ����������������� ����������������������������� ������� ��������������
�����)������� ���� �������������������������������������������������������
����� ��������
� ������������������������������������������������ ����!������������������!� �����
"� (�������������������� ������������������������������������������/������� �
�������� ��������� ����� ��������� ���������� �������� ������ ������� ����� �� �
�����������������
#� 0��� ��� ��!��������������������������������� ����������� ���������!� ��������
����������!��6��������������!����������������������������������������������� ���
$� 6���������������������������������������� ���0�������� ������� ���������
������ ������ �������� ������������������ �������3�� ��������� �����������
%� -�� �������������������������� ���������� ���������������� x ���������� ���
���������� ���:�������������������������������������������������������
��� ���������0�������������������������������������������� �������0����������
������������ ����������
&� 8� �������� ������������������ ������������������ ��������1�� ������������� ��
�� ������� ������ ������ ��� ��� �� ���������� ���� �� ������� ������ ��� ��
�� �� �������
'� 8� �������� ���������� ��� ������ ���� ������ �������� ������������ ��������
��������������
Rangkuman
����������� �� ����������������48
(�����������3�<������/����������3 ;�����������������������������������������3
������������������������ ������ �������������>�����������������������������������
������� ����� ���������� ��������������������� ������ ����������� ��!� �����
������������������� ���������������3�<������/����������3 ;�����B� ���:�����
������������� ��������������!� �������% ����� ����������� �� ��������� �������E���� �
�� ��!�4��������������� ������������� ��� �����������(�������������������������
���� ���� �������������������� ������������������������� ���������������
������� ����� ������������������������4�����3���������������������������������3
������� �� ��������� �� ��� ���������� ������� ������� ��� ���� ����������� ����
������������������������ ��� ��� ���3���� ��������� ���� ��� ������� ����
����� ������������������������������������� ����
(������������������������������ ��� ��� �
������� ������� ����� ������ � !������ ��� ��
�����������4�������������� �������������
����������O��/������� �9������������+�����
����������O���� �/��9������O���������9��
4�������� �����1 ��� ��&#<�� ���3
�����������������������������=� ��������
�� �������������������������������������
��������� ����� ������ ����� ������
���� �����������������O���������������� �
�������9�� (�����/��� �������3�<� ����� �� ����
�� ���� ��� � ���������� O�����������
��������������������!����������9������/��
����� ������ ������������� ������������
��������� ����� ������������������ +��� ���
=�������������������� ��� ���������3��������
���� ���������������������������3������
������� ���!� ���� ��� �������� (����3
������������� ����� �����������������������
���������������������� ���� �� �� ��� ������
��� �� ��!� ���� ������������� ����
�� ����������������
Math Info
����������+�����,(�����0����
�����������0�����C�����������
�������������������� 49
'� ��� ������������������(����������������)��(��������� �*�+���������
(�������(��,�-��*�������� � �� ����'���,
�� 6� �� ��������������������������� ���������� ���������� �����������
�����������
�� ����������������������
4� �������������������� ���
>� �������������������� ���
6� �������������������� ���
S� �������������������������� ���
� ������������ ������ �������
��$ ����% � " & '
�������
� ��=���������������������
�
$ ������ ����������������������
�� # 6��
#
4��
$ S� %
>� $
"� :���3 ����������������������� ���� �������������������:���*���������
:� $�;;;�;;��C������������������������ ���3 �������������������������������
�� ����� 6� ��� ���
4� ���� S� ���������
>� �����
#� =�������� ���������������������������D�&%����������D�&"�����������
�� $;B�������� ������&%�����$;B�������� ������&"
4� ������������� ������&"��������������������$;B������������� ������&%
>� $;B�������� ��������������&%�����$;B�������� �����������/��&"
6� ������������� ������&%��������������������$;B������������� ������&"
S� $;B�������� ��������������&%�����$;B�������� �����������/����������������
�������� ������&"
$� :�������������� �� ;�����������������#� ��=���� �������� ��� ������������ ���
������� �%����� �������� ��%������������ ���������������'� ������ ������
����������� ��� ������������
�� �;�# 6� � �'
4� ���' S� �"�#
>� � �
%� (���������������������� ������������������$'��=���� ��������������������
������ ���/��� ��� ������%$� ������������� ���/��/������ ���������$#�����
�� ������������������/��� �������/��������������������������������
�� �����& 6� &����$
4� #���& S� <����
>� �����#
Uji Kompetensi
����������� �� ����������������50
&� ������������������ �������%���������������%��=�������������������������������
�������'������������� ������������C����� ����������� ��������� ������ ;
��������������<������������ '�D�C�D������
�� " 6� '
4� # S� <
>� &
'� 8���� ����� ����� ����� �� ������ $� � ���� �� ��/�������� ������ ����
������������
�����#'; "%; %$; &;; %;
8���� ���� ������ ��������� �$B������ ����� ������������ ����� �� ������ �
:�$;;�;;;�;;������;B������������������������ ������������ ��:�$;;�;;;�;;�
:���������� ������������������� ������ ������������������
�� :�%;�;;;�;; 6� :�%$�;;;�;;
4� :�%#�;;;�;; S� :�$%"�;;;�;;
>� :�% �;;;�;;
<� 6���� ������ ������ �� ������ � ���/���7����� ������������������ $� ���
����������#��=������� �������/������������������ ������������ �������/������
����������� ����������������� ����������� ����������� �����������#�<��7����
���/�������������� ����������������
�� � 6� #
4� S� $
>� "
�;� 0������� ��������������������� ����������������
� ���� ��07
�� & �$ 6� &"�&$
4� & �&$ S� &#�$
>� &"�$
��� 6�������������
�"�$ $ & &�$
:���������������������������������������
�� ; 6� �%
4� ��; S� $
>� ��'
� � 6� �������������������$;����/������� ���������� ������$#���������������&;��1� ���
������ ����������� ����� ������������������������������ �������������� �����" �
7������� ���������������
�� ������&%�������������;' 6� �������;'�������������#;
4� ������&%�������������#; S� �������;'�������������;'
>� ������&%������������"%
%��A�%$
%%�A�&;
&��A�&$
&%�A�';
'
�
�'
�#
�����= � :��������
�������������������� 51
�"� ����������������������� ������� ���������������%��=���������������������
���� ������������������������������������������������ ����������������
������� ��������� ������ ���������������"�������������������������3�����
�����������
�� �;����� 6� %�����#
4� '����� S� #�����#
>� '�����#
�#� ����������������� �� ���� ��������� ������������������ < �����
$&� ����������
��������
�� %��������%�'# 6� $�$���������;�$
4� %���������; S� $�$���������;
>� $�$��������<�$
�$� �������������������������������� ������ ��������/������
����������4� ������
�� ��� ������������';����� ������%'� $
4� ��� ������/��$;����� ������%'� $
>� ������%$�������� �����������';
6� ������%$����� ������%'� $
S� �����%'� $�����������%$
.� ��� �� ������������/� ���(����������������0�����*������������ ������
���� *����,
�%� 8�������������������������� ������������������� ������� ����������
�� ����3�����
�� 1��������� ��������������� ��� 1n �������� �������3 �
�� 1������������������������ ��� 2n �������� ������ 3 �����
�;
'
%
#
�#;������$;�����%;������&;�����';������<;
�7����
�I �������
����������� �� ����������������52
�� 1������������������������� ��� 3n �������� ������"3 �
4����������/�� �������� �������������������������������
� � " "
� "
� 3 � 3 � 33
� � �
+ +=+ +
�&� ����������� �����������$�� ������������������������ �� �12 ��� ����
�����������������������"�������������������3�������� �� ������ �����
�� ��������������������#�������� ��������������������� ������ ��"�������� �
����� �������� =���� �������� �� �����������%�� �� ���� ������� �����
������2
�'� 7����� ������������������������������:��� �� ��3�� ����������3 �����
:3 ��������
��������������������������� ���������������3 ��=�����3 ���
:3 �D��;���<�����3 ��
:3
D�'$���'��������� �������� ��������������������/��������������������:2
�<� *��������������������������������$��������������������������������
������� ����3������$&�'&����� �$'�;<����� �$'��&����� �$&�<%����� ����� �$&��'<����
8������������ )��������������� ��������������� ����
;� ���������������� ��������������������������������������� ������� ���
�����
� ��3 3
�
�
−∑=
6���������� �����������
� ��3 3− ��������������/�� �����������������������
�������
�� �
�
��
3� 3
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑= −∑
�� 7����� ����������������������� �� "<�� ���� ���/��������#$�� =������������ �
��� �������/����������������� ����I����������������������������������
���������� ����������������������� ��#;�� �������/������ �����������#%�
4� ������������I������������������ �����2
� ����������� �����������$�� ����������������������������� �� �3�����
��������� ��������� �� � � 3� � ������8���� ���������� ����������3�����
�� �� ��3�E� ���������3�E�#������������� �3�A����������:�������� ��� ����
����������������������$������
�� 4� ������ ����������������������������2
�� - ������������� �������������������������������������������
�� 4���������������������������������� ��������� ����� ���������������
�������������������������������������2
�� ��������������������� ����������������������������2�=��������
�����������������
Soal Analisis
�������������������� 53
"� 7������������� ������ ���������������/������������������������� ���������������
��$$�
� ���� ��08
�� 4����������� ��������������! �����������
�� *�������� ��������������������������� ������������ ��
�� *�������������������������
�� ��� �������������������� ����������������������� ����������������������
�������4� ���������������������������2
�� �������������������������2
#� :����������������� �������� �������:�";;�;;;�;;��� � ������� =���� �����
������������� ��/���� ���:�" ;�;;;�;;������� ��/���/������:� '$�;;;�;;�
�� �������� ����������������� ��/���� ����������/�����2
$� ������ �� ������� ������������� ����� ���� ����� ������� ������������
��� ���������������� ������������������� �����
� ���� ��29
4� ������ �� �3�� �� ������ ��������� �� ��� ������ ������������� ���� ����
��������2
��A�";
"��A�#;
#��A�$;
$��A�%;
%��A�&;
&��A�';
'��A�<;
<��A��;;
#
%
;
�;
$
�
�����= � :��������
�
"
#
$
$;
#<;
<<;
��'<;
"�&<;
��##����+ ��� ��� � �� &� � ��#� �'
����������� �� ����������������54
����=�� �
7�� ��MMMMM 8������ ��MMMM
1���� ��5+ 0��� ��(���� ������������
1������ ��MMMMM ������ ����������
1������� ���� )������������!������/����������� �������
8����� ��0���������������3���������������
�� �� ��� ��� � ��! �#���#�� � �
�� ���������� "���6�!�� ������
� 4����������� #��T��������������� )��
�� * � ����"
�� 4������������������� �� ��#������$����/��
� �������/�������� )������������.��������� )����� �����������#;����/�
������������������������������������������������������������/����������
���������� ���������������������� ��
"� .����������������� ����������� �����
#� 4� ���� ��������������������� ������������������ ��������� ��������������
���� � ���������������������
���������������������������������������
������� ����������������������
$� 4� ���� ����������������������������� �������������
������ �����������/������� ������������"����������������� ���
����� �����������/������������������������ ���
%� 4���������������� ������! ���������������������� ������! ���������������!������
&� 6�������������������� ����� ��������� ��������������! �����������
*� �� �����
4� ���� ����������������������������������������������������������������������� �
����)��������/��
��
�
"�
#�
$� $ � ��� " � ��� ����%��� �# A� �� #
Aktivitas Proyek
������� ��� ������� 55
�������PELUANG��
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� � �������������� ��������� ����� �������
�� � �������������� ��������� ����� ������
�� � �������������� ��������� ������������
�� ���������� ������������������� ������������
� �����������������!�� ����������������������������� ��������������
"� � ������� ������� ������ ��� ��� ���������� ����� ��������
������
#� � ������������������������� ����� ���������������������������
������ ����������������������56
�������������������������������� ����� � ���
������� ��
��������!!!���!�"�� �
$� ������������ ������ ��������������������� �������%�������������� �����&
� ����������'���������������������� ������ ������� �$� �� ������� ����� "� ���(�
������������� �������� ���(��������������� )��� ����*���������������������������
�������� ��� ������������������ '���� �� �� �� �� �� �� ���(��� +���� �������� �� �����
�����������'������ �� ���� �������(��������������� ����������(���������������)��� ���
�� �������'�����������'�������������������������,�-� ���'�������������'���������������
����������(���� ���������� ���������� �������� ����������� ������������������������
���� ��� ���,
.�������'������������ �������� �� �������������� ��� �� �������������������
�������������/��������� ���������������� ����������������������
$��������������������������������'������������ ����������������
01� �������'�����������'�������������������������0���������������������������
�� ����� �� ���� 0�� �������� � ����������0� ������ ������ �������� �� ����� ������ �
�� �����������'����������������� ������.������������ ����������������������������
�������� ��'������� ������������������ ����������� ����� ������������'�� ��������������
�������� ����������������������� ��������� ������� ������������ ���� ���� �������� �
�� ���'���� ��� ���������������������������� ��������������������� 2�"��/�""�3��������
������������ ��������� ����� �� ���� ����� ������ �� �������� �������� �� ������ ���
�� ��������������������������������� ����������������$� ��������������������������������
2�"&�/�"" 3���������� ��������'������� �'����������������������������)���4�����
-�������
*���� ���)���4��������������������������������� ������������������������/
���� ������������� ���!�������������������� �������� ������'��'�������������� ��� ����
���/���� �� ������
������������ ������������������������������������� ���������������5����� ���
������������������������������������������ �����������������
Pengantar
������� ��� ������� 57
��� ����� ��� �����
$����������� ��� ���������������� ��������������������� ������ ����������
�� �������������������������� �������������������'�����������������������������������
����� ����������� ��������� �������� �������'������������� ����� ����������� ����
���� �����������'��������������������������������������������� ���������*�������
����� ������������������������� ��� ��6������������������������������ ��������
���� ��������� ��������� ���������������� !�� �
1��'���'������� '������������������������ ������������ �����������
�������� ������������/�����������������%�����'��������������������� ���5�)�
�� ������ ����������'���� ���������������� ��� �� ��� �� '�������(� � 2�#������� 2$3�
����'�2%3��"����2&3��-�������� ����� ��� ������������������������������������
�������������������� ��� ����-� ���'����'������������������� ���������������
����� ���'��������������,
+�(���������� ���'����������������������������������� ������� ����������-�������� ��
��� ������������������������������������������'������'�$'�%�����&���������������� �
� ������ ������������������������������ ��� ���������������� ������������'���������
�� ����� �������� �������*���������� �������� ������� ������ ���� ��� ��� ��� �����
������������� ��������� �����
�����������& ����� �(��� ��������������������������� ��)���
$� ������ �� �������� ���� 4 (4 1) 12× − = � �����������������'������������ '����
2�$'��%'��&'�$�'�$%'�$&'�%�'�%$'�%&'�&�'�&$'�&%3�
6����� ���� ��� ���'���������� ����������(����� ���'������ �������'�������
'������������������� ���������� ������������ ������������������������ ���
���������'�����������������������'������������������������������������
�� �� ����������/�������������� ����� � ������� �� �� �������������������� ���
� �!� ����
�
$
%
&
$
%
&
�
%
&
�
$
&
�
$
%
������ ����������������������58
����� ����� � �� ����� � #������ �� ��#������
%��������������� ����� ��������� ��67��%�����/������� ����'�������
����������� �����'� ��%�����/������67�������� �������������������������
��� ��������������������+������� ����������������������67��� ����� �������
�������'������������������������'�,
.���������(����� ���'��������������������������������� ������ ��
�� ����� ����
�������'�������������� ����� ���������� �������������� ��
$��������������������� �����'� ���� ���������� ���������������� ��
��'� �
$������� ������������ ��������� ��� ��� �� ������ �� �� �� ����������
��������� ��� ��
+��������� ��'���� ��������8���8���9������ ����������������������� ��
��� �����'� ����������������� ���6�������'��� ������������������� �'������
���������������������������������� ����� �������
����� ���������
+������ ��������������������� ��������������
��
���������'����� ��������� �������� ����
��
���������'����� ������������������������������������ ���
�� ����������������� ���'��
��
���������'��� �� ��������� ��������/�� ������� 2��:� �3� �����/
������ �������'�� �� ����
�������'����� �����������������'������ �������������� �������� ���
������
1 2 3 nk k k k× × × ×�
+����������� ������� ��� ����� ���������� ����� ��(����������������
���'��� �� �� ������������� �� ������ '���� �� ����������������� ��� ���
�� ������������������ � �������.����� ���������� ��� ��� ���� ����� �����
����������������� ���������
� � � �����
.�������������� ������� �����������������*��$� �����������������+�������������
���������������������������� �������+���������*�����������������������������
1� �������'����� ��'�����������������.������������������� ������� ��������
��������*�������������+,
�����������
$� �����������������+���� ���������� ��
$� �������+���������*���� ���������� ��
$� �����������������*�������������+���� ������ 3 2 6× = �
+��������'����� ��'�����������������.�������������� ������� �����������������*
������������+�������"��� ��
�
������� ��� ������� 59
� � � �����
$� ��� �!/� �!���'�)'��'�������,������������������������ �!�������������
�������� �� ������ ������ ���� � �!� '��� ����� 1� ���� ���'��� �� �� �����
��'������ �!/� �!� ����� ��������
�� � �!���������������� �!�;����,
�� � �!��� ������������������� �!���������,
�����������
�� 4� �!��� ������������������� �!�;�����
4� �!��� ���������������������������� ���'������ �!�)�������
4� �!������������������������������� ���%�����'��������� �!��� ��������
�����)������� �!������������������������'��'��������,�
4� �!����������������������������������� ��
4� �!����������������������������������� ��
4� �!���������������������������������� ��
���� ��'�� �� ������ 2 4 3 2 1 48× × × × = � �� ��
+��������'����� ����������'������ �!/� �!��'�)'��'�������,�������
� �!��� ������������ �!�;��������� ��'�������<��� �
�� 4� �!��� ������������������� �!�����������
4� �!��� ���������������������������� ���'������ �!���'�������,�
4� �!������������������������������� ���%�����'��������� �!��� ��������
������������� �!�����������������������)'�'��������,�
4� �!����������������������������������� ��
4� �!����������������������������������� ��
4� �!���������������������������������� ��
���� ��'�� �� ������ 3 4 3 2 1 72× × × × = � �� ��
+��������'����� ����������'������ �!/� �!���'�)'��'�������,��������
� �!��� ������������ �!��������������� ��'������#���� �
�� � � ����%
$��� ����� ��������������&�� ��� ��� ��������� ���������������������/��������
������ '���� �� �� �� �� �� ����� ������� 1� ���� ���'��� �� �� ��������'����
��������/���������������'������ �� �� ������������������� �
�� 1�������/����������������������������'���������'�������,
�� 1�������/������������������������������'���������'�������,
�����������
1�����������������������������'��������������������������������������������
$������������ �����&������������
�� 1�������/������������������������'���������'�������
�������� ����2�������� ������3������������������������� ���������&������
������������� �������� �������� ������� ����&��� � �������� ������������
����������'������ �� ���� �������������
������������2��������������3��������������������� ��� ��
������������� 2�������� ������3����������������������� �� ���������������
'�����������������������&�����������
�������������2��������������3��������������������� ��� ��
$��������� ����� ������������ ��'���� ������ 4 5 3 60× × = ��� ��
+��������'����� ����������'����������/������&����� ��� ���������������
���������������'���� �� �� �� �� ���������������������/��������� ��������
����'���������'��������������"&��� ��
������ ����������������������60
�� 1�������/������������������������������'���������'�������
�������� ����2�������� ������3������������������������� ��
������������2��������������3���'�������������������������� ����� ���
������������������������'���������'��������
�������������2��������������3������������������������� ��
���� ��'�� �� ������ 4 4 3 48× × = � �� ��
+��������'����� ����������'����������/������&����� ��� ���������������
���������������'���� �� �� �� �� ���������������������/��������� ���� �����
���������'���������'���������������<��� ��
�
%�����'������������� ������� �����������������*���������������(���������+
��������(�������������������� ���������� ����!� ���� ��%��������������� ����� �
���������������+�����'����� ���� ������������������� �������+���������*
�� �������� ���� ���������������� ������ ����� ����������������� ������� �
���������������*����(���������+����������'�����8������� �
���������'������������������ ����� ��������������������� ������������ ��������
���������� ����������������'������'����� ���� ���������������������*�
�������'���'������ �'������ ��������������������������� ������� �����������
�����*����(�������������������8������� ��=�������� ����������(������
������������>��� �����$��� ��-����+��� �-� ��������$� ��*���������*����*
$� ��� �����������������������������������(������������ ������� ������
����������*����������'���� (3 2) (2 1) 8× + × = ����� ���������$�������������
���� ����� ����������� ���� '���� �������� ����� � �� &����� �� ��� ��
��������������� ������������������������ ��� ����� ������� �������� �� �
������� ������������ ������� �������� ���� �� ���� ����������������� �������
����������� ��������'���� ��������������� ���������������������������
������ �� ����� ���� �� ��� ����� ����'��� ��� ��� ���������
�� ����� ����
�
�
*
+
�
�
�
�
�
�
�
�
������� ��� ������� 61
����� ��� &�����
+������ ������������ ����(��'�������������������������
"�
���������'��� �� ��������� ����(���� ����
"�
���������'����� ��������� ����(��������������������� ���'��
"�
���������'����� �������������� ����(����/��
�������'����� ���������������� ����(������ �������� ����
1 2 3 nc c c c+ + + +�
����� ���������
-� ������������������������������'�����?� ������� ���� �������������-��
��������� ������� �-���������������� �������������� ������� �� �� �'����� ������� ���������
�� �� �������� ����� ����� �������� ����
-�������� ������ �������������� ���5�)�� ����� ��� ����������������
�(��������������������'������ ������������������������������� ����������'�$'�%�
����&�� -������ ��������������������������� �� ���*� ���� ������������������
� ���������� ��� ������������������ ��� ����������������������2��:��3�9����� ��
���� �������� �����������������������������/��� ��� �������4 3 12× = �� ��
-���� ������ ����� �����'���� ����� �� ����� �������� ������ ������������������
����������������������������� ��� ��� ����-������� ���� ��� ��������� �����
������� � �� ���������� �
���� ���������'����� ���������������������� ����������������
'������ ���������������������������������� ��� �������� ���'����������������n
kP �
'�������� ������������
= ( 1) ( 2) ( 1)× − × − × × − +�nkP n n n n k
������� k n≤ ��1��� �������������������������� , atau ( , )nk n kP P P n k ������
nkP �
$������������� ����� ������������������������������� ��� ��� ����� �� �
�������� ������� ��������� �������� 9� ������ ��� ���� 9� � ������ �� �������
���'����� ������������������������� ��� �������������
�4
2 =4 (4 2 1) 4 3 12P × − + = × =+������������� ������ �������������� ���5�)������������ ��������������
�������������������������� ��� ���������� ������������������������� ���
����������������� ���'����������������,
%������������������������������������������������ �������� ��������
��������'������ �������-������������������������������ �����������������@���
������� ��� ��� ��� ������ ����� ������� �� ��� ����'���� �� ������'����������
������ �� ������ ����� ����� �� �� �� � ���� '���� �� ������ ��� �'�� ������
�������������'����������������������������$����������������������
�� ������ �� ���� 9� �� ����� ���������� 9� �� ������ '���� �� ������� ��������
���'���'�� ������������� ��������
44 4 3 2 1 24P = × × × =
������ ����������������������62
���� �������������.���������� ������������ ��� �������� �'������ �����
����������������������'�������� ��������
= ( 1) ( 2) 3 2 1× − × − × × × ×�nnP n n n
1�������� ��������n
kP � ����n
nP ,�.���������(��� �� ���'���� ����
�� �������������������������� �����!���� ������ ����������������
A���� ������ ��������������������������!����������� ���������
.��������� �������������������������!��������
! ( 1) ( 2) 3 2 1n n n n= × − × − × × × ×�
B������ !n ��������C��!���� ���0��$���!����������������(��� 0! 1= �����1! 1=
��������������
4! 4 3 2 1 24= × × × =6! 6 5 4 3 2 1 720= × × × × × =9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1 362.880= × × × × × × × × = �D���������� ���'��
$����������� �����!���� ���������������������������� �������������
������ = ( 1) ( 2) 3 2 1 !× − × − × × × × =�nnP n n n n ����������������2���3
=�������������� ���� = ( 1) ( 2) ( 1)nkP n n n n k× − × − × × − +� �����
= ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ( 1) 3 2 1nnP n n n n k n k n k× − × − × × − + × − × − − × × × ×� �
� ! ( )!nkn P n k= −
+������������� �����������
����������������������
!( )!
,= ≥−
nk
nP n k
n k �������2���3
� � � ����'
6�����������(�� ! ( 1)!n n n= × − �
�����������
$� ����!��������!���� ����
( )! ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1)!n n n n n n= × − × − × × × × = × −�
�
� � � ����(
4���������� �� ��������� �������� �����
���5
2P ���10
5P
���6
4P ���8
8P
������� ��� ������� 63
������������������/��������� ���(���0���� �/�(���0
�����������
$�������� ������2���3�����2���3�������� ����
���5
25! 5! 5 4 3 2 1
5 4 20(5 2)! 3! 3 2 1
P× × × ×
= = = = × =− × ×
�
���6
46! 6! 6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 360(6 4)! 2! 2 1
P× × × × ×
= = = = × × × =− ×
�
���104
10! 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 110 9 8 7 5020
(10 4)! 6! 6 5 4 3 2 1P
× × × × × × × × ×= = = = × × × =
− × × × × ×�
���8
8 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40.320P = = × × × × × × × =
�
$�����������2���3�����2���3������������ ( )! nkn k P− 9� ! n
n kk P − 9n
nP �
� � � ����)
1� ���������'����� �������� ����� �!�'������������� ����� �!/� �!���'
$'�%�����&�
�����������
4�������� ��������� �������� �������� ��������������� ������������� ��
�� ������ 2���3����'����� ������ �����
42
4! 4 3 2 112
(4 2)! 2 1P
× × ×= = =
− ×��������� �!�'������������� �������������� ����������(������
Tugas Mandiri
�$
�%
�&
$�
$%
$%
%�
%$
%&
&�
&$
&%
� �! � �! ��������� �!
�
$
%
&
�
$
%
�
$
%
�
$
%
�
$
%
������ ����������������������64
�� �� ���������������������� �������� �����
-������������������'������������������� �������� �������� ��� �����
��������� ������� ���� ���� � ���� �� ���������� �������� �'���� �����.����
����(����� ���'���� �������������� ������ ����� ����������������� ����� ����
� � � ����*
1� �������'����� ��������� �!�'������������� ��� �!/� �!���'�+�����+,
�����������
.��� �'������ �������������'������'�+�����+���� ������������� �����������������
'��������'������ �!�+��������������������������������� ��������������
���� �'������ ������������������������'����� �������� �� ������ �'���
����������� ������-� ����������������� �'��������'�����+������������
���� �'������ ��������������� ��'��������� 1Q ����� 2Q �
1��'����� ������ ������ �'������ ������' 1Q � ���� 2Q � ������ � �E� 9� "�� '����
�� �����/�� ������ �
� 1Q 2Q ��� 2Q 1Q ' 1Q � 2Q '� 1Q 2Q �'� 2Q � 1Q �� 2Q 1Q ��
$��������������������/�������'���� �����������������������������������
���������� ������'���������%�����'��
/ ��������� 1Q 2Q � ����� 2Q 1Q �� ����� �������'�� ���������� ���� ���
�� ��������+�+�
/ �������� 1Q � 2Q � ���� 2Q � 1Q �� ����� �������'�� ���������� ���� ���
�� ������+���+�
/ �������� 1Q 2Q ������ 2Q 1Q ��� ����� ������'�� ���������� ���� ���
�� ������+�+���
6�������(��������������'���������������������������'������ �� ���� ���E
9����� ��������� ��������������� �������5����� ������������'����� �����
������ �'��������������� ��������������'����������������'��������������
3! 3 2 13
2! 2 1P
× ×= = =
�
��������� ������'����������+�+��+���+�����+�+���
�
1� ���� ����������������������� ��������������'������ ����� ���������
�� +������ �������� �'���� � �� ������ �� ������������ �'���� ����������
k n≤ ���������'����� �������� �������� ������
��������������������������������������������������������������
!!
nP
k= �������������������������������������������������������������2���3
�� +������ �������� �'������� �������� ������������ �'��������� � ������
'������������������� �'��������������� k l m n+ + ≤ ���������'��
�� �������� �������� ����������
����������������������������������������������������������
!! ! !n
Pk l m
= ��������������������������������������������������������2���3
������� ��� ������� 65
� � � ����+
%���������� ������#�����!�����������!��������������������� ��������� �����
���� �� ���� !������������������� �� ��������;���� 1� �������'��� �� �������
��'�����#�����!������������ ���� ��������,
�����������
1��'������� ���9�#�����'������� �'����������9���2������!������������������
�� ����3����� ��9��� 2������ !��������������������;��3�� +����� ���'��� �� �������
��'�����#�����!������������ ���� ��������������
7! 7 6 5 4 3 2 17 5 35
4!3! (4 3 2 1)(3 2 1)P
× × × × × ×= = = × =
× × × × ×
��� �� ����������
%���������(��� 2�3��1���� 2$3������F����� 2%3��� ������ ���� ����� ���������
���������������� �� ������� ������ ���� -������ ������� ���� ��'�� ���
��������������� ������� ���������������� ��� ���������
����2�3 2�3
���������1���� � �������2��������� ����
$���������������������� ��� ���������������� ������������������ ���"
�� �����
���������3�$������� � �&�����2�)������ ����
$� �� ���� � ��"2�3� ������������ ��� ��������� � ������ ��� �� �� ���� ����
�� ��������������'������������'����
�$%'�$%�������%�$
6������������������������������� �'����� �������������������'��������
'�������������'�������� ���������������� ���"2�3�
���� ��������������� ���"2�3�������������� ���"2�3���������������� ��������
� ������ ����� ������������� ��������������'������������'����
�%$'�%$�������$�%
⊗
⊗ ⊗
1
� F
⊗
⊗ ⊗
1
�F
������ ����������������������66
*��������������������� �������������������'���������'�������������'���
���� ���������������� ���"2�3�
$� ������������� �������������������������������(�����-������������� ������
� �!��'�$'�����%�'���������������������� ;���� �������� ������������� ��
�����
�E�9�������
'�������������'�������� ������������� ���"��-������������� /���� �������
�� �� ������ '���������������������� ������� ��������������� ��������� 2" �"����
������� ��3������ ��������������'������ ����� ���������
+������ ������������ �'������ �������������'����� �������������'�������
�������������������������������������������������������������������������� siklis ( 1)!P n= − ����������������������������������������������������2�� 3
.�������������������� ������������������������������������� �����
� � � ����,
1� ������ ��'����������������������������������������������������� �����
#�� ����'���������������
�� �� ���� ������ ������� ���
�� �������������� �
�����������
�� -�������������� ���� ������������� ���� ��������� ������#����� ��� �
#����� ������������� ����� ������2���3�
77 7! 5040P = = �� �
+����� �����#�� ���� �� �������������� ���� ������������� �����������'��
�� ��� �������������� &�&��� ��
�� -�������������������������������������� �� ��������� ������������
�� ��#����� ������������� ����� ������2�� 3�
siklis (7 1) 6! 720P = − = = �� �
+����� �����#�� ������ ��������������������������������� ���������'��
�� ��� ��������������#�&��� ��
�
�� �� �������� �����
*�������������������(���� �������� ����� �!��'�+�����*��������������/
��������'������ ������
�+*'��*+'�+�*'�+*�'�*�+'�*+��
$������������ ��������� /���� �'���� �� ������ ������������� ������� +���
���� /���� �'���� �� ������������� ��������������
���'���+'���*'� ���'�++�'�++*����'��������� ���'��
������ ����������������������������������!����� ��2�� ������ ������� ��3�
$��������� ��������� ������ ��� �������������'���'���� �����
�� �������� ����� �!��'�+�����*����������������������� �����
/ 4� �!��� ���������������������������� ���'������ �!��'�+�����*�
/ 4� �!������������ �!��������������������������/����������������� ��
�� ����� �!/� �!�'��������� �����
������� ��� ������� 67
$�������������������� ����� ���������������'����� ������ ���� ��'�
�����
33 3 3 3 27× × = =+������ ����� �!��'�+�����*� ���������������� �!��������� �!/� �!�����
�� ��������������'����� �������� ����������� �!�'������������� ����� �!
'���� �� ��������������������������� �����
/ 4� �!��� ���������������������������� ���'������ �!��'�+�����*�
/ 4� �!����������������������������� �� ��� �� ����� �!/� �!�'������
�� �����
$�������������������� ����� ���������������'����� ������ ���� ��'�
�����
23 3 3 9× = =$� ����������� ��������������������� ��������������'������ ����� �����
+������ ������������ �'������ �������������'����� �������� �������
���� �'������������� �������� � ( )k n≤ ������
���������������������������������������������������� berulang =kP n �����������������������������������������������������2��"3
� � � �����-
$��� ����������������� ������"�����������������������/���������'������ �� ���� ���
������������������/������������� �������1� �������'������������'���������
��������,
�����������
1��'�������� �'������ ��������������9�"��'����������/������������������ ������"�
$������������������� �� �����������������������9����*� ���������/����������
�� ������������������������'������ ������� ��������� �������� ������
���������9��������������������� ������2��"3�������� ���
4berulang 6 1296P = =
+��������'������������'����������������������� ��'��������G"�����
�
����%� � $ �!� ���
����������������������� ����������������� ��'��������� ����'���� �� �
�� ����������$� ������������������� �������������'�$'�%�����&�'���������
� ��� ���'���������������������-� ���'����'���������� ���� ����'���������
��������� �������������� �����,
.���������(��� �� ���'���� ����� �� ������� ������� ���'���'�� �� �
������� ������'�$'�%'� ����&� �������������� �������� ��������������
*���������/�����������'�������� ���������� �����
H�$'��%'��&'�$�'�$%'�$&'�%�'�%$'�%&'�&�'�&$'�&%I
*����������(�����������$�������������$����������������� ����'��������
�� ������������� �������� ������$���������������'�����������%�.�%�'
�&�.�&�'�$%�.�%$'�$&�.�&$������%&�.�&%��+���������12 2 6= �� ����������'����
�������������� ��'������ �� ���������������� ���������'������ ������
H�$���%���&��$%��$&��%&I
������ ����������������������68
1��'����� ������������� ��� �������� �'���� �� ��������������� �!� �����
���� ��� �������� ������ ��������������'�����!�������� ���������
"�.� ���
*���������� ���� �'������������� ���� ���� �'������ ����������� �����
��������� �������� � ��������� �������� �����'�� ( )k n≤ �������������
�������nkC �
$��������������������'������������������ �'������������� �������� �'���
�� ���������������'����� ������������� �'������������� �������� �'���
�� ������ ��������� �������� �����'��
*�������� ��������(�����'���'���� ���������������� ��������������
������������������������������'������ ������������� ������������ ��� ���
���� �'���� �� �������'�����4
24!
12(4 2)!
P = =−
�� �.���������������$�'���� ����
���������� /���� �������$/�'������������ ������������������ �������E�9����� ������
�� ����������������������� ��������� �������+������������ �����������
4 42 22C P= ��������
44 22 2
PC =
���� ���������������������������������� ��� �������� �'������ �����������
�������������� !kkP k= � �� �������5��� �� ���� ����� �� ������ �������
���� �� ����������� ���� � �� ���� ���� � '���� �� ������� '�����nkC �� � ������
�� ������������ ��� �������� �'������ �������'�����n
kP ������
!!( )!
= =−
nn kk k
k
P nC
P k n k ������������������������2��#3
� � � ������
4���������� �������������������� �����
���52C ���
64C ���
105C ���
73C
�����������
=��������������������� ����������� ������2��#3������ ���
���52
5! 5! 5 4 3 2 15 2 10
2!(5 2)! 2!3! (2 1)(3 2 1)C
× × × ×= = = = × =
− × × ×�
���64
6! 6! 6 5 4 3 2 15
4!(6 4)! 4!2! (4 3 2 1)(3 2 1)C
× × × × ×= = = =
− × × × × ×�
���105
10! 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 12 9 2 7 252
5!(10 5)! 5!5! (5 4 3 2 1)(5 4 3 2 1)C
× × × × × × × × ×= = = = × × × =
− × × × × × × × ×�
������� ��� ������� 69
���73
7! 7! 7 6 5 4 3 2 17 5 35
3!(7 3)! 3!4! (3 2 1)(4 3 2 1)C
× × × × × ×= = = = × =
− × × × × ×�
�
� � � ������
4�������������������������� 2 4 5nC n= + �
�����������
$� �� ����������� ������2��#3�������� ���
2! ( 1) ( 2) ( 3) 3 2 1 ( 1)
2!( 2)! (2 1)(( 2) ( 3) 3 2 1) 2n n n n n n n n
Cn n n
× − × − × − × × × × × −= = =
− × − × − × × × ×�
�
$������������������������(�� 2 4 5nC n= + �������������� �����������
( 1)4 5
2n n
n× −
= + ⇔ 2 8 10n n n− = +
⇔ 2 9 10 0n n− − =⇔ ( 10)( 1) 0n n− + =⇔ 10n = ������ 1n = −
*� ������� ������������������������'������������������9��&�
�
-�������������� ������������������'�����������������������������
������������������'����������������������(�������
� � � �����%
6� ������ �&� ���(��'���������� �'� ���������� ��������������������
�������%���$� �� ������� ������ ����� "� ���(��������� ������ ������ �� ���(�
�������������)��� ����6��'��������������� ����������������(���'������ �� �
�� �������(��������������� ����������(���������������)��� �����1� �������'��
��������'�������������������������,
�����������
$��� �������� ������� �� �� "� � ���� ������ '���� ������� ������ �� �������
���������'��������62
6!15
2!(6 2)!C = =
−��� ������ ��������������������� ���
� ���� ������ '���� ������� 1����� )��� ���� �������� ���������'�
41
4!4
1!(4 1)!C = =
−�� ��� $����������������� ��� ��� �� �������� ���'��
�����������������������������'������ �� ���� �������(���������������
���������(���������1�����)��� ��������
6 42 1 15 4 60C C× = × =
+��������'��������������������������������'������ �� ���� �������(��������
������ ����������(���������1�����)��� ���'������������� ��"����(��������
������ ����������(���������1�����)��� ���������"&���������
�
������ ����������������������70
��� ����������� ����������� � ����
�� ������������������ ������ �����'���
������� (� ����� ����������� �������������������
������������ (� ��������������������������
��������� (� ����� ����������
�� >��� �������� �������'����������������(� ���������(� ���� ��
�����������(� ����������
�� 1� �������'������������(� ����� ����'������������������,
�� ��������� ������� �� ���� ��������������������/��������������� �� ��/�� ��
���������� ����� <�� ����� "�� �������� �� �����$� �� ������� ������� �����������
��� ����(��������������������������������� ������ ������1� ������ ���������
����� �����������������,
�� -� ���������� �� +��� ��� ���1�������������������� �� ���� �� �� �� 1���������
@��'��� ��� �������������� �� ���� �������� ��@��'��� �������� ���'��������� �
���� �� 1� ���� ���'��� ���� � �� �������� '���� ������ ������� �� �� �� �������/
�� ���������� ����� ����
�� $� ��+��� ������@��'��� ����������1�������
�� $� ���� ���'����� +��� ����������@��'��� ���
�� $� ��+��� �������� ���'���������1�����������@��'��� ���
�� $��� ��������� �!������/������4'��'�&'�5'��'�%'�6'�*'�&'��'��������1� �������'��
�� ����'������ �!� ����� �����������'� ������
�� � �!��� ����'��� �!�;����,
�� � �!��� ����'��� �!���������,
� $� �� �������������� &�� ��� ��� ��� ���� �� ���������������������/���������'���
�� �� ���� �� �� �������1� �������'��� �� ����������'�������������/��������
����� ��������
�� ��������/������������������'���������'�������,
�� ��������/������������������������'���������'�������,
�� �����
�� 4��������
�� <E�:��E�����2<�:��3E
�� 6! 3!× ����� (6 3)!×�� ������<E�:��E�9�2<�:��3E������ 6! 3!× �9� (6 3)!× ,
�� 6�����������(��
��
1 1 112! 4! 4!− = ��
10 54! 5! 4!3
=+ ��
3 2 1 438! 7! 6! 8!− + =
�� 1����������(��������� 1n ≥ ��� ����� ! ( 1)! ( 1)!( 1)n n n n− − = − −�� 6�������������/�������� �������� �����
��5
3P ��12
5P ��7
23!P
Latihan 2.1
������� ��� ������� 71
� 1� �������'������������'���� �� �� ���� �� �� ������'��������������� �� �����/
�������� ���������
�� ����������� ���&������������" ������ ��"��#��<������G
"� 1� �������'������������ �!�'�������������������� ��� �!/� �!��� ��������
���� ���� ���������
�� *'�5'��'�5������,
�� �'�6'�*'�7'��'��'��'�'������
"� �'�8'��'�8'��'��'�8'��'������
#� $���������� ���� � ������'����������������� ������� ����� ���� �� �� � ����
2�����������������3��1� �������'������������(� ���'������������ ������������
'���� �� �����
�� ��������� ������������������,
�� ��������� ���������������������������������,
�� ��������� ���������������������������������,
<� 4�����������'����� ������ �������� ��������� /���� �'���� �� ������������
�� ����� �'������ �������
�� <����� �'������ �������
G� ��������������������"������� ������ �������������������'������ ����/
������*������� ������ ����� �������������������������������������1� ���
���'��� ���������� ������ �����'���� �� ����,
�&� $� �������/�������� �������������������������������/���������'������ �� ������
��������������������/������������� �������1� �������'�������������������
'������������������,
�� ��� ������"�
�� ��� ��"������#�
�� &�������������� ��"������#�
!"�����
�� 4����������������/����������� �����
��53C ��
125C ��
723!C
�� 1����������(�
��10 103 7C C= ��
12 104 8C C= ��
n nk n kC C −=
�� 4����������������������� �������� �����
��1
4 3n nC C+ = ��
13 24n nC C+ = �� 2 4 5nC n= +
�� +�������� ��� ������ �)%������ ���� �� ��� � &� � �����$� �� �&� ����� '���
����������������������� �����'������������� ������ ������'������ �� ���� ���
�������� ���������������������� �������������� ������ ��'����������������
���� ����������� ���� ����� ����������� ��� ������ ���� ��������'��������'��
��(�����'���� ���,
� 6� ������"����(������/��������������(���� �������$�������� ����-�*��������
�'� ��� ����� ���� �� �� �� �� �� � � ���� ���(�� '���� ���� ���/�� ����'�
�� ����������������(���� �������1� �������'����� ������������� �������,
������ ����������������������72
��� /�� ��0������� �$�&���
����������� �����������������������������(���� ��(�� ��� ������������ ���
�� ���� ������ ������$�������������'�� �� ���� ����������������������� ���
�����������'���� ���������������������� ������4��� ������'����������� �����
���������������������� ���������� ����(��������� �����
%������������������ ����������������������������������������������������
*������������� �����2������������������� ��������3������������� !�� ��4������� ������
����� ������������������������������������'����������� �2�3������������'�
�����������2�3��=�������� ���#�
���������9�4�� �� ��"����������� ������� ���������������
��������!!!�� ��� �
4������� ������������ � ���������������� ���������� ����� ������� �� ���������
'�������������������������� ������"���� �������������� ���<�
���������:�4�� �� ��"����������� ��������(������� � �����
%��������������������������������'���������� ������������������ �'�������������
�� ��������������������������!������� �'���������'�����
�� ��������������� ������������������ ��������������������'��������������&���
������������1���*�����������������������������'�������&��� � ����� �� ���
��&��� ���&�����
�� ���� ��������������������������������������������������������'����������� ����
����� ��������� �������������'������������� ��� ������������������ �����
���� ������ ����� ��������������������� ���� �������� ����������������� ��
�� ���������������� �����������$������������������� ������������� ��������
��������������
4��������� �� ���������� '���������������������� �������� ��������������
��� �� ������� ����� ��� �� � � �� '���� ������'�� ����������� ������� ��� $���
�� ������������� ��������������������������������� ���� �������������9�H��'��
I�� ����������������� ������������� ��� ����������� ����� ���� ����� ������'�
��������9�H������������� ��"�I���������/�������� ������������������������������������������
� � �� J����� ������ ����� �� ������� ������ ��� ������������� ����� ����
����'��� �� ������ ������� '�������������� ����������������� ������������� ��
������������������������'���������������������������� ������"�
������� ��� ������� 73
����� $�&��� � 0���� �
*�������� ���� ���������� ���������������'������'������'��� ����� �����
�������-����������� ������������� ����������������������������������/
��������� ���� ����������
/ H�I�'����������������������������� �
/ H�I�'�������������������������������
���������������������� ������������� �������������������������������/
���������������
/ H�I�'�������������������������������
/ H�I�'�������������������������������
/ H�I�'�������������������������������
/ H�I�'�������������������������������
/ H I�'����������������������������� �
/ H"I�'�����������������������������"�
� � � �����
6�������� ������������� ���� �������������������� ��������������������
�����
�����������
$��������������!�� �������� ������������� �������������������������
#�!��� �������������� !�� ���������� ��������2� ��3 ���
*������ ���� �����������'�����������.�H�2�'�3'�2�'�3'�2�'�3'�2�'�3�I�
������ $�&��� ���&����
4����� '���� �� ������� � ������ ����� ����� ���� ������ � ��� ������
� �������������������� �����$�������������������/��������������� �����
������������������ ����������������� �����$�������������������������/��������
������ �� ���� ��������� �������������������������������������������������&���
��&������%�����'�����������
/ H������ I�'��������������������'�������������������
/ H������"I�'��������������������'�����������������
/ H��� ��"I�'��������������������'������������������ ����
/ H���������"I�'��������������������'����������������� ��������
/ H��"I�'��������������������'��������������������������������������� �
$����������� ��������������������������������� ����������������
����������������������������=���� �������� ��������������� ��������������
�������������������������������� ����� ���������������� ����������
�������=�������������������������������������������� ������������
�������������� ������������������
�
2����3
�����2� ���
�����2� ���
#
�
#
2����3
2����3 2����3
������ ����������������������74
#�!��� ����$ ����� � ��� � ���������� � �� �$�&���
�� $���� ������ ����� ���������� �� � ���� ������ ���� ��� ���� ��'�� �����
�� ������� ��������� �����������'��
�� ����������� ���������������� ���������������������'������������������������
�������������������� ���������������������������������� ������������������
�� �������%����������(��2;;;3����������������� ���������������������������
2;��3������ ����������������� �������������������������������'���� ������
����2�;�3������ ����������������� ��������������������� ���������������
�����������������������������������
�� 6������� ����� ������ ������ �������� ����� �� ����� �� '����������
���������
�� ����'���������������������������������(������������� �������'��
��������� �����������������������,
�� 1���������������� ��������� ��(�� ������ ����� ���������� ����� ����
����'������� ���/�� ����'����� ���������������,
�� $��������������������������� ��� �����6�������� �����������'���+�����
�������������������� ���������������G��$��������������������� ���������
�� ����������������� ����������������������%��������������������� ��� ������
���������������������������� �������������'�$�����%�����������������������
�� %������������������������������������� �������������� ����������������
�����������'���%���������� �������������������� ������������ �����#�
������������������ ������������� ����������������� ��������������,
� ������������������ ��������� ����������� ����� ���������� ���� ���� �
�� �������4�����'������������������������ �����������������������������
������������������ � ������%�����'��
/ 2��� 3����������������������'���������������������������� ��������
��������� �
/ 2>���3����������������������'����������� ������������������������
������������������������ ���'��
#� �������� � $�&���
4�������������
��������������
4�������������
4��������������'������'�
����'������������
4��������������'���
����'���������� �����������
J������������
6����������
*�������
*�������� ���� ���
*�������������
Latihan 2.2
������� ��� ������� 75
�� 1� �������'���������������������� ����������,�6������� �����������'��
�� 6���������������/����������� ����� �������������������������
/ ���������������'������������������������������������ ���������
�����������
/ ���������������'������ ����������������������������������� ��
�����������
/ ���������������'����������� ���������������������������������
�����������
��% ����� ��0�����$�&���
-��������;�������� �/� ��������� ������������������/���������'�������������
����� ������������ �������� ������ 0�� ���� ���� � ����������� �� �������6�
5�������� %��������� ������� �������� �������� �� �����0�� 01� ���� ����
����������0������������������� �����������������'��������� ����������� �� �����
������� ���/�� ���������� ����'���� �� ����!����6� �� ����'��!���������������������
���������'���������������������� �����
*���/���������������������������� ��������'�������� ������������� ������
�����'���� ������������� ��� ������������������ �������� ������������� ��
����� ����� ����������� ����������������� ������� ����� �� ���������� ��� ��
2�� ��3��$�������������� ��� �� '����������� �� �� �/�� ���� ���������� ���
��'������� ����� �������������������� �� ����� ����� ������ �� �����'�� ��������������
�������� �������������������������2�(���-��0� ����� � �-3�
6� ���������� ��������������������������������������������������� �� ����
��������� ����� � .����� ��� ��!������� ������.���� ����� ��.� ��������� ���������
������ ����� �� �� ��� ��� ��� ���� ����������$���������������� ��������
����������� ���� ������������%-�������5����� �������������������������������������� �
����������������������������� �����������
� � � ��%��
-������ ������������ ����������������������������������������������������/
����������� �����
�� *��������������'�������������������������� ������ ����
�� *��������������'����������������������
�� *��������������'������������������ �
�����������
-������ ������������ ����������� ��������"������'������������������'����
���������������������������������� �������"�����������/�������������������'��
���������������$�����������������9�"�
�� %�������������������������������'�������������������������� ������ ����
�����/�����������������������������������9���
+������������������������������2 16 3( ) k
nP A = = = �
�� %��������$����������������������'�������������������������������������/
�������������������������� ������������9���
+����������������������$�������3 16 2( ) k
nP B = = = �
�� %��������%����������������������'������������������ ������������9���������/
�������������������������� ������������9���
+����������������������%�������2 16 3( ) k
nP C = = = �
�
������ ����������������������76
� � � ��%��
$���� �������������� ���� "� ������� (� ���� ��������������� (� ����� ���$� �
������ �������������������������� ��������1� ���������������������������'��� ����
'���� �� ����� ����
�� �����'��� �, �� �������� ��������������� �,
�����������
*������������!���������� ��������������������'���������������������$� ���&
���������������������������� ��'������
103
10! 10!120
3!(10 3)! 3!7!n C= = = =
−��� �
�� �������� ����������� ��"������� ������� ��'�����
63
6! 10!20
3!(6 3)! 3!3!k C= = = =
−��� �
+�������������'������ �����������/�����'�������� �������
20 1120 6(3 bola merah)P = =
�� �������� ���������� ������� ��'�����
6 42 1
6! 4!15 4 60
2!4! 1!3!k C C= = = × =× × ��� �
+�������������'������ ������������� ���������� �������
60 1120 2(2 bola merah dan 1 bola biru)P = =
�*��������������������������������������������������������������������(��
����� '�������'��� �������� ���'����������� �� ����� ��������������������� �����
�������
� � � ��%�%
6� ������ �&� ���(��'���������� �'� ���������� ��������������������� �����
�%���$� �� ������������� �����"� ���(��������������� �������� ���(��������������
)��� ����6��'��������������� ������������� ���(���'���� �� �� ���� ���� ���(��������
������ ����� �� ���(��������� ������ )��� ���� � 1� ��������������������� ���
��������������� ��� ���
�����������
$��������� ��������������� ���&����(��������������(��������'��������������� ��'�
���
103
10! 10!120
3!(10 3)! 3!7!n C= = = =
−��� ��
$� ���������������������������'�����������'������ �� ���� �������(���������������
���� �� ���(��������� ������ )��� ��� ������ �����'��� "&� �� ��� +����� �������������
��� ���� ���������������������'���� �� �� ���� �� �� ���(���������������
���������(���������������)��� ��������
(2 siswa pandai komputer dan 1 siswa pandai Bahasa Inggris)P = � ="& �
��& �
�
������� ��� ������� 77
�� ����� �� �� ��� ��� ��� �/�� ��0�����
-������������������'�����������������������������������!��������������������
'���� ����'�� ���� ����� ���� �� ������ 2��<3� ������ ����� ����������� ������
���������������� ����� �����������
"�.� ���� 4����� ��� �� ��� ��� ��� �/�� ��0�����5
%���������������� ������������������� �������'��������������������� ���
����'��� ���������� ����������������� +����6� ������ ��������������
������� E S⊆ �����������������������6����� ��������
�����������������������������������������
( )( )
( )n E
P En S
=����������������������������������������������������������2��<3
������� ( )n E ����������������������������������������6�
������������������������������� �������������
$������ ����������� ������2��<3������������������������������ ������� �'�
�������� ����������������*���� ������ ��������� �� ��� �� ���������(��������
������� ( )∅ ������ ������� ��������� �� ������� ��������5��� �� ���� ���� ����
����'����������
E S∅ ⊆ ⊆�������'����� ���� ( ) 0n ∅ = �����
0 ( ) ( ) ( )n n E n S= ∅ ≤ ≤
+����������������� ��� ����������������������� ( )n S �����
0 ( ) ( )( ) ( ) ( )
n E n Sn S n S n S
≤ ≤��������� 0 ( ) 1P E≤ ≤
$� �������������������������'����������(������ ��������������������6�����'��
�������� �� &� ������������� ���$������� ( ) 0P E = � ����� ������ ���������6� �������
��&��� ��� ���������� ���&��6� ������������������ ( ) 1P E = ���������������������6
����������&��� ��� �������� ���&���
%�������������'������� ���������������������������'����������� #��� �� ����
���� ������������������������1� ����������������������� �����������#� �����
������� ����������*���������������������������������'������������� ������6����
��������������������'�����������'������������� ��� ��"��'�����cS �9�H#��<��G�D�I
���������������'������������� ���������� ���������������� ���� ����������
��'���� ��� �������������������������'���������� ������������cS ���������������
'����������� �� ������$������� ���� ��������(�
( ) 1P S = ��� ( ) 0cP S =� � � ��%�'
6������������������������������� �������� ���� �������4���������������������
��������/����������� �����
�� *��������������'�� �������������� �
�� *��������������'��������������� ���������������������
������ ����������������������78
�����������
J����� ������ �� �� �� ������������ ���� ����� ���������������� ����� ���� �
�� ������ �����
{ }( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )S AAA AAG AGA AGG GAA GAG GGA GGG= �
�������� ( ) 8n S = �
�� %��������6����������������������'���������������� ������ {( )}E GGG= ����
( ) 1n E = �
+�������� ��� ����2��G3������������������������'���������������� ������
( ) 1( )
( ) 8n E
P En S
= =
�� %��������<����������������������'��������������� �������������������������
{ }( ), ( ), ( )F AGG GAG GGA= �������� ( ) 3n F =+����������������������������'���������������� ��������������������������
( )( )
( ) 83n F
P Fn S
= =
�
� � � ��%�(
$��������������������������� ��������������� ���� �������4���������������������
��������/����������� �����
�� *��������������'������������� ���� �
�� *��������������'������������� �������������������������������������
� ���
�� *��������������'����������������������������<�
�����������
J����� �������� ������������ �������������� ����� �������� ���� ���/���
���������������'������������'�������� ���������������� � ���������� �����
����
#�!��� ��%�/�� ��0���������� !�� ���������� �"���"���0����7 ��
F�������������'� ( ) 6 6 36n S = × = �
"����������
� ( )� % '
"���$���
�
%
'
�
)
(
2���3 2���3 2���3 2���3 2�� 3 2��"3
2���3 2���3 2���3 2���3 2�� 3 2��"3
2���3 2���3 2���3 2���3 2��"32�� 3
2"��3 2"��3 2"��3 2"��3 2"�"32"� 3
2 ��3 2 ��3 2 ��3 2 ��3 2 �"32 � 3
2���3 2���3 2���3 2���3 2��"32�� 3
������� ��� ������� 79
�� %�����'�� 1E ����������������������'������������� ���� �����
{ }1 (5,1), (5, 2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5,6)E = ��������� 1( 6)n E =+����������������������������'������������� ���� ������
11
( ) 6 1( )
( ) 36 6n E
P En S
= = =
�� %�����'�� 2E ����������������������'������������� ����������������������
���������������� �������
{ }2 (2, 2), (2,3), (2,5), (3, 2), (3,3), (3,5), (5, 2), (5,3), (5,5)E = ��������� 2( 9)n E =+����� �������� ���������������'������������� ����������������������
���������� ��������
22
( ) 9 1( )
( ) 36 4n E
P En S
= = =
�� %�����'�� 3E ����������������������'����������������������������<�����
{ }3 (2,6), (3,5), (4, 4), (5,3), (6, 2)E = ��������� 3( 5)n E =+����������������������������'����������������������������<������
33
( ) 5( )
( ) 36n E
P En S
= =
�
��%�� ������ ��������� � 0�����$�&���
*�������� ��������(�� ����� ������������������ ����������� ���� �������
���������������������������'�� ����� ���������� ����� ���� � ������ ����
'����
12( ) ( )P A P G= =
+������������������������������� �����&�������������� �����
������'�������������9�12 20 10× = �������������'����������� �9�
12 20 10× =
%�������������� ������'��� ������������'���������������������
1���������&�'������'�������� ��������'������������������'������������
�������� .����� ��� ����� � ��&��� ��� ��� ��� ����� � ���� ������� ������
����� � �������������� ����� �����'��� �&� ������ 1�������� �&� '���������
��'�������� ��������'������������������'����������� ���������.����� ��
����� ���&��� ��� ��� �����������!���������� ������������ ���������
���������������'����&�������$���������������.����� �������� ����������'��
���������'������� ������������ �� ������������������ ��������-������������
������������'� ���������������� ��������������� �'��! ��������� ����
�� �� ���������������
%���������������� ����������������������'���������������263������
�����������������6��1��� �'��! ��������� ��������������6������
����������������������������������������������� ( ) ( )hF E n P E= × �����������������������������������2��G3
������ ����������������������80
� � � ��%�)
- �'������������������� �������� �������� ������� ������� ������ ������
����'��� �������� ����� ���� &�G�� � +���� ����� �� �������� ���� ������
�����'��� �&&&� ������� ������ �������� �� ���� ���'��� ������ ������� '���
��� �����������
�����������
1��'������������������������9��&&&��%��������6����������������������������
������������������263�9�&�G�� +��������'��������� �������'������� �����
����������
( ) ( ) 1000 0,9 900hF E n P E= × = × = ��������
�
��%��� � ����� ��$ ������ � 0�����$�&���
.���������� ����� ����� �������� ������ ���������� ����� �� ������
��������� �������������� ������������������������������ ����������
{1, 2,3, 4,5,6}S = ��%��������6����������������������'��������������������
'�����6�9� H���� I��%�������� cE ����������������������'������������������
���� ��� '����� {1, 2,5,6}cE = ������ cE � ��������� ������ ���&��� � �� ��6�
�����������������������������6��cE �� ������ ������������������������
���� ��7������ ���������
���������:�& �����=����(�������6'�6"'������
$����������� ( ) 2n E = �� ( ) 4cn E = ���� ( ) 6n S = ������������ �������������
( ) ( ) ( )cn E n E n S+ =
+���������� ��������������������� ( )n S ���������� ���
( ) ( )1
( ) ( )
cn E n En S n S
+ =
$����������� ����� ����2��<3��
( )( )
( )n E
P En S
= �����
( )( )
( )
cc n E
P En S
= �����
( ) ( ) 1cP E P E+ = �⇔ ( ) 1 ( )cP E P E= −���� ����� ������������ ����������� �������������
"
�
�
�
6
6"
�
�
������� ��� ������� 81
+����cE ������������������������6����������������������������
��������������������������������������� ( ) 1 ( )cP E P E= − �������������������������������������������2���&3
������� ( )P E ������������������������6�������������������������������
� � � ��%�*
1� ���� �������� ����� ��-=B���(������������������4��������������������
� � � �� ���� ��� ������ ������ 1� ���� �������� ��������� ���� ��� ���������
�������,
�����������
%��������6� ��������������� ���� ��� ������������������ ���(����� ��������
����
25 5( )
30 6P E = = ���*����������������6�������
cE ��'������������������ ��
������������ ���(��������������5����� ���������� ������������
5 1( ) 1 ( ) 1
6 6cP E P E= − = − =
+�������������������������� ��������������� ���(�������������������
16 �
�
�� $����������������������� �����&������������� �������&������������������+���
����������� ���������� ����������������������������������� ���� ����,
�� $������������������������� ����%� ��23�������� ����*������2�3������������ ���
4����� 243��$������ ���� �� ����� ���������� �����6�������� ����� �������� �
�� ������� ����� ������ ������� ��������� ���� ���� ������������ ������
����������'�������,�6���������23���2�3���243�������2cM 3�
�� +���������������������������������������������������� ����� �����������
����� �������� ������������ ���� ������� ���������� ����������� ������
��������� ���� ���������������������������������'���� ���,�6�������
�23���2�3���243�������2cM 3�
�� $� ��� �!� ��'�$� �� ����%� ��������� ��������� �!��������� �!/� �!�����
�� �������$� ����������'�������� ������������������������������4�������
�����������������'������ ���������
�� ���������������������� �!/� �!�'������ ����,
�� ���������������������� �!/� �!�'�������,
� $����������������� �������&���� �������������� ���� �������� ����$� �
��������������������������������1� �����������������������'������ ��������������
�� ������/�����'�� ��������,
�� ����� ������������������� �������� ��,
�� ����� ������������������� �������� ��,
Latihan 2.3
������ ����������������������82
"� $������������ ����� ���������� � �����'��� ��&� ������4�������� ! �������
� �������������/����������� �����
�� *��������������'������������� ������
�� *��������������'�����������������������������
�� *��������������'������������� ������������������������������
�� *��������������'���������������������������������<�
�� *��������������'�� ������������������������������������
#� �������� ��������������� ����� ������� ������� �&&&����� � ������� �
+������������ ������� �����'����������������&�G ���� �������'���� �������
'������� ����������,
<� ���������������� ������������@�'����� ����������������� ����������+�����������
�����������&�"��
�� 1� ������������@�'��������������,
�� +���� ��������������������"&������� �� ��������� ������� ����'������� �����
������ ����,
G� �������������������� ��������'������ �����&������� ����������������������"
�����������4�������������������������'������ ���������������
�� ������ �
�� �����������
�� ������������ �
�� ���������������
�&� $� �� �&� ���(���%��'���� �� �� ���� �� "�� ������� ��(������ �������������� ��
5��������'������ �� ���� ����� �����1� �������������� �������'����������
'���� �� �� ���� ��
�� ������/�����'�� ���(��� ��,
�� ������/�����'�������� ���(��� ��,
�� ����������'������ �������(��� ��,
�� ���� ���/�� ����'���� ���(��(�����,
��' ����� ��$�&��� ���&����
*������ �������������� ����� ��������9� H��� ��� ��� ��� �� "� I��� ��������� ������
������ ������������������������%�������������������������%������'����������
������������������9�H������ �I�������$����������������������'������������ �����������
{2, 3, 5}B = ��$� ������������������� �������������������� ������������������
/ *��������������'��������������������������������������������� ����'���
������������������������������������������������
{1, 2, 3, 5}A B∪ =/ *��������������'�������������������������������������������� ����'���
������������������������������������������������
{3, 5}A B∩ =
������� ��� ������� 83
)���� ������ ���������������������������������� ���������������� ��7������ �����
���������>������ �������������� � ���
��'�� ����� ��8�!� �� �"���$�&���
$����������������� ��!��/��!��� ��������� ���� ������� ����� �����
����������������������������������������*�������������������(�����'��
���������� ��������� A B∪ �������
( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩+���������� ��������������������� ( )n S ��������� ( )n S ����������'����������
����� ������������������������� ���
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
n A B n A n B n A Bn S n S n S n S∪ ∩
= + −
%��� �����!������������������������� ������������� ������2��<3�����
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩4������� ������������������ ��������������������� �������������
����� ��� &�����
+����������$����������� ������������������������� �������������
��������������������� A B∪ ������
������������������������������� ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ ���������������������������2����3
� � � ��'��
������ ����� ����� ���������� ���� �������� �� ������ �������� ��������
������'����������������������������������'�����������������,
�����������
J�������������9� H�������� �"I�������� ( ) 6n S = ��%����������������������'�
��������������������������$� ���������������'�����������������'���
������������������
��9�H����"I�� � �$�9�H��"I������ {6}A B∩ =
������� ( ) 3n A = �� ( ) 2n B = ������ ( ) 1n A B∩ = ��$�����������
3 1( )
6 2P A = = ��
2 1( )
6 3P B = = �����
1( )
6P A B∩ =
�
�
��
"
�$
�
�
�
�
"
�$
�
�
������ ����������������������84
$������ ������������2����3�������� ���
( ) ( ) ( ) ( )
=1 1 1 22 3 6 3
∪ = + − ∩
+ − =
P A B P A P B P A B
+����������������������������'����������������������������������'���
��������������������
�
�
�
�� � � ��'��
$��������������� ����� ������� ���� ������ �� ������������ ���������2♠3��� (� ��
���������� ��� ������� 2♣3�� ����� ������� 2♥3��� (� ���� ������������ ��
�� �����2♦3��� (� ���� ������������������ �� ��������� ������ ��� ��������������
�&��+����273��J����2+3��J����2�3���������2�#��+������������������ ����� ���������
�� ����� ���� �� �����������������������'���� �� ����� ������� ����� (� ��
���������������� �����
�����������
+������ ���'������ (� ������������"������'������� �������������������
%�������������������������'���� �����������
�2�3�9�
26 152 2
=
%��������$� ���������������������'���� ������*� ���� � �� ������ ���� �����
���
�2$3�9�
4 152 13
=
6�������� �� �� �� ����� �� ������ �� �� ��� ��� '���������'������� �� ���������
���������������
2 1( )
52 26P A B∩ = =
5����� ������������������� ��������� ���������������� ���������
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 72 13 26 13
∪ = + − ∩
= + − =
P A B P A P B P A B
+����������������������'������ ������������ ����� (� ������������������� ��
��������
#
��
�
�
��'��� � ����� ��8�!� �� �"���$�&��� � �� �� 0��� �� 3����
%��������������� ������������ ������������������������ ������������������
/ *�������������������������������'�������������������'�������9�H������� I�
/ *��������$����������������������'������������������'�����$�9�H�������"I�
������� ��� ������� 85
%����������������(�� A B∩ = ∅ ������������������� �������������������
��(��������������������������$� �����������&��� ��� �� �������$��� �
7������ ����������������������� ���������������� ����&��� �����
�������������������������?�&�������� ������ ���� ��
*� ���� A B∩ = ∅ ������ ( ) 0P A B∩ = �� �5����� ���� ����� ���������� ���� ����
��������������������� ������ ������2����3�������� ���
( ) ( ) ( ) 0P A B P A P B∪ = + − �������� ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +4��������� ��������� ��������������� ������������������������������
+����������$� �������������������������� ����������� �������������
��������������������� A B∪ ������
���������������������������������� ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + ������������������������������������2����3
� � � ��'�%
�������� �������������� ��������� ������������� ����� ����1� �������������
���������'������ ������������� ���������������� ����� (� ���� �,
�����������
%�������������������������'������ ������� �������������� ( ) 13n A = �
�2�3�9�
13 152 4
=
+���� �� ��� '���� �� (� ���� �� ���� �"� ����� '����� ���� ���� �� �����
%��������$����������������'���� �����������
�2$3�9�
26 152 2
=
*� ����������$��������������������'������������������������� ���2����3
( ) ( ) ( )
1 1 34 2 4
∪ = +
= + =
P A B P A P B
+������������������������ ������� ���������������� ����� (� ���� ��������
�
�
�
�
� �
"
�
�� $
�
������ ����������������������86
��'�% ����� ��8�!� �� �"���$�&��� � �� �� 0��� �� ��!��
$��������������������������� ��������������� ���� �������%��������
/ *�������������������������������'������������� �������������'����
��9� H� 2��� �3�� 2���3�� 2���3�2���3�� 2�� 3�� 2��"3� I�
/ *��������$����������������������'����������������������� ��'����
$�9� H� 2��� 3�� 2�� 3�� 2�� 3�2�� 3�� 2 � 3�� 2"� 3� I�
*��������������'�� ������ �� ����� ����� �� ���� ������ ������� ��� ���
���������������'�������� ������������������������������'���$�������������
����$����������������&��� ����� ��!�!�������� �����
*�����������������������$�������������������������������������������
������������������������ ����������������$��������������'����������
$�������������� ������������������
����� �"���������������������� �����������������������������������������������
�������������
*������������������������ �������������������$� ����������� ������
���������������������������4������� ����������� ���������6��������������(��
#�!��� ��'����������� !�� ���������� �"���"���0����7 ��
$� ��������� ������������������(�� {(3,5)}A B∩ = ��������� �������������
������ ���'������(� �����=���� �������
( ) 36n S = �� ( ) 6n A = �� ( ) 6n B = ������ ( ) 1n A B∩ = �
�������
���
( ) 6 1( )
( ) 36 6n A
P An S
= = =�
���
( ) 6 1( )
( ) 36 6n B
P Bn S
= = =�����
( ) 1( )
( ) 36n A B
P A Bn S∩
∩ = =�
"����������
� ( )� % '
"���$���
�
%
'
�
)
(
2���3 2���3 2���3 2���3 2�� 3 2��"3
2���3 2���3 2���3 2���3 2�� 3 2��"3
2���3 2���3 2���3 2���3 2��"32�� 3
2"��3 2"��3 2"��3 2"��3 2"�"32"� 3
2 ��3 2 ��3 2 ��3 2 ��3 2 �"32 � 3
2���3 2���3 2���3 2���3 2��"32�� 3
������� ��� ������� 87
6�������(���� ����������/��������� ���� �� �������������
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×4����������� ������������������ ������������������������������
+����������$���������������������������������������� �����
����������������������������������� ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × ��������������������������������������2����3
��������'�������� ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ ≠ × �����������������������������
$�������������
� � � ��'�'
$����������������� ���������� ����� ���� ��������������*���������� �����
���������������'���������������������� ������������������������$������
���������������'�����������������������������������<��-� �����������
���������������$���������������������'����������������,
�����������
J����� �������� ���� ������� ���� �� ����������� ������ ������������ ( ) 36n S = �
*�������� { }(3,1), (3, 2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3, 6)A = �� ( ) 6n A = �����
( ) 6 1( )
( ) 36 6n A
P An S
= = =�
*�������� { }(2,6), (3,5), (4, 4), (5,3), (6, 2)B = �� ( ) 5n B = �����
( ) 5( )
( ) 36n B
P Bn S
= =�
*�������� { }(3,5)A B∩ = ��������� ( ) 1n A B∩ = ������
( ) 1( )
( ) 36n A B
P A Bn S∩
∩ = =�
$������������� �������������������� ���
1 1 536 6 36≠ × ������� ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ ≠ ×
$� ���� ������ 2����3�� ����������� �������������$� �������������������'���
�������������������
�
� � � ��'�(
%��������������$����������������'��������������������������������������������
+����12( )P A = �����
34( )P A B∪ = ���������������������������$�
������ ����������������������88
�����������
*� ����������������������������$��������������������� ����
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×$� ��'����������������� ���
12( ) ( )P A B P B∩ =
*� ����������$�������������������� ��������������
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
����������12( )P A = ��
34( )P A B∪ = ������
12( ) ( )P A B P B∩ = ������ ����
3 1( ) ( )
4 212
P B P B= + − ⇔3 1 1
( )4 2 4
12
P B = − =
⇔1 1
( ) 24 2
P B = × =
+����������������������$������� ( )P A =��
�
�
��
�� $��������������������������� �����������������������������������������
������
�� ������������������������� ���
�� �������������� �
�� ��������������#��������������� ��� ��#�
�� ��� ��������� ���� ����������������������������������� ��������'�@����
A��%��� ����� �� ����'�������������� �������������/������� ������
�����/������������
�
��
�
�&
������
�
�&
��1� �������������� �����������
�� ����� ����������� ������������������ �������
�� ����� ����������� �������� ��������������@�
�� ����� ����� ������ ����� ������� �������
�� �������������� �� ����&����(���"&����(��������������������� &����(�������������
�������������&����(���������������'���+������� �������(����������� �����������
���� ���������� ������������
�� ����������������������������������
�� ������������������������������������������������������
�� ������ ����������� ������ �������� 67�����'��� �&� � �� �� ��� ��� <
������ ��'���� ���� ��!���������� G� ��� ���� ����������� �������� �������� �
�� ������!��������������������������� �����+����6������������������� ������ �
�������� ��������������6����������������������� �� ����� ��'������ ���
��!������������������ ���������������'�,
Latihan 2.4
������� ��� ������� 89
� ������ ������ �� �� �� �&� ���(�� ���� �&� ���(��� ������� �&� ���(�� ���� �&� ���(�
����'��������������������������������� ��<&��4��������������������� ���
'��������������� ���������������� �������(������������ ����'��������'��
������������� ��<&�
"� 4����� �� ;���'�������������������� ������ ������� ����������������������
����� ���������� ������ �&K����(�� ���������� ����������?� " K����(������ �����
����?����� K����(�������������������������������������������������$� ����������
����������� ������������� �������(����� ���������������(��������������������
�����������������������������,
#� $����������)��� ��������������� ����������������������������������������
))��� ������#�������� �������������������$� �������/������������������
��������������� ��������4����������������'������ ���������
�� ������� ���� ��������)������������ ���� ��������))
�� ������� ���� ��������)����������������� ��������))
�� ������������� ��������)������������ ���� ��������))
�� ������������� ��������)����������������� ��������))
<� $���������13( )P A = �
25( )P B = ������
35( )P A B∪ = ��6�����������(������������
�������������$��������������
G� %��������������$����������������'��������������������������������������������
+����13( )P A = �����
35( )P A B∪ = ���������������������������$�
�&� %��������������$����������������'������������������+����13( )P A = �����
23( )P B = �
�������
�� ( )P A B∩ ��� ( )c cP A B∩
�� ( )P A B∪ ��� ( )c cP A B∪
��( ����� ��$�&��� ����������
.�������������������� ������������� �'� ���������������� ������������� ��
����� ����� ��������'��� �����������%�����������������������'����������������
����������'� ������������'��������������������������� ��������������
J������������� ���������������9�H�������� �"I��%����������9�H���� I���������������
������'������������������ ����*�������������9�H���� I��������� ������������� �
���������������������'������������������������$�9�H�� I��$�������������������'�
���������$��������� �����������������'� ��������������������������������������
��������������� ��������������&��� �!���������
���� ������������'�����������������������������$������� �� ����������
���������L$�� ��������'��� �������'�����������$������������������������� �� ����
��������������$L��
1������������������������������������ �'� ����������������������� ������
��������
�������������� �������������������9�H�������� �"I�����������9�H���� I��$�9�H�� I�����
{3,5}A B∩ = ��$���������������������� ����
12( )P A = ��
13( )P B = ������
13( )P A B∩ = �
������ ����������������������90
������������ �����������'������ ����9�H���� I���2�3�9����*���������� �'� ���$L��9�H�� I�
�2$L�3�9�����-������������������ �'� ���$L�������
( | ) 2( | ) =
( ) 3n B A
P B An B
=�
�� ��������������� �'� ���$L���� ������������� �����������$�
$� ���������� ������������������������ ��������������(�
13������9�������
12���× ���
23
�� ����������������� ���������
� ( )P A B∩ �9��� ( )P B �× � ( | )P B A$� ����������������������� ���
( )( | )
( )P A B
P B AP B∩
=���������� ( ) 0P B ≠
-�������� ��� ��������� �� ����� '���� �� ����� ���� �� ��������� ��������
�� �'� ���
�� -��������������������������'� ������������$��� ���������������������
����������������������
( )( | )
( )P A B
P B AP B∩
= ���������� ( ) 0P B ≠ �������������������������2�����3
�� -��������������������������'� ������������$��� ���������������������
�����������������������������
( )( | )
( )P A B
P A BP A∩
= ���������� ( ) 0P A ≠ �������������������������2�����3
� � � ��(��
�������������� ��������������������������������������������'������������ ���������
�����@��*������������/�����'��������������������� ������������
#�!��� ��(
$������ ����� ����� ���� �� ������� �� ������ �� ������� 6������������������ �� ��������
�� ���������������� ��������
�����������
%������ ����������������������� �������������������������������'�����������$
��������'� ���������� ��������������������������6� ������<�������� ���������� �
���������������������������������������������'���������
8( )
11P X =
�
�
<
�
��
4����2$3 -����2B3 6����6����
"
�
6����
�
@
������� ��� ������� 91
$� ��<�������� ����������� ������ �������� (� �������2$3���������� 5B X∩ = �����
5( )
11P B X∩ =
$������ ������ ������2��� 3�������� ���
5118
11
( ) 5( / )
( ) 8∩
= = =P B X
P B XP X
+������������������������ ���������������� �������������� ( | )P B X = �
<
�
�
� � � ��(��
$�������� � ���� �� ��������� ���/����������� ���� �����'������������� ��������
*��������� ��� ����������� ���� �� ����� �� � ��������������������� ��������
�� ���������� �������� ������'���� ������ ������������6���������������
�� �����������
�� ��������������������������������/���
�� �������������������� ����
���������������������������/���
�������������������� ����
�� �� ���������������'��������������� ������������������������������������/
���
�����������
%�����������������������������/��������������������������*���������������� ����
�����������������
�� -���������������������������������������/����
-��� �����������������"�� ������ �� ���� ������ �������/����������� ���� �����
-����������/����������������������������� ���������
1( )P I =��
�"
-������� ���/���� ������ ���������� ������� ������� ������� �� ���/���
������������������� ���� 2���������� �'� ��3�� �����
2 1( ) 1|P I I = �
��
�
-������� ���/���� ������ ���������� ������� �������� ������� �� ���/���
������������������� ��������������������
3 2 1( ) 1| ,P I I I =�&
��
$��������� ��� ����2����3���������������������������� ���
1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( / ) ( / , )
12 11 10 0,392
16 15 14
∩ ∩ = × ×
= × × =
P I I I P I P I I P I I I
+���������������������������������������������/����������&��G��
������ ����������������������92
�� -������� ������������������������������ ���������
1( )P R = ��
�"
-����������/������������������������������������������� ��������������
��������� ���� 2���������� �'� ��3�� �����
1( )|P I R =��
�
-������� ��������������������������������������������� ��������������/���
������������������� ��������������������
2 1( , )|P R R I =�
��
$��������������
,1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( / ) ( / )
4 12 3 0, 0428.
16 15 14
P R I R P R P I R P R R I∩ ∩ = × ×
= × × =
+���������������������������������� ���������������������������������/����
������������������������ �����������&�&��<�
�� 6� ����������������������������� �������������(�������
1 24 12 3
( ) 0,042816 15 14
P R I R∩ ∩ = × × =
1 24 3 12
( ) 0, 042816 15 14
P R I R∩ ∩ = × × =
1 212 4 3
( ) 0, 042816 15 14
P I R R∩ ∩ = × × =
+����������������������'��������������� ��������������������������������
���/���������� 3 0,0428 0,1284× = �
�
�������� ��������������������� 1M �� 2M ����� 3M ��*��� ����� �������������
�� �� ��/�� ��� ������ 1H �� 2H �� ���� 3H ��%����� ������������ "&K��� �� ���� �
� �������������������������� K��� ������ ��� ����������������������������
� K��� �� ���� ��� �������� ���������'���� ���� ������������ ������� ���������
��(�� K��� �����K��� ��������<&K��� ����������������+���������������� �������'�
����������� ���������� ����������������������������,�$����������������������
�����
Tugas Kelompok
������� ��� ������� 93
�� $������������������ ������ ����� ����� ��������� ������������������� ���
������ +����������� ���� ���� ���� �� �� ��/�� ��� ������������������� �� ���
���������� ����������� ��������,
�� %�������� �� ������������� �����'���� ����������� ��������"������ ����
'����������+��������������� ����������������������������������������� ���
���������� ����������������� �������������������������������,
�� $���� ������������ �� ������ �&� � ���� ���(��� ������� ��'���� ����������� �&
���(���� ���������������� � �����'���� ������ ���$���������� ���������� ���
���(��������� ���������������������������������
�� �� ���� �� �����������������������
�������� ��������������������
��������� ����������������� �
�� ��������(���� ����������������������������
�� �������(�� �� ������� �������������������������(���� ���������
�� ��� �������(��������������������������������������������&�"��+�������������
���������������������������������������������� �������&�<��4�������������
���(�� �� ������ ������������������������������� �
� �������������� ����#������������������������������+������ ���������� ������������
����������� �������������� ������������������������������������
�� �� �������������������
�� ������������� ���������������������������������������
�� �� �����������������������������������
"� $��������������������������� ������ ���������'��������������%��������
�����������������������'���������������������������������"�
$����������������������'�������������������������������������� ����
%����������������������'�����������������������������
$� ������/����� �������������
��� ( | )P A B ��� ( | )P A C
��� ( | )P B A ��� ( | )P C B#� -���(���1������#�#���������������'�������� ������� ��������������-���(��
�� �������������� �������������������� ������/������� ���������� ���������
������ +�������������� �����'���������9�&�<�������$�9�&�#�������%�9�&�"�����
�����&�9�&�G��4������������������������� ��
�� ����(��� �� ������������������ �������'�
�� ����(��� �� ������������������� �����������
�� ����(��� �� ������ ��'������� �������
<� +�������������������$�������/��������������2�3�9�
�
�
����� ( )P A B∪ =�
�
��4��������
�� �2$3 ��� ( | )cP B A
�� ( | )P A B
Latihan 2.5
������ ����������������������94
G� $���������������������������1���������2�3�9�
�
���2$3�9�
�
�
������ ( )P A B∪ =�
�
�
�� 6�����������(��������������������������$�� ����������������'���������
�����������������������������������������
�� 4�������� ( | )P A B ����� ( | )c cP A B
�&� -������������������ �������2�3� 9�
�
��������������������� �'� ����L$� �����
�2�L$3�9�
�
<
������������������������� �'� ���$L���������2$L�3�9�
�
�
��$� ������/
������������������
�� ( )P A B∩ �� ( )c cP A B∪
�� ��� ���-� ������
+����������������'���'���� ��������� ��������/��������� 2�/�3� �����/�����
�������'�� �� ��������� ���'���'�� �� ��������� �� ������ '���� �� ������ ���
������
�����
����
���D���
�
�� -� ������������ ��� �������� ���'����������������n
kP ������
!( )!
nk
nP
n k=
− �
�������k n≤ �
�� *�������������� ��� �������� ���'����������������nkC ������
!!( )!
nk
nC
k n k=
−�� *�������������������������������� ���������� �������
� *������������ �������������������'��������������������������� ���� ����
���������������������
"� *�������������� ������ ��������� '���� �� ������ �� �� ��������/��������
���� ����
#� J���������������������������������������������� ����������������� ������ �
�������� �������
<� -������������������� ���������2�3�� ������������� ��� �������� ��'������� ����
�����������������������'�����������������
G� +��������������������� ���������������
��cA A S∪ = �� 0 ( ) 1P A≤ ≤
��cA A∩ =∅ �� �2�3�9�������
c( ) 0P S =��
c( ) 1 ( )P A P A= −
Rangkuman
������� ��� ������� 95
���������������"��
��������!!!� ��"��0��C���"��
�&� ��� ���-��������
+����������$������������������ ��������
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ �
��� +����������������������������$������������������
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +��� -��������� �'� ��������������������������������������������$��������������
�� ������������������'�
( )( | )
( )P A B
P A BP B∩
=
��� +����������������������������$������������������
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×
%������'�� ��� �� ��������������
�� �(����� �� ����'���� �������� �������� ���
'������ ������������������������������������
���'��� � ���� '���� �� ����� ��(�� �� ���
����� ��������� �� ��������� ���������
�� ������ ������������������� ������������
5����� �������'�����������'���� ����������
����� ���������� ���� � ���� �����
����������� ���������������������������
������ �� ������ '���� ������ �������
����������� ������������ ����� ���� �
%��������(��� '������������ ���� �� ����
-�������=�����M��A� ��������+����1� �������
�������������� �����������'���������/
������� �����'������ ����������������������/
���������'������ ��!�����������������������
�������� ��� �� ��������� %�������� ����
�� �������������������������������
��������������������
Math Info
������ ����������������������96
�� �������"����"�" �����������������"�" ��$%���&��&������'�(���������
�����������)�!� '����������������������)
�� $� ����������� ��"��<������G�����������������'������ �� ������������ ������ ��"&&
������������1��'�����������/���������'��������������������
�� �" $� �<
1� �� N� �"
F� �&
�� -�� ������� ��� ������ ����� ������������� �����6� ������� �!��'�$'�&
�������������������������� ��B�� ������ ������������� �!���������������������
��� �!��1��'�������� ����'�������������� ����� ����������
�� "�<&& $� #�<&&
1� #��&& N� <���&
F� #� &&
<� $������������ ���� #� ������ ������ ������������$������ ������� ����������
-��������� �����'������ ���/�� ����'�������������������� ���
��
�#
��
$�
��
��
1�
�
��
N����
�
��
F�
�
��
G� $��������������������������� ������ �����-��������������������������
����������������������������������
��
�
�
$�
�
�
1�
�
�
N�
�
"
F�
�
�
�&� $����� �������� ��������� ����� ���� ���� �� �� ����� �����'��� �"&� �����
A ��������� ���������������������� �����#������&����������
�� �&����� $� ������
1� ������� N� ������
F� �����
Uji Kompetensi
������� ��� ������� 97
��� +������������� 3 2nC n= ������27
nC =�
�� ��& $� G&
1� ��" N� <&
F� ���
��� �������� ���������� ���� ��������� �� ����� ������ ����� ����-������� �� ����
�� ���� ��������� ���������������
��
��
�
$�
�&
�
1�
�"
�
N�
��
�
F�
�<
�
��� $������������ ����� ���������� ���� ���� ���� ������ �����'��� ����������
-����������������������'��������������������������������������������'� ��
���������������'�� ���������������������� ������ �� � �� ����������
���������
��
�
�
$�
�
�
1�
�
�
N�
�
"
F�
�
�
��� $�������� ����������� ���� ���������$� ��������2�3� 9� �O����2$3� 9� �O��� ���
( ) 1 4P A B∩ = ������ ( )P A B∪ =�
��
#
��
$�
#
<
1�
�
�
N����
��
��
F�
�
�
� � �������������� ���� �������������������������������$� �������� ������������
������ ���� ���� � ����� �������������������-���������������� �� ����� �����
����������������������� ������������������������������������������
���������
��
�
"
$�
�
"
1�
�<
"
N�
�
"
F�
�&
"
������ ����������������������98
�� ������ �"����"�" ��*� ��������������"�" ��+%��� '������������ ������
���� '����)
�"� $� �������/��������� ��"��#�����G�����������������'������ �� ���� �����������������
'������ ������1� �������'������������'������ �������'������ ������ ���&&,
�#� 6� ��������������������������������������������'������ ���������� ����1� �������'��
���������'�������������������������������������� �������/�������� �����,
�<� $� �� �&&� ���(����� ������ ������������������(���������� ���(��'���� ������
����������������#O�&���������� ���(��'���� ����������� ������������O�&�
���������������(��'���� �������������'��������#O�&��1� ���������(��'���
������������������������� ����������������������/����'�,
�G� -���������(�� ������������������ ���� ��� �O�������������� ��������$
������������ ����������O ��+����������$������/���������������� �����
����������(�������������������������������� ��,
�&� $���������������� �� ������ ��� ������� (� ���� ������ � ������� (� ��
������ +���� ����������������� ���� ��������� �������� ���������������� ���
������ ���������O ��+������������� (� ���� �������������������������
�������������������������� ���� ���������� �� (� ���� ���� ����
�����'����O ��6�������������� �
�� B�� /��� � �����������(���'�� +�(��6����� �� �� ���� �� �����������'���
�������������������������������+������� /��� �����������������������������
����������������������
�� ���'����������������� ������������+�(��6����
�� ���'����������������� ���������'����� ����������������������
�� ���'����������������� ���������'����� ���������������������������
������������ �����
�� ���'����������������� ���������'����� ������������������ ������ �
#�&&&�&&&
�� ����������� ���� �������������� ������� �� ����� �����������(���'��
6� ��������� ��������������(����'�����������$'�'������������������� �������
*�����'������ ��� �'����� ��������-�����������'�������������� ����������
�
�
��������������$���'�������������� �����
�
�
�� +�����2�L�3� �������������
����������������� �������'�����
�
�
�������2�L$3����������������������
��������� �����$�'�����
�
�
�� F� ����������������'�������������� ����������������
�� F� ����������������'�������������� ����������������
�� $������������������������ ��� ��������������������������(���'���
�����������,
Soal Analisis
������� ��� ������� 99
�� -������� ������ ������ ��� ������(���'���� ���������(���������������� �!�
��������������������������������'������ �� ���� ������������������� ��������
��������������� �!��-� �������������� �����
� � � �
����������� �!����������������� ������
�� ������ ������ ���������������������� ������ �������,
�� +��������� �!��� �����������&�� �� �������'��� ������������� ���
����� ������ ��� �'�����������������,
�� 6����� ��� ��(�� ���� ����������������� ���� ������ ! �������� ������ �����
%����������� �� �&&� ���(��� +����������� ��� ���� ���(�� ���� �� ������ �� ����
����������(�����������(���� �������������� ������ ��<&,
� $���� ��������'��� ���(��� �����'���� ����� ������������������'���
���� 2������ ������ +���3��%�����/����������'�����������'���� ���
������ ����������� ������������1� ������������� ���� �����
�� ������ ��'������������
�� ������ ��'������ � ����,
#&�:�#�
# �:�#G
<&�:�<�
< �:�<G
G&�:�G�
�
�&
&
�&
9�����2&�� ������ ��
������ ����������������������100
���������
B�� ��DDDDDD�� 6������ ��DDDD�
*���� ��P) %��� ��-���� ��-������
*������ ��DDDDDD�� ������ ����2����3
*������� ��1� ������ ����� ��
6����� ��%��������������������������������
�� ������ �!�� ��� ����� ���
�� �������� ����� ��
�� 1���� �������
�� �������������
�� ��������&�
�� 1������������'������ �� ��������� ����(��
�� ������������������������2����3������� ����� ����'������ �� ������������ ��
������2♠3���������� ����������2♣3��� (� ����������������� �������2♥3��������� ����� ����� 2♦3� �� (� ���� ��� +����� �� ������ ����� ��� �� �� ���� �� �"
�� ����� (� ������������"��� ����� (� ���� ��
�� ����������� �����������������������������! ���������� × ���&��� ������"&�6�������� ! �������� ������'�� �� ��� �� (� ��� � �� ���� ��������
��������'��
�� >��� ����� �!�����������������'���� ���� ��
� 6������������������������������� �������� �����'������ &������������
"� $� �������������������'�����������������������,
�� � ������
�� +������ �������������������� ������������������'���������������������
�����'����������2 0 ≤ ≤k n 3�������������������������'������������
�� ������
�� +���� ���'��� ����������� 2�3� ��������� ���� ������� ��������� �����
�� ����������������'���������������������'�������������,
�� 1��������������������������������������'��������������� �����,
Aktivitas Proyek
��
��
A ��������������'���� ��� �
-�������������'���� ���� �
�� ������ ���!��� 9 � �(: %-: '(: )-:
��������������������������� ����� 101
RUMUS-RUMUSTRIGONOMETRI���
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ����������� ������������������������������������
�� ����������� ��������������������������������������
�� ����������� ������������������������������������
�� ������������ ���������������������������������������������������� �������
�������������
� ����������� ���! ������������������������������������������
"� ����������� ���� � ������� �� ����� ���� ������� ���� ������ ����
���#����������
$� ���������� ����� ������� �� ��������������������������
%� ���������� ���� � ������� �� ��������� ��������� �� �����������������
����������
&� � ��#������������������ ���� � ������� �� ����������������������
�����������������������������������������������'������� ������� ���� �������
������
�������������������������������102
(��������� ��������� ������������������������ ������������������� �����������������
���������������������� )���� θ � ������ ����������� �� ����������� �� �������������������� �
�������� ������������� ����������� �����
sin cosW
Fμ
μ θ θ=
+
������� μ � �������������������'���������������*� ������������ �� ���������� θ � ��� �����
��������� ��������������� ����������� ����������#���������+
,������������������������������������������������� '�������� ���� ������
���� '������ � ������� ��� ����� ������� ������������ '������ � ������� �� ����� ���������
������ �����������-��������.����������������������#�����������
/�������������������� ���������� ��������������������������������������� ����������
�������� ���������� � ������� ���������*����� ���� ��� ��� ������������������������ ����� �����
������ ������� ���������������������������������������������� ����� ���������������������
�������� ��������������� ������������!������� � ������� �� ����������������������
����������������������� �!� ��������� ��������������������������� ����������
�����
��������� �!�� ��"� ����#� ���� �����������
��������$$$�%����� �� ����#
Pengantar
��������������������������� ����� 103
��� ��� ���������������� ������������������������
,��������-������������������ ���������������������� ����� ����������������
������������������������� �� )����������������� ������ 1 1( , )P x y ����� 2 2( , )Q x y �����
����������� ���������� ����� ������� ������������������&�������
2 2 21 2 1 2( ) ( )PQ x x y y= − + −
���� ��������������������������&������������ ���������� �� �!�� ���������� ���������0�
��������� ������ )���� XOP b∠ = ����� XOQ a∠ = ��������� ������������&� �����
(cos ,sin )P b b � ���� (cos , sin )Q a a �� ��������'������ �������������������0����� ���� ���
�������1���2�������� ���
����
2 2 2(cos cos ) (sin sin )PQ a b a b= − + −
3�2 2 2 2cos 2cos cos cos sin 2sin sin sina a b b a a b b− + + − +
3�2 2 2 2(cos sin ) (cos sin ) 2(cos cos sin sin )a a b b a b a b+ + + − +
3�2 2(cos cos sin sin )a b a b− + �������������������������������������������������������������������������������������������1���2
ab
(cos , sin )P a a(cos , sin )Q b b
OX
Y
���������'�( ����� ����%�����#�!�#� �� �)���)���
,������������������������������� ���������������������������!&�������� ����
2PQ 3�
2OP �4�
2OQ �5�� . cos( )OP OQ a b−
���3���5�� cos( )a b− ��������������������������1���2
6� ���� ������ ���� ��1���2�����1���2��������������������������7��
�������������������������������������� cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = + �������������������������������1���2
�������������������������������104
)��������������o90 2a π= = ������1���2��������
cos( 2 ) cos( 2) cos sin( 2) sin sinb b b bπ π π− = + =
,� ������������������������������������� 2 bπ − �����
cos sin( 2 )b bπ= −)��������������� ����������������������������������
���������������������������� sin( 2 ) cosa aπ − = ��������� cos( 2 ) sina aπ − = ���������������������1�� 2
)��������� ����1���2���������������������*��������� ���� cos( ) cosb b− = ����������
�� ����
cos( ( )) cos( ) cos cos( ) sin sin( )a b a b a b a b− − = + = − + −��� cos cos sin sina b a b= −
����
�������������������������������������� cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = − ��������������������������������1��"2
)��������� ����1���2��������������������� 2 aπ − ������������� ���
cos(( 2 ) ) cos( 2 ) cos sin( 2 ) sina b a b a bπ π π− − = − + − �
,������1�� 2�
cos(( 2 ) ) cos( 2 ( )) sin( )a b a b a bπ π− − = − + = + �
cos( 2 ) sina aπ − =
sin( 2 ) cosa aπ − = �
�����������1���2�������� ����
��������������������������������������� sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = + ������������������������������1��$2
)��������� ����1��$2���������������������5�������������� ���
��������������������������������������� sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = − ����������������������������������1��%2
,� �� ����1��"2�����1��$2�������� ���
���������������
sin( ) sin cos cos sintan( )
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
a ba b a b a b+ = +
+ =+ = −
)���������������������������� �� ��������������������������� cos cosa b ����������
�� ���
�����������������������������������������������
tan tantan( )
1 tan tana b
a ba b+
+ =−
����������������������������������������������1��&2
��������������������������� ����� 105
)��������� ����1��&2���������������������5�������������� ���
��������������������������������������
tan tantan( )
1 tan tana b
a ba b−
− =+
�������������������������������������������������������1���82
������� �����
(����������7��ocos(270 ) sina a− = − �
������
,� �� ����1���2
o o ocos(270 ) cos 270 cos sin 270 sina a a− = +����� 0.cos ( 1).sin sina a a= + − =
)������� ������ocos(270 ) sina a− = − �
�
������� �����
9������������������������������� ����������
���osin15 ���
otan 75��� ����
�� ,� �� ����1��%2
o o osin15 sin(45 30 )= −
�����o o o osin 45 cos 30 cos 45 sin 30= −
�����
1 1 1 12 3 2
2 2 2 2= ⋅ − ⋅
�����
1( 6 2)
4= −
�� ,� �� ����1��&2
o o otan 75 tan(45 30 )= +
o o
o o
tan 45 tan 301 tan 45 tan 30
+=
−
13
13
1 31 1 3+
=− ⋅
2 3= +
�
������� �����
)���� sin 4 5a = �����cos 7 25b = ��������0 2a π≤ ≤ �����0 2b π≤ ≤ ����������������
�� ���
���sin( )a b+ ��� cos( )a b−
�������������������������������106
��� ����
,������������*����� ����������������������������� ���� cos a ����� sin b �
��
��
��
�
+�
"�
$�
�
� �
+�
"�
��
1�2� 1�2�
������� ���
,� ������ �����1�2�������� sin 4 5a = �������� ���� cos 3 5a = ����� tan 4 3a = ��,� �
���� �����1�2������� cos 7 25b = ������ sin 24 25b = ����� tan 24 7b = ��
�� ,������ ����1��$2��������� ���
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
���
4 7 3 245 25 5 25
= ⋅ + ⋅
���������
100125
=
���������
45
=
�� ,������ ����1���2��������� ���
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
����
3 7 4 245 25 5 25
= ⋅ + ⋅
����
117125
=
�
�� ���� ���������������� ������������������������
��o o o osin 30 cos15 cos 30 sin15+
��o o o osin120 sin15 cos120 cos15−
#�
o o
o o
tan 50 tan 201 tan 50 tan 20
−+ ⋅
Latihan 3.1
��������������������������� ����� 107
�� 9������������������������� ������������������� ���������
��ocos105 ��
osin165 #�otan 225
�� )���������#���������������� sin 0, 6a = ����� cos 0, 28b = − ���������� cos( )a b+����� tan( )a b− �
�� ,�������� ABCΔ ����������#���� sin 0, 6A = ����� sin 0,96B = ��9����������
�������������������� ������� tan C �
� )����osin( 30 ) sinx x+ = �������������7�� tan 2 3x = + �
����� ���� ����� �� ������ ���� ����� ���� �������� ������ � ���
��������
"�
cos( ) cos( )cot
sin( ) sin( )x y x y
xx y x y+ + −
=+ + −
$� )����o45x y+ = �������������7��� (1 tan )(1 tan ) 2x y+ + = �
%� ,�������� a b c π+ + = �� ������������7�
tan tan tan tan tan tana b c a b c+ + = ⋅ ⋅&� .���������� �� �� ���� � �� ���� � 1������ � ����� ��2� ��� *���������
�� ������ ����������� ����!����������������������������'�����
2365( ) 12 2,8sin ( 80)L t tπ= + −⎡ ⎤⎣ ⎦
,����������� ����� ������������������������������ �������������� �
�� ���� ��� ��������*����������������$�:� ��������$�0����� �
�8� (��������� ����;,�%-�#;����������������������#�� ������������ �����!�����
�� ����������� �� �����(������������������������������������������
������.�����,�%-�#/������������� ���������� ���� ��7�������#�� ������
������ ��� � ��� <������ ��#�� ������� �������� ���� ������ ��8� ���
��#�� ������������ ���������� � 0,35± ��(� ���� ����������������#� � ������
.�����,�%-�#������������/��������������� ������� �����������������'�����
( ) 4,0 0,35sin(2 5, 4)B t tπ= + �
6�������������.�����,�%-�#��� ������������#�� ����+
��� ��� ������������ ���������
6������ �������������� ����1��"2�
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = − �
)����������������3�������� ��������������
cos( ) cos cos sin sina a a a a a+ = −
��������������������2 2cos 2 cos sina a a= − ��������������������������������������������������1����2
�������������������������������108
6� ����2 2cos sin 1a a+ = ������ ������ ��� �������������������������
�������������������������������������������������
2
2
cos 2 2cos 1
cos 2 1 2sin
a a
a a
= −
= −����������������������������������������1����2
,� �� ����1��$2�����1��&2��������������
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = + ������������
tan tantan( )
1 tan tana b
a ba b+
+ =−
)����������������3����������������� ����
������������������������������������������������� sin 2 2sin cosa a a= ��������������������������������������1����2
���
��������������������������������������������������� 2
2 tantan 2
1 tana
aa
=−
��������������������������������������������1����2
6� �������������������������
1 12 2
a a a= + ��������������������� ���! ������
�����������������
���
2 21 12 22 1
22 1
2
cos cos sin
2cos 1
1 2sin
= −
= −
= −
a a a
a
a
����������������������������������������������1 12 2sin 2sin cos=a a a ������������������������������������������1��� 2
�
122 1
2
2 tantan
1 tan=
−a
aa
,������ ����1����2��1����2������1����2������������7��
��3sin 3 4sin 3sina a a= − +
��3cos 3 4 cos cosa a a= −
Tugas Mandiri
��������������������������� ����� 109
������� �����
9������������������������������������ ���������osin120 �����
ocos 67 30 ' ���� ����
,������ ����1����2�������� ���
o o o osin120 sin 2(60 ) 2sin 30 cos30= =
����������������������������������������1 1 12 2 22 3 3= ⋅ =⋅
,� �� ����1����2�������� ������������ ���
o 2 ocos135 2cos 67 30 ' 1= −����
2 o o 12
1 1 1cos 67 30 ' (1 cos135 ) (1 2) (2 2)2 2 4= + = − = −
)�����o 1cos 67 30 ' 2 22= − �
�
������� �����
)���� sin 4 5a = ��1��������� ���==2����������
���sin 2a ��� cos 2a #��1tan 2 a
��� ����
)���� sin 4 5a = ���������������� ���==�
����������� ���� cos 3 5a = − ����
tan 4 3a = − ����������� ��� �
���sin 2 2sin cosa a a= 4 3 242
5 5 25= ⋅ ⋅ − = − �
���
2 22 2 3 4 7
cos 2 cos sin5 5 25
a a a= − = − − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�
#��
1 2sin 5521 22 1 1cos 552tan
a
aa = = =
�
>��� ����������������������������!0�����������#���!��������� ��������!0
���������?�����������������������!0���������6������������ �����������������
������ ���������������� � ������ ����0��:��������.����������������������!0�����1
������������������������� ����@� ���� ����������.�1������������������������
,������������������������������
a
3
45
X
Y
������� ��2
Tugas Kelompok
�������������������������������110
������� �����
*�����7��������������������7���������������� ��������������� ������������� ��
����������������������� ����� ����������� �����
sin cosW
Fμ
μ θ θ=
+
������� θ � ����������������� �� ����������� �� �������������������� ������ μ � �����
�������������'���������������)���� 3μ = �������������������������� ��������� �����
��������� ��������������� ����������� ����������#���������+
��� ����
*� ���������������� ����� ����
θ
W
F
������� ��3
6� ���� ���� ������ ������������� ����� 4� ���������� �������� ��������
sin cosμ θ θ+ = � 3 sin cosθ θ+ �����������������1:������+2
:��������
3tan 3
1α = = � 1������������� �����'������ ����������������'�����
�������2����������������� ������7��
3sin
2α = ������� cos
21
α = ��?����� tan 3α =
��������������o60α = ��,��������������
cos 3 sin 2 cos cos 2sin sinθ θ α θ α θ+ = +� 2cos( )θ α= −
�o2 cos( 60 )θ= −
6� ������������ ���� ��� �� cos x ���������������� ����������� 0x = ������o2 cos( 60 )θ −
��������������o60 0θ − = �� �������� �����
o60θ = �� )����� ��� � ����� ����
���� ��������������� ��������� �� ������ ����#���������������������� ����� � ��
��������������o60θ = ������������������� �
�
��������������������������� ����� 111
�� ���� ���������������� ������������������������������A
��o o4sin 22 30 'cos 22 30 ' ��
o
2 o
2 tan151 tan 15−
��2 2
3 3sin cosπ π− ��o o otan 25 sin 50 cos 50+
#�o 2 o2 tan15 cos 15
�� ?����������������� ������������������������A
�� sin 4a #� tan 4a�� cos 4a
�� ,�������� tan 3 4a = ������� sin 5 13b = − ��������#������������������������
�� sin( 2 )a b+ #� tan( 2 )a b−
�� cos 2( )a b−
�� >�������'����� 3 2a a a= + ������������������������������ �����
��3sin 3 3sin 4sina a a= − #�
3
2
3 tan tantan 3
1 3 tana a
aa
−=
−��
2cos 3 4cos 3cosa a a= −
� )����12tan x p= ����������
�� cos x #� sin 2x
�� sin x
����� ���� ����� �� ������ ���� ����� ���� �������� ������ � ���
��������
"� (2cos 1)(2 cos 1) 2 cos 2 1z z z− + = +
$�
cos sin 1 sin 2tan( )4 cos sin cos 2
a a aa
a a aπ + ++ = =
−
%� (��������� 2 2
sin 2cot( ) cot( )
cos cosa
a b a bb a
+ + − =−
�
&� ����������������� �������������� ��� ���� ����� ����������� �����
1( ) 10 sin(5 ) cos(5 )2s t t tπ π= +
�������������� �������������� �������������������6��������� ��������
��������� �� ���� +
Latihan 3.2
�������������������������������112
�8��*� �������� ����� ����������������������-���� ����#��-� ���������������
�� �������� ������
( ) cos( )s t A kt θ= +
��������/��������θ ������������������9�����������7����������� �������� �����
�� ������ ��������� ���� ��������� ������������������� ��������������
�����������������
��2( ) 5 10sin 2s t t= − �� ( ) 4sin( 6 )s t t π= −
��� ��� ������������������!�����
*���������������������������������� ���� ����
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −)���� ����������� ����������� �������� �������������������������������� �������
���������������� ����
sin( ) sin( ) 2sin cosa b a b a b+ + − =
sin( ) sin( ) 2cos sina b a b a b+ − − =����
���������������������������
sin cos (sin( ) sin( ))
1cos sin (sin( ) sin( ))
2
12
= + + −
= + − −
a b a b a b
a b a b a b�������������������������������1���"2
,������#� �������������� �� ����
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +������� ���� ���
���������������������������������
1cos cos (cos( ) cos( ))
21
sin sin (cos( ) cos( ))2
= + + −
= − − +
a b a b a b
a b a b a b��������������������������������1���$2
������� �����
?����������������������������������� ����������������������� ���
��o o2sin 52 30 'cos 7 30 '
��o ocos 52 30 'cos 7 30 '
��������������������������� ����� 113
��� ����
�� ,������ ����1���"2�������� ������������ ���
o o2sin 52 30 'cos 7 30 ' o o o osin(52 30 ' 7 30 ') sin(52 30 ' 7 30 ')= + + −o osin 60 sin 45= +
�
1( 3 2)
2= +
�� ,������ ����1���$2�������� ������������ ���
o ocos 52 30 'cos 7 30 ' ( )o o o o1cos(52 30 ' 7 30 ') cos(52 30 ' 7 30 ')
2= + + −
o o1(cos 60 cos 45 )
2+=
1 (1 2)4
= +
�
�������� �������������� ���������������������� ������ �������� ������ ��
�� �� �!�� �� ��� (� ��������� ����� ����� �������� �������� �������������+
,����������������������������
������� �����
���� ���������������� �����
��o o osin 84 tan 42 cos84+ �� 2 cos( ) sin( )
4 4x x
π π+ −
��� ����
�� ,������ ����1���"2�������� ������������ ������������������������������
���������������� ����
o o osin 84 tan 42 cos84+o
o o oo
sin 422sin 42 cos 42 cos84
cos 42= +�
�� o o22sin 42 cos84= +��
2 o 2 o2sin 42 1 2sin 42= + −�� 1=
)�����o o osin 84 tan 42 cos84 1+ = �
Tugas Kelompok
�������������������������������114
�� ,������ ����1���"2�������������������� ����
2cos( ) sin( )4 4
x xπ π
+ − sin ( ) ( ) sin ( ) ( )4 4 4 4
x x x xπ π π π
= + + − − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� sin 2 sin2
xπ
= −
� sin 2 1x= −
)�����2 cos( ) sin( ) sin 2 14 4
x x xπ π
+ − = − �
�
�� ���� ���������������� ������������� �����������������������������������A
�� 3sin sinx y
�� 4cos( ) sin( )x y x y+ −#� cos( ) cos( )a aπ π+ −
�� 2 cos( ) sin( )4 4x xπ π+ −
�� 2sin( ) sin( )a b c a b c+ − + −�� B���������������� ��
��o osin 50 sin 40 o ocos 95 cos85−
��o o o ocos 40 cos 20 sin 70 sin 50−
#�o o o ocos 75 sin15 sin 75 cos15+
�� 9������������������������������� ���������'�������� �����
�� ( ) 2cos( ) cos( )4 4f x x xπ π= + −
��3 3( ) 3sin( ) sin( )4 4g x x xπ π= + −
�� 9������������� ������������� ������ ���� ���
�� sin 32 sin 96 sin16 sin 48 sin 8 sin 24x x x x x+ + +��� cos cos 3 cos 2 cos 6 cos 4 cos12x x x x x x− + −�
� ,�������� ABCΔ � ����!����� ��� ,� ���� �� ����� �������
sin( ) sin( ) 1A B A B+ + − = ��9������������ ����������������0�
Latihan 3.3
��������������������������� ����� 115
��" ��� ������������ ������������������������
*������������������������������������������������ ������ ������������
�������������� �����
sin( ) sin( ) 2sin cosp q p q p q+ + − =sin( ) sin( ) 2 cos sinp q p q p q+ − − =os( ) cos( ) 2cos cosc p q p q p q+ + − =
cos( ) cos( ) 2sin sinp q p q p q− − + = �
)�������������� a p q= + ����� b p q= − �����
12 ( )p a b= + ������
12 ( )q a b= −
,���������������������� ���%�����5�������������������� ���������������������
�� ���� ����������������������� �������������������������� ���������
1 12 2sin sin 2sin ( ) cos ( )a b a b a b+ = + −1 12 2sin sin 2cos ( ) sin ( )a b a b a b− = + −1 12 2cos cos 2 cos ( ) cos ( )a b a b a b+ = + −1 12 2cos cos 2sin ( ) sin ( )a b a b a b− = − + −
������������� ������� ������
sin sintan tan
cos cosa b
a ba b
+ = +
�
sin cos cos sincos cos
a b a ba b+
=
� 12
sin( )(cos( ) cos( ))
a ba b a b
+=
+ + −
�
2sin( )cos( ) cos( )
a ba b a b
+=
+ + −)����
tan tana b+2sin( )
cos( ) cos( )a b
a b a b+
=+ + −
,������#� ��������� ������������ ����
sin sintan tan
cos cosa b
a ba b
− = −
��
sin cos cos sincos cos
a b a ba b−
=
�� 12
sin( )(cos( ) cos( ))
a ba b a b
−=
+ + −
��
2sin( )cos( ) cos( )
a ba b a b
−=
+ + −
�������������������������������116
tan tana b−2sin( )
cos( ) cos( )a b
a b a b−
=+ + −
������� ��"��
9������������������������������������ ������������������ ��
��o osin 75 sin15+ #�
o otan105 tan15+
��o ocos 75 cos15−
��� ����
/����������������������!��������������������#������� �� ������ ���! ��������
�� ������ 1���%2�� ��������������������7��� ���������������������'������� ���
1���&2�����1���82�
���o osin 75 sin15+ o o o o1 1
2 22sin (75 15 ) cos (75 15 )= + −o o2sin 45 cos 30=
1 12 2 32 2= ⋅ ⋅
1 62=
���o ocos 75 cos15− o o o o1 12sin (75 15 )sin (75 15 )2 2= − + −
o o2sin 45 sin 30= −12 22= − ⋅ ⋅
1 22= −
#��o otan105 tan15+
o o
o o o o
2sin(105 15 )cos(105 15 ) cos(105 15 )
+=
+ + −o
o o
2sin120cos120 cos 90
=+
12
12
2 30− +
⋅=
2 3= −�
������� ��"��
(����������7������� ABCΔ ��� �����
tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = ⋅ ⋅
1���82
��������������������������� ����� 117
������
,���� ABCΔ ��� ����
o180A B C+ + = ��������o180A B C+ = − �
�������
otan( ) tan(180 ) tanA B C C+ = − = − �
,��������������� �� �����������
tan tantan( )
1 tan tanA B
A BA B+
+ =−
������������ ( )tan tan tan( ) 1 tan tanA B A B A B+ = + −
����������
( )an tan tan tan( ) 1 tan tan tant A B C A B A B C+ + = + − +���� ( )tan 1 tan tan tanC A B C= − − +���� ( )tan 1 tan tan 1C A B= − − −���� tan tan tanA B C=
�
������� ��"��
B��������������� �� ������������� ������ ��
sin sin( ) sin( 2 )a a b a b+ + + + +���� ����
:�������� nS ������������ ������������� ����
nS sin sin( ) sin( 2 ) sin( ( 1) )a a b a b a n b= + + + + + + + −�
����!������� �������������������� �������� ������ '������ ������������ � ��������
�����B����������������������������������������������������� �������������� ������
������������� �������,� ������ ��������� ������ '���� ������������ ������ 2sin 2b�
��������
2sin sin2b a cos( ) cos( )2 2
b ba a= − − +
2sin sin( )2b a b+ 3cos( ) cos( )2 2
b ba a= + − +
2sin sin( 2 )2b a b+ 3 5cos( ) cos( )2 2
b ba a= + − +
����� � � �
2sin sin( ( 1) )2b a n b+ − ( ) ( )3 1cos ( ) cos ( ) 2 2a n b a n b= + − − + −
������4
2sin 2b
nS ( ) ( )1 1cos ) cos ( ) 2 2a b a n b= − − + −
1 12 2 2 2( ) ( )
2sin sin2 2
b ba a n b a a n b− + + − − − − −= −
12sin sin
2 2n n
a b b−
= +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�������������������������������118
)����
( )( ) ( )2
2
sin 1sin 2sin
n
n b
b nS a b−= ⋅ +
�
�� 9������������������������������������ ������������������� ��
��o ocos105 cos15+ ��
o ocos 75 sin 75+
��
o osin105 sin15− ��o o ocsc10 csc 50 csc 70+ −
#�o otan 52 30 ' tan 7 30 '− '�
o otan165 tan15+�� ?�������� �����������������������!��������� �����
�� sin sin 3x x+ �� cos sina x b x+�� cos cos 3x x− �� cos 2cos 2 cos 3x x x+ +#� cos( 2 ) cos( 2 )2 2x xπ π+ − − '� sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x+ + +
����� ����������� �������������������������������� �������������
��
sin 2 sin 2tan( )
cos 2 cos 2a b
a ba b−
= −+
�� tan tan tan( ) tan tan tan( )a b a b a b a b+ − + = − ⋅ ⋅ +
� )����o90a b c+ + = �������������7�� tan tan tan tan tan tan 1a b b c c a+ + = �
����� ����������� ���������������������������� !�������� ABC������������� �������������
"�1 1 12 2 2cos cos cos 1 4sin sin sinA B C A B C+ + = +
$� sin 2 sin 2 sin 2 4 cos cos sinA B C A B C+ − =
%�2 2 2cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C+ + = −
�8� 9������������������������������������ �������������7��
���o o ocos80 cos 40 cos 20 0+ − =
���o o o o 1
sin10 sin 30 sin 50 sin 7016
=
��� B���������8������������� ������ ���� ����� �����
���sin sin 3 sin 5 sin(2 1)a a a n a+ + + + − +� � �
��� cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( )a x a x a x a nx+ + + + + + + + +� � �
Latihan 3.4
��������������������������� ����� 119
�� <����� ������� �� ����������������������
�� cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
�� cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −
#� sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
�� sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
��
tan tantan( )
1 tan tana b
a ba b+
+ =−
'�
tan tantan( )
1 tan tana b
a ba b−
− =+
�� <����� ������� ��������������
��2 2cos 2 cos sina a a= −
��2cos 2 2cos 1a a= − �������
2cos 2 1 2sina a= −#� sin 2 2sin cosa a a=
�� 2
2 tantan 2
1 tana
aa
=−
�� <������ �������������������������
��12sin cos (sin( ) sin( ))a b a b a b= + + −
��12cos sin (sin( ) sin( ))a b a b a b= + − −
#�12cos cos (cos( ) cos( ))a b a b a b= + + −
��12sin sin (cos( ) cos( ))a b a b a b= − − +
�� <������������������������������
��1 12 2sin sin 2sin ( ) cos ( )a b a b a b+ = + −
��1 12 2sin sin 2cos ( ) sin ( )a b a b a b− = + −
#�1 12 2cos cos 2cos ( ) cos ( )a b a b a b+ = + −
��1 12 2cos cos 2sin ( ) sin ( )a b a b a b− = − + −
�� tan tana b+2sin( )
cos( ) cos( )a b
a b a b+
=+ + −
'� tan tana b−2sin( )
cos( ) cos( )a b
a b a b−
=+ + −
Rangkuman
�������������������������������120
,������ ��������������������� ����� ��������������� ��� ������ ���������
������������������ ������ � ��� �������������� ���������,��� #������7�� ����
��������������������������#� ����������������������� �����������
C�����������������������������������������������������������������������
���������������� ����� *�� ������� ���!���� ���� �������� �������� ��7�
��� ������������#�����#� �����������������������������(� ���� ����������
����� �������� ��������� ������������� ��������� �������'������� ������� ��
2 23 336 cot ( csc )2 2S sh s sθ θ= − +
�����������������������������������������-������������������
"# ����� ����������� ����������������������� �� � ����$�!�������
������������%�$���������������� �"���
�� )����0 2x π< < �����cos x p= ������ tan sinx x+ =�
��
2
2
1 11p p
p− + +
+,� �
211
pp
p+
−
(�
21 11p p
p− + +
+D�
22
11
pp
p+
−
@�
211
pp
p− +
−
�� ,���� ��������� ABC �� ���������
2sin
13C = �� )���� tan tan 13A B⋅ = �����
tan tanA B+ =��� 5��% D� �%
(� 5�% ,� %
@�
203
Math Info
Uji Kompetensi
��������������������������� ����� 121
�� )����θ ����������#��������������22cos 1 2sin 2θ θ= + ������ tanθ =�
�� 2 5+ ,� 5 2−
(� 2 3+ D� 3 1−
@� 2 3−
�� ,�������� tan 4 3x = ������������ cos 3 cosx x+ =�
��
42125−
,�
28125
(�
14125−
D�
56125
@�
20125
� ,������������� ABC �����������
9cos( )
40B C+ = ��)������������������,�3��8�#�
�����0�6�%�#������������������� BC =�
�� 8 2 ,� 11 2
(� 9 2 D� 12 2
@� 10 2
"� )����
tan tan1
1 tan 1 tanx x
x x+ =
+ −������ x =�
��
15π
,�
8π
(�
12π
D�
6π
@�
9π
$� ,������������� ABC �� ��������� ������o60A = �� )���� cos .cos 0,1B C = �����
tan tanB C⋅ =��� 5�� ,� %
(� � D� �8
@� �"
%� )������������� sin( 2) 0,6x π+ = ������ sin( ) cos( )x xπ+ + − =�
�� 5�8�� ,� 8��
(� 5�8�� D� 8�"
@� 8��
�������������������������������122
&� )����o360A B C+ + = �������
12
12
sinsin ( )
AB C
=+
�
��12tan A ,� 8
(�12cot A D� �
@�12sec ( )B C+
�8� ,���� ��������� ABC � ����� ����!����� ��� ,�� ���������
2sin sin
5A B = � ���
sin( ) 5A B a− = ��?�����������������
��
15
− ,�
325
(�
325
− D�
35
@�
125
−
��� )����α ����������������#��������������4 22cos sinα α= ������ tanα =�
��12 3 ,� �
(� �E� D�� 3
@� 2 3−
��� )����
cos1 sin
xp
x=
−������� 2x π≠ ������
12tan x =�
��
11a +
,�
11
aa−+
(�
1a
a +D�
1a
a −
@�
11
aa+−
���2 2(1 sin ) tanA A− =�
��22sin 1A− ,�
21 sin A−(� 1 D�
2cos 2A+@�
21 cos A−
��� (������ 3 cos sinx x− �������� 0 2x π< < �������������������������������
�� 2cos( )6x π+ ,�72 cos( )6x π−
(�112 cos( )6x π+ D� 2cos( )6x π−
@�72cos( )6x π+
��������������������������� ����� 123
� � )���� tan 0a > �� tan 2 3 4a = − ����� tan( ) 1 2a b− = ������2 2tan tana b− =�
�� % ,� �8
(� 5��8 D� "8
@� 5��8
�# ����� ������������ ���������������&�����$�������� ���������$�� �
�"� )����o60x y+ = ����� 4cos 3cosx y= �������������7��
59tan 3x = �
�$� )����o30x y− = ����� tan 3 tanx y= ������������������� ��+�����"�
�%� 9������������������������������� ���������'�������� �����
��� ( ) 2 cos( ) cos( )4 4f x x xπ π= + −
���3 3( ) 10sin( ) sin( )2 2h x x xπ π= + −
�&� 9�����������7���� �������� �����
( ) sin 2 cos 2s t kt ktπ π= + �
��������������������������������� �������������� ������������������� ������
�� ���� ����� ���� ����
�8� B���������8������������� ������ ���� ����� �����
���cos cos 3 cos 5 cos(2 1)a a a n a+ + + + − +� � �
���sin( ) sin( 2 ) sin( 3 ) sin( )a x a x a x a nx+ + + + + + + + +� � �
�� 9����������� ����� ������ ������������ ������� ���� ��� ����� �8� #�������
����������������������������8�#�������������� ����� �������������� ���%��)���
θ ��������������������� ����������������� �������� ���� �������� �θ ����
���������������C����������+
10 cm
20 cm
������� ��7
Soal Analisis
�������������������������������124
�� ,��� ������� �������������������� ���� � �8� #���������������� #��9�������
�� �������������������� ������������������������������������ ����������
�� ���������������������������
10
13
������� ��8
�� ,����������&���������������������������������������������� �����#��������
�� �������������������� ������������������ ������������� �������!���������
�������� ������#��� ������ ������ ���� ��� ����� ��������������� � ���8�
9�����������7����������������� �������������� 1 2θ θ= �
P
Q R
S
T1θ
P2θ
������� �� 9
��������������������������� ����� 125
�� *�������������7�����7������������������������� �&���� ��*��������������
�� ������������������������� ���������������������������������� �"���� �
*� ����������� �������9�����������7�������������������������������7�
��#� �������� ����7���������������������� �����
6 13 cos( )( )
sin 2l
θ αθ
θ−
= �
������� tan 2 3α = �
9
θ
6
���������
� 9���������������������������������� ������������������ �������� ��� �����
�� ���� ����!����� ��������������� ������o105 ���� ��� ���� ������������
���� � �����
9
6
o105
������� �� '
�������������������������������126
����#����
?�� ��FFFFF 9������ ��FFFF
6���� ��-= :��� ��*���� ��<���! ���
��� ������� �
6������ ��FFFFF ������ ����1����2
6������� ��:�������� ������������������������ ���������������� ��
9����� ��:������������ ��������������������������� ����
������������������������ ��
�� ���������$�����%������������
�� ,������� ��� ���������7� �� � �������7� ��
�� >������ "� *����� ��
���������������� $� *� ����
�� )����� %� (��� ��� ����
�� ��������&�
�� ����������� ��� ����
�� >��� ��� �������� ������ ����� �� �!�� �� �8� #������������������������
�������� ������ ��� �� ������
�� *������ ��������� ������������� ������� ������ �������������������� ����
������������� ������������������ ������� �������������������������������
�� ��������������� � ������ ���
�� >�������������� ���������������������������������
� 9�������� ������� ����� �������� ��������� ������� �������� ������ ��� �����
��� ���������������������
"� (�������� ����� �������������������� �������������������� ���������������
������ ������������������ ����6���������������������� ���� ��������������
������ � ������ ���������θ ����������#������� ����������� ������
θ
������� �� �
�� ��������
�� (� ���� ������ #����������������������������!������� ������������������� θ �
�� ?��������������� ������������������ θ �
�� 9���������������θ ��������� ������������ ��������������� ���� ��,� �
���� ������ ����������������������������������������������������
����� �� ���� +
Aktivitas Proyek
���� ��� � �� ��������� 127
LINGKARAN��
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� � ��������� ������������ ����� ������������������������
�� �������������������� �� ���� �� ����� ��� ������ ����� �����������
!� ������������ ������ ������ ��� ����������� ��� ��� �� ������
"� �����������#����������������� ����� ����������� ���
$� ������������ �������� ������������ ���������������������������������� ���
%� ������������ �������� ������������������ ��� ����� ������ �����������
&� ��������������� ������������������������ �������� ����������������
������ ���
'� ���������� ��# ������������� �������� ������������ ������ ���
�� ��� �������������������������128
(������ )#����� *������ ��� +����� ��������������� ������������� ����� ��� � ��
����� ��������)� ���������� #������� �� ���� �� ��������� #������� �� ���� ��'��� ���
�� ����������# #������������������������� � ���+�������������)� ������������� �����
������ #��� �� ������ ��)� �� �� ����� ����� ������� ������ ������ �������� ���
������������ ������ #���� ,� ��� ���� �� ������ �� ������������ ������ �������� ���
���� ������+����-�.���� ����*��#������������ �����#������� �"���
BA
8
212
������ ���
/���� ��������� ��� ������ #��� ������� �������� ������� �� ���� �� ������� ����
���� ������������������� ����� �� ���� �� ������� ������������ �� �������������� #��
�������� ���������������� �� ���� �� ���� �� ��� ����� ���� ���� ����� #��� �����0�����
����� #���������)� ������������������������� ���� �������������������� �����������1...
������
2������� ������������ �������� �� ������������ ������� �� ����������������� ���
�#����� �������� �� ��� ���� ������ ��������� �������� ���� ������� ������ ��������� �����
���� ������������� ������������ ��������������� ����� ����������������������� �����
����������������������� ������� ��������������� ���������� ���������������)� ����#�� �
������� ����� ��������� ��)� �������� ��3����� ����������������������� �������� ���
��������+�������������
���������� ������!��������"���"�!�
�#�����$$$�%����!����%&%��
Pengantar
���� ��� � �� ��������� 129
�� �� ������������������������ ����
3����������������������*�������� �������� ��� �������������������� ������4,�������
������*������*# ��� ������ ����� ���������
������ �
���������������� ���������������� ������������ ������ �� ��� ���� �� ����
������ ������ ������
5����� ������ �������������� ��� ������ �������� �� ��� ���������� ���������� ������ ���
6������ ��� ������������ ��������������������������� �������������������������� ���
���� �����������������������
�� ������ ������ ��� ���
������ �� ������ ���� �� �� ���� �� �
3���� ����� ���� ���� ��������'&�
����������� ��������/� ������� �������
�������������
2 2 2 2( 0) ( 0)d x y x y= − + − = +�
3� ������ ������� ��7�������������
�� ���� �� ������ �������
�����2 2r x y= + ������
2 2 2x y r+ =
3� �����������'&������������ ��������������������� �������������������������������� ��
�� �����2 2 2x y r+ = ��/������� ������������ ���������������� ������������� �� ���� ��
�����
2 2 2x y r+ =
����� � ���
5���������� ������ ������ ��� ���������� �� ���������
�� �� �� ���� �� " �� ���������������!��8�$�
�����������
�� 9����� ���������������� ���������� �� ���� �� �"����� ����� �����
'��:�&
��;��%
�� ,����������� ��� �������3� ���������� ������������������� ���� �������� ��������
�� ��� ������ � ��� ��������� /� ���7�� ;�2 2(3 0) ( 5 0) 34− + − − = �� /������ �����
������ ��� ����������������
2 2 34x y+ =�
����� � ���!
(�����������������������������<���5�������������������������� ���������������'&�
�����������;�!����3��������� ��������������������������������������8�"���� ����
���������������� �� ������
Y
X
P(x,y)r
������ ��(
�� ��� �������������������������130
�����������
3������������� ������������'&����������������������(� �� ������ ������������������
�� #��
2 2( 0) ( 9)PB x y= − + − �����2 2( 0) ( 1)PA x y= − + −
(� �� � � ��� �������� ����
���;�!�� ⇔ �����;�<��
�
⇔ 2 2 2 2( 9) 9[ ( 1) ]x y x y+ − = + −
⇔ 2 2 2 218 81 9 9 18 9x y y x y y+ − + = + − +
⇔ 2 28 8 72x y+ =
⇔ 2 2 9x y+ =/������������������������������������������������� ���������������� ������� ���� ��!�
3����������������������� ������������������ ���2 2 9x y+ = ��� ���� 9211 22 <=+ �
�������������������8�"���� ���������� ������� ����� ����� 918)4(2 22 >=−+ �
�
�� 5���������� ������ ������ ��� ���������� �� ����� �� ���� ��
�� ' �� ��$ )� �
�� 5���������� ������������ ���������������� ������������������
�� �!���� �� �&��8�� )� �%���
!� 5������������������ �� ���� ���� �� ������� ������ ����� ����� ����
��2 2 64x y+ = ��
2 2 18x y+ = )�2 24 4 25x y+ =
"� 5���������� ������������ ��� �������� ����������������� ������"�������
������ ���2 2 9x y+ = � ������� �� ���� �� �� ���������� �������������
$� (�������������������� ��������� ����� �������'�;�!���'�;��8!����&�;�!������&�;�8
!���5���������� ������������ ���
�� ������ �������������������� �����
�� �������������������������������� �����
%� 5������������� ������� ��������������� ����������������� ��� �������� �����
�� ���8�����2 2 13x y+ =
�� ���%���2 2 40x y+ =
)� �������2 2 72x y+ =
&� (���������� ������������ ���'��:�&
��;�&��
�� 0� ������ �� ���� �� ������ ��� ���-
�� 5���������������������������� ������� ����������� ����������8�%�%�=���8!��%�=���<����=
�&��$��������"��8%��
Latihan 4.1
���� ��� � �� ��������� 131
'� (���������� ������������ ���'��:�&
��;�
���5������������������ �
�� �������"��8!����� ����������������� ������
�� ���������!���� ������������ ������� ������
)� ����������$���� �������������������� ������
<� 4���������������������������<�����5�������������������������� ��������������'&�
�����������;�!���
��� 5�������������������������� ��������������'&����������
�� ���;���������������������������'�
�� ���;�!�����������������������<�<��
��! �� ������������������������ ��� #���"
9����� ��������������� ����������������������
�� ���� �� �� 3���� ��������������� �� �����
������ ��� ������� ���������� ����� 3���� ����
���� �����������)�'&������������� ���������/� ��
���� ��������������)�������2 2( ) ( )x a y b− + − �
,������ �� ��� �������� ����)� ������ �� ���� �
������ ���� ����� �� ���� ����� ��� #��
�������
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
3� ����������)�'&���������������� ��������������� ��������������������������
�'�&�� ���� �� ������ ����� ������ ��� ������� �� �����2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = �� /����
�� ������������ ���������������������������� �� ���� ��������
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
����� � ��!�
5���������� ������������ ��� ������ ������������8!��$������
�� �� �� ���� �� $
�� ����������������!�
)� �� �������������&
�����������
�� ,� ������ ������ ������������������8!�$�������� �� ���� ��$������
�'�8��8!�����:��&�8�$�
��;�$
����������'�:�!�
��:��&�8�$�
��;��$
,� ����������� �"�$�����
�� 9����� ������������������8!�$����������������������!������ ��� �� ���� �
2 2(2 ( 3)) (3 5)− − + − �;� 25 4 29+ =,� ������ ������ ��� ����
�'�:�!���:��&�8�$�
��;��<
,� ����������� �"�$�����
P(a,b)
Q(x,y)
r
X
Y
O
������ ���
�� ��� �������������������������132
)� 9����� ������������������8!�$�������� �������� �����&� �� ���� �� �� �����
�� �����8!�$��������������&�� �����!��/������ ������ �������
�'�:�!���:��&�8�$�
��;�<
9�������� �"�$��)��
P(-3,5)
5
O x
y
P(-3,5)(2,3)
P(-3,5)
O O xx
yy
(b) (a) (c)
������ ��*
�
����� � ��!�!
5���������� ������������ ��� ������ ����������8���8����� ���������� ���"&�;�8!'�
3������� ����������� ����������� ������ ��� ���� �� ���� ���)� ����� �� ����
�����&�
�����������
/� ���� �������� ��� ������������������� ����������8��8����� ������� ���"&�;�8!'�� ����
2 2
3( 2) 4( 1)2
3 4r
− + −= =
+,� ������ ������ ���������������� �8��8���������� �� ���� ���������
2 2( 2) ( 1) 4x y+ + + =��������� ��� ����� ���)� ����������� �8��� 8��� ������ ��� �� ����� �����&�� �����
����������8�����.������#��������)� �������������4,���������3� �������)� ����������
� ���� ������������ �� ������ ������ ��� ����� �� ���� ���)� ����� �� ����
�����&������������� ���������������������8��������� ���� ����
2 2( 2) ( 1) 4x y− + + =
�
�� 5�������� �� ������ ������ ��� ������� ������ ���� �� ���� �� ���� ���� ����
�� �����
�� ����������;��" )� �8"��8!�����;���$
�� �!��������+�'
Latihan 4.2
���� ��� � �� ��������� 133
�� 5������������������ �� ���� ���� ��������������� ����� ����� ���� �
��2 2( 2) ( 6) 64x y− + − = )�
2 24( 5) 4( 7) 25x y− + + =��
2 2( 2) ( 4) 81x y+ + + =!� 5�������� �� ������ ������ ��� ���� �#����� ��� ������� ������ ��
2 2( 2) ( 4) 81x y+ + + = � ��������������� �� ���� �� �������� ��
"� 5���������� ������������ ���������������� ����8!��"������
�� ��� �������������' )� �� ���������� ���&�;�8�
�� �� �������������& �� �� ���������� ���'�;�$
$� 5���������� ������������ ��������������������!�������� ���������� ����
�� &�;�'�:�$ �� �'�:�&�:�%�;��
%� (��������� ������� ����������������� ���������������������������"������ ���
��������������������!��%���5�������� ���#��� ����� ���� ����������������������� ���
&� 5���������� ������ ������ ��� ������ �������� �����'�� ���������� �
�������������#�#����� ����&�;�8�'��:�"������&�;�'�:����3������������������ �����
����������� ��������� �������)� ������� ����������&�
'� 5���������� ������������ ��� �������� ��������� � ������ �������������
��"��������������%��
<� (�������� �����������������"��%������,���%���5�����������>���������,�� ����������
3������������������ ������������ ��� ������������������,�
��� 4�������� 1 1( , )A x y ���� 2 2( , )B x y � ������ ������������������ � ������ ���� �� ��
( , )P x y ������������������������ ��������5��������� �����������������0�������
��>���� ������������ ��������������������������� ����������������������
�������
1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − =
��$ �� ������%�������������
,������������������ ���������������������>���� ������������ ��� ������ �����
������������������ ���� ��������
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =/���� ������ ���� ���� ���������������� �������������������� #��
'��:�&
��8���'�8���&�:��
��:��
��8�
��;��
,� �������������������������������������������
'��:�&
��:���'�:���&�:�,�;���
A a= − B b= − ������,�+����:��
��8�
���,� �������� ��� ���������������� ������&�����
�����'����������(� �����������������������������)� ������� ������������ ���
������#�*������'��������&
������������������������'&����������)���������� ����������
(��������������������������� ����� ���� ������������������������������� #��
�� ������ �
�'�8��8�����:��&�8��8����
��;��
��:��
��8�?
(������������������� ������'��:�&
��:���'�:���&�:�,�;����������� ������������ ��
������ �����������8���8�������������� ���� ����;�2 2A B C+ − �
�� ��� �������������������������134
����� � ��$�
5�����������>���� ������'��:�&
��8�%'�:� �"&�:��%�;����������� ������������ ���
�������� ������������������� �� ���� �� ��
�����������
(� ���� ������ �������� ������������������������������������� ���
'��:�&
��8�%'�:��"&�:��%�;�� ⇔ �'
��8�%'�:�&
��:�'&�;��8��%
⇔ ��'��8�%'�:�<��:��&
��:�'&�:��%��;�8��%�:�<�:��%
⇔ ��'�8�!���:��&�:�"�
��;�<
⇔ ��'��8�!���:��&�8���8�"��
��;�!
�
/������� ���������������������� ������������ �����������������!��8�"�������� �� ��
�� ��!�
�
(������������� ����������� ���#����#����� ���������
�� (�������������� ��� ������,-��� ����������� ������� ������������������ �
���� ����������� ��������� ������ �������-�����������������9��� ��� ���
����������������������./���������.�������������/�������-���������������������
���� ����������� ����5�����������������������./� �����������
�� 9����� ���� 1L ����� 2L ��������������� �� ���� ��������&�������� ��������������
������ ������������� /�����)�����0�� �������� ��� ����������� ��������� ���
������������ ������ �������������� �� �������������#�������������������� -
����� � ��$�!
5���������� ������������ ��� ���������������������� ���������8���"��������8��&��
�����������
0����������� ������ ������ ��
'��:�&
��:���'�:���&�:�,�;��
(����������������������## �������## ������������������ �������������������� �����
������������ #���
���:��
��:������:�����:�,�;�� ⇒ ��,�;��
2 2( 2) 4 4 8 0 0A B− + − + + = ⇒ �� 2 5A B− + = −2 2( 1) 7 2 14 0 0A B− + − + + = ⇒ �� 7 50A B− + = −
��������� ���������� �������� �����
2 5A B− + = − ����� 7 50A B− + = −������� #�����;�8�!��������;�8�<��/����������� ��� ��������� ��������� ����� �����
'��:�&
��8��%'�8��'&�;��
����
Tugas Kelompok
���� ��� � �� ��������� 135
�� 5������������������ �� ���� ���� �� ������� ������ ����� �����
��2 24 4 8 16 11 0x y x y+ + − + = )�������
2 2 22sin 2cos sin 0x y x yθ θ θ+ + − + =��
2 22 2 4 3 0x y x y+ + − =�� 4������ �� �� ������������ �� ����� ���� �� ������ ����� ������ ��
2 2 4 8 5 0x y x y+ + − − = -
�� ����'� )� ��8���8��
�� �'����
!� 5������������������������������ ��������������� ����������������� ������� �����
�� �����=�2 2 2 3 1 0x y Ax y+ − + + = �� ��8����=��
2 2 5 2 6 0x y x By+ − − − ="� 5���������� ������������ ��� ���������������������������������!��������8!�8���
$� 5���������� ������������ ������ ������������,����������!�������%������,�������
5������������� ���������������� �� ���� �� ��
%� 5���������� ������ ������ ��� ��� � ��������� ���� ���������� ��������
�� �'�:�&�;��=�&�;�������'�;�8�
�� &�;�8��'�:�$=�!'�8�&�;�8$������'�8�&&�;��$
&� 5�����������>�� ������ ���'�� :�&
�� 8��'� 8�"&� ;���������� �������������#�#��
�����'���������������#�#��������&�����"����
'� (�������������� ���'��:�&
��:�%'�8�'&�;����4���� �������� ��� � �������� ����-
�� �� ���� �� �� $�
�� ������ ���� ������������� ���'�:��&�;�$�
)� �������������� �������������������� ���
�� �� ���������� ���&�;�<�
�� �� �#�#�������������� ���&�;�'�
*� ������ ���'��:�&
��:�%'�8�'&�:���;��
�� �������������� ��
<� 5�������� �� ��� �������������� ������������ ������ ��� �������� �����
�� �&�"������'��:�&
��8�%'�8�'&�;���
�� �8��8�&������'��:�&
��;�!%�
)� ���8�������'��:�&
��:�!'�8�&&�8��'�;���
��� (����������������8!�"����������8�����0����������>���� ���������������������
��'&��������������;�!��������������������� ����5�������������������� ���� �� ��
��� �����������(��� ��������������
/������������� ������� ������ ����� ������������� ����������)� ����#�� �
�� �����������������������#������� ����� ����������� �������� ������������ ����#�#��
������ ������������������������ �������������� ��=������� ����#�#��������� �����
���������=���!���� ����������#�#��������� ���������������,� ����������� �"�%�
Latihan 4.3
�� ��� �������������������������136
4����������������� ����� �������� ��
cmxy += � ���� �� ������ ������ ��
2 2x y+ 2Ax+ 2 0By C+ + = �� ���������� �� ���
������ ������������� ������������ �������
����������� �� ������ ���� ��� ����� '�
(�������� �������� ���� ������ �� �����
���� ��� ���� ������� ������ ��� ������ @��� ��)� �
������ � ����� ���������������� � � �#����� � �� ��
�� ������������ ������������������� ������
��� ���� � �� �� �� ������ ���� ��� ����
,� ������� ������"���
)�&�'� ��
����� � ����
(���������� ����&�+��'������������ ���2 2 10 16 0x y x+ − + = ��5��������� ������������
�� ���
�� �� �#�#������������������
�� �� �����������
)� �������� �#�#�����
�����������
���������� �� �������� ��� ���������� ������ ������ ������ ������� �����
���� ��������'�
2 2(1 ) 10 16 0m x x+ − + = �
(��� ������2100 64(1 )D m= − + 236 64 4(3 4 )(3 4 )m m m= − = − + �� A� ��� ���
������ ��������
�� 0� �#�#���������� 0D > �� ������
3 34 4
m− < < �
�� 0� ���������������� 0D = �� �����
34
m = − ������
34
m = �
)� 5������� �#�#���������� 0D < �� �����
34
m < − ������
34
m< �
�
lk
h
��������1
(��� ���������� '�������������������� ������������������'��� ���������� ��������
������������� ������ ������������������������� � ������ ������ �������������8�"�%�B��
����������������� �������������������������� � ���� ������� �������������8�"�%�;��
�������������������������������������������� ����� ��� �������������8�"�%�C��
���� ��� � �� ��������� 137
�� 5������������������ ����������������������� �������� ������������)� �
������ ������������ ������ �����#�� ����������������� �������� #���
��
2 2 91
x yy
+ ==⎫⎬⎭
��
2 2 202
x yy x
+ ==
⎫⎬⎭
�� 5���������������#�#��������� ����� �����������������'����������&�
��2 2 4x y+ = ��
2 2 36x y+ =!� �0����������>���� ����� ����� ������� �������� ������ ��� �������� �����
��
2 2 22
+ == +
⎫⎬⎭
x yy x ��
2 2 10 4 19 03 1 0
x y x yx y
+ + + + =+ + =
⎫⎬⎭
"� 5���������� ������������ ��� ������ ��������������������������� �������5����
��������������� ��,������� ����� ������������������51
2 2( , )M ��5���������## �����
������,�
$� ������������ ����� ������������� ����� �����/� ���� �� ���������� �������
�����&�������������!���0����������>���� ������������ ������������
2 2 2( ) ( 3)x k y k− + − =/���� ������ ��� ������������ ���&������� ��������� �� ������ ������ ��� ����
3���������������� ���������������������� ���������������� �#�#�����������
�����'�
��* (��� � +����������������
��*��(��� � +����������� )����� ����� ���������
(�� �4,� ������ ����� ����� ������ �� ��>�
���� ������ ��� ����������� ������������ ������ ��
������� ������ �� ��� ��������� ������o90 ��������
�� ��� ��������� ������ ������ ������ �#�#��� ��� /���
���������������� ����>�������� ������������������ ��
���������� �������������� ������ ����������������
3������ ����������� ������������4���������
������ ������ ������ ������ ���� ���� ������ ����
������ ������� � ���� ������������������ ��������������
���� ������ �������������� ������������ �����������
� ������������������������� ����
. 1PAm m = −�
������� PAm �� ������ ������ ����������m��� �������� ������������� ��7����� ���
������������������� �������������������� �������������������������� �����
�� ��� ��������� ��
�
A P
��������2
Latihan 4.4
�� ��� �������������������������138
�
O(0,0)
A(4, –3)
����� � ��*�
5���������� �������� ������������������ ���'��:�&
��;��$������������"�8!��
�����������
(�����������������'�;�"�����&�;�8�!�
"�:��8!�
��;��$�
������ ������� ��>�� ��������"�8!�� �� ������ ����
������ ���'�� :�&
�� ;� �$�� ,����� ������ ��� ������7������
�������
O4 0 43 0 3Am−
= = −− −
�����������3
3� ���� O . 1Am m = −�
������ �34m =
��� /������� �������� ��� ������������ ��������"�8!�
�����
343 ( 4)y x+ = − �������
34 6y x= −
�
��*�! (��� � +��������,�'�'��� )����� ��� ����� ���������
4�������� cmxy += � �������� �������� ��� ����������� ������ ��������
��� ������� ��������������� ���� ��(����������������������� �������� ��
���������� ������������ ��������������� #����� ���������� ��������'�
� � ����� ����� �������������� ������������ �������� ���� ���������� ��
����� ���������������#���D������� ���� ������� #����� ����� ����� �����
����
����� � ��*�!
5���������� �������� ������������������ ���'��:�&
��;�<� ���������������������8$��
�����������
,� �������� ��� ��������������������8$���������� ��������������
&�:�$�;���'�8���������� 5y m x= −(����������������������� �������� �����
������� ������ ����� ���������� #��
2 2( 5) 9x m x+ − =2 2 2 10 25 9x m x m x⇔ − + =+
2 2(1 10 16 0)m x m x⇔ + + + =(��� �������� ���� ���������� ��� �� ���
�����
2 2 24 100 4(1 )(16)D b ac m m= − = − + �29 16m= −
� � ����� ��������������-�;����������������"���
-�;���⇔ �29 16 0m − =
����������⇔ 29 16m =���⇔ 4
3m = ±(���������������������� ����������������� #����� �������� ����������
43 5y x= − �����
43 5y x= − −
O
A(0,–5)
������ ��4
�
���� ��� � �� ��������� 139
����� � ��*�$
5���������� �������� ������������������ ���'��:�&
��8�"'�8�%&�8�!�;���� ���������� ��� ��
!'�8�"&�;���
�����������
(����� ��������� ��������������� ������ ���� ������ ����������������������-��
��������� �������� ��� ���������������34 ��4���������� �������� ��� ��������� ���
�����
34y x c= +
�������������������������%�������������� �������� ����������������� ������������ ���
2 23 34 4( ) 4 6( ) 3 0x x c x x c+ + − − + − = �⇔ �
2 225 3 1716 2 2( ) 6 3 0x x c cc+ − + − − =
(��� �������� ���������� ���
2 2 23 17 252 2 16( ) 4 ( 6 3) 4 12 91D c c c cc= − − ⋅ − − = − + +
Syarat menyinggung adalah 0D = ,
0D = ⇔ 24 12 91 0c c− + + =⇔ (2 13)(2 7) 0c c− + =⇔ 13
2c = ������72c = −
/������� �������� ������������ ��������� �����������3 134 2y x= + �����
3 74 2y x= − �
�
��*�$� � )�������(��� � +�����������������
���� �������������������������������������# ��� ������� ����
������������ ���� �������� ������������������ ���������� �������������
�������������������� ��������� �������� ������������ ����������������
)������� ��
/���������� 0 0( , )A x y ��� ����������������� ���2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = �����
�� �������� ������������������ ��� ������������������������ ��
�� �����
20 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r− − + − − =
���
3���� �� ������� ���� � "����� ,����� ������ ��
������������������ ��� ������������������ �����
������ 0 0( , )A x y ��A� ������ ������ �� ��� �� ����
�� ��� ��������� � � ��� ���������A �������� �����
�����
0
0PA
y bm
x a−
=−
������� ��� �������� ������������ � ������
����
0
0
x am
y b−
= −−�
�
0 0( , )A x y
P(a,b)
���������5
�� ��� �������������������������140
/������� �������� �� ��������� � � ���������� ������ 0 0( , )A x y ������ ������ ��
�����
00 0
0
( )x a
y y x xy b−
− = − −−
⇔ 0 0 0 0( )( ) ( )( ) 0y b y y x a x x− − + − − =
3� ���������� 0 0( , )A x y ��� ����������������� ��������2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r− + − = �
������� ���� ������ � �� ��� ������������ �����������������
{ } { }0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0− − − − + − − − − =y b y b y b x a x a x a⇔ ���
2 20 0 0 0( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0− − − − + − − − − =y b y b y b x a x a x a
⇔ ���2 2
0 0 0 0( )( ) ( )( ) ( ) ( )y b y b x a x a x a y b− − + − − = − + −⇔ ���
20 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r− − + − − =
/�������� �������� ������������ � � ����������������� 0 0( , )A x y ������������ ��
�����
20 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r− − + − − =
���&��� ��
/���� ������ 0 0( , )A x y � �� ������ ����� ������ ���2 2 2x y r+ = �� ���
�� �������� ������������������ ��� ������������������������ ��
�� �����
20 0x x y y r+ =
���
.������������������5�# ���"�����������;���������;���
)������� ��!
/���� �� ��� � � ������� � ������ �� �� �������� ������ ��
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = ������ � ������� ����� �����
2( ) 1− = − ± +y b m x a r m
���
4���������� �������� ��� � � ������ y mx c= + ������������ ��������������� %�
���������� ��� ������� ������ ������ ��� ���� ������� ������ ���� ��
�����'���������-��
2 2 2 2(1 ) 2{ ( ) } ( ) 0m x a b c m x a b c r+ − + − + + − − =(��� �������� ���������� ��� ������
2 2 2(1 ) ( )D m r b am c= + − − −3� ������ ��� � ��� �������������� ����������)� �������� �-�;���
2 2 2(1 ) ( ) 0m r b am c+ − − − = 2 2 2(1 ) ( ) 0m r b am c⇔ + − − − =2 2 2( ) (1 )b am c m r⇔ − − = +
21c b am r m⇔ = − ± +
�
���� ��� � �� ��������� 141
����������� ���%��������������� �������� ������������ � ���� ����
2( ) 1y b m x a r m− = − ± +�
���&��� ��!
/������ ��� � ��������� ���������� �������� ������ ���2 2 2x y r+ = �
���� � ������ ����� �����
21= ± +y mx r m
���
.������������������5�# ���"�����������;���������;���
�
����� � ��*��
5���������� �������� ������������������ ���'��:�&
��8�"'�8���&��:��<�;�������������������
�����������
9����� ���'��:�&
��8�"'�8���&��:��<�;�������������������������������������
2 2( 2) ( 5) 10x y− + − =
9����� ����� ������������$�������� �� ���� �� 10 ��5���������������������)#��#�"�$���
������������� �� ����������� ������ ����4��� ���5�# ���"����� �������� ��� ��������
������ ������������������������
(1 2)( 2) (2 5)( 5) 10x y− − + − − =
(�������� ��� ��������� ����������������� #���71
3 3y x= − + �� /������� �����
�� ���������������������������������
713 3y x= − +
�
����� � ��*�*
5���������� �������� ������������������ ���'��:�&
��8�"'�8�%&�8�!�;���� �������� ��
� ������34 �
�����������
9����� ���'��:�&
��8�"'�8�%&�8�!�;��������������������������������������
2 2( 2) ( 3) 16x y− + − = ����������� ����� ������������!�������� �� ���� ��"��4��� ���5�# ���"������ ����������
�������� ������34 ����� ����� �����
23 34 43 ( 2) 4 1 ( )y x− = − ± +
���������������� ��������� ��������������������������� �������� �����������
3 134 2y x= + �����
3 74 2y x= −
0�����������������)#��#�"�$�!��E����� ����������-
�
�� ��� �������������������������142
3���� ������� ���������������� ������������ +����� �������������������
����� �����>��������4���������������������� ����������������)� ������������ ��
����������� ��������� ��� ����� ������ ������������������� � ������ ���� ���� )� �
������������������� ����������������������� ����������4,�������
����� � ��*�-
4�������� ������ ��� � 1L � �� �� ���� �� � �������� ������ ��� 2L �� �� ���� �� '���������
�� ��������������� ��������������0� �������������������� ������ �������� ���
���������������������������� ����� �����-
�����������
,� ������������ �������� ��� ����� �����(������� ���
2 2 8r PM= = ���� 1 1 2r QM= = ���� 1 2 12d M M= =
2PM PQ⊥ ���� 1QM PQ⊥ ������ 1PQ RS AM= =
S
Q
2L 1M2M d
A
P
R
����������
/���� 1 2M M P α∠ = ������ 2 2PM R α∠ = �� ������ �*�����o
2 360 2PM R α∠ = − �� ���
1 2 2QM S PM R α∠ = ∠ = ��3������ #��
1 2
6 12cos12 2
AM
M Mα = = = �������
o60α =
,������������� ������ �������� ��� �������
�����������)�:������������� ����� ��0�:������������� ���)���)�
� ���������)
2 21 12 6 108PQ AM= = − = �
� ������������ ����� �
o o
o
360 2(60 ) 322 .8
360 3PR π π
−= = �
� ������������ ���)���
o
o o2 120 4
2 .2 4360 360 3
QSα
π π π= = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
,������������������������������ �������
32 42 108 2 108 12
3 3π π π+ + = + �
/������������������������������������ � �������� ������������ ( )2 108 12π+ ���
���� ��� � �� ��������� 143
4�������� ������ ��� � 1L � �� �� ���� �� � 1r � �� ��������� 1M ���� ������ �� 2L �� �� ���� �
2r �� ��������� 2M ���������� ��������������� ��������!��0����������>��
�� ,��������� �������������� ������������ ������2 2
1 2( )d r r− − �
�� ,��������� �������������� ��������������������2 2
1 2( )d r r− + �
)� ,������������������������������ � ���������������������������� ��������
o2 2
1 2 1 2o o360 2 2
2 ( ) 2360 360
d r r r rα α
π−
− − + +⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
�� ,������������� ������ ������������� ���������������� ������ ������ ��
�����
o2 2
)1 2 1 2o360 2
2 ( ) 2360
(d r r r rα
π−
− + + +⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
�� 5���������� �������� ������������������ ������������ �������� �����
�� '��:�&
��;�����������������8!��
�� '��:�&
��:�%'�8�"&�8�"$�;�������������"��8���
)� !'��:�!&
��8�%'�8�<&�8�!�;�������������8�����
�� ������ ������ ����� ��������� �!�"�������� �� ���� ��$�
�� 5���������������#�#��������� ���������������������## ������
�� 5���������� �������� ��� ������������������� �������#�#��� �� �������0�������
��>��������� ���� �� �� ������ �
)� 5�������� �## ������ ������ ������� ����� ������ ��� �������� ������� �� ��
��������� ���������� ���� �����������
!� 0����������>���� ����&�;�!'�:������ �������������� ���'��:�&
��8�''�8�"&�8����;�������
��������� ������ ��������� ��
"� 0����������>�� �����&��������� ��� ��������� ������ ��� '�� :�&
�� 8� �� cosθ '� 8
�� sinθ &��:� 2 2sina θ ;���
Tugas Mandiri
Latihan 4.5
�� ��� �������������������������144
$� (�������������� ���'��:�&
��8���&�:����;�����������������8�'�%���� ����������������� ���
�� 5�������� � ������ �� ���� �� �������������� 5������������� �� �������� ��
��������������� ��������������
�� 0����������>���� ����������������������� �������������� ���'��:�&
��;����
�%� 5���������� �������� ������������������ ����������������� �������� �����
�� '��:�&
��;�<����������������%�%��
�� '��:�&
��8��'�:��&�8��"�;��������������������!��
�&� ,������ ����������������������$�"������������� ���'��:�&
��8�"'�8�%&�:�!�;����������������
����# ������ ��125 ��5���������� �������� ��� ��������� ������ ��� ����������
������ �� ������
�'� 5���������� �������� ������������������ ���'��:�&
��8��'�:��&�8����;��� ����������
�� ����'�8�&�8�$�;���
�<� 0� ��������������� ��� ���&�;���'�:������ �������������� ���'��:�&
��8��'�8�"&�8��$��;��-
��� �� 5���������� ������������ ��� ������ �����������������"�!�������������7������
�� 5�������������������� ��)���������������������5��������������������)�
)� /����0�8%��8���������������>��0������0)��� �������������� ���
�� 9����� ��� ������ ������ ���������� ������������ ������ �� ��� ���� �� ����
������ ������ ������
�� ,� ������������ ���������������� ������������� �� ���� ���������2 2 2x y r+ = �
!� ,� ������ ������ ��� ������� ������ ������ ���� �� �� ���� �� � �����
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = �
"� /���� ������ 0 0( , )A x y � �� ������ ����� ������ ���2 2 2( ) ( )− + − =x a y b r �� ���
�� �������� ������������������ ��� ������������������������ ����� �����
20 0( )( ) ( )( )− − + − − =x a x a y b y b r
$� /���������� 0 0( , )A x y ��� ����������������� ���2 2 2+ =x y r �������� �������� ��
��������������� ��� ������������������������ ����� �������2
0 0+ =x x y y r �
%� /������ ��� � ��������� ���������� �������������� ���2 2 2( ) ( )− + − =x a y b r �
������ � ����� ����� �����2( ) 1− = − ± +y b m x a r m
&� /������ ��� � ��������� ���������� �������������� ���2 2 2+ =x y r ������ � �
���� ����� ������21= ± +y mx r m � �
Rangkuman
���� ��� � �� ��������� 145
,���� F����G������3��#�� �$��� ����� ���� ������ ��������)� �� ����� ������
�����������H����������� �&� I���� 67!�78��'6�#� �7����2�������)� ������������
������ ��� ������������������������#���#���#���#����� ������������ ������ ��
�� ������� ������������ ���� ����� �#���#�� �� ����� ��� ����A��� � "���
�������� �������� #���� ������������#���#���� ��� ����������� ��
1A 2A 3A 4A� � �
������ ����
4�������� nA � ������ ������#���#�� �������������� J����������� ������ ��� ���
�� ����� ����� ��������>�� � ���������������� ����� ������ ����3�����������
��>������������� ���������������� ���������#���#��������������������������������
lim nnA A
→∞=
7 ����G������ ����� �� ����������������� ����� ��)� �������������5�������������
����������������� ��� ���� ����������.���/� � ������ ������ �������4�����
�������������#�������������������������������� ������������������ ��
���� �� ������
�� ������������������������������������������������������������������
����������� �!�������������������������
�� ,� ������������ ��� ������ ��������������������� ���������� ����&�+�'
����������
�� '��:�&
��:��'�:�"&�8�<K��;��
�� '��:�&
��8��'�:�"&�8�<K��;��
,� '��:�&
��:��'�:��&�:�<K��;��
(� '��:�&
��8��'�8�"&�:�<K��;��
L� '��:�&
��8��'�:�"&�:�<K��;��
Math Info
Uji Kompetensi
�� ��� �������������������������146
�� 9����� ��� �������������������������&��&��������'�������,��<�<������ ��� �� ��
�� �������
�� �� (� �"
0� �� L� �$
?� �!
!� /���������� ���'��:�&
��:��'�:�0&��8����;������� ����� ���� ��$�����������
��2 2 52A B+ = (�
2 2 25A B+ =
0�2 2 40A B+ = L�
2 2 49A B+ =
?�2 2 50A B+ =
"� ������������ ����� �������������'������� ���������� ��� 3 4 0x y− = ���
�������"�!���/� ���� �������� ����� ���������������� �
��
$
!
(� $
0�
!
$
L�
$
"
?� !
$� A� ����3 4 13x y+ = ��#�#��������� ����'��:�&
��8�"'�8�%&�8��!�;��������������������
,����������;�M
�� % (� ��
0� ' L� ��
?� <
%� 9����� ��� �'�� :�&
�� 8� "'� 8� �&�8�!�� ;� ���� ��������� �������������#�#����� ��
3 4 5 0x y+ + = �������������������/���������� APB α∠ = ������ tanα =�
�� − ��
(� 8��
0�12 2 L� 3−
?� 2
&� A� ���� 3 4 0x y k+ + = ��� �������������� ���'��:�&
��8�"'�8�%&�8����;�����������
k =��� &������"!
0� &�������8"!
?� 8�&������"!
(� 8�&�������8�"!
L� 9± ������ 13±
���� ��� � �� ��������� 147
'� A� ��� 7 20 0x y− + = ��� �������������� ���'��:�&
��;�'���������������
�� ( )2 14,5 5− (� ( )2 14,5 5−
0� ( )9 13,5 5− L� ( )9 13,5 5−
?� ( )13 9,5 5
<� ������������ ����������������������� ���������� ��� 2 3 0x y− + = ���������
����&������� ����� �����������
� �'��:�&
��8��"'�8�"&�9�!��;��
0� '��:�&
��8��"'�8��"&�:��!�;��
?� '��:�&
��8����'�8�"&�:��%�;��
(� '��:�&
��8���'�8�'&�8����;��
L� '��:�&
��8��"'�8��'&�8�"��;��
��� ,� �������� ������������������ ����'��:�&
��8��'�8�"&�8�'�;��� ��������������������&�
�����������
�� 9 0x y+ − = ������ 3 23 0x y+ − =0� 3 2 20 0x y+ − = ������ 2 3 17 0x y− + =?� 2 3 25 0x y+ − = ������ 3 2 8 0x y− + =(� 3 13 0x y+ − = ������ 3 19 0x y− + =L� 2 11 0x y+ − = ������ 5 0x y− + =
��� ,��������� �������������� ������������ ������� ����'��:�&
��8��%'�:���&�:�$��;������
'��:�&
��:�8��'�:��&�8���;���������M��
�� " (� ��
0� % L� ��
?� '
��� 5��������� ����������������'��������������� ����������������&�����������������
��� ;� ���� /��������� ������������������� ������������������ ������ �����
������ ������������ ������M��
�� '��:�&
��;���� (� '
��:�&
��;���
0� '��:�&
��;�$� L� '
��:�&
��;���
?� '��:�&
��;��$
�!� (����������������������8!��"���)�!��8����������'&���������� : 2 :1PS PQ = ��5������
�� ����������������� ��������
�� '��:�&
���:�%'�8�'&�8���<�;��
0� '��:�&
��8��''�:�%&�8���<��;��
?� '��:�&
��8��''�8�%&�:����<�;��
(� '��:�&
��8���'�:�'&�8���<�;��
L� '��:�&
��8���'�:���&�8�<�;��
�� ��� �������������������������148
�"� 5�������������� ��� ������ �� ���� ��������������� �������������� �������� ��
��)��� 1L ��� ��������������� ������ ��� �� ���������� ������ ������� � 2L � ����
�� ��������������������� ����� ����������� ������������ �"��!��,� ���������
�� ���� �� ������ ��� 2L ����� �� ���� �� ������ ��� 1L ������� ���� �
�� (1 3)+0� �"����
?� (7 4 3) :1+
(� (7 4 3) :1−
L� (7 2 3) :1+ ������ ���(
�$� 5����������������� ������������������ ������ ��� )��������� � ��� ����� �����
/����� �� �������������� ������ �� ��������� ���������������������������� ����
������������������������������������
�� ( 3) 2aπ + (� ( 3)aπ +
0� 4 aπ L� ( 1) 3aπ +
?� aπ
� ������������������"��������������������#$����������������������������������
�%� A� ���2 3 6x y+ = ��#�#��������� ���2 2 30x y+ = ������������������A� ����� ��
������������������������� �#�#���������������������## ��������������
�&� (����������������8�'������������������8���������0����������>�����������������
��������'&�� �����������+�(��� ������������ ������ ����5������������� ����
�� ������������������ ��� ��������������������8�$��
�'� ������ ����������������� ��)� �� ������ ���� ������ ��� ������� �� �����
2 2( 1) ( 2) 16x y− + + = �����2 2( 9) ( 10) 16x y+ + − = ��0� ����������������������-
�<� 5������������������ �� ����� ������ ������������������ �"��"�� ������������
� ����������������������� ���2 2( 2) ( 2) 9x y− + − = �����
2 2( 10) ( 8) 9x y− + − = �
������ ����
���� ��� � �� ��������� 149
��� �����������,�������������������������������������������� ���� a BC= �� ����
���� � "��$�
������
A B
CD
������ ���*
�� /���������� ��� ������������������������� �������������� ���������-�
�� ����������>�
( )12CD BC AC AB= + −
�� /����12 ACBθ = ∠ ������� ������� �� ���� �� � ������ ��� �����������������
�������������������θ �
�� /�������D# ������� ������������ ������������� ������� ����� ���� ���
�������������� ����/���������������������!����� ��� �������������������������������
*���������� �'�
�� ������������������������������)����������������6���� ���������� �����������
������ ��������������� ����������� ������ �� ���� ��"����� ��.������������� ��� �����
��������� ����������������������� ����� ������������������� ������#�����������
θ ����������� �"��%��������� ���������� �������� ��������� ����� ���!��� ������
)�� ���D �������*�����������������)�� ����������*������θ �
hd
40
θ
P
������ ���1
Soal Analisis
�� ��� �������������������������150
!� 9���������������������*#��������������#�������������������o30 � �� ����
���������������������������� ���� ������)�����������������������������#��������
���������� �������� ����� ������������ ����� ������������������ ����� ���� ����
�� ���������������������� �"��&���0� �������� ���!��� ��������#���������#����
�������������� �����������-
2
d
������ ���2
"� (����*��������� ���������� ��������� �������������������#�����������>����
����������������������������� ��� ������������������������ �:��� /���� �� ���� �
������ ����������� ������������������ �#����� ������������ �� ��� 2 rπ �
����������� � �� '�����������0�������������������������
2 rv
Tπ
= �������
2va
T=
�������#��� ������ ������� �� �������������� ���# ��#����� ������ �� ���� �
���0#������������������ ��������!��������5���������� )������� ��
$� ���������������������� ������������ �� ����������������#�����������# ���
������� ������������������������/������ )������� ��<�'��K����������� �����
���������>����� ����������������������������������� ��������
���� ��� � �� ��������� 151
����1���
D�� ��MMMMMM�� 5������ ��MMMM�
3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��,� �����
��������� ��
3��#�#� ��MMMMMM�� ������ ����������
3������� ��4�������������������� �����������
�������� ��
5����� ��4������������������� ������������������ ���
������������������ ������������ ��������
�� �'�������&� ���2�������������
�� ������ ��� �#� "� /�����
�� 0���� )������ $� 0��� ��� ����
!� ����� ����� %� ,����� ��
�� ����������
�� A��� ��� ������ ������ ���������� �� ���� �� ��� )�
�� 0������ ��������� � ������ �������������� ������������)�
!� A��� ����������� ����������������� ������������������o15 ������
�� ��� ��������������� �
"� D�������� �#�#������������� ��������������������������
$� (������������ ������ ����������� ������ ����)�
%� 9��������������!��������������$�������������o30 ��
o45 ������o60 �
�� ���'� �
�� A��� ����� ��� ����������������������������������� ���
�� A��� ��� ���� �� ���������������������� � ������ ������ ��� ���� �����
���������
!� 9�����������������������5�# ���, ���# ���������������������������� ��
�)�
"� ?#)#����������������������� )#����������
Aktivitas Proyek
3���������������������� ���+���� �������(��� �4
�� ���������$N
�� ��������!�N
!� ��������"$N
"� ��������%�N
�� ��� �������������������������152
,���&���%����+� ������
���������������������������� �����# ������ � ��%������������>����������
������������������������!�������%�����������%��� ������������� �����
A B C
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
2 3 6 7 10
11 14 15 18 19
22 23 26 27 30
31 34 35 38 39
42 43 46 47 50
51 54 55 58 59
4 5 6 7 12
13 14 15 20 21
22 23 28 29 30
31 36 37 38 39
44 45 46 47 52
53 54 55 60
D E F
8 9 10 11 12
13 14 15 24 25
26 27 28 29 30
31 40 41 42 43
44 45 46 47 56
57 58 59 60
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 48 49 50 51
52 53 54 55 56
57 58 59 60
32 33 34 35 36
37 38 39 40 41
42 43 44 45 46
47 48 49 50 51
52 53 54 55 56
57 58 59 60
4�������# ���� ���� ��������������� � �� ������������ ������������������ ���
�� ������������� ����� ��������(������� ���������������H �I��������� ���� � �
�� )������������ ����� ����������������������H�����I��������� ���� � �������
�� )����������������������������H �I��������� ����� ����� �## ����?������L�
4������ � # ���� ���� ����� ��� ������ .��� ���� #���������� ���������������
����������������������� ������������� ��� ����������� ��� ����������������H �I�� ����
��:�"�:��%�;����
Teka-Teki Matematika
�� �6���;�������;�#������� ��� 153
�� ������������������������������������������������������������������
����������� �!�������������������������
�� D����� ������������������������� �� !$� ���>��������$'�� /���������� ���������
5#�#�����������������������#�#���� ������������ ������ ���������$<��D����
����������������5#�#�������������
�� &&�$ (� &"�$
0� &%�$ L� &!�$
?� &$�$
�� ������������������ ������������� ����������"�� /���� ���������������������������
�������"������������� ������������<����� #���������� ��������� �������$
��������������%�������������"�9�<�;������
�� " (� &
0� $ L� '
?� %
!� 4����������#������ �����#�#�������
! % & $ ' " % <
������M��
�� �&�����$ (� $�����%�$
0� %�����% L� $�����%
?� %�����&
"� 2� � �������� �����#�#������>����>�������������>������� ��������"�������
/������ � ����������>��� �>����� !<� ����������� � ����������>������� �
������ "&� ������������ ���������� ���������>��� �>����� ��������>��
���� �������������
�� !���" (� $���"
0� !���$ L� $���!
?� !���&
$� ���������#�#����������� ������#� ������ ��������>������
�� ��� ������������&������ ������$"��
0� ��� ������>��"������ ������$��"
?� ������%��������� ���������'�
(� ������%$����� ������$"��
L� #����$"�������������%�
Latihan Ulangan Umum Semester 1
��
��
'
%
"
�
��������!������"�����$������%�����&������'������<�
�D����
�+ �������
�� ��� �������������������������154
%� (���������������������
' �� ���$ �� �! �!�$ �" �'
,� � �������� ����� �������� �������M��
�� 6�������0�������$
0� E��� ���=����������$
?� D������������ ��)������������)����
(� ������������ ���� ��������$
L� �����������������#�������
&� (��� �������������������� �����
/���� ���������#�#�������������!$��������������;������
�� ��% (� '
0� �" L� %
?� ��
'� 6���������J� �������� ���������������
! $ < �� % % ' < ��
�����������
�� " (� �&
0� $ L� '
?� %
<� (������������������ ������"�����>��������� ��������������� ��&��/������# ���
���>�� ���������� �� ������� !� # ���� ���>�� ���������� �� !� ���������� ������
���� ������ ���� ����������� ���� �
�� &��$ (� &��$
0� &�"$ L� �&�%$
?� &�$$
��� E�����������!��)��#������>�����������������#�#��������� �����
?��#������������ �������������������� �� ������� �� %��� /������� ��� ������>��
�������� ����������%�# ������������;������
�� �' (� �$
0� �� L� !�
?� �"
���8��"
�$�8��<
!��8�!"
!$�8�!<
"��8�""
�
"
��
�
'
�����1�' 5������ �
���8�!�
!��8�"�
"��8�$�
$��8�%�
%��8�&�
&��8�'�
'��8�<�
�
�
�
<
�
%
�
�����1�' 5������ �
�� �6���;�������;�#������� ��� 155
��� (�������������
��$ ��$ %�$ &�$ <�$
6���������������������������������������
�� �" (� ��'
0� $�$ L� �
?� ��'
��� ��# �������>����>������������ ������'��� ������#������������#����## ��������
��������## �<�� ������� �������0�� ���������� ���������������������������
�� ! (� '
0� $ L� ��
?� %
�!� (� �����������!��$��%��&������<����������������� ������ �� ��!��������� ������ �
"����0�� ������������������������������� ������ ������������������
�� �� (� '�
0� !$ L� ���
?� "�
�"� ���������������� ����#������$�# ������������������ ������ �������&�>������
0�� ��� ��)� ����������������
�� ��$$& (� $��&$
0� ��$&$ L� $�&�$
?� ��$<$
�$� /�������������2 1
5 42n nC C+ += ������210
nC =� �
�� '�� (� ��'��
0� '�' L� "���'
?� ���'�
�%� �������������## ��## �������� ������ �� ������������� �*����������������
���������� ������ �����������������������������������������0�� ����##
������������������
�� ���'$ (� ���%$
0� ���'� L� ���%�
?� ���&�
�&� 0�� ������������ ������������������� ��<������� �������������� ��������������
�� ��' (� '"
0� ��" L� "'
?� <�
�'� (�����#������ ���� "� �#���� ������%��#���������(������ !��#��� ����������
,��������� ����� ���#����� �����>� ������������� �
��
�
��
(�
�
$
0�
�
%
L�
"
$
?�
�
$
�� ��� �������������������������156
�<� (������������ ����� ���������� ������ �����,���������)��� �� ����
���������&��������������������
��
$
<
(�
�
<
0�
�
"
L�
�
<
?�
�
&
��� (����� ��������������������������#�����)� ���� ��������� ���&�������
+ ��������� �������)����������� ������������
�� "'����� (� �������
0� !%����� L� �'�����
?� �&�����
��� �������#������ ���� "� ���#������������� %� ���#�������� /�������������� !� ����
����������� �������������������������������������������������� ���
���������������������������������������������
��
�
�$
(�
�
�$
0�
�
��
L�
�
%
?�
�
'
��� ,�������3������������,40���������<$����������������������9�������<���,������
3������������������������9������������,40������������
�� ���"! (� ��<�
0� ���"% L� ��<$'
?� ���"<
�!� /���� 2 xπ π< < �����sin x p= ������cos tanx x− =�
��
2
2
1
1
p p
p
+ −
− (�
2
2
1
1
p p
p
− + +
−
0�
2
2
1
1
p p
p
− −
− L�
2
2
1
1
p p
p
+ +
−
?�
2
2
1
1
p p
p
− +
−
�"� /������������� ABC ��������������,���������������sin cos35
=A B ������
tantan
AB=�
�� ! (�
�
�
0�
!
�
L�
�
!
?� �
�� �6���;�������;�#������� ��� 157
�$� /����23cos 4cos 2 4 02x x+ − = ������������ cos x =�
��
�
!
(�16 30 ��������
16 30−
0� −�!
L�23 2 ��������
23 2−
?�13 6 ��������
13 6−
�%� /����o270A B+ = ������� cos sinA B+ =�
�� 2sin B (� cos sinB A+0� 2 cos B L� �
?� sin 2B
�&� /���� ����� ��������� ABC �� ��������� tan34
=A � ���� tan43
=B ������ �����
sin C =� �
�� 1− (�
� "
� $
0� − �"�$
L� 1
�?� − &
�$
�'� (����������������� ABC ��������������o45B = �����,:��� ������������ ��������,�
/����BC a= �����32 2AT a= ������ AC =� �
�� 2a (� 7a
0� 3a L� 11a
?� 5a
�<� D������� �� 2
2 tan1 tan
tt=
+�
�� sin 2t (� 2sin t0� sin cost t L� 2 cos t?� 1 2sin t−
!�� 5����������� ������ ��������� ������� ABC � �� ����������� ������ ��� ������ �� ��
�� ��&�)��/��������� 2 7AB = )������� tan A =�
��� ( )17 6 7+ (� ( )1
2 6 7+
0� ( )16 6 7+ L� ( )6 7+
?� ( )13 6 7+
�� ��� �������������������������158
!�� /������������� � BC CD= ������ cos B =�
�� 2
2 tan
4 tan
x
x+(� 2
2
4 tan x+
0� 2
tan
4 tan
x
x+L� 2
2
tan 1 tanx x+
?�
2
2
2 tan
4 tan
x
x+!�� ,� ������������ ��� ����������������������� ���������� ����&�+��'�:�!���������
���&��������������
�� '��:�&
��8��"'�8��"&�:�!��;��
�� '��:�&
��8��"'�8�"&�:��!�;��
,� '��:�&
��8���'�8�"&�:��%�;��
(� '��:�&
��8���'�8�'&�8����;��
L� '��:�&
��8��"'�8�'&�8�"��;��
!!� ������ ������ ����� �������� �����'� ��� ������ �%���������� ���������� ��
3y x= ����� ����� ���� �� ���� �
�� 6 3
0� 3 2
?� 2 3
(� 6 3 ������ 2 3
L� 6 2 ������ 2 2
!"� ������������ ����� ��������������������#�#����� ���� 3 4 5 0x y+ + = �����������
�������/���������������;�'�������� ������������ ����� ������������M��
�� '��:�&
��8��"'�8���&�8����;��
0� '��:�&
��8��"'�8��&�8��"�;��
?� '��:�&
��8���'�8��&�8�����;��
(� '��:�&
��8�"'�8��&�:���;��
L� '��:�&
��8�"'�8��&�:�"�;��
!$� A� ���� 2y x k= + ��� �������������� ���'��:�&
��;������������� k =�
�� $������8�$
0� 2 5 ����� 2 5−
?� 5 2 ����� 5 2−
(� 5 3 ����� 5 3−L� ��������8���
B
x
C D
A
�� �6���;�������;�#������� ��� 159
!%� 9����� ����"'��:�"&
��8��"'�:�'&�8��"�;����� ��������������������
�� ( )3, 1− − (� ( )3,1
0� ( )3, 1− L� ( )1,3−
?� ( )3,1−
!&� ,� �������� ������������������ ����'��:�&
��;�$� ������������������&��������������
�� 2 5x y− = ������ 2 11 30x y− =0� 2 13x y− = ������ 3 20x y− =?� 2 5x y− = ������ 2 11 25x y+ =(� 3 20x y− = ������ 4 3 25x y− =L� 2 5x y− = ������ 2 15x y+ =
!'� ,��������� �������������� �����������$����������� ���'��:�&
��;�<��������M�
�� 32 (� �
0� " L�12 5
?� 33!<� ,� �������� ������������������ ����'
��:�&
��8�"'�8�%&�8�!�;���� ���������� �������
�� ���!'�8�"&�;���������M�
��3 134 2y x= − �����
3 74 2y x= −
0�3 134 2y x= + �����
3 74 2y x= +
?�134
3 2y x= + �����74
3 2y x= −
(�134
3 2y x= − �����74
3 2y x= +
L�3 134 2y x= + �����
3 74 2y x= −
"�� A� ���71
3 3y x= − + ��� ��������������� ���'��:�&
��8�"'�8���&��:��<�;�����������������
�� ������ (� ���$�
0� �8������ L� �"����
?� �����
� !�������� ����%������������������� �������%������������� �����
"�� D����������������������3�����..��������4������ �����#���������� ������D����
���������� �� ��������%'��D����� ������3�����..�.,��������&$������������ �����
3�����..�.,��������%"�
�� 5���������� ������������� ��� ���>��3����� ..� .,������������ ��� ���>�
3�����..�.,��
�� /������� ������>��������..�.,������������������� ������ ������>��3�����..
.,�-
�� ��� �������������������������160
"�� (�����������#�#������� ����������������������������� ������* ���������� �����
�� 0���������#� �������#���#��* �������� ��
�� 0������7��>���#����*�����7��>��������*� �
)� 5��������������#��������� ������
"!� 4���������� �����������������>�� ����������� ������� ��� ����� ���������
������ ��������� �����������������>�� ����������� ������� ��� ����
��������� �������� ����������
�� 5�����������>�������������������� �������������������������������������
����������� ������� ���!����������������
�� 5�����������>��������������������� �����������������������������������
������������������� ������� ��������������������
""� ,���������>�����������������# �������������������������K"������������
��>������������������ �� ������������������K!��0� ����������������>�
������ ����������������������������-
"$� ,������� �� ����� �������� ��������������� ��������� ���� �����������
������������� ������ ���$�� /������� ��� )�������� ���� �����������
������%�O��� �������������������� ���������������� ����� �������� ��������
��������������
"%� /��������������������,��� ����� tan tan 2 tanA C B+ = ����������� tan tanA C �
"&� /����
6+ =x y
���� cos cos
34
=x y ����������� cos( )x y− �
"'� A� ��� 2 5x y− = ��#�#��������� ���'��:�&
��8�"'�:�'&��:����;��������������������
0� �������������������� �������������#������������������������������� ��-
"<� 5���������� �������� ��� ���������� ��� ��� 2 10x y− = ����������������� ��
'��:�&
��:�"'�:����;������������������� ������������ �
$�� ������ ������ ����� ���������������� ������-� �������� ���������������� ���
���������� �������� �� ��� ��������� -,� ����� ������ ��� �������
o10BDC∠ = ���� ���������� � CAB∠ -
A M B D
C
���8�!�
!��8�"�
"��8�$�
$��8�%�
%��8�&�
&��8�'�
'��8�<�
�
$
�
��
�$
�
'
�����1�' 5������ �
������ � �� ��#�#���&�� 161
SUKUBANYAK�
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ��������������# ������������� ������� ���
�� ������������ ������������� ��������������������������������������# ���
���������
!� ��������������������������������������������� ���#��������������� ����
����������� ���
"� ������������������������������� ���#��������������� ���������������� ��
���������# ��������
$� ����������*���# ������ ��� ��������� ������������# ���*���# �
%� �� ������������ ������������� ��������������������*���# � ����� �
&� ������������# ��������������# ���*���# �
�� ��� �������������������������162
E� ����� �������������������#���� ����J#���� ���&���!������������������
��>������ ��#����!����������������� ���������� �������������� �������������������� �
���� � ��� 0� ���� ��� ��� �#���� ���������� ������� #���E� ��-�2������ ���������
�#���� ��E� ������� ������ ������ ����� ���������
4��������� ��#�����������'�����������������#������������'�:�!���������������� �������
( 1)x − �����������J#�����#�����������'�:�!��'� �'�8�����!��3� ����E� ����������
��>��J#�����#�����������&���!������������� ��
�'�:�!��'��'�8����;��&���������'!�:��'
��8�!'�8��&��;���
(��������������������������������� ����#���������E� ���� �����)� ��'��������
�������� ������������� ��������5� ������)� �� ���������� � �������������������
#���E� ���� ����������������������'� ������������������������*���# ����������� ��
���� ������������5������E� �������������������������� � ����������'� �������� � �
�#���������� ��������� �����
2�������������� ����������������E� ������ ������ ����� ������������� ��
�����������������#������#�������������#�� ������������������� ���������������#�*������
���# ����������������������������������������J� ������������������������ �����������
�� ������ ����� �
(��������������� �#������#����� �� ������ ��)� �� �������� ����� ������������
�� ����������������E� �����������
������������7�����������!��������#� ��7 ���!�����&#
Pengantar
������ � �� ��#�#���&�� 163
*� ,��� ������3�'��� � +����� +���&��2��
0������ ������ �2 3 7x x+ − ����
5 33 8 1x x x+ − + � �������� ����&��2��� ���'�����
��������&� ��1����&�'��'� ������������������ �� �������������������������������
������� ��������'���������������������������� ��������� ��'������������� ��
����� ��)� ������ ������� ���������#���#������'� �� �� �����������������������
�������������� ���������
1 2 21 2 2 1 0
n n nn n na x a x a x a x a x a− −
− −+ + + + + +�
�������
� 1 0, , ,n na a a− ���������#���������#����������������� ������� 0na ≠ ��3#��������� ka
������������� ������ �������kx ����� 0a ��������� ����������
� �� ���������������)�)�� ������ ��������� ����� ������� ���
��������)#��#�� �������������� ���������� ����� �� �����!�
3 22 5 3x x− +�����#�*�������� ��
3x ����������#�*�������� ��2x �������8$����#�*�������� ��'���������
���������������������!�
������ ������� ��������'� ������ ����� ��������� �������� *�������� ��'��4�������
������� ����������������������������������������������������*������ ( )F x ��������
�� �����
1 2 21 2 2 1 0( ) n n n
n n nF x a x a x a x a x a x a− −− −= + + + + + +�
(�������� �������������� �����������*������������������������ �������������
������������������������)� �������������������� ��� ( )F x ������� x h= ������
������ �������� #�������������������'��������6�� ����� ( )F h �����������)#��#�������
3( ) 2 5 8F x x x= − + −����������������� ���������'�;��������
3(2) 2 2 5 2 8 14F = − ⋅ + ⋅ − = −?� ���������������������������������������� ������� ������������ �������)� �
���������������)������������������ �������� �����������)� �� ����������*����*
��������������������������� ����������� ��-
4���������������������3 2
3 2 1 0( )F x a x a x a x a= + + + ��������'�;�6��(������)� �
���������� ����� �� #���3 2
3 2 1 0( )F h a h a h a h a= + + + �� 3���� ������ ���������
3 23 2 1 0a h a h a h a+ + + ����������������
3 23 2 1 0a h a h a h a+ + + 2
3 2 1 0a h a h a h a= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ � [ ]3 2 1 0( )a h a h a h a= + + + �
�� ��� �������������������������164
(�������������� #����������������������������3 2
3 2 1 0a h a h a h a+ + + ��������!
��������� �����
" ����������� �
3������� 3a �������6������������������ ��������� 2a ���������� #��
3 2a h a+!" ������������
3������� 3 2a h a+ ��������6������������������ ��������� 1a ���������� #��
23 2 1a h a h a+ +
$" �������������
3�������2
3 2 1a h a h a+ + � �������6� ���� �������� ����� �� ������� 0a �����
���� #��
3 23 2 1 0a h a h a h a+ + +
, #��������������������������������� ����������������� ����������������
������������������ ���������
h
3a 3 2a h a+ 23 2 1a h a h a+ + 3 2
3 2 1 0 ( )a h a h a h a F h+ + + =
3a h 23 2a h a h+ 3 2
3 2 1a h a h a h+ +
5����� ��� �������H���������������6I�
,����� #������ �������� ����������� ���������>��
�� 0� ����� ������������������� ����������������#�*������������� ��� �����������
�� ���#�*���������������� ��������������#�*����������������������� ������(���
��������������������)������#�*������ ���������������������#��
�� ������������������������� ��������������6� ��������������������������
����������
?� ����������������� ( )F h ��������� #���� ���� �������������������������6������
3�����������������������>��)� �� �������� ����������� ������������ ���
����� � *��
E��������������������� ���3 2( ) 2 7 5F x x x= + − �������'�+���
����������
������� ���3 2( ) 2 7 5F x x x= + − ����� ��� �#�*�������#�*������ 3 2a = �� 2 7a = �
1 0a = ����� 0 5a = − ��(�����������E# �� ��������� #��
2
5���� ��� �������H����������������I��/������������������ ��������� (2) 39F = �
�!����������������������
�����������������������������������������
�����������������������������������������������������
��
�� & ����������������8�$
" ������ ""
���������������������������������������������!<�;�+���
�
������ � �� ��#�#���&�� 165
�� ���������������������� �����������#�*�������#�*�������� ���������������� ��
�� �����
�� '��:�!'�:�� )� $�8�
��8�"
"
�� !&!�8�%&�8�" �� '
%�8�"'
!�:�''
��8�%'
�� 5���������#�*�������
�� '��������!'�:�"�����8��'� )� '
!��������'�8�<���!'
��:���
�� '�������'�:������'�8��� �� '�������'�:�����'��:�'�:�!�
!� 5�������*���# � ���������������
�� �'��8�$'�8�&�;��'�:�������M��� �� "'
��8���P�8�&�;���'�8�������M���
"� E�������� ( )F a � ������������ � �� � �������� ������� �� ������ ������� ��� ���
���� �����
��3 2( ) 2 1F x x x x= − + − =���;�� )�
4 2( ) 2 1F x x x= − + =���;��8�"
��3( ) 3 8F x x x= + + =���;�8�!
$� E���������������������������� ��� �������� �����������'� ���������������
�� '!�:�$'
��8�"'�:&��������'�;�� )� �'
"�:�<'
��8�!�'�:���������'�;��8�
�� $'��8�!'�8�'��������'�;��K� �� "'
"�8�''
��:��$'�:���������'�;��8�
%� A������������E# �� ���������������� ( )F a ��������������� ���������������
�� ���������������� ��� �������� �����
��2( ) 2 6 8F x x x= + + =���;�!� �� �'
!�8�!'
��:�<'�:����=����;�0,5 �
��3 2( ) 4 1F x x x= + + =���;��8�� �� $'
"�:��'
!�8�"'
��:���=����;���%�
)� �'"�:�!'
��:�$'�=���;��8��� *� '
$�8���$'
��:�!�=����;���$�
*�! ��&������ +���&��2��
3�����������������)� ��������������������������������������������������������
���#���(��� ��������2������������������������# ��������������������)#��#��� ����
����
����� � *�!�
E���������'!����$���������������������
����������
12183150
33 30 3
,�������� ���������������
�'!�;���$�× �����:�!!;���$�× �����:���$�× ����:�!;���$�× �����:�!
,���������� ��������������� ��������� ��!��� ���
�� ���$�
/�����'!�;���$�����:�!�,���� ��������� ��� ������ � �'!� �������� ���&����� �$
�����������&���������������� � �'&���7�!��������� � ��
���# ������������������������������������������
����� ����������������������������� ���
�
Latihan 5.1
�� ��� �������������������������166
����� � *�!�!
0��������'!�:�&'
��8�$���������'�8���
����������
2
3 2
3 2
2
2
2 11 222 7 5
2 4
11 5
11 22 22 5 22 44 39
x xx x
x x
x
x x
x
x
+ ++ −
−
−
−
−
−
,�������� ���������������
�'!�:�&'
��8�$���;��'�8����'
��:���'
��8�$
;��'�8�����'��:��'�8�����'��:���P�8�$
;��'�8����'��:��'�8�����'��:��'�8������:�!<
;��'�8�����'��:���'��:�����:�!<
,���������� ��� ���� ������� ��������� �
!<��� �� ���������� ������� ������'�8���
/������������� ���'��:���'��:������������� ��!<�
0���������� ������������������� )#��#�$�������
���������������������� )#��#�$���������� ���������
�������������-��0��� ���>�������������)#��#�����
������������������������������ (2)F �
E����� ���� ������ ���� � ������3 2
3 2 1 0( )F x a x a x a x a= + + + �� 3���� �� ������� ���
�� ���������� ����� ����
,� ���������������������3 2
3 2 1 0a x a x a x a+ + + � �����'����������������6�������
�����E# �� �
3���������������������� ����3 2
3 2 1 0a x a x a x a+ + + �#��� x h− ������������# ���
���������
2 23 3 2 3 2 13 2
3 2 1 0
3 23 3
23 2 1
2 23 2 3 2
23 2 1 0
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
a x a h a x a h a h a
a x a x a x a
a x a hx
a h a x a x
a h a x a h a h x
a h a h a x a
+ + + + +
+ + +
−
+ +
+ − +
+ + +2 3 2
3 2 1 3 2 1
3 23 2 1 0
( ) ( )
sisa
a h a h a x a h a h a h
a h a h a h a
+ + − + +
+ + + =
�
�!����������������������
�����������������������������������������
�����������������������������������������������������
��
h
3a 3 2a h a+ 23 2 1a h a h a+ + 3 2
3 2 1 0 ( )a h a h a h a F h+ + + =
3a h 23 2a h a h+ 3 2
3 2 1a h a h a h+ +
������ � �� ��#�#���&�� 167
(������ ������������ ������ �� �������� �� ������� ���� ����� �����
�� ����������>�������3 2
3 2 1 0( )F x a x a x a x a= + + + ��������������� x h− ��
�� ���������������������3 2
3 2 1 0( )F h a h a h a h a= + + +�� 3#�*������ ���������
2 23 3 2 3 2 1 ( ) ( )a x a h a x a h a h a+ + + + + � ������ ���� ������
������������������ ���� �� ������������� ��� �� ��>��������� ���������� ����
������/�6��
!� /���������������&���������������� � �'&��������������������������&������������
� ������������� �������������)����� �������������&����
5� � ������ ���������� ����� ������� )� �� ���� ������� ������������ �������
��������������������������/�'��#��� x h− ��,�������������E# �� ������������
�����������&������ ��������
����� � *�!�$
5��������������������������� ���� �����������4 2 16x x+ − �#���
2 3 2x x+ + �������
���# �������������
����������
3� ����������� �� �� ����� ������� � ����� ����� �� �� ����� �� ���� ������������ ����
�� �� ����� ��
2
4 2
4 3 2
3 2
3 2
2
2
6 17 16
6 2
6 16
6 18 12
17 12 16
17 51 34 63 50
x xx x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x
− ++ −
+ +
− − −
− − +
− −
+ +
− −
/����� � ����� ����� ��������
4 2 16x x+ − �#���2 3 2x x+ +
������2 6 17x x− + � ���
����� �� 63 50x− − �
����� � *�!��
0������������� ���/�'��;�'!�:�!'
��8�"'�:����������'�:�!��5�������������� �����������
������� ( ) ( 3) ( )F x x H x S= + + ���������=�'�����������������������������������
����������
,������ �������� 3 ( 3)x x+ = − − �
�
�����������������������'��8�"����
����� �� �!�� 9���� �������
������� ��� ������ ����� ��������
��������������
( ) ( 3) ( )F x x H x S= + + �� ������
=�'��;�'��8�"�������;��!�
– 3 ��������!�������������"����������
�!�������������������������
������������������������"�������!
/����������� ���/�'�����������������'�8�6����� ��������������������������������
����������>��/�'�� �&� ���&�������������'�8�6��������'�8�6��� ���������������� ��/�'��
E�����������������������������������������$�"�
�
�� ��� �������������������������168
�� 3� ������ ������������������ ���������������# ����������������� �������
����� �������������� �� �� ����� � ;� �������� × � ���������� :� ������ ���� �������)#��#�$�����
�� "%���& )� !$"!����'
�� �������! �� '�"����!%�
�� 3� ������ ������������������ ���������������# ����������������� �������
����� ������������������� ������;���������× �����������:�������� %'�:�'���������'�8�!
�� '��:�$P�:�"��������'�:��
)� ''!�:�'
��8�"'�:�������������'�:�$
�� ��'!�8�"'
��8�$'�:�<����������'
��:�$'�:��
!� 5�������� ��������������������� �������������������������� ���������/���
������/�'�������� �������� �����
�� '��:�!�'�:�&��������#����'�8��=��/�'��;�'
��:�!�'�:�&�����;���
�� �'��8�'�'�8��!���������#���'�:��=�/�'��;�'
��8�'�'�8��!�����;��8���
)� �'!�:�!'
��8�$'�:�����������#���'�:�!=�/�'��;�'
��8�'�'�8��!����;�8�!�
"� 3� ����������������� ��������������������������������������������������
�������������� ��
�� �'��:�!'��:�"����������'�8�� )� '
!�:��'
��8�!'�:�"����������'�8�!
�� !'��8�$'�:�&���������'�:�� �� $'
!�8�&'
��:�$'�:�"��������'�:�!
$� /������'��;�'!�:��'
��8�'�8���������������>��'�:���������*���# ��� ����'���D ������
��'�������*���# ��� ������
%� (� ��*���# �*���# ������ ��'�8����'�:�������'�8�!������������������� ����� ������
*���# ��� ��'!�8�%'
��:���'�8�%�
&� 0����������>���'!�8�$'
��:�&'�8���������������#���'�8���
'� /������ �������'!�8�'
��8�!�'�:���;������� ������ ����5����������������� ����
���� �����
*�$ )������� +� �
���������� ������/�'������ ����������� ����������������� ( )x h− ������ �������
/�6�-� ,�������� ����� �������� $�������������� ��>�� ��� ���� ���� � �����
���� ���� ������� ����� �� ����� �������)��� ����� ����������� ������9���� �������
��������� ����������������������>������������ �������������� #�� ( )x h−������� #���� ���� ���� ���� ������������/�6��� 5� � ��������� ���� ���� ������
���� ���� ������� ���
/����������������� ���/�'���������������� ( )x h− �������������� �������������
������� ��� ���� ����� ���� ������ ��� ������� �������=�'��� (������ ���# ���
����������������� #����������
/�'��;�� x h− �=�'��:��
�������������� ������ �����������#�������� ����������������'��3� ����� �����������
���������'�������������������������������������������������������
Latihan 5.2
������ � �� ��#�#���&�� 169
)�������*�� #)�������+� �"
/����������� ���/�'�����������������'�?�6����������� ��������/�6��
������
4����������������� ��=�'����������� �����(� ������������ ������������ �������� ����
( )x h− ��7����� ������������������#���������,������/�'��;�� x h− �=�'��:��������������
'��/����'����������������6���������� #����
/�6��;�� h h− �=�6��:��
��;���Q�=�6��:��
��;���:��
/������/�6��;���
�
����� � *�$�
5�������������������!'$�:$'�8�%����������'�8����
����������
/����/�'��;�!'$�:$'�8�%�����
/����;�!��$�:�$���8�%�;����
/�������� ���5�# �������������� ������������
�
����� � *�$�!
0����������>���"'&�8�<'
��:$��������������#�����'�8����
������
2���������������/�'�� ;� "'&� 8� <'
�� :$�������������#��� �'� 8� ���� )���������������
��>���������������� ������������������,� ���������>�
/����;�"��&�8�<��
��:�$�;���
3� ��������� ��/����;��������������� ����"'&�8�<'
��:$�������������#�����'�8����
�
3� ���� ( )bax b a x a− = − �� ���� ����� ��������� /�'�� #�� ( )bx a− ����� �
����� ( )bF a ���������������� ��������=�'���(�����������
( ) ( )( ) ( )b bF x x H x Fa a= − + ( ) ( )( )( ) H x bF x ax b Fa a⇔ = − +
E�������������������# ����� ���������
)������� *�!
/����������� ���/�'������������������'�?�������������� �� ( )bF a �
����� � *�$�$
5��������������������������� �������/�'��;��'"�:�'
!�8�'
��:�%'�8������������'�8����
�� ��� �������������������������170
����������
,������ ��������122 1 2( )x x− = − �
3 212( ) ( (2 2 6) 2)F x x x x= − + + + 3 2(2 1 ( 3) 2)x x x= − + + + .
/�������������������������'"�:�'
!�8�'
��:�%'�8���#��� ��'�8����������
3 2 3x x+ + ����
����� �� ��
�
(��������� �������5�# ���$�������$������)� ������������ #�����>������
� ������� ������� ��� ������ �� ����� ����� ����� ��)��� �� �� �� ����� ������� ��
7����� ���� �����5�# �������������� ����� �� ����������� ��������������� �� �����
������� ��� ������������*���# ����������� ������� ����� �� ����� �����
����� �*�� $��
������� ���/�'���������� 2x + ������� ���"������������������� 4x − ������� ���8�"��5�������
����� �������/�'����������'��8��'�:�'�
����������
4����������������� ��������=�'����������� ����������'�9���
/�'��;��'��8��'�:�'��=�'��:���'�9���
�;��'�8�"��'�:����=�'��:���'�9���
(������5�# ��������
/�8���;��"�������/�"��;�8�"
(������������
/�8���;��8���8�"��8��:����=�8���8����9���;�8����9��
/�"��;��"��8�"��"�:����=�"��:�"��9���;�"��9��
3������ #����������� �����������
8���9���;��"������"��9���;�8�"�
�������� ������ ����������� ;� 8!������� ;� '�� /����� �����/�'�� ������� �'�� 8� �'� :� '
��� �����������'�8�!'��
�
����� � *�$�-
4��������������� ���'$�:��'
!�:�����������'
��8��������� �����������'�:������5�������
����������
����������
4����������������� ��R�����=�'���(� ��5�# �������
'$�:��'
!�:���;��'
��8�����=�'��:��'�9��
��;��'�8����'�:����=�'��:��'�9��
2�����'�;���⇒ ��$�:����
!�:����;����8������:�����=����:�����:��
��9���;�!
� ����������8��������% �8�
��� �������� ����� �������!
����������������������� ���%����������
12
������ � �� ��#�#���&�� 171
2�����'�;�8��⇒ ��8��$�:����8��
!�:���;��8���8����8���:�����=�8���:����8���:��
8����9���;��
(�������� ������������������ �����������
��9���;�!������8����9���;��
������� #�����;���;�!K���/����������� ������������������;���;�!K��
�
�� 5��������������� �������������������� �����
�� '!�8�!'
��:�$'�8�<�����������'�:���
�� '"�8��'
!�8�!'
��8�"'�8�����������'�8���
)� $'!�:���'
��:�<'�8������������$'�:���
�� %'"�:�$'
!�8���'
��:�%'�8������������!'�:���
�� 5����������������������������� ������������������ �������� �����
�� �'!�:�$'
��8���'�:�'�����������'�8���
�� �'!�8�'
���8������������'�:�!�
)� "'"�8�$'
��:�%'�8���������������'�:���
�� !'"�:�$'
!�8���'
��:�%'�8������������!'�8���
!� 5�����������������������������
�� %'!�8�'
��8�<'�:�����������������'�:�!�
�� "'"�8���'
!�:��!'
��8�''�:�������������������'�8���
)� '!�8�"'
��:��'�:�����������������'
��8�!'�:� �
�� '"�8��'
!�:��'
��:��'�:������������������'
��8��'�8!�
"� 5��������������� ������������������ �������� �����
�� �'!�8�$'
��8�'�:�"���������'
��8�"'�8�$�
�� '"�8!'
!�8�$'
��:�'�8�%�����������'
��8�'�8���
)� '&�8�"'
"�:�!'����������'
!�8�"'�
�� '<�:�$'
��8�"�����������'
!�8�'�
$� ������� ���/�'�� ������������ �'�:���� ����� ��������8!������ ������������ �'� 8� ��
����� ��������$��5������������� �������/�'@����������'��8����
%� ������� ���/�'�� ������������ �'�?���� ����� �� � ������"������ ������������ �'� 8� ��
����� ��������$��5������������� �������/�'@���������'��8�!'�:���
&� ������� ���/�'���������������'�?���������� ����������"���������������'�:��������� �
������'�������������������'�8�!������� ��!���5������������� �������/�'@�������
�'��8����'�8�!��
'� ������� ���/�'���������������'��?�'�������� ����������$'�:������������������'
��:�'�
����� ���������!'�:�����5������������� �������/�'@����������'��8����
<� 5��������������������������
�� �'"�:��'
!�:��'
��8�!'�:�����������'
��8��������� ���������%'�:�$�
�� �'"�:��'
!�:�'�:�����������'
��8�'�8���������� ���������''�:�$�
)� '&:��'
$�:�����������'
��8���������� ���������"'�:���
��� ������� ���/�'���������������'��?�"�������� ����������!'�8������������������� ������
/�'����������'�:����
Latihan 5.3
�� ��� �������������������������172
*�� )������� 5�����
/������������� �������������&������������������� ���������������������������
�� �������
�&�;�!�Q�<
(����������������������������>��!�����<�������*���# ��� ���&��(������������
�������������� ���������� ���/�'��;�'!�8��'
��8�'�:����������������������� �����
������� *���# �*���# � �����
'!�8��'
��8�'�:���;��'�:����'�8����'8����
(������*�����������������������)����>����'�:������'�8���������'�8����������*���#
����� ��������� ���'!�8��'
��8�'�:�������������� ����������������������� �������#��
*���# �*���# ������ ���� ��������� �������������9�����������?#��#�$���&����������
E������������� ����#�����# ����� ���������
)�������*�$� #)�������5�����"
4��������/�'��������� ��������/�6��;�5�A����!���6��&��A�����'�8�6���� ������
*���# ��� ��/�'��
������
4��� ���5�# ��������
/�'��;��'�8�6�Q=�'��:�/�6�
/����/�6��;��������/�'��;��'�8�6��=�'��� �������>����'�8�6��� �������*���# ��� ��/�'��
�������� ���������'�?�6��� �������*���# ��� ��/�'������
/�'��;��'�?�6�Q=�'�
������������������� ���=�'���7����� ��������
/�6��;��6�?�6�Q=�6��;��Q=�6��;��
����� � *���
5��������*���# �*���# ��� ���'!�8�!'
��8���'�:�%�
����������
4��������/�'�� ;� �'!� 8� !'
�� 8� ��'� :� %��(������5�# ���+���# � $�!�� �'�?�6�� *���# ��� �
������� ���/�'������������� �������/�6��;����(�������������'�?�6��� �������*���#
������� ���/�'����������6�� ���������������� ��%�� ����� ± ��� ± ��� ± !�� ± %��3���
��)#���������������������������/��������/����≠ ���/�8���≠ ���/����≠ ���4������-� 3���
)#�������������/�!��
3� ����/�!��;���������'�8�!��� �������*���# �������� ����'!�8�!'
��8���'�:�%��+���#
�����������������'��:�!'�8����9�����������
�'!�8�!'
��8���'�:�%�;��'�8�!����'
��:�!'�8����
��;��'�8�!�����'�8�����'�:����
/�����*���# �*���# ��� ���'!�8�!'
��8���'�:�%��������'�8�!�����'�8����������'�:����
������������!�����������������������������%
��%����������������<��������������%
�������������!���������������������������������;�/�!�
3
�
������ � �� ��#�#���&�� 173
�������8�(���� ����� ���� ������*#������� �� �� ������� �� ����'�� ����� *���#
�����#�*�������#�*������ ��� ���������������� ���#���������� ���'�8����������'�8����
+���# �� ( 3 2)x − ������*���# � ���#������� ���� 3 ���������������� ���#����
�� (�����������������5�# ���+���# ������������>��
�� �'�8����������'�:�%��������*���# �*���# ��� ���'��:�$'�8�%�
�� �'�8�"���������*���# ��� ����'"�8�<'
!�:�$'
��8�!'�8�"�
)� ��'�:����������*���# ��� ����'!�:���'
��:�!'�8���
�� �'�8����������*���# ��� ���'!�8�����:���'
��:���
��:����'�8��
��
�� +���# ������������������ ���� �������� �����
�� '!�8�&'�:�% )� &
!�8�!<&
��:�&�
�� �'!�:�&'
��:��'�8�! �� �B
!�8�$B
��:�"B�8���
!� 5�����������������������������
�� '"�:�"'
!�:��'
��:�"'�:������� ���*���# ���'�:����
�� '!�8��'
��:�$'�:������� ���*���# ��'
��8��'�8�!�
)� '"�8���"
�'���:�<"
"������ ���*���# �'�8�!"�
�� '"�:��'
!�8�&'
��:��'�:������� ���*���# �'
��:��'�8�!��3�������*���# ���S
"� E����������������%���������'�?�&�:���������*���# ��� ���'��:��'&�:�%&
��:�!'�8�&�:���
$� 0����������>��
�� �'�9�&��&�9�B��B�9�'��������*���# ��� ���'�9�&�9�B�!�8�'
!�8�&
!�8�B
!�
�� �'�9�&�9�B���������*���# ��� ����'!�:�&
!�:�B
!�8�!&'�B��
%� ������� ���/�'���� �� ������������� ���*���# ��'�:�����/����/�'���������������
�'�8��������� ��������%����������/�'������������������'�8��������� �����������
5��������������� ���/�'�� �� ������
*�* �� ������ +���&��2��
,� �������������� ������������������������� ������ ������ ������
11 1 0 0n n
n na x a x a x a−−+ + + + =�
������� 1 0, , ,n na a a− � ��������#��������� 0na ≠ ����������������������E� ����'�+�6�� ���
��������������������������������� ����������� �������$���������6�������������
�� ���� ������ ����
�������� )#��#���� �����
'!�8�!'
��:�'�8�!�;��
���� ������ �!���� ����������'�;�!�
!!�8�!�!
��:�!�8�!�;��
��)� ����#�� ���������'�+�6����� ��� ���� ������������� ���/�'��;���������� �*����� �
&�;�/�'����#�#��������'����6����������)#��#�������/�'��;�'!�8�!'
��:�'�8�!������� �*��
�� ����&�;�/�'����#�#��������'����!����������� �$���
Latihan 5.4
�� ��� �������������������������174
-2 -1 1 2 3 4x
-4
-2
2
4
6
8
10
y
������ *��
,������������$�"� �����������������>�� �����/�'�� � ������� ��������5�# ��
+���# ��� ���������>��/�6��;����A����!���6��&��A���� ( )x h− �� �������*���# ��� �
/�'���(������������������������������������>��
6���� ��� �������/�'��;����A����!���6��&��A�����/�6��;���
/����/�'���������� ����� �� ������������/�'������ ���*���# ������ ����������� ��
���7����� ��������������/�'���;����� ������������� ����� �� �������������� �����
�������������� ������� �������� �
����� � *�*�
0����������>������������� ��� ������'!�8��'
��8�'�:���;������������������� ����
���� �����
����������
4��������/�'��;�'!�8��'
��8�'�:����3� ����/�'���� �� ���������������/�'��;������������� ��
���� ���!���� ��2�����������������>������������� ��� ���� ������/�'��;���
)�����������������/����;���
,����������������������������/����;����/���������������� ��� �������'!�8��'
��8�'�:
��;����9���������������������������� ���������������� ����������'��8������������
'!�8��'
��8�'�:�� ;��'�8������'
��8���
;��'�8�����'�8�����'�:���
/�������� ���� ��� ��'!�8��'
��8�'�:���;��������������������8��
������������������������������������������
���������������������������������
��������������������������������������������
2
�
������ � �� ��#�#���&�� 175
,������� ����� ����������������������� ��������E� ��� �������� ���������
����� ���� �>��� ����
����� � *�*�!
E� ����� �������������������#���� ����J#���� ���&���!������������������
��>������ ��#����!����������������� ���������� �������������� �����������������
�� ������ � ���0� ������������#���� �����������������#���E� ��-
����������
4��������� ��#�����������'�����������������#������������'�:�!���������������� �
������� ( 1)x − ������������J#�����#���������
C�'��;��'�:�!��'��'�8�����!
3� ������� � ��������>��J#�����#�����������&���!������� ����
�'�:�!��'��'�8����;��&����������'!�:��'
��8�!'�8��&��;��
,� �������� ������ ������������)� ����� � ������ ���� ������������� �������
(������5�# ���+���# ���� ����/�'��;�'!�:��'
��8�!'�8��&���� �� �����!������/�'��;��
������� ��� ������� ��� !� ��� � ����� ,������ ������ ������������� �� � 8�&��
������ �� ��������%����������� �������������������������
,�������� ����������������������>�
'!�:��'
��8�!'�8��&��;��'�8�%���'
��:�''�:�"$��
�������������� ���������� ���'��:�''�:�"$�;������������� ������ � �����4������-
(���������������������'� ������������� ����%��/������#���� �����������E� ��
�������J#�����&���!��� ��� �������� �%������������<��������������$���
(������������� ����������� ���#����#����� ���������������#�#�������
�� (���������� �)��������� ����������� �� ���� ��$�)���������������)������������
������� �)����� ��������������������������� /���� �� ���� �� ������������� �)�����
������� ��������6�)�
�� �D �������J#�������������������������� ���������������
��/����J#�����������������4009 π )
!���� �������� ���� ������������-
�� /�������������������������$�������� ��� �� ���������� ������ ��� �������������
�����"������������E����5# �)�������� ����� ����C��� ���� � ������ �������
�������������� �����������
2
5000 140t
V = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���0 40t≤ ≤
�� 5��������������� ��������������������$��������������������!�������
�� 3������� ��������������� ������� ����$������ -
������������������������!��������&�
���������'�������������"$����������
%������������"'��������&�
6
�
Tugas Kelompok
�� ��� �������������������������176
�� 0����������>������������� ��� �������'!�8�<'
��:���'�8����;����������������
��� ���� � ���� �����
�� 0����������>��12− ���������� ��� ������"'
!�8��"'
��:��&'�:����;���������������
��� ���� � ���� �����
!� /����!���������� ��� ������'!�8�!&'
��:����;���������������������� ���� � ���������
"� 5����������� ���� ��������� �� ��������� ������ �������� �����
�� '!�:��'
��8�$'�8�%�;��
�� '(�8�!'�:���;��
)� '"�8��%�;��
�� '"�8��$'
��8���'�:��"�;��
$� (����������'�:����� �������*���# ��� ��/�'��;��'!�:��'
��:�$'�:�%�
�� 5����������
�� 5����������� ���� ��� ������/�'��;������������������� ������
�� ������� ���������#���#������'� �� �� �����������������������������������
�� ����� ����
1 2 21 2 2 1 0
n n nn n na x a x a x a x a x a− −
− −+ + + + + +�
������� 1 0, , ,n na a a− ���������#���������#����������������� �������� 0na ≠ � ���
���������#�*�������� �������kx ����� 0a �����������������������������������������
)�)�� ������ ��������� ����� ������� ���
�� 5�# ��������� /����������� ���/�'�����������������'�?�6����������� �������
/�6��
!� /����������� ���/�'������������������'�?�������������� �� ( )bF a �
"� 5�# ���+���# ��4��������/�'�� ������� �������� /�6�� ;� �� ����������� �� ����
�'�8�6���� �������*���# ��� ��/�'��
$� ,� ������������� ���1
1 1 0 0n nn na x a x a x a−
−+ + + + =�
�������������� ������ �6������6��������� ���� ����������
Latihan 5.5
Rangkuman
������ � �� ��#�#���&�� 177
,����>������������������ ��� ����� ������������������ ��� ���� ��� � ��
�� ������������� �� �������������������������������������� ���� ����������
������� �� ���� ��0������������� �� ���� ���������� ���������������� �$�!��� �����
R r
l
������ *�(
3� �����������������������������������)��������� ��>��������� ���� ����������
������������������������ �� ������������� ������ ��������� ��������� �������
>�������� ��������� ���������������3���������� ��>�!��� ����� �����#���6����
�'������������� �������������#��� *�����>����� ��)��� 9�������� �,������� ���''�
����� ������'"����� ���� ������� ����� �� ��������
2 2( )4P
v R rlη
= −
�������η �������J���#�������� ������������������������������������� ���������������
Math Info
�� ��� �������������������������178
�� ������������� ������� ����������� ������������������������ �������
���������!�"���������� ��������������!
�� ,�)����
3 2
2
2 33 2
x px qxx x+ − +− +
������������� ������������������"�9�<�;����
�� 8�% (� 8�!
0� 8�$ L� 8��
?� 8�"
�� /���� ������� ���3 2( ) 2 5F x x ax x p= + + + � ������� #��� ( 2)x − � ���� ( 1)x +
��������������� ���������������������������������9�"�;����
��183− (�
703
0�163 L�
913
?�623
!� /����������� ���/�'���������#���2 3 4x x+ − �����
2 6 5x x− + ����� �������
3 5x + ������ 7x + ������������������#���2 20x x− − ����� ��������ax b+ �����
������<��8�!��;����
��1311 (�
124
0�2314 L�
136
?� '
"� ������������� ��� ������������� ���3 22 7 7 30 0x x x− − + = �������!�����
������������ � ������������������
�� −��
(� !
0�
�
�
L� $
?� �
Uji Kompetensi
������ � �� ��#�#���&�� 179
$� /����������� ���4 3 24 12 13 8x x x x a− + − + �����
26 11 4x x− + ����� �������
*���# � ���������������������;����
�� 8" (� �
0� 8� L� "
?� �
%� ������� ���3 12x x k− + �������������#��� ( 2)x − ������ ��� ����������������
#�������
�� 1x + (� 1x −0� 2x + L� 3x −?� 4x +
&� /����5 4 3 24 5 7x x x x x− + + − + ��������������� ( 1)x + ����������� �����������
�� " (� 8�
0� ! L� �
?� 8�
'� /���� ( 1)x y− + �������*���# ��� ��2 2 5 2 4px qxy ry x y+ + + − + ������������"�9�<�?
��;����
�� % (� �8�!
0� " L� �8�$
?� �
<� /������ ������������� ���3 22 (2 1) 2 0x ax a x− + + − = ����� ����������
��������� �����������������������;����
�� 8% (� "
0� 8�� L� $
?� !
��� /������� � ������ ��5 4 3 24 2 2 0x x x x x+ − + + − = ����������
�� � (� "
0� � L� $
?� !
��� /������� ���� ��� ���� ������3 27 7 15 0x x x− + + = � ������"�<����� �����
�������2 2 2 ...p q r+ + =
�� "$ (� $
0� !$ L� �
?� �'
�� ��� �������������������������180
��� /����2( ) 6H x x x= + − �������*���# ��� ��
3 2( ) 2 6G x x ax bx= + + + ������������
��;������
�� 8�! (� �
0� 8�� L� $
?� �
�!� ������������� ���/�'��������������( 1)x − ������ ��%�����������������( 3)x + ������ �
8��������/�'���������������2 2 3x x+ − ������ ������������
�� 4 2x + (�131
2 2x− −
0� 2 4x + L� 2 8x− +
?�1 112 2x +
�"� ������������� ���/�'��������������( 2)x + ������ �������������������� ( 1)x − ������ �
$����������������/�'��#���2 2x x+ − �����������
�� 4x + (� 4x− −
0� 2 4x + L� 6x− +
?� 23x +
�$� ������������� ���/�'�� ������������������� ( )x a− ����� ( 2 )x a− ��� �� ����� ��
��� ����� ����� ���� ���� ����� /����/�'����������������2 23 2x ax a− + ����� �
�����������
�� 10ax a− (� 10x0� 5 10ax − L� 5x?� ax
�� ������������� ����#��� ����������� ���$%���������������
����������������!
�%� /����/�'���������#���2( )x x− �����
2( )x x+ ��������������� ����� (5 1)x + ����
(3 1)x + ���� ��������������������/�'��#���2( 1)x − -
�&� ������� ���/�'��������'��������������������������������� ( 1)x − ����� ��
�����"�������������������������������� ( 5)x + ����� ��������'�����8�����4�������
����������������� ���=�'��;��/�'��:�!��'���/����=�'����������������2 4 5x x+ −
���� �������� ax b+ �������� ������������!��?��-
������ � �� ��#�#���&�� 181
�'� /����2 2( 1) ( 2) 5 2 3p x q xy ry x y− + − + − − + � ����� ������� ������� ( 1)x y− + �
���������������"�9��<�9���
�<� /����4 3 2( ) (3 2) (3 )x ax a b x a b x a b− − − + + + − + � ������� �������
2 2x x+ −
���� �������� 3x − ���� ������������ �� log(10 2)a b + -
��� /����������� ���8 3x ax b− − �������������#���
2 1x − ������������������#���( 2)x −���� �������� 20 55t + ������������������� �� 8 9t a b+ + �
�� ��������� �����������#�����������������������������#������������������ �
������ ���������� ��� ��� 8 15× � ��)���������)� ���#�#��������������
������ ���������� ������������������������� ��
�� /��������������������� ������� � �������#�#���������'���)���� �������J#���
�#�������������� ������������� ��������������'�
�� /����J#�����#����������""���)�!�������������� ����#������� ��� �-
�� ������ ����� ������� �� ��������� ����� �������������������� ���� � ���������
�"���
�� /����'���� ��� ����������������������������� ����������������
��������� ���������������� ������������� ��������������'�
�� /���� ����� ����� ������� �� ������������!���������� �������������� ����
������� �� �����-
!� �������������� ��������� ������������������������ �������� ����� ����� ����
���� ������������� ������� ���������������� � ���������� ����������
������� ����� ��
�� /����'���� ��� �������������������������� ���������� � ����� �����������
�������� ���������������� ������������� ��������������'�
�� /������������������������$������� ���������� ��������� �����-
"� �������� ������������ �� #�� ���� ����� �� /���� �� ���$�� ,���������� �#�#
��������� ������������������ ������������"������ ������������
250.000 18.000 600p t t= + +�� 0� ������������������#�# ��� ������������������/���� �����'-
�� ��������� ���� ������� ������� ������������ #���������������#�#
������ �"$$��� � � ����-
$� A��#�������� ������������������ ������ ���#����4��� ���� � ��� ������
����������������:��������
20,1(400 40 )T t t= − + ��0 12t≤ ≤�� 0� ��������������#����� ������������������$�!������-
�� ,������������ ��������������#����� ��������������N�?-
Soal Analisis
�� ��� �������������������������182
�
��
����
�����
�����
����1���
D�� ��MMMMMM�� ����5������������������������MMM�
3���� ��@. �����4��� ��,#�#�������������� ��
3��#�#� ��MMMMMM�� ����������� ����������������������
3������� ��4�������#������� ������
5����� ��4������������� ����#������������J#������ ������
�� �'�������&� ���2�������������
������������ ��� �#���� ��� ����$��)× '��) "�����A������
������0����)������ $�����3� ������ ����
!��������������� %�����,����� ��
���������������
�� A��� ���� ������� �� ������ �����#���� �� ������
�� A�������������� �� ��������������������������� � ������� �� �
!� 9�������������������������� ��� ������������� ���������������
"� 6���������� ������ �����#������������������������ ����� ������3#���� ���
���� #������� ������� �B�)����������&�)������������'�)�
$� 5��������������'�&������B� ������������/����J#�����#����������C����������
�������� ����� ����
�������'� �
�� 5�������� ����J#�����#���������'�
�� 5��������������'�&�����B���������J#�����#����<�����)!�
!� 5��������J#�����#���� ����������
Aktivitas Proyek
3�� �/ 2 : �
��
��
!�
"�
$�
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 183
KOMPOSISI FUNGSIDAN INVERS FUNGSI��
BAB
Tujuan Pembelajaran
��������������� ����� ������������������� ����������
�� ��������������� ����� ����������*������
�� ���� �����)#��#�*������*���������� ����
!� ��������������*�����*��� *������
"� �������������� ���*�������� ���#�#��������� ����*������
$� �����������������*�������#�#������� ������#�#������������� ��
%� ������������#�#����*�������������� ����#�#����� �����������
&� ��� ����� � � ������ � *���������� ��� ��J� ��
'� �������������� ���*��������J� ���� ��������*������
<� �������� ����� �*���*��������J� ���� ��� �*���*����������� ��
�� ��� �������������������������184
������� �������������� )#�������������������������� ����������.���������
..��9��� ��������������� #������ )#����������������������� �������*�������� ����
��� ��� ��#������ ������)#�������,���������.����������������� ���'�#������ �����
>����� ������ ( ) 2f x x= + �� ��������������� ����� ..��� ������>�����2( ) 2 1g x x= − �
/��������� ����� ��������������������� )#���������� ������#��������� ������������
�� )#����� ������ �������� ���������-� � �������� ��� ����� ����� �� )#�����>����� ���
���� ��������������&�������� ����#������� ����� �������������-
2������� ������������ �������� �� ������������ ������� �� ����������������� ���
�#�����������������������#������������������������������������� ���� ���������� ���
������ ��#�#�� �� (���������������������#������#���������������� ���������������
�����������������������������
������1���������������!���������#����"�%7������������!�����#�6����7� 7�#�������
�#���D����%7��#�&��%��!
Pengantar
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 185
-� ����������� �� �����;�'� �
�������������������� ��
,������������������'�&���������'� ��������� ������� ��������&� ��������� ����
���������������� ���������������3� ����� ���������� ����������������������� � ��
����$�������$�������� �������������� ������ ��������������� �������������������
����������� �����#�#������������(� ������������� ����������������������
��������� ��,� ���� ����#�������#��� �� ������ �������������� �� � ��� �'� &�
������� x A∈ ���������� ������� �������� y B∈ ���������� ������������E�������,
�������������������� )� �� ���� �������������������� �� � ����������'��������� ��
����������������������� ���������#������������� A B× ��7����� ���������� #���
?� �����������������*����������� ����� ����
������ �� -�
/����������������������������������#�#��������� #����?� �������������
������������������������������������� � ����'�&��������� x A∈ ����
y B∈ ��(���������������#����
{ }( , ) | dan A B x y x A y B× = ∈ ∈
A �*����� ��� #����?� ��������������������������� �� �� .����� �������������
A B× ��� ������������� ���������#���;����� ������ �� � ������������� �������
;������ 0���� � ��$<%�8�%$������������>����� �����������,� ��)���
����� � -��
(��� ��������������;�T����%U�������;�T���U��5�������������� #����?� ��������� �����
�� A B× �� B A× )� A A×�����������
�� { }( , ) | dan A B x y x A y B× = ∈ ∈ ;�T�������������%���������������������%����U�
�� { }( , ) | dan B A x y x B y A× = ∈ ∈ ;�T������������������������������������%�������%�U�
)� { }( , ) | dan A A x y x A y A× = ∈ ∈ ;�T��������������%���������������������%����%������%������%�%�U�
(����)#��#�%������������������� ���!�����#�������������������� ��
�� ����#���� (� �� ��� ��������� �� ���� ������ ��>�� � #����?� ������� A B×���� ���3 2 6× = �����#���� ������������������%�������������������������%��������)� �����
�������� �������#��������������������������� �������#��������������������
������� �������#���� #����?� ������� A B× ������� m n× �����#���
���������;�'� �
3������ �������������� � #����?� ��������� �� ��������� ;� T�� �� %U�������
���������;�T���U������)#��#�%����������������� ����
A B× ;�T������������������������������������%�������%�U
�
�� ��� �������������������������186
(� ��� #����?� ������� A B× ���������������������������� ������������������
����� ��
0��;�T����������������������������%�������%�U�
0��;�T��������������������%�������%�U�
0!�;�T������������%�U�
E��������������0���0
�������0
!� ����� ����������������������� ��� #���
?� ������� A B× �� ����� �������� �������� ������ ����� ���������� �� ��������� ��
����������(����������� ��� ���� ������ �����������������������������*��������
�� ����� ����
������ �� -�!
��������'� ������� �&�������� ��������������������������������� ���
���������������� ��� #����?� ����������E���
/����0������������� �������� �������������������������������������� � ��
�'�&������������#���0����������������'�&���'� ���������&����������'�0�&��5����������
����������'�&������������#���0����������������'� � ������&���'� ���������&���������
x R y ��2������������� ������0���0
�������0
!���������
0��;�T����������������������������%�������%�U�
���0��������0
��������0
��������0
��%���������0
��%����������� 1R ��
0��;�T��������������������%�������%�U�
���0��������0
��������0
��%��������0
��%����������� 2R �������� 2R ��
0!�;�T������������%�U�
���0!���������0
!�%��������� 3R ��� 3R ����� 3R �������� 3R %�
4��������0������������� �������� ����������������������� �������������������
{ }( , ) | dan R x y x A y B= ∈ ∈ ��E������� ����� # ������ �� ���� �� �� ��������
�� � ����'&��������������� �� �'����������������������������� RD ��E����������������
����� ���<��� ������������������������������ RK ��E������� �����# �����������
�� ������������� � ����'&��������������� � � �'���������������������������� RR �
��������)#��#���������;�T'�&�BU�������;�T������!U������0������� �������� ��������� ���
���� �����#���0�;�T�'������&�������B����U�������
� ��� ������� �������� RD ;�T'�&�BU
� ��� ����>��� �������� RK ;�T������!U
� ��� ������� �������� RR ;�T����U�
6������ { }( , ) | dan R x y x A y B= ∈ ∈ ������ ������ ���� ������� ���� )� ��� ����
������������������������������ ������������������&����������� �� �
����� � -��!
4�����������;�T���!��"��%��'U��������;�T���������!��"��$U�
�� /���� a A∈ ����� b B∈ ����������� ������0��� ��������� ������ ������� ��������!#�
�������
�� 5��������� ������0������������ �������
)� 5��������� ������0������� �*���?� �������
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 187
�����������
�� 6������0�;�T���������"�������%��!����'��"�U
�� (��� �������������0������
������1���-������"���6�������6
)� A �*���?� ��������� ��0������
������1�(���8���,� ���#��������6
�
�� 4���������� ��������������� �� ����� ���>����� �������������� ;� T#�# �
����#��������������������������U��0������ ������������7��6�!�������� ����������
����������������������� �������
�� ,����������������������D��������������������� ��������#��� �������
������������������������������;�T�������!��"��$�U�
�� (���������� �������������� ������������7�7������ ���������
�� 5������� ������ ���� ����������������� �� � ���
!� ������� �������� ����������� �������� �����������;�T������!��"U����������
��;�T"�<���U��5����������� ����������� ����>����������� ������� ��
�� T����"�������<����"������"����U )� �T���������������"������"���U
�� T����<�������<����!������"����U �� T����"�������<����!������!����U
Latihan 6.1
�
�
!
"
%
'
�
�
�
!
"
$
�
������!�����"������$����%�����������'
�
�
!
"
$
�
&
'
�� ��� �������������������������188
"� E������������������ � ����� �������������������������������
T�8����������"����!�%����$�'����&����U
5������������#���������������� �������������0������ ������ ������ ���
��������� ����������� ��������������������
$� ������ ������0����� �����#���
T�12 �'������"�����������"������'�
12 �U�
�� 5�������� ����#�������#����� �� ��������� �������� ����#�������#��
��������������D ������� ������ ������ ������������� �� ������
�� ��������������������
�� A��� ����� �*���?� ������� ������0������������������ ������ J�� ���
��������������������� �� ������0�
!�! 5��� �� ������������
(��� ���������������� �%�"������������ ������#�#�����"� #�&���� ��������
���>�����>�� ���� ��� ������� ��� ������ ��� ������� ����� ������� ���>�� �� �
���� ����������������� ������������������������������#�����������������������
���������������#�����
������1���-������"���6�������#�#�����"� #�&�
6�������� ��������� �������� �����*������� ����������������������� ���������������7
������*������ *# ��� ������ ������� �����
������ �� -�$
5��� ������������������ ����������������������������� ������ ���
����>�����������������#���������������������������#�����
������*������8� �������������������'�����#���������������&�����#���������
������#��������������
: ( )f x y f x→ =G��������)���H�8�����������'������&�I��&���������������&�2��������� ��'�#����8���������'��
���� ��8������'������������������� ��&�#���8�����������)#��#�������*�����
8����2 3 1x x x→ + −
����2( ) 3 1f x x x= + − ��D�����
2( ) 3 1f x x x= + − �������������� ����������� ��8�
� ���� ���������� �
3��
5��
D��
9��
4��
!%
!&
!'
!<
"�
"�
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 189
�
�
!
"
�
�
�
7
�
�
%
!
8�
�
� � �
:
��� ���������������
$
(������*������8�����������������������������������'�&����������������������
�'�&������������������� � ���������8�
(� ����*���������������������������� ����������>������������� � ��������*�����
���� �����*�����>�������������#������� ����)������������������������� ���
����������������������� �� � ��� �� �������7��� �� ���� ����� �"���� ���� �"�<�� �����
���������)����� ������������������������������ �� � �������� *������
���������������� ������� ������ *������ �� �� ��������� ��� ��������� ����
���� ��� �������������� ���� �����E���������������������� �� �'�����������
������ �������������������� fD ��E���������������������� ���<���#��������"����������
fK ��E������������������������������������� � � �'�#�����"���������� fR ��2����
)#��#�*����������������*������ ��������H#�#�����"� #�&�I�������
� ��� ����������������;�T3����5����D����9����4��U�
� ��� ����>������������;�T�!%��!&��!'��!<��"���"�U�
� ��� ��������������T�!&��!'��!<��"�U�
����� � -�!�
(� �� ������ �������� �����#������� ��������� ����������� ����� ������
*�����-
������ 1�*
�����������
(� ������ ������ �� ������ ����� ������� *������ ������ ������ �����6������ ���� �����
*�������� ����������"����������� �����>�������������������$����� ������
��>���
�
2��������������������� ����#������ ��������� ���������������������������
����
����� � -�!�!
(��� �����*������ :f →� � �������� ����8�'��;�2 4 5x x− + �� x∈� �
�� 5���������8������8��"���8��%������ ( 1)f − �
�� 5����������������������������8�����;��&�
)� A��� ����� �*���*������&�+�8��'��;�2 4 5x x− + �������������?� �������
�� 5�������� ��� �� ����� �� 8�� ����� ��� �� ����� 8� ����������� �������
{ }| 1 5fD x x= ∈ ≤ <� �
�� ��� �������������������������190
�����������
(� �� ���� �������������&�+�8�'��;�2 4 5x x− + �� x∈� ���������������������� ����'
���������������������� ����&� ���������� �������������2 4 5x x− + �
�� 2�����'�+��������2(0) 0 4(0) 5 5f = − + = �
������'�+�!������2(3) 3 4(3) 5 2f = − + = �
������'�+�$������2(5) 5 4(5) 5 10f = − + = �
������ 1x = − �����2( 1) ( 1) 4( 1) 5 10f − = − − − + = �
�� 2�����'�+������2( ) 4 5f a a a= − + ��3� �������������8����;��&����������� #��
�������
2 4 5 17a a− + = ⇔ 2 4 12 0a a− − =⇔ ( 6)( 2) 0a a− + =⇔ ���;�%��������;�8�
)� A �*���*������&�+�8�'��;�2 4 5x x− + ����� ����������������� �%�%��� ���������
������1�1���8���8#����� �;�*FP@�+�2 4 5x x− +
�� (� ������ �%�%����������� �������� { }| 1 4fD x x= ∈ ≤ <� ����� #������ ������
{ }| 1 10fR y y= ∈ ≤ <� �
�
/������� �������*������8� ���������������������������������� �������8�������
����� ������� ��������� ���� ����������� �������� ��� �� ����� �� �����
���������������� �����(�� ����������� ��������� ����������������� �� �'��'����
����� � -�!�$
5����������� �������������������������*�������� �����
���
1( )
3f x
x=
−���
2( ) 16f x x= − )��
2
1( )
5 6f x
x x=
− +
��
���������������������!���������"��������$���������%
'
%
"
�
(�� ������
(�� �������
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 191
�����������
�� +������
1( )
3f x
x=
−��� ������ ��������������� ����� ����������������������E��
���� �������� �������� 3x ≠ �� /����� ��� �� ����� �����
1( )
3f x
x=
−� �����
{ }| 3fD x x= ∈ ≠� �
�� +������2( ) 16f x x= − ��� ������ ��������������������������>����������� ������
�� ������������*����������� �����������2 16 0x − ≥ �
2 16 0x − ≥ �⇔ � ( 4)( 4) 0x x− − ≥�⇔ � 4x ≤ − ������ 4x ≥
/�������� ������������2( ) 16f x x= − ������� { }| 4 atau 4fD x x x= ∈ ≤ − ≥� �
)� +������2
1( )
5 6f x
x x=
− +��� ������ ��������������� ����� ���������������������
����� �������� ��������� ��� ��>�� ������ ��� � �� ������ �#����*�� �������� � ��
2 5 6 0x x− + > �
2 5 6 0x x− + > ⇔ ( 2)( 3) 0x x− − >⇔ 2x ≤ ������ 3x ≥
/�������� ������������2
1( )
5 6f x
x x=
− +������� { }| 2 atau 3fD x x x= ∈ ≤ ≥� �
�
�� (����������;�T������!��"U�������;�T����%U�������� ������ �������� ����������� ����
� �������*�����-�/����������������-
�� 0��;�T���������!�������"��%�U )� 0
!�;�T�����������������!�������"����U
�� 0��;�T����%������������!��%����"��%�U �� 0
"�;�T�����������������!�������"��%�U
�� 5����������� ����������� ����>����������� �������������*������*����������
�#����## ���
!� (� �� ������ �������������������� ;� T��� ��� !�� "U���� ������������������ �
������� ������������� ����� �������*�����-
������ 1�2
Latihan 6.2
� � � � � �
�
�
!
"
�
�
!
"
�
�
!
"
�
�
!
"
�
�
!
"
�
�
!
"
��� ��� �)�
�� ��� �������������������������192
"� 5����������� ����������� ����>����������� �������������*������*����������
�#����## �!�
$� (� �� ����������� � � ���������� ����������������?� ����������������
%�'�������� ����� �������������*�����-
������ 1�3
%� +������ :f →� � ������������#��� ( ) 2xf x = �
�� 5��������8������8������8��8����8�����
�� L����������� ����� �������������������� ��%"-
&� (��������*������ :f →� � ���������2( ) 3f x ax bx= + − �� x∈� ��8�����;�������
8��8!���;����
�� 5����������������������
�� E������8������8������8��$�������8��8���
)� A��� ������������ �*���*������ ( )y f x= �������������?� �������
�� 5����������� �������*������8���������� �������*������8��������������
�� �����
��� { }| 3 1fD x x= ∈ − ≤ ≤�
���� { }| 1 4fD x x= ∈ − ≤ ≤�
<� ,� ��������������)#��#�$�$����9��� ��#����!����������������� ���������� ��
����������� �������������������� ������ � ��
�� /�������� ��#����������'����� �������J#�����#������������*�������� ��'�
�� 5����������� �������*����������
��� 9������������#�������������## �������$����������� �����������#����������
������������������#������������������ �������� ���������� ��� ��� 8 15��)���������)� ���#�#�������������� ������� ���� ������ ������������
������� ����� ��
�� /������������ ����� ���� � ������ � �������#�#��� ������ '� ��)��� � ������
J#�����#������������*�������� ��'�
�� 5����������� �������*����������
��� ������ ����� ������� �� ��������� ����� �������������������� ���� � ���������
�"���
�� /����'���� ��� ����������������������������� �������� ����������������
��������� ��������������� ��� ��������������*�������� ��'�
�� ��������� �������*���������-
&
'
&
'
&
'
��� ��� �)�
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 193
-�$ ��&������5�����= � �
0� ������������������������� ������ ����������*������ �������� ���)� ��)� �������
������ ��������� ��������������� ������5� ����� ������ *���������������� �� �����
*�������#�������*�����������������*����������� ��*���������� ����*������#�������*�����
��������*�����������������*������������
-�$�� 5��� �� =�� ���
+������8������������� ����� ����������������������'��������� ��������� ����
8��'��;�%���������%�����������#������
����� � -�$�
(��������*�������#������8��'��;�!�������������� x∈� �
�� ?� ����8������8��&���8��8��������8�����
�� ?� ������� ������� ��
)� A��� ���� �*��� ��
�����������
�� (� ����*������8��������� #��
8�����;�!����8��&��;�!���8��8���;�!�������8�����;�!�
����������������� ��������� ��>����������!�
�� (�� ������� �������� {3}fR = �
)� A �*��� �
������1�4���8���8#�����*�FP@�+�(
-�$�! 5��� �� ��������
+������8������������� ���������� �������������������'��������� ��������� ����
8��'��;�'��*������������ ���������#��������������
����� � -�$�!
2�����*�������������������'��+�'� x∈� �
�� ?� ������������&�����8�������������
�� ?� ������� ������� ��
)� A��� ���� �*��� ��
�
$
"
!
�
�
8!��������8����������8��������������������������������������������!
&
'
&�;�!
�� ��� �������������������������194
�����������
�� (��������*��������
������;������&��;�&�����8���;�8��������������;���
�� (�� ������� �������� fR = � �
)� A �*��� �
�����������������������������������1��5���8���8#������!�� � ��
-�$�$ 5��� �� ������
+������8������������� ��'������������8���������� ���������������8�'��;��'�9���
�����������'��������� ������������������������#�������������� 0a ≠ ��A �*��
*����������� ��� ��������� ����� ���� �������� ����� ������&�+��'�9���
����� � -�$�$
(��������*������8��'��;�!'�:�%��� x∈� �
�� ?� ����8������8�����������8����9���� )� ?� ������� ������� ��
�� A��� ���� �*��� ��
�����������
�� (� ��8��'��;�!'�:�%��������� #��
8�����;�!���:�%�;�%� 8�����;�!���:�%�;����
���8����9����;�!���9����:�%�;�!��:�!��:�%
�� A �*��� �
��������������������������������1������8���8#�����*�FP@�+�(P�9�1
)� (� ��� �*�����������>����� ������� �������� fR = � �
�
�
&
'
'
%
!
�
��
��!���������������������������������������������������������������
&
'
$
"
!
�
�
��
��
�!
�"
�$
�$ �" �! �� �� � � ! " $
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 195
-�$�� 5��� �� =������
/����*������8���������� ���������������8��'��;��'��:��'�9�%��������������P�����
��� �����������������������%��#���������� 0a ≠ ������*������8������������� �
���������A �*��� *���������� �������� ���� ������&�+� �'��9��'�9� %� ���
�� ��������� ��#����3����������������������� ��������������@����>��
�� A �*��� *������&�+� �'��9��'� 9� %� ����� ��� ��������������������## �����
( ),2 4b Da a− ���������
2 4D b ac= − �
�� /���� 0a > ���������� #���������������������/���� 0a < ���������� #��
������������������
)� ��������� �� �� ����� 2bx a= −
����� � -�$��
(��������2( ) 6f x x x= − + + ��� x∈� �
�� ?� ����8������8��!���8����������8����:����
�� A��� ���� �*��� ��
)� ?� ������� ������� ��
�����������
�� (� �� ����*������ �������� �����2( ) 6f x x x= − + + ���������
8�����;�%�
�������2(3) 3 3 6 0f = − + + = �
�������2( ) 6f a a a= − + + �
2 2( 2) ( 2) ( 2) 6 3 4f a a a a a+ = − + + + + = − − + �
�� 2������������ ����� �*��� �������������� ���������������� �����
��� 5������#�#���� �*���������������'�� �����������&�+�8��'��;���
�2( ) 0 6 0f x x x= ⇔ − + + =
��
2 6 0( 3)( 2) 0
3 atau 2
x x
x x
x x
+⇔ − + =
⇔ − − + =
⇔ = = −/������������#�#���� �*���������������'��������!���������8������
��� 5������#�#���� �*���������������&�� �����������'�;���
0 ( ) 6x f x= ⇒ =/������������#�#���� �*���������������&����������%��
�!� (� �� ����*������������� #���2 24 1 4( 1)(6) 25D b ac= − = − − = �
�������
�
1 12 2( 1) 2ba
− = − =−
�������
25 134 4( 1) 2Da
− = − =−
/����������������� ��������
1 13,
2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�� ��� �������������������������196
�"� ��������� ���
12 2b
xa
= − = �
�$� A �*���*������2( ) 6f x x x= − + + ������
������1������8���8#�����2( ) 6f x x x= − + +
)� (� ��� �*�����������>����� ������� �������� { }| 13 / 2fR y y= ∈ ≤� �
-�$�* 5��� ��,��'��� ����� 5��� ��,���'�
D��������'��� ���������'� ��� ��������#�������� a ������)����������������
����*����������������
, untuk 0 , untuk 0
a aa
a a
≥=
− <⎧⎨⎩
(��������*������������������������ ��
3 3= ���� 1 ( 1) 1− = − − = ���� 5 2 5 2 3− = − = ������ 2 5 (2 5) 3− = − − = �
+������ ���� ���� ������������������������������� �����'������������ �
����'� �
����� � -�$�*
(��������*������8��������������� ( )f x x=�� ?� ����8������8��8����8��$����8���
��������8��!'�:����
�� A��� ���� �*��� ��
)� ?� ������� ������� ��
�����������
�� (��������� ���������*������������������������� #��
�8���������;������8��8���;�8��8���;������8��$��;�$�
��8�������;��
������� ����
2 0a ≥ ��������������a∈� �
3 1 , untuk 3 1 0 3 1 , untuk 1/ 3(3 1)
(3 1) , untuk 3 1 0 3 1) , untuk 1/ 3x x x x
f xx x x x
+ + ≥ + ≥ −+ = =
− + + < − − < −⎧⎧
⎨ ⎨⎩ ⎩
&
'
%
"
�
��
�"
�%
�!����������������������������������������������!�������"
(�� ������
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 197
�� A �*���*������ ( )f x x= ������
������1��(���8���8#����� ( )f x x=
)� (� ��� �*�����������>����� ������� �������� { }| 0fR y y= ∈ ≥� �
-�$�- 5��� �� )������ ����� 5��� ��3�'��� ��'��� )��&� ��
5��� �� ������� ����� ���� �� ��'��� &�'��� ���&� ��� ����*��������� �������
� �( )f x x= ������������������'��������� ������� ���D#������ �x �����)��I�����
�������� ���� �'I�����*���������������������������#�� � ������&��������6���%�������
�����!������'����������)#��#�
� �3 3= ���� ����!��������������������� ���� � �����������)������������������
!=
� �3,8 3= ���� ����!��������������������� ���� � �����������)������������������
!�'=
� �0,6 0= ���� �������������������������� ���� � �����������)������������������
��%=
� �1,8 2− = − ���� ����8���������������� ���� � �����������)������������������
8��'�
(��������������� ���������������� ���� '��� ��������� ������ ���� J��� ���
��������������������������������������������������� � �x ����������)#��#=
���������� J��� 0 2x≤ < ������� � 0x = �
���������� J��� 1 0x− ≤ < ������� � 1x = − �
���������� J��� 3 2x− ≤ < − ������� � 3x = − �
(��������������������������� �*���*����� � �( )f x x= ����������� �������� �����
�������?� ���������������������������� ������������ �%��"�
�
�!��������������������������������������������������������!
&
'
!
�
�
�� ��� �������������������������198
������1������8���8#����� � �( )f x x=
5� ����� �����A��� � %��%� ��>�� ��� �� ����� *������ � �( )f x x= � �����
�����������������������4������-
-�$�>� � 5��� ��(����� ���� 5��� ��(����'
+������8������������������������ �����8�8'���;�8��'���+������8����������������'
������� �����8��8'@�;�88��'���/����8��8'�� ≠ �8��'������8��8'�� ≠ �88��'�������*������8
�����������������������������������
����� � -�$�-
���������*������*�������� ������������������������������������� ��
��4 2( ) 3f x x x= + + �� x∈�
�� ��'��;��'�:�����'��� x∈�
�� ��'��;��'�:����� x∈�
)� 6�'��;�)#��'� x∈�
�����������
�� ,� ���������>�
4 2( ) ( ) ( ) 3f x x x− = − + − + 4 2 3 ( )x x f x= + + =/������8�������*������������
�� (� ����*���*������������
( ) 2( ) sin( ) (2 sin ) ( )g x x x x x g x− = − + − = − + = −/��������������*�������������
)� (� ����*���*������)#������
( ) cos( ) cos ( )h x x x h x− = − = =/�����6�������*������������
�� /������'��;��'�:����������8'��;�8'�:����5�������>����������������*�����
����������������*�������������
�
�
'
&
�!��������������������������������������������������������!
!
�
�
��
��
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 199
/����*������8��������8��'�9�&��;�8��'��:�8��&�������������������������������
0����������>��
�� 8���'��;��8��'� )� 8���K���;���K���8����
�� 8���'��;��8��'� �� �8���K���;���K���8����
�� A��� ����� �*��� ������� *�������� �����������������?� ��������������� �
������ �
�� ( ) 2f x = − ��2( ) 9f x x= −
�� ( ) 2f x x= ��2( ) 3f x x x= −
)� ( ) 3 2f x x= − *�2( ) 4 12f x x x= − −
�� (��������*������ ( ) ( 1)xf x = − ����������� �����������������������������
�� E�������� ( 3)f − �� ( 2)f − �� ( 1)f − �� (0)f �� (1)f � (2)f ������ (3)f �
�� A��� ����� �*���*������8��������������?� �������
)� 5����������� ������� ��
!� A��� ����� �*��� ������� *�������� �����������������?� ��������������� �
������ �
�� ( ) 3 1f x x= − �� ( )f x x x=
�� ( ) 1f x x= − �� � �( ) 1f x x= −
)�2( ) 3f x x x= − *� � �( )f x x x= −
"� 5����������� ��������� ���������*������������#����## �!�
$� ����������������������*�������� ������������������������������������ ��
��4 2( ) 2 3 1f x x x= − + )� ( )f x x=
��3( ) 5 4f x x x= + ��
1( )
1x
f xx−
=+
%� 5� ������*������ ��������������������������������+���������������-
&� 4�������� 8������� ���� ���� *������ �������� �����'������������ ������� ��
����8'�������� ��������������� ��������� �������0��������
�� ( ) ( )f x f x− − �������*�������������
�� ( ) ( )f x f x+ − �������*������������
)� � 8� � ���������������� ������� �������� ����� ������ *����������������� *�����
������
Tugas Mandiri
Latihan 6.3
�� ��� �������������������������200
'� ,���� � �� ���� �� ����������� ����� ������ �#�� ��� ��������� *�����
2216 24x t t= − ���������'� ������ ���������������� ������������ �#�� ��
������������� ��/�����#�� �������������������'���������� ����
�� ,�������������������� �������-
�� 5�������������������-
<� E� ����� ���������������#����� �������������� ������ �������E� ����� ���
�����������#���*������2380p x= − ���������'�������������� ��������� ����
����"������ ������
�� 0� ������� ��� �� ���� �� ������ �������� ������� ������� ������ �'
�����
�� 0� ������ ������� ������� ������ ����� ����6���$�����
)� A��� ���� *������� ��� �� ������������������?� �������
�� ���������������*������"�� �������*�����������������*������������-
-�� +�����+����� 5��� �
5� ������ �������*������������� �� *������� �������������������� ��� ����� ���� �� ����
��������� ��������������� ����������� ���� ����
�� 5��� �� +����+���� #��������"
3������ ������������������ �������*�������� ��������������������
���� ���������
������ 1��*
3���������� ��������������*���������������*��������������*�����������������
���� �����*������>��������������������� ���� ������ �����������������
������ ������ ����������������5������������*�������)����������������� ������
����!�������������������� ��������%��+���������������������)�������������
���� �� ���� ���������������*�������)��������*����������������� ������*������ �
���� ������� �����
������ �� -��
+������8��� ��������������������������������� ���� ������������������
������������������ ,a b A∈ ��������� a b≠ ��� ����
( ) ( )f a f b≠
�
�
!
"
� � � � � �
�
�
!
"
�
�
!
�
�
%
!
�
�
%
!
�
�
%
!
��� �������� ��������)�
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 201
L���J��������������*����������������*������8��� ���������������*���������������
�����������8����;�8�����������+���
����� � -���
(��������8��'@�;�'��� x∈� ��������8���� ������*���������������-
�����������
/����������������;�8���������;��������������� a b≠ ��5������
2 2( ) ( 2) 4 2 ( )f a f b= − = = =/�����8��������*����������������
�
-���! 5��� �� ���� #+��������� ���������"
3������ ������������������ �������*�������� ��������������������
���� �����
������ 1��1
3������ ��������������������*�������+���������������)���� ��*�����>�������
����������������������� ����>������ �������������� �� ������������
�� ����� ���������� +������ �������������������� ���� �������� 5�����������
*������������ ������������!��� ����� ����>����� �������������� �����>��
������ *������ ���� ��� ���� ������������� *������������������(�*������ �������� �
���� ������� ����� ����
������ �� -�*
(��� �����*������8��� �������������������������������������
����� �������������������� ���������������� ���������� b B∈ � �� �����
������ a A∈ ��������
8����;��
(�����������������*������8��� ���������� �������*�������������������� �
������� ��8��������������� ����>����� ��8�� ������8�����;���
����� � -���!
5�����������>��8�������������*���������������������*�����������������
��� :f →� � ��������2( ) 1f x x= +
��� :g →� � ��������3( )g x x=
� � � �
�
�
!
"
�
�
%
!
� �
�
�
!
"
�
�
%
!
�
�
!
"
�
�
%
� ��� ������� �������)�
�� ��� �������������������������202
�����������
�� +������8�������*�������������� ������ ������ 1− ∈� ������������������ x∈�
�������� ( ) 1f x = − �
�� /���� ������� y∈� �� ���� �� ������
13x y= ∈� � �������
( )313( ) g x y y= = ��/��������*�����������
�
-���$ 5��� �� ��������� �����=��� ������ �� +���� ���
A��� � %��&� ���� ���������� ��������� �� *������ ������ *������ ����
���������� *������ ������������ �� ���������;� T� ��� ��� !�� "U� ������������ ;
T�"�<���U��+������ ����������������*������������������� ��&��������
������ 1��2
������ �� -�-
(��� �����*������8��� �����������������������������������&�������
��������� ������ �� ���� �����������8��� �������*�������������������
�����
(�*�������������������������>�������8�*�������������*��������������������
����������� ������������������������������������� ������ ��
����#��� ��������
����� � -���$
�� /����������������������������� ���������������������������� ��������
�� )���������� �������# ���#��������������������� ������������#��#�
���������������� )���� ����
�� ����������� ������ ��� ����� �����#������� ���5� �������# ���#������
�������������� ������������� ���������������� ����#������� ��
�
� �
�
�
!
"
�
V
�
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 203
�� (� ��*������*�������� ������������ ����� �������*����������������������������������*�
������ 1��3
�� (� �� ������� *�������� ����������� ����� ������� *������ ����������� *�����
����������*�������������*����������� ������� ����;�T����%�!U��
�� �8�;�T������������!����%��$����!��%�U������������ ����>�����+�T������!��"��$��%U�
�� �8�;�T�����������������%��!����!����U������������ ����>�����+�T������!U�
)� 8�;�T����"�������!����%�������!����U������������ ����>�����+�T������!��"U�
�� 8�;�T�����������������%�������!�"�U������������ ����>�����+�T������!��"U�
!� 5���������������� ���������*������ �������� �������������������������������
�������*�
�� �8��'��;�$ ��
2( )
3f x
x=
+
�� 8��'@�;��'�:�! �� ( ) 2f x x= −)� �8��'��;�!�8�'
�
"� ���������*������8��������������������������������
2
2 1 , untuk 2( ) 4 , untuk 2 3
1 , untuk 3
x x
f x x xx x
− <
= − ≤ ≤+ >
⎧⎪⎨⎪⎩
Latihan 6.4
�
�
!
"
�
�
%
!
�
�
!
"
�
�
%
�
�
!
"
�
�
%
� ��� ���������� ����������)�
���� ���������� ����������*�
�
�
!
"
�
�
%
!
�
�
!
"
�
�
%
!
�
�
!
"
�
�
%
!
�� ��� �������������������������204
$� 4�������� { | 1 1}A x x= ∈ − ≤ ≤� ���� : f A→ � �������������� ����>������
8��������*�������������� �����*�����������8������>������
�� 8��'��;�!'�:�' )�
2( )
3f x
x=
+
�� 8��'��;�'��:�� �� ( ) 2f x x= −
%� ?� ���� )#��#������������� ��� ��� �� ������ ������ ����� ������� *�����
����������������������������*�
&� (��� ��������������� ���������� ����#�� ������ ��������� �� ���������� ����#
������&������
4�����������������������������������������������������*������8������
���������� ���� ������ :f A→ � � ���������������������� �� � ���������� 8
*�������������*-
-�* �'��&��� 5��� �
3������������� ���������>������������*������*�������������������������
����� ������������ ���� �����#�� ���������� �������������� ���������������������
5������������ ��������������� ���������� ��������� ��*������*������ �������� �������
2����������������*������������� ����#�� ���������� ��� ��*������*������
������ �� -�>
4�������� fD ����� gD ��������������� ��������� �������8�����������
�� E��������������� �*������8������������� ���������� ��������������8��'��;��8�'��
���������� ������ kf fD D= �
�� /���� *������ 8����� *�������� ������ ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + �� ������
��� ������� f g f gD D D+ = ∩ �
!� �������*������8�����*�������������� ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − ������������ �
����� f g f gD D D− = ∩ �
"� ,� �������*������8�����*�������������� ( )( ) ( ) ( )fg x f x g x= ������������ �
����� .f g f gD D D= ∩ �
$����,��������*������8�����*��������������
( )( )
( )f f x
xg g x
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������ ������
fg
f gD D D= ∩����� ( ) 0g x ≠ �
)� �� ���� ���� ���! ���" ���$ ���% ���&
�����'�� ���$ ���� ���& ��!� ��!� ��!! ��!$
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 205
����� � -�*�
4��������2( )f x x= ����� ( ) 2g x x= + ��5��������*������*�������� ������� ������ �
����� ��
�� "8 )� �8�
�� �8�9�� ��
fg
�����������
(�� �� ����� � 8� � ������ fD = � �� ���� ��� �� ������� ������ { }| 2gD x x= ∈ ≥ −� �
������-�(������(�*������%�&�������� #���
�� �"8���'��;�"8��'��;�"2x ������������ ������� 4 f fD D= = � �
��2( )( ) ( ) ( ) 2f g x f x g x x x+ = + = + + � ������� ��� �� ����� �����
f g f gD D D+ = ∩ = �{ }| 2x x∈ ≥ −� ��
)�2( )( ) ( ) ( ) 2fg x f x g x x x= = + � ������� ��� �� ����� fg f gD D D= ∩ =
{ }| 2x x∈ ≥ −� ��
�� �D����� ( ) 0g x ≠ ������������ ������� 2x > − ���������
( ) 2( )( ) ( ) 2xf f xxg g x x
= =+
����������� ������� fg
f gD D D= ∩ = �{ }| 2x x∈ > −� �
�
�� /����8��'��;�'�?�$���������'��;�'��8����5��������*������*�������� ������� ������ �
����� ��
�� !8 �� 8�
�� 8�9�� �� f g
)� �8�?�� *� �!8�:����
�� 2����������������*������ �������� ������������8�9����8������� f g �
�� ( )f x x= �������'��;�'��:��
��
1( )
1x
f xx+
=−
����� ( ) 1/g x x=
)� ( )f x x= ���� ( ) 3g x x= −
��
1( )
1f x
x=
+����� ( )
2x
g xx
=−
Latihan 6.5
�� ��� �������������������������206
!� (��������#����������� ������� ������ � ������ ����������������� � �
�� �� ���� ��� ���� ���� ������ 9���� .� ��� ����� �� �� ���� � ������
2 3( )
2x
f x+
= �������..���� ������� ������ ������� �2( ) 5g x x= + �
�� 5��������*�������� ������������ ������ ��������#��������
�� /������ �� ���� ��� �������� ����� ������ � ���>����� �� ������ ������ � ���
����������#����������#���������� ������
)� 5��������*�������� ������ � ��������������#����������#���������� �����
�������� ��������� ������
"� (������������������ �������>����� �� ��������� ����� �����������)������
"���K���� ����� ��� ��������� ����>����� �� ����� ��� � �� ��� � ������
��)�������!���K����(��������������������������������������������
��������������������>����� ��������������������������)� ���� ���������
-� ��� �� ������� ����������>����� ������ � ����������������� ��
�� #�A#����������� ����������-� �����������������C� �C��������� �������� �B��
-�- =���� � �� 5��� �
4����� �������������;�T����!�"U����;�T��%!U������,�;�T"<U��4��������*������8��� ������
���������� �������,�����*������������� ������� ���� �����
������1���4
(� ������ *������ ������������ #��� *������ ���� �������������������������� ��
�������,����� ����� �����
������ 1��5
�
�
!
"
�
�
%
!
"
<
�
�
%
!
�� �� �� ��
→�8 � � →�� � ,
→ →� � ,
�� �� �,
�
�
!
"
�
�
%
!
"
<
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 207
+������ ��������������������������,����������������������������*��������������
�������� �� �� ���������������� �����
�������������������1���
+������ ������������������ �������������������� ���� ������� � ���7�� ���� ���������
����� � ������������������*�������3#�#������� ��������8�����#�������� g f �
,� ���������>�� g f � �������� �������� �������� ������ 8� ����������� �� �
���� ������#������+������ g f ������)����������H*������������� ���8I�
(� ��)#��#����������������� #���
( )(1) ( )(3)( )(2) ( )(4)g f r g f p
g f r g f r
= =
= =
,���������������������������� #����� ��8������������ ����� ���������
( )(1) ( (1)) ( )( )(2) ( (2)) ( )( )(3) ( (3)) ( )( )(4) ( (4)) ( )
g f g f g a r
g f g f g c r
g f g f g b p
g f g f g a r
= = =
= = =
= = =
= = =
��)� ������#�#��������������� ��������������
( )( ) ( ( ))g f x g f x=
������1�����7�"7�����8#����
�� �,
�
�
!
"
"
<
→ �� 8 � �
�� �� �,
�'
�8F'@
��F8F'@@
�� ��� �������������������������208
-�-� +2�������������� 5��� ��������������� � ����
/������������� ������� *������ 8�������� ������������ �� ������������
���#�#�������-�3������ �������)#��#��� ���������
�������������1��(
(� ������*������8��������������� #���8�����;�!�����������!�������������� ����!������
�������� ��,�
���� ������ �����������*�������� ���������
�������������1���
(� ������*������8������������������������������#�#����� ����� ����������
������� ����������#���8�� ��������������� ��,����� ����������
(� ������)#��#����������������������������� ����������>�� ���������
���� ������� *������ ������ ����������������#�#���������9���� ���������� �
)#��#�������������� ��������������� ���������
)������� -�
� � ���*������������8����������#�#�������������� g f �������������� �
������� ��8����������������������� ����� ��������� ����� ����
( ) gf A D⊆
�
�
!
"
�
�
%
!
�� ��
→�8 � �
�� ��
→�� , -
�
�
%
"
<
→�8 � � →�� , -
�� �� �, �-
'
&
B
�
�
%
!
�
�
%
!
"
<
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 209
����� � -�-�
(��������*������8����������� �����#������� ��������� �����
������ 1��*
A��� ������� ��������� �� g f �
�����������
(� ������ ���������������������� #��
( )(1) ( (1)) ( )( )(2) ( (2)) ( )( )(3) ( (3)) ( )( )(4) ( (4)) ( )
g f g f g c r
g f g f g c r
g f g f g b q
g f g f g d q
= = =
= = =
= = == = =
(��� ������������� g f ������
��������������������1��1
�
����� � -�-�!
+������8��������� ��� ����� ��� �������#��
8��'���;�'�8�!���������'��;�'�
5�������� ���������� g f �
�����������
(��������� ����#�#�����
� g f ��'��;���8��'���;���'�8�!��;��'�8�!���;�'
��8�%'�:�<
��
��
!�
"
��
��
%�
!�
��
��
%�
!�
"�
<�
�
�� �� �� ,�
8���� �� ����� ,�
��
��
!�
"�
"�
<�
�� ,�
g f� ��� ,�
�
�� ��� �������������������������210
����� � -�-�$
(�������8�������������������������������� � ������� �����
8��;�T������������!�������"�U
��;�T����!����!��"����"��%����$��&�U
5�������� g f ������ g f ������
�����������
(���������������������� ������
g f �;�T���!������"������%�U�
�������
� g f ������;���8������;���"��;�%�
�
(��������������������#�#�������������������������>��#�� ���
�#�#�����*�������� ��*�����#�����*�� �����������8�������6����� ������ ����
) ( )( f g h f g h=
-�-�! ,���������� =�������� 5��� �� ���&�'�� ������� =���� � ��2�
������ ��
0� ����� ���� ���������������� �� ���� ���� )#��#���������)� ���#�#���
*������ ���������#�#����� ������������, ���������� � �������������������
��*�������#�#�����*�������,� ��������)���������������>����������������������� ��
�����������������������
����� � -�-��
(��������*�������8������������� ����������'��;�'�8�$�
5��������*������8�������
�� ( )g f �'��;�"'�:��
��2( )( ) 3f g x x x= +
�����������
�� (� �� �����#�#�����*������������� #��
( )g f �'��;���8��'���;�"'�:���;��"'�:�%��8�$
/������8��'��;�"'�:�%�� x∈� �
�� (������� �������#�#�����*������������� #��
2 2( )( ) ( ( )) 3 ( 5) 13( 5) 40f g x f g x x x x x= = + = − + − +
/������2( ) 13 40f x x x= + + �� x∈� �
�
Tugas Mandiri
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 211
(���������� ������� ���#�#������� ���������������� ���� nf � � �������
0 ( ) ( 1)f x x x= + �� 1 0n nf f f+ = ���������;��������������
�� (��������*������8��� A B→ ��������B C→ � ���������������#������� ���� �����
������ 1��2
�� 5�������� ( )( )g f a �� ( )( )g f b �� ( )( )g f c ����� ( )( )g f d �
�� 5����������� �������������� ��������� �� g f �
�� (����������;�T"�<���� U��*������8�������������� ���������������#���
8��;�T�"�<����<�������������"���� ��U
��;�T�"������<� �����<����������� �"�U
�� 5�������� ( )( )g f p �� ( )( )g f r � ( )( )g f s ������ ( )( )g f t �
�� 5����������� �������������� ��������� �� g f ���� f g �
!� (�������� ( ) 2f x x= − ��������'��;�'�:�&�������������������#�#�����*�������� ����
�� ������ ������� ��
�� f g )� f f
�� g f �� g g
"� /������*����������������h f g= ��������6��������*�����������-
$� /������*����������������� h f g= ��������6��������*������������-�0������������
8�������-�0�������������8������-
Tugas Kelompok
Latihan 6.6
�
�
%
!
"
<
�
'
&
B
�� �,��
�� ��� �������������������������212
%� (��������8��'@�;�!'�8�"�������'��;��'�9����/���� g f f g= �������������������
&� (��������8��� →� � ���������� →� � ������������'��������
�� �8��'��;�'�8�������2( )( ) 3 2f g x x= +
��2( ) 5f x x= + �����
2( )( ) 2 6f g x x x= − +
'� (��������8��� →� � ���������� →� � ����������8��'��������
�� ��'@�;�'�:������2( )( ) 3 4f g x x x= +
�� ��'��;����8��'�����3( )( ) 1f g x x= +
)� ��P��;� ( ) 1 1/g x x= − �����
1( )( )
2x
f g xx+
=−
-�> ��1�� �5��� �
,� �������*������8���� ��������
������ 1��3
/����*������8������������������������������������� #��� �������� ���������
������ 1��4
6������0�����������1�� ����� ��8��6������0����������#���������������1f − ��������
1f −
� �������*�����-�5� � �����������������-
�
�
!
"
"
<
�
�� ��
→�8 � �
→�0 � �
�� ��
�
�
!
"
"
<
�
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 213
���� ������ �������*����������� ��������
������ 1�(5
/����*�������������������������������������������� #��� ������1g−��� ���������
������ 1�(�
,� ���������>�� ������1g−�������*����������������������� �����J� ��*������ ���
� ������� *�������������� ���� �� ��1�� �� 0��� �������������� ����� *������ ��J� �
��������*��������������
(������ ���������� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ���������� �������� ����� *�����
:f A B→ ���� ������� ����������������� �� � ��
{ }( , ) | dan f a b a A b B= ∈ ∈
������J� ��*�������8��������1 :f B A− → � ���������������#��
{ }1 ( , ) | dan f b a b B a A− = ∈ ∈(� ��)#��#�������������������������������>����J� ��*������ �!���6�#��� ������
*�������5������������1g−�������*������������������������ x A∈ �������� ����
1( )( ) ( )Ag g x x I x− = = ���������� AI �*�����������������������
����������������� x B∈ �������� ����
1( )( ) ( )Bg g x x I x− = = ��������� BI �*������������������������
� �
�
�
!
"
"
<
�
→�� � �
� �
"
<
�
�
�
!
"
− →�
�� � �
�� ��� �������������������������214
3������ ��������������*������8����������������)#��#����������3������1f − ������
*������ �������1g−� *������� 6������
1f − � ������ *������ �� ���� ����<� �������� � ���
���� ���������>��� ������ ������!�����"������������E�������������������� ����8
*������ ���� ������ ����������� ����������1g−� ������ *������ �� ���� ������� ��������
����������� ����������������>�����������4����������������>����*�����
�������������)� �������������� �����*����� ����� ����
)������� -�!
4���������8��������*�������� ����������1f − �������*��������J� ���� ��8���� ������
������������� ��������8��*�������������*�����
1Af f I− = �����
1Bf f I− =
/���� *������ ��J� �� ����������� *������ ��J� �� �� ��������������)� ������������
)� ��
�� (�������������� �������*������������������������� ������� �����������
�� (������������������ ��������>���������&�+�8��'�������1( )x f y−= �
����� � -�>�
(��������*������8��'��;��'�:$�� x∈� �
�� 5�������� ����������1f − �
�� E��������1(0)f − ��
1(2)f − ������1(3)f − �
�����������
�� 4�����������&�;�8��'��
2 5y x= + � 2 5x y⇔ = −5
2y
x−
⇔ =
1 5( )
2y
f y− −⇔ =
/������ ����������1f − ������
1 5( )
2x
f x− −= �
�� (� ��1 5( )
2x
f x− −= ��������� #��
1 0 5 5(0)
2 2f −
−= = − ��
1 2 5 3(2)
2 2f −
−= = − �����
1 3 5( 3) 4
2f −
− −− = = − �
�
����� � -�>�!
(��������*������
3( )
2 4x
f xx+
=−
�������� 2x ≠ ��5�������� ����������1f − �
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 215
�����������
4��������&�;�8��'��������� 2x ≠ �
�������������
32 4x
yx+
=−
3 2 4x xy y⇔ + = −� 2 3 4x xy y⇔ − = − −� (1 2 ) 3 4x y y⇔ − = − −
�
3 4 4 31 2 2 1
y yx
y y− − +
⇔ = =− −
/�����1 4 3( )
2 1x
f xx
− +=
−������� 1/ 2x ≠ �
�
(�������� ( )ax b
f xcx d+
=+
�������� 0ad bc− ≠ �
�� 5�������� ����������1f − �
�� ����� � ��� ����� ��1f − ����-
)� ����� � �������%������!���� �1f f− = �-
(��������������������#�#�������
�� (��������*������*�������� ����;�T'�&�B�U������;�T8�������U����������� �����
������ 1�(�
�� �8"�;�T�'�������&�������B����U
�� 8$�;�T�&��8�����B�������'����U
*� 8%�;�T�B��8������'��������&����U�
(� ���������*�������������������������J� �� ���3����������� ��������� ��
*��������J� �-
Latihan 6.7
Tugas Kelompok
'�
&�
B
'�
&�
B�
-��
���
���
'�
&�
B�
-��
���
���
-1
0
1
��� �� )�
��8 � �
��8 � �
!�8 � �
�� ��� �������������������������216
�� �������������*�������� ��������� ���*��������J� �-�/�������� ���*�����
��J� ��� ��������� ��J� �� �� ������
�� �8��'@�;�$'�8�! �� 8��'��;� 2 6x −�� 8��'��;��8�'
��� 8��'��;�����'
)� 8��'��;��"�8�'�!
*� ( )f x x x= +
!� 5��������� ��>�� ������� *������ �� ��������� ��� *������ ��J� ��� ���
���� ����� �*���8�����1f − ������������������� ��������
�� 8��'��;�"'�8�! �� 8��'��;�'!�:�� �����)� ���
3 1( )
2 4x
f xx+
=+
"� 5��������� ��>�� ������� *������ �� ����� ���������� ��� *������ ��J� ��
������������������ ������� �������������� ���*������ ��J� ��
�� �8��'��;�'��:�" )� 8��'��;�
29 x−
�� 8��'��;��'��8�% ��
21( ) 162f x x= −$� 5���������������#������������������*������ ��������*���������#��
3( )
xf x
x k+
=+
������������*��������J� �� ��
%� 5�������� ����������1f − ��� ���������*������ �������� �����
��
1( )
3f x
x=
−)�
3( )
4 +1x
f xx−
=
��
2( )
5 3f x
x=
−��
5 3( )
3 +2x
f xx+
=
&� (�������� *������
3( 1)
2x
f xx+
+ =−
�� ������ 2x ≠ �� 5�������� ����������1f −
�� ������ ������� ��
'� (��������
2 3( )
4 5x
f xx+
=−
�������� 5 4x ≠ ��/����1f − �*��������J� ���� ��8����������
1( 1)f x− − �
<� (��������8��'��;��'�:�&�
�� 5��������1f − �
�� (� ��1f − �������������������
1 1( )f − −�
)� ���� ����������������������-
��� 5���������8�������
��1( ) 4f x x− = + )�
1 3( ) 1f x x− = +��
1( ) 3 1f x x− = −��� (������������*������
8��'��;��'9���� 0a ≠ �������'��;�%'9�!��� 0c ≠5�������������������� ������%�����!���������8��� �������*��������J� ���� ����
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 217
-�? 5��� �� ��1�� ������5��� ��=���� � �
,� ����������� ��������� ����� ���
A B C
a b
g f�
1( )g f�
c
������ 1�((
,�������� ���������������*�������#�#����� g f ���������a A∈ ����c C∈ �����
*��������J� ���� �� g f �� �����1( )g f −
��������� c C∈ ����������� a A∈ �
����� �-�� ?�
(��������8��'��;�'!�������'��;��'�:���� x∈� ��5��������
1( )g f − �
�����������
(� ������� ������#�#�����*�����
�3 3( )( ) ( ( )) ( ) 2 1g f x g f x g x x= = = +
4����� ��1( ) ( )g f x y− = �����
3 2 1x y+ = �⇔ �32 1x y= −
�⇔ 3 12
yx
−=
���⇔ 31
2y
x−
=
/�����
1 3 1
( ) ( )2
xg f x− −
= �
�
����� � -�?�!
(��������8��'��;�'!�������'��;��'�:���� x∈� ��5��������
1 1f g− − �
�����������
4���������������������>�������8��'��;�'!��������'��;��'�:�������
1 3( )f x x− = ��������1 1( )
2x
g x− −=
�� ��� �������������������������218
7����� ��������
1 1 1 1( )( ) ( (( ))f g x f g x− − − −=
�1 1( (( ))f g x− −=
�
1 12
xf −
−= ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
�3
12
x −=
(� ��)#��#�%�'�������)#��#�%�'������������������ #�����>�
1 1 1( )f g g f− − −=
�������������� ���� ����������� ������� ���� �������� *������ �������� ��
*������ ��J� �� -�G��� *# ���� ����������� ����������� ���� �������� *������ ���
���� ���*������ ��J� ��
)������� -�$
/����8�����������*������ �������� ���*��������J� �������#�#����������� �
����������� ����
1 1 1( )f g g f− − −=
�� �
2�����������������*����������� ���5�# ���%���)������������������
1 1( ) ( )f g g f I− − =
3������ ���������>�
�1 1 1 1( ) ( ) ( )f g g f f g g f− − − −= ��������*�����#�����*�
�1= f I f − ��
1g g I− = �
�1( )f I f −= ���*��� ��#�����*�
1f f −= � f I f= �
I=/������� ��������>��
1 1 1( )f g g f− − −= �
�
(��������������������#�#�������������������������>��
1 1 1 1( )f g h h g f− − − −=
Tugas Kelompok
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 219
����� � -�?�$
(��������*������8������������� ����������'��;�'�8�!������ ( )( ) 3 5g f x x= − ��5�������
*������8�
�����������
(� �� *�������� �������� ������ ��������� ���1( ) 3g x x− = + ��(�� ����� ������ ����
���� ����������
1f g g f−=
������� ��
1
1
1
( ) ( ( ))( )
(( ))( )
(3 5) (3 5) 3
3 2 =
f x g g f x
g g f x
g x
x
x
−
−
−
=
=
= −
= − +
−
/������8�'��;�!'�8���
�
,�������������� ������������������������������ ��������>����������������� )#����
����� ��������������#���������
����� � -�?��
������� �������������� )#�������������������������� ����������.����������..�
9��� �� ������������ � #���� �� )#����� ����� ������� ������ ������� *�����
�� �������� ��� ��#������ �������� ������,���������.������������ ���'�#�������
���� ������>����������� ( ) 2f x x= + ����������������������..��� ������>����
2( ) 2 1g x x= − �
�� /���� ����� ���� �� �������������� )#����� ����� ��� ���#��� �� ���� ���� ����
�� )#����������������������������-
�� /����>����� �������� ������������������� )#�������������&��������� ����#�
����� �������� �����-
�����������
�� 4����������� ������������������ ���#�#���������*�������2������������������
�� )#��������������������>����� �������� �����������
2 2( )( ) ( ( )) 2( 2) 1 2 4 3g f x g f x x x x= = + − = + +
2�����'� ;� ����2( )(10) 2(10) 4(10) 3 243g f = + + = �� /�����>����� ������ �����
������������� )#���������������������� ������#���������"!������
�� �������� ��������� ����� ����������� ������� �� ��J� ���#�#���������*������
(� �� ( ) 2f x x= + �����2( ) 2 1g x x= − ��������� #��
1 2( )f xx− = − �����1 1( )
2x
g x− +=
�� ��� �������������������������220
(��������� ������5�# ���%�!�
1 1 1 1 1 1( ) ( )( ) ( ( )) 2
2( ) x
g f f g x f g xx− − − − − += = = − ��
2�����'�;���&����� #���
1 127 1( ) (127) 2 6
2g f − +
= − = ��/�����������>�������&
������� )#����������� ���������������� ���%�#��
�
�� 5�������� ���� ������1( )f g −
� ����1( )g f −
�� �������� ( ) 2 3f x x= + � ���
( ) 2 3g x x= − ��������
�� ��)� �������� f g ����� g f �
�� �������������*���1 1 1( )g f f g− − −= �
�� (������5�# ���%�!�� ���������1( )f g −
� ����1( )g f −
� ������ � 8� ������� ���
���� �����
��
6( )
3f x
x=
+�����
2( )g x x= �������� 0x ≥ �
�� 8��'��;�!'�8��������2( ) 3g x x x= − + �������� 1 2x ≥ �
!� /����1( ) 3 1f x x− = − ����
1( )g x x− = � ������ 0x ≥ �� � ������1( ) (2)f g −
� ���
1( ) (2)g f − �
"� /����8��'��;��'�:��������1( )( ) ( )f g x f x−= �����������*���������
$� (��� ���������*������8������������� �����������*�������������
�� 8��'��;��'����� ( )( ) 6g f x x= + �
�� 8��'��;��'������ ( )( ) 1 1 2g f x x= − �
)� 8��'��;�'��:�$�����
2( )( ) 2 6f g x x x= + + �
%� /����
8( )
2f x
x=
+� ���� �
2( )g x x= � ������ 0x ≥ �� ������������ �� ����� �� �
1( )f g − �
&� ������ �� ������� ����� ������ � ��>�� ��� �� ������ ������� �����
�� #������'��� ���������
2( ) 10.000 0,001C x x= +�� /���� �� ���� ���� ��� #������ ����� ��� $���� �� ���� �#���� ��� �� ���
���� �����-
�� /���� �� ������ ��� �� ������ � ��� ����� ����� �� ���� ��� ��� �� ���� ���
���������-
Latihan 6.8
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 221
'� ,���� ������ �� �������� ������ .�������� ����������������� ����
�����������������������..�������������������������������������������
3��� �������� .���������� *������ ( ) 2f x x= � ��������������� ..� ���� ��� �
��������� *������2( ) 3 5g x x= − ��������'� ��������� ������������� ���
�� ������
�� /�������������� ������ ������������� #����������� ���$����������� ���
������� ���� ����� �������������-
�� /����� #����� #���������������������"�&�������� ���������������� ������
���������� ����� �������������-
������/����������������������������������#�#��������� #����?� �������������
��������������������� { }( , ) | dan B x y x A y BA× = ∈ ∈ �
������������ ��������������������� ��������������������������������� ���
���������������� ��� #����?� ������� A B× �
!�� � +������ ����� �������� �� �� ��������� ��� ��������� ������ ������ ���
����>�����������������#���������������������������#������E����������������
��� ��������������� ����*��������#�������������� fD ��E�������������������� �
��>��� ��#�#������ �������� fK �� +����� : ( )f x y f x→ = �� &��������� ����
��� ��������� ��'�#����8�������������*������8������'���������� �������� ��&�#���8�
E����������������������������������� �������� ��������������� fR �
"�� � � 0��� ���� *������������� *�������#������� *������ ����������� *������ ����� �� *�����
���� ����*�����������������*������#�������*������������������*�����������������
�� ���� ��*�����������������*�������������
$�������*�����*���*�������*������������������������*���*������������#��#�������� �����*������
*���������������������������������*��
%����� � ���*������������8����������#�#�������������� g f �������������� ��������� �
8����������������������� ����� ��������� ����� ����� ( ) gf A D⊆ �
&�����4���������8��������*�������� ����������1f − �������*��������J� ���� ��8���� �������������
������ ��������8��*�������������*�����1
Af f I− = �����1
Bf f I− = �
'����/����8�����������*������ �������� ���*��������J� �������#�#����������� �
����������� �����1 1 1( )f g g f− − −=
Rangkuman
�� ��� �������������������������222
,���������� ��# �� *������ �����#�# �� #��
��������>��� .������ ����� ��� ,� ��)���
9� �� ����� ������������������ ����������'�
3�������9#����?��) ������������������
9��� ����� �� ������ ����� �>��� ����� ����<�
9���� �������� ?��) � ����������������
����������� �� �������� *�������� ��������������
�#������� E����� �� ��� �� ��� ?��) � ���
�������� ������������ #��� ���
�������>��� /� ���� �����=��'� ) �����
@���� ��� �����(������5�������0 ����;�������
�� ���� �������������������������������������������������������������
����������� �!���� ������� ������������
�� (�� �������*������
2 5 6( )
2x x
f xx
+ −=
−�������M�
�� { }| 2x x∈ <� (� { }| 6 atau 1 2x x x∈ ≤ − ≤ <�
0� { }| 1 2x x∈ ≤ <� L� { }| 6 atau 1< 2x x x∈ ≤ − <�
?� { }| 6 atau 1 2x x x∈ ≤ − ≤ <�
�� /���
2
2 1 , untuk 0 1( )
1 , untuk yang lain
x xf x
x x
− < <=
+⎧⎨⎩
����12(2) ( 4) ( ) (3)f f f f− + =� �
�� ��� (� $$
0� ��$ L� $�
?� '$
������1�(�� ��������
�#���D��$$$��7>�� �%7�
Math Info
Uji Kompetensi
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 223
!� /���� ( ) 2f x x= ����� ( ( )) 12x
f g x = − + ������ ( )g x =� ��
�� 12x− (�
1 ( 2)4 x −
0� 12x+ L�
1 ( 2)4 x− −
?�1 (2 )4 x−
"� /����
1( )
1x
f xx−
=+
�����
2
2
1( )
1x
g xx+
=−
������ ( ( ))f g x =M�
��2x (�
2
2
11
xx−+
0�2 1x + L�
2
211
xx+−
?�2 1x −
$� /���� ( ) 2f x x= + �����2( )( ) 2 4 1f g x x x= + + ������ (2 )g x =� �
��22 4 1x x− + (�
28 8 1x x+ +0�
22 12 1x x− + L�24 8 1x x− +
?�28 8 1x x− +
%� /���� ( ) 2xf x = ������ ( 2 )f a b c+ − =� �
�� ( ) 2 ( ) ( )f a f b f c+ − (�
2( ) ( )( )
f a f bf c+
0�
2 ( ) ( )( )
f a f bf c L� ( 2 ) ( )f a b f c+ −
?�
2( ) ( )( )
f a f bf c
&� /����2( )( ) 4 4g f x x x= + �����
2( ) 1g x x= − ������ ( 2)f x − =� �
�� 2 5x − (� 2 1x +0� 2 3x + L� 2 1x −?� 2 3x −
'� /����2( )( ) 4 8 3f g x x x= + − ����� ( ) 2 4g x x= + ������
1( )f x− =� �
�� 9x + (� 2 7x+ +0� 2 x+ L�
2 2 3x x− −?� 2 1x+ +
<� /����3( 2) 2 5f x x− = + �����
1(3) 4 1f a− = + ��������������;������
�� 8�" (� "
0� � L� �%
?� !
�� ��� �������������������������224
��� /�����������!������� ������������ �*���*��������J� ��2( ) 2f x x x p= + + �����������
�"�;������
�� 8�$" ?� �$ L� $"
0� 8�$ (� �%
��� /���� ( ) 2 3f x x= + ��3( ) 1g x x= + �����
1 1( )( ) 2g f a− − = ��������������;������
�� <" ?� �$ L� ��
0� ��� (� �'
��� (�� ��������� ��*������
2 1( )
1x x
f xx+ +
=−
�������M��
�� { }| 1 atau 7y y y∈ ≤ − ≥�
0� { }| 7 atau 1y y y∈ ≤ − ≥�
?� { }| 1 7y y∈ − ≤ ≤�
(� { }| 1 atau 7y y y∈ ≤ ≥�
L� { }| 1 atau 7y y y∈ ≤ ≥ −�
�!� /����
2 1( ) 3
3,x
f x xx+
= ≠−
��/����1f − �������*��������J� ���� ��8������
1( 2)f x− − ;
�����
��
1, 2
2x
xx+
≠−
?�
2 2, 1
1x
xx−
≠ −+
L�
2 1, 3
3x
xx+
≠−
0�
2 3, 5
5x
xx−
≠−
(�
3 5, 4
4x
xx−
≠−
�"� /����
23( ) 2f x x= ������ 2
3( )g x x= ������
1( ) ( 2)g f − = � ��
�� �K� ?� � L� 2 2
0� 2 2 (� �
�$� /���� ( ) 4 2f x x= + ����� ( ) 3g x = ������ ( )( 2)g f − = � ��
�� 8�% ?� �! L� �"
0� 8�! (� �%
�� ���� �������������"��������������������#$�� ���� ������������� ������������
�%� (��������*������8����������� �����#���8��'��;�!�8��'���������'��;�'��:���
�����5�������� ( )(2)g f � �� /���� ( )( ) 2g f a = �������������
�&� 5����������� �������������� ��������� ��*������
2
22 1
( )16
x xf x
x− +
=−
�
�'� 4�������� ( )ax b
f xcx d+
=−
�� /����2 0a bc+ ≠ � ���� x a c≠ �� ��������� ��>�
( ( ))f f x x= ��3������������� ( ( ))f f x �������
3 1( )
2x
f xx+
=+
��� 2x ≠ − �
������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 225
�<� E������������ ����� ���� ������ �������������������� ������ ������������
�� �������-������� ���������������������*�����
229 3P D D= − +(��������������� ���������������������� ������������������������� ��
2D t= +�� D �����������������*�������� �� �� E������������� �;��$�
��� ���������������������������������#�������������� ������������������
� ���������������� ������������*������2( ) 256 4f x x= − ��������'������
�#����#���� ����� ����� ��� ������� ������� 8� �'�� ������ �������� ��������
� ���
�� 5����������� �������8�� �����������
�� 0� ����������������� ����������������� �����#�������������� �������� ��
%�� �-
)� /��������# ������������������������ ��������� �������� ������� ����#���
#�������������� ��� �������� ����-
�� ����������������� ���������������)�������������� ���������� � ������ �� ��
���� ����� ��������)�������%��)K������
�� D ������� �� ���� ����� �� ������ ���������������*������>�����
�� /������ ������ ����� ������ ��� ���� �������� *������ �� ���� ��� )� ���� A r ����
��*�� ���
�� ����������>����� ������������������)�������!$���K�����������������������
���������>������������������������� ��� ����������� �;���
�� D ������� �� ��������� �!� ���������� ���� ����������������>��
��������*������>�����
�� D ��������� ��������� ������>��������������� ��� ���������*�������� ��!�
)� A��������#�#������������� �����������������*�������� �� �
!� 6����5 ( 32)9C F= − ��������� 459,67F ≥ − ��� �����������?��)����,��������
*�������� �� ����+� ������/�� 5�������� ���������� *������ ��J� �� �����
�� ��������� � ������ ���������� �������*������ ��J� �� ���-
"� (������# �� �����J������������������� ���������������)�������>������
02 2
( )1
mm f v
v c= =
−������� 0m ��� �������������� ��������������%������)�� ����� ���������
5��������*��������J� ���� ��8���������������� ��� ��
$� /�����������#������������ ��������>��� ����������� �������������������������
!������������ ��� ������� ��������� � ��������
3( ) 100.2tn f t= = �
�� 5����������J� ���� ��*������������������������ ��� ��
�� 3������#��������������)�����$�����-��.������#������#�� �������������@��
Soal Analisis
�� ��� �������������������������226
����1���
D�� ��MMMMMM�� 5������ ��MMMM�
3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��3#�#�����*�����
��������J� ��*�����
����������������3��#�#� ��MMMMMM�� ������ ���������
3������� ��4������ ������������������� �������
5����� ��4��������� ���������� ��������?��)�����+� ������
��3��J��������6���
������'�������&� ���2�������������
�� 5� #��� �������?��)�����+� �������3��J��������6���
�� �L������������� �������
!� A����K>������ �������������� �������� ������������
"� ����� �����
$� 0���� )������
���������������
�� 0���������#�#�� ������ ����#������$����>��
�� 5���������������������� ��������������������������������� ������
!� 2�� � ������������������ ���������������������������������� �����
�� #��� � �� �������3�������)��������� ������������������>��
"� 9��������� )#�������������������������������#���
��������'� �
�� (����������� ����������� #�����������������������#�#������������
������ �����#�J� �������,��������/��,�����������,��������0��3������
������ ���� �����#�J� ��� ���������������
�� (������ ���� ����������� #�������������#
"� / ��� �����������������,
�������0-
!� 0� ����#
, ������# ��������������-�3�������� ������������� �����
�����/��������0�
"� (���� ������,���������*������/�������������J� ��*����������
Aktivitas Proyek
��������� ���2��+� �
������&��� ���'0�� �#%"������5� ��� ����#&"������=�'1���#!"������;������#'"
L������
�� �������
�������� ��� ����� �/#���� 227
LIMIT FUNGSI���
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ������������ ��������*���������������������
�� ��������������*������������ ����������������
!� ��������������*������� ��#�#�� �����������������
"� �������������*�����*��� ��������������������� �������� �����
$� ������������ ���������������������� �� ����� *������������ �
%� ������������������ �������������������
&� �������������*�����*��� ��������������������� �������������*�����
�����������������
'� ���������� ������� ������������ *������ �� ����������������� ��
<� ��������������*������ �������� ����������#������� �����
�� ��� �������������������������228
���� ������ ������� ��������� � ������ ���� �������� ����� ����������� �����
���������� ��������� )� �� �� ����������������� � ������ �������� ������������
�#�#��������� #��������������>���������������2��������������� ������ ���������� ���
� ���������������� ��)� �� ��� ������������ ����������� ����������E�������� ���
������ ������������������*�����
2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + +
��������:����������������oC ������$��������� ��������������>�����4��)������� ���
�� ��� ������ ������������������0� ����������� ������������������*������$-�����������
���� ������-�/������ �� ������ �����������������>������������������ �������� ���� -�3����
������� ������ �� ��)��-
2������� ������������ �������� �� ������� ������� ������� ����������������� ���
�#��������������#������������������������������������� ��� ��#�#�� �������*������
������2���:#���#�"���#� ������ ��
�#������� ��������%���8�����$7!"���
Pengantar
�������� ��� ����� �/#���� 229
>� ���������������
3#����������*������� ����������� �������������� ����������������������������
����� �� ���������������� �#���+��� � ��0�3�<��������(��������@�' �'�����&��:�����
�� �����������������&�������������#����������*�������� �������������#������ ���
���� ����0 2���������������'�
3#���������� *��������������������� �������������������� �������������������������
�������*�� ���������������������������������������� *��������� ������ � ������ �� ������
�� ��)����������������������� �����������)#��#�������� �������*������8� � �������� ����
#��
2 1( )
1x
f xx−
=−
,� �������>����� �� ������� �� 8� � ������ �������������� ����'� � ��)�����'�;� ��
�� ��� (1)f ������������3����������� ��������������*������8���������'������������������
��������������������4��������'����������������=����$=���$=���&$=���<=���<<=���<<<=���<<<<
�������� ��� ���(������������������������������'� ������������������������������
��)��� ���D����������� *������ � 8� � ������� ���� ��� �������� �����5����� &����3�������
��������'���������������������������� ������������� ����� �����'����������������=
��&$=���$=����$=����=�����=������=�������=������������������ ��� ���9����5�����&���
)�&�'� >� )�&�'� >�!
(� ������������������������������ �������>�������'��� �� �������������������������
�� ��� ���� ���������� ��� ��������������8�'���� �� �����������������������������
)#��#���� ��5�����&���������'�;���<<<������8�'��;���<<<��G����������'��������)����������� �
�������8�'���������)������������ ����
(� ��5�����&���������'�;������������8�'��;�������� �����������'���������� �������� ����
�����8�'����������� ��������� ����
����������� �����������������>������������������������� � 8� �'����������� �
������������� ���������'� )����������������������������������� � (1)f � ����������
�����������)���������)� �������������������������������
1lim ( ) 2x
f x→
=
,� �����)���������������>��������� 2 (1)f≠ ���� ����8��������� ��*���������'�;������)� �
� �*��������������������������� ������>���������'�;����� �*��� ���� ��������� ��������
(
�
���$
��$
��&$
��<
��<<
��<<<
��<<<<
!
� �
() (
(
−= −�
���$
��$
��&$
��<
��<<
��<<<
��<<<<
(
�
��&$
��$
���$
���
����
�����
������
!
� �
() (
(
−= −!
��&$
��$
���$
���
����
�����
������
�� ��� �������������������������230
���������2�����8���2( 1) ( 1)x xy − −=
��)� ��������������������#������� �����
������ �� >�
9����8��'���������'����������%�����������������������������������
lim ( )x c
f x L→
=
����������������������������8��'������ ���� ���������������������������
��������������������)� ����������������'� �����������������%��������
�����������������%�
3��� � ���������8��'��������������������������������������'����������������%���� �����
������������� x c≠ ��(�*��������)� ��*# ������������������� ��������������������� ���������
����� �� �����������
D#����� ���� ����*������
lim ( )x c
f x L→
=
�����
( )f x L→ ��� � �� x c→ ������)� ���������)��I8��'��������������������'����������%I�
3������ ����������������I������� x c≠ I��������*����������������� �������>�
��������������������8��'���������'����������%��������������� �������������'�;�%�
0�����8��'��������� ����� ��*���������'�;�%��5������ ����� �����������������������
����������8���� ��*���������������%�
(��������������������������� ��������>���#���������� ��>�� �����lim ( )x c
f x→
����� ����� �� ������ �������� ���� ��� ��*��� ���� ���� ����� �������� �������� �������
��������'��� '�����
−=−
�
�
�
'
&
'
&
�����������������������������������������������!
!
�
�
'
�������� ��� ����� �/#���� 231
A��� � &�!���� ��������� �*����� �� ����� *�������3������ ���������>����
����������� ( )L f c≠ ������������������������)�� ( )f c ��������� ��*�������5�����������������
�������������� ������ ��������%��� lim ( )x c
f x L→
= �
L L L
c c c0 x
y y y
x x0 0
(a) (c) (b)
������2��� lim ( )x c
f x L→
= �!����� �������#�
����� � >��
5������������� 22
2lim
4x
xx→
−−
�
�����������
,� ���������>��*������2( ) ( 2) ( 4)f x x x= − − ��������� ��*���������'�;�����������������
������������������� �� ���� ������ ��� ����� �� �����������������������
2lim ( )x
f x→
������� ��������������������� ���������������'�;����5������� �������� ����
������ 8� �'�� �������������������������������'� ������������� �� �������� ���������
�����������(������� �������������������������������������������������>�
22
2 1lim
4 4x
xx→
−=
−���������)�&�'�>�$ )�&�'� >��
(�A�!
��$
��&$
��<
��<<
��<<<
��<<<<
���'$&�"
���%%%%&
���$%"��
���$�%�%
���$��%!
���$���%
)�(� (�B�!
��$
���$
���
����
�����
������
��������
���!$�<"
���"!�<�
���"<!&&
���"<<!'
���"<<<"
)�(�
�� ��� �������������������������232
.���� ����� �*������� �����#������� �&�"��� ����
������2�����8���8#�����2( 2) ( 4)y x x= − −
�
����� � >��!
+������E��J������=�����*���������#��
0 , untuk 0( )
1 , untuk 0t
H tt<
=≥
⎧⎨⎩
W+�����������������#��������� �����# ��������� � ������ ����'�1���6��1� ������'$�
8��<�$���A �*��� ������ �����#���A��� �&�"��� �����
������2�*�/#�����=��>���!�
3������ �������������� ��� ���� ���=� �������������������������� �������������� ��� �
�������=� ��������������7����� ����������������������������������� �������������#��
=� ��������� �������������(���������������� ����������������������>��
0lim ( )t
H t→
������
����
&
'
��&$
��$
���$
��������������������������������������������������������������!
&
'
�
�
�������� ��� ����� �/#���� 233
������ +���� +� �
,����)#��#�&�������>��=� �������������������� �������������� ��� ���� �����
=� �������������������� �������������� ��� ������������� �������������������)#��#
�������>��
0lim ( )t
H t→
������������D������)� ��������������������������������>�
0lim ( ) 0t
H t−→
= �����
0lim ( ) 1t
H t+→
=
���#�� 0" "t −→ ��������������>�� ����������� ������������� ���������� �� ���
�������)����� �����(������������� 0" "t +→ ��������������>�� ����������� ���������
�� ���������� � ������������� ��� �������)� �������������� �����*�������� ���������
Definisi 7.2
Limit kiri f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan
lim ( )x c
f x L−→
= jika kita dapat membuat f (x) sembarang dekat dengan L dengancara mengambil nilai x cukup dekat ke c, dan x lebih kecil daripada c.
/��������������������(�*������&����������(�*������&����� ������� ����������>�
������ � ������'�� ����������)����� ������%��(������)� ���� ���������������� � ������'
� ������������ ��� ������%��������� #���I'����������������)��(���������(�����������*
������������������I������������#��������������
lim ( )x c
f x L+→
=
(������������������(�*������&���������*�������������������������� ���������� ���������
)������� >�
lim ( )x c
f x L→
= jika dan hanya jika lim ( )x c
f x L−→
= dan lim ( )x c
f x L+→
=
����� � >��$
4�������
3 , untuk 1( )
3 , untuk 1x x
f xx x+ ≤
=− + >⎧⎨⎩
E�������������������
��
1lim ( )x
f x−→
��
1lim ( )x
f x+→
)�
1lim ( )x
f x→
�����������
�� /��������������'�������������� ��� ���� �������������8��'�����������"��7����� ��������
1lim ( ) 4x
f x−→
=
�� /��������������'�������������� ��� �������������������8��'���������������(��������������
1lim ( ) 2x
f x+→
=
�� ��� �������������������������234
)� (� �� ���� ��>����� ��� ������
1 1lim ( ) lim ( )x x
f x f x− +→ →
≠ �� ��� ��� 5�# ��� &��� ����
�����������>�
1lim ( )x
f x→
����������
������������� ������������������ �*���*������8����� �����#������� �&�%�
������ 2�1
4����������������>��������8�����;�"���������� � ���
1lim ( ) 4x
f x→
= �
(��������
2 1( )
1x
f xx−
=−
�
�� ?� ����
1lim ( )
xf x
+→�����
1lim ( )
xf x
−→�
�� ������
1lim ( )x
f x→
���-
)� A��� ������������ �*���8�
����� � >��*
4��������
2 1 , untuk 2( )
5 , untuk 2x x
f xx
− ≠=
=⎧⎨⎩
���5�������� 2lim ( )x
f x→ �
�����������
(�����������8�����;�$�������������� 2x ≠ �����'� ����)�������������������������������8��'�
�������������!��/����
2lim ( ) 3x
f x→
=
�
&
$
"
!
�
�
����"������!��������������������������������������!�����" '
&�+�8�P�
Tugas Mandiri
�������� ��� ����� �/#���� 235
,� ������� ����� ����� �*��� ����������� �&�&�
������ 2�2
(� �� )#��#� &����� ���� ����� ����� ���� ��� �>��� ���������������� ��� ���� )� �
���������������������*������������������������������#����� �������� �����������
�����������*�������,������������������������������ ����*����������������������������
��*���# ����������������� ������������ ��������������)#��#�&�������>�������� 2x ≠
����� 2 0x − ≠ ��*������2( ) ( 2) ( 4)f x x x= − − ���������������� �������������
22 2 1
( )4 ( 2)( 2) 2
x xf x
x x x x− −
= = =− − + +
3����������������������'��������������������� ������������������ ���� ��������
������8��'������������K"��7����� ��������
22 2 2
2 2 1 1lim lim lim
4 ( 2)( 2) 2 4x x x
x xx x x x→ → →
− −= = =
− − + +
�
(��������������������#�#������������������������������������������� �����
�������
2
2 2
3 3lim
2x
x ax ax x→−
+ + ++ −
�����/��������������������������������������� ���3������������������������ ��
�
&
$
"
!
�
�
����"������!��������������������������������������!�����" '
&�+�8�P�
��
Tugas Kelompok
�� ��� �������������������������236
�� /������������������������������ �������� ��������������������� �����
2lim ( ) 7x
f x→−
=
4����������� � �������������� ������ ��� ( 2) 7f − = ��/��������
�� /�������������� ����������������������������
1lim ( ) 5x
f x−→
= �����
1lim ( ) 4x
f x+→
= −
(��������������������������
1lim ( )x
f x→
����-�/��������
!� 2�����*������ ����� �*��� ������ ������ ����������������� ��� �������� �����
����������/������������������������������-
��
1lim ( )x
f x→
��
3lim ( )x
f x→
�� (3)f
��
3lim ( )x
f x−→
)�
3lim ( )x
f x+→
������ 2�3
"� A��� ������������ �*��� *������ 8� ��� ����������������������������������
������%��������� lim ( )x c
f x→
�����
2 5 , untuk 1( )
6 , untuk 1 x x
f xx x+ <
=≥
⎧⎨⎩
$� �(���������'��'������/����������������������������� �������� ������� ������/���
�����������������-
��
2lim 3 2x
x→−
+ )�
2
2lim
2x x→ +
��2
2lim ( 2 1)x
x x→
+ − ��
2
1
1lim
2 2x
xx→−
−+
"
�
������������������������������������"
&
'
Latihan 7.1
�������� ��� ����� �/#���� 237
%� 5����������������������������� �������� ���������
��
2lim ( )x
f x→
����������
3 2 , untuk 2( )
5 , untuk 2x x
f xx k x+ ≤
=+ >
⎧⎨⎩
��
1lim ( )x
f x→−
���������� 2
3 , untuk 1( )
, untuk 1kx x
f xx k x
− ≤ −=
+ > −⎧⎨⎩
&� ��# �������������� �������������$����#�����������"�����A �*�������������
��� ��� ��8�� ��#��������������� ����� ��������� �����5�������
12lim ( )
xf t
−→�����
��
�� � �
'
8 +→
�������������� ���������������������� ������
������ 2�4
'� (������# �� �����J������������� ������ ������ �� ������������)�������>������
02 21
mm
v c=
−
������� 0m � ������������� ��������������� %� ��������)������� )�� ������
������ ������������� v c−→ -
>�! )������������
,������������������ ���������������������������# ������ �*���������������
������ ���������� �������� �� ������������� ������ �������(�����#��� �� ������ �� �����
�� �����*��������������������������#������� ���������������������������������
�������������*�����*���������� ������ ������������)���������������������������
�����������*�������5�# �����# ���������� ������������������������������ ���������� �
�������������*������*# ���� ����������� ��������������������
8���
!��
�$�
�������������"��������������'�������������������������������%
�� ��� �������������������������238
Teorema 7.2 (Teorema Limit)
1. lim x c
k k→
= , k adalah suatu konstanta
2. lim x c
x c→
=
3. lim n n
x cx c
→= , n bilangan asli
4. Jika k adalah suatu konstanta, dan
lim ( )x c
f x→
dan lim ( )x c
g x→
maka :
a. lim ( )( ) lim ( )x c x c
kf x k f x→ →
=
b. lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f g x f x g x→ → →
+ = +
c. lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
fg x f x g x→ → →
= ⋅
d.lim ( )
lim ( )lim ( )x c
x cx c
f xfx
g g x→
→→
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, asalkan lim ( ) 0x c
g x→
≠
e. lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
→ →= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , untuk n bilangan asli
f. lim ( ) lim ( )n nx c x c
f x f x→ →
= , n bilangan asli, dan lim ( ) 0x c
f x→
>
����� � >�!�
E������������� ����������� ���������������������
��2
3lim ( 8 6)x
x x→
+ − )�
3 2
2
2 1lim
5 3x
x xx→
+ −−
��3 2
2lim ( 3)( 5 )x
x x x→−
+ −
�����������
���2 2
3 3 3 3lim ( 8 6) lim lim8 lim 6x x x x
x x x x→ → → →
+ − = + − �5�# ���&����������"��
������
2
3 3 3lim 8lim lim 6x x x
x x→ → →
= + − �5�# ���&����������"��
������23 8 3 6= + ⋅ − �5�# ���&����������������!�
������ 27=
�������� ��� ����� �/#���� 239
��3 2 3 2
2 2 2lim ( 3)( 5 ) lim ( 3) lim ( 5 )x x x
x x x x x x→− →− →−
+ − = + ⋅ − �5�# ���&����������")�
( ) ( )3 2
2 2 2 2lim lim 3 lim 5limx x x x
x x x→− →− →− →−
= + −⋅ ��5�# ���&���������
����"������"��
( ) ( )3 2( 2) 3 ( 2) 5( 2)= − + − − −⋅ �5�# ���&����������������!�
;��8$���"��;�8&�
)�
3 23 22
22
lim 2 1)2 1 15lim 15
5 3 lim(5 3 ) 1
(x
xx
x xx xx x
→
→→
+ −+ −= = = −
− − −�5�# ���&����������"��
�
(��������������������#�#��������������������#����#����� ���������
�� 0� �����)#��#���������*������8��������������� lim ( )x c
f x→
������ lim ( )x c
g x→
������
������������ lim [ ( ) ( )]x c
f x g x→
+ �����
�� 0� �����)#��#���������*������8���������������������������������������������
(����� ������ ������� �� ������������������� �
( ) 0lim
( ) 0x c
f xg x→
= �� �������� ��*��
�����"��������������������� ��������)� �������������� ����������������������������
�#�� ������������ �����9����#���� ���� �� ������������ �������� '�����&������ ���� ������
?� ����������������������������� �������������������� ����������������� ���#������
�� ����� ������� 0� ����� ���� ���� ���� )#��#� ���� �� ������� ������� ��������
���������������� �������������������
����� � >�!�!
5���������
2
3
9lim
3x
xx→
−−
�
�����������
3� ����
3lim ( 3) 0x
x→
− = ����������� ��������������� ������ ��*��� ����� "���(�����
�*���# �������������������� #��
2 9 ( 3)( 3)3 3
x x xx x− − +
=− −
Tugas Kelompok
�� ��� �������������������������240
/���� 3x ≠ �� 3 0x − ≠ ����������������������� ������������������������� 3x − �
2 9 ( 3)( 3)3
3 3x x x
xx x− − +
= = +− −
3� ������������������������������ ����� �������������'���������� �!�������
�����������������!��������������������������� �#�������/����
2
3 3
9lim lim( 3) 6
3x x
xx
x→ →
−= + =
−�
����� � >�!�$
4�������2( ) 3 1f x x x= + − �����������
0
( ) ( )lim h
f x h f xh→
+ −�
�����������
3� ���� 0h ≠ ������������� #��
2 2( ) ( ) [( ) 3( ) 1] [ 3 1]f x h f x x h x h x xh h
+ − + + + − − + −=
22 3xh h hh
+ +=
2 3x h= + +/����
0 0
( ) ( )lim lim (2 3 ) 2 3h h
f x h f xx h x
h→ →
+ −= + + = +
�
�� (����������>�
lim ( ) 2x c
f x→
= − lim ( ) 0x c
g x→
= lim ( ) 16x c
h x→
=�
5��������������� �����������������/������������������������������-
�� lim [ ( ) ( )]x c
f x h x→
+ ��
( )lim
( )x c
f xh x→
��3lim [ ( )]
x cf x
→��
( )lim
( )x c
f xg x→
)�4lim ( )
x ch x
→*�
3 ( )lim
( ) 2 ( )x c
f xh x f x→ −
Latihan 7.2
�������� ��� ����� �/#���� 241
�� 5�������������������� �������� ��������������������������# ��������*������
��
2
3lim (2 5)x
x x→
− + ��
24 2
41
6lim
2 3x
x xx x→
+ −+ +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
3 2
2lim ( 2)( 8 )x
x x x→
+ − ��4
2lim 3 6t
t t→−
+ +
)� 21
2 1lim
3 4x
xx x→−
+− +
*�2
4lim 16x
x−→
−
!� �� ���� ������������������ �������� ����-
2 3 44
1x x
xx+ −
= +−
�� (������*������������������������������������ ���������
2
1 1
3 4lim lim ( 4)
1x x
x xx
x→ →
+ −= +
−���� �
"� E���������������������� ���������������
��
2
5
25lim
5t
tt→−
−+
)�
2
23
5 6lim
12x
x xx x→−
+ +− −
��
2
3/ 2
4 9lim
2 3x
xx→−
−+
��
2
22
2 3 2lim
16 6y
y yy y→−
− −+ −
��
9
9lim
3x
x
x→
−−
� 21
1 2lim
1 1x x x→−
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
*�
0
9 3lim x
xx→
− −��
4 2 2
20
2lim x
x x xx→
− −
��
5
5lim
4 3x
x
x→
−+ −
��
3
0
1 1lim t
tt→
+ −
$� 5��������
0
( ) ( )lim h
f x h f xh→
+ −��������������*������ �������� �����
��2( ) 3 6f x x x= − + �� ( ) 2f x x=
��3( ) 8f x x= − ��
1( ) , 2
2f x x
x= ≠ −
+
)�
1( ) , 0f x x
x= ≠
%� 5��������0
(3 ) (3)lim h
f h fh→
+ −��������������*������8��������#����## �$�
�� ��� �������������������������242
>�$ ��������&� ��� �����2����
4��������&����������������� ��� ������ ����������������� ��������'����������
&�������*�������� ��'�������������������������&�;�8��'���/����'��� ������ �� x c= ������
x c h= + �������� ������'������
( )x c h c hΔ = + − =� xΔ ����)��H������'I�������� �������������� �������
( ) ( )y f c h f cΔ = + −E����������������
( ) ( )y f c h f cx hΔ + −
=Δ
���������������'��������&� �������� �����(��������������� J���[ , ]c c h+ ����������*�� ���
����������� ��������������� ��)���������� �&����
������2��5��0�� ����A#�"�#��6��
3������������������ ������ � ������������� J��� �������������)��� [ , ]c c h+ ���������
6�������������9����������� ������ � ����������������'��������&� ��� � ��������� ����
(������ x c= �� ��������*�� ��������������� �������� ������������������� J�� ( )y f x=��� ( , ( ))P c f c �
���������������������� ������� ������������
0 0
( ) ( )lim lim x h
y f c h f cx hΔ → →
Δ + −= =
����������������&���
�����������������������*�� ���*�������� ���������������������������� ���������
�� �������� ��������� � ������ ���� ������������ ����� �>��� ����� ���
������ �������������� )#��#��� �����
����� � >�$�
���� ������ ������� ��������� � ������ ���� �������� ����� ����������� �����
�������������������)� ���� ������������������ ������ �������� ������������
�#�#��������� #��������������>���������������2��������������� ������ ���������
����� ������������������)� ����� ������������ ����������� ����������E�������
���������� ������������������*�����
2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + +
��������:����������������oC ������$��������� ��������������>����
�������������������������%����������������%�:�6
'
&
�F%� 8F%@@
)F%�9�6� 8F%�9
6@@
Δ '
Δ &
�������� ��� ����� �/#���� 243
�� 0� ������������� ������������ ������� ���������$-������������ �-
�� /������ �� ������ �����������������>������������������ �������� ���� ����������
������� ������ �� ��)��-
�����������
�� 4��� ��� �����&��������� �������� ������������ ������� ���������$������
0 0
( ) ( )lim lim h h
T T w h T ww h→ →
Δ + −=
Δ3���������������
2 2( ) ( ) [0,1( ) 2,155( ) 20] [0,1 55 20]2,1T w h T w w h w h w wh h
+ − + + + + − +=
+
���
20, 2 2,155 0,1wh h hh
+ +=
��� 0, 2 2,155 0,1w h= + +(��������������
0 0 0
( ) ( )lim lim lim (0, 2 2,155 0,1 ) 0, 2 2,155h h h
T T w h T ww h w
w h→ → →
Δ + −= = + + = +
Δ/��������� �������� ������������ ������� ���������$������� 0, 2 2,155w + �
0��� ����������� ����������o wattC �
�� (� �� ���� �� ������ ������ � �����>�����(� �� *������ ����� �� ����������� ����
�� �������� ���� ��� ������������$�;������������ ��)��������$�;����/����
������� �������� ���� �;������������:�����$;������$$o wattC �
������� �������� ��)���;���������:�����$;����$$�o wattC �
�
�� ������ �#��� ����������� ������� *���� ,������������� � ��>�� � � �� ������
������� ���������������# ���� ����������*������� �����#���*�����
2 3( ) 120 2p t t t= − �������� 0 40t≤ ≤0� ���������������� � ��*������������� �;����� �;���������� �;�"�-
�� A��#�������� ������������������ �������4���5��� ��� � � ������� �����
����������:��������
20,1(400 40 ), 0 12T t t t= − + ≤ ≤�� 5�������� � ����������� �������� ��:��� ����� �������� �����$���������
���%������
�� 5��������������� �������������:��� ����� ���������$������
!� �������� �������������� #�� ����������"�,�� �� �� ������,�����������#�#
��������� ������������������ ������������"� ����� ������������
2( ) 50.000 18.000 600p t t t= + +5�������� ������� �������������������#�# �������"�,�� �� �����&�
Latihan 7.3
�� ��� �������������������������244
>�� =����������� �����2����
,�����>������������������*������8�����*���������#��
2 1( )
1x
f xx−
=−
3������ ���������>��8� ��� ��*�����������������'���)��������'�;������������ �*��� �
�� �� ���� �������������������� ���&�+�'�9�����)����������������������������������������
&�����A �*���*������������ �������������������������������� ����� ����>��*�������8�����
������������������� ��������������������3�����#�������������� ������� ����8���������������
������2������8���2( 1) ( 1)x xy − −=
/���� *������ 8���� �������� ������ ��������� ����������� 8� ���� ;� !������� �*��� �����
�� ��������� ������'�;�������� *������ 8� � �� ������ ������ �����#��������� ���5������� ���������
����*���������8�����;���������������� ������������ �*��� ������ ������������*���������
���� *������ 8������������������� ��� �����������'��E��� ���� �����#��J������*�����
�� �����
������ �� >�$
+������8������������#���������������%��������������������� � ����� �����
��� 8��%�����
��� lim ( )x c
f x→
����
�!� lim ( ) ( )x c
f x f c→
=/��������������������� ���������� � ������������������������%������*������8
����������������������������� �����������%��+������ �����#���������������������
�� ������ ������� ���������� ���� ����������
����� � >���
5�����������>��*������3( ) 4 7f x x x= + − �� x∈� ���#���������'�;���
°2
0 x2
y
1 3
1
3
2 1
1
xy
x
−=
−
�������� ��� ����� �/#���� 245
�����������
3�������������������������� � ������#��������
���3(1) (1) 4(1) 7 2f += − = − �!� �
1lim ( ) 2 (1)x
f x f→
= − =
���
1 1
3lim ( ) lim ( 4 7) 2x x
f x x x→ →
= + − = −
3������� � ������#�����������������/������8���#����������'�;���
�
����� � >���!
5�����������>��*������ 2
1( )
6f x
x x=
− −������#���������'�;�!�����'�;�8���
�����������
/����������������������������'�;�!�����'�;�8����������*������8������8��!������8��8��������� �
����������
/������ � ������#�������� ������ ������������ �������(���������������*������8�����
�#���������'�;�!�����'�;�8��
�
����� � >���$
5����������� ������� �� ������ ��������������� *�������� ������#������
�� 2
1( )
4 3x
f xx x
+=
− +�� ( ) 3g x x= +
�����������
�� +������8��#������������������������� ����'����)�����������'� ���������
2 4 3 0x x− + = �� ,� �����
2 4 3 0x x− + = �⇔ � ( 1)( 3) 0x x− − =����⇔ �'�;��������'�;�!
/�������� ���������������8���#������������ { }| 1 atau 3fD x x x= ∈ ≠ ≠� �
�� +���������#��������� ���������������� ����'� �������� 3 0x + ≥ � ������� ��*��� ��� ��
3� ���� 3 0x + ≥ ��������������� 3x ≥ − ��������� ������� ������ �������
�#�������������� { }| 3gD x x= ∈ ≥ −� �
�
����� � >����
4�������3 7 , untuk 4
( )1 , untuk 4
x xf x
kx x+ ≤
=− >
⎧⎨⎩
��5������������������������8���#���������'�;�"�
�����������
� � ������� �*������8���#���������'�;�"�������
4lim ( ) (4)x
f x f→
= ��3������ ���������>�
8��"��;�!�Q�"�:�&�;��<
������������ 4x ≤ �
44lim ( ) lim (3 7) 19
xxf x x
−− →→= + =
�� ��� �������������������������246
2����� 4x > �
44lim ( ) lim ( 1) 4 1
xxf x kx k
++ →→= − = −
��� �
4lim ( )x
f x→
������ �����
4 4lim ( ) lim ( )
x xf x f x
− +→ →= �� ����
"��8���;��<��⇔ ���;�$�
/�������� �*������8���#���������'�;�"�� �������;�$�
�
�� 5�������������������� �������� ������� *������ �� ����� ���� �#��������� �����������
�� ������
��
2 6( )
3x x
f xx+ −
=+
�� ( )2 3
xk x
x=
−
�� 2
3( )
6x
g xx x
+=
+ −��
2
2
4( )
3 2
xp x
x x
−=
− +
)�
5 , untuk 2
( ) 22 , untuk 2
xh x x
x
≠ −= +
= −
⎧⎪⎨⎪⎩
�� 5����������� ������� ������ ���������������*�������� ������#������
�� �8��'��;�'��'�:���
�)� 2
2( )
2 8x
h xx x
−=
+ −
��
1( )
2 7x
g xx−
=+
��
2( 2) , untuk 0( ) 2 2 , untuk 0
x xk x
x x
+ ≤=
+ >
⎧⎪⎨⎪⎩
!� �� ������*�������#������� �������*�������#�����-
�� ������*�������������� �������*������ �����#�����-
)� ������*���������� ���� �������*�������#�����-
"� 5���������#��������%���������������*������ �������� ������#��������������� ���
���� �����
�� 2
1 , untuk 2( )
, untuk 2kx x
f xkx x
− <=
≥⎧⎨⎩
� �������'�;��
��
, untuk 1( ) , untuk 1 4
2 , untuk 4
x xg x cx k x
x x
≤= + < <
− ≥
⎧⎪⎨⎪⎩
���������'�;�������'�;�"
Latihan 7.4
�������� ��� ����� �/#���� 247
$� A� ��� �J���������� ���������)� ����#���0������������������������ ���
�� ����������� ������ ��������������������
3
2
, untuk ( )
, untuk
r RF r
r R
GMrR
GMr
<=
≥
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
�������������������������0��� ���� ��������������#�������� �J������������
*������/��#�������� ���-
>�* ������)���6������ �����2����
4���������8��*������ ��������*���������#��
2
1( )
( 2)f x
x=
−�������� �*���*�������������� �����#������� �&������3����������� ��������������*�����
8���������'�������������4��������'�������������� ��� ����������� �������������8��'�
�������� ����������5�����&�%��(� �� ������ ��������� ����� ��)� �� �������*���>��������'
������ �� ����������������������������������������'� ������������� ��� ��������
������8��'������� ������� �������(���������������������������������#����
22
1lim
( 2)x x+→= +∞
−
1 2 3 4x
2
4
6
8
y
0
������2������8���8#�����2( ) 1 ( 2)f x x= −
�� ��� �������������������������248
���������������)�&�'�>�- )�&�'� >�>
���� ���� �����'���������� �� �� �� � �� �� ��� �� ������� ��>�������� 8� �'�� ���
���� ����������5�����&�&��(� ��������������)� ���������*�������������������>��������'
������ �� ����������������������������������������'� �����������)����� ��������
������8��'������� ������� �������(���������������������������������#����
22
1lim
( 2)x x−→= +∞
−7����� ���� �����������'���������� ��������� �� �������������� �� �� ��� ������ 8� �'�
����� � ��������������������������������������
22
1lim
( 2)x x→= +∞
−.���� ��������������#��J������*�������� �����
������ �� >��
4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���3�������������
lim ( )x c
f x→
= +∞
�����������'����������%�������������������������%�������������8��'�������
������ �����
,� ���������� ���������� �������>�� +∞ � ������ ���������������� ����� �������
�������������������� lim ( )x c
f x→
= +∞ �� ��� ������������������� lim ( )x c
f x L→
= ��������
�� ��������� �����D#����� lim ( )x c
f x→
= +∞ � �� ���������������������>���� �����
������*������8�������'��� �� �����������������������%������� ������� ������� ������
(������)� �� �������������������������������� ������������*������ ���������� �
����)����������������,� �������*�������� ��������*���������#��
2
1( )
( 2)g x
x−
=−
�������/ ��/��C�
( )21
x -2�������/ ��/��C�
( )21
x -2
! � � �
��$ " ��$ "
���$ �% ��&$ �%
���� ��� ��< ���
���� ������ ��<< ������
����� ��������� ��<<< ���������
������ ����������� ��<<<< �����������
�������� ��� ����� �/#���� 249
�������� �*���*��������������������������������� �&��!�
1 2 3 4x
-2
-4
-6
-8
y
0
������2��(����8���8#�����2( ) 1 ( 2)g x x= − −
D�����*�������� �����'�������������� ���� ����������������'������)�������������������
����������������������
22
1lim
( 2)x x→
−= −∞
−
������ �� >�*
4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���3������������
lim ( )x c
f x→
= −∞
�����������'����������%�������������������������%�������������8��'������)��
������������
�������������� ������ ����)#��#��������� ��������# ����� ���������� ���
������������������������� ���������� ��������������������
Teorema 7.3/���������������������#����*�����
1.0
1lim rx x+→
= + ∞ 2.0
jika ganjil1lim
jika genaprx
rrx−→
−∞=
+∞⎧⎨⎩
����� � >�*�
5���������������� ��
��
5
1lim
5x x+→ −��
3
2 1lim
3x
xx+→
+−
)� 21
2lim
( 1)x
xx→
+−
�� ��� �������������������������250
�����������
(�����������������5�# ���&�!�
�� 4������������������ �+�'�8�$������������� 5x +→ �������������� 0t +→ �
5 0
1 1lim lim
5x tx t+ +→ →= = +∞
−�� /��������������� �+�'�8�!�����
3 3 0
2 1 2( 3) 7 2 7lim lim lim
3 3x x t
x xx x t t+ + +→ → →
+ − += = + = +∞
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
)� /��������������� �+�'�8��������
����������� 2 21 1
2 1 3lim lim
( 1) ( 1)x x
x xx x→ →
+ − +=
− −
� 2 21 0
1 3 1 3lim lim
1 ( 1)x tx x t t→ →= + = + = +∞
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠�
E�������������������� �������� ������� ���������
�� 30
2limx x→
%�
2
21lim
2 1x
xx x→ − +
�� 40
1limx x→
−&�
2
23
4lim
9x
xx+→ −
!�
2
1lim
2x x−→ −'�
3 2
23
9 20lim
20x
x x xx x−→
+ ++ −
"�32
1lim
( 2)x x−→ −<�
2
24
12lim
6 8x
x xx x−→
− −− +
$�
2
1lim
1x
xx→ −
���
2
24
12lim
6 8x
x xx x+→
− −− +
>�- ���������)���6�����
���� ���������������������������*��������������������������'������������� ��
������ �������9�������)�������� ��*����������������������� �� �*���*������
(�������� ����� ���������� ���� ������������������������������������������������
���� ��*�������������������� �����
3����������������*������ �����������4������������*���������#��
2
1( )f x
x=
Latihan 7.5
�������� ��� ����� �/#���� 251
�������� �*���*�������������� �����#������� �&��"��4��������'�����������������������
���!��"��$������������������������ ��� ����������'������ ���� �� �������D����������� *�����
�� ��������� ����������5�����&�'��(� ���������� �������������������������>�������������
*������8��'����������������������������������������'����������������� ��������
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x
1
2
3
y
������2������8���8#�����2( ) 1f x x=
���)�&�'�>�? �������)�&�'�>�D
��)� �����������������������������>��������8��'��������������������������������������'
)��������� ��2������������������������������#�������
2
1lim 0
x x→+∞=
D#����� x → +∞ ������� ��������>��������'������������ ��������������������������#����*�
����+∞ ���������������� �����7����� ����������#����� x → +∞ ���������������� ����� �
������� 10x → ��.���� �������������#��J������*�������� �����
������ �� >�-
4���������8��*������ ������ ��*��������������� �������� J��� ( , )a +∞ ��3���
��������
lim ( )x
f x L→+∞
=
�����������'��#����*� ������������� ��������������������8��'��������������
(
�
�
$
��
���
�����
�
���$
���"
����
������
��������
!� �
) (
(
= (
8�
8�
8$
8��
8���
8�����
�
���$
���"
����
������
��������
!� �
) (
(
=
�� ��� �������������������������252
���� ����������������*�������8������������������'����������������������8���8���8!��8
"�� 8$�� 8���� 8����� 8�����M����� ���� ��� ����������'� �� ���������������� ������*� ���
�� �������5�����&�<���� �����������������*������8��'���� �����
��)� �����������������������������>��������8�'��������������������������������������'
)�������)����� �����������������*��(�������������������������
2
1lim 0
x x→−∞=
������ �� >�>
4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J��� ( , )b−∞ ��3������������
lim ( )x
f x L→−∞
=
�����������'�������*� ������ �����)���������������������8��'�������������
5�# �����# ��� �������� ��������&�������&�"� �������� ������������� x c→ � ����
������������� x → +∞ ������ x → −∞ ��3�������� �����# ������������ ���������
�����������������������������
)������� >��
/���������������������#����*�����
���
1lim 0rx x→+∞
= ���
1lim 0rx x→−∞
=
����� � >�-�
5���������������� ��
��
4 7lim
3 5x
xx→+∞
−+
��
2
3 2
5 4lim
1x
xx x→+∞
++ +
�����������
2����������������5�# ���&�"���������������������������� �������������������
�� ������� ������)������������������������� �����
��
744 7
lim lim53 5 3
x x
x xx
x→+∞ →+∞
−−=
+ +
4 0 43 0 3−
= =−
)�
2
3 2
5 4lim
1x
xx x→+∞
++ +
;�
2
3 3
3 2
3 3 3
5 4
lim1x
xx x
x xx x x
→+∞
+
+ +;�
3
3
5 4
lim1 1
1x
x x
x x→+∞
+
+ +
;�
0 06 0 0
++ + �;�
06
�;��
�
�������� ��� ����� �/#���� 253
����� � >�-�!
E������������� �������� �����
��2
5lim
2 3x
x
x→−∞
+
−�� ( )2 2lim 2
xx x x x
→+∞+ − −
�����������
�� ,������� �� ��������� ��'� �������� ������)��������>�� ��������� ��3� ���� ���
���������������� ����������������������2x x= ��3� ���� x → −∞ ������ 0x <
���� x x= − ��/����
2
5lim
2 3x
x
x→−∞
+
− ;�
2
5
lim3
2x
xx x
x
→−∞
+
−�;�
2
5
lim3
2x
xx x
x
→−∞
+− −
−
;�
2
51
lim3
2x
x
x
→−∞
− −
−
;�
1 02 0− −− �;�
12−
�� 3���� ���#����������������� �����
( )2 2lim 2x
x x x x→+∞
+ − −
;� ( )2 2
2 2
2 2
2lim 2
2x
x x x xx x x x
x x x x→+∞
+ + −+ − − ⋅
+ + −
;�
2 2
2 2
2lim
2x
x x x x
x x x x→+∞
+ − +
+ + −
;�
3lim
2 11 1
x
x
x xx x
→+∞+ + −
;�
3lim
2 11 1
x
x x
→+∞+ + − ;�
31 0 1 0+ + − �;�
32
�
�� ��� �������������������������254
5�������������������� �������� �����
��
3 1lim
4 9x
xx→+∞
++
<�2lim 1
xx x
→+∞+ −
��
2
2
4 8lim
2 3x
x xx→+∞
+−
���2lim )(
xx x x
→+∞+ −
!� 2
8 1lim
2 3x
xx x→+∞
+− +
���2lim 4 (2 3))(
xx x x
→+∞+ − +
"�
24 3 3lim
1y
y yy→+∞
− ++
���3 33 3lim 1)(
xx x x
→−∞+ − +
$� 2
3lim 5
xx
x→−∞+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�!�
2 1 3lim
2 2x
x
x→+∞
+ −
− −
%� 2
5lim 4
yy
y→−∞−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�"�
12 2lim
3 1
x
xx
+
→ −∞
++
&�
2 9lim
3x
x
x→+∞
++
�$� 2
1 2 3 ...lim
x
xx→+∞
+ + + +
'�
4
2
1lim
2 3t
tt→−∞
++
>�> ������ 5��� ��)�����������
2������������������#��������*������� ��#�#�� ��������������������������������
��������� ������� �
0
sinlim
x
xx→
�������
0
tanlim
x
xx→
7����� ����������� ���������������� ������������������� ����������������������2����
������������>��������������������������������������������# ��� ����������
�� ��������������������� �����5�# ���������4����������# ������������ ��������� ����
������������
Latihan 7.6
�������� ��� ����� �/#���� 255
)�������>�-� �)������������
4��������8�������6�*������ ������ ��*��������������� J����� ������� ��������
%���)���������������%������ ����������� ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ �������������� x I∈ �
x c≠ ��/���� lim ( ) x c
f x→
;� lim ( ) x c
h x→
;�������� lim ( ) x c
g x L→
= �
(������5�# �������������������������������������������� ���������
)������� >�>
0
sinlim 1
x
xx→
= ��������������
0
tanlim 1→
=x
xx
�� �
4�������������� ������������ ���� ������������� ��/������ ���������� ��� ���������
������������'� ����������AB ������������������� ��������
�AB �;�'
(� ������ ������>����������� ��
����� �,�< ������ ���< ������ �-
x
A
B
D
r
O C
������ 2��*
������� ��
�1 1 1. . . .
2 2 2BC OC AB r OA AD< < � . . .BC OC AB r OA AD⇔ < <
�1 1 1. . . . .
2 2 2BC OC AB r OA AD< < � . . .BC OC AB r OA AD⇔ < <
�
2 2 2
. . .
BC OC AB r OA ADr r r
⇔ < <
�� ��� �������������������������256
�1 1 1. . . . .
2 2 2BC OC AB r OA AD< < 2 2
. . .
BC OC rx r r ADr r r r
⇔ < <
BC OC AD
xr r r
⇔ < <
sin .cos tan x x x x⇔ < < ����������������X�
1 cos
sin cos x
xx x
⇔ < <
3� ����
0lim cos 1
xx
→= �����������
0
1lim 1
cos x x→= �������������5�# �������
0lim 1
sin x
xx→= ����������
0
sin lim 1
x
xx→
=
��������� ���� �� �X����������� ��
����'���)#��'�< �'�< �����'�2 cos 1
tan x
xx
⇔ < <
3� ����
0lim cos 1
xx
→= �������������5�# ����������������� ��
0
tanlim 1
x
xx→
= ��������
0
tan lim 1
x
xx→
=
�
(������)� �� ������������������� ������������� �������������������� ��
��# ������������������������� �����
0
sin lim 1
x
axax→
= ������� 0
tan lim 1
x
axax→
=
����� � >�>�
5���������������� ��
��
0
sin 2lim
x
xx→
��
0
sin 2lim
tan 5x
xx→
�����������
��
0
sin 2lim
x
xx→
;�
0
sin 2 2lim .
2x
x xx x→
�;�
0
sin 2lim . 2
2x
xx→
;���Q���;��
��
0
sin 2lim
tan 5x
xx→
;�
0
sin 2 5 2lim . .
2 tan 5 5x
x x xx x x→
;� 0
sin 2 3 2lim . .
2 tan 5 5x
x xx x→
;� 0 0
2 sin 2 5 lim lim
5 2 tan 5x x
x xx x→ →
⋅
;�
2 21 1
5 5⋅ ⋅ =
�
�������� ��� ����� �/#���� 257
����� � >�>�!
5���������������� ��
��
1lim sin
xx
x→ ∞)�
12
12
1 sin lim
x
xxπ π→
−−
�� 3 0
tan sin lim
2x
x xx→
−
�����������
�� 4�������������������
1y
x= ��3� ���� x →∞ ������� 0y → �
/����
0 0
1 1 sin lim sin lim sin lim 1
x y y
yx y
x y y→ ∞ → →= = =
��3 3 0 0
tan sin sin sin coslim lim
2 2 cosx x
x x x x xx x x→ →
− −=
;�
122
3 3 0 0
sin 2sin sin (1 cos )lim lim
2 cos 2 cosx x
x xx xx x x x→ →
⋅−=
;�
122
1 2 02
sin sin 1 1lim
( ) cos 4x
xxx x x→
⋅ ⋅ ⋅
�;�
2 1 11 1 1
4 4⋅ ⋅ ⋅ =
)� 4��������12y x π= − ����������������
12x π→ �� ������� 0y → �
�/����
12
12
1 sinlim
xx xπ π→
−− ;�
12
0
1 sin( )lim
y
y
y
π→
− +
;� 0
1 cos lim
y
yy→
−
;
122
0
2sinlim
y
y
y→
;�
122
1 2 02
sin 0lim 2 2 1 0
( ) 4 4y
y yy→
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
�
�� ��� �������������������������258
���� ������������������������������������������ �������)�������������� ���
��
0
2lim
sin 3x
xx→
���
0
sin( ) sinlim
h
x h xh→
+ −���
4
sin coslim
1 sin 2x
x xxπ→
−−
��
0
sin 5lim
sin 7x
xx→
��� 0
sinlim
1 cosx
x xx→ −
��� 2 0
tan 2 2 tanlim
x
x xx→
−
!�
2
2 0
sinlim
3x
xx→
�!�
2
1 cos 2lim
cosx
xxπ→
+�!� �
2
1 cos2lim cosπ→
+x
xx
"�
3
2 0
sinlim
x
xx→
�"�
0
tanlim
1 cos 3x
x xx→ −
�"�
2
0
3lim
sin x
x xx→
+
$� 0lim
cosx
xx→
�$�2 2lim 1 cos
xx x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠→ ∞− �$�
0
sin lim
1 1x
x
x→ − −
%�
0
1 coslim
1 cos 2x
xx→
−−
�%�
0
sin sin 3lim
1 cos 4x
x xx→ −
&� 2 0
1 coslim
a
aa→
−�&�
4lim sin
xx
x→ ∞
'�
0
tanlim
sin 2y
yy→
�'�
2
0
sin tanlim
1 cosx
x x xx→
+−
<�
0
sinlim
tanx
pxqx→
�<� 5lim ( 5) cot
xx xπ
→−
���
2 2
1 2 02
sin tanlim
x
x xx→
+���
4
sin coslim
1 sin 2x
x xxπ→
−−
�%� 5��������
0
( ) ( )lim
h
f x h f xh→
+ −��������������*������ �������� �����
�� �8��'��;�����' )� �8��'��;�����!'
�� 8��'��;�)#��' �� 8��'��;�)#��!'
��&� �5��������
( ) ( )4 4
0lim
h
f h f
h
π π
→
+ −��� ��*������*������������#����## ��%�
Latihan 7.7
�������� ��� ����� �/#���� 259
�� 9����8��'���������'����������%���������������������������������lim ( )x c
f x L→
=�
����������������������������8��'������ ���� ���������������������������� ���
����������������)� ����������������'� �����������������%������������������
�������%�
�� 9���� �� �� 8� �'�� ������� '���������� %� ���� ���������� ����� ��������� ������
lim ( )x c
f x L−→
= � ����������������������8��'������ ������������������� �������
)� ����������������'�)��������������%������'��������)����� ������%�
!� /��������� ������� � ������'� � ��� ��������� ��� ������ %���������� #��� ����
�������� ��8��'����������#��������������� lim ( )x c
f x L+→
= �
"� lim ( )x c
f x L→
= ����������� ������� lim ( )x c
f x L−→
= ����� lim ( )x c
f x L+→
= �
$� 7�� ���������� ��� ������� �������� ����� *������
%� 9���� �� ������ ������� �� �� *������ � 8� ��� ������ %� ����*��������� �������
0
( ) ( )lim h
f c h f ch→
+ −�
&� +������8������������#���������������%��������������������� � ��������8��%�����=�����
lim ( )x c
f x→
=����=������!�� lim ( ) ( )x c
f x f c→
= �
'� 4���������8� �*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���/����������'����������%�������������������������%�
�����������8��'������� ������������������������� lim ( )x c
f x→
= +∞ �
<� 4���������8� �*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���/����������'����������%�������������������������%�
�����������8��'������)��������������� lim ( )x c
f x→
= −∞ �
��� 4���������8��*������ ������ ��*��������������� �������� J��� ( , )a +∞ ��/����������'
�#����*� ���� ����� ���� � �������� ���� ������ � 8� �'�� � ��������� ��
���������� lim ( )x
f x L→+∞
= �
��� 4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J��� ( , )b−∞ ��/����������'�������*
������ �����)���������������������8��'������������������������� lim ( )x
f x L→−∞
= �
���
0
sinlim 1
x
xx→
= ��������������
0
tanlim 1
x
xx→
=
Rangkuman
�� ��� �������������������������260
���� �������� ����0 2
>?D�E�?*>
���������9#����?��) ���� ����,� ������������������L)#���,#� ��)��V����3� ���
��������� ������ ������������������������������������� �����������������
�������� � � ��� ��������������� ����� L)#���,#� ��)��V���� �# �#����� ���
?#������ ��� + ��)��� ������������������ �������� �� )�� ����� ���
���������������� ����� ���, #�����J����� �� ������������ ���������)���
,� ������������������������� ��������� ������������� ����������
�������������� ����� ��?��) �
?��) � ��# �����������3��#���
������������������6���� ���������
(��������#���� �� ����� �����
������� ��� ����� ,� ��)��� ���
�� ������ ����� ����� �'!��� ��
������������ �� �� ��� .������ �����
���� ���� ����� ���� ������ � ��
���� ���� ���������������������,� ��
������������������������������
������� �J#������'"'�
?��) ����� ��� �� �����
������.����)�������������������� ���
����������������� ������ �������
������G������3������� ������
�� ����� ������� � ��� 4���
��#��# �� �� ��� �#����� ������ �������
����������������� ��������
Y�������� ��������� ��)�������
�������� ������������������������� �
���� � �� ��������)��������� �������
������?��) ����� ����� ���� �� �
�A������������ ����0#�F��#������������ ����������� ������3������?��) � ����
�� ����������� ������� �������� �����������������*������ ������������ ���#����
�����
�#���D�����#�#��!�����7�� ������� ����433�6�����(
������2��1��#�#� ����7#���,�#%6&
�#�����$$$��%��6��#��!#�6�
Math Info
�������� ��� ����� �/#���� 261
�� ���� ��������������������������������������������������������
���������������� �!���� ������� ������������
�� D�����2 2
1 4lim
2 4x x x→−
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������M�
�� � 0� �K" ?� �K� (� � L� "
��
2
2 2
5 6lim ...
4x
x xx→
+ +=
−�
��� �K� 0� �K" ?� � (� 8�K" L� 8�K�
!�
2 1
1lim ...
3 2x
x
x→
−=
+ −�
�� 8% 0� 8" ?� � (� " L� %
"�
1
( 3)( 3)lim ...
3x
x x
x→
− +=
−�
�� � 0� ! ?� % (� �� L� �$
$� 2 2
1 cos( 2)lim ...
4 4x
xx x→−
− +=
+ +�
�� � 0� �K" ?� �K� (� � L� "
%� /����
4
3lim
4 4x
ax b xx→
+ −=
−���������9���;�M�
��� ! 0� � ?� � (� 8� L� 8�
&�
2
2 0
tan 2 sin 8lim ...
sin 4x
x xx x→
⋅= �
��� !� 0� �" ?� �% (� ' L� "
'�
2
2 0
(cos 6 1)lim ...
sin 3 tan 2x
x xx x→
−=
⋅�
��� ! 0� � ?� 8! (� 8� L� 8�
Uji Kompetensi
�� ��� �������������������������262
<� /����2( ) 1 2f x x= ������
0
( ) ( )lim ...t
f x t f xt→
+ −= �
���� 1 4x− 0��31 x− ?��
31 4x (��1 4x L��31 x
���
( ) ( ) 1
1 1sin 1 cos 1lim ...
1x
x xx→
− −=
−�
��� � 0� �K� ?� � (� 8�K� L� 8�
��� ( )lim ( )( ) ...x
x p x q x→∞
+ + − = ��
�� � 0� "< ?� "�?�< (�12 ( )p q+ L� �"�?�<
��� ( )2lim (4 5) 4 3 ...x
x x x→∞
+ − − = ��
�� ∞ 0� ' ?� $K" (� �K� L� �
�!� ( )2 2lim sec 1 ...x
x x→∞− = ��
�� � 0� � ?� � (� 8� L� 8�
�"�
3 4lim (1 tan ) tan 2 ...
xx x
π→+ = �
�� ∞ 0� � ?� � (� � L� 8�
�$� 0
31 sin 2lim sin 2 cos 2 ...
cos 2t
tt t
t t→+ =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
��� � 0� �K� ?� � (� � L� ∞
B. ���� �������������"���������������������#�� ���� ���������
��� ������� �����
�%� E��������
2
6 2lim
3 1x
x
x→
− −− −
�
�&� E��������
3
0
1 1lim x
cxx→
+ −���������%��#�������
�'� ?� ����������������������������
0
2lim 1x
ax bx→
+ −= �
�������� ��� ����� �/#���� 263
�<� /���� lim [ ( ) ( )] 2x c
f x g x→
+ = ����� lim [ ( ) ( )] 1x c
f x g x→
− = ��)� ���� lim ( ) ( )x c
f x g x→
�
��� 4��������8��*������ ��������*���������#��
1 , untuk bilangan bulat( )
0 , untuk bukan bilangan bulatx
f xx
= ⎧⎨⎩
�� A��� ������������ �*���8�
�� 2�����������%� ����������������lim ( )x c
f x→ ����-
)� 2�������������� ����������8���#�����-
�� ����������������� ������ ������ �� ��������������� ����� ������������ �
���� �����#����� �������� ���34 6 2s t t= + + ��������� ������ ������������
5��������������� ���������������� t c= �� �;���� �;�������� �;�!�
�� 0�� ��� #������������������� ������'�������##�������� �����������
2( ) 5000 10 0, 05C x x x= + +�� 5�������� � ���� ������� �������� ��,� �� �����'�������� ��������� #�����
�����
�� �� ��'�;�����������'�;���$
�� �� ��'�;�����������'�;����
�� 5��������������� ��������������� ��,��� �����'�������'�;�������.����������
&��2���������'7�� ����������� �����������������������0���'�
!� ������ ������� ���� � �� ������� ������� �� ���� $������ ���� � �� �� ���� �����
���#�#�������� ����>������������������������E����5# �)������� ������
��>��J#������ � ������ ��������������������������� �����������
2
( ) 50.000 160t
V t = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� 0 60t≤ ≤
5���������������� ����� ������� ���������������� �������������C��� ����� ���������
*������ ��������������� �-�2�����>����� �;������������!���"���$�������%�������
����������������� ���������� �� ���� � ������ ������������������3�����������
��� �������������� -����������������������)��-
Soal Analisis
�� ��� �������������������������264
����1���
D�� ��MMMMM 5������ ��MMMM
3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��9����+�����
3��#�#� ��MMMMM ������ ���������
3������� ��4������ ������ ��� ����������
5����� ��4������������������ � ���������� ��� ����������
A. �'�������&� ���2�������������
�� (�������
�� ��������#���� ���� �����<����� �
!� A��������
"� ����������������#����
$� 0����)������
%� ��#�>��)
�� ����������
�� 0���������#�#�� ������ ����#������"������$����>��
�� �����������#���� �������������� ����#�>��)����������������
!� ��� ������ ��� ���������� ��?�������� ��� ��J#������ � ��������� ��� �
�������� ���������������� �#���>�����$����������������������>��
�� ���'� �
�� 0����� �*����� ������� ����������� #������������/������������������
�#���� �
�� /������ ��C�������������������� �;��$��)� ������� ��������������� ��)��������
)������������������� �*���������� �;�$�������$�������$������!��
!� ,� �� �������� �������� ������������������������� ���� ������� �����
������������� �
"� A�������� �*���*��������������� �� �������� �������� �����������
������3�� ������ ������ ������������� �� � ���������� ��� ����������
��������$������
$� 5�*�� ��������������������������#����� �����
Aktivitas Proyek
��������������� ���$ ��� ��$ ���� ���$ ��!�
������+��'�����
��������� � �� �������� 265
TURUNAN����
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ��������� �� ����� ������� ���� ������������������������������
�� �����
�� ���������� �� ����� ������� ������ �
�� ���������� �� ����� ������� � ������� ��
�� �������������� ����� ���������������������� ������������������
���� � ������� ��
� ������������ ������������������������������� ��� ������
!� ������������ �������� ������������������������� "��
#� ������������� ����������������������$������������� $�������
%� �������������� ���&'(����������������������� ����� ������� ���
������
����� ����������������������266
����������������� ����"� ���������������� �� ��������������$��������)���%*+
�������,����� ���������������������������� �������� ������� ��������
��-�.��!��/�%*
0�������� ���1�������)���������������������� �������1������������������������� �� ��
������� �� ������ �)������1��������������� ������� ����� � �������2� ��������$����������
�� $�����������������������������������2� ������)�����1�������� �������������������$����
�������� ������3�4����� ������)�����������$�������1�������� �������������������1����
�����������3
5��$������ ������������� �����������1������������������ �������������6� ����
��������������)����������� ������ ��$� ����������������������� ��������1����� ������
��������� �����������$� ����������� �� ������7����� ���� ��������������1���������
������������$� ����������������1������� ����������������������������1���� ����
��������� ������� �������������������
��������������������� ������������� �� ��� ����
Pengantar
��������� � �� �������� 267
�� ��� � ��� ���
5���� ���8����#�������� ����������� ����)�� ������� ������������ ������� ( )y f x=�� �����������������!����������� �!� -�"� ��1������$� ������� ��������� �����������
��� �������� ������������������� "�� ( )y f x= ���� ( , ( ))P c f c ������
������� �������������0 0
( ) ( )lim lim x h
y f c h f cx hΔ → →
Δ + −= =
Δ9�����1��� ����� ������� ������$��� ��$� �������� ������������ ������ �������
���1��������������������������0������������������ �������1���������� ���������
�����������������������������
���� ���� ��� ���� � � �� ����
#�������������"�������������������� '( )f c �����������������������
��������������������������������� 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h→
+ −= �����������������������������������������������:%��;
�������������������<������ '( )f c �����$��=#�������">�
,������������������!�$�"�%�&������&�$�!�'�"�����> 0h → >����� ���������> x c→ >��7��
�� ����������������������������������� ��������
( ) ( )'( ) lim
x c
f x f cf c
x c→
−=
−�������������������������������������������������������:%��;
�������������������������������������������������������� �����
�� ���� ���
?� ������ ������������2( ) 3 5 2f x x x= − + �������������"�
�����������
4� ��4��������%������������1��
����������� 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h→
+ −=
2 2
0
[3( ) 5( ) 2] [3 5 2]lim
h
c h c h c ch→
+ − + + − − +=
2 2 2
0
3 6 3 5 5 2 3 5 2]lim
h
c h h c h c ch
c→
+ + − − + − + −=
2
0
6 3 5lim
h
ch h hh→
+ −=
0lim 6 3 5
hc h
→= + −
6 5c= −
,������� ������������2( ) 3 5 2f x x x= − + �������������"������� '( ) 6 5f c c= − �
�
����� ����������������������268
4����4�������� %���������������� �� ����� ������ ������� #������������� ������ "�
���������1��� ������������� �������������"��� ���8�����������������!����������
�� ����
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
�������� ����� ���� �����4������� ���� �������������������� 'f �������� ��������� ��
1���������������� � ��� ��#�
�� ���� ����
@������������#�:!;�-��!��/�%��$� ������ �����#������������������$� ��
�� ���������!�������������� '( )f x �
�� �������� ����:%��;�
$� �������� ����:%��;�
�����������
�����4� ��$�����%�����:�;������ ���� '( ) 6f x x= ��7����� ��������
'(2) 12f =�����4������ ����:%��;�
0
(2 ) (2)'(2) lim
h
f h ff
h→
+ −= �
2 2
0
[3(2 ) 8] [2 8]limh
hh→
+ + − += -� 0
lim12 3 12h
h→
+ =
$� 4������ ����:%��;�
2 2 2( ) (2) (3 8) (3 2 8) 3( 4)2 2 2
f x f x xx x x− + − ⋅ + −
= =− − −
�-��:!�/��;
,����
2
( ) (2)'(2) lim
2x
f x ff
x→
−=
−�-� 2
lim 3( 2) 12x
x→
+ =
�
5����������������� 'f � ������ �� ����� ������� #����� ������������� ������ ����
���� ���:�#�!�.��%��;���� ������������)���5� ��$����<��������������������������
'f ����� �������� ����������#������������1�����!������ '( )f x �
,����������:!(�);��� ������������ ������������#��1�����!��������� ������)�-�#�:!;�����
������� 'f ������������������������� 'y ������
dydx
��<�������������� ����������� ��������
������������)��� ,� ����� ����!�������"�#�$��$%� ��& �'� :�!�!�.��#�!;��4��
�������������������� ������������������#������
[ ( )]d
f xdx
������ [ ( )]x f xD
�� ���� ���(
,�������������
23
xy
x−
=+
�����������
dydx
�
��������� � �� �������� 269
�����������
4������������)�$�#�:!;��������
2( )
3x
f xx
−=
+�
����
2 2( ) ( ) 3 3
x h xf x h f x x h x
h h
− − −−+ − + + +=
-�
(2 )(3 ) (3 )(2 )(3 )(3 )
x h x x h xh x h x
− − + − + + −+ + +
-�
2 2(6 3 ) (6 2 )(3 )(3 )
x xh h x x xh h xh x h x
− − − − − − − + −+ + +
-�
5(3 )(3 )
hh x h x
−+ + + �-�
5(3 )(3 )x h x
−+ + +
,����
20
( ) ( ) 5 5lim lim
0 (3 )(3 ) (3 )h
dy f x h f xhdx h x h x x→
+ − − −= = =
→ + + + + �
�
�� �������)� �*� ��+�� �
4�������� ( )f x x= �
�� 6�����������)��#������������1����� ��������!�-�*�
�� A��� ������������ �����#�
�����������
�� 4������ ����:%��;�
0 0
( ) (0)'(0) lim lim
0x x
xf x ff
x x→ →
−= =
−6������������ 0x > �
0 0lim lim 1x x
x xx x+ +→ →= =
���������������� 0x < �
0 0lim lim 1x x
x xx x−→ − →
−= = −
B� ���� ����� ������ ������ ����������� ����� �� ��� ���������� �����������)�
'(0)f � ������ ����� <���� ��������� ������� #� � �������� ��� !� -� *�� �� ���
0lim ( ) 0 (0)x
f x f→
= = �
����� ����������������������270
�� A �����)�-�#�:!;�
���������*����#� �#������ y x=
�4��������������������������������������$� �� �����8������������ ������
( ) 1 2f x x x= − + + �����1����� ������B��������� ����� ���������� 'f �
������������������� �����#�
��$� ����������������������1���� ��������������"��� ������������:$� ,��;�����
����������� ������#�����������1����� ������&����A��� �%������������!�-�*��4� ��?����
%��� � ���� %���!�� ������ ����� ��������� ��)�� ������������ ������� ������������
����������� �� ����� �� �� #�� ����� ������� ����������� �� ����� ��� ������ ������ ����
���������������������������� ������ �� ������� ����������� � �� ����������� ��� ��
�� �����
����%�� ��
,�����������#�����1����� ��������"������#�������������"�
�� �
@����� 0h ≠ �
���0 0
( ) ( )lim [ ( ) ( )] limh h
f c h f cf c h f c h
h→ →
+ −+ − = ⋅
0 0
( ) ( )lim lim h h
f c h f ch
h→ →
+ −= ⋅ -� '( ) 0 0f c ⋅ =
,�����
0lim ( ) ( )h
f c h f c→
+ = �1����������������)��#�������������"��
)
�
�
�
�
8�����8�����8����8����*��������������������������������
!
=) !
Tugas Kelompok
��������� � �� �������� 271
�� �������-� �*� ��+�� �
6������������������������� ��������#�����1����� ��������!�-��������
2 , untuk 1( )
, untuk 1x x
f xax b x
<=
+ ≥⎧⎨⎩
�����������
��� �#�����1����� ��������!�-��������#��� ��������������!�-����9������#�����������
!�-�����������
1lim ( ) (1)x
f x f→
= �
B�����1��
1lim ( ) (1)x
f x f+→
=�
2
1lim x
x a b+→
⇔ = +
����������� 1 a b⇔ = + �������������������������:%��;
4�������������#������1����� ��������!�-��������� '(1 ) '(1 )f f+ −= ��4������ ����:%��;�
1 1
( ) (1) ( ) ( )'(1 ) lim lim
1 1x x
f x f ax b a bf
x x+ +
+
→ →
− + − += =
− −
�����1
( 1)lim
1x
a xa
x+→
−= =
−���:%��;
2
1 1
( ) (1) ( )'(1 ) lim lim
1 1x x
f x f x a bf
x x− −
−
→ →
− − += =
− −
�����-�
2
1
1lim 2
1x
xx−→
−=
−�����:�� ��:%��;; ��:%� �;
4� ��:%��;�����:%� ;��������� ������-����4� ����-������������������������:%��;�������� ���
��-���
�� 6�������� '( )f c ���������������������1�������� �����
��2( ) 1 3f x x x= + − $� ( )
2 3f x
xx
=−
�� ( ) 2 1f x x= +
��3( ) 3f x x x= + �� 2( )
4f x
xx
=−
��( )
23
f xx
=−
�� ��������������1��������� ������������������#�������������������"��<1�������#
����"��������������������
��
0
1 1limh
hh→
+ −$�
8
1
1lim
1x
xx→
−−
��������
( )0
sin 12limt
t
t
π
→
+ −
��
3
0
(2 ) 8limh
hh→
+ −��
3
cos 1lim
3x
xxπ π→
+−
��0
5 1lim
x
x x→
−
Latihan 8.1
����� ����������������������272
�� ?� ���� �� ������� �� ������� �������1�������� �����������1���������� ������
�������������� ������� �� �����1��
�� ( ) 5 8f x x= − $� ( )f x x x= + ��
3 4( )
3x
f xx−
=−
��3 2( ) 5f x x x x= − + ��
1( )
1x
f xx−
=+
�� ( ) 1 3 f x x= +
�� 6��������
dydx
��� ����������� ������1�������� �����
�� 2
43y x
x= + $� 2 7y x= −
��
23
yx
=−
��
11
yx
=−
����������������������������������������������
� 4�������
2 , untuk 2( )
2 , untuk 2x x
f xx x
− ≥=
− <⎧⎨⎩
�� 6��������� ��)�� '(2)f � ������ ����
A��� ����� �����1��
!� 6������������������������� ��������#�����1����� ��������!��-���������
2
, untuk 2( )
2 1 , untuk 2ax b x
f xx x
+ <=
− ≥⎧⎨⎩
��� ����%����� � ��� �����$.�&��
4���� ������� �������1�� ����� ����������� �� ���� ��������� � ����
���� �����:"����� �����;����������������������������������������������� ����������� ����
��������� �� ����� ���� ���������������� �� ��� ��8��� ���1������� �� �������
���������������������� ��������
����%�� ���
,�����������#�:!;�-� ���������� ���������������������� '( ) 0f x = �
�� �
&���������� �����������
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
������������-�0
limh
k kh→
−-�
0lim 0 0h→
=
,������� �������������������������������
��������� � �� �������� 273
����%�� ��(
,������������������������ ( ) nf x x= ������1'( ) nf x nx −= �
�� �
4������������� ������� ������2( )x h+ �������������������6�� ���2�������
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
�����-�0
( )lim
n n
h
x h xh→
+ −
�����-�
( 1)1 2 22
0
( + )lim
n nn n n n n
h
x nx h x h h x
h
−− −
→
+ + + −�
�����-�
( 1)1 2 -120
lim ( )n nn n n
hnx x h h−− −
→+ + +�
����1nnx −=
�� �����������������$�����1������ ���������1�������� �&������������1�����������*�
�
0����������������������������������������1��6�� ���%��������� ��������������
��������� ��������
�� ���� ����
6�������� '( )f x ������
�� #�:!;�-�!#
$�2
1( )f x
x= �� ( ) 2f x x=
�� #�:!;�-� !�*
�� 6
4( )f x
x= ��
3 2( )f x x=�����������
4������6�� ���%���
�� #�:!;�-�!#
��
66
4( ) 4f x x
x−= =
7 1 6'( ) 7 7f x x x−= = 6 1 7 7'( ) ( 6) 4 24 24f x x x x− − −= − ⋅ = − = −
�� �#�:!;�-� !�*
��
12( ) 2 2f x x x= =
10 1 9'( ) 10 5 50f x x x−= ⋅ =1 112 21'( ) 2 12f x x x x− −
= ⋅ = =
$�
22
1( )f x x
x−= = ��
23 2 3( )f x x x= =
�2 1 3 3'( ) ( 2) 2 2f x x x x− − −= − = − = −
2 112 23 333 32'( ) 3f x x x x
− −= = =
�
����� ����������������������274
����%�� � ��)
0������������������������ ����������������#��������1���������������������
#�:!;�-� �:!;��,�����������1����� ���������
'( ) '( )f x ku x=
�� �
4� ��4��������%���
'( )f x -�
0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
-�
0
( ) ( ) lim h
ku x h ku xh→
+ −
-�
0
( ) ( ) lim h
u x h u xk
h→
+ −
-�
0
( ) ( ) limh
u x h u xk
h→
+ −
-� '( )ku x�
��������$��������� ����������#�:!;�-�%�! �����
4 4'( ) 5 8 40f x x x= ⋅ =
����%�� ��-
0�������������� �����������������#��������1����������������������#�:!;�-��:!;�/� :!;�
,����������� �����1����� ���������
'( ) '( ) '( )f x u x v x= +
�� �
��������� '( )f x �-��0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
�������-�0
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh
u x h v x h u x v xh→
+ + + − +
-�0
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] limh
u x h u x v x h v xh→
+ − + + −
-�0
( ) ( ) limh
u x h u xh→
+ −�/�
0
( ) ( ) limh
v x h v xh→
+ −
-� '( ) '( )u x v x+�
��������� � �� �������� 275
(����� ��� ����������������� ����������������� ��������������B�����1��� ����
������������������������1������������������������ �����������8�����������1��
�� ���� �����
6�������� '( )f x �������#�:!;�-�#! �.��!
��.�%!
��/� �
�����������
����������������� ��6�� ���%� �
'( )f x �-�#� !��.����!
��.�%��!�/�*�-�� !
��.���!
��.��!!
�� ���� ����(
6�������� '(2)f �����#�:!;�-�
3
3x
/� 3
3x
�
�����������
B�������������#�:!;�-��
3
3x
�/�33x− ���������
'( )f x -�1 2 43 3 ( 3)x x−⋅ + − -�
2 49x x−− �-��
24
9x
x−
,�����2
4
9 9 55'(2) 2 4
2 16 16f = − = − = �
����%�� ��/
0�������������� �����������������#��������1���������������������
#�:!;�-��:!; :!;��,����������� �����1����� ���������
'( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= +
�� �
B� ���� �����1����� ��������!��������� ���6�� ���%���� ������������!��1����
0lim ( ) ( )h
v x h v x→
+ =
�������1��
���������� '( )f x �-��0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
�-� 0
( ) ( ) ( ) ( ) lim h
u x h v x h u x v xh→
+ + −
-� 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) limh
u x h v x h u x v x h u x v x h u x v xh→
+ + − + + + −
�������- 0
( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )h
u x h u x v x h v xv x h u x
h h→
+ − + −⋅ + + ⋅⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠-� '( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x+
�
�
�
����� ����������������������276
�� ���� ����)
6�������� '( )f x ������#�:!;�-�:�!��.��!
�;:!
�/��!
�;�
�����������
4����������#�:!;�-��:!; :!;����������:!;�-�:�!��.��!
�;����� :!;�-�!
�/��!
��
�:!;�-�:�!��.��!
�;�→ �
2'( ) 6 8u x x x= −
:!;�-�! �/��!
���������→�
4'( ) 5 6v x x x= +,����
���� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= +
-�:26 8x x− ;:!
�/��!
�;�/�:�!
��.��!
�;:
45 6x x+ ;
-�:!!#�.�%!
!�/��%!
��.���!
�;�/�:�*!
#�.��*!
!�/��!
��.���!
�;
-��!!#�.��%!
!�/�*!
��.��%!
��
�
4������������������������������������������������)�� ����� #(� �(� ����&
����1��� �� ���������
( ) ' ' ' '= + +fgh f gh fg h fgh
����%�� � ��0
0�������������� �����������������#��������1���������������������
( )( )
( )u x
f xv x
=�� ( ) 0v x ≠
�,����������� �����1����� ���������
2
'( ) ( ) ( ) '( )'( )
( )u x v x u x v x
f xv x−
=
�� �
B� ���� �����1����� ��������!��������� ���6�� ���%��� ������������!��6�����
( ) 0v x ≠ ���������
0
1 1lim
( ) ( )h v x h v x→=
+
Tugas Kelompok
��������� � �� �������� 277
4� ������������� ��������!�
�������� '( )f x -��0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
-�
0
( ) ( )( ) ( )lim
h
u x h u xv x h v x
h→
+−
+
-� 0
( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( )h
u x h v x u x v x hhv x h v x→
+ − ++
-� 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim
( ) ( )h
u x h v x u x v x u x v x u x v x hhv x h v x→
+ − + − ++
'( )f x - 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )h
u x h u x v x u x v x h v xh v x h v x v x h v x h→
+ − + −⋅ − ⋅
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
-� 2 2
( ) ( )'( ) '( )
( ) ( )v x u x
u x v xv x v x
−
-� 2
'( ) ( ) ( ) '( )( )
u x v x u x v xv x−
�
�� ���� ����-
6�������� 'y �������
2
2
2 5 6+ 4
x xy
x+ −
= �
�����������
2
2
2 5 6+ 4
x xy
x+ −
= ⇒ �2 22 5 6 ' 4 5u x x u x= + − → = +
����2 4 ' 2v x v x= + → =
� 2
' ''
u v uvy
v−
=
-�
2 2
2 2
(4 5)( 4) (2 5 6)(2 )( 4)
x x x x xx
+ + − + −+
-�
3 2 2 2
2 2
4 5 16 20 4 10 12( 4)
x x x x x xx
+ + + − ++
-�
2
2 2
5 28 20( 4)
x xx
− + ++
�
����� ����������������������278
,���� ( ) ( )( )( )f x x a x b x c= − − − ��������������)�
'( ) 1 1 1( )
f xf x x a x b x c
= + +− − −
���������1��� ��������������1��� ������
2 3( ) (5 1)f x x= +
������������������ ���� '( )f x ����������� ������6�� ���%�!�����������1����
����������������� ����������2 2 2( ) (5 1) 5 1( )f x x x= + + �� 5� ��������1�� �������
�� ����
2 2 2 2 2 2'( ) (5 1) (5 1) 5 1 [(5 1)(5 1)]( )x xf x x x x x xD D= + + + + + +⋅ ⋅
����2 2 2 2 2(5 1) (10 ) 5 1 [(5 1)(10 ) (5 1)(10 )]( )x x x x x x x= + + + + + +
���2 2 2 2(5 1) (10 ) 5 1 [2(5 1)(10 )]( )x x x x x= + + + +
���2 2 2 2(5 1) (10 ) 2[(5 1) (10 )]x x x x= + + +
,����
������������������������2 2'( ) 3(5 1) (10 )f x x x= + ���������������������������������������������������������:%�!;
4� �� ����� ������������ ���������������3( )u x x= �����
2( ) 5 1v x x= + ������ #������
����������������u v� ���������
( ) ( ( ))f x u v x=
�����2(5 1)u x= +
�����2 3(5 1)x= +
B� ����2'( ) 3u x x= ����� '( ) 10v x x= �����������������������:%�!;������������
'( ) '( ( )) '( )f x u v x v x=��$� �� ���� ����� ���� ���� � ������ ���� ���� ��������� ���� ������� 1���
����1��� �� ��������� ������� �������� ���� ��� ���� �� ���������������������������
�� ����
����%������ ������ �1� ����
,����������� �����1����� ��������!�����������1����� �������� :!;�
�������������������� u v� �����1����� ��������!�����
( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�
Tugas Mandiri
��������� � �� �������� 279
�� ���� ����/
6�������� '( )f x ��������5( ) (2 1)f x x= + �
�����������
9������#��������������������������������������������� �������� ��
5( ) (2 1)f x x= + �-� ( )( ) ( ( ))u v x u v x=�
��������:!;�-�!� ������� ( ) (2 1)v x x= + ��4��������� ��� ������
������� '( )f x �-�� ( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�
-� 4(2 1)x + �:�!;
-��*!4(2 1)x +
�
�� ?� ���� '( )f x �����������������)��2[ (2 )]
df x x
dx= �
�� 0���������������#�����1����� ������������� ( ( ))f g x x=�������
2'( ) 1 [ ( )]f x f x= + �
6�����������)��� 2'( )(1 )
1=
+g x
x�
��� � �� �2���� ���
,���� 'f ��������� ������������#(����� 'f ������� ���������������9������ 'f ������
���� � ������%���� ��#��,������ ������� �� 'f �������� ��������������������� � �2�"��
�� ��#��������������������� "f ������ "y ������
2d fdx
������
2
2
d ydx
��4������$� ��1��������
���� � �2�������� ��#������������������������� ������� ������ �� "f �����������������
������
"'f ������ "'y ������
3
3
d fdx
������
3
3
d ydx
��$� ������ �� �������8���� �� ������� #����������( )nf �� ������ �� ������� ������ �
�� �������8:�.�;��� �� #����������� �������������� 1���� ��������� ��� �� ��� ������ ����
�������� �������8���� ��#������
[ ( )]n
n
df x
dx��������� [ ( )]n
xD f x
Tugas Mandiri
����� ����������������������280
�� ���� ����0
6��������������� ������� �����������1�������� ��������
#�:!;�-� !��/��!
��.�!
��/�C
�����������
��� '( )f x = ��*!��/���!
��.��!
�� "( )f x = �!*!��/���!�.��
� '"( )f x = ��*!�/���
(4) ( ) 120f x =( ) ( ) 0, 5nf x n= ≥
�
�� 6�������� '( )f x ���������������������1�������� �����
�� �#�:!;�-��!��/��!
��/�� �� #�:!;�-�:D
��.��!�/�;:�!
��/��!;
�� �#�:!;�-���.��!�.�!�
�� #�:!;�-� 3 29 x
$� #�:!;�-�!#�.��!
�/��!
��/�#! �� #�:!;�-�2 5x x+
�� #�:!;�-�!��/��!�/�
21 x ��
2 13 3( ) 3f x x x
−= −
�� #�:!;�-�!��.�#�/�!
�8��/�!
�8��
2( )
4x
f xx
=+
�� #�:!;�-�:�!��/��;
���
2
2
2 1( )
2 1x x
f xx x− +
=+ +
�� �#�:!;�-�:�!��/��;: !�.�%; ��
3
3
8( )
8x
f xx+
=−
� �#�:!;�-�: !��.��;:�!
��/�!!;
�� 6��������
dydx
��������������)�1�������� �����
�� )�-�:!��/��!�/�;:�!
��.��; ��
24 32
x xy
x− −
=−
��
2 2
2 2
x ay
x a−
=+
��
2x
yx
=−
�� 2
21 5
xy
x=
+������
2 1(3 1)
3 4x
y xx+
= −+
$�
2 13 4
xy
x+
=+
��
4 2
4
2 5 1x x xy
x− + +
= ��������
32
3
1( 1)
3x
y xx+
= ++
Latihan 8.2
��������� � �� �������� 281
�� 6���������� �������������������������1�������� �����
�� #�:!;�-�:�!�/��;
�� �:!;�-�:!��.��!
��/��;
�.����
132( ) (5 2 )h x x −= −
�� �:!;�-��:!��/��!�.� ;
���
2( ) 1 4H x x= + ��
2 5( )
3 1s
F ss−
=+
$� &:;�-��:���.�#
��/���.�;
���
2( ) 1 3f t t= − ��
5 6( )
5 4x
G xx+
=−
�� �+:,;�-�:,��/��;
.�������%� �
23( ) (5 3 )g x x= − ��
1( )
1x
H xx
−=
+�� 6���������� �������������������������1�������� �����
��
2 2 3 4[(4 7) (2 1) ]d
x xdx
+ + ��
2 3 2( 5 3)d
z zdz
− ⋅ +
��
2 3 2[(3 5) (3 1) ]d
u udu
+ − ��
272
d tdt t
−+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
$�
2 1d xdx x
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��
22
3
2 13 1
d ydy y
++
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
� 6���������� �������������������������1�������� �����
��
3
2
2 1( )
3 2x
f xx x
−=
+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
2 3
2
( 3)( )
(5 8)x
g xx+
=− $� 2
4 6( )
3 4
xh x
x x
+=
+ +
!� 6���������� ������� ���������������� ����������������1�������� �����
�� #�:!;�-�! �/�!
��.�! ��
33( ) 2 5F y y= +
�� �:;�-���.�
��/� ��
2( )
2z
G zz
−=
+$�
2( ) 1h x x= +
��( ��� � ��� ���� ���� �%����
@�������$� �� �� ����� ������� ���������� $������������ ������ ������� �������
� ������� ��1���� ���������������� ���� �����1�����
����:��%��;��-��������$�����/�$����������
$���:��%��;�-��$�����$�����.������������
����%�� ��3
�� ,����#�:!;�-�����!������ '( ) cosf x x=
�� ,����#�:!;�-�$���!������ '( ) sinf x x= −
����� ����������������������282
�� �
4������������������������������ ���1������ ����������1�����������������
��������������������� ������������������4��������������� ������� ��1���
�� ������������
( ) ( ) f x h f xh
+ −-�
sin( ) sinx h xh
+ −
-�
1 12 22cos( ) sin x h h
h
+
-�
1 12 212
cos( ) sin x h h
h
+
-�
11 2
122
sin cos( )
hx h
h+ ⋅
4��������������
���0
( ) ( ) '( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
-�
11 2
1202
sin lim cos( )h
hx h
h→+ ⋅
-� cos( 0) 1x + ⋅-�$���!
�
4���������������������������6�� ���%�C������� �������������������������������
�� ������� ����� �����
����%�� ��4
�� ,����#�:!;�-�����!������2'( ) secf x x=
�� ,����#�:!;�-�$���!�������2'( ) cscf x x= −
�� ,����#�:!;�-���$�!������ '( ) sec tanf x x x=�� ,����#�:!;�-�$�$�!������� '( ) csc cotf x x x= −
�� ���� ��(�
6�������� '( )f x �� ��������8��������� �����
�� #:!;�-���$���!�.�����!�/� $� #:!;�-� ����!�$���!
�� #:!;�-�!������!
�����������
�� '( )f x �-���:.����!;�.�$���!�/�*�-�.�����!�.�$���!
�� 4��������� ����� ������� ������������������
'( )f x -��!������!�/�!
��$���!
$���4��������� ����� ������� �����������������
'( )f x -� $���!�$���!�/� �����!�:.����!;�-� :�$����!�.����
��!;�-� $���!
�
��������� � �� �������� 283
�� ���� ��(��
6���������
dydx
��� ���������1�������� ����
��
cos1 2sin
xy
x=
+�� )�-�:!�/����!;
$��
21 cosy x= −�����������
�� 4��������� ����� �������������������������
� 2
( sin )(1 2sin ) (cos )(2cos )(1 2sin )
dy x x x xdx x
− + −=
+2 2
2
sin 2(sin cos )(1 2sin )
x x xx
− − +=
+
2
sin 2 1(1 2sin )
xx
− − ⋅=
+ 2
sin 2(1 2sin )
xx
+= −
+
�� 4��������� ��� �������������� ����
dydx
-� :!�/�����!;�:��/�$���!;�
$� B���� ������ ( )122 21 cos 1 cosy x x= − = − �� 4��������� ������ ��� ��� �����
�� ������
( ) 12 21
1 cos ( 2 cos )( sin )2
dyx x x
dx
−= − − −
���������������-� 12 2
sin cos
(1 cos )
x x
x−
2
sin cos
1 cos
x x
x=
−�
����������������� �����1����� ��� ��������������������1��� �������� �����
����%�� ��
0����������-��:!;��������1��������1����� �����
����,����#�:!;�-������������ '( ) cos '( )f x u u x= ⋅
����,����#�:!;�-�$���������� '( ) sin '( )f x u u x= − ⋅
�� ���� ��(�(
6�������� '( )f x �����
f (x) = sin(3x + 5) + cos (x2 + 1)�����������
4��������� ���E������
� '( )f x -�����:�!�/� ;�:�;�.�����:!��/��;�:�!;�-�������:�!�/� ;�.��!�����:!
��/��;
�
����� ����������������������284
�� 6�������� '( )f x ��� ����������������1�������� �����
�� #�:!;�-� �����! �� ( ) sinf x x=
�� #�:!;�-�����!�/�����! ��
3( )
cosx
f xx
+=
$�2( ) 1 cosf x x= + � #�:!;�-�:����!�/�$���!�;
�!;
�*
�� #�:!;�-�������!�$���! ��
3( ) sin( 2 )f x x x= −
��
sin cos( )
sinx x
f xx
+= ��
2 2( ) cos ( 3)f x x= +
�� (���������� ������� ����������������1�������� �����
��
sin 1cos 1
d xdx x
−+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
2
cos(2 5)d t tdt t
++
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
tan 1tan 1
d zdz z
+−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
2sin 1cos 1
d xdx x
−+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
$� [( sin )( cos )]d
x x x xdx
− +
�� (�������� '( )f c �������������"�1���������������
�� �#�:!;�-�!������!�F�"�-�π ��
1( )
cot 1f x
x=
−F� 3 4c π=
��
cos( )
xf x
x= �F� 2c π= �� �#�:!;�-�!
������!�/��!�$���!�.������!�F� 4c π=
$� #�:!;�-�����!�/���$�!�F�"�-�π
��) *����%�� �!����� 5� ��� ��6����
0��������)����������������� ���1������ ����������������� ��������!����������)
��������� ��!��)�-�#�:!;���5�������8����#��������������������������� �1��������� �����
�������)��� �����!������!�-�"���������������� �� � ����������� ������
������� ������ ������0 0
( ) ( )lim lim x h
y f c h f cx hΔ → →
Δ + −= =
��$� �� ����� �� ���� ��� ���� �������� �����A��� � %���� ����� �� ������ ������
������� ���� �������� ��� ������������ �������� ��� ����������� "��)� -� #� :!;� ��� �����
( , ( ))P c f c (�1�������� �1�������
sg 0
( ) ( )lim h
f c h f cm
h→
+ −=
Latihan 8.3
��������� � �� �������� 285
���������-���������������������������.��5�$� '( )f c
0��� ���4��������%���������������� ����� ����� '( )f c ��7����� �������������������
��������������� ������� ����� ����
A� ������������������� "��)�-�#�:!;���������� ( , ( ))c f c ��������� ���1����������
���������� ������1������������� '( )f c �
,���� ����������������������� �����8��� �������� �� �� �������� ���������� ��
���������������� "����������� ( , ( ))c f c �����
)�'�#�:";�-� '( )f c :!�'�";
�� ���� ��)�
4���������������� "��1��������1����� �������)�-�!��.��!�/���
�� 5� �������������������:���!;��� ������������� "��
�� ,������������ �������� ������������� "�������������� �������� ��������������������
�� ������
$� A��� ������ "��)��� ���������� ����� ���������������������:���!;�
�����������
�� 6�����:��!;��� ������������� "���)�-�!��.��!�/������ ���������������������������!�-����
�����������
)�-����.��:�;�/���-�!
�� 6� ������������#�:!;�-�!��.��!�/��������� '( )f x -��!
��.����B�� �������� �����������
���:���!;���������2'(2) 3 2 3 9f = ⋅ − = ��,������� �������� �������������� "����������
:���!;�������
)�.�!�-�C�:!�.���;��������)�-�C!�.���
*���������������������"��������������"�/�&���������������������������!
)
�/"(� #/"00
1/"�%�&(� #/"�%�&00
&
#/"�%�&0���#/"0
����� ����������������������286
$� A ������� "�������� ������������1�������
������� ��2
�
�� ���� ��)��
?� ������ �������� ������������������� "�� 3y x= − �1������������ ����� ��
�!!�/��)�.���-�*�
�����������
,����:!(�);����������������������� "���������� �������� ������������������������������
��-
1'
2 3y
x=
−A� ���!!�/��)�.���-�*�������������������������)�-�.�D�/�
43 ������������� �������� ������
������ 2 2m = − ��4����� ������������������ �������
����
��-�.���⇔ ��
��:.�;�-�.�
⇔ � 1m =��
�
7����� ��������
���-
1'
2 3y
x=
−���⇔ �
12-�
12 3x −
⇔ �
11
3x=
−�����⇔ �!�.���-��
�������⇔ �!�-��
����������������!�-������� ����� 4 3 1y = − = ��,�������� ��������������������������
:����;�������� �������� ������������1�������
)�.���-�
12�:!�.���;��������)�-�
12!�.���
�
)
8����������8����������������������������������������������� !
��
��%
���
��8%
��8�
��������� � �� �������� 287
�� ?� ������ �������� �������������� "��1�������� ����������� �������� ����
���������1���������������
�� )�-��!��.�������:�����; $� 2
1014
yx
=−
������:���. ;
� )�$��!��.�!
������� ( )1 2, 1 8− − �� 2
84
yx
=+
������:����;
�� 6���������� �������� ������������
�� ������� "��)�$��!��.� !�/�������������1����������1��.�
�� ������� "��)�$�!��.�#!
��/�!�����������1����������1��*
$� ������� "��)�-�!��/� !
��.��������������1����� ������1��
�� ������� "��)�-��!������������1����� ������1��1 8
�� ?� ������ �������� �������������� "��1�������� ����������� �������� ����
���������1���������������
�� )�-�:!��.��;
�������:.���C;� $�
2 16y x x= + ����7:*��*;
��2 9y x= + �����:��� ;� �� sin cosy x x= + ����������������� 4x π=
�� A� ����� ������ ������������� "���������� ���1���� ������ �� ������������ ��
����������� "������������� �������6���������� �������� ����� ����� "������
�������� ���
� 6���������� �������� �������������� "���)�-��!��.��!��1���������� ��� ��
�!�.�)�/���-�*�
!� 6���������� �������� �������������� "���)�-�!��.�!!��1������������ ����� ��
��!�.��)�/�!�-�*�
#� 6���������� �������� ����� ����� "��)�-�!��.��!��1���������� ��� ��
!�/�%)�.�%�-�*�
%� 6���������� �������� ���1�����������������:�����;�������1���������� "�
�)�-�!��.���
C� 4�������� �� "� 1y x x= + ���� ������ ������ ����� �� "�� 1���� ������1�� 1 2 �
0���������� ����������������������������8!���������������������8)
���1��(���������������� ������ ����1�
�*� ,������ ������������������� "��)��-�!!�������������������������� 45�
������
����8!���������������������� ��������������
Latihan 8.4
����� ����������������������288
��- 6�,����� �"� �*��,�����
5���� ���8���� �������1��� �����)�$� #� :!;� ������ ���������� ���1������ �������
��������� ��������!�����
0
( ) ( )lim h
f c h f ch→
+ −
������������������ �1��������� �������������)��� �����!������!�-�"����$� ��������
����� ( )s f t= ���1��������� �������� ����� �� ������������ ������������ ��� �� ��
������������������������� ������������� �� ��� ����������������� �� �������)�������
)����� �� 9������ #� � 1����������� ������ ������������� �� ����������� �������5���
������� )����� �� �� � $� "� ������ ������� � $� "� %� &� �� ������ ������� �����
( ) ( )f c h f c+ − :��������� �%� ;��B�$������� � ����������������)��������������
��$������� ���8 ���
perpindahan ( ) ( )waktu
f c h f ch
+ −= =
������� ��3
0���������������������$������� � �����������������)�����1�����������������
[ , ]c c h+ ��4����������� ������ ����� �����&���������� *�� ���������1������������������
2�,����� ������2�,����� �������� :";�������������$�"�����������������$������� � ��������
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cv c
h→
+ −=
6�������)�� ����� ����� ���� ��������� ����� ���� ������ ���������� '( )f c ��4�����
����������� '( )f c ���$� ����������� ������� �����$���������������� ������������������
�$�"��������������������������� ������������������������������������������������ �1�
��$���������������4���������������������������� v �
B�$������� ���������������� �������������� �������������� �� ������������������
�������� �� ��������� ������������������������,������$�����������������������������
������������ ���������������������
f (c)
f (c + h)
f (c + h) - f (c)
0
posisi pada saat t = c
posisi pada saat t = c + h
s
��������� � �� �������� 289
4������� �������� ������� ������ ��������� ����$������������������,����� � �������
7����� ���������������������������� �� ��������������� ����� ������ ����� �����
�� �����-�#:;�����������$�������������������������������� �$+������������� $������
���������������������������$+��������������������� ������� ������ �� ��� ����
��������� ������������� ������ �������,����
2
2
dv d sa
dt dt= =
4� ����������������������������1����������)�������� 0a > ������ ��� �����
��������� 0a < ������ ��� �� �����,������-�*������ ������� �����B� ��������������
������������������� v ������������ ����������� �����
�� �,���� 0v ≥ ����� 0a > ������������� �����
�� �,���� 0v ≥ ����� 0a < ��������� �� ����
�� �,���� 0v ≤ ����� 0a > ������������� �� ����
�� �,���� 0v ≤ ����� 0a < ������������� �����
�� ���� ��-�
�������������� �� ��������������� ��������� ������������ �����
��-���.�!
��/�C�/��
�������������� �������������� ������������������4� ���� �������� �����������������
�� ��$������������� $�������1�������
�� ���� "���)������������������ �� ����������������������������� �� �������� �
$� ������������� ������� �
�����������
4� ���� �������� ���1�������� ������������ ���
�-�
dsdt
�-����.����/�C���������-�
dvdt
�-�!�.���
���������1��
�-�����.����/�C�-�*⇔ �:�.��;:�.��;�-�*
��������������������⇔ ��-����������-��
���
��-�!�.����-�*�⇔ ��-��
B��������������������� ����� ���������������-����������,��������������������������� ���(� ����
�������������� "����� ������������ ������8�����������(�����1��������� �����������������%���
����� ����������������������290
�&�$� ��
�� 4� ���� �������� ��������������� ������$�������������������
�-����.����/�C
������ $������� ������� �����
��-��!�.���
�� 2����������������� �-�*��1�������������-��������-����������2������� �� �����������
�������� ����������������������1���������� �� �������� ���������� ����������0��� ��
6�����%������������ �� �������������������0 1t< < ������� 3t > �������������� �� ��
����� �����������G��G�����������G��G���
$� 4� ��������%������������������������������)���������� ���1���� ������� ���� �
����������� ����������-���������������������� ���1���� ������� ���� ���� ����������
��������-���������
A� ������������������������������ �%�!������������������� ��������� �� ������
����������� ���1������������������������ ����������������� ������������� ������
0 2 4 6 8 –
t = 0 t = 1
t = 2t = 3
t = 4t s v01234
48648
90-309
Tabel 8.2
���������4���� ���.�
�&�$� ���
�
������ �� � 6���%��$�
�G�� �����/ �/ . 2������� ������������������������������� �� ��
����������B�$��������� �� �����&������ �� ����
�-�� �����% �* .�� 2������� ���%�$�������������������������
�� ���1���� ������� ���� ������������� ��
B�$��������� �� �����&������ �� ����
��G��G�� �����/ �. . 2������� ������������������������������� �� ��
����� ���B�$��������� �� �����&������ �����
�-�� �����! .� * 2������� ����!�$�������������������������
�� �� �������� �����������$�������.��$+������
B�$��������������&����������
��G��G�� �����/ �. / 2������� ������������������������������� �� ��
����� ���B�$��������� ������&������ �� ����
�-�� ������ �* ! 2������� ������$�������������������������
�� ���1���� ������� ���� ���� �����������
B�$��������� ������&������ �����
��G� �����/ �/ / 2������� ������������������������������� �� ��
����������B�$��������� ������&������ 8
�����
��������� � �� �������� 291
������������������������ ���� ��$� �� ������ �������� �� ����� ���������� ������ ������
�����1���������1����������������1�����������������������)�������1�������� ����
�����$������� �����
�� ���� ��-��
����������������� ����"� ������ ��� ������� �� ��������������$������� �)��� %*+
�������,����� ���������������������������� �������� ��������
��-�.��!��/�%*
0�����������1�������)���������������������� �������1������������������������
�� ���������� ���������)������1��������������� ��������������������6��������
�� ��$������������� $���������������������������������
�� )�����1�������� �������������������$�������������� ������
$� )�����������$�������1�������� �������������������1����������������
�����������
0�������� :;������:;������8��������������$�������������������� $�������������
�����������������
:;�-�.�����/�%*�����������:;�-�.��
�� 4� �� ���� �
:�;�-�.��:�;�/�%*�-��!
������������������������������������������$���������������!���� +����������������
�:�;�-�.������������������������������� $�������������.������ +�������
�� 2������$������������� ��������������� :;�-�*�
.����/�%*�-�*⇔ ��-���
,�����)�����1�������� ��������������$������������� ��������������� �������
$� 2������1���������������������������-�*�
��-�*�⇔ �.�!��/�%*�-�*
��������������������⇔ ��!: �.�;�-�*
������������������������⇔ ��-�*�������-�
,�����)�����1�������� ��������������1����������������������� ��������������
��$�������������� : ;�-�.��: ;�/�%*�-�.%*���� +�������6�����:.;�������������������
��)��� ������� ������� ������������)��
t s v
0
1
2
2,5
3
4
5
0
64
96
100
96
64
0
80
48
16
0
-16
-48
-80
Tabel 8.3 100
96
64
0 t = 0
t = 1
t = 2
t = 2,5
t = 3
t = 4
t = 5
�&�$� ��(
������� ��5
����� ����������������������292
4������������ �����6:!;���1����������1�� ������1����������� ������ ������
�����������������!� ��������� ���� �� �����������6� �������� �� ���� &��+��� &���
�� ������ ������� ���1�� �� ��������1���1���� ����1��������������� dC dx �� ���
�� ����������������&��+��%���� �$�
�� ���� ��-�(
�������� ������������������ ���)�����1��:����� ������ ����;��� �������!
�� ���� �����
2( ) 10.000 5 0, 01C x x x= + +�� 6�������� ����������1��� ������
�� ?� ���� '(500)C �������������������1�������1�������� �� �����1�3
$� 2���������� '(500)C �����������1���� ��������� ������8 *��
�����������
�� 9���������1��� ������ �����
5 0,02'( )dCx
dxC x = +=
�� 2��1��� �������������������� ������������1��� **��� ���������
'(500) 5 0,02(500) 15C = + = ���+�� ���
H������ ����� ������������������1���� ��������� � �� ����� ��������� ������
�����)�����!�-� **��������� �� ��������1���� ������8 *��
$� 2��1���� ������� ������ �1���� ���� ������8 *������
6: *�;�.�6: **;�-�2 2[10.000 5(501) 0,01(501) ] [10.000 5(500) 0,01(500) ]+ + − + +
15, 01= ���
6�������)�� '(500) (501) (500)C C C≈ − �
�
�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���
���� ���������������$��������� ����� � ���������� �������������������������
�������@�������������� �������� ����������� �����������������$�������������
:�;������� $���������������:
�;�������
��1�������� �����
�� ��-����/��F���
��-�� $�
24
ts
t=
+F���
��-�*
�� ��-����.�
��/� F���
��-�.� �� ��-� 2
1 3s
t t= + F��
��-���
�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���
���� ���������������$��������� ����� � ���� �������� ������������������������
��������@�������������� �������� ����������� ��������������� ��������2�����
������1������ ����6�����%���1������� ������������������ ����� ������
��3 21
2 2 6 2s t t t= − + − ��3 231
3 2 2 1s t t t= − + +
Latihan 8.5
��������� � �� �������� 293
�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���
���� ���������������$��������� ����� � ���� �������� ������������������������
��������@�������������� �������� ����������� ���������������������� $������
������������������������������������� �� ����� � ���� �������� �� ����������
������$����������������������������
�� ��$�*��.�!
��/����.�� $�
5125 216 32 5
s tt
= −+
��
3 12 24
9 2s t t= + ��29 2 2 1s t t= + +
�� ������ ����������������"� ��$���������������� �������1���� �� ����� �������
����������������� ��������2560 16s t t= − ������ �������������������������
�� 6����������$������� ��������������������
�� 2� ��������)�����1�������� ���������� �������������$���������������
������
� ,���� ����������� ����� ������ �������� �������� ���� ������������1��
��$��������)��������� +�������������-����/��*������������ ���������� �������
���������������� ������������������������ ��������������������� ����)�
�������� ����
�� 2� ��������$�������������������������������������3
�� 2� ��������)�����1�������� ������������������ ���$�������1���� ����
��������%���� +�����3
!� �������� ������������ �� ��� ���� ����� ��7����� � �**��� 5��������������
��������� �������������������� ��� ������������������ ������������
��-� *�***�/��%�***�/�!**�
�� 6��������������� ���������������������� ��������7����� ��** �
�� 6��������������� ���������������������� ��������7����� ��**��
#� 0�����������������������������������������������������������,���� ���***
������ ������
��-��*��/��**�/��*�***
6��������������� �����������������������,���� ���*�*�
%� ��� �������� ������������ ���� ������������� �����������$���)� ���� �����
����������� ���!�������������%�������������
)�$�-!�.�%!��.�!
����0 4x≤ ≤
�����6������������������$��������� ����������������*������
�����6���������������������1������$������� ������*�����������������������
C� 2��1�� :����� ������ ����;� �������� ��������� �������!�������� ������
�����
2 3( ) 2000 3 0, 01 0,0002C x x x x= + + +�� ?� ���� ����������1��� ������
�� ?� ���� '(100)C �������������������1�������1�������� �� �����1�3
$� 2���������� '(100)C �����������1���� ��������� ������8�*��
�*� 9���������1���������������� ���� �� �����������
2 3( ) 2000 3 0, 01 0,0002C x x x x= + + +�� ?� ������������� ���� '(100)C �
�� 2���������� '(100)C �����������1���� ��������� ������8�*��
����� ����������������������294
��/ ����� � 78�����$
6�� ��� ����� #���8�����1���������)�� ����� lim ( )x c
f x→
����� lim ( )x c
xg→
� ������1�
��������
lim ( )( )lim
( ) lim ( )x c
x cx c
f xf xg x g x
→
→→
=
�������� lim ( ) 0x c
xg→
≠ �
6� ������ �� ������ ��������������� ��� ��� ���� ������������ ����� �� ������� 1����
�������� ����� lim ( ) 0x c
xg→
= �� 5� ����� ������� ������������� �������� lim ( ) 0x c
f x→
= � ���
lim ( ) 0x c
xg→
= ����������$����������
#�:!;�-�!��.�C�������:!;�-�!�.����������
2
3lim( 9) 0x
x→
− = �����
3lim( 3) 0x
x→
− =
6����������������������1��������������������� ����������� ����
2
3 3 3
( ) 9lim lim lim( 3) 6
( ) 3x x x
f x xx
g x x→ → →
−= = + =
−
?��������������������1���
0lim sin 0x
x→
= �����
0lim 0x
x→
= ������������ ���6�� ���#�#
0
sinlim 1
x
xx→
=
���� ���� ���
,����#������������������� lim ( ) lim ( ) 0x c x c
f x xg→ →
= = �������������
#
�����������
������������������������
*
*
����"�
4� ��������������������
−−
�
D C
D �
�������������������������
*
*
������������
2
3
9lim 6
3x
xx→
−=
−
4������������� sin x x �������������������������*+�*��������
0
sinlim 1
x
xx→
= �
���� ��������������������� ��������������1���������������������������
�������������� �������������������
*
*
��������������������������� �1����� ���������� ���
�����������������1����������1�����
∞∞
�� 0.∞ ��**��1∞ ��
0∞ �����∞ −∞ ������������������
������� ���� ������ ��������������� ��������������������� ���� ������
*
*
� �����
∞∞
��7��
�� ����������������������������������������������������������������
��������� � �� �������� 295
0��������������������� ����� ������ ������ �������� �����������)���5� ��$��
9��:����!��$$�%����� ,���� 78������$�:�!!��.��#*�;������ ������ ������������������
1������ ������ 7� �$+���"��� � �� �%� �������������������������������!C!��0������1�
�������������������� � 78������$������ ���&'(������������������������ ����������������
�� ����������1�������� ��������������������
����%������ ������ � 78�����$�
0��������#��������������1��������1����� �������������� "����� �������
��$���������������"������ ���������� '( ) 0g x ≠ �������������� x c≠ ���������,���
lim ( ) lim ( ) 0x c x c
f x xg→ →
= = ������
'( )lim
'( )x c
f xL
g x→= �����
( )lim
( )x c
f xL
g x→=
6�� ��� ���� ������� ����� ����� ����� �����1�������� ������� �� ����� �����������
,����������� ��������� ���&'(��������� ���������$�����������������
2
3 3
9 2lim lim 6
3 1x x
x xx→ →
−= =
−�������
0 0
sin coslim lim 1
1x x
x xx→ →
= =
�� ���� ��/�
(�����������1�������� ������� �����:��������;�
��0
tanlim
sinx
x xx x→
−−
��
2
0
1 coslimx
xx→
−$�
2
0
2 3lim
sin 2x
x xx→
−
�����������
�� B������ ��������� ���&'(����������������
2
0 0
tan sec 1lim lim
sin 1 cos=
x x
x x xx x x→ →
− −− −
�
2
0
2 tan seclim
sin=
x
x xx→
:
sintan
cosx
xx
= ;
30
2lim 2
cos=
x x→=
�� &���������� ����� ���&'(�������
2
0
1 coslimx
xx→
−0
2sin coslim 0
1x
x x→
= =
$�
2
0 0
2 3 4 3 3lim lim
sin 2 2cos 2 2=
x x
x x xx x→ →
− −= −
�
����� ����������������������296
���� ������������������������������������������ ���������� ������
��
2
5coslim
2x
xxπ π→ −
#�2
lim1x
x
x→+∞ +
��
0lim
tanx
xx→
%�2 2
0lim csc )(x
x x−→
−
��
2
2lim
sinx
xxπ→
−C�
0lim cscx
x x+→
��
2
1
sin( )lim x
xx
→+∞�*�
2lim ( )x
x x x→+∞
− +
� 30
sinlim
tanx
x xx→
−���
22
cos 3lim
cosx
x xxπ −→
!�
1 cos 2lim
1 sinx
xxπ→
+−
��� 42lim( 2) tanx
x xπ→
−
��� 6�����������������������
3
30
sin 3lim 0x
x ax bxx→
+ +=
��� 6�����������������������
30
sin (1 cos )lim 1x
a x x b xx→
− +=
Latihan 8.7
��������� � �� �������� 297
�� 6� �������������#�������������"�������������������� '( )f c �����������������������
0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h→
+ −=
������������������
�� ,�����������#�����1����� ��������"������#�������������"�
�� ,�����������#�:!;�-� ���������� ���������������������� '( ) 0f x = �
�� ,������������������������ ( ) nf x x= ������1'( ) nf x nx −= �
� 0�������������� ��������������1��������1����� �����
�� ,���� ����������������#�:!;�-� �:!;����� '( ) '( )f x ku x= �
�� ,����#�:!;�-��:!;�/� :!;����� '( ) '( ) '( )f x u x v x= + �
$� ,����#�:!;�-��:!; :!;����� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= + �
�� ,����#�:!;�-��:!;+ :!;������2'( ) ( '( ) ( ) ( ) '( )) ( )f x u x v x u x v x v x= − �
!� ����� �1� �����,����������� �����1����� ��������!�����������1����� ����
��� :!;�� ���� ������� ��������� u v� � ����1��� �� ����� ��� !�� ���
( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�
#� 6� ����� ������� � ������� ��
�� �,����#�:!;�-�����!������ '( ) cosf x x= �
�� �,����#�:!;�-�$���!������ '( ) sinf x x= − �
$� ,����#�:!;�-�����!������2'( ) secf x x= �
�� �,����#�:!;�-�$���!�������2'( ) cscf x x= − �
�� ,����#�:!;�-���$�!������ '( ) sec tanf x x x= �
�� ,����#�:!;�-�$�$�!������ '( ) csc cotf x x x= − �
%� A� ������������������� "��)�-�#�:!;���������� ( , ( ))c f c ��������� ���1����������
���������� ������ '( )f c �
C� ,������-�#:;������������������������� �������������$��������������$�������������
:";��� ������������������$�"������������������������ :";�-�.�+.�- '( )f c ������������
�� $���������������� ��������������������2 2a dv dt d s dt= =
�*� ������ � 78�����$
�0�������� #������� �������1��������1��� �� ���������� ���� "��� �� ����� ��
��$����� ������� ��� "� ����� ��� ������� � ������ ������� � ����� ��� ,���
lim ( ) lim ( ) 0→ →
= =x c x c
f x xg ������
'( )lim
'( )→=
x c
f xL
g x�������
( )lim
( )→=
x c
f xL
g x�
Rangkuman
����� ����������������������298
B������ �� ����� �������� ������� ����
�� �� ��������� ������ ���� ����� ����� 1���
�� ������ ����<�)���� ���� &�����I� �� �
������!! ��������������������!# ��������
������ ����� ��������1���������� �� �����
���������������� �� ������������� ��
H���$�<�)����:�!���8��#�#;� ��������������
���� ������� ������� H��� ��� ���� A���� ���
J����� &�����I� :�!�!� 8� �#�!;�� ���
��������� ������� ,� ����������� �������
���)���1����������������������������
B����������� ����� �������� ���� �� �����
������� ������������� ���� $������ ���
����������� ������ 4�)���� ���� ��������
���������� �������� ������ ����� ������ 1���
����� ����� ��1���������� �� �����
�� �������� ���� ����������� ���
����������� ���������1��� ������ ������� 1���
����1����� ��������������������� ����������������� ��������������������1���
1����������������������� ���6�1�� �
������������#��.�7��&���8����,
�������999��#&� ����.
Math Info
��������� � �� �������� 299
!� ���� ������������������������������������������������� �"�#��
����������������$�%�� � �����#� ��������!���$
�� ,����
sin cos( )
sinx x
f xx
−= ������� '( )3f π =� ��
�� � 4� �
2�
�
�
K�
�
�
?�
�
�
�� 6� ������� ��2(1 ) (2 3)y x x= − + �������L�
�� (1 )(3 2)x x− + 4� 2( 1)(3 2)x x− +
2� ( 1)(3 2)x x− + K� 2(1 )(3 2)x x− +
?� 2(1 )(3 2)x x+ +
�� 6� ������������2 34 (2 3)y x= − �������L�
�� 24 2 3
x
x−
−4�
243 2 3x− −
2� 24
3
2 3
x
x −K�
243 2 3x x −
?� 24
16
2 33x
x −
�� ,����2( ) 4 6f x x x= − ������������� '( 2)f − =� ��
�� .�� 4� .�!12
2� .�C K� .��
?� .�#12
Uji Kompetensi
����� ����������������������300
� ,����1f − � ������� ��"� ���� �� �������
2( )
5 3x
f xx
+=
−�� 5 3x ≠ �������� �� ����
�� ��1f − ������������� (1)g =� ��
�� .
C
�!
4�
��
�!
2� .
#
�!
K�
��
�!
?�
#
�!
!� 5� ������ �� ��� ��������� ��� ������ ������� !� -� �� ����� �� "��
275 1
yx
=−
����������
�� !�/��)�.��%�-�* 4� !�.��)�/��!�-�*
2� !�/��)�.��*�-�* K� �!�.�)�/� �-�*
?� !�.��)�.�%�-�*
#� �6� ������� ������ ��4cosy x= �������L�
��
31cos
4x 4�
34 cos sinx x−
2�
31cos
4x− K�
34 cos sinx x
?�34cos x−
%� ,� ���1���������������������������)���������� ���������������
3 213( ) 3 5s t t t t= − + −
B�$�������������� ���������$����������)������-������
�� � 4� �
2� � K�
?� �
C� ,���� ( ) tanf x a x bx= + ������������� 4'( ) 3f π = ����� 3'( ) 9f π = ��������%���-�L�
�� π 4� �
2� � K� *
?�
π�
��������� � �� �������� 301
�*� ,����
2
3
3( ) 2f x x
x= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� '( ) ...f x = ��
�� 327 6
8xx x x
− − 4� 427 6
8xx x x
− −
2� 3
27 68x
x x x− + K� 4
27 68x
x x x− +
?� 427 12
8xx x x
− −
��� A� ���������������������:���%;�������� "�� ( ) 2 2f x x x= + ������������8!
��������8)����������:�(�*;�����:*���0��<�������%���-�L�
�� .�1
10 4� .�25
2� .�1
15 K� .�35
?� .�3
10
��� ������ ������ ���� �����������1���5����)��������������� �8�� �� ������������
��������������������� �272 3t tω = − ��B���������� ��������$�������������1�
L
�� ������������������
2� ������������ ����
?� ��������������1��������G���
4� ����� �������1��������M���
K� ��������������������-���
��� B�� �����������8���������������������� "��2 (2 3)y x x= − 1������ ������������1�
������ ��� ����)�.���!�-������������
�� :.��� ;�����:.���.�; 4� :���. ;�����:����;
2� :.��� ;�����:����; K� :��� ;�����:.���.�;
?� :.���. ;�����:����;
��� 5� �������� ��� ���������������� "��3 5y x= + � 1���� ������ �� ���!�/��)� -� �
���������
�� �!�.�)�/���-�*�������!�.�)�/�#�-�*
2� �!�.�)�.���-�*�������!�.�)�.�#�-�*
?� �!�.�)�.�C�-�*�������!�.�)�.���-�*
4� �!�.�)�/���-�*�������!�.�)�.� �-�*
K� �!�.�)�/�C�-�*�������!�.�)�/���-�*
� � A� ��� ���1���������� "��3 4y x x= − ����������:���.��;��������������� "��������������
�� :.���*; 4� :.����;
2� :.���*; K� :.���.� ;
?� :���*;
����� ����������������������302
B. ���� �����������������������������������&�� �� � ���������
��� ��� ���� ����$
�!� (������
2
0
sin(3 ) sin 9limx
xx→
+ −�
�#� 6������������������� ��������#�����1����� ��������!�$��������
2 7 , untuk 0( ) 2
, untuk
x x bf x
x bx
− < ≤=
>
⎧⎪⎨⎪⎩
�%� �������� "������1����� ������)�-�!��/��!�/����������������������������
A� ���)�-��!���1���������� "��������������������������������6����������������
�C� (������ 20
sin( 2 ) sin( ) sinlimx
a x a x ax→
+ − + +�
�*� E������������� �����������������������������#�$+�������2� ��������������
�� �����1��"����������������������� �����1��� �$3
�� 6����������������������*���� ��� ����� �������������� �������0�������� ��������������� �����$������������������������ �����������!��������� ��
�� ����������)���������������������,������������)����������� ���� �������
������������� ����$�����!��� ������ �����θ ��������θ =π�
3
�� 2��� �1��������1������$������:6;�1�������)��������������������������
������)������:����� �����������;�����������������
3 2( ) 2 6 2Q t t t t= − + +2� ������������ ������� ��������)������-�*� ������-��������3������������1�3
B������ ��� �� ����3
�� A�1��1�������� ��������������� ������������� ���7����������������������
���� ����������� �����
sin cosW
Fμ
μ θ θ=
+
������� θ � ������ ������1���� �� ����������� �� �������������������� ������ μ�����������������������������������&�����������$�����������
Soal Analisis
��������� � �� �������� 303
�� ?� ����������� ������+��� �����θ �
�� B������������ ���������������������*3
$� B�$�� ���������������:���6�&�.�����������(�������������� �����
� �����������������������
2( ) 4,0 0,35sin
5, 4= + ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠t
B tπ
&������������������� �������8��������
�� ?� ����������� ��������$�� �������������� �� ��
�� 4����������������� ��������� �� $� ���� ������ ���� �������� ����
�� ������� ������� ������ ��
�� 4������������ ��������������������������������������������������������
��$� ���� ��� ��0������������ ������������������������ ����������� �����
( )0,05 1 ( ) ( )
10.000dP P t
P t P tdt
β= − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��������:;����������������������������� �������β ��������� ����������������
1������������
�� 2� ����������
.�
.
�1������ ���������� ���������������������
�� ,�������������������������N��$� ����������������������������
$� ����1������ ���������� β ����� ���� �������� N3
����� ����������������������304
�2�������
<�� ��LLLLLL�� 6������ ��LLLL�
B���� ��OH 0��� ��5���� ��6� ����
B������ ��LLLLLL�� ������ ����:���;
B������� ���� "������������������������������������ ���
6����� ��0����������������� ��������������
������$���"� �&��� �+� ��"��� �2�
�������4�������������������������� ���
�������B�����
�� ����� �����
�� 2���� $������
����������2��.�
�� 2��������������1������ ������������������ ����)��
�� ?� ������������������������� ������ ������ ��������������������������
�������������� ���)����� ������CC�� .� �**#��������� ��������� �������
0�����8��������������� ������� "������� ����1������ �����
�� ?�������������������������:;�������������������1������������������������
������)��
������ �$����
�� 2����� ������� �������1�������� ��������������������������������� �
�� @�����������������������������
: ; :�**�;
�**�
� � �
�
�
�� 6��������������� ������������������������ ������ "�����������������
�**��
�� 6���� �������������������������������������������������:;�����-��**��
� 6������������������������������������� �����
!� 5� �� �����������������������������**C���������� ������ "��������
���� ���� ���CC� ��CC ��CC# ��CCC ��**� ��**� ��** ��**#
�����
Aktivitas Proyek
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 305
�F
BAB
Tujuan Pembelajaran
NILAI EKSTRIM FUNGSI DANMEMBUAT GRAFIK FUNGSI
Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu:�� �����������������������������*������������������ ���
�� ���������� �����������#�� ������� *���������� ��� ��������� �� ��
!� �������������������#��������*������
"� ������� ����� �*���*������
$� ����������� �� ���� ������������ ����#���� ��������� �
�������������� ��*������
%� �������������� ��������� ������ ��)���� ������������������
���� ������������� ��
&� � ������� *������ ����������� ����� �������#������������
�� �� ������������
'� ������������� ����������� ��#�������������
<� ��� ����� ��*�� ��� �� �������� ����������� ��������
�� ��� �������������������������306
A������������������������������� ������ ����������������������������������
������ ���� �� ���������� ���� �!����A������,� �� ��������� �������������������������
�� ��������� ���� ��%����� ������������� ������� �����#�������������������������
�����#���� �������,��/������� �������������������� ����#��� ������>���� ��������$O�����
������ ���������������������������� �����������������)� ������������������ ���
�� � ���������� ��������� �����-�.���� �����#������� ������������������,����� �����#��
���� ��� �����
������4��
,��)������ ������������� ����������� �������������#�������*�������������
�� ���������������� ���� ��)� �� ������� ������� �������� ��� �������������� ���
������� ���� �����*������������*������������� �����
Pengantar
� ,
�
!
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 307
D� 5��� ��3��������5��� ��)����
A��� �<������ ����� �������� �*��� *������ 8������ ���� J��� 1 6[ , ]x x ��A �*��� ���
��� ����������>�� ����� �������� �� ��� ������������ J���� ���� ��������������
*�������� �������� ������ ����� �������=����� ����� ����� �������� �� ��� ���������
�� J�������,������������*�������� �� ������� ������ ����� ���������(����������
���������������>�� 8� ������ ����� ���� J��� 1 2[ , ]x x ����� ������ ����� 2 3[ , ]x x ��(�*�����
*# ��� ��������� ������� �����
������ 4��
������ �� D�
�� +������8�������������������������� J���������������������� ���� ,1 2x x I∈
������� 1 2x x< ������ 1 2( ) ( )f x f x< �
�� +������8�������������������������� J�������������������� ���
������ ,1 2x x I∈ ����� 1 2( ) ( )f x f x> �
.
,��������� �������� �<���*�������8���������������� J����� �����
W'���'
�Z��W'
!��'
"Z������W'
$��'
%Z
+������8� �� ������������ J����� �����
W'���'
!Z�����W'
"��'
$Z
E�������� ����������� ��������������� �����*����� ���������
)������� D�
4��������8��*������ �������� ����� �������������� J����� ������W���Z�
�� /���� '( ) 0f x > ��������������'��������������������8������������W���Z�
�� /���� '( ) 0f x < ��������������'��������������������8���� ��������W��Z�
�
-
.
/
,
�
'�
'�
'(
'�
'*
'1
&
'
�� ��� �������������������������308
����� � D��
(��� ����
8��'��;�'!�8�%'
��:�<'�:�
5����������������� J�������8�������������� ���
�����������
3�������� ��
2'( ) 3 12 9f x x x= − +(�������������� '( ) 0f x = ���������� #��
23 12 9 0x x− + = ⇔ �!�'�8�!��'�8����;��
����������⇔ �'�;�!��������'�;��
)�&�'� � D�
(� ��������<�������������������>��8��������������'�C���������'�B�!�������� ��������
��C�'�C�!�
����������������4�(����8���8#�����3 26 9 1y x x x= − + +
����� � D��!
(��� ����
2 4 , untuk 3( )
8 , untuk 3x x
f xx x− <
=− ≥
⎧⎨⎩
5����������������� J��������8�������������� ���
�����������
+������8������������ ����� ���������'�;�!��������-������
2 , untuk 3'( )
1 , untuk 3x x
f xx<
=− >⎧⎨⎩
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�C��
��C�'�C�!
!�C�'
:
8
:
8�����
8��� ��
8�����
&
'
%
"
�
����������������������������������!����������"����������$
'
&�+�'!�?�%'
��9�<'�9��
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 309
(�������������� '( ) 0f x = �����
�'�;���⇔ �'�;��
)�&�'� D�!
5�����<����� ���������>��8��������������� J�����C�'�C�!�������� ��������'�C�������
'�B�!�
����������������������4��
�
�� 2����� ������� *������ �������� ������ ��������� ���� J��������� *������ ��������
����� �� ���
�� 8��'��;�'��8�"'�8�! �� �8��'��;�'
!�8�!'
��8�<'
�� 8��'��;�'��8�!'�:�� �� 8��'��;�
14 '
"�8�'
!�:�'
�
)� 8��'��;�'!�8�<'
��:��$'�8�$ *� �8��'��;�!'
"�8�"'
!�8���'
��:�$
�� 2������������ *������ �������� ������ ��������� ���� J���������� *������ ��������
����� �� ���
��
1( ) 2
2f x x
x= + �� �8��'��;����8�'�
����:�'�
!
��
2( )
2x
f xx+
=−
�� �8��'��;�����'
)� ( ) 5f x x x= − *� 8��'��;���8�!�'�8�"��K!
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�C��
��C�'�C�!
!�C�'
8
:
8
8��� ��
8�����
8��� ��
$
"
!
�
�
�! �����������������!����"����$���%����&����'���<������'
�"
&
Latihan 9.1
�� ��� �������������������������310
!� 0����������>��
1y
x= ���������� ���
"� 4���������8���������������� J������0����������>��
�� /������'��;�8��'��:�,��������������������
�� /����*������6�'��;�88��'�������6��� ����������
)� /������'��;��K8��'������8��'��B������������������� ����������
D�! 3�'��� .� ����
0��� ��������������� ���� ����� ������ ���������������� �#���������#������
(������������������������������������)� ����#����� ����������������������������
��������)#��#����������������������������������#�� ��������������������>��
�����,� �#����� ������������ �����������������)� ��������������� *������� �� ���
������� ����� ��� ��������� ���� ����� �� ���������)� �����������������7��
�� ����������������������������������������������������������������������
*������� ,������� ��� ������������ ��������� ������ ����������������
������������ �*���
/������������������������� �<���� �������� �����-������� ������������� �������� �
������������������ � ���(������������������� ����� ����>��������-������������
�����*�� ������ �� ����� ������,� �����.� ��������� � <��������� �����������)��������� �
������������������ � ���(������������������� ����� ����>��,�����.�����������
�����*����)� ��������������� �����*�������� �����
������ �� D�!
�� +������ 8� �������������� �����'������ �������'����� ���%�� ����� �� �����
���� J��� �� ����� ��������� %�� �������� ( ) ( )f c f x≥ ������ '� ����
���� J��� �� ������
�� +������ 8� �������������� �����'����������� ��'����� ��� %�� ����� �� �����
���� J��� �� ����� ��������� %�� �������� ( ) ( )f c f x≤ � ������ '� ����
���� J��� �� ������
!� +������8� �������� ��������������� �����*����������� �����*����%�
�������������� ����� �������'��������%�
A��� �<�$��������������������������������� ������������ �*���������*�����
�������� ��������� �����*� ��� %�� ����������� ���� � <�%������������
����������� ��������� �� ���������� �*��� *������ �������� �������� �����*
���%�
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 311
������4�*���� ���������#��8#����
������4�1���� ��������#��8#����
/����������� ����������� �<�$���������<�%������������ ����������������������%��8�%��
# ��#����=� ���������� ������������ '( ) 0f c = ��3�����������������)� �������� �����
���)�� ����
������ �� D�$
/���� '( ) 0f c = ������ *������ 8����������� �� ���������%��D����� 8� �%������������'��
�� �������� ��8��5������%��8��%����������������� �� �������� ��8�
�������� ������������������ �<�$���������<�%�������>��*������8��������������%
���������� ����� ����������������������-��
(� ��������������������������������� ��������������� ���������
)������� D�!
/����8���� ��*������������������������� ������� �� �����*����%����C�%�C�������
'( ) 0f c = ������ '( )f c �����������
0�������� %������������ ������� 8� �������� '( ) 0f c = � ����� '( )f c � ��������������
������ ��������&�'����������� �
���������%��������������������' ��������%��������������������'
��������������������������������������������������������������������
�� ��� �������������������������312
9���� �������� �� �� ���� � <�$� ���� ���� <�%� ���� ��)� �� ��#�� �� ����� ������ ����
�����������>�������*������8�� ������)����������� �����*����%������� �*���8���
�� ��������%�������������������%��� ������������ ����� ������ �<�$���������<�%����� ����
*������8���)���������� �����*����%������� �*�������� ��%��� ����������������%������
(������*�������������5�# ���<������������� ���������������� �� �������������������
2���5� �����,� ����������L��� ��6�����*�
)�������D�$���%���)��������������������.� �����;�'�����
4��������8������ ����� �������������� �%���)���������������%������ ��
�� /���� '( ) 0f x > �������'�C�%������ '( ) 0f x < �������%�C�'������*������8����� ��
������������ �����*����%�
�� /�����������'�C�%�������������%�C�'������*������8����� �������������
�����*����%�
�������� ����������� ������������������������������ ���� �� �����*� �����
*������8��������
�� 5������� '( )f x �
�� 5������������������ �����������'���� '( ) 0f x = ����� '( )f x ������������
!� A������������� ������� �����5�# ���<�!��
����� � D�!�
(��� ����
8��'��;�'!�8�%'
��:�<'�:�
5������������������ �� �����*���� ��*������8�
�����������
�� 3�������� ��
'( )f x ;�!'��8���'�:�<
�� (� ��)#��#�<�����
'( ) 0f x = �⇔ �'�;�!���������'�;��
!� (������������ ������� ���������� ������������������������<�!�
)�&�'� D�$
(� ��������<�!��������� ����������>�������������� �����*���� ��8�������$� ���
�� ���������'�;������������������� �����*��� ���8���������� ������ ���������'�;�!��9���
����������� �<�!�
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�C��
'�;��
��C�'�C�!
'�;�!
!�C�'
:
�
8
�
:
8�����
8����� ��������������� �����*
8��� ��
8����� �������������� �����*
8�����
$�%�
$
�
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 313
����� � D�!�!
(��� ����
2 4 , untuk 3( )
8 , untuk 3x x
f xx x− <
=− ≥
⎧⎨⎩
5������������������ �� �����*��� ��*������8�
�����������
�� (� ��)#��#�<������������� #��
2 , untuk 3'( )
1 , untuk 3x x
f xx<
=− >⎧⎨⎩
.�������>��8������������ ����� ��������'�;�!�
�� (�����������
'( )f x �����������⇔ �'�;�!�
���� �����#��
'( ) 0f x = �⇔ �'�;���
!� (������������ ������� ���������� ������������������������<�"�
)�&�'� D��
(� ��������<�"��������� ����������>�������������� �����*���� ��8�������$� ���
�� ��������'�;�!����������������� �����*��� ��8��������8"�� ������ ��������'�;����9���
����������� �<�"�
5������������������������� ������ ��*�����>��*������8������������ �����������
� ������2( ) ( 6) cos 2 ( 2) cos1f x a a x a x= + − + − +
=�0������������)�������'��
3������ ����������� �<�&��3������ �*������������������������������������� ���
����������� �������� ����� �������������������� �� ������ ��������0�������
�� ������������� ������� ���-�,����A��� � <�'� ����������� �������� ������ ��
����������� ���������� J�������,�������� ������� J���� ���������������� �����������
����8�)��������������������������,�������� ������� J���� �����������>���� �����������
����� �*�����)�����������>�������������
�
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�C��
'�;��
��C�'�C�!
'�;�!
!�C�'
8
�
:
���������
8
8���� ��
8������ �������������� �����*
8������
8������ ��������������� �����*
8���� ��
$�%�
8"
$
Tugas Mandiri
�� ��� �������������������������314
&
��������������������������������������������������'
�
8
�
���������&
��������������������������������������������������'
���
�
�
�������������������������������������������������������������������������������
������ 4�2
������ 4�3
��)� ��������������� �����*�������� ���������
������ �� D��
A �*���*������8������������0������������ ���������� J������������ �*���8��� ��������
����� ������� ��� ��������� ������� ���A �*��� *������ 8� � ���������� 0��������
&�<� ���������� J������������ �*���8��� �����������>��������� ������������ �
�������
/����������� �������� �*������� �<�'�������� ��������� ���� ��������������� �����
�� ��� ����������� ��������� �� .��� � ��� ����>�� �� ����� 'f � ������ *�����������
�������������� ����� �� ''f ��������#����*���� �������������� �<�'��������� �����
�� �������������� ��� ������ ���� �������������������� 'f �*�������� ��������� ������
''f �������������*������������)� �������������� ���������)���������� ���������
)�������D��� �%���=�0��������
�� /���� ''( ) 0f x > ������������'�������������� �*���8�)���������������������
�� /���� ''( ) 0f x < ������������'�������������� �*���8�)�����������>���������
&
������������������������������������������������'
�
8
�
&
������������������������������������������������'
�
�
���
���������������������������������������������������������������������������
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 315
(� ��5�# ��� <�"� ����������� �� ��� ��� ���� ��*�� ��� �� �� ������ �*��� �������
''( ) 0f x = -�4�����������������>����� ��� ��������� ���������������� ������� ������
�� ��������)���������� ��)���������������� �����������)�����������>�������
�������� ���(������������������������� ������� �*��� ���������������#����� �
�� ������������
������ �� D�*
5�������������� J���������� ������&�'��� ������� J���� ������ �� )�������������
�������)�����������>���������� ��)�����������>���������)�������������
�����
���������#����������5�# ��<�"��������� ���������������������������#��������� ����
����������������� ������������������#��
)������� D�*
/����8����� ����� �������������� J��� ���������%�������%��8��%��������������
���#������� ''( )f c ���������� ''( ) 0f c = �
����� � D�!�$
(��� ����
8��'��;�'!�8�%'
��:�<'�:�
5�����������������#��� �*���*������8�������������� J���������� �*��� ��)�������������
����)�����������>��
�����������
(� ��*������ �������� ����
'( )f x ;�!'��8���'�:�<������� ''( )f x ;�%'�8���
''( )f x � ���������� �������'��4��� ���5�# ���<�$������������� ���������#���� ����
���������'��������� ''( )f x ;����
%'�8������;���⇔ �'�;��
3������ ����������� ''( )f x ��������5�# ���<�"�
)�&�'� D�*
(� ��5�����<�$��������� ����������>������!�����������������#��� �*���*������8��� �*��
)�����������>����������� J���� 2x < ������� �*���)����������������������� J��� 2x > �
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�C��
'�;��
��C�'
8!
� �*���)�����������>�
� �*������� ������������#�
� �*���)�������������
$�%�
�!
� �$ %′′
8
�
:
�� ��� �������������������������316
������ 4�4
������� ��� ��*�������������������� ���������#�������������� ������� �� �� ����
��������������>���� ������� �������������������������������������� �� �����*�
)�������D�-� �%���)�������=�����������.� �����;�'�����
4��������8����� ����� �������������� J����� ����� ���������%�����
'( ) 0f c = �
�� /���� ''( ) 0f c < ������8����� ��������������� �����*����%�
�� /���� ''( ) 0f c > ������8����� �������������� �����*����%�
����� � D�!��
(��������*�����
8��'��;�'!�8�!'
�
5�������� ������������ �����#�� ����� ��� ������ ��
�����������
3�������� ��
2'( ) 3 6f x x x= − ���������� ''( ) 6 6f x x= −5����������#�� ����� #����������� '( ) 0f x = �
'( ) 0f x = 2 3 6 0x x⇔ − =2 2 0x x⇔ − =
0 atau 2x x⇔ = =(������������ ����������������������������������� �� ��
)�&�'� � D�-
(� ��5�����<�%��������� ����������>���������������8"�������������������������#�� �
������������� ������������������� �����*���������� �����*�
&�+�'!�?�%'
��9�<'�9��
'
&
���������������������������!����������"���������$
'
�
%
"
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�;��
'�;��
�
�
8����� ��������� �����*
8����� �������� �����*
$�%�
�
�8"
� �$ %′′
8
:
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 317
������4��5���8���8#�����&�+�'(�?�('
�
�� 2����� ������� *������ �������� ����� ��������� ������������ �����#�� ����� ���� �
�����*������������ �� ������� ����
�� 8��'��;�'��:�"'�8�! �� 8��'��;�'
"��:�"'
�� 8��'��;�'!�8�!'�:�� �� 8��'��;�"����
12 '
)� �8��'��;��'!�8�<'
��:��� * 8��'��;�
15 '
$�8�
53 '�
!�:�"'�:��
�� 2������������*�������� ������������������� �� �����*�������������� ������� ����
�� �8��'��;��'�:�����'�8���
��� 8��'��;�
23x �'�8���
�
�� 8��'��;�' 3 x− �� 2
2 9 , untuk 2( )
1 , untuk 2x x
f xx x
+ ≤ −=
+ > −⎧⎨⎩
)� 8��'��;�'�8�
133x *�
2
2
4 ( 5) , untuk 4( )
12 ( 1) , untuk 4x x
f xx x
− + ≤ −=
− + ≥ −
⎧⎨⎩
!� 5������������ �� �����*��� ��*������������#����## ��������## �������������
�� �������������������������
"� 2������������� �*����� ��*�������� ������������������������#�� ������������������ J��
������� �*���)������������������)�����������>�
�� 8��'��;�'!�:�<' *� =�'��;��'�:���
�K!
�� ��'��;�'!�8�%'
��:��� �� 8��'��;��'�8���
�K!
)� 6�'��;�'"�8�''
!� ��'��;� 2( 3)
2+x
�� /�'��;��'�:���!
�� 6�'��;�� 2( 4)+xx
�� ��'��;��'�8���!
�� ��'��;���)#��!'
�%
�"
��
��
��'
��%
��"
���
���
���
����������������������������������������������������������!������������"
�&
�'
&�+�'!�?�!'
�
Latihan 9.2
�� ��� �������������������������318
$� 5������������%�����!���������� �*���*������8��'��;��'!�:��'
��:�%'�:�!������ ��
���� �� �����*��������!���������� ������������#���������8���
%� 5���������������� �������� *������ ��������*���������#��� 8� �'�� ;�'!� :��'
�� :��
���� ������� �� �����*��������!��
&� (��� �����8��'��;�'!�:�!'�:�$��0��������
�� /������B��������8������������ ������� �� �����*�
�� /������C��������8����� ������������������ �����*�
'� ���������������� ������� ����������� ������������� � ������(����'� �����
��������������������� ������������� ������������������������ ����������
2
2 230
(1 )x
Px
=+
��������� �������������������� ������������������ ��������� ������ �����
������ ����������� �-
<� �A�������3�������# ���(������ ���oC �����!�
oC ��J#����C� ��������������
��������� ��������� ����������:���)� ����� ������� �����#��� ����
2 3999,87 0,064267 0,0085043 0,0000679V T T T= − + −5������������������������������� �������� ���)������� �������������
��� A� �� �������� ��������������� ������������� ���H����������������������
���� �����#����� �����
sin cosW
Fμ
μ θ θ=
+
�������θ ������������� ������ ����������� ���������������������� �� 02
≤ ≤θπ�
���� μ ��������#���������#�*���������������9�����������)#��#�!���"������#��
����������#�!�����'��,� ����������>��/������������� tanθ μ= �
D�$ .� �����,��'�������� �����1�'�)�������
,���� �������� <��� ����� ����������� ��>�� � � ��� �� ��� *������ �#�����
���� ������ �� �����*����%��������� ���������������>��%����������� ������5�����
�������� ������� 8������� ���� J��� �� ������������������������������������ *�����
�� ���� ������ �� ��)�������� ���� J��� �� �������3������ ������� ����� ���� *�������� �����
4��������8������ �����#��
2
1 , untuk 1( )
6 7 , untuk 1x x
f xx x x
+ <=
− + ≥⎧⎨⎩
�������� �*��� 8� ������ ���� J��� W8"��"Z����� �����#������� �<�����,� ���������>�� 8
���� ������������� �� �����*�����'�+�������'�;�!���� ����������!����������������� ����
8��������
8�����;�����������8��!��;�8�
3�������������8���������������� J���
8�8�"��;�8!���������8��"��;�8�
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 319
/������������� #����������� ���� ��� ��8���������� J���W8"��"Z���������������������� ��)��
�� ��8���������� J����� ������������8!��D����� ����������������������������������'��
��� ��������'���������'��������������'����� ��8������W8"��"Z�
������4���
������ �� D�-
4��������*������8���� ��*��������������� J����� ����������%�����#������� J���
�� /���� ( ) ( )f c f x≥ ������������'���������� J���������8�%������������'��
��� ��������'����� ��8� ���������� J����� ������
�� �/���� ( ) ( )f c f x≤ ������������'���������� J���������8�%������������'��
�����������'����� ��8� ���������� J����� ������
!� /����8�%�����������������������������������8�%������������'��
�� ��������'����� ��8�
+����� ��� *������ 8� � ����� ����� ������� ����� ������ *������ �����#����������� ���� J��
�� ������ W8"�� "Z��E����� ���� �� ����������� ���� ���� *������ �#����������� ���� J��
�� ������
)�������D�>� �)�������3�'���.� �����
/����8��#��������������� J����� ������W���Z������8���)����������������
��������������������������W���Z�
(� ������� �������������������������� ����������>����������������� �������
�� ��*�������#��������������� J����� �������� ������������������� ������������� ����� �>���
����������������� �����#������)� �������� ���� ���������
�!
��
��
���
���
��!
��"��������!�������������������������������������������������!�������"
��"
�&
�'
�� ��� �������������������������320
,������ �����1�'�)�������
2�������)� �����������������������������������*�������#������8
��������� J����� ������W���Z�
�� ?� �����������8�������������� �����8����������������
�� ?� �����������8��������������������� J���
!� 0������������������������������������������� ������ ���� ������
�����������������=� ������ ��)�������������������������
����� � D�$�
(��������*�����
8��'��;�'�8������'�����0 2x π≤ ≤5������������ ���������� ��8����������� J����� ������
�����������
+������8�'��;�'�8������'���#��������������� J��� [0, 2 ]π ��3� ����� '( ) 1 2cosf x x= − ������
�� #��� '( ) 0f x = ��������� cos 1 2x = ������������ ������������ 3x π= ������ 5 3x π= �
D�����8��������������� ��������������
( 3) 2sin 3 0,6848533 3 3
fπ π π
π = − = − = −
���
5 5 5(5 3) 2sin 3 6,968039
3 3 3f
π π ππ = − = + =
D�����8��������������������� J��������
(0) 0f = ������� (2 ) 2 6, 28f π π= =(������������������ �������������� ����������������������4��#���������
5������ ����� �� #��� ����������������� ������ ( 3) 3 3f π π= − � �� ���� �����
������������������ (5 3) 5 3 3f π π= + �
-1 1 2 3 4 5 6 7x
2
4
6
8
y
2 siny x x= −
������4������8���8#����� 2 siny x x= −
�
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 321
����� � D�$�!
5�����#��6�������������E�����������������������"��� ����<<��#�������>���������
�����(��)#J� ��4#���� ������ ��)�����������>��� ����������� ���������� ����� �����
�����)� ������������� �;�������������# #��� #�������������������������������
;���%������������ �����#��
3 2( ) 0,001302 0,09029 23,61 3,083v t t t t= − + −������ ����� �� � ��������(������#���� ����� �� �� ����� ������ ���� �������� �� �
�� )�����������>��������������������� �������)� ���������������������# #���
�����������
+�������� )�����������������>��������
2( ) 0,003906 0,18058 23,61dv
a t t tdt
= = − +
3���� �� ������4��#��� .��� J��� 5� ������ �� ����� *������ �#������ �� ����� ���� J��
0 126t≤ ≤ �� �5� ����� �������
'( ) 0, 007812 0,18058a t t= −0��������� ������� ���� ������������ '( ) 0a t = �
10,18058
23,120,007812
t = ≈
(����������������� ��������������� �������������������������������� #��
�����;��!�%=���������� 1( 21,52)a t ≈ =��������������%��;�%��'&
/������� )��������������� ���� ��%��'&�����K�������������� )�������������� ��
�� �����$������K�������
���� ���������������������������������,������� ���-� �����.�� ����������
����������$�������������� ������������/�������������� ����0����� ��
����� � ����� ���$ � $����� ����� ����/��� ��������� -� �� ���� �� ���� ��
�������.�
�� �8��'��;�'!�:�$'�8�"�����W8!��8�Z $� 8��'��;�
2x
x +�����W8���Z
�� 8��'��;�'"�8�''
��:��%����W8"��Z %� 8��'��;�
12 3xx+−
������W���Z
!� 8��'��;�����'�:�)#��'���[0, 3]π &�
23( ) ( 1)f x x= + �����W8���Z
"� 8��'��;�'�8��)#��'���[ , ]π π− '�
2 7 , untuk 1 2( ) 21 , untuk 2 4
x xf x
x x
− − ≤ ≤=
− < ≤
⎧⎨⎩
Latihan 9.3
�� ��� �������������������������322
<� ,���� ������#�#�#���� �� �������� ������� ������ �� ���� �� ������ �����
140x p+ = ���������'� ��� ��� �� ��������� ���� ������� #������ �������� �
����"�������� �������� ������������������0�� ��� #������������������ ����
�������� #������'������������ �����#��
2( ) 300 20C x x x= + +������ [0,140]x∈ �
�� 5��������*������������������#����
�� 5��������*������������������ ����������*��������� ��� ������
)� 5��������������������������������� ��
��� �4�������������������#�#�#������ �������� ��������������� ������ �����
������15 100p x= − �� �������"� ������� ������� � ��� '� �� ���� ������
[100,1000]x∈ �� 0�� �� � #������ ����� ������� ������������� #������'
����������� �����#��� ( ) 100 2C x x= + �
�� 5��������*������������������ ����������*��������� ��� ������
�� 5��������������'� ��������������������������������
D�� ,������&���(������ 5��� ���'��&��
���������� ��������� ��������������� ���������� �������� *������� ���������
���� ��� ������������������������������������ ������������������� ����� �*��
��)� ������ ��3�������� ������#����������������������� �*���*������&�;�8��'��
�� (�� ������
�� ,� �#�#����� ����
,� �#�#����������&�������8����������� �#�#����������'�����������������&�;
��
!� ����#�
F�@ ���� 7 � !� ��� A� ��� &� +� �� ������ ����#�� ���� �� �����lim ( )x
f x L→∞
=� ����
lim ( )x
f x L→−∞
=��
F�@ ���� 7 � ������A� ���'�+�%�����������#�������������������������������������������
�� �������������
lim ( )x c
f x−→
= ∞ lim ( )x c
f x−→
= −∞
lim ( )x c
f x+→
= ∞ lim ( )x c
f x+→
= −∞
"� .��� J�������������� ��
$� D����� ���� ������ ��� ������ �
%� 3�)���������������������#�
&� A��� ���� ��������� J�
����� � D���
A��� ����� �*����� ��*������8��'��;�'!�8�!'�8���
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 323
�����������
�� (�� ������������� � ���������������������� �������� ����8�������� ���
�� 5������#�#���� �*���������������'�� �����������&�;���
&�;���⇔ �'!�8�!'�8����;��
⇔ ��'�:������'�8����;��
⇔ �'�;�8���������'�;��
/������������#�#���� �*���������������'��������8����������������
5������#�#���� �*���������������&�� �����������'�;���
'�;���⇒ ��&�;��!�8�!���8����;�8�
/������������#�#���� �*���������������&�����������8���
!� 3� ����8�������� ������������������ �������#��
"� 3�������� ���2'( ) 3 3f x x= − ����� ''( ) 6f x x= �
'( ) 0f x = ��⇔ �!'��8�!�;��
⇔ �!�'�8����'�:����;��
�⇔ �'�;���������'�;�8�
���
��� ''( ) 0f x = ⇔ %'�;��
�⇔ �'�;��
3���� ����������� �
)�&�'� � D�>
(� ��5�����<�&����������� ����8������������������������ �����*���������8"�������
����������� �����*�
������ 4��(
� �����1�' =� ����'��� �$ %′
'�C�8�
'�;�8�
'�;��
8��C�'�C��
'�;��
��C�'
:
�
8
�
:
8�����
8����� ��������� �����*
8����� ������������#�
8��� ��
8����� �������� �����*
8�����
$�%�
�
�8�
8"
� �$ %′′
8
�
:
&
'
�������������������������������������������������������!
�$
��
���
�"
�� ��� �������������������������324
-2 2 x-3
3
y
����� � D���!
A��� ������������ �*���*�����
3 6( )
2x
f xx+
=−
�����������
�� 5����� ��>�� *������ ������ �� ��*������ ��� '� ;� ��� �������� ��� �� ����� �
{ }| 2x x∈ ≠� �
�� 5������#�#���� �*���������������'�� �����������&�;���
&�;����⇔ �!'�:�%��;��
����⇔ �'�;�8��
/������������#�#���� �*����������������'��������8�������
5������#�#���� �*���������������&�� �����������'�;���
'�;���⇒ �
3.0 63
0 2y
+= = −
−/������������#�#���� �*���������������&�����������8!��
!� 3� ����
2 2
3 6lim ( ) lim
2x x
xf x
x+ +→ →
+= = ∞
−�������� ���'�;�������������#����������������
������ 2x → �� �*��� �����������∞ �������� −∞ �
3� ����
633 6
lim ( ) lim lim 322 1
x x x
x xf xx
x→+∞ →+∞ →+∞
++= = =
− −�������� ���&�;�!�����������#�
���� ���������������� x → +∞ �� �*��� ������������� ���&�;�!�
������4����
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 325
A��� ����� �*����� ���������*������ �������� �����
�� 8��'��;�'!
&� 8��'��;��'�:���!�'�8���
�
�� 8��'��;��'!�8�%'�:�� '� 8��'��;
12 '
"�8��'
!�:�!'
��:��
!� 8��'��;��'�8������'�:��� <� 8��'��;�'
"�8�''
��:��%
"� 8��'��;�'"�8��'
!����
10( )
( 2)=
−f x
x
$� 8��'��;�'!�:�$'
��:�!'�8�" ����
2( )
( 4)=
−x
f xx
%� 8��'��;�!'$�:�$'
"����
( 20)( )
(2 3)−
=+
xf x
x
D�* ,� �'� �������������
4��#��� �������������������� ���������������������������������)� ������������ �
�������� ��� ���� ����� � ������ ����� ��� ��� ������� ���������� (���
��)������ ������ ���������� �� ���� � ������������������������������
�����������������#����������������������� ��)���� *������ ����� ��
�����������������������������)� �� ������������������ ��� ���������J����
����� �������)����������� ����#�������� ������� ��)����#���
������������ ����������#������������*�� ������� ����������0� ����� ����� ����
������ ���������������������)���������������#������
�� 4������� �������
0�)���������������������������5�� ������������ ����������� ������� ���
��������������-��������� ��� ������������-������ � ��� �������� ����-
�� A��� ����� �
/������������������� �������� ��
!� ,� ����������#����
0� ����� ���#������������ ��� ����� ����������������������������
���������/���,������������� ������� ��� ����������������������������������%�����'
&��
"� 0������ ������/���������#�����#������ ��� �������������������
$� A���������#�����������������������������������������
����� � D�*�
�������� ��������#������ ����������������#������������������ ���� �#���� ������
�� ����� ������ ��� ������ ��)���,���������#���������������������)� ���#�#��
�� ������� ����� ������� ��� �������� ��������������� �����������������������
����� �����������5����������� �����#�#�������� ����� #����#������ ��������������
�� ���� �
Latihan 9.4
�� ��� �������������������������326
�����������
A��� � <��$� ������ ������� ����� ���� ��� �#���������� � <��$� ������ ������
�#���� ���������������� ���� �#���� �������4��������'���)��������������� ������� ����
�� ����������������� �#�������������������� �������������� �� ��������#����������
��� �������8��'����)�������8��'����)������'���)���,� ����������� �<��$������/����C�'����)�
�������� ������������#��������
C�'���;�����8��'������8��'��'
������;��""'�8�"''���:�"'
!
(�� �������C����������� J����� ������W���%Z��4������-
������ 4��*
3��������������������������������� ��C������ ���� J��� W��%Z��������4��#��
.��� J����� �������3�������� �� '( )V x �;��""�8�<%'�:���'��
'( )V x ;�� ⇔ ��""�8�<%'�:���'��;��
⇔ �'��8�''�:����;��
⇔ ��'�8�%���'�8����;��
⇔ �'�;����������'�;�%
/��������������� �����C�������������%��D�����C�������������� ���������������������������� J��
������������������C� �� ������������������ ������������������������� J���
C����;��� C����;���'� C�%��;���
/�������#�#������������� �#����������������)����������� �����J#�����#������ ���
������������ ���'���)��������
����� � D�*�!
9���������� �������������� ������������� ������ ���������������������� � ��������
������ �� ������� ���������� ����� ������ ������ ����������� ���E� ������ ��������������
���������� ���������� ��������������������6�������������� ���� ������� ������ ���
���������� ����������������� ��������6�'����������� ���� ��5����������� �����������
���� ����� �� �� ���� � ���������������� ������������� ���� ���6�!%������������
��8� �P
��8� �P
P
��8��P� � ��
��8� �P
��
P
P
P
P
P
P
P
P
��� � ���
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 327
�����������
4��������'���� ����������������������������� ������������ �����������������&����
������������������� ��������� ���������� � ��������������� ����� ������������ ������
���� �<��%�����
��+�'&�
������ 4��1
E� ������ ������������������������ ������������ ���������������6�'�����������
��� ��3� ������������ ��'���� ������� ������ ���������������������� �����������
'����'� ������E� ������ ����������������������������������&� ������(���������#���
��� ��������6�!%���������������
80000x + 80000x + 120000y = 36000000����
"'�:�!&�;�<��
3����� �������&������'���&�;�4300 3 x− ��������������������������������������
��+���'��;�4(300 )3x x− ;�
24300 3x x−
3������ ������������ ������� �����8'( ) 300 3A x x= −
'( ) 0A x = ⇔ �8300 03 x− =
⇔ �'�;�����$
2�����'�;�����$�����������������&�;�4300 (112,5)3− ⋅ ;��$��������������������� ��
����������������� ����
��;������$���$���;��%'&$��
/����� ����� �� ���� � ���������������� ���������� ���6�!%�������������������%�'&$
��� �������� #������������������������� ���������� ��������$���������������������
����������� �������������������$��
������� � �
''
&
�� ��� �������������������������328
2����������� �����������������������������������������������������#����
���� ������������� ������ ���� ����������������������� �������������������>��
����
����� � D�*�$
5����������������������������� ������ ����������������������������������� ���
�� �������������� �!����5�����,��� ������������������������������� �������������� �
%����� �����,� ������������#����������������������������� �������,��/������� �
������������������ ����#��� ������>���� ��$�O������������ ���������������
������ ��� �� ������ ����������� )� �� ���������� ������ ���� �� � �� �����
�� ������� �� �����-
�����������
(� ����*# ���� �������� ������������>����������������������������� ������ ��������
���� ��������,��������������������������� ��������������� �������,��4���������� �������
��������'���������� ��������,��������%�8�'����� [0, 6]x∈ ��3�������� �������������
�� ������ �<�������������� �<��&������>��
3�������������������'�� ������#�������� ��������,�'��������3� ������� �
�����,�'������ J����� �����������������������������4��#���.��� J���5� �������+����� ��
*������,�'����#�����������W���%Z��������������� �������3�������� ��
2
5'( )
4 9
kxC x k
x= −
+
������ 4��2
(�������� ���������� '( ) 0C x = �������'����� #��
2
50
4 9
kxk
x− =
+�⇔ 25 4 9x x= +
������������⇔ 2 225 16(9 )x x= +⇔ 2 16x =⇔ 4x = ±
�
� ,
!��
'�� �%� ?�'���
�
+� �
! '
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 329
5������8"����������� ���� ���������������������������� �����������,�'����������� J��
W���%Z�������"��D�����,�'���������������� ������������������������� J��������
,����;�394 k ��������,�"��;�
334 k �����������,�%��;�
154 5k
5�������>��������������� ��,�'�� � ����� ���� J��� W��� %Z� ������334 k �� ���
�� �����������'�;�"�� /����� ���� ���� ����������������������������������� ��
����������� ��������������>���� ������������������ �������,������ ������������
��� ��!!�K"������ ����������������������#��������
(�����������#����#����� ����������#�#���������������� ���������� ��
�� /�������D# ��������� ������������ ������������ ������������� ������
����� ���� ���� �������� ������ ���� /������������� ��������"���� �� �� �����
�� ���� �� ������ ������ � ����������� �� �����������-
�� ������������������������������)����������������6���� ���������� �����
������ ������ ��� ����� ������� ���� ������� ������ �� ���� �� "����� �� .���������
��� ��� ��� � �� � ����� ���� ���� �������� ����� ������ ����� �������� ��������
�� ������#������������θ ����������� �<��'�������� ���������� �������� ����
���� ����� ���!��� ������ �)�� ���,� ���������������#�������������## ��
����"�
hθ
d
P40
������ 4��3
�� ���� ����������������������������������������
�� /����������������������������6���� �������# ������ �����������������
����������� �����"���� K�������,���� ������� ������ ����������� )�� ������
����������������� ��"���� ����������� ������������� �� ��������������
��)����� ����� ��� ��� �� ������ ��� ����������� �� �����-
Tugas Kelompok
�� ��� �������������������������330
�� E������������������������#����*��������%��5������������������������������������
�� ����� ������
�� ������� ������������� ������������ ����������������������
�� (�������������� ��� �������� ����� ������'��:�&
��;�<��5��������
�� �� ����� �������� ���������"��$���������������������������� ��
�� �� ����� ������ ���������"��$���������������������������� ��
!� 5�������� ������� ������������� �� ���� � �������� ������ ������ �� �� ����������
�����'�������������������������������� ���� �������������������'���������
�� ��#���&�;�<�8�'��
"� ,� ����������������� �������� ��� ����� �� ���� � �������������� ������)-
0� ����)�������� �� ���������-
$� 9������� ���� ������������������"'�)��
�� /��������������������������� ��'�)������������������� �������'�
�� 5����������� ����� ���������������������������������� �������
%� ��������� �#���� ��������� ������������������������ �$���)��������������'���)��
,������������������� �#���������#�#������� ������� � ��������� ��'���)���(� �
������� �������� #������������#���������������� ����������� ��'���)���5�������
��� ����#������� ����� ��������
&� ��# ������������� ��������������������� ������� ������� ���� ���� ������
)!��3����������������������������������������� �����������)����5����������� ��
�� ��������������������������������
�� ���������������������� �� �����������������������
'� �������#���������������������� ���� ����������� ������ � ��������� ��'�)��.��
�#��������%"�)!�
�� 5�������������� �������'�
�� /����������� ������ ������ ��������������'�
)� 5������������� ����#����������� ������ ��������������������������
<� 5�������� ������� ������������ ���� �� ������%����� �� ������ �� ������������
������� ������ ������# ������ �������������������� �������� �������� �����������
,����������� ������ ��� ��<����� �����5� ����� ������������������������� ��
���������>��6��$���������� ����#��� ������� ��������������������������� �������
,��3��������� ����������,�� ������ �>��#���� ���� ��� ���� � ��������
��>��6������������� ����#��� ��5�������� ������ �������� ������������ �
�� �������������������,��
��� ����# ��������)� ������ ��� ���� ������������������������������� ����������
���� �!��������� ������������������������'������ ����� ������������� ���
�� ���� ���������)�������������7 ������ ���������������� ������ ��� �
����������� ��� ����� ���������� ������,��������������� �� �������� ��������
���������� �������������������-�������� ��,��������������������� �� �������
/������������ �������������)�������%�K��������� �� �����������)�������'
K������������������ ��� ������ �����������)���������)�����������-
Latihan 9.5
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 331
�� 4��������8��*������ �������� ����� �������������� J����� ������W���Z�
�� /���� '( ) 0f x > ��������������'��������������������8������������W���Z�
�� /���� '( ) 0f x < ��������������'��������������������8���� ��������W��Z�
�� 4��������*������8���� ��*��������������� J����� ���������%�����#������� J���
�� +������ 8� �������������� �����'������ �������'����� ��� %�� ����� �� �����
���� J��� �� ����� ��������� %�� ������� ( ) ( )f c f x≥ � ������ '� ����
���� J��� �� ������
�� +������ 8� �������������� �����'����������� ��'����� ��� %�� ����� �� �����
���� J��� �� ����� ��������� %�� ������� ( ) ( )f c f x≤ � ������ '� ����
���� J��� �� ������
)� +������8� �������� ��������������� �����*����������� �����*����%�
�������������� ����� �������'��������%�
!� 4��������*������8���� ��*��������������� J����� ����������%�����#������� J���
�� /���� ( ) ( )f c f x≥ � ������ ����� '������ ���� J�������� 8�%�� ����������'��
��� ��������'����� ��8� ���������� J����� ������
�� /���� ( ) ( )f c f x≤ � ������ ����� '� ����� ���� J�������� 8�%�� ����������'��
�����������'����� ��8� ���������� J����� ������
)� /���� 8�%����������������������������������� 8�%������������'��
�� ��������'����� ��8�
"� /���� '( ) 0f c = ������ *������ 8����������� �� ���������%��D����� 8� �%������������'��
�� �������� ��8��5������%��8��%����������������� �� �������� ��8�
$� /����8���� ��*������������������������� ������� �� �����*����%����C�%�C�������������
����������
%� 0��������%������������ ������� 8��������� ������ � ����������������������������
���������� �����
&� %���)��������������������.� �����;�'������4��������8������ ����� �������
������ �%���)���������������%������ ��
�� /���� '( ) 0f x > �������'�C�%�������������%�C�'������*������8����� ��������
������ �����*����%�
�����/���� '( ) 0f x < �������'�C�%�������������%�C�'������*������8����� ��������
����� �����*����%�
'� %���)�������=�����������.� �����;�'������4��������8����� ����� ���������
���� J����� ����� ���������%�������
�� /��� ''( ) 0f c < �������8����� ��������������� �����*����%�
�� /��� ''( ) 0f c > �������8����� �������������� �����*����%�
<� )�������3�'��� .� ������ /���� 8� �#����������� ���� J��� �� ������ W�� �Z������ 8
��)�������������������������������������������W���Z�
G� ,�����������1�'�)���������2�������)� ����������������������������
������*�������#������8���������� J����� ������W���Z�
��� ?� �����������8�������������� �����8����������������
��� ?� �����������8��������������������� J���
�!� 0��������������������������� �������������������� ������ ���� ������������
�����������=� ������ ��)��������������������������
Rangkuman
�� ��� �������������������������332
,��� � ���� �� ���� ����
���������� ��>�� ���� ���
������ �� ���� )���� ���
������� �� �� �������������
����������� � ����� ������ �����
� ��� (��� )� �� ��>�� ����
��� ������ ��� �������� �����
������ �� ����� ��������� ��
�� ���������������������� ���
��)� ����������������� ����
������������� ������������������
�� � �� ����E��� ��������������
��>���� ���� ��)� ������ ��
����� ���� � ���� ����
��������� �������� ��
��� ���
�� �������������������-1.����������$��������&��������������������������
����������������������������
�� ,���� ���� J��� 1 2x− ≤ ≤ �� *������3 23 3y x x= − + ����� ��������������
M��
�� �8�% 0� 8�� ?� ! (� % L� '
�� /������ �� ����������� ������������ ��� ��������������� ������ &$��D����
�� ���� ��� ����������������������������� ���������������
�� $� 0� &$ ?� �&$ (� �$� L� !$�
!� /� ����� ��������������"���������� J���� ��#���2 8y x= ������������
�� 2 0� 32 ?� 3 (� 2 2 L�����3 2"� ������� # ��������������������� ���#���������������������������'� � �
���������� ��� # ����� �� ��
1203 900x
x− +⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠� ����� ���� ��������� ���� �
� # ������������� # ����� ������������������������>���������� �
�� "� 0� %� ?� <� (� ��� L� �$�
������4��4��##��� �����
�#�������!7�������%��%�
Math Info
Uji Kompetensi
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 333
$� /����������������*������ 2y x p x= + − �������"�������������"�;�M��
�� ' 0� & ?� $ (� " L� !
%� ,� �������� ��� ����������� ������ ���� !�������������� ���������������� ��
�� ������������������ ��)��������������
��323 ( 2)y x− = − (�
233 ( 2)y x− = − −
0�323 ( 2)y x− = − − L�
133 ( 2)y x− = − −
?�233 ( 2)y x− = −
&� /���������������#�� ��� ��3 2( ) 1f x x px px= − − − �������'�+�"������������"�;�M��
�� �������� 0� �������
�
$
?� �������8� (� � L�
�
$
'� /� ��� �����������������#���������>����� ����� �����#���*�����
3 213( ) 3 5s t t t t= − + −
3�)�������#������ ���������)����������>����� �;������
�� � 0� � ?� ! (� " L� $
<� 5��������#���� ��*������3 2( ) 6 9 7f x x x x= + + + �������������
�� �8���!� 0� �8���&� ?� �8���$� (� ������� L�����������$�
��� 3� J��3 26 9 7y x x x= + − + ������������������������'�M��
�� 0x > (� 3x < − ������ 1x >0� 3 1x− < < L� 1x < − ������ 3x >?� 1 3x− < <
��� D������������� ��*������� ��#�#�� ��15 6( ) sin(5 )f x x π= − �������M��
��
�
$
0� � ?� � (� $ L�
$
%
��� A �*���*������3 2( )f x x ax bx c= + + + ��� ������������ J��� 1 3x− < < ��/���������
�������� ��8��'���������$����������������� ��������������
�� 8��" 0� 8�� ?� 8�& (� 8�� L� �
�!� �������� �)������� ��� �� ���� �������������� �� /�����:� �;�<������J#���
�������� �)����� �����������������
�� �"π 0� �&π ?� !!π (� !%π L������"�π
�"� (����������������������������8����;�$���D������������ ��2 2a b− �����������
�� !�� 0� "�� ?� $�� (� %�� L� &��
�� ��� �������������������������334
�$� /���� 1x ����� 2x �� ���������� ��� ���������� ���2 ( 1) 0x a x a− − + = ��D����
�����#�� ��� ��3 31 1 2 23x x x x+ + ���)��������������;������
�� ��������� (� �8�������
0� ��������! L� 8�������
?� !��������
�� !���� ��� ����2�������� ���������� ���� ��2���� �������� �����
�%� (�������� ABCΔ � ���������� ���� ������ 20AC BC= = �� ���� AD CE= �
�� ����������������������������.--
A
C B
D
E
������ 4��5
�&� (��������*������3 2( ) 2 9 24 5f x x x x= + − + ��5��������
�� ���� J���������� �*���8������������� ��
�� ������ �����*���������� �����*
)� ���������#��� �*����&�;�8��'�
�� �������� �*����&�;�8��'�
�'� 0�� �� ������ �� #������ '� ����� �� ���� �� � � �� �����
3 22000 3000000 )(x x x− + ������ /������ ��������� ������ #��������� �����
��� ��������� ������������� �����-
�<� ������ #����� ���� ������������������������� ������������������������������
����� #��������>����� ��� ���������������
2 33 1( ) 54 2 3t t t tθ = − −
5����������)������������� ���3����������������� ����������������)������� �
������������#��
��� 4������������� ������ ���������� �� ����# ���� �� ���������������� ��� �
#���� �� ������ ���� ���������� ��� /���� '��� #���� ���� �������������
����� ������ ���������� ��� ������� ������ *������ �� �� '��4����� �� 8� �'�
����*���������*�������� ������������
�8�'��;�
12 '
�����8�'�
������� [0, ]x k∈ ������� �� �#�������� �#����*�� 5�������� ������ '� �������
����� ������ ���������� �� �� ���� �
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 335
�� ,��)� ����������������� �� ���� �������� ����������� ���� �!�� )�������
����������������� ������ �������������������������������������� ������� θ �
0����������� ��� ��θ �������������������������������������������
�� ������ ����������-
10 cm
10 cm
10 cm
������ 4���
0������������������#�������������## �������!�
�� (��� ������� ������������������������ ���)�������������"�)��5���������� ����
��������������� ����������� ������������������������ ������������� ����
�������� �������������
l
p
������ 4���
0������������������#�������������## �������!�
!� ,� ����������������� ����������������"���������� �� � ��������������
���������)�����������K����,� ����������������������5�� ��������)������
�$��K��������)������� ���� ��������������������$�����,������������ ���
�������� ���������������� ��������
"� �������� ��������� #���������� ������� #������������� /������� �� �#���
� #������������'������� ��������,�����������,�;�!'��:�"�&���������'���� ��� �
����� ���������������������� #������� #����������&���� ��� ������
���������������������� #������� #�������4��������������'� ������ �
�� ������ �$������ ���� ���� ���� 5�������� ��� ��� ������� ���� � ��
������������������ #��������������� ��� ������� ������ #�������
��� ���� �� �#����� #�����������
$� ,����� �������������� ���#����������� ������������ ���������������� ���
����������������������������������������� ���������������������)���0���
������ �� ������� �#���� ������ ������� ��������� ������ �� �� ������
���� ������ �� ������������ ��������� �������� ���J#���� �� ���� � ���
���������� �����#����� ������������ ���� �� ������
Soal Analisis
�� ��� �������������������������336
����1���
D�� ��MMMMM 5������ ��MMMM
3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��D��������� �����
����������������
��� �*���*�����
3��#�#���MMMMM ������ ���������
3���������4�������� ����������������������������� �����#�#�����>��
5����� ��4������������ ������������������������������������#���
������� ������
A. �'�������&� ���2�������������
�� $��#�#�����>�������������������) "� ����� �����
�� A�������K��������#�#�� $� 0���� )������
!� 4��� ��
�� ����������
�� 0������ ���#�#�� ���� �� ����#������ $� ���>��� ������� ���#�#�
�� ��������$��#�#�����>����� ��� �������)�
�� ,#�#�����>���������������������������������������������������#�#�����
!� 0�����������������#�#�������>������������ ������,�������������������
����������
"� E������ ����������������������������� � ������������� ������������ ��������
��>��
$� 2������ ������� �� ������ "������� ����� ��>��� ���� ������ ����������
�������� �����)� ���#�#��� ��
�� ���'� �
�� (� ������� ����������� #������������������ ������� ������#��������
�����
�� /�����������������#�#�����>�������)������'�)� �������#�#���������������
�� �������� ��������>��� ����������������������������������-
!� D ������� ���������������������������� ������'�
"� 4������������ ��������#����������� ������������������� ��������������� �
�����*�������-
$� (������2���5� �����,� ��������������������'� ������ ���������������
%� 4����������� �� )#������������� ����� ��������������� ������ ������'
�� �����-
Aktivitas Proyek
��=�<����������������=�<���������������=�<�������������������=�<����������������=�<����
+�������++
��������+
!�������++
!���������+
$�������++
$��������+
��������++
������+
*������++
*
����
9���
�����F�����G�����.�� ���/#�����!�������#� ���8���/#���� 337
,���&���)������'�����
4��������������������������� ����!���������� ����������������������
��������� ������������ ����� �� ���� �����������4����� ���������������������������
����� ��� ��� �� ���� ������ �� ��� � �� �� ����� ������ �� ���� �����������
�� ���������� �����
�� 3������������������ �������������
�� E������� �������������� �������������
)� E������� �������������������$�
�� E������������ ��)��������$��������������������
�� E������� ���������������������
*� ,�������������������������������!
�� ��� � ������������������������*
������������������ �������������� ������� ��������������� �������� �
������������
(� ��������� �������� ����������������������������������� ���������������
������� � ������ ��������� ����� ��������� ���������� �� ���������������� <<<�
4����� ��������� �������� �����"���!$�������"���!$�:� <<<�;� �"���!"�� /����� ������
��������� ������ �������������������"����������!"�
Teka-Teki Matematika
�� ��� �������������������������338
�� ���� ���������������������������������3$��������������������������
����������� �!���� ������� ������������
�� /����������� ���/�'���������������������#����'�8�!�������'�:�������� ��
����� %� ���� ���� ����� ������� #���2 6x x− − ����� ��� ����� � ��'� :� !"�����
15
42lim ...
6x
pxax→
−=
+��
�� 8�' (� 8�!
0� 8& L� 8��
?� 8�"
�� ������ ������� ���/�'�� ������������ ( 2)x + � ����� ���"����� ������������ ( 4)x −
����� ��8�"����������������/�'��#���2 2 8x x− − �����������
�� 3 8x − (� 3 8x− +0� 3 8x + L� 3 8x− −?� 8 3x +
!� ������ ������� ���/�'�� ����� ������� #�� ( 1)x − �� ����� ���������/�'�� #��
( 1)( 1)x x− + �����������
��12 ( 1)(1 )F x− − − (�
12 ( 1)(1 )F x− +
0�12 (1)(1 )F x− + L�
12 ( 1)(1 )F x− −
?�12 ( 1)(1 )F x− − +
"� /���� ( 1)x y− + � � ������� ������ *���# � �� �� ������
2 2 5 2 3px qxy ry x y+ + + − + �����������
�� "�;����<�;�8����;��
0� "�;�8����<�;�����;��
?� "�;����<�;�8����;�8�
(� "�;����<�;�8����;�8�
L� "�;����<�;�8����;��
$� /���� ��� ���� � �� ��3 25 2 24 0x x x+ − − = ������ "� <�� ���� �� ���� �����
2 2 2 ...p q r+ + = ��
�� !$ (� $
0� �< L� �
?� �"
Latihan Ulangan Umum Semester 2
�� �6���;�������;�#������� ��� 339
%� ,�)����
2
2
3 155 6
x pxx x− −− +
������������� ���������������"�;������
�� � (� 8�
0� � L� 8�
?� �
&� /����������� ���7 47 3x x x− + ��������#���
3 4x x− ����� ��������2ax bx c+ + �
����( 30) log( 3) ...a b c+ + − = ��
�� % (� 8�
0� $ L� 8�
?� "
'� /���� ( ) 4 2f x x= + ����� ( ) 3g x = ������ ( )(0)g f = � ��
�� � (� %
0� ! L� ��
?� �"
<� /���� ( ) 1f x x= + �����2( ) 1g x x= − ������ ( )( )g f x = � ��
�� ' (� �'�8��
0� '�8�� L����2 1x +
?� '�:��
��� /���� ( )( ) 12x
g f x = − + ����� ( ) 4g x x= ������ ( )f x =�
��18 ( 2)x− + (�
14 ( 1)x −
0�18 ( 2)x− − L�
14 ( 2)x− +
?�18 ( 2)x −
��� /����2( )( ) 2 4 7g f x x x= + + �����
2( ) 2 1f x x x= + − ������ ( )g x =��� 2 1x − (� 2 9x +0� 2 3x − L� 2 9x −?� 2 3x +
��� /����2( ) 1f x x= + �����
21( )( ) 4 5
2f g x x x
x= − +
− ������ ( 3)g x − =�
�� ( 5)1−x (� ( 3)
1−x
0� ( 1)1−x L� ( 3)
1+x
?� ( 1)1+x
�� ��� �������������������������340
�!� /����
2 5( )
3 2x
f xx−
=−
������1(1)f − =� ��
�� �� 0�
�
!
?� 8�! (� 8& L� 8���
�"� /���� ( )(2 3) 3 6g f x x+ = − ����� ( ) 4g x x= + ������1(8)f − =� ��
�� $ 0� �� ?� �$ (� �� L� �$
�$� /����1 1
5( ) 1)(f x x− = − �����1 1
2( ) (3 )g x x− = − ������1( ) (6)f g − = � ��
�� ! 0� � ?� � (� 8� L� 8�
�%� /���� ( ) 2 3f x x= + �����3( ) 1g x x= + ��������
1 1( )( ) 2g f a− − = ����� a =� ��
�� �� 0� �' ?� �$ (� �� L� <
�&� /����
1( ) , 0
xf x x
x+
= ≠ ������"� ��������� ��� �� *���# �� ����� ����������
1( )f p− =� ��
�� " 0� ! ?�
�
!
(�
�
"
L�
�
$
�'�
2 2
2
2 8 2lim
2 2 4x
x x xx x→
− −− =
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� ��
�� $ 0� % ?� ' (� < L� ∞
�<�
2 (3 ) 3lim ...x a
x a x ax a→
+ − −=
−��
�� � 0� ��:�� ?� ��:�� (� ��:�! L� ��:�"
���
1 2
2 1lim ...
2 4 6x
x
x→−
+=
− +��
�� " 0� � ?� � (� 8� L� 8�
���
2
21
3 1lim ...
1x
x xx→
+ − −=
−��
�� 8
�
�
0� 8
�
"
?� � (�
�
"
L�
�
�
���
0
sin sin 3lim ...
cosx
x xx x→
+= ��
��� � 0� � ?� � (� ! L� "
�� �6���;�������;�#������� ��� 341
23.2
3 2 0
( 1) sin 6lim ...
3 2x
x xx x x→
−=
+ +.
�� $ 0� ! ?� � (� ��8� L� 8�!
�"� 21
tan( 1) sin(1 )lim ...
2 1x
x xx x→
− −=
− +�
�� ∞ 0� ' ?� % (� � L� �
�$� ( )2lim 3 2 9 2 5 ...x
x x x→∞
− − − + = ��
�� 8
$
%
0� �8
&
!
?� 8
$
!
(�
&
!
L��
$
%
�%� /����2( )f x x= ������
3
( ) (3)lim ...
3x
f x fx→
−=
−�
�� 8
"
$
0� � ?�
�
$
(�
$
�
L� ∞
�&� /���� ( ) 6 7f x x= + ������������ '(3)f =� �
��
�
!
0�
!
$
?�
$
&
(�
&
<
L�
<
��
�'� /����
22 1( )
xf x
x
−= ������� '( ) ...f x = �
�� 232
xx
x+ (� 25
2 xx
x−
0� 252
xx
x− L� 3
2x
x −
?� 22
3x
xx
+
�<� 5� ������� ��43 cosy x x= �������������
��312 sinx x− (�
3 412 sin 3 cosx x x x−0�
312 cosx x− L�3 412 cos 3 sinx x x x−
?�4 33 cos 12 sinx x x x+
�� ��� �������������������������342
!�� 5� ������� ��2 3( ) 5( 2 1)f x x x= + − �������������
��215(2 2)x + (�
2 230( 1)( 2 1)x x x+ + −
0�2 215( 2 1)x x+ − L�
2 2 215(2 2) ( 2 1)x x x+ + −
?�2 210( 1)( 2 1)x x x+ + −
!�� /����
3sin 1( )
4sin 6x
f xx+
=+
������� '( ) ...f x = ��
��
3cos 14sin 6
xx++
(� 2
14 cos(4sin 6)
xx +
0� 2
3sin 1(4sin 6)
xx++ L� 2
14(4sin 6)x
−+
?�
3sin 14sin 6
xx−−
!�� 5� ������� ��2 3( ) sin (2 1)f x x= − �������������
��2 36 sin 2(2 1)x x − (��
32cos(2 1)x −
0�2 36 cos(2 1)x x − L��
22cos 6x
?�2 312 cos(2 1)x x −
!!� ,� �������� ������������������� J��
2 2y x
x= − ���������������8��������������
�� "'�8�&�8�"�;�� (� "'�:�&�8�$�;��
0� "'�8�&�8�$�;�� L� "'�8�&�8�!�;��
?� "'�:�&�8�"�;��
!"� ,� �������� ������������������� J��2 4 5y x x= + − � ���������� ���������� ��
&�;��'�:�!������������
�� �&�8��'�8����;�� (� &�8��'�9�'�;��
0� &�8��'�:�%�;�� L� &�8��'�:����;��
?� &�8��'�9���;��
!$� ,���� ���� J��� 1 2x− ≤ ≤ �� *������3 2( ) 3 3f x x x= − + � ���� ��� �����
������M��
�� 8�% (� %
0� 8� L� '
?� !
�� �6���;�������;�#������� ��� 343
!%� A �*���*������3 21
6( ) 3f x x x= − ������������'� ���������������
�� 1 6x< < (� 0x < �������� 12x >0� 1 12x< < L� 1x < �������� 6x >?� 6 6x− < <
!&� /������ J��5 42 5 20y x x= − + ���)��������������������������������������;�M�
�� 8�� 0� � ?� � (� � L� !
!'� /���� 1x � ���� 2x � ������ ��� ���� � �� ������2 0x kx k+ + = ������
2 21 2x x+
��)������������������;������
�� 8�� 0� � ?�
�
�
(� � L� �
!<� 5��������#���� ��� �*���*������3 26 9 7y x x x= + + + �������M��
�� �8���!� (� �������
0� �8���&� L�����������$�
?� �8���$�
"�� �������� �#���� ����������� ������� ���������������)��������������#���������
�������������)� ���������������������#�#�� �������� �6�)��1#�����#���
������������6�;������
��12 a ��������
16 a (�
18 a
0�13 a L�
16 a
?�14 a
B. ���� ������������3����������������������$�� ���� ������������� ��
���� �����
"�� /���� 8����� ��� �� �������� %�� ������� 0c > �� �������� ����������������
'( )f c �
( ) ( )limx c
f x f c
x c→
−−
"�� 5��������������30
1 tan 1 sinlimx
x xx→
+ − +�
"!� (��������������� ���4 2( ) 2 1f x cx x= − + ���������%������� ������ ��������
�� 5��������������%������������������������������ ���#����'�8����������!�
�� 2����� ������ %� �������� #�������� ��� ���������� ��>�� ����������
������� ����� ������������� ��#���21y x= − �
�� ��� �������������������������344
""� 5��������������������� J��3 3 4y x x= − + �����
23( )y x x= − ����� ����� ��
����������� ����
"$� 5����������������������������������%�����������������#���� ��� �*���*�����
3 2( ) 1f x x ax bx= + + +
"%� 4�������������������>��8�����;�!�� '(2) 4f = �� ''(2) 1f = − �������;�������� '(2) 5g = �
?� ���� ������������� �����
��
2 3[ ( ) ( )]d
f x g xdx
+ ������'�;���
�� [ ( ) ( )]d
f x g xdx
�����'�;���
)� [ ( ( ))]d
f g xdx
����'�;���
"&� ������� # ��� �����������������������'� � ��� ���������� ��� # ����� �� �
15002 80x
x+ −⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠� ���� ������0� ��������� ��������� ��� # ������-
"'� 4�������� ( ) 2f x x= − ��������1g f −= �
�� 5�������������������� �������������� ������� ��
�� E������ '( )g x �
)� D ������� '( )g x ������ '( )f x �
"<� ?� ������������������������#����*� �������� ���������������� ����������
������������������������������������������������������������ ������������
�������
$�� ,�������������>�����>��������� ��������������� �<���� ��,��������������
�� ���������#������ �������� ������� �������������������������� �%���� �
,� ����������� � � �� ������ 0� ���������������������������������>�
��)� �������� ����>�����#�#�������-�,� ���������������#�������������##
"�����!�
9
θ
6
������������ 345
������������ ��������������� ������� ������������������������������������� ��
�������������������� ��;�������������� � �!�"�������"�#�"���$���%�����!�����&"�%���"�''(
���''��%�P������ ��
���������������)���� ������������ � �!�"�������"�#�"���$���*���+��*��! ������� ��
�� ����+�������������������������������������������,*-.������� ��
�+����/��������0��������<����������������� �������1"��!2��3� �����������14�5(6���#���
��!���+��%�5�Q���
�+����/���������)������������1"��!2��3� �����������14�5(6���#������!���+��%�5�Q���
�+����/���������0�������������������1"��!2��3� �����������14�5(6���#������!���+��%�5�Q���
#���/�� ����77����77��*���
������������ ����������� ����������������.���88�������� ���
#���%��1"!�����770������������������ �������������� ����������� ����������9� ������
*�����������*�� ����*��� ���Q�8+��� ��
����!������������������������������������=��������:��� ��;�4�8��*����"�8�,! ���
���� �!���*��������%���������77�!�"������ ���������������>����� �������� ��������
6�88�<��� ��P�������8��������:����������������������������� �������������������1!����
*����"�8�����9�1���%�5�Q��
,� "�����,������������������?��������#����$�� ���#@�%��
��6����R�<�5��*����"����9�1�
,��1"� $��������)�������#����������� ��������������#@������ &�A������������!���8�����;��14�5(
6���9� ���������#������!���+�
,��1"� $��������������������#@������ &�A������������!��14�5(6���9� ���������#������!���+�
��8����
,��1"� $��������-�������������� ����@������ &�A������������!��14�5(6���9� ���������#���
��!���+����8�����
%���� ��������6��!�������� ����������� ������#"�� ����+������������� ��
%���� ��������6��!�����)������ �����'������������#����*�� ��������� ��
%�8�����:��������=����(��������� ������4"����9������������� ��
*"����6��=����>�������=B����������$��=��:"�!���%������R�������, ���,������
*� ������������7�����������#��������(?����+�*����"�8���!���+�������1"��� ��
*�1�����.�����������77-��"����������������"�#�"����;�9�%+�!����������*"����.���88������� ��
����8������<����������������@������ &�A������������!���8�����;��14�5(6���9� ��������
#������!���+����8�����
���8������<������������������#�������������@������ &�A������������!�;��14�5(6���9� ��������
#������!���+����8����
� �5� �����������"�����@�=����"�� (������"�#�"����;�����9�%+�!�������������1�����6����
4���5����*"����.���88������� ��
��� ���*������-��������������������"� ��������������������!!�9:#��#�����8�
��� ��������)�����������������!�:�� ���#�����8�
:�����*���������������������������������@�=����"���������"�#�"����;�����,���*��� ������1��
.���88������� ��
? ��������*�������= >���� ������������������������������@�)�������!����� ��;�%���"�''(����''�%�P�
Daftar Pustaka
���� ��������C���"����D��E����346
���� ; : �( �� +��8��������������������8��� ����8��(
����8�������!���B�������� �!������� ��� �����
��� ; �������8�� ��������� ������8��� =������8������>������"
��� ������8���+��8���������8�� ������!��8"������
����8���+��8�� �������+�� ����� ����1���!� �!� ��
�������8�� ����������8����������"�����8���B�����!���
"�88��B��F���
��! � ; ��! � ���� ��8������8���8������"�8���+��8� ��������"
��� ��8�����"�8���
�� � ; ����� ��+��8���� �"��� ������88���
�� ������ � ' ; �� ��+��8� ��������� �����8���
�� ������ � ' ; �� ������!���� �����8���
��� � ; �� �������������� �� �������������������"��
���� ; ������+��8�!�!��8�������!��������!�� ����7���8��
+��8���!��
��8�! ; 4�!���+��8�!��+� ������ �� �� ��8������ ��!�����"�
��8�!� ��8���� ; ��8�!� +��8� !��88������� ����"� ��8����� �� ��
!��88�!��������� ����������
��!� � ; 4��� ��8�"���8������ �������8���+��8�!������ ������
��� �� ��8�����
����� ; ������ ��"����� �+���������8�!� ������ � �(� �
" ��8�+��
'������ ; #��+���+������!��1���
'������������ ������ ' ; :������ �� ��8����8�+����� ���� ��!��1���
'���������!��� ' ; /�������+��8�� �!��"����
'��8� ; /��8��!��������������"���������8������ � �8��S<����
'��8�����@�������� �� ������!��������!��������'��8��
��� ��������� ���������������� �'��8������������ �������
=��88� �>�"!��������������8����� ��� ��� �������=��88� �>
"!��������
'��8��8�� � ; ��� ��'��8���*B+������ �8�� ��������� ����� �"����8��
�*EB+�F�E�*B+@∀ B���88� ����!���
'��8��8���� ; ��� ��'��8���*B+������ �8����������*EB+�F��*B+�
'��8�� ��� �� ; ��� ��'��8����+��8���+� ��������8����!����*B+�F�B�
Glosarium
$������ 347
'��8�� �A�� ; #�����'��8����������#�+��8�!���������������������� �(
�� ��� !���� ���� '��8�� �E'� ��� #� ��� �� ��"�88�
' 'E EF �� � F ����� � � �� �� '��8�� ��� ����/��8��
'E� �������
'��8���A��������
'��8������ �� ; ��� ��'��8����+��8���+� ��������8����!����*B+�B�������8��
����� ������ �� ��
'��8������� ; /��8�� �� ����!� �� +��8� ���'������ ���8��
,
�*B+ F �B G �B G �@ ���8���������������∈ ���� 0a ≠ �
'��8������ ; /��8��+��8������"�������+�������8�� � 8��
'��8�� ���� ; /��8����+��8���+� ��������8����!����*B+�F��B�G��@��������
���� �� �������� ≠ 7�
'��8���� � ; #�����������"!�����("!�������!������!� ������������
�������"� '��8���� ���+� ��!�!����8������ �����88� ���
���������88� �������!���� �� �����88� ����!�������
��+��8���������� �+���� ����88� ���!
'��8�� �� �(�� � ; /��8� :f A B→ ������"��� �(�� �� ����'@��
,�∈�����8����
'�≠ �,!�����*�
'+��*�
,+�
8���� ; ���'������"���� ��8��������
8�'� ; 4�!��(8�!���+��8�!���� ��������1���A������� �������
��8���+��8������+�� �8������������ ����( �����+��8� ���"
���� �
"� �8�! ; �����8�'���� ��8���+��8��"������� ������+� ����� ��+��8
!�������� ������� ���� '�������
"!����� ; ����� � �8��S��!�����������!�����8�8����� ����� @�
�A��� '��8� ; 9�A��� '��8�� �������"� �����������!����"�88�� �����8��� �
'��8�� ��� ���
��8����� ; ������ � �88������8������� �����"�
�( �� ��8���� ; ��!��� ����8����� ������� ����� ��!����8� ������
��8�����
��8 ; ����"�+��8���� ������"��� �( �������� ��������������� �
��8�����
�� ���� ; ��!����������� ��� ������"�"������������"������!���
�� ���������8������ ; :� ���+�������� �����+��8� ��������8�!�!���8��"�
��!���� ; �������� ��� �������� ���!��� �� !���� �� ��� ���
���"� ����
������ ; ������ ��� ����� ��� � ��� ������������� ������
�5�������"� �( ������!���B���������� ��5�������"
�( ������!���#!
��� � ; ������+��8�!�!��8�������!��������!�� ����!�� ���8��
+��8���!��
���� ��������C���"����D��E����348
��8���� ; ��A�� � � ��� ����"����+��8��"������:��� ������
��8����� ��!�!���+�� ����+��8� ��!����� ��� �� �
+��8������ ����� � ��8�����
�! ; %���������� �����B� �!�!���+��� ������*�+�!������ �
���������!�!����� ��� ��� ���
!��� ; ��!��"���!���������+��8���!� ����8����"����+���+�
������
!���� ; %���+��8������� ��8�"( ��8�"�������!������ �� ������(
���� ����� ���� �������+��8� ���1�� ��!���+��8
������
!���� ; %������ ������!������ ��+��8�!�!���+�� '������
� �88�� �������+��8�����8����+��� � ���=!��1��>�����!
��� ������!��������
������� ! ; %���!���!�!�� �������!�!�!��%������ !�� �!����
����!�'��8������������!����+������!�'��8������� ����
'��8�� 8���!� �
����!���!�! ; %��� � �88�
����!�!�! ; %��� �����"�
���� ; : �( �� +��8��������������������8��� ����8��(
����8�������!���#�������� �!������� ��� �����
�����" ; ����� � �8��A������
���1�!��� ; �����"����1�!��������!� � �8��!� ��*��1�!���
����� � �8���'������!��88�!��������+��8���1�!����� �
���8���
��!� �� ; ��� �����8� ����� ����� ��������������!���� ����� ����
!������ ��� ����� �8�=>
����� � ; ������+��8�!�!��8�������!��������!�� ����77���8��
+��8���!��
���8�� ; 4�'��8���+��8�������"����8���!��8"����8���� �
��8�"������ ����� ��8��������"� �8�!�
������� ; ��!������ �����"� ���!��� +��8� �� ���� � ��� ����
����������� ����!�� ����
�������� ���� ; 6���������������"!���������+� ��������8���SC@�
��8� ; <��8������!�� � � ������� � ��8������ ���"�����"��� ��
�� �� � �88����8����� �� �����"�
���� ; 6����8���� ���� "!������ +��8� ������� !��8��
!�!���+��"����8����6����8��� =����>� ������"� ���
���"�!���8(!���8���88� ��������"!������ ��
��!��� ; #�8��������������
�!���8������� ; ��������� ���� '����A�����
���� 349
�
�8�� ��,�������1"+�����
�����)-����-�� �-�������� �)0� �0-
� �������1�1�"��� �)�
�
�� ���� ��������� ��)� �0
�� �����5�"������� ��)� �0
�
�� �
�� -� )� 0� �� �� �� �� �7� ��� ��� �-� �)� �0� ���
����������� ��� ��� ��� ��� �-� �)� �0� ��� ���
����������������� ��� -7� -�� -�� --� -)� -0� -�� -�� -��
��������-�� )7� )�� )�� )-� ))� )0� )�� )�� )��
��������)�� 07� 0�� 0�� 0-� 0)����)
������-0
��8�!���� )
�
��� !����� -�����07
.���D�����)0
�
'���������!��� '
��� ��� ��� �7� ��� ��� -)� -0� -�� -�� 0)
'�������"������ ��0�
�
8�����88��8
���� �-)� �-�� �-�� �-�� �)7� �)�� �)��
����������)-� �))� �)�� �)�� �0�� �0�� ��7���)��
��)
8��!� ������ �-0� �-������7
8����� ��--� �-�� �-�� �-�� �)7� �)�� �))
8�'���)� �� �� ��� ��������� �-7���-�� �-���
�-)� �-�� �-�� �))� �)�� �)�� �07� �0��
�����������-� ��)
�
"�!����� �-�� )7���0)
"!��������� -���-�
"� �8�!� ��� ���� ���� ��� )�� 0�� 0-� 0)�
�0-�����7
� ������� ����� ��7� --� -0
��8�������)�� 07� 0�����0-����-�� �)�
�
��������� ����� �-7� �0)� ��7
�� ����� ��)7� �)�� ��7
������ � �A��
�)� �0� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� -7� -)�
���������-0� -�� -�� )�� )-� )0
��� ��� ��))� �)0� �)�� �)�� �0�� ��-
������ � ��-)� �-�� �)-� �)�
��� �
�� -�� --� -0� -�� -�� )7� )�� )�� )�� 0�� 0)�
�0-� �0)
�
�������������0
�! ���-�
��8����� ��� �� �� �� �7� ��� ��� )��� �����
������������ ���� �-7� �-�� �-�� �--� �-)� �-0�
���������-�� �-�� �-�� �-�� �)7� �)�� �)�� �)-�
���������))� �)0� �)�� �)�� �)�� �)�� �07� �0��
����������0�� �0�� �0�� ��7����00
Indeks
���� ��������C���"����D��E����350
!������-���)�
!�������� �-� ���
��� -7� -�� -�� -)� -�� )7� )�� )�� 0�� 0�� 0)�
�0-� ��7
�
������� !��-�����07
�
�8A������ �7
�
��� ��8������� ��0� ��� ��� ��� ��� -)� -�
������8� ��00� �0�� ��7
����� ����� -0� -����)�
*"+ �8���� ��0�
�����"� ����� �07
���8�����7����)0� ��7
�
�8�!��)����)-� ))� )0���0)����00
��8���-�
� ���
�� �-� �)� �0� ��� ��� ��� ��� -7� -�� -��
��������������-�� -�� )�� )-� ))� )0� )�� )�� )�� 07� 0��
���������0�� 0-����0-� �0)� �0�� ��7
�� ��8��)-
�
��!���� �-� )� �-� )�� )�
��!���� ���-�
�!���8��
�� ��� -�� )7� )�� )-� ))� )0� )�� )�� )��
07� 0����0-� 0)���0)����00����-
� � � �
�� -� )� �-� ��� ��� �-� ��� -�� -�� -�� )��
)����)�� 0)
� � � ��� ��� -� )� )�� )�
� �8�����)
�
����� �)� 0� 07���-�� �-�� ��7
:���!���� � ��0)� �00� �0�
���!���� ��88������! ���-7
:���!��,! ���-�� �-�����)�� �0�
�
�������� ������ -����)7� )�
��������!��� ������ �����)7���)�
���������+��������� -����)�
�
A����� �)-���0)
"���� 351
���� �
����������
�������� � !��
�� ������ � '��
�� � ��� �
-� # �-� #
0� # �0� �
�� �
�� �
�� (�������
��� ��� �"��
��� =0������E�0������>��8
���� �
� "#�!$
�������� � !��
�� ������ � '��
�� # ��� �
-� � �-� #
0� . �0� �
�� #
�� #
�� (�������
��� ��7
��� �&�7
���� �
�#�#�%&#�#�� �&�$�!�� �&�
�������� � !��
�� ������ � '��
�� � ��� .
-� � �-� �
0� � �0� �
�� �
�� .
�� (�������
���o60x = �����
o30y =��� �� !����B�������!��B�E��F
�� !����B�7�����!��B�E��7�
���� � �
��!$��&�!
�������� � !��
�� ������ � '��
�� � ��� #
-� � �-� �
0� � �0� �
�� #
�� #
�� (�������
��� B��G�#
��E��)B�E����B�7F
(( 35 3 65) 40) 5y x= − ± +��� �
����'�!��"�!$�!���#�� � � �� &� (
�������� � !��
�� ������ � '��
�� # ��� .
-� # �-� �
0� . �0� �
�� � ��� .
�� � ��� �
��� � -�� �
�-� � --� �
�0� . -0� .
��� � -�� �
��� # -�� .
�� (�������
)�� �� )�;��F �� ��7�����
)-� ��3 3 18 4 2( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = == ⋅ F
�� ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ ≠
Kunci Matematika XIIPA SMA
���� ��������C���"����D��E����352
)0� 7�7�
)��12 (3 3)−
)��12 1y x= +
���� ��
�#�#)�!*��
�������� � !��
�� ������ � '��
�� � ��� #
-� # �-� #
0� . �0� �
�� �
�� #
�� (�������
��� �&- ��� ��0
���� ��
���������� �#!$��� +�!� !, &�� �#!$��
�������� � !��
�� ������ � '��
�� � ��� .
-� � �-� �
0� � �0� �
�� �
�� #
�� (�������
��� 4 1x− < ≤ �� ��� 4x >��� �� ( ) 27P t t t= + + F
�� (15) 42 15P = +
���� ��
������ �#!$��
�������� � !��
�� ������ � '��
�� # ��� �
-� � �-� �
0� � �0� �
�� �
�� #
�� (�������
��� �&- ��� -&)
���� � �
�#&#!�!
�������� � !��
�� ������ � '��
�� # ��� .
-� # �-� ��
0� � �0� �
�� �
�� .
�� (�������
��� ��B�E��
���32 sin a−
���� � -
��"�������&����#!$���+�!�� �!��� �)#��
�&�.��� �#!$��
�������� � !��
�� ������ � '��
�� � ��� �
-� � �-� �
0� # �0� #
�� �
�� �
�� (�������
��� �� ���;� 4x < − �� ��� 1x > F� ���;
4 1x− < < F
�� !���;������!�;�E�F
�1� =(-&���-�34 >
���254 3d dt t tθ = − − F� ( ) 198tθ =
����'�!��"�!$�!���#�� � � �� &� /
�������� � !��
�� ������ � '��
�� # ��� � ��� � -����
-� . �-� � �-� . --��#
0� # �0� � �0� � -0���
�� � ��� � ��� # -����
�� � ��� � ��� . -����
�� (�������
)�� 2 '( )c f c )�� �77� ��� ���"
)-� �����B�) )�� )77�������0
)0� ��B�E-�������B��
Wahana
MATEMATIKAMATEMATIKAProgram Ilmu Pengetahuan Alam
2
Matematika menurut sifatnya merupakan ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu, maka sebagai ratu matematika mempunyai struktur yang sistematis dan logis tidak dapat dipengaruhi oleh ilmu yang lain, sedangkan sebagai pelayan matematika menyediakan alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pada ilmu-ilmu yang lain. Buku ini ditekankan pada cara berpikir sistematis dan logis, di samping menyajikan aplikasinya pada kehidupan sehari-hari. Dengan karakteristik ini diharapkan setelah mempelajari buku ini siswa dapat berpikir secara sistematis dan logis untuk mengambil kesimpulan.
Buku ini disusun sesuai dengan kurikulum yang berlaku dan dengan harapan dapat mengembangkan keragaman potensi, minat, kecerdasan intelektual, emosional, spritual, dan kinestetik siswa secara optimal sesuai dengan tingkat perkembangan siswa tersebut. Beberapa keunggulan buku matematika ini adalah sebagai berikut.1. Materi disajikan secara sederhana, sistematis, inspiratif, dan realistis. Siswa diajak
berpikir logis dan melihat aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari.2. Untuk mempermudah pemahaman konsep materi, buku ini dilengkapi dengan c o n t o h
soal dan penyelesaian. Selain itu, soal-soal pelatihan disajikan dalam berbagai bentuk untuk meningkatkan kemampuan daya pikir, analisis, komunikasi, dan kreativitas.
3. Buku ini dilengkapi dengan math info dan teka-teki matematika.Dengan demikian diharapkan dapat membangkitkan rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika.
4. Buku ini disusun dengan memenuhi kaidah-kaidah tipografi, tata letak, dan pewarnaan yang memenuhi standar “Human Computer Interactive”. Hal ini dimaksudkan untuk merangsang minat dalam membaca dan mempelajari materi.
Buku matematika ini peduli dengan proses pendidikan yang dapat diterima dengan baik oleh semua kelompok siswa; kelompok normal (novice), kelompok sedang (intermediate), dan kelompok tinggi (advance). Buku ini berusaha menjadi sarana penunjang yang baik demi kemajuan pendidikan Indonesia.
ISBN 978-979-068-854-4 (No. Jld lengkap)ISBN 978-979-068-856-8
Harga Eceran Tertinggi (HET) Rp.18.194,-
Diunduh dari BSE.Mahoni.com