Upload
ismuadi-sniper
View
129
Download
8
Embed Size (px)
DESCRIPTION
statistik
Citation preview
PENGUKURAN PENYIMPANGAN
ISMUADI, SE, S.Pd.I
Pengukuran penyimpangan dapat diartikan suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-rata data tersebut. Beberapa jenis pengukuran penyimpangan antara lain :
Rentangan (range) Varians Simpangan baku (standar deviasi) Koefisien varians
Pengertian
Rentangan dapat di ketahui dengan mengurangi data tertinggi dengan data terendah. Rentangan berfungsi untuk melihat perbedaan dari data yang ada.
Rumus Range untuk data tidak berkelompok:
R = Xt-Xr (Range (rentangan) = Data tertinggi – data terendah))
Contoh : Data UTS Statistika
Kelas A : 90, 70, 50, 80, 50, 60, 70, 70, 85, 85Kelas B : 95, 87, 76, 84, 75, 96, 85, 83, 73, 80
A. Rentangan (Range)
Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannyaKelas A : 50, 50, 60, 70, 70, 70, 80, 85, 85, 90Kelas B : 73, 75 ,76, 83, 84, 85, 87, 80, 95, 96
Rentangan Kelas A : 90-50 = 40 Rentangan Kelas B : 96-73 = 24
Penyelesaian...
Perhitungan range untuk data berkelompok adalah:
R = Ka – KpDi mana:Ka = nilai tengah kelas akhirKp = nilai tengah kelas pertama
Kelompok nilai
Fi Xi
30-39,99 6 35
40-49,99 12 45
50-59,99 30 55
60-69,99 24 65
70-79,99 18 75
80-89,99 10 85
∑ 100 -
Contoh :
Kp = (40+30)/2 = 35 Ka = (80 + 90)/2 = 85 Sehingga; R = 85 – 35 = 50
Rentangan (Range)
Penjelasan
Apabila nilai rentangan (range) semakin
kecil, maka kualitas data tersebut semakin
baik. Akan tetapi, metode ini mempunyai
kelemahan-kelemahan antara lain, didalam
perhitungan tidak mengikutsertakan seluruh
nilai. Dia hanya memperhatikan nilai
tertinggi dan terendah.
Yang dimaksud dengan simpangan (deviasi ) adalah selisih antara nilai pengamatan ke i dengan nilai rata-rata, yaitu Xi – X@
dalam pengukuran deviasi rata-rata ini perlu dilihat dari sisi datanya yaitu;
1. Data yang tidak berkelopok2. Data yang berkelompok
B. Simpangan Rata-rata (Mean Deviasi)
Untuk menghitung deviasi rata-rata bagi data yang tidak berkelompok dapat dilakukan dengan:
Contoh ; Jumlah pemakaian energi listrik
yg dikonsumsikan oleh suatu keluarga adalah seperti berikut;
B.1. Data tidak berkelompk
Bulan Jumlah Pemakaian dalam KWH
(Xi)
Xi – X2 I Xi – X2 I
Januari 111 -8 8
Februari 108 -11 11
Maret 104 -15 15
April 117 -2 2
Mai 116 -3 3
Juni 124 5 5
Juli 122 3 3
Agustus 122 3 3
September 126 7 7
Oktober 119 0 0
November 128 9 9
Desember 131 12 12
Σ 1.428 0 78
Sebelum menghitung deviasi, perlu dihitung terlebih dahulu nilai rata-rata, yaitu:
Sehingga deviasi rata-rata (mean deviation) dapat dihitung:
11912
1428
x
n
Xx i
5.612
78
n
XXMD
i
Fluktuasi jumlah pemakaian energi listrik perbulan adalah sebanyak 6,5 KWH. Dengan kata lain, rata-rata jumlah pemakaian energi listrik bulanan berdeviasi sebesar 6,5 KWH dari rata-rata bulanannya sebesar 119 KWH.
Penjelasan....
Dimana:fi = frekuensi pada kelas iXi = titik tengah kelas frekuensiN = jumlah frekuensi
B.2 Data Berkelompok
Kelompok nilai
fi Xi
30-39,99 6 35 26,6 159,6
40-49,99 12 45 16,6 199,2
50-59,99 30 55 6,6 198,2
60-69,99 24 65 3,4 81,6
70-79,99 18 75 13,4 241,2
80-89,99 10 85 23,4 234,0
∑ 100 - 1.113,6
XXf ii XX i Sebelum dilakukan perhitungan deviasi, terlebih dahulu perlu dihitung nilai rata-rata hitung (aritmatic mean). Oleh karena nilai rata-rata ini telah dihitung pada bab terdahulu, yaitu (X bar) adalah 61,6, maka perhitungan deviasi sudah dapat dilakukan. Sehingga deviasi rata-rata adalah:
Nilai 100 calon mahasiswa diatas, berdeviasi rata-rata sebesar 11,136 dari nilai rata-rata sebesar 61,60.
136,11100
6,113.1
MD
n
XXfMD
ii
N
XXfx
ii
Pada umumnya, deviasi rata-rata merupakan pengukuran dispersi
yang lebih baik dibandingkan dengan metode rentangan (range).
Hasil pengukuran deviasi rata-rata (mean deviation) mencerminkan
dispersi tiap-tiap nilai observasi dari rata-ratanya, dan bukan hanya
tergantung pada dua nilai ekstrim, tertinggi dan terendah. Namun
demikian, pengukuran deviasi rata-rata tidak memperhatikan nilai
negatif atau positif, sehingga menyulitkan manipulasi secara
matematis. Oleh karennya, pengukuran dispersi dengan metode
deviasi rata-rata kurang populer dibanding dengan “variance” dan
“standar deviation”
penjelasan...
Simpangan baku ( standar deviasi) menunjukkan tingkat atau
derajat variasi kelompok data dari rata-ratanya. Standar deviasi
ini digunakan untuk memperlihatkan seberapa besar perbedaan
data yang ada dibandingkan dari rata-rata data itu sendiri.
Perhitungan simpang baku ini, sama halnya dengan deviasi
rata-rata, yaitu memperhatikan penyimpangan tiap-tiap nilai
dari rata-ratanya. Akan tetapi, perbedaan keduanya, di dalam
perhitugan deviasi standar atau simpang baku, tidak hanya
memperhatikan pada perbedaan tiap nilai dengan rata-rata,
lebih jauh diperhatikan pada kuadrat dari tiap-tiap
penyimpangan, yaitu;
C. Simpangan Baku ( Standar deviasi )
2XX i
Karl pearson merumuskan pengukuran varians untuk data tidak berkelompok adalah:
Sehingga simpang baku (standar deviation) adalah:
C.1. Data tidak berkelompok
n
XXS i
22
n
XXS i
2
Oleh karena perumusan di atas digunakan untuk data-data “sampel”,
khususnya data sampel yang tidak berkelompok, maka perlu
diperhatikan jumlah sampel. Suatu sampel dikatakan besar, apabila
jumlah sampel n ≥30. dan dikatan sampel itu kecil, bila n <30.
Menurut para statistisi, perumusan di atas hanya dapat digunakan untuk
sampel besar, karena bila sampelnya kecil estimasinya akan bias. Sedangkan
perhitungan varians untuk data sampel kecil, dapat digunakan perumusan:
Sehingga simpang baku (standard deviation) adalah:
Alasan yang tepat untuk penggunaan rumus tersebut, di dalam perhitungan
deviasi standar sampel ialaha bahwa rumus ini akan memberikan hasil
varians S2 yang memiliki sifat “unbiased” (tidak bias) untuk keperluan
analisis statistik. Dengan ini dimaksudkan bahwa nilai S2 yang didapat dari
sampel akan sama dengan parameter populasi (σ2), dan rata-rata hitung
sampel (X bar) akan sama dengan µ (rata-rata populasi).
penyelesaian...
1
22
n
XXS i
1
2
n
XXS i
Produksi air bersih oleh PDAM Tirta Mon Pase Lhokseumawe setiap bulannya pada tahun 1997, adalah seperti tertera berikut;
Contoh C.1
Bulan Jumlah Produksi (m3)
Januari 46.608 -3.655,25 13.360.852,560
Februari 47.896
Maret 45.880
April 44.805
Mai 50.125
Juni 51.693
Juli 47.158
Agustus 52.555
September 60.414
Oktober 51.013
November 56.095
Desember 48.9
603.159 224.349.640,279
XX i 2XX i
Rata-rata produksi air pada tahun 1997 adalah:
Varians dari produksi tersebut adalah
Sehingga simpang baku adalah:
Artinya, fluktuasi produksi air bersih per bulan adalah 4.516.13 m3 dari rata-
rata produksi per bulan yang sebanyak 50.263.25 m3.
Perhitungan varians dan deviasi standar untuk populasi adalah:
Varians:
Deviasi standar :
25,263.5012
159.603
X
n
XX i
84,421.395.2011
279,640.349.2241
2
2
2
S
n
XXS i
13,516.484,421.395.20
1
2
S
n
XXS i
N
X i
2
2
N
XX i
2
Tentukan Simpangan Rata-rata (Mean Deviasi) dari rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa berikut:
Latihan
Nilai f60-6465-6970-7475-7980-8485-8990-94
26
15201674
Jumlah 70
Dari hasil survai yang melihat bagaimana kepemimpinan 10 orang mahasiswa yang aktif dalam organisasi intra kampus. Data berikut memperlihatkan nilai kepemimpinan 10 orang responden tersebut.
No X1 752 703 804 855 606 757 1008 909 9510 75Jumlah 805
x
Untuk menghitung varians dan deviasi standar dari data berkelompok, juga tidak begitu suka dilakukan. Bila varianse dan deviasi standar dihitung dari sebuah frekunsi, maka titik dengah tiap-tiap kelas dianggap sebagai ninali observesi.
Perhitungan deviasi standar dan varians dari data berkelompok ada dua metode, yaitu a. Metode panjang (long method), dan b. Metode pendek (short method)
c.2 Data Berkelompok
Sebelum metode ini digunakan, terlebih dahulu harus diperhatikan besarnya sampel. Untuk sampel yang besar, perhitungan varians dan deviasi standar dapat dihitung dengan rumus:
Sehingga simpang baku (standard deviation) adalah:
Sedangkan bila sampelnya berukuran kecil, variansya adalah:
.
c.2.a. Metode panjang (long method)
N
XXfS ii
2
2
N
XXfS ii
2
1
2
2
N
XXfS ii
Sehingga simpang baku (standar deviation) adalah:
Untuk populasi dapat digunakan rumus:
Varians :
Deviasi standar :
Continue...
1
2
N
XXfS ii
N
Xf ii
2
2
N
Xf ii
2
Dari data tabel berikut ini dapat dihitung varians dan deviasi standar sebagai berikut. Apabila data dari tabel tersebut diasumsikan sebagai data sampel, maka:
Contoh...
Kelompok nilai fi Xi
30-39,99 6 35 26,6 707,56 4.245,36
40-49,99 12 45 16,6 275,56 3.306,72
50-59,99 30 55 6,6 43,56 1.306,80
60-69,99 24 65 3,4 11,56 277,44
70-79,99 18 75 13,4 179,56 3.232,08
80-89,99 10 85 23,4 547,56 5.475,60
∑ 100 - 17.844,00
2XX i XX i 2XXfi i
Rata-rata hitung , telah diperoleh pada bagian terdahulu, yaitu sebesar 61,60.
Variansnya diperoleh:
Simpang baku (standard deviation) adalah:
Artinya, fluktuasi nilai adalah sebesar 13,36 dari nilai rata-ratanya yang sebesar 61,60.
Penyelesaian...)(X
44,178100/844.172
2
2
S
N
XXfS ii
36,1344,178
2
S
N
XXfS ii
Perhitungan deviasi standar dengan menggunakan metode pendek, hanya akan melibatkan angka-angka kecil, sehingga peritungannya sangat praktis. Metode ini juga kadangkala disebut dengan “coding methods”. Rumus untuk menghitungnya dinyatakan sebagai berikut.
c.2.b. Metode pendek (short method)
22
22
22
)1(1
N
df
N
dfi
NN
df
N
dfiS
N
df
N
dfiS
iiii
iiii
iiii
Untuk Sampel Besar
Untuk Sampel Kecil
Untuk populasi
Dimana “di” adalah suatu bilangan skala deviasi standar yang ditentukan secara sembarang (arbitrary). Penempatan d=0, diupayakan di tengah-tengah dari jumlah kelas interval. Untuk menempatkan nilai skala deviasi standar berikutnya dapat dilakukan dengan rumus:
Di mana:◦ di = deviasi standar pada kelas i◦ Mi = nilai tengah pada kelas ke i◦ Xo = nilai tengah di mana nol diletakkan◦ i = besar kelas interval
Continue...
i
XMd oii
)(
Dari data tabel berikut ini dapat dihitung deviasi standar dan variansnya dengan metode pendek sebagai berikut. sampel, maka:
Contoh...
Kelompok nilai
fi Mi di fidi Fidi.di
30-39,99 6 35 -2 -12 24
40-49,99 12 45 -1 -12 12
50-59,99 30 55 0 0 0
60-69,99 24 65 1 24 24
70-79,99 18 75 2 36 72
80-89,99 10 85 3 30 90
∑ 100 - 66 222
Skala deviasi standar (di) dapat dihitung:
Penyelesaian,,,
i
XMd oii
)(
110
)5565(1
d
210
)5575(2
d
110
)5545(1
d 2
10
)5535(2
d
310
)5585(3
d
Maka deviasi standar dapat dihitung:
Sehingga variansnya adalah
Hasil yang diperoleh adalah persis sama dengan yang dihasilkan melalui metode panjang.
Penyelesaian,,,
2.
N
df
N
didfiS iiii
44,17836,13 22 S
2
100
66
100
22210
S
4356,022,210 S
7844,110S
36,13S
Deviasi standar atau simpang baku yang telah dibahas diatas,
mempunyai satuan yang sama dengan satuan data aslinya. Hal ini
akan mempunyai kelemahan bila membandingkan dua kelompok data
yang berbeda. Sebuah contoh berikut akan menjelaskan persoalan
tersebut.
Seorang pengusaha ingin membandingkan variasi gaji pejabat
struktural di perusahaannya. Gaji buruh dibayar secara harian,
sedangkan gaji pejabat struktural dibayar bulanan.
Rata-rata gaji buruh adalah Rp 5.000,- dengan deviasi standar Rp.
1.500,-. Sedangkan gaji pejabat steuktural rata-rata Rp. 600.000,-
dengan deviasi standar Rp. 300.000,-.
D. Koefisien variasi (coefficient of variation)
Dalam hal tersebut, perbandingan secara langsung dari perhitungan deviasi standar tidak mungkin benar. Gaji pejabat struktural yang dibayar perbulan tentu lebih besar daripada gaji buruh yang dibayar harian. Ole karenanya, oleh para statistisi kemudian dikembangkan suatu metode pengukuran dispersi yang disebut koefisien variasi, yang juga sering disebut dengan “covariance”
Perhitungan koefisien variasi ini dapat dilakukan dengan rumus:
Continue...
populasiuntukV _.......
Dalam perbandingan dua koefisien variasi (kovarians), maka distribusi data yang memiliki koefisien variasi yang lebih besar menunjukkan nilainya lebih bervariasi atau lebih heterogen. Sebaliknya, yang memiliki koefisien lebih kecil menunjukkan nilainya lebih konstan atau kualitasnya lebih baik.
Continue...sampeluntuk
X
Sv _.......
Dua buah developer menawarkan perumahan untuk masyarakat, masing-masing Matahari Permai (MP) dan Matahari Indah (MI). Serangkaian sampel diambil dan diperoleh, harga rata-rata rumah di MP Rp 60 juta dengan deviasi standar Rp 9.138.000,- sedangkan harga rata-rata rumah di MI Rp 50 juta dengan deviasi standar Rp 8.750.000,-
Contoh...
Sepintas, bila diperhatikan, variasi harga rumah di MP lebih besar daripada MI. Untuk membandingkan secara lebih benar, dapat diperhatikan sebagai berikut:
Continue...
%50,17__1750,0000.000.50
000.750.8
,
atauv
v
sedangkan
MI
MI
%23,15__1523,0000.000.60
000.138.9
atauv
v
X
Sv
MP
MP
Ternyata, variasi harga rumah di MI lebih besar daripada MP
Semoga Dapat di Amalkan dan Bermanfaat
WASSALAM....
SEKIAN...