Pengetahuan dan Pemahaman tentang :Pengetahuan dan ...arwincourse.tripod.com/publikasi/dasoto-slide.pdf · roda kemudi (c) Grafik tanggapan arah yg dikehendaki dgn arah perjalanan

1

Pengetahuan dan Pemahaman tentang :Pengetahuan dan Pemahaman tentang :

Matematika TeknikPersamaan DiferensialTransformasi Laplace

l k ik DElektronika DasarHukum OHMHukum KIRCHOFF I dan II

2Dasar Otomatisasi@2007

Otomatisasi 2005, AAU, Yogyakarta, 2005Modern Control System, Richard C. Dorf and

Robert H. Bishop, Prentice-Hall, USA, 2004Control System Engineering, Norman S. Nise,

Wiley, USA, 2003Schaum’s Outline of Feddback and Control System,

Allen J. Stubberud, Ivan J. Williams dan Joseph J. DiSt f M G Hill 2nd Ed USA 1994DiStefano, McGraw-Hill; 2nd Ed, USA, 1994

Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice-Hall, USA, 2002


Bab ini menjelaskan proses umum dlm perancangan suatu sistem pengaturan

Sistem Pengaturan yg terdiri dari komponen2 yg saling berhubungan dirancang utk mencapai suatu tujuan yang dikehendaki/diinginkan

Utk memahami tujuan dari suatu Sistem Pengaturan, ada baiknya mempelajari contoh2 Sistem Pengaturan dari masa ke masa. Sistem2 terdahulu memanfaatkan ide-ide yg sama ttg umpan balik spt yg banyak digunakan pd sistem2 saat ini

Penggunaan teknik pengaturan modern melibatkan penggunaan strategi perancangan kontrol guna diantaranya meningkatkan proses2 manufaktur, efisiensi penggunaan energi dan kontrol kendaraan yg lebih maju

Di i i j didi k ik tt l h C l h i i lDi sini juga didiskusikan gagasan ttg celah perancangan. Celah ini muncul antara sistem fisik yg dipelajari dgn model yg digunakan dlm sintesa Sistem Pengaturan

Sifat iteratif perancangan memperbolehkan utk menangani celah perancangan scr efektif dgn memperhatikan kompromi2 dlm kompleksitas, kinerja dan biaya dlm rangka mencapai spesifikasi2 perancangan


2

Sistem – Suatu keterhubungan elemen2 dan alat2 utk satu tujuan yg dikehendaki

Sistem Pengaturan – Suatu keterhubungan komponen2 yg membentuk satu konfigurasi sistem yg akan memberikan satu tanggapan yg dikehendaki

Proses – Alat, mesin atau sistem dibawah pengaturan. Hubungan inputdan output yg merepresentasikan hubungan sebab-akibat dr proses


Sistem Pengaturan Jerat-Terbuka – menggunakan sebuah pengatur atau aktuator pengaturan utk mendapatkanpengaturan utk mendapatkan tanggapan yg dikehendaki.

Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup – menggunakan umpan balik utk membandingkan output aktual dgn tanggapan output

Sistem Pengaturan Variabel Majemuk

g gg p pyg dikehendaki


Yunani (SM) – Mekanisme Alat Pengatur PelampungBelanda (Abad 16)– Alat Pengatur Suhu

Watt’s Flyball Governor(Abad 18)


Alat Pengatur Pelampung Permukaan Air


3

Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Berumpan Balik


J.C. Maxwell Persamaan Differensial untuk governor

I.A. Vyshvegradskii

Bode, Nyguist, Black

Teori Matematis berbagai Regulator

Sistem Telepon dgn Penguat Umpan Balik (Bell Telephone Lab); Frequency Domain

Uni Sovyet

Penggunaan Transformasi Laplace, Frekuensi Kompleks, Metode Bidang dengan pendekatan Root Locus

Gunakan Time Domain


Teori Pengaturan Optimal Lyapunov dan MinorskyTeori Pengaturan Optimal (Efek Sputnik)

Lyapunov dan Minorsky

L.S. Pontryagin

R. Bellman (AS)

Frequency Domain dan Time Domain digunakan serentak utk analisa Sistem Pengaturan


Abad 18 – James Watt membuat pengatur sentrifugal utk mengatur kecepatan mesin uap

1920-an – Minorsky membuat alat pengatur otomatis kemudi kapal1920 an Minorsky membuat alat pengatur otomatis kemudi kapal

1930-an – Nyquist membangun metode utk menganalisa kestabilan suatu sisten pengaturan

1940-an – Metode Frequency response digunakan utk merancang sistem pengaturan jerat-tertutup linier

1950an – Metode Root-locus diselesaikan oleh Evans

1960an – Metode State space, pengaturan optimal dan pengaturan adaptif diperkenalkan

1980an – Penelitian ttg pengaturan mulai dikembangkan

Saat ini dan yg sedang berjalan meliputi aplikasi teori sistem pengaturan modern bidang non-teknik spt sistem biologi, biomedis, ekonomi dan sosio-ekonomi

???????????????????????????????????12Dasar Otomatisasi@2007

4

(a) Sistem Kendali Kemudi Mobil

(b) Pengemudi menggunakan perbedaan antara arah perjalanan aktual dgn yg dikehendaki utk membangkitkan pengaturan terkontrol pd roda kemudi

(c) Grafik tanggapan arah yg dikehendaki dgn arah perjalanan aktual


Blok Diagram Sistem Berumpan Balik NegatifMenggambarkan Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Dasar

Alat Pengatur biasa disebut dengan “Controller”


Sistem Pengaturan Manual utk mengatur permukaan cairan di dalam tangki dgn mengatur Katup output. Operator mengamati permukaan

cairan melalui sebuah lubang di sisi tangki


Sistem Pengaturan tiga-sumbu utk menginspeksi tiap-tiap wafersemikonduktor menggunakan kamera dgn sensitivitas tinggi


5

Sistem Pengaturan Terkoordinasi suatu Generator Uap


Sistem Pengaturan pada KomputerSistem Pengaturan pada Komputer



CIRI-CIRI FEEDBACK CONTROL SYSTEM

1. Meningkatkan ketelitian2. Mengurangi kepekaan perbandingan keluaran terhadap

masukan3 Mengurangi akibat ketidak linieran dan distorsi3. Mengurangi akibat ketidak linieran dan distorsi4. Memperbesar lebar pita5. Kecenderungan menuju osilasi/ketidakstabilan

Dua macam perancangan Control System :

1. Analisis memperbaiki karakteristik dari konfigurasi sistem yg sudah adasistem yg sudah ada

2. Sistesis mendefinisikan bentuk sistem dari karakteristiknya


6

Beberapa definisi dalam Control System

Tranduser piranti yg ubah satu bentuk energi menjadi b t k l ibentuk lainnya

Umpan balik negatif titik penjumlahannya merupakan sebuah pengurang. Contoh : o/p = x-y

Umpan balik positif titik penjumlahannya merupakan sebuah penjumlah. Contoh : o/p = x+y

Rangsangan setiap isyarat masukan yg dimasukkan dr luar yg pengaruhi keluaran sistem

Tanggapan waktu keluarannya sebagai fungsi dr waktu, akibat penerapan masukan yg ditentukan sebelumnya pd syarat2operasi yg telah ditetapkan.


Satu Model Sistem Pengaturan Umpan Balik dari Pendapatan Nasional


23Dasar Otomatisasi@2007 24Dasar Otomatisasi@2007

7

Evolusi Masa Depan Sistem Pengaturan dan Robotik



KONSEP KAPAL LISTRIKVisionVision

ElectricallyElectricallyElectricallyElectrically

Main PowerDistribution

PropulsionMotor

MotorDrive Generator

PrimeMover

Electric DriveReduce # of Prime MoversFuel savingsReduced maintenance

TechnologyInsertion

Warfighting Capabilities

IntegratedIntegratedPowerPower

SystemSystem

IntegratedIntegratedPowerPower

SystemSystem

AllAllElectricElectric

ShipShip

AllAllElectricElectric

ShipShip

ElectricallyElectricallyReconfigurableReconfigurable

ShipShip

ElectricallyElectricallyReconfigurableReconfigurable

ShipShip

Reduced manningAutomationEliminate auxiliary systems (steam, hydraulics, compressed air)

Increasing Affordability and Military CapabilityIncreasing Affordability and Military Capability

ShipServicePower

Motor Drive Mover

PowerConversion

Module


8

CVN(X) FUTURE AIRCRAFT CARRIER



9

(a) Pengaturan Jerat-Tertutup Kecepatan suatu Meja Putar(b) Model Blok Diagram


Batas Insulin dan Gula Darah Manusia Sehat


(a) Pengaturan Jerat-Terbuka (tanpa Umpan Balik) dan(b) Pengaturan Jerat-Tertutup Gula Darah


10

Sistem Pengaturan Jerat-Tertutup Disk Drive


Challenger

Tacoma Bridge


References, and Resources

http://www.ieeecss.org/siteindex/SITEindex.html

http://www-control.eng.cam.ac.uk/extras/Virtual_Library/Control_VL.html


Exercises and Problems


11

Exercises and Problems


Beberapa Konsep Aljabar Input dan Output

o/p = i/p + y o/p = i/p + y o/p = i/p + y + z

= x + y = x – y = x + y – z

d d

dxo yp dt= =

dt dx

dvo yp dx= =


SOAL1. Buat diagram blok untuk persamaan matematka sbb :

a. x3 = a1 x1 + a2 x2 - 5b 2 + 2 + 4b. s = p2x + 2qx + 4r

2. Gambarkan blok diagram untuk persamaan berikut :

11 1

4 3

a.

b.

dxx a

dt

x x dt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∫3. Buatkan blok diagram untuk sistem sbb :

a. Air Conditioning Systemb. Tangan Robot

∫


Untuk merancang dan menganalisa Sistem Pengaturan digunakan g g g gmodel2 matematika kuantitatif. Tingkah laku dinamis pd scr umum digambarkan oleh Persamaan Diferensial (PD). Krn sebagian besar sistem2 fisik bersifat tidak linier, di sini akan didiskusikan aproksimasi linier menggunakan metode Transformasi Laplace. Sistem2 tsb meliputi sistem mekanik, hidrolik dan elektrik.

Kemudian akan dilanjutkan dgn membuat hub input-output komponen dan subsistem dlm bentuk Fungsi Transfer (FT). Blok2 FT dpt diatur k d l di 2 bl k t Si l Fl G h (SFG G fik Alike dalam diagram2 blok atau Signal Flow Graph (SFG, Grafik Aliran Sinyal (GAS)) utk menggambarkan scr grafis keterkaitannya. Diagram2 blok (dan GAS) sangat membantu dan perangkat alami utk merancang dan menganalisa Sistem Pengaturan yg kompleks.


12

Definisikan Sistem dan Komponen2nyaFormulasikan Model Matematika dan Buat Daftar Asumsi2 PentingTulis PD yg Menjelaskan Model di atasSelesaikan PD utk Variabel2 Output yg DikehendakiDikehendakiUji Solusi dan AsumsiBila Perlu, Analisa atau Rancang Ulang Sistem


Ta t( ) Ts t( )− 0

Ta t( ) Ts t( )

ω t( ) ωs t( ) ωa t( )−

Ta t( ) = through - variable

l t diff i blangular rate difference = across-variable


v21 Ltid

d⋅ E

12

L⋅ i2⋅

Induktansi Listrik

v211k t

Fdd

⋅ E12

F2

k⋅

ω211

Td⋅ E1 T2

⋅

Pegas Translasi

Pegas Putar

21 k td 2 k

P21 ItQd

d⋅ E

12

I⋅ Q2⋅

Kelembaman Cairan


Kapasitansi Listrik

Massa Translasi

i Ctv21

dd

⋅ E12

M⋅ v212⋅

Massa Translasi

Massa Putar

Kapasitansi Cairan

F Mtv2

dd

⋅ E12

M⋅ v22⋅

T Jtω2

dd

⋅ E12

J⋅ ω22

⋅

p

Kapasitansi Panas

Q CftP21

dd

⋅ E12

Cf⋅ P212⋅

q CttT2

dd

⋅ E Ct T2⋅


13

Resistansi Listrik

Peredam Geser

i1R

v21⋅ P1R

v212⋅

Peredam Geser

Peredam Putar

Resistansi Cairan

F b v21⋅ P b v212⋅

T b ω21⋅ P b ω212

⋅

Resistansi Cairan

Resistansi Panas

Q1Rf

P21⋅ P1Rf

P212⋅

q1Rt

T21⋅ P1Rt

T21⋅


f.y k.y

GesekanTembok, f

Gaya, r(t)

y

ky

r(t)

M 2ty t( )d

d

2⋅ b

ty t( )d

d⋅+ k y t( )⋅+ r t( )(a) Sistem Pegas-Massa-Peredam

(b) Diagram Massa-bebas

r(t)

f


PERSAMAAN DIFFERENSIAL SISTEM FISIS

Satuan Sistem Internasional (SI)

Contoh : a. Pegas Hk Newton F = m.a F = k.f.m.a

Dimana :

k = tetapan pegas ideal

f = tetapan gesekank

2

2( ) ( )( ) ( )d y t dy tr t M f k y t

dtdt= + +

r(t) = F

M= m

y = aMASSA

f

y

r(t)

PD orde 2

11 1 1( ) sin( )

bila ( ) (0)

ty t k ey t y

α β θ−= +

=


Sumber

Rangkaian RLC

( ) ( ) 1 tv t dv t∫

SumberArusr(t) v(t)

( ) ( ) ( ) ( )0

1 tv t dv tC v t dt r t

R dt L+ + =∫

( ) ( )11 1 1sinty t K e tα β θ−= +


14

I R LC

V

b. Rangkaian Listrik

Dimana :

i(t) = I

v(t) = VV v(t) = V

∫++=⇒++=t

dttvLdt

tdvCRtvtr

LVVC

RVI

0.....)(1)()()(.

)cos()(1)( 2222 θβα +=⇒= − teKtvtrbila t

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ....tdy t dv tbila v t r t M f v t k v t dt

dt dt= ⇒ = + + ∫

Variabel Ekivalen Sistem Analog

Analogi Tegangan - Kecepatan


Tanggapan Tegangan utk Rangkaian RLC underdamped


K2 1:= α2 .5:= β2 10:= θ2 2:=

y t( ) K2 eα 2− t⋅

⋅ sin β2 t⋅ θ2+( )⋅:=y( ) 2 β2 2( )

y1 t( ) K2 eα 2− t⋅

⋅:= y2 t( ) K2− eα 2− t⋅

⋅:=

1

y t( )

0 1 2 3 4 5 6 71

0y1 t( )

y2 t( )

t55Dasar Otomatisasi@2007

y

(a) Massa yg diletakkan di atas suatu Pegas Tidak Linier(b) Grafik Gaya Pegas vs y


15

Sistem-sistem Linier – Kondisi Tertentu

Prinsip Superposisi

Sifat Keserbasamaan (Homogenity)

Deret Taylor dpt dilihat pd alamat ini

http://www.maths.abdn.ac.uk/%7Eigc/tch/ma2001/notes/node46.html


M 200gm:= g 9.8m

s2:= L 100cm:= θ0 0rad:= θ π−

15− π

16, π..:=

T0 M g⋅ L⋅ sin θ0( )⋅:=

T1 θ( ) M g⋅ L⋅ sin θ( )⋅:=T1 θ( ) M g L sin θ( ):

T2 θ( ) M g⋅ L⋅ cos θ0( )⋅ θ θ0−( )⋅ T0+:=

0

5

10

T1 θ( )

T2 θ( )

4 3 2 1 0 1 2 3 410

5

θ

Students are encouraged to investigate linear approximation accuracy for different values of θ0


Perspektif Sejarah – Operator2 Heaviside

Timbulnya Operasi Calculus (1887)


pt

dd

1p 0

tu1

⌠⎮⌡

dv = H(t)

Perspektif Sejarah – Operator2 HeavisideTimbulnya Operasi Calculus (1887)

0

iv

Z p( )Z p( ) R L p⋅+

i1

R L p⋅+H t( )⋅

1

L p 1R

L p⋅+⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

⋅

H t( )⋅1R

RL

1p

⋅RL

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1

p2⋅−

RL

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 1

p3⋅ .....+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅ H t( )⋅

n

Expanded in a power series

1

pnH t( )⋅

tn

n!

i1R

RL

t⋅RL

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 t2

2!⋅

RL

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 t3

3!⋅+ ..−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ i1R

1 e

R

L⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

− t⋅−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦⋅

(*) Oliver Heaviside: Sage in Solitude, Paul J. Nahin, IEEE Press 1987.60Dasar Otomatisasi@2007

16

Definition

∞⌠

Definisi

L f t( )( )0

∞

tf t( ) e s− t⋅⋅

⌠⎮⌡

d = F(s)

Here the complex frequency is s ρ j w⋅+

The Laplace Transform exists when

Frekuensi Kompleksnya adalah :

Transformasi Laplace timbul ketika p

0

∞

tf t( ) e s− t⋅⋅

⌠⎮⌡

d ∞< this means that the integral converges

p

Ini berarti bahwa integralnya konvergen


Determine the Laplace transform for the functions

a) f1 t( ) 1:= for t 0≥

Tentukan Transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi berikut :

untuk

F1 s( )0

∞

te s− t⋅⌠⎮⌡

d:= = 1s

− e s t⋅( )−⋅

1s

b) f2 t( ) e a t⋅( )−

F2 s( )0

∞

te a t⋅( )− e s t⋅( )−⋅

⌠⎮⌡

d = 1s 1+

− e s a+( ) t⋅[ ]−⋅ F2 s( )

1s a+


Ltf t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0

∞

ttf t( ) e s t⋅( )−⋅d

d

⌠⎮⎮⌡

d

Evaluate the laplace transform of the derivative of a functionEvaluasi Transformasi Laplace turunan suatu fungsi berikut :

we obtain

v f t( )anddu s− e s t⋅( )−⋅ dt⋅

and, from which

dv df t( )u e s t⋅( )−where

u v⋅ uv⌠⎮⌡

d−=vu⌠⎮⌡

dby the use ofmenggunakan

dimana

dan dari

kita peroleh

dan

note that the initial condition is included in the transformationsF(s) - f(0+)=Ltf t( )d

d⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

s0

∞

tf t( ) e s t⋅( )−⋅

⌠⎮⌡

d⋅-f(0+) +=

0

∞

tf t( ) s− e s t⋅( )−⋅⎡⎣ ⎤⎦⋅⌠⎮⌡

d−f t( ) e s t⋅( )−⋅=0

∞vu

⌠⎮⌡

d

catat bahwa kondisi awal dilibatkan di dalam transformasi63Dasar Otomatisasi@2007

Practical Example - Consider the circuit.

The KVL equation is

4 i t( )⋅ 2ti t( )d

d⋅+ 0 assume i(0+) = 5 A

Contoh Praktis – Rangkaian Listrik

Persamaan KVL-nya adalah :

asumsi

Applying the Laplace Transform, we have

0

∞

t4 i t( )⋅ 2ti t( )d

d⋅+⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

e s t⋅( )−⋅

⌠⎮⎮⌡

d 0 40

∞

ti t( ) e s t⋅( )−⋅

⌠⎮⌡

d⋅ 2

0

∞

tti t( ) e s t⋅( )−

⋅dd

⌠⎮⎮⌡

d⋅+ 0

4 I s( )⋅ 2 s I s( )⋅ i 0( )−( )⋅+ 0 4 I s( )⋅ 2 s⋅ I s( )⋅+ 10− 0

transforming back to the time domain, with our present knowledge of Laplace transform, we may say thatI s( )

5s 2+

:=

Aplikasikan Transformasi Laplace, diperoleh

transformasikan kembali ke wilayah waktu, dengan pengetahuan kita tentang Transformasi Laplace, dapat dikatakan bahwa

0 1 20

2

4

6

i t( )

t

t 0 0.01, 2..( )≡

i t( ) 5 e 2 t⋅( )−⋅≡


17

The Partial-Fraction Expansion (or Heaviside expansion theorem)

Suppose that

The partial fraction expansion indicates that F(s) consists of f h f hi h i f f h d iF s( )

s z1+

Ekspansi Pecahan-Parsial (atau Teorema Eskpansi Heaviside)

Andaikan :

Eskpansi pecahan parsial menunjukkan bahwa F(s) terdiri dari

j l h t di i i d l h f kt d ia sum of terms, each of which is a factor of the denominator. The values of K1 and K2 are determined by combining the individual fractions by means of the lowest common denominator and comparing the resultant numerator coefficients with those of the coefficients of the numerator before separation in different terms.

F s( )s p1+( ) s p2+( )×

or

F s( )K1

s p1+

K2

s p2++

penjumlahan term, dimana masing-masing adalah faktor dari

penyebut. Nilai K1 dan K2 ditentukan dengan menggabungkan

masing-masing pecahan melalui penyebut bersama terendah dan

membandingkan koefisien-koefisien pembilang resultan dengan

koefisien-koefisien pembilang sebelum pemisahan dalam term yang

berbeda

atau

Evaluation of Ki in the manner just described requires the simultaneous solution of n equations. An alternative method is to multiply both sides of the equation by (s + pi) then setting s= - pi, the right-hand side is zero except for Ki so that

Kis pi+( ) s z1+( )×

s p1+( ) s p2+( )+s = - pi

Evaluasi Ki dalam cara yang telah dijelaskan memerlukan solusi serentak persamaan-persamaan n.

Satu metode alternatif adalah dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan (s + pi) kemudian

mengatur s = -pi, sisi kanan menjadi 0 kecuali Ki sehingga


1F

s⎛ ⎞

f t T−( ) u t T−( )⋅1. Time delaye s T⋅( )− F s( )⋅

Property Time Domain Frequency DomainSifat Kawasan Waktu Kawasan Frekuensi

∞sF s( )

⌠⎮⌡

df t( )

t5. Frequency Integration

F s a+( )f t( ) e a t⋅( )−⋅4. Frequency shifting

sF s( )d

d−t f t( )⋅3. Frequency differentiation

f at( )2. Time scaling aF

a⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

s -> 0t -> infinite

Lim s F s( )⋅( )Lim f t( )( )7. Final-value Theorem

s -> infinitet -> 0

Lim s F s( )⋅( )Lim f t( )( ) f 0( )6. Initial-value Theorem

0⌡t


Pasangan2 Transformasi Laplace yg Berguna

– Tabel Sifat-sifat Transformasi Laplace http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/Table_prop.html

– Tabel Pasangan Transformasi Laplace http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/Table_pairs.html

– Tabel Transformasi Laplace Bentuk2 Gelombang Umumhttp://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace_cwf/laplace_cwf.html

– Tabel Transformasi Laplace dari Fungsi2 Dasar http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace basic/laplace basic.html p p p _ p _

– Tabel Transformasi Laplace Fungsi2 Trigonometri http://deas.harvard.edu/courses/es154/2001/Laplace/laplace_trig/laplace_trig.html


TRANSFORMASI LAPLACE

Substitusi persamaan aljabar sederhana Persamaan Diferensial

Cara : a Dapatkan Persamaan DiferensialCara : a. Dapatkan Persamaan Diferensial

b. Dapatkan Transformasi Laplace

c. Selesaikan

Syarat : Persamaan Differensial Linier pd Integral Konvergen

∫ <≅ −

0~)()( 1 dtetftf tσ


18

Transformasi Laplace f(t) ∫ ≅=⇒ −~)}({)()( tfdtetfsF stTransformasi Laplace f(t) ∫ ≅=⇒

0)}({)()( tfdtetfsF

Inverse Transformasi Laplace ∫+

−

+=⇒ωσ

ωσπj

j

st dsesFj

tf )(21)(

Operasi Diferensial dtds ≡dt

Integral ∫≡tdt

s 01


Contoh : Pegas:

( ) ( )

2

2

2

2

( ) ( )( ) ( )d y t dy tr t M f k y tdtdt

dy td yM f ky tdtdt

= + +

= + + dtds ≡

2 (0 )( ) ( ) (0 ) ( ( ) (0 ) ( )dyR S M s Y s sy f sY s y kY sdt

++ +⎛ ⎞

= − − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Bila :0

0( ) 0, (0 ) , 0; maka

t

dyr t y ydt

+

=

= = =0

20 0

20

R(s) s Y(s)- sy f sY(s)-fy Y(s) 0

( )( ) ( ) 0

t

M M k

Y s Ms fs k y Ms f

= + + =

= + + − + =


Sehingga : 02( ) ( )( ) ( ) penyebutsukubanyak

( )y Ms f p sY s q s

q sMs fs k+

= = ⇒ =+ + ( )qMs fs k+ +

Bila q(s) = 0 Persamaan respons karakteristik karena tentukan watak respons waktu

DEFINISI

Pole Akar2 persamaan karakteristik atas titik2 singular sistemPole Akar2 persamaan karakteristik atas titik2 singular sistem

Zero Akar2 suku banyak untuk pembilang

Pole dan Zero Frekuensi2 kritis


0maka~dan0bila)()()( ≈==⇒=

PoleZeroPoleZero

PoleZero

sqspsY

Contoh : Bila K/M = 2, f/M = 3, maka K = 2M dan f = 3M

)(q

0 0 02 2 2

0

( ) ( 3 ) ( 3)( ) .....(*)

3 2 ( 3 2)( 3)

( 1)( 2)

Ms f y Ms M y s yY s

Ms fs k Ms Ms M s ss y

s s

+ + += = =

+ + + + + ++

=+ +

… p(s)

… q(s)ωjZ ero

0 XX-1-2-3 0

σ

P o le


19

Bila (*) diuraikan ke dlm bentuk ekspansi pecahan bagian ⇒

)( 21 +=kksY )()( 2−

=spssk

k1 dan k2 koefisien penguraian

kj = residu (sisa)

Invers Transformasi Laplace :

21)(

++

+ sssY

11232

)2)(1()3)(2(

)(

2

22

2

−=+−+−

=++++

=

=

−=

−=

s

s

ssss

sqk

tt eetyss

ty 211 2)(2

11

2)( −−−− −=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

)()(

0 XXS1=-1-2-3 0

σ

ωj

s1+2

(s1+3)

2)2)(1()3)(1(

)()()(

1

1

11

1

=++++

=

−=

−=

−=

s

s

ssss

sqspssk


Steady State (keadaan mantap) tanggapan y(t) dpt ditentukan dari :

lim y(t) = lim s Y(t)

t → ∼ s → 0t → ∼ s → 0

Pada bagian Pegas ditemukan :

lim y(t) = lim sY(s) = 0 bila kutub Y(s) pada titik (0,0)

t → ∼ s → 0

Maka y = 0 kedudukan keseimbangan yang lazim


Ingat : K/M = 2 dan f/M = 3 ⇒ :sbbditulisdpt)()()( sY

sqsp

=

0 0 02 2

( 3) ( 3) ( )( )

( 1)( 3) 3 2 ( )

fM

f k

s y s y s yY s

+ + += = =

+ + 2 2

02 2

( 1)( 3) 3 2 ( )( 2 )

......(**)2

f kM M

n

n

s s s s s ss y

s s nζω

ζω ω

+ + + + + +

+=

+ +dimana ζ perbandingan redaman

ωn frekuensi alamiah

Akar-akarnya : s1, s2 = -ζωn ± dimana

Bila : ζ > 1 akar-akarnya nyata dan sama (teredam kritis)

12 −ζωn 2dan fkM kMω ζ≈ = =

Bila : ζ 1 akar akarnya nyata dan sama (teredam kritis)

ζ < 1 akar-akarnya kompleks dan saling konjugat (kurang teredam)

22,1 1 ζωζω −±= nn jS


Pemetaan Zero dan Pole Y(s) dimana θ = Cos-1ζ

Bila ζ berubah-ubah dan ωn tetap, pasangan akar2 konjugat akan menempati suatu locus berbentuk lingkaran

s1

ωj

nωθ

σ

21 ζω −nj

nζω−nζω2−

X

0s>1 s<1 σ

φζ =ωj

njω−

s221 ζω −− nj

nζnζ

X1=ζ


20

Uraian pecahan bagian persamaan Pegas :

:makaskomplekskonjugatadalahskarena)( 1221 +=

KKsY

konjugat*)(

*)(

)(

pj g)()(

)(

21

1

1221

=−

+−

=

−−

ssK

ssKsY

ssss

Maka Kj adalah :

)2(magnitude)2( 01 nsMynsK +=+

= ζωζω

*)(magnitude

)2(magnitude*)(

1122

01

1111

1

2ssM

eMyeM

nsMss

K

j

j

−==

+=−

=

π

φ

ζω


Pada kasus ini ditemukan :

ω φ0 eyK

jn

ζθ

ζ

ζωπθ

π

1

)(

20

22

01

dimana

12

12

2

−

−

=

−=

−=

Cos

eyej

yK

j

n

n

nζω2−

σ

ωj21 ζω −− nj

)2( 1 ns ζω+

)2

(

20

212

θπ

ζ

−

−=

jeyK


Akhirnya :

1)()(

20

21

222

21

12

)(

ζωζωθζωθ

ζππ −−−−−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−=

+=

jtjtj

tsts

nnn eeeeeyeKeKty

)1(sin

20 2

12θζωζω

ζ+−−

−= tt nney

y(t)

y0

over damped

0

nte ζ ω−under damped

t


KESIMPULAN

Transformasi Laplace dan pendekatan bidang s adalah teknik yg sangat berguna untuk analisa dan rancang suatu sistem, karena performa steady state dan transient sangat diutamakan.


21

Y s( )Ms b+( ) yo⋅

Ms2 bs+ k+

equation 2.21

Perhatikan sistem massa-pegas-peredam

Persamaan 2.21

Plot bidang-s pole dan zero Y(s)

y s( )s

bM

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yo( )⋅

s2 bM

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅+kM

+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

s 2 ζ⋅ ωn⋅+( )s2 2 ζ⋅ ωn⋅+ ωn

2+

s1 ζ ωn⋅( )− ωn ζ2

1−⋅+ωn

kM

ζb

2 k M⋅⋅( )2

Ms bs+ k+

Locus akar-akar dimana z berubah dgn ωn konstan

s2 ζ ωn⋅( )− ωn ζ2

1−⋅−

Roots

RealReal repeatedImaginary (conjugates)Complex (conjugates)

s1 ζ ωn⋅( )− j ωn⋅ 1 ζ2

−⋅+

s2 ζ ωn⋅( )− j ωn⋅ 1 ζ2

−⋅−

Akar-akar

NyataNyata BerulangImajiner (konjugat)Kompleks (konjugat)


Tanggapan sistem massa-pegas-peredam


v1 v2i

V1 s( ) R1

Cs+⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

I s( )⋅ Z1 s( ) R

Z2 s( )1

V ( )1⎛ ⎞ I( )

Jaringan RC

2( )CsV2 s( )

Cs⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

I s( )⋅

V2 s( )

V1 s( )

1Cs

R1

Cs+

Z2 s( )

Z1 s( ) Z2 s( )+


Contoh 2.2The partial fraction expansion yields:Ekpansi pecahan parsial menghasilkan :

2ty t( )d

d

24

ty t( )d

d⋅+ 3 y t( )⋅+ 2 r t( )⋅

Initial Conditions: Y 0( ) 1ty 0( )d

d0 r t( ) 1

The Laplace transform yields:

s2 Y s( )⋅ s y 0( )⋅−( ) 4 s Y s( )⋅ y 0( )−( )⋅+ 3Y s( )+ 2 R s( )⋅

Since R(s)=1/s and y(0)=1 we obtain:

Y s( )

32

s 1+( )

1−2

s 3+( )+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

1−

s 1+( )

13

s 3+( )+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

+

23

s+

Therefore the transient response is:

y t( )32

e t−⋅12

e 3− t⋅⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1− e t− 13

e 3− t⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+23

+

Kondisi2 Awal :

Transformasi Laplace menghasilkan :

Karena R(s)=1/s dan y(0)-1 diperoleh :

Maka tanggapan transiennya adalah :

Since R(s)=1/s and y(0)=1, we obtain:

Y s( )s 4+( )

s2 4s+ 3+( )2

s s2 4s+ 3+( )⋅+

The steady-state response is:

∞ty t( )lim

→

23

Karena R(s)=1/s dan y(0)-1, diperoleh :Sehingga tanggapan steady-state-nya adalah :


22

Contoh 2.3


Contoh 2.4


Contoh 2.5


Contoh 2.5


23

φ K f if⋅

T m K 1 K f⋅ if t( )⋅ ia t( )⋅

field controled motor Lapalce Transform

Contoh 2.5

field controled motor - Lapalce Transform

T m s( ) K 1 K f⋅ Ia⋅( ) If s( )⋅

Vf s( ) Rf Lf s⋅+( ) If s( )⋅

T m s( ) T L s( ) T d s( )+

T L s( ) J s 2⋅ θ s( )⋅ b s⋅ θ s( )⋅+

rearranging equationsrearranging equations

T L s( ) T m s( ) T d s( )−

T m s( ) K m If s( )⋅

If s( )Vf s( )

Rf Lf s⋅+

Td s( ) 0

θ s( )Vf s( )

Kms J s⋅ b+( )⋅ Lf s⋅ Rf+( )⋅


Contoh 2.5


Contoh 2.5


Contoh 2.5


24

V 2 s( ) 1−

V 1 s( ) RCs

V s( )V 2 s( )

V 1 s( )RCs−


V 2 s( )

V 1 s( )

R 2 R 1 C⋅ s⋅ 1+( )R 11 1

( ) ( ) ( )V 2 s( )

V 1 s( )

R 1 C 1⋅ s⋅ 1+( )− R 2 C 2⋅ s⋅ 1+( )R 1 C 2⋅ s⋅


θ s( ) K m

( )V f s( ) s J s⋅ b+( )⋅ L f s⋅ R f+( )

θ s( )V a s( )

K m

s R a L a s⋅+( ) J s⋅ b+( ) K b K m⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅


θ s( )Vc s( )

Km

s τ s⋅ 1+( )

τJ

b( )

Vo s( )

Vc s( )

KRc Rq⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s τc⋅ 1+( ) s τq⋅ 1+( )⋅

b m−( )

m = slope of linearized torque-speed curve (normally negative)

( ) q( )

τcLc

Rcτq

Lq

RqFor the unloaded case:id 0 τc τq

0.05s τc< 0.5s<

V12 Vq V34 Vd96Dasar Otomatisasi@2007

25

Y s( )X s( )

Ks Ms B+( )

KA kx⋅

kpB b

A2

kp+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

kxx

gdd

kpP

gdd

g g x P,( ) flow

A = area of piston

Gear Ratio = n = N1/N2

N2 θL⋅ N1 θm⋅

θL n θm⋅

ωL n ωm⋅


V2 s( ) R2 R22( )

V1 s( )2

R2

R1 R2+

R2

Rθ

θmax

V2 s( ) ks θ1 s( ) θ2 s( )−( )V2 s( ) ks θerror s( )⋅

ksVbattery

θmax


The Transfer Function of Linear Systems

V2 s( ) Kt ω s( )⋅ Kt s⋅ θ s( )⋅

Kt constant

V2 s( )

V1 s( )

ka

s τ⋅ 1+

Ro = output resistanceCo = output capacitance

τ Ro Co⋅ τ 1s<

and is often negligible for controller amplifier


xo t( ) y t( ) xin t( )−

Xo s( )

Xin s( )s2−

s2 b⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅+k

+

T s( )q s( )

11⎛ ⎞

M⎝ ⎠ M

For low frequency oscillations, where ω ωn<

Xo j ω⋅( )Xin j ω⋅( )

ω2

kM

q s( )Ct s⋅ Q S⋅

1R

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+

T To Te− = temperature difference due to thermal process

Ct = thermal capacitance= fluid flow rate = constant= specific heat of water= thermal resistance of insulation= rate of heat flow of heating element

QSRt

q s( )


26

x r θ⋅

converts radial motion to linear motion



Diagram Asli Diagram Ekivalen



27








Contoh 2.7


28

Contoh 2.7


Utk sistem2 rumit, menjadikan metode Diagram Blok sulit dilakukan. Dgn menggunakan Model Signal Flow Graph

(SFG) d d k i tid k l l i t k(SFG), prosedur reduksi tidak perlu lagi menentukan hubungan di antara variabel2 sistem


Y1 s( ) G11 s( ) R1 s( )⋅ G12 s( ) R2 s( )⋅+

Y2 s( ) G21 s( ) R1 s( )⋅ G22 s( ) R2 s( )⋅+


a11 x1⋅ a12 x2⋅+ r1+ x1

a21 x1⋅ a22 x2⋅+ r2+ x2


29

Contoh 2.8

Y s( )R s( )

G 1 G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅ 1 L 3− L 4−( )⋅⎡⎣ ⎤⎦ G 5 G 6⋅ G 7⋅ G 8⋅ 1 L 1− L 2−( )⋅⎡⎣ ⎤⎦+

1 L 1− L 2− L 3− L 4− L 1 L 3⋅+ L 1 L 4⋅+ L 2 L 3⋅+ L 2 L 4⋅+113Dasar Otomatisasi@2007

Contoh 2.10

Y s( )R s( )

G 1 G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅

1 G 2 G 3⋅ H 2⋅+ G 3 G 4⋅ H 1⋅− G 1 G 2⋅ G 3⋅ G 4⋅ H 3⋅+


Y s( )R s( )

P1 P2 Δ2⋅+ P3+

Δ

P1 G1 G2⋅ G3⋅ G4⋅ G5⋅ G6⋅ P2 G1 G2⋅ G7⋅ G6⋅ P3 G1 G2⋅ G3⋅ G4⋅ G8⋅

Δ 1 L1 L2+ L3+ L4+ L5+ L6+ L7+ L8+( )− L5 L7⋅ L5 L4⋅+ L3 L4⋅+( )+

Δ1 Δ3 1 Δ2 1 L5− 1 G4 H4⋅+


Design Examples


30

Design Examples

Speed control of an electric traction motor.117Dasar Otomatisasi@2007

Design Examples


Design Examples


Design Examples


31

Design Examples


The Simulation of Systems Using MATLAB






32









33









34









35




error

Sys1 = sysh2 / sysg4




error


Num4=[0.1];


36





Sequential Design Example: Disk Drive Read System




37


=145Dasar Otomatisasi@2007

P2.11


P2.11

1L c s⋅ R c+

K1

Vq

K2

+Vd

Km

Id

1L d L a+( ) s⋅ R d R a+( )+

Tm

1J s⋅ b+

1s

θ

Vc

Ic 1L q s⋅ R q+

K3-Vb

θ


http://www.jhu.edu/%7Esignals/sensitivity/index.htm


38

http://www.jhu.edu/%7Esignals/


Isu-isu KESTABILAN suatu Sistem Umpan Balik Jerat-Tertutup adalah inti dari perancangan sistem pengaturan. Dgn mengetahui bahwa sistem jerat-tertutup yg tidak stabil tdk mempunyai nilai, kita hrs mencari metode2 utk p yg p y ,menganalisa dan merancang sistem2 yg stabil. Suatu sistem stabil akan menampilkan output terbatas bila input-nya terbatas. Ini disebut dgn kestabilan Bounded-Output Bounded-Input (BIBO) dan merupakan topik utama Bab III ini.

Kestabilan suatu sistem umpan balik secara langsung berkaitan dgn lokasi akar2 persamaan karakteristik Fungsi Transfer (FT) sistem. Metode Routh-Hurwitz adl perangkat yg berguna utk melihat kestabilan sistem. Teknik ini membantu kita menghitung jumlah akar2 persamaan karakteristik di dlmmembantu kita menghitung jumlah akar2 persamaan karakteristik di dlm setengah-bidang datar bag kanan tanpa hrs menghitung nilai akar2nya dan menentukan kestabilan sistem dgn cepat. Ini memberi kita suatu metode perancangan utk menentukan nilai2 parameter2 sistem tertentu utk menuju ke kestabilan jerat-tertutup. Utk sistem yg stabil, akan disampaikan ide ttg kestabilan relatif yg memperbolehkan kita utk mengkarakterisasi derajat kestabilan sistem.


Suatu sistem yang stabil adalah suatu sistem dinamisSuatu sistem yang stabil adalah suatu sistem dinamis dengan tanggap output terbatas terhadap input terbatas

Kestabilan absolut adalah suatu penggolongan stabil/tidak stabil suatu sistem umpan balik jerat-tertutup. Bila sistem tsb stabil, kita dpt menggolongkan derajat kestabilan atau kestabilan relatifnyakestabilan relatifnya


Konsep kestabilan dpt diilus-trasikan dgn suatu kerucut yg ditempatkan di atas suatu

k h i t l d tpermukaan horisontal datar

Kondisi penting dan cukup bagi suatu sistem umpan balik dikatakan stabil adl semua pole FT sistem mempunyai

Stabil Netral Tidak Stabil

a) Stabil b) Netral c) Tidak Stabil

p ybagian nyata (real) negatif

Suatu sistem dikatakan stabil terbatas bila hanya input2 terbatas tertentu akan menghasilkan suatu output terbatas


39

Ditemukan bahwa semua koefisien dr Persamaan Karakteristik HARUS mempunyai tanda sama danKarakteristik HARUS mempunyai tanda sama dan TIDAK NOL jika semua akar2 terletak di bidang sebelah kiri

Persyaratan2 ini perlu namun tdk mencukupi. Jika persyaratan di atas tdk dipenuhi, maka sistem tidak stabil. Namun, bila persyaratan2 tsb dipenuhi, kita hrs tetap menyelidiki sistem utk menentukan kestabilannyamenyelidiki sistem utk menentukan kestabilannya

Kriteria Routh-Hurwitz adl kriteria yg penting dan mencukupi utk kestabilan sistem2 linier


2531

142

012

21

1 0

−−−−

−−−

−−

−− =+++++

nnnn

nnnn

n

nn

nn

nn

bbbsaaasaaas

asasasasa ΛPersamaan Karakteristik, q(s)

Larik Routh

( )( ) ( )

10

5313

531

1

−

−−−−

−−−

−−

••••••••••••

n

nnnn

nnn

aaaaaa

hs

cccsbbbs

Kriteria Routh-Hurwitz menyatakan bahwa jumlah akar2 bag nyata positif q(s) adl sama dgn jumlah perubahan tanda pd kolom pertama Larik ( )( ) ( )

31

31

11

31

42

13

31

2

11

3211

1

1

1

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−

−−

−−−−

−=

−=

−=

−=

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnnn

bbaa

bc

aaaa

ab

aaaa

aaaaaabtanda pd kolom pertama Larik

Routh


Kasus Pertama : Semua elemen kolom pertama tidak sama dgn 0

Example 6.1 Second-order system

The Characteristic polynomial of a second-order sys tem is:2

Contoh 3.1. Sistem tingkat-kedua

Persamaan Karakteristik dr sistem tingkat-kedua adalah :

q s( ) a2 s2⋅ a1 s⋅+ a0+

The Routh array is written as:

w here: 00

10

11

022

bsas

aas

dimana :

Larik Routh ditulis sbb :

b1a1 a0⋅ 0( ) a2⋅−

a1a0

Therefore the requirement for a stable second-order system is simply that all coef f icients be positive or all the coef ficients be negative.

1

Sehingga persyaratan utk suatu sistem tingkat-kedua yg stabil adl semua koefisien HARUS positif atau negatif


Kasus Kedua : Nol2 pd kolom pertama sedangkan bbrp elemen dr baris yg mengandung satu NOL pd kolom pertama adl TIDAK NOL

If only one element in the array is zero, it may be replaced w ith a small positive number ε that is allow ed to approach zero after completing the array.Jika hanya satu elemen di dlm larik adl NOL, ia dpt digantikan dgn suatu bilangan positif ε shg diperbolehkan mendekati 0 stlh larik selesai

q s( ) s5 2s4+ 2s3+ 4s2+ 11s+ 10+

The Routh array is then:

0001006

10421121

11

21

3

4

5

dscsbs

ss

Larik Routh ditulis sbb :

w here:

b12 2⋅ 1 4⋅−

20 ε c1

4ε 2 6⋅−

ε

12−

εd1

6 c1⋅ 10ε−

c16

There are two sign changes in the first column due to the large negative number calculated for c1. Thus, the system is unstable because two roots lie in the right half of the plane.

001000

01

sds

Dimana :

Tdp perubahan tanda dua kali pd kolom pertama krn bilangan negatif besar pd c1. Maka, sistem dinyatakan tidak stabil karena dua akar2nya terletak pd bidang datar sebelah kanan 156Dasar Otomatisasi@2007

40

Kasus Ketiga : NOL2 pd kolom pertama dan elemen2 lain pd baris yg mengandung NOL juga (bernilai) NOL

This case occurs when the polynomial q(s) has zeros located symetrically about the origin of the s-plane, such as (s+σ)(s -σ) or (s+jω)(s -jω). This case is solved using the auxiliary polynomial, U(s), w hich is located in the row above the row containing the zero entry in the Routh array.

( ) 3 2 2 4 K

Kasus ini terjadi bila PK q(s) mempunyai NOL terletak secara simetris pd titik awal bidang-s, spt (s+ σ)(s-σ) atau (s+jω)(s-jω). Kasus ini diselesaikan menggunakan persamaan auxiliary U(x), yg diletakkan di dalam baris di atas baris yg mengandung masukan NOL pd Larik Routh

q s( ) s3 2 s2⋅+ 4s+ K+

Routh array:

For a stable system we require that 0 s< 8<

For the marginally stable case, K=8, the s^1 row of the Routh array contains all zeros. The auxiliary plynomial comes from the s^2 row

00

241

02

81

2

3

Kss

Kss

K−

Larik Routh :

Utk sistem yg stabil dipersyaratkan bahwa 0 < s < 8

Utk kasus stabil terbatas, K = 8, baris s1 Larik Routh berisi NOL semua. Pers auxiliary berasal dari baris s2auxiliary plynomial comes f rom the s 2 row.

U s( ) 2s2 Ks0+ 2 s2⋅ 8+ 2 s2 4+( ) 2 s j 2⋅+( ) s j 2⋅−( )

It can be proven that U(s) is a factor of the characteris tic polynomial:

q s( )U s( )

s 2+

2 Thus, w hen K=8, the factors of the characteristic polynomial are:

q s( ) s 2+( ) s j 2⋅+( ) s j 2⋅−( )

auxiliary berasal dari baris s

Ini dpt dibuktikan bahwa U(s) adl faktor dr PK

Sehingga, ketika K = 8, faktor2 dr PK adl :


Kasus Keempat : Akar2 berulang Persamaan Karakteristik pd sumbu jw

Dgn akar2 sederhana pd sumbu jw, sistem akan memiliki tingkah laku stabil terbatas. Lain

halnya bila akar2 berulang. Akar2 berulang pd sumbu jw akan menyebabkan sistem menjadi tidak stabil. Sayangnya, Larik Routh tidak mampu mengungkapkan ketidak stabilan ini


Contoh 3.4


Contoh 3.5. Sistem Kendali Alat Patri

R(s)Posisi yg

dikehendaki

Controller Head Dynamics

Y(s)Posisi Data Kepala

Using block diagram reduction we find that:

The Routh array is then:

KabsKs

Kas

13

2

3

4

)6(6111+

Dgn reduksi Diagram Blok diperoleh :

Larik Routh :

Kascs

03

1

For the system to be stable both b3 and c3 must be positive.

Using these equations a relationship can be determined for K and a .

where: b360 K−

6and c3

b3 K 6+( ) 6 Ka⋅−

b3Dimana :

Utk sistem agar stabil, b3 dan cc HARUS positif

Gunakan persamaan2 ini, suatu hubungan dpt ditentukan utk K dan ε


41

Kadang perlu utk mengetahui peredaman relatif setiap akar thd PK. Kestabilan sistem relatif dpt diukur dgn mengamati bag nyata relatif setiap akar. Pd diagram sebelah r2 relatif lebih stabildrpd pasangan akar r1

Satu metode utk menentukan kestabilan relatif setiapSatu metode utk menentukan kestabilan relatif setiap akar adl menggunakan pergeseran sumbu di dlm domain-s dan kemudian menggunakan Larik Routh spt pd contoh 3.6.


Permasalahan : Perancangan kendali belok utk suatu wahana yg berjalan pd suatu jalur. Pilih K dan a sehingga sistem stabil. Sistem dimodelkan sbb :

Contoh Perancangan : Kendali Belok Wahana yg Bergerak pd suatu Jalur

ThrottleSteering

Y(s)ArahPerjalanan

R(s)Arah Belok

Yg Diinginkan

Y(s)


The characteristic equation of this system is:

1 Gc G s( )⋅+ 0

or

1K s a+( )

s s 1+( ) s 2+( ) s 5+( )+ 0

Kestabilan SistemPersamaan Karakteristik sistem adalah :

atau

Thus,

s s 1+( ) s 2+( ) s 5+( ) K s a+( )+ 0

or

s4 8s3+ 17s2+ K 10+( )s+ Ka+ 0

To determine a stable region for the system, we establish the Routh array as:

KKas

3

4

0)10(8171+

Maka,

atau

Utk menentukan daerah stabil sistem, periksa dgn Larik Routh sbb :

where

b3126 K−

8and c3

b3 K 10+( ) 8Ka−

b3

Kascs

KabsKs

03

13

2

3 0)10(8 +

dimana


csKabs

KsKas

13

2

3

4

0)10(8171+

Kestabilan Sistem

Kascs

03

where

b3126 K−

8and c3

b3 K 10+( ) 8Ka−

b3

Therefore,

K 126<

dimana

Oleh karena itu,

K 126<

K a⋅ 0>

K 10+( ) 126 K−( ) 64Ka− 0>


42

Kestabilan Sistem Menggunakan MATLAB


System Stability Using MATLABKestabilan Sistem Menggunakan MATLAB






Documents

Pengetahuan dan Pemahaman tentang :Pengetahuan dan ...arwincourse.tripod.com/publikasi/dasoto-slide.pdf · roda kemudi (c) Grafik tanggapan arah yg dikehendaki dgn arah perjalanan