BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang telah banyak digunakan dalam

kehidupan sehari-hari. Pemerintah menggunakan statistika untuk menilai hasil

pembangunan masa lalu dan juga untuk mengambil rencana masa datang. Selain

itu pimpinan mengambil manfaat dari kegunaan statistika untuk melakukan

tindakan yang perlu dalam menjalani tugasnya. Di sunia penelitian atau riset,

dimana pun dilakukan, bukan saja telah mendapat manfaat yang baik dari

statistika tetapi sering harus menggunakannya. Seperti untuk mengetahui apakah

cara yang baru ditemukan lebih baik dari pada cara lama atau apakah model untuk

sesuatu hal dapat kita anut atau tidak.

Untuk mengetahui hal-hal diatas, perlu diadakan penilaian dengan statistika.

Kata statistika berbeda dengan statistik. Statistik dipakai untuk menyatakan

kumpulan data, bilangan atau non-bilangan yang disusun dalam tabel ataupun

diagaram. Dalam statistika dibagi menajdi dua yaitu statistika induktif dan

statistika deskriptif. Distribusi frekuensi dan ukuran gejala pusat merupakan

bagian dari statistik deskriptif. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam

pembahasan makalah ini.

B. Identifikasi Masalah

Dari latar belakang di atas penulis melalukan pengidentifikasian masalh sebagai

berikut:

1. Statistika merupakan pengetahuan yang tanpa kita sadari telah banyak

dipergunakan dalam sehari-hari,

1

2. Pengertian statistika berbeda dengan statistik. Statistik, merupakan penyajian

data sedangkan statistika adalah cara mengumpulkan data

3. Dalam pengumpulan data dibutuhkan distribusi frekuensi agar data yang

dikumpulkan lebih mudah dipahami dan dapat tersusun secara sistematis.

C. Pembatasan Masalah

Untuk mempermudah arah pembahasan masalah ini penulis membuat batasan

masalah sebagai berikut:

1. Pengertian dan cara membuat daftar distribusi frekuensi.

2. Menghitung dan grafik dari distribusi frekuensi.

D. Rumusan Masalah

Dari latar belakang dan identifikasi masalah yang ada maka rumusan maslah

yang dugunakan adalah:

1. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi?

2. Bagaimana cara membuat daftar distribusi frekuensi?

3. Bagaimana cara menghitung distribusi frekuensi?

4. Bagaimana cara menggambar histogram, poligon, ogive dan kurva?

E. Tujuan Pembahasan

Tujuan dari makalah ini, antara lain:

a. Memahami pengertian distribusi frekuensi.

b. Mengetahui cara membuat daftar distribusi frekuensi.

2

c. Mengetahui cara menghitung distribusi frekuensi.

d. Dapat menggambar histogram, poligon, ogive dan kurva.

F. Manfaat Pembahasan

Penulis berharap makalah ini memiliki manfaat bagi kita semua. Dimana dengan

adanya amakalah ini dapat membantu semua kalangan baik itu mahasiswa, pelajar

dan masyarakat umum dalam mendalami penggunaan statistika. Selain itu dapat

menambah wawasan mengenai statistika deskriptif terutama dalam distribusi

frekuensi.

3

BAB II

PEMBAHASAN

Kegiatan belajar 1

A. Notasi sigma

Sigma (∑) merupakan aksara ke-18 dalam susunan abjad Yunani. Dalam ilmu

matematika dan statistik, notasi sigma digunakan untuk mempersingkat suatu

urutan penjumlahan. Misalkan penjumlahan 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91.

Penjumlahan tersebut bisa disingkat menjadi:

Dalam mempelajari statistik, wajib hukumnya memahami sifat dari notasi sigma.

Dalam ilmu statistik, notasi ini adalah notasi yang paling sering digunakan.

Saking seringnya, ketika seseorang melihat notasi sigma ini, ia akan langsung

teringat dengan statistik.

B. Sifat – Sifat Notasi Sigma

Teorema A

(kelinearan ) andaikan { │}dan { } menyatakan dua barisan dan c suatu

konstanta. Maka :

(i)

(ii) dan akibatnya

(iii)

4

Bukti bukti-buktinya mudah ; kita tinjau (i) saja,

Contoh 1 Andaikan bahwa dan . Hitung

Penyelesaian

Contoh 2 ( jumlah berjatuhan ) sederhanakan

Penyelesaian

Disini kiita seharusnya bertahan pada kecendrungan kita untuk menerapkan

kelinearan dan sebagai gantinya menuliskan 5

Berikut ini beberapa sifat dari notasi sigma yang dapat dijadikan panduan dalam

mengerjakan soal-soal mengenai notasi sigma :

Setelah mengetahui beberapa sifat dari notasi sigma maka kita akan dengan

mudah mengerjakan contoh soal dibawah ini.

contoh :

6

C. Beberapa rumus untuk notasi sigma

Rumus berikut ini dapat membantu dalam menyelesaikan berbagai variasi soal

notasi sigma.

4.

5.

7

6.

7.

contoh 1 :

contoh 2 :

contoh 3 :

Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa :

8

Contoh 4 Hitung

Penyelesaian

25.332

Contoh 5 hitung

Penuelesaian

Contoh 6 Cari suatu rumus

9

Penyelesaian

=

Kegiatan belajar 2

A. Pengertian Distribusi Frekuensi

Distribusi  (distribusi bahasa inggris) berarti “ penyaluran” pembagian atau

pencaran  jadi distribusi frekuensi dapat diberi arti “ penyaluran fekuensi “

pembagian frekuensi atau pencaran frekuensi “ dalam statistik, “ distribusi

frekuensi” kurang lebih mengandung pengertian suatu keadaan yang

menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang

dilambangkan dengan angka itu, telah tersalur, terbagi, atau terpencar.

Distribusi frekuensi adalah penyusunan data dalam kelas-kelas interval.

(Kuswanto, 2006).

Distribusi Frekuensi adalah membuat uraian dari suatu hasil penelitian dan

menyajikan hasil penelitian tersebut dalam bentuk yang baik,

yaknibentukstastistik popular yang sederhana sehingga kita dapat lebih mudah

mendapat gambaran tentang situasi hasil penelitian. (Djarwanto, 1982)

Jadi dapat disimpulkan distribusi frekuensi adalah susunan data menurut

kelas-kelas tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar.

Selanjutnya distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi dimana

10

frekuensinya dijumlahkan secara meningkat dan kelas intervalnya terbuka, “ada

kurang dari dan lebih dari.

B. Membuat Daftar Distribusi Frekuensi

Sebelum kita membuat daftar distribusi frekuensi, ada baiknya mengetahui

dua macam tabel distribusi frekuensi yang ditinjau dari jenisnya, yaitu:

1. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal

Distribusi tunggal adalah satuan-satuan unit, urutan tiap skor atau tiap

varitas tertentu. Tabel distribusi data tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik

yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka; angka yang ada itu

tidak   dikelompok-kelompokkan (ungrouped data). (Sudijono Anas, 2009: 39)

Untuk memahami cara membuat Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal,

simak kumpulan data nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas berikut ini.

7 3 6 5 6 2 5 7 6 5

5 6 4 7 3 6 5 7 4 6

6 4 2 6 5 8 5 6 3 7

5 8 6 8 4 7 8 3 4 6

Keterangan-keterangan tersebut tentu saja praktis jika disajikan dalam

bentuk tabel seperti ditampilkan pada tabel 1.1 berikut.

Tabel 1. 1

Nilai Ulangan Frekuensi

2

3

4

2

4

5

11

5

6

7

8

8

11

6

4

Tabel 1.1 tersebut merupakan Tabel Distibusi Frekuensi Tunggal. Istilah

“Distribusi” digunakan dalam statistik untuk menunjukkan adanya penyebaran

nilai-nilai dengan jumlah orang yang mendapat nilai tersebut. Selanjutnya istilah

“Tunggal” menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai-nilai variabel dalam

kolom pertama.

2. Tabel Distribusi Frekuensi Kelompok

Daftar yang membuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi

berkelompok atau tabel frekuensi bergolong. Tabel distribusi kelompok ini terdiri

atas beberapa interval kelas dalam penyusunannya. Selanjutnya, dari distribusi

frekuensi dapat diperoleh keterangan atau gambaran dan sistematis dari data yang

diperoleh.

Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah salah satu jenis tabel

statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, di mana

angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat

sekelompok angka).

Untuk memahami cara membuat tabel distribusi frekuensi kelompok,

simaklah kumpulan data nilai ujian mata kuliah statistik dari 40 mahasiswa

berikut ini :

65 66 67 68 69 70 70 70 70 71

71 71 72 72 72 72 72 72 73 73

73 74 74 74 74 74 74 74 75 75

12

75 75 75 76 77 78 79 79 80 82

Selanjutnya untuk membuatnya menjadi data dalam bentuk distribusi

frekuensi kelompok, maka beberapa langkah berikut ini perlu di tempuh.

a) Menurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar

b) Tentukan rentang (Range), ialah data terbesar dikurangi data terkecil. Dalam

hal ini, karena data terbesar = 82 dan data terkecil = 65, maka rentang =

82 – 65 = 17.

Range (R) = Xmax - Xmin

a. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Banyak kelas sering biasa

diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyakl 15 kelas, dipilih menurut

keperluan. Cara lain cukup bagus untuk n berukuran besar n 200 misalnya,

dapat menggunakan aturan Sturges, y aitu:

Keterangan: k = banyaknya kelas

n = banyaknya data

Hasilnya dibulatkan, biasanya pembulatannya ke atas.

Untuk contoh kita n = 40, k = 1 + 3, 3 log 40

= 6, 28 = 6 (dibulatkan)

b. Tentukan panjang kelas interval p. Ini, secara ancer-ancer ditentukan oleh

aturan:

p = rentang

banyak kelas

Harga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. Jika

data berbentuk satuan. Untuk data hingga satu decimal, p ini juga diambil hingga

satu desimal, dan begitu seterusnya.

Untuk contoh kita, maka jika banyak kelas diambil 6, didapat:

13

k = 1 + 3, 3 log n

P = 2, 83 dan dari sini bisa kita ambil p = 2 atau p = 3

c. Pilih ujung bawah kelas kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama

dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi

selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya

daftar diselesaikan dengan menggunakan harga-harga yang telah dihitung.

d. Dengan p = 3 dan memulai dengan data yang lebih diambil 65, maka kelas

pertama berbentuk 65 - 67, kelas kedua 68 – 70, kelas ketiga 71 – 73 dan

seterusnya. Dimana kelas terakhir tidak seharusnya melebihi nilai yang biasa

diberikan yaitu 100.

Tabel 1. 2

Nilai Interval Tabulasi Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

|||

|||| |

|||| |||| ||

|||| |||| |||

||||

||

3

6

12

13

4

2

Jumlah 40

Jika frekuensi sudah ditemukan kolom Turus (Tally) dihilangkan saja.

Tabel 1. 3

Nilai Interval Frekuensi

65 – 67 3

14

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

6

12

13

4

2

Jumlah 40

Selanjutnya kita dapat mencari tepi kelas yang akan dipergunakan untuk

membuat daftar frekuensi lainnya, dengan aturan:

Tepi bawah = batas bawah – 0, 5

Tepi atas = batas atas + 0, 5

Tabel 1. 4

Nilai Interval Frekuensi Tepi Bawah Tepi Atas

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

3

6

12

13

4

2

64, 5

67, 5

70, 5

73, 5

76, 5

79, 5

67, 5

70, 5

73, 5

76, 5

79, 5

82, 5

Jumlah 40

15

2. Menghitung Distribusi Frekuensi

Ditinjau dari nyata atau tidaknya frekuensi, daftar distribusi frekuensi

terbagi dua yaitu:

1. Distribusi Absolut

Daftar distribusi absolut yaitu suatu jumlah bilangan yang menyatakan

banyaknya data pada suatu kelompok tertentu, apa adanya.

Contohnya seperti data sebelumnya (Tabel 1. 3) yaitu,

Nilai Interval Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

3

6

12

13

4

2

Jumlah 40

2. Distribusi Frekuensi Relatif

Distribusi frekuensi relatif yaitu suatu jumlah persentase yang menyatakan

banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Frekuensi relatif disingkat f atau

f (%) karena biasanya dinyatakan dengan persen (%), ditentukan dengan aturan:

Frekuensi distribusi relatif =

Frekuensi untuk data kita sebelumnya dapat dihitung dengan jalan yang sama.

Tabel 1. 5

Nilai Interval Frekuensi Perhitungan f (%)

16

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

3

6

12

13

4

2

7, 5 %

15 %

30 %

32, 5 %

10 %

5 %

Jumlah 40 100 %

Ada lagi sebuah daftar yang biasa dinamakan daftar distribusi frekuensi

kumulatif. Daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat dibentuk dari daftar

distribusi frekuensi biasa, dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi.

Dalam daftar distribusi frekuensi kumulatif dikenal dua macam distribusi

frekuensi, yaitu:

1. Distribusi Frekuensi Kumulatif Negatif (lebih dari)

Frekuensi kumulatif positif (lebih dari) didefinisikan sebagai jumlah

frekuensi semua nilai amatan yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah

pada tiap-tiap kelas. Frekuensi kumulatif positif dilambangkan f .

2. Distribusi Frekuensi Kumulatif Positif (kurang dari)

Frekuensi kumulatif positif (lebih dari) didefinisikan sebagai jumlah

frekuensi semua nilai amatan yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas

pada tiap-tiap kelas. Frekuensi kumulatif positif dilambangkan f .

17

Sebagai ilustrasi, berbekal dengan tabel frekuensi distribusi frekuensi

berkelompok pada Tabel 1. 4 akan disusun tabel distribusi frekuensi kumulatif.

Tabel 1. 6

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Negatif

Nilai Interval Frekuensi Kumulatif (f )

64, 5

67, 5

70, 5

73, 5

76, 5

79, 5

82, 5

40

38

34

21

9

3

0

Tabel 1. 7

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Positif

Nilai Interval Frekuensi Negatif (f )

64, 5

67, 5

70, 5

73, 5

76, 5

77, 5

82, 5

0

3

9

21

34

38

40

18

3. Menggambar Histogram, Poligon, Ogive, dan Kurva

Penyajian data dalam bentuk grafik bertujuan untuk memberikan

gambaran sebaran data dalam bentuk visualisasi. Ada beberapa macam grafik

yang biasa digunakan untuk memberikan gambaran data, yakni: histogram,

poligon, ogive dan kurva.

1. Histogram

Histogram adalah grafik yang sering digunakan untuk menggambarkan

distribusi ferekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi

frekuensi. Pada histogram, batang-batangnya saling melekat atau berhimpitan.

Grafik dibuat dengan cara menarik garis dari satu titik tengan batang

histogram ke titik tengah batang histogram yang lain. Agar supaya diperoleh

grafik yang tertutup harus dibuat kelas baru yang panjang kelas sama dengan

frekuensi nol pada kedua ujungnya dikiri dan kanan. Pembuatan kelas baru itu

diperbolehkan karena grafik histogram merupakan kurve tertutup. Pada

pembuatan histogram digunakan sistem salib sumbu. Sumbu mendatar (sumbu x)

menyatakan interval kelas (batas bawah dan batas atas masing-masing kelas) dan

sumbu tegak (sumbu y) menyatakan frekuensi.

Sebagai ilustrasi, perhatikan kembali tabel distribusi kelompok pada Tabel

1.3

19

Gambar 2.1 Histogram Nilai ujian mata kuliah statistik 40 mahasiswa

2. Poligon

Untuk membuat grafik poligon, sebenarnya tidak ada perbedaan penting

antara grafik histogram dengan grafik poligon. Perbedaan dalam hal ini terletak

hanya pada,

a. Grafik histogram lazimnya dibuat dengan menggunakan batas nyata

sedangkan grafik poligon selalu menggunakan titik tengah.

b. Grafik histogram berwujud segiempat-segiempat, sedang grafik poligon

berwujud garis-garis atau kurva (garis-garis yang sudah dilicinkan).

Grafik poligon disebut juga grafik poligon frekuensi, dibuat dengan

menghubung-hubungkan titik-titik koordinat (pertemuan titik tengan dengan

frekuensi tiap kelas). Secara berturut-turut. Sebagai contoh, dapat dibuat grafik

poligon dari data pada Tabel 1. 3.

20

Keterangan:

64,5 67,5 70,5 73,5 76,5 79,5 81,5

Gambar 2. 2 Poligon Nilai ujian mata kuliah statistik Mahasiswa

3. Ogive

Grafik ini disebut grafik meningkat. Grafik semacam ini, tidak banyak

digunakan dibandingkan dengan kedua grafik sebelumnya (histogram dan

poligon). Grafik ogive dapat dibuat, baik dari distribusi tunggal maupun dari

distribusi kelompok (bergolong).

Caranya adalah dengan menempatkan nilai-nilai tepi kelas pada sumbu

mendatar (sumbu x) dan nilai-nilai frekuensi kumulatif pada sumbu tegak (sumbu

y). Jika titik-titik yang diperoleh (yaitu merupakan pasangan nilai tepi kelas

dengan nilai frekuensi kumulatif) dihubungkan dengan garis lurus, maka

diperoleh diagram garis yang disebut ogive yang bentuknya mirip.

Tabel 1. 5

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Positif

Nilai Interval Frekuensi Kumulatif (f )

64, 5

67, 5

40

38

21

64,5 67,5 70,5 73,5 76,5 79,5 81,5

Frekuensi Keterangan

70, 5

73, 5

76, 5

79, 5

34

21

9

3

Tabel 1. 6

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Negatif

Nilai Interval Frekuensi Negatif (f )

67, 5

70, 5

73, 5

76, 5

77, 5

82, 5

3

9

21

34

38

40

22

cf %

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 65,5 67,5 70,5 73,5 76,5 79,5 82, 5 Nilai

Gambar 2. 3 Ogive Nilai Belajar Mahasiswa

4. Kurva

Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh

sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok mungkin dengan bentuk

poligon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan kurva frekuensi.

23

f

16

14

12

10

8

6

4

2

0 65,5 67,5 70,5 73,5 76,5 79,5 82, 5 Nilai

Gambar 2. 4 Kurva Nilai Belajar Mahasiswa

Untuk keperluan teori dan metode yang lebih lanjut, model ini dituangkan

dalam bentuk persamaan matematik. Berikut bentuk kurva untuk model yang

sering dikenal, diantaranya adalah: model normal, simetrik, positif (miring kiri)

dan negatif (miring kanan), lalu bentuk J dan U.

(A) normal (B) simetrik

Kurva untuk model miring, positif ataupun negatif, dapat dlihat dalam

gambar berikut.

24

Poligon frekuensi

Kurva frekuensi

(A) Positif (B) negatif

Model positif menggambarkan bahwa terdapat sedikit gejala yang bernilai

makin besar. Sedangkan model negatif terjadi sebaliknya.

(A) Bentuk J (B) Bentuk J terbalik

Gambar 2. 5 Gambar Model Kurva

25

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Kata statistika berbeda dengan statistik. Statistik dipakai untuk menyatakan

kumpulan data, bilangan atau non-bilangan yang disusun dalam tabel ataupun

diagaram. Dalam statistika dibagi menajdi dua yaitu statistika induktif dan

statistika deskriptif. Distribusi frekuensi dan ukuran gejala pusat merupakan

bagian dari statistik deskriptif.

Distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas tertentu atau

menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Selanjutnya distribusi frekuensi

kumulatif adalah distribusi frekuensi dimana frekuensinya dijumlahkan secara

meningkat dan kelas intervalnya terbuka, “ada kurang dari dan lebih dari.

Daftar distribusi frekuensi terbagi 2 menurut jenisnya yaitu tabel distribusi

frekuensi tunggal dan kelompok. Membuat daftar frekuensi ada beberapa tahap.

Penyajian data dalam bentuk grafik bertujuan untuk memberikan gambaran

sebaran data dalam bentuk visualisasi. Ada beberapa macam grafik yang biasa

digunakan untuk memberikan gambaran data, yakni: histogram, poligon, ogive

dan kurva.

B. Saran

Dalam membuat suatau daftar distribusi frekuensi kita harus memperhatikan

langkah-langkah yang kita ambil. Lakukan seperti yang tertera di dalam makalah

ini. Perhatikan langkah-langkah pengerjaannya, supaya saat dalam proses

pengerjaan tidak terjadi kesalahan yang dapat mengakibatkan daftar distribusi

yang menjadi salah total. Pahami baik-baik penjelasan yang ada dalam makalah

ini.

26

27