Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENENTUAN KONSTANTA REDAMAN PENDULUM FISIS TUNGGAL
DAN PENDULUM FISIS GABUNGAN MENGGUNAKAN LAGRANGIAN
DENGAN ANALISIS VIDEO
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Fisika
Oleh:
DOMINICUS BAGUS CHRISTANTO
NIM: 151424026
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PENENTUAN KONSTANTA REDAMAN PENDULUM FISIS TUNGGAL
DAN PENDULUM FISIS GABUNGAN MENGGUNAKAN LAGRANGIAN
DENGAN ANALISIS VIDEO
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Fisika
Oleh:
DOMINICUS BAGUS CHRISTANTO
NIM: 151424026
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
PENENTUAN KONSTANTA REDAMAN PENDULUM FISIS TUNGGAL
DAN PENDULUM FISIS GABUNGAN MENGGUNAKAN LAGRANGIAN
DENGAN ANALISIS VIDEO
Dominicus Bagus Christanto
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta
2019
Sebuah penelitian telah dilakukan untuk menentukan nilai konstanta
redaman pada pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan. Sebuah
pendulum yang berayun secara bebas, perlahan-lahan akan kehilangan energinya
dan lama kelamaan berhenti. Hal ini terjadi karena pendulum memiliki faktor
redaman pada sistem geraknya. Penelitian ini menunjukkan nilai konstanta redaman
yang dimiliki pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan melalui
persamaan geraknya. Persamaan gerak pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis
gabungan yang digunakan diperoleh menggunakan persamaan Lagrangian.
Persamaan ini kemudian digunakan untuk melakukan fitting data yang diperoleh
melalui analisis video pada software Loggerpro. Hasil penelitian ini menunjukkan
ada satu persamaan gerak yang dimiliki oleh pendulum fisis tunggal dan ada dua
persamaan gerak yang dimiliki oleh pendulum fisis gabungan.
Kata kunci: konstanta redaman, pendulum fisis tunggal, pendulum fisis gabungan,
analisis video, Loggerpro
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
DETERMINATION OF THE DAMPING CONSTANT
SINGLE PHYSICAL PENDULUM AND COMBINED PHYSICAL
PENDULUM USING LAGRANGIAN WITH VIDEO ANALYSIS
Dominicus Bagus Christanto
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta
2019
A study has been conducted to determine the value of the damping constant
in a single physical pendulum and a combined physical pendulum. A pendulum that
swings freely, will slowly lose its energy and eventually stop. This happens because
the pendulum has a damping factor in its motion system. This study shows the
damping constant values of a single physical pendulum and a combined physical
pendulum through the equation of motion. The equation of motion of a single
physical pendulum and the combined physical pendulum used is obtained using the
Lagrangian equation. This equation is then used to do data fitting obtained through
video analysis on Loggerpro software. The results of this study indicate that there
is one equation of motion that is possessed by a single physical pendulum and there
are two equations of motion possessed by a combined physical pendulum.
Keywords: damping constants, single physical pendulum, combined physical
pendulum, video analysis, Loggerpro
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat
rahmat serta kasih-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan
judul “Penentuan konstanta redaman pendulum fisis tunggal dan pendulum
fisis gabungan menggunakan lagrangian dengan analisis video” Penulisan
skripsi ini bertujuan untuk memenuhi sebagian syarat memperoleh gelar sarjana
bagi mahasiswa program S1 pada program studi Program Studi Pendidikan Fisika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proposal skripsi ini masih jauh dari
kesempurnaan, oleh sebab itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun dari semua pihak demi kesempurnaan skripsi ini. Selesainya proposal
ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, sehingga pada kesempatan ini penulis
dengan segala kerendahan hati dan penuh rasa hormat mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan moril
maupun materiil secara langsung maupun tidak langsung kepada:
1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.
2. Bapak Dr. Ignatius Edi Santosa, M.S., selaku Ketua Program Studi
Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas
Sanata Dharma dan dosen penguji Skripsi.
3. Bapak Prof. Dr. Paulus Suparno SJ, selaku Dosen Pembimbing Akademik
angkatan tahun 2015 yang selalu memantau perkembangan penulisan
skripsi mahasiswa-mahasiswinya.
4. Bapak Albertus Hariwangsa Panuluh, M.Sc., selaku dosen pembimbing dan
dosen penguji yang telah banyak membantu dan memberikan bimbingan
dalam pengerjaan Skripsi.
5. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si., selaku dosen penguji yang telah
banyak memberi masukan dalam penyempurnaan Skripsi.
6. Seluruh dosen Pendidikan Fisika yang telah membimbing dan memberikan
banyak ilmu dalam perkuliahan selama kurang lebih empat tahun ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................ ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iii
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................... iv
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH UNTUK
KEPENTINGAN AKADEMIS .......................................................................... v
ABSTRAK ......................................................................................................... vi
ABSTRACT ........................................................................................................ vii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... viii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ........................................................................................... 2
1.2. Rumusan Masalah ...................................................................................... 3
1.3. Batasan Masalah ........................................................................................ 3
1.4. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 4
1.5. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4
1) Manfaat untuk peneliti ............................................................................. 4
2) Manfaat untuk pembaca ........................................................................... 4
1.6. Sistematika Penulisan ................................................................................ 5
BAB II DASAR TEORI ..................................................................................... 6
2.1. Gerak Harmonik Sederhana ...................................................................... 6
2.2. Gerak Harmonik Teredam ......................................................................... 9
2.3. Koordinat Umum dan Derajat Kebebasan ............................................... 11
2.5. Lagrangian ............................................................................................... 13
2.5. Penyelesaian Pendulum Sederhana Menggunakan Lagrangian .............. 14
BAB III METODE PENELITIAN................................................................... 17
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
3.1. Persiapan Alat .......................................................................................... 17
3.2. Pengambilan Data .................................................................................... 18
3.3. Analisis Menggunakan Loggerpro .......................................................... 19
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN .................................. 25
4.1. Hasil Penelitian ........................................................................................ 25
4.1.1. Pendulum fisis gabungan ................................................................. 25
4.1.2. Pendulum Fisis Tunggal .................................................................. 33
4.2.Pembahasan .............................................................................................. 37
BAB V PENUTUP ............................................................................................ 40
5.1. Kesimpulan ............................................................................................ 40
5.2. Saran ...................................................................................................... 40
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 41
LAMPIRAN ...................................................................................................... 42
Lampiran 1. Penyelesaian Persamaan Pada BAB V ....................................... 42
Lampiran 2. Hasil Analisis Video Pada Loggerpro ........................................ 48
A. Pendulum Fisis Tunggal untuk Sudut 8,07o ................................................. 48
B. Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o .............................................. 50
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Gerak Harmonik Sederhana .............................................................. 6
Gambar 2.2. Pendulum Sederhana ........................................................................ 8
Gambar 2.3. Analisis Gaya pada Pendulum Sederhana ........................................ 8
Gambar 2.4. Gerak Harmonik Teredam ................................................................ 9
Gambar 2.5. Pendulum Bergerak Dalam Bidang xy ........................................... 12
Gambar 2.6. Ilustrasi Pendulum Sederhana......................................................... 14
Gambar 2.7. Analisis Pendulum Sederhana ........................................................ 14
Gambar 3.1. Gambar Rangkaian Pendulum fisis (Sebelah Kiri) dan Rangkaian
Pendulum fisis gabungan (sebelah kanan) .................................... 19
Gambar 3.2. Fitur Movie Pada Menu Insert ....................................................... 20
Gambar 3.3. Ikon Set Scale Pada Fitur Analyzer ............................................... 21
Gambar 3.4. Notifikasi Scale .............................................................................. 21
Gambar 3.5. Ikon Set Origin Pada Fitur Analyzer ............................................. 22
Gambar 3.6. Ikon Photo Distance Pada Loggerpro ............................................ 22
Gambar 3.7. Hasil Pengukuran Komponen Panjang Pendulum Menggunakan
Ikon Photo Distance Pada Loggerpro ............................................ 23
Gambar 3.8. Ikon Add Point Pada Fitur Analyzer ............................................. 24
Gambar 4.1. Ilustrasi Pendulum fisis gabungan ................................................. 26
Gambar 4.2. Grafik Hasil Fitting Data Pertama Pada Sudut 8,07o Untuk
Pendulum fisis gabungan ............................................................... 32
Gambar 4.3. Ilustrasi Pendulum Fisis Tunggal .................................................. 34
Gambar 4.4. Grafik Hasil Fitting Data Pertama pada Sudut 8,07o Untuk
Pendulum Fisis Tunggal ................................................................ 36
Gambar 4.5. Pendulum Fisis Tunggal dan Pendulum Fisis Gabungan pada
Ketinggian yang Sama ................................................................... 39
Gambar 4.6. Pendulum Fisis Gabungan Menyimpang Lebih Jauh .................... 39
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1. Konstanta Redaman pada Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o ........ 32
Tabel 4.2. Konstanta Redaman Pada Pendulum Fisis Tunggal untuk Sudut 8,07o ........... 37
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Pendulum adalah sebuah benda yang digantungkan pada sebuah poros
sehingga dapat mengalami osilasi. Osilasi adalah gerak bolak balik benda
melalui titik setimbangnya dengan lintasan yang sama secara periodik
(Serway, 2009). Pendulum dapat mengalami osilasi apabila disimpangkan dari
posisi setimbangnya. Dalam kasus-kasus yang sering ditemui di soal Fisika
SMA maupun SMP, pendulum diasumsikan dapat berosilasi tanpa kehilangan
energi mekaniknya. Sehingga pendulum akan terus berosilasi dengan lintasan
yang sama secara periodik dalam rentang waktu yang sama. Namun dalam
kehidupan sehari-hari kejadian ini tidak bisa ditemukan. Pendulum yang
disimpangkan akan mengalami osilasi teredam hingga pada akhirnya berhenti.
Hal ini terjadi karena energi mekanik pada sistem tersebut terdisipasi oleh
adanya hambatan udara ataupun gesekan internal di dalam sistem (Giancoli,
2014).
Penelitian tentang redaman pada pendulum telah beberapa kali
dilakukan. Salah satunya adalah pengukuran penurunan amplitudo dari sebuah
bola yang digantung pada seutas tali yang berosilasi. Bola yang berosilasi
kemudian direkam untuk dianalisis menggunakan analisis video pada aplikasi
Loggerpro. Berdasarkan penelitian ini penurunan amplitudo berbanding
terbalik dengan massa bola dan berbanding terbalik dengan jari-jari bola
(Limiansih, 2013).
Pendulum fisis gabungan adalah dua buah pendulum fisis yang
digabungkan menggunakan sebuah laher, kemudian salah satu ujungnya
dijadikan poros utama agar pendulum dapat berosilasi. Pendulum fisis
gabungan yang disimpangkan dengan sudut simpangan besar, akan bergerak
secara acak. Beberapa peneliti sebelumnya telah menemukan teori yang
menunjukkan keteraturan dari pendulum fisis gabungan. Troy, Celso, Jack,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
dan James (1992) adalah beberapa peneliti yang berhasil menyelesaikan
persamaan untuk pendulum fisis gabungan yang mereka gunakan.
Penelitian lain terkait dengan pendulum fisis gabungan juga pernah
dilakukan oleh Rafat, Wheatland, dan Bedding (2009). Mereka menggunakan
dua buah lempeng logam yang berbentuk persegi empat, di mana kedua
lempengan tersebut kemudian digabungkan dengan menggunakan laher.
Penelitian ini terkhusus membahas persamaan gerak dari pendulum fisis
gabungan yang mereka teliti. Pada penelitian ini mereka mempertimbangkan
adanya faktor distribusi massa yang mempengaruhi gerak pendulum.
Penelitian ini berhasil menyelesaikan persamaan gerak untuk pedulum fisis
gabungan yang mereka gunakan.
Penelitian Rafat, Wheatland, dan Bedding seperti yang telah disebutkan
tidak hanya membahas pendulum fisis gabungan. Namun penelitian ini
bertujuan untuk menemukan persamaan gerak dari pendulum fisis gabungan
yang mereka gunakan. Dalam kehidupan sehari-hari persamaan gerak memang
penting. Salah satu penerapan persamaan gerak dalam kehidupan sehari-hari
adalah perkiraan kedatangan kereta api yang di selesaikan menggunakan
persamaan Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan Gerak Lurus Berubah Beraturan
(GLBB). Pada penelitian ini persamaan gerak pada pendulum fisis tunggal dan
pendulum fisis gabungan digunakan untuk memperoleh konstanta redaman
yang dimiliki oleh pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan.
Penelitian ini dapat digunakan untuk mencari persamaan gerak
pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan, serta mengukur nilai
konstanta redaman dari pendulum tersebut dengan menggunakan analisis video
pada aplikasi Loggerpro. Konstanta redaman dapat diperoleh setelah
melakukan fitting menggunakan persamaan yang diperoleh dari persamaan
lagrangian. Melalui penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi dan
referensi untuk menentukan konstanta redaman dari pendulum fisis tunggal
maupun pendulum fisis gabungan. Selain itu penggunaan analisis video
menggunakan aplikasi Loggerpro juga dapat diterapkan dalam pembelajaran di
sekolah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, maka permasalahan
yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah:
1) Bagaimana cara menemukan persamaan pendulum fisis tunggal dan
pendulum fisis gabungan dengan menggunakan Lagrangian dengan
pendekatan sudut kecil?
2) Berapakah nilai konstanta redaman dari pendulum fisis tunggal dan
pendulum fisis gabungan pada sudut kecil?
1.3. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada:
1) Handycam yang digunakan memiliki kemampuan merekam sebanyak 90
fps (frame per second)
2) Laher pada pendulum fisis gabungan yang menggabungkan kedua
pendulum massanya diabaikan
3) Massa pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan dianggap
identik, dengan massa masing-masing 0,04 kg
4) Panjang kedua pendulum pada pendulum fisis gabungan dianggap identik,
dengan panjang masing-masing 0,2 m
5) Pada pendulum fisis gabungan digunakan pendekatan sudut kecil di mana
𝜃1 ≈ 𝜃2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1.4. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk:
1) Menganalisis persamaan gerak pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis
gabungan menggunakan Lagrangian dengan pendekatan sudut kecil
2) Mengukur nilai konstanta redaman pada pendulum fisis tunggal dan
pendulum fisis gabungan yang digunakan
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini antara lain:
1) Manfaat untuk peneliti
a. Dapat menemukan persamaan gerak dari pendulum fisis tunggal
dan pendulum fisis gabungan dengan pendekatan sudut kecil
menggunakan lagrangian
b. Dapat membuktikan kebenaran persamaan yang telah ditemukan
dengan menggunakan Loggerpro
c. Dapat mengetahui nilai konstanta redaman yang dimiliki
pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan
2) Manfaat untuk pembaca
a. Mengetahui cara penggunaan Loggerpro untuk analisis video
b. Mengetahui persamaan gerak dari pendulum fisis tunggal dan
pendulum fisis gabungan dengan pendekatan sudut kecil
c. Mengetahui perbedaan nilai konstanta redaman pada pendulum
fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1.6. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:
1) BAB I Pendahuluan
BAB I membahas latar belakang penelitian, tujuan penelitian, rumusan
masalah, batasan masalah, manfaat penelitian, dan sistematika
penelitian.
2) BAB II Dasar Teori
BAB II berisikan hasil dasar teori tentang gerak harmonik sederhana,
gerak harmonik teredam, lagrangian, derajat kebebasan, dan
penyelesaian pendulum fisis menggunakan lagrangian.
3) BAB III Metodologi Penelitian
Bab ini memaparkan alat dan bahan yang digunakan, susunan alat-alat,
proses pengambilan data, dan cara menganalisis data.
4) BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan
Bab ini menguraikan hasil penelitian dan pembahasan hasil yang
diperoleh.
5) BAB V Penutup
Bab ini berisi kesimpulan dan saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
DASAR TEORI
2.1. Gerak Harmonik Sederhana
2.1.1. Sistem Pegas Massa
Gerak harmonik sederhana merupakan gerak bolak-balik yang
dialami suatu benda yang lintasannya melalui titik setimbang. Gerak
harmonik sederhana dapat diilustrasikan seperti gambar 2.1, misalnya
benda pada sistem pegas massa bergerak dari titik b-a-c-a-b dan terus
berulang secara periodik.
Gambar 2.1. Gerak Harmonik Sederhana
(Sumber: https://makeyousmarter.blogspot.com/2015/11/gerak-
harmonik-sederhana-dan-contoh-soal.html)
Sebuah pegas yang berada pada keadaan setimbang tidak akan
memberikan gaya pada benda. Apabila benda disimpangkan sejauh 𝑥
dari posisi setimbangnya, maka pegas akan memberikan gaya pemulih
sesuai dengan hukum Hooke (Tipler, 1998):
𝐅𝐩 = −𝑘𝐱 (2.1)
dengan 𝐅𝐩 adalah gaya pemulih, 𝑘 adalah konstanta pegas, dan 𝐱 adalah
simpangan dari posisi setimbang. Karena benda bergerak dalam sumbu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
𝑥 dengan kecepatan yang berubah-ubah, maka persamaan geraknya
memenuhi hukum II Newton
∑𝐅 = 𝑚𝐚 (2.2)
dengan gaya yang bekerja pada sistem pegas massa adalah hanya gaya
pemulih, maka:
𝐅𝐩 = 𝑚𝐚 (2.3)
Karena benda hanya pada satu arah, yaitu sumbu x maka gaya pemulih
dapat dituliskan sebagai berikut:
−𝑘𝑥 = 𝑚a (2.4)
ⅆ2𝑥
ⅆ𝑡2+ (
𝑘
𝑚) 𝑥 = 0 (2.5)
dengan 𝑘
𝑚 adalah 𝜔2, maka persamaan 2.5 dapat dituliskan menjadi:
ⅆ2𝑥
ⅆ𝑡2+ 𝜔2𝑥 = 0 (2.6)
Solusi dari persamaan 2.6 pada sistem pegas massa adalah:
𝑥(𝑡) = 𝐴 sin (⍵𝑡 − 𝜙) (2.7)
dengan 𝐴 adalah amplitudo, ⍵ adalah kecepatan sudut, dan 𝜙 adalah beda
fase.
2.1.2. Pendulum Sederhana
Pendulum sederhana adalah salah satu sistem yang menunjukkan
peristiwa gerak harmonik sederhana. Pendulum sederhana terdiri dari
sebuah benda bermassa yang digantung pada sebuah tali. Pendulum
sederhana dapat diilustrasikan seperti pada gambar 2.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Gambar 2.2. Pendulum Sederhana
Gerakan pendulum sederhana dapat dijelaskan melalui analisis
gaya-gaya yang bekerja pada sistemnya. Gaya-gaya pada pendulum
sederhana dapat dianalisis sebagai berikut:
Gambar 2.3. Analisis Gaya pada Pendulum Sederhana
dengan 𝑇 = 𝑊 cos 𝜃 maka benda bergerak searah dengan 𝑊 sin 𝜃.
Sistem pegas massa memiliki hubungan analog dengan pendulum
sederhana, di mana keduanya merupakan gerak harmonik sederhana.
Sehingga secara analog persamaan 2.6 pada pegas massa dapat
dianalogkan dengan pendulum sederhana, sebagai berikut:
ⅆ2𝜃
ⅆ𝑡2+ 𝜔2𝜃 = 0 (2.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
dengan θ adalah sudut simpangan dari posisi setimbang pada pendulum.
Solusi dari persamaan 2.8 pada sistem pendulum sederhana adalah:
𝜃(𝑡) = 𝐴 sin (⍵𝑡 − 𝜙) (2.7)
dengan 𝐴 adalah amplitudo, ⍵ adalah kecepatan sudut, dan 𝜙 adalah beda
fase.
2.2. Gerak Harmonik Teredam
Gerak harmonik pada kenyataannya akan mengalami redaman yang
mengakibatkan benda akan mengalami penurunan amplitudo dan pada
akhirnya berhenti. Redaman dapat disebabkan oleh hambatan udara dan
gesekan internal di dalam sistem yang berosilasi (Giancoli, 2014). Gesekan
pada gerak harmonik sederhana akan mengubah energi kinetik benda menjadi
energi kalor, sehingga perlahan-lahan benda akan kehilangan energi geraknya.
Penurunan amplitudo pada gerak harmonik yang teredam ditunjukkan oleh
gambar 2.2.
Gambar 2.4. Gerak Harmonik Teredam
(https://www.pngdownload.id/png-c4m18q/)
Gaya redaman sebanding dengan kecepatannya seperti persamaan
berikut (Halliday, dkk., 2010):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
𝐅𝐫 = −𝑏𝐯 (2.8)
dengan 𝑏 adalah konstanta redaman dan 𝑣 adalah kecepatan benda. Pada sistem
pendulum sederhana kecepatan yang bekerja pada benda adalah kecepatan
sudut ⍵, maka persamaan gaya redaman untuk pendulum sederhana adalah:
𝐅𝐫 = −𝑏 ⍵ (2.9)
Pada sistem pendulum sederhana gaya redaman yang bekerja menerapkan
hukum II Newton, dengan menggunakan pendekatan torsi maka persamaan 2.2
menjadi:
∑Ʈ = 𝐼𝛼 (2.10)
Ʈ𝐹 + Ʈ𝐹𝑟= 𝐼𝛼 (2.11)
dengan Ʈ𝐹 adalah torsi dari gaya berat pendulum dan Ʈ𝐹𝑟 adalah torsi dari gaya
redaman pendulum. Torsi dari gaya redaman pendulum bernilai negatif karena
arahnya melawan arah gerak pendulum. Maka persamaan 2.10 dapat
diturunkan secara matematis sebagai berikut:
− 𝑚𝑔𝑙 sin θ − 𝑏⍵ = 𝐼𝛼 (2.12)
−𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃
𝐼−
𝑏
𝐼⍵ = 𝛼 (2.13)
dengan 𝐼 = 𝑚𝑙2 , maka:
ⅆ2𝜃
ⅆ𝑡2+
𝑏
𝐼
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡+
𝑔
𝑙sin 𝜃 = 0
(2.14)
dengan menggunakan pendekatan sudut kecil dan 𝑔
𝑙= ⍵2maka persamaan 2.14
menjadi:
ⅆ2𝜃
ⅆ𝑡2+
𝑏
𝐼
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡+ ⍵2𝜃 = 0
(2.15)
Solusi dari persamaan 2.15 yang dapat digunakan untuk redaman kecil adalah:
𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒−𝐾𝑡 cos (⍵𝑡 − 𝜙) (2.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
dengan 𝐾 adalah faktor redaman dari persamaan dan konstanta redaman
pendulum (b) diperoleh dari persamaan redaman kecil, maka:
𝑏 = 2𝐼𝐾 (2.17)
dengan b adalah konstanta redaman pendulum dan I adalah momen inersia
pendulum.
2.3. Koordinat Umum dan Derajat Kebebasan
Koordinat umum adalah koordinat yang dapat menunjukkan posisi
benda dalam ruang tiga dimensi. Koordinat umum menggambarkan posisi
benda secara umum dan tidak terbatas pada satu koordinat. Koordinat umum
dapat berupa koordinat kartesian, bola, maupun silinder.
Sebuah partikel yang berada di sebuah ruangan dapat ditentukan
melalui 3 koordinat.. Jika sebuah partikel bergerak di dalam bidang, maka
partikel tersebut memiliki 2 derajat kebebasan. Jika partikel tersebut bergerak
di ruang 3 dimensi, maka derajat kebebasannya ada 3. Namun jika partikel
memiliki kendala yang membatasi gerak partikel, maka partikel akan memiliki
jumlah koordinat umum kurang dari 3N, dengan N adalah jumlah benda.
Derajat kebebasan (degree of freedom) digunakan untuk menunjukkan
jumlah koordinat umum yang dimiliki oleh suatu sistem. Apabila benda
memiliki kendala dalam sistemnya maka jumlah derajat kebebasan akan
berkurang mengikuti persamaan 2.21. Kendala dalam sistem dapat dinyatakan
dalam sebuah persamaan yang diberi nama persamaan kendala. Persamaan
kendala adalah persamaan yang berasal dari gejala-gejala pada sistem yang
sifatnya membatasi gerak sistem. Misalnya perhatikan gambar 2.3, sistem pada
gambar ini dibatasi oleh bidang gerak xy sepanjang busur jari-jari r. Persamaan
gerak dari pendulum tersebut dapat menggunakan vektor posisinya.
𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 (2.18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Gambar 2.5. Pendulum Bergerak Dalam Bidang xy
Berdasarkan gambar 2.3 terdapat dua persamaan kendala yang
membatasi gerak pendulum, yaitu:
1) Benda hanya bergerak pada sumbu 𝑥𝑦 dan tidak di sumbu 𝑧, maka:
𝑧 = 0 (2.19)
2) Vektor komponen pendulumnya hanya terdiri dari sumbu 𝑥𝑦, maka:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (2.20)
Dengan demikian persamaan kendala yang dimiliki sistem pada gambar 2.3
ada dua buah yang ditunjukkan oleh persamaan 2.19 dan 2.20.
Derajat kebebasan suatu benda dapat ditentukan menggunakan
persamaan:
ⅆ𝑘 = 3𝑁 − 𝑘 (2.21)
dengan 𝑁 adalah jumlah benda pada sistem dan 𝑘 adalah jumlah persamaan
kendala pada sistem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
2.5. Lagrangian
Lagrangian merupakan persamaan yang berasal dari pengembangan
hukum II Newton, dengan tujuan memudahkan penyelesaian persoalan fisika
yang rumit. Lagrangian menggunakan koordinat umum dan dibatasi pada
penggunaan koordinat kartesian dan koordinat polar. Lagrangian juga
menggunakan pendekatan energi, seperti energi kinetik dan energi potensial
benda sebagai dasar penyelesaiannya.
Analisis gerak dengan menggunakan hukum II Newton memenuhi
persamaan 2.2. Namun dalam mekanika lanjut, digunakan analisis gerak
menggunakan lagrangian. Secara umum lagrangian adalah selisih antara energi
kinetik dan energi potensial yang dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 (2.22)
dengan 𝑇 adalah energi kinetik dan 𝑉 adalah energi potensial.
Persamaan Euler-Lagrange tergantung pada jumlah variabel terikatnya.
Misalnya pada gerak dua dimensi koordinat umumnya adalah 𝑥 dan 𝑦, maka
persamaan Euler-Lagrange jika tidak ada gaya lain yang bekerja pada sistem
adalah:
ⅆ
ⅆ𝑡(
𝜕𝐿
𝜕�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥= 0 (2.23)
dan
ⅆ
ⅆ𝑡(
𝜕𝐿
𝜕�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑦= 0 (2.24)
Apabila di dalam sistem terdapat gaya luar yang mengakibatkan gerakan benda
teredam, maka persamaan di atas akan berubah karena adanya faktor redaman
sistem. Misalnya persamaan 2.23, jika sistem teredam maka persamaannya
akan berubah menjadi:
ⅆ
ⅆ𝑡(
𝜕𝐿
𝜕�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥= − 𝑏
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡 (2.25)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
2.5. Penyelesaian Pendulum Sederhana Menggunakan Lagrangian
Pendulum Sederhana dapat dilihat seperti pada gambar 2.4, dengan
komponen massa 𝑚, panjang 𝑙, dan sudut 𝜃.
Gambar 2.6. Ilustrasi Pendulum Sederhana
Gambar 2.7. Analisis Pendulum Sederhana
posisi benda dalam sumbu 𝑥 dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
𝑥 = 𝑙 sin 𝜃 (2.26)
untuk turunan terhadap waktu 𝑥 adalah �̇�
�̇� = 𝑙 cos 𝜃 �̇� (2.27)
posisi benda dalam sumbu 𝑦 dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
𝑦 = −𝑙 cos 𝜃 (2.28)
untuk turunan terhadap waktu 𝑦 adalah �̇�
�̇� = 𝑙 sin 𝜃 �̇� (2.29)
Pendulum yang diberikan simpangan, akan memiliki energi kinetik dan
energi potensial. Besar energi kinetiknya mengikuti persamaan berikut:
𝑇 = 1
2𝑚𝑣2 (2.30)
𝑇 = 1
2𝑚(�̇�2 + �̇�2)
(2.31)
𝑇 = 1
2𝑚[(𝑙 sin 𝜃 �̇�)2 + (−𝑙 cos 𝜃 �̇�)2]
(2.32)
𝑇 = 1
2𝑚𝑙2𝜃2̇(sin2𝜃 + cos2𝜃)
(2.33)
dengan 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1, maka:
𝑇 = 1
2𝑚𝑙2𝜃2̇
(2.34)
energi potensial pendulum sederhana mengikuti persamaan berikut:
𝑉 = 𝑚𝑔ℎ (2.35)
dengan ℎ = 𝑦, maka:
𝑉 = − 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 (2.36)
dengan menggunakan persamaan lagrangian maka persamaan 2.34 dan 2.36
disubstitusikan ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh:
𝐿 = 1
2𝑚𝑙2�̇�2 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
(2.37)
berdasarkan persamaan 2.33, maka persamaan Euler-Lagrange dapat
diperoleh sebagai berikut:
ⅆ
ⅆ𝑡[𝜕 (
12 𝑚𝑙2𝜃2̇ + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)
𝜕�̇�] −
𝜕 (12 𝑚𝑙2�̇� + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)
𝜕θ= 0 (2.38)
𝑚𝑙2�̈� + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 (2.39)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
�̈� +𝑔
𝑙sin 𝜃 = 0 (2.40)
dengan 𝑔
𝑙 adalah ⍵0
2 dan dengan menggunakan pendekatan sudut kecil, maka:
�̈� + ⍵02 𝜃 = 0 (2.41)
solusi dari persamaan 2.41 adalah:
θ = 𝐴 sin(⍵0𝑡 − 𝜙) (2.42)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian ini bertujuan untuk menemukan persamaan gerak dari
pendulum fisis gabungan menggunakan metode lagrangian dengan pendekatan
sudut kecil, yang kemudian dibuktikan menggunakan aplikasi Loggerpro. Adapun
tujuan lainnya adalah untuk mengetahui besarnya konstanta redaman yang dimiliki
pendulum fisis gabungan dan pendulum fisis. Untuk menemukan persamaan gerak
pendulum fisis gabungan diperoleh dengan cara menurunkan energi kinetik dan
energi potensial pendulum menggunakan persamaan lagrangian. Untuk tujuan yang
lain ditentukan dengan terlebih dahulu merekam gerakan pendulum fisis dan
pendulum fisis gabungan yang telah dilakukan menggunakan handycam Panasonic
90x. Setelah perekaman, video hasil perekaman akan dianalisis menggunakan
aplikasi Loggerpro.
Secara umum penelitian ini dibagi menjadi beberapa tahap yaitu: tahap
pertama adalah persiapan alat. Tahap kedua adalah pengambilan data, dan Tahap
ketiga adalah melakukan adalah analisis video menggunakan aplikasi Loggerpro.
3.1. Persiapan Alat
Alat yang digunakan dalam penelitian ini meliputi:
1) Pendulum
Pendulum yang digunakan terbuat dari penggaris plastik yang
dipasangkan dengan laher. Penggaris plastik dipilih karena mudah
didapatkan, murah, memiliki ukuran yang sama (dengan merek yang
sama), dan massanya relatif sama. Selain itu penggaris dipilih karena
mudah dilubangi untuk meletakkan laher, dibandingkan dengan kayu
ataupun logam lainnya. Penggaris plastik juga cukup kokoh dan tidak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
mudah berubah bentuk, sehingga sangat sesuai digunakan sebagai
pendulum.
2) Laher
Laher digunakan untuk mengurangi gesekan antara pendulum
dengan penyangga. Sehingga faktor redaman yang digunakan
diharapkan hanya berasal dari pendulum.
3) Handycam
Handycam yang digunakan untuk merekam gerak pendulum
adalah Panasonic 90x.
4) Tripod
Tripod digunakan untuk meletakkan handycam, sehingga
handycam dapat diatur satu garis lurus dengan pendulum dan dalam
keadaan datar.
5) Papan tulis hitam
Papan tulis dipilih sebagai background supaya kontras dengan
titik putih yang ada pada pendulum.
6) Tipp-ex dan spidol
Tipp-ex digunakan untuk memberikan tanda pada pendulum
sehingga memudahkan dalam proses analisis gerakan pendulum. Spidol
hitam digunakan untuk menghitamkan bagian di sekeliling tipp-ex,
sehingga sama dengan background.
3.2. Pengambilan Data
Pengambilan data dilakukan dengan melakukan perekaman gerak dari
pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan. Bagian perekaman diawali
dengan penyusunan alat yang telah disiapkan. Alat yang telah disiapkan lalu di
susun seperti pada gambar 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Gambar 3.1. Gambar Rangkaian Pendulum fisis (Sebelah Kiri) dan Rangkaian
Pendulum fisis gabungan (sebelah kanan)
Keterangan:
1 & 5 : laher
2 : titik perekaman
3 : handycam
4 : papan tulis hitam
6 : tripod
Posisi pendulum fisis ataupun pendulum fisis gabungan diatur sedemikian
sehingga menjadi satu garis lurus. Pendulum diberikan bantalan yang
kemudian dilekatkan pada papan tulis yang kakinya sudah diberikan
penyangga sehingga tidak dapat bergerak ataupun bergoyang.
3.3. Analisis Menggunakan Loggerpro
Pengukuran menggunakan Loggerpro dibagi menjadi beberapa bagian,
pertama adalah pengukuran sudut yang digunakan. kedua adalah analisis
gerakan dari pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan. Adapun langkah-
langkah pengukurannya dilakukan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
1) Pengukuran sudut
Pengukuran sudut yang diberikan dilakukan menggunakan fitur
Video analyzer pada software Loggerpro. Dengan cara sebagai berikut:
a. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menampilkan video
yang telah direkam. Video ditampilkan menggunakan fitur movie
yang terletak pada menu Insert, seperti pada gambar 3.2.
Gambar 3.2. Fitur Movie Pada Menu Insert
b. Video yang telah dipilih kemudian dianalisis dengan menggunakan
fitur analyzer, ada fitur analyzer kemudian dipilih ikon set scale,
yang ditunjukkan oleh tanda panah bernomor 1 pada gambar 3.3,
guna menentukan skala pengukuran. Kemudian pointer diarahkan
ke sisi tepi penggaris dan dengan menekan shift+klik, pointer
ditarik ke sisi tepi penggaris yang lain, seperti pada tanda panah
bernomor dua di gambar 3.3. Setelah dirasa garis yang dihasilkan
sudah vertikal sempurna, shift+klik dilepaskan dan setelahnya akan
muncul kolom notifikasi scale, seperti pada gambar 3.4. Pada
kolom distance kemudian diisikan ukuran lebar penggaris yang
sebelumnya telah dilakukan pengukuran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 3.3. Ikon Set Scale Pada Fitur Analyzer
Gambar 3.4. Notifikasi Scale
c. Langkah selanjutnya adalah membuat dengan membuat titik
setimbang pendulum. Titik setimbang diatur menggunakan ikon set
origin (gambar 3.5.), pointer kemudian diarahkan dan di klik pada
titik putih (bawah) yang telah dibuat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Gambar 3.5. Ikon Set Origin Pada Fitur Analyzer
d. Video dimainkan hingga pada posisi pendulum telah
disimpangkan. Lalu sudut diukur dengan melakukan pengukuran
menggunakan ikon photo distance (panah nomor 1 pada gambar
3.6), dengan mengarahkan pointer pada perpotongan sisi tepi
penggaris dan sumbu y, seperti yang ditunjukkan oleh tanda panah
nomor 2 pada gambar 3.6 pointer kemudian digeser sambil
menekan shift + klik ke posisi yang telah ditentukan (misalnya
menuju panah nomor 3 pada gambar 3.6). Pada sumbu y juga
dilakukan pengukuran dengan cara yang sama, sehingga
menghasilkan data seperti pada gambar 3.7.
Gambar 3.6. Ikon Photo Distance Pada Loggerpro
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Gambar 3.7. Hasil Pengukuran Komponen Panjang Pendulum Menggunakan
Ikon Photo Distance Pada Loggerpro
e. Setelah diperoleh komponen panjang pendulum pada sumbu 𝑥 dan
𝑦 seperti pada gambar 3.7, maka sudut yang digunakan untuk dapat
diperoleh menggunakan fungsi tangensial.
2) Analisis gerakan pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan
Analisis gerakan pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan
dilakukan untuk memperoleh konstanta redaman. Langkah-langkah
yang dilakukan sebagai berikut:
a. Langkah awal yang dilakukan sama seperti poin a sampai poin b
pada pengukuran sudut.
b. Analisis gerakan pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan
dilakukan menggunakan ikon add point pada fitur analyzer
(gambar 3.8.). pointer diarahkan ke titik putih (bawah) yang telah
dibuat kemudian diklik dan dilakukan perekaman pergerakan
pendulum pada video.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Gambar 3.8. Ikon Add Point Pada Fitur Analyzer
c. Nilai konstanta redaman kemudian diperoleh dengan melakukan
fiting terhadap data yang diperoleh dengan menggunakan
persamaan 𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒−𝐵𝑡 sin (𝐶𝑥 + 𝐷).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
4.1. Hasil Penelitian
4.1.1. Pendulum fisis gabungan
a. Derajat kebebasan pendulum fisis gabungan
Derajat kebebasan dapat ditentukan setelah persamaan kendala
yang dimiliki suatu sistem diketahui. Persamaan kendala pendulum
fisis gabungan meliputi:
a) Pendulum fisis gabungan hanya bergerak pada satu bidang
(𝑥, 𝑦), sehingga sumbu 𝑧 pada titik nol. Pada pendulum
pertama:
𝑧1 = 0 (4.1)
dan pada pendulum kedua:
𝑧2 = 0 (4.2)
b) Posisi pendulum fisis gabungan pada sumbu 𝑥 dan 𝑦,
terkungkung oleh panjang lengan pendulum. Sehingga pada
pendulum pertama dapat dinyatakan melalui persamaan:
𝑥12 + 𝑦1
2 = 𝑙12 (4.3)
dan pada pendulum kedua:
𝑥22 + 𝑦2
2 = 𝑙22 (4.4)
dari persamaan di atas diketahui bahwa ada empat persamaan
kendala pada pendulum fisis gabungan.
Derajat kebebasan dari pendulum fisis kemudian dapat
diperoleh dari persamaan 2.21. Sehingga diperoleh persamaan
kendala pada pendulum fisis gabungan sebagai berikut:
ⅆ𝑘 = 3(2) − 4
ⅆ𝑘 = 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
dengan demikian maka diketahui ada dua derajat kebebasan untuk
pendulum fisis gabungan, yang juga menandakan bahwa jumlah
koordinat umum pada pendulum fisis gabungan ada dua buah.
b. Penyelesaian persamaan gerak pendulum fisis gabungan
menggunakan lagrangian
Pendulum fisis gabungan diilustrasikan seperti gambar 4.1.
karena pendulum fisis gabungan ini adalah benda pejal yang
memiliki massa, maka dalam analisis ini momen inersia yang
dimiliki pendulum ikut diperhatikan.
Gambar 4.1. Ilustrasi Pendulum fisis gabungan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
berdasarkan gambar 4.1 posisi benda pada sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦 dapat diperoleh melalui persamaan berikut:
𝑥1 =1
2𝑙1 sin 𝜃1 (4.5)
𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 +1
2𝑙2 sin 𝜃2 (4.6)
𝑦1 = −1
2𝑙1 cos 𝜃1 (4.7)
𝑦2 = −𝑙1 cos 𝜃1 −1
2𝑙2 cos 𝜃2 (4.8)
Turunan terhadap waktu dari persamaan posisi 𝑥 dan 𝑦 adalah:
𝑥1̇ =1
2𝑙1 cos 𝜃1�̇�1 (4.9)
𝑥2̇ = 𝑙1 cos 𝜃1�̇�1 +1
2𝑙2 cos 𝜃2�̇�2 (4.10)
𝑦1̇ =1
2𝑙1 sin 𝜃1 �̇�1 (4.11)
𝑦2̇ = 𝑙1 sin 𝜃1�̇�1 +1
2𝑙2 sin 𝜃2�̇�2 (4.12)
Berdasarkan analisa gambar 4.1, energi potensial dari sistem dapat diperoleh sebagai berikut:
𝑉 = −1
2 𝑚1𝑔𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑚2𝑔 (−𝑙1 cos 𝜃1 −
1
2𝑙2 cos 𝜃2) (4.13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
𝑉 = −𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (1
2𝑚1 + 𝑚2) −
1
2𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2 (4.14)
Energi kinetik sistem pada gambar 4.1 dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑇 =1
2𝑚1𝑣1
2 +1
2𝑚2𝑣2
2 (4.15)
𝑇 =1
2𝑚1(�̇�1
2 + �̇�12) +
1
2𝑚2(�̇�2
2 + �̇�22) (4.16)
𝑇 =1
8𝑙1�̇�1
2(𝑚1 + 4𝑚2) +1
8𝑚2𝑙2�̇�2
2 +1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2) (4.17)
dengan menggunakan persamaan lagrangian maka persamaan 4.14 dan 4.17 disubstitusikan ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh:
𝐿 =1
8𝑙1�̇�1
2(𝑚1 + 4𝑚2) +
1
8𝑚2𝑙2�̇�2
2+
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (
1
2𝑚1 + 𝑚2) +
1
2𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2 (4.18)
Dengan asumsi bahwa pendulum akan mengalami redaman kecil, maka persamaan Euler-Lagrange untuk θ1 adalah:
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�1
] −𝜕𝐿
𝜕𝜃1= −𝑏1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡 (4.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
untuk 𝑑
𝑑𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�1]
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�1
] =ⅆ
ⅆ𝑡{
𝜕 [18 𝑙1�̇�1
2(𝑚1 + 4𝑚2) +
18 𝑚2𝑙2�̇�2
2+
12 𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (
12 𝑚1 + 𝑚2) +
12 𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2]
𝜕�̇�1
} (4.20)
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�1
] =1
4𝑙1
2�̈�1(𝑚1 + 4𝑚2) + 𝑚2𝑙1𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2)�̈�2 − 𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(𝜃1̇ − 𝜃2̇)�̇�2 (4.21)
untuk 𝜕
𝜕𝜃1
𝜕𝐿
𝜕𝜃1=
𝜕
𝜕𝜃1[1
8𝑙1�̇�1
2(𝑚1 + 4𝑚2) +
1
8𝑚2𝑙2�̇�2
2+
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (
1
2𝑚1 + 𝑚2) +
1
2𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2] (4.22)
𝜕𝐿
𝜕𝜃1= −
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2) − 𝑔𝑙1 sin 𝜃1 (
1
2𝑚1 + 𝑚2) (4.23)
Persamaan 4.21 dan persamaan 4.23 disubstitusikan ke persamaan 4.19, kemudian diturunkan secara matematis. penurunan
persamaan 4.19 dapat dilihat pada lampiran 1, maka diperoleh persamaan koordinat umum yang pertama pada pendulum fisis gabungan
sebagai berikut:
d2𝜃1
ⅆ𝑡2+
𝑏1
𝐼1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡+ ⍵1
2𝜃1 = 0 (4.24)
dengan 𝐼1 =9
4𝑚𝑙2; dan ⍵1
2 =2
3
𝑔
𝑙
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
berdasarkan persamaan 4.24 diperoleh solusi untuk persamaan gerak pendulum fisis gabungan sebagai berikut:
𝜃1 = 𝐴𝑒−𝐵1𝑡 sin(⍵1𝑡 + 𝜙) (4.25)
dengan 𝐵1 =𝑏1
2𝐼1
Dengan asumsi bahwa pendulum akan mengalami redaman kecil, maka persamaan Euler-Lagrangian untuk 𝜃2 adalah:
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�2
] −𝜕𝐿
𝜕𝜃2= −𝑏2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡 (4.26)
untuk 𝑑
𝑑𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�2]
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�2
] =ⅆ
ⅆ𝑡{
𝜕 [18
𝑙1�̇�12
(𝑚1 + 4𝑚2) +18
𝑚2𝑙2�̇�22
+12
𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (12
𝑚1 + 𝑚2) + 𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2]
𝜕�̇�2
} (4.27)
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�2
] =1
4𝑚2𝑙2
2�̈�2 +1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̈�1𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2) −
1
2𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(𝜃1̇ − 𝜃2̇)�̇�2 (4.28)
untuk 𝜕
𝜕𝜃2
𝜕𝐿
𝜕𝜃2=
𝜕
𝜕𝜃2[1
8𝑙1�̇�1
2(𝑚1 + 4𝑚2) +
1
8𝑚2𝑙2�̇�2
2+
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (
1
2𝑚1 + 𝑚2) + 𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2] (4.29)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
𝜕𝐿
𝜕𝜃2= −
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 sin(𝜃1 − 𝜃2) −
1
2𝑚2𝑔𝑙2 sin 𝜃2 (4.30)
Persamaan 4.28 dan persamaan 4.30 disubstitusikan ke
persamaan 4.26, kemudian diturunkan secara matematis. penurunan
persamaan 4.26 dapat dilihat pada lampiran 1. Maka diperoleh
persamaan koordinat umum yang kedua pada pendulum fisis
gabungan sebagai berikut:
ⅆ2𝜃2
ⅆ𝑡2+
𝑏2
𝐼2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡+ ⍵2
2𝜃2 = 0 (4.31)
dengan
dengan 𝐼2 =3
4𝑚𝑙2 dan ⍵2
2 =2
3
𝑔
𝑙
berdasarkan persamaan 4.31 diperoleh solusi untuk persamaan gerak
pendulum fisis gabungan sebagai berikut:
𝜃2 = 𝐴𝑒−𝐵2𝑡 sin(⍵2𝑡 + 𝜙)
dengan 𝐵2 =𝑏2
2𝐼2
(4.32)
c. Analisis konstanta redaman pendulum fisis gabungan menggunakan
Loggerpro
Konstanta redaman pendulum fisis gabungan ditentukan
dengan cara seperti yang telah dijelaskan pada BAB III dengan
menggunakan persamaan 4.32. persamaan ini dipilih karena
pengambilan data dilakukan pada titik yang berada pada di lengan
bawah pendulum fisis gabungan. Berikut adalah hasil fitting untuk
data pertama pada sudut 8,07o :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Gambar 4.2. Grafik Hasil Fitting Data Pertama Pada Sudut 8,07o Untuk
Pendulum fisis gabungan
Dari gambar 4.2 faktor redaman dari persamaan pada pendulum fisis
gabungan ditunjukkan oleh variabel B, di mana untuk data pertama
dengan sudut 8,07o memiliki faktor redaman sebesar 0,05664.
Kemudian konstanta redaman pendulum fisis gabungan dapat
ditentukan sebagai berikut:
𝑏2 = 2𝐼2𝐵2
𝑏2 = 2 × [3
2× 0,04 × (0,4)2] × 0,05664
𝑏2 = 1,09 × 10−3 kg m2/s
dengan menggunakan cara yang sama data berikutnya dianalisis,
sehingga diperoleh tabel hasil analisis sebagai berikut:
Tabel 4.1. Konstanta Redaman pada Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o
Data Konstanta Redaman
(Kg m2/s)
1 0,001087
2 0,001116
3 0,001126
4 0,001152
5 0,001103
Rata-rata dan ralat (1,12 ± 0,05) × 10-3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
4.1.2. Pendulum Fisis Tunggal
a. Derajat kebebasan pendulum fisis tunggal
Derajat kebebasan dapat ditentukan setelah persamaan kendala
yang dimiliki suatu sistem diketahui. Persamaan kendala pendulum
fisis tunggal meliputi:
a) Pendulum fisis tunggal hanya bergerak pada satu bidang (𝑥, 𝑦),
sehingga sumbu 𝑧 pada titik nol. Sehingga persamaan
kendalanya dapat dituliskan:
𝑧 = 0 (4.36)
b) Posisi pendulum fisis tunggal pada sumbu 𝑥 dan 𝑦, terkendala
oleh panjang lengan pendulum. Dengan jumlah kuadrat 𝑥 dan 𝑦
tidak akan lebih besar ataupun lebih kecil dari kuadrat panjang
lengan pendulum. Sehingga persamaan kendalanya dapat
dituliskan:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙2 (4.37)
dari persamaan di atas, diketahui bahwa ada dua persamaan kendala
pada pendulum fisis tunggal.
Derajat kebebasan dari pendulum fisis tunggal kemudian dapat
diperoleh dari persamaan 2.21. Sehingga diperoleh persamaan
kendala pada pendulum fisis tunggal sebagai berikut:
ⅆ𝑘 = 3(1) − 2
ⅆ𝑘 = 1
dengan demikian maka diketahui ada satu derajat kebebasan untuk
pendulum fisis tunggal, yang juga menandakan bahwa jumlah
koordinat umum pada pendulum fisis tunggal ada satu buah.
b. Penyelesaian persamaan gerak pendulum fisis tunggal menggunakan
lagrangian
Pendulum fisis tunggal diilustrasikan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 4.3. Ilustrasi Pendulum Fisis Tunggal
berdasarkan gambar 4.4 posisi benda pada sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦
dapat diperoleh melalui persamaan berikut:
𝑥 =1
2𝑙 sin 𝜃
(4.33)
𝑦 = −1
2𝑙 cos 𝜃
(4.34)
Turunan terhadap waktu dari persamaan posisi 𝑥 dan 𝑦 adalah:
�̇� =1
2𝑙 cos 𝜃 �̇�
(4.35)
�̇� =1
2𝑙 sin 𝜃 �̇�
(4.36)
Berdasarkan gambar 4.4, energi potensial dari sistem dapat
diperoleh sebagai berikut:
𝑉 = 𝑚𝑔ℎ (4.37)
𝑉 = −1
2𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
(4.38)
Energi kinetik sistem pada gambar 4.4 dapat dinyatakan sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝑇 =1
2𝑚(�̇�2 + �̇�2)
(4.39)
𝑇 =1
2𝑚 [(
1
2𝑙 cos 𝜃�̇�)
2
+ (−1
2𝑙 sin 𝜃 �̇�)
2
] (4.40)
𝑇 =1
8𝑚𝑙2�̇�2
(4.41)
dengan menggunakan persamaan lagrangian maka persamaan 4.38
dan 4.41 disubstitusikan ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh:
𝐿 = 1
8𝑚𝑙2�̇�2 +
1
2𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
(4.42)
dengan asumsi bahwa pendulum akan mengalami redaman kecil,
maka persamaan Euler-Lagrangian untuk θ adalah:
ⅆ
ⅆ𝑡[𝜕 (
18
𝑚𝑙2�̇�2 + 12
𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)
𝜕�̇�] −
𝜕 ( 18
𝑚𝑙2�̇�2 + 12
𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)
𝜕θ= −𝑏3
𝜕𝜃
𝜕𝑡 (4.43)
Persamaan 4.43 kemudian diturunkan secara matematis, untuk
uraian penurunannya dapat dilihat pada lampiran 1. Setelah
dilakukan penurunan, maka persamaan koordinat umum pendulum
fisis tunggal akan diperoleh sebagai berikut:
ⅆ2𝜃
ⅆ𝑡2+
𝑏3
𝐼3
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡+ ⍵3
2𝜃 = 0 (4.44)
dengan ⍵32 = 2
𝑔
𝑙; dan 𝐼3 =
1
4𝑚𝑙2 , Berdasarkan persamaan 4.44
diperoleh solusi untuk persamaan gerak pendulum fisis tunggal
sebagai berikut:
𝜃 = 𝐴𝑒−𝐵3𝑡 sin(⍵3𝑡 − 𝜙) (4.45)
dengan 𝐵3 =𝑏3
2𝐼3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
c. Analisis konstanta redaman pendulum fisis tunggal menggunakan
Loggerpro
Konstanta redaman pendulum fisis tunggal ditentukan dengan
cara seperti yang telah dijelaskan pada bab III dengan menggunakan
persamaan 4.45. Berikut adalah hasil fitting untuk data pertama pada
sudut 8,07o :
Gambar 4.4. Grafik Hasil Fitting Data Pertama pada Sudut 8,07o Untuk
Pendulum Fisis Tunggal
Dari gambar 4.5 faktor redaman dari persamaan pada
pendulum fisis tunggal ditunjukkan oleh variabel B, di mana untuk
data pertama dengan sudut 8,07o memiliki faktor redaman sebesar
0,05965. Sedangkan untuk konstanta redaman pendulum fisis
tunggal dapat diperoleh sebagai berikut:
𝑏3 = 2𝐼3𝐵
𝑏3 = 2 × 2 × 0,04 × 0,42 × 0,05965
𝑏3 = 1,52 × 10−2𝑘𝑔 𝑚2/𝑠
dengan menggunakan cara yang sama data berikutnya
dianalisis, sehingga diperoleh tabel hasil analisis sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Tabel 4.2. Konstanta Redaman Pada Pendulum Fisis Tunggal untuk
Sudut 8,07o
Data Konstanta Redaman
(Kg m2/s)
1 0,001527
2 0,001512
3 0,001522
4 0,001525
5 0,001524
Rata-rata dan Ralat (1,52 ± 0,01) × 10-3
4.2. Pembahasan
Penelitian ini memiliki empat tujuan seperti yang sudah disebutkan
pada BAB I. Tujuan pertama penelitian ini adalah menemukan persamaan
umum dari pendulum fisis gabungan menggunakan metode lagrangian
dengan pendekatan sudut kecil. Sesuai dengan yang telah dijelaskan pada
dasar teori, bahwa jumlah persamaan umum dapat diketahui dari derajat
kebebasannya. Pada bagian hasil ditemukan bahwa pendulum fisis
gabungan memiliki dua derajat kebebasan yang berarti pendulum fisis
gabungan memiliki dua persamaan umum. Sedangkan pendulum fisis
hanya memiliki satu derajat kebebasan sehingga pendulum fisis hanya
memiliki satu persamaan umum. Persamaan yang diperoleh untuk
pendulum fisis gabungan ditunjukkan oleh persamaan 4.25 dan 4.32,
sedangkan untuk pendulum fisis ditunjukkan oleh persamaan 4.45.
Pendulum fisis gabungan memiliki dua buah solusi yaitu untuk
sudut yang pertama (𝜃1) dan sudut yang kedua (𝜃2). Karena 𝜃1 ≈ 𝜃2,
maka dalam analisis dapat menggunakan salah satu solusi tersebut. Pada
penelitian ini sudut yang digunakan untuk analisis data pada pendulum
fisis gabungan adalah 𝜃2.
Pendulum yang digunakan dalam penelitian ini ada dua jenis, yaitu
pendulum fisis gabungan dan pendulum fisis. Dengan kedua pendulum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
terbuat dari penggaris yang dilubangi dan diberi laher sebagai poros,
sehingga pendulum dapat berayun dengan bebas dan mengurangi
terjadinya gesekan antara pendulum dan poros putarnya. Pendulum yang
telah dirangkai kemudian disimpangkan dan direkam menggunakan
handycam Panasonic 90x. Setelah diberikan simpangan pendulum mulai
berosilasi dan lama kelamaan pendulum akan berhenti. Peristiwa ini
menunjukkan bahwa pendulum mengalami osilasi teredam. Redaman
yang dialami pendulum merupakan redaman kecil, di mana dapat dilihat
pada gambar 4.2 ataupun gambar 4.5 terjadi pengurangan amplitudo secara
perlahan.
Pengurangan amplitudo setiap waktu ini kemudian disebut sebagai
konstanta redaman pendulum. Konstanta redaman pendulum dapat
diperoleh dengan menggunakan analisis video yang telah direkam
menggunakan loggerpro dan melakukan fitting data yang diperoleh seperti
yang telah dilakukan pada bagian hasil yang ada pada BAB IV. Nilai
konstanta redaman pendulum fisis tunggal adalah (1,52 ± 0,01) × 10-3 Kg
m2/s dan pada pendulum fisis gabungan adalah (1,12 ± 0,05) × 10-3 Kg m2/s.
Terdapat perbedaan nilai konstanta redaman pendulum fisis tunggal
dan pendulum fisis gabungan. Berdasarkan hasil pengamatan, hal ini dapat
terjadi karena pada saat pendulum gabungan berayun dan mencapai titik
yang sama dengan pendulum fisis tunggal (gambar 4.8). Lengan bawah
pendulum gabungan memberikan dorongan kepada lengan atas pendulum
gabungan (gambar 4.9). Sehingga pendulum gabungan dapat memiliki
simpangan yang lebih jauh dibandingkan dengan pendulum fisis tunggal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 4.5. Pendulum Fisis Tunggal dan Pendulum Fisis Gabungan pada
Ketinggian yang Sama
Gambar 4.6. Pendulum Fisis Gabungan Menyimpang Lebih Jauh
Kualitas perekaman memiliki pengaruh yang sangat besar dalam
penelitian ini. Sehingga perekaman harus dilakukan pengulangan hingga
beberapa kali untuk memperoleh hasil yang terbaik. Namun karena
keterbatasan kemampuan perekaman dari handycam yang digunakan,
mengakibatkan perekaman untuk sudut yang lebih besar dari 60o tidak
dapat diamati. Dalam penelitian ini sempat terjadi kesulitan dalam proses
analisis video di loggerpro, karena gambar yang dihasilkan kurang
maksimal bahkan beberapa frame terlihat tidak fokus. Namun karena
banyaknya data diperoleh sudah cukup untuk menunjukkan peristiwa
osilasi teredam yang diharapkan dan dapat diamati dengan jelas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
a. Ada dua buah persamaan gerak untuk pendulum fisis gabungan yaitu:
𝜃1 = 𝐴𝑒−𝐵1𝑡 sin( ⍵1𝑡 − 𝜙)
dan
𝜃2 = 𝐴𝑒−𝐵2𝑡 sin( ⍵2𝑡 − 𝜙)
b. Nilai konstanta redaman untuk sudut kecil pada pendulum fisis tunggal
adalah (1,52 ± 0,01) × 10-3 Kg m2/s dan pada pendulum fisis gabungan adalah
(1,12 ± 0,05) × 10-3 Kg m2/s
5.2. Saran
Bagi pembaca yang memiliki minat untuk melakukan penelitian serupa
ataupun melanjutkan penelitian ini, penulis menyarankan untuk:
a. Menggunakan kamera atau handycam dengan kualitas perekaman di atas
90 fps. Supaya pada saat analisis menggunakan Loggerpro tidak terdapat
frame yang tidak jelas dan meningkatkan ketelitian dalam penelitian.
b. Menemukan solusi untuk batasan masalah pada poin 1.3.2, di mana pada
penelitian ini massa laher masih di abaikan.
c. Memperhatikan kontras benda yang diamati dengan background. Karena
jika benda dan background tidak kontras maka akan menyulitkan peneliti
pada bagian analisis.
d. Memperhatikan kondisi lingkungan terutama keadaan cahaya dan angin,
yang dapat mempengaruhi proses pengambilan data.
e. Menggunakan komputasi agar memperoleh solusi di mana 𝜃1 ≠ 𝜃2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
DAFTAR PUSTAKA
Giancoli, Douglas C. 2014. Fisika Prinsip dan Aplikasi. Jilid ke-1. Edisi ke-7.
Diterjemahkan oleh Irzam. Jakarta: Erlangga.
Halliday, D., dan Resnick, R.1984. Fisika Dasar. Edisi Ketiga Jilid 2. Jakarta:
Erlangga.
Limiansih, K., Santosa, I. E. (2013) Redaman Pada Pendulum fisis. Jurnal Fisika
Indonesia. XVII (Desember), 17-20.
Rafat, M. Z., Wheatland, M. S., Bedding, T. R. 2009. Dynamics of a double
pendulum with distributed mass. American Journal of Physics 77. 216
(2009): 216-223
Tipler, P. A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik. Jilid ke-1. Diterjemahkan oleh
Lea Prasetio dan Rahmad W. Adi. Jakarta: Erlangga.
Shinbrot, T., Grebogi, C., Wiasom, J. 1992. Chaos in a double pendulum. American
Journal of Physics. 491 (1992): 491-499
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
LAMPIRAN
Lampiran 1. Penyelesaian Persamaan Pada BAB V
A. Penyelesaian Persamaan 4.23
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�1
] −𝜕𝐿
𝜕𝜃1= −𝑏1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡
𝑙12�̈�1(𝑚1 + 𝑚2) + 𝑚2𝑙1𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2)�̈�2 − 𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(𝜃1̇ − 𝜃2̇)�̇�2+
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑔𝑙1 sin 𝜃1 (
1
2𝑚1 + 𝑚2) = −𝑏1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡
dengan 𝑚1 ≈ 𝑚2 ≈ 𝑚; 𝜃1 ≈ 𝜃2 ; dan 𝑙1 ≈ 𝑙2 ≈ 𝑙; maka:
1
4𝑙2�̈�1(5𝑚) + 𝑚𝑙2�̈�1 + 𝑔𝑙 sin 𝜃1 (
3
2𝑚) = −𝑏1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡
9
4𝑚𝑙2�̈�1 +
3
2𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃1 = −𝑏1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡
dengan persamaan di atas kemudian dibagi dengan 9
4𝑚𝑙2, maka:
�̈�1 +2
3
𝑔
𝑙sin 𝜃1 = −
𝑏1
94 𝑚𝑙2
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
dengan 9
4𝑚𝑙2 = 𝐼1;
2
3
𝑔
𝑙= ⍵1; dan persamaan di atas didekati menggunakan pendekatan sudut kecil di mana sin 𝜃1 ≈ 𝜃1, maka
diperoleh persamaan 4.24:
ⅆ2𝜃1
ⅆ𝑡2+
𝑏1
𝐼1
ⅆ𝜃1
ⅆ𝑡+ ⍵1
2𝜃1 = 0
B. Penyelesaian Persamaan 4.31
ⅆ
ⅆ𝑡[
𝜕𝐿
𝜕�̇�2
] −𝜕𝐿
𝜕𝜃2= −𝑏2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡
1
4𝑚2𝑙2
2�̈�2 +1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̈�1𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2) −
1
2𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(�̇�1 − �̇�2)�̇�2+
1
2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2) +
1
2𝑚2𝑔𝑙2 sin 𝜃2 = −𝑏2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡
dengan 𝑚1 ≈ 𝑚2 ≈ 𝑚; 𝜃1 ≈ 𝜃2 ≈ 𝜃 ; dan 𝑙1 ≈ 𝑙2 ≈ 𝑙; maka:
1
4𝑚𝑙2�̈�2 +
1
2𝑚𝑙2�̈�2 +
1
2𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃2 = −𝑏2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡
3
4𝑚𝑙2�̈�2 +
1
2𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃2 = −𝑏2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡
dengan persamaan di atas kemudian dibagi dengan 3
4𝑚𝑙2, maka:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
�̈� +2
3
𝑔
𝑙sin 𝜃 = −
𝑏2
34 𝑚𝑙2
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡
dengan 3
4𝑚𝑙2 = 𝐼2;
2
3
𝑔
𝑙= ⍵2
2; dan persamaan di atas didekati menggunakan
pendekatan sudut kecil di mana sin 𝜃2 ≈ 𝜃2, maka diperoleh persamaan
4.24:
ⅆ2𝜃2
ⅆ𝑡2+ ⍵2
2 𝜃2 +𝑏2
𝐼2
ⅆ𝜃2
ⅆ𝑡= 0
C. Penyelesaian Persamaan 4.48
ⅆ
ⅆ𝑡[𝜕 (
18 𝑚𝑙2�̇�2 +
12 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)
𝜕�̇�] −
𝜕 ( 18 𝑚𝑙2�̇�2 +
12 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)
𝜕θ= −𝑏3
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡
1
4𝑚𝑙2�̈� +
1
2𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = −𝑏3
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡
dengan persamaan di atas kemudian dibagi dengan 1
4𝑚𝑙2, maka:
�̈� + 2𝑔
𝑙sin 𝜃 = −
𝑏3
14 𝑚𝑙2
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡
dengan 1
4𝑚𝑙2 = 𝐼3; 2
𝑔
𝑙= ⍵3; dan persamaan di atas didekati menggunakan
pendekatan sudut kecil di mana sin 𝜃 ≈ 𝜃, maka diperoleh persamaan 4.49:
ⅆ2𝜃
ⅆ𝑡2+ ⍵3
2 𝜃 +𝑏3
𝐼3
ⅆ𝜃3
ⅆ𝑡= 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Lampiran 2. Hasil Analisis Video Pada Loggerpro
A. Pendulum Fisis Tunggal untuk Sudut 8,07o
1. Data I
2. Data II
3. Data III
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
4. Data IV
5. Data V
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
B. Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o
1. Data I
2. Data II
3. Data III
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
4. Data IV
5. Data V
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI