Pndulo simple en las matemticas
Uno de los objetos de estudio de la fsica que me ha llamado
mucho la atencin es el de las oscilaciones, vibraciones y ondas.
Existe un gran nmero de fenmenos en el universo que presentan
comportamientos oscilatorios, y lo que hace an ms emocionante su
estudio es la existencia de los conceptos matemticos que hacen
posible su modelamiento y entendimiento.Un caso muy comn y bsico en
la teora es el del pndulo simple no amortiguado, que consiste, en
su forma idealizada, en un punto de masamsuspendido de un punto
fijo por una cuerda de longitudlsin masa. Al realizar un
desplazamiento angularcon respecto a un eje vertical, como se
muestra en la siguiente figura, se produce una oscilacin producto
del intercambio entre energa potencial gravitacional y energa
cintica.
Siges la gravedad, se obtiene el siguiente diagrama de
fuerzas:
De acuerdo con la segunda ley de Newton y asumiendo que el
movimiento vertical es cero, se obtiene la siguiente ecuacin:
mgsen=max(1)Dondeaxes la aceleracin horizontal. Como el
movimiento a lo largo de la longitud de arco subtendida por el
movimiento del pndulo esx=l, entonces
Reemplazando la ecuacin (2) en la ecuacin (1) se observa que el
trminomque corresponde a la masa se cancela (este resultado es muy
interesante, ya que indica que el comportamiento del pndulo simple
es independiente de la masa), y se obtiene la siguiente ecuacin
diferencialno linealde la funcin(t):
Utilizando una aproximacin por series de Taylor es posible
encontrar fcilmente la solucin general a esta ecuacin, para luego
simular una solucin particular utilizando Matemtica. Sabiendo que
la serie de Taylor centrada en cero para la funcinsen(x)es
Se observa que si x es lo suficientemente pequeo, se puede
aproximar la funcin comosen(x)x, dado que a medida quenaumenta, la
divisin sobre(2n+1)!hace que los trminos de orden superior tiendan
a cero. Esto se puede observar si se grafican las
funcionessen(x)yxen un mismo plano:
Si= 0.5rad, la diferencia es de aproximadamente el 4%, esto en
grados corresponde a 28.6, el cual es un valor que puede ser usado
como lmite en la aproximacin para la funcinsen()que se realizar
para resolver la ecuacin diferencial en (3), quedando:
Esta es una ecuacin diferencial lineal de la funcin(t)cuya
ecuacin auxiliar es:
La solucin positiva a esta ecuacin es, de donde la solucin
general a la ecuacin (5) es:
Utilizando identidades trigonomtricas e introduciendo un
ngulotal que ,se obtiene una forma ms compacta para la solucin
general de (5):
El termino se conoce como la frecuencia natural de oscilacin del
pndulo,,de modo q la solucin tambin puede escribirse como Esta
funcin describe el ngulo en funcin del tiempo para el pndulo simple
(dentro del intervalo dado por la aproximacin realizada).Para un
caso particular deben considerarse un par de condiciones iniciales
para el sistema. As se obtendr una funcin en trminos de los valores
conocidos que permitirn simular el pndulo simple bajo ciertas
condiciones predeterminadas.Las condiciones sern las siguientes:
Ent= 0 el pndulo tendr un desplazamiento angular de/8y una
velocidad angular de cero. Matemticamente esto se describe como
Al reemplazar respectivamente cada una de estas condiciones en
la ecuacin (9) y su derivada, se resuelve el sistema de ecuaciones
y se encuentra que= 0 y0=/8.Utilizando esta solucin particular
podemos pasar a la simulacin del pndulo simple.
Si se tiene una gravedadg=9.8m/s2y una longitud, la solucin
particular que se simular enMatemticaes la siguiente:
Si se observa la siguiente figura, se ve que las coordenadas
enxyyde la masa pueden escribirse como una funcin del tiempo.
Utilizando relaciones trigonomtricas, las funciones
parax(t)yy(t)sonx(t)=sen[(t)](11.1)y(t)=cos[(t)](11.2)El signo
negativo en la ecuacin (11.2) aparece al posicionar el punto de
suspensin en el origen. Con esto todo est listo para simular
enMatemticael pndulo simple.
