Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter setelah proses identifikasi awal digunakan untuk

menaksir parameter dari distribusi yang terpilih pada proses identifikasi awal.

Parameter dari distribusi hanya dapat diduga (diestimasi) dan tidak dapat

secara tepat diketahui karena tidak ada suatu metodepun yang dapat

mengetahui dengan tepat parameter suatu distribusi berdasarkan data sampel

yang diambil. Metode pendugaan parameter yang sering digunakan adalah

Maximum Likelihood Estimator (MLE).

Secara umum, untuk menemukan MLE dari setiap distribusi teoritis, harus

mencari nilai maksimum dari likelihood function berikut yang mengandung

sejumlah parameter θi.....θn yang tidak diketahui

L (θi …,θn )=∏i=1

n

f (ti ;θ)

Tujuan MLE adalah menemukan nilai parameter θi.....θn yang dapat

memberikan likelihood function yang sebesar mungkin untuk setiap nilai

t1,t2,...., tn. Karena bentuk perkalian dari likelihood function, umumnya lebih

mudah untuk memecahkan logaritma dari likelihood function. Nilai maksimum

likelihood function diperoleh dengan mengambil turunan pertama dari logaritma

likelihood function = 0, yaitu :

∂ ln L(θ i ..... θ n)∂ θ i

=0 i=1,2,...n

1. Weibull MLE

Adapun turunan pertama likelihood function untuk distribusi Weibull adalah

sebagai berikut :

g (m )=∑i=1

n

tim ln t i

∑i=1

n

t im

− 1m

−1n

ln ti=0

Tujuan MLE adalah mendapatkan nilai m dari persamaan di atas.

Permasalahannya adalah persamaan di atas tidak dapat dipecahkan secara

matematis. Maka cara altematifnya adalah menggunakan metode Newton

Rhapson untuk memecahkan persamaan non-linear yaitu dengan

menggunakan persamaan:

m j+1=m j−g(m j)

g(m j+1) dimana g’(x) = dg(x )

dx

yang harus dipecahkan secara iterasi sampai mencapai nilai mj yang

maksimum (atau nilai g(m) yang mendekati nol).

Maka terlebih dahulu mencari turunan pertama dari g(m) yaitu

g' (m )=(∑i=1

n

tim ln2 ti)(∑

i=1

n

t im)−¿¿

Kemudian nilai MLE untuk θ didapat dari persamaan berikut :

θ={1n [∑

i=1

n

t im]}1/m

2. Normal MLE

Adapun nilai MLE untuk parameter dari distribusi normal adalah sebagai

berikut :

μ = x

σ 2 = (n−1)s2

n

3. Lognormal MLE

Adapun nilai MLE untuk parameter dari distribusi lognormal adalah sebagai

berikut :

μ=∑i=1

n ln t i

n

tmed=e μ

s=√∑i=1

n

¿¿¿¿