Upload
phamhanh
View
260
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Pendugaan Parameter
Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]
7
Outline
Pendahuluan
Pendugaan Titik
Pendugaan Interval
Pendugaan Parameter: Kasus 1 Sampel Rataan Populasi
Pendugaan Parameter: Kasus 1 Sampel Proporsi
Pendugaan Parameter: Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi
Pendugaan Parameter: Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
2
Pendahuluan (1) 25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
3
Pendahuluan (2)
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
4
• Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik
untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi
yang tidak diketahui.
• Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter
populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel
random yang diambil dari populasi bersangkutan.
• Pendugaan = Penaksiran
• Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan
untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat
diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak
diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel)
• Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi
lambang xxx
Pendahuluan (3)
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
5
Kriteria penduga yang baik
� Tidak bias
� Efisien
� Konsisten
Populasi : Parameter
Sampel : Statistik
Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi
PENDUGA à TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM
MINIMUM
STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER
TARGET PENDUGA TITIK
PENDUGA SELANG
Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval
Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan
penduga selang à konsep probability à SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)
6 Pendahuluan (4)
Dua jenis pendugaan parameter
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Pendugaan Titik (1)
¡ Pendugaan tunggal atau titik (point estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.
¡ Memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.
7
TARGET PENDUGA TITIK
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Pendugaan Titik (2) 8
x
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
9 Pendugaan Titik (3)
21 xx −
p
21 ˆˆ pp −
Satu Populasi Dua Populasi
x p̂
µ1 −µ2 21 pp −
22
21
ss
22
21
σσ
2s
2σµ
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Pendugaan Interval (1) 10
• Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.
• Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter.
TARGET PENDUGA TITIK
PENDUGA SELANG
• Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas atas)
• Pendugaan interval : interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit)
• Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
11 Pendugaan Interval (2)
<
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1)
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
12
Misalnya : 1 - α = 0,90
α = 0,10 = 10 %.
α/2 = 0,05
jadi Zα/2 = Z 0,05 = (Z⏐P = 0,5 - α/2) = Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645
(lihat Tabel Normal).
Misalnya : 1- α = 0,98 dan n = 25
α = 0,02
α/2 = 0,01
jadi tα/2 ; v = tα/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492
( lihat tabel Distribusi t).
Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
13
169) = 0.99
Menaksir Rataan 14
Pendugaan Titik untuk Rataan
Populasi Penduganya
µ
cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar
2σx
ns x
22 σ=
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
15
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
16
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
17
18
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
CONTOH
Lihat di tabel dengan nilai
1-0,025 =0,9750 à z = 1,96
19
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana
20
sebelumnya
CONTOH
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
21
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Pendugaan Parameter:
Kasus Satu Sampel Rataan Populasi
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
22
Rataan contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi µ
s2 merupakan penduga tak bias bagi σ2
µ σ2
x s2
µ
1.96 xσ 1.96
xσ
SAMPLING ERROR
23
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
x
Dugaan Selang
nzx
nzx σ
µσ
αα22
+<<−
nstx
nstx nn )1()1( 22 −− +<<− αα µ
Syarat :
kondisi σ2
diketahui
Tidak
diketahui
σ2 diduga dengan s2
24
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Berlaku juga untuk sampel kecil (n < 30)
25 Contoh Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut:
RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Biaya (juta Rp)
2,30 4,50 4,00 5,00 3,80 7,20 6,25 5,75 6,70 7,80 RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Biaya (juta Rp) 6,80 5,30 8,00 15,10 13,20 4,50 2,00 4,70 5,75 10,10
a. Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun b. Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan
mengikuti sebaran normal.
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
26
a. Penduga rata-rata biaya pendidikan
b. Selang kepercayaan 95%
44.6ˆ == xµ
093,2732407,020/275422,3/
)19;2/05,0( =
===
=db
x
tnss
Penyelesaian
970,7905,4732,0093,244,6732,0093,244,6
≤≤
+≤≤−
µ
µ xx
Nilai s Dicari dari rumus
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
S2= Σ(xi – xbar)2 / n-1
Pendugaan Parameter:
Kasus Satu Sampel Proporsi
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
27
Proporsi contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi P
p
p̂
p
1.96 p̂σ 1.96 p̂σ
SAMPLING ERROR
28
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
p̂
Dugaan Selang / interval
nppzpP
nppzp )ˆ1(ˆˆ)ˆ1(ˆˆ
22
−+<<
−− αα
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p
29
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
p̂− t(α 2;n−1)p̂(1− p̂)n
< P < p̂+ t(α 2;n−1)p̂(1− p̂)n
Sampel Besar
Sampel Kecil
30 Contoh Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25 mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval keyakinan 95%.
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)
Penyelesaian :
Pendugaan Parameter:
Kasus Dua sampel saling bebas
Selisih rataan dua populasi
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
31
µ1 - µ2 32
21 xx −
µ1-µ2
1.96 21 xx −σ
SAMPLING ERROR
1.96 21 xx −σ
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Dugaan Selang
2
22
1
21
22121
2
22
1
21
221 )()(
nnzxx
nnzxx σσ
µµσσ
αα ++−<−<+−−
Syarat :
σ12 & σ2
2
diketahui
Tidak diketahui
σ12 & σ2
2
Tidak sama
sama Formula 1
Formula 2
33
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
a. Formula 1: Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−<−<⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
21
2)(2121
21
2)(21
11)(11)(22 nn
stxxnn
stxx gabvgabv αα µµ
2dan 2
)1()1(21
21
222
2112 −+=
−+
−+−= nnv
nnsnsnsgab
34
b. Formula 2: Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−<−<⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
2
22
1
21
)(21212
22
1
21
)(21 22)()(
ns
nstxx
ns
nstxx vv αα µµ
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
11
2
2
2
22
1
2
1
21
2
2
22
1
21
nnsnn
s
ns
ns
v
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Note: Berlaku juga untuk sampel kecil
Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)
Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBM-
nya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah
75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah
36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval
kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard
deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon
Contoh 35
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Penyelesaian
Diket. XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8 Interval kepercayaan 96% bagi μB- μA :
3.43 < μB- μA < 8.57 .
Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon
B
B
A
AABAB
B
B
A
AAB nn
zxxnn
zxx22
02.0
22
02.0 )()()( σσµµ
σσ++−<−<+−−
5036
756405.2)3642()(
5036
756405.2)3642( ++−<−<+−− AB µµ
36
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
37 Latihan
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :
¡ Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan
selang kepercayaan 95%
Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40 Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55
Pendugaan Parameter:
Kasus dua sampel berpasangan
Selisih rataan dua populasi
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
38
Diberi pakan tertentu
Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci
Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci
Setelah periode tertentu
Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
39
µd
dnstd
nstd d
nDd
n )1()1( 22 −− +<<− αα µ
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µd
Dugaan Selang
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
40
Contoh 41
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
25
64
4
144
25
4
64
1
36
25
392
d2
Jumlah: - 16
Contoh
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
42
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
43 Penyelesaian
Pendugaan Parameter:
Kasus Dua sampel Selisih dua proporsi
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
44
p1 - p2 45
21 ˆˆ pp −
p1-p2
1.96 21 ˆˆ pp −σ
SAMPLING ERROR
1.96 21 ˆˆ pp −σ
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Dugaan Selang
2
22
1
1121
2
22
1
1121
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(21)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(22 n
ppnppzppPP
npp
nppzpp −
+−
+−<−<−
+−
−− αα
Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p1 - p2
46
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Sampel Besar
Sampel Kecil
( p̂1 − p̂2 )− tα 2;n1+n2−2p̂1(1− p̂1)
n1+p̂2 (1− p̂2 )
n2< P1−P2 < ( p̂1 − p̂2 )+ tα 2;n1+n2−2
p̂1(1− p̂1)n1
+p̂2 (1− p̂2 )
n2
BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D1 dan D2) untuk
mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk
yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat
pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan
persentase tersebut. Di daerah D1 dan D2 masing-masing dilakukan
wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan
apakah mereka setuju KB atau tidak.
Dari D1 ada 90 orang dan dari D2 ada 78 orang yang setuju KB.
Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang
pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah
tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.
Contoh 47
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Penyelesaian 48
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
p^
1 =X1n1=90120
= 0, 75, p^
2 =X2n2
=78120
= 0,65
p^
1− p^
2 = 0, 75− 0,65= 0,10
2
22
1
112121
2
22
1
1121
ˆˆˆˆ)ˆˆ(
ˆˆˆˆ)ˆˆ(
22 nqp
nqpzpppp
nqp
nqpzpp ++−<−<+−− αα
0,1 – 1,64 (0,059) < (P1 – P2) < 0,1 + 1,64 (0,059)
0,003 < (P1 – P2) < 0,197
0,25 0,25