PDS Lucrarea4

  • Published on
    11-Nov-2015

  • View
    3

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Filtre prelucrarea digitala a semnalelor

Transcript

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    76

    LUCRAREA 4 FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS 4.1. Introducere Filtrele cu rspuns infinit la impuls (RII) se dovedesc n anumite aplicaii mai avantajoase dect filtrele RFI datorit faptului c pot realiza caracteristici de selectivitate excelente cu un ordin mult mai mic al funciei de transfer. Spre deosebire de filtrele RFI, filtrele RII nu pot avea caracteristica de faz liniar.

    Imposibilitatea realizrii unei faze liniare are implicaii n ceea ce privete proiectarea filtrelor RII, n sensul c aceasta presupune fie aproximarea simultan att a specificaiilor pentru caracteristica de amplitudine ct i a celor referitoare la faz, fie corecia ulterioar a distorsiunilor de faz n ipoteza c proiectarea s-a bazat numai pe aproximarea caracteristicii de amplitudine. Exist un singur tip de filtru RII la care una din cele dou caracteristici este constant (filtrului trece tot - FTT). Filtrul RII este descris n domeniul timp prin ecuaia cu diferene finite:

    ][][][10

    inyainxbnyN

    ii

    M

    ii =

    == (4.1)

    n aceast situaie funcia de transfer devine:

    =

    =

    += N

    i

    ii

    M

    i

    ii

    za

    zbzH

    1

    0

    1)( (4.2)

    n care s-a presupus c 10 =a .

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    77

    Proiectarea unui filtru digital RII const n determinarea coeficienilor ia i ib din expresia (4.2) astfel nct rspunsul la impuls al acestuia, ][nh , sau rspunsul n frecven, )( jeH , s aproximeze ntr-un anumit mod specificaiile n timp discret sau n frecven impuse la proiectare. Domeniul n care este rezolvat problema aproximrii (timp sau frecven) este determinat de aplicaia specific. Metodele de proiectare a filtrelor RII pot fi clasificate n dou categorii: 1. Metode indirecte bazate pe proiectarea n prealabil a unui filtru analogic i apoi transformarea acestuia ntr-unul digital; 2. Metode directe urmrind realizarea filtrelor digitale fr referire la un model analogic. Aceste metode se bazeaz pe utilizarea criteriilor de aproximare n domeniile timp sau frecven. 4.2. Proiectarea indirect a filtrelor RII Procedura cea mai frecvent utilizat de proiectare a unui filtru digital RII const n transformarea unui filtru analogic ntr-unul digital, echivalent ca performane. Aceast abordare prezint dou avantaje: a) exploateaz cunotinele i metodele de proiectare a filtrelor analogice; b) exist transformri care conserv proprietile de selectivitate ale modelului analogic. Pornind de la specificaiile referitoare la performanele filtrului digital, proiectarea acestuia necesit parcurgerea urmtoarelor etape: 1. Transformarea specificaiilor dorite pentru filtrul digital n specificaii impuse filtrului analogic prototip; 2. Obinerea funciei de transfer a filtrului analogic prototip astfel nct s se realizeze specificaiile deduse la punctul 1; 3. Transformarea funciei de transfer a filtrului analogic n funcia de transfer echivalent ca performane a filtrului digital. Dup obinerea funciei de transfer )(sH a a prototipului analogic trebuie gsit funcia de transfer )(zH a filtrului digital, operaie denumit frecvent discretizarea filtrului analogic. Aceasta necesit n domeniul timp trecerea de la variabila continu t la cea discret n, ceea ce implic pentru caracterizarea n frecven o transformare de la planul s la planul Z. Orice astfel de transformare trebuie s satisfac dou cerine fundamentale: I. S transforme un filtru analogic stabil ntr-unul digital de asemenea stabil; II. S conserve caracteristicile de selectivitate (de modul i eventual faz) ale filtrului analogic.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    78

    ndeplinirea primei cerine necesit transformarea semiplanului stng al planului s n interiorul cercului de raz unitate din planul Z, n timp ce ndeplinirea celei de-a doua cerine pretinde conversia liniar a axei { }j a planului s n conturul cercului de raz unitate ( jez = ) al planului Z. Procedurile utilizate pentru discretizarea funciei de transfer )(sH a satisfac cele dou cerine ntr-un mod mai mult sau mai puin satisfctor. Sunt cunoscute n literatura de specialitate 4 asemenea proceduri i anume: 1. Metoda transformrii ecuaiei difereniale ce leag semnalele de intrare i ieire ale prototipului analogic n ecuaia cu diferene finite necesar pentru caracterizarea n domeniul timp a filtrului digital; 2. Metoda invarianei rspunsului la impuls; 3. Metoda transformrii biliniare; 4. Metoda transformrii n z adaptate. n continuare vor fi prezentate procedurile 2 i 3 care satisfac integral cerina I i foarte bine (n anumite condiii) cerina II. n schimb rezultatele obinute cu metodele 1 i 4 sunt nesatisfctoare n ceea ce privete conservarea proprietilor de selectivitate pe un domeniu larg de frecven. 4.2.1. Metoda invarianei rspunsului la impuls

    Aceast metod se bazeaz pe conservarea rspunsului la impuls, n sensul c rspunsul la impuls al filtrului digital, notat ][nh este versiunea eantionat a rspunsului la impuls al filtrului analogic, notat )(tha . n continuare vor fi utilizate notaia F2= pentru a desemna domeniul frecven al filtrului analogic i notaia f 2= pentru a desemna domeniul frecven normat al filtrului digital. Procedura de obinere a filtrului digital prin metoda invarianei rspunsului la impuls necesit parcurgerea urmtoarelor etape: 1. Se descompune )(sH a n fracii elementare:

    = =N

    k k

    ka ss

    AsH

    1)( (4.3)

    2. Se determin rspunsul la impuls al filtrului analogic, )(tha :

    =

    = Nk

    ka Ath1

    )( =

    =

    N

    k

    tsk

    ktueA

    ssk

    1

    1 )(1 (4.4)

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    79

    3. Se determin funcia pondere a filtrului digital:

    )(][cu][)(][1

    nTununueATnTThnhN

    k

    nTska

    k === =

    (4.5)

    4. Se calculeaz funcia de transfer )(zH :

    = =

    =

    = =

    = =

    =

    == Nk

    Tsk

    nN

    k n

    Tsk

    n

    n

    N

    k

    nTsk

    n

    n zeTA

    zeATzeATznhzHk

    kk

    11

    1

    1

    00 10 1][)(

    (4.6) Efectund calculele se obin coeficienii ii ba , ai filtrului digital.

    Se demonstreaz c filtrul digital reproduce rspunsul n frecven al filtrului analogic pe intervalul de frecven

    ],[2

    ,2

    ss dac i numai dac sunt ndeplinite condiiile: )(][ nTThnh a= (4.7)

    TT == (4.8)

    Ma jH = la0)( (4.9)

    Metoda d rezultate bune pentru discretizarea filtrelor analogice al cror rspuns la impuls satisface (chiar aproximativ) condiia de semnal de band limitat (relaia (4.9)). Ca atare poate fi aplicat la proiectarea FTJ i FTB dar nu i la proiectarea FTS, FOB, FTT. Exist totui FTS, FOB, FTT obinute pe calea invarianei rspunsului la impuls, prin proiectarea unui prototip analogic de tip trece jos, discretizarea acestuia conform relaiei (4.7) i apoi transformarea filtrului digital trece jos ntr-unul trece sus sau oprete band, folosind transformri de frecven adecvate.

    n realitate funciile de transfer ale filtrelor analogice nu satisfac dect cu aproximaie condiia (4.9), ele existnd pe toat axa frecvenelor, fapt care conduce la efecte de aliere spectral. Uneori se utilizeaz un filtru analogic trece jos cu pant abrupt a caracteristicii de atenuare (denumit filtru de gard), conectat n cascad cu filtrul analogic prototip pentru a realiza condiia de rspuns n frecven de band limitat al filtrului rezultant.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    80

    4.2.2. Metoda transformrii biliniare

    Transformarea biliniar este o transformare de la planul s la planul Z care conserv forma algebric (funcie raional) a funciei de transfer. Este definit prin relaia (T reprezint perioada de eantionare):

    11

    1

    1

    11

    2112

    +=+

    =zzsT

    zz

    Ts (4.10)

    Avantajele metodei transformrii biliniare, care determin utilizarea cu precdere a acesteia pentru discretizarea prototipului analogic, constau n urmtoarele: a) Erorile de aliere inerente metodei invarianei rspunsului la impuls sunt eliminate deoarece ntreaga ax { }j a planului s este transformat n conturul cercului unitate din planul z; b) Transform sisteme analogice stabile n sisteme discrete stabile (deci cerina I este ndeplinit); c) Este o transformare algebric simpl, funcia de transfer a filtrului digital obinndu-se din cea a filtrului analogic prin substituia:

    1

    1

    112)()(

    +==

    zz

    Tsa sHzH (4.11)

    Exist totui un neajuns al acestei metode constnd n transformarea

    neliniar a axei { }j a planului s n cercul de raz unitate jez = al planului Z. Pentru a evalua natura i mrimea neliniaritii se consider = js n relaia (4.10), fapt ce implic 1=z , adic jez = . Rezult:

    2

    tan22

    tan22

    tan11

    21 T

    Tj

    eeTj

    j

    j ===+=

    (4.12)

    Neliniaritatea implic restrngerea domeniului de aplicabilitate a metodei. Aceast metoda este indicat atunci cnd rspunsul sistemului analogic este constant n frecven sau este format din poriuni pe care este aproximativ constant. Nu poate fi aplicat deci pentru difereniatoare i filtre Bessel, deoarece transformarea nu conserv liniaritatea caracteristicii de amplitudine, respectiv a celei de faz. Se aplic cu succes la proiectarea FTJ, FTS, FTB, FOB, FTT.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    81

    4.2.3. Proiectarea indirect a filtrelor digitale RII folosind funcii MATLAB I. Proiectarea filtrelor analogice Funcia de transfer a unui filtru analogic de ordinul N este:

    MNsd

    sc

    sDsCsH N

    i

    ii

    M

    i

    ii

    a == =

    = ;)()()(

    0

    0