23
4. FILTRE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS 76 LUCRAREA 4 FILTRE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS 4.1. Introducere Filtrele cu răspuns infinit la impuls (RII) se dovedesc în anumite aplicaţii mai avantajoase decât filtrele RFI datorită faptului că pot realiza caracteristici de selectivitate excelente cu un ordin mult mai mic al funcţiei de transfer. Spre deosebire de filtrele RFI, filtrele RII nu pot avea caracteristica de fază liniară. Imposibilitatea realizării unei faze liniare are implicaţii în ceea ce priveşte proiectarea filtrelor RII, în sensul că aceasta presupune fie aproximarea simultană atât a specificaţiilor pentru caracteristica de amplitudine cât şi a celor referitoare la fază, fie corecţia ulterioară a distorsiunilor de fază în ipoteza că proiectarea s-a bazat numai pe aproximarea caracteristicii de amplitudine. Există un singur tip de filtru RII la care una din cele două caracteristici este constantă (filtrului trece tot - FTT). Filtrul RII este descris în domeniul timp prin ecuaţia cu diferenţe finite: ] [ ] [ ] [ 1 0 i n y a i n x b n y N i i M i i = = = (4.1) În această situaţie funcţia de transfer devine: = = + = N i i i M i i i z a z b z H 1 0 1 ) ( (4.2) în care s-a presupus că 1 0 = a .

PDS Lucrarea4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Filtre prelucrarea digitala a semnalelor

Citation preview

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    76

    LUCRAREA 4 FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS 4.1. Introducere Filtrele cu rspuns infinit la impuls (RII) se dovedesc n anumite aplicaii mai avantajoase dect filtrele RFI datorit faptului c pot realiza caracteristici de selectivitate excelente cu un ordin mult mai mic al funciei de transfer. Spre deosebire de filtrele RFI, filtrele RII nu pot avea caracteristica de faz liniar.

    Imposibilitatea realizrii unei faze liniare are implicaii n ceea ce privete proiectarea filtrelor RII, n sensul c aceasta presupune fie aproximarea simultan att a specificaiilor pentru caracteristica de amplitudine ct i a celor referitoare la faz, fie corecia ulterioar a distorsiunilor de faz n ipoteza c proiectarea s-a bazat numai pe aproximarea caracteristicii de amplitudine. Exist un singur tip de filtru RII la care una din cele dou caracteristici este constant (filtrului trece tot - FTT). Filtrul RII este descris n domeniul timp prin ecuaia cu diferene finite:

    ][][][10

    inyainxbnyN

    ii

    M

    ii =

    == (4.1)

    n aceast situaie funcia de transfer devine:

    =

    =

    += N

    i

    ii

    M

    i

    ii

    za

    zbzH

    1

    0

    1)( (4.2)

    n care s-a presupus c 10 =a .

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    77

    Proiectarea unui filtru digital RII const n determinarea coeficienilor ia i ib din expresia (4.2) astfel nct rspunsul la impuls al acestuia, ][nh , sau rspunsul n frecven, )( jeH , s aproximeze ntr-un anumit mod specificaiile n timp discret sau n frecven impuse la proiectare. Domeniul n care este rezolvat problema aproximrii (timp sau frecven) este determinat de aplicaia specific. Metodele de proiectare a filtrelor RII pot fi clasificate n dou categorii: 1. Metode indirecte bazate pe proiectarea n prealabil a unui filtru analogic i apoi transformarea acestuia ntr-unul digital; 2. Metode directe urmrind realizarea filtrelor digitale fr referire la un model analogic. Aceste metode se bazeaz pe utilizarea criteriilor de aproximare n domeniile timp sau frecven. 4.2. Proiectarea indirect a filtrelor RII Procedura cea mai frecvent utilizat de proiectare a unui filtru digital RII const n transformarea unui filtru analogic ntr-unul digital, echivalent ca performane. Aceast abordare prezint dou avantaje: a) exploateaz cunotinele i metodele de proiectare a filtrelor analogice; b) exist transformri care conserv proprietile de selectivitate ale modelului analogic. Pornind de la specificaiile referitoare la performanele filtrului digital, proiectarea acestuia necesit parcurgerea urmtoarelor etape: 1. Transformarea specificaiilor dorite pentru filtrul digital n specificaii impuse filtrului analogic prototip; 2. Obinerea funciei de transfer a filtrului analogic prototip astfel nct s se realizeze specificaiile deduse la punctul 1; 3. Transformarea funciei de transfer a filtrului analogic n funcia de transfer echivalent ca performane a filtrului digital. Dup obinerea funciei de transfer )(sH a a prototipului analogic trebuie gsit funcia de transfer )(zH a filtrului digital, operaie denumit frecvent discretizarea filtrului analogic. Aceasta necesit n domeniul timp trecerea de la variabila continu t la cea discret n, ceea ce implic pentru caracterizarea n frecven o transformare de la planul s la planul Z. Orice astfel de transformare trebuie s satisfac dou cerine fundamentale: I. S transforme un filtru analogic stabil ntr-unul digital de asemenea stabil; II. S conserve caracteristicile de selectivitate (de modul i eventual faz) ale filtrului analogic.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    78

    ndeplinirea primei cerine necesit transformarea semiplanului stng al planului s n interiorul cercului de raz unitate din planul Z, n timp ce ndeplinirea celei de-a doua cerine pretinde conversia liniar a axei { }j a planului s n conturul cercului de raz unitate ( jez = ) al planului Z. Procedurile utilizate pentru discretizarea funciei de transfer )(sH a satisfac cele dou cerine ntr-un mod mai mult sau mai puin satisfctor. Sunt cunoscute n literatura de specialitate 4 asemenea proceduri i anume: 1. Metoda transformrii ecuaiei difereniale ce leag semnalele de intrare i ieire ale prototipului analogic n ecuaia cu diferene finite necesar pentru caracterizarea n domeniul timp a filtrului digital; 2. Metoda invarianei rspunsului la impuls; 3. Metoda transformrii biliniare; 4. Metoda transformrii n z adaptate. n continuare vor fi prezentate procedurile 2 i 3 care satisfac integral cerina I i foarte bine (n anumite condiii) cerina II. n schimb rezultatele obinute cu metodele 1 i 4 sunt nesatisfctoare n ceea ce privete conservarea proprietilor de selectivitate pe un domeniu larg de frecven. 4.2.1. Metoda invarianei rspunsului la impuls

    Aceast metod se bazeaz pe conservarea rspunsului la impuls, n sensul c rspunsul la impuls al filtrului digital, notat ][nh este versiunea eantionat a rspunsului la impuls al filtrului analogic, notat )(tha . n continuare vor fi utilizate notaia F2= pentru a desemna domeniul frecven al filtrului analogic i notaia f 2= pentru a desemna domeniul frecven normat al filtrului digital. Procedura de obinere a filtrului digital prin metoda invarianei rspunsului la impuls necesit parcurgerea urmtoarelor etape: 1. Se descompune )(sH a n fracii elementare:

    = =N

    k k

    ka ss

    AsH

    1)( (4.3)

    2. Se determin rspunsul la impuls al filtrului analogic, )(tha :

    =

    = Nk

    ka Ath1

    )( =

    =

    N

    k

    tsk

    ktueA

    ssk

    1

    1 )(1 (4.4)

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    79

    3. Se determin funcia pondere a filtrului digital:

    )(][cu][)(][1

    nTununueATnTThnhN

    k

    nTska

    k === =

    (4.5)

    4. Se calculeaz funcia de transfer )(zH :

    = =

    =

    = =

    = =

    =

    == Nk

    Tsk

    nN

    k n

    Tsk

    n

    n

    N

    k

    nTsk

    n

    n zeTA

    zeATzeATznhzHk

    kk

    11

    1

    1

    00 10 1][)(

    (4.6) Efectund calculele se obin coeficienii ii ba , ai filtrului digital.

    Se demonstreaz c filtrul digital reproduce rspunsul n frecven al filtrului analogic pe intervalul de frecven

    ],[2

    ,2

    ss dac i numai dac sunt ndeplinite condiiile: )(][ nTThnh a= (4.7)

    TT == (4.8)

    Ma jH = la0)( (4.9)

    Metoda d rezultate bune pentru discretizarea filtrelor analogice al cror rspuns la impuls satisface (chiar aproximativ) condiia de semnal de band limitat (relaia (4.9)). Ca atare poate fi aplicat la proiectarea FTJ i FTB dar nu i la proiectarea FTS, FOB, FTT. Exist totui FTS, FOB, FTT obinute pe calea invarianei rspunsului la impuls, prin proiectarea unui prototip analogic de tip trece jos, discretizarea acestuia conform relaiei (4.7) i apoi transformarea filtrului digital trece jos ntr-unul trece sus sau oprete band, folosind transformri de frecven adecvate.

    n realitate funciile de transfer ale filtrelor analogice nu satisfac dect cu aproximaie condiia (4.9), ele existnd pe toat axa frecvenelor, fapt care conduce la efecte de aliere spectral. Uneori se utilizeaz un filtru analogic trece jos cu pant abrupt a caracteristicii de atenuare (denumit filtru de gard), conectat n cascad cu filtrul analogic prototip pentru a realiza condiia de rspuns n frecven de band limitat al filtrului rezultant.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    80

    4.2.2. Metoda transformrii biliniare

    Transformarea biliniar este o transformare de la planul s la planul Z care conserv forma algebric (funcie raional) a funciei de transfer. Este definit prin relaia (T reprezint perioada de eantionare):

    11

    1

    1

    11

    2112

    +=+

    =zzsT

    zz

    Ts (4.10)

    Avantajele metodei transformrii biliniare, care determin utilizarea cu precdere a acesteia pentru discretizarea prototipului analogic, constau n urmtoarele: a) Erorile de aliere inerente metodei invarianei rspunsului la impuls sunt eliminate deoarece ntreaga ax { }j a planului s este transformat n conturul cercului unitate din planul z; b) Transform sisteme analogice stabile n sisteme discrete stabile (deci cerina I este ndeplinit); c) Este o transformare algebric simpl, funcia de transfer a filtrului digital obinndu-se din cea a filtrului analogic prin substituia:

    1

    1

    112)()(

    +==

    zz

    Tsa sHzH (4.11)

    Exist totui un neajuns al acestei metode constnd n transformarea

    neliniar a axei { }j a planului s n cercul de raz unitate jez = al planului Z. Pentru a evalua natura i mrimea neliniaritii se consider = js n relaia (4.10), fapt ce implic 1=z , adic jez = . Rezult:

    2

    tan22

    tan22

    tan11

    21 T

    Tj

    eeTj

    j

    j ===+=

    (4.12)

    Neliniaritatea implic restrngerea domeniului de aplicabilitate a metodei. Aceast metoda este indicat atunci cnd rspunsul sistemului analogic este constant n frecven sau este format din poriuni pe care este aproximativ constant. Nu poate fi aplicat deci pentru difereniatoare i filtre Bessel, deoarece transformarea nu conserv liniaritatea caracteristicii de amplitudine, respectiv a celei de faz. Se aplic cu succes la proiectarea FTJ, FTS, FTB, FOB, FTT.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    81

    4.2.3. Proiectarea indirect a filtrelor digitale RII folosind funcii MATLAB I. Proiectarea filtrelor analogice Funcia de transfer a unui filtru analogic de ordinul N este:

    MNsd

    sc

    sDsCsH N

    i

    ii

    M

    i

    ii

    a == =

    = ;)()()(

    0

    0 (4.13)

    Rspunsul n frecven (la frecvene fizice) este funcia de sistem

    evaluat pe axa imaginar a planului s. Proiectarea unui filtru analogic const n determinarea coeficienilor ii dc , , care conduc la optimizarea ptratului modulului funciei de transfer 2)( jHa , n conformitate cu un anumit criteriu de minimizare a erorii dintre funcia dorit (funcia de aproximat) i cea realizat (funcia aproximant). Se lucreaz cu 2)( jHa (i nu cu )( jHa ) pentru c este o funcie raional. Dup determinarea lui 2)( jHa se exprim:

    )()()(

    )()(

    )()()()( 2

    22

    22 sGsEjH

    sDsC

    sDsCsHsH

    saaa

    ===

    = (4.14)

    i apoi se separ )(sHa astfel: - polii lui )(sH a sunt zerourile lui )(

    2sG localizate n semiplanul stng (determinare unic bazat pe stabilitatea filtrului);

    - zerourile lui )(sHa se obin din zerourile lui )(2sE prin distribuirea

    acestora din urm n mod egal ntre )(sC i )( sC , fr a separa perechile de zerouri complex conjugate, aceasta spre a obine )(sHa cu coeficieni reali. Determinarea lui )(sC nu este unic. Spre deosebire de poli, zerourile pot fi localizate i pe axa j dar numai cu ordin de multiplicitate par n

    )()( sHsH aa . Se vor prezenta n continuare pe scurt funciile de transfer i

    caracteristicile filtrele analogice de tip Butterworth, Cebev I, Cebev II i eliptice (Cauer), ce vor fi folosite apoi n proiectarea indirect a filtrelor digitale.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    82

    - Filtre analogice de tip Butterworth Rspunsul n frecven al unui filtru analogic trece jos de tip Butterworth de ordinul N i frecven de tiere t este dat de expresia:

    N

    t

    a jH 22

    1

    1)(

    +

    = (4.15)

    Acesta realizeaz o caracteristic de tip maxim plat la 0= n sensul c

    primele 12 N derivate sunt nule la 0= . La t= , indiferent de ordinul N, ptratul modulului este 1/2. Creterea lui N conduce ns la ngustarea zonei de tranziie. Caracteristica H ja ( ) 2 realizeaz o aproximare de tip maxim plat i la , pentru aceasta frecven toate derivatele fiind nule. - Filtre analogice de tip Cebev I Filtrele Cebev de tipul I sunt filtre polinomiale (de tipul numai cu poli), avnd o caracteristic de modul cu ripluri egale n banda de trecere i monoton descresctoare n banda de oprire. Dintre toate filtrele polinomiale de ordinul N, filtrele Cebev de tipul I au zona de tranziie cea mai ngust.

    Pentru un filtru analogic trece jos de tip Cebev I de ordinul N i cu frecvena limit superioar a benzii de trecere e , ptratul modulului funciei de transfer este dat de relaia:

    +

    =

    eN

    a

    CjH

    22

    2

    1

    1)(

    (4.16)

    n care )(xCN este polinomul Cebev de ordinul N :

    >

    =

    1,)coshcosh(

    1,)coscos()(

    1

    1

    xpentruxN

    xpentruxNxCN (4.17)

    n banda de oprire, caracteristica monoton descresctoare a modulului

    funciei de transfer realizeaz o aproximare de tip maxim plat a valorii ideale zero, deoarece toate derivatele sale se anuleaz pentru . Panta de cdere a caracteristicii este cu att mai mare cu ct ordinul filtrului este mai mare, iar

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    83

    pentru dou filtre de acelai ordin panta este mai abrupt pentru cel cu ripluri mai mari n banda de trecere. Performanele filtrului sunt complet precizate de parametrul ce fixeaz mrimea riplului n banda de trecere i de ordinul N ce determin abruptitudinea caracteristicii de modul (sau atenuare). - Filtre analogice de tip Cebev II Filtrele Cebev de tipul II realizeaz o aproximare n sens Cebev a modulului funciei de transfer n zona de oprire, modulul descrescnd monoton n zona de trecere. Se mai numesc i filtre invers Cebev deoarece, spre deosebire de filtrele Cebev de tipul I, inverseaz modul de aproximare a caracteristicii de modul (cu ripluri egale, respectiv maxim plat) n cele dou benzi.

    Pentru un filtru analogic trece jos de tip Cebev II de ordinul N i cu frecvena limit inferioar a benzii de oprire b , ptratul modulului funciei de transfer este dat de relaia:

    +

    =

    +

    =b

    N

    bN

    bN

    a

    C

    C

    CjH

    22

    22

    22

    2

    11

    11)(

    (4.18)

    n care C xN ( ) este polinomul Cebev de ordinul N (vezi relaia 4.17): - Filtre analogice de tip eliptic Filtrele eliptice (denumite i filtre Cauer) au o caracteristic de modul cu ripluri egale n ambele benzi de trecere i de oprire, motiv pentru care se mai numesc i filtre echiriplu. Aproximarea n sens Cebev a cerinelor filtrului trece jos ideal este extins la ambele benzi prin utilizarea funciei raionale Cebev )(NF .

    Pentru un filtru analogic trece jos de tip eliptic, de ordinul N, ptratul modulului funciei de transfer este dat de relaia:

    )(11)( 22

    2

    += Na FjH (4.19)

    unde funcia raional Cebev FN ( ) , introdus pentru prima dat de Cauer n teoria circuitelor liniare, se exprim astfel:

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    84

    =

    =

    =

    =

    =

    imparNpentruC

    parNpentruC

    FN

    i

    i

    i

    N

    i

    i

    i

    N

    ,

    ,

    )(

    21

    12

    402

    22

    2

    2

    12

    402

    22

    1

    (4.20)

    Dup cum se vede din aceast relaie, funcia )(NF are polii n numr egal cu zerourile i plasai simetric fa de acestea n raport cu frecvena 0 , definit ca medie geometric a frecvenelor limit de trecere i de oprire : be=20 . Filtrele eliptice sunt considerate optimale, n sensul c, pentru un acelai ordin N i aceleai frecvene limite e i b , realizeaz cele mai mici ripluri n benzile de trecere i de oprire comparativ cu toate celelalte tipuri de filtre.

    Datele de gabarit pentru filtrele analogice (exemplificare pentru un FTJ) Se consider c: - zona de trecere efectiv variaz ntre valoarea maxim 1 i valoarea minim

    t1 ; - zona de blocare variaz ntre 0 i b ; - tbe ,, reprezint n ordine frecvena de trecere efectiv, frecvena de

    oprire efectiv i frecvena de tiere teoretic, exprimate n radiani/secund. Uzual la proiectare aceste performane sunt date n dB, sub forma

    atenurii maxime n band de trecere efectiv, Ma i a atenurii minime n zona de oprire efectiv, ma :

    )( jHa

    b e b

    t1 1

    2/1

    t

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    85

    )1lg(20 tMa = (4.21) )lg(20 bma = (4.22) Atenie: Funciile MATLAB buttord, cheb1ord, cheb2ord i ellipord permit determinarea ordinului minim i a frecvenei de tiere pentru tipurile de filtre analogice prezentate anterior (n ordine: Butterworth, Cebev I, Cebev II i eliptice), pornind de la specificaiile de gabarit. Sintaxa general: [n,Wn]=nume_functie(Wp,Ws,Rp,Rs,s) nume_functie poate fi oricare dintre funciile buttord, cheb1ord, cheb2ord i ellipord;

    Rp reprezint dimensiunea riplului (exprimat n dB) din banda de trecere (atenuarea maxim din banda de trecere) iar Rs reprezint dimensiunea riplului (exprimat n dB) din banda de oprire (atenuarea minim din banda de oprire);

    Wp i Ws sunt frecvenele limit ale benzilor de trecere i de oprire; ele vor fi exprimate n radiani/secund i vor fi mai mari ca 1; n cazul filtrelor trece band i oprete band Wp i Ws vor fi vectori cu dou elemente;

    s indic faptul c este vorba de un filtru analogic; se vor returna: 1) ordinul minim n (vezi relaia (4.23)) al unui filtru analogic de tipul

    corespunztor dat de nume_functie, ce satisface condiiile de gabarit impuse prin Wp, Ws, Rp, Rs;

    2) frecvena de tiere Wn (frecvena la 3 dB) a aceluiai filtru; n cazul filtrelor trece band i oprete band Wn va fi un vector cu dou elemente deoarece aceste filtre prezint dou zone de tiere.

    Ordinul filtrului analogic n i frecvena sa de tiere Wn, ce constituie

    argumentele de ieire ale funciilor prezentate anterior, vor servi ca parametrii de intrare pentru o nou categorie de funcii MATLAB butter, cheby1, cheby2 i ellip care au drept rezultat chiar coeficienii funciei de transfer a filtrului analogic respectiv.

    n MATLAB, funcia de transfer a unui filtru analogic cu rspuns infinit la impuls de ordinul n este privit sub forma:

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    86

    H s B sA s

    b s b s b n s b ns a s a s a n s a n

    n n

    n n n( )( )( )

    ( ) ( ) ...... ( ) ( )( ) ( ) ...... ( ) ( )

    = = + + + + ++ + + + + +

    1 2 1

    2 3 1

    1

    1 2 (4.23)

    butter - Filtre analogice de tip Butterworth Sintaxe: [b,a] = butter(n,Wn,s) proiecteaz un filtru analogic trece jos de ordinul n cu frecvena de tiere Wn

    (frecvena este exprimat n radiani/secund ); se vor returna vectorii linie b i a de lungime n + 1 ce conin coeficienii funciei de transfer H s( ) a filtrului ( b = [ b b b n b n( ), ( ),......, ( ), ( )1 2 1+ ], a = [1 2 1, ( ),......, ( ), ( )a a n a n + ] ; vezi relaia (4.23) ); dac Wn este un vector cu dou elemente, Wn=[w1,w2], cu w1

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    87

    cheby2 - Filtre analogice de tip Cebev II Sintaxe: [b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,s) [b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,high,s) [b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,stop,s) rmn valabile aceleai considerente pentru parametrii de intrare i de ieire

    ca n sintaxele de la funcia butter; n plus apare parametrul de intrare Rs care reprezint dimensiunea riplului (exprimat n dB) din banda de oprire (atenuarea minim din banda de oprire).

    ellip - Filtre analogice de tip eliptic (filtre Cauer) Sintaxe: [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,s) [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,high,s) [b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,stop,s) rmn valabile aceleai considerente pentru parametrii de intrare i de ieire

    ca n sintaxele de la funcia butter; n plus apar parametrii de intrare Rp i Rs cu semnificaiile de la funciile cheby1 i cheby2.

    Atenie:

    Odat cu aflarea coeficienilor funciei de transfer a filtrului analogic putem considera ncheiate etapele 1 i 2 din cadrul proiectrii indirecte a filtrelor digitale RII (vezi seciunea 4.2.). Cea de a treia etap const n transformarea funciei de transfer a filtrului analogic n funcia de transfer echivalent ca performane a filtrului digital. Aceast ultim etap se efectueaz conform metodei de proiectare indirect aleas (poate fi oricare din cele 4 proceduri menionate vezi seciunea 4.2.). n cadrul seciunilor 4.2.1. i 4.2.2. au fost discutate pe larg dou din cele 4 metode: metoda invarianei rspunsului la impuls i metoda transformrii biliniare. Corespunztor acestor dou metode, n MATLAB exist funciile impinvar i bilinear ce vor fi prezentate n paragraful urmtor.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    88

    II. Transformarea funciei de transfer a filtrului analogic n funcia de transfer echivalent ca performane a filtrului digital

    Considerm urmtoarele forme de exprimare pentru: - funcia de transfer a unui filtru analogic:

    1

    1(1) (2) ( ) ( 1)( )(1) (2) ( ) ( 1)

    ( (1))( (2)) ( ( ))( (1))( (2)) ( ( ))

    m m

    n nb s b s b m s b mH sa s a s a n s a n

    s z s z s z mks p s p s p n

    + + + += =+ + + + =

    (4.24)

    - funcia de transfer a unui filtru digital:

    1 ( 1)

    1 ( 1)

    1 1 1

    1 1 1

    (1) (2) ( ) ( 1)( )(1) (2) ( ) ( 1)

    (1 (1) )(1 (2) ) (1 ( ) )(1 (1) )(1 (2) ) (1 ( ) )

    m m

    n nbd bd z bd m z bd m zH zad ad z ad n z ad n z

    zd z zd z zd m zkdpd z pd z pd n z

    + + + += =+ + + + =

    (4.25)

    impinvar - Metoda invarianei rspunsului la impuls Sintaxa: [bd,ad] = impinvar(b,a,Fs) vectorii b i a vor conine valorile coeficienilor numrtorului i respectiv

    numitorului funciei funciei de transfer a filtrului analogic: b = [ ])1(),2(),1( +mbbb , a = [ ])1(),2(),1( +naaa ; vezi relaia (4.24);

    Fs reprezint frecvena de eantionare exprimat n Hz; dac nu este precizat se alege n mod implicit Fs = 1Hz;

    ordinul numrtorului nu poate fi mai mare dect ordinul numitorului pentru funcia de transfer a filtrului analogic ( m n );

    vor rezulta vectorii linie bd i ad ce vor conine valorile coeficienilor numrtorului i respectiv numitorului funciei de transfer a filtrului digital: bd=[ ])1(),2(),1( +mbdbdbd , ad=[ ])1(),2(),1( +nadadad (relaia (4.25)).

    Atenie: Pentru variantele de MATLAB 4

    Funcia MATLAB impinvar face transformarea din domeniul analogic n domeniul discret considernd )(][ nThnh a= ceea ce difer de relaia teoretic (4.7). Este deci necesar o nmulire cu T = 1/Fs a vectorului bd obinut.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    89

    bilinear - Metoda transformrii biliniare Sintaxe: [bd,ad] = bilinear(b,a,Fs) vectorii linie b i a vor conine valorile coeficienilor numrtorului i

    respectiv numitorului funciei funciei de transfer a filtrului analogic: b = [ ])1(),2(),1( +mbbb , a = [ ])1(),2(),1( +naaa ; vezi relaia (4.24);

    Fs reprezint frecvena de eantionare exprimat n Hz; ordinul numrtorului nu poate fi mai mare dect ordinul numitorului pentru

    funcia de transfer a filtrului analogic ( m n ); vor rezulta vectorii linie bd i ad ce vor conine valorile coeficienilor

    numrtorului i respectiv numitorului funciei de transfer a filtrului digital: bd=[ ])1(),2(),1( +mbdbdbd , ad=[ ])1(),2(),1( +nadadad (relaia (4.25)).

    [zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,Fs) vectorii coloan z i p conin valorile zerourilor i polilor funciei de transfer

    a filtrului analogic iar valoarea k reprezint ctigul (z = [ ]z z z m( ), ( ), ( )1 2 , p = [ ]p p p n( ), ( ), ( )1 2 ; vezi relaia (4.24));

    Fs reprezint frecvena de eantionare exprimat n Hz; ordinul numrtorului nu poate fi mai mare dect ordinul numitorului pentru

    funcia de transfer a filtrului analogic ( m n ); vor rezulta vectorii coloan zd i pd ce conin valorile zerourilor i polilor

    funciei de transfer a filtrului digital i valoarea kd ce reprezint ctigul (zd = [ ])(),2(),1( mzdzdzd , pd = [ ])(),2(),1( npdpdpd ; vezi relaia (4.25));

    Exemple: 1. S se proiecteze prin metoda invarianei rspunsului la impuls un filtru digital trece jos de tip Butterworth, tiind c: - la frecvena 2kHzeF = atenuarea este mai mic de 1 dB, adic dB1=Ma ; - la frecvena 3kHzbF = atenuarea este mai mare de 20 dB, adic dB20=ma ; - frecvena de eantionare este 20kHzsF = . 2. Reluai problema precedent folosind metoda transformatei biliniare. Rezolvare 1. Se determin n primul rnd frecvenele limit normate ale benzilor de trecere i oprire:

    2 0,2ees

    FF

    = = i 2 0,3bbs

    FF

    = =

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    90

    innd cont de legtur dintre cele dou axe de frecven (vezi relaia (4.8)) se calculeaz pentru filtrul analogic:

    4000ee e ss

    FT = = = radiani/secund

    6000bb b ss

    FT = = = radiani/secund

    Fs=20000; we=2*pi*2/20; wb=2*pi*3/20; Oe=we*Fs; Ob=wb*Fs; Avem acum toi parametrii de intrare ai funciei buttord utilizat pentru determinarea ordinului filtrului analogic i a frecvenei sale de tiere (vezi sintaxa): [n,Wt]=buttord(Oe,Ob,1,20,s) n =

    8

    Wt = 1.4144e+004

    // ordinul filtrului analogic este n = 8 iar frecvena sa de tiere este egal cu 14144 radiani/secund (se observ c aceast valoare aparine ntr-adevr intervalului ],[ be ). Valorile n i Wt obinute reprezint parametrii de intrare pentru funcia butter ce va avea ca rezultat coeficienii funciei de transfer a filtrului analogic (vezi sintaxa i relaia (4.23)): [bs,as]=butter(n,Wt,s) bs = 1.0e+033 * Columns 1 through 7 0 0 0 0 0 0 0 Columns 8 through 9 0 1.6017

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    91

    as = 1.0e+033 * Columns 1 through 7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 8 through 9 0.0006 1.6017 Caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven ale filtrului analogic se pot vizualiza folosind funcia freqs (asemntor cu freqz); vezi help freqs. figure(1), freqs(bs,as) Aceti doi vectori, bs i as, rezultai n urma comenzii precedente, vor servi drept argumente de intrare pentru funcia impinvar ce va calcula valorile coeficienilor funciei de transfer a filtrului digital dorit (vezi sintaxa i relaiile (4.24) i (4.25)): [bd,ad]=impinvar(bs,as,Fs) bd = Columns 1 through 4 0.00000000000001 0.00000779825827 0.00057632592984 0.00354891171151 Columns 5 through 8 0.00454600814643 0.00143986570993 0.00009449298844 0.00000051475724 Column 9 0 ad = Columns 1 through 4 1.00000000000000 -4.47934964222873 9.26011521715720 -11.38583232119671 Columns 5 through 8 9.03786337833229 -4.71810555063958 1.57588822345554 -0.30701444261219 Column 9 0.02664905479100

    103 104 105-200

    -100

    0

    100

    200

    Frequency (radians)

    Pha

    se (d

    egre

    es)

    103 104 10510-10

    10-5

    100

    Frequency (radians)

    Mag

    nitu

    de

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    92

    Caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven ale filtrului digital se pot vizualiza folosind funcia freqz (vezi seciunea 2.2.3. din lucrarea 2): figure(2), freqz(bd,ad) Funcia pondere a filtrului se poate vizualiza folosind comanda impz (vezi seciunea 2.2.1. din lucrarea 2): figure(3),impz(bd,ad),grid Pentru a verifica pe cale grafic stabilitatea filtrului digital obinut (toi polii trebuie s fie n interiorul cercului de raz unitate) putem folosi funcia zplane (vezi seciunea 2.2.4. din lucrarea 2), vizualiznd numai valorile polilor funciei de transfer: figure(4),zplane(1,ad)

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-800

    -600

    -400

    -200

    0

    Normalized frequency (Nyquist == 1)

    Pha

    se (d

    egre

    es)

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-150

    -100

    -50

    0

    50

    Normalized frequency (Nyquist == 1)

    Mag

    nitu

    de R

    espo

    nse

    (dB

    )

    0 10 20 30 40 50 60 70-0.1

    -0.05

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Real part

    Imag

    inar

    y pa

    rt

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    93

    Rezolvare 2. Metoda transformatei biliniare presupune transformarea axei de frecven conform relaiei (4.12):

    2 tan 2 tan2 2

    e ee s

    s

    FT

    = =

    2 tan 2 tan2 2

    b bb s

    s

    FT

    = = Valorile pentru e i b sunt desigur aceleai ca n problema precedent. Fs=20000; we=2*pi*2/20; wb=2*pi*3/20; Oe=2*Fs*tan(we/2); Ob=2*Fs*tan(wb/2); Se vor urma aceiai pai ca n cazul metodei invarianei rspunsului la impuls, prezentat n problema precedent: [n,Wt]=buttord(Oe,Ob,1,20,s) [bs,as]=butter(n,Wt,s) [bd,ad]=bilinear(bs,as,Fs) Se observ c ordinul filtrului va fi n = 7, deci mai mic cu o unitate dect la metoda invarianei rspunsului la impuls. E1. Exerciii: 1. S se proiecteze prin metoda transformatei biliniare un filtru digital trece sus de tip Butterworth, tiind c: - la frecvena 2kHzbF = atenuarea este mai mare de 40dB; - la frecvena 4kHzeF = atenuarea este mai mic de 1dB; - frecvena de eantionare este 24kHzsF = . S se reprezinte grafic: - caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven ale filtrului analogic i

    ale filtrului digital obinut; - rspunsul la impuls al filtrului digital; - poziionarea n planul Z a polilor funciei de transfer a filtrului digital; Se poate realiza proiectarea i prin metoda invarianei rspunsului la impuls?

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    94

    2. Reluai problema 1 n cazul unui filtru de tip Cebev I. Comentai diferenele obinute. 3. Reluai problema 1 n cazul unui filtru de tip Cebev II. Comentai diferenele obinute. 4. Reluai problema 1 n cazul unui filtru de tip eliptic. Comentai diferenele obinute.

    5. Se consider un filtru trece jos de tip Butterworth, de ordinul 3, avnd frecvena de tiere kHz4=tF . S se determine funcia de transfer )(zH a filtrului digital obinut: a) prin metoda invarianei rspunsului la impuls; b) prin metoda transformrii biliniare. Se va considera frecvena de eantionare 40kHsF z= . S se reprezinte grafic: - caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven ale filtrului analogic i

    ale filtrului digital obinut; - rspunsul la impuls al filtrului digital; - poziionarea n planul Z a polilor funciei de transfer a filtrului digital; 6. Reluai problema 5 n cazul unui filtru de tip Cebev I cu o atenuare maxim n banda de trecere de 1dB. Comentai rezultatele obinute. 7. Reluai problema 5 n cazul unui filtru de tip Cebev II cu o atenuare minim n banda de oprire de 40dB. Comentai rezultatele obinute. 8. Reluai problema 5 n cazul unui filtru de tip eliptic cu o atenuare minim n banda de oprire de 40dB i o atenuare maxim n banda de trecere de 1dB. Comentai rezultatele obinute. 9. S se proiecteze prin metoda invarianei rspunsului la impuls un filtru digital trece band de tip Butterworth, tiind c: - la frecvenele 1 4kHzeF = i 2 6kHzeF = atenuarea este mai mic de 1dB; - la frecvenele 1 3kHzbF = i 2 7kHzbF = atenuarea este mai mare de 40dB; - frecvena de eantionare este 20kHzsF = . S se reprezinte grafic: - caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven ale filtrului analogic i

    ale filtrului digital obinut; - rspunsul la impuls al filtrului digital; - poziionarea n planul Z a polilor funciei de transfer a filtrului digital; Rezolvai problema folosind i metoda transformatei biliniare.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    95

    10. Reluai problema 9 n cazul unui filtru de tip Cebev I. Comentai diferenele obinute. 11. Reluai problema 9 n cazul unui filtru de tip Cebev II. Comentai diferenele obinute. 12. Reluai problema 9 n cazul unui filtru de tip eliptic. Comentai diferenele obinute. 13. S se proiecteze prin metoda transformatei biliniare un filtru digital oprete band de tip Butterworth, tiind c: - la frecvenele 1 3kHzeF = i 2 7kHzeF = atenuarea este mai mic de 1dB; - la frecvenele 1 4kHzbF = i 2 6kHzbF = atenuarea este mai mare de 40dB; - frecvena de eantionare este 20kHzsF = . S se reprezinte grafic: - caracteristicile amplitudine-frecven i faz-frecven ale filtrului analogic i

    ale filtrului digital obinut; - rspunsul la impuls al filtrului digital; - poziionarea n planul Z a polilor funciei de transfer a filtrului digital; Se poate realiza proiectarea i prin metoda invarianei rspunsului la impuls? 14. Reluai problema 13 n cazul unui filtru de tip Cebev I. Comentai diferenele obinute. 15. Reluai problema 13 n cazul unui filtru de tip Cebev II. Comentai diferenele obinute. 16. Reluai problema 13 n cazul unui filtru de tip eliptic. Comentai diferenele obinute. 17. S se proiecteze un filtru digital trece jos pornind de la un filtru analogic de tip Butterwoth de ordinul 2 i frecvena de tiere kHz5=tF . Frecvena de eantionare este kHz40=sF . Se vor folosi: a) metoda invarianei rspunsului la impuls; b) metoda transformrii biliniare. Reluai problema pentru cazul unui filtru trece sus. Ce observai?

    18. Fie filtrul analogic cu funcia de transfer 1

    11

    1)( 22

    ++++= ss

    ss

    sH . Convertii

    acest filtru analogic ntr-un filtru digital RII folosind metoda transformrii biliniare. Se tie c Ts = 0,5. Ce fel de filtru se obine?

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    96

    4.3. Proiectarea direct a filtrelor RII Metodele de proiectare din aceast categorie se bazeaz pe optimizare numeric i permit obinerea de filtre digitale ce aproximeaz un anumit rspuns n domeniul timp sau n domeniul frecven. Aceste metode presupun alegerea unui criteriu de minimizare a erorii de aproximare i utilizarea unui algoritm pentru determinarea coeficienilor funciei de transfer a filtrului (dac se lucreaz n domeniul frecven) sau a rspunsului la impuls (n cazul n care se lucreaz n domeniul timp).

    Funciile MATLAB buttord, cheb1ord, cheb2ord i ellipord prezentate n cadrul seciunii precedente, permit determinarea ordinului minim i a frecvenei de tiere a filtrelor digitale. n MATLAB, funcia de transfer a unui filtru digital RII de ordinul n este privit sub forma:

    nnnn

    znaznazazaznbznbzbb

    zAzBzH

    +++++++++++==

    )1()(......)3()2(1)1()(......)2()1(

    )()()( )1(21

    )1(1

    (4.26)

    Sintaxa general: [n,Wn]=nume_functie(Wp,Ws,Rp,Rs) nume_functie poate fi oricare dintre funciile buttord, cheb1ord, cheb2ord i ellipord;

    Rp reprezint dimensiunea riplului (exprimat n dB) din banda de trecere (atenuarea maxim din banda de trecere) iar Rs reprezint dimensiunea riplului (exprimat n dB) din banda de oprire (atenuarea minim din banda de oprire);

    Wp i Ws sunt frecvenele limit benzilor de trecere i de oprire; ele au valori cuprinse ntre 0 i 1, unde 1 corespunde jumtii frecvenei de eantionare, calculul fcndu-se astfel:

    Frecvena[Hz] / (Frecvenaeantionare[Hz]/2); n cazul filtrelor trece band i oprete band Wp i Ws vor fi vectori cu dou elemente;

    se vor returna: 1) ordinul minim n (vezi relaia (4.26)) al unui filtru digital de tipul

    corespunztor dat de nume_functie, ce satisface condiiile de gabarit impuse prin Wp, Ws, Rp, Rs;

    2) frecvena de tiere Wn (frecvena la 3 dB) a aceluiai filtru; n cazul filtrelor trece band i oprete band Wn va fi un vector cu dou elemente deoarece aceste filtre prezint dou zone de tiere.

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    97

    De asemenea, funciile MATLAB butter, cheby1, cheby2, ellip permit proiectarea direct a filtrelor digitale RII (pe baza aproximrii Cebev direct n domeniul digital). Sintaxele sunt asemntoare cu cele prezentate pentru cazul filtrelor analogice cu deosebirea c dispare parametrul de intrare s (care preciza c este vorba de un filtru analogic) iar frecvenele Wn au valori cuprinse ntre 0 i 1, unde 1 corespunde jumtii frecvenei de eantionare, calculul fcndu-se dup regula anterioar:

    Frecvena[Hz] / (Frecvenaeantionare[Hz]/2). Verificai sintaxele acestor funcii folosind comanda help. Atenie: n MATLAB exist i alte funcii ce permit proiectarea direct a filtrelor digitale RII: - prony proiectare prin metoda Prony; - stmcb proiectare folosind algoritmul Steiglitz-McBride; - yulewalk proiectare folosind o aproximare n sensul celor mai mici

    ptrate, bazat pe o variant modificat a ecuaiilor Yule-Walker. Verificai sintaxele acestor funcii folosind comanda help.

    E2. Exerciii: 1. Rezolvai problemele 1-4 i 9-16 din cadrul exerciiilor E1 prin proiectare direct cu ajutorul funciilor MATLAB prezentate. 2. Proiectai un filtru digital RII trece jos de tip Cebev 1 de ordinul 5, frecvena de tiere 2kHz=tF , 16kHz=SF , ripluri Rp=1dB, Rs=20dB. Aplicai la intrarea filtrului proiectat un semnal sinusoidal de frecven variabil ntre 100 Hz si FS/2 generat cu ajutorul funciei Matlab chirp (help chirp). Durata semnalului generat este de 2 secunde. ATENIE! la generarea argumentului t al funciei chirp trebuie s se in seama de frecvena de eantionare (t = 0:1/Fs:2).

    a) Reprezentai pe acelai figur, folosind subplot, trei grafice reprezentnd semnalele de la intrarea i ieirea filtrului i caracteristica amplitudine-frecven normat a filtrului proiectat.

    b) Reprezentai, folosind funcia spectrogram, spectrograma semnalelor de la intrarea i ieirea filtrului.

    3. Proiectai un filtru digital RII trece jos de tip Cabev 2 de ordinul 4, frecvena de tiere 0.5kHz=tF , frecvena de eantionare 16kHz=SF . Aplicai la intrarea filtrului proiectat un semnal audio eantionat cu FS citit dintr-un fiier wav cu ajutorul funciei Matlab wavread (help wavread).

  • 4. FILTRE CU RSPUNS INFINIT LA IMPULS

    98

    Tema de cas

    I. Proiectai n Matlab cte un filtru digital de tipul i cu parametri ca la

    problemele din exerciiul E1 cu metodele indirecte sau directe discutate. a) Determinai (dac este cazul) ordinul i frecvena de tiere la 3dB. b) Determinai coeficienii funciei filtrului analogic )(sHa (dac este cazul), i

    ai filtrului digital )(zH . c) Reprezentai grafic rspunsul n frecven i poziia polilor i a zerourilor

    pentru filtrul analogic (dac este cazul). d) Reprezentai grafic rspunsul n frecven i poziia polilor i a zerourilor

    pentru filtrul digital proiectat. e) Reprezentai grafic caracteristica amplitudine [dB] - frecven [Hz] a filtrului

    digital proiectat i determinai cu ajutorul zoom-ului i a cursorilor ctigul filtrului la frecvenele de tiere din tabel verificnd condiiile de gabarit impuse.

    II. Aplicai la intrarea filtrului proiectat un semnal sinusoidal de frecven variabil ntre 100 Hz si FS/2 generat cu ajutorul funciei Matlab chirp (>> help chirp). Durata semnalului generat este de 2 secunde. ATENIE! la generarea argumentului t al funciei chirp trebuie s se in seama de frecvena de eantionare (t = 0:1/Fs:2).

    c) Reprezentai pe acelai figur, folosind subplot, trei grafice reprezentnd semnalele de la intrarea i ieirea filtrului i caracteristica amplitudine-frecven normat a filtrului proiectat.

    d) Reprezentai, folosind funcia spectrogram, spectrograma semnalelor de la intrarea i ieirea filtrului.