TRIGONOMETRI XI IPA Triginometri XI IPA S1 MA 2 Pwt BAB III TRIGONOMETRI Standar Kompetensi :Standar Kompetensi : Menurunkan rumus trigonometri Menurunkan rumus

Matematikablogku.wordpress.com Triginometri XI IPA SMA 2 Pwt 1

BAB III

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :Standar Kompetensi :Standar Kompetensi :Standar Kompetensi : Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar :Kompetensi Dasar :Kompetensi Dasar :Kompetensi Dasar :

1.1.1.1. Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu.sudut tertentu.sudut tertentu.sudut tertentu. 2.2.2.2. MMMMenurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.enurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.enurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.enurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus. 3.3.3.3. Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinusMenggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinusMenggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinusMenggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus....

A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus Sin (α ± β )

Perhatikan gambar dibawah ini !

C β α b a A D B

Sin α = BC

BD → BD = BC sin α = a sin α

cos α = BC

CD → CD = BC cos α = a cos α

sin β = AC

AD → AD = AC sin β = b sinβ

cos β = AC

CD → CD = AC cos β = b cos β

Luas segitiga BCD = 2

1. BC.CD. sin α =

2

1. a.b cos β . sinα

Luas segitiga ADC = 2

1. AC.CD. sinβ =

2

1.b. a cosα sinβ


Luas segitiga ABC = 2

1. a.b ( sin α .cosβ + cosα sinβ ) ……………….. (1)

Luas segitiga ABC = 2

1.CB.CA sin (α +β ) =

2

1.a.b sin (α +β ) ………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) di dapat :

2

1.a.b sin (α + β ) =

2

1. a.b ( sin α .cosβ + cosα sinβ )

sin (α + β ) = sin α .cosβ + cosα sinβ

Dengan mengingat hubungan (–α ) dan α yaitu :

Sin (–α ) = – sin α

Cos (–α ) = cos α

Tan (–α ) = – tan α , maka :

Sin (α –β ) = sin (α +(–β ))

= sin α .cos(–β ) + cosα sin(–β )

= sin α .cosβ – cosα sinβ

Jadi, sin (α –β ) = sin α .cosβ – cosα sinβ

Contoh 1 :

Tanpa kalkulator atau tabel, hitunglah nilai dari :

a. sin 15o.

b. sin 75o

Jawab :

a. sin 75o = sin (45 + 30)o

= sin 45o.cos 30o + cos 45o sin 30o

= 22

1. 3

2

1 + 2

2

1.

2

1

= 64

1 + 2

4

1

= 4

1( 6 + 2 )


b. sin 15o = sin (45 – 30)o

= sin 45o.cos 30o – cos 45o sin 30o

= 22

1. 3

2

1 – 2

2

1.

2

1

= 64

1 – 2

4

1

= 4

1( 6 – 2 )

Latihan 1.

1. Jabarkan tiap bentuk berikut ini ! a. sin ( ao + bo) d. sin (ao – bo) b. sin ( x + y) e. sin (3a – 3b) c. sin ( 2x + y) f. sin (4p – 3q)

d. sin (2

1a +

2

1b) g. sin(2

1 a–21 b)

2. Sederhanakan bentuk dibawah ini ! a. sin 37ocos 23o + cos 37o sin 23o b. sin 75o cos 15o + cos 75o sin 15o c. sin 130o cos 15o + cos 130osin 15o d. sin 110o cos 50o – cos 110o sin 50o e. sin2a cos a – cos 2a sin a f. sin 8a cos 3a – cos 8a sin 3a 3. Buktikan bahwa :

a. sin (90o – oα ) = cos oα

b. sin (180o – oα ) = sin oα

c. sin (180o + oα ) = –sin oα

d. sin (270o + oα ) = – cos oα

e. sin (360o – oα ) = – sin oα 4. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator !

a. sin 165o d. sin 195o b. sin (–15o) e. sin 255o c. sin 105o f. sin (–75o)

5. Diketahui sin α = 5

3 dan cos β =

17

8 , α∠ lancip dan β∠ tumpul. Hitunglah nilai :

a. sin (α +β ) b. sin(α –β )

6. Jika α dan β adalah sudut – sudut lancip, dengan sin α = 5

4 dan sinβ =

13

12 , hitunglah :

a. sin (α +β ) b. sin(α –β ) 7. Buktikan bahwa :

a. βα

βαcoscos

)sin( + = tan α + tan β

b. βα

βαcoscos

)sin( − = tan α – tan β


c. )sin(

)sin(

ba

ba

−+

= ba

ba

tantan

tantan

−+

d. ba

ba

sinsin

)sin( + =

ba

ba

tan.tan

tantan +

8. Jika sin α = 5

4 , sin β =

25

7 (α dan β sudut lancip). Hitunglah :

a. sin (α +β ) b. sin(α –β ) 9. Hitunglah niali dari sin 105o – sin 15o ! 10. Hitunglah nilai dari sin2 195o!

11. Diketahui sin (a– b) = 5

1 dan sin a cos b =

25

7, hitunglah :

a. cos a sin b

b. b

a

tan

tan

12. Jika sin (α + 30) = sin α , buktikan bahwa tan α = 2 + 3 ! 13. Buktikan : sin (α +β ) sin(α –β ) = sin2α – sin 2 β

14. Diketahui sin a = 2

1 , sin (a + b) =

3

2 , dan sin ( a – b) =

5

3. Hitunglah nilai tan b.

15. Buktikan bahwa : sin α + sin (α + π32 ) + sin (α + π3

4 ) = 0

2. Rumus Cos (α ± β )

Dengan mengingat hubungan antara (90 –α ) dan α yaitu :

Sin (90 –α ) = cos α

Cos (90 –α ) = sinα

Tan (90 –α ) = tanα , maka :

Cos (α +β ) = sin { ( 90o – (α + β )}

= sin {(90 –α ) – β }

= sin (90o –α ) cosβ – cos (90o –α ) sin β

= cosα .cosβ – sinα sin β

Jadi,

Cos(α +β ) = cosα .cosβ – sinα sinβ


Dengan mengingat hubungan (–α ) dan α yaitu :

Sin (–α ) = – sin α

Cos (–α ) = cos α , maka :

Cos (α –β ) = cos (α +(–β ))

= cosα .cos(–β ) – sinα sin(–β )

= cosα .cosβ + sinα sinβ

Jadi,

Cos(α –β ) = cosα .cosβ + sinα sinβ

Contoh : 2

Hitunglah nilai cos 15o tanpa menggunakan tabel dan kalkulator!

Jawab :

Cos 15o = cos(45o – 30o)

= cos 45o cos 30o + sin45o sin 30o

= 22

1. 3

2

1 + 2

2

1.

2

1

= 64

1 + 2

4

1

= 4

1( 6 + 2 )

Contoh : 3

Diketahui sin A = 5

3 dan sin B =

25

7. Sudut-sudut A dan B lancip. Tunjukkan bahwa cos(A+B) =

5

3

Jawab :

5 3 25 7

A B

4 24

Sin A = 5

3 → cos A =

5

4

Sin B = 25

7→ cos B =

25

24


cos (A + B ) = cos A cos B – sin A sin B

= 5

4.25

24 –

5

3.25

7

= 125

96 –

125

21

= 125

75

= 5

3

Latihan 2. 1. Jabarkan tiap bentuk berikut ini ! a. cos ( ao + bo) d. cos (ao – bo) b. cos ( x + y) e. cos (3a – 3b) c. cos ( 2x + y) f. cos (4p – 3q)

d. cos (21

a + 2

1b) g. cos (2

1 a–21 b)

2. Sederhanakan bentuk dibawah ini ! a. cos 37ocos 23o + sin 37o sin 23o b. cos 75o cos 15o + sin 75o sin 15o c. cos 130o cos 15o + sin 130osin 15o d. cos 110o cos 50o – sin 110o sin 50o e. cos 2a cos a – sin 2a sin a f. cos 8a cos 3a – sin 8a sin 3a 3. Buktikan bahwa :

a. cos (90o – oα ) = sin oα

b. cos (180o – oα ) = – cos oα

c. cos (180o + oα ) = – cos oα

d. cos (270o + oα ) = sin oα

e. cos (360o – oα ) = cos oα 4. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator !

a. cos 165o d. cos 195o b. cos (–15o) e. cos 255o c. cos 105o f. cos (–75o)

5. a) Diketahui sin α = 5

3 dan cos β =

17


(i) . cos (α + β ) (ii). cos (α –β )

b) Ulangi pertanyaan- pertanyaan a) , jika cosα = 5

4 dan tanβ =

12

5

6. Jika α dan β adalah sudut – sudut lancip, dengan sin α = 5

4 dan sinβ =

13

12 , hitunglah :

a. cos (α + β ) b. cos(α –β )


7. Buktikan bahwa : a) cos(α + β ) . cos(α –β ) = 1 – ( sin2α + sin2 β ).

b) cos(α +β ) . cos(α –β ) = (cos2α + cos2 β ) – 1

c) cos(α + β ) . cos(α –β )= cos2α – sin2 β )

d) cos(α +β ) . cos(α –β )= cos2 β – sin2α ) 8. Buktikan bahwa :

a) cos α + cos (α + π3

2) + cos(α + π

3

4) = 0 !

b) cos x – cos(x – 120)o – cos(x – 240)o = 2 cos xo.

9. Diketahui : 2 cos (α +β ) = cos(α –β ). Buktikan bahwa tan α tan β = 3

1!

10. Diketahui : tan α = 4

3 dan tan β =

7

1 dengan α dan β sudut lancip.

Buktikan bahwa cos (α +β ) = 22

1!

11. Diketahui cos (x + 3

π) = cos x , hitunglah nilai :

a) tan x b) cos x c) sin x 12. Diketahui : p = cos α – cos β dan q = sin α – sin β .

Tunjukkan bahwa p2 + q2 = 2 – 2 cos(α –β ) 13. Diketahui persamaan w cos(x – 45o) + F cos(x + 45o) = 0 Buktikan bahwa :

F = 1tan

)1(tan

x

xw +

14. Buktikan : )sin()sin(

)cos()cos(

βαβαβαβα

−++−++

= cotanα

15. Pada segitiga ABC lancip dengan sudut α , β dan γ berlaku sinα = 5

3 dan cosβ =

2

1, tentukan nilai

cos γ .

3. Rumus Tan (α ± β )

tan (α +β ) = )cos(

)sin(

βαβα

++

= βαβαβαβα

sinsincoscos

sincoscossin

−+

( Pembilang dan penyebut kita bagi cosα cosβ )


=

βαβα

βαβα

βαβα

βαβα

coscos

sinsin

coscos

coscoscoscossincos

coscoscossin

−

+

= βαβα

tantan1

tantan

−+

Jadi ,

tan (α + β ) = βαβα

tantan1

tantan

−+

Demikian juga untuk tan (α - β )

tan (α - β ) )cos(

)sin(

βαβα

−−

= βαβαβαβα

sinsincoscos

sincoscossin

+−

( Pembilang dan penyebut kita bagi cosα cosβ )

=

βαβα

βαβα

βαβα

βαβα

coscos

sinsin

coscos

coscoscoscos

sincos

coscos

cossin

+

−

= βαβα

tantan1

tantan

+−

Jadi ,

tan (α –β ) = βαβα

tantan1

tantan

+−

Contoh : 4

Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator :

a. tan 15o

b. tan 75o

Jawab :

a. tan 15o = tan (45o – 30o)

= oo

oo

30tan45tan1

30tan45tan

+−


=

33

1.11

33

11

+

− =

3

333

33

+

−

= 33

33

33

33

−−×

+−

= 39

3369

−+−

= 2 – 3

b. tan 75o = tan (45 + 30)o

= oo

oo

30tan45tan1

30tan45tan

−+

=

33

1.11

33

11

−

+

=

3

333

33

−

+

= 33

33

33

33

++×

−+

= 39

3369

−++

= 2 + 3

Contoh : 5

Diketahui tan a = 0,75 , tan b = 2,4 , a dan b sudut lancip. Hitunglah nilai :

a. tan (a – b)

b. tan (a + b)

Jawab :

a. tan(a – b) = ba

ba

tan.tan1

tantan

+−

= 4,2.75,01

4,275,0

+−

= 8,11

65,1

+−

= 8,2

65,1− = –

56

33

b. tan (a + b) = ba

ba

tan.tan1

tantan

−+

= 4,2.75,01

4,275,0

−+

= 8,11

15,3

− =

8,0

15,3

− = –

80

315= –

16

63


Latihan 3

1. Jabarkan tiap bentuk berikut ini ! a. tan ( ao + bo) d. tan (ao – bo) b. tan ( x + y) e. tan (3a – 3b) c. tan ( 2x + y) f. tan (4p – 3q)

d. tan (2

1a +

2

1b) g. tan (2

1 a–21 b)

2. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator:

a. tan 15o d. tan 195o b. tan (–15o) e. tan 255o c. tan 105o f. tan (–75o)

3. Jika diketahui tanα = 2 dan tanβ = 3 , hitunglah :

a. tan (α +β ) b. tan (α –β )

4. Jika α dan β sudut- sudut lancip, tanα = 6

5 dan tanβ =

11

1 , buktikan bahwa α +β = π

4

1.

5. a) Diketahui sin α = 5

3 dan cos β =

17


(i) . tan (α +β ) (ii). tan (α –β )

b) Ulangi pertanyaan- pertanyaan a) , jika cosα = 5

4 dan tanβ =

12

5

6. Jika tan 20o = p , hitunglah oo

oo

25tan40tan1

25tan40tan

−+

!

7. Buktikan bahwa : tan (π4

1 +α ) =

αααα

sincos

sincos

−+

!

8. Jika tanα = 2

1 dan tanβ =

3

1 , buktikan bahwa tan (α + β ) = 1. Hitunglah nilai tan (α –β )!

9. Dalam segitiga ABC diketahui cos C = 61

6 dan tan A tan B = 4. Hitunglah :

a. tan (A + B) b. tan A + tan B

10. Jika

)4

tan(

)4

tan(

A

A

+

−

π

π

= 4

1, tunjukkan bahwa : tan A =

3

1 atau tan A = 3.


Tes Formatif 1 Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Nilai sin 110o = …. a. sin 20o d. cos 10o b. cos 20o e. cos 70o c. sin 10o 2. Nilai dari tan 345o = …

a. 2 – 3 d. 2 3 + 2

b. 2 + 3 e. 2 3 – 2

c. 3 – 2 3. Jika tan α = 3 tan β , maka tan (α – β ) adalah …

a. β

β2tan31

tan4

− d.

βββ

22 tan2sec

tan2

+

b. β

β2tan21

tan2

+ e.

αα

2tan31

tan2

−

c. α

α2tan31

tan4

−

4. Dalam segitiga lancip ABC diketahui sin C = 13

2. Jika tan A tan B = 13 , maka tan A + tan B = …

(UMPTN 2001) a. –18 d. 8 b. – 8 e. 18

c. 3

20

5. Diketahui cos(A–B) = 9

8 dan cosAcosB =

3

2. Nilai tan A tan B = …

a. –3 d. 3

1

b. –3

1 e. 3

c. 4

1

6. Jika sin α = 5

4 dan cosβ = –

13

12 , denganα sudut tumpul dan β sudut dikuadran III, maka nilai cos

(α –β ) adalah ….

a. –65

24 d. –

65

96

b. 65

16 e. –

13

3

c. 65

96


7. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q. Jika sin(Q+P) = r, maka cos P – sin R = … (UMPTN 2001) a. –2r d. r b. –r e. 2r c. 0

8. Diketahui A dan B dikuadran II, sin A = 5

4 dan cos B = –

13

5, maka nilai cos(A–B) = …

a. – 65

33 d.

65

56

b. 65

16 e.

65

63

c. 65

33

9. Bila besar sudut dalam segitiga ABC adalah 180o, diketahui sin B = 5

3 dan sin C =

13

12 , maka nilai sin A

adalah …

a. – 65

33 d.

65

56

b. 65

16 e.

65

63

c. 65

33

10. Pada segitiga ABC diketahui A – B = 30o dan sin A. cos B = 0,7. Nilai sin C = … a. 0,3 d. 0,8 b. 0,4 e. 0,9 c. 0,6

B. RUMUS – RUMUS SUDUT RANGKAP

1. Dari rumus sin (α + β ) = sin α .cosβ + cosα sinβ

Jika β diganti dengan α maka didapat :

sin (α +α ) = sin α .cosα + cosα sinα

sin 2α = 2 sin α .cosα

Jadi ,

sin 2α = 2 sin α .cosα

2. Dari rumus cos(α +β ) = cosα .cosβ – sinα sinβ


cos(α +α ) = cosα .cosα – sinα sinα

cos 2α = cos2α – sin2α


Jadi ,


Dari sin2α + cos2α = 1 → cos2α = 1 – sin2α maka didapat pula :

cos 2α = 1 – sin2α – sin2α

= 1 – 2 sin2α

Jadi,

cos 2α = 1 – 2 sin2α atau sin2α = 2

1(1 – cos 2α )

⇔ sin α = )2cos1(21 α−±

sin2 21

α = 2

1(1 – cos α )

⇔ sin 21

α = )cos1(21 α−±

Dari sin2α + cos2α = 1 → sin2α = 1 – cos2α maka didapat pula


= cos2α – (1 – cos2α )

= 2 cos2α – 1

Jadi,

cos 2α = 2 cos2α – 1 atau cos2α = 2

1(1 + cos 2α )

⇔ cos α = )2cos1(21 α+±

cos2 21

α = 2

1(1 + cos α )

⇔ cos 21

α = )cos1(21 α+±


3. Dari Rumus Tan (α +β ) = βαβα

tantan1

tantan

−+


Tan (α +α ) = αααα

tantan1

tantan

−+

Tan 2α = α

α2tan1

tan2

− atau tanα =

αα

212

21

tan1

tan2

−

Contoh : 6

Diketahui sin a = 5

4 dan a sudut lancip , tentukan :

a. sin 2a b. cos 2a c. tan 2a

Jawab :

Sin a = 5

4 , berarti cos a =

5

3 dan tan a =

3

4

5 4

a 3

a. sin 2a = 2 sin a cos a = 2. 5

4.

5

3 =

25

24

b. cos 2a = co2a – sin2a = (5

3)2 – (

5

4)2 = –

25

7

c. tan 2a = a

a2tan1

tan2

− =

2)3

4(1

)3

4(2

− =

9

161

3

8

− =

9

73

8

− = –

7

24

Contoh : 7

Jika tan a = p dan a sudut lancip. Tentukan nilai :

a. sin 2a

b. cos 2a

c. tan 2a


Jawab :

12 +p p

a 1

Dengan demikian didapat nilai sin a = 12 +p

p dan cos a =

1

12 +p

a. sin 2a = 2 sina cos a

= 2 12 +p

p.

1

12 +p

= 1

22 +p

p

b. cos 2a = co2a – sin2a = 1

12 +p

– 12

2

+p

p =

2

2

1

1

p

p

+−

c. tan 2a = a

a2tan1

tan2

− =

21

.2

p

p

−

Latihan 4

1. Gunakan rumus trigonometri sudut ganda untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri yang diberikan berikut ini !

a. sin 60o c. tan 60o b. cos 120o d. sin 240o

2. Diketahui sinα = 13

12 (α sudut lancip) , hitung :

a. sin 2α b. cos 2α c. tan 2α 3. Sederhanakan dengan rumus, kemudian hitunglah nilainya ! a. 2 sin222

1 o cos 2221 o e. sin215o – cos215o

b. 4 sin 15o cos 15o f. 1 – 2 sin267 21 o

c. cos2 30o – sin2 30o d. 2 cos260o – 1

4. Jika tan α = 4

1 dan tanβ =

6

1 ( α danβ sudut lancip), hitunglah :

a. tan 2α b. tan 2β c. tan (2α + β ) d. tan (α +2β ) 5. Diketahui tan 2

1 x = a, hitung :

a. tan x b. cos x c. tan x d. tan 2x 6. Buktikan identitas berikut ini ! a. (sin a + sin a)2 = 1 + sin 2a b. (2 cos a –1)(2cos a + 1) = 2 cos 2a + 1


c. a

a

2cos1

2sin

+ = tan a

d. tan(a + 45)o = a

a

2cos

2sin1+

e. x

x2tan1

tan2

+ = sin 2x

7. Nyatakanlah : a. sin 3a dalam sin a d. tan 3a dalam tan a b. cos 3a dalam cos a e. cotg 3a dalam cotg a 8. a. Diketahui sin a = 0,8 ( a sudut lancip) , hitunglah sin 3a dan cos 3a b. Diketahui cotan a = 2 ( a sudut lancip), hitunglah tan 3a dan cotan 3a ! 9. Hitunglah tanpa daftar tabel atau kalkulator! a. tan 222

1

b. tan 5221

c. tan 8221

10. Jika sin x + cos x = p maka hitunglah a. sin2x + cos2x b. sin3x + cos3x 11. Jika x = a tan α dan y = a tan 2α , buktikan y(a2 – x2) = 2a2x !

12. Jika tan a = – 2

1 dan ππ << a

2 , hitunglah nilai dari :

a. sin 4a b. cos 4a c. tan 4a

13. Jika cos 2α = – 9

7 dan α sudut tumpul, hitunglah nilai dari :

a. cos α b. sin α c. tan α 14. Hitunglah nilai positif tan α jika :

a. tan 2α = 3

4 b. tan 2α =

7

24

15. a. Tunjukkan bahwa sin (8

π) = 22

2

1 −

b. Hitunglah tan (8

π).

PENDALAMAN KONSEP

1. Buktikanlah : xx

xx

2sinsin2

2sinsin2

+−

= tan221

2. Jika cos(x – 4

π) = 2 cos(x +

4

π), tentukan nilai :

a. tan x d. tan 2x b. sin x e. sin 2x c. cos x f.. cos 2x


3. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator! a. cos 56o + sin 56o tan 28o b. sin 18o sin 54o c. cos 70o + sin 70o tan 35o

4. Buktikan : a

a

2sin

2cos1− = tan a

5. Buktikan : sin a = a

a

212

21

tan1

tan2

+

Tes Formatif 2 Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Bentuk cos 8x + 1 ekuivalen dengan bentuk … (Ebtanas 2000) a. – 2 sin24x d. 2 cos216x b. 2 sin2 4x e. 2 cos24x c. 2 sin216x 2. Bentuk cos 6x ekuivalen dengan …. a. 2 sin23x – 1 d. sin23x – cos23x b. 1 – 2 sin23x e. 6 cos2x – 1 c. 1 – 2 cos23x 3. Nilai cos215o – sin215o adalah ….

a. 2

1 d. 2

b. 22

1 e. 1

c. 32

1

4. Jika cos A = 13

12 dan A sudut lancip, maka tan 2A adalah …

a. 119

120 d.

119

169

b. 119

119 e.

120

169

c. 120

119

5. Bila sin x – cos x = 2

1, maka sin 2x adalah ….

a. – 4

3 d.

4

1

b. 4

3 e. –

4

1

c. – 2

1


6. Jika α sudut lancip dan sinα2

1 =

x

x

2

1− maka tan α = …

a. x

x 12 − d.

x

1

b. x

x 1− e. x

c. 12 −x

7. Diketahui cotan y = 2

5 dan y sudut lancip. Nilai sin 2y adalah …

a. 20

29 d.

29

5

b. 29

20 e.

29

2

c. 29

2

8. Jika θ

θsin1

cos

− = a untuk

2

πθ ≠ maka tan 2

θ = …

a. 1

1

+a d.

1

1

+−

a

a

b. 1+a

a e.

1−a

a

c. 1

1

−+

a

a

9. Diketahui )cos(

)cos(

yx

yx

−+

= – 5

2 dan tan y =

5

7. Nilai tan 2x adalah … (UAN 2002)

a. – 8

15 d.

3

10

b. –16

15 e.

15

98

c. 5

6

10. Jika a sudut lancip yang memenuhi 2 cos2a = 1 + 2 sin 2a, maka tan a = … (UMPTN 2001)

a. 2 + 5 d. 5 – 2

b. 2 + 3 e. 3 – 1

c. 2 – 3


C. RUMUS – RUMUS UNTUK ( SIN A ± SIN B) DAN (COS A ± SIN B)

Dari rumus :

sin (α +β ) = sin α .cosβ + cosα sinβ …………………… (1)

sin (α –β ) = sin α .cosβ – cosα sinβ ………………….... (2)

+

sin (α +β ) + sin (α –β ) = 2 sin α .cosβ ……………………. (3)

sin (α +β ) = sin α .cosβ + cosα sinβ …………………… (1)

sin (α –β ) = sin α .cosβ – cosα sinβ ………………….... (2)

–

sin (α +β ) – sin (α –β ) = 2 cos α .sinβ ……………………. (4)

Jika : α +β = P α +β = P

α –β = Q α –β = Q

+ –

2α = P + Q 2β = P – Q

α = )(2

1QP + β = )(

2

1QP −

Maka bentuk persamaan (3) dan (4) menjadi :

Sin P + sin Q = 2 sin )(2

1QP + cos )(

2

1QP −

Sin P – sin Q = 2 cos )(2

1QP + sin )(

2

1QP −

Demikian pula dari rumus :

cos(α + β ) = cosα .cosβ – sinα sinβ ……………………. (1)

cos(α –β ) = cosα .cosβ + sinα sinβ …………………….. (2)

+

cos(α + β ) + cos(α –β ) = 2 cosα .cosβ …………………. (3)


cos(α + β ) = cosα .cosβ – sinα sinβ ……………………. (1)

cos(α –β ) = cosα .cosβ + sinα sinβ …………………….. (2)

–

cos(α + β ) – cos(α –β ) = –2 sinα .sin β …………………. (4)

Jika : α +β = P α +β = P

α –β = Q α –β = Q

+ –

2α = P + Q 2β = P – Q

α = )(2

1QP + β = )(

2

1QP −

Maka bentuk persamaan (3) dan (4) menjadi :

cos P + cos Q = 2 cos )(2

1QP + cos )(

2

1QP −

cos P – cos Q = – 2 sin )(2

1QP + sin )(

2

1QP −

Jadi, untuk rumus ( sin P ± sin Q ) dan ( cos P ± cos Q ) diperoleh :

1. sin P + sin Q = 2 sin )(2

1QP + cos )(

2

1QP −

2. sin P – sin Q = 2 cos )(2

1QP + sin )(

2

1QP −

3. cos P + cos Q = 2 cos )(2

1QP + cos )(

2

1QP −

4. cos P – cos Q = – 2 sin )(2

1QP + sin )(

2

1QP −


Contoh :8

Nyatakan bentuk sin 8x + sin 4x dalam bentuk perkalian.

Jawab :

sin 8x + sin 4x = 2 sin )48(cos)48( 21

21 xxxx −+

= 2 sin )12(21 x cos )4(2

1 x

= 2 sin 6x cos 2x

Contoh : 9

Hitunglah bentuk : cos 105o – cos 15o

Jawab :

cos 105o – cos 15o = – 2 sin 21 (105o+15o) sin 2

1 (105o–15o)

= – 2 sin 21 (120o) sin 2

1 (90o)

= – 2 sin 60o sin 45o

= – 2 ( 32

1)( 2

2

1)

= – 62

1

Contoh : 10

Hitunglah cos 195o + cos 105o .

Jawab :

cos 195o + cos 105o = 2 cos )105195(2

1cos)105195(

2

1 oooo −+

= 2 cos 150o cos 45o

= 2( 32

1).( 2

2

1)

= 62

1


Latihan 5 1. Hitunglah tanpa menggunakan tabel dan kalkulator ! a. cos 105o – cos 15o b. sin 75o + sin 15o c. sin 105o – sin 15o

d. oo

oo

15sin75sin

15cos75cos

−+

e. oo

oo

15sin75sin

15cos75cos

+−

2. Nyatakan bentuk berikut- bentuk dalam bentuk perkalian. a. sin x + sin y b. sin 5x + sin x c. sin 6x – sin 4x d. cos a + cos b e. cos 9a – cos 7a

f. cos a + cos 2a + cos 3a 3. Jika x = sin 3p + sin p dan y = cos 3p + cos p , buktikan bahwa : a. x + y = 2 cos p ( sin 2p + cos 2p) b. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2x

c. y

x = tan 2a

4. Buktikan identitas berikut!

a. xx

xx

2cos6cos

2sin6sin

++

= tan 4x

b. aa

aa

5cos7cos

5sin7sin

+−

= tan a

c. xx

xx

3coscos

3sinsin

++

= tan 2x

d. pp

pp

cos3cos

sin3sin

+−

= – cotan 2p

5. Hitunglah :

a. oo

oo

171sin69sin

21sin81sin

++

b. oo

oo

44cos76cos

14sin46sin

+−

6. Tunjukkan bahwa :

a. sin 45o – sin 15o = 3 sin 15o

b. sin 110o + sin 10o = 3 cos 50o

c. sin 65o – sin 25o = 2 sin 20o d. cos 80o + cos 40o = cos 20o

7. Jika sin α = 5

3 dengan α di kuadran I , tentukan nilai sin 3α + sin α .


8. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini untuk 0o ≤ x ≤ 360o.

a. sin x + sin(x–60o) = 32

1

b. cos(x+90o) + cos(x–30o) = – 2

1

c. cos(2x + 90o) – cos(2x–90o) = 1

9. Diketahui sinα cosα = 25

8. Hitunglah nilai

αsin

1 –

αcos

1.

10. Buktikan : aaa

aaa

4cos2cos6cos

4sin2sin6sin

−+−+

= tan 4a

11. Buktikan bahwa :

a. tan x + tan y = yx

yx

cos.cos

)sin( +

b. tan x – tan y = yx

yx

cos.cos

)sin( −

D. RUMUS-RUMUS PERKALIAN SINUS DAN COSINUS

1. Dari rumus :

sin (α +β ) = sin α .cosβ + cosα sinβ

sin (α –β ) = sin α .cosβ – cosα sinβ

+

sin (α +β ) + sin (α –β ) = 2 sin α .cosβ

Jadi, 2 sin α .cosβ = sin (α + β ) + sin (α –β )

2. Dari rumus :

sin (α +β ) = sin α .cosβ + cosα sinβ

sin (α –β ) = sin α .cosβ – cosα sinβ

–

sin (α +β ) – sin (α –β ) = 2 cos α .sinβ

Jadi, 2 cos α .sinβ = sin (α +β ) – sin (α –β )


3. Dari rumus :

cos(α + β ) = cosα .cosβ – sinα sinβ

cos(α –β ) = cosα .cosβ + sinα sinβ

+

cos(α + β ) + cos(α –β ) = 2 cosα .cosβ

Jadi, 2 cosα .cosβ = cos(α +β ) + cos(α –β )

4. Dari rumus :

cos(α + β ) = cosα .cosβ – sinα sinβ

cos(α –β ) = cosα .cosβ + sinα sinβ

–

cos(α + β ) – cos(α –β ) = –2 sinα .sin β

Jadi, –2 sinα .sin β = cos(α +β ) – cos(α –β ) atau

2 sinα .sin β = cos(α –β ) – cos(α + β )

Contoh : 11

Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus!

a. 2 sin 3a cos a

b. 4 cos 3x sin y

c. 4 cos(x+y)cos(x-y)

d. Sin40o sin 10o

Jawab :

a. 2 sin 3a cos a = sin(3a+a) + sin (3a–a) = sin 4a + sin 2a

b. 4 cos 3x sin y = 2[2 cos 3x sin y] = 2[sin(3x+y) – sin(3x–y)]

c. 4 cos(x+y)cos(x-y) = 2[2 cos(x+y) cos(x–y)]

= 2[ cos(x+y+x–y) + cos(x+y–x+y)]

= 2(cos 2x + cos 2y)


d. Sin40o sin 10o = –2

1(-2 sin40o sin 10o)

= – 2

1( cos (40o+10o) – cos(40o–10o))

= –2

1( cos 50o – cos 30o)

Contoh 12.

Hitunglah :

a. 2 cos 75o cos 15o

b. 4 cos 105o sin 75o

c. cos 105o sin 15o

d. 2 sin 195o sin 15o

Jawab :

a. 2 cos 75o cos 15o = cos (75 + 15)o + cos(75 – 15)o

= cos 90o + cos 60o

= 0 + 2

1

= 2

1

b. 4 cos 105o sin 75o = 2[2 cos 105o sin 75o] = 2[ sin (105o+75o) – sin(105o–75o)]

= 2( sin 180o – sin 30O)

= 2 ( 0 – 2

1)

= –1

c. cos 105o sin 15o = 2

1[2 cos 105o sin 15o]

= 2

1[cos (105o + 15o) + cos (105o – 15o)]

= 2

1[cos 120o + cos 90o]

= 2

1(–

2

1 + 0) = –

4

1

d. 2 sin 195o sin 15o = – [ cos (195o + 15o) – cos (195o – 15o)]

= – ( cos 210o – cos 180o)

= – (– 32

1 + 1) = 3

2

1 – 1


Latihan 5. 1. Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus! a. 2 sin5x cos 3x b. 4 cos 80o sin 20o c. cos (a + b) cos (a – b) d. sin 5x sin x 2. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator hitunglah nilai dari bentuk berikut ini! a. 2 cos 75o sin 15o b. 4 sin 105o cos 15o c. cos 195o cos 75o d. 2 sin 105o sin 75o e. 2 cos 45o cos 15o

f. 8 sin 3721o

cos7 21o

g. 2 sin 5221o

cos721o

3. Diketahui (α + β ) =2

π , sinα cosβ =

3

2 , dan sin(α – β ) = 3p. Hitunglah nilai p.

4. Tunjukkan bahwa :

a. 2 sin(α +3

π) cos(α –

3

π) = 3

2

1 + sin 2α

b. 2 sin (4

π+α ) cos(

4

π–α ) = 1 + sin 2α

c. 2 cos (xo + 30o) sin(xo–30o) = – 32

1 + sin 2xo

d. 2 cos(xo + 105o) sin(xo+75o) = –(2

1+ sin2xo)

5. a. Tunjukkan bahwa 2 sin x cos(x+6π ) = sin(2x+6

π ) – 2

1

b. Berdasarkan hasil a) , tunjukkan bahwa 2 sin x cos(x+6π ) mempunyai nilai maksimum

2

1 dan nilai

minimum –2

1.

6. Diketahui α dan β sudut lancip, sin(α –β ) = 32

1 , dan sinα cosβ =

2

1.

a) Hitunglah sin (α + β )

b) Nyatakan )sin(

)sin(

βαβα

−+

dam bentuk yang paling sederhana.

7. Diketahui (x+y) = 6

π dan cos x cos y =

4

3. Hitunglah cos(x – y).

8. Diketahui (α + β ) = 3

π dan cos α cos β =

4

3. Tentukan nilai cos(α –β ).

9. Diketahui f(x) = 3,5 + 2 cos x cos(x – 60o). Tentukan nilai minimum dan maksimum f(x).


10. Jika A–B = 30o dan sin A cos B = 3

2, maka tentukan nilai sin(A + B).

UJI KOMPETENSI SISWA A. Plilihlah salah satu jawaban yang paling tepat . 1. Fungsi f(x) = sin (x + 60o) dapat diubah menjadi f(x) = a cos x + b sin x untuk setiap nilai x, jika nilai a dan

b berturut-turut ….

a. 2

1 dan 3

2

1 d.

2

1 dan – 3

2

1

b. –2

1 dan 3

2

1 e. – 3

2

1 dan –

2

1

c. 32

1 dan

2

1

2. Jika α dan β sudut lancip , sinα = 5

3 dan sinβ =

25

7 maka cos (α + β ) = …

a. 5

3 d.

5

4

b. 3

5 e.

4

5

c. 4

3

3. Nilai dari cos 105o = …

a. 2(4

1 – 2 ) d.

4

1(4 – 2 )

b. –4

1( 26 − ) e. –

4

1( 6 – 2)

c. 4

1(6 – 2 )

4. Diketahui sinα = 5

3 dan cosβ =

13

12 dimana α dan β sudut lancip. Nilai dari tan (α –β )= …

a. 63

16 d.

45

56

b. 15

11 e.

45

63

c. 56

33

5. Jika (1 + tan α ) (1 + tanβ ) = 2 , maka nilai tan(α + β ) = …

a. 4

1 d. 2

b. 2

1 e. 4

c. 1


6. Jika 4 cos(x–y) = cos(x+y), maka nilai tanx tany = …

a. 4

1 d. –

5

3

b. 5

3 e. –

3

5

c. 3

5

7. Nilai dari cos 15o – sin 15o adalah …

a. – 62

1 d.

4

1( 26 − )

b. – 22

1 e. 6

2

1

c. 22

1

8. Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnyaα , β , dan γ berlaku tan α = 2 dan tanβ = 1. Nilai dari tanγ =

… a. 3 d. 6 b. 4 e. 7 c. 5

9. Jika α adalah sudut tumpul dengan sinα = 13

5 dan β adalah sudut lancip dengan tanβ =

3

4 , maka cos

(α –β ) = ….

a. 65

16 d. –

65

56

b. 65

56 e. –

65

16

c. –65

63

10. Bentuk sederhana dari βα

βαtantan

)sin(

−−

adalah ….

a. cosα cosβ d. sinα sinβ

b. – cosα cosβ e. cos (α –β )

c. – sinα sinβ

11. Jika cos(A+B) = 5

2 dan cos A cos B =

4

3 , maka nilai tanA tan B = …

a. 20

7 d.

9

5

b. 15

7 e.

5

3

c. 15

8


12. Diketahui p + q = 4

π dengan tan p =

7

3. Nilai dari tan q = …

a. 5

2 d.

10

3

b. 8

3 e.

4

1

c. 20

7

13. Nilai dari oooo

oooo

15cos75cos15sin75sin

15sin75cos15cos75sin

−−

adalah ….

a. – 62

1 d. 1

b. – 1 e. 62

1

c. 0

14. Nilai dari oo

oo

20tan50tan1

20tan50tan

+−

adalah ….

a. – 3 d. 32

1

b. – 33

1 e. 3

c. 33

1

15. Diketahui α + β + γ = 180o , sin α = 5

4 dan cosβ =

13

5. Nilai dari sinγ = …

a. – 65

56 d.

65

33

b. – 65

33 e.

65

56

c. – 65

16

16. Nilai dari : x

x2

2

tan1

tan1

+−

= …

a. cos 2x d. tan x b. sin 2x e. cotan x c. tan 2x

17. Diketahui tan A + tan B = 7

1 dan cos a cos B =

3

1. Nilai sin(A+B) = ….

a. 21

1 d.

21

10

b. 10

1 e.

21

11


c. 7

3

18. Diketahui sin A = 5

2 ; sudut A lancip. Nilai tan 2A = …

a. –2 d. 3

4

b. –3

4 e. 2

c. –5

4

19. Diketahui sin A = 5

3 dengan A lancip. Nilai dari cos A

2

1 = ….

a. 510

1 d. 10

9

1

b. 710

1 e. 10

5

1

c. 910

1

20. Ditentukan cos 2A = 5

1 dengan A sudut lancip. Nilai tan A = …

a. 3 6 d. 63

1

b. 2 6 e. 66

1

c. 62

1

21. Nilai tan 67,5o = …

a. –1 + 2 d. 2 + 2

b. 1 + 2 e. 2 + 2 2

c. 2 – 2

22. Nilai dari 8 cos8221o

sin 3721o

adalah ….

a. 4( 3 + 2 ) d. 4( 3 – 2 )

b. 2( 3 + 2 ) e. 3 – 2

c. 2( 3 – 2 )

23. Jika A – B = 30o dan sin A cos B = 3

2, maka sin (A+B) = …

a. 6

1 d.

6

5

b. 6

2 e. 1

c. 6

4


24. Nilai dari sin 105o – sin 15o = ….

a. 24

1 d. 3

2

1

b. 64

1 e. –1

c. 22

1

25. Jika sin x – cos x = p maka sin 2x = …. a. 2p2 d. 1–p2

b. p2 + 1 e. )1(2

1 2p−

c. p2 – 1

26. Jika tan x = 2 dan tan y =2

1 maka tan (x–y) = ….

a. 0 d. 1

b. 2

1 e. 1

2

1

c. 4

3

27. Jika tan a = 3

4 dan sudut a lancip , maka cos 3a + cos a = ….

a. – 125

42 d.

125

28

b. – 125

14 e.

125

56

c. 125

20

28. Nilai dari oo

oo

15sin75sin

15cos75cos

−+

= ….

a. 32

1 d. – 3

2

1

b. 3 e. – 3

c. 33

1

29. Nilai dari 2 sin50o. cos40o + 2 cos 90o sin 85o + 2 cos 20o sin 10o = ….

a. –2

1 d.

2

3

b. 4

1 e.

4

3

c. 2

1


30. Nilai dari 2 cos35o sin 65o – 2 sin 15o cos 70o + 2 cos 145o cos 85o = ….

a. –2

1 d.

2

1

b. –4

1 e. 1

c. – 1 31. Jika sin x + cos x = a , maka sin3x + cos 3x = ….

a. 2

1(a3 – 3a) d. a3 – 3a

b. 2

1(3a – a3) e.

2

1(2a–3a3)

c. 3a – a3

32. Jika tan 3o = p, maka tan 228o = …

a. 2

2

)1(

)1(

p

p

+−

d. p

p

−+

1

1

b. p

p

+−

1

1 e.

2

2

)1(

1

p

p

−+

c. p

p

−−

1

12

33. Nilai dari oo

oo

54sin.198sin

36cos.108cos adalah ….

a. –4

1 d.

2

1

b. – 2

1 e. 1

c. 4

1

34. Dalam segitiga ABC diketahui tan A = 4

3 dan tan B =

3

4. Nilai sin C sama dengan ….

a. –1 d. 25

24

b. –25

24 e. 1

c. – 25

7


35. Jika A dan B adalah sudut –sudut lancip, cos(A–B) = 32

1 dan cos A cos B =

2

1 , maka

)cos(

)cos(

BA

BA

−+

=

….

a. 2 – 3 d. 1 – 32

1

b. 1 – 33

1 e. 3

3

2 – 1

c. 3 – 2 3

36. Diketahui sin α .cosα = 25

8. Nilai

αsin

1 –

αcos

1 = …. (Ebtanas 2001)

a. 25

3 d.

5

3

b. 25

9 e.

8

15

c. 8

5

37. Nilai sin 75o + cos 75o = … ( UAN 2006)

a. 64

1 d. 1

b. 32

12

2

1 e. 6

2

1

c. 32

1

38. Nilai sin 105o + sin 15o = ….. (UAN 2006)

a. )26(2

1 −− d. )23(2

1 +

b. )23(2

1 − e. )26(2

1 +

c. )26(2

1 −

39. Dari segitiga ABC diketahui cos )(2

1ba + =

5

3 dan cos )(

2

1ba − = 3

2

1. Nilai cos a – cos b = …

a. 5

4 d. – 3

2

1

b. –5

4 e. – 2

2

1

c. – 5

3

40. Nilai dari 2 cos 35o cos 25o – 2 sin 30o sin 20o – 2 cos 35o sin 5o adalah …. ( UAN 2002)

a. 3 d. 4

1

b. 1 e. 0

c. 32

1


B. Kerjakan soal di bawah ini dengan singkat dan tepat! 1. Buktikan!

a. Jika sin (a+30)o = sin ao , maka tan ao = 2 + 3

b. Jika sin (b + 30)o = cos bo , maka tan bo = 33

1

2. Hitunglah :

a. cos 3a jika sin a = 5

3

b. sin 3a jika cos a = 5

4

3. Jika tan 3a = 6, maka hitunglah nilai dari : aaa

aaa

5cos3coscos

5sin3sinsin

++++

4. Tanpa tabel atau kalkulator hitunglah : a. 4 sin 20o sin 40o sin 80o b. 4 sin 10o sin 50o sin 70o 5. Buktikan tan(45o + a) – tan(45o – a) = 2 tan 2a !

Documents

TRIGONOMETRI XI IPA Triginometri XI IPA S1 MA 2 Pwt BAB III TRIGONOMETRI Standar Kompetensi :Standar Kompetensi : Menurunkan rumus trigonometri Menurunkan rumus