Partículas: a dança da matéria e dos campos

Aula 18 –

-

Núcleos, átomos, moléculas e vida –

11.

Revisão de aspectos da aula passada.

2.

Átomo de hidrogênio.3.

Átomos e princípio da incerteza.

4.

Correções ao potencial coulombiano.

Revisão: Spin & RelatividadeAprendemos várias coisas sobre o spin:1.

Está

associado à

rotação.

2.

É

umbilicalmente ligado à

relatividade.3.

É

um grau de liberdade adicional aos graus de liberdade 3D a que

estamos acostumados.4.

Números quânticos de spin inteiros ou semi-inteiros estão associados a bósons ou férmions, respectivamente.

5.

Houve, de fato, um abuso nas analogias feitas; spin e momento angular são vetores e o módulo do momento angular e a projeção em um eixo z de uma partícula que tenha número quântico de spin s

é:

S=[s(s+1)]1/2ÑSz=sÑ

Vale ressaltar que esticamos até o limite do possível as metáforas que havíamos utilizado para entender o mundo quântico.

Revisão: HelicidadeHelicidade (h):

1.

Projeção do spin na direção do momento p:A partícula é de mão direita (h=+1).

2.

Projeção do spin na direção oposta a p:A partícula é de mão esquerda (h =-1).

Revisão: Spin e massa zero

O spin de partículas de massa zero merece algumas consideraçõesVamos analisar uma situação em que o spin é perpendicular à direção do momento.

Uma argumentação nada rigorosa nos diz que se um observador analisar o movimento da periferia da partícula veria velocidades diferentes de c, o que não é possível pois ela deve se mover inteira com velocidade c.Isso significa que não é permitido ao spin ficar perpendicular à direção do movimento no caso de m = 0Uma tal partícula só pode ter duas helicidades (i.e., duas direções de polarização): de mão esquerda ou de mão direita. Ademais, não existe rotação capaz de alterar seu estado de polarização sem passar pelo estado de polarização proibido (longitudinal).Isso não é problema para partículas com massa≠0.

Proibido para partículas com m=0

Revisão: Spin e massa zero

A helicidade de partículas de massa zero merece algumas considerações.Antes, porém, vamos analisar o que ocorre com a helicidade de partículas com massa não nula.

Sempre é possível efetuar uma transformação de Lorentz que leve a partícula ao repouso e mesmo que inverta a direção do seu movimento. Ou seja:

hm≠0=≤v/c

Partículas com m≠0

Revisão: Spin e massa zeroPara partículas com massa nula, a situação é distinta:

Não existe transformação de Lorentz que as leve ao repouso ou altere sua velocidade. Em outras palavras, sua helicidade não pode ser alterada:

hm=0=≤1Uma tal partícula só pode ter duas helicidades (i.e., duas direções de polarização): de mão esquerda ou de mão direita.Não é permitido ao spin ficar perpendicular à direção do movimento no caso de m = 0Ademais, não existe rotação capaz de alterar seu estado de polarização sem passar pelo estado de polarização proibido (longitudinal).Sfóton=1: A componente longitudinal está associada aos fótons que não estão em harmonia com a relação energia-momento e são associados àinteração,

Proibido para partículas com m=0

Adendo: IndistinguibilidadeDiscutimos anteriormente (aulas 9 & 10) diversas conseqüências da identidade dos constituintes do mundo microscópico.Pauli (~1925) foi o primeiro a propor que o caráter intolerante dos férmions e explorar suas conseqüências. A tabela a seguir resume propriedades dos bósons e férmions

Adendo: Indistinguibilidade

A tabela ao lado compara as diferentes maneiras como os estados de duas partículas são ocupados conforme a natureza fermiônica, bosônica ou clássica das partículas.

Cuidado: o autor do The force of symmetry afirma perigosamente que “férmions idênticos não existem”. Existem sim e sua existência (férmions ou bósons) é

uma conseqüência inarredável da mecânica quântica: a impossibilidade de distinção entre duas partículas impede que possamos saber qual trajetória a partícula percorreu; na verdade, ele quer se referir ao fato de que, se dois férmions pretenderem ocupar o mesmo estado, a amplitude se anulará

e assim, eles não estariam autorizados a ficarem iguais, i.e., ter todas as características idênticas. Trata-se apenas de uma inversão de conceitos: é

o fato das partículas serem idênticas que leva a esse resultado.

Átomo H: Pano de Fundo

Alguns problemas da Física no início do sec. XX: crise na Física → dificuldades em entender uma grande variedade de novos dados sobre o comportamento da Natureza.A experiência de Geiger & Marsden apresentou uma surpresa: alguns projéteis eram espalhados para trás indicando uma colisão com algo maciço, levando Rutherford a concluir que o átomo era constituído por um caroço (núcleo) extremamente denso cercado por uma nuvem de elétrons. Mas:

No modelo planetário de Rutherford os átomos não seriam estáveis: era um resultado conhecido do eletromagnetismo que cargas aceleradas irradiam.

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0.0

2.0x104

4.0x104

6.0x104

8.0x104

1.0x105

1.2x105

1.4x105

N(θ

)

θ [Graus]

Dados de Geiger & Marsden cossec4(θ/2) normalizada em θ=15

... e elas voltavam!

Átomo H: Pano de FundoA análise dos comprimentos de onda da luz emitida na desexcitação do átomo de hidrogênio conduziu a uma expressão meio cabalística devida a Rydberg. Ela sumarizava os dados existentes mas carecia de uma explicação com os conceitos então disponíveis.Física pré sec. XX: uma onda é uma onda, uma partícula éuma partícula. Mas, como sabemos, a mecânica quântica subverteu essa conceituação simplista.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== 22H

11λ1

nkR

cf

n, k inteiros e n>k

Modelo de BohrÁtomo de hidrogênio: formado por um próton e um elétron. qp = – qe- ⇒ átomo neutro.mp >> me- ⇒ o próton pode ser considerado parado.Bohr: Física Clássica + ousadia.

Hipótese: o elétron está em um estado estacionário ⇒ apenas valores definidos do momento angular são permitidos.

NósA análise das oscilações de uma superfície esférica mostra que em certas regiões não há nenhum movimento da superfície: os nós.Cada uma das figuras corresponde a um valor diferente do momento angular associado à onda.Os modos fundamentais de vibração dessa superfície são descritos por uma família de funções denominada harmônicos esféricos; essas funções aparecem em qualquer descrição de sistemas que apresentam simetria esférica.

A família dos esféricos harmônicos constitui uma representação do grupo de rotações em três dimensões.

Na figura a seguir apresento, apenas por completeza a forma funcional de alguns esféricos harmônicos, bem como sua representação espacial.

a)

l=6,m=6b)

l=2, m=0c)

l=4, m=3

d)

l=20, m=20

Modelo de BohrVamos seguir um caminho diferente do de Bohr e apenas estimar a energia de um elétron, em órbita circular, ligado ao átomo de hidrogênio (H).Força de atração entre o próton e o elétron separados por uma distância r: Fcentrípeta = Felétrica ⇒ Fe=e²/r²=mv²/r=Fc: Força centrípetaA energia total do átomo de H é: E = T + V=(p²/2m)-(e²/r).A energia de ligação decresce com a distância: E ∝ 1/r (é só lembrar que Fe=Fc , i.e., e²/r=mv²= p²/m e portanto: E=- e²/2r)

Assim, T=p²/2m∝1/r → p2 ∝ 1/r.O elétron está em uma órbita de raio r ⇒ se a órbita desse elétron tiver n nós, a incerteza na sua posição será menor.

Afinal de contas, sabemos que ele não estará onde houver um nó. Usando o princípio da incerteza:

pΔx ~ p(r/n) ~ ℏ → p ∝ (n/r)

Modelo de BohrJuntando os pedaços: p ∝ n/r & p2 ∝ 1/r ⇒ r ∝ n2. Portanto: E ∝ 1/n2. A energia do elétron no átomo de H é inversamente proporcional ao quadrado do número quântico n.

Já vimos algo parecido com isso antes, no caso da expressão de Rydberg.

Fazendo direito: En=-13,6/n² [eV] e rn=0,53n² [Å].

13,6 eV é a energia de ligação do átomo de H.0,53 eV é o raio de Bohr para o átomo de H.

Modelo de BohrUm átomo de H é uma entidade complexa pois o elétron pode se mover em 3D. Um hipotético e irrealista físico experimental com um "contador de elétrons", movendo-se em torno do próton e registrando um ponto numa folha de papel cada vez que o seu equipamento fizesse um "clique" poderia obter ao fim de inúmeras medidas uma das distribuições mostradas na figura.

As relações entre n, l, e m são as seguintes:

1.

Para um dado n, l: varia entre 0 e (n-1)

2.

Para um dado l, os valores de m variam entre: -l até

+l em passos de 1.

Modelo de BohrSe o átomo estiver isolado (por exemplo, se não estiver submetido a um campo magnético), nenhuma projeção m é privilegiada. Se o físico repetisse as medidas com o mesmo átomo ele obteria uma das outras distribuições apresentadas (com o mesmo n, e l). A figura apresenta a superposição dos estados com todos os m'spossíveis para um dado n e l: o resultado é esfericamente simétrico. Assim, o que o físico obteria como resultado das suas medidas é uma distribuição esfericamente simétrica.Pensando bem, teria que ser assim: afinal de contas, o átomo estáisolado e ele deve estar em um estado invariante por rotações.

ÁtomosO físico experimental mencionado acima não éhipotético. As figuras mostram resultados de uma experiência recente onde a distribuição de carga de um átomo de Cu no óxido de cobre foi medida. Notar que como o Cu estáligado ao O, não há simetria rotacional e apenas o estado com um dado m existe (isto é uma dada projeção do momento angular).

Átomos e princípio da incertezaRetomando o mencionado no início da aula, o que impede o elétron de cair no próton? Afinal de contas, segundo a Física Clássica cargas aceleradas irradiam e dessa forma ele iria continuamente perdendo energia e espiralar até chegar no próton.Ocorre que a mecânica quântica nos diz que apenas são possíveis as órbitas eletrônicas tais que caiba um número inteiro de comprimentos de onda. Ademais, o princípio da incerteza nos diz que quanto mais tentarmos colapsar a órbita do elétron, mais incerto será o momento linear; maior incerteza no momento significa que o elétron tenderá a fugir da região menor para a qual ele está se movimentando. A menor "caixa" que podemos construir para colocar um elétron no átomo de hidrogênio tem 0,53 Å.

Átomos e princípio da incertezaSob certas situações, o elétron "pode entrar no núcleo" (observar as aspas!).Átomos com número atômico grande têm as órbitas dos elétrons mais internos muito próximas do núcleo. Lembram-se da interação fraca? Pois bem, esse elétron está suficientemente próximo do núcleo para que ela entre em ação ocorrendo o chamado processo beta inverso: p + e-→ n + ne(nesse caso, o núcleo altera seu número atômico Z→Z-1, mantendo inalterado o número de massa A=Z+N).

Estados excitadosSerá então que um elétron está destinado a permanecer sempre num mesmo estado? Se um fóton de energia adequada incidir sobre o átomo, o elétron passa a ocupar um estado excitado.A descrição correta de como isso ocorre é assunto da QED, que descreve a interação entre partículas carregadas e o campo eletromagnético.

Excitação do átomo de H, do estado (1, 0, 0) para o estado (3, 1, 0), através da absorção de um fóton cuja energia é

igual à

diferença de energia desses dois estados eletrônicos.