CENTRO MASSA

Centro massa para um de sistema de 2 partículas Centro massa para várias partículas Centro de massa de corpos contínuos e uniformes Centro de massa e simetrias

Na mecânica existem várias situações em que se pode considerar a massa de um corpo, ou mesmo de vários corpos, como se estivesse concentrada em um único ponto. A esse ponto se dá o nome de centro de massa.

CENTRO MASSA

)ext(2212

22

2

)ext(1122

12

1

FFdt

xdm

FFdt

xdm

CENTRO MASSA PARA UM DE SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS

2

2

dt

xda (lembrar que a aceleração instantânea de uma partícula é )

)ext(1F

)ext(2F

12F

21F

3

)ext(2

)ext(121122

22

221

2

1 FFFFdt

xdm

dt

xdm

)ext()ext(2

)ext(12

22

221

2

1 FFFdt

xdm

dt

xdm

Somando-se as equações termo a termo:

(porque )

)ext(F

Distinguimos FORÇAS INTERNAS ( e ) das FORÇAS EXTERNAS ( e ).

é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.

12F

)ext(1F

21F

)ext(2F

2112 FF

onde M=m1+m2 é a massa total do sistema

)ext(2

22112

Fdt

xmxmd )ext(

22

2

221

2

1 Fdt

xdm

dt

xdm

Definimos:21

2211CM mm

xmxmx

Então: CM2CM

2)ex( Ma

dt

xdMF t

4

O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele.

M

xCM

2CM

2)ex(

dt

xdMF t

5

)ex( tF

é a 2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas

Em particular, se 0)ext( F

CM)ex( MaF t ou

cteCMCM vdt

dx

Exemplo 1. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas.

21

2211CM mm

xmxmx

(a) 21 mm xxCM

1x 2x

2

21CM m

mxmxx

2

21CM

xxx

x

x1

2x(b) 21 mm

1 xxCM 1

11

21

2211CM

m

xm

mm

xmxmx

muito pequeno

muito pequeno

CM x

6

Exemplo 2

Exemplo 3

Centro de massa

EXEMPLO 4

9

No caso particular em que

.cteCMCM vdt

dx

0F 02

2

dt

xda

m = 80 kg m = 60 kg

Exemplo 5. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?

Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante.

m 1.5m 6080

kg 60m 12kg 800 CM

x21

2211CM mm

xmxmx

Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda.

O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas 10

CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO

CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES

N

iiirmM

r1

CM

1ou

11

N

NN

mmmm

rmrmrmrmr

...

...

321

332211CM

N

iii

N

NN xmMmmm

xmxmxmx

121

2211CM

1

o sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.

CMext aMF

)( é a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas:

Exemplo 6: Para o sistema de 3 partículas representado na figura, calcule a posição do centro de massa do sistema abaixo:

m 0 m 4 kg 4

m 3 m 0 kg 2

m 0 m 0 kg 1

333

222

111

yxm

yxm

yxm

CM

CM

0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m

1+ 2 + 40×1+ 3×2 + 0×4

y = m = 0,9 m1+ 2 + 4

12

xdmM

xmM

xN

iiiCM

11

1

Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:

ydmM

yCM1

zdmM

zCM1

dV

dA

dl

dm =

: densidade linear de massa

: densidade superficial de massa

: densidade volumétrica de massa

Se o corpo (volume) tiver densidade uniforme: :dVV

MdVdm

xdVV

xCM1

ydVV

yCM1

zdVV

zCM1

CENTRO DE MASSA DE CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES

A massa infinitesimal dm pode pertencer a: um fio, uma superfície ou um volume:

dVr

dVrrrCM

Normalmente, não precisamos calcular estas integrais triplas!

13

CENTRO DE MASSA E SIMETRIAS

Lembrar que o centro de massa de um corpo não é necessariamente um ponto do corpo!

Se um corpo tem um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o centro de massa m situa-se nesse ponto, linha ou plano.

CM

Centro de simetria

Linhas de simetria

Planos de simetria

CM

14

15

Exemplo 7