PARATHENIE

Teksti mesimor FIZIKA perben ne vetvete nje kurs te fzikes prgjithshme. Permbajtja e tijperfshin pothuajse gjithe kapitujt e fizikes, te shtjelluara ne nivelin e shkalles se larte.Teksti kryesisht eshte i destinuar per studimet e fakultetit te mesuasise qe pergatit mesues teklasave I-IV te shkolles 8-vjecare por mendojne se ai mund te jete i vlefshem edhe per degetinxhenerive apo edhe per dege te tjera te shkollave te larta te vendit tone te cilat studiojne fiziken epergjithshme per mesuesit e fizikes dhe per te gjithe ata qe adhurojne fiziken si shkence.

Per hartimin e tij jemi bazuar ne tekste te ketij lloji te nivelit universitar te autoreve te huaj,ne tekste mesimore me autore pedagoget e morenjohur te universiteteve tona si dhe ne pervojentone shume vjecare te mesimdhenies se fizikes se pergjithshme ne shkollat e larta,

Duke qene te ndergjegjshem edhe per ndonje mangesi qe mund te kete teksti, mirepresimnga koleget, studentet nga cdo lexues, vrejtjet dhe sugjerimet qe do ti sherbenin permiresimit temetejshem te tij.

Autoret.

1-Fizika dhe objekti i saj i studimit

Fizika eshte nje nga shkencat qe studion natyren. Ne fillim fizika perfshinte ne gjirin e saj tegjitha shkencat e natyres duke perfshire edhe filozofine. Me vone kur njohurite e njeriut u shtuandhe u thelluan,nga fizika u ndane nje varg shkencash me vehte,si kimia,astronomia,biologjia etj.

Nje percaktim i plote i objektit qe studion fizika eshte I veshtire per arsye te gershetimit tefizikes me shkencat e tjera te natyres,si dhe me deget e ndrysme te teknikes. Megjithate mund tethemi se fizika studion format me te thjeshta dhe te pergjithshme te materies. (psh. levizjenmekanike, levizjen molekulare, levizjen elektromagnetike, levizjen e thermijave brenda atomi tetj),si edhe transformimet e tyre reciproke. Fizika sherben si baze e te gjitha shkencave natyrore.

Fizika dallon dy forma kryesore te materies: lenden dhe fushen.-Ne lenden hyjne ato forma te materies qe perbehen nga thermija “elementare” sic jane

protonet, neutronet, elektronet etj. Keto thermija perbejne atomet dhe molekulat nga te cilat janendertuar te gjithe trupat e natyres.

-Ne fushe hyjne: fusha gravitacionale,fusha elektrike,fusha magnetike,fusha elektromagnetikeetj. Fusha fizike eshte mbartesi material i transmetimit te bashkveprimit ndermjet themijave telendes ose trupave ne teresi.

Lenda dhe fusha si forma kryesore te materies jane ne unitet material dhe ne kushte te caktuaramund te shnderrohen ne njera tjetren. Si shembull mund te permendim shnderrimin e ciftit tethermijave e- dhe e+ ne fotone. Ky fakt flet per natyren unike te lendes dhe fushes si aspekte temateries,e cila ne disa kushte shfaqet ne formen e lendes dhe ne disa te tjera ne formen e fushes.Fizika studion vetite fizike te lendes ne gjendje te ngurte,te lenget ,te gazte dhe plazmes (sic janeelasticiteti, percjellshmeria termike, elektropercjellshmeria, etj), si edhe vetite e fushave fizike.Ne menyre te permbledhur mund te themi se objekti i fizikes eshte ky:

Fizika ashtu si dhe shkencat e tjera te natyres, studion vetite e botes qe na rethon,ndertimindhe vetite e materies ne forme lende dhe fushe,ligjet e bashkeveprimit dhe te levizjes se trupavematerial. Ajo studion format me te pergjithshme te levizjes fizike(si levizjenmekanike,termike,elektromagnetike etj)dhe shnderimet e tyre reciproke.

Fizika dhe shkencat e tjera natyrore linden dhe u zhvilluan te lidhura ngushte me njeratjetren dhe te gjitha se bashku kane pasur si shtytje kryesore nevojat e teknikes dhe te prodhimit.Arritjet e fizikes dhe vecanrisht zbatimi i tyre ne praktike kane ndihmuar fuqimisht zhvillimin eshkencave te tjera natyrore dhe kane shnderruar fuqimisht tekniken, teknologjine dhe prodhimin.

2.Ligji, eksperimenti dhe teoria ne fizike.

Ligjet fizike shprehin lidhjen e brendshme,dhe vartesine reale qe ekziston midismadhesive fizike qe karakterizojne dukurine. Duhet theksuar se cdo ligj ka sferen e vet te

referimit. Keshtu per shembull ligji i renies se lire te trupave me nxitim g=9.81 2sm , eshte i vertet

vetem per rastin kur trupat bien lirisht pranë siperfaqes se tokes. Ligji, qe shpreh lidhjen ndermjetintesitetit te rrymes dhe diferences se potencialeve ne skajet e nje percjellesi, nuk eshte i vertet kurtemperatura e percjellesit eshte e shume e ulet (disa grade afer zeros absolute shfaqet

superpercjellshmeria). Ligjet e mekanikes klasike nuk vlejne per studimin e dukurivemikroskopike që zhvillohen brenda atomeve e molekulave. Per pershkrimin e dukurive qezhvillohen brenda atomit duhet patur parasysh karakteri valor i lendes si dhe karakteri kuantik ienergjise.

Zbulimi i ligjeve fizike behet me ane te vrojtimit dhe eksperimentit. Studimi i nje dukuriefizike zakonisht fillon me vrojtimin e saj,ashtu sic ndodh vetvetiu ne natyrë. Me vrojtim kuptojmestudimin e dukurise ne kushtet natyrore. Por faktet e nxjera nga vrojtimi jo gjithmone na japinmundesine per te zbuluar lidhjen e nevojshme midis aneve te ndryshme te dukurive dheproceseve,vecanerisht kur ato paraqiten ne forme te nderlikuar. Ne kete rast duhet perdorureksperimenti. Me ane te eksperimenti fizik behet riprodhimi artificial i dukurise qe naintereson,por ne kushte te thjeshta te krijuara nga ne posacerisht per kete qellim,te cilat na japinmumdesine per te nxjerre ne pah faktoret kryesore. Duke analizuar te dhenat e nje numeri temjaftueshem vrojtimesh dhe eksperimentesh, ne mund te gjejme lidhjen sasiore midis madhesivete ndryshme qe karakterizojne dukurine dhe me tej te formulojme kete lidhje ne formen e nje ligji.Vrojtimi dhe eksperimentimi perbejne thelbin e fizikes eksperimentale.

Ndodh kur disa fakte eksperimentale ose dukuri nuk mund te shpjegohen me ligjet enjohura, atehere futen hipoteza domethene supozime shkencore me ane te te cilave mund teshpjegohen faktet ose dukurite. Vertetesia e hipotezave provohet duke realizuar eksperimente qesynojne te provojne rrjedhimet qe nxirren prej hipotezave. Neqofte se vertetohet saktesia ehipotezes, ateher ajo shnderohet ne ligj.

Teorite fizike jane sisteme idesh, ligjesh themelore, qe formulohen duke pergjithesuar tedhenat eksperimentale dhe qe pasqyrojne ligjesi objektive te natyres. Teoria ne fizike ka per qellimte shpjegoje dukurite e nje fushe te caktuar, ti sistematizoje ato dhe te percaktoje lidhje me ligje tetjera. Cdo teori fizike e ndertuar mbi bazen e nje hipoteze te vertetuar eksperimentalisht paraqetnje system konceptesh baze dhe ligjesh te pergjithshme. Me zhvillimin e shkences, teorite persosendhe njohja jone per boten qe na rethon zgjerohet e thellohet gjithje e me shume. Dalja ne drite efakteve te reja bene qe teorite fizike tu nenshtrohen here pas here perpunimeve,te cilat shpien nelindjen e teorive te reja.

3. Matja e madhesive fizike. Sistemi nderkombetar i njesive

Ligjet e fizikes, ne pergjithesi shprehen me formula matematike qe shprehin lidhjen midisvlerave numerike te madhesive fizike te cilat nderhyjne ne dukurite qe pershkruhen nga ligji. Perte gjetur keto vlera numerike duhen matur madhesite fizike.

Te matesh nje madhesi fizike do te thote te krahasosh ate me nje madhesi tjeter te poatij lloji te marre si njesi (te gjesh raportin e ketyre madhesive). Vlera numerike e raportit temadhesise qe matet me njesine etalon quhet mase ose vlere numerike e madhesisë.

Matjet mund te jene te drejtperdrejta ose te terthorta. Ato quhen te drejperdrejta kurrealizohen drejtpersedrejti me mjetet e matjes, dhe te terthorta kur rezultatet e matjes i nxjerim ngallogaritjet me ndihmen e vlerave te matjeve te drejtperdrejta te madhesive te tjera te lidhura sipasnje varesie te njohur me madhesine qe matet. Keshtu per shembull matja e gjatesise se nje trupi mendihmen e nje vizoreje dhe matja e temperatures te mjedisit me ndihmen e nje termometri,bejnepjese ne matjet e drejtperdrejta, ndersa gjetja e nxitimit te renies se liure me formulen:

2

2thg

ku h dhe t jane perkatesisht lartesia dhe koha e renies se lire te nje trupi pa shpejtesi fillestare benpjese ne matjet e terthorta

Matja e nje madhesie fizike kerkon edhe njohjen e njesise se saj krahas procedures sematjes. Cdo madhesie fizike mund ti vihet ne korispodence nje etalon i caktuar ne lidhje me te

cilin krahasohen vlerat e saj. Kuptohet nje gje e tille nuk eshte e domosdosshme dhe as epershtatshme. Mjafton te zgjidhen etalone per disa madhesi fizike te cilat quhen madhesithemelore dhe madhesite e tjera do te vleresohen nepermjet relacioneve (formulave) qe lidhin ketomadhesi me ato themeloret.

Njesite e madhesive themelore quhen njesi themelore,kurse ato te madhesive te tjera quhennjesi te rrjedhura. Teresia e njesive themelore dhe atyre te rrjedhura (te varura) perben sistemin enjesive te matjes te madhesive fizike. Ne fizike jane perdorur mjaft sisteme njesish, gje qe ka sjelleshume veshtiresi praktike per kalimin e njesive nga nje sistem ne tjetrin. Keshtu qe ne konferencene XI te Masave dhe Peshave ne vitin 1960 u vendos qe ne te gjitha deget e shkences dhe teteknikes te perdorej vetem Sistemi Nderkombetar (SI). Edhe ne vendin tone eshte saksionuar meligj perdorimi i ketij sistemi. Perkufizimet e njesive te sistemit SI jane si me poshte:

1. Njesia e kohes: sekonta(s)Sekonta eshte intervali kohor i zgjatjes se 9.192631770 periodave te rezatimit te cilat ipergjigjen kalimit ndermjet dy niveleve superfin te gjendjes themelore te atomit teceziumit 133.

2.Njesia e gjetesise:metri(m)Metri eshte gjatesia e trajektores se pershkruar ne boshllek nga nje valeelektromagnetike plane gjate 299792458

1 sekonda

3. Njesia e mases:kilogram(kg)Kilogrami eshte njesia e mases e barabarte me masen e etalonit prej platini dhe iridiumiqe eshte pranuar nga Konferenca e Pergjithshme e Peshave dhe e Masave ne vitin 1889.

4. Njesia e sasise se lendes: moli (mol)Moli eshte sasia e lendes se nje sistemi qe permban aq struktura elementare,sa atomendodhen ne 0.012kg te karbonit 12

5. Njesia e temperatures: Kelvin(K)Kelvin eshte njesia e temperatures termodinamike e barabarte me 273.16

1 pjese tetemperatures termodinamike te pikes trefishe te ujit.

6. Njesia e inesitetit te rymes: amperi(A)Amperi eshte intesiteti i rymes se vazhduar e cila, duke kaluar neper dy percjellesadrejtvizore shume te holle e me gjatesi te patundme dhe te vendosur paralel ne nje zbazetie ne largesi 1 meter nga njeri tjetri, ben te linde ndermjet ketyre dy percjellsave nje force

102 -7 per cdo meter gjatesi.7. Njesia e intesitetit te drites: kandela (cd)

Kandela eshte intensiteti i drites sipas nje drejtimi te dhene nga nje burim qe emeton njerezatim dritor me frekuence 1210540 Hz dhe intesiteti energjitik i tij sipas ketij drejtimieshte 1/683wat per steradian

Ne sistemin SI percaktohen edhe dy njesite plotesuese:

a. Njesia e kendit plan: radian (rad)Radiani eshte kendi i kufizuar nga dy rreze te nje rrethi qe presin ne te nje hark kugjatesia e te cilit eshte e barabarte me rrezen

b. Njesia e kendit hapsinor: steradian (Sr)Steradiani eshte kendi hapsinor me kulm ne qendren e nje sfere dhe qe pret ne siperfaqene saj nje pjese me syprine te barabarte me ate te nje katrori me brinje sa rrezja e sferes.

Formulat qe sherbejne per te gjetur njesite e rrjedhura (te varura) duke shfrytezuar njesitethemelore quhen formula percaktuese. Keto zgjidhen sa me te thjeshta qe te jete e mundur. Keshtu

p.sh me qe ne levizjen e njetrajtshme shpejtesia lineare e nje pike materale eshte ne perpjestim tedrejte me rrugen s te pershkruar gjate nje intervali kohe t dhe ne perpjestim te zhdrejte me keteinterval, formula percaktuese e njesise se shpejtesise do te jete:

tskv

ku k koficenti i perpjestueshmerise.Mund te veprojme ne dy menyra per te percaktuar njesine e shpejtesise ne SI

a. Zgjedhim per njesi te shpejtesise nje njesi te cfardoshme ,qe nuk ka lidhje me njesine e kohesdhe te gjatesise; atehere, qe te permbushet ekuacioni i mesiperm, koeficenti k duhet te kete njevlere numerike dhe nje njesi te caktuar.

b. Marrim k=1 ne ekuacionin e mesiperm dhe do dal qetsv . Duke u mbeshtetur ne formulen

percaktuesetsv , njesia e shpejtesise do te jete detyrimisht e varur dhe si e tille do te merrej

shpejtesia e nje levizje te njetrajtshme gjate se ciles pika materiale pershkon rrugen 1m gjatenjesise se kohes 1 sekonde

njesia e shpejtesise =sm

11

Formula qe tergon lidhjen e njesise se rjedhur (te varur) me njesite themelore quhet formulee permasave (dimensioneve) te njesise se varur. Ne formulen e permasave njesite themelore tegjatesise, mases, kohes etj. shenohen me L,M,T,etj. ndersa njesite e varura shenohen me simbolenperkatese te futura ne kllapa katrore. Keshtu per shembull formula e permasave te njesive teshpejtesise do te jete:

1 LTTL

tsv

kurse e njesise te nxitimit :

2

1

LTT

LTtva

Formula e permasave te njesive te forces eshte:[F]=[m][a]=LMT-2

Gjate verifikimit te ekuacioneve matematike qe shprehin vartesine funksionale ndermjetvlerave numerike te madhesive fizike, formulat e permasave (dimensioneve) sherbejne si kritervertetesie. Qe ekuacioni te jete i vertete duhet qe te dy anet e tij te kene permasa te njejta, n.q.sndodh ndryshe atehere me siguri jane bere gabime ose gjate shtrimit ose gjate zgjidhjes se tij.Per ilustrim le te sjellim verifikimin e shprehjes :

2

21 atX

Formule qe shpreh largesine e pershkruar nga trupi gjate kohes t, ne rastin kur niset ngaprehja me nxitim konstant a. Madhesia x ka permasen (dimensionin) e gjatesise. Qe shprehja tejete korrekte,duhet qe edhe ana e djathte e ekuacionit te kete te njejten dimension, te gjatesise.

Le te bejne verifikimin dimensional duke zevendesuar njesite baze per nxitimin (LT-2) dhekohen (T). Ne kete menyre forma dimensionale per ekuacionin e dhene shkruhet ne trajten.

LTTLL 2-2

Pra del qe shprehja 2

21 atX eshte e rregullt nga ana dimensionale.

MEKANIKA

Mekanika është ajo pjesë e fizikës që merret me studimin e formave më të thjeshta tëlëvizjes në natyrë, siç janë zhvendosjet e trupave ose të pjesëve të trupit në lidhje me njëra-tjetrën.

Fillimet e mekanikës i gjejmë qysh në kohët më të vjetra. Por një zhvillim më të madh ajomori me punimet e Galileut (1564-1642) dhe më vonë me ato të Isak Njutonit (1642-1727) i ciliformuloi një varg ligjesish bazë të mekanikës. Mekanika e Galileit-Njutonit ose siç quhet ndryshemekanika klasike studjon lëvizjen e trupave makroskopikë me shpejtësi jo shumë të mëdhakrahasuar me shpejtësinë e dritës.

Kur shpejtësia e lëvizjes është e madhe, në vecanti, kur i afrohet vlerës së shpejtësisë sëdritës në boshllëk c ( s

mc 8103 ), ligjet e mekanikës klasike janë të pafuqishme për ta

përshkruar ato lloj lëvizjesh; në këtë rast ajo ja le vendin mekanikës relativiste, ligjet e së cilësjanë përshkruar nga A.Ainshtajn më 1915. Mekanika relativiste e përmban mekanikën klasike sirast të vecantë kur shpejtësitë e lëvizjes janë shumë më të vogla se ajo e dritës, pra ligjet emekanikës dalin si rast i vecantë i atyre të mekanikës relativiste për shpejtësi të vogla.

Zonës ku vlen mekanika e Njutonit, teoria e relativitetit i vë një kufi me anë të shpejtësivetë mëdha. Një tjetër kufi, që diktohet nga studimi i mikrobotës, i vihet jo vetëm kësaj mekanike,por edhe mekanikës relativiste të Ainshtajnit. Për të shpjeguar dukuritë mikroskopike qëzhvillohen në botën e atomit duhet patur parasysh aspekti valor i lëndës, si dhe karakteri kuantik ienergjisë. Për studimin e dukurive që ndodhin brenda atomit duhet ti drejtohemi mekanikës valore,apo formës më të plotë; mekanika kuantike.

trr

Kapitulli I

K I N E M A T I K A

Kinematika studjon lëvizjen e trupave ne hapësirë dhe kohë, pa marrë parasysh shkaqet ekëtyre lëvizjeve. Fillimisht do të trajtojmë kinematikën e pikës materiale, ku me pikë materiale dotë kuptohet trupi, dimensionet e të cilit në kushtet ku studjohet lëvizja nuk merren parasysh.Themi se njohim lëvizjen e një pike materiale në rast se dimë:

1. Trajektoren e lëvizjes që është vija e përshkruar në hapësirë nga pika materile gjatëlëvizjes. Në vartësi nga forma e trajektores lëvizja mund të jetë: drejtvizore, rrethore osenë përgjithësi e lakuar.

2. Origjina e lëvizjes që është një pikë cfarëdo e zgjedhur mbi trajektore. Është mirë që siorigjinë të zgjidhet pozicioni fillestar i pikës materiale që kryen lëvizjen.

3. Ekuacioni i lëvizjes, i cili shpreh vartësinë e rrugës që kryen pika materiale në lëvizje ngakoha. Me rrugë të pikës materiale do të kuptojmë largësinë e matur mbi trajektoren që kapërshkuar pika materiale.

1.1 EKUACIONET E LËVIZJES SË PIKËS MATERIALE. SHPEJTËSIA

Për të studjuar lëvizjen në hapësirë të një pike materiale M duhet të marrim një sistemboshtesh koordinativë (x, y, z). Pozicioni i pikës M përcaktohet nga tri kordinata x, y, z, (fig. 1), që

shprehin projeksionet e rrezes vektore OM mbi boshtet koordinative. Kur pika materiale lëvizatëhere pozicioni i saj në hapësirë ndryshon në lidhje me kohen, si rrjedhim edhe rrezja vektore r

në përgjithësi ndryshon si nga madhësia dhe drejtimi. Themi se rrezja r dhe x, y, z janëfunksione të kohes.

Pra kemi:

Fig. 1.1

Në qoftëse shënojmë me kji

,, vektoret njësi të boshteve koordinativë atëherë rrezjavektore r shprehet:

OMr kzjyix (1.1’)

)()()(

tzztyytxx

)1.1(X

Y

Z

x

y

z

M

M

r

Me anë të ekuacioneve (1.1) mund të gjendet pozicioni i pikës në hapësirë në cdo cast tëkohës, këto quhen edhe ekuacione të lëvizjes në kordinata karteziane . Lidhja )(trr

quhetekuacion vektorial i lëvizjes. Nëqoftëse dihet trajektorja e pikës materiale atehere pozicioni i sajmbi trajektore caktohet vetëm nga një parametër. Zgjidhet mbi trajektoren T kahu pozitiv (fig.2)dhe një origjinë për njehsimin e abshisave; pozicioni i pikës caktohet nga abshisa vijëpërkulur

MOS

, ose kur trajektorja është vijë e drejtë nga abshisa OMx

Fig. 1.2

Ekuacioni i lëvizjes mbi trajektoren e dhënë është )(tss ose )(txx .Le të futim kuptimin e shpejtesisë së pikës materiale. Për këtë le ta zëmë se në castin 1t

pika materiale zë pozicionin 1M , që përcaktohet nga rrezja vektore 11 rOM . Pas intervalit të

vogël të kohës t , d.m.th. në castin ttt 12 pika do të zërë në trajektore pozicionin 2M me

rreze vektore 22 rOM . Gjatë intervalit të kohës t = 12 tt , pika materiale ka përshkuar rrugën

(harkun) sMM 21 . Vektori 21MM = r i hequr nga pozicioni fillestar 1M tek pozicionipërfundimtar 2M quhet vektor i zhvendosje së pikës materiale gjatë kohës t . Nga figura 1.3

shihet se rrr 12 . Vektori r paraqet shtesën që merr rrezja vektore 1r

gjatë kohës t .

Raportintr e shënojmë me mV

dhe e quajmë shpejtësi mesatare gjatë intervalit të kohës

t . Pra kemitrVm

.

Fig. 1.3

Me zvogëlimin e intervalit të kohës t do të zvogëlohet përkatësisht edhe r . Gradualisht pika2M do t’i afrohet pikës 1M , njëkohësisht korda 21MM gjatë kësaj kohe do t’i afrohet gjithnjë e

më shumë harkut s , ndërsa prerësja 21MM do t’i afrohet tagjentes së trajektores në pikën 1M .

Kuptohet se kur t merr vlera mjaft të vogla, vektoritr praktikisht pushon së ndryshuari, si në

madhësi ashtu edhe në drejtim. Kjo do të thotë se kur t tenton drejt zeros, atëheretr tenton tek

një vlerë kufi v që quhet shpejtësi e pikës materiale në castin t ose shpejtësi e pikës materiale në

1M . Kjo që thamë më sipër shkruhet simbolikisht në formën:dtrd

trv

t

0

lim . Pra shpejtësia e

castit gjendet duke llogaritur derivatin e parë të rrezes vektore në lidhje me kohën.Duke patur parasysh formulën 1.1’ gjejmë:

kvjvivkdtdzj

dtdyi

dtdxkzjyix

dtd

dtrdv zyx

ku xv , yv dhe zv janë projeksionet e shpejtësisë sipas boshteve kordinativë.Shpejtësia është një madhësi vektoriale. Kur t behet pambarimisht e vogël, prerësja 21MMpërputhet me tagjenten e hequr në pikën 1M . Pra shpejtësia shtrihet sipas tagjentes dhe kadrejtimin e lëvizjes. Rruga elementare s në përgjithësi ka madhësi të ndryshme nga vleraabsolute e vektorit të zhvendosjes r . Por kur intervali i kohës merret mjaft i vogël(pambarimisht i vogël), pjesa s e rrugës dhe zhvendosja praktikisht mund të merren të barabarta.Në këtë rast shkruajmë:

dtds

ts

tr

vtt

00limlim

.

Shihet se vlera numerike e shpejtësisë së castit gjendet nga derivati i parë i rrugës në lidhje mekohën.

Nga barazimi:dtdsv (1.2) del se vdtds kurse rruga e përshkruar gjatë një intervali të fundëm

kohe, nga 0t në t , mund ta njehsojmë si më poshtë:

(1.3)

Ose

t

t

vdtss0

0 (1.4)

ku 0s përcakton pozicionin e pikës materiale në castin 0t . Në rast se kohën fillojmë ta matim ngacasti i fillimit të lëvizjes me fjalë të tjera në castin 00 t dhe në rast se pika materiale ndodhet nëkëtë cast në origjinën e lëvizjes O , pra nëse edhe 00 s atëhere formula e mësipërme shkruhet:

s

s

t

t

vdtdss0 0

t

vdts0

Njëlloj mund të nxjerrim se:

Duke patur parasysh formulën (1.2) rrjedh se formula e përmasave të shpejtësisë do të jetë:

1 LTTLv

pra në sistemin SI ajo do të matet me sm

1.2 NXITIMI

Shpejtësia në një lëvizje vijëpërkulur, në përgjithësi ndryshon si madhësinë ashtu edhedrejtimin; Për të karakterizuar ndryshimin e shpejtësisë futet madhësia fizike e nxitimit.Le ta zëmë se gjatë kohës t pika materiale ka shkuar nga pozicioni M në 1M . Le të jenë v dhe

vvv 1 shpejtësitë e pikës materiale në këto pozicione (fig. 1.4).

Fig. 1.4

Gjatë intervalit të kohës t vektori i shpejtësisë ka ndryshuar me v . E zhvendosim

vektorin 1v nga pozicioni 1M në M dhe gjejmë v . Bëjmë raportintv

dhe do të gjejmë një

vektor të ri. Ky vektor i ri quhet nxitimi mesatar i pikës materiale gjatë intervalit të kohës t :

tvam

(1.5)

Drejtimi i vektorit ma është ai vektori v . Me zvogëlimin e intervalit të kohës t do tëndryshojë edhe vektori ma . Po nëqoftëse e zvogëlojmë gjithnjë e më shumë t atëhere së fundi dotë vëmë re se ma do të pushojë së ndryshuari; kjo ndodh kur t bëhet pambarimisht e vogël. Mefjalë të tjera nxitimi mesatar tenton tek një vlerë kufi kur 0t . Këtë vlerë kufi e quajmë nxitimtë castit të pikës materiale dhe e shënojmë me a :

t

t

dtvsrr0

0

dtvd

tvaa

tmt

00

limlim (1.6)

Le të gjejmë nxitmin e pikës materiale që lëviz sipas një trajektore vijëpërkulur qështrihet në një rrafsh (fig 1.5)

Fig 1.5

Nga figura duket se vektorin v mund ta paraqesim: vv E zëvendësojmë këtë vlerë të v tek formula (1.6) dhe do të kemi:

dtdv

dtdv

dtvda

(1.7)

Në formulën e mësipërme duket se nxitimi në lëvizjen vijëpërkulur shprehet si shumë e dy

faktorëve, cdonjëri prej të cilëve paraqet një vektor. Faktorin e parë dtdv e quajmë nxitim

tagencial dhe e shënojmë me ta , i cili karakterizon ndryshimin e vlerës numerike të shpejtësisë.

Faktorin e dytëdtdv e quajmë nxitim normal dhe e shënojmë me na Le të gjejmë drejtimin e

vektorit na . Për këtë zbatojmë prodhimin numerik për vektorin njësi :

1 (1.8)

Duke derivuar këtë barazim në lidhje me t gjejmë:

0 dtd

dtd

që nga 02 dtd dhe 0

dtd

(1.9)

Nga barazimi (1.9) del sedtd është pingul me vektorin . Pra del se drejtimi i nxitimit

normal është pingul me tagjenten e hequr në pikën M. Le të gjejmë tani vlerën numerike të këtij

nxitimi. Vektoridtd shkruhet:

ndtd

dtd

(1.10)

ku n është një vektor i ri njësi i drejtuar sipasdtd , d.m.th pingul me vektorin . Të gjejmë vlerën

edtd :

dsdv

dtds

dsd

dtd

(1.11)

pra:

dsdv

dtd

(1.12)

Ndërsa vektoridtd del:

ndsdv

dtd

(1.13)

Përfundimisht gjejmë se nxitimi normal jepet nga shprehja:

nRvn

dsdv

dtdvan

22 (1.14)

ku madhësi R quhet rreze e kurbaturës së trajektores në pikën M :

dsd

R1

(1.15)

Nxitimi na i cili është pingul me v karakterizon ndryshimin e drejtimit të shpejtësisë.Nxitimi i plotë jepet nga formula:

nt aaa (1.16)

Ndërsa vlera numerike e nxitimit të plotë në bazë të teoremës së Pitagorës (fig.1.6) është:

Fig. (1.6)

Pra:

2

4222

Rv

dtdvaaa nt

(1.17)

Le të shohim se c’kuptojmë me rreze të kurbaturës në një pikë të trajektores vijëpërkulur.Kur vija e lakuar është një rreth rreze e kurbaturës së tij quhet rrezja R e rrethit, e cila jepet ngaformula (fig 1.7):

Fig 1.7

Ndërsa kurbatura e rrethit jepetR

k 1 . Le të jetë vijaplane si në figurën 1.8:

Fig. 1.8

Me përkufizim rreth te kurbaturës së një vije plane në një pikë M do të quajmë pozicioninlimit të rrethit që kalon nëpër pikën M dhe dy pika të tjera 1M dhe 2M kur keto të dyja i afrohenpambarimisht pikës M. Nga figura duket se:

sR (1.19)

sR

Sipas përkufizimit rrezja e kurbaturës së vijës në pikën M do të ishte rrezja e rrethit kufi ecila do të na jepej mbasi tek formula 1.19 të kryhet procesi limit. Ndërsa kurbatura që është eanasjellta e rrezes së kurbaturës do të gjendej:

dsd

sk

s

0

lim

Le të tregojmë se kurbatura mund të shprehet ndryshe edhe me formulën:

dsdk

Heqim në pikat M dhe 2M vektoret njësi dhe 1 =

sipas tagjenteve. Vektori 1

e zhvendosim me origjinë në pikën M . Nga trekëndëshi MBC (Fig. 1.9) kemi :

Fig 1.9

2

sin2

Dhe kurbatura do të na jepej:

dsd

ssdsdk

ss

00

limlim

.

Pra provuam se:

Rk

dsd

dsd 1

Formulë që e përdorëm më parë. (shih formulën 1.15).

1.3 LËVIZJA E NJËTRAJTSHME. LËVIZJA E NDRYSHUAR.

Quhet lëvizje e njëtrajtshme lëvizja ku vlera algjebrike e shpejtësisë është konstante,domethënë kur nxitimi tagencial është i barabartë me zero. Nga perkufizimi kemi:

vtss 0

ku 0s është abshisa e pikës në castin zero. Në qoftë se merret 00 s atehere kemi:

vts

Në lëvizjen e njëtrajtshme pika lëviz në një kah prandaj rruga s që përshkon pika në intervaline kohës 12 tt është në madhësi sa shtesa e abshisës:

1212 ttvsss

Në qoftë se vlera algjebrike e shpejtësisë ndryshon me kohën atëhere lëvizja quhet endryshuar. Në lëvizjen drejtvizore nxitimi tagencial është i barabartë me zero.Levizja quhet njëtrajtësisht e nxituar kur vlera algjebrike e nxitimit është konstante, domethënë kurnë intervale kohe të barabarta, ndryshimet e madhësisë së shpejtësisë janë të barabarta. Në këtë rastvlera algjebrike e nxitimit tangencial është sa ndryshimi i vlerës algjebrike të shpejtësisë nënjësinë e kohës:

dtadv t

nga ku

)( 00 ttavv t (1.20)

Nëqoftëse 00 t atëhere kemi:

tavv t 0 (1.21)

Të gjejmë ekuacionet e lëvizjes së pikës në trajektoren e saj. Kemi:

tavdtdsv t 0

Nga ku

ku 0s është abshisa e pikës në castin 0t . Në qoftë se origjinën e abshisave e marrim nëpikën ku ndodhet pika materiale në castin 0t , atëhere:

20 2

1 tatvs t (1.22)

Duke përjashtuar kohën nga formula (1.21) dhe (1.22) marrim:

savv t220

2

02

0 21 statvs t

Lëvizja e ndryshuar quhet e shpejtuar ose e nxituar kur moduli i shpejtësisë rritet mekalimin e kohës dhe quhet e ngadalësuar kur moduli i shpejtësisë zvogëlohet me kohën.

1.4 LËVIZJA RRETHORE

Rasti i vecantë i lëvizjes vijëpërkulur është lëvizja rrethore. Në analogji me kuptimin eshpejtësisë dhe të nxitimit linear në lëvizjen tejbartëse, futim kuptimin e shpejtësisë këndore dhetë nxitimit këndor.

Le ta zëmë se kemi një pikë materiale që rrotullohet sipas rrethitme rreze R (fig. 1.10). Vendondodhja e pikës në rrethpërcaktohet kur dimë këndin që formon rrezja vektore OMme boshtin ox.

Për të karakterizuar shpejtësinë e lëvizjes së pikës në rreth, fusim kuptimin e shpejtësisë këndore sipas barazimit.

dtd

tt

0

lim (1.23)

ku është këndi i rrotullimit të pikës gjatë kohës t .Lëvizja quhet e njëtrajtshme kur tec dhe t . Në këtë rast quhet edhe frekuencë

këndore ose rrethore. Po të shënojmë me T kohën e një rrotullimi të plotë dhe n numrin errotullimeve në sekondë kemi:

nT

22

ku T quhet periodë dhe n frekuencë e rrotullimit.

Shpejtësia këndore është një vektor që shtrihet sipas drejtëzës së hequr nga qendra e rrethitdhe pingul me planin e rrethit (fig 1.11). Drejtimi i saj përcaktohet sipas rregullës së tryelës; errotullojmë tryelën sipas rrotullimit të pikës materiale në rreth. Përparimi i saj jep drejtimin eshpejtësisë këndore

Fig. 1.10

R

Fig 1.11

Gjejmë lidhjen midis shpejtësisë këndore dhe shpejtësisë lineare:

Rdt

Rddtdsv

Duke u mbështetur në figurën 1.12 duket se lidhja midis vektorëve , R

dhe v jepet ngaprodhimi vektorial Rv

Fig 1.12Kur shpejtësia këndore ndryshon me kalimin e kohës futet kuptimi i nxitimit këndor

sipas formulës:

dtd

tt

0

lim

Nxitimi këndor

shtrihet sipas shpejtësisë këndore dhe ka drejtimin e saj kur lëvizja ështëe nxituar dhe të kundërt kur lëvizja është e ngadalësuar. Në qoftëse nxitimi këndor është konstantlëvizja është njëtrajtësisht e ndryshuar.Le të gjejmë lidhjen ndërmjet nxitimit tagencial dhe normal me shpejtësinë këndore dhe nxitiminkëndor:

R

dtdR

dtRd

dtdvat

RRvan

22

Për lëvizjen rrotulluese njëtrajtësisht të ndryshuar mund të shkruajmë: dtd nga kuduke integruar gjejmë:

t 0

ose duke u nisur nga dtd gjejmë nëpërmjet integrimit:

2

2

0tt

Në sistemin SI shpejtësia këndore matet me srad dhe nxitimi këndor 2s

rad .

1.5 KINEMATIKA E TRUPIT TË NGURTË

Të gjithë trupat shformohen deri në një farë mase, nën veprimin e forcave që veprojnë mbito. Në këtë rast studimi i lëvizjes së trupit vështirësohet shumë. Për thjeshtim fusim kuptimin etrupit absolutisht, i cili nuk shformohet nën veprimin e forcave që veprojnë mbi të.

Trup absolutisht të ngurtë ose shkurt trup të ngurtë do të quajmë trupin, ku pjesët evecanta të tij nuk zhvendosen në lidhje me njëra-tjetrën.Cdo zhvendosje e trupit të ngurtë, sado e ndërlikuar që të jetë, zbërthehet në një lëvizje tejbartësedhe në një lëvizje rrotulluese rreth një boshti.Lëvizje tejbartëse quhet ajo lëvizje ku cdo vije e hequr në trup zhvendoset duke qëndruar paralelme vetveten (fig. 1.13)

fig 1.13

Është e qartë se në këtë rast shpejtësia dhe nxitimet e të gjithë pikave janë të njëjta. Pra nërastin e lëvizjes tejbartëse të trupit të ngurtë mjafton të studjojmë vetëm lëvizjen e një pike tëtrupit. Vëmë në dukje se kjo lëvizje nuk është e thënë të jetë vijëdrejtë.

Një rast i rëndësishëm i lëvizjes së trupit të ngurtë është ai i lëvizjes rrotulluese. Lëvizjaquhet rrotulluese kur trajektoret e pikave janë rrathë, qëndrat e të cilëve ndodhen në një drejtëzqë quhet boshti i rrotullimit. Boshti i rrotullimit mund të ndodhet si brenda trupit ashtu edhe jashtëtij. Boshti i rrotullimit mund të ndryshojë vendndodhjen nga casti në cast; në këtë rast flasim përbosht rrotullimi të castit.

Në përgjithësi trupi i ngurtë mund të kryejë njëkohësisht, si lëvizje tejbartëse ashtu edherrotulluese. Përshembull pedali i bicikletës, Toka në lëvizjen rreth Diellit etj..Le të shqyrtojmë një trup të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti të palëvizshëm (fig 1.14)

fig. 1.14

Marrim një pikë M që ndodhet në një largësi R. Shpejtësia lineare e kësaj pike jepet meformulen:

Rv

Kuptohet se shpejtësitë lineare të pikave të trupit të ngurtë janë të ndryshme. Sa më largboshtit të jenë ato aq më të madhe do të kenë këtë shpejtësi. Që këtej del se për rastin e trupit tëngurtë nuk ka kuptim të flitet për shpejtësi lineare të trupit në tërësi. Të njëjtën gjë mund të themiedhe për nxitimin linear.

Ndërsa kuptohet fare thjeshtë se shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor kanë vlerë të njëjtëpër të gjithë pikat e trupit të ngurtë.

Për nxitmin këndor, shpejtësinë këndore, nxitmin tagencial, nxitimin normal, etj., vlejnë poato marëdhënie midis tyre apo rregulla që i trajtuam në paragrafet e mëparshme.

Kapitulli II

DINAMIKA

Dinamika studjon lëvizjen e trupave duke marrë parasysh shkaqet e ndryshimit tësaj. Ligjet themelore të dinamikës janë formuluar nga Njutoni në vitin 1687. Këto ligje sigjithë ligjet themelore të fizikës janë përgjithësime faktesh eksperimentale.

Në fillim do të tregojmë dinamikën e pikës materiale. Fillimisht po rikujtojmëkuptimin e forcës që përbën një nga konceptet themelore të dinamikës. Një farë ideje përforcën e krijojmë kur përkulim një shufër çeliku apo kur ngrejmë një trup sipas një drejtimi.Në përgjithësi çdo veprim qe është i aftë të shformojë një trup, ose të ndryshojë lëvizjen e tijquhet forcë.

Per te percaktuar nje force duhet njohur: a) pika e zbatimit të saj . b) drejteza sipasse ciles ajo shtrihet. c) kahu sipas te cilit ajo vepron d) madhesi (vlera numerike,moduli isaj).

Kuptohet qe forca eshte nje madhesi vektoriale. Per kete arsye forcen e paraqesimme ane te nje vektori.

2.1 LIGJI I PARE I NJUTONIT

Ligji i pare i Njutonit eshte ligji i inercise se Galileut(ai eshte vene ne dukje perhere te pare nga Galileu) dhe formulohet ne kete menyre:

Pika materiale mbi te cilen nuk veprojne trupa te tjere eshte ne prehje ose nelevizje drejtvizore te njetrajtshme

Me fjale te tjera neqoftese mbi piken materiale nuk vepron ndonje force (d.m.th.rezul-tantja e forcave eshte zero) atehere ajo eshte ne prehje ose ne levizje drejtvizore tenjetrajtshme. Theksojme se ligji i pare i Njutonit nuk eshte i vertete ne çdo sistemreferimi. Ato sisteme ne lidhje me te cilat vertetohet ligji i pare quhen sisteme inerciale.

Neqoftese nje sistem eshte inercial , atehere inercial do te jete edhe çdo sistem tjeterqe leviz ne menyre drejtvizore te njetrajtshme ne lidhje me te.

Toka rrotullohet rreth boshtit te vet d.m.th. ajo leviz me nxitim.Por ky nxitim eshtemjaft i vogel prandaj per shume dukuri sistemi i lidhur me token eshte praktikisht inercial.

Ligji i pare i Njutonit shpreh nje veti te pergjithshme te lendes, te lidhur me faktinse çdo trup synon te ruaje gjendjen e levizjes drejvizore te njetrajtshme, apo teprehjes.Kjo veti e pergjithshme e trupave quhet inerci , prandaj edhe ligji i parë Njutonitquhet ligji i inercise.

2.2 LIGJI I DYTE I NJUTONIT

Neqoftese mbi nje trup (pike materiale) ushtrohet nje force F atehere ai fiton njenxitim a qe ka drejtim dhe kahe të njëjtë me forcën F dhe madhësinë në përpjestim tëdrejtë me të.

PraFka

(2.1)

Nëqoftëse k e vëmë në trajtën k=m1 , formula e mësipërme shkruhet në

formën:

amF (2.2)

ku m është një madhësi skalare , pozitive, që karakterizon pikën materiale në studim,ajo është masa e saj. Masa është madhësi fizike që karakterizon inertësinë e trupave. Nesistemin SI njësia e masës është kilogrami (kg) që përbën një nga njësitë themelore tëkëtij sistemi.

Ligji i dytë i Njutonit vlen jo vetëm për pikat materiale , por edhe për çdotrup që kryen lëvizje tejbartëse . N.q.s mbi trupat që kryejnë lëvizje tejbartëse ,vepron e njëjta forcë F

atëhere del që:

2

1

2

1

aa

mm

(2.3)

ku 1m dhe 2m janë masat , ndërsa 1a dhe 2a janë nxitimet e trupave. Meanën e formulës së mësipërme mund të krahasohen masat e trupave d.m.th mund tëgjendet raporti i tyre.

Nëqoftëse me marrëveshje masa e një trupi zgjidhet si një njësi, atëhereme anën e formulës (2.3) mund të gjendet masa e çdo trupi.

Formula e përmasave duke u mbështetur në lidhjen (2.2) do të jetë:

amF ose:

2 TLMF

Pra në sistemin SI forca matet me 2smkg . Kjo njësi e forcës quhet Njuton

dhe shenohet me N.

2.3 LIGJI I TRETË I NJUTONIT

Ligji i tretë i Njutonit bën fjalë për forcat me të cilat bashkëveprojnë dytrupa. Ai quhet dhe ligji i veprimit dhe kundërveprimit dhe formulohet në këtëmënyrë:

Forcat me të cilat bashkëveprojnë dy trupa , ose sistem trupash kanë kahe tëkundërta, module dhe vijë veprimi të njëjtë.

Nëqoftëse trupi 1 vepron mbi trupin 2 me forcë F

12 atëhere edhe trupi idytë vepron mbi të parin me forcën F

21 = - F

12 .

Kuptohet se forcat e bashkëveprimit, megjithëse janë forca të kundërta nukekuilibrojnë njëra tjetrën, meqënëse ato ushtrohen në trupa të ndryshëm.

Më poshtë (shih figurën 2.1) janë paraqitur skematikisht forcat e bashkëveprimit tëdy trupave kur janë në takim me njëri tjetrin dhe kur janë në distancë nga njëritjetri .

Fig. 2.1

Fig. 2.2

2.4. IMPULSI I FORCËS. SASIA E LËVIZJES.

DIELLI

TOKA

1

2

21F

12F

21F

12F

1

2

Le të jetë F një forcë konstante dhe t2-t1 intervali i kohës gjatë të cilit ajo vepron.Prodhimin e forcës me intervalin e kohës gjatë të cilit ajo vepron, pra madhësinë 12 ttF

e

quajmë impuls force .Ndërsa n.q.s gjatë intervalit të kohës (t2-t1) forca F ndryshon, e ndajmë intervalin

e kohës në pjesë pambarimisht të vogla gjatë të cilave forca merret konstante.Nëqoftëse Fështë forca që vepron gjatë intervalit dt të kohës atëhere madhësia dtF

quhet impuls

elementar i forcës gjatë kohës dt. Impulsi i forcës gjatë intervalit të kohës 12 tt është:

dtFt

t2

1

.

Madhësia vmp ku m është masa e pikës materiale dhe v është shpejtësia e

saj quhet sasi e lëvizjes së pikës materiale, ose impuls i pikës materiale.Në rast se mbi pikën materiale me masë m vepron forca F nga ligji i dytë i

Njutonit shkruajmë :

amF ose vm

dtd

dtvdmF

ku pvm dhe ligji i dytë i Njutonit shkruhet:

dtpdF

(2.4)

Kjo lidhje mund të shkruhet akoma:

dtFpd (2.5)

e cila shpreh teoremën e impulsit të pikës materiale në trajtë elementare:Ndryshimi elementar i impulsit të pikës materiale gjatë kohes dt është i barabartë

me impulsin elementar të forcës gjatë kësaj kohe.Po të integrojmë në kufijt nga t1 në tek formula (2.5)marrim:

2

1

1212

t

t

dtFvmvmpp (2.6)

Formula e fundit shpreh teoremën e impulsit të pikës materiale në trajtë tëfundme: Ndryshimi i impulsit të pikës materiale në intervalin e kohës (t2-t1) është ibarabartë me impulsin e forcës gjatë këtij intervali kohe.

2.5 IMPULSI I SISTEMIT TË PIKAVE MATERIALE.LIGJI I RUAJTJES SË IMPULSIT

Sistemi i pikave materiale është një grumbull pikash të tilla që përfshihen në njëfarë zone të hapsirës.Si impuls të sistemit të pikave materiale merret shuma eimpulseve të të gjithë pikave materiale që e përbëjnë atë:

n

iiinn vmvmvmvmp

12211 ..... (2.7)

Pikat e sistemit mund të bashkëveprojnë midis tyre dhe me trupat qe nuk bëjnë pjesënë sistem. Forcat e bashkëveprimit midis pikave (trupave) të sistemit quhen forca tëbrëndshme, ndërsa forcat që ushtrohen mbi pikat e sistemit nga trupat që nuk bëjnëpjesë në të quhen forca të jashtme.

Për thjeshtim studiojmë sistemin e përbërë vetëm nga dy pika materiale me masë m1 dhem2 mbi të cilat veprojnë përkatësisht forcat 1F , 2F dhe 21F , 12F janë forcat e brëndshmeqë veprojnë mbi secilën prej pikave materiale, (shih fig 2.3).

.........................................

Fig. 2.3

Në bazë të ligjit të dytë të Njutonit shkruajmë:

dtpd 1 = 1F + 21F dhe 2

2 Fdtpd

+ 12F (2.8)

Duke i mbledhur anë për anë gjejmë:

2121 FF

dtpd

dtpd

ose 2121 FFppdtd

(2.9)

meqënëse në bazë të ligjit të tretë të Njutonit 02112 FF . Shuma ppp 21 jep impulsin e

sistemit të dy pikave materiale, kurse FFF 21 jep rezultanten e forcave tëjashtme.Me këto shënime formula (2.9) merr trajtën:

Fdt

pd (2.10)

Në të njëjtën mënyrë mund të provojmë se formula (2.10) është e vërtetë edhepër një sistem të përbëre nga një numër çfardo pikash materiale . Lidhja (2.10)shpreh teoremën e impulsit për sistemin e pikave materiale:

1F

21F

12F 2F

1

2

Derivati në lidhje me kohën e impulsit të sistemit të pikave materiale është i barabartëme rezultanten e forcave të jashtme që veprojnë mbi sistem. Sistemi quhet i mbyllur, ose iveçuar nëqoftëse në të nuk ushtrohen forca të jashtme. Për një sistem të tillë do të kishim:

0dt

pd

që nga:p konstante

Pra impulsi i sistemit të mbyllur ruhet d.m.th nuk ndryshon me kalimin ekohës.Ky pohim përbën ligjin e ruajtjes së impulsit. Forcat e brëndshme ndryshojnëimpulset e pikave të veçanta të sistemit,por ato nuk ndikojnë në impulsin e gjithësistemit.

2.6 PUNA DHE FUQIA

Për të zhvendosur një trup, për të ngritur një ngarkesë, ose për të shformuar një sustë ,duhet të ushtrojmë mbi trupin një forcë. Për të karakterizuar këtë efekt të forcave,futet kuptimi ipunës; në përgjithësi thuhet se një forcë kryen punë në rast se ajo e zhvendos pikën e zbatimittë saj.

Le ta zëmë se forca F që vepron mbi një trup është konstante dhe s ështëzhvendosja e saj.Puna e kryer nga kjo forcë jepet nga madhësia:

sFsFsFA s cos(2.11)

ku paraqet këndin midis vektorëve F dhe s , ndërsa sF projeksionin e F mbi s .(fig. 2.4)

Fig. 2.4

Por në përgjithësi pika e zbatimit të forcës mund të lëvizë sipas një vijeçfardo dhe forca F të ndryshojë nga çasti në çast.

Në këtë rast vija ndahet në pjesë pambarimisht të vogla ds (fig . 2.5) kuforca mund të konsiderohet konstante.

Fig. 2.5

Puna elementare gjatë zhvendosjes ds ështe:

dA = sdF

Zhvendosja ds është sa shtesa e rrezes vektore r të pikës së zbatimit tëforcës;kështu që mund të shkruajmë:

dA = dzFdyFdxFdrF zyx

(2.12)

ku ZYx FFF ,, dhe dzdydx ,, jane përkatësisht projeksionet e forcës F dhe të

zhvendosjes dr mbi boshtet koordinativ. Puna e plotë gjate zhvendosjes nga 1 në 2sipas vijës L do të jepet si më poshtë:

A = dzFdyFxdFdrF zyx 2

1

2

1

. (2.13)

Duke pasur parasysh se forca matet me njuton, ndërsa zhvendosja me metradel se puna do të matet me njuton-metër; kjo njësi quhet zhul ose xhaul dheshënohet me gërmën J.

Në praktikë ,në shumë raste na intereson jo vetëm madhësia e forcës së kryer,por edhe koha gjatë së cilës ajo kryhet. Për të vlerësuar forcën nga kjo pikpamjefutet një madhësi fizike e veçantë fuqia, e cila ështe numerikisht e barabartë mepunën në njësinë e kohës. Në rast se gjatë kohës kryhet puna fuqia është:

tAP

(2.14)

N.q.s puna kryhet ne mënyrë jo të njëtrajtshme fusim kuptimin e fuqisë sëçastit:

dtdA

tAp

t

0

lim (2.15)

Në bazë të formulës (2.14) del se njësia e matjes së fuqisë do të jetë xhaulpër sekondë që quhet vat (Ë).

2.7 ENERGJIA KINETIKE

Në përgjithësi themi se një trup ose një sistem trupash zotërojnë energji kur janë të aftë tëkreyejnë punë mekanike. Atëherë mund të japim këtë përcaktim për energjinë; energjia ështëmadhësia fizike, zvogëlimin i së cilës jep punën e kryer. Që këtej del se energjia do të matet me poato njësi që matet dhe puna.

Cdo trup që është në lëvizje është i aftë të kryej punë kur shpejtësia e tij zvogëlohet dhe kurmbi të të kryejmë punë shpejtësia e tij zmadhohet. Nga sa thamë më sipër del se cdo trup nëlëvizje zotëron energji. Këtë e quajmë energji kinetike.

Le të gjejmë punën e forcës rezultante që vepron mbi një trup kur ai zhvendoset nga pika 1në pikën 2 të trajektores së tij.

Siç e pamë më parë puna elementare jepet: dsFsdFdA s

Ndërsa puna e plotë do të jetë:

2

112

21

22

2

1

1

1 22 kks EEmvmvvdvmdsdtdvmdsFA

Madhësinë2

2mvEk quhet energji kinetike e pikës materiale me masë m dhe shpejtësi v .

Puna e forcës rezultante që vepron mbi trupin (pikën materiale), është:

12 kk EEA Pra puna e kryer nga forca është e barabartë me ndryshimin e energjisë kinetike. Energjia

kinetike e trupit në një gjendje të dhënë lëvizjeje është e barabartë me punën që duhet të kryejnëtrupat për ta sjellë nga prehja në këtë gjendje.

Meqënëse shpejtësia e trupit varet nga sistemi llogaritjes edhe energjia kinetike është jo enjëjtë me sisteme të ndryshme llogaritjeje, pra është madhësi relative.Si njësi për matjen e energjisë kinetike dhe të gjitha llojet e energjisë përdoren njësitë e punës.

2.8 ENERGJIA POTENCIALE

Në rast se në cdo pikë të hapësirës është përcaktuar sipas një ligji të caktuar madhësia eforcës, atëhere themi se është dhënë një fushë forcash. Të tillë kemi rastin e fushës së forcave tëtërheqjes së gjithësishme që në lidhje me Tokën quhet edhe fushë e forcave të rëndesës.

Le të llogarisim punën e këtyre forcave. Për këtë le të mendojmë se pika materiale me masëm lëviz nga pozicioni 1 në pozicionin 2 nëpër një trajektore si në figurën 2.6

Fig. 2.6

Për këtë qëllim rrugën e plotë e ndajmë në rrugë elementare S dhe për secilën prej tyregjejmë punën elementare:

cos SPA

Sic duket nga figura: hS cos

Atëhere puna elemntare është:

hmghPA ose

dhmgdA Puna e plotë do të jepej:

2

12112

2

1

h

h

mghmghdhmgdAA (2.16)

Meqënëse trajektoren e morëm të cfarëdoshme shihet qartë se ky rezultat nuk varet ngaforma e trajektores, por vetem nga pozicioni 1 dhe 2 i pikës materiale. Kjo do të thotë se puna eplotë 12A e llogaritur sipas trajektores 1T është e barabartë me atë të trajektores 2T , që këtej del sepuna e kryer gjatë një vije të mbyllur 21 21TT do të jetë zero:

0sdP (2.17)

Fig. 2.7

Një veti të tillë sic do ta shohim më vonë e gëzojnë edhe fusha e forcave elektrostatike osendonjë fushë tjetër forcash. Forcat që plotësojnë formulën (2.17) quhen forca potenciale.Meqënëse puna e kryer nga këto forca varet vetëm nga vendndodhja fillestare dhe përfundimtare epikës materiale ne mund ti vemë në korrespondence cdo pike nje numer të tillë që diferenca e tyretë na japë drejtpërdrejt punën e kryer kur zhvendosemi nga njera pikë tek tjetra. Këtë madhësi dota quajmë energji potenciale dhe do ta shënojmë me pE

Nga sa thamë më lart del se në një fushë forcash potenciale:

2

12112 pp EEsdPA

(2.18)

Nga formula e mësipërme duket qartë se në një fushë forcash potenciale, puna e kryer nganjë pike materiale është e barabartë me zvogëlimin e energjisë së saj potenciale.

Duke krahasuar formulën (2.18) me (2.16) del se enegjia potencial e një trupi me masë mqë ndodhet në lartësinë h nga Toka do të jetë:

hgmE p

me kusht që energjia potenciale në sipërfaqen e Tokës të merret zero.Për një ndryshim elementar të pozicionit të pikës materiale në lidhje me sipërfaqen e Tokës

puna elementare është:

pEA ose në limit

pdEdA

Nëqoftëse trupi bie lirisht (vetëm nën veprimin e forcës së rëndesës) nga lartësia h nësipërfaqen e Tokës, atëhere puna e forcës së rëndesës është:

EpmghmghA 0

Energjinë potenciale që ka trupi në lartësinë h mund ta interpretojmë si punë që kryen forcae rëndesës për ta cuar trupin nga kjo lartësi deri në sipërfaqen e tokës.

2.9 LIGJI I RUAJTJES SË ENERGJISË MEKANIKE

Dimë nga përvoja se gjatë rënies së një trupi nga njëfarë lartësie h drejt Tokës shpejtësia etij vjen duke u rritur. Pra energjia e tij kinetike rritet, ndërsa ajo potenciale zvogëlohet.

Le të llogarisim ndryshimin e të dy energjive në këtë rast. Forca e vetme që vepron mbitrup (pikën materiale) është forca e rëndesës. Le ta zëmë se në lartësinë h trupi ka shpejtësinë v dhenë lartësinë 2h ka shpejtësinë 2v . Puna e forcave të rëndesës nga njëra anë është e barabartë mendryshimin e energjisë kinetike dhe nga ana tjetër me minus ndryshimin e energjise potenciale.

12 kk EEA dhe 12 pp EEA

Nga këto barazime ne nxjerrim se:

1212 ppkk EEEE ose

2211 pkpk EEEE

Shuma e energjise kinetike me atë potenciale quhet energji mekanike. Barazimi i fundittregon se energjia mekanike e një pike materiale që ndodhet në një fushë forcash potenciale ështënjë madhësi konstante. Ky formulim përbën ligjin e ruajtjes së energjisë mekanike. Si shëmbullforcash jo potenciale mund të përmendim forcat e fërkimit; puna e kryer prej këtyre forcave varetjo vetëm nga pozicioni fillestar dhe përfundimtar por edhe nga forma e rrugës së ndjekur. Gjatë njërruge të mbyllur puna e forcave të fërkimit është negative.

Energjia mekanike e pikës materiale nuk ruhet kur veprojnë forcat e fërkimit, ajozvogëlohet duke u shndërruar në forma të tjera të energjisë, kryesisht në energji termike.

2.10 MOMENTI I FORCËS. MOMENTI I IMPULSITLëvizja që ndërmerr trupi i ngurtë nën veprimin e një force varet edhe nga pozicioni i pikës

së zbatimit të forcës, prandaj futet një madhësi fizike e vecantë që quhet momenti i forcës nëlidhje me një pikë.

Le të jetë F

një vektor, 0 një pikë dhe 00 r rrezja vektore e origjinës 0 të vektorit F

në lidhje me pikën 0 (Fig 2.8).

Fig 2.8

Momenti i vektorit F

në lidhje me pikën 0 quhet vektori 0M

i barabartë me prodhimin vektorial

Fr

.

Pra FrFM

)(0

Në qoftë se këndi midis vektorëve r dhe F

është atëherë moduli i vektorit 0M

është

FlFrM sin0 , ku l largesa e pikës 0 nga drejtëza ku ndodhet vektori F

. Gjatësia lquhet edhe krahu i vektorit në lidhje me pikën O.

Momenti i vektorit F

nuk ndryshon kur vektori rreshqet mbi drejtëzën ku shtrihet. Nga sathamë më sipër vlejnë për momentin e një vektori cfarëdo F

, por kur F

paraqet një forcë atëherë

do të kishim të bënim me momentin e një force në lidhje me një pikë.Le të japim kuptimin e momentit të një force në lidhje me një bosht. Marrim një bosht OZ,

O një pikë e tij (fig. 2.8) dhe oM

momenti i vektorit F

në lidhje me pikën O. Moment të vektorit

F

në lidhje me boshtin Z do të quajmë projeksionin e momentit 0M

mbi këtë bosht.

0)( MeFM z

ku e është vektor njësi i boshtit Z.Mund të provojmë që zM nuk varet nga zgjedhja e pikës O mbi bosht. Le të jetë 1O një

pikë tjetër e boshtit. Momenti i vektorit F

në lidhje me këtë pikë është:

)(000000)( 111011 FMFreFreFeFreFeMeFM zz

sepse 0001 Fe

Le të shqyrtojmë momentin e impulsit të pikës materiale në lidhje me një pikë O, të cilën emarrim si origjinë të sistemit të referimit. Projeksionet e rrezes vektore r dhe të impulsit vm

mbi boshtet koordinativë janë përkatësisht x, y , z dhe xm , ym dhe zm (Fig. 2.9).

Fig. 2.9

Atëherë momenti i impulsit 0K

mund të jepet në trajtën e përcaktorit:

zmymxmzyxkji

vmrK

0 (2.19)

ku i

, j

, k

janë vektorët njësi të boshteve të sistemit të referimit.Projeksionet e momentit të impulsit mbi boshtet (d.m.th. momentet e impulseve të pikës

materiale në lidhje me boshtet e sistemit të referimit) do të jenë:

yzzymK x zxxzmK y

xyyxmK z

Shqyrtojmë rastin kur pika materiale lëviz mbi rrethin me rreze r (Fig 2.10). Moduli imomentit të impulsit në lidhje me qëndrën jepet 20 rmvmrK ose

2

0 mrK

meqënëse vektorët 0K

dhe janë paralelë.

Fig 2.10Nëqoftëse mbi pikën materiale ushtrohet një forcë F

atëherë në përgjithësi momenti i

impulsit 0K

ndryshon. Le të gjejmë këtë lidhje midis momentit të impulsit të pikës materiale dheforcës.

Nisemi nga formula vmrK 0 ku duke derivuar të dy anët do të kemi:

vmdtdrvm

dtrd

dtKd

0

Meqënëse pika O është e palëvizshme kemi vdtrd

. Termi i parë në formulën e mësipërme

është i barabartë me zero si prodhim vektorial i dy vektorëve kolinear. Kurse termi )( vmdtd jep F

në bazë të ligjit të dytë të Njutonit.Përfundimisht kemi:

)(00 FMFr

dtKd

(2.20)

ku )(0 FM

është momenti i forcës F në lidhje me pikën O. Formula e fundit shpreh teoremën emomentit të impulsit që formulohet në këtë mënyrë: derivati në lidhje me kohën i momentit tëimpulsit të pikës materiale në lidhje me një pikë të palëvizshme është i barabartë me momentin eforcës në lidhje me atë pikë.

Nëqoftëse e projektojmë ekuacionin vektorial (2.20) në lidhje me një bosht p:sh në lidhjeme boshtin OZ do të kemi:

)(FMdt

dKz

z

ku )(FM z

ëshë momenti i forcës në lidhje me boshtin OZ. Formulën e mësipërme mund ta

shprehim me fjalë në këtë mënyrë: derivati në lidhje me kohën i momentit të impulsit të pikësmateriale në lidhje me nje bosht të palëvizshëm është i barabartë me momentet e forcës së jashtmenë lidhje me këtë bosht.

Formulimi i mësipërm shpreh teoremën e momentit të impulsit të pikës materiale nëlidhje me një bosht.

2.11 MOMENTI I IMPULSIT TE SISTEMIT TË PIKAVE MATERIALE.LIGJI I RUAJTJES SE MOMENTIT TË IMPULSIT

Le të kemi një sistem n pikash materiale. Moment të impulsit të pikave materiale në lidhjeme një pikë të palëvizshme O do të quajmë shumën vektoriale të momenteve të impulseve të tëgjithë pikave materiale në lidhje me këtë pikë.

ii

n

Innn vmrvmrvmrvxmrK

1

12221110 .....

Marrim si origjinë të sistemit të referimit pikën O në lidhje me të cilën duam të llogarisimmomentin e impulsit të sistemit të pikave materiale. Atëhere momenti i impulsit do të jepet si mëposhtë:

n

iiii

iii

zmmyxmzyxkji

K1 ',

0

Nga ku del se momentet e impulseve të sistemit në lidhje me boshtet e sistemit koordinativ janë:

i

iiiiix yzzymK

i

iiiiiy yxxzmK

i

iiiiiz xyyxmK

Shqyrtojmë rastin kur sistemi (trupi) kryen lëvizje tejbartëse me shpejtësi v. Në këtë rastvvi

dhe do të kemi për momentin:

i i

iiio vmrvmrK 1

Por në bazë të përcaktimit të qëndrës së masës cii

i rmmr ku m është masa e gjithë

sistemit të pikave materiale dhe cr është rrezja vektore e qëndrës së masës në lidhje me pikën O.

Rrjedhimisht del:

vmrK co

Momenti i impulsit të sistemit është sa momenti i impulsit të pikës materiale me masë samasa e sistemit dhe e vendosur në qëndrën e masës së sistemit.

Le të jetë ijF

forca e jashtme që ushtrohet mbi pikën e tei dhe ibF

forca e brendshme që

vepron mbi të. Në bazë të teoremës së momentit të impulsit shkruajmë për pikën tei .

jbiijiiii FrFrvmrdtd

ku ir është rrezja vektore e pikës në lidhje me një pikë të palëvizshme O. Shkruajmë ekuacionet e

momenteve për të n pikat e sistemit dhe do të gjejmë:

n

ijb

n

iiijiii

n

ii FrFrvmr

dtd

1 11

Duke zbatuar ligjin e tretë të Njutonit provohet thjesht se momentet e forcave të brendshmee kanë shumën zero.

Rrjedhimisht del se:

ojMdtKd

0 (2.21)

ku

n

iiiio vmrK

1

është momenti i impulsit të sistemit në lidhje me pikën fikse O dhe ojM

është

shuma e momenteve të forcave të jashtme në lidhje me po atë pikë.Formula (2.21) përbën teoremën e momentit të impulsit për sistemin e pikave materiale.

Po të bëjmë projeksionin e formulës (2.21) mbi një bosht që kalon nëpër pikën O p.sh mbiboshtin z do të gjejmë:

zjz M

dtdK

(2.22)

ku zK është momenti i impulsit të sistemit në lidhje me boshtin z dhe zjM është shuma emomenteve të forcave të jashtme në lidhje me po këtë bosht. Formula e mësipërme përbënteoremën e momentit të impulsit në lidhje me një bosht të cilën e formulojmë kështu: derivati nëlidhje me kohën i momentit të impulsit të sistemit, në lidhje me një bosht të palëvizshëm është ibarabartë me shumën e momenteve të forcave të jashtme në lidhje me po atë bosht.

Në qoftë se momenti i forcave të jashtme në lidhje me një pikë fikse është i barabartë mezero rrjedh që momenti i impulsit të sistemit në lidhje me këtë pikë nuk ndryshon. Ky përfundimpërbën ligjin e ruajtjes së momentit të impulsit. Kuptohet për sistemet e mbyllura momenti iimpulsit nuk ndryshon.

Ligji i ruajtjes së impulsit përbën një nga ligjit themelore më të rëndësishme të fizikës.

2.12 EKUACIONI THEMELOR I LËVIZJES RROTULLUESE TË TRUPIT TËNGURTË.

Për të gjetur ekuacionin themelor të lëvizjes rrotulluese të trupit të ngurtë do të zbatojmë teoremëne momentit të impulsit në lidhje me boshtin e rrotullimit.

Le të jetë shpejtësia këndore e rrotullimit të trupit rreth boshtit të palëvizshëm z (fig.2.11). Të gjejmë momentin kinetik të tij në lidhje me këtë bosht. Trupin e ngurtë e mendojmë sinjë tërësi n pikash materiale. Impulsi i pikës së itë të trupit të ngurtë do të jetë iivm

. Momenti iimpulsit iivm

i pikës së itë në lidhje me boshtin e palëvizshëm z do të jetë:

2iizi RmK

ku iR është rrezja e rrethit që përshkon pika dhe është projeksioni i shpejtësisë këndore mbi boshtin z. Kurse momenti i impulsit i gjithë trupit në lidhje me boshtin z gjendet duke bërëshumën për gjithë elementët e trupit:

n

iii

n

iiz RmRmK

1

21

2

1(2.23)

Në limit kur numri i ndarjeve bëhet pambarimisht i madh barazimi (2.23) merr trajtën:

vz dmRK 2

Madhësia

n

iii Rm

1

2 (ose v

dmR 2 ) është një karakteristikë e rëndësishme dinamike e trupit

të ngurtë në lëvizjen rrotulluese. Ajo quhet momenti i inercisë së trupit në lidhje me boshtin errotullimit:

n

iii RmI

1

2 (në limit bëhet v

dmR 2 )

Fig. 2.11

Momenti i inercisë varet nga forma, përmasat e trupit, nga shpërndarja e masës në trup dhenga vendodhja e trupit ndaj boshtit të rrotullimit. Momenti i inercisë gëzon vetinë mbledhëse,d.m.th momenti i inercisë së disa trupave në lidhje me një bosht, është i barabartë me shumën emomenteve të inercisë së secilit trup në lidhje me këtë bosht..Duke futur kuptimin e momentit të inercisë barazimi (2.23) shkruhet:

IK z (2.24)

Duke zbatuar teoremën e momentit të impulsit në lidhje me boshtin z mund të shkruajmë:

zjMIdtd

(2.25)

ku zjM është shuma e momenteve të forcave të jashtme në lidhje me boshtin e rrotullimit..Duke patur parasysh se momenti i inercisë së trupit të ngurtë nuk ndryshon gjatë rrotullimit ( pra aipërbën një faktor konstant) mund të nxirret jashtë shenjës së derivimit dhe barazimi të shkruhet nëtrajtën.

zjMdtdI ose zjMI (2.26)

ku 2

2

dtd

dtd është nxitim këndor i trupit të ngurtë.

Barazimi (2.26) përbën ekuacionin themelor të dinamikës së lëvizjes rrotulluese të trupittë ngurtë rreth një boshti të palëvizshëm .Ky është një ekuacion diferencial i rendit të dytë në

lidhje me funksionin . Duke zgjidhur këtë ekuacion diferencial gjejmë ekuacionin e rrotullimit t

Duke krahasuar ekuacionin themelor të dinamikës me ligjin e dytë të Njutonit vëmë re se rolin emasës e luan momenti i inercisë, nxitimi këndor atë të nxitimit linear dhe momenti i forcave luanrolin e forcës.

Ekuacioni themelor i dinamikës së lëvizjes rrotulluese vlen për cdo sistem pikashmateriale që rrotullohen me shpejtësi këndore rreth boshtit z. Nëqoftëse shpejtësitë e pikavejanë radiale ose paralele me boshtin z, atëhere momenti kinetik i sistemit në lidhje me këtë boshtështë i barabartë me zero. Kështu që formulat (2.26) dhe (2.24) vlejnë edhe kur pikat e sistemitkruejnë, përvec lëvizjes rrotulluese edhe lëvizje radiale ose lëvizje paralele me boshtin.

Nëqoftëse momenti i forcave të jashtme është i barabartë me zero, atehëre momenti kinetiki sistemit (trupit) në lidhje me boshtin e rrotullimit ruhet:

teCI Le të shikojmë një shembull ku zbatohet ligji i ruajtjes së momentit të impulsit. Le të jetë

një njeri që qëndron në këmbë mbi një stol rrethor që mund të rrotullohet pa fërkim rreth një boshtitë tij vertikal z. E rrotullojmë sistemin stol-njeri dhe pastaj e lemë të lirë. Momenti i impulsit I isistemit në lidhje me boshtin z ruhet për cdo lëvizje brenda sistemit meqënëse forcat e brendshmenuk e ndryshojnë momentin e impulsit. Nëqoftëse njeriu hap krahët, atëhere momenti i inercisë sësistemit rritet, prandaj shpejtësia këndore zvogëlohet. Kur njeriu mban në duar dy gira të rëndafenomeni bëhet më i dukshëm, fig. 2.12

Fig. 2.12

Nga barazimi 2211 II rrjedh se nëqoftëse 21 II rrjedh që 21 .Së fundi le të nxjerrim formulën e vecantë me anë të së cilës njehsohet energjia kinetike e

trupit në lëvizjen rrotulluese. E mendojmë trupin që rrotullohet rreth një boshti të palëvizshëm tëndarë në pjesë elementare (pika elementare). Për pikën e tei me masë im dhe largësi ir ngaboshti, shpejtësia lineare do të jetë ii rv . Kurse energjia kinetike e elementit të tei do të jetë:

22

222iiii rmvm

Energjia kinetike e gjithë trupit jepet me barazimin:

i i

iiiik IrmrmE 22222

21`

21

21̀ (2.27)

ku i

ii rmI 2 është momenti i inercisë së trupit në lidhje me boshtin e rrotullimit. Kurse në

lëvizjen tejbartëse të trupit energjia kinetike jepet:

2

21 mvEk

Duke krahasuar formulën (2.27) me (2.28) duket qartë se rolin e masës e luan momenti iinercisë.

2.13 GODITJET

Një ndër mënyrat e bashkeveprimit ndërmjet trupave është kur koha e bashkëveprimit ështërelativisht e shkurtër në krahasim me kohën e lëvizjes së trupave para dhe mbas bashkëveprimit.Këtë lloj bashkëveprimi e quajmë goditje.

Forcat që veprojnë gjate goditjeve janë të mëdha dhe ndryshojnë shumë shpejt prandaj dhepërcaktimi i tyre është i vështirë. Gjatë goditjes forcat e jashtme janë të papërfillshme në krahasimme forcat e brendshme, prandaj pjesëzat që goditen mund ti mendojmë të lira dhe për to ka vendligji i ruajtjes së energjisë mekanike (në qoftë se nuk ka fërkim midis tyre).

Për zgjidhjen e problemeve të goditjes përdoren ligjet e ruajtjes së sasisë së lëvizjes dhe tëenergjisë.

Shqyrtimi i goditjes në formën e përgjithshme është i ndërlikuar, prandaj ne këtu do tëtrajtojmë vetëm disa raste të thjeshta.

a) Goditja qëndrore elastike.

Goditja midis dy pjesëzave quhet qëndrore në qoftë se shpejtësitë para dhe pas goditjes kanëdrejtime të njëjta. Ndërsa goditja është elastike, në qoftë se nuk kemi ndryshime të energjisëpotenciale.

Le të jenë: 1m dhe 2m masat e dy pikave materiale, praktikisht të dy pjesëzave të vogla qëgoditen, dhe 1v dhe 2v shpejtësitë e tyre para goditjes. Të gjejmë shpejtësitë 1v dhe 2v tëpjesëzave pas goditjes.

Shkruajmë ekuacionet që shprehin ligjin e ruajtjes së energjisë dhe të impulsit:

22112211 vmvmvmvm dhe

2222

222

211

222

211 vmvmvmvm

Me dy ekuacionet e fundit formojmë sistemin si më poshtë:

2

222

11222

211

22112211

vmvmvmvmvmvmvmvm

Nga zgjidhja e të cilit gjejmë vlerat e 1v dhe 2v :

21

221211

2)(mm

vmvmmv

21

221112

)(2mm

vmmvmv

Nga formulat e mësipërme del se nëqoftëse 21 mm rrjedh:

21 vv dhe 12 vv

Ndërsa nëqoftëse pjesëza e dytë është në prehje, domethënë 02 v del se:

01 v dhe 12 vv

pra pjesëza e parë pas goditjes ndalet dhe e dyta fiton shpejtësinë e të parës.

Shqyrtojmë disa sfera të njëjta që takohen me njëra-tjetrën dhe që i kanë qendrat në njëdrejtëz, për shembull duke i varur sferat me anë të fijeve të njëjta në një shufër horizontale(Fig.2.13). Zhvendosim sferën e parë me një kënd dhe pastaj e lëm të lirë. Vëmë re se pas paksfera e fundit zhvendoset me kënd , domethën ajo fiton shpejtësinë me të cilën sfera e parë goditisferën e dyte. Kjo ndodh sepse sferat shkembejnë shpejtësitë njëra pas tjetrës.

Fig. 2.13

b) Goditja joelastike

Në të vertetë në natyrë ndodhin goditje joelastike. Këtu pjesëzat gjatë goditjes pësojnëdeformim joelastik, i cili shoqërohet me fërkim që rrit energjinë e brendshme të tyre në saj tëzvogëlimit të energjisë kinetike, e cila nuk ruhet më.

Rasti i vecantë i goditjes joelastike është goditja krejtësisht joelastike, kur të dy pjesëzatdepërtojnë tek njëra tjetra duke formuar kështu një pjesëz të vetme. Në goditjen krejtësishtjoelastike nuk lind energji potenciale e shformimit. Një pjesë ose e gjithë energjia kinetikeshndërrohet në mënyrë të pakthyeshme në energji të brendshme.

Duke u mbështetur në ligjin e ruajtjes së sasisë së lëvizjes mund të shkruajmë:

vmmvmvm1 )( 21221 (2. 29)

ku 1v , 2v janë shpejtësitë para goditjes dhe v shpejtësia pas goditjes.

Nga formul 2.29 nxjerrim:

21

2211

mmvmvmv

Kur 02 v , rrjedh:

21

11

mmvmv

2.14 DINAMIKA RELATIVISTE

Ligjet e mekanikës klasike që kemi trajtuar deri tani janë të vërteta kur masa e pikësmateriale (apo e sistemit) nuk ndryshon; gjë që ndodh kur shpejtësitë e lëvizjes janë të vogla nëkrahasim me shpejtësinë e dritës.

Dinamika relativiste paraqet një teori të përgjithshme të lëvizjes që vlen si për shpejtësitëe vogla dhe për shpejtësitë e mëdha. Në bazë të saj qëndrojnë disa aksioma, nga te cilat ndër tëtjerat rrjedh se masa e një pike materiale nuk është e pandryshueshme, por rritet me rritjen eshpejtësisë sipas ligjit:

2

2

0

1cv

mm

(2.30)

ku 0m është masa e trupit në prehje (masa e prehjes), smc 8103 është shpejtësia e dritës në

boshllëk, ndërsa m është masa e trupit me shpejtësi v që quhet edhe masa e lëvizjes ose masërelativiste.

Siç duket qartë nga formula (2.30) ndryshimi i masës bëhet i dukshëm për shpejtësishumë të mëdha. Ky ndryshim është krejt i ndjeshëm gjatë studimit të lëvizjes së pjesëzaveelementare. Shpejtësia e dritës nuk mund të arrihet nga asnjë pjesëz. Me të vërtetë, nëse shpejtësiav do t’i afrohej shumë shpejtësisë c, masa m do të bëhej pambarimisht e madhe dhe përshpejtimi imëtejshëm do të ishte praktikisht i pamundur.

Ligji i dytë i Njutonit i shprehur nga lidhja amF vlen vetëm kur trupi lëviz me

shpejtësi shumë të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, domethënë kur masa e tij merretkonstante.Ekuacioni:

dtpdF

(2.31)

ku madhësia:

2

2

0

1cv

vmvmp

quhet impuls i pikës materiale (trupit) në mekanikën relativiste. Ekuacioni (2.31) shpreh ligjin edytë të Njutonit në këtë mekanikë.

Të gjejmë lidhjen e masës me energjinë. Për këtë marrim një pikë materiale me masëprehje 0m mbi të cilën vepron forca F

, nën veprimin e së cilës shpejtësia rritet nga 0 në v. Puna

elementare që do të kryhej kjo forcë gjatë zhvendosjes sd të pikës materiale do të jetë sdFdA

e cila do të shkojë për ndryshimin e energjisë kinetike të saj. Si rrjedhim sdFdEk

.Ose akoma mund të shkruajmë:

dtsdF

dtdEk

ose vFdt

dEk

nga:

22

2)( v

dtdm

dtdmv

dtvdvmvv

dtdmvvm

dtd

dtdEk

që nga rrjedh:

)(2

22 vdmdmvdEk

Nga formula (2.30) nxjerrim :

2

2022 1

mmcv dhe 3

220

2 2mdmcmvd

pra:

dmm

cmdmmmcdEk

2

220

2

202 1

nga ku:

2cdmdEk që nga duke integruar kemi:

20 )( cmmEk (2.32)

Nga barazimi i fundit duket se me ndryshimin e energjisë kinetike ndryshon edhe masa epjesëzës. Ajshtajni e përgjithësoi këtë duke arritur në përfundimin se gjatë cdo ndryshimi dE tëenergjisë së sistemit ndodh edhe ndryshimi dm i masës së tij dhe anasjelltas:

2cdmdE

ku pas integrimit marrim:

20

20 cmmcEE

pra, nëqoftë se energjia në prehje është 200 cmE atëhere energjia në lëvizje e trupit është:

2cmE (2.33)

ku me E kuptojmë shumën e të gjitha formave të energjisë që ka trupi.Nga formula (2.32) mund të shkruajmë:

111

1

1 21

22

02

20

20

2

cvcm

cv

cmcmmcEk

nga ku në qoftë se v << c del:

21

211

20

22

0vm

cvcmEk

Gjetëm në këtë mënyrë formulën që shpreh energjinë kinetike njutoniane.Nëpërmjet këtij shembulli del qartë se ligjet e mekanikës njutoniane dalin nga ato të

mekanikës relativiste kur shpejtësia e lëvizjes është e vogël në krahasim me atë të dritës.Vlerën e m-se të dhënë nga (2.30) e zëvendësojmë tek formula (2.33) dhe do të kemi:

2

20

1

cv

cmE

ose akoma:

2

202

1cv

EE

nga ku rrjedh:

02

222 E

cvEE

që nga:

2

2222

02

cvcmEE

Duke patur parasysh se pmv do të kemi:

2220

2 cpEE

dhe del:

cEE

p20

2

Shprehja shpreh lidhjen midis energjisë dhe impulsit (sasisë së lëvizjes).

Për fotonin 00 E dhe del qëcEp

Kapitulli III

MEKANIKA E FLUIDEVE

3.1. KUPTIMI I SHTYPJES, NJESITE E MATJES.

Mekanika e fluideve merret me studimin e gjendjen se ekuilibrit dhe te levizjes se fluideve.Ajo ndahet ne dy pjese: ne hidro-aerostatike qe studion fluidet ne prehje dhe ne hidro-aerodinamike qe merret me studimin e vetive te fluideve ne levizje.

Fluid (rrjedhes) quhet ajo gjendje e lendes, ku mund te mosperfillen forcat e lidhjesndermjet molekulave, te cilat mund te levizin lirisht ne lidhje me njera tjetrën. Prandaj edhe fluidimerr formen e enes ku ndodhet.

Lengjet dhe gazet jane dy raste kufitare te rrjedhsave, midis tyre nuk ka kufi te caktuar dhemund te realizohen kalime te vazhdueshme nga gjendja e lengut e trupit ne gjendjen e gazte dheanasjelltas. Duhet te theksojme se lengjet jane shumë me pak te ngjeshme; kurse gazet jane shumete ngjeshme.

Molekulat e gazeve kryejne levizje krejt te çregullta. Forcat e terheqjes midis molekulavejane shume te vogla (sepese molekulat ndodhen mjaft larg njera-tjetres) prandaj ne sajë te levizjeskrejt te çrregullt te tyre gazi mbush vellimin e enes ku ndodhet, Neqoftese vellimi i enes eshte ivogel atehere shpendarja e gazit ne te eshte krejt homogjene. Kjo gje nuk ndodh kur vellimi i eneseshte i madh per shkak te terheqjes tokesore.

Ne lengje si dhe ne trupat e ngurte, molekulat kryejne lekundje shume te vogla rrethpozicioneve te tyre te barazpeshes. Por ne lengje keto lekundje zgjatin shume pak, d.m.th. pas njeintervali kohe te shkurter molekulat largohen nga keto pozicione barazpeshe per te kaluar nepozicione te tjera. Keshtu ne lengjet molekulat kryejne edhe levizje te çrregullta. Si trupat e ngurte,lengjet jane thuajse te pangjeshem, d.m.th. thuajse largesia midis molekulave nuk nryshon.Shtresat e lengut mund te rreshqasin mbi njera tjetren.

Marrim nje leng ose gaz ne prehje dhe perfytojme brenda tij nje prehje siperfaqe s(fig.31).Meqense lengu ose gazi, eshte ne prehje, pjeset e e lengut qe ndodhen ne te dy anet e kesajsiperfaqe do te veprojne mbi te me forca te barabarta ne madhesi por me kahe te kunderta. Ketoforca nuk varen nga orientimi i siperfaqes dhe jane pingule me te, sepse ne rast te kundertperberset tagenciale te tyre do ta vinin lengun ne levizje.

F

F

S

Fig.3.1

Le te jete F

forca qe vepron pingul mbi siperfaqen e perfytyruar s .Quajme shtypje (trysni ose presion) madhesine fizike numerikisht te barabarte me forcen

qe vepron pingul me njesine e siperfaqes. Pra sipas perkufizimit :

P =SF (3.1)

Kur forca F

nuk eshte shperndare ne menyre te njetrajtshme ne siperfaqen s atehereformula (3.1) jep shtypjen mesatare, ndersa shtypja ne nje pike gjendet ne kete menyre :

dsdF

sFP

s

0

lim (3.2)

Ne sistemin SI shtypja matet ne Paskal (Pa)

1 Pa = 211mN

Por shpesh per matjen e shtypjes perdoren edhe keto njesi :

1. Atmosfera teknike e barabarte me shtypjen e ushtruar nga forca 1 KG ne siperfaqen 1cm2.

1 at = 211cmKG

2. Atmosfere fizike ose atmosfere normale e barabarte shtypjen e ushtruar nga nje shtyllezhive me lartesi 760 mm Hg.

1 atm = dgh = 0,76m . 13600 3mkg 9.81 2S

m = 1,013 . 10 5 Pa

3. Shtypja e 1 mm shtylle zhive quhet torr; por ndonjehere ne praktike perdoret edhe bari, ibarabarte me shtypjen qe shkakton forca e shtypjes 10 N qe ushtrohet mbi siperfaqen 1cm2 .

3.2 EKUACIONI THEMELOR I STATIKES SE FLUIDEVE.

Ne lengun e pangjeshshem qe ndodhet ne baraspeshe ndajme me mend nje vellimelementar ne formen e nje cilindri me bosht horizontal dhe me prerje ds, (fig.3.2). Meqenese lengueshte ne baraspeshe, shuma e projeksioneve te forcave qe veprojne mbi te, mbi boshtin x tecilindrit eshte e barabarte me zero. Veme ne dukje se projeksionet e forcave te rendeses dhe teforcave qe ushtrohen ne faqen anesore jane zero sepse jane pingule me boshtin ox. Keshtu qe dongelen vetem projeksionet e forcave te shtypjeve P1 dhe P2 qe ushtrohen mbi bazat 1 dhe 2 tecilindrit. Nga projektimi mbi boshtin ox do te kemi :

P1 ds – P2ds = 0nga ku

P1 = P2

Fig.3.2

Pra kur lengu eshte ne baraspeshe shtypja ne te gjitha pikat e rrafshit horizonatal eshte enjejte.

Shqyrtojme rastin kur masa e lengut ne baraspeshe ne formen e nje cilindri e ka boshtin vertikal.(fig.3.3).

Shkruajne faktin qe shuma e projeksioneve te forcave qe veprojne mbi te, mbi nje boshtvertikal eshte zero.

p1ds – p2.ds – d.g.h.ds =0

Nga ku

p1

A Ch

Bh ha hb

p2 Z

Fig 3.3 Fig 3.4

p2 – p1 = d.g.h. (3.3)

Tani mund te gjejme lidhjen midis shtypjeve pA dhe pB ne dy pika te çfardoshme A dhe B (fig. 3,4) te lengut te pangjeshshem ne baraspeshe. Largesite e tyre nga nje rrafsh horizontal jane hAdhe hB Rrafshi horizontal ku ndodhet pika A dhe veritikalia e pikes B priten ne piken C. Mund teshkruajme:

pB – pC = d.g.h

PorpC = pA

prandaj :pB – pA = d.g.h. (3.4)

Ku h = ha – hb eshte diferenca e niveleve te pikave A dhe B.Barazim (3.4) perbene ekuacion themelor te statistikes se fluideve ( kuptohet se ai eshte i

evlefshme edhe per gazet) .N.q.s, A dhe B jane dy pika te siperfaqes se lire te lengut ne një ene ose ne dy ene

komunikuee fig. 3.5 atehere pA = pB = p0 ku p0 eshte shtypja atmosferike. Nga formula ( 3.4) delh=0 d.m.th. qe siperfaqet e lira te lengut ne baraspeshe jane horizontale.

N.q.s. shtypja ne piken A ndryshon me Ap atehere edhe ne piken B ajo do te rritet me tenjejten madhesi qe te vertetohet barazimi ( 3.4) d.m.th. ndryshimi i shtypjes ne nje pike tejçohet nete gjitha pikat e lengut. (Ligji i Paskalit)

Se fundi, mbi trupin e zhytur ne rrjedhesin ne baraspeshe ushtrohet nje force vertikale edrejtuar nga poshter larte dhe e barabarte me forcen e rendeses se rrjedhesit te zhvendosur ngatrupi (Ligji i Arkimedit) Kjo force vertikale eshte rezultatja e forcave te shtypjeve normale teushtruara nga rrjedhesi ne siperfaqen e trupit. Drejtimi i saj kalon neper qendren e mases serrjedhesit te zhvendosur.

3.2. RRJEDHJA E FLUIDIT, EKUACIONI I VIJSHMERISE.

Le te kemi nje fluid te pangjeshem, ne te cilin gjate rreshqitjes te shtresave te tij ne lidhjeme njera-tjetren nuk lindin forca ferkimi ( ne kete rast fluidi quhet joviskoz). Fluidi krejt ipangjeshem dhe jo viskoz quhet fluid ideal.

A BA B

Fig. 3.5

Shume lengje, bile edhe gaze sillen si fluid ideale n.q.s. rrjedhin ngadale ne tuba meseksion te madh.

Gjate rrjedhjes se fluidit çdo thermije te tij i pergjigjet vektori i saj i shpejtesise. Te njoheshlevizjen e nje fluidi duhet te dish vektorin e shpejtesise ne çdo çast te kohes dhe ne çdo pike tehapesires. Bashkesia e vektoreve te shpejtesise se çastit quhet fushe e shpejtesive. Per te paraqiturgjendjen e levizjes se fluidit ne nje çast te dhene futet kupitimi i vijave te rymes. Vija tangjentet ehequra ne çdo pike te sejciles ka drejtimin e shpejtesive se thermijes se fluidit ne ate pike quhetvije rryme.

Vijat e rrymes kane si kahe ate te rrjedhjes se fluidit. Ne do t’i heqim vijat e rrymes nemenyre te tille qe dendesia e tyre, neper siperfaqen pingule me to te jete ne perpjestim memadhesine e shpejtesise ne zonen ku eshte zgjedhur ajo siperfaqe. Ne kete menyre realizohetparaqitja grafike e rrjedhjes se fluidit me ane te vijave te rrymes.

Vijat e rrymes nuk perputhen ne pergjithesi me trajektoren e thermijes se fluidit. Ne çdopike te fluidit kalon nje dhe vetem nje vije rryme; me te vertete po te kalonin dy vija rryme,atehere thermijes se fluidit ne ate pike do t’i takonin dy shpejtesi te ndryshme, gje qe s’kakuptim. Keshtu qe vijat e rrymes nuk nderpriten me njera tjetrin.

N.q.s. shpejtesia ne çdo pike nuk ndryshon me kalimin e kohes atehere rrjedhja quhet eqendrueshme. Ne te kundert rrjedhja quhet jo e qendrueshme. Ne rrjedhjen jo te qendrueshme vijate rrymes, ne pergjithesi nuk perputhen me trajektoren e pikave te rrjedhesit. Ne rrjedhjen eqendrueshme trajektoret dhe vijat e rrymes perputhen. Kjo ndodh sepse çdo thermije e fluidit qendodhet ne nje pike te caktuar te hapesires zoteron nje shpejtesi te caktuar qe s’varet nga koha,kete shpejtesi do te zoteroj edhe thermija tjeter e fluidit kur te vije ne kete pike te hapesires. Pratablloja e shpejtesive edhte e qendrueshme.

Ne hapsiren e mbushur me fluid me rrjedhje te qendrueshme marrim me mend nje kontur tembyllur fig 3.6. Vijat e rrymes qe kalolne neper pikat e konturit formojne nje siperfaqe clindrike.Pjesa e fluidit e kufizuar nga kjo siperfaqe quhet tub rryme. Thermija te fluidit te tubit nuk mundte dalin jashte tij, sepse trajektoret e tyre qe jane vija rryme do te priteshin me vijat e rrymes teparetit te tubit. Fluidi ne nje tub te tille rrjedh si brenda nje tubi me parete te ngurta.

Le te kemi nje tub te ngushte rryme (qe shpejtesia e rrjedhesit te jete e njete ne te gjithepika te nje prerje te tubit) dhe perkatesisht 1S dhe 2S dy prerje terthore te tij fig. (3.7) . Ndersashpejtesite ne prejrje 1S dhe 2S le te jene 1 dhe 2. Vellimi i fluidit qe do te pershkojeprejrjen 1S gjate kohes t do te jete i njejte me vellimin e fluidit qe do te pershkruaj 2S gjatepo ketij intervali kohe kur fluidi eshte i pangjeshshen ( per gazet kjo ndodh kur ndryshimet eshtypjes jane aq te vogla sa qe dendesia e gazit te mund te konsiderohet konstante ).

tStSoseVV 221121

Fig.

3.6

Tub rryme

Qe nga rrjedh:

2211 SS (3.5)

Ne fluidin e pangjeshshem madhesia S eshte kostante.Ky pohim perben teoremen e mosshkeputjes se çurkes. Ekuacioni (3.5) quhet edhe

ekuacioni i vijueshmerise.

3.3. EKUACIONI BERNULIT

Le te shqyrtojme rrjedhjen e qendrueshme të një fluidi ideal neper nje tub ngushte rryme,ku shpejtesite 1 dhe 2 t’i marrim te njejta me te gjitha pikat e prerjes S1 dhe S2 (fig.3.8).Lartesite e ketyre prerjeve nga nje nivel horizontal i shenojme me h1 dhe h2.

Fluidi midis prejrjeve S1 dhe S2 pas nje intervali kohe t eshte zhvendosur e vjen midisprerjeve S’

1 e S’2. Gjate kesaj zhvendosje, kryejne pune vetem forcat e shtypjes 1F

dhe 2F

qe

veprojne ne prerjet S1 dhe S2, mbasi forcat qe veprojne mbi siperfaqen anesore te tubit, janepingule me zhvendosjen e rrjedhësit. 1F

ka drejtimin e zhvendosjes, kurse 2F

drejtimin e kundert

me zhvendosjen.Puna e forcave 1F

dhe 2F

eshte :

VppVpVptSptSpFFA 21212221112211

ku p 1 dhe p 2 jane shtypjet ne prerjet S1 dhe S2, dhe V eshte vellimi i rrjedhesit midis prerjeveS1,S’1 dhe S2,S’

2 ( ku S1 1 = S2 2).

Kjo pune eshte e barabarte me ndryshimin e energjise mekanike te rrjedhesit ne dyvendndodhjet : S1 e S2 (pozicioni I) dhe S’

1 e S’2 (pozicioni II). Meqenese pjesa e rrjedhësit midisS’1 e S2 eshte e perbashket ne te dyja pozicionet, marrim ndryshimin e energjise mekanike tefluidit midis S1 e S’

1 me energjine mekanike te fluidit midis S2 e S’2. Meqe fluidi eshte i

pangjeshshem dhe homogjen, masa e fluidit midis S1 e S’1 dhe midis S2 e S’

2 eshte e njejte.

mmm 21

Energjia ne vendndodhjen e I dhe II eshte:

1

21

1 2mgh

mE

2

22

2 2mgh

mE

Nga ligji i ruajtjes se energjise mekanike kemi :

12 EEA

ose akoma:

1

21

2

22

21 .22

ghmmghmmVpVp

Nga ku :

VpmghmVpmghm

22

22

11

21

22. ( 3.6)

Lidhja (3.6 ) shpreh ligjin e ruajtjes se energjise per rrjedhjen e qendrueshme te fluiditideal: shuma e energjise kinetike me ate potenciale dhe me energjine e shtypjes (termi Vp ) pernje mase fluidi është konstante gjate gjithe tubit te ngushte te rrymes.

Duke pjestuar me V tek barazimi (3.6) dhe duke kaluar me limit kur 0V , kemi:

22

22

11

21

22Pdgh

dPdgh

d

(3.7)

d.m.th. ne pergjithesi:

teKonsddghp tan21 2 ( 3.8)

Barazimi (3.8) perben ekuacionin e Bernulit. Kufizat e ketij ekuacioni kane permasat e

dendesise se energjise (energjise se njesise se vellimit); 2

21 d paraqet dendesine e energjise

kinetike, dgh jep dendesine e energjise potenciale te lidhur me veprimin e forces se rendeses;ndersa p provohet se paraqet dendesine e energjise potenciale te lidhur me veprimin e forcave teshtypjes brenda fludit (çdo mase fluid i i nenshtrohet veprimit te shtypjes nga ana e pjeses tjeter tefluidit qe rrethon ate, pra ajo eshte ne gjendje te ngjashme me ate te nje suste te ngjeshur e cila siçdihet ka nje rezerve energjie potenciale).

Termi p+dgh qe do te ekzistonte edhe sikur fluidi te ishte prehje quhet shtypje statike,

termi tjeter 2

21 d , paraqet shtypjen e lidhur me gjendjen e levizjes se fluidit dhe quhet shtypje

dinamike. Shtypja dinamike, ndryshon nga shtypja statike e cila ushtrohet njelloj ne te gjithadrejtimet, vepron vetem ne drejtimin e rrjedhjes; kjo do te thote qe shtypja dinamike qe ushtrohetmbi nje element siperfaqeje, ka vleren me te madhe kur ky element eshte pingul ne drejtimin errjedhjes dhe vleren zero ne rast se ajo shtrihet ne drejtimin e saj.

Ne rast se ky tub i rrymes eshte horizontal, ekuacioni Bernulit merr formen:

teKonsdp tan21 2

Le te shohim tani se si mund te matim shtypjen statike dhe dinamike. Per matjen e tyreperdoret mjeti I quajtur tub Pito (fig.3.9)

E vendosim tubin ne rastin e pare si ne figure, ku ai do te mat shtypjen statike kurse pastaje kthejme tubin ne ane te kundert qe e çara e tij te jete ne drejtim te kundert me rrjedhjen. Tanilartesia e ngjitjes do te jete me e madhe. Thermijat e fluidit frenohen tek e çara e tubit dhe energjiakinetike e tyre jep rritjen e thtypjes. Si rrjedhim tubi Pito do te tregoje shtypjen e plote:

2

21 dpp

Duke bere diferencen e shtypjes se plote p me ate te shtypjes statike p gjejme shtypjen

dinamike2

2d . Me ndihmen e kesaj te fundit mund te gjendet edhe vlera e shpejtesise se rrjedhjes

se fluidit.Se fundi, po shohim nje zbatim te ekuacionit te Bernulit: te gjeme shpejtesine e daljes se

nje lengu nga nje rime e vogel qe ndodhet prane fundit te nje rezervuari te gjere. (fig.3.10) kurrjedhja behet nen veprimin e forces se rendeses.

E marrim lengun qe rrjedh si nje tub rryme duke zgjedhur si prerje siperfaqen e lire te lengut dhevrimen nga del ai, do te kemi :

200

210 2

121 dpddghp

ku p0 eshte shtypja atmosferike. Meqenese shpejtesia 1 eshte e paperfillshme ne krahasim me ate 0 e marrim zero dhe nga ekuacioni i mesiperm nxjerrim :

gh2 (3.9)

Pra shpejtesia e daljes do te jete e barabarte me ate qe do te kishte lengu nqoftese do tebinte lirisht nga lartesia h. Ky perfundim perben Teoremen e Toriçelit.

3.5. RRJEDHES REALE, RRJEDHES SHTRESORE DHE RRJEDHJA TURBULENTE.

“Rrjedhes ideal” eshte nje idealizim, pasi ne te gjitha lengjet dhe gazet reale shfaqen forcate ferkimit te brendshem. Keto jane forca qe çfaqen midis pjeseve te ndryshme te rrjedhesit kur atolevizin ne lidhje me njeri tjetrin, dhe frenojne shkalle shkalle levizjen e tij, pas nderprejes seveprimeve te forcave te jashtme. Veprimi i ketyre forcave ( te cilat quhen forca te ferkimit tebrendshem ose forca te vizkozitetit) mund te vihen ne dukje fare lehte. Keshtu, ne rast serrotullojme nje ene qe permban nje leng (fig.3.11) mbas nje fare kohe e gjithe masa e lengut do terrotullohet; ky fakt mund te shpjegohet vetem duke pranuar ekziztencen e forcave te ferkimit. Nefillim faqet e enes vene ne levizje shtresen e lengut qe eshte prane tyre, si rrjedhim i forcave teferkimit qe ushtrohen tagencialisht me te. Me tej, meqenese e gjithe masa e lengut fillon terrotullohet, duhet te pranojme qe edhe ndermjet shtresave te lengut veprojne forca te tillatangenciale.

Kur nje leng rrjedh neper nje tub horizontal me seksion te pandryshueshem ne baze teekuacionit te Bernulit; shtypja statike duhet te jete e njejte gjate gjithe tubit. Eksperimenti tregonse shtypja statike e lengut zvogelohet linearisht ne kahun e rrjedhjes. Kjo shpjegohet me faktin qeharxhohet pune per mposhtjen e forcave te ferkimit te brendshem. Si rrjedhim do te zvogelohetenergjia potenciale e shtypjes (sepese shpejtesia nuk ndryshon) d.m.th. do te zvogelohet shtypjastatike p.Puna qe harxhohet kunder forcave te ferkimit te brendshem kthehet ne nxehtesi.

Rrjedhja ne te cilin fluidi mund te rrotullohet i ndare ne shtresa paralele qe rreshqesin nelidhje me njera-tjetren, quhet rrjedhje shtresore. Forcat e ferkimit veprojne tagjentcialisht mesiperfaqet e shtresave. Shtresa qe leviz me shpejt ushtron mbi ate qe leviz me ngadale nje forcenxituese, ndersa kjo e fundit ushtron mbi te paren nje force ngadalesuese.

Eksperimenti tregon qe madhesia e ketyre forcave eshte ne perpjestim te drejte ne

siperfaqen e kontaktit te shtresave dhe me madhesinednd , qe quhet gradjent i shepjtesise, ku dv

eshte ndryshimi i shpejtesise midis dy shtresave ne largesine dn nga njera tjetra.

SdndF ( 3.10)

Koefiçenti qe varet nga lloji i fluidit, quhet koefiçent i ferkimit te brendshem ose koekofiçent ivizkozitetit te fluidit. Njesia e matjes se tij eshte puazeli.

msKg

mSNP 111 2

Vlera e koefiçentit varet shume nga temepratura. Per lengjet ai zvogelohet me rritjen etemperatures, ndersa per gazet ndodh e kunderta.

Per lengjet ne pergjithesi merr vlera te rendit 10-4–10-3Pl. Ndersa per gazet merrvlera te rendit 10-5Pl.

Ne lengjet ferkimi realizohet nga bashkeveprimi terheqes i molekulave fqinje, i cilizvogelohet me rritjen e temperatures, duke zvogeluar edhe ferkimin e brendshem.

Eksperimenti tregon se me rritjen e shpejtesise se rrjedhjes vihet re se rrjedhja shtresoreprishet, thermijat fillojne te kalojne nga nje shtrese ne tjetren, pra shtresat perzihen. Kjo quhetrrjedhje turbulente, Rrjedhja turbulente karakterizohet, se pari nga formimi i shtjelljeve, lindja e tecilave u detyrohet veprimit te forcave te vizkozitetit (fig.3.12).

Ne rrjedhjen turbulente, shpejtesia dhe shtypja ndryshojne ne menyre te çrregullt rreth njevlere mesatare.

Fig. 3.11

Gjate rrjedhjes turbolente, nje pjese e energjise se fluidit kalon ne energji kinetike teshtjelljeve, te cilat zhduken kohe pas kohe dhe zevendesohen me te reja. Keshtu pra ne rrjedhjenturbulente, e cila eshte e lidhur me veprimin e forcave te ferkimit te brendeshem, energjia kinetikee levizjes se orientuar kthehet ne energji te shtjelljeve, te cilat levizin ne menyre te çrregullta,keshtu qe nje pjese e energjise mekanike te fluidit kthehet ne nxehtesi.

Nga nje analize me e hollesishme del se faktor i rendesishem per percaktimin e natyres serrjedhjes eshte nje numer pa permasa qe merret nga bashkerendimi i madhesive qe ndikojne nenatyren e rrjedhjes .

Ky numur quhet numuri i Rejnoldsit dhe jepet :

dRe

Ku : - hpejtesia mesatare e rrjedhjesd - araqet dendesine e fluidit. - Kkefiçenti i vizkozitetit te fluidit. - eshte permasa e rrjedhjes (p.sh. diametri i tubit ose rrenja katrore e

siperfaqes se prerjes se trupit pingul me rrjedhjen).Per vlera te vogla te ketij numuri, rrjedhja eshte shtresore. Kur Re arrin nje vlere kritike,

rrjedhja behet turbulente.Gjate rrjedhjes se ujit neper tuba e ujesjellesit eshte vertetuar se deri per Re = 2000

rrjedhja eshte shtresore. Per 2000<Re<4000, rrjedhja eshte shume e ndjeshme ndaj çdo ngacmimidhe per Re4000 rrjedhja eshte plotesisht turbulente.

3.4. LIGJI I PUAZEJIT

Le te kemi nje leng vizkoz i cili rrjedh neper nje tubi cilindrik me rreze R dhe gjatesi l nemenyre shtresore. Shpejtesia e shtreses vjen duke u rritur nga vlera zero per shtresen ngjitur metubin deri ne vleren me te madhe per shtresen ne qender te tij (fig 3.12 a ).

Le ta zeme se lengu leviz nga e majta ne te djathte nen veprimin e nje diference shtypjeshp1–p2 (fig.3.13.b).

Shqyrtojme nje vellim cilindrik lengu me rreze r ( r<R) e me gjatesi sa gjatesia e tubit.Lengu jashte ketij vellimi ushtron mbi lengun qe shqyrtojme nje force ferkimi:

rdrdF

2

ku r2 eshte siperfaqja e cilindrit ku ushtrohet forca F.

Për rrjedhj te qëndrueshme kjo forcë fërkimi duhet të barazohet me forcën që ushtrondiferenca e shtypjeve p1-p2 mbi cilindrin në shqyrtim; pra shuma e forcave duhet të jetë zero:

0)( 221 rppF

Duke zëvendësuar vlerën e F kemi:

drpprdrppdrdr

drdrpp

2)(

202)( 21212

21

dhe duke integruar marrim:

crpp

221

4)(

Konstantia e integrimit gjendet duke patur parasysh se lëngu është ngjitur me faqet e tubit e nukrrëshqet, pra për r=R, =0

4)(

4)(0 21

2221 ppRccRpp

dhe atëhere, përfundimisht, shpejtësia e rrjedhjes në largësi r nga boshti jepet:

)(4

)( 2221 rRPP

l(3.11)

Siç duket nga formula (3.11) shpejtësia maksimale arriet gjate boshtit të tubit.

Sasia e lëngut që rrjedh në njësine e kohës nëpër pjesën rdr2 të prerjes së tubit (një unazërrethore me trashësi dr) është:

drrrRpprdrdsdQ

4

))((2222

21

atëherë sasia e lëngut që rrjedh në njësin e kohës nëpër gjithe prerjen e tubit (prurja) është:

RR

rdrrRppdQQ0

2221

0

)(2

)(l

nga ku del:

421

8)( RppQ

l

(3.12)

Barazimi i fundit përbën shprehjen matematike të ligjit të Puazëjit, sipas të cilit prurja nëpër njëtub cilindrik është në përpjestim te drejte me fuqin e katërt të rrezes së tubit, me gradientin e

shtypies sipas boshtit të tubit

21 PP dhe në përpjestim të zhdrejtë me koefiçentin e vizkozitetit.

Ligji i Puazëjit është i vërtet edhe për gazet në qoftë se shtypja është më e madhe se 1

mmHg. Shpejtësin mesatare të rrjedhjes e gjejmë:SQ

. Duke shfrytëzuar ligjin e Puazëjit mund

të gjejmë koefiçentin e vizkozitetit të një lëngu, mbasi të matim prurjen e tij nëpër një tub cilindrikme kushte të dhëna.