Paradisul Fourier - 02.03.2017microel.ro/documents/Paradisul_Fourier_L.Jalbă_C.Mănoiu_O.Stăn... · cel al Algebrei, se utilizează simboluri literale nedeterminate – constante,

Liviu JALB! Gabriel Corneliu M!NOIU Octavian ST!N!"IL!

PARADISUL FOURIER

(prelucrare de semnale, fenomene matematico-informatice #i aplica$ii tehnologice)

Funda$ia Floarea Darurilor Bucure#ti, 2017

Fundația Floarea Darurilor, București, 2017

Tipărit la TIPRO SRL în 500 exemplare

ISBN 978-973-0-23015-4

Tehnoredactare: Igor Bectoraș, Luminița Cătănuș, Mădălina Florescu

5

„Dacă vrei să admiri lucrurile privește-le de departe, dar dacă vrei să le înțelegi, trebuie să te apropii de ele.”

I. L. CARAGIALE

CUPRINS PREFAȚĂ..........................................................................pag. 9

CAPITOLUL 1: DESCRIEREA ȘI PROCESAREA PRIN SERII FOURIER A SEMNALELOR PERIODICE

§1.1. Tipuri de semnale, semnale periodice............pag. 15§1.2. Oscilații armonice...........................................pag. 23§1.3. Serii trigonometrice........................................pag. 33§1.4. Serii Fourier reale (peste ℝ)...........................pag. 38§1.5. Serii Fourier în forma complexă.....................pag. 51§1.6. Interpretări fizice și aplicații...........................pag. 58§1.7. Serii Fourier generalizate................................pag. 72

CAPITOLUL 2: CONVOLUȚIA – O OPERAȚIE MAGICĂ §2.1. Introducere.....................................................pag. 81§2.2. Convoluția semnalelor continuale (analogice).................................................................................pag. 82 §2.3 Convoluția semnalelor discrete (digitale).................................................................................pag. 89 §2.4. Convoluția ciclică (circulară) a semnalelor finite.................................................................................pag. 93 §2.5. Cazul semnalelor 2D și al imaginilor.............pag. 95

6

§2.6. Convoluția distribuțiilor.................................pag. 97§2.7. Ecuații de convoluție....................................pag. 108§2.8. Aplicații ale convoluției...............................pag. 112

CAPITOLUL 3: TRANSFORMAREA FOURIER A SEMNALELOR NEPERIODICE

§3.1. Introducere....................................................pag. 121§3.2. Transformarea Fourier a semnalelor – funcție

(din Lℝ# )............................................................................pag. 122 §3.3. Un rezultat fundamental – teorema de inversare

Fourier...............................................................................pag. 131 §3.4. Transformata Laplace și legătura cu transformarea

Fourier...............................................................................pag. 135 §3.5. Transformarea Fourier a semnalelor din clasele

$ și Lℝ% ................................................................................pag. 143 §3.6. Transformarea Fourier a distribuțiilor..........pag. 149§3.7. Un rezultat fundamental în Teoria semnalelor –

teorema de eșantionare WKS............................................pag. 154 §3.7. Interpretări fizice și aplicații ale

transformării Fourier..........................................................pag. 158

CAPITOLUL 4: TRANSFORMĂRI ALE SEMNALELOR DISCRETE

§4.1. Introducere....................................................pag. 189§4.2. Transformarea Fourier discretă (TFD).........pag. 191

7

§4.3. Algoritmul FFT de transformare Fourier rapidă și algoritmul de inversare Laplace rapidă.............................pag. 205 §4.4. Transformări liniare și baze ortogonale pentru compresia semnalelor discrete...........................................pag. 210 §4.5. Aplicații la radar, separarea semnalului util, compresia semnalelor........................................................pag. 230 CAPITOLUL 5: ANALIZĂ FOURIER MULTIDIMENSIONALĂ ȘI FILTRE §5.1. Introducere....................................................pag. 241 §5.2. Serii Fourier duble........................................pag. 241 §5.3. Transformarea Fourier multidimensională...pag. 243 §5.4. Filtre analogice și filtre discrete...................pag. 250 §5.5. Funcția de transfer în frecvență a unui filtru........................................................................pag. 265 CAPITOLUL 6: APLICAȚII §6.1. Canale de comunicație ca filtre....................pag. 269 §6.2. Elemente de optică Fourier..........................pag. 292 §6.3. Aplicații ale transformării Fourier 2D și transformarea Radon.........................................................pag. 303 §6.4. Cristalografie Fourier...................................pag. 319 §6.5. Muzica electronică.......................................pag. 328

8

ANEXE Anexa 1: Integrabilitate Lebegue..........................pag. 347 Anexa 2: Spații Hilbert..........................................pag. 357 Anexa 3: Câteva ecuații ale Fizicii matematice.....pag. 365 Anexa 4: Curs scurt de Teoria distribuțiilor..........pag. 369 INDICE DE NUME ȘI NOTAȚII..................................pag. 385 BIBLIOGRAFIE.............................................................pag. 395

9

„Fourier's theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis, but it may be said to furnish an indispensable instrument in the treatment of nearly

every question in modern physics.” LORD KELVIN

PREFAȚĂ

Construcțiile matematice cuprind, între altele, tranziții de la un nivel de abstractizare la unul superior. Primul nivel al abstractizării matematice se referă la utilizarea de numere

individuale – 0, 1, 2, 2, (, e, ln 2, sin ,-, etc; la nivelul următor,

cel al Algebrei, se utilizează simboluri literale nedeterminate – constante, parametri, variabile – și combinații ale acestora. Următorul nivel îl constituie Analiza operației transcendente de trecere la limită („jocul cu infinitul”), deci studiul dependențelor număr ↦ număr și al variațiilor mutuale ale variabilelor. Analiza se extinde în fine la considerarea funcționalelor (dependențe funcție ↦ număr) și operatorilor (funcție ↦ funcție). Descrierea matematică a semnalelor și studiul lor sistematic utilizează toate obiectele menționate – numere, funcții, funcționale, operatori – și încă multe altele. Același lucru este valabil pentru evoluția oricărui domeniu al Fizicii sau Ingineriei teoretice, dar „paradisul Fourier”, cu cele trei compartimente – seriile Fourier, transformarea Fourier și aplicațiile numeroase, a depășit orice imaginație. Totul a început cu studiul propagării

10

căldurii, realizat de Fourier în jurul anului 1800, prin stabilirea ecuației evoluției căldurii într-un conductor. El a reușit să determine distribuția în timp a temperaturii într-un conductor cilindric ale cărui capete se aflau la o temperatură constantă, iar suprafața laterală la o altă temperatură. Soluția finală era cea de echilibru (în care temperatura era aceeași în toate punctele conductorului). Fourier a scris o monografie amplă în care dădea o soluție la această problemă concretă, elaborând „en passant” un studiu al seriilor trigonometrice care îi poartă numele. Mai mult, Fourier a obținut o soluție și pentru studiul oscilațiilor corzilor vibrante, diferită de soluția lui d'Alembert, prin care descria „înțelegerea științifică a muzicii”. Cartea lui Fourier a zăcut la editură timp de peste 10 ani, negăsind un referent priceput sau măcar neinvidios. Argumentele de tipul lipsei de rigoare sunt rizibile, deși au mai existat întârzieri sau nedreptăți în promovarea științei (Mendel, Heaviside, de Broglie, Paulescu ș.a.). Fără alte comentarii, iată ce cutremure științifice și tehnologice succesive a declanșat Fourier:

Studiul oscilațiilor → Procesarea undelor electromagnetice → Momentul Maxwell/Hertz → Dualitatea timp/frecvență → Conversia A/D, analogic/digitală → Procesarea cuvintelor și imaginilor (Radio și TV) → Holografie/Tomografie →Spectroscopie → Structura cristalelor → Wavelets (≡ undine) etc. În această carte, vom încerca să atingem unele din aceste subiecte, cu definiții și formulări clare, însoțite de comentarii și exemplificări. Așa cum spunea un hâtru, transformarea Fourier

11

produce unui student „aceeași reacție cu cea a lui Dracula în fața unei cruci”. Adevărul este că prezentarea matematică a Analizei Fourier este dificilă și cel care o face trebuie să apeleze la intuiție, la un minim teoretizant, cu renunțarea parțială la rigoare și completitudine. Extragerea de informație din semnale corupte de zgomot, proiectarea filtrelor, curățirea imaginilor 2D etc. presupun prelucrări subtile și stăpânirea trecerilor bilaterale de la domeniul TIMP la domeniul FRECVENȚĂ (și invers). Recent, computerele moderne au modificat modul de utilizare a matematicii și acesta a fost un imbold suplimentar pentru noi pentru a elabora această carte. Am mai avut un stimul, anume constatarea că Analiza Fourier este studiată doar tangențial în universitățile și facultățile tehnice, ceea ce constituie un handicap aprioric în pregătirea tinerilor. Pentru a înțelege magnitudinea paradisului Fourier, este suficient să privim în jur și să observăm câte obiecte – computere, radio, televizoare, CD/DVD, roboți – și ce aparatură electronică de înaltă complexitate ne însoțesc pretutindeni, a căror înțelegere intelectuală nu este un viciu. Realizările excepționale ale inginerilor de diverse specializări, inclusiv ale creatorilor mediului informatic lărgit în care trăim în ultimele decenii, merită tot respectul. Practic, această carte este scrisă la două nivele: unul în care folosim rezultate de matematică la nivelul anului I de facultate și altul, în care aplicăm concepte mai subtile – funcționale, operatori, sisteme dinamice etc., dar apelând la motivații, argumente de tip „voilá” și trimiteri grijulii la o bibliografie accesibilă.

12

În Capitolul 1 prezentăm dezvoltările în serie Fourier deci procesarea semnalelor periodice. Capitolul 2 tratează operația de convoluție, iar Capitolele 3, 4 și 5 se referă la transformarea Fourier în diverse ipostaze, inclusiv transformarea Fourier discretă (TFD) și algoritmul FFT („Fast Fourier transform”), unul din instrumentele moderne ale procesării semnalelor, bogat în aplicații, dar și în semnificații mai adânci (de exemplu, transferul bilateral al informațiilor între domeniile TIMP și FRECVENȚĂ). În ultimul capitol al cărții, ne-am orientat spre dezvoltări tehnologice – Tomografie, Spectroscopie, Imagistică. Pentru a ne adresa unor cititori cu niveluri diferite de interes, am dat o ANEXĂ, în care am prezentat fără detalii elementele necesare de matematică avansată – Integrabilitate Lebesgue, Spații Hilbert, Distribuții etc. Pe scurt, am urmărit traseul matematica–mijloc și nu matematica–scop... Am fi bucuroși dacă am reușit, alegând acesta, din multele trasee posibile de comunicare autor–cititor. Autorii, mar. 2017

15

„După numele lui CHRISTOS, cel mai des întâlnit nume din întreaga literatură,

științifică sau nu, este cel al lui Fourier.” acad. J. DIEUDONNÉ

CAPITOLUL 1: DESCRIEREA ȘI PROCESAREA PRIN

SERII FOURIER A SEMNALELOR PERIODICE §1.1. Tipuri de semnale, semnale periodice Suntem înconjurați de diverse semnale fizice – acustice, optice, sunete muzicale, cuvinte și imagini, diverse unde electromagnetice, raze X, lumină, zgomote, impulsuri etc. Majoritatea lor poartă informație, dar nu vom dezvolta acest aspect și modelul matematic este acela al unor funcții definite pe mulțimi de momente sau pixeli, cu valori reale sau complexe; există și semnale artificiale, concepute ad-hoc din rațiuni mai degrabă didactice. Dacă 2 este o mulțime de momente și 3:2 → ℝ (sau ℂ) este un semnal, atunci există în principal două situații:

- 2 este un interval de timp (sau o reuniune de intervale) și în acest caz semnalul se numește continual (≡ analogic) sau formă de undă;

- 2 este o mulțime finită sau discretă („pe sărite”) de numere reale, când semnalul este discret (≡ digital). [Prin

16

convenție, prin date digitale se înțeleg cele obținute prin măsurători la intervale fixe de timp sau spațiu]. Dacă f este un semnal, atunci pentru orice moment 6 ∈ 2, numărul f(t) se numește eșantion al semnalului f la momentul t. În această carte, vom întâlni îndeosebi semnale deterministice, ale căror eșantioane nu sunt variabile aleatoare. Exemple a) Prototipul semnalelor continuale îl constituie funcțiile 3: [9, :] → ℝ, 6 ↦ 3(6), având suportul [a, b] și cel al semnalelor discrete, funcțiile 3:ℤ → ℝ, ? ↦ 3(?) = AB. Dacă I este un interval, atunci se notează cu CDE mulțimea funcțiilor 3: F → ℝcontinue (cu grafic neîntrerupt și fără asimptote verticale) și cu CD# mulțimea funcțiilor netede (cu graficul având tangentă unică în fiecare punct). Atenție: continual ≠ continuu.

De exemplu, treapta unitate Heaviside G:ℝ → ℝ,G 6 = 0pentru 6 ≥ 0 și G 6 = 0 pentru 6 < 0 , este un semnal continual, dar discontinuu în punctul t = 0, cu saltul u(0+0) – u(0–0) egal cu 1; figura 1.1,a).

! 17

Figura 1.1 Acela#i lucru, pentru func%ia–semn.

sgn:0! / !0egal% cu 1 pentru 6 K H' LM0N 0O, pentru 6 J H' #i nul% în t = 0. Saltul lui sgn în punctul t = 0 este 2; figura 1.1, b). b) În multe descrieri, se folosesc func%ii – fereastr&, nule în afara unor intervale prescrise. O func$ie constant% pe un interval #i nul% în afara lui se nume#te fereastr% dreptunghiular%. Exemplul

tipic este, pentru a > 0, fereastra PQ40! / !' egal% cu 1 pe 8R Q% 'Q%0;

#i nul% în rest (figura 1.2).

Figura 1.2

Func$ia PQ este discontinu% în punctele RQ% 'Q0%, cu salturile

1 #i – 1 respectiv.

!18

Dac% 34! / !0este un semnal oarecare, atunci produsul

f!0PQ este nul în afara intervalului suport 8R Q% 'Q%0; #i este egal cu

restric$ia/vederea lui f prin fereastr%; figura 1.3.

Figura 1.3

Vom întâlni de asemenea func$ii continue pe por$iuni #i func$ii netede pe por$iuni, care au discontinuit%$i dar numai de prima spe$% (deci cu limite laterale finite). Astfel de func$ii (semnale) nu sunt un moft matematic ci descriu situa$ii „de comutare”, de trecere de la un regim de func$ionare la altul, în cazul unor sisteme. Dac% I=[a, b] #i exist% un punct interior 6E 7 F, o func$ie f: I0/ !0este neted& pe por%iuni dac% este neted% pe intervalele deschise (a, 6E= #i (6E, b), având derivate laterale finite în punctele a, b, 6E deci f%r% tangente verticale la grafic; fig. 1.4.

Figura 1.4

! 19

c) Fix%m a > 0 #i fie 2 @ ?9 ? 7 > . Func$ia 3402 / 0!0 (sau 5=,03<?9= @ AB este un semnal discret, asimilat cu #irul (AB=' ? 7 > de numere reale sau complexe. Dac% 2 este o mul$ime finit% cu N elemente, indexate de la 0 la N–1, se spune c% semnalul este finit de lungime N; e#antionul AB se mai noteaz% x[n]. Treapta unitate discret& este G4 > / !' G<?= @ O pentru n ( 0 #i G<?= @ H pentru n < 0. Impulsul discret unitar aplicat la momentul S 7 > este TU4 > / ! definit prin TU<?= @ O pentru n=k #i TU<?= @ H pentru n $ k. În loc de TE se scrie T. De exemplu, semnalul discret A @ VTW# X T X &T# R TY este reprezentat în figura 1.5; el are e#antioanele 3, 1, 2, – 1 la momentele k = –1, 0, 1, 3 (figura 1.5).

Figura 1.5

Semnale periodice Un rol aparte îl au semnalele periodice continuale. Reamintim c% o func$ie f (t) definit% pe !, cu excep$ia eventual a unor puncte izolate, este periodic& de perioad& T (T ' 0), sau pe scurt, f este periodic% T dac% 3<6 X Z= @ 3<6= pentru orice t cu excep$ia acelor puncte izolate. În acest caz, 2T, 3T, –T #i în general,

20

nT (cu ? ∈ ℤ, ? ≠ 0) sunt, de asemenea, perioade ale lui f: apoi

pentru orice a real nenul, 3(96) este periodică \Q.

Cea mai mică perioadă strict pozitivă se numește principală. Remarcăm că dacă 3:ℝ → ℝ (sau ℂ) este o funcție integrabilă pe un interval de lungime cât perioada T, atunci

3(6)d6Q^\Q = 3(6)d6_^\

_ = 3(6)d6\E = 3(6)d6

àWà

,

adică valoarea integralei este aceeași pe orice interval de lungime cât perioada. Exemple tipice a) Funcția 3(6) = sin 6este periodică, având perioada principală 2π; similar pentru b(6) = cos 6. Funcția ℎ(6) = tg 6 este periodică de perioadă π, dar are asimptote verticale. b) Funcția 3:ℝ → ℝ,3(A) = {A} = A − [A] (partea zecimală a lui x) este periodică de perioadă 1. Funcțiile constante sunt periodice dar nu au perioadă principală (căci nu există un cel mai mic număr real strict pozitiv!). Funcțiile reale A ↦ A% sauA ↦ ej nu sunt periodice.

c) Dacă f este periodică 2π, atunci b(A) = 3 %,\A este

periodică T, deoarece b(A + Z) = 3 %,\(A + Z) = 3 %,

\A +

2( = 3 %,\A = b(A) pentru orice x; invers, dacă g este

periodică T, atunci 3(6) = b \%,6 este periodică 2π.

! 21

d) Dac% 34! / ! (sau 5) este o func$ie oarecare, atunci alegând T > 0, se poate construi o func$ie periodic% T, notat% 3\, ob$inut% astfel: se restrânge f la intervalul [0, T) #i aceasta se prelunge#te prin periodicitate la !4 fig. 1.6.

Figura 1.6

[Prin conven$ie, graficul unei func$ii periodice se traseaz% pe un interval de lungime cât perioada, fiind apoi translatat de 1–2 ori]. Not%: Variabila independent% t nu reprezint% totdeauna timpul; de altfel, exist% fenomene periodice în spa$iu, nu numai în timp. Impulsuri Am indicat diverse tipuri de semnale, dar în Inginerie se întâlnesc semnale care nu se încadreaz% în cele indicate – impulsuri electrice, unde seismice, zgomote, mase mari concentrate, #ocuri etc. În anii '30, fizicianul englez P. Dirac a introdus în lucr%rile sale de mecanic% cuantic% faimoasa „func$ie delta”; anume, un simbol OZN, notat T, având urm%toarele propriet%$i:

T 6 @ H0pentru 6 [ H' T H @ k #i T<6=]6 @ OlWl ;

(fig. 1.7.) (1)

!22

Figura 1.7

Este evident c% o astfel de func$ie nu exist% #i c% a fost introdus% „pour les besoins de la cause”, a#a cum a afirmat matematicianul francez L. Schwartz, care a dat un sens riguros, creând Teoria distribu$iilor (prezentat% pe scurt în ANEXA 3). Tot Dirac a prezentat impulsul TQ aplicat în punctul 9 7 !, identificat cu translatata T<6 R 9= #i a ad%ugat „propriet%$ile”:

T<6 R 9=3<6=]6 @ 3<9=lWl #i T<96= @ #

Q T<6=. (2)

(„formula de filtrare”) Dirac a oferit un exemplu de cercet%tor pe care îl

intereseaz% rezultatul #i nu modul de realizare, similar cu matematicianul care lucreaz% cu propriet%$ile obiectelor studiate, f%r% s%-l intereseze natura lor. Vom avea ocazia s% folosim de multe ori formalismul T, cu legitimitate asigurat%. Men$ion%m c% exist% func$ii uzuale care aproximeaz% T; de

exemplu, 3B<6= @ ?P# B<6=, egal% cu n pe intervalul 8R #%B '

#%B; #i

nul% în rest, n ( 1; fig. 1.8.

! 23

Figura 1.8

Dreptunghiul ha#urat are aria 1 #i este tot mai îngust #i mai înalt, pe m%sur% ce n cre#te; pentru ? / k, el se apropie de „b%$ul” din figura 1.7. Dac% A<6= este un semnal continuu pe por$iuni, valoarea sa

medie pe un interval [a, b] este #_WQ A<6=]6_

Q #i energia este

E =0 A<6=%]6_Q . Dac% A<6= este periodic T, valoarea medie este

#\ A<6=]6\E #i energia A<6=%]6\

E .

În cazul unui semnal finit A @ <A8?;=' H m ? m n R O,

valoarea medie este media aritmetic% a e#antioanelor #o A8?;oW#BpE ,

iar energia este E = A8?;%oW#BpE .

§1.2. Oscila%ii armonice Oscila%iile (1 vibra%iile) sunt mi#c%ri ale unor corpuri, înso$ite de modific%ri „du-te vino” de stare, repetate la diverse intervale de timp #i urmând aceea#i traiectorie. Toate obiectele din jurul nostru vibreaz%: lichidele, gazele, solidele, lumina, corzile

24

sau tuburile instrumentelor muzicale etc. Unele o fac periodic – pendule, inimi, sunete –, iar dacă modificările se referă la mărimi mecanice (deplasări, abateri, viteze), atunci se obțin oscilații mecanice; dar se întâlnesc de asemenea oscilații termice, electrice, radiative, subatomice etc. Oscilațiile periodice sunt cele la care parametri de stare care le descriu sunt funcții periodice. Dacă un astfel de parametru A(6) are perioada principală T, atunci se consideră că oscilația a efectuat un ciclu. Numărul de cicli/s se numește frecvența q a oscilației.

Așadar, T [s]..................... 1 ciclu 1 [s]...................... q cicli și cu regula de trei simplă, rezultă că

q = #\. (3)

Frecvența de 1 [Hz] corespunde unei oscilații periodice cu perioada principală de 1 s. Exemple a) Dacă T = 10W% [s], atunci q= 100 [Hz]; b) În România, frecvența curentului electric de la rețea este 50 Hz; c) Sunetele (≡ undele sonore) reprezintă propagarea unor oscilații. În limbaj direct, undele sunt vibrații care se deplasează. Dacă un violonist execută o notă staționară (≡ care nu își modifică forma de undă) și dacă un microfon produce un voltaj care, la fiecare moment t, este proporțional cu presiunea aerului,

! 25

atunci se poate afi#a pe un display graficul y=f (t) al acelei presiuni în timp. Aceast% func$ie este o oscila$ie periodic%, având o anumit% perioad% T. De exemplu, nota „DO” (1 middle C) are frecven$a

q =262 Hz #i perioada Z @ #r s 0,004 s. Func$ia f (t) nu este o

sinusoid% pur% #i de la Fourier citire, este o suprapunere de armonici (oscila$ii armonice) având diverse amplitudini #i faze. Determinarea acestor m%rimi reprezint% analiza undei sonore #i primul pas în procesarea semnalului periodic f (t). Acesta este un prim subiect al acestei c%r$i. d) Fie o und% sta$ionar%, având perioada principal% T. Dac% viteza ei de propagare este v [m/s], atunci distan$a dintre dou% creste (1 maxime absolute) vecine este t @ uZ, numit% lungime de und& (fig. 1.9).

Figura 1.9

Conform formulei (3), rezult%

t @ u v #r #i u @ tq. (4)

Dac% un ciclu este asimilat cu o armonic% fundamental%,

atunci cea de a n–a armonic% (n ( 1) are lungimea de und% wB #i

frecven$a nq. Astfel, pentru nota „DO” cu frecven$a q = 262 Hz, armonicele succesive (numite #i octave) au frecven$ele 2q, 4q,...

!26

Lungimea de und% ini$ial% este t @ YxE%y% s 1,3 m, $inând cont de

viteza de propagare a undei sonore în aer. Prototipul unei armonici fundamentale este A 6 @ )*+ 6,06 7 H' ( . Atunci armonicele a doua #i a treia sunt respectiv A% 6 @ )*+ &6 #i AY 6 @ )*+ V6, pentru 6 7 H' ( ; fig. 1.10. Armonica a n –a este AB 6 @ )*+ ?6,06 7 8H' (; #i n ( 1.

Figura 1.10

Defini$ia 1.1: Se nume#te oscila%ie armonic& orice mi#care descris% de un parametru de stare x (t) care urmeaz% „legea sinusului”: A<6= @ z )*+<{6 X |=, (5) cu z'{' | constante reale. Putem presupune c% { K H, deoarece )*+<{6 X |= @ R)*+<R{6 R |=. Num%rul A=max A<6= este amplitudinea oscila$iei. Perioada principal% o #tim de la

Trigonometrie, anume Z @ %,} , de unde

{ @ %,\ . (6)

Num%rul { se nume#te frecven%a ciclic& (1 pulsa%ia), m%surat% în rad/s, iar | este faza ini%ial& a oscila$iei, m%surat% în radiani. Din rela$iile (6) #i (3) rezult% urm%toarea rela$ie fundamental%: { @ &(q. (7)

27

Energia oscilației armonice (5) pe un interval de timp cât perioada este

~ = (A(6)%d6\E = z%sin%({6 + |)d6\

E = �a

%Z,

(8) deci este proporțională cu pătratul amplitudinii. Terminologia provine din Mecanică, așa cum arătăm în exemplul următor. Exemple a) Considerăm un mobil M care se mișcă uniform pe un cerc (C) de rază A (A > 0), cu viteza unghiulară constantă {({ > 0). Dacă T este durata unei rotații complete (adică a unui ciclu) și q= numărul de cicli/s, atunci T este tocmai perioada mișcării, iar q =#\ este frecvența (sau turația) mișcării; dacă în T s mobilul face un

ciclu, atunci în 1 s va face q = #\ cicli. Conform definiției vitezei

unghiulare {, aceasta este numeric egală cu măsura unghiului la centru al cărui arc este parcurs în 1 s; în t secunde, mobilul va parcurge arcul de cerc având măsura {6 și lungimea z{6. În fine, în T secunde, va rezulta relația z{Z = 2(z (lungimea întregului cerc). De aici, regăsim relațiile (6) și (7).

!28

Figura 1.11

La fiecare moment t, mobilul se afl% în punctul ÄÅ 1 Ä<A<6=' Ç<6==, unde A<6= @ ÉÄÑ @ z )*+<{6 X |=,

unde ÄÑ este proiec$ia punctului ÄÅ pe axa Ox: fig. 1.11. A#adar, A<6= urmeaz& legea (5) a oscila%iilor armonice. Pe m%sur% ce mobilul M se deplaseaz% pe (C) în sensul t cresc%tor, proiec$ia ÄÑ efectueaz% o mi#care „du-te vino” pe axa Ox, în care distan$a ÉÄÑ maxim% este egal% cu A (amplitudinea). Pozi$ia ini$ial% ÄE corespunde unghiului | la centru #i explic% de ce acesta este numit „faza ini$ial%”. Oscila$iile care au aceea#i frecven$% { dar faze ini$iale diferite se numesc defazate, iar diferen$a dintre fazele ini$iale se nume#te diferen%a de faz&. Re$inem deci ca prim exemplu de oscila$ie armonic%, mi#carea pe axa Ox a proiec$iei mobilului care parcurge o mi#care circular% uniform%. b) Func$ia (5) satisface ecua$ia diferen$ial% AÖÖ<6= X {%A<6= @ H, (8) pentru orice t real.

Într-adev%r, AÖ<6= @ z{ Lc)<{6 X |= #i

! 29

AÖÖ<6= @ Rz{% )*+<{6 X |= deci AÖÖ<6= @ R{%A<6=, adic% (8). Se #tie c% ecua$ia (8) are o infinitate de solu$ii, toate de forma A<6= @ Ü# Lc){6 X0Ü% )*+{6, cu Ü#, Ü% constante arbitrare. Pentru a ob$ine o solu$ie unic determinat%, aceasta trebuie supus% unor condi$ii suplimentare; de exemplu A<H= @ AE #i AÖ<H= @ uE (cu pozi$ia ini$ial% AE #i viteza ini$ial% uE). Pe de alt% parte, se pot determina constantele A #i | astfel încât Ü# Lc){6 X0Ü% )*+{6 1 z )*+<{6 X |= @ z<)*+{6 Lc)| X Lc){6 )*+|=0 #i identificând coeficien$ii, rezult% Ü# @ z )*+|, Ü% @ z Lc)|, de

unde z @ Ü#% X Ü%% #i tg| @ áàáa

. A#adar, orice solu$ie a ecua$iei

(8) descrie o oscila$ie armonic% #i din acest motiv, ecua$ia (8) se nume#te ecua%ia oscila%iilor armonice de pulsa%ie {. În Fizic%, ecua$ia (8) s-a întâlnit în mai multe situa$ii #i reamintim trei din aceste situa$ii. I. Oscila$iile unui resort Consider%m un resort suspendat, având coeficientul de elasticitate k; fig. 1.12. Coeficientul k este for$a în [N] necesar% pentru întinderea resortului cu 1 m. Conform legii lui

Figura 1.12

Hooke, for$a F de revenire, îndreptat% împotriva cre#terii ordonatei y(t), are m%rimea F = – ky deci âÇÖÖ<6= @ RSÇ<6=, adic%

!30

ÇÖÖ<6= X Uä Ç<6= @ H. A#adar, am ob$inut o ecua$ie de tipul

(8), cu { @ S â. Solu$iile ei sunt oscila$ii armonice, de forma Ç<6= @ z )*+<{6 X |=. II. Oscila$iile mici ale unui pendul matematic Fie ã<6= = abaterea unghiular% a unui pendul P de la pozi$ia vertical% OE de echilibru; fig. 1.13. Dac% m este masa pendulului P #i å @ É~ @ Éç este lungimea lui, atunci

Figura 1.13

greutatea G = mg a acestuia este echilibrat% de tensiunea din fir #i de for$a care accelereaz% pendulul, deci Ré )*+ ã @ âèÖÖ<6=' unde s(t) este lungimea arcului de cerc ~ç: è<6= @ åã<6=, cu ã<6=0m%surat în radiani.

A#adar, èÖÖ<6= @ åãÖÖ<6= deci Ré )*+ ã @ âåãÖÖ<6=. Am

ob$inut astfel ecua%ia pendulului: ãÖÖ<6= X êå )*+ ã<6= @ H. Pentru

ã<6= mic, sub 3°, avem aproximarea rezonabil% )*+ ã s ã #i

notând { @ b å, se ob$ine ecua$ia liniarizat% a pendulului, anume ãÖÖ X {%ã @ H, de tipul (8). Solu$ia ei general% este de forma ã<6= @ z )*+<{6 X |=ë Perioada principal% a oscila$iilor pendulului, exprimat% prin parametrul ã<6=, este

31

Z = %,}= 2( ℓ b, formulă obținută de Galilei și

confirmată experimental la celebrul turn de la Pisa. De fapt, Galilei a arătat că T este proporțională cu radicalul (la el, 2( ≅ 6). III. Oscilațiile armonice dintr-un circuit electric LC În lipsa unei rezistențe active, intensitatea I(t) a curentului electric printr-un circuit LC în serie variază după legea

FÖÖ(6) + #ìáF(6) = 0, similară cu ecuația (8), pentru { = #

ìá.

Avem astfel un alt sistem fizic, anume celebrul circuit oscilant al lui Hertz, a cărui comportare este descrisă de parametrul fizic I(t): acesta urmează o oscilație armonică având pulsația { și perioada principală

Z = %,}= 2( îÜ,

o altă formulă celebră a curentului alternativ. Notă Este uimitor modul cum fenomene diferite urmează legi de evoluție similare, ceea ce justifică studiul de sine stătător al oscilațiilor armonice. În cazul pendulului matematic, perioada oscilațiilor depinde doar de lungimea pendulului deci de o proprietate intrinsecă (neglijând diverse frecări sau rezistența aerului). Dar amplitudinea oscilațiilor și faza depind de condițiile inițiale externe, de tipul ã(0) = ãEșiãÖ(0) = uE; anume,

ã(6) = ãE cos{6 +ñó}sin{6, cu amplitudinea

z = ãE% + uE% {%. Dacă ãE = 0, atunci z = uE { și ã(6) = z sin{6 deci faza inițială este | = 0. Viteza inițială a

32

pendulului se poate realiza printr-un impuls. Apoi, dacă ãE este dat și uE = 0 (adică pendulul evoluează liber), atunci ã(6) = ãE cos{6 = ãE sin({6 +

,%)și faza inițială este ,

%.

O discuție similară are loc și în cazul unui resort, unde frecvența oscilațiilor depinde de masa m a resortului și de coeficientul k de elasticitate (care reprezintă proprietăți intrinseci ale resortului), în timp ce amplitudinea și faza depind de condiții externe. Cele trei exemple de oscilații armonice au o natură comună, prin prezența unor forțe elastice de revenire. Între „resort” și „pendul” există totuși o deosebire: nu se cerea ca deplasarea resortului să fie „mică”, în timp ce prin ipoteza abaterii mici a pendulului s-a ajuns la o ecuație diferențială cu soluții exprimabile prin funcții elementare. În lipsa aproximării sin ã ≅ ã s-ar fi obținut formule mai complicate, iar oscilațiile nu mai erau armonice. Teoria oscilațiilor (≡ vibrațiilor) este mult mai amplă și cuprinde studiul oscilațiilor forțate, întreținute prin forțe externe; de exemplu, în cazul resortului, forța de revenire poate să depindă și de viteză (ò = −SÇ − SÇÖ).

De exemplu, pentru ecuația ÇÖÖ + Ç = 0 cu condițiile inițiale y(0)=0, ÇÖ(0) = 1, soluția este Ç(6) = sin 6 (deci o oscilație armonică liberă, cu frecvența { = 1).

Dar pentru ecuația ÇÖÖ + Ç = sin 6, cu aceleași condiții inițiale, dar cu forța externă 3(6) = sin 6, soluția este

33

Ç(6) = #%(3 sin 6 − 6 cos 6)! Se constată că lim

Å→lÇ(6) = ∞

deci amplitudinea oscilației devine oricât de mare, fenomen numit rezonanță. Fourier a întâlnit printre primii acest fenomen, în studiul seriilor care îi poartă numele. Rezonanța se întâlnește în multe procese oscilatorii mecanice, electrice sau optice, uneori cu efecte nocive. Astfel, o coloană de soldați care trec pe un pod în pas de defilare sau un vânt puternic, pot provoca oscilații forțate care au frecvența apropiată de frecvența proprie a oscilațiilor podului; este celebru cazul podului Tacoma din SUA, distrus în 1940 ca efect al unor vibrații forțate. Există de asemenea studii privind influența vibrațiilor asupra articulațiilor organismului uman sau suportabilității vibrațiilor în automobile, avioane sau în vecinătatea unor utilaje. Toate acestea reprezintă argumente pentru studiul mai aprofundat al oscilațiilor, care s-a constituit într-o teorie indispensabilă pentru categorii largi de specialiști. §1.3. Serii trigonometrice Am întâlnit multe exemple de mișcări periodice: mișcarea circulară uniformă a unui mobil, oscilațiile mici ale unui pendul, bătăile inimii, curentul electric ca flux de electroni, radiațiile termice, rotațiile unor corpuri cerești în jurul axelor etc. Așa cum există fenomene periodice în timp, există și periodicități în poziție, legate de anumite simetrii; acestea pot fi descrise prin parametri de stare Ç(6) depinzând de timp sau Ç(A), depinzând de poziție.

!34

Exemplu Consider%m distribu$ia temperaturii õ într-un inel circular de sârm% cu centrul O #i raz% R (R > 0); fig. 1.14.

Not%m ã @ öú)<zÉÄ= #i A @ öú)<ùûL0zÄ=. Atunci temperatura õ<Ä= depinde de ã sau de x;

Figura 1.14

anume õ<ã= @ õ<ã X &(= sau õ<A= @ õ<A X &(ü= pentru orice ã sau x. În cele ce urmeaz%, vom considera ca variabil% independent% t, care nu este neap%rat timpul (ca moment sau ca durat%). Este meritul nepieritor al lui Fourier de a fi intuit posibilitatea descompunerii semnalelor periodice în semnale standard, anume oscila$ii armonice. "i asta într-o perioad% când Analiza matematic% nu î#i începuse jocul cu infinitul #i însu#i Euler era sceptic asupra acelei descompuneri. Seriile, #irurile de numere sau func$ii, convergen$%, convergen$a uniform%, derivarea termen cu termen, integrabilitatea etc. nu erau l%murite #i exista o anumit% mistic% în jurul seriei 1–1+1–1+... c%reia i se atribuiau,

dup% caz, sumele 0, 1, #%.

35

Definiția 1.2: Considerăm șirul de funcții 1,cos 6 , sin 6 , cos 26 , . . . , cos ?6 , sin ?6,... (9) toate periodice 2π. Orice combinație liniară finită a acestor funcții cu coeficienți reali se numește polinom trigonometric și orice serie de funcții de forma zE + (9B cos ?6 + :B sin ?6)B†# , (10) cu coeficienții zE, 9B, :B(? ≥ 1) reali se numește serie trigonometrică. Sumele ei parțiale °B(6), ? ≥ 0 sunt polinoame trigonometrice, iar termenii zB(6) = 9B cos ?6 + :B sin ?6 sunt oscilații armonice de ordin n (n ≥ 1). Definiția 1.3: Seria (10) se numește punctual convergentă (PC) pe ℝ dacă pentru orice 6 ∈ ℝ, sumele parțiale (°B(6)), ? ≥ 0 formează un șir convergent de numere reale; în acest caz, suma ei S(t) este o funcție S: ℝ → ℝ periodică 2π (nu neapărat continuă).

Dacă seria (10) este uniform convergentă (UC) pe ℝ (suficient pe un interval de lungime cât perioada), adică limB→l

°B − ° = 0 relativ la norma „sup”, atunci S este funcție

continuă (nu neapărat netedă). Convergența uniformă este asigurată dacă seria numerică ( 9B + :_ )B†# este convergentă. În continuare, reamintim fără demonstrații câteva rezultate fundamentale legate de seriile trigonometrice, limitându-ne la trimiteri bibliografice, comentarii, orientare spre aplicații și legături cu tehnologiile informatice; [2], [13]. PROPOZIȚIA 1.1 (relațiile de ortogonalitate pentru funcțiile trigonometrice): Avem

36

sinâA · sin ?A dA,W, = (TäB,

cosâA · cos ?A dA,W, = (TäB

sinâA · cos ?A dA,W, = 0, pentru orice â, ? ∈ ℤ. (11)

Notă Este vorba de un simplu exercițiu de calcul de integrale.

Reamintim simbolul lui Kronecker: TäB = 0 dacă m ≠ n și TäB = 1dacă m = n (există doar legături superficiale cu simbolul Dirac!). Termenul de „ortogonalitate” provine dintr-o extensie matematică; anume, dacă 3, b ∈ C[Q,_]E , atunci se definește un nou

produs scalar: 3, b = 3(A_Q )b(A)dA, care are legătură cu

produsul scalar a doi vectori doar prin proprietăți comune. Funcțiile f, g se numesc ortogonale (nu perpendiculare!) dacă 3, b = 0.

TEOREMA 1.2 (Euler – Fourier): Presupunem că seria trigonometrică (10) este UC pe ℝ, având suma S(t). Atunci funcția S este continuă pe ℝ și în plus, au loc relațiile:

zE =#%,

° 6 d6,W, , 9B =

#,

° 6 cos ?6 d6,W, ,

:B =#,

°(6) sin ?6 d6,W, , (12)

pentru orice întreg n ≥ 1. Seriile UC pot fi integrate termen cu termen și din relația °(6) = zE + (9B cos ?6 + :B sin ?6)l

Bp# , integrată termen cu

termen pe [–π, π], rezultă °(6)d6,W, = zEd6

,W, + 0 = 2(zE,

folosind faptul că sin nπ = 0 și cos nπ = (−1)B. Apoi, înmulțind o serie UC cu o funcție mărginită, se obține o altă serie UC; aplicând

37

acest fapt și relațiile de ortogonalitate (11), rezultă direct formulele (12) pentru zE, 9B, :B, n ≥ 1. Atenție: Integralele puteau fi luate pe orice interval de lungime 2π, datorită periodicității 2π a integranzilor. În acest punct, avem ocazia marcării unui moment crucial. Până acum, pornind de la seria trigonometrică (10), un obiect matematic static și „steril”, s-au obținut formulele (12). Fourier și-a modificat punctul de vedere: anume, pornind invers, de la o funcție f (t) care îndeplinește anumite condiții și provine din descrierea unor procese, el îi asociază coeficienți numerici similari cu cei din relațiile (12), unde S(t) este înlocuită cu f (t), considerând totodată noua serie trigonometrică (10). Cu rigoarea de astăzi, se pun imediat următoarele întrebări: - este noua serie (10) PC pe ℝ? - dacă da, este suma ei S(t) egală sau nu cu funcția f (t) de pornire? Pe vremea lui Fourier, în jurul lui 1800, astfel de întrebări nu se puneau și oricum nu aveau răspuns... Erau puțin cunoscute rezultatele lui Cauchy sau Abel privind convergența, iar Weierstrass nu introdusese convergența uniformă; doar după peste 70 de ani, printr-un efort prelungit legat de numele lui Riemann, Cantor, Dirichlet, Hilbert, s-a găsit răspunsul la cele două probleme menționate, pe care îl vom da în acest capitol.

38

§1.4. Serii Fourier reale (peste ℝ) Definiția 1.4: Fie 3:ℝ → ℝ o funcție periodică 2π și continuă pe porțiuni (deci integrabilă pe orice interval [a, b]). Se definesc coeficienții Fourier zE, 9B, :B (n ≥ 1) prin:

zE =#%,

3 6 d6,W, ,

9B =#,

3 6 cos ?6 d6,W, ,

:B =#,

3(6) sin ?6 d6,W, , (13)

și seria Fourier asociată: zE + (9B cos ?6 + :B sin ?6)B†# . (14)

Dacă f este pară (≡ graficul simetric față de Oy), atunci

zE =#,

3 6 d6,E , 9B =

%,

3 6 cos ?6 d6,E și :B = 0

pentru n≥1; iar dacă f este impară (graficul simetric față de origine), atunci

zE = 0, 9B = 0, :B =%,

3(6) sin ?6 d6,E pentru n ≥ 1.

Atenție: Dacă se modifică valorile unei funcții integrabile în puncte izolate, nu se modifică valorile integralelor respective.

De exemplu, pentru funcțiile 3, b: [0,1] → ℝ,

3(A) = A + 1șib(A) =A + 1dacăA ∈ (0,1)3dacăA = 0−2dacăA = 1

avem

3(A)dA =#E b(A)dA#

E = Y%.

Notă Legat de cele două întrebări anterioare, există o anumită analogie între seriile Fourier și seriile Taylor. Astfel, dacă

39

3: (9, :) → ℝeste o funcție indefinit derivabilă și AE ∈ (9, :),

atunci se poate asocia seria Taylor ¢(£)(jó)B!

(A − AE)BB†E . Nu este

spus că această serie este convergentă și că în caz de convergență, are ca sumă f (x).

De exemplu, pentru funcția 3:ℝ → ℝ, 3 A = exp − #ja

dacă x ≠ 0 și f (0) = 0 indefinit derivabilă, avem 3 B 0 = 0 pentru orice n ≥ 1, dar suma seriei Taylor în origine nu coincide cu f (x) pentru x ≠ 0. Legătura evocată este tot una de asociere! Se știe că dacă f are toate derivatele mărginite de același număr real pozitiv, atunci suma seriei Taylor este tocmai f, adică pentru orice

A ∈ 9, : , 3(A) = 3(AE) +¢ß(jó)#!(A − AE) +

¢ßß(jó)%!(A − AE)%+. ..

Menționăm că seriile Fourier sunt strâns legate de seriile Laurent din Analiza complexă. În continuare, vom folosi cu precădere termenul de semnal periodic (în loc de funcție), cu gândul la aplicațiile ulterioare. Exemplu Considerăm semnalul periodic 3:ℝ → ℝ, 3 6 = −1 dacă 6 ∈ −(, 0 și 3 6 = 1 dacă 6 ∈ (0, (), extins prin periodicitate la întregℝ. Graficul lui f este indicat în figura 1.15. Un astfel de semnal descrie forțe externe care acționează asupra unor sisteme

!40

Figura 1.15

mecanice sau ca f.e.m. în circuite electrice; în punctele de comutare 0, ± %, ± 2%,... nu conteaz% valorile semnalului. Conform formulelor (13), avem zE @ H #i 9B @ H0pentru n ( 1 (c%ci f este

func$ie impar%); apoi, pentru n ( 1, :B @ 0 %, O v )*+ ?6 ]6,E @

%B, O R <RO=

B deci :# @ x, ' :% @ H' :Y @

xY, ' :x @ H etc. Seria

Fourier asociat% este x, )*+ 6 X #Y )*+ V6 X

#® )*+ ©6 Xë ë ë ' 6 7 !.

Graficele primelor dou% sume par$iale °# @ x, )*+ 6 #i

°% @ x, <)*+ 6 X

#Y )*+ V6=, restrânse la intervalul [–%, %],

sunt indicate în figura 1.16.

Figura 1.16

Cu ajutorul computerelor #i al programelor specializate (MATLAB, MAPLE,...), se pot ob$ine graficele altor sume par$iale

41

(nu toată infinitatea!), care sugerează că pentru ? → ∞, funcția °B(6) se apropie de semnalul f (t) inițial. Vom vedea că dacă f (t) îndeplinește anumite condiții suplimentare (numite „condiții Dirichlet”) este chiar așa. Mai mult, computerele permit calculul aproximativ al coeficienților Fourier și extragerea armonicelor de diverse ordine pentru semnale periodice care nu sunt definite explicit ( f (t) =... ) ci apar pe display în cursul unor procese reale. Generalizare la funcții periodice T O extindere a seriilor Fourier (14) se obține considerând funcții 3:ℝ → ℝperiodice de perioadă principală T = 2ℓ; tot ce s-a spus anterior se reface direct sau se reduce la „cazul 2π”,

considerând funcția ajutătoare b(6) = 3 \%,6 care este periodică

2π. Punând { = %,\

, formulele (13) se modifică astfel:

zE =#\

3 6 d6àWà

,

9B =%\

3 6 cos ?{6 d6àWà

,

:B =%\

3(6) sin ?{6 d6àWà

. (15)

Seria Fourier asociată, conform definiției 1.4, este zE + (9B cos ?{6 + :B sin ?{6)B†# . (16)

[Dacă T=2π, atunci { = 1 și regăsim (13), (14)]. Riemann a demonstrat că dacă b: [9, :] → ℝ este o funcție

continuă pe porțiuni, atunci limB→l

b(A) cos ?A dA_Q = 0 și

limB→l

b(A) sin ?A dA_Q = 0. Așadar, conform (15),

!42

ô*öB/l

9B @ H #i ô*öB/l

:B @ H, (17)

deci coeficien$ii Fourier tind spre zero când ? / k. Exemplu Consider%m semnalul 34! / !' definit prin f (t) = 1 dac% 6 7 <R&'RO= ™ <O'&= #i f (t) = 0 dac% 6 7 <RO'O=, prelungit prin

periodicitate T = 4 la !; figura 1.17. A#adar, { @ %,\ @

,% #i în plus,

semnalul este o func$ie par%. Conform (15),

Figura 1.17

zE @ %\ 3<6=]6%E @ #

% O v ]6%# @ #

%0#i pentru n ( 1, :B @ H.

Apoi,009B @ x\ 3 6 Lc) B,Å% ]6

%E 0@ Lc) B,Å% ]6

%#

@ %B, <)*+ ?( R )*+

B,% = @ R

%B, )*+

B,% ë

Se observ% c% se verific% (17), deoarece 9B m %, v

#B.

Un prim rezultat fundamental, a c%rui demonstra$ie a a#teptat timp de 70 de ani, îl constituie TEOREMA 1.3 (Fourier–Dirichlet de convergen$% punctual%): Fie 34! / ! o func$ie periodic% T, neted% pe por$iuni, cu derivate laterale finite în orice punct. Atunci seria Fourier

asociat% (16), cu { @ %,\ , este PC pe !, având suma 3 în fiecare

43

punct 6 ∈ ℝ. [Am notat 3(6) = #%3(6 − 0) + 3(6 + 0) , adică

media aritmetică a limitelor laterale ale lui f în punctul t. Desigur, dacă f este continuă în punctul t, atunci 3(6) = 3(6). În jargon

studențesc, 3 se numește „ f cu purici”].

Demonstrația teoremei 1.3 este dificilă și este dată în manuale specializate; [2], [13]. Teorema 1.3 are mai „multe nume”: „Teorema FD de reprezentare a semnalelor periodice”, „Dezvoltarea în serie Fourier” sau „Teorema de descompunere a semnalelor periodice ca suprapunere de armonici”. COROLAR. Dacă f, g sunt două semnale periodice T, netede pe porțiuni, cu derivate laterale finite și având aceiași coeficienți Fourier, atunci f = g a.p. Într-adevăr, conform teoremei 1.3, f și g au aceeași dezvoltare Fourier, deci 3 = b a.p. (vezi ANEXA 1).

Notă Reținem ca terminologie: T este perioada principală a lui f

(asimilat cu o undă staționară), q = #\ este frecvența fundamentală

și { = %,\= 2(q. În condițiile teoremei 1.3, are loc formula

3(6) = zE + zB(6)lBp# , unde

zB(6) = 9B cos ?{6 + :B sin ?{6 este oscilația armonică (≡ armonică) de ordin n conținută în semnalul f: prin suprapunerea armonicelor, se reconstituie semnalul inițial f, dar „cu pureci”. Determinarea armonicelor constituie analiza semnalului sau undei.

44

Ca regulă mnemotehnică, formulele (15) se pot reține

astfel: zE =#´¨≠

3 6 d6´¨≠ , 9B =%´¨≠

3(6) cos( %,´¨≠?6)d6´¨≠ ,

:B =%´¨≠

3 6 sin( %,´¨≠?6) d6´¨≠ , unde „per” este perioada T a

semnalului. Integralele sunt considerate pe intervale de lungime cât perioada și se descompun în cazul când f(t) se definește cu acolade, având expresii diferite pe subintervale corespunzătoare ale intervalului de integrare. Algoritmul de dezvoltare în serie Fourier Este dat un semnal f pe un interval (0, T) de lungime cât perioada T, care se prelungește prin periodicitate la ℝ (cu excepția eventual a unor puncte izolate, unde nu contează valoarea lui f). Se recomandă trasarea graficului lui f și a prelungirii lui f. PASUL 1. Se verifică toate condițiile lui Dirichlet (număr finit de puncte de discontinuitate pe intervalul (0, T), cu derivate laterale finite în toate punctele).

PASUL 2. Se calculează { = %,\

și coeficienții Fourier dați

de (15). Se ține eventual cont de paritatea sau imparitatea lui f. PASUL 3. Se scrie explicit dezvoltarea Fourier (16) pentru 3 6 , 6 ∈ ℝ. Aceasta este valabilă pentru semnalul f dat inițial

doar pentru 6 ∈ [0, Z]. Exemple a) Semnalul din figura 1.15 îndeplinește condițiile teoremei FD și rezultă dezvoltarea

! 45

3<6= @ x, <)*+ 6 X

#Y )*+ V6 X

#® )*+ ©6 Xë ë ë =' 6 7 !. Pentru 6 @ ,

%,

avem 3<6= @ 3<,%= @ O deci 1 = x, <O R#Y X

#®Rë ë ë =ë Se ob$ine „din

senin” un fapt remarcabil: O R #Y X

#®Rë ë ë @

,x, anume suma seriei

alternate a inverselor numerelor impare, ob$inut% de Leibniz la începuturile Analizei matematice. De asemenea, pentru semnalul din figura 1.17, rezult%

3<6= @ #% R

%,

#B )*+

B,% v Lc)

B,Å%

lBp# ' 6 7 !.

b) F.e.m. sinusoidal% ~ 6 @ ~ )*+ 96,09 K H, având

perioada principal% Z @ %,Q , trece printr-un filtru rectificator care

„taie” por$iunea negativ% a undei.

Rezult% semnalul periodic 3 6 @ ~ )*+ 96 dac% 6 7 H' ,Q

#i 3 6 @ H0 dac% 6 7 <R ,Q ' H=; fig. 1.18.

Figura 1.18

În acest caz, f nu este nici par%, nici impar% #i aplic%m

formulele (15), cu Z @ %,Q #i { @ 9:

zE @ Q%, 3<6=]6

ÆØW0ÆØ

@ Q%, ~ )*+ 96 ]6

ÆØE @ ∞

, etc.

!46

Dezvoltarea Fourier final% va fi

3<6= @ ∞, X

∞% 0)*+ 96 R

%∞, <

##ëY Lc) &96 X

#Yë® Lc) ±96 Xë ë ë =' 6 7 !.

În acest caz, deoarece f este continu%, rezult% c% 3 @ 3.

c) Coeficien$ii Fourier ai suprapunerii (1 sumei) f + g a dou% semnale verificând condi$iile teoremei FD sunt sumele coeficien$ilor Fourier ai lui f #i g. Ca exemplificare, consider%m semnalul ò4! / !' ò 6 @ 6 X (0 dac% 6 7 <R(' (=, prelungit prin periodicitate 2%; fig. 1.19.

Figura 1.19

Avem F=f + g, unde f (t) = t #i g(t) = % (constant). Dezvoltarea Fourier a lui f este cea a unei func$ii impare #i

rezult% 3<6= @ & <W#=£≤àB )*+ ?6l

Bp# : apoi g(t) = % pentru orice t #i

în final, ò<6= @ ( X &<)*+ 6 R ≥¥µ %Å% X ≥¥µ YÅ

Y Rë ë ë =' 6 7 !.

d) Dac% 34 H' : / ! îndepline#te condi$iile teoremei FD #i se prelunge#te prin paritate (simetric fa$% de Oy) la intervalul (– b, b) #i apoi prin periodicitate 2b, atunci se ob$ine o serie de cosinu#i pentru f: similar, prin simetrie fa$% de origine, se ob$ine

! 47

dezvoltarea în serie de sinu#i. Pentru exemplificare, dezvolt%m 34 H' ( / !' 3<6= @ )*+ 6 în serie de... cosinu#i; fig. 1.20.

Aplicând formulele (15) pentru T = 2%, rezult%

Figura 1.20

zE @ #, )*+ 6 ]6,E @ %

,40:B @ H #i 9B @ %, )*+ 6 Lc) ?6 ]6,E pentru

n ( 1 deci 9B @ H pentru n impar #i 9B @ Wx,<BaW#= pentru n ( 2 par;

rezult% dezvoltarea remarcabil%

)*+ 6 @ %, R

x,

∂∑≥ %UÅxUaW# ' ¶i+eûM06 7 <H' (=ë

lUp#

e) D%m un ultim exemplu. Fie 0<a< T constante #i semnalul periodic T din figura 1.21, prelungit prin periodicitate la !.

Figura 1.21

!48

Conform (15),

zE @ #\ d]60 @

ØaW0Øa

Q∏\ 409B @

%\ d Lc) ?{6 ]6

ØaW0Øa

@ x∏\≥¥µ<B}WØa=

B} #i

:B @ H pentru n ( 1 (din paritatea lui f ); { @ %,\ .

În Teoria semnalelor #i îndeosebi în Analiza Fourier, se utilizeaz% urm%toarea func$ie special%

sinc: !0 / 0!' )*+L<6= 0@ 0 ≥¥µ ÅÅ pentru t ' 0 #i sinc(0) = 1.

Aceast% func$ie se nume#te sinus cardinal; dar are #i alte denumiri: sinus atenuat, fiind notat% sa, dar #i func%ia de e$antionare. Graficul ei este indicat în figura 1.22.

Figura 1.22

Revenind la exemplul e), rezult% 9B @ %∏Q\ )*+π<

B}Q% = #i

descompunerea lui f în armonici: 3<6= @ Q∏\ X 9B Lc) ?{6l

Bp# .

Not% istoric% Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) a fost un mare matematician #i fizician francez, deschiz%tor al domeniului Fizicii matematice. U#or instinctual, el l-a impresionat pe Napoleon, pe care l-a urmat în campania (de fapt invazia) din Egipt, fiind numit

49

guvernator; mai târziu, Fourier a fost numit (nu ales) prefect de Grenoble. După căderea lui Napoleon, el s-a refugiat în matematică, lucrările sale fiind sistematizate în cartea „Théorie analytique de la chaleur”, apărută la Paris în 1822, cu o întârziere de 15 ani. De mai multe ori, el s-a bazat pe faptul că „orice funcție periodică se poate reprezenta ca o sumă de sinuși și cosinuși” (astăzi spunem că „în anumite condiții, un semnal periodic este o suprapunere de oscilații armonice”!). Afirmația lui Fourier a fost pusă la îndoială de Euler sau Poisson, iar Laplace nu credea că funcția sin 6 poate fi dezvoltată în serie de cosinuși, așa cum am văzut în exemplul d) anterior! Era o perioadă în care Analiza matematică nu făcuse progrese privind convergența seriilor de funcții, iar Weierstrass nu obținuse rezultatele sale privind convergența uniformă sau derivarea / integrarea termen cu termen. Multe rezultate ale lui Fourier erau neacceptabile pentru academicienii timpului, sub acuzația lipsei de rigoare. A contat și deranjul produs de inventivitatea și originalitatea lui Fourier, care au creat crispări în mediul academic, ce au condus la rămânerea în seiful Editurii a cărții menționate. Doar spre sfârșitul vieții sale, Fourier a fost ales membru al Academiei franceze. Prea târziu... Dar Fourier a fost răzbunat de istorie, recunoscându-se peste timp că el a creat un instrument matematic excepțional de fecund, generator al multor dezvoltări ale Fizicii matematice. Domenii întregi ale științei poartă „marca Fourier”: descompunerea semnalelor periodice în armonici (așa cum Newton descompusese lumina albă în culorile fundamentale), magia transformării Fourier care leagă domeniul TIMP de

50

domeniul FRECVENȚĂ, transformarea Fourier discretă, procesarea imaginilor 2D și 3D, Spectroscopia, Tomografia, Cristalografia etc. Această carte își propune să prezinte câteva elemente ale moștenirii Fourier, într-un limbaj suportabil deopotrivă de inginerii și matematicienii de diverse temperamente. După 70 de ani de la generarea ideilor lui Fourier, matematicieni precum Bessel, Riemann, Dirichlet, Cantor, Hilbert, Lebesgue ș.a. au reușit demonstrarea lor riguroasă. Ca un fapt mai puțin cunoscut, Cantor a elaborat Teoria mulțimilor, folosind reuniuni, intersecții finite sau nu, complementare de intervale, încercând să sistematizeze mulțimile de puncte unde diverse serii Fourier erau convergente. Fizicieni ca Maxwell, Hertz, Thompson, Planck, Heisenberg, Dirac au contribuit la aplicarea eficientă a ideilor și tehnicilor apărute „in ovo” la Fourier, culminând cu apariția Electronicii, Telecomunicațiilor moderne și explozia tehnologiilor informatice. Este suficient de amintit că transmisiile Radio sunt asimilate cu transformarea Fourier 1D, Televiziunea ≡ Fourier 2D, Holografia ≡ Fourier 3D etc. Nu întâmplător, au apărut substantive noi (de exemplu, „transfuriere” ≡ aplicarea unei transformări Fourier) și s-a propus ca numele lui să fie scris cu „f ” mic, ca substantiv comun și ca o recunoaștere universală și un răspuns la orbirea vinovată a contemporanilor săi. Uneori numele lui a fost confundat cu cel al socialistului Charles Fourier; însuși Victor Hugo îl considera pe Joseph Fourier nedemn de a fi fost ales la Academia franceză. De-ale vieții și posterității...

51

§1.5. Serii Fourier în forma complexă În procesarea seriilor Fourier, se folosesc mai mult exponențialele complexe decât funcțiile trigonometrice. Motivul este acela că există avantaje de manipulare algebrică și concizie a scrierii. Înainte de a prezenta forma complexă a seriilor Fourier, sunt necesare câteva pregătiri. Definiția 1.5. Pentru orice ∫ ∈ ℂ se definește exponențiala

sa complexă eª ≡ exp(∫) = 1 + ª#!+ ªa

%!+. . . + ª

£

B!+. .., această

serie de puteri fiind convergentă.

Desigur, eE = 1 și eª^ªß = eª · eªß pentru orice ∫, ∫Ö ∈ ℂ. În particular, rezultă că eª ≠ 0 (deoarece eª · eWª = 1).

Dacă A ∈ ℝ și z = e¥j, atunci eª = e¥j = 1 + ¥j#!− ja

%!−

¥jΩ

Y!+ jæ

x!+ i j

ø

®!−. . . = 1 − ja

%!+ jæ

x!−. . . +i(j

#!− jΩ

Y!+ jø

®!−. . . ).

Reamintind dezvoltările în serii de puteri ale „cos” și „sin”, în jurul originii, rezultă celebra formulă a lui Euler: e¥j = cos A + i sin A, pentru orice A ∈ ℝ. (18)

Înlocuind x cu – x, rezultă că eW¥j = cos A − i sin A, deci

eW¥j = e¥j și totodată:

cos A = #%e¥j + eW¥j și

sin A = #%¥(e¥j − eW¥j) (19)

Reamintim că pentru orice ∫ ∈ ℂ, ∫ ≠ 0, ∫ = A + iÇ, se

notează ∫ = ∫ − iÇ (conjugatul lui z); avem ∫ + ∫Ö = ∫ +

∫Ö, ∫∫Ö = ∫ · ∫Ö și ∫ ∫Ö = ∫ ∫Ö. Apoi se consideră ¿ = ∫ =

!52

A% X Ç% (modulul) #i ¡ @ öú) ÉA' ÉÇ (argumentul Arg z), cu ¡ 7 H'&( ; fig. 1.23. Evident, ∫ v ∫ @ ∫ %ë

Figura 1.23

Atunci A @ ¿ Lc) ¡ ' Ç @ ¿ )*+ ¡ deci z = x + iy = ¿ Lc) ¡ X

*¿ )*+ ¡ @ ¿<Lc) ¡ X ¬ )*+ ¡= @∂√ë<#ƒ=

¿ i¥≈. Forma exponen%ial& a unui num%r complex nenul este urm%toarea: ∫ @ ∫ v i¥∆≠«ª @ ¿i¥≈. (20) Exemple

O X * @ & v i¥Ææ' © @ © v i¥E' RV @ V v i¥, etc.

Not% Una din curiozit%$ile matematice este faptul c% i¥, @ RO, ceea ce rezult% din (18) pentru x = %. De ce curiozitate?

R%spuns: pentru c% sunt legate în mod condensat #i misterios celebrele numere e, i, %. Tot ca o curiozitate, exponen$iala complex% (spre deosebire de cea real%) este o func$ie periodic% de perioad% 2%i (deoarece i%,» @ O #i iª^%,¥ @ iª v i%,¥ @ iª pentru orice ∫ 7 5).

Aten$ie: iªªß [ <iª=ªß #i i%,»j [ <i%,¥=j @ Oë

53

Definiția 1.6: Fixăm T > 0. Pentru orice ? ∈ ℤ, se definește

semnalul sinusoidal complex de perioadă T, frecvență q = #\ și

pulsație { = 2(q; anume, eB:ℝ → ℂ, eB 6 = e¥B}Å = exp i?{6 . (21) Funcția eB se mai numește armonica complexă de ordin n (pentru n ≠ 0), iar e# este armonica fundamentală; evident, eB = (e#)B și eWB = eB pentru orice ? ∈ ℤ. Notă Se numește caracter pe ℝ orice funcție |:ℝ → ℂ astfel încât pentru orice è, 6 ∈ ℝ, | è + 6 = | è · | 6 , | 0 = 1 și |(6) = 1 deci | este un morfism de la grupul aditiv ℝ la grupul

multiplicativ al numerelor complexe de modul 1. Așadar, oricare eB este un caracter și se poate arăta că orice caracter continuu pe ℝ este dat de o exponențială. În continuare, vom nota cu P\ mulțimea semnalelor 3:ℝ → ℂ care sunt periodice T și continue pe porțiuni. Evident, P\ este un spațiu vectorial complex și eB ∈ P\ pentru orice n ∈ ℤ. Pentru orice două semnale 3, b ∈ P\ se poate defini produsul scalar

3, b = 3(6)b(6)d6\E , (22)

iar E(f) = 3, 3 = 3(6) %d6\E se numește energia lui f.

Un rezultat important îl constituie PROPOZIȚIA 1.4. Pentru orice m, n ∈ ℤ au loc relațiile eä, eB = ZTäB (23) și E(eB) = Z.

54

[În analogie cu (11), relațiile (23) se numesc relațiile de ortogonalitate pentru armonici complexe] Demonstrație: Avem conform (22),

eä, eB = eä 6 eB 6 d6\E = exp(iâ{6) · exp(−i?{6)d6\

E =

expi{(â − ?)6d6\E .

Dacă m≠n, atunci eä, eB =#

» (äWB)expi{(â − ?)6 Z

0= 0,

deoarece {Z = 2(.

Iar dacă m = n, atunci eä, eB = 1 · d6\E = Z.

Așa cum polinoamele algebrice sunt combinații liniare finite de puteri AB am definit polinoamele trigonometrice prin combinații liniare finite de sinuși și cosinuși (definiția 1.2). Definiția 1.7: Polinoamele trigonometrice complexe sunt semnale de forma ç(6) = πBeB(6)o

BpWo cu N ≥ 0 fixat și πB ∈ℂ, πWB = πB deci πE este real. Exemple a) P=3+(1+i)e#+(1–i)eW# este un polinom trigonometric, cu N = 1. b) Orice polinom trigonometric conform definiției 1.2 este și un polinom trigonometric complex. Calculăm energia unui polinom trigonometric complex ç = πBeBo

BpWo : anume, E(P) = ç, ç = πäeä, πBeBBä =

πBπä eä, eB =%Y

ä,B πBπä. ZTäBä,B = Z πB %oBpWo .

Pe de altă parte, E(P) = ç(6) %d6\E și rezultă că

πB %oBpWo = #

\ ç(6) %d6\E , (24)

55

relație numită egalitatea lui Parseval. Notă Polinomul trigonometric ç(6) = πBeB(6)o

BpWo este o mărime „analogică”, iar coeficienții (πB) reprezintă o mărime digitală. Dacă se cunosc toți coeficienții πB, atunci se determină P și invers, fiind dat P, atunci ç, eB = πäeä,o

äpWo eB = πä eä, eBä = ZπB

deci πB =#\ç, eB =

#\

ç(6)\E eB(6)d6 =

#\

ç(6)\E eW¥B}Åd6,

adică toți πB sunt determinați. Ca atare, armonicele eB sunt simpli „purtători – spectatori”! Acesta este un fenomen matematico–informatic esențial, numit conversie analogic – digitală (A / D), pe care îl vom mai întâlni în această carte, inclusiv în cazul undinelor ca „purtători”. Cele spuse se extind de la polinoame trigonometrice la semnale periodice mai generale; anume, are loc: TEOREMA 1.5 (teorema Fourier–Dirichlet în forma complexă). Fie T > 0 fixat și 3 ∈ ç\ având derivate laterale finite în fiecare punct. Atunci seria Fourier asociată πBeB(6)B∈ℤ = πBB∈ℤ e¥B}Å are suma 3(6), unde

πB =#\3, eB =

#\

3(6)\E eB(6)d6, ? ∈ ℤ. (25)

De fapt, aceasta rezultă din teorema 1.3 (adică forma reală). Anume, conform (16), 3(6) = zE + (9B cos ?{6 +l

Bp#

:B sin ?{6) =∂√.(#À)

zE + (9B¨£^¨Ã£%

+ :B¨£W¨Ã£%¥)l

Bp# = =

àÕpW¥

zE +

(Q£W¥_£%eB +

Q£^¥_£%eWB)l

Bp# .

!56

Notând πE @ zE, πB @ Q£W¥_£% 0 #i0πWB @ Q£^¥_£

% pentru n ( 1,

rezult% 3 6 @ πE X πBiB X πWBiWBlBp# @ πBiBlBpWl . În

plus, conform (15), πE @ zE @ #\ 3 6\E ]6 #i pentru n(1, πB @

#% 9B R *:B @ #

%%\ 3 6 Lc) ?{6 ]6\E R * %\ 3 6 )*+ ?{6 ]6\

E

@ #\ 3<6=iW¥B}Å]6\E @ #

\ 3' iB #i similar πWB @ #\ 3' iWB deci

(25). Exemplu Determin%m forma complex% a dezvolt%rii Fourier pentru semnalul f din figura 1.24, prelungit prin periodicitate T = 2 la !.

Figura 1.24

În punctele de discontinuitate ã, definim f prin 3<ã=. Func$ia f îndepline#te condi$iile lui Dirichlet (periodic%, continu% pe por$iuni #i cu toate derivatele laterale nule) #i în plus, este par%.

Avem T = 2 deci { @ %,\ @ ( #i conform (25),

57

πB =#%

3(6)(cos ?(6 − ¬ sin ?(6)Œ6#W# =

#%

2àaWàa

(cos ?(6 − ¬ sin ?(6)Œ6 = 2 cos ?(6 d6àaE = %

B,sin B,

%

pentru n ≠ 0 și πE =#%

2d6àaWàa

= 1.

Așadar, 3(6) = 1 + πBe¥B,ÅBœE , unde πB =%B,sin B,

%.

Completări Există multe rezultate teoretice privind convergența seriilor Fourier și menționăm, fără demonstrație, câteva: - Dacă 3:ℝ → ℝ sau (ℂ) este o funcție continuă, periodică de perioadă T > 0 și în plus, f este derivabilă cu derivata continuă pe porțiuni, atunci seria Fourier πBeB(6)B∈ℤ a lui f este UC pe ℝ și seria numerică πBB∈ℤ este convergentă; în plus, seria Fourier a lui 3Ö se obține derivând termen cu termen dezvoltarea lui f. - În condițiile anterioare, cu 3Ö ∈ L[E,\]% , se pot exprima

coeficienții Fourier ai lui 3Ö în funcție de coeficienții lui f: πB(3Ö) = i?{πB(3) pentru orice ? ∈ ℤ. Într-adevăr, integrând prin

părți,πB(3Ö) =#\

3Ö(6)eW¥B}Åd6 = #\3(6)eW¥B}Å Z

0+\

E#\i?{ 3(6)eW¥B}Åd6\

E = i?{πB(3), deoarece {Z = 2( și 3(Z) =

3(0). - Egalitatea (24) a lui Parseval se extinde fără dificultate la serii Fourier:

πB %lBpWl = #

\3(6) %d6\

E , (26)

58

în condițiile teoremei 1.5 și presupunând că 3 ∈ Lℝ% . Folosind egalitatea lui Parseval pentru 3Ö, rezultă că seria numerică

?% πB(3) %B∈ℤ este convergentă. - Dacă f este periodică și indefinit derivabilă, atunci pentru orice întreg k ≥ 0, lim

B →l?UπB = 0. Lema lui Riemann arăta că dacă

3 ∈ P\, atunci limB →l

πB = 0.

- Ca un rezultat matematic spectaculos, care i-a adus celebritatea, Kolmogorov a dat în 1926 primul exemplu de semnal 3:ℝ → ℝperiodic T, din clasa 3 ∈ L[E,\]# pentru care seria Fourier

este divergentă în orice punct. În general, spre deosebire de seriile de puteri, seriile trigonometrice nu pot fi derivate sau integrate termen cu termen fără precauții. Așa cum am mai spus, seriile Fourier sunt strâns legate de seriile Laurent în jurul originii, deoarece notând ∫ = e¥}Å, rezultă πBe¥B}ÅB∈ℤ = πB∫BB∈ℤ . §1.6. Interpretări fizice și aplicații Pentru orice semnal continual periodic T, satisfăcând condițiile lui Dirichlet, are loc dezvoltarea Fourier reală 3(6) = zE + (9B cos ?{6 + :B sin ?{6)l

Bp# , unde

{ = %,\

și zE, 9B, :B sunt dați de (15) sau forma Fourier

complexă 3(6) = πBlBpWl e¥B}Å, unde coeficienții πB sunt dați de

(25). În acest paragraf, încercăm o sinteză a rezultatelor anterioare și o deschidere spre aplicații semnificative.

59

I. Media semnalului f pe intervalul [0, T] (sau echivalent pe orice interval de lungime cât perioada) este

–¢ =#\

3(6)d6\E deci–¢ = zE = πE.

Așadar, termenul liber al dezvoltării Fourier a unui semnal este tocmai media acestuia. II. Pentru n ≥ 1, termenul zB(6) = 9B cos ?{6 + :B sin ?{6 ≡ πBeB(6) + πWBeWB(6)

se numește armonica de ordin n a semnalului f: zB(6) are

perioada principală \B și z#(6) este armonica (≡ oscilația)

principală (sau fundamentală) a lui f. Exemplu Armonica a 3–a este zY(6) = 9Y cos 3{6 + :Y sin 3{6,

având perioada principală \Y.

III. Formula 3(6) = zE + zB(6)lBp# arată că semnalul

„f cu pureci” este egal cu suma (≡ suprapunerea, în limbaj ingineresc) armonicelor sale. Semnalul 3coincide cu f în toate

punctele cu excepția unor puncte izolate. Am menționat că în multe domenii ale științei se folosește descompunerea unor entități în componente mai simple sau standard: descompunerea Newton a luminii albe și recent, descompunerea semnalelor în voci, după ce modelul Fourier a fost extins la vectori din spații Hilbert (cu ajutorul bazelor ortonormale). De la semnale 1D s-a trecut la imagini 2D sau 3D, cadre video, holograme etc. În practică, se rețin câteva armonici deci 3(6) = zE + zB(6)o

Bp# , cu N ales convenabil.

60

Cu tehnologiile informatice moderne, se pot extrage fără dificultate diverse armonici ale unor semnale apărute pe display – uri, chiar și în lipsa formei matematice explicite. Calculul coeficienților Fourier reprezintă analiza conținutului armonic (frecvențial) al semnalului; în cadrul procesării unui semnal, unele armonici pot fi eliminate, atenuate sau amplificate, filtrate, combinate cu alte semnale 1D sau 2D, așa cum se întâmplă în Muzica electronică sau în Cinematografie (unde s-a reușit imitarea vocii lui Pavarotti sau a prezenței M. Monroe în filme artificiale nepotrivite). Analiza Fourier este utilizată pentru controlul vibrațiilor unui motor, în determinarea defectelor în bătăile inimii sau, așa cum am văzut, în urmărirea sunetelor unor instrumente muzicale cu coarde sau de suflat etc. Așa cum am mai spus, seriile Fourier reprezintă un prim exemplu al conversiei analogic–digitale (A/D), prin legătura dintre mărimile analogice de tipul f (t) și mărimile digitale discrete (πB), ? ∈ ℤ. IV. Deoarece lim

B→l9B = 0 și lim

B→l:B = 0, rezultă că

limB →l

πB = 0deci armonicele zB(6) de ordin ? ≫ 1 pot fi

neglijate. În practică, dezvoltarea Fourier este finită! V. Energia unui semnal 3 ∈ P\ este

E(3) = 3, 3 = 3(6) %d6\E și am văzut că aceasta este

egală cu suma seriei πB %lBpWl (egalitatea (26) a lui Parseval).

61

Se reobține totodată faptul că limB →l

πB = 0, deoarece

pentru o serie convergentă, termenul ei general tinde spre zero. Armonica zB(6) de ordin n se poate rescrie astfel: 9B cos ?{6 + :B sin ?{6 ≡ zB cos ?{6 + |B =zB(cos ?{6 cos|B − sin ?{6 sin|B), și apoi după identificarea coeficienților, 9B = zB cos|B , :B = zB sin|B deci zB =

9B% + :B%. Amplitudinea zB a armonicii este importantă, deoarece energia acelei armonici este proporțională cu pătratul amplitudinii; într-adevăr,

E(zB 6 ) = zB 6 %d6\E = zB%cos% ?{6 + |B d6

\E =

= �£a

%(1 + cos(2?{6 + |B))d6 = zB% .

\%

\E . Fazele |B sunt și ele

importante pentru a observa defazajul dintre diverse armonici. VI. Definiția 1.8: Spectrul discret al unui semnal f continual periodic cu perioada principală T și cu frecvența

fundamentală qE =#\ este mulțimea discretă

”¢ = (B\, πB)|? ∈ ℤ = (?qE, πB)|? ∈ ℤ ,

(27) care nu poate fi reprezentată grafic, deoarece ”¢ ⊂ ℝ×ℂ. Dar

folosind forma exponențială (20), avem πB = πB e¥≈£, unde ¡B ∈[0,2() este argumentul lui πB, se poate reprezenta grafic spectrul

de amplitudine B\, πB |? ∈ ℤ , ca submulțime a lui ℝ%, prin

„bețe” verticale de înălțimi πB având punctul de aplicație B\= ?qE

pentru ? ∈ ℤ și distanțate la multipli întregi ai lui qE. De asemenea,

!62

dac% πB [ H, atunci se poate reprezenta spectrul de faz& al lui f,

anume B\ ' ¡B 0‘0? 7 > .

Exemple a) Consider%m semnalul 3<6= @ 6' 6 7 <H'&(=, prelungit prin periodicitate 2% la ! (fig. 1.25). Ne propunem s% determin%m energia, armonica a 5 – a #i spectrul de

Figura 1.25

amplitudine al lui f. Avem T = 2% #i { @ O deci conform (25),

πB @ #%, 6iW¥BÅ]6%,

E @ ¥B pentru n ' 0 #i πE @ #

%, 6]6%,E @ (.

Atunci “<3= @∂√ë<%y= &( πB %lBpWl @ &( (% X #BaBœE .

Pe de-alt% parte, “<3= @ 3<6= %]6%,E @ 6%]6%,

E @ ƒ,ΩY .

En passant, rezult% c% &( (% X #BaBœE @ ƒ,Ω

Y , de unde

#Ba

lBp# @ ,a

y , o alt% sum% celebr%.

Întrebare: ce caut% % în suma p%tratelor inverselor numerelor naturale?

! 63

R%spuns: Jocul cu infinitul, pe care numai Analiza matematic% îl poate juca; însu#i computerul nu ar fi ob$inut aceast% valoare, ci doar oricâte zecimale, dar în num%r finit! Armonica a 5-a este z®<6= @ π®i®<6= X πW®iW®<6= @¥® i®<6= R

¥® iW®<6= @ R

%® )*+ ©6, iar spectrul de amplitudine este

”¢ @ < B%, '#B=0‘0? [ H ™ <H' (=; fig. 1.26.

Figura 1.26

Anvelopa spectrului de amplitudine (1 curba care une#te vârfurile) este de tip clopot, deoarece πB / H pentru ? / kë b) Pentru semnalul din figura 1.24, am v%zut c% πE @ O #i

0πB @ %B, )*+

B,% pentru n ' 0, deci π%U @ H #i π%U^# @ %

, ë<W#=◊%U^#

pentru k ( 1. Spectrul lui în amplitudine, anume

”¢ @ <B% ' πB =0‘0? 7 > este indicat în figura 1.27.

!64

Figura 1.27

Not%: A#adar, pentru un semnal periodic (satisf%când condi$iile lui Dirichlet), analiza const% în determinarea coeficien$ilor Fourier (πB= deci a spectrului discret al semnalului; iar sinteza revine la a reconstrui semnalul (cu aproxima$ie) din cunoa#terea spectrului s%u discret. Vom vedea în Capitolul 3 c% se poate vorbi de spectru frecven$ial (dar continuu!) #i în cazul semnalelor neperiodice sau chiar al impulsurilor, dar ceva mai complicat. VI. Fenomenul Gibbs. Fizicianul american A. Michelson a observat în 1898 c% pentru un semnal dreptunghiular, sumele Fourier par$iale oscilau în jurul punctelor de discontinuitate, chiar dac% se luau în considera$ie mul$i termeni. Matematicianul, tot american, Gibbs a studiat acest fenomen, cercet%rile sale descriind distorsiunile ap%rute în liniile de comunica$ie audio (sau TV), la diversele comut%ri. Exemplific%m fenomenul pe exemplul

semnalului f: (0, 2%) / !' 3 6 @ ,WÅ% , prelungit prin periodicitate

2% la ! (figura 1.28). Pe un interval H' ÿ , cu ÿ K H „mic”, #irul sumelor par$iale °B<6= are un num%r din ce

! 65

Figura 1.28

în ce mai mare de oscila$ii, iar amplitudinea maxim% a semnalului tinde c%tre o valoare strict mai mare decât 3 H X H @ ,

%. (mai

precis, se poate ar%ta c%0 ô*öB/l

°B ,B @ ≥¥µ Å

Å ]6,E K ≥¥µ Å

Å ]6lE =,%)

Comportarea sumelor par$iale în vecin%tatea punctului t = 0, pentru t > 0, este indicat% calitativ pentru n = 5, 20, 50 în figura 1.29.

Figura 1.29

66

Conform teoremei 1.3 de convergență punctuală, ne-am fi așteptat ca diferența °B 6 − 3 6 să tindă spre zero pentru 6 → 0,

6 > 0și ? → ∞. Dar surpriza este că această diferență rămâne strict pozitivă! În practica procesării semnalelor, efectul Gibbs s-a manifestat pentru un filtru trece–jos aplicat unui semnal dreptunghiular, iar inginerii electroniști au inventat diverse mijloace de atenuare a acestui efect (care nu poate fi complet înlăturat!). Un scop al dispozitivelor electronice îl constituie transmiterea semnalelor fără distorsiuni, iar Analiza Fourier permite decelarea armonicelor prezente în semnalul original, ceea ce influențează creșterea calității acelor dispozitive. APLICAȚII (ale seriilor Fourier la studiul unor ecuații ale Fizicii matematice) I. Oscilațiile mici ale unei corzi vibrante Considerăm o coardă vibrantă omogenă, prinsă la capetele unui interval [0, L] de pe axa Ox, L fiind lungimea corzii. Aplicând anumite forțe, coarda începe să oscileze într-un plan xOu, fără viteză inițială, având la momentul inițial t = 0 alura unei curbe continue G = 3(A), 3:[0, î] → ℝ, fig. 1.30, cu funcția f nenulă și 3(0) = 0, 3(î) = 0. Acesta este modelul fizic, căruia îi asociem modelul matematic; notăm cu G(A, 6) deplasarea la

! 67

Figura 1.30

momentul t a punctului de pe coard% având abscisa x. Se #tie c% aceast% func$ie satisface „ecua$ia undelor 1D”: GÅÅ @ 9%Gjj, (28) unde a > 0 este o constant% depinzând de materialul corzii. Determin%m solu$ia ecua$iei (28) cu condi$iile la capete: G<H' 6= @ H' G<î' 6= @ H pentru orice t ( 0 (29) #i condi$iile ini$iale: G<A' H= @ 3<A=' 0GÅ<A' H= @ H, (30) pentru orice A 7 8H' î;. Solu$ia G 1 H este exclus% #i facem ipoteza c% aceast% problem% are solu$ie unic% (ceea ce poate fi justificat matematic sau acceptat ca o problem% corect formulat% fizic, cu evolu$ie determinat% în timp #i spa$iu). Sub aceast% ipotez%, nu mai conteaz% modul de ob$inere a solu$iei. Aplic%m metoda clasic% a separ&rii variabilelor, care const% în a c%uta solu$ii de forma

G<A' 6= @ Ÿ<A=Z<6=0]iL*0Ÿ<A=ZÖÖ<6= @ 9%ŸÖÖ<A=Z<6=, deci ⁄

ßß

⁄ @#Qa\ßß\ . Din (29), rezult% c% Ÿ<H= @ H' Ÿ<î= @ H. În acest

moment, utiliz%m un fapt general simplu:

68

LEMĂ. Fie b: F → ℝ, ℎ: € → ℝ funcții reale definite pe intervale, astfel încât b(A) = ℎ(Ç) pentru orice A ∈ FșiÇ ∈ €. Atunci g și h sunt constante, egale cu aceeași constantă k. [Într-adevăr, fixăm ÇE ∈ € și notăm S = ℎ(ÇE). Conform ipotezei, avem b(A) = ℎ(ÇE) = S pentru orice A ∈ Fdeci g este constantă; apoi ℎ(Ç) = b(A) = S pentru orice Ç ∈ €]. Aplicând acest fapt, cum x și t sunt variabile independente,

rezultă că ⁄ßß

⁄= #Qa\ßß

\= S, constant. Dacă k = 0, atunci ŸÖÖ A = 0

deci Ÿ A = âA + ?, cu m, n constante reale. Dar din (29) rezultă Ÿ 0 = 0 și Ÿ(î) = 0, de unde m = 0, n = 0 și ca atare, u = 0; exclus (deoarece f ≠ 0). Pentru k > 0, din ecuația ŸÖÖ − SŸ = 0,

rezultă Ÿ(A) = Ü#ej U + Ü%eWj U cu Ü#, Ü% constante. Din nou, Ÿ 0 = 0 și Ÿ(î) = 0, deci Ü# + Ü% = 0 și

Ü#eì U + Ü%eWì U = 0, de unde Ü# = 0, Ü% = 0 și u = 0; exclus. Rămâne cazul k < 0 și atunci din ŸÖÖ − SŸ = 0, rezultă

Ÿ(A) = Ü# cos(A −S) +Ü% sin(A −S). Deoarece Ÿ(0) = 0,

rezultă Ü# = 0 și din Ÿ(î) = 0,se obține Ü% sin(î −S) = 0. Dat

fiind că Ÿ ≢ 0, rezultă Ü% ≠ 0 deci sin(î −S) = 0 și ca atare,

î −S = ?(, cu? ∈ ℤ. Așadar, singurele valori ale lui k pentru care problema (28)+(29)+(30) are soluții nenule, numite valori proprii ale

problemei, sunt S = −Ba,a

ìa, n = ± 1, ± 2,... În plus, am obținut

funcțiile proprii Ÿ(A) = Ü% sin(A −S) = Ü% sinB,jì, cu

Ü% ≠ 0. Reținem doar valorile n = 1, 2, 3,... (celelalte dând

69

aceleași funcții proprii). Pe de altă parte, #Qa\ßß

\= S = −B

a,a

ìa, deci

ZÖÖ + Ba,aQa

ìaZ = 0, de unde Z(6) = ›# cos

B,Qì6 + ›% sin

B,Qì6 cu

›#, ›% constante arbitrare. Recapitulând, pentru orice întreg n ≥ 1 am obținut câte o

soluție a ecuației (28) cu condițiile la capete (29), anume

GB(A, 6) = zB cosB,Qì6 + fiB sin

B,Qì6 sin B,j

ì,

(31) cu zB, fiB constante. În general, aceste funcții nu satisfac (30) și aplicăm principiul „suprapunerii efectelor”, căutând soluția G(A, 6) = GB(A, 6)l

Bp# , prin suprapunerea funcțiilor GB(A, 6). Am ajuns la momentul Fourier! Anume, putem determina constantele zB, fiB din condițiile inițiale (30).

Deoarece GÅ(A, 6) 6 = 0= 0 pentru orice x, rezultă relația

?fiB sinB,jì

lBp# = 0 deci ?fiB = 0 și fiB = 0 pentru orice n ≥ 0

(din unicitatea dezvoltării în serie Fourier). Așadar,

G(A, 6) = zB cosB,Qì6 · sin B,j

ìl

Bp# . (32)

Făcând t=0, din prima condiție (30) rezultă că

3(A) = zB · sinB,jìl

Bp# pentru orice A ∈ [0, î].

Prelungind f prin imparitate la [–L, L] și prin periodicitate 2L,

aplicăm formula (15) și rezultă că zB =%ì

3(A) sin B,jì dAì

E .

Am obținut astfel soluția explicită (32) dată de Fourier pentru problema pusă. Cu metode similare, se pot impune corzii forțe, viteze la capete și se pot studia oscilații longitudinale în

70

lungul unor conductori, oscilații ale membranelor dreptunghiulare sau circulare; dar ne oprim aici. Interpretare fizică Modelul anterior se aplică tuturor instrumentelor muzicale cu corzi. Fiecare oscilație armonică (31), anume GB(A, 6) = zB cos

B,Qì6 · sin B,j

ì cu

zB =%ì

3 A sin B,jì dAì

E , are perioada principală %ìBQ

și

amplitudinea zB sinB,jì , cu lim

B→lzB = 0. Punctele unde

amplitudinea este nulă se numesc noduri; în aceste puncte,

sin B,jì = 0deci B,j

ì= S(cuS ∈ ℤ. Ținând cont că A ∈ [0, î],

nodurile sunt 0, ìB, %ìB, . . . , î.

Punctele unde amplitudinea este maximă sunt cele unde

sin B,jì = ±1 și ¬A ∈ [0, î], deci B,j

ì= ,%+ S(, A = ì

%B(1 + 2S),

adică A = ì%B, Yì%B, . . . , (%BW#)ì

%B: acestea se numesc ventre.

Pentru n = 1 se obține prima armonică G#(A, 6), numită și tonul fundamental al corzii; celelalte fiind supratonuri, care determină timbrul corzii. Suprapunerea tuturor, adică G(A, 6) = GB(A, 6)l

Bp# reprezintă sunetul corzii considerate. Vom continua discuția în paragraful 6.5. II. Propagarea căldurii într-o bară izolată termic Considerăm o bară subțire omogenă, bună conducătoare de căldură și asimilată cu intervalul [0, 1] al axei Ox. Notăm cu G(A, 6) temperatura barei în punctul A ∈ [0,1] și la momentul t ≥ 0; fig. 1.31; această funcție satisface „ecuația căldurii”:

! 71

GÅ @ π%Gjj, (33) unde c > 0 este o constant% de material. Ecua$ia (33) a fost stabilit% de Fourier în 1822. Condi$iile la capetele barei sunt G<H' 6= @ H' G<O' 6= @ H pentru orice t ( 0 (34)

Figura 1.31

cu o singur% condi$ie ini$ial%: G<A' H= @ b<A=' ¶i+eûM0cû*Li0A 7 8H'O;, (35) g fiind o func$ie continu% nenul%. Pentru simplitate, presupunem c = 1. Aplic%m din nou metoda separ%rii variabilelor #i c%ut%m solu$ii de forma G A' 6 @ Ÿ A v Z 6 deci

0Ÿ A ZÖ 6 @ ŸÖÖ A v Z 6 ' de unde \ß Å\ Å @

⁄ßß j⁄ j @ S

(conform lemei anterioare). Din condi$ia (35) se exclude solu$ia nul%, iar din rela$ia

ZÖ R SZ @ H rezult% în mod necesar k < 0 (altfel temperatura ar putea cre#te nedefinit!). Not%m S @ Rt%0 t K H deci ZÖ @ Rt%Z

#i Z 6 @ ÜiW0waÅ, C fiind constant% arbitrar%. Apoi ŸÖÖ X t%Ÿ @ H deci Ÿ A @ z Lc) tA X fi )*+ tA cu

A, B constante #i ca atare, pentru orice t avem câte o solu$ie

Gw A' 6 @ iW0waÅ (zw Lc) tA X fiw )*+ tA=. Din condi$iile (34),

72

rezultă zw = 0 și sin t = 0 (căci G ≢ 0). Așadar, se obțin valorile proprii t = ?( (cu n ≥ 1 întreg) și un șir de funcții proprii

GB A, 6 = fiBeWBa,aÅ · sin ?(A , ? ≥ 1. Acestea nu pot îndeplini

(35), dar prin suprapunerea lor, se poate determina soluția pentru problema (33)+(34)+(35); anume

G(A, 6) = fiBeWBa,aÅ · sin ?(Al

Bp# . (36) Coeficienții fiB se determină punând și condiția inițială

(35). Rezultă b(A) = fiB sin ?(AlBp# . Din nou, prelungind g prin

imparitate la [–1, 1] și apoi prin periodicitate de perioadă 2 și aplicând formula (15), rezultă coeficienții Fourier

fiB = 2 b(A)#E sin ?(A dA, ? ≥ 1. (37)

Soluția finală a problemei puse este (36) cu coeficienții fiB dați de (37). În practică, se rețin câțiva termeni ai seriei (36), care este rapid convergentă, teoria fiind confirmată de computerele moderne.

§1.7. Serii Fourier generalizate În ANEXA 3 am reamintit conceptul de spațiu Hilbert, care extinde ℝBsauℂB. Definiția 1.9: Fie H un spațiu Hilbert real (sau complex). Se numește bază ortonormală (≡ b.o.) a lui H orice șir de vectori ℬ = ·B ,? ≥ 1 astfel încât ·», ·‚ = T»‚ pentru orice i, j ≥ 1 și în plus, subspațiul vectorial S generat de ℬ (adică mulțimea tuturor combinațiilor liniare finite de vectori din ℬ) este dens în H, deci orice vector din H este limita unui șir de vectori din S. Vectorii (·B),? ≥ 1 ai b.o. sunt și liniar independenți în H.

73

Exemple a) În H = ℝB,baza canonică ℬ = ·#, … , ·B este evident b.o.; în plus, pentru orice vector A ∈ ℝB, A = A#, … , AB , avem A, ·U = AU, 1 ≤ S ≤ ? și A = AU·UU = A, ·U ·UU . Similar

pentru spațiul H = ℂB, cu produsul scalar G, u = GUuUU . b) În spațiul Hilbert ‰ = ℓ% șirurile infinite ·# = (1,0,0, . . . ,0), ·% = (0,1,0, . . . ,0), etc. formează b.o. infinită. c) În spațiul Hilbert ‰ = L W,,,

% al tuturor funcțiilor

3: −(, ( → ℝ de pătrat integrabil, relativ la produsul scalar

3, b = 3 6 b 6 d6,W, , șirul de semnale ℬ = ·B , ? ≥ 1:

·# =#%,, ·% =

#,cos 6 , ·Y =

#,sin 6, ·x =

#,cos 26 , . . . ,

·%B =#,cos ?6 , ·%B^# =

#,sin ?6 , . . ., formează o b.o. infinită.

Se verifică ușor că ·ä, ·B = TäB pentru orice m, n ≥ 1. Dar faptul că subspațiul lui H generat de ℬ este dens în H este nebanal, prin aplicarea a două rezultate de Analiză matematică; anume, teorema lui Weierstrass conform căreia polinoamele trigonometrice formează o mulțime densă în mulțimea funcțiilor continue C W,,,

E ,

care la rândul ei este densă în spațiul L W,,,% , conform unei teoreme

clasice a lui Luzin. Revenim la cazul general, al unui spațiu Hilbert complex înzestrat cu b.o. ℬ = (·B), ? ≥ 1. Definiția 1.10: Pentru orice vector G ∈ ‰, numerele complexe πB = G, ·B se numesc coeficienții Fourier (generalizați) ai vectorului u relativ la baza ℬ, iar seria πB·BB†#

!74

se nume#te seria Fourier generalizat& a lui u relativ la ‡. Un rezultat fundamental, care completeaz% teorema 1.3, îl constituie TEOREMA 1.6 (Hilbert – Fourier de convergen$% în norm%): Pentru orice vector G 7 ‰, seria Fourier generalizat%

πB·BB†# este convergent% în norma din H, având suma u, deci #irul èB @ πÂ·ÂB

Âp# al sumelor par$iale converge spre u pentru

? / k, adic% ! ! ô*ö

B/lèB R G @ H" (38)

(!Se scrie πB·B @ GlBp# , în norm%).

Demonstra$ia pe care o prezent%m pare simpl% deoarece folose#te rezultate tari din Teoria spa$iilor Hilbert. Pasul 1. Pentru 1)k)n, avem èB' ·U @ πÂ·Â'B

Âp# ·U @πÂB

Âp# ·Â' ·Â @ πÂBÂp# TÂU @ πU @ G' ·U .

A#adar, èB R G' ·U @ H pentru n fixat, oricare ar fi 1 ) k ) n. Pentru orice n ( 1, not%m ‰B0= subspa$iul lui H generat de vectorii ·#' „ ' ·B ai b.o. ‡. A#adar, am ar%tat c% èB R G este ortogonal la ‰B. Pe de-alt% parte, ‰B este un subspa$iu finit dimensional al lui H, deci este o mul$ime închis% #i conform teoremei RIESZ II din ANEXA 3, èB coincide cu proiec$ia ortogonal% a lui u pe ‰B. Pasul 2. Avem situa$ia din figura 1.32. Într-un spa$iu Hilbert, similar cu cazul lui

Figura 1.32

75

ℝB, vectorul x – y se poate identifica cu ÇA și norma A − Ç este mărimea vectorului ÇA. În triunghiul cu vârfurile G, èB, u are loc teorema lui Hilbert – Pitagora și rezultă relația: G − èB % + èB − u % = G − u % (39) pentru orice u ∈ ‰B. Fie acum ÿ > 0 fixat arbitrar. Deoarece subspațiul lui H generat de ℬ este dens, există n = n ÿ și u ∈ ‰o astfel încât G − u < ÿ. Pentru orice n ≥ N, avem ‰o ⊂ ‰B deci u ∈ ‰o și

conform relației (39), G − èB ≤ G − u < ÿ. Am arătat astfel că pentru orice ÿ > 0, există N astfel încât de îndată ce n ≥ N, avem G − èB < ÿ. Așadar, am demonstrat relația (38).

COROLAR 1 (proprietatea de optim a coeficienților Fourier). Fiind dat G ∈ ‰ și fixând n ≥ 1, dintre toate combinațiile liniare u = ãÂ·ÂB

Âp# , cu ãÂ ∈ ℂ, cea mai apropiată de u este èB = πÂ·Â,B

Âp# unde πÂ sunt coeficienții Fourier ai lui u.

Într-adevăr, avem u ∈ ‰B și distanța minimă dintre u și v, adică G − u , este atinsă pentru v = èB (figura 1.32). COROLAR 2 (egalitatea lui Parseval). Seria numerică

πB %B†# este convergentă și are sumă G %, adică πB %l

Bp# = G %. (40) Într-adevăr, pentru orice n≥1, èB % = èB, èB = πÂ·Â,B

Âp# πÊ·ÊBÊp# =

πÂπÊTÂÊÂ,Ê = πÂ%B

Âp# . Făcând ? → ∞ și ținând cont

că èB → G deci èB → G , rezultă relația (40).

76

COROLAR 3 Fie H un spațiu Hilbert (complex), cu b.o. ℬ = (·B), ? ≥ 1. Dezvoltarea Fourier generalizată u = πB·B,l

Bp# unde πB = G, ·B , pentru G ∈ ‰ fixat, este unică. Într-adevăr, dacă u= ŒB·B,l

Bp# atunci (πB − ŒB)·B = 0lBp# și cum vectorii ·B

sunt liniar independenți, rezultă πB − ŒB = 0 deci πB = ŒB pentru orice n ≥ 1. COROLAR 4 Fie G ∈ ‰ și πB = G, ·B coeficienții săi Fourier relativ la ℬ. Atunci pentru orice n ≥ 1, πU %B

Up# ≤ G % și în plus, limB→l

πB = 0. (41)

Aceasta rezultă direct din egalitatea lui Parseval (40). În acest context general, repunem în evidență fenomenul conversiei A /D. TEOREMA 1.7. Fie H un spațiu Hilbert complex având b.o. ℬ = (·B), ? ≥ 1. Aplicația Φ:‰ → ℓ%, G = πB·Bl

Bp# ↦ (πB), ? ≥ 1 este un izomorfism ℂ–liniar care conservă produsele scalare (adică Φ este un operator unitar). Demonstrație: Șirul (πB), ? ≥ 1 aparține spațiului Hilbert ℓ%, deoarece πB %l

Bp# < ∞. Este evident că aplicația Φ este ℂ – liniară și faptul că Φ este injectivă rezultă din corolarul 2 anterior. Apoi Φ este surjectivă: pentru(πB) ∈ ℓ% dat, fie GB = πÂ·ÂB

Âp# :

șirul (GB) este Cauchy în H deci convergent. Dacă G = limB→l

GB,

atunci G, ·U = πU pentru k ≤ n (deci pentru orice k ≥ 1). Făcând ? → ∞, rezultă că Φ(G) = (πU). În fine, pentru orice G, u ∈ ‰ avem u = πÂ·Âl

Âp# , u = ŒÊ·ÊlÊp# și

77

G, u = πÂŒÊÂ,Ê = Φ(G),Φ(u) deci Φ conservă produsele scalare. Așadar, există o legătură organică între obiectele „analogice” de tipul G ∈ ‰ și obiectele „digitale”, așa cum sunt șirurile de numere. APLICAȚII (ale seriilor Fourier generalizate) I. Seriile Fourier clasice Fixăm T > 0 și fie ‰ = L[E,\)% spațiul Hilbert complex al

semnalelor 3: 0, Z → ℂ de pătrat integrabil relativ la produsul

scalar 3, b = #\

3 6 b 6 d6\E : o bază ortonormală a lui H o

formează armonicele ·B , ? ∈ ℤ, unde ·B 6 = e¥B}Åși { =%,\

(aplicând (23), dar cu produsul scalar puțin modificat prin factorul #\, în raport cu (22)). Pentru orice semnal 3 ∈ L[E,\)% , identificabil

cu orice semnal periodic T, norma este

3 = 3, 3 # % = #\

3(6) %d6\E ,

iar seria Fourier generalizată este πB·BB∈ℤ , unde

πB = 3, ·B =#\

3(6)eW¥B}Åd6\E .

Conform teoremei Hilbert – Fourier 1.6, considerând polinoamele trigonometrice ço(6) = πB·Bo

BpWo , rezultă că lim

o→lço − 3 = 0. Așadar, am obținut

TEOREMA 1.8. Dacă 3 ∈ L[E,\)% , atunci

3 6 ≅ ço 6 cu n ≫ 1 convenabil și

limo→l

ço(6) − 3(6) %d6\E = 0. (42)

78

S-a dovedit că teorema Fourier – Dirichlet de convergență punctuală cât și teorema Hilbert – Fourier de convergență în normă (numită și convergență în medie pătratică) au fost omologate în practica procesării semnalelor, identificabilă cu conversia A/D. Dezvoltarea Fourier (punctuală sau în medie pătratică) revine la descompunerea semnalului periodic ca o suprapunere de armonici de tipul 3(6) ≅ ço(6): analiza semnalului revine la calculul coeficienților πB (care permite o gamă de tehnici, inclusiv cele de compresie), iar sinteza înseamnă reconstrucția semnalului. Este mai simplu să procesăm date digitale decât entități analogice, inclusiv în vederea transmisiei pe linii de comunicații. Până acum ne-am referit la semnale 1D, dar teoria seriilor Fourier se reface în cazul semnalelor 2D, 3D sau al cadrelor video, unde dificultățile matematice nu sunt principiale. Există o întreagă literatură privind seriile Fourier multidimensionale, dar ne oprim aici. II. Polinoame ortogonale clasice Dăm o altă aplicație spectaculoasă a seriilor generalizate. Definiția 1.11: Fie I un interval și Ë: F → ℝ, Ë > 0 o funcție continuă. Funcția Ë se numește funcție–pondere dacă pentru orice

întreg n ≥ 0, Ë(A) ∙ A BdA < ∞D .

Se consideră spațiul Hilbert ‰ = LÍ% al funcțiilor

măsurabile 3: F → ℝ astfel încât Ë A · 3 A %dA < ∞D , relativ

79

la produsul scalar 3, b = Ë3bD (integrala există, deoarece

3b ≤ #%(3% + b%)).

Evident, funcțiile 3 A = AB, ? ≥ 0 restrânse la I aparțin

spațiului H (deoarece Ë(A) · A%BdA < ∞D ). Apoi șirul

1, A, A%, . . . , AB, . .. este liniar independent în H și poate fi ortogonalizat prin procedeul Gram–Schmidt; polinoamele astfel obținute çE(A), ç#(A), . . . , çB(A), . .. se numesc polinoame ortogonale clasice relativ la ponderea Ë și satisfac relațiile de

ortogonalitate çä, çB = ËçäçBD = 0 pentru m ≠ n.

Exemple a)Pentru I = [–1, 1], Ë ≡ 1, se obțin polinoamele

Legendre, notate çB(A).

b)Pentru I=(–1, 1), Ë = ##Wja

, se obțin polinoamele

Cebâșev, notate ZB(A).

c)În cazul I = (–∞, ∞), Ë = eWja, polinoamele Hermite, ‰B(A) etc. Are loc următorul rezultat fundamental, dedus din teorema1.6: TEOREMA 1.9. Fixăm o funcție pondere Ë: F → ℝ și fie çB(A), ? ≥ 0 polinoamele ortogonale relativ la Ë. Atunci versorii

·B =Î£Î£, ? ≥ 0 formează o b.o. ℬ a spațiului Hilbert LÍ% și pentru

orice funcție G: F → ℝ din LÍ% , notând πB = G, ·B , are loc descompunerea: G(6) = πB·B(6), 6 ∈ Fl

BpE (43) (în sensul convergenței în medie pătratică:

80

limo→l

πB·B − GoBpE = 0).

Demonstrație: Avem ·ä, ·B =#

ÎÏ · Î£çä, çB = 0

pentru m ≠ n și ·B, ·B = 1 pentru orice n ≥ 0. Faptul că subspațiul lui ‰ = LÍ% generat de ℬ este dens rezultă din faptul că

polinoamele formează o mulțime densă în LÍ% , conform unei teoreme a lui Luzin. Restul rezultă din teorema 1.6. Notă Șirul coeficienților Fourier generalizați

(πB), ? ≥ 0, πB = G, ·B se numește spectrul discret al lui u relativ la ponderea Ë. Formula (43) dă aproximări de tipul

G(6) ≅ πU ·Î◊(Å)Î◊

BUpE , cu n ≥ 1 ales convenabil.

În particular, se pot obține aproximări ale unor semnale cu polinoame Legendre pe [–1, 1], Cebâșev pe (–1, 1) sau Hermite pe ℝ. Fără a intra în detalii, dăm câteva proprietăți ale polinoamelor ortogonale çB(A) relativ la ponderea Ë: - fiecare polinom çB are gradul exact n: - pentru orice n ≥ 1, polinomul çB este ortogonal pe orice polinom de grad strict mai mic; - pentru orice n ≥ 1, polinomul çB are n rădăcini simple, toate situate în intervalul I.

Există o întreagă literatură care plasează polinoamele ortogonale printre funcțiile speciale.

81

„Întreaga lume observabilă este o armonie de imagini și semne.” CH. BAUDELAIRE CAPITOLUL 2:

CONVOLUȚIA – O OPERAȚIE MAGICĂ §2.1. Introducere Este dificil de exprimat în cuvinte definiția convoluției și extinderilor acesteia. Prin convoluție a două funcții f, g, acestea se combină și generează o a treia, notată 3 ∗ b; anume, se fixează una din funcții și convoluția apare ca efectul unei medieri a ei prin translațiile celeilalte. După ce vom da proprietățile convoluției și câteva aplicații directe, unele fiind spectaculoase, se va lămuri de ce aceasta este un instrument fundamental în procesarea semnalelor, ca și în descrierea și construcția unor filtre liniare intrare / ieșire utilizate în Inginerie sau Fizică. Convoluția a fost numită și produs de convoluție, introdus și folosit ca atare de matematicienii francezi d'Alembert, Laplace și bineînțeles, Fourier. După peste un secol, Heaviside și Wiener au încorporat-o în Calculul operațional, germanii au denumit-o „faltung” (≡ pliere), iar după 1940, L. Schwartz și L. Hörmander au extins convoluția de la funcții la distribuții. Dezvoltarea teoriei sistemelor dinamice liniare, dar și a practicii telecomunicațiilor și tehnologiilor informatice, au impus studiul convoluției semnalelor digitale și al procesării imaginilor 2D și 3D.

82

În acest capitol, prezentăm o sinteză a proprietăților convoluției în diverse ipostaze – funcții, distribuții, semnale discrete, semnale 2D etc., împreună cu o serie de aplicații semnificative. Virtuțile convoluției se dovedesc efective mai ales în asociere cu transformările integrale de tip Fourier, Laplace, Radon, așa cum vom vedea în capitolele următoare. §2.2. Convoluția semnalelor continuale (analogice) Definiția 2.1: Fie 3, b:ℝ → ℝ(sauℂ) două funcții astfel încât pentru orice 6 ∈ ℝ (care nu reprezintă neapărat timpul!), să existe și să aibă o valoare finită următoarea integrală improprie cu

parametrul t: 3(∫)b(6 − ∫)d∫lWl . Se spune atunci că f, g sunt

convolutabile, iar valoarea acestei integrale se notează (3 ∗ b)(6), definind astfel o funcție 3 ∗ b:ℝ → ℝ(sauℂ), (3 ∗ b)(6) = 3(∫)b(6 − ∫)d∫, (1) numită convoluția funcțiilor f, g (sau produsul de convoluție al acestora).

Atenție: Integralele lWl se mai notează ℝ sau în lipsa

oricărei ambiguități, simplu . Eticheta „* ” a convoluției are un anumit defect, deoarece se confundă cu eticheta înmulțirii uzuale. Exemple a) În cele mai multe cazuri, (3 ∗ b)(6) nu există; de exemplu, dacă f și g sunt constante nenule pe ℝ. Dar dacă 3 ∗ b

! 83

exist%, atunci exist% #i b Ì 3 #i în plus, 3 Ì b @ b Ì 3 (f%când în (1) substitu$ia z = t – v). Interpretare: Scriind integrala (1) ca limit% de sume Riemann, rezult% c% (3 Ì b=<6= s 3<∫U=b<6 R ∫U=Ó∫U deci o combina$ie liniar% de translatate ale lui g cu coeficien$i 3<∫U=Ó∫U, adic% o suprapunere continu% de translatate ale lui g (similar, ale lui f, deoarece 3 Ì b @ b Ì 3). b) Fie 3 @ÔQ fereastra dreptunghiular% din figura 1.2 pentru a = 2, deci f(t) = 1 dac% 6 7 8RO'O; #i nul% în rest. Prin calcul direct, rezult% c% 3 Ì 3 este un semnal triunghiular; anume <3 Ì 3=<6= @ & X 6 dac% 6 7 8R&'H;' & R 60]ùLú06 7 <H'&; #i nul% în rest (cu graficul în fig. 2.1).

Figura 2.1

Se observ% c% Supp f = [–1, 1] #i Supp(3 Ì 3) = [-2, 2]; apoi, în timp ce f este discontinu%, 3 Ì 3 este continu%. În general, opera$ia de convolu$ie are propriet%$i de regularizare, a#a cum vom vedea. Ca o curiozitate, 3 Ì <3 Ì 3) este restric$ia unui polinom de

84

gradul doi și 3 ∗ (3 ∗. . .∗ 3) de n ori este restricția unui polinom de gradul n – 1 și la limită, este o funcție de tipul clopotului lui Gauss. c) Fie 3 ∈ Lℝ# (vezi ANEXA 1).

Dacă u este treapta unitate, atunci 3 ∗ G este tocmai primitiva lui f care se anulează spre – ∞; anume, 3 ∗ G 6 =

(G ∗ 3)(6) = 3(∫)d∫ÅWl , pentru oricare 6 ∈ ℝ.

d) Dacă 3, b:ℝ → ℝ sau (ℂ) sunt nule pe (– ∞, 0) și integrabile pe [0, ∞), atunci

3 ∗ b 6 = 3 ∫ b 6 − ∫ d∫ÅE ,6 ∈ ℝ. (2)

e) Fie ÿ > 0șiT(6) impulsul unitar impur aplicat pe un interval scurt [0, ÿ] (cât de scurt?!), adică

T: ℝ → ℝ, T 6 =# dacă 6 ∈ [0, ÿ] și nulă în rest (vezi

ANEXA 4). Dacă 3 ∈ LÒ∑∂# , atunci

(3 ∗ T)(6) = 3(∫)T(6 − ∫)d∫ =#

3(∫)d∫ÅÅW ,

tocmai media lui f pe intervalul [6 − ÿ, 6] [Reamintim că media

unei funcții integrabile pe un interval [a, b] este #_WQ

3_Q ].

Notă Imaginăm o cuvă pe Ox, conținând o topitură având temperatura 3(A) în punctul x; înserăm în cuvă un termometru având punctul central O în x și notăm cu b(A) sensibilitatea termometrului la distanța ÿ de O. Atunci (3 ∗ b)(A) este tocmai media temperaturii topiturii în jurul lui O, ponderată de sensibilitatea termometrului. Dacă ÿ → 0, atunci această medie

85

este tocmai 3(A). Vom vedea și alte situații în care este folosită convoluția. În continuare, dăm o listă de proprietăți ale operației de convoluție, ale căror demonstrații sunt de fapt exerciții de Analiză matematică. Existența convoluției pentru diverse clase de semnale 1. Dacă 3, b ∈ Lℝ# , atunci 3 ∗ b există a.p. și 3 ∗ b ∈ Lℝ# ; în plus, 3 ∗ b # ≤ 3 # ∙ b #. (3) În cazul când f, g sunt doar local integrabile (adică din LÒ∑∂# ), proprietatea 1 nu are loc (de exemplu, pentru f, g constante nenule). 2. Dacă 3 ∈ Lℝ# și g mărginită ( b ≤ Ä), atunci (3 ∗ b)(A) ≤ Ä ∙ 3 # pentru orice x. 3. Fie 3 ∈ LÒ∑∂# , b ∈ Lℝ# . Dacă Supp g este compact (adică g se anulează în afara unui interval mărginit), atunci 3 ∗ b există a.p. și 3 ∗ b ∈ LÒ∑∂# . În plus, dacă f și g au suportul conținut în [a, b], atunci Supp(3 ∗ b) ⊂ [29, 2:]. 4. Convoluția funcțiilor din clasa Lℝ# este comutativă și distributivă în raport cu adunarea. În plus, dacă există 3 ∗ b și 3 ∗ b ∗ ℎ, atunci există b ∗ ℎ și 3 ∗ (b ∗ ℎ) = (3 ∗ b) ∗ ℎ.

Atenție: Operația ∗ nu are element neutru în clasa Lℝ# ; dar vom vedea că în clasa distribuțiilor, T este element neutru! 5. Fie 3, b ∈ Lℝ% ; atunci 3 ∗ b este continuă și 3 ∗ b ≤ 3 % ∙ b % (se folosește inegalitatea lui Schwartz). Iar dacă 3 ∈ Lℝ# , b ∈ Lℝ% , atunci 3 ∗ b există a.p., aparține la Lℝ% și în plus,

86

3 ∗ b % ≤ 3 # ∙ b %. (4) 6. Dacă 3, b:ℝ → ℝ sau (ℂ) sunt continue pe porțiuni și au suport compact (respectiv pozitiv), atunci 3 ∗ b este continuă, având suport compact (respectiv pozitiv). Convoluția și derivarea 7. Dacă 3 ∈ Lℝ# și b ∈ Cℝ# cu b, bÖ mărginite, atunci 3 ∗ b ∈ Cℝ# și în plus, (3 ∗ b)Ö = 3 ∗ bÖ. (5)

Similar, dacă 3 ∈ CℝB(? ≥ 2) și b ∈ Lℝ# , atunci (3 ∗ b)Ö = 3Ö ∗ b, (3 ∗ b)ÖÖ = 3ÖÖ ∗ b etc.

8. Considerăm un șir de funcții ËB:ℝ → ℝ, ? ≥ 1, astfel încât ËB ≥ 0, ËB ∈ Ú (deci funcții indefinit derivabile și cu suport compact). Presupunem în plus că ËB = 1 și că

SuppËB ⊂ [−9B, 9B] și că 9B → 0 pentru ? → ∞ [Un astfel de șir (ËB) se numește regularizant]. Totodată, avem [ËB] → T în cadrul distribuțiilor, adică

∀| ∈ Ú, limB→l

ËB(A)|(A)dA = |(0).

Exemple a) Considerăm funcția–„cucui”

Ë:ℝ → ℝ, Ë(6) = π ∙ exp #ÅaW#

dacă 6 ∈ (−1,1)

și nulă în rest, unde constanta reală și pozitivă c este aleasă astfel

încât Ë(6)d6#W# = 1. Punând ËB(6) = ?Ë(?6), se obține un șir

regularizant, cu SuppËB ⊂ [–1, 1], n ≥ 1. Graficele lui Ë și ËB sunt indicate în figura 2.2.

! 87

Figura 2.2

Dac% 3 7 "!# , atunci convolu$iile 3 Ì ËB formeaz% un #ir regularizant pentru f: conform 7, acestea sunt func$ii indefinit derivabile, deoarece Ë 7 Ú. b) Dac% 3, b40!0 / 05 sunt func$ii continue #i periodice T, atunci se poate defini convolu$ia periodic%

T:0<3 Ì b=<6= @ 3<∫=b<6 R ∫=]∫\E . Func$ia 3 Ì b este de

asemenea continu% #i periodic% T #i opera$ia de convolu$ie este comutativ%, asociativ% #i distributiv% în raport cu adunarea. Notând

{ @ %,\ #i considerând armonica iB<6= @ i•¶<*?{6=' ? 7 > (vezi

defini$ia 1.6), avem

3 Ì iB 6 @ 3 ∫ i¥B} ÅWª ]∫\E @

i¥B}Å 3<∫=iW0¥B}ª]∫\E @ Z È i¥B}Å È πB @ ZπBiB<6=

(unde πB sunt coeficien$ii Fourier ai lui f, conform formulei (25) din Capitolul 1). Convolu$ia func$iilor din spa$iile Ú sau $ (ANEXA 4) 9. Spa$iul Ú este dens în "!# #i în "!% (a#adar, Ûÿ K H #i 3 7 "!# , i•*)eú0b 7 Ú astfel încât 3 R b #<ÿ: similar pentru "!% ).

88

10. Dacă 3:ℝ → ℝ(sau ℂ) este continuă și (ËB), ? ≥ 1 este un șir regularizant, atunci 3 ∗ ËB → 3 uniform pe orice interval mărginit (pentru ? → ∞). Așadar, f poate fi aproximată printr-un șir de funcții din Ú. Iar dacă 3 ∈ Lℝ# , atunci 3 ∗ ËB → 3 în norma din Lℝ# , adică lim

B→l3 ∗ ËB − 3 # = 0.

Definiția 2.2: O funcție 3:ℝ → ℝ sau (ℂ) se numește rapid descrescătoare dacă pentru orice întreg k ≥ 0, limU →l

6U3(6) = 0. Dacă în plus f este indefinit derivabilă, cu toate

derivatele 3Ö, 3ÖÖ, . .. rapid descrescătoare, atunci se spune că f aparține spațiului $. Evident, Ú ⊂ $; notația este aleasă în memoria lui L. Schwartz. 11. Avem $ ⊂ Lℝ# și $ ⊂ Lℝ% . Deoarece Ú ⊂ $, rezultă că $ este dens în Lℝ# și în Lℝ% . Exemple a) Exemplul tipic de funcție aparținând clasei $ este

eWÅa, 6 ∈ ℝ. b) Arătăm că $ ⊂ Lℝ# : dacă | ∈ $, atunci

limÅ →l

6%|(6) = 0 deci există A > 0 astfel încât |(6) ≤ #Åa

pentru 6 ≥ z.

Atunci | = |Å †� + |�W� ≤ %

�+ |�

W� < ∞,

deci | ∈ Lℝ# . Apoi dacă Ù ∈ $, atunci există M > 0 astfel încât (1 +

6%) Ù(6) ≤ Ä deci

89

Ù(6) %Œ6 ≤ Ä ıÅ(#^Åa)a

și ca atare, Ù ∈ îℝ% .

12. Dacă 3, b ∈ $, atunci 3 ∗ b ∈ $. Iar dacă 3 ∈ LÒ∑∂# este rapid descrescătoare și b ∈ $, atunci de asemenea 3 ∗ b ∈ $.

§2.3. Convoluția semnalelor discrete (digitale) Multe tehnici de prelucrare a semnalelor discrete provin din transferul unor tehnici din cazul continual, dar există și abordări specifice. Am notat cu S˜ mulțimea semnalelor discrete x = (x[n]), ? ∈ ℤ, cu eșantioanele x[n] din ℝ sau ℂ. O submulțime remarcabilă o formează mulțimea S^ a semnalelor cu suport pozitiv (x[n] = 0 pentru n < 0). Dacă A, Ç ∈ S˜, atunci se definesc pe componente: egalitatea x = y, adunarea x + y, multiplicarea tA cu scalarul t (real sau complex). S˜ este un spațiu vectorial (peste ℝsauℂ). Definiția 2.3: Dacă pentru orice ? ∈ ℤ, seriile numerice

A[¯]Ç[? − ¯]Â∈ℤ sunt convergente, cu sumele z[n], atunci se spune că există convoluția discretă ∫ = A ∗ Ç ∈ S˜. Se observă analogia cu definiția 2.1. Reținem că în principiu, (A ∗ Ç)[?] = A[¯]Ç[? − ¯]Â∈ℤ ,

pentru orice ? ∈ ℤ. (6) Dacă N ≥ 2 este un întreg fixat și So este mulțimea semnalelor finite de lungime N, x = (x[0], x[1],..., x[N – 1]), cu eșantioanele din ℂ, atunci So este un spațiu vectorial complex, izomorf cu ℂo. Un semnal din So se poate prelungi prin periodicitate de perioadă N la un semnal din So, punând

90

x[N] = x[0], x[N+1] = x[1],..., x[–1] = x[N–1] etc. Spațiul So este un spațiu Hilbert complex relativ la produsul scalar

A, Ç = A[?]Ç[?]:oW#BpE norma lui x este A = A, A # % și

expresia ~(A) = A % = A[?] %oW#BpE este energia lui x.

Inegalitatea lui Schwartz este: A, Ç ≤ A ∙ Ç pentru orice A, Ç ∈ So. Exemple a) Dacă A, Ç ∈ S^, atunci x[n] = 0, y[n] = 0 pentru n < 0 deci ∫ ? = A[¯]Ç[? − ¯] = A[¯]Ç[? − ¯]B

ÂpEÂ (sumă

finită!) și în plus, z[n] = 0 pentru n < 0. Așadar, A ∗ Ç are sens și aparține la S^. b) Dacă A, Ç ∈ S˜ și există A ∗ Ç, atunci există și Ç ∗ A și A ∗ Ç = Ç ∗ A. Restrânsă la S^, convoluția este asociativă și distributivă în raport cu adunarea. c) Treapta unitate discretă u (G:ℤ → ℝ, G ? = 1 dacă ? ≥ 0 și G[?] = 0 dacă n < 0) aparține lui S^. Dar dacă A ∈ S˜, nu totdeauna are sens A ∗ G. d) Pentru orice S ∈ ℤ, se definește impulsul discret TU aplicat la momentul k: TU[?] = 0 dacă n ≠ k și TU[?] = 1 dacă n = k. Se notează T în loc de TE. Exemplu Fie Ç = 2T# + 3TY − 2T. Așadar, y[n] = 2 dacă n = 1; 3 dacă n = 3 și – 2 dacă n = 0 (figura 2.3).

! 91

Figura 2.3

e) Dac% 340! / 5 este un semnal continual #i T > 0 este fixat, atunci se poate considera semnalul discret A^ @ 3 ?Z , 0? 7 >: figura 2.4.

Figura 2.4

Prin discretizare (e#antionare), alura semnalului se men$ine; dac% pasul de e#antionare este mic, aparent se m%re#te precizia, dar vom vedea c% pot ap%rea #i fenomene mai greu de st%pânit. Propriet%$i ale convolu$iei discrete 1. Pentru orice S 7 > #i oricare ar fi A @ <A8?;=' ? 7 >, se poate considera ∫ @ A Ì TU (numit întârziatul lui x cu k unit%$i).

92

Avem z[n] = A[¯]TU[? − ¯]Â și cum TU[? − ¯] = 0 pentru k ≠ n – p (adică p ≠ n – k), rezultă că z[n] = x[n – k]. Așadar, ∫ ∗ TU are aceleași eșantioane ca x, dar decalate spre dreapta cu k unități. 2. T este element neutru pentru convoluția din S˜.

Într-adevăr, pentru orice A ∈ S˜, A ∗ T = Ași T ∗ A = A. Exemplu Semnalul Ç = 5A ∗ T% + 2A ∗ TW# are eșantioanele y[n] = 5x[n – 2] + 2x[n + 1], pentru orice ? ∈ ℤ. 3. Fie S mulțimea semnalelor discrete având toate eșantioanele nule cu excepția unui număr finit. S este un spațiu vectorial și (TB), ? ∈ ℤ formează o bază a lui. Demonstrație: Evident, S este spațiu vectorial (peste ℝ sau ℂ, după caz). Semnalele TB sunt liniar independente (căci dacă 9UTUU = 0, atunci pentru orice ? ∈ ℤ, 9UTUU [?] = 0 deci toți

9B = 0). Apoi, orice A ∈ ° se poate scrie A = A[?]TBB∈ℤ . 4. Convoluția discretă A ∗ Ç are sens dacă A ∈ S˜ și y este un semnal discret cu suport mărginit (adică există M > 0 astfel încât y[n] = 0 pentru ? > Ä). Într-adevăr, pentru orice ? ∈ ℤ,

(A ∗ Ç)[?] = A ¯ Ç ? − ¯Â = A[? − ¯]Ç[¯]Â∈ℤ , sumele fiind de fapt finite. 5. Notăm Dx[n] = x[n] – x[n – 1] (D fiind numit operatorul diferență) și õQA[?] = A[? − 9](õQ fiind operatorul de translatare sau șiftare la dreapta cu a).

Avem D(A ∗ Ç) = (Dx)∗ Ç = A ∗ DÇ și õQ A ∗ Ç = (õQA) ∗ Ç = A ∗ (õQÇ).

93

Verificările necesare sunt imediate. 6. Convoluția discretă extinde modul uzual de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite. Fără restrângerea generalității, considerăm numere reale din intervalul (0, 1). Orice A ∈ (0,1) se scrie unic A = 0, A#A%. . . AB. . . = A# ∙ 10W# + A% ∙ 10W%+. . . +AB ∙ 10WB+. .. și se identifică cu semnalul discret Ÿ = (AB), ? ≥ 1. În mod similar, Ç = 0, Ç#Ç%. . . ÇB. .. se identifică cu ˙ = (ÇB), ? ≥ 1. Produsul uzual este de fapt un produs de serii de puteri xy = AÂ ∙ 10WÂÂ ∙ ÇÊ ∙ 10WÊÊ = AÂÇÊ10WÂWÊÂ,Ê și

notând p + q = n, rezultă AÇ = AÂÇBWÂÂ 10WBB . Ca atare, AÇ = ∫B10WBB , unde ∫B = (Ÿ ∗ ˙)[?] și astfel, produsul uzual xy se identifică cu semnalul discret ˚ = Ÿ ∗ ˙! Notă Orice algoritm rapid de calcul al convoluției a două semnale discrete conduce la un algoritm rapid de înmulțire a două numere reale. Aceasta se extinde în mod corespunzător la calculul cu alte obiecte matematice – matrice, funcții digitale, imagini discretizate etc., cu efecte directe asupra „revoluției digitale”. Vom reveni asupra acestui subiect după descrierea transformării Fourier discrete (TFD) și a algoritmului FFT. §2.4. Convoluția ciclică (circulară) a semnalelor finite Fixăm un întreg N ≥ 2. Pentru două numere întregi u, v, se spune că u = v modulo N dacă diferența u – v este divizibilă cu N;

94

de exemplu, 8 = 3 mod 5 și 11 = – 3 mod 7. În continuare, notăm G ⊖ u în loc de u – v mod N. Definiția 2.4: Pentru orice două semnale finite A, Ç ∈ So având aceeași lungime N și prelungite prin periodicitate N, se definește convoluția lor ciclică z = A ∗

∂ y, având eșantioanele

∫[?] = A[¯]Ç[? ⊖ ¯]oW#ÂpE , pentru 0 ≤ n ≤ N – 1,

unde ? ⊖ ¯ = ? − ¯ mod N. (7) Această convoluție există totdeauna (sumele fiind finite) și este comutativă, asociativă și distributivă în raport cu adunarea. Exemple a) Fie x = (0, 1, 3). Atunci N = 3 și calculăm z = A ∗

∂A.

Avem x[0]= 0, x[1]=1, x[2] = 3 și ∫[?] = A[¯]Ç[? ⊖%ÂpE

¯] :0 ≤ ? ≤ 2. Așadar, z[0] = x[0] x[0] + x[1]x[2] +x[2]x[1] = 0.0 + 1.3 + 3.1 = 6; z[1] = x[0] x[1] + x[1]x[0] + x[2]x[2] = 9 și z[2] = x[0]x[2] + x[1]x[1] + x[2]x[0] = 1 deci z = (6, 9, 1). b) Calculăm z = A ∗

∂ y pentru x=(0, 1, 1, 0) și y=(1, 0, 0, 2).

În acest caz, N = 4 și ∫[?] = A[¯]Ç[? ⊖ ¯]YÂpE pentru 0 ≤ n ≤ 3.

De exemplu, z[2] = x[0] y[2] + x[1]y[1] + x[2] y[0] + x[3]y[3] = 0.0 + 1·0 + 1·1 + 0·2 = 1 etc. Notă Convoluția discretă și cea ciclică se pot defini și pentru semnale de lungimi finite diferite, completând eșantioanele semnalelor cu eșantioane nule astfel încât noile semnale să aibă aceeași lungime (atenție la poziția zero). Vom vedea că algoritmul

95

FFT se va aplica pentru calculul convoluției oricăror două semnale discrete. În procesarea semnalelor, alături de convoluție se folosește și operația de corelație. Dacă 3, b:ℝ → ℂ sunt semnale continuale, atunci corelația 3 ∘ beste definită prin

(3 ∘ b)(6) = 3(∫)b(6 + ∫)d∫lWl , (8)

pentru orice 6 ∈ ℝ pentru care integrala este convergentă. În mod similar, dacă A = A ? , ? ∈ ℤ, și Ç = Ç ? , ? ∈ ℤ sunt semnale discrete, atunci corelația lor A ∘ Ç este definită prin (A ∘ Ç)[?] = A[¯]Ç[? + ¯]Â∈ℤ , ? ∈ ℤ. (9) De fapt, corelația lui 3(6)și b(6) este convoluția lui

3(6) = 3(−6) și b(6). Similar, A ∗ Ç = A ∘ Ç unde A[?] = A[−?] etc. Nu

discutăm condiții de existență pentru 3 ∘ b sau A ∘ Ç; se extind unele proprietăți, inspirate de la convoluție. Corelația A ∘ A dintre un semnal și el însuși se numește autocorelație. Atenție. Corelația nu este comutativă. Corelația este utilizată în studiul similitudinii semnalelor și al extragerii de informații suplimentare. §2.5. Cazul semnalelor 2D și al imaginilor Ambele operații – convoluție și corelație – se extind la funcții 3:ℝB → ℝ(sauℂ); de exemplu,

(3 ∗ b)(A) = 3(∫)b(A − ∫)d∫ℝ£ ,

96

unde A = (A#, . . . , AB) și d∫ = d∫#. . . d∫B (elementul de hipervolum n – dimensional; pentru n = 2, elementul de arie). Existența acestor integrale depinde de descreșterea funcțiilor f, g „spre infinit”. Cele mai importante cazuri în care există 3 ∗ b sunt cele în care f, g sunt continue cu suport compact (deci nule în afara unei bile) sau dacă f este continuă cu suport compact și b ∈ LÒ∑∂# . Menționăm că dacă 3, b ∈ Lℝ£

# , atunci are loc relația remarcabilă (3 ∗ b)(A)dA = 3(A)dA b(A)dA , (10) care rezultă aplicând teorema clasică a lui Fubini. În cazul 2D,

relația (10) se scrie astfel: (3 ∗ b)(A, Ç)dAdÇℝa =

3(A, Ç)dAdÇℝa b(A, Ç)dAdÇℝa pentru f, g presupuse cu

suport compact. Definiția 2.5: Prin imagine 2D se înțelege orice mulțime mărginită F ⊂ ℝ%, împreună cu funcția ei de strălucire 3D:ℝ% → ℝ, care asociază fiecărui punct ç ∈ F (asimilat cu un pixel; pixel ≡ picture element), „cantitatea de gri” (sau intensitatea) conținută în acel punct, în cazul unei imagini alb – negru sau un vector de culori RGB de bază (R – roșu, G – verde și B – albastru, de tipul (r(P), g(P), b(P)). Studiul imaginilor are ca scop înlocuirea observatorului uman cu automate care au acces lărgit în cele mai diverse medii. Nu discutăm aici formarea imaginilor, modul de măsurare a parametrilor fizici (chestiune de Optică), stocarea și prelucrarea imaginilor, ca și descrierea lor în limbaje avansate de tip C++,

97

MATLAB, JAVA (chestiune de Informatică aplicată). În ultimul timp, s-au dezvoltat tehnici de modificare a contrastului, de blurare, curățare, creare de „zoom”–uri sau segmentare a imaginilor. Filtrarea liniară revine la a modifica valorile f (m, n) ale pixelilor (m, n) prin combinații liniare ale valorilor în pixelii vecini, de tipul 9Uℓ3(â − S, ? − ℓ)U,ℓ , unde (9Uℓ) este matricea de filtrare. Domeniul procesării imaginilor este într-o mare efervescență și teren de aplicare a tuturor achizițiilor fizicii sau informaticii. Nu intrăm în detalii și menționăm doar că dacă f (x, y) este funcția de strălucire a unei imagini I, atunci imaginea modificată g (x, y) după trecerea printr-un „filtru de restaurare” satisface o relație de forma b(A, Ç) = 3(A, Ç) ∗ ℎ(A, Ç) + ˛(A, Ç), (A, Ç) ∈ F, unde h este funcția – pondere a filtrului și ˛ este un „zgomot aditiv”. §2.6. Convoluția distribuțiilor În ANEXA 4 am reamintit definiția distribuțiilor, acoperită cu motivații și exemple și totodată, am prezentat principalele reguli de calcul cu distribuții. Știm ce înseamnă distribuții egale, cum se adună, cum se multiplică cu funcții de clasă Cl și cum se derivează. Atenție: distribuțiile nu se înmulțesc sau împart, nu se ridică la pătrat, nu se logaritmează...

98

O distribuție Z ∈ ÚÖ este definită nu prin valori în puncte 6 ∈ ℝ (ca la funcții), ci prin modul cum ele operează pe funcțiile de testare | ∈ Ú. Printr-o convenție tacită, în loc de Z(|) se scrie Z, | sauZÅ(|(6)), pentru a indica variabila funcției de testare

căreia se aplică ZÅ. Celebrul impuls Dirac este distribuția T definită

prin T(|) = |(0) sau echivalent, T, | = |(6)6 = 0

, pentru

orice | ∈ Ú. În multe lucrări inginerești, se mai scrie o relație de forma

T(6)|(6)d6 = |(0)lWl (11)

(„formula de filtrare”), care nu este o teoremă ci nimic altceva decât relația de definiție T(6), |(6) = |(0) și atât. Dar uneori tradiția este mereu

victorioasă (să ne amintim, de exemplu, de sintagmele dubioase „variația constantelor” sau „consum de energie”; cum să variem constantele și cum să consumăm ceva care se conservă?).

Tren de delte Pentru orice : ∈ ℝ și pentru orice distribuție Z ∈ ÚÖ, am definit distribuția õ_Z, notată și T(t – b), numită translatata lui T cu b; anume, pentru orice funcție de testare | ∈ Ú, (õ_Z)(|) = Z(|(6 + :)). (12)

Exemplu Pentru 6 = T, avem (õ_T)(|) = T(|(6 + :)) = |(6 +

:)6 = 0

= |(:) = T_(|). Așadar, T(6 − :) = T_, adică

translatata lui T în b este chiar impulsul Dirac aplicat în punctul b, ceea ce corespunde intuiției noastre.

! 99

Defini$ia 2.6: O distribu$ie T se nume#te periodic&, de perioad% b, dac% õ_Z @ Z sau T(t – b) = T(b), deci Z<|<6 X :== @Z<|<6==, pentru orice | 7 Ú. Exemplu Pentru orice num%r b>0, se define#te urm%toarea distribu$ie periodic%

Ó_@ õB_TlBpWl @∂√ë<#%=

T<6 R ?:=B7> , (13) numit% trenul de delte (în domeniul TIMP) de perioad% b (sau cu caden$% b), sau în jargon acceptat, pieptenul lui Dirac; în literatur%, aceast% distribu$ie se mai noteaz% sugestiv ˇ_ #i are reprezentarea grafic% din figura 2.5, ca un #ir infinit de be$e verticale aplicate în punctele 0, ± b, ± 2b,...

Figura 2.5

A#adar, pentru orice | 7 Ú' Ó_<|= @ |<?:=B7> , suma fiind de fapt finit% (deoarece func$ia | este nul% în afara unui interval m%rginit). Not% De#i nu are sens valoarea unei distribu$ii într-un punct, totu#i prin conven$ie se spune c% o distribu$ie Z 7 ÚÖ este nul% pe

100

o mulțime deschisă ! ⊂ ℝ (reuniune de intervale deschise) dacă pentru orice funcție | ∈ Ú nulă în afara lui U, avem Z(|) = 0. Suportul unei distribuții Supp T este complementara celui mai mare deschis pe care T se anulează. Exemple

a) Avem SuppTQ = {9} și dacă 3 ∈ LÒ∑∂# , atunci Supp[f] = Supp f.

b) Se notează cu Ú^Ö mulțimea tuturor distribuțiilor având suportul conținut într-un interval de tipul [a, ∞) cu 9 ∈ ℝ fixat. Astfel, distribuția lui Heaviside H are suportul [0, ∞). Reamintim că dacă ã:ℝ → ℂ este o funcție indefinit derivabilă (ã ∈ Cℝl) și Z ∈ ÚÖ, atunci se definește distribuția multiplicată ãZ prin ãZ, | = Z, ã| , adică(ãZ)(|) = Z(ã|), pentru orice | ∈ Ú; vezi ANEXA 4. Exemplu Avem ãTQ = ã(9)TQ, deoarece ãTQ, | = TQ, ã| =

ã(6)|(6)6 = 9

= ã(9)|(9) = ã(9)TQ(|) pentru orice | ∈ Ú.

Reamintim de asemenea că dacă ZB, Z ∈ ÚÖ (n ≥ 1), atunci se spune că șirul ZB este convergent spre T (ZB → Z)înÚÖ dacă pentru orice | ∈ Ú, ZB(|) → Z(|), adică ZB(|) − Z(|) → 0 pentru n → ∞.

Serii de distribuții Definiția 2.7: O serie de distribuții ZBB†# se numește convergentă în ÚÖ dacă șirul sumelor ei parțiale este convergent în ÚÖ.

101

Exemple a) Pentru orice 9 ∈ ℝ, avem [TQ,# B] → TQ pentru n → ∞; b) Avem [sin nt ] → 0 în ÚÖ, deoarece pentru orice | ∈ Ú, limB→l

|(6) sin ?6 d6 = 0,conform lemei lui Riemann.

c) Dacă ZB → Z în ÚÖ, atunci ZB(U) → Z(U) în ÚÖ pentru

orice k ≥ 1. Atenție: pentru orice șir numeric (9B), ? ∈ ℤ și orice T > 0, se poate considera seria 9BTB\B∈ℤ (tren de delte cu cadența T); această serie este convergentă, deoarece pentru orice | ∈ Ú,

9BTB\B∈ℤ , | = 9B|(?Z)B∈ℤ și aceasta este o sumă finită! Așadar, orice semnal discret è = (9B), ? ∈ ℤ se identifică cu o distribuție, de exemplu 9BTBB∈ℤ . Pieptenul lui Dirac Ш_ se obține luând 9B = 1 pentru orice ? ∈ ℤ și b = T. PROPOZIȚIA 2.1. Fie (9B), ? ∈ ℤ un șir de numere complexe mărginit de un polinom în n. Identificăm fiecare armonică e¥B}Å, { > 0 cu distribuția regulară asociată (vezi ANEXA 4). Atunci seria trigonometrică 9BB∈ℤ e¥B}Å este convergentă în ÚÖ. Demonstrație. Pentru orice | ∈ Ú, | este nulă în afara unui interval mărginit (a, b) și avem 9BB∈ℤ e¥B}Å, | 6 =

9BB∈ℤ e¥B}Å ∙ | 6 d6lWl = 9BB∈ℤ e¥B}Å ∙ |(6)d6_

Q .

Integrând prin părți, avem

102

e¥B}Å ∙ |(6)d6_Q = ¨Õ£#$

¥B}|(6) :9 −

#¥B}

e¥B}Å ∙ |Ö(6)d6_Q =

− #¥B}

e¥B}Å ∙ |Ö(6)d6_Q și repetând integrarea, rezultă că

e¥B}Å ∙ |(6)d6_Q = W#

¥B}

Ue¥B}Å ∙ |(U)(6)d6_

Q .

Cu notații transparente, rezultă că pentru orice întreg k ≥ 1,

e¥B}Å ∙ |(6)d6_Q ≤ %◊

B◊, cu ÄU = sup

Å∈[Q,_]|(U)(6) .

Din ipoteza asupra șirului (9B), rezultă convergența seriei trigonometrice din enunț. Exemplu Luând 9B = 1 pentru orice n, rezultă că seria e¥B}ÅB∈ℤ este convergentă în ÚÖ (deși este divergentă ca serie de funcții uzuale!). PROPOZIȚIA 2.2. Fie 3B:ℝ → ℝ sau (ℂ) un șir de funcții din LÒ∑∂# , astfel încât seria 3BB†# să fie UC pe orice interval compact, cu suma f. Atunci 3 ∈ LÒ∑∂# și în plus, relația

3BlBp# = 3, considerată în ÚÖ, poate fi derivată termen cu termen

de oricâte ori. Demonstrație. Fie èB = 3#+. . . +3B deci èB → 3, UC pe orice interval compact. Atunci f este integrabilă pe orice interval compact, deci 3 ∈ LÒ∑∂# ; în plus, pentru orice | ∈ Ú, avem

èB| → 3|, UC pe orice interval compact deci [èB] →îµÚß

[3].

Atunci [èB](U) →îµÚß

[3](U) pentru orice întreg k ≥ 0 și în final, [3B](U)l

Bp# = [3](U).

103

Așa cum am mai spus, în Teoria distribuțiilor, se pot deriva funcții cu discontinuități, în puncte unde există limite laterale. Astfel, are loc: TEOREMA 2.3. Fie 9 ∈ ℝ și 3:ℝ → ℝ (sau ℂ) o funcție de clasă C# pe fiecare din intervalele deschise (– ∞, a) și (a, ∞), având saltul èQ = 3(9 + 0) − 3(9 − 0). Atunci [3]Ö = èQTQ + [3Ö]. (14)

În mod similar, dacă f este de clasă C% și èQÖ = 3Ö(9 + 0) −3Ö(9 − 0), atunci [3]ÖÖ = èQTQÖ + èQÖ TQ + [3ÖÖ]. (15) Demonstrație: Pentru | ∈ Ú, integrând prin părți, avem

3 Ö | = − 3 |Ö = − 3 A |Ö A dAlWl =

= − 3(A)|Ö(A)dAQWl − 3(A)|Ö(A)dAl

Q =

=−3| 9−∞+ 3Ö A | A dAQ

Wl − 3| ∞9 + 3Ö A | A dAlQ =

= −3 9 − 0 | 9 + 3 9 + 0 | 9 + 3Ö A | A dAlWl =

= èQ| 9 + 3Ö | = èQTQ | + 3Ö | ·6π. TEOREMA 2.4 (formula lui Poisson). Pentru orice număr b > 0, are loc următoarea relație în ÚÖ:

∆_=#_

[·B]lBpWl , (16)

unde ·B = exp%,¥_?6 , ? ∈ ℤ.

Demonstrație:

Considerăm funcția b: [0, :) → ℝ, b(6) = #_6, pe care o

prelungim prin periodicitate b la ℝ. Calculând coeficienții Fourier

πB =#_

b(6)eB(6)d6_E ,rezultă dezvoltarea Fourier:

104

b(6) = πBeB(6)lBpWl = #

%+ ¥%,

eB(6)BœE , pentru orice

6 ∈ ℝ. Această dezvoltare are loc și în ÚÖ și conform propoziției 2.2, ea poate fi derivată termen cu termen deci

[b]Ö = − #_

[eB]BœE . Pe de-altă parte, bÖ(6) = #_ pentru t ≠ nb.

Funcția g este de clasă C# pe fiecare interval deschis (nb, (n+1)b), ? ∈ ℤ, având saltul – 1 în fiecare punct nb. Dar dacă f: ℝ → ℝ este de clasă C# pe porțiuni, cu discontinuitățile 9B și salturile èB acolo, atunci conform teoremei 2.3 extinse, avem [3]Ö =èBT(6 − 9B)B + [3Ö]. Așadar, [b]Ö = − T(6 − ?:)B +[bÖ]

deci − #_[eB] = [b]Ö = − T(6 − ?:)B + #

_; ca atare, T(6 −B

?:) = #_

[eB]B∈ℤ , deci (16).

COROLAR. În ÚÖ are loc relația [e¥BÅ]l

BpWl = 2(∆%,. (17) Pentru demonstrație, înlocuim b = 2π în formula (16).

Notă Seria e¥BÅB∈ℤ este desigur divergentă ca serie de funcții uzuale, dar sensul matematic al relației (17) este acela că pentru orice | ∈ Ú, e¥BÅ| 6l

BpWl = 2( |(2?()lBpWl , în ambii

termeni având de fapt sume finite. Convoluția unei distribuții cu o funcție Fie acum ℰ = Cℝl mulțimea funcțiilor 3:ℝ → ℝ sau (ℂ) indefinit derivabile. Se spune că un șir ÙB ∈ ℰ converge spre zero în ℰ (pentru ? → ∞) dacă pentru orice interval mărginit I, ÙB → 0,ÙBÖ → 0, ÙBÖÖ → 0, . .. UC pe I.

105

Se notează cu ℰÖ mulțimea tuturor aplicațiilor liniare continue T:ℰ → ℂ. Deoarece Ú ⊂ ℰ, rezultă că Z ∈ ÚÖ. L. Schwartz a arătat că ℰÖ ⊂ ÚÖ și că distribuțiile din ℰÖ sunt exact cele din ÚÖ care au suport compact. Exemplu T ∈ ℰÖ dar ‰ ∉ ℰÖ.

În definirea și utilizarea convoluției pentru distribuții, sunt necesare unele precauții. Dacă 3, | ∈ Lℝ# , am definit convoluția 3 ∗ | prin formula (1). Definiția 2.8: Dacă Z ∈ ÚÖ și | ∈ ℰ, se definește convoluția Z ∗ |:ℝ → ℝ sau (ℂ), ca fiind funcția definită prin (Z ∗ |)(6) = Z((|(6 − G)), aplicând T funcției G ↦ |(6 − G). Exemple a) În cazul T = [f ], se regăsește formula (1). b) Avem TQ ∗ | = |(6 − 9), deoarece (TQ ∗ |)(6) =

TQ(G), |(6 − G) = |(6 − G) G = 9= |(6 − 9).

Convoluția a două distribuții Definiția 2.9: Dacă °, Z ∈ ÚÖ și una din ele, de exemplu S, are suport compact, atunci se definește convoluția ° ∗ Z ∈ ÚÖ, în modul următor: ° ∗ Z, | = °, Ù) , (18) unde Ù) = Zj, |(A + Ç) , ∀| ∈ Ú. [Indicele ne arată că

funcționala T se aplică funcției |(A + Ç) privită ca funcție de x, considerând y ca parametru].

106

Notă Reținem că se pot convoluta două distribuții dacă una din ele are suport compact. Mai există un caz, anume cel în care ambele distribuții au suport pozitiv. În continuare, listăm fără demonstrație proprietățile principale ale convoluției de distribuții. 1. Dacă f, g sunt funcții din LÒ∑∂# și există 3 ∗ b, atunci [3 ∗b] = [3] ∗ [b]: 2. Dacă există ° ∗ Z, atunci există Z ∗ ° și Z ∗ ° = ° ∗ Z: 3. Pentru orice Z ∈ ÚÖ, Z ∗ T = Z și T ∗ Z = Z; așadar, T este element neutru pentru convoluția în ÚÖ. Într-adevăr, T ∗ Z, | = T) , Ù) , unde Ù) = T) , | A +

Ç = | A + ÇA = 0

= |(Ç). Așadar,

T ∗ Z, | = T) , |(Ç) = T, | pentru orice | ∈ Ú. 4. Pentru orice Z ∈ ÚÖ și orice întreg k ≥ 0, T(U) ∗ Z = Z ∗ T(U) = Z(U). (19) 5. Pentru orice 9 ∈ ℝ fixat și Z ∈ ÚÖ, avem TQ ∗ Z = Z ∗ TQ = õQZ + Z(6 − 9). (20) 6. Convoluția a trei distribuții, cel puțin două având suport compact, este asociativă. De asemenea, convoluția distribuțiilor din Ú^Ö este asociativă. Notă 1) Proprietatea 6 este nebanală. De exemplu, să considerăm distribuțiile [1], TÖ și H.

! 107

Avem [1] Ì TÖ @ O Ö Ì T @ H deci O Ì TÖ Ì ‰ @ H #i pe de-alt% parte, (1Ì TÖ Ì ‰ @ O Ì T Ì ‰Ö @ O Ì T Ì T @O Ì T @ O [ H. A#adar, distributivitatea nu are loc în general

(Avem Supp[1] = !, Supp0TÖ @ gHh #i Supp H = [0, *) ). 2) Dou& consecin%e spectaculoase Fie b > 0 #i Ó_@ T<6 R ?:=lBpWl @ TB_lBpWl trenul de delte cu caden$a b. Recapitulând, pentru orice func$ie | 7 & @ C!l, avem: I. | Ì Ó_@ | Ì TB_ @ T<6 R ?:='lBpWllBpWl (21) folosind faptul c% | Ì TQ @ T<6 R 9=, întârziata lui | cu a unit%$i.

Apoi II. |Ó_@ |TB_ @ |<?:=TB_0'lBpWllBpWl (22) folosind faptul c% |TQ @ |<9=TQ. A#adar, convolu%ia unei func$ii | cu pieptenul lui Dirac Ó_ este suprapunerea translatatelor lui |0cu multiplii întregi ai lui b (figura 2.6): iar produsul semnalului | cu Ó_ este semnalul discret (|<?:==' ? 7 >, având ca e#antioane valorile lui | în nodurile nb cu ? 7 >; figura 2.7.

Figura 2.6

!108

Figura 2.7

Ulterior vom prezenta un alt rezultat fundamental: TEOREMA 2.5. Fie o aplica$ie liniar% î40&Ö / ÚÖ,

continu% (ZB 0 /"µ0&ß0

0H implic% î<ZB=0 /"µ0Úß0

0H ). Dac% în plus î<Z_= @ 0î<Z=_0pentru orice : 7 !, atunci L este un operator de convolu$ie, în sensul c% pentru h = L(T), are loc rela$ia î<°= @ d Ì ° @ ° Ì d, pentru orice ° 7 &Ö. (23) Aceast% teorem% este esen$a teoriei sistemelor liniare #i invariante în timp (1 sta$ionare). §2.7. Ecua%ii de convolu%ie Consider%m o ecua$ie „de gradul doi”, de forma ° Ì A @ Z, (24) numit% ecua%ie de convolu%ie, cu S #i T distribu$ii fixate, din &Ö. Presupunem c% S are invers% la convolu$ie, adic% exist% °W# astfel încât ° Ì °W# @ T #i °W# Ì ° @ T. Atunci ecua$ia (24) admite solu$ia x = °W# Ì Z, deoarece ° Ì <°W# Ì Z= @ <° Ì °W#= Ì Z @ T ÌZ @ Z. Se observ% c% asociativitatea convolu$iei intervine esen$ial. În plus, solu$ia ecua$iei (24) este unic%: dac% A# ar fi o alt% solu$ie,

109

atunci ° ∗ A = Z, ° ∗ A# = Z deci ° ∗ (A − A#) = 0 și înmulțind (convolutând) cu °W#, rezultă T ∗ (A − A#) = 0, adică A − A# = 0 și A# = A. Exemple a) Fie 6E < 6# <. . . < 6B puncte fixate și „ecuația cu diferențe”9EA 6 − 6E + 9#A 6 − 6# +⋯ + 9BA 6 − 6B = :, cu : ∈ Ú^Ö și 9U = constante. Aplicând relația A(6 − 6U) = T(6 − 6U) ∗ A, această ecuație devine (9ET(6 − 6E) + 9#T(6 − 6#)+. . . +9BT(6 − 6B)) ∗ A = :, deci de forma (24). b) Considerăm următoarea ecuație diferențială liniară cu coeficienți 9U constanți: A(B) + 9#A(BW#)+. . . +9BW#AÖ + 9BA = :(6), (25) cu necunoscuta A(6) și : ∈ Ú^Ö o distribuție cu suportul în [0, ∞). Se știe că dacă :(6) este o funcție continuă, atunci soluția este de forma A(6) = Ü#|#(6)+. . . +ÜB|B(6) + AÂ(6), unde |#, . . . , |B sunt soluții liniar independente ale ecuației omogene, Ü#, . . . , ÜB constante și AÂ(6) o soluție particulară a ecuației (25). Teoria distribuțiilor permite studiul unor ecuații de tipul (25) unde :(6) este o funcție discontinuă sau un impuls. Deoarece A(U) = T(U) ∗ A (conform (19)), ecuația (25) devine (T(B) + 9#T(BW#)+. . . +9BT) ∗ A = : și notăm ° = T(B) + 9#T(BW#)+. . . +9BT, ° ∗ A = :, unde S este o distribuție din ℰÖ cu suportul {0}. Soluția este A = °W# ∗ : și trebuie determinată inversa °W#.

110

Pentru n = 1, notăm cu ã(6) soluția ecuației AÖ + 9#A = 0, cu condiția inițială x(0) = 1. În acest caz, ° = TÖ + 9#T. Notând · = ã(6)‰ și reamintind că ‰Ö = T, rezultă · ∗ ° = ã(6)‰ ∗ ° = ã(6)‰ ∗ (TÖ + 9#T) = (ã(6)‰)Ö +9#ã(6)‰ = ãÖ(6)‰ + ã(6)‰Ö + 9#ã(6)‰ = ãÖ(6)‰ + ã(6)T +9#ã(6)‰ = (ãÖ(6) + 9#ã(6))‰ + ã(0)T = 0 · ‰ + T = T, căci ã(0) = 1. Așadar, · ∗ ° = T deci °W# = · = ã(6)‰. Ca atare, soluția ecuației ° ∗ A = : este A = °W# ∗ : = (ã(6)‰) ∗ :. (26) Pentru n ≥ 2, notăm cu ã(6) soluția clasică a ecuației omogene asociate ecuației (25), cu condițiile inițiale A(0) = 0, AÖ(0) = 0, . . . , A(BW%)(0) = 0 și A(BW#)(0) =1. Din nou, fie · = ã(6)‰. Atunci ·Ö = ãÖ‰ + ã‰Ö = ãÖ‰ + ãT =ãÖ‰ + ã(0)T = ãÖ‰; apoi ·ÖÖ = ãÖÖ‰ + ã‰Ö = ãÖÖ‰ + ãÖT =ãÖÖ‰ + ãÖ(0)T = ãÖÖ‰ etc.

În fine, · BW# = ã BW# ‰ și · B = ã B ‰ + ã BW# T =ã B ‰ + ã BW# 0 T = ã B ‰ + T. Așadar, · ∗ ° = · ∗ T B +

9#T BW# +⋯ + 9BT =∂√. #À

· B + 9#· BW# +⋯ + 9B· =

ã B ‰ + T + 9#ã BW# ‰ +⋯ + 9Bã 6 ‰ = (ã B + 9#ã(BW#)+. . . +9Bã)‰ + T = 0 · ‰ + T = T.

În concluzie, · ∗ ° = T deci °W# = · = ã(6)‰ și soluția este A = °W# ∗ : = (ã(6)‰) ∗ : deci (26). Am demonstrat astfel

! 111

PROPOZI!IA 2.6: Solu$ia în ÚÖ a ecua$iei diferen$iale (25) este (26), unde ã 6 este solu$ia clasic% a ecua$iei liniare omogene cu condi$iile ini$iale ã H @ H' 0ãÖ H @ H'„ ' ã BW% H @ H, ã<BW#=<H= @1 în cazul n ( 2 #i ã<H= @ O dac% n = 1. Exemplu Consider%m circuitul electric R – L în serie din figura 2.8.

Figura 2.8

Dac% ¬ 6 respectiv u 6 sunt curentul #i c%derea de tensiune la bornele circuitului la momentul t, atunci conform legii lui Kirchhoff, avem ü¬ 6 X î¬Ö 6 @ u 6 ' 6 I H. Acela#i circuit poate fi considerat ca un filtru analogic (1 sistem liniar intrare – ie#ire) Z40~ / ò, unde ~ @ C!#÷! #i ò @ C!E : orice intrare este o pereche (u<6=' ¬E= cu u<6= @ ~E pentru t ( 0, u<6= @ H pentru t < 0 #i ¬E @ ¬<H=, iar ie#irea corespunz%toare este ¬<6=.

A#adar, î¬Ö X ü¬ @ ~EG<6=, unde G<6= este treapta unitate a lui Heaviside; se ob$ine astfel ecua$ia diferen$ial% urm%toare:

¬Ö X +ì ¬ @

∞óì G<6=' 6 7 !, cu condi$ia ini$ial% ¬<H= @ ¬E.

Prin schimbarea de func$ie i = x + ¬E, aceast% ecua$ie

devine AÖ X +ì A @

∞óì G<6= R

+ì ¬E, cu condi$ia ini$ial% x(0)=0.

112

Aplicăm propoziția 2.6 cu n = 1, ã(6) = exp(− +

ì6)și:(6) =

#ì(~EG(6) − ü¬E); soluția cerută este A(6) = ã(6)‰ ∗ :(6) și în

final, ¬(6) = A(6) + ¬E. §2.8. Aplicații ale convoluției I. Răspunsul la impuls a) Considerăm din nou circuitul electric din figura 2.8, dar presupunem că la momentul t = 0 se aplică un șoc de tensiune u = ST (numit zgomot alb de intensitate k; k > 0, constant). Ne așteptăm la un salt pentru intensitatea i(t) a curentului. Conform legii lui Kirchhoff, rezultă următoarea ecuație în distribuții: ü¬(6) + î¬Ö(6) = ST(6), adică

¬Ö(6) + +

ì¬(6) = U

ìT(6), 6 ∈ ℝ.

Atenție: Studiul unor astfel de ecuații este important, deoarece în funcționarea circuitelor apar dificultăți în momentul inițierii sau la comutări și întreruperi. Tot astfel, apar accidente aviatice la decolări sau aterizări, iar la instalațiile termochimice trebuie evitate șocurile termice. Aplicând propoziția 2.6, avem

ã(6) = exp(−96), unde9 = +

ìși conform (26), rezultă

¬(6) = (exp(−96)‰) ∗ UìT = U

ìeWQÅ‰.

Graficul acestei funcții (≡ distribuție regulară) este indicat în figura 2.9.

! 113

Figura 2.9

Aceasta este solu$ia în clasa ÚÖ #i se poate ar%ta c% solu$ia general% în clasa ÚÖ a tuturor distribu$iilor este

¬<6= @ÜiW0QÅ' 6 J H

<Ü X Uì=i

W0QÅ' 6 K H,

cu graficul indicat în figura 2.10.

Figura 2.10

b) Consider%m acum ecua$ia diferen$ial% âAÖÖ X 9AÖ X {%A @ ST, (27) care descrie mai multe fenomene mecanice sau electrice (m > 0, a > 0, {0 [ H, S K H – constante). De exemplu, mi#carea unui pendul cu frecare, c%ruia i s-a aplicat un impuls ST.

114

Soluția în clasa Ú^Ö a distribuțiilor cu suport pozitiv se obține aplicând propoziția 2.6. Ne propunem să determinăm soluțiile în clasa ÚÖ a tuturor distribuțiilor. Pe intervalul (–∞, 0) se determină soluția clasică a ecuației liniare omogene âAÖÖ + 9AÖ +{%A = 0, cu condițiile inițiale A(0 − 0) = AE, AÖ(0 − 0) = A#.

Pe intervalul (0, ∞) se rezolvă aceeași ecuație, dar cu condițiile A(0 + 0) = AE + èE, AÖ(0 + 0) = A# + èEÖ , cu salturile èE = A 0 + 0 − A 0 − 0 , èEÖ = AÖ 0 + 0 − AÖ 0 − 0 ale funcției și derivatei în punctul t = 0. Se observă că A ∈ LÒ∑∂# deci x se identifică cu distribuția regulară [x]; în ÚÖ ecuația (27) se scrie: â[A]ÖÖ + 9[A]Ö + {%[A] = T. Aplicând relațiile (14), (15) din teorema 2.3, rezultă: â(èETÖ + èEÖT + [AÖÖ]) + 9(èET + [AÖ]) + {%[A] = ST, adică âèETÖ + âèEÖT + 9èET + [âAÖÖ + 9AÖ + {%A] = 0.

Dar âAÖÖ + 9AÖ + {%A = 0 pe (–∞, 0) și pe (0, ∞), adică în ℝ\{0}. În concluzie, rezultă relația âèETÖ + (âèEÖ + 9èE − S)T = 0. (28)

Dar T și TÖ sunt liniar independente [într-adevăr, fie a, b constante și 9T + :TÖ = 0; alegem o funcție | ∈ Ú astfel încât |(0) = 0 și |Ö(0) = 1. Din relația (9T + :TÖ)(|) = 0, rezultă 9| 0 − :|Ö 0 = 0 deci b = 0 și apoi a = 0]. Din relația (28)

rezultă âèE = 0,âèEÖ + 9èE − S = 0, adică èE = 0 și èEÖ =Uä

.

Deducem un fapt remarcabil datorat abordării distribuționale: aplicarea impulsului ST conduce la un salt al

vitezei èEÖ =Uä

.

! 115

II. O teorem& fundamental& din Teoria probabilit&%ilor: „Fie X, Y dou% variabile aleatoare continuale independente peste acela#i câmp de probabilit%$i <-'.' …=. Dac% f, g sunt densit%$ile lor de probabilitate, apar$inând clasei 0"!# , atunci densitatea de probabilitate a sumei Z = X + Y este tocmai convolu$ia 3 Ì b. Demonstra$ie. Consider%m vectorul aleator u @ <Ÿ' ˙= având componentele X, Y.

Func$ia sa de reparti$ie este òñ40!% 0/ 0!,0òñ A' Ç @… Ÿ m A' ˙ m Ç @ ç Ÿ m A È ç ˙ m Ç #i densitatea de probabilitate este ¯ñ A' Ç @ 3 A È b Ç . Func$ia de reparti$ie a lui Z = X + Y este ò40!0 / !,0ò<∫= @ …<˚ m ∫= @ …<Ÿ X ˙ m∫= @ …<<Ÿ' ˙= 7 ›=, unde D este regiunea {(X, Y) | X + Y ' z} din planul XOY: aceasta este tocmai semiplanul delimitat de dreapta X + Y = z (figura 2.11).

Figura 2.11

Considerând un punct curent (0, y) pe Oy, dreptele Y = y #i X + Y = z se intersecteaz% în punctul (z – y, y) #i

!116

ò ∫ @ ¯ñ A' Ç ]A]Ç @ b Ç 3 A// ]A]Ç @

b<Ç=]Ç 3<A=]AªW)Wl

lWl .

Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Z este

¯0<∫= @ ˜˜ª ò<∫= @ b<Ç=3<∫ R Ç=]Ç @ <b Ì 3=<∫=' ∫ 7 !l

Wl

[Am folosit regula de derivare sub integral%: ˜˜( 3<A=]A(Wl @

3<G=]. A#adar, ¯0 @ 03 Ì b. Exemple a) Dac% X #i Y sunt variabile aleatoare independente, repartizate uniform în [0, 1], atunci

¯⁄<G= @ ¯1<G= @ 000000O0]ùLú0G 7 8H'O;H00"+0ûi)e #i suma Z = X + Y

are densitatea de probabilitate ¯0 @ ¯⁄ Ì ¯1 deci

¯0 @ ¯⁄ G ¯1 ∫ R G ]GlWl @ ¯1 ∫ R G ]G#

E @ªW(pñ

¯<u=]uªªW# @

H0]ùLú0∫ J H0)ùM0∫ K &0∫0]ùLú00∫ 7 8H'O;

& R ∫0]ùLú0∫ 7 8O'&;; graficul func$iei ¯0 este

indicat% în figura 2.12.

Figura 2.12

117

b) Dacă Ÿ ∈ N(â#, ”#) și ˙ ∈ N(â%, ”%), atunci

Ÿ + ˙ ∈ N(â# + â%, ”#% + ”%%), deoarece M(X + Y) = MX + MY și D(X + Y) = DX + DY. Faptul că Z = X + Y este normală rezultă din expresia densității de probabilitate ¯0 = ¯⁄ ∗ ¯1.

De asemenea U = X – Y este normală din clasa

N(â# − â%, ”#% + ”%%). Densitatea de probabilitate a lui U este corelația ¯⁄ ∘ ¯1. Nu mai dăm detalii. c) Dacă Ÿ ∈ N(m, ”) și Y este repartizată uniform în intervalul [a, b], atunci

3(A) = #3 %,

exp(−(jWä)a

%3a) și b(Ç) =

#_WQdacă0 ≤ Ç ≤ :0înrest

.

Pentru Z = X + Y, densitatea de probabilitate este ¯ ∫ = 3 ∫ − Ç b Ç dÇl

Wl =

#_WQ

#3 %,

exp − ªW)Wäa

%3a_Q dÇ =

#_WQ

Φ _Wª^ä3

−Φ QWª^ä3

,

unde Φ este funcția (tabelată!) de repartiție a unei variabile aleatoare din clasa N(0, 1). Notă Vom vedea ulterior modul cum este utilizată această teoremă în stabilirea teoremei limită centrală. III. Aplicații fizico – matematice a) Potențialul newtonian de volum Fie Ë densitatea de masă a unei bile închise fi ⊂ ℝY, raportată la un reper ortonormal Oxyz. Se definește potențial de volum generat de Ë ca fiind funcția

!118

440!Y 0/ 0!'4 A' Ç' ∫ @

@ Í<('ñ'5=<jW(=a^<)Wñ=a^<ªW5=a Ω a ŒGŒuŒ67 (28)

(figura 2.13)

Figura 2.13

Fie ç<G' u'6= punctul curent al lui B #i ¿Î% @ çÄ = distan$a dintre punctul P #i orice alt punct Ä<A' Ç' ∫=0]*+0!Y.

Conform (28), avem 4<Ä= @ Ë<ç= Ì #89:

.

Se poate ar%ta c% laplacianul ,V = 0 dac% Ä ' fi #i ,V = 4%0Ë dac% Ä 7 fi. b) Distribu$iile se extind la cazul 2D, ca fiind func$ionale liniare #i continue pe spa$iul Ú al func$iilor indefinit derivabile | A' Ç , având suport compact. Se extind opera$iile cu distribu$ii, inclusiv derivarea #i convolu$ia, ca #i Distribu$ia Dirac T40Ú0 / 0!, T' | @ |<H'H=. Operatorii diferen$iali liniari sunt combina$ii liniare de deriv%ri. Dac% L este un operator diferen$ial, se nume#te solu%ie elementar& a lui L acea distribu$ie e 7 ÚÖ astfel încât Le = T. Dac%

119

3 ∈ ÚÖ este o distribuție convolutabilă cu e, atunci soluția ecuației Lu = f este G = e ∗ 3 (convoluția dintre soluția elementară și termenul liber). Exemple

a) Pentru operatorul caloric î = ;

;Å− ;a

;ja, soluția

elementară este e(A, 6) = #% ,Å

eW<a

æ$ ∙ ‰(6).

b) Operatorul undelor î = ;a

;Åa− ;a

;ja are soluția elementară

e(A, 6) = #%‰(6 − A ).

c) Operatorul ;;ª= #%( ;;j+ i ;

;)) de derivare areolară al lui

Pompeiu are soluția elementară distribuția regulară e = #,ª

.

Nu dăm mai multe detalii. IV. Aplicații informatice Fără a intra în detalii, dăm o listă de utilizări ale convoluțiilor. a) Procesarea semnalelor 1D - convoluția a două semnale este de fapt filtrarea unuia prin celălalt, ceea ce este folosit pentru îmbunătățirea raportului semnal util / zgomot; - reverberația semnalelor acustice este tocmai convoluția sunetului digital cu ecourile datorate obiectelor din vecinătatea sursei de sunet. Presupunem că un „observator” ascultă vocea mea printr-un perete; la fiecare moment, el nu aude ce am zis eu anterior (producând un sunet exprimat prin presiunea f (t) a

120

aerului) ci convoluția (ℎ ∗ 3)(6) ≅ ℎ(0)3(6) + ℎ(1)3(6 − 1)+. .., unde h este răspunsul – impuls al peretelui; - prin convoluție, se poate aplica răspunsul – impuls al unei camere pe un semnal audio, iar în muzica electronică, se poate aplica o structură ritmică pe un sunet. b) Procesarea imaginilor 2D - în procesarea imaginilor 2D, un rol important îl au filtrele de convoluție (≡ sisteme intrare – ieșire A ↦ Ç = ℎ ∗ A). O imagine jucată este de fapt convoluția unei imagini originale cu o funcție – lentilă; - întunecarea sau blurarea unei imagini este o convoluție între funcția ei de strălucire și o „funcție – cucui”, obținând un efect similar celui pe care îl resimte un miop după ce își dă jos ochelarii; - convoluția se utilizează în teoria și practica sistemelor liniare staționare 1D sau 2D (de exemplu în Spectroscopie sau în studiul fluorescenței). După prezentarea transformării Fourier, vom adăuga și alte aplicații ale convoluției în diverse ipostaze. Reîntorcându-ne la titlul acestui capitol, vă întrebăm retoric: este convoluția ceva magic sau nu?

121

„Nimeni nu se îndoiește de corectitudinea rezultatelor obținute în calcule cu numere complexe, deși acestea sunt ieroglife ale unor mărimi neghioabe.”

S. CARNOT CAPITOLUL 3: TRANSFORMAREA FOURIER A SEMNALELOR NEPERIODICE §3.1. Introducere Transformarea Fourier (≡ „transfurierea”) este un instrument matematic deosebit de important pentru ingineri și fizicieni, prin multiplele sale aplicații și implicații. Unei funcții de argument real, adică unui semnal în timp real, în condiții bine precizate, i se asociază o funcție de variabilă reală dar cu valori complexe, numită funcție de distribuție a frecvențelor (sau spectrul frecvențial). Această asociere este inversabilă și permite un transfer bilateral de informație între „domeniul TIMP” și „domeniul FRECVENȚĂ”. Să ne imaginăm o melodie (≡ șir de note muzicale) transformată în unde electromagnetice și transmisă cu viteza luminii... Analiza Fourier studiază reprezentarea semnalelor ca suprapunere de componente oscilatorii și are trei părți principale: seriile trigonometrice din cazul semnalelor periodice (considerate în Capitolul 1), integralele Fourier în cazul semnalelor nu neapărat periodice și separat cazul semnalelor digitale. În toate aceste situații, se poate realiza și operația inversă, de sinteză Fourier,

122

adică reconstrucție a semnalului în timp din cunoașterea componentelor lui spectrale. Trebuie reținut că transformata unui semnal nu este un alt semnal, ci doar o altă reprezentare, aptă de alte disponibilități și fără pierdere de informație. Ideea lui Fourier a descompunerii unor entități ca sumă / suprapunere de entități mai simple, este una majoră în înțelegerea naturii. În Matematică, aceasta a făcut ca unele ecuații diferențiale să fie transformate în ecuații mai simple. În Fizică, s-a reușit măsurarea lungimii de undă a luminii absorbite în diverse medii și cu ajutorul tehnologiilor informatice, s-a realizat compresia semnalelor și imaginilor prin reducerea lor la șiruri de numere. Transmisiile fără fir, studiul vibrațiilor, muzica electronică etc. sunt astăzi o parte a culturii universale. În acest capitol, vom prezenta de asemenea transformarea Laplace, legătura ei cu transformarea Fourier și câteva aplicații. Pentru o imagine mai cuprinzătoare, în pofida dificultăților tehnice și de comunicare, vom folosi distribuțiile, care permit o tratare unificatoare a semnalelor.

§3.2. Transformarea Fourier a semnalelor–funcție (din =ℝ> ) Reamintim că Lℝ# este clasa funcțiilor A 6 ,A: ℝ → ℝ(sau ℂ) măsurabile și astfel încât A(6) d6 < ∞.Relativ la norma A # = A , Lℝ# este spațiul Banach (≡ SVN complet; vezi

ANEXA 1). Pentru orice { ∈ ℝ, notăm e}(6) = cos{6 + i sin{6 =e¥}Å și evident, ∀6 ∈ ℝ, e}(6) = 1 și e} = eW}.

123

Semnalul e} este periodic, de perioadă principală T = %,}

și

frecvență q = #\= }%,

(în ipoteza că { > 0; în Fizică, frecvențele

negative au o existență virtuală, iar în Matematică, prezența lor nu este dăunătoare, precum apa sfințită!). Așadar, { = 2(q. (1) TEOREMA 3.1: Dacă A(6) ∈ Lℝ# , atunci funcția

Ÿ({):ℝ → ℂ, Ÿ({) = A(6)lWl eW¥}Åd6 (2)

este bine definită pentru orice { ∈ ℝ și este continuă pe ℝ. Demonstrație: Avem A(6)eW¥}Å = A(6) pentru orice 6 ∈ ℝ. Aplicând criteriul de comparație de la integrale improprii și ținând cont că A(6) ∈ Lℝ# , rezultă că integrala (2) are sens și este finită, pentru orice { ∈ ℝ. Faptul că Ÿ({) este continuă pe ℝ rezultă din proprietățile integralelor cu parametru. Definiția 3.1: Funcția Ÿ({) definită prin formula (2) se numește transformata Fourier a lui A(6).

Se mai notează A(6) →ℱŸ({)sauŸ({) = ℱ{A(6)}, sau

mai simplu, Ÿ = ℱ{A}. Unii autori numesc Ÿ({) spectrul în frecvență a lui A(6)

(sau funcția de distribuție a frecvențelor) și îl notează A({). Formula (2) se mai scrie, conform (1), sub forma Ÿ(q) = A(6)eW%@¥rd6. (3) Numărul complex Ÿ({), depinzând de o variabilă reală, se poate scrie sub formă exponențială: Ÿ { = z { e¥A } , unde z({) = Ÿ({) este amplitudinea în frecvență a semnalului A(6), iar Φ({) – faza în frecvență.

124

Mulțimea {({, z({))|{ ∈ ℝ} se numește spectrul în amplitudine (în frecvență) al lui A(6). „q” se măsoară în Hz, { în rad/s și z({) în decibeli. Definiția 3.2: Aplicația ℱ:Lℝ# → CℝE , A(6) ↦ Ÿ(q) se numește operatorul (≡ transformarea) Fourier. Funcția A(6) se numește original, iar Ÿ({) – imaginea originalului. Acest operator realizează un transfer de informație din domeniul – TIMP în domeniul – FRECVENȚĂ. Atenție: Trebuie făcută distincția dintre transformare și transformată. Atenție! Funcțiile sin, cos, exp, u, sgn, constantele reale, polinoamele, impulsurile pure nu aparțin clasei Lℝ# și ca atare, nu au transformată Fourier în sensul definiției 1.1. Vom vedea că această insuficiență se corijează apelând la distribuții. Există și multe exemple... pozitive. Exemple a) Dacă A 6 = eWQÅG 6 cu 9 ∈ ℂ, Re a > 0 și G 6 treapta

unitate, atunci A ∈ Lℝ# și { ∈ ℝ, Ÿ({) = eW(Q^»})Åd6lE = #

Q^¥}.

Se observă că Ÿ({) nu aparține clasei Lℝ# (deci ℱ nu este un operator al spațiului Lℝ# ). b) Determinăm z { pentru semnalul A 6 = 1pentru 6 ∈ [0,2] și nul în rest. Pentru { ≠ 0,

Ÿ({) = eW»}Åd6%E = − ¨

ÃB#$

¥}20 =

#¥}(1 − e%»}) =

#¥}(1 − cos 2{ + i sin 2{) și

! 125

z<{= @ Ÿ<{= @ #} <O R Lc) &{=% X )*+%&{ @

#} & R & Lc) &{ @ & ≥¥µ}

} : apoi Ÿ<H= @ A<6=]6%E @ &.

Graficul func$iei z<{= este indicat în figura 3.1.

Figura 3.1

c) Determin%m transformata Fourier a ferestrei

dreptunghiulare A<6= @ PQ<6= din 1.1: Ÿ { @0 iW0»}Å]6ØaWØa

@#¥} i0»}

Øa R iW0»}

Øa @ %

} )*+}Q% 0¶i+eûM00{ [ H0ï*0Ÿ<H= @ 9ë

Se observ% c% func$ia A<6= este par%, cu valori reale #i la fel este Ÿ<{=ë d) Dac% a > 0 este constant% #i A<6= @ iW0QÅa („clopotul lui

Gauss”), se poate ar%ta c% Ÿ<{= @ ( 9 iW0}a xQ.

Ca o curiozitate, pentru 9 @ #% rezult% c%

Ÿ<{= @ &(iW0}a % #i ca atare, semnalul A<6= @ iW0$aa este un

vector propriu al operatorului ?. În continuare, f%r% demonstra$ii complete, vom da o list% de:

126

Proprietăți de calcul ale transformatelor Fourier 1. MĂRGINIRE: Dacă A(6) ∈ Lℝ# , atunci Ÿ({) este funcție mărginită (și continuă) pe ℝ. Într-adevăr, (∀){ ∈ ℝ, conform (2), avem Ÿ({) ≤ A #. 2. LINIARITATE: Operatorul ℱ este liniar și continuu. Într-adevăr, pentru orice 9, : ∈ ℂ, avem ℱ{9A(6) +:Ç(6)} = 9ℱ{A} + :ℱ{Ç}, iar dacă AB → Aîn Lℝ# (adică AB − A # → 0), atunci ŸB({) → Ÿ({), pentru? → ∞.

3. LEMA RIEMANN – LEBESGUE: Dacă A ∈ Lℝ# , atunci lim

} →lA({) = 0. (4)

Demonstrația este mai tehnică și extinde tinderea spre zero a coeficienților Fourier. Notă Iată o analogie frapantă între formula (25) din Capitolul 1:

πB =#%,

A(6)%,E eW»BÅd6, ? ∈ ℤ și formula (2):

A { = A 6lWl eW¥}Åd6,{ ∈ ℝ, care justifică de ce

coeficienții Fourier πB mai sunt notați A(?). 4. Dacă A 6 , Ç(6) ∈ Lℝ# , atunci AÇ și Ay ∈ Lℝ# și în plus, AÇ = Ay (relația lui Rayleigh). (5) Această relație rezultă din teorema Fubini de intervertire a ordinii de integrare: AÇ = A(6)d6 Ç(G) eW¥Å(dG = Ç(G)dG A(6)eW¥(Åd6 =Ç(G)A(G)dG = Ay.

127

5. DERIVAREA ORIGINALULUI: Dacă A ∈ CℝB, ? ≥ 1 și A(U) ∈ Lℝ# , cu lim

Å →lA(U)(6) = 0 pentru 0 ≤ k ≤ n, atunci

∀{ ∈ ℝ,ℱ A U 6 = i{ UŸ { , (6) 0 < S < ?.

Pentru k=0, relația este tautologică și pentru k = 1, integrăm

prin părți: ℱ{AÖ}({) =∂√.(%)

AÖ(6) eW¥}Å = A(6)eW¥}Å ∞−∞+

i{ A(6)eW¥}Åd6 =∂√.(%)

(i{)Ÿ({); apoi aplicăm inducția după k. Notă Reținem totodată formulele: ℱ AÖ 6 = i{ Ÿ { și ℱ{AÖÖ(6)} = −{%Ÿ({). (7) 6. DERIVAREA IMAGINII: Dacă A(6) → Ÿ({) și 6UA(6) ∈Lℝ# pentru 0≤ k ≤ n, atunci Ÿ ∈ CℝB și în plus, ∀{ ∈ ℝ, Ÿ(U)({) = ℱ{(−i6)UA(6)}. (8) Cazul k = 0 este clar și pentru k=1, dacă 63(6) ∈ Lℝ# , atunci putem deriva (2) în raport cu {; apoi aplicăm inducția după k. Notă Reținem formulele ŸÖ { = ℱ −¬6A 6 și ŸÖÖ({) = −ℱ{6%A(6)}.

(9) De asemenea, dacă ∀S ≥ 0, 6UA(6) ∈ Lℝ# , atunci Ÿ({) este indefinit derivabilă pe ℝ. 7. TRANSFORMATA FOURIER A CONVOLUȚIEI: Dacă A(6), Ç(6) ∈ Lℝ# , atunci ℱ{(A ∗ Ç)(6)} = ℱ{A(6)} ∙ ℱ{Ç(6)}, (10)

128

sau cu alte notații, (A ∗ Ç)! = A ∙ Ç. Demonstrație:

Pentru orice { ∈ ℝ, ℱ A ∗ Ç 6 = A ∗

Ç 6 eW¥}Åd6 = eW¥}Åd6 A ∫ Ç 6 − ∫ d∫ =DEF¥µ¥

= A(∫) eW¥}Åy(t − z)d6 =ÅWªp( A(∫)d∫ eW¥}(ª^()Ç(G)dG = A ∫ eW¥}ªd∫ Ç G eW¥}(dG = ℱ{A}({) ∙ ℱ{Ç}({), adică (10). COROLAR: Operația de convoluție nu are element neutru în clasa Lℝ# . Într-adevăr, dacă ar exista · ∈ Lℝ# astfel încât A ∗ · = A pentru orice x = A(6) ∈ Lℝ# , atunci conform relației (10), ar rezulta A ∙ · = A deci · = 1 (constant), ceea ce contravine lemei Riemann – Lebesgue (4). 8. Dacă A(6) ∈ Lℝ# are valori reale, atunci se definește

autocorelația z(6) = A(G)A(6 + G)dGlWl .

Atunci ℱ{z(6)} = Ÿ({) %. Demonstrație: ℱ{z(6)}({) = z(6) eW¥}Åd6 =eW¥}Åd6 A(G)A(6 + G)dG = A G dG eW¥}ÅA 6 +

G d6 =Å^(pñ A G dG eW¥} ñW( A u du =

A G e¥}(dG A u eW¥}ñdu = Ÿ({) ∙ Ÿ({) = Ÿ({) %. Definiția 3.3: Pentru orice semnal A(6) se pot considera: conjugatul A, simetricul A≥ și translatatul ≡ întârziatul cu a unități (a > 0), õQA, definite prin

A(6) = A(6):A≥(6) = A(−6)și(õQA)(6) = A(6 − 9), pentru orice 6 ∈ ℝ.

129

9. CONJUGARE, SIMETRIE: Dacă A(6) ∈ Lℝ# , atunci

ℱ A 6 { = Ÿ −{ : ℱ A≥ 6 { = Ÿ≥ { . Într-adevăr,

ℱ A 6 { = A 6 eW¥}Åd6 = A 6 e¥}Å d6 – = Ÿ −{

șiℱ A≥ 6 { = A(−6)eW¥}Åd6 =ÅpW( A(G)e¥}(dG =Ÿ(−{) = Ÿ≥({). Consecințe – Dacă A(6) este o funcție pară (respectiv impară), atunci la fel este Ÿ({); – Dacă A(6) este pară și are valori reale, la fel este Ÿ({); – Dacă A(6) este impară și are valori reale, atunci Ÿ({) este impară, cu valori pur imaginare; Dacă A(6) are valori reale, atunci Ÿ({) = z({) − ifi({), unde z({) = A(6) cos{6 d6, fi({) = A(6) sin{6 d6 sunt

mărimi reale și Ÿ(−{) = z({) + ifi({) = Ÿ({), deci frecvențele negative dau o informație redundantă și de aceea sunt fizic ignorate. 10. SCHIMBARE DE SCALĂ: Dacă A 6 ∈ Lℝ# și a > 0,

atunci ℱ A 96 { = #QŸ }

Q. Într-adevăr,

ℱ A 96 { = A(96)eW¥}Åd6 =QÅp( A(G)eW¥#Ø( ∙ #

QdG.

11. ÎNTÂRZIERE (≡DEPLASARE): Fie A 6 ∈ Lℝ# și a > 0 o constantă. Atunci ℱ{õQA}({) = eW¥}QŸ({) (11)

(întârziere în timp); ℱ{A(6)e¥QÅ}({) = Ÿ({ − 9) (12) (întârziere în frecvență).

130

Demonstrație:

ℱ{õQA}({) = A(6 − 9)eW¥}Åd6 =ÅWQp( A(G)eW¥}(Q^()dG = eW¥}Q A(G)eW¥}(dG =eW¥}QŸ({):ℱ{A(6)e¥QÅ}({) =A 6 e¥QÅeW¥}Åd6 = A(6)eW¥(}WQ)Åd6 = Ÿ({ − 9).

Notă Multiplicarea unui semnal A(6) cu o armonică e¥QÅ se numește modulare în timp. Conform (12), modularea în timp cu e¥QÅ revine la o întârziere cu a unități în frecvență. Întârzierea în timp a unui semnal A(6) cu a unități (numită modulare în frecvență) revine, conform (11), la multiplicarea spectrului Ÿ({) cu eW¥ Q. Diverselor operații în domeniul–TIMP li se asociază operații în domeniul FRECVENȚĂ. Reamintim că derivarea de k ori în domeniul–TIMP revine la multiplicare cu (i{)U în frecvență, iar derivarea de k ori a spectrului revine la multiplicarea cu (−i6)U în timp, conform formulelor (7) și (8). Există o evidentă și profundă dualitate TIMP–FRECVENȚĂ asociată cu transformarea Fourier. Întrebare: De ce se utilizează numere complexe? Răspuns: Oscilațiile armonice (și nu numai ele) au amplitudine și frecvență, deci o pereche de proprietăți, pe care numerele complexe le pot încorpora împreună!

131

§3.3. Un rezultat fundamental - teorema de inversare Fourier Transformarea Fourier este un operator care transformă, în anumite condiții, o funcție A:ℝ → ℝ (sau ℂ) într-o altă funcție Ÿ:ℝ → ℂ; relația (2) poate fi privită ca o ecuație cu necunoscuta A(6) și se poate pune problema recuperării lui A(6) din cunoașterea lui Ÿ({), cu precizarea condițiilor necesare; am văzut totodată că operatorul Fourier stabilește o legătură remarcabilă între domeniile TIMP / FRECVENȚĂ, care permite ca probleme formulate relativ la entități temporale să fie „traduse” în probleme oscilatorii, care pot beneficia de facilități de rezolvare. Dar poanta este că soluțiile frecvențiale pot fi întoarse în domeniul timp, datorită teoremei următoare. TEOREMA 3.2. (teorema Fourier de inversare): Dacă funcția A(6), A:ℝ → ℝ (sau ℂ) este continuă pe porțiuni, derivabilă pe porțiuni și în plus, A(6) și Ÿ({) aparțin clasei Lℝ# , atunci

∀6 ∈ ℝ, A(6) = #%,

Ÿ({)e¥Å}d{lWl . (13)

[Reamintim că A(6) = #%(A(6 − 0) + A(6 + 0)] și dacă

A(6) este continuă, atunci A(6) = A(6)]. Fourier a intuit acest rezultat și s-a bazat pe el în lucrările sale. Demonstrația riguroasă a fost dată după mai multe zeci de ani de eforturi ale lui Cantor, Dirichlet și Lebesgue. Această demonstrație necesită câteva subtilități de Analiză matematică și preferăm să dăm un argument apropiat de raționamentul inițial al lui Fourier.

132

Teorema 1.5 arată că dacă A:ℝ → ℝ (sau ℂ) este o funcție periodică T și derivabilă pe porțiuni, cu derivate laterale finite în fiecare punct, atunci pentru orice 6 ∈ ℝ, A(6) = πBe¥B}Ål

BpWl ,

unde πB =#\

A(G)eW¥B}(dG\ %W\ % , ? ∈ ℤ, { = %,

\.

Fourier a asimilat funcția A(6) din enunțul teoremei 3.2, care nu este neapărat periodică, cu o funcție periodică de perioadă tinzând spre infinit. Anume, fie A\(6) restricția lui A(6) la intervalul

[−\%, \%), prelungită prin periodicitate T laℝ.

Așadar, A\(6) = e¥B}Å #\

A(G)eW¥B}(dG\ %W\ % =l

BpWl

#\

A(G)e¥B}(ÅW()dG\ %W\ %

lWl . Dar #

\= }%,

deci

A\(6) =#%,

{ A(G)e¥B}(ÅW()dG\ %W\ %

lWl .

Notăm {B = ?{ deci {B − {BW# = { și în acest mod, se obține relația

A\(6) =#%,

A(G)e¥}£(ÅW()({B − {BW#)dG\ %W\ %

lWl .

Până acum, totul este riguros, dar urmează un proces de trecere la limită insuficient argumentat. Făcând Z →∞ și observând că A\ tinde spre A, formula anterioară devine:

A(6) = #%,

d{ A(G)e¥}(ÅW()dGlWl

lWl , (14)

pentru orice 6 ∈ ℝ. Folosind teorema lui Fubini, rezultă că pentru orice 6 ∈ ℝ,

A 6 = #%,

e¥}Åd{ A G e–¥}(dGlWl

lWl = #

%,Ÿ({)e¥}Åd{l

Wl ,

deci (13).

133

Notă

Formulele (2) și (13) se mai scriu sugestiv: A(6)ℱ⇄ℱW#

Ÿ(q),

variabilele t și q fiind numite conjugate; produsul 6q este adimensional. Înlocuind { = 2(q, formula (2) devine Ÿ(q) =

A(6)eW%,¥rÅd6lWl , iar (13) devine A(6) = Ÿ(q)e%,»Årdql

Wl ,

dispărând factorul #%,

. În acest mod, este mai bine sugerată

dualitatea timp – frecvență și trecerea bilaterală evocată anterior. În plus, mărimile t și q sunt măsurabile mai ușor decât t și {. În Acustică și Telecomunicații, variabila independentă este timpul, ceea ce justifică utilizarea termenului „semnal”, dar în Mecanica cuantică, există și alte variabile conjugate (de exemplu, poziția și momentul unei particule). Teorema 3.2 are multe consecințe și aplicații, pe care le vom da în continuare. Întrebare: De ce teorema 3.2 se mai numește teorema de reconstrucție a lui x(t)? Răspuns: Formula (13) arată că A(6) este o „suprapunere”

de oscilații armonice e¥}Å cu coeficienți Ÿ({) și deci A(6) se reconstruiește din cunoașterea spectrului frecvențial. De exemplu, dacă A(t) este amplitudinea unei unde electromagnetice, atunci

z(6) = #%,

z({)e¥Å}d{, adică o însumare de componente după

toate frecvențele, fapt esențial în Ingineria electrică.

134

COROLAR 1: Fie è: Lℝ# → Lℝ# , A(6) ↦ A(−6) operatorul de simetrizare. Atunci ℱ ∘ ℱ = 2(è. (15) Demonstrație: Pentru orice A ∈ Lℝ# avem ℱ ∘ ℱ{A} = ℱ{Ÿ({)}(6) =

Ÿ({)eW¥}Åd{lWl =

∂¢.(#Y)2(A(−6) = 2(è{A(6)}.

COROLAR 2: Fie î ⊂ Lℝ# mulțimea L={A ∈ Lℝ# |A continuă și Ÿ({) ∈ Lℝ# }. Atunci operatorul Fourier ℱ:î → î este inversabil și inversul lui este operatorul ℱ#: î → î, A(6) ↦

#%,

A(6)e¥}Åd6lWl . Într-adevăr, (ℱ# ∘ ℱ){A(6)} = ℱ#{Ÿ({)} =

#%,

Ÿ { e¥}Åd{lWl =

∂¢. #YA 6 . Așadar, ℱ# = ℱW#.

Notă Corolarul 2 este prea restrictiv și nu acoperă situații practice importante și din acest motiv, operatorul Fourier este studiat ca operator al spațiului Hilbert Lℝ% , așa cum vom vedea în paragraful 3.5. Trebuie menționat că formula (14) este importantă prin ea însăși și poartă numele de formula Fourier de reprezentare integrală a lui H(I). Iată o aplicație remarcabilă a acestei formule. Considerăm semnalul dreptunghiular A(6) = ⨅Q(6).

Conform (14),

A(6) = #%,

d{ A(G)e¥}(ÅW()dG =lWl

lWl

#%,

d{ e¥}(ÅW()dGQ %WQ %

lWl = #

%,e¥}Åd{ eW¥}(dGQ %

WQ %lWl .

Dar eW¥}(dGQ %WQ % = %

}sin }Q

% deci

135

A(6) = #%,

e¥}Å %}sin }Q

%d{l

Wl .

Înlocuind t=0, rezultă 1= #,

#}sin }Q

%d{l

Wl și făcând

schimbarea { = %ñQ

, rezultă o integrală clasică dificilă: ≥¥µ ññdul

Wl = (.

COROLAR 3: În condițiile teoremei 3.2, avem

∀6 ∈ ℝ, A(6) ≤ #%,Ÿ({) #. (16)

Demonstrație: Rezultă din (13). COROLAR 4: În condițiile teoremei 3.2, dacă A(6) este continuă și Ÿ({) ≡ 0, rezultă că A(6) ≡ 0. Apoi dacă două funcții continue au aceeași transformată Fourier, atunci ele coincid. Într-adevăr, conform (13), rezultă A(6) ≡ 0 deci A(6) ≡ 0. COROLAR 5:

Dacă A 6 , Ç 6 ∈ Lℝ# , atunci ℱ A 6 Ç 6 = #%,Ÿ { ∗

˙ { . Într-adevăr, Ÿ { ∗ ˙ { = Ÿ { − ∫ ˙ ∫ d∫ = = ˙ ∫ d∫ A 6 e–»Å }Wª d6 = A 6 e–»}Åd6 ˙ ∫ e»Åªd∫

=∂√.(#Y)

A(6)eW»}Å2(Ç(6)d6 = 2(ℱ{A(6)Ç(6)}. §3.4. Transformata Laplace și legătura cu transformarea Fourier În Inginerie există trei domenii distincte de referință pentru reprezentarea semnalelor continuale: TIMP, FRECVENȚĂ,

COMPLEX (fig. 3.2). Ceva similar există și în cazul semnalelor discrete, așa cum vom vedea în Capitolul 4.

!136

Figura 3.2

Defini$ia 3.4: Se nume#te func%ie original Laplace orice func$ie 340! / 5 astfel încât 3<6= @ H pentru t < 0, 3 este continu% pe por$iuni pe !0#i în plus, are cre#tere exponen$ial%, adic% exist% M > 0, èE I H astfel încât 3<6= m ÄiJóÅ pentru orice t ( 0; num%rul èE se nume#te indice de cre$tere. Se noteaz% cu K clasa func$iilor original Laplace. Exemple

a) Treapta unitate u(t) apar$ine clasei K, cu indicele èE=0; b) Dac% P este polinom cu coeficien$i reali sau complec#i, atunci produsul Pu 7 K, cu indicele èE @ O.

În mod similar, dac% 9 7 ! este constant%, atunci iQÅG<6=0ï*0G<6= )*+ 96 apar$in clasei K. c) Dar exp<6%= nu apar$ine clasei K, deoarece nu are cre#tere exponen$ial%. TEOREMA 3.3: Fie 340! / 5 o func$ie original Laplace cu indicele de cre#tere èE I H. Consider%m semiplanul drept

137

°(èE) = {è ∈ ℂ|Reè ≥ 0}. Atunci pentru orice è ∈°(èE),integrala improprie cu parametrul s

ò(è) = 3(6)eWJÅd6lE (17)

este absolut convergentă în °(èE). Demonstrație: Scriem è = ” + i{ deci 3(6)eWJÅ =3(6)eW3Å ∙ eW»}Å. Pentru orice t ≥ 0, rezultă 3(6)eWJÅ = 3(6) ∙eW3Å ≤ Ä ∙ eW(3WJó)Å. Deoarece integrala e(JóW3)Åd6l

E este

convergentă, cu valoarea #3WJó

, rezultă că pentru orice è ∈ °(èE),

integrala (17) este absolut convergentă și în plus, ò(è) ≤ %

3WJó.

Definiția 3.5: Dacă 3 ∈ K are indicele de creștere èE, atunci funcția complexă

ò:°(èE),→ ℂ, ò(è) = 3(6)eWJÅd6lE (18)

se numește transformata Laplace (sau imaginea) originalului f.

Se mai scrie: 3(6) →ℒò(è), ò(è) = ℒ{3(6)} sau simplu ò = ℒ3.

Atenție: Nu se poate vorbi de un operator Laplace (deoarece domeniul de definiție al lui F variază cu f )! Exemple

a) !(è) = ℒ{G(6)} = eWJÅd6lE = lim

�→leWJÅd6�

E =

lim�→l

#W¨ÃN$

J=#

J, deoarece eWJÅ = eW3Å(cos{z − i sin{z) tinde

spre zero ca produs dintre o funcție care tinde către zero și o funcție mărginită. b) Dacă 3, b ∈ K și a, b sunt constante, atunci af + bg ∈ K și ℒ{93 + :b} = 9ℒ{3} + :ℒ{b}.

138

Se face tacit convenția ca literelor mici folosite pentru notarea funcțiilor original să le corespundă litere mari pentru transformatele lor Laplace. c) Dacă b 6 = eQÅG 6 cu 9 ∈ ℂ constant, atunci é(è) =#

JWQ: similar, ℒ{G(6) cos{6} = ℒ #

%(e»}Å + eW»}Å) ∙ G(6) =

#%

#JW¥}

+ #J^¥}

= J

Ja^}a și ℒ{G(6) sin{6} = }

Ja^}a.

d)ℒ 6B ∙ G 6 = 6B·WJÅŒ6lE = B!

J£≤à (verificare prin

inducție și integrare prin părți).

Așadar, ℒ 26 + 76% G 6 = %Ja+ -

JΩ.

TEOREMA 3.4. Dacă 3 ∈ K are indicele de creștere èE, atunci transformata ei Laplace ò(è) dată de (18) este olomorfă în semiplanul drept S(èE). Este suficient de observat că F este de clasă C# și că

derivata ei areolară ;P;J= ;

;J3(6)eWJÅd6l

E = 3(6) ;;J(eWJÅ)d6l

E

este nulă în fiecare punct din S(èE). Proprietăți de calcul cu transformate Laplace Fără detalii de demonstrație, reamintim principalele proprietăți. Presupunem că

3 ∈ Kși3 6 →ℒò è .

1. SCHIMBARE DE SCALĂ (≡ scalare): Dacă a > 0 este o constantă, atunci

ℒ{3(96)} = #Qò(JQ).

2. DEPLASAREA IMAGINII: Pentru orice constantă ã ∈ ℂ, ℒ{3(6)eQÅ} = ò(è − ã). (19)

139

3. ÎNTÂRZIERE (≡ deplasare) cu b > 0: Fie õ_3 funcția definită prin (õ_3)(6) = 3(6 − :) dacă t ≥ b și (õ_3)(6) = 0 dacă t < b. Atunci ℒ{õ_3} = eW_Jò(è). (20) 4. DERIVAREA ORIGINALULUI: Dacă 3 ∈ Kare indicele de creștere exponențială èE și f este derivabilă pe porțiuni astfel încât 3Ö ∈ K,atunci ℒ{3Ö(6)} = èò(è) − 3(0 + 0), (21)

pentru Re s ≥ èE. 5. CONVOLUȚIA: Dacă 3, b ∈ Kși există 3 ∗ b, atunci 3 ∗b ∈ Kși în plus, ℒ{3 ∗ b} = ò(è)é(è). (22) Aplicațiile cele mai importante ale transformatelor Laplace sunt cele legate de rezolvarea unor ecuații diferențiale liniare sau sistemelor diferențiale liniare cu coeficienți constanți, precum și studiul unor sisteme liniare, via noțiunea de funcție de transfer, asupra cărora vom reveni. Notă istorică Pierre – Simon Laplace (1749 – 1827) a fost un astronom strălucit, ale cărui calcule subtile, efectuate cu mijloace modeste, au fost pe deplin confirmate ulterior; el a fost unul din fondatorii Mecanicii cerești și ai Calculului probabilităților. Cu părinți săraci, a fost trimis la studii de către vecini mai bogați; mai târziu, a avut șansa să atragă atenția academicianului d’Alembert, devenind el însuși marchiz, academician și chiar confesor apreciat al lui Napoleon.

140

Laplace a descoperit transformata care îi poartă numele și care fusese folosită în mod nesistematic de Euler sau Poisson; el este cel care a ridicat-o la rang de metodă de rezolvare și studiu al unei clase largi de ecuații diferențiale. De asemenea, operatorul Laplace ∆ (≡ „laplacianul”) este întâlnit în multe ecuații ale Fizicii matematice. A devenit celebru prin ipoteza cosmogonică Kant – Laplace, conform căreia sistemul solar a apărut dintr-o nebuloasă aflată în rotație... Legătura cu transformarea Fourier Fie 3:ℝ → ℂ o funcție din clasa K având indicele de creștere exponențială èE ≥ 0 și ò è = ℒ 3 6 , definită pentru Re s > èE; așadar, deoarece 3 6 = 0 pentru t < 0 și punând

è = ” + i{, rezultă ò(è) = 3(6)eWJÅd6lE = 3(6)eWJÅd6l

Wl =

3(6)eW3ÅeW¥}Åd6.lWl

Comparând cu formula (2), definiția 3.1, rezultă că pentru orice ” fixat, cu ” > èE, ℒ{3(6)} = ℱ{3(6)eW3Å}. (23) Aceasta este relația de legătură între cele două transformate. Aplicând formula (15) de inversare Fourier (teorema 3.2), rezultă formula de inversare a transformatei Laplace; anume, are loc TEOREMA 3.5 (Formula Mellin – Fourier): Dacă

3(6) →ℒò(è) și atunci pentru orice ” fixat, cu ” > èE (èE fiind

indicele de creștere a lui f ) și pentru orice 6 ∈ ℝ,

3(6) = #%,¥

ò(è)eJÅdè3^¥l3W¥l . (24)

! 141

Demonstra$ie: Punând è @ ” X *{, am v%zut c% ò<è= @ ?g3<6=iW03Åh #i aplicând (15),

3<6=iW03Å @ #%, ò<è=i¥Å}]{l

Wl : înmul$ind aceast% rela$ie

cu i3Å, rezult%

3<6= @ #%, ò<è=i03Åi¥Å}]{l

Wl @ 0 #%, ò<è=iJÅ]{lWl .

Fix%m ” cu ” K èE #i dreapta vertical% ,: è @ ” X*{0<Rk J { J k=; figura 3.3. În lungul acestei drepte avem

ds = id{ deci 3<6= @ 0 #%, ò<è=iJÅ]èlWl ' adic% (24).

Figura 3.3

Din (24) rezult% direct: COROLAR 1. Dac% f este continu% din clasa K #i dac% Mg3<6=h @ H, atunci f = 0. Ca atare, dac% 3' b 7 K #i Mg3<6=h @ Mgb<6=h, atunci f = g a.p. Consider%m acum conturul orientat din figura 3.3, format din segmentul vertical de capete ” R *ü' ” X *ü (cu ” fixat, ” K èE) #i semicercul stâng R de raz% R, având acest segment ca diametru. Raza R > 0 este aleas% suficient de mare astfel încât în

142

interiorul conturului să fie situate toate singularitățile la distanță finită ale funcției ò(è) = ℒ{3(6)},presupuse în număr finit. Teorema reziduurilor arată că

ò(è)eJÅdè3^¥+3W¥+ + ò(è)eJÅdè = 2(i Rez(ò(è)eJÅ) .

S

Făcând ü → ∞ și aplicând lema lui Jordan, rezultă un alt fapt remarcabil: TEOREMA 3.6. (formula lui Heaviside): Dacă 3 ∈ K este continuă și dacă pentru ” > èE fixat, lim

+→lèò(è)eJÅ = 0, atunci

pentru orice 6 ∈ ℝ, 3(6) = Rez(ò(è)eJÅ), (25) unde suma este luată după toate singularitățile (polii) lui ò(è) = ℒ{3(6)} la distanță finită, presupuse în număr finit.

Exemplu: Fie ò è = #JΩ^J

, având polii simpli 0, ± i.

Conform (25), pentru t ≥ 0 avem 3 6 = Rez ¨N$

JΩ^J= 1 − #

%e¥Å −

#%eW¥Å = 1 − cos 6 deci 3(6) = (1 − cos 6)G(6).

Notă istorică Oliver Heaviside (1850 – 1925) a fost un inginer englez de geniu și totodată, un matematician creativ. A fost autodidact, dar a avut și șansă prin unchiul său Wheatstone, specialist în Electromagnetism, care i-a găsit un serviciu la o companie de telegrafie, unde a devenit un electrician priceput. A publicat în 1872 un articol relativ la duplex–ul în cablurile de telegraf, respins de conducătorii Poștei, care declaraseră imposibil duplex–ul. Heaviside a studiat tratatul de Electricitate și Magnetism al lui Maxwell, lărgindu-și totodată cunoștințele de matematică.

143

Fără a intra în detalii, reamintim câteva contribuții ale lui Heaviside: - a dezvoltat teoria liniilor de comunicație, stabilind „Ecuația telegrafiștilor”, inventând cablurile coaxiale și descoperind ionosfera și transmiterea semnalelor radio ținând cont de curbura Pământului; - este unul din fondatorii Analizei vectoriale, reușind să reformuleze ecuațiile lui Maxwell în termeni de „div” și „rot”, în limbaj modern; - a inventat Calculul operațional, paralel cu transformata Laplace; cu această ocazie, a introdus și utilizat treapta unitate u care îi poartă numele, dar și impulsurile, înaintea lui Dirac. Spre sfârșitul vieții, a primit onoruri pe care le-a desconsiderat. Ca și Fourier, a avut de înfruntat cele trei „I – uri” – ignoranță, invidie, indiferență, care i-au însoțit în timp pe mulți creatori autentici. Acuzat de lipsă de rigoare, el a răspuns criticilor săi: „I do not refuse my dinner simply because I do not understand the process of digestion!” §3.5. Transformarea Fourier a semnalelor din clasele T și =ℝU

Dacă A ∈ Lℝ% , integrala A(6)eW¥}Åd6lWl ar putea fi

divergentă! Definirea unei transformări de tip Fourier de către Lebesgue s-a realizat indirect; anume, pentru A ∈ Lℝ% , el a arătat că există un șir AB ∈ Lℝ# astfel încât ŸB({) ∈ Lℝ# șiAB → A în norma ∙ % și a definit Ÿ = lim

B→lAB. Subtilități matematice...

144

Vom aborda o altă metodă. În Capitolul 2, în definiția 2.2, am prezentat funcțiile indefinit derivabile și rapid descrescătoare, care formează clasa $. Funcția exp(−6%) aparține clasei $, dar exp(− 6 ), nu. De asemenea, clasa $ este stabilă la înmulțirea cu polinoame sau la derivare. PROPOZIȚIA 3.7: Fie A(6), A:ℝ → ℂ. a) Dacă A(6) ∈ Lℝ# este rapid descrescătoare, atunci Ÿ({) ∈ Cℝl: b) Dacă A(6) ∈ Cℝl și A(U)(6) ∈ Lℝ# pentru orice k ≥ 0 întreg, atunci Ÿ({) este rapid descrescătoare. Demonstrație:

a) Pentru orice n≥0, există A>0 astfel încât 6B^%A(6) ≤ 1

pentru 6 > z. Atunci 6BA(6) d6 ≤ 6BA(6) d6Å V� +#Åa6B^%A(6) d6Å W� ≤ zB A(6) d6Å V� + #

Åad6Å W� ≤

zB A # +%�< ∞. Așadar, pentru orice n ≥ 0, 6BA(6) ∈ Lℝ# și

conform (8), rezultă că Ÿ({) ∈ Cℝl. b) Conform relației (6), rezultă că lim

} →l{UŸ({) = 0,

conform lemei Riemann – Lebesgue, deci Ÿ({) este rapid descrescătoare. COROLAR: Dacă A(6) ∈ $,atunci Ÿ({) ∈ $. Demonstrație: Am văzut că A(6) ∈ Lℝ# deci Ÿ({) ∈ Cℝl. Dar pentru orice k ≥ 0, A(U)(6) ∈ $deciA(U) ∈ Lℝ# și conform propoziției 3.7,b), Ÿ({) este rapid descrescătoare; la fel rezultă și derivatele ei.

145

Definiția 3.6: Se spune că un șir AB ∈ $ converge spre zero în clasa $ dacă AB → 0 uniform pe ℝ împreună cu derivatele de orice ordin.

Dacă AB →îµ$0, atunci ŸB({) →

îµ$0 și pentru orice

polinom P(t), çAB →îµ$0.

TEOREMA 3.8. Operatorul Fourier ℱ:$ → $, A(6) ↦ Ÿ({) este liniar, bijectiv, continuu și cu inversul ℱW# continuu. În plus, pentru orice b ∈ $, 3 = ℱW#(b) este

3:ℝ → ℂ,3(6) = #%,

b({)e¥Å}d{lWl . (26)

Demonstrație: Dacă A(6) ∈ $, atunci Ÿ({) ∈ $ deci ℱ „duce” $ în $. Apoi, pentru A(6) ∈ $, avem Ÿ({) ∈ Lℝ# și conform

teoremei 3.2 de inversiune, A(6) = #%,

Ÿ({)e¥Å}d{. Considerăm

acum operatorul liniar

ℱ#:$ → $, Ç(6) ↦ #%,

˙({)e¥Å}d{.

Relația anterioară arată că A = ℱ#Ÿ = ℱ#ℱA, pentru orice A ∈ $ deci ℱ# ∘ ℱ = id (aplicația identică); în mod similar, ℱ ∘ ℱ# = id deci ℱ# este bijectivă și ℱW# = ℱ#. COROLAR 1.

Fie A(6), Ç(6) ∈ $ și A(6) →ℱŸ({), Ç(6) →

ℱ˙({).

Atunci Ÿ({), ˙({) = 2( A(6), Ç(6) (27)

(relația lui Plancherel) și

146

E(Ÿ({)) = 2(E(A(6)) (28) (relația energetică). Demonstrație: Notând ˚({) = ˙({) și considerând ∫(6) = ℱW#{˚({)}, rezultă

Ÿ { , ˙ { = Ÿ { ˙ { d{ = Ÿ { ˚ { d{ =

ℱ A 6 ˚ { d{ =∂√. ®

A(6)ℱ{ ˚({)}d{ =

A(6)ℱ{ℱ{ ˚(6)}}d6 =∂√.(#®)

2( A(6)∫(−6)d6. Dar ∫(−6) =X¨∑≠.Y.%

#%,

˚({)eW¥Å}d{ = #%,

˙({)eW¥Å}d{ = Ç(6).

Așadar, Ÿ({), ˙({) = 2( A(6) Ç(6) = 2π A(6), Ç(6) deci (27). Luând Ç(6) = A(6) și aplicând (27), rezultă direct (28). Explicit, relația (28) se scrie

Ÿ({) %d{lWl = 2( A(6) %d6l

Wl , (29)

care este analogul relației lui Parseval (26) din Capitolul 1, din cazul seriilor Fourier. Direct din definiție, rezultă următorul

COROLAR 2. Operatorul Z = #%,ℱ:A(6) ↦ #

%,Ÿ({)

este o izometrie (adică este liniar, continuu și conservă produsele scalare).

Folosind faptul că $ este dens în Lℝ% , operatorul Fourier ℱ:$ → $ se extinde la un operator bijectiv și continuu împreună cu inversul lui, notat la fel ℱ:Lℝ% → Lℝ% . Anume, pentru orice A ∈ Lℝ% , alegem un șir ÇB ∈ $ astfel încât ÇB → A în Lℝ% și definim ℱA = lim

B→lℱÇB. Totodată rezultă și operatorul unitar

147

Z: Lℝ% → Lℝ% , A(6) ↦ #%,Ÿ({).

Se poate arăta compatibilitatea cu definiția 3.1 (în sensul că pentru A(6) ∈ Lℝ# ∩ Lℝ% , se obține același spectru frecvențial Ÿ({)). Se extind totodată toate proprietățile din paragraful 3.2, inclusiv teorema 3.2 și relația (15). Exemple

a) Pentru A(6) = eWÅ ∙ G(6), am văzut că Ÿ({) = ##^¥}

.

Deoarece A(6) ∈ Lℝ% , conform (15) rezultă că ℱ{Ÿ { } =ℱ{ℱ{A(6)}} = 2(AJ(6) = 2(eÅ ∙ G(−6). b)Pentru orice semnal A 6 ∈ Lℝ% se definește energia E A 6 = A 6 , A 6 = A 6 %

%. Dacă A 6 este intensitatea la momentul t a curentului electric dintr-un circuit cu rezistența 1 Ω, atunci energia degajată este tocmai E(A(6)).

148

Primul tabel de transformate Fourier H(I) →[\(])

A(6):9 > 0 constant Ÿ({)

1) eWQ Å %Q}a^Qa

1') #Åa^Qa

,QeWQ }

2)G 6 + Q%− G 6 − Q

%= ⨅Q 6 %

}sin Q}

%, { ≠ 0

2') ≥¥µ QÅÅ, 6 ≠ 0; aici A(6) ∈ Lℝ% \Lℝ# ((G({ + 9) − G({ − 9))

= (⨅%Q { 3) 6BeWQÅG(6) B!

(Q^¥})£≤à

3') #(Q^¥Å)£≤à

%,B!(−{)BeQ}G(−{)

4)x(t – a) eW»Q}Ÿ({) 5) e¥QÅA(6) Ÿ({ − 9) 6) A(6) ∗ Ç(6) Ÿ({)˙({) 7) A(6)Ç(6) #

%,Ÿ { ∗ ˙ {

8) eWQÅa ( 9 eW}a xQ

9) eWQ Å sgn6 − %¥}}a^Qa

10) AÖ 6 ; AÖÖ 6 i{Ÿ({):–{%Ÿ({) 11) 6A(6):6%A(6) ¬ŸÖ { ; −ŸÖÖ { 12) T(6):ÿ > 0 #W¨ÃÕ_#

¥}, { ≠ 0

Notă Folosind relația (15), transformatele notate 1', 2', 3' etc. pot fi deduse din cele notate 1, 2, 3,... respectiv.

149

De exemplu, avem ℱ{eWQ Å } = %Q}a^Qa

și aplicăm ℱ deci

ℱ ∘ ℱ{eWQ Å } = ℱ{ %Q}a^Qa

} adică 2(·WQ Å = 29ℱ{ #}a^Qa

} și

intervertind rolul (simetric!) al variabilelor conjugate 6 → {,

rezultă ℱ{ #Åa^Qa

} = ,QeWQ } , adică 1'.

§3.6. Transformarea Fourier a distribuțiilor Până acum am studiat transformarea Fourier pentru funcții/semnale din clasele Lℝ# , $, Lℝ% . Dar funcții importante precum constantele, polinoamele, sin, cos, exp, impulsurile au transformate Fourier (și spectre frecvențiale) numai apelând la distribuții. Reamintim că $ este spațiul funcțiilor 3:ℝ → ℝ (sau ℂ) rapid descrescătoare și că Ú ⊂ $ ⊂ ℰ, fiecare fiind dens în următorul. Atunci prin considerarea funcționalelor liniare continue pe spațiile respective (cu valori în ℂ), rezultă ℰ′ ⊂ $′ ⊂ Ú′. Definiția 3.7: Se numește distribuție temperată orice

aplicație liniară și continuă Z: $ → ℂ (așadar, 3B →îµ$0 implică

Z3B →îµℂ0).

Notă Se poate arăta că dacă Z ∈ $Ö, atunci derivatele Z(U) ∈ $ pentru orice întrg k ≥0, iar dacă P este un polinom, atunci çZ ∈ $Ö. De asemenea, pentru orice funcție 3 ∈ LÒ∑∂# mărginită sau cu creștere lentă (în sensul că există o constantă M > 0 și un întreg n≥1, astfel încât 3(6) ≤ Ä(1 + 6%)B pentru orice 6 ∈ ℝ), distribuția regulară asociată [ f ] este temperată. De-aici rezultă că

150

polinoamele, constantele, funcțiile continue mărginite, u, sgn etc. aparțin spațiului $Ö. De asemenea, funcțiile din Lℝ# și Lℝ% sunt distribuții temperate. Deoarece $ ⊂ Lℝ% , rezultă că $ ⊂ $Ö. În fine, pentru orice număr 9 ∈ ℝ, impulsul pur TQ, ca și pieptenul lui Dirac ∆Q aparțin lui $Ö. Dar pentru funcția 3(6) = eÅ, distribuția asociată [ f ] = [exp] nu este temperată. Practic, toate semnalele care apar în Inginerie, inclusiv impulsurile și momentele impulsurilor aparțin lui $Ö. Cea mai importantă proprietate a spațiului $Ö al distribuțiilor temperate este aceea că orice distribuție Z ∈ $Ö are transformată Fourier. Definiția 3.8: Pentru Z ∈ $Ö, transformata Fourier a lui T este distribuția temperată Z = ℱ{Z} (sau simplu ℱZ), definită prin Z:$ → ℂ, Z, Ù = Z,Ù , adică Z(Ù) = Z(Ù). Dacă Ù ∈ $, atunci Ù = ℱ{Ù} ∈ $, conform corolarului

proprietății 3.7. și dacă ÙB →îµ$0 atunci ÙB →

îµ$0, conform

teoremei 3.8 deci Z, ÙB →îµℂ0.

Notă Reținem că Z Ù = Z Ù , pentru orice Ù ∈ $. Această definiție a fost inspirată de următorul calcul din cazul unei distribuții regulate

T = 3 : 3 Ù = 3({)Ù({)d{ =∂√.(®)

3(6)Ù(6)dt = 3 (Ù).

Apoi, dacă 3 ∈ Lℝ# sau Lℝ% , atunci ℱ 3 = 3 deci definiția 3.8 extinde cazul funcțiilor la distribuții.

151

Proprietăți de calcul ale transformării Fourier a distribuțiilor Fără detalii de demonstrație, din definiții rezultă: 1. Operatorul ℱ:$Ö → $Ö, Z ↦ Z este liniar, bijectiv și continuu împreună cu inversul ℱW# = ℱ#, unde ℱ# este definit prin

ℱ#Z, Ù = #%,Z,ℱ#Ù , pentru orice Ù ∈ $.

2. Dacă Z ∈ $Ö, atunci pentru orice k ≥ 1, Z(U) = ℱ{(iS)UZ}șiℱ{Z(U)} = (i{)UZ. Aceste formule extind regulile de derivare a imaginii și originalului. 3. Dacă Z ∈ $Ö și 9 ∈ ℝ, atunci õQZ = ℱ e¥QÅZ șiℱ{õQZ} = eW¥Q}Z. 4. Dacă Z ∈ $Ö, atunci ℱ{ZJ} = ℱ{Z}J și ℱ{ℱ{6}} = 2(ZJ. 5. Dacă Z ∈ $Ö și | ∈ $, atunci ℱ{Z ∗ |} = |ℱ{Z} și ℱ{|Z} = Z ∗ |. 6. Dacă ° ∈ ℰÖ, atunci ° este o distribuție regulată și ℱ{° ∗ Z} = °Z. Notă Se poate extinde transformata Laplace la distribuții T care au Supp T ⊂ [0,∞) și astfel încât eWQÅZ să fie temperată (a ≥ 0).

Dacă è ∈ ℂ și Re s > a, integrala eWJÅZ(6)d6 =lE

= eWQÅZ 6 eW ≥WQ Åd6lE este notată ℒ Z è . Se poate arăta că

ℒ ZÖ è = èℒ Z è , ℒ{T} = 1 și ℒ{T′} = [è].

152

Exemple a) Fie Z = TQ ≡ T(6 − 9). Atunci ℱ TQ Ù =

TQ(ℱ{Ù}) = TQ(Ù) = Ù(9) = Ù(6)eW¥Å}d6{ = 9

=

Ù(6)eW¥QÅd6 =Å→} Ù({)eW¥Q}d{ = [eW¥Q}](Ù) și cum Ù ∈ $ este arbitrară, rezultă ℱ{TQ} = [eW¥Q}]. În particular, pentru a = 0, rezultă ℱ{T} = [1]. b) Din relația ℱ{TQ} = [eW¥Q}], aplicând ℱ, rezultă ℱ{ℱ{TQ}} = ℱ[eW¥Q}] și folosind 4, rezultă ℱ[eW¥Q}] =2(TQ(−6). Intervertind 6 ↔ {, rezultă ℱ[eW¥QÅ] = 2(TQ(−{) =

2(T(−{ − 9) =a´b≠ă

2(T({ + 9). Înlocuind a cu –a, rezultă ℱ[eW¥QÅ] = 2(T({ − 9) = 2(TQ. În particular, pentru a = 0, rezultă ℱ[1] = 2(T.

c)ℱ[cos 96] =cEÒ¨≠ ℱ{#%(e¥QÅ + eW¥QÅ)}] = ([T({ − 9) +

T({ + 9)] și ℱ sin 96 = ℱ{#%¥(e¥QÅ − eW¥QÅ)}] = ,

¥[T({ − 9) −

T({ + 9)]. d) ℱ T U Ù = T U Ù = −1 UT Ù U =

= (−1)UÙ(U)(0). Dar Ù({) = Ù(6)eW¥Å} d6 și Ù(U)({) = = Ù(6)eW¥Å} (−i6)Ud6 deci

Ù U 0 = Ù 6 −i6 Ud6 =Å→} Ù { −i{ Ud{ și

ca atareℱ T U Ù = −1 U −i{ U Ù = i{ U Ù .

Așadar, ℱ T U = i{ U și în fine, folosind 4, rezultă

ℱ 6U = %,W¥ ◊

T U .

153

e) O distribuție mai specială este VP#Å („valoarea

principală”). Funcția #Å 6 ≠ 0 nu este local integrabilă și se

definește distribuția (VP#Å)(|) = lim

→E

d Å Wd WÅÅ

l d6,| ∈ Ú.

De exemplu, avem tVP#Å= 1 , deoarece

(tVP#Å)(|) = VP #

Å 6| = lim

→E

Åd Å ^Åd WÅÅ

l d6 =

|(6) + |(−6) d6 =lE |(6)d6l

Wl = [1](|).

Se poate arăta că ℱ{‰} = (T({) − iVP #}

. Omițând

impulsul, transformata Fourier a treptei unitate a lui Heaviside se

aproximează cu −iVP #}

.

Sintetizăm aceste exemple în: Al doilea tabel de transformate Fourier (de distribuții) Z = Z(6):9 ∈ ℝ Z = ℱ{Z}({):{ = 2(q 1) T(6) [1] 2) [1] 2(T({) 3) H (T({) − iVP #

}

4) VP #Å – πi [sgn]

5) TQ 6 = T 6 − 9 eW¥Q}

6) e¥QÅ 2(TQ { = 2(T { − 9 7) [cos 96] ((TQ + TWQ) 8) [sin 96] (i(TWQ − TQ) 9) T(B)(6), ? ≥ 1 întreg (i{)B 10) 6B , n ≥ 1 2(iBT(B)({)

154

Așadar, constantele, polinoamele, cos at, sin at, impulsurile și derivatele lor au transformate Fourier (și spectre!).

Dar #Å, tg6, eQÅ, pentru a ≠ 0 nu au transformate Fourier.

§3.7. Un rezultat fundamental în Teoria semnalelor- teorema de eșantionare WKS Întrebare: Dacă A(6) este un semnal măsurat prin eșantionare la momente 6# < 6% <. . . < 6B. .., ce informație se poate obține? Răspuns: Dacă A(6) este o funcție oarecare, răspunsul este simplu: nimic. Dar dacă se știe că A(6) conține doar anumite frecvențe, răspunsul nu mai este simplu și este cuprins în teorema WKS de mai jos, sau altele similare. Definiția 3.9: Presupunem că A(6) aparține clasei Lℝ% ,

A(6) →ℱŸ({). Se spune că el are bandă limitată de frecvență dacă

există un număr B > 0 astfel încât Ÿ({) = 0 pentru { > fi. (30) Se scrie: A(6) ∈ L7% . Condiția (30) trebuie considerată în sensul că Ÿ({) ≅ 0, adică spectrul este neglijabil. TEOREMA 3.9 (Whittacker – Kotelnikov – Shannon): Fie A(6) ∈ L7% și continuu pe ℝ. Pentru orice 6 ∈ ℝ,

A(6) = A B,7sinc(fi6 − ?()l

BpWl . (31)

[Reamintim că sinc(A) = ≥¥µ jj

pentru x ≠ 0 și sinc(0) = 1].

155

Demonstrația clasică: Restrângem funcția Ÿ({) = ℱ{A(6)} la intervalul [– B, B],

prelungită apoi prin periodicitate T = 2B și o dezvoltăm în serie Fourier complexă (teorema 1.5):

Ÿ({) = πWBexp(−i?(}7)l

Wl , cu

πWB =#%7

Ÿ({)exp(i?( }7)7

W7 d{: (32)

am înlocuind n cu – n pentru comoditate. Deoarece Ÿ({) = 0 pentru { > fi, rezultă

πWB =#%7

Ÿ({)exp(i?( }7)l

Wl d{ =∂√.(#Y) ,

7A B,

7.

AtunciA 6 =∂√. #Y #

%, Ÿ { e¥Å}7–7 d{ =

∂√. Y%

= #%7

A B,7B∈ℤ exp(−i?( }

7) e¥Å}7

W7 d{ =

= #%7

A B,7B∈ℤ ∙ exp i{ 6 −B,

7d{7

W7 =

= A B,7B∈ℤ sinc(fi6 − ?().

Seria (31) este convergentă în spațiul Hilbert L7% . Se poate arăta că semnalele {eB(6)}, ? ∈ ℤ definite prin

eB 6 =7

,sinc(fi6 − ?() formează o bază ortonormală pentru

spațiul Hilbert L7% al semnalelor cu banda de frecvență [– B, B]; anume, eä, eB = TäB pentru orice â, ? ∈ ℤ. Formula (31) este de fapt dezvoltarea oricărui semnal A(6)dinL7% relativ la această bază: A(6) = A ?ZB∈ℤ eB(6), unde Z = ,

7.

Totodată rezultă energia semnalului:

156

~ A = A % = A, A = A âZä∈ℤ eä, A ?ZB∈ℤ eB =A(âZ)A(?Z)ä,B TäB deci ~(A) = A(?Z) %B∈ℤ , tocmai

energia semnalului discret {A(?Z)}, ? ∈ ℤ. Notă istorică Formula (31) a fost dată ca problemă de examen de către profesorul englez E.T. Whittacker în 1915 și într-un curs de Radiotehnică al profesorului rus V. Kotelnikov (1933). Dar cel care și-a dat seama de importanța rezultatului și de amploarea aplicațiilor a fost inginerul american C. Shannon, creatorul Teoriei informației, după 1948. Acesta este motivul pentru care am divizat paternitatea teoremei 3.9. Formula (31) este de fapt o teoremă de interpolare:

cunoscând valorile discrete A B,7

, se pot determina valorile

semnalului în toate punctele 6 ∈ ℝ; în esență, dacă semnalul A 6 are un spectru frecvențial mărginit, atunci el poate fi reconstruit dintr-un șir discret de eșantioane. Dacă Ÿ({) = 0 este neglijabil în afara unei benzi de frecvență [B', B] cu 0 < B' < B, atunci [B', B] ⊂ [– B, B] și conform

(31), A 6 se reconstruiește prin valorile A B,7

.

Exemplu

Fie A(6) = eW Å deci Ÿ({) = %#^}a

. Luând B = 100 π [Hz],

se observă că dacă { ≥ fi, atunci Ÿ({) este neglijabil. Luăm

Z = ,7= 100W% [s] ca pas de eșantionare.

157

Pentru 6 ∈ (0,1], 0< B,7≤ 1 deci 0 < n ≤ 100, rezultă că

semnalul A 6 poate fi bine descris prin formula (31) și cele 100

eșantioane A B#EE

.

Shannon este cel care a observat că numărul mediu de informații / eșantioane care pot fi transmise printr-un canal de

telecomunicații (în unitatea de timp) este 7, (ceea ce se verifică în

acest exemplu). În practică, formula (31) are dezavantajul că seria din membrul drept este lent convergentă (deoarece funcția sinc(x) scade lent pentru A → ∞). Se poate obține o accelerare a convergenței aplicând o supra eșantionare; de exemplu, prin

înlocuirea valorilor B,7

prin B,Q7

cu ã > 1 convenabil.

Menționăm, în fine, diverse extinderi ale teoremei WKS: pentru eșantionări neuniforme, pentru semnale aleatoare sau semnale 2D. De asemenea, folosind dualitatea TIMP/ FRECVENȚĂ, există o formulă de eșantionare în frecvență; anume, dacă există L > 0 și A(6) este neglijabil pentru 6 > î (adică semnalul A(6) are bandă limitată în timp), atunci

spectrul Ÿ({) este bine determinat prin valorile lui în punctele B,ì

.

Întrebare: Există sau nu semnale continue nenule având simultan bandă limitată în timp și în frecvență? Răspunsul: Nu, dar argumentul este nebanal. Conform unei teoreme Paley – Wiener, orice semnal A(6) din L7% este restricția unei funcții olomorfe în întreg planul complex anume se definește

158

Φ:ℂ → ℂ,Φ(∫) = #%,

e¥}ªŸ({)d{lWl ; dacă Φ ar fi nulă pe o

mulțime deschisă, de tipul unui interval (L, ∞), atunci ea ar fi identic nulă în ℂ („principiul identității sau al prelungirii analitice”). [Noroc că practic instrumentele nu au o bandă limitată, deoarece conform principiului menționat, ar însemna că dintr-un fragment muzical de mică durată, s-ar deduce întreaga melodie, ceea ce ar face imposibilă orice compoziție!]

§3.8. Interpretări fizice și aplicații ale transformării Fourier

Se spune că peste 80% din domeniile Fizicii și Ingineriei se referă la oscilații și unde – Optică, Acustică, Electromagnetism, Mecanică Cuantică etc. În paragraful 1.6 am prezentat câteva interpretări fizice și aplicații legate de prelucrarea semnalelor periodice și acum, ne referim la prelucrarea semnalelor neperiodice (sau mai bine spus, nu neapărat periodice). I. Spectrul de frecvență Am văzut că dacă A(6) este un semnal periodic T, cu

frecvența fundamentală qE =#\ și satisfăcând condițiile lui

Dirichlet, atunci are loc teorema 1.5 și A(6) se identifică cu șirul (πB), ? ∈ ℤ al coeficienților săi Fourier (complecși), sau echivalent, cu spectrul său frecvențial discret (figura 3.4).

! 159

Figura 3.4

În cazul unui semnal neperiodic A<6=, de tipul unui zgomot (figura 3.5 a), spectrul s%u Ÿ<q= are valori complexe #i cuprinde toate frecven$ele q (în figura 3.5 b, am presupus c% A<6=0este par, cu valori reale deci Ÿ<q= are valori reale #i am considerat doar q K H).

Figura 3.5

Func$ia A<6= se aproximeaz% cu un semnal periodic A\<6= de perioad% Z / k (deci frecven$a fundamental% qE tinde spre zero); conform (13), unde înlocuim { @ &(q, semnalul A<6= coincide cu suprapunerea tuturor oscila$iilor armonice Ÿ<q=i%,¥rÅ' q 7 !, fiecare având o amplitudine infinitezimal% (deoarece! ô*ö

r /lŸ<q=!#!$, conform lemei!Riemann – Lebesgue).

160

Legătura TIMP / FRECVENȚĂ este reprezentată sugestiv

așa A(6) ⇄ πB sau A(6) ⇄ℱŸ(q). Ceva similar se întâlnește și în

alte situații; vom considera câteva perechi de variabile conjugate

abstracte, notate x, p și mărimi |(A) ⇄ℱΦ(¯), legate prin relații

formale de tipul:

Φ ¯ = | A ∙ exp 2(i¯A dAlWl , | A =

= Φ(¯) ∙ exp(−2(i¯A)d¯.lWl (33)

Variabilele x și p au rol simetric și produsul lor este adimensional. În Fizică și în Ingineria electrică, se folosește conceptul de spectru de putere. Astfel, dacă u(6) reprezintă voltajul și

u(6) →ℱΦ(q), atunci E = u(6) %d6 este energia, iar puterea

(transmisă prin radiație electromagnetică sau fir) raportată la banda de frecvență, este proporțională cu Φ(q) % (numită densitatea de putere a lui u(6). Exemple a) În Telecomunicații și în Acustică, variabilele t (timpul) și q (frecvența) sunt conjugate, măsurate în [sec] și [Hz] = [secW#]. b) În Mecanica cuantică, particulele au poziția x și câtul ¯ ℏ (momentul divizat cu constanta „hașbar” a lui Planck). c) În Teoria difracției, x reprezintă deschiderea orificiului măsurată în [m] și p = raportul sin ¡ t (măsurat în mW#), unde ¡ este unghiul de difracție și t lungimea de undă (vom vedea în Capitolul 6, paragraful 6.2, teorema 6.3) d) Formulele (33) sunt utilizate în mod curent în diverse contexte și pentru câteva funcții – standard:

161

– Pentru ⊓Q A = 1 dacăA ∈ [− Q%, Q%] și nulă în rest, avem

Φ(¯) = eW%,¥jÂdAØaWØa

= 9 sinc((¯9) (34)

– Pentru |(A) = exp(− ja

Qa) cu a > 0, rezultă

Φ ¯ = exp − ja

Qa∙ exp 2(i¯A dAl

Wl =

= 9 (exp(−(%9%¯%), (35) după un calcul bine-cunoscut, utilizând integrala lui Gauss:

exp(−A%)dAlWl = (. Pentru ” → 0, distribuția

#3 %,

exp − ja

%3a tinde în ÚÖ spre T(A).

– Pentru a > 0 și |(A) = exp(− jQ), x > 0 și nulă în rest,

Φ(¯) = Q#W%,¥ÂQ

.

Dacă voltajul într-un circuit electric ar fi |(6), atunci

densitatea de putere Φ(q) % = Qa

#^x,aQara. [Curba Ç = Φ(q) %

poartă numele de „bucla Mariei Agnesi”, o geometră italiană]. – Dacă |(A) = T(A − 9), 9 ∈ ℝ constant, atunci

Φ ¯ = T A − 9 ∙ exp 2(i¯A dAlWl =

= [exp(2(i¯9)], (36)

pentru a = 0, avem T(A) ⇄A [1].

– Dacă |(A) = T(A − 9) + T(A + 9), atunci

Φ(¯) = [exp(2(i¯9)] + [exp(−2(i¯9)] =cEÒ¨≠ =2[cos(2πpa)] și dacă |(A) = T(A − 9) − T(A + 9), atunci Φ(¯) =– 2i[sin(2(¯9)]. (37)

!162

II. Opera$ii – tip de procesare a semnalelor O distribu$ie deosebit de important% o constituie trenul de delte echidistan$ate cu caden$a b > 0: Ó_@ T 6 R ?:B7> @ @ TB_B7> numit #i pieptenul lui Dirac, notat de asemenea ˇ_ (litera chirilic% „#”); a#a cum nota$ia ÔQ aminte#te mnemotehnic de o fereastr% dreptunghiular%, tot astfel ˇ_ sugereaz% pieptele; figura 3.6.

Figura 3.6

Cu ajutorul lor se pot descrie mai multe opera$ii – tip: – multiplicarea unui semnal A<6= cu armonica exp(iat), numit% întârziere sau modulare în timp (formula (11)); – întârziere sau modulare în frecven$% (formula (12)); – trunchierea unui semnal A<6= prin înmul$ire cu fereastra ÔQ <6=; figura 3.7.

Figura 3.7

! 163

– e#antionarea cu pasul T a unui semnal A<6= prin multiplicare cu pieptenele ˇ\ (figura 3.8);

Figura 3.8

Deoarece A<6=TQ<6= @ A<9=TQ<6=, rezult% A<6=ˇ\ @ A<6= TB\B7> @ A<6=TB\B7> @ A<?Z=TB\B7> ; semnalul A<6=ˇ\ este identificat cu #irul de e#antioane echidistan$ate cu T; A<6=ˇ\ 1 gA<?Z=h' ? 7 >. – periodizarea unui semnal A 6 ; pentru T > 0, semnalul

este restrâns de exemplu la intervalul R\% '\% #i apoi este prelungit

prin periodicitate T. Aceast% opera$ie este descris% prin convolu$ia A 6 Ì ˇ\ 6 @ A 6 Ì T 6 R ?ZB @ A 6 Ì T 6 R ?ZB @ A 6 R ?ZB , notat% #i A\ 6 , suprapunerea lui A 6 cu

translatatele A 6 R Z ' A<6 R &Z=' ë ë ë ' A<6 X Z=' ë ëë (figura 3.9).

Figura 3.9

!164

– anveloparea unui semnal A 6 prin convolu$ie cu sinc(t). Exemple

a) #Q ÔQ <A= este semnalul egal cu #Q pentru A 7 8R Q% 'Q%; #i

nul în rest; pentru 9 @ #B, se ob$ine impulsul unitar TB<A=; pentru

? / k acesta devine T<A= (figura 3.10).

Figura 3.10

b) Dac% <πB=' ? 7 > este un #ir de numere reale sau complexe, atunci acest #ir se poate identifica cu trenul de delte ponderate πBT<6 R ?Z=B7> , cu periodicitate T (T > 0). Distribu$iile permit o unificare a prezent%rii spectrului unui semnal (periodic sau neperiodic); anume, are loc: PROPOZI!IA 3.10: Fie A 6 o func$ie continu%,

periodic% T, satisf%când condi$iile teoremei 1.5. Notând {E @ %,\ ,

spectrul continual al semnalului A 6 este Ÿ { @ πBT<{ R ?{E=B7> , unde πB sunt coeficien$ii Fourier. Într-adev%r, A 6 @ πB i•¶ *?{E6B7> , unde

πB @ #\ A 6 i•¶ R0*?{E6 ]6

àW0à

deci Ÿ { @ ? A 6 @

? πB i•¶ *?{E6B7> @ πB? i•¶ *?{E6B7> @

! 165

πBT<{ RB7> {E=. Un rezultat important #i spectaculos îl constituie TEOREMA 3.11: Pentru orice T > 0,

ˇ\<A= 0G 0 #\ˇ# \<q=ë (38)

Demonstra$ie: ?gˇ\h<q= @ ?g T<6 RB7> ?Z=h<q= @ ?gT<6 RB7> ?Z=h<q= @ i•¶<R0&(*q?Z=B @i•¶<0&(*q?Z=B . Dar formula (16) a lui Poisson arat% c%

i•¶<0%,¥_ ?q=B @ :ˇ_<q= #i înlocuind aici :0 . 0 #\, rezult% c%

i•¶<0&(*q?Z= @B#\ˇ# \<q=ë

Interpretarea formulei (38) este urm%toarea: Dac% rata T a e#antion%rii unui semnal în timp este mare, atunci rata (caden$a) e#antion%rii spectrului este mic% #i invers (figura 3.11). Teorema 3.11 va fi aplicat% în Cristalografie (paragraful 6.4).

Figura 3.11

Not% Folosind rezultatele anterioare, se poate da o alt% demonstra$ie a teoremei WKS; este mai tehnic%, dar instructiv%. În locul variabilei „{” folosim „q”. Fie A 6 un semnal continuu, din

166

clasa Lℝ% astfel încât Ÿ { = 0 pentru { ≥ fi. Înlocuind { = 2(q, rezultă că

Ÿ q = 0 pentru q ≥ 7

%,. (39)

Semnalul obținut prin eșantionare de pas T este A¨(6) = A(?Z)T(6 − ?Z)B∈ℤ = A(6)Ш$6) deci

ℱ A¨ 6 q = ℱ A 6 Ш\ 6 q = Ÿ q ∗ ℱ Ш\ 6 =∂√. Y#

=Ÿ(q) ∗ #\Ш# \(q) =

#\

Ÿ(q − B$B∈ℤ , deci spectrul Ÿ(q)

periodizat #\. Restrângând la intervalul [− 7

%,, 7%,], deci prin

multiplicare cu ⨅gÆ, regăsim exact spectrul Ÿ(q).

Așadar, Ÿ(q) = Z⨅gÆ(q)ℱ{A¨(6)}(q) și aplicând ℱW#,

rezultă A(6) = ZℱW#{⨅gÆ(q)} ∗ A¨(6) căci ℱW#ℱ = aplicația

identică. În fine, ℱ ≥¥µ QÅÅ

= ( ⨅ØÆ(q), conform primului tabel de

transformate Fourier, deci ℱW#{⨅gÆ(q)} = #

,≥¥µ7ÅÅ

. Luând Z = ,7,

rezultăA(6) = Z ∙ ≥¥µ7Å7Å∗ A¨(6) =

7\,≥¥µ7Å7Å∗ A ?Z T 6 −B

?Z =sinc(Bt)∗ A ?Z T 6 − ?Z =B A ?Z sincfi(6 −B∈ℤ

?Z) = A ?Z sinc(6fi − ?()B∈ℤ ; regăsim astfel formula (31). Așadar, dacă un semnal A(6) are un spectru de frecvență mărginit, atunci el poate fi reconstruit dintr-un șir discret (în practică, finit!) de eșantioane. Rezultatul rămâne valabil și la o eșantionare a lui A(6) cu o rată de eșantionare mai mare. În practică se recomandă eșantionări cu frecvențe de 4–5 ori mai mari (teoretic minim de două ori) decât frecvența maximă qhbi; altminteri, avem

! 167

„sube#antionare”, apar erori de „alias”, adic% apar componente spectrale suplimentare fa$% de cele ale semnalului. Pentru atenuarea „alias”, inginerii electroni#ti folosesc „filtre – jos”, care limiteaz% spectrul semnalului. Exemple a) Pentru reprezentarea digital% a sunetului, deoarece urechea uman% r%spunde doar la sunete sub 20000 Hz, este necesar% o e#antionare #i o digitalizare la o rat% de minim 50000 Hz. b) Considerând o sinusoid% (C), pe care se fixeaz% puncte echidistante de e#antionare (indicate „•” în figura 3,12, apare un „aliasing” de tipul curbei punctate. Pentru evitare, este necesar% o frecven$% de e#antionare q¨ I &qhbië

Figura 3.12

Schema aplic%rii formulei (31) este urm%toarea: EMITERE A<6= 0/ FILTRAREANTIALIASIG / E"ANTIONARE / CONVERSIE A/D / CANAL DE TRANSMISIE / CONVERSIE

D/A / FILTRARE / RECONSTRUC&IA A<6=.

168

III. Aplicație la rezolvarea unor EDP Ilustrăm modul de utilizare a „transfurierii” la rezolvarea unor EDP. Ideea principală este aceea de a obține ecuații diferențiale ordinare rezolvante. a) Propagarea căldurii în lungul unui conducător liniar „infinit” Ecuația căldurii este GÅ = SGjj (k>0 constant), cu necunoscuta u(x, t) = temperatura conductorului în punctul x (A ∈ ℝ) și la momentul t (t ≥ 0); impunem condiția inițială G(A, 0) = 3(A),cu 3(A) funcție rapid descrescătoare pentru A → ∞, fără condiții la suprafața conductorului. Fie !(¯, 6) = ℱ{G(A, 6)}, considerând t ca parametru;

așadar, !(¯, 6) = G(A, 6)eW¥ÂjdAlWl , ;j

;Å= GÅ(A, 6)eW¥ÂjdA

lWl

și conform (8), ;aj

;ja= −¯%!. Aplicând operatorul ℱ ecuației

GÅ = SGjj, rezultă ;j;Å= −S¯%!, deci o ecuație diferențială liniară

de ordin 1, cu condiția inițială !(¯, 0) = 3(¯), unde 3(¯) =ℱ{3(A)}. Dar dacă Ç′(A) = 9Ç(A), Ç(0) = ÇE, atunci Ç(A) = ÇEeQj și aplicând aceasta, rezultă !(¯, 6) = 3(¯)exp(−S6¯%) (40)

Pe de-altă parte, ℱ{exp(− Qja

%)} = %,

Qexp(− Âa

%Q)

(conform primului tabel de transformate Fourier), deci

exp(−S6¯%) = #% ,UÅ

ℱ{exp(− ja

xUÅ)}.

169

Înlocuind în (40), rezultă !(¯, 6) = ℱ{ #% ,UÅ

exp(− ja

xUÅ)} ∙

ℱ{3(A)}și aplicând operatorul ℱW#, se obține

G A, 6 = #% ,UÅ

exp − ja

xUÅ∗ 3 A =

#% ,UÅ

exp − ña

xUÅ3 A − u dul

Wl , conform definiției 2.1 a

convoluției. În fine, făcând translația v =x – y, dv = – dy, rezultă

G A, 6 = #% ,UÅ

3(Ç) exp − (jW))a

xUÅdÇl

Wl , (41)

soluția problemei puse. Notă Considerăm două cazuri particulare: 1) Presupunem k=1 și că temperatura inițială a conductorului este G(A, 0) = GE (constant) pentru A ≤ x ≤ B și nulă

în rest. Conform (41), rezultăG A, 6 = (ó% ,Å

exp − (jW))a

xÅdÇ7

�

și aici facem schimbarea de variabilă jW)%Å= 6deci jW)

a

xÅ= 5a

% și

dÇ = − 26d6. Atunci G A, 6 = (ó%,

exp −5a

%d6

<Ãka$

<Ãga$

.

Reamintim funcția lui Laplace Φ(∫) = #%,

exp −5a

%d6ª

Wl .

Se obține o formulă explicită remarcabilă:

G(A, 6) = GE ΦjW�%Å− Φ jW7

%Å.

2) Presupunem că într-un punct AE ∈ ℝ al conductorului se aplică un impuls Dirac, adică un puseu / șoc de temperatură 3(A) = T(A − AE).

170

Formula (41) și formula de filtrare T(A − AE)|(A)lWl =

|(AE) dau: G A, 6 = #% ,Å

exp − (jWjó)a

xÅ.

Pentru fiecare condiție inițială G(A, 0) = 3(A) se obține evoluția în spațiu și timp a temperaturii.

Considerând sistemul intrare / ieșire 3(A) ↦ G(A, 6) asociat conductorului, se observă că răspunsul – impuls al sistemului (adică soluția care corespunde intrării T(A − AE)) este

funcția é(A, 6) = #% ,Å

exp − ja

xÅ, numită și funcția Green a

sistemului. Pentru orice intrare 3(A), ieșirea corespunzătoare a sistemului este, conform (41), G(A, 6) = é(A, 6) ∗ 3(A). (42) În Capitolul 5, vom regăsi acest fenomen („evoluția unui sistem se obține convolutând funcția Green a sistemului cu data inițială”) și în alte contexte fizico – inginerești. b) Problema Dirichlet 2D pentru semiplan Unul dintre cei mai importanți operatori în Fizica matematică îl constituie laplacianul „∆” (definit prin ∆u = div(grad u) și în cazul 2D, ∆G = Gjj + G))); funcțiile u pentru care ∆G ≡ 0 se numesc armonice. Dacă › ⊂ ℝ% este un domeniu (mulțime deschisă și conexă), problema Dirichlet constă în a

determina o funcție continuă în › = ›⋃Fr›, armonică în D, cunoscând valorile ei pe frontieră. Există o literatură imensă consacrată acestei probleme, dar ne restrângem la un caz particular.

! 171

Determin%m func$ia G<A' Ç= astfel încât Gjj X G))= 0 pentru › @ g<A' Ç= 7 !%‘0Ç K Hh #i G<A' H= @ 3<A= dat%, A 7 ! (figura 3.13). Presupunem în plus c% func$ia f este m%rginit%.

Figura 3.13

În problema anterioar%, se arat% c% dac% 3<A= este m%rginit%, atunci solu$ia este unic% #i solu$ia (41) a fost confirmat% experimental (desigur cu aproxima$ie). Dar aici solu$ia nu este unic%, deoarece al%turi de o solu$ie G<A' Ç=, func$ia u<A' Ç= @G<A' Ç= X ©Ç este de asemenea solu$ie (c%ci (v = (u = 0 #i u<A' H= @ 3<A=). Fie !<¯' Ç= @ ?gG<A' Ç=h @ G<A' Ç=iW0¥Âj]Al

Wl

considerând y ca parametru. Scriem c% ?gGjj X G))h @ H, $inând cont c%

?gGjjh @ R¯%!<¯' Ç=0ï*0?gG))h @ ;aj;)a <¯' Ç= deci

R¯%!<¯' Ç= 0X0;aj

;)a <¯' Ç= @ H, cu !<¯' H= @ 3<¯=. Aceasta este o ecua$ie diferen$ial% de ordin doi (de tipul

uÑÑ<Ç= R ¯%u<Ç= @ H cu solu$ia general% u<Ç= @ Ü#i Â ) XÜ%iW Â ) #i v(0) = A, adic% Ü#X0Ü% @ z). A#adar,

!<¯' Ç= @ Ü#<¯=i Â ) X Ü%<¯=iW Â ) #i

172

Ü#(¯) + Ü%(¯) = 3(¯). Deoarece f este mărginită, se respinge soluția e Â ) și presupunem Ü# ≡ 0 deci !(¯, Ç) = 3(¯)eW Â ). Din tabelul de transformate

Fourier, avem ℱ{ #ja^Qa

} = ,QeWQ Â , deci eW Â ) = )

,ℱ{ #ja^)a

}.

Așadar, !(¯, Ç) = )

,ℱ{ #ja^)a

} ∙ ℱ{3(A)} deci

G(A, Ç) = 3(A) ∗ )

,(ja^)a).

În final, avem soluția

G(A, Ç) = )

,¢(jWñ)ña^)a

du,lWl (43)

numită soluția lui Poisson. Observăm că dacă 3(A, Ç) ≤ Ä pentru orice (A, Ç) ∈ ›, atunci

G(A, Ç) ≤ %)

,˜ñ

ña^)a= %)

,∙ #)arctg ñ

) ∞−∞ = Ä .

lWl

IV. Cum este utilizată transformarea Fourier în Mecanica cuantică Localizare T/F Am văzut că un semnal nenul A 6 nu poate fi limitat în timp și în frecvență în mod simultan. Aceasta înseamnă că A 6 și Ÿ({) = ℱ{A(6)} nu pot fi bine localizate împreună: dacă A(6)este neglijabil în afara unui interval compact, atunci spectrul său Ÿ({) este „împrăștiat” pe toate frecvențele. Definiția 3.10: Se numește fereastră orice semnal b:ℝ → ℂ din Lℝ# ∩ Lℝ% . Energia ferestrei g este E = E(g) = b(6) %d6 și spectrul ei este b({) = ℱ{b(6)}.

Conform relației (29), b({) %d{ = 2(~. Se introduc câteva caracteristici ale oricărei ferestre:

! 173

- centrul temporal: 6Ì @ #∞ 6 b<6= %]6;

- raza temporal%: ¿Ì @ #∞ <6 R 6Ì=% b<6= %]6

# %;

- centrul frecven$ial: {Ì @ #%,∞ { b<{= %]{:

- raza frecven$ial%: ¿ @ #%,∞ <{ R {Ì=% b<{= %]{.

Intervalul de timp F\<b= @ 86Ì R ¿Ì' 6Ì X ¿Ì; se nume#te durata util& a semnalului g, iar €P<b= @ 8{Ì R ¿' {Ì X ¿; se nume#te banda util& de frecven%& a lui g. Dac% aceste intervale sunt „mici”, atunci se spune c% fereastra g este „bine localizat%”. Aria dreptunghiului F\<b=÷0€P<b=, centrat în punctul (6Ì' {Ì=, este egal% cu ±(¿Ì¿ (figura 3.14).

Figura 3.14

Exemple a)0b 6 @ PQ 6 este o fereastr%; în acest caz, E = 1,

6Ì @ H' {Ì @ H' ¿Ì @ 0 Yy ' ¿ @ k:

b)0b<6= @ i•¶<R6%= este fereastra gaussian%. În acest caz,

E = ( &, 6Ì @ H' {Ì @ H' ¿Ì @ #% #i ¿ @ O (dup% calculul unor

174

integrale). În general, dacă g este funcție pară, cu valori reale, atunci 6∗ = 0 și {∗ = 0.

Vom arăta că ¿∗ ∙ ¿ ≥ #% și că egalitatea are loc în cazul unei

ferestre gaussiene. Definiția 3.11: Fie 9 ∈ ℝ și b(6) o fereastră cu energia

E = E(g). Mărimea ∆Qb =#∞(6 − 9)% ∙ b(6) %d6 se numește

dispersia temporală a lui g în jurul punctului a. În mod similar, pentru : ∈ ℝ fixat, se definește dispersia frecvențială a lui g în

jurul valorii b, prin ∆_b =#%,∞

({ − :)% ∙ b({) %d{.

TEOREMA 3.12 (inegalitatea lui Heisenberg): Presupunem că b:ℝ → ℂ este o fereastră continuă, netedă pe porțiuni și în plus, 6b 6 ∈ Lℝ% și b′ ∈ Lℝ% . Atunci pentru orice 9, : ∈ ℝ,

(∆Qb) ∙ (∆_b) ≥#x. (44)

Demonstrație: Presupunem pentru început că a = 0, b = 0. Avem de arătat că

6% ∙ b(6) %d6 ∙ {% ∙ b({) %d{ ≥ ,∞a

%

(45) Pasul 1. Arătăm mai întâi că

Re(6b(6)b′(6)) = − ∞%. (46)

Folosind relația ∫ % = ∫∫, avem 6 b(6) % = 6b(6)b(6) deci

(6 b(6) %)′ = (6b(6)b(6))′=6b(6)b′(6) + 6b(6)bÖ(6) + b 6 %. Dar lim

Å →l6 b(6) % = 0 și rezultă

175

b(6) %d6 = − 6(b(6)b′(6) + b(6)b′(6)) d6.

Scriind g=u+iv, avem bbÖ + bbÖ = G − iu GÖ + iuÖ + G +iu GÖ − iuÖ = 2(GG′ + uu′) = 2Re(b ∙ b′). Ca atare, b(6) %d6 = −2Re 6b(6)b′(6)d6, adică (46). Pasul 2. Aplicând în (46) inegalitatea lui Schwartz

(Re G, u ≤ G, u ≤ G ∙ u ), se obține: ∞a

x≤

6b(6) %d6 b′(6) %d6 = 6% b(6) %d6 b′(6) %d6 . Dar conform relației (29) a lui Plancherel, b′(6) %d6 =#%,

b′({) d{ =∂√.(-) #

%,{% b({) d{. Atunci (∆Qb) ∙ (∆_b) =

#%,∞a

6% b(6) %d6 ∙ {% ∙ b({) %d{ ≥ #%,∞a

∙ 2( ∙ ∞a

x= #x

deci (44). Pasul 3. Abordăm acum cazul general. Pentru orice a, b date, considerăm funcția auxiliară ℎ(6) = eW¥_Å ∙ b(6 + 9). Evident, h îndeplinește condițiile teoremei și în plus, ∆Qb = ∆Eℎ,

∆_b = ∆Eℎ. Deci (∆Qb) ∙ (∆_b) = (∆Eℎ) ∙ (∆Eℎ) ≥#x.

COROLAR 1. Cu notațiile din definiția 3.10, rezultă

inegalitatea ¿∗ ∙ ¿ ≥ #%.

Într-adevăr, ∆Qb = (¿∗)% pentru 9 = 6∗, iar ∆_b = (¿)% pentru

: = {∗. Conform (44), rezultă (¿∗ ∙ ¿)% ≥ #x.

COROLAR 2. Egalitatea în (44) are loc dacă și numai dacă fereastra g este gaussiană. Demonstrație: Reamintim că inegalitatea lui Schwartz devine egalitate ⇄ vectorii respectivi sunt coliniari. Presupunând

176

că g are valori reale și urmărind demonstrația anterioară (pasul 2), rezultă că există c > 0 constant astfel încât 6 ∙ b(6) = π ∙ b′(6)

deci 6b(6) = ±πb′(6), êÖ(Å)ê(Å)

= ± #n6 și integrând, ln b(6) =

± #%n6% + ln S. Deoarece b ∈ Lℝ% se acceptă doar semnul „ – ” și

rezultă b(6) = S ∙ exp(− Åa

%n), o gaussiană.

Întrebare: Dintre toate semnalele având o bandă de frecvență utilă de lățime 2B dată, care este cel pentru care durata utilă este minimă?

Răspuns: Așadar, 2fi = 2¿ este fixat. Dar ¿ ∙ ¿∗ ≥ #% deci

¿∗ ≥ #%7

și valoarea minimă este atinsă pentru ¿∗ = #%7

. Dar atunci

¿ ∙ ¿∗ = #% și conform corolarului 2, semnalul este o gaussiană!

APLICAȚIE (formalismul matematic Heisenberg al Mecanicii cuantice). O particulă, de exemplu un electron, care se deplasează în lungul axei Ox este descrisă printr-o funcție de undă |:ℝ → ℂ din Lℝ% , cu energia E(|) = 1. Funcția |(A) % este numită densitatea de probabilitate a poziției X a particulei. Astfel, probabilitatea ca particula să fie

situată în intervalul [a, b] este: P(Ÿ ∈ [9, :]) = |(A) %dA_Q .

În particular, P(Ÿ ∈ ℝ) = |(A) %dA = ~(|) = 1 și P(Ÿ ∈[A, A + ∆A]) ≅ |(A) % ∙ ∆A și avem o interpretare a densității:

|(A) % ≅ #∆j∙ P(Ÿ ∈ [A, A + ∆A]).

Media pozițiilor particulei este m=MX= A |(A) %dA,

177

iar dispersia (≡ varianța) este DX = (A − â)% |(A) %dA: aceasta indică incertitudinea asupra poziției mediei, adică în ce măsură particula este deviată de la poziția medie m. Considerații similare se pot extinde la cazul 2D sau 3D. Notă Până acum, perechile conjugate în sensul 3.8,I au fost

6 ⇄ℱωsau6 ⇄

ℱν. Acum vom folosi perechea A ⇄

ℱ¯.

În Mecanica cuantică, se consideră transformarea Fourier modificată a lui |(A), anume

Φ(¯) = #%,ℏ

|(A)exp(−iA Âℏ)dA, unde ℏ este constanta

„hașbar” a lui Planck (ℏ = ∏%,). Se mai scrie Φ(¯) = ℱ(ä){|(A)}.

Așadar, Φ ¯ = #%,ℏ| Â

ℏ deci

Φ ¯ %d¯ = #%,ℏ

| Âℏ

%d¯ =

Âpℏj

#%,ℏ

|(A) % ∙ ℏdA =∂√.(%À) #

%,∙ 2( φ(A) % = 1.

De aceea, mărimea Φ(¯) % este interpretată ca densitate de probabilitate a momentului particulei.

Momentul mediu este – = ¯ Φ(¯) %d¯ și dispersia momentului este (¯ − –)% Φ(¯) %d¯. Din definiția 3.11, rezultă că ∆rΦ = ℏ%∆r ℏ| deci

∆ä| ∆rΦ ≥ ℏ% ∆ä| ∆r ℏ| ≥ #xℏ%, (47)

ultima inegalitate rezultând din inegalitatea lui Heisenberg (44).

178

Notă Inegalitatea (47) se intitulează principiul incertitudinii (al lui Heisenberg) și arată că dacă incertitudinea asupra poziției particulei este „mare”, atunci cea asupra momentului este „mică” și invers. Formularea populară: „nu se pot măsura simultan poziția și momentul!” a generat multe speculații fizico–filozofice. Bineînțeles, principiul incertitudinii se aplică de asemenea asupra localizării T / F a diverselor semnale – fereastră. Pornind de aici, fizicianul francez L. de Broglie (premiul Nobel) a conjecturat că „particulele se comportă ca undele”, ceea ce s-a dovedit o idee fundamentală în Mecanica cuantică. V. Transformarea Fourier cu fereastră O insuficiență a transformării Fourier clasice, definită în paragrafele 3.2, 3.5, este aceea că dacă pentru un semnal A 6 din Lℝ# ∩ Lℝ% , se dorește calculul valorii Ÿ({E) = A(6)exp(−i{E6)d6 a spectrului frecvențial al lui A(6) pentru o singură valoare {E, este necesară cunoașterea lui A(6) pe întreg intervalul de timp și în mod similar, pentru a determina o valoare A(6E),trebuie cunoscut Ÿ({) în toată banda de frecvență (aplicând formula de inversare (13)).

J. von Neumann a propus considerarea perechilor (6E, {E),considerând planul T / F raportat la un reper ortogonal tO{, în care pe abscisă se ia timpul t și pe ordonată pulsația {. A reprezenta un semnal A(6) în acest plan este similar cu a scrie o partitură muzicală, reținând notele și indicând durata și înălțimea lor!

179

Se numește atom T/F în jurul perechii (6E, {E) orice semnal A(6) având o bună localizare într-o vecinătate a lui 6E (în sensul că A(6) este neglijabil în afara acelei vecinătăți) și totodată, spectrul Ÿ({) are o bună localizare într-o vecinătate a lui {E. Principiul incertitudinii al lui Heisenberg introduce anumite limitări în considerarea unor astfel de vecinătăți. D. Gabor și J. von Neumann au numit familie de atomi T / F orice familie de semnale de forma e¥}óÅ. A(6 − 6E), indexată după (6E, {E); acestea sunt obținute prin modulări în frecvență ale deplasatelor lui A(6). Mai mult, ei au repartizat uniform indicii (6E, {E) în tot planul T / F, luând 6E = S și {E = 2(ℓcuS, ℓ ∈ ℤ. Exemplu Dacă A(6) = sinc((6), atunci AℓU(6) = exp(2(iℓ6) ∙ A(6 − S):S, ℓ ∈ ℤ formează o familie de atomi T/F (formând chiar o bază ortonormală în Lℝ% ). Notă istorică John von Neumann (1903–1957) a fost un mare matematician evreu american de origine austro–ungară, având contribuții revoluționare în mai multe domenii: logică matematică, modelarea mecanicii cuantice în termeni de teoria operatorilor, teoria jocurilor și automatelor celulare. În construcția calculatoarelor electronice (ENIAC), el a introdus arhitectura secvențială (datele sunt stocate împreună cu instrucțiunile).

180

Tatăl său a fost un bancher de succes și în 1919 a părăsit temporar Budapesta din cauza scurtului regim comunist Bela Kun; între timp, John a absolvit facultatea de Inginerie chimică la Politehnica din Zurich. În 1926 și-a luat doctoratul în matematică, la Universitatea din Budapesta, după care a plecat la Götingen (la faimosul seminar al lui Hilbert) și apoi în SUA. În anii celui de-al II-lea Război Mondial a răspuns invitației lui Oppenheimer și Fermi lucrând, împreună cu Szilard și Teller, la proiectul Manhattan, unde a rezolvat problema transportului bombei atomice. Cu această ocazie, a contractat cancerul la sistemul osos și în 1957 a murit de tânăr. Puțin înainte de deces, el s-a convertit la catolicism. Revendicat de matematicienii „puriști”, el a scris în 1956 un eseu intitulat „The world of mathematics”, unde a arătat că „at a great distance from its empirical source, or often much abstract inbreeding, a mathematical subject is in danger of degeneration”. În mod unanim, John von Newmann este considerat ca fiind matematicianul care a exercitat cea mai mare influență asupra lumii moderne. Fizicianul american de origine maghiară D. Gabor (premiul Nobel pentru inventarea Holografiei) a propus un concept care s-a dovedit un precursor al undinelor (≡ wavelets). El a înlocuit indicii discreți S, ℓ ∈ ℤ cu variabile continuale ˛, õ ∈ ℝ, considerând atomi T/F de forma unor ferestre 6st(6) = exp(¬6˛) ∙ 6(6 − õ), cu 6(6) ∈ Lℝ% .

181

Definiția 3.12: Pentru orice semnal continuu A(6) ∈ Lℝ% , se numește transformata Fourier a lui A(6) cu fereastra w, funcția de două variabile reale W, definită prin

u(õ, ˛) = A(6) ∙lWl exp(−¬6˛) ∙ 6(6 − õ)d6

(48) D. Gabor a demonstrat și o formulă de inversare (adică de reconstrucție a lui A(6) din cunoașterea lui W):

∀6 ∈ ℝ, A(6) = u(õ, ˛) ∙ 6st(6)dõd˛ℝa ,

dificil de aplicat. Exemplu Dacă 6 = T, atunci u(õ, ˛) = A(õ) ∙ exp(−¬õ˛), conform formulei de filtrare; la limită, dacă w este funcția constantă 1, se obține u(õ, ˛) = Ÿ(˛), adică transformata Fourier clasică. Inconvenientul principal al transformării Fourier cu fereastră îl constituie durata fixă a ferestrei: anume, pentru calculul lui u(:, ˛), în formula (48) se consideră numai translații/ glisări w(t – b) ale ferestrei, ceea ce s-a dovedit neproductiv în cazul unor semnale cu amplitudini mari pe intervale scurte de timp. În 1983, inginerul geofizician J. Morlet a propus ferestre mai flexibile, care să nu fie doar translatate, dar și contractate (sau dilatate), marcând astfel apariția conceptului de undină, pe care îl vom prezenta succint în Capitolul 5. VI. Teorema limită centrală („miracolul lui Gauss”) Un rezultat fundamental în Teoria Probabilităților îl constituie teorema limită centrală (TLC) – cheie de boltă a Statisticii teoretice și aplicative. Prezentăm o demonstrație,

182

folosind transfurierea, evitată de manualele uzuale, deoarece este tehnică și apelează la rezultate matematice subtile. Dar utilizarea ei este un bun universal al tuturor statisticienilor lumii. Funcția caracteristică a unei variabile aleatoare Sunt necesare unele pregătiri. Fie X o variabilă aleatoare (relativ la un câmp fixat de probabilități subînțeles) și p(x) densitatea de probabilitate a lui X (presupunând că ¯(A) ∈ Lℝ# ). Funcția caracteristică a lui X este ¯:ℝ → ℂ, ¯({) = ℱ{¯(A)}, notată și ¯⁄ deci transformata Fourier a densității de probabilitate. Așadar, ¯({) = ¯(A) ∙ eW¥}jdA , { ∈ ℝ. (49) Stabilim câteva proprietăți ale funcțiilor caracteristice: 1. ¯(0) = ¯(A)dA = 1; apoi ∀{ ∈ ℝ, ¯({) ≤ 1.

2.∀A ∈ ℝ, ¯(A) = #%,

¯({) ∙ e»j}d{; rezultă direct din

formula de inversare (13). 3. Dacă 3:ℝ → ℂ este o funcție continuă, atunci media variabilei aleatoare 3 ∘ Ÿ este M(3 ∘ Ÿ) = 3(A)¯(A)dA. (50) Exemple Dacă f(x) = x atunci conform (50), MX = A¯(A)dA = â și mai general, dacă 3(A) = AU (k ≥ 1 întreg), se obțin momentele qU = M(ŸU) = AU¯(A)dA. Dispersia lui X este DX = q% − (q#)% și dacă m = 0, atunci DX = q%. 4. Pentru orice { ∈ ℝ, ¯({) = M(eW¥}⁄); într-adevăr, conform (50), M(eW¥}⁄) = eW¥}j ∙ ¯(A)dA = ¯({). (51)

183

5. Dacă Y = aX + b cu a, b constante reale, atunci ¯1({) = M(eW¥}1) = M(eW¥}(Q⁄^_)) = eW¥}_¯⁄(9{). Dacă b = 0, atunci ¯Q⁄({) = ¯⁄(9{). (52) 6. Dacă X, Y sunt variabile aleatoare independente și Z = X + Y, atunci ¯0 = ¯⁄ ∗ ¯1. Acest fapt a fost stabilit în Capitolul 2, 2.8, II. Proprietatea se extinde la orice număr finit de variabile aleatoare independente. 7. Dacă Ÿ ∈ N(0, 1) este o variabilă aleatoare repartizată normal cu media 0 și dispersia 1, atunci se știe că

¯⁄(A) =#%,exp −j

a

% deci

¯⁄({) =#%,ℱ exp −j

a

%= exp −}

a

%,

conform primului tabel de transformate Fourier. 8.Dacă Ÿ ∈ N(â, ”) are media m și dispersia ”%, atunci

˙ = #3(A − â) aparține clasei N(0, 1); atunci X = m +”˙ și

conform proprietății 5,

¯⁄({) = exp −iâ{ −3a

%{% . (53)

O formulă asimptotică pentru funcția caracteristică Reamintim că dacă ℎ:ℝ → ℂ este o funcție de trei ori derivabilă, atunci are loc formula McLaurin: ℎ { = ℎ 0 +

ℎÖ 0 { + #%ℎÖÖ 0 {% + #

yℎÖÖÖ ¡{ {Y, cu0 < ¡ < 1. Aplicând

aceasta pentru funcția caracteristică a unei variabile aleatoare X: ℎ(A) = ¯⁄({) = ¯(A) ∙ eW¥}jdA.

184

Avem ℎÖ { = −i A¯ A ∙ eW¥}jdA și ℎÖÖ { = − A%¯ A ∙eW¥}jdA deci h(0)=1, ℎÖ 0 = −iâ, ℎ′′(0) = −{% ∙ q%. Presupunând că MX = 0 deci q% = D (dispersia lui X), rezultă

¯⁄({) = 1 −w

%{% + ã({){%, (54)

unde lim}→E

ã({) = 0.

TEOREMA 3.13 (teorema TLC a lui Gauss): Fie Ÿ#, . . . , ŸB variabile aleatoare independente, având aceeași lege de repartiție, cu media comună m și dispersia comună D. Atunci pentru ? → ∞, legea de repartiție a sumei B = Ÿ#+. . . +ŸB tinde spre legea normală. Demonstrație:

Pasul 1. Conform proprietății 6, avem ¯1£ = ¯⁄à ∗. . .∗ ¯⁄£

și aplicând operatorul Fourier ℱ, rezultă ¯1£({) =¯⁄à({). . . ¯⁄£({), funcția caracteristică a unei sume de variabile

aleatoare este produsul funcțiilor lor caracteristice. Având aceeași densitate de probabilitate p(x) ca a lui X = Ÿ#, rezultă că ¯1£({) = ¯⁄({) B. (55)

Fără restrângerea generalității, putem presupune că m = 0 (ceea ce revine la o translație Ÿ ↦ Ÿ −â).

Pasul 2. Considerăm acum variabila aleatoare B =#wB B.

Deoarece M B = 0 și D B = ?D (suma dispersiilor variabilelor aleatoare ŸB), rezultă că M˚B = 0 și D˚B = 1 (deoarece M(cW) = cMW și D(cW) = π%Du). Este suficient să arătăm că pentru ? → ∞, legea de repartiție a lui ˚B tinde spre cea a legii normale. Pentru aceasta,

185

este suficient de arătat că funcția caracteristică a lui ˚B tinde spre

funcția caracteristică a legii normale N(0, 1), anume eW#a

a , conform proprietății 7. Pasul 3 (final). Rămâne să determinăm funcția caracteristică a lui ˚B și limita ei pentru ? → ∞. Avem

¯0£({) =∂√.(®%)

¯1£(#wB{) =

∂√.(®®)¯⁄(

#wB{)

B.

Dar conform (54),

¯⁄(}wB) = 1 − }a

%B+ ã( }

wB) ∙ }

a

wB

B.

Limita acesteia este o nedeterminare de tipul 1l; aplicând formula elementară limGñ = eÒ¥hñ((W#), rezultă

limB→l

¯⁄(}wB)B= exp lim

B→l?(−}

a

%B+ ã( }

wB) ∙ }

a

wB) =

exp −}a

%.

COROLAR 1. În condițiile teoremei 3,12, pentru orice a < b și pentru ? ≫ 1, avem

P(9 ≤ B ≤ :) ≅#%,

_Q eW

<a

a dA = Φ(:) − Φ(9),

(56)

unde Φ(A) = #%,

eW$a

ajWl d6 este funcția tabelată a lui

Laplace. Demonstrație: Am demonstrat că B tinde spre o variabilă

aleatoare normală și că funcția ei caracteristică este exp −}a

%

deci conform proprietății 2, densitatea ei de probabilitate este

186

¯(A) = ℱW#{eW#a

a } = #%,eW

$a

a . Ca atare, P(9 ≤ B ≤ :) =

¯(A)_Q dA, de unde formula (56).

COROLAR (teorema Moivre – Laplace): Se consideră n repetări independente de experimente Bernoulli cu parametrul p și fie èB numărul de succese (probabilitatea unui succes fiind p și a unui insucces, q = 1 – p). Atunci pentru n ≫ 1, variabila aleatoare J£WBÂBÂÊ

, tinde către o variabilă aleatoare din clasa N(0, 1).

Demonstrație: Pentru orice k ≥ 1, considerăm variabila aleatoare discretă U care ia valoarea 1 dacă la cea de a k–a repetare a avut loc un succes și 0 în caz contrar. Așadar U are matricea de

repartiție 1 0¯ x ; aceeași matrice de repartiție o are și U%. Atunci

M U = ¯ și D U = M( U%) − (M U)% = ¯ − ¯% = ¯x, pentru orice k ≥ 1. Deci U sunt independente, repartizate la fel, cu media p și dispersia D = pq.

Pe de altă parte, este evident că èB = # +⋯+ B și MèB = M U

BUp# = ?¯,DèB = D U

BUp# = ?¯x.

Conform teoremei 3.13, èB tinde către o variabilă aleatoare

normală deci J£WyJ£wJ£

= J£WBÂBÂÊ

tinde către o variabilă aleatoare din

clasa N(0, 1).

COROLAR 3. Pentru orice a < b, P 9 ≤ J£WBÂBÂÊ

≤ : ≅

Φ(:) − Φ(9), pentru n ≫ 1. Inegalitatea dublă−: ≤ J£WBÂ

BÂÊ≤ : se mai scrie

?¯ − : ?¯x ≤ èB ≤ ?¯ + : ?¯x și rezultă

187

P ?¯ − : ?¯x ≤ èB ≤ ?¯ + : ?¯x ≅ Φ(:) − Φ(−:) =2Φ(:) − 1. (56) Această relație este numită „formula sondajelor de opinie”. Pentru detalii, trimitem la [4].

189

„A picture is worth a thousand words.”

PROVERB ENGLEZESC CAPITOLUL 4: TRANSFORMĂRI ALE SEMNALELOR DISCRETE §4.1. Introducere Multe descrieri și tehnici de procesare a semnalelor discrete (s.d.) sunt sugerate de studiul semnalelor continuale, dar există și multe abordări specifice. Seriile Fourier și transformarea Fourier nu pot fi direct aplicate pe computer, ci presupun multă pricepere în utilizarea și adaptarea rezultatelor teoretice, cu controlul erorilor în aproximările inerente. Prin suprapunerea unor astfel de oscilații armonice de diverse frecvențe se obțin semnale mai puțin regulate. De exemplu, considerați suma (≡ suprapunerea) semnalelor A 6 = sin 6 și Ç = 2 sin (6, pentru 6 ∈ [−(, (]. Discretizarea ar putea ascunde unele detalii, care pot scăpa aproximărilor brute. De asemenea, prelucrarea s.d. are multe tangențe cu prelucrarea datelor numerice și cu studiul complexității algoritmilor. Paradisul Fourier, cu cele trei „compartimente” – serii Fourier, transformarea Fourier și transformările adiacente, cuprinde o multitudine de tehnici de analiză, descompunere a semnalelor, eșantionare, cuantizare, filtrare și separare de zgomot,

190

compresie, recunoaștere, stocare și transmitere la distanță, recompunere etc. În cazul seriilor Fourier (pentru semnale periodice) și al transformării Fourier în diversele ei ipostaze, se realizează operația inversă suprapunerii, anume descompunerea în frecvențe constituente, cu consecințe inepuizabile. Exemplu Considerăm un MP3 (≡ un dispozitiv audio digital pentru PC, legat la un difuzor și asigurând o bună calitate a sunetului muzical). Player–ul trimite difuzorului informații audio prin fluctuații ale voltajului u = u(6) al unui semnal electric. Aceste fluctuații provoacă vibrații ale membranei difuzorului, care presează aerul, producând sunete. Funcția u = u(6) are graficul unei unde continuale (aleatoare) care este suprapunerea unor unde provocate de instrumente muzicale. Transformarea Fourier realizează matematic ceea ce urechea noastră o face fizic, anume descompunerea semnalelor în frecvențele componente. Spre deosebire de ceea ce se realiza pe dispozitive analogice de tipul reportofoanelor, player–ul redă șiruri numerice u(6U), mii sau chiar zeci de mii de eșantioane pe secundă ale semnalului compus, pe care le va plasa în subbenzi de frecvență, cu eliminarea componentelor având frecvențe reduse. Transformarea Fourier discretă (≡ TFD) permite o reproducere bună a semnalelor continuale și tehnicile ei se aplică de asemenea la Compresia datelor, în Spectroscopie și Imagistică. În esență, TFD transformă semnale din domeniul TIMP discret în domeniul FRECVENȚĂ discretă și invers, reprezentând mariajul

191

dintre paradisul Fourier și lumea computerelor și tehnologiilor informatice. În acest capitol, vom prezenta și alte tipuri de transformări, fiecare cu avantajul propriu sau cu aplicațiile locale semnificative. De asemenea, vom prezenta, fără a intra în detalii, probleme legate de compresia semnalelor și separarea de zgomot. Printr-un miracol al științei, în 1965 a fost (re)descoperit algoritmul FFT, cunoscut în esență de Clairaut și Gauss; datele sunt așezate într-un șir (numit „masiv” în jargonul calculatoriștilor), prelucrate printr-un program SOFT, încorporat în circuite integrate moderne. La ora actuală, FFT se întâlnește la detectarea submarinelor, la RADAR, urmărirea avioanelor și rachetelor, recunoașterea formelor și chiar la acordajul pianelor; se poate spune că era digitală a început cu FFT, folosită și la celelalte transformări ale semnalelor discrete. §4.2. Transformarea Fourier discretă (TFD) Mult timp, transformarea Fourier a însemnat manipulare de integrale, dar în ultimele decenii, prelucrarea datelor experimentale cerea determinarea conținutului frecvențial al datelor. Ca atare, o problemă practică fundamentală a constituit-o calculul, în timp real și rapid, al spectrului semnalelor, deci „dizolvarea” integralelor teoretice respective în operații algebrice în număr finit asupra șirurilor de date rezultate din eșantionări. Nu contează câte, număr finit să fie! De altfel, eșantioanele semnalelor finite se grupează câte 8 (de exemplu), cărora li se aplică TFD, codificarea, transmisia la distanță, decodificarea și inversarea

192

ITFD la recepție, apoi se trece la următoarele 8 eșantioane etc. până la restabilirea semnalului integral. Fixăm un întreg N ≥ 2; de obicei N este o putere a lui 2. Am notat cu So mulțimea semnalelor finite de lungime N, deci șiruri de numere complexe A = (A[0], A[1], . . . , A[n − 1]). Un astfel de șir poate fi prelungit prin periodicitate N la un semnal discret (din S˜). Alegerea lui N este o problemă care ține de utilizator, dar nu la întâmplare. Exemplu Fie N = 3 și x =(1, 0, – 4)∈ SY. El se poate identifica prin semnalul (...1, 0, – 4, 1, 0, – 4, 1, 0, – 4, 1, 0, – 4,...), cu periodicitate 3. După caz, vom nota eșantionul x[k] prin AU, iar x poate fi reprezentat ca vector–coloană (matrice n×1). Evident, So este un spațiu vectorial complex, izomorf cu ℂo sau cu Mo,#(ℂ). Notăm

v = exp −%,¥o= cos %,

o−isin %,

o. (1)

Evident, u = 1, uo = 1 și u = uW#. Definiția 4.1: Matricea Fourier discretă de ordin N este matricea n×n următoare: u = (uUB);0 ≤ S, ? ≤ n − 1. Se arată că

u ∙u = nzo și u ∙u = nzo, (2) unde zo este matricea unitate (exercițiu simplu de algebră).

193

Exemplu

Fie N = 2 deci v = – 1 și u = 1 11 −1 . Pentru N = 3,

u = eWaÆÕΩ = −#

%− i Y

%, deci uY = 1 și u% + u + 1 = 0. Apoi,

u =1 1 11 u u%1 u% ux

și u =1 1 11 1 u 1 u%1 1 u% u

deci

u ∙u =3 0 00 3 00 0 3

= 3zY.

Din relația (2) rezultă (detu) ∙ (detu) = no deci detW

≠ 0 și matricea W este nesingulară. Înmulțind relația u ∙u = nzo cu uW# la dreapta, rezultă că

uW# = #ou. (3)

Matricea W este simetrică (u{ =u), de tip Vandermonde și cu toate elementele de modul 1 (deoarece uUB = u UB = 1). Definiția 4.2: Fie A ∈ So, A = (AB), 0 ≤ ? ≤ n − 1. Transformata Fourier discretă a lui x este șirul de numere complexe tot de lungime N, 3 = (3U), 0 ≤ S ≤ n − 1, unde 3U = uUBAB, 0 ≤ S ≤ n − 1oW#

BpE . (4)

Se mai scrie (AB) →{Dw

(3U) sau (3U) = TFD(AB)sau direct, f = TFDx. Transformarea Fourier discretă este operatorul TFD: ℂB → ℂB, A = (AB) ↦ 3 = (3U).

194

Proprietățile TFD 1. Relațiile (4) se scriu concentrat sub formă matriceală astfel: ò =u ∙ Ÿ, (5) unde ò = (3E, 3#, . . . , 3oW#){și Ÿ = (AE, A#, . . . , AoW#){. Așadar, TFDx = (u ∙ Ÿ){. 2. Operatorul (transformarea) TFD: ℂo → ℂo este ℂ– liniară și bijectivă. Aceasta rezultă din faptul că matricea W este exact matricea operatorului TFD relativ la baza canonică a lui ℂo. Atenție: Inversul operatorului TFD se notează ITFD (nu neapărat TFDW#). 3. Formula de inversare a TFD este

Ÿ = #ou ∙ ò (echivalent, ITFD(x)=#

o(u ∙ Ÿ){. În mod

explicit,

AB =#o

uWUB3UoW#UpE , 0 ≤ ? ≤ n − 1. (6)

4. Cu notații transparente,

TFD AWB = 3WU ; TFD AB = 3WU

și TFD(AWB) = (3U) (7)

Demonstrație: Componenta k a lui TFD(AWB) este egală cu AWBuUBoW#

BpE = AEuE + AW#uU + AW%u%U +⋯+ AWo^#uU oW# și 3WU = ABuWUBoW#

BpE = AEuE + A#uWU +⋯+ AoW#uW oW# U. Dar, cum uo = 1 și A#uWU = AWo^#uU(oW#),..., AoW#uW(oW#)U =AW#uU etc.

195

5. Dacă semnalul x este par (adică AWU = AU pentru orice k), la fel este f = TFDx. Într-adevăr, pentru orice k, 3WU = ABuWUBoW#

BpE =

AWBuWUBoW#BpE =BpWä AäuUä = 3UoW#

äpE etc.

6. Dacă x are toate componentele reale, atunci 3WU = 3U

pentru orice k. Într-adevăr,

3U = ABuUBoW#BpE

– = ABuWUBoW#BpE = ABuWUBoW#

BpE = 3WU.

7. Dacă f = TFDx, atunci energia E 3 = n ∙ E(A). (8) (relația lui Parseval)

Demonstrație: Avem E(f) = 3U %oW#UpE = 3UU 3U =

∂√. x

AäuUää ABuWUBBU = Aä ABB uU(äWB)Uä . Dar pentru orice ¯ ∈ ℤ, uUÂ = nTÂEoW#

UpE deci E 3 = n Aä ABTBä äB = n AäAä =ä

n Aä %oW#äpE = n ∙ E(A).

Exemple a) Determinăm TFD și ITFD pentru x = (1, 0, 0, 2).

Așadar, N = 4 și v = exp −%,¥x= −i deci

u =

1 1 1 11 u u% uY11u%uY

uxuy

uyuÀ

=1 1 1 11 −i −1 i11−ii

1−1

−1−i

;

196

ò =

3E3#3%3Y

=∂√.(®)

u

1002

=3

1 + 2i−11 − 2i

.

Apoi,

ITFD(x)=TFDW# A = #ouA =

= #x

1 1 1 11 i −1 −i11

i−i

1−1

−1i

1002

= #x

31 − 2i−11 + 2i

.

b) Să se expliciteze convoluția discretă A ∗ G, unde x este un semnal de lungime n și treapta unitate de lungime m.

Fie A = AE, A#, … , ABW# și G = 1, 0, 0, … , 0äW#

; le

extindem cu 0 până ce au lungimea m + n. Atunci ∫ = A ∗ G va avea lungimea m + n. Avem ∫B = 0 pentru n < 0, ∫E = AE, ∫# = AE + A#, . . . , ∫oW# = AE + A#+. . . +AoW# și ∫B = ∫oW# pentru orice n ≥ N. După aceste preliminarii de algebră matriceală, intrăm în esența problemei prelucrării s.d. Justificarea definiției 4.2 a TFD și alegerii lui N Fie A(6) ∈ Lℝ# o funcție continuă pe porțiuni și Ÿ({) = ℱ{A(6)} deci

Ÿ({) = A(6)eW¥}Åd6, { ∈ ℝlWl , (9)

conform definiției 3.1 a transformării Fourier clasice. Am arătat că s-a pus problema de a obține o formulă aproximativă pentru a calcula Ÿ({) printr-un număr finit de operații algebrice asupra

197

unui număr finit de date numerice. Pentru aceasta, a fost necesară parcurgerea câtorva pași: Pasul 1. Integrala pe (–∞, ∞) a fost înlocuită cu o integrală Riemann pe un interval compact. Așadar, funcția A(6) a fost restrânsă la un interval [a, a + L], presupunând că este neglijabilă (A(6) ≅ 0) în afara acestui interval. Putem presupune că a = 0, ceea ce se obține printr-o translație 6 = 9 + õ. Ca atare,

Ÿ({) ≅ A(6)eW¥}Åd6, { ∈ ℝìE . (10)

Pasul 2. Determinăm Ÿ({) doar pentru un număr finit de valori {, ceea ce este favorizat de faptul că lim

} →lŸ({) = 0

(conform lemei Riemann – Lebesgue). În plus, dacă banda de frecvență a semnalului A(6) este [–B, B], adică Ÿ({) este neglijabil pentru { ≥ fi, atunci teorema WKS de eșantionare (teorema 3.9, relația (31) din Capitolul 3) arată că funcția A(6) poate fi reconstruită din eșantioanele la momentele B,

7, ? ∈ ℤ.

Desigur, contează doar valorile { pozitive. Pasul 3. Avem trei mărimi, anume L, B, N și două dintre ele, se determină experimental, din cunoașterea naturii semnalelor continuale din clasa studiată. Divizăm intervalul de integrare [0, L] în N părți egale prin punctele de diviziune 0 = 6E < 6# < ⋯

< 6oW# < 6o = î deci 6B =Bìo, 0 ≤ ? ≤ n și aproximăm

integrala (10) printr-o sumă Riemann obținută luând ca puncte intermediare capetele stângi ale subintervalelor diviziunii: Ÿ({) ≅ A(6B)eW¥}Å£oW#

BpE . (11)

198

Divizăm apoi intervalul de frecvențe [0, B] în alte N părți egale prin punctele de diviziune

0 = {E < {# < ⋯ < {o = fi,{U =U7o, 0 ≤ S ≤ n și

calculăm Ÿ {U ≅ A 6B eW¥}◊Å£ =oW#

BpE

= A(6B) ∙ exp(−iUB7ìoa)oW#

BpE , (12)

cu 0 ≤ k ≤ N – 1.

Pasul 4. Punem condiția: exp(−i UB7ìoa) = uUB, adică

−i UB7ìoa= − %,¥

oS?, sau

n = 7ì%,

(13)

și relația (12) devine exact relația (4). Avem astfel un răspuns la întrebarea cât de mare trebuie ales N. În practică, se recomandă de asemenea ca N să fie o putere a lui 2 (altfel se completează semnalul discret căruia i se aplică TFD cu zerouri, ceea ce nu îi modifică spectrul). Dacă A = AB ,Ç = ÇB ; 0 ≤ ? ≤ n − 1 sunt două semnale din So, atunci am definit: suma A + Ç = (AB + ÇB), multiplicarea cu scalar tA = tAB , pe componente și produsul scalar A, Ç = AUÇUU .

De asemenea, se pot defini produsul A • Ç = ABÇB pe componente și convoluția discretă ∫ = A ∗ Ç = ∫B , unde ∫B = AÂÇBWÂoW#

ÂpE , cu0 ≤ ? ≤ n − 1.

TEOREMA 4.1: Dacă A, Ç ∈ So, atunci 1)TFD(A ∗ Ç) = TFDA • TFDÇ;

199

2)TFD(A • Ç) = #o(TFDA ∗ TFDÇ). (14)

Demonstrație: 1) Componenta k a lui TFD(A ∗ Ç) este

∫BuUB =oW#BpE AÂÇBWÂÂ uUBB = AÂ ÇBWÂuUBBÂ =

BWÂpÊ

= AÂ ÇÊuU(Â^Ê) =ÊÂ AÂuUÂÂ ÇÊuUÊÊ = (TFDA)U •(TFDÇ)U = (TFDA • TFDÇ)U. 2) Dacă TFDx = (3U), TFDy = (bU), atunci componenta n a lui TFDA ∗ TFDÇ este 3UbBWUU = AÂuUÂÂ ÇÊu BWU ÊÊU =

AÂÂ ÇÊuÂÊÊ uU ÂWÊU = AÂÂ ÇÊuÂÊÊ nTÂÊ =

= n AÂÇÂuBÂ = n(TFD(A • Ç))BoW#ÂpE .

COROLAR. Pentru orice A, Ç ∈ So, A ∗ Ç = ITFD(TFDA • TFDÇ). (15) Notă Unii autori numesc formula (15) ca „formula de aur” pentru calculul convoluției discrete, ea fiind aplicată în transmisii de date și în telecomunicații. Orice succes în grăbirea calculului TFD și ITFD conduce la un succes în calculul lui A ∗ Ç (și implicit, conform celor spuse în paragraful 2.4, al înmulțirii numerelor reale asimilate cu fracții zecimale). În acest sens, a fost elaborat algoritmul FFT de calcul al TFD, așa cum vom vedea în continuare. APLICAȚII ale TFD I. Calculul de coeficienți Fourier Fie A(6) un semnal periodic T satisfăcând condițiile lui Dirichlet. Conform formulei (25) din Capitolul 1, ∀S ∈ ℤ,

!200

πU @ #\ A 6 iW0¥U}Å]6'\E unde 0{ @ %,

\ .

Împ%r$im intervalul de integrare [0, T] în N p%r$i egale (cu N convenabil, la alegerea utilizatorului), cu punctele de diviziune

6B @ B\o ' H m ? m n #i lu%m ca puncte intermediare capetele

stângi ale subintervalelor. Atunci pentru 0 ) k ) N – 1,

πU s #\ A<6B=iW0¥U}Å£oW#

BpE @ #\ A<6B=uUBoW#

BpE , deoarece

*S{6B @ 0*S È %,\ ÈB\o @

%,¥o S? #i u @ iW0

aÆÕ� .

Notând A<6B= @ AB, rezult% πU s #\ 3U, cu 3U da$i de

formula (4) a TFD. Se determin% astfel coeficien$ii πU pentru 0 ) k ) N – 1 deci un num%r convenabil de armonici ale semnalului A<6=. II. Calculul spectrului unui semnal continual Fie A<6=, A40!0 / 05 un semnal continual, neglijabil în afara unui semnal de timp 86E' 6#;. Printr-o simpl% transla$ie (6 @ 6E X G), se poate presupune c% A<6= este nul în afara unui interval [0, a].

Figura 4.1

! 201

Consider%m restric$ia A#<6= a lui A<6= la [0, a], pe care o prelungim prin periodicitate de perioad% a la !; figura 4.1. Se pot calcula coeficien$ii Fourier ai lui A#<6=, conform aplica$iei I:

πU s #Q A#<6=iW0¥U

aÆØ Å]60Q

E @ #Q A<6=iW0¥U

aÆØ Å]60l

Wl @ #Q Ÿ

%,UQ

#i astfel, se determin% spectrul frecven$ial Ÿ<{= @ ?gA<6=h pentru

valorile discrete { @ %,UQ ; ceea ce poate fi suficient.

III. Rezolvarea numeric% a unor EDP Este cunoscut% metoda re%elelor (1 a diferen%elor finite), pentru care exist% programe de calcul consacrate. Consider%m o func$ie G A' Ç de clas% C% într-un dreptunghi › @ H' 9 ÷ H' : . Diviz%m intervalul [0, a] în N p%r$i

egale prin punctele AB @ ?d, unde d @ Qo0 H m ? m n #i apoi

intervalul [0, b] în M p%r$i egale prin punctele Çä @ âS, unde

S @ _% 0<H m â m Ä=. Perechea (h, k) se nume#te bipas al re$elei

2D astfel considerate. Un nod curent al re$elei este (AB' Çä= #i valoarea func$iei u în acest nod se noteaz% GBä @ G<AB' Çä=;

Figura 4.2

202

În practică, funcția G(A, Ç) poate reprezenta o mărime fizică, pentru care se pot calcula valorile GBä într-un număr finit de noduri ca mai sus, ceea ce poate fi suficient pentru a studia funcția G(A, Ç) în D. Trecerea la domenii mai generale decât dreptunghiuri sau la 3D este la dispoziția cercetătorilor. Derivatele parțiale Gj, G) , Gjj etc. într-un nod curent pot fi aproximate prin diferențe finite (eventual decalate), astfel:

Gj AB, Çä ≅ #∏GB^#ä − GBä ,G) AB, Çä ≅ #

UGBä^# − GBä ,

Gjj(AB, Çä) ≅#∏a(GB^#ä + GBW#ä − 2GBä)etc. EDP relativ la

necunoscuta u se transformă în sisteme de ecuații relativ la GBä, dificultățile apărând mai ales la frontiera lui D. Considerăm ecuația Helmholtz 2D următoare: −∆G + –G = 3 în pătratul › = [0,1]×[0,1], cu – ≥ 0 constant și f funcție continuă cunoscută, cu condiția G ≡ 0 pe frontiera lui D.

Alegem o rețea uniformă cu bipasul (h, h), unde ℎ = #o

.

Pentru orice nod (AB, Çä) = (?ℎ,âℎ), notăm GBä = G(AB, Çä) și 3Bä = 3(AB, Çä). Condiția la frontieră revine la GBä = 0 în nodurile situate pe frontiera lui D. Discretizând ecuația anterioară, adică scriind-o în nodul

curent, rezultă − #∏a(GB^#ä − 2GBä + GBW#ä ) − #

∏a(GBäW# − 2GBä +

GBä^#) + – ∙ GBä = 3Bä, conform cu „șablonul” din figura 4.3. Șablonul arată configurația nodurilor rețelei.

! 203

Figura 4.3

Introducem acum nota$iile urm%toare:

!ä @G#äÄ

GoW#ä' òä @

3#äÄ

3oW#ä pentru 1 ) m ) N – 1 #i

A =

& RO H 0H * * HRO & RO H * * H*HH

*HH

***

0***

* * *RO & OH RO &

,

A fiind o matrice p%tratic% triband% de ordin N – 1. Notând fi @ z X <& X –d%=zoW#, rela$iile anterioare se scriu condensat astfel: fi!# R !% @ d%ò# '000R !äW# X fi!ä R !ä^# @ d%òä, 2 ) m ' N – 2 #i R!oW% X fi!oW# @ d%òoW#. Dac% se determin% vectorii !ä' O m â m n R O, atunci se asigur% cunoa#terea valorii func$iei necunoscute u în nodurile re$elei considerate. În acest moment, aplic%m o metod% datorat% lui G. Marciuk, bazat% pe utilizarea TFD. Matricea A este simetric% #i are toate valorile proprii reale, anume

204

tÂ = 2(1 − cosÂ,o), 1 ≤ p ≤ N –1, cu versorii proprii

corespunzători uÂ = (u#Â, . . . , uoW#,Â), unde uUÂ =%osin UÂ,

o.

Aceștia formează o bază pentru spațiul ℝoW# și avem scrieri unice: !ä = !äÂuÂoW#

Âp# , òä = òäÂuÂoW#Âp# , 1 ≤ â ≤ n − 1.

Înlocuind și ținând cont că uÂ sunt versori proprii și pentru matricea B, dar cu valorile proprii tÂÖ = tÂ + 2–ℎ%, rezultă, pentru orice p fixat, câte un sistem liniar tribandă, anume: tÂÖ !#Â − !%Â = ò#Â;−!äW#,Â + tÂÖ !äÂ − !ä^#,Â = òäÂ, pentru 2 ≤ m ≤ N – 2 și −!oW%,Â + tÂÖ !oW#,Â = òoW#,Â. Rezolvând acest sistem liniar, de exemplu folosind algoritmul Gauss, se determină !äÂ pentru 1 ≤ m, p ≤ N – 1 și totodată vectorii !ä, ceea ce rezolvă problema. TFD se aplică astfel: deoarece funcția f este dată, se cunosc valorile òä și calculăm componentele

òäÂ =%o

38äoW#8p# sin Â,8

o= %

o38ä%oW#

8pE sin %Â,8%o

,

unde am pus 3Eä = 3oä = 3o^#ä =. . . = 3%oW#ä = 0.

Notând 6 = e¥Æ�, rezultă òäÂ =

%o∙ Im 38ä%oW#

8pE 6Â8 ,

unde m = 2N și p = 1,2,..., N – 1. Ultimele sume se determină cu TFD și după ce se determină òäÂ, calculul sumelor

òä = òäÂuÂoW#Âp# se realizează tot cu TFD.

Metoda lui Marciuk se poate aplica la ecuații Laplace sau Poisson, în diverse contexte.

205

§4.3. Algoritmul FFT de transformare Fourier rapidă și algoritmul de inversare Laplace rapidă Presupunem că N ≥ 2 este fixat și că matricea u = (uUB) este stocată. Calculul direct al TFD(x), pentru A ∈ So dat, necesită conform (4), pentru fiecare k (0 ≤ k ≤ N – 1), N înmulțiri și N – 1 adunări de numere complexe. Așadar, pentru a calcula f = TFD(x) conform (4), sunt necesare n% operații elementare. (În general, înmulțirea unei matrice n×n cu un vector n×1 necesită n% operații elementare). Vom numi operație elementară înmulțirea a două numere complexe urmată de o adunare de numere complexe. În multe situații concrete, n > 10x deci numărul de operații este imens și este esențial un algoritm rapid (cu complexitate mai redusă) pentru calculul TFD(x). Încă din 1807, marele Gauss a propus un algoritm care exploata structura specială a matricei W, dar inginerii americani Cooley și Tukey au (re)descoperit în 1965 algoritmul FFT („fast Fourier transform”), coborând drastic numărul de operații la O(NlogN). Prin variante succesiv îmbunătățite, s-a ajuns la un mariaj reușit între FFT, metodele numerice și tehnologiile IT, cu mare impact asupra calculului științific. Vom prezenta acum ideile principale, subliniind că algoritmul FFT se găsește în orice bibliotecă de programe, pregătit pentru utilizare. Presupunem că este dat A = (AE, A#, . . . , AoW#) ∈ So și că n = n#n% deci N nu este număr prim. Pentru orice k, n cuprinse

206

între 0 și N – 1, împărțim (cu rest) n la n# și k la n% deci avem scrieri unice de forma ? = ?%n# + ?# și k= S#n% + S% cu 0 ≤ S#, ?# ≤ n# − 1 și 0 ≤ S%, ?% ≤ n% − 1. (16) Se poate scrie ? = (?#, ?%) și S = (S#, S%) fără ambiguitate. Avem uUàBaoàoa = uUàBao = 1 (căci uo = 1) deci

uUBaoà =∂√. #y

u(UàoaÛa)Baoà = uUaBaoà;așadar,

uUB =∂√. #y

uU Baoà^Bà = uUBaoà ∙ uUBà, de unde

3U ≡ 3 S#, S% =∂√. x

ABuUBoW#BpE =

= A ?#, ?%oW#BpE uUaBaoà ∙ uUBà =

= A(?#, ?%)oaW#BapE

oàW#BàpE uUaBaoà ∙ uUBà.

Notând z(?#, S%) = A(?#, ?%)oaW#BapE uUaBaoà, rezultă

3U = z(?#, S%)oàW#BàpE uUBà. (17)

Pentru a calcula expresia z ?#, S% sunt necesare nn% operații (deoarece pentru fiecare k fixat și ?# fixat, calculul lui z ?#, S% necesită n% operații, iar k parcurge N valori). În concluzie, pentru calculul lui TFDx, numărul total de operații este n n# + n% . Dacă n = n#n%. . . nä, atunci numărul de operații elementare (conform FFT) este n(n# + n%+. . . +nä) și nu n%. Caz particular În cazul n = 2B, deci ? = log% n, numărul total de operații elementare pentru a calcula TFDx (pentru A ∈ ℂo dat), în

207

mod direct, este egal cu n% = 2%Bși aplicând FFT, este

n(2 + 2+. . . +2)B∑≠¥

= 2B ∙ 2? = ? ∙ 2B^# = 2n ∙ log% n. În ipoteza că numărul de operații elementare per secundă, efectuate de un computer modern, este 10- deci 6×10ƒ/minut, indicăm timpii în tabelul următor, anume duratele comparative ale calculului TFD(x), direct și folosind FFT: De exemplu, pentru N = 2#y, algoritmul FFT este de peste 2000 ori mai rapid! Nu dăm detalii asupra schemei de organizare a algoritmului FFT. Notă Dacă A, Ç ∈ S˜ sunt semnale finite neperiodice astfel încât AB = 0 pentru n < 0 sau n > L, iar ÇB = 0 pentru n < 0 sau n > M, atunci fixând N ≥ max(L, M) și extinzând cu zerouri, eșantioanele semnalelor x, y, rezultă că noile semnale (notate tot cu x, y) au aceeași lungime N. Calculul convoluției discrete ∫ = A ∗ Ç, ∫ = (∫B) unde ∫B = AÂÇBWÂ, ? ∈ ℤÂ , se reduce la cazul considerat. Dacă A, Ç ∈ So, am văzut că se aplică formula (15) pentru calculul convoluției A ∗ Ç. Numărul de operații pentru calculul direct al convoluției este n%. Dar aplicând algoritmul FFT, acesta

N direct cu FFT

2#% 1,7 s 10 ms 2#y 7,2 min 0,2 s 2%E 30,5 ore 4,2 s

208

va fi 2n log% n + 2n log% n + n + 2n log% n (pentru a calcula succesiv TFDx, TFDy „•” și ITFD), deci în total 6n log% n + n. De exemplu, pentru n = 2#y, în loc de 2Y%, se efectuează peste 2%E operații elementare, ceea ce este o reducere de peste 1200 de ori. Inversarea numerică rapidă a transformatei Laplace În paragraful 3.4 am reamintit legătura transformării Laplace cu transformarea Fourier. Fie 3 6 ,3:ℝ → ℂ o funcție original Laplace, cu indicele de creștere èE ≥ 0. Așadar, 3(6) = 0 pentru t < 0 și există M > 0 astfel încât 3(6) ≤ ÄeJóÅ pentru orice t ≥ 0. Imaginea Laplace a lui 3(6) este funcția complexă

ò(è) = eWJÅ ∙ 3(6)d6lE =JpQ^¥} eWQÅ ∙ 3(6)eW¥}Åd6l

Wl ,

unde a > èE este fixat. Conform formulei de inversare Fourier (teorema 3.2, formula (13)),

eWQÅ3(6) = #%,

ò(lWl 9 + i{)e¥Å}d{. (18)

Fixăm apoi õ > 0 și notăm Z = %,s

.

Vom determina valorile Aä = eWQäs ∙ 3 âõ , pentru m ≥ 0 întreg, de unde se vor deduce 3 âõ . Punând 6 = âõ în (18), rezultă

Aä =#%,

ò(lWl 9 + i{)e¥äs}d{ =

= #%,

ò((B^#)\B\ 9 + i{)e¥äs}d{B∈ℤ

și făcând schimbarea de variabilă { ↦ ?Z + {, rezultă

Aä =#%,

ò(\E 9 + i(?Z + {))e¥äs}d{B∈ℤ =

#%,

é({)\E e¥äs}d{, unde am notat

209

é { = ò 9 + i ?Z + {B∈ℤ ≅ ≅ ò(9 + i(?Z + {)Î

BpWÎ ), (19) cu P > 0 ales convenabil (ținând cont că lim

J→lÅ¨JWJó

ò(è) = 0). Funcția

é({) este periodică T și é({) = õAää∈ℤ eW¥äs}.

Fixăm acum N ≫ 2 și punem u = eWaÆÕ� .

Pentru { = U\o S ∈ ℤ , rezultă é U\

o= õ Aää∈ℤ uUä.

Deoarece Aä = 0 pentru m < 0 și limä→l

Aä = 0 (căci a >èE),

rezultă #sé(U\

o) = TFD((AB)) pentru N ales convenabil și

0 ≤ k ≤ N – 1. Aplicăm TFD, rezultă Aä = #so

é(U\o)uWUäoW#

UpE ,

adică

(Aä) = #sITFD é(U\

o) ;0 ≤ â ≤ n − 1. (20)

Rezumând, am obținut următorul ALGORITM: Este dată funcția complexă F(s); fixăm n ≫ 2, 9 > èE și õ > 0. Pasul 1.

Folosind (19), se calculează é(U\o) pentru 0 ≤ k ≤ N – 1,

unde Z = %,s

.

Pasul 2. Utilizând ITFD, se calculează Aä pentru 0 ≤ â ≤ n − 1. Pasul 3. Se calculează 3(âõ) = AäeQäs și se deduc valorile 3(âõ) pentru 0 ≤ â ≤ n − 1.

210

Exemple a) Fie 3 6 = eWÅ,6 ≥ 0 și nulă pentru t < 0. Se știe că

ò è = #J^#, èE = 0 și alegem a = 0. Fie N = 64 și õ = #

#E deci

T = 20π.

Pentru P = 20, conform (19) avem é { = ##^¥(%E,B^})

%EBpW%E .

Se calculează Aä aplicând FFT și apoi 3(âõ) = 3(ä#E) pentru

0 ≤ m ≤ 63. Acest exemplu permite testarea algoritmului.

b) Dar să considerăm ò è = Ja^J^#Jæ^#EJΩ^x%Ja^ƒ%J^y®

, unde nu

se pot aplica metode standard de determinare a originalului 3 6 .

Alegem a = 10, N = 128, õ = ##E

și se obțin 128 de eșantioane 3(ä#E)

pentru 0 ≤ m ≤ 127, folosind algoritmul descris. Funcția f nu se poate exprima prin funcții elementare (fracții simple sau formula (25) a lui Heaviside din Capitolul 3). Dar am reușit să determinăm valori oricât de multe ale lui f. §4.4. Transformări liniare și baze ortogonale pentru compresia semnalelor discrete a) Compresia datelor În multe șiruri de date sau în imagini apar repetări numerice sau secvențe inutile; de exemplu, pixeli vecini puternic corelați, unde se manifestă o redundanță a informației conținute. Imaginile 2D pot fi citite pe linii de pixeli, astfel încât este suficientă considerarea șirurilor 1D de date. Se poate aplica o compresie brutală, eliminând mecanic câte un eșantion din fiecare 4 (raportul de compresie fiind 4: 1), dar există metode mult mai

211

eficiente calitativ. Compresia exploatează redundanța spațială, care trebuie redusă fără a pierde informația esențială și pentru aceasta, ideea principală este cea a transformării pixelilor corelați printr-o reprezentare care să permită împuținarea corelărilor. De regulă se utilizează transformări punctuale care pot fi descrise prin matrice convenabile; de exemplu, matrice ortogonale, care nu modifică energia semnalelor (considerate ca secvențe numerice discrete) sau matrice care au structuri interne specifice, care le permit descompunerea în produse de matrice rare (≡ cu multe zerouri), pentru care în Analiza numerică s-au creat algoritmi și progrese eficiente de calcul (MATLAB, MATHEMATICA, MAPPLE). Exemplu În cazul TFD, matricea W are coloanele asimilabile cu vectorii unei baze de spațiu vectorial și aplicarea transformării liniare A ↦u ∙ A{ revine la a trece de la reprezentarea numerică inițială a semnalului x la alta mai convenabilă care permite determinarea spectrului frecvențial al lui x. În general, dacă z ∈ Mo(ℝ) este o matrice inversabilă (≡ nesingulară), atunci pentru orice A = (AE, A#, . . . , AoW#){, transformatul său prin matricea A este vectorul – coloană y = Ax; cunoscând y, se recuperează imediat x, anume A = zW#Ç. Alegând în mod convenabil matricea A, se obțin informații utile asupra structurii sau corelării eșantioanelor semnalului.

212

Exemple a) Dacă matricea A este ortogonală, adică z{ ∙ z = zo (deci z ∙ z{ = zo și zW# = z{), atunci energia semnalelor se conservă; într-adevăr, pentru orice vector–coloană A ∈ Mo,# ℝ , cu transformatul y = Ax, avem: E Ç = Ç % = Ç, Ç = Ç{ ∙ Ç = = zA { ∙ zA = A{ z{z A = A{zoA = = A{A = A, A = A % = E(A).

b) Fie N = 4 și A = diag(‰%,‰%), unde ‰% =1 11 −1 .

Dacă A = (AE, A#, A%, AY){ și Ç = zA = (ÇE, Ç#, Ç%, ÇY){, atunci

z =1 1 0 01 −1 0 000

00

1 11 −1

și ÇE = AE + A#, Ç# = AE − A#, Ç% = A% + AY, ÇY = A% − AY. Astfel, dacă x = (11,9, 5,6){, atunci Ç = (20,2, 11, −1){ și componentele 2 și–1 pot fi anulate (compresie!). Așadar,

Ç ≅ (20,0, 11,0){ și A ≅ zW#. (20,0, 11,0){. Dar zW# = #%z{ deci

A ≅ (10,10; 5,5; 5,5){. Ca atare, transformarea dată de matricea A permite și o altă regrupare a componentelor vectorului inițial, fără pierdere esențială de energie. b) Transformarea „cos” - discretă (TCD) Transformarea „cos” - discretă a fost descoperită de N. Ahmed în 1974, pornind de la modificarea următoare a TFD. Fiind dat un semnal A = (AE, A#, . . . , AoW#){ de lungime N, cu toate componentele numere reale, se consideră extensia lui prin

! 213

simetrie fa$% de punctul de abscis% R#%, adic% semnalul A de

lungime 2N: A @ <AWo' AWo^#' ë ë ë ' AW#' AE' A#' ë ë ë ' AoW#={, unde AW# @ AE' AW% @ A#' ë ë ë ' AWo @ AoW# (figura 4.4).

Figura 4.4

De exemplu, dac% N = 3 #i A @ <O'H' R±={, atunci A @ <R±'H'O'O'H' R±=. Se consider% z = TFDA, cu cele 2Ncomponente ∫U date de (4).

Aplicând rela$ia lui Euler cos x = #% <i¥j X iW0¥j=, este

sugerat% urm%toarea Defini$ia 4.3: Dac% A @ <AE' A#' ë ë ë ' AoW#={ este un semnal finit de lungime N, cu toate componentele reale, transformata „cos” – discret% a lui x este #irul de N numere (tot reale!) π @ <πE' π#' ë ë ë ' πoW#={, definit prin

πE @ #B ABoW#

BpE ' πU @ %o ABoW#

BpE Lc) <%B^#=U,%o ^ (21)

cu O m S m n R O.

214

Se mai scrie

AB ↦{Éw πU sau π = TCDA. (22)

Aplicația TCD: ℝo → ℝo este liniară și inversabilă și inversa ei se notează ITCD = TCDW#:(πU) ↦ (AB). În mod explicit,

AB =#BπE +

%o

πUoW#Up# cos (%B^#)U,

%o; (23)

1 ≤ ? ≤ n − 1. Vectorii–coloană

·B =#B, %ocos (%B^#),

%o, . . . , %

ocos (%B^#),(oW#)

%o

{

,

0 ≤ ? ≤ n − 1 formează o matrice pătratică ortogonală Ä = (·E|·#|. . . |·oW#) și relația (22) se scrie matriceal π = Ä ∙ A, similar relației (5). Notă Iată cum se procesează concret un semnal discret cu N eșantioane A = (AE, A#, . . . , AoW#), cu N o putere a lui 2 (n = 2B cu n ≥ 4). Se „divide” x în segmente de lungime 8, cărora li se aplică TCD. Fie (AE, A#, . . . , A-) un astfel de segment tipic, a cărui TCD este șirul (πE, π#, . . . , π-) definit conform (21) prin:

πE =#% %

AB-BpE , πU =

#%

AB-BpE cos (%B^#)U,

#y;

(1 ≤ S ≤ 7). Decodorul primește aceste 8 valori, pe care le transmite la distanță, unde se aplică ITCD prin formula (23):

AB =#% %πE +

#%

πU-Up# cos (%B^#)U,

#y; (0 ≤ ? ≤ n − 1).

215

Apoi se trece la următoarea secvență de 8 eșantioane etc. până ce este transmis semnalul x în întregime. O metodă similară se aplică în cazul imaginilor (prin 2–TCD), imaginea fiind divizată în blocuri 8×8. Un avantaj al TCD este faptul că toate componentele πU sunt reale (nu ca în cazul TFD) și că vectorii ·B, 0 ≤ n ≤ N – 1 sunt apropiați de vectorii proprii ai matricelor Toeplitz. TCD se utilizează la codificarea și compresia imaginilor („citite” ca succesiuni de linii), cu standardul IPEG pentru fotografii și MPEG pentru video. Așa cum în cazul TFD, un semnal periodic este reprezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe și amplitudini variabile, tot astfel la TCD fiecare secvență de N eșantioane este reprezentată ca o sumă de cosinuși ponderați (conform relației (23)). Orice transformare liniară a semnalelor (de exemplu, TFD, TCD etc.) este un izomorfism de tipul T: ℝo → ℝo, (AB) ↦ (πU), astfel încât pentru orice 0 ≤ k ≤ N – 1, πU = n(S, ?)ABoW#

BpE , unde N(k, n) este „nucleul” transformării (de exemplu n(S, ?) = uUB în cazul TFD). Inversarea se realizează prin relații similare. În cazul 2D, transformarea este de tipul πUℓ = n(S, ℓ,â, ?)AäBä,B , dar nu mai dăm detalii. c) Transformarea Walsh Am văzut (în Capitolul 1, propoziția 1.4) că funcțiile ·B(6) = e¥B}Å, ? ∈ ℤ formează o bază ortonormală pentru spațiul

funcțiilor periodice de perioadă T ({ = %,\), care sunt continue pe

porțiuni, relativ la produsul scalar 3, b = 3(6)b(6)d6\E . La

216

începutul secolului 20, matematicianul francez E. Borel a pus problema găsirii unei baze ortogonale a spațiului L[E,#]% , formată

numai din funcții având doar două valori, anume 1 și –1. Răspunsul l-a dat în 1923 matematicianul american Walsh, care a definit totodată transformarea liniară care îi poartă numele. Sunt necesare câteva pregătiri oarecum migăloase. Fie n = 2B, ? ≥ 1. Pentru orice 0≤ t, k ≤ N – 1 se consideră reprezentările (unice!) în baza 2 de lungime n: 6 = (6BW#. . . 6#6E)% = 6BW#2BW#+. . . +6# ∙ 2 + 6E și similar, S = (SBW#. . . S#SE)%. Apoi, pentru 1 ≤ p ≤ n, definim

zÂ =SÂ + SÂW#modulo 2, pentru1 ≤ ¯ ≤ ? − 1

SBW#pentru¯ = ?

și vectorii–coloană N–dimensională uU = (6EU,6#U, . . . ,6oW#,U){, unde 6ÅU = (−1)7 și fi = zÂ6BWU; 0 ≤ S ≤ n − 1B

Âp# . Se formează matricea

Ä = (uE|u#|. . . |uoW#) pătratică de ordin N, simetrică și nesingulară, cu toate elementele egale cu + 1 sau – 1. Definiția 4.4: Fixăm N ≥ 2. Aplicația liniară inversabilă T: ℝo → ℝo, A ↦ ÄA se numește transformarea Walsh. Vectorii – coloană ai matricei M formează o bază pentru spațiul vectorial ℝo (ca și pentru ℂo). Exemplu Fie N = 8 deci n = 3. În acest caz, 6 = 46% + 26# + 6E,S =4S% + 2S# + SE. Apoi, z# = S# + SE mod 2, z% = S% + S# mod 2 și zY = S%. Pentru k = 0, avem SE = S# = S% deci z# = z% =

! 217

zY @ H deci B = 0 #i 6ÅE @ O pentru 0 ) t ) 7. Pentru k = 1, avem S% @ S# @ H' SE @ O deci z# @ O,0z% @ H, zY @ H #i 6Å# @<RO=Åa; în mod similar, 6Å% @ <RO=Åa^Åà,06ÅY @ <RO=Åà, 6Åx @<RO=Åà^Åó, 6Å® @ <RO=Åa^Åà^Åó, 6Åy @ <RO=Åa^Åó #i 6Å- @<RO=Åó. În acest caz, explicit matricea Ä @ <uE‘u#‘ë ë ë ‘u-= este

Ä @

O O 0O 0000O 000O 0000O 0000O 000OO O O 000O 00RO RO RO ROOOOOOO

OORORORORO

RORO

0RORO00OO

ROROOORORO

ROOORORO00O

ROOROOORO

0OROROORO0O

00ORO0OROORO

.

Facem conven$ia de a împ%r$i intervalul [0, 1] în 7 p%r$i egale #i de a reprezenta orice semnal A @ <AE' A#' ë ë ë ' A-= cu 8 e#antioane, prin „be$e” verticale plasate în punctele de diviziune ca în figura 4.5.

Figura 4.5

!218

În general, dac% A @ <AE' A#' ë ë ë ' AoW#= este un semnal discret cu e#antioane reale, atunci i se poate asocia func$ia în scar% Ÿ<6=' Ÿ408H'O; 0/ 0! definit% în modul urm%tor: împ%r$im intervalul [0, 1] în N p%r$i egale #i pe fiecare interval »o '

»^#o '0000H m ¬ m n R O, avem Ÿ<6= @ A»^0fig. 4.6.

Figura 4.6

Dac% A' Ç 7 ô sunt dou% semnale (reale) de aceea#i lungime N,

atunci A' Ç @ A»Ç»oW#»pE @ Ÿ 6 ˙ 6 ]6»^# o

» o @oW#»pE

@ Ÿ<6=˙<6=]6#E @ Ÿ' ˙ .

Celor 8 semnale discrete uE<6=' ë ë ë 'u-<6= din exemplul anterior le corespund urm%toarele 8 func$ii Walsh în scar% din figura 4.7.

Figura 4.7

219

TEOREMA 4.2: Au loc relațiile de ortogonalitate

u»(6)u‚(6)d6#E = T»‚, pentru orice i, j. Mai mult, funcțiile

{uB(6)}, ? ≥ 0 formează o bază ortonormală pentru L[E,#]% .

Apoi, pentru orice n ≥ 1, uB 6 d6#E = 0 (pentru că

lungimea totală a intervalelor unde uB 6 = 1 este egală cu cea a intervalelor unde uB 6 = −1), uB 6 % = 1 și energia E(uB) = uB % = 1. Se poate arăta că subspațiul lui L E,#

% general

de funcțiile {uB(6)}, ? ≥ 0 este dens; ca atare, orice funcție 3 ∈ L E,#

% se poate dezvolta în serie de funcții Walsh

(3(6) = πBuB(6)lBpE pentru6 ∈ [0,1]), similar cu seriile

Fourier. În cazul seriilor Fourier, baza de semnale periodice o constituiau armonicele eB(6) și în cazul seriilor Walsh, semnale dreptunghiulare, nesinusoidale, constante pe porțiuni, cu valori + 1, – 1; în acest caz, în locul noțiunii de „frecvență” se folosește cea de „secvență”. Menționăm că există transformări Walsh 2D, algoritmi de calcul rapid al transformării Walsh etc. Faptul că funcțiile Walsh au numai două valori a constituit o atracție pentru informaticieni, în manipularea echipamentelor de procesare a semnalelor, dar în realitate au apărut alte dificultăți, datorate domeniilor de definiție (adică discontinuităților semnalelor în scară). d) Transformarea Karhunen – Loeve Presupunem dat un vector A = (AE, A#, . . . , AB){ cu componentele variabile aleatoare reale relativ la același câmp de

220

probabilități. Prin metode statistice și senzori specializați se determină matricea sa de covarianță Σj = M (A − A) ∙ (A − A){ = (”»‚); 1 ≤ ¬, Ü ≤ ?,

care descrie gradul de corelație între eșantioane; A = Mx este vectorul – medie. Aceasta este o matrice pătratică de ordin n, ale cărei elemente sunt ”»‚ = cov(A», A‚) și ”»» = DA» (dispersiile). Matricea Σj depinde de scala de măsură a eșantioanelor A». Fiind simetrică, valorile ei proprii t» sunt reale; în plus, Σj este pozitiv – semidefinită, deci t» ≥ 0 pentru orice i. Fără detalii, dăm modul de determinare a transformării Karhunen – Loeve (K–L). Algoritmul de compresie Pasul 1. Se determină valorile proprii ale matricei Σj și se rețin cele mai mari m dintre ele: t# > t% >. . . > tä; numărul m este fixat de utilizator, în funcție de prima „gaură” (adică tä ≫ tä^#). Pasul 2. Fie G#, . . . , Gä, Gä^#, . . . , GB versorii – coloană proprii pentru matricea Σj, corespunzând valorilor proprii în ordine descrescătoare și fie z = (G#|. . . |Gä){ matricea â×? corespunzătoare. Pasul 3. Se determină constantele :» = G»{ ∙ A, pentru m + 1 ≤ i ≤ n. Dacă media A = 0, atunci :» = 0. Pasul 4. Matricea A fiind astfel determinată, fie y = Ax deci A = z{ ∙ Ç = Ç»G»ä

»p# și se obține astfel descompunerea A ≅ Aä = Ç»G»ä

»p# + :‚G‚B‚pä^# .

221

Definiția 4.5: Transformarea Karhunen–Loeve de compresie este aplicația liniară T: ℝB → ℝä,(A#, . . . , AB) ↦ (Ç#, . . . , Çä), care înlocuiește vectorul inițial de date x cu vectorul redus y obținut prin compresie. Din relația y=Ax, rezultă

Σ) = zΣjz{ = (G#|. . . |Gä){ ∙ Σj ∙ (G#, . . . , Gä) =

(G#|… |Gä){ ∙ (ΣjG#|… |ΣjGä) = = (G#|. . . |Gä){ ∙ (λ#G#|. . . |λäGä) = diag(t#, . . . , tä). În acest mod, matricea de covarianță a vectorului Σ) rezultă prin aplicarea algoritmului K–L este diagonală (adică vectorii Ç» sunt necorelați). Așadar, cov(Ç», Ç‚) = 0pentru i ≠ j și t» = DÇ» (dispersia lui Ç»), 1 ≤ i ≤ m. Se poate arăta că eroarea medie pătratică în aproximarea A ≅ Aä (unde A = Ç»G»ä

»p# și Aä = Ç»G»ä»p# + :‚G‚B

‚pä^# )

adică ÿä = A − Aä %Bä^# are valoarea minimă t»B

‚pä^# ,

adică neglijabilă (deoarece aceste t» au valorile cele mai mici!). Exemplu

Presupunem că n=2, A = 0 și Σj =1 11 1 ; valorile

proprii ale matricei Σj sunt t# = 2, t% = 0 și versorii proprii

corespunzători sunt G# = (%%, %%){, G% = (

%%, − %

%){. Luând

m = 1, z = ( %%, %%) și rezultă transformarea K – L

T: ℝ% → ℝ, A =A#A% ↦ z ∙ A = %

%, %%

A#A% =

%%A# + A% .

!222

e) Transformarea prin undine („wavelets”) Ferestre Oric%rui semnal continual x(t) i se pot aplica diverse transform%ri, prin care se ob$in alte semnale; de exemplu, deplasatul A<6 R := @ õ_A al lui x cu b unit%$i de timp. Opera$ia õ_ se mai nume#te transla$ie, întârziere sau glisare. De asemenea, dac% a $ 0, se poate considera semnalul x(at), ob$inut prin scalare; dac% a > 1 se ob$ine o compresie (o restrângere a suportului). Exemplu Fie semnalul x(t) cu graficul din figura 4.8. Atunci semnalele 2x(t – 1) #i x(3t) au graficele în figura 4.9.

Figura 4.8 Figura 4.9 Am numit fereastr& (defini$ia 3.10) orice semnal b40!0 / 05 din clasa "!# Z "!% . Exemple

- Fereastra gaussian% este b<6= @ iW0QÅa (a > 0 constant%). - Dac% g este o fereastr%, atunci deplasata g(t – b) este tot o fereastr% #i mai general, dac% 9' : 7 !' 9 [ H, atunci semnalul

bQ'_<6= @ #Q b

ÅW_Q este ob$inut prin deplasare, urmat% de

scalare.

! 223

De exemplu, dac% a = 4 #i b = 1, atunci bx'#<6= @ #% b

ÅW#x ;

figura 4.10.

Figura 4.10

Spectrul frecven$ial al lui bQ'_<6= este

bQ'_ { @ ? bQ'_ 6 @

@ #Q b ÅW_

Q iW0¥}Å]60 @ÅW_pQ(lWl 9 iW0»_}b<9{=.

Apoi, energia lui bQ'_ este egal% cu energia lui g (Într-adev%r,

E(bQ'_= @ bQ'_' bQ'_ @ bQ'_ 6%]6 @

@ #Q 0b ÅW_

Q%]6 @ÅW_pQ( #

Q 0b G % È 9 ]G

@ 0b G %]G @ “<b==ë Dac% fereastra g este bine localizat% în punctul <6E' {E= din planul T/F, atunci bQ'_ este bine localizat% în vecin%tatea punctului <6E X :' 9{E=. Se observ% c% prin diverse glis%ri #i scal%ri se ob$in tot felul de „caricaturi” ale ferestrei ini$iale, cu modific%ri ale suportului sau amplitudinii, dar p%strând alura #i energia. Numerele a, b (numite parametri de scalare #i respectiv glisare) au fost numere

!224

reale. Un caz foarte important este cel în care 9 @ #%Ï #i

: @ B%Ï0 cu â' ? 7 >. În acest caz, rezult% ferestrele

bäB<6= @ &ä B È b<&ä6 R ?=, ob$inute din g prin m compresii de raport 2 #i o glisare. O problem% fundamental%, la care ne vom referi în acest capitol, o constituie determinarea unor ferestre g(t) astfel încât familia de func$ii {bäB<6=h; â' ? 7 > s% formeze o baz% ortonormal% a spa$iului "!% . Conceptul de undin% Defini$ia 4.6: Se nume#te undin& (1 „wavelet”) orice fereastr% Ù<6= având energia egal% cu 1 #i în plus, Ù<H= @ H, iar

integrala improprie â<}= a

} ]{ este convergent% (cu valoarea K,

numit constanta lui Calderon). Exemplu (undina lui Haar). Fie Ù40!0 / 0!' Ù<6= @ O

dac% 6 7 8H' #%=, Ù<6= @ RO dac% 6 7 <#% ' O; #i nul% în rest. În acest

caz, Ù<{= @ %¥} <O R Lc)

}%= È i

W0¥#a pentru { [ H. În figura 4.11

sunt indicate graficele Ç @ Ù<6= #i Ç @ Ù<{= .

Figura 4.11

225

Dacă Ù este o undină, atunci se arată ușor că pentru orice

9, : ∈ ℝ, 9 ≠ 0, semnalul ÙQ,_(6) =#QÙ ÅW_

Q este de

asemenea o undină și în particular, are energia egală cu 1. Fixăm în continuare o undină Ù, numită generatoare. Definiția 4.7: Pentru orice semnal 3:ℝ → ℂ, 3 ∈ Lℝ% și se definește funcția u¢(:, 9) de două variabile reale a, b (a ≠ 0), definită prin

u¢(:, 9) = 3, ÙQ,_ =#Q3(6)Ù(ÅW_

Q)d6. (24)

Aplicația 3(6) ↦ u¢(:, 9)se numește transformarea prin undina generatoare Ù, sau transformarea integrală IWT. Așadar, oricărui semnal 3 ∈ Lℝ% i se asociază o familie de numere reale sau complexe depinzând de doi parametri (b de glisare și a de scalare). Acești parametri nu au o interpretare fizică

directă. Inversul #Q este similar frecvenței. Dacă 3 = ÙQ,_, atunci

u¢(:, 9) ≡ 1. Notă Se observă analogia cu transformata Fourier, prin care oricărui semnal 3 ∈ Lℝ% i se asociază o familie de numere complexe 3({) depinzând de un singur parametru real { (pulsația). Teoria undinelor nu se substituie Analizei Fourier ci o însoțește și o îmbogățește. Dăm câteva proprietăți, fără detalii de demonstrație: Fie 9, : ∈ ℝ, 9 ≠ 0și3 ∈ Lℝ% .

226

1. u¢(:, 9) ≤ E(3) și egalitatea are loc dacă f este coliniar cu ÙQ,_; aceasta rezultă din (24) și din egalitatea lui Schwartz. 2. Dacă õ ∈ ℝ și b(6) = 3(6 − õ), atunci uê(:, 9) =u¢(: − õ, 9); 3. Dacă ã > 0 și ℎ(6) = 3(ã6), atunci

u∏(:, 9) =#Qu¢(ã:, ã9);

aceste două proprietăți decurg direct din definiții. Exemplu Transformarea prin undine (IWT) se poate utiliza pentru a evidenția unele particularități ale semnalului 3(6) studiat. Astfel, dacă 3(6) este un semnal muzical, el se poate grupa în diverse octave, identificând atât locațiile în timp, cât și mărimile spectrelor în fiecare bandă de frecvență. Extinzând IWT la semnale 2D, se pot obține informații privind redundanțele spațiale și spectrale ale imaginii în fiecare bandă de octavă, pe direcție orizontală și verticală. Fie Ù(6) o undină cu suport compact, astfel încât 6UÙ(6) = 0 pentru 0 ≤ k ≤ p. Presupunem că semnalul 3(6) are

o dezvoltare Taylor în jurul unui punct 6 = 6E, anume

3(6) = ¢(◊)(Åó)U!

(6 − 6E)UÂUpE + üÂ(6), pentru 6 − 6E < ¿ < 1.

Atunci pentru 0 < a ≤ r, rezultă conform (24):

u¢(6E, 9) =#Q3(6)Ù(ÅWÅó

Q)d6 = #

QüÂ(6)Ù(

ÅWÅóQ)d6Åó^8

ÅóW8.

Deoarece üÂ(6) = ä(¿Â) și a ≤ r, rezultă că u¢(6E, 9) este „mic”

dacă suportul lui Ù este „mic”. Variind a, se pot identifica diverse

227

detalii ale lui 3(6); de exemplu, dacă r este raza de convergență a dezvoltării Taylor în jurul lui 6E și dacă u¢(6E, 9) este „mare”,

rezultă că derivata 3(Â)(6E) are discontinuități în punctele 6E ± ¿. Fără demonstrație, un rezultat nebanal îl constituie următoarea TEOREMA 4.3 (de inversare, reconstrucția lui 3(6) din cunoașterea lui u¢): Fie 3:ℝ → ℂ un semnal continuu astfel încât

3 ∈ Lℝ# ∩ Lℝ% și 3 ∈ Lℝ# . Atunci

∀6 ∈ ℝ, 3(6) = #ã

#Qaℝa u¢(:, 9) ∙ ÙQ,_(6)d9d:,

unde K este constanta lui Calderon. Această teoremă este dificil de aplicat, dar doamna Ingrid Daubechies, a indicat condiții să existe o constantă A > 0 astfel

încât 3(6) ≅ z u¢(B%Ï, #%Ï) ∙ Ùä,B(6)ä,B , unde

Ùä,B(6) = 2ä % ∙ Ù(2ä6 − ?) (25) pentru â, ? ∈ ℤ. Aceeași profesoară a demonstrat următorul rezultat fundamental: TEOREMA 4.4 (I. Daubechies): Pentru orice întreg k ≥ 0 există o undină generatoare Ù(6) de clasă CℝU cu suport compact (deci nulă în afara unui interval mărginit) astfel încât funcțiile Ùä,B(6); â, ? ∈ ℤ formează o bază ortonormală a spațiului Hilbert Lℝ% . Nu dăm demonstrația, dar indicăm diverse consecințe remarcabile. Așadar, orice semnal 3(6) din Lℝ% se reprezintă printr-o dezvoltare în serie dublă de funcții, de forma

228

3(6) = ãäBÙäB(6), 6 ∈ ℝBä , (26) unde coeficienții sunt dați de formulele ãäB = 3, ÙäB = 2ä % 3(6)l

–l Ù(2ä6 − ?)d6 (27)

â, ? ∈ ℤ. Formulele (27) rezultă direct din (26) prin utilizarea ortonormalității bazei „ÙäB”: 3, ÙäB = ãÂÊÙÂÊÊÂ , ÙäB = = ãÂÊ ÙÂÊ, ÙäBÊÂ = ãÂÊTÂäTÊBÊÂ = ãäB.

Așadar, orice semnal 3(6) ∈ Lℝ% se identifică prin șirul coeficienților (ãäB), ceea ce este încă o manifestare a conversiei A / D; integralele (27) care dau coeficienții ãäB sunt în marea majoritate nule sau neglijabile (datorită faptului că undina generatoare Ù are suport compact!). Dar mai este ceva: din relația (26), rezultă că 3(6) = ( ãäBÙäB(6))Bä și notând 3ä(6) = ãäBÙäB(6),â ∈ ℤB , rezultă că 3(6) = 3ä(6), 6 ∈ ℝä . (28) Avem astfel un nou tip de descompunere a semnalului 3(6): semnalele 3ä(6),â ∈ ℤ se numesc vocile lui f (de ordin m). Ca atare, relația (28) este o descompunere a lui 3(6) în voci și nu în armonici (ca în cazul dezvoltărilor în serie Fourier). Conceptul de voce este legat de cel de rezoluție și „zoom”-are. Prezentăm acum o ultimă virtute a undinelor... Dacă 3 ∈ Lℝ% este o funcție nulă în afara unui interval [- a, a], atunci putem prelungi f prin periodicitate T = 2a și apoi dezvolta f în serie Fourier de armonici: 3(6) = πBe¥B}ÅB∈ℤ , unde

229

{ = %,\= ,Q. Dar și în serie de voci: 3(6) = ãäBÙäB(6)ä,B ,

pentru o undină generatoare Ù aleasă. Dacă funcția f este netedă, cele două dezvoltări sunt oarecum echivalente ca viteză de convergență. Dar dacă f are o discontinuitate, convergența seriei Fourier poate fi compromisă (vezi efectul Gibbs); la undine, fenomenul este mai atenuat. Teoria undinelor urmărește sistematic proprietățile de bună localizare, conversie A / D și controlul rezoluției. Există diverse metode și algoritmi de construire de undine generatoare, adaptate unor domenii specifice – studiul semnalelor radar/sonar, al undelor seismice, semnalului vocal, al procesării imaginilor, cu mare succes în domeniul compresiei și filtrării și în ultimul timp, al detecției undelor gravitaționale. Așa cum am mai spus, transformata Fourier 3({) = ℱ{3(6)}, { ∈ ℝ determină o „rezoluție de frecvență”, deci posibilitatea considerării diverselor subbenzi de frecvență, cu eliminarea unora prin filtrări corespunzătoare. În natură și în laboratoare se întâlnesc sau se construiesc diverse dispozitive de procesare a frecvențelor; ochiul, urechea, nasul nostru sunt în fond exemple de filtre. Undinele sunt și în acest domeniu purtătoare de progres și noutate științifico–tehnologică. Notă istorică Ingrid Daubechies (n. 1954) este o matematiciană și fiziciană belgiană, profesoară la Princeton și apoi la Duke Univ., prima femeie aleasă președinte a IMU („Uniunea Internațională a Matematicienilor”). Este printre fondatorii Teoriei undinelor

230

(„wavelets”), având contribuții profunde privind procesarea semnalelor digitale, imagistica medicală, telediagnoză, compresia imaginilor și recunoașterea amprentelor umane. O clasă de undine îi poartă numele, fiind utilizate în standardul JPEG. În 2012 a primit titlul de baroneasă din partea regelui Albert II. Este autoarea unui manual celebru „Ten lectures in wavelets” și a sute de lucrări și comunicări științifice. Soțul ei este tot matematician și împreună sunt părinții a doi copii, cărora le arată toată devoțiunea. §4.5. Aplicații la radar, separarea semnalului util, compresia semnalelor I. Aplicarea undinelor la RADAR Scopul Radarului este acela de a obține informații despre obiecte zburătoare – poziția și viteza unui avion sau a unei rachete –, la o stație de pe Pământ. Localizarea unui obiect se face măsurând timpul de întârziere între un semnal trimis și ecoul său după atingerea obiectului, ținând cont și de efectul Doppler datorat deplasării obiectului. Comparația dintre semnalul trimis și ecou permite determinarea, cu aproximație, a distanței variabile D dintre obiect și stația Radar, ca și a vitezei radiale, în lungul liniei de vedere. Semnalul trimis, de la Radar este o undină Ù(6) reprezentând tensiunea alimentată în antena de transmisie, care convertește Ù(6) într-o undă electromagnetică (figura 4.12). După reflexia de obiect, unda electromagnetică ecou este convertită de aceeași antenă într-un

! 231

Figura 4.12

semnal 3<6=. Undele electromagnetice se propag% cu viteza c a luminii #i dac% obiectul zbur%tor urm%rit este presupus în repaus (v = 0) la distan$a D de sta$ia Radar, atunci

3<6= @ ãÙ 6 R %/n , (29)

unde ã0> 0 este o constant% care depinde de reflectivitatea obiectului #i de atenuarea semnalului. Dac% obiectul este relativ mic #i se deplaseaz% cu viteza radial% v, atunci distan$a dintre obiect #i sta$ie la momentul t este › 6 @ ›E X u6, unde 0›E @ ›<H=ë (30) Dac% v > 0, atunci obiectul se îndep%rteaz% #i dac% v < 0, se apropie. Notând cu õ<6= întârzierea ecoului care sose#te la momentul t, atunci

π È õ<6= @ &› 6 R s<Å=% , (31)

deci conform (30),

π È õ<6= @ &›E X &u È 6 R s<Å=% @ &›E X &u6 R uõ<6=,

adic% <π X u= È õ<6= @ &›E X &u6, de unde õ<6= @ %/ó^%ñÅn^ñ .

Din rela$iile (29) #i (30), rezult% c%

3<6= @ ãÙ 6 R %/ó^%ñÅn^ñ . (32)

232

Determinăm acum parametri reali a, b astfel încât

6 − %/ó^%ñÅn^ñ

= ÅW_Q

, pentru orice t. Identificând coeficienții lui t și

termenii liberi, rezultă 9 = n^ñnWñ, : = %Q/ó

n^ñ, de unde

u = π ∙ QW#Q^#, ›E =

_nQ^#

. (33)

Deoarece v < c, rezultă a > 0. Apoi dacă v > 0, atunci a > 1 (adică obiectul se îndepărtează), atunci conform (32),

3(6) = ãÙ ÅW_Q= ã 9ÙQ,_(6).

Energia semnalului f este E(3) = 3(6) %d6 =

ã%9 ÙQ,_(6)%d6 = ã%9E(ÙQ,_) = ã%9.

Am stabilit astfel: TEOREMA 4.5: Semnalul 3(6) convertit după reflexie din semnalul radar Ù(6) este de forma 3(6) = ã 9ÙQ,_(6), unde

9 = n^ñnWñ, : = %Q/ó

n^ñ, v este viteza radială a obiectului, ›E distanța

inițială de stație și c – viteza luminii. Parametrii a, b se determină cu aproximație comparând semnalul Ù(6) trimis și semnalul ecou primit (de exemplu, punând condiția ca ÙQ,_ și Ù să fie coliniare). De îndată ce se cunosc a, b, se determină v, ›E conform (33). Conform definiției 3.10, dacă {∗ este centrul frecvențial al undinei Ù(6)și a > 1, atunci semnalul ecou 3(6) se localizează într-o bandă de frecvență în jurul valorii }∗

Q, deci mai îngustă decât cea a semnalului trimis.

Pentru specialiștii în detecția Radar sau Sonar (în cazul obiectelor submarine sau al imitării liliecilor), astfel de considerații, completate cu virtuțile undinelor, sunt esențiale.

233

II. Separarea semnalului util de zgomot Fiind dat un semnal 3(6), periodic sau nu, Analiza Fourier permite calculul frecvențelor și amplitudinilor componentelor semnalului. Pentru semnale care nu sunt netede sau sunt aleatoare nestaționare, undinele permit studiul local al lor și al diverselor metode de eliminare sau atenuare a zgomotelor care „corup” semnalele. Vom da un exemplu sugestiv pe cazul unui semnal de durată finită, presupus definit (fără restrângerea generalității) pe intervalul de timp [0, 1]. Dacă f: [0,1] → ℝ este un semnal continuu din Lℝ# ∩ Lℝ% , prelungit la ℝ prin periodicitate T = 1 (deci { = 2() atunci conform teoremei 1.5, formula (25), rezultă: ∀6 ∈ 0,1 , 3 6 = πBe%,¥BÅB∈ℤ , (34)

unde πB = 3(6)#E eW%,¥BÅd6.

În acest mod, semnalul analogic 3(6) poate fi identificat cu semnalul digital (πB), ? ∈ ℤ (conversia A / D). Exemplu

Fie semnalul 3 6 = ã 6 ∙ e_ ÅWàå

a

+ e_ ÅWçå

a

,

6 ∈ [0,1], unde b = – 50π și ã(6) = 4 cos(2(×406), cu graficul redat schematic în figura 4.13. Cei doi termeni din paranteză sunt neglijabili cu excepția valorilor lui t din vecinătatea punctelor

6 = #ƒ, 6 = -

ƒ. Semnalul 3(6) poate fi utilizat de un modem, pentru

a transmite octetul 01000001 (care reprezintă litera A în codul ASCII).

!234

Figura 4.13

Modulele πB ale coeficien$ilor Fourier din formula (34) sunt neglijabile pentru toate valorile n (– 63 ) n ) 64) cu excep$ia valorilor lui n apropiate de – 40 #i 40 (men$ionate în expresia lui ã<6=). Spectrul în amplitudine al lui f este redat în figura 4.14.

Figura 4.14

Presupunem acum c% pân% la recep$ie, semnalul 3<6= este distorsionat de un zgomot adi$ional cu media <6=' 6 7 8H'O; având graficul indicat în figura 4.15, cu coeficien$ii Fourier ŒB

! 235

Figura 4.15

neglijabili pentru ? I &H (s% zicem!). Spectrul de amplitudine al semnalului 3<6= X ˛<6=0este indicat în figura 4.16. Coeficien$ii Fourier pentru semnalele f #i 3 X ˛ sunt separa$i.

Figura 4.16 Figura 4.17 Folosind un filtru cu func$ia H(n) egal% cu 1 într-o vecin%tate V a frecven$elor – 40 #i + 40, nul în intervalul (– 20, 20) #i în afara lui V (ca în figura 4.17), se reg%sesc coeficien$ii πBÌ s πB, iar suma seriei πBÌi%,¥BÅB7> reprezint% un semnal 3#<6= care aproximeaz% semnalul ini$ial, cur%$at astfel de zgomot. III. Compresia semnalelor În prelucrarea #i transmisia semnalelor, un rol important revine elimin%rii redundan$elor, ceea ce reduce num%rul de

!236

e#antioane rezultate #i esen$ializeaz% informa$ia, cu pierderi deplin acceptabile. Astfel, pentru un text care con$ine OH® simboluri #i c%ruia i se aplic% o compresie de raport 4:1, spa$iul ocupat se reduce la o treime. De asemenea, sondele spa$iale au transmis imagini de pe planeta Marte, fiecare având câte OH- pixeli, cu nivele de str%lucire între 0 #i &ƒ R O. Orice astfel de imagine necesit% peste OHy bi$i de informa$ie #i numai dup% compresii de mare raport, fotografiile au putut fi decodificate #i publicate. Fie un semnal f:[0,1] / 0! din "!# Z "!% ; se împarte

intervalul [0, 1] în N subintervale de lungime #o, prin punctele de

diviziune H' #o '%o ' ë ë ë '

oW#o ' O (cu n — & ales convenabil). Not%m

6B @ Bo ' H m ? m n R O deci f se poate modela prin semnalul

discret (3<6B==' H m ? m n R O, care la rândul lui se poate identifica prin func$ia în scar% 3J408H'O; 0/ 0!, ob$inut% prin blocarea e#antioanelor pe subintervale; adic% 3J<6= @ 3<6B= pentru 6 7 86B' 6B^#=' H m ? m n R O; figura 4.18. De regul%, se alege N astfel încât energia lui 3J0s% fie apropiat% de energia lui f, adic%

3<6B= %oW#BpE s 3<6= %]6#

E .

Figura 4.18

237

Exemplu

Fie 3:[0,1] → ℝ, 3(6) = eW_(ÅWàø)a, unde b = 50π.

Alegem N=128, considerăm eșantioanele AB = 3 6B =

3 Bo, 0 ≤ ? ≤ 127. Aplicând TFD, se pot calcula

3U =∂√. x

ABuUB#%-BpE , 0 ≤ S ≤ 127, unde v = eW

ÆÕéæ (cu 3U calculați

folosind algoritmul FFT). Realizăm acum o compresie de raport 4:1 reținând din cei 128 de coeficienți 3U doar 32, aleși din 4 în 4; anume 3EÖ = 3E, 3#Ö = 3x, 3%Ö = 3ƒ, . . . , 3Y#Ö = 3#%x. Apoi se calculează (cu ITFD și tot cu FFT):

ABÖ =∂√. y #

Y%3UÖuWUBY#

UpE , 0 ≤ ? ≤ 31. Se obține astfel

semnalul AÖ = (AEÖ , A#Ö , . . . , AY#Ö ), care modelează satisfăcător semnalul inițial. Așadar, în locul transmisiei a 128 de eșantioane, se transmit doar 32. Semnalul comprimat AÖ are peste 70% din energia semnalului x inițial. Un rezultat similar se obține aplicând TCD. Atenție! Lanțul de operații: 3(6) → EȘANTIONARE → TFD → COMPRESIE → CODIFICARE→TRANSMISIE → DECODIFICARE

LA RECEPȚIE → ITFD → RECONSTRUCȚIA 3#(6) ≅ 3(6) este mai eficient decât EȘANTIONAREA lui 3(6) urmată de o COMPRESIE „mecanică”, deoarece transformările TFD și ITFD = TFDW# au proprietatea de a „amesteca” în mod benefic informațiile cuprinse în eșantioane. Reluăm același exemplu, dar aplicând undinele. Fixăm o undină generatoare Daubechies Ù cu suportul [0, 1] (disponibilă

238

pe Internet!), astfel încât undinele ÙäB 6 = 2B % ∙ Ù 2B6 − â pentru â, ? ∈ ℤ să formeze o bază ortonormală în spațiul Hilbert L[E,#]% . Atunci semnalul f din exemplul anterior are o dezvoltare în

serie de undine: 3(6) = ãäBÙäB(6)Bä , unde ãäB = 3, ÙäB = 2B % 3(6) ∙ Ù(2B6 − â)d6. Datorită celor doi parametri m, n de glisare și scalare, această dezvoltare permite o analiză mai eficientă a comportării lui f; de exemplu, într-o zonă mai densă de locații în timp, se consideră mai multe valori ale lui n, realizând un „zoom” în acea zonă. Iar în cazul studierii unor imagini ale corpului unui pacient, se consideră o densitate mai mare de valori în zonele de interes major (inimă, creier etc). Alegând valori – 15 ≤ m, n ≤ 16 (deci 32% = 1024 perechi (m, n)), se obține o foarte bună aproximare a lui f. Pentru – 3 ≤ m, n ≤ 4, adică 64 perechi (m, n), majoritatea coeficienților ãäB sunt neglijabili (conform alegerii undinei generatoare Ù) și în acest caz, se realizează o compresie de raport

16:1 (deoarece #E%xyx= 16). S-a constatat că semnalul

35(6) = ãäBÙäB(6)xBpWY

xäpWY este și el suficient de apropiat

de f, cu energia de peste 90 % din energia lui f, ceea ce atestă o bună compresie (indicele superior „w” amintește de termenul „wavelet”). În plus, codificarea lui 35 și transmisia sa digitală sunt mai rapide decât în cazul TFD sau TCD. Notă Pentru compresia semnalelor audio, algoritmul MPEG de codificare comprimă / compresează semnalele de 700 kbit/s cu eșantioane de 44 kHz deci 16 bit/eșantion. S-au realizat compresii

239

de raport 16:1 prin alegerea unei undine Daubechies având un suport îngust pentru frecvențe mari și mai larg pentru frecvențe mici. În cazul compresiei imaginilor în format digital, rezoluția imaginilor este măsurată în număr pixeli / inch2; pentru imagini alb–negru s-au realizat compresii de raport 32:1, atât prin restrângerea redundanței informațiilor spațiale (prin corelarea valorilor pixelilor vecini), cât și spectrale (prin corelarea valorilor spectrelor de la o octavă la alta, pentru aceleași locații ale pixelilor). În compresia video a imaginilor care se derulează în timp, se exploatează faptul că în momente vecine, cadrele nu diferă mult unele de altele. În acest caz, s-au realizat compresii chiar și de raport 1000:1, ceea ce a fost stimulat de utilizarea undinelor.

241

„Fourier's theory tells us that every curve, no matter what its nature may be, or in what way it was originally obtained, can be exactly reproduced by superposing a sufficient number of simple harmonic curves – in brief, every curve or surface can be built up by piling up waves.” Sir JAMES JEANS CAPITOLUL 5: ANALIZĂ FOURIER MULTIDIMENSIONALĂ ȘI FILTRE §5.1. Introducere Extindem la funcții de n variabile reale multe din conceptele din capitolele anterioare, dar nu de dragul generalizării matematice sterile, ci din dorința de a prezenta descrieri și studii de fenomene noi – cristalografie, tomografie, probleme fizico – tehnice 2D sau 3D etc. Ca notație formală, este mai comod cazul n–dimensional, dar cele mai multe aplicații le vom da pentru cazul 2D. Am inclus o prezentare a filtrelor analogice și digitale, ca sisteme intrare / ieșire în cazul 1D; aceasta poate fi extinsă și la cazul multidimensional. §5.2. Serii Fourier duble Am văzut rolul bazelor ortonormale pentru spațiul Hilbert LD%(F ⊂ ℝ interval). Dar dacă › ⊂ ℝB este o regiune, este dificil

242

de indicat o bază ortonormală pentru L/% , în afara cazului când D este un paralelipiped sau o bilă sferică. Considerăm cazul 2- dimensional al unui dreptunghi › = [9, :]×[π, Œ]. Fie Gä:ℝ → ℂ,â ≥ 1 o bază ortonormală pentru L[Q,_]% și uB:ℝ → ℂ, ? ≥ 1 o bază ortonormală pentru

L[n,ı]% . Se arată ușor că funcțiile

|äB(A, Ç) = Gä(A) ∙ GB(Ç); â, ? ≥ 1, formează o bază ortonormală pentru L/% . În multe situații concrete (de exemplu, în Cristalografie și în Studiul Materialelor) se întâlnesc funcții 3(A, Ç) dublu periodice de perioadă (Z#, Z%). Pentru simplitate, vom considera doar cazul funcțiilor periodice de perioadă 1 în fiecare variabilă (adică 3(A + 1, Ç) = 3(A, Ç) și 3(A, Ç + 1) = 3(A, Ç) pentru orice x, y); ele trebuie definite doar în pătratul unitate P = [0,1]×[0,1]. Conform teoremei 1.4 din Capitolul 1, funcțiile GB(6) = e%,¥BÅ, ? ∈ ℤ formează o bază ortonormală pentru L[E,#]%

deci familia |äB(A, Ç) = e%,»(äj^B)); â, ? ∈ ℤ formează o bază ortonormală pentru LÎ% . Ca atare, orice funcție dublu – periodică din LÎ% se reprezintă printr-o serie Fourier dublă de forma: 3(A, Ç) = πäBä,B |äB(A, Ç), unde

πäB = 3, |äB = 3(A, Ç)eW%,»(äj^B))dAdÇ#E

#E

seria fiind convergentă în normă (similar teoremei 1.6 din Capitolul 1). Cele spuse se extind fără dificultate la cazul n ≥ 2. Pentru a nu rămâne la generalități, considerăm următorul

243

Exemplu Fie D =[0, 9]×[0, :]×[0, π] o cutie paralelipipedică, având în interior o distribuție de sarcini electrice cu densitatea Ë(A, Ç, ∫) și fețele cutiei sunt puse la pământ (având potențialul electrostatic nul). Se pune problema determinării potențialului în interiorul cutiei și pentru aceasta, trebuie să determinăm soluția ecuației Poisson ∆G = −4(Ë(A, Ç, ∫) în D, (1) cu condițiile G(0, Ç, ∫) = G(9, Ç, ∫) = 0 pentru orice y, z; G(A, 0, ∫) = G(A, :, ∫) = 0, pentru orice x, z și G(A, Ç, 0) = G(A, Ç, π) = 0 pentru orice x, y. Căutăm soluții de forma unor serii Fourier de sinuși în fiecare variabilă: G(A, Ç, ∫) = ãä,B,Â sin

ä,jQsin B,)

_sin Â,ª

nlä,B,Âp# .

Ecuația (1) devine

− äa

Qa+ Ba

_a+ Âa

na(%l

ä,B,Âp# ãä,B,Â sinä,jQsin B,)

_sin Â,ª

n=

−4(Ë(A, Ç, ∫), de unde rezultă ãä,B,Â =Y%,Q_n

äa

Qa+ Ba

_a+ Âa

na

W#∙

Ë(A, Ç, ∫)nE

_E

QE sin ä,j

Qsin B,)

_sin Â,ª

nŒAŒÇŒ∫ pentru m, n, p≥ 1.

§5.3. Transformarea Fourier multidimensională Mai întâi, câteva pregătiri notaționale... Pentru A = A#, … , AB , Ç = (Ç#, . . . , ÇB), considerăm

produsul scalar A ∙ Ç = AUÇUU , norma A = (A#%+. . . +AB%)# % și

scriem 3(A)dA în loc de . . . 3(A#, . . . , AB)dA#. . . dABlWl

lWl .

244

În analogie cu cazul 1D, se definește convoluția (3 ∗ b)(6) = 3(∫)b(6 − ∫)d∫, fără a preciza condiții de existență și proprietățile tipice (comutativitate, distributivitate, ;

;j◊(3 ∗ b) = ;¢

;j◊∗ b etc). Similar cu definiția 3.1, introducem:

Definiția 5.1: Dacă 3:ℝB → ℂ este o funcție din Lℝ£# ,

transformata Fourier n–dimensională a lui f este funcția 3 = ℱB{3}:ℝB → ℂ definită prin următoarea integrală multiplă improprie

3({) = 3(6)eW¥(}∙Å)dℝ£ 6. (3)

Funcția 3 este mărginită (căci 3({) ≤ 3 # pentru orice { ∈ ℝB)și tinde spre zero dacă { → 0 în orice direcție. Dacă 3 ∈ L# ∩ L% pe ℝB, are loc și formula de inversare:

3(6) = #(%,)£

3({)e¥(}∙Å)dℝ£ {, (4)

pentru a.p. 6 ∈ ℝB. Se extind fără dificultăți principiale

proprietățile operatorului Fourier ℱB:Lℝ£% → Lℝ£

% , 3 ↦ 3. De exemplu: ℱ{3(6 − 9)} = eW¥(}∙Q) 3({);

ℱ{e¥(Q∙Å)3(6)} = 3({ − 9);

;¢;jè

!({) = i{‚3({); dacă b ∈ L# și 3 ∗ b ∈ L#, atunci

(3 ∗ b)! = 3b; 3, b = (2()B 3, b ;

3 % = (2()B ∙ 3 %. O funcție 3:ℝB → ℝse numește radială dacă

245

3(zA) = 3(A) pentru orice matrice ortogonală z ∈ MB(ℝ); în

acest caz, 3(A) depinde doar de A . Atunci ℱ comută cu

rotațiile, în sensul că ℱ{3(zA)} = 3(z{). Dacă f este rapid descrescătoare (se scrie 3 ∈ $), atunci 3 ∈ $ și dacă T ∈ $′ este o distribuție temperată n – dimensională, atunci se definește transformata Fourier Z = ℱBZ, ca în definiția 3.8. Vom vedea cum se folosește transformarea Fourier 2D (sau 3D) la procesarea imaginilor și în Tomografie. Exemple 1) Operatorul Fourier transformă operatorii diferențiali cu coeficienți constanți în multiplicare cu polinoame. Anume, dacă

L(u) = au + :U;(

;Å◊BUp# + π‚U

;a(

;Åè;Å◊B‚,Up# , atunci L(G) !({) =

ç({)G({), unde P({) = 9 + :U{UU − π‚U{‚{U‚,U .

O ecuație de forma Lu = f se transformă în PG = 3 și dacă polinomul P nu are zerouri în ℝB, atunci conform (4),

G(6) = #(%,)£

¢(})Î(})

e¥(Å∙})d{.

2) Iată versiunea n–dimensională a inegalității lui Heisenberg (teorema 3,12). Definim dispersia lui f în jurul unui punct 9 ∈ ℝB ca fiind un vector n–dimensional DQ3 cu

componentele(DQ3)U =#

¢(Å) a˜Å(6U − 9U)% ∙ 3(6)

%d6. Atunci

pentru orice k și orice 9, : ∈ ℝB, (DQ3)U ∙ (D_3)U ≥#x. Această

inegalitate are următoarea interpretare: principiul incertitudinii are

246

loc pentru fiecare din cele n componente ale poziției și momentului. 3) În Fizica teoretică se folosește explicit transformarea Fourier 4D, în modul următor: fie 6 = (6E, 6#, 6%, 6Y) ∈ ℝx, unde 6#, 6%, 6Y sunt componentele vectorului de poziție al punctului curent (relativ la un reper fixat), iar 6Eeste momentul de timp la care au fost măsurate. Dacă {:ℝx → ℝeste o aplicație ℝ – liniară, atunci există și sunt unice 4 numere reale {E, {#, {%, {Y, unice astfel încât ∀6 ∈ ℝx, {(6) = {E6E + {#6# + {%6% + {Y6Y. Considerăm unda e}(6) = e¥}(Å) deci conform (3), pentru orice

3 ∈ Lℝæ% , 3({) = 3, e} .

Numărul real {E se interpretează ca numărul de cicli/s, {#, {%, {Y fiind componentele vectorului de undă (reprezentând numărul de cicli pe unitatea de lungime). Pentru orice 6 ∈ ℝx, {(6) măsoară numărul de cicli ai undei e}(6) remarcați de un observator care „călătorește” între 0 și 6 în ℝx. Acest număr este independent de alegerea unităților de măsură, deoarece {(6) are o natură absolută, fiind independent de reper. Dacă înlocuim t cu at

(a ≠ 0), atunci înlocuim { cu #Q{, pentru a lăsa neafectat e}(6).

În acest context, ℝx este domeniul spațiu–timp, iar mulțimea ℒ(ℝx, ℝ) a funcționalelor liniar pe ℝx este domeniul frecvență. Formula (3) în ℝx corespunde analizei lui f pe componente frecvențiale, iar (4) corespunde sintezei Fourier. Dăm de asemenea o extindere a teoremei WKS (teorema 3.9):

247

TEOREMA 5.1 (Teorema de eșantionare n–dimensională): Fie 3 ∈ Lℝ£

%

astfel încât 3 să aibă suportul mărginit (adică 3 se anulează în afara unei bile). Atunci există vectori u#, . . . , uB ∈ ℝB astfel încât a.p. 6 ∈ ℝB, 3(6) să fie bine determinat cunoscând valorile lui f în punctele rețelei discrete ü = { S»u»B

»p# |S» ∈ ℤ}. Demonstrație: Alegem vectori liniar independențiu#, . . . , uB în ℝB și fie G#, . . . , GB reciprocii lor (unic determinați prin relațiile G», u‚ = 2(T»‚ pentru 1 ≤ i, j ≤ n).

Căutăm o funcție de eșantionare s de tipul „sa” astfel încât 3(A) = 3(S ∙ u)è(A − S ∙ u)U∈ℤ£ a.p. A ∈ ℝB, unde S ∙ u =

S»u»B»p# , pentru S = (S#, . . . , SB) ∈ ℤB.

Atunci 3 S ∙ u è A − S ∙ u =

= 3(Ç) ∙ è(A − Ç)T(Ç − S ∙ uℝ£ )dÇ. (5)

Pe de altă parte, avem

3(A) = #ê

3(Ç)eW¥ ),U∙( è(A − Ç)ℝ£U∈ℤ£ dÇ,

unde V este volumul paralelipipedului construit pe vectorii u#, . . . , uB. Aplicând operatorul ℱB, rezultă că ∀ { ∈ ℝB,

3({) = #êè({) 3({ + S ∙ G)U∈ℤ£ . (6)

Este suficient să alegem u#, . . . , uB astfel încât spectrele 3({ + S ∙ G) să nu se încalece și să alegem s astfel încât

248

è({) = 4, constant pe Supp3 și nul în punctele unde 3({ + S ∙G), S ≠ 0, este nenul. Aplicând ℱBW# în (6), rezultă (5). APLICAȚIE (la procesarea imaginilor) Transmisiile audio sunt esențialmente legate de schema

următoare: f(t) la EMISIE →ℱ3({) → CANAL cu ZGOMOT →

3#({) →ℱÃà 3#(6) ≅ 3(6) la RECEPȚIE

Pentru o imagine 2D alb – negru, privită ca o submulțime F ⊂ ℝ% cu funcția ei de strălucire 3 A, Ç , 3:ℝ% → ℝ cu suportul I (care asociază oricărui punct A, Ç ∈ F nivelul său de gri). În practică, se fixează o rețea 2D și f este măsurată doar în pixeli (≡ nodurile rețelei). O transmisie TV utilizează o schemă similară dar cu ℱ% 3 A, Ç și ℱ%W# la recepție. Dăm un algoritm de reconstrucție a imaginilor 2D, datorat lui Youla. Considerăm spațiul Hilbert ‰ = Lℝa

% . Pentru orice a > 0, notăm cu |Q funcția indicator a pătratului çQ = −9, 9 × −9, 9 , egală cu 1 pe çQ și nulă în afară. Dacă z = {3 ∈ ‰|Supp3 ⊂ ç}, atunci A este un subspațiu liniar închis al lui H și ortogonalul său este zë = 3 ∈ ‰ 3 se anulează în çQ}; atunci ‰ = z⨁zë, cu proiectorul �:‰ → z, 3 ↦ 3 ∙ |Q. Pe de altă parte, pentru orice b > 0, notăm fi = {3 ∈ ‰|Supp3 ⊂ ç7}. Avem fië = 3 ∈ ‰ 3 se anulează în ç_}, ‰ = fi⨁fië, cu proiectorul ¯7:‰ → fi, 3 ↦ℱ%W# 3 ∙ |_ . Problema este să se determine 3 ∈ ‰ știind că 3 ∈ fi și cunoscând 3E = ¯�3 din B (pentru a > 0, b > 0 dați).

249

Avem 3E = ¯�3 = ¯� ¯73 = 1ì − ¯�î ¯73 = 3 −¯�î¯73. Notăm q = ¯�î¯7 = ¯7 − ¯�¯7 deci 3E = 3 − x3. Considerând operatorul Z:‰ → ‰, 3 ↦ 3E + x3, relația anterioară se scrie f + Tf. Dacă Ü = x < 1, atunci T este o contracție de coeficient C, deoarece ∀3, 3Ö ∈ ‰, d Z3, Z3Ö = Z3 − Z3Ö = (3E + x3) − (3E + x3′) = x(3 − 3′) ≤ x ∙ 3 − 3′ =Ü ∙ d(3, 3′). Conform principiului contracției al lui Banach, T are un punct fix unic și ca atare, f este determinat. În acest mod, se poate da următorul ALGORITM (de reconstrucție a imaginilor) Este dată o imagine I, cu funcția de strălucire 3 ∈ ‰, cu banda de frecveneță mărginită (H = Lℝa

% ). Pasul 1. Se determină valorile lui f în pixelii unui pătrat çQ = [−9, 9]×[−9, 9], a > 0 care conține I. Fixăm un prag ÿ > 0. Pasul 2. Se calculează 3E = ¯�3 = 3|Q și se alege b > 0 astfel încât Supp3 ⊂ ç7. Pasul 3. Se consideră șirul (3U), S ≥ 0 în H cu 3E dat, 3# = Z3E, 3U^# = Z3U, adică 3U^# = 3E + x3U pentru k ≥ 0. Presupunem Ü = x < 1 și alegem N natural minim astfel încât á�

#Wá∙ 3# − 3E < ℰ.

Pasul 4. O soluție (aproximativă) a problemei este 3 ≅ 3o (ținând cont că lim

U→l3U = 3).

Determinând funcția de strălucire a imaginii I se obțin informații esențiale relativ la I.

250

§5.4. Filtre analogice și filtre discrete Fie E, F două spații liniare de semnale continuale A 6 , 6 ∈ ℝ. Definiția 5.2. Orice aplicație liniară Z:~ → ò se numește filtru liniar analogic. Orice astfel de filtru este de fapt un sistem intrare – ieșire („cutie neagră”), cu intrările A(6) ∈ ~ și ieșirile corespunzătoare

Ç(6) ∈ ò. Se mai scrie A(6) ↦\Ç(6) sau y = Tx. Intrările se mai

numesc excitații, iar ieșirile – reacții sau răspunsuri. Filtrul T se numește invariant în timp dacă din ipoteza A(6) ↦ Ç(6), rezultă că A(6 − 9) ↦ Ç(6 − 9), pentru orice t și a, sau echivalent õQ ∘ Z = Z ∘ õQ (adică T comută cu operatorii õQ de translație / glisare). Filtrul T se numește cauzal dacă de îndată ce A(6) ∈ ~ și A(6) = 0 pentru 6 < 6E, rezultă că Ç(6) = 0 pentru 6 < 6E (adică ieșirea este posterioară intrării). În acest mod, teoria sistemelor dinamice beneficiază de teoria operatorilor liniari. Filtrele se definesc și pentru sisteme multivariabile (cu mai multe intrări și ieșiri), dar ne oprim la cazul 1D. Exemple a) Fie ~ = ò = CℝE . Amplificatorul ideal de coeficient k (k ≥ 1) este filtrul liniar Z:~ → ò, definit prin Ç(6) = SA(6). Evident, el este invariant și cauzal. Similar, Ç(6) = A(6 − 2) +3A(6 − 1); dar Ç(6) = A(6 + 1)nu este cauzal.

! 251

b) Consider%m un circuit electric RL în serie, alimentat cu f.e.m. u<6=. Atunci ü¬<6= X î¬Ñ<6= @ u<6=, unde ¬<6= este curentul la momentul t (t ( 0), cu ¬<6= @ H; figura 5.1.

Figura 5.1

Dar acela#i circuit poate fi reprezentat ca un filtru analogic Z40~ / ò, unde ~ @ C!# #i ò @ C!E #i u<6= este solu$ia ecua$iei diferen$iale anterioare; figura 5.2.

Figura 5.2.

Defini$ia 5.3: Fie K clasa func$iilor original Laplace (defini$ia 3.4). Un filtru analogic Z40K0 / 0K se nume#te filtru de convolu%ie dac% exist% o func$ie d 7 K (numit% pondere) astfel încât pentru orice intrare x, ie#irea corespunz%toare s% fie convolu$ia Ç @ d Ì A. Se mai scrie T = C∏.

252

Definiția 5.4: Se spune că un filtru liniar analogic Z:K → K are funcția de transfer Φ(è) dacă pentru orice intrare x, raportul

Φ(è) = ℒ{\j}ℒ{j}

= 1(J)⁄(J)

(7)

este independent de x. Funcția de transfer este un cât de funcții olomorfe, anume câtul dintre transformata Laplace a ieșirii și cea a intrării. c) O clasă importantă de filtre analogice liniare și invariante în timp este următoarea: Fixăm a > 0 și fie H = L E,Q

% cu

produsul scalar 3, b = #Q

3 6 b 6 d6QE ; H este un spațiu Hilbert,

cu baza ortonormală eB 6 , ? ∈ ℤ unde eB 6 = e¥B}Å, ? ∈ ℤ și

{ = %,Q

(propoziția 1.4, relația (23)).

Pentru orice semnal A(6) ∈ ‰ are loc dezvoltarea Fourier A(6) = πBeB(6)B∈ℤ , conform teoremei 1.6 din Capitolul 1. Considerăm un filtru liniar și continuu Z:‰ → ‰, A(6) ↦ Ç(6). Atunci Ç 6 = ZA 6 = Z πBeB 6B = πBT(eB(6))B și notând TeB 6 = 3B 6 , Ç 6 = πB3B 6B . Deoarece eB 6 + G = eB 6 ∙ eB G , luând t ca parametru, rezultă 3B(6 + G) = TeB(6 + G) = T(eB(6) ∙ eB(G)) = = eB(6)TeB(G) = eB(6) ∙ 3B(G). Făcând u = 0, rezultă 3B 6 = eB 6 ∙ 3B 0 deci Ç 6 = πBeB 6 ∙ 3B 0B . În fine, notând ℎB = 3B 0 , ? ∈ ℤ, rezultă 3B 6 = ℎBeB 6 deci Ç 6 = πBℎBeB(6)B .

253

Așadar, filtrul T „lucrează” astfel: Z πBeB 6B = πBℎBeB(6)B .

Spectrul în amplitudine al intrării x(t) este BQ, πB ,

? ∈ ℤ cu „bețele” verticale πB plasate în punctele BQ (definiția 1.8;

formula (27) din Capitolul 1), iar spectrul în aplitudine al ieșirii

corespunzătoare y(t) este BQ, ℎBπB , ? ∈ ℤ, cu „bețele”

verticale plasate în aceleași puncte BQ, dar cu mărimile

înmulțite cu ℎB . Există încă o clasă importantă de filtre analogice – cele asociate unor ecuații diferențiale. Considerăm o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți, de forma Ç(B)(6) + 9#Ç(BW#)(6)+. . . +9BÇ(6) = :(6), cu b(t) o funcție continuă pe intervalul [0, ∞). Notând cu L operatorul diferențial definit de membrul întâi, ecuația se scrie: Ly(t) = b(t). Fixăm un moment è ∈ F și notăm cu y(t) = G(t, s) soluția ecuației omogene Ly(t) = 0 nulă pentru t ≤ s, astfel încât Ç(6), Ç′(6), . . . , Ç(BW%)(6) sunt continue pe [0, ∞) și Ç(BW#)(6) are saltul egal cu 1 în punctul s. Funcția G(t, s) se numește funcția Green a operatorului L; pentru orice t, s avem G(t, s) = G(t – s). Se arată ușor că soluția ecuației Ly = b(t) cu condițiile inițiale nule (adică Ç(U)(0) = 0 pentru 0 ≤ k ≤ n – 1) este

Ç(6) = é(6 − è):(è)dèÅE = é(6) ∗ :(6).

Exemple a) Pentru operatorul îÇ = Ç′ + 9Ç(9 > 0) avem

254

é(6, è) = 0, 6 ≤ èexp(−9(6 − è)), 6 > è și soluția ecuației

ÇÖ + 9Ç = : 6 , cu Ç(0) = 0, este Ç(6) = eWQ(ÅWJ) ∙ :(è)dèÅE .

b) Pentru ecuația pendulului Ç′′ + 9%Ç = :(6), cu condițiile inițiale Ç(0) = 0, Ç′(0) = 0, avem

é(6, è) = #Qsin 9(6 − è) pentru t > s și nulă pentru t ≤ s.

Soluția este Ç(6) = #Q

:(è) ∙ sin 9(6 − è)ÅE dè.

În condițiile anterioare, este definit un filtru de convoluție, anume Z:CℝE → Cℝ# , :(6) ↦ Ç(6) = é(6) ∗ :(6). Vom vedea că în Ingineria electrică, se va lucra cu precădere cu filtre în domeniul frecvență. TEOREMA 5.2. 1) Orice filtru de convoluție C∏ este liniar, invariant în timp și cauzal; 2) Funcția de transfer a lui C∏ este Φ(è) = ℒ{ℎ(6)}, adică imaginea Laplace a ponderii. Demonstrație: 1) Așadar, pentru orice intrare A 6 ∈ K,

ieșirea corespunzătoare este Ç 6 = A ∫ ℎ 6 − ∫ d∫ÅE deci

Z A 6 = A ∫ ℎ 6 − ∫ d∫lWl , căci A, ℎ ∈ K. Evident, T este o

aplicație liniară. Apoi, din relația Ç 6 = ZA 6 , rezultă că ∀9 ∈

ℝ, Ç 6 − 9 = A ∫ ℎ 6 − 9 − ∫ d∫lWl =Q^ªp(

= A(G − 9)ℎ(6 − G)dGlWl = Z(A(6 − 9)) deci filtrul

este invariant în timp. În fine, presupunem că A 6 = 0 pentru 6 < 6E. Avem de arătat că Ç(6) = 0pentru 6 < 6E. Cazul 6E ≤ 0 este evident și

255

presupunem 6E > 0. Pentru 6 < 6E, avem A(6) = 0și ca atare

Ç(6) = A(∫)ℎ(6 − ∫)d∫ÅE ≡ 0 deci filtrul este cauzal.

2) Avem Φ(è) = 1(J)⁄(J)

= ℒ{)(Å)}ℒ{j(Å)}

= ℒ{j∗∏}ℒ{j}

. Dar conform

formulei (22) din paragraful 3.4, ℒ{A ∗ ℎ} = ℒ{A} ∙ ℒ{ℎ}deci Φ(è) = ℒ{ℎ}. Exemple a) Pentru amplificatorul ideal Z:K → K, A ↦ SA, funcția

de transfer este Φ(è) = ℒ{Uj}ℒ{j}

= S, constantă.

b) Integratorul este filtrul Z:K → K, Ç(6) = A(∫)d∫ÅE =

A(6) ∗ G(6), unde u este treapta unitate deci este un filtru de convoluție. Așadar, Ç = A ∗ G deci ℒ{Ç} = ℒ{A} ∙ ℒ{G}. Dar

ℒ{G} = #J deci Φ(è) = #

J.

c) Pentru circuitul din figura 5.1, avem ecuația diferențială (în domeniul TIMP!) ü¬ + î¬′ = u și luând transformatele Laplace, üF(è) + î ∙ (èF(è) − ¬E) = 4(è); deoarece ¬E = 0, rezultă

Φ(è) = ê(J)D(J)= #ìJ^+

.

Cunoașterea funcției de transfer Φ(è) = 1(J)⁄(J)

pentru un

filtru determină comportarea filtrului: anume, cunoscând intrarea x(t), se determină X(s) și apoi Y(s) = Φ(è) ∙ Ÿ(è) și Ç(6) =ℒW#{˙(è)}; invers, cunoscând ieșirea y(t), se determină Y(s), apoi

Ÿ(è) = 1(J)A(J)

și se recuperează intrarea A(6) = ℒW#{Ÿ(è)}.

Spectaculos!

!256

Not% Sistemul T: A<6= . Ç<6= se mai reprezint% sugestiv ca în figura 5.3.

Figura 5.3

Leg%ri ale filtrelor Filtrele pot fi legate în mai multe moduri: în serie, în paralel, cu leg%turi inverse (1„feed-back”) sau combinate. 1) În cazul leg%rii în serie (1 cascad%), ca în figura 5.4, se ob$ine un filtru Á având

Figura 5.4

ca func$ie de transfer produsul func$iilor de transfer ale celor dou% filtre! Într-adev%r, notând cu Ç# 6 ' Ç% 6 ie#irile corespunz%toare, avem

Á# è @ 1à Jï J #i Á% è @ 1a J

1à J deci Á# è È Á# è @ 1a Jï J @ Á è ë

! 257

2) În cazul leg%rii în paralel cu sumare (figura 5.5), avem rela$iile urm%toare în

Figura 5.5

domeniul COMPLEX: Á#<è= @ 1à<J=ï<J= ' Á%<è= @

1a<J=ï<J= #i Á#<è= X

Á#<è= @ 1à<J=^1a<J=ï<J= @ Mg)<Å=h

Mgj<Å=h.

3) Consider%m acum un filtru ca în figura 5.6 #i presupunem c% la fiecare moment t, ie#irea y(t) se întoarce la intrare, dar dup% ce trece printr-un alt filtru cu func$ia de transfer

Figura 5.6

Á# è ë Sistemul astfel format A 6 /0Á è / C e , se nume#te leg&tura invers& (1 feed-back sau bucla de reac$ie). În domeniul COMPLEX, avem rela$iile urm%toare: ˙ @ Á È Ÿ X Ÿ# , Ÿ# @

258

Φ# ∙ ˙, de unde ˙ = ΦX+ΦΦ#˙, deci (1 − ΦΦ#)˙ = ΦŸ, de

unde Ù(è) = 1(J)⁄(J)

= A(J)#WA(≥)Aà(J)

.

Notă istorică Dacă filtrul cu funcția de transfer Φ nu este stabil, atunci se poate considera un filtru compensator Φ#, astfel încât Ù să fie stabil. Astfel de probleme sunt studiate în Teoria sistemelor dinamice. Legătura inversă (feed-back) a fost descoperită de eruditul medic militar român Ștefan Odobreja (1902 – 1978), care a scris o carte intitulată „Psihologie consonantistă”, apărută la Paris în 1938. Feed-back–ul este întâlnit în multe domenii științifice (Fizică, Biologie, Fiziologie, organizarea sistemelor de învățământ sau sănătate etc). În lipsa unei atmosfere științifice și a sprijinului oficial, dar și din cauza precarității pregătirii sale matematice, euristica lui Odobreja a rămas în faza pionieratului și la îndemâna pirateriei științifice. Se spune că N. Wiener a folosit cartea lui Odobreja, care i-a oferit lărgirea viziunii asupra Ciberneticii. Trebuie menționat că între anii 1950 – 1970, Cibernetica era considerată „o pseudoștiință reacționară”. Considerațiile anterioare se referă la sisteme cu o singură intrare și o singură ieșire, dar ele se extind la sisteme multivariabile (cu mai multe intrări și ieșiri); de asemenea, la cazul 2D sau 3D, creând filtre pentru imagini, funcții de transfer de mai multe variabile complexe etc. O idee spectaculoasă este cea a studiului organelor umane de simț ca filtre, conducând la informatizarea auzului, văzului, gustului, mirosului, pipăitului și de ce nu, a bunului simț, cu îmbogățirea domeniului Roboticii.

259

În analogie cu definiția 5.2, dăm Definiția 5.5: Fie ~ ⊂ S˜ un subspațiu liniar al spațiului S˜ al semnalelor discrete, conținând treapta discretă unitate u și impulsurile discrete TU, S ∈ ℤ. Se numește filtru digital (sau discret) intrare – ieșire orice aplicație liniară Z:~ → S˜. a) Aplicația T: S˜ → S˜, A = (AB) ↦ Ç = (ABW#) este un filtru digital, numit întârzierea cu un tact (sau șiftarea). b) Dacă h este un semnal finit (adică având un număr finit de eșantioane nenule), se poate considera filtrul de convoluție Z: S˜ → S˜, ZA = ℎ ∗ A. Dacă ℎ ∈ S^,atunci are sens filtrul Z: S^ → S^, A ↦ Ç = ℎ ∗ A. (Dacă A ∈ S^ și A = (AB), ? ≥ 0 atunci AB = 0 pentru n < 0). Evident, Z(T) = ℎ ∗ T = ℎ și de aceea, h se numește răspunsul–impuls al filtrului T (sau ponderea). În analogie cu definiția 5.4, anumitor filtre digitale li se asociază funcții complexe, numite funcții de transfer, care descriu comportarea filtrelor, folosind analogul discret al transformatelor Laplace, numite z – transformate. Definiția 5.6: Pentru orice semnal discret A = (AB), ? ∈ ℤ, se numește z–transformata lui x funcția complexă Ÿ(∫) = AB∫WBl

BpWl (adică suma acestei serii Laurent de puteri). Domeniul de convergență al seriei este fie mulțimea vidă, fie o coroană circulară K(0; r, R) = {z | r < ∫ < R} centrată în origine. Dacă r = 0, R = ∞, această coroană este ℂ 0 . Se mai notează: AB ↦ Ÿ ∫ sau Ÿ(∫) = îj(∫).

260

Proprietățile principale ale z – transformatelor 1. LINIARITATE: Dacă A, Ç ∈ S˜ și ã ∈ ℝ, atunci îj^)(∫) =îj(∫) +î)(∫), îQj(∫) = ãîj(∫). 2. CONVOLUȚIA: Dacă A, Ç ∈ S˜ au domeniu nevid de convergență și dacă există A ∗ Ç, atunci îj∗)(∫) = îj(∫) ∙ î)(∫). (8) Într-adevăr, fie Ÿ(∫) ≡ îj(∫) = AÂ∫WÂÂ și ˙(∫) ≡î)(∫) = ÇÊ∫WÊÊ deci Ÿ(∫) ∙ ˙(∫) = AÂÇÊ∫WÂWÊÂ,Ê . Pe de altă parte, fie A ∗ Ç = (πB), deci πB = AÂÇBWÂl

ÂpWl (serie presupusă absolut convergentă); așadar îj∗)(∫) =

πB∫WBB = πB AÂÇBWÂÂB =ÊpBWÂ

AÂ∫WÂÂ ÇÊ∫WÊÊ =Ÿ(∫) ∙ ˙(∫). 3. z – transformata lui TU este ∫WU și z – transformata treptei

unitate u este !(∫) = ªªW#

.

Într-adevăr, pentru x = TU avem AB = 0 pentru n ≠ k și AU = 1 deci îj(∫) = 0 + 1 ∙ ∫WU.

Apoi !(∫) = î((∫) = ∫WBlBpE = #

#W(# ª)= ªªW#

, cu

domeniul de convergență K(0; 1, ∞) = { ∫ > 1}. 4. Dacă A ∈ S˜, atunci A ∗ TU,S ∈ ℤ este întârziatul lui x cu k tacți și îj∗a◊ = ∫

WU ∙ Ÿ(∫). Rezultă din proprietățile 2 și 3. Reținem că dacă A = (AB), atunci A ∗ TU = (ABWU).

261

Teorema 5.3 (teorema de inversare a transformării „z”): Fie (AB) ↦ Ÿ(6), cu domeniul de convergență nevid. Atunci pentru orice ? ∈ ℤ, AB = Rez(∫BW# ∙ Ÿ(∫)), (9) suma de reziduuri fiind luată după toate singularitățile funcției ∫BW# ∙ Ÿ(∫) la distanță finită. Demonstrație: Alegem Ë > 0 astfel încât în discul ∫ < Ë să fie situate singularitățile respective. Din relația Ÿ(∫) =AU∫WUU , rezultă ∫BW# ∙ Ÿ(∫) = AU∫BWUW#U . Integrând această

relație pe frontiera orientată pozitiv Ü = { ∫ = Ë} a discului, se

obține: ∫BW# ∙ Ÿ(∫)d∫á = AU ∫BWUW#d∫áU = 2(iAB pentru

orice ? ∈ ℤ. Apoi se aplică teorema reziduurilor.

[Avem ∫Âd∫á: ª pÍ = 2(i dacă p = – 1 și nulă pentru p ≠ – 1].

Dăm un tabel de z – transformate: A = (AB) X(z)

TU, S ∈ ℤ ∫WU T 1

G = (GB) ∫∫ − 1

(?GB) ∫(∫ − 1)%

(ãBGB); ã ∈ ℂ ∫∫ − ã

262

Definiția 5.7. Dacă Z: S˜ → S˜, A ↦ Ç = ZA este un filtru liniar digital, atunci funcția de transfer a filtrului T este câtul

‰(∫) = 1(ª)⁄(ª)

, (10)

dintre z – transformatele ieșirii și intrării (cât presupus independent de intrarea x). Definiția 5.8: Filtrul liniar digital Z: S˜ → S˜, A ↦ Ç = ZA se numește invariant în timp dacă Z(AB) = ÇB implică Z(ABW#) = ÇBW#, adică din Tx = y, rezultă Z(A ∗ T#) = Ç ∗ T#. Filtrul T se numește cauzal dacă din ipoteza că A ∈ S^, rezultă ZA ∈ S^. În fine, T se zice stabil dacă pentru orice intrare x mărginită, ieșirea corespunzătoare y = Tx este mărginită. Proprietăți ale filtrelor digitale 1. Dacă Z: S˜ → S˜ este un filtru de convoluție (adică există ℎ ∈ S˜ astfel încât pentru orice A ∈ S˜, are sens ℎ ∗ A și ZA = ℎ ∗ A), atunci funcția sa de transfer este ‰(∫) = îª(∫). Într-adevăr,

‰(∫) = 1(ª)⁄(ª)

= #ì<(ª)

∙ î∏∗j(∫) =ìó(ª)∙ì<(ª)ì<(ª)

= î∏(∫).

Filtrul de convoluție ZA = ℎ ∗ A se mai notează C∏, ca în cazul filtrelor analogice. 2. Un filtru de convoluție C∏ este cauzal ⇄ ℎ ∈ S^. Într-adevăr, T ∈ S^ și dacă C∏ este cauzal, atunci ℎ ∗ T =ℎ ∈ S^. Invers, dacă ℎ ∈ S^ și A ∈ S^, atunci ℎ ∗ A ∈ S^ deci T = C∏ este cauzal. 3. Dacă T = C∏ este un filtru de convoluție și seria ℎBB†E este absolut convergentă, atunci T este stabil.

263

Într-adevăr, fie A = (AB), ? ∈ ℤ un șir mărginit (∀?, AB ≤ Ä). Dacă S este suma seriei ℎBB†E , din y = Tx =ℎ ∗ A, rezultă ÇB = ℎBWUAUU și ÇB ≤ Ä ∙ ℎBWUU ≤ Ä ∙ ° pentru orice n. O clasă importantă de filtre digitale este cea asociată cu ecuații cu diferențe finite: ÇB + :#ÇBW# +⋯+ :äÇBWä = = 9EAB + 9#ABW#+. . . +98ABW8, (11) cu m ≥ 0, r ≥ 0 întregi fixați și 9», :‚ constante (? ∈ ℤ variabil). TEOREMA 5.4: Dacă r < m, atunci ecuația (11) relativ la eșantioane definește un filtru de convoluție cauzal Z: S^ → S^, A = (AB) ↦ Ç = (ÇB). Demonstrație: Relația (11) se poate scrie ca o egalitate de semnale: Ç + :#Ç ∗ T# +⋯+ :ä(Ç ∗ Tä) = 9EA + 9#A ∗ T# +⋯+98(A ∗ T8) și trecând la z – transformate: ˙ ∫ + :#∫W#˙ ∫ +⋯+ :ä∫Wä˙ ∫ = 9EŸ ∫ + 9#∫W#Ÿ ∫ +⋯+ 98∫W8Ÿ ∫ . Considerăm polinoamele ç G = 9E + 9#G +⋯+ 98G8 și ò(G) = 1 + :#G+. . . +:äGä, rezultă ˙(∫) ∙ ò(∫W#) = Ÿ(∫) ∙ ç(∫W#) și funcția de transfer a lui

T este ‰(∫) = 1(ª)⁄(ª)

= Î(ªÃà)ô(ªÃà)

= Î(()ô(().

Deoarece P, Q sunt polinoame și Q(0) ≠ 0, rezultă că

funcția Î(()ô(()

este olomorfă în vecinătatea punctului u = 0 și are o

dezvoltare Taylor:Î(()ô(()

= πE + π#G + π%G%+. ...

Pe de altă parte, rezultă ˙(∫) = ‰(∫) ∙ Ÿ(∫), adică Ç = ℎ ∗ A; ‰(∫) = ℎB∫WBl

BpWl deci

264

‰ #ª= ℎBGBl

BpWl = Î(()ô(()

. Așadar, ℎBGBlBpWl =

πE + π#G + π%G%+. .. și din unicitatea dezvoltării în serie Laurent, rezultă că ℎB = 0 pentru orice n < 0, adică ℎ ∈ S^. Ca atare, filtrul ZA = ℎ ∗ A este cauzal. Exemple a) Determinăm funcția de transfer pentru un filtru digital y = Tx, astfel încât ÇB + ÇBW# = AB + 2ABW# pentru orice ? ∈ ℤ. Așadar, Ç ∗ T + Ç ∗ T# = A ∗ T + 2A ∗ T# și aplicând z–transformata, ˙(∫) + ∫W# ∙ ˙(∫) = Ÿ(∫) + 2∫W#Ÿ(∫) deci

˙(∫) 1 + #ª= Ÿ(∫) 1 + %

ª, de unde ‰(∫) = 1(ª)

⁄(ª)= ª^%ª^#.

b) Reluăm exemplul cu circuitul din figura 5.1. Ecuația diferențială ü¬ 6 + î¬Ö 6 = u 6 , 6 ≥ 0 poate fi discretizată, alegând un pas õ > 0 și momentele de timp 0, õ, 2õ, … , ?õ, … Notând ¬B = ¬ ?õ , uB = u ?õ pentru n ≥ 0 și folosind

formula aproximativă ¬Ö 6B ≅ »£≤àW»£s

, rezultă

ü¬B +ìs¬B^# − ¬B = uB, deci ¬B^# + :¬B = 9uB, ? ≥ 0,

unde am notat : = s+

ì− 1și9 = s

ì. Se obține astfel o ecuație de

tipul (11). Aplicând z – transformata, rezultă ∫F ∫ + :F ∫ = 94 ∫

deci ‰ ∫ = D ª1 ª

= Qª^_

. Deci sistemul discret uB ↦ ¬B este un

filtru digital de convoluție: ¬ = ℎ ∗ u, de unde ℎ = ℎB și

ℎB = Rez Qª£Ãà

ª^_, ? ≥ 0.

! 265

§5.5. Func%ia de transfer în frecven%& a unui filtru În 5.4 am dat câteva rezultate relativ la filtre liniare, analogice sau digitale, privite ca sisteme intrare–ie#ire în domeniul TIMP. Am v%zut c% o clas% general% de semnale o constituie clasa $Ö0a distribu$iilor temperate, incluzând impulsurile, pieptenul lui Dirac, treapta unitate #i practic toate func$iile care au spectru distribu$ional în frecven$%. Cea mai general% defini$ie a filtrelor este urm%toarea. Defini$ia 5.9: Se nume#te filtru liniar orice sistem intrare – ie#ire 1D definit printr-un operator Z40$Ö0/ 0$Ö' A0 . 0Ç @ ZA. Func$ia de transfer în frecven$% a filtrului T este raportul

‰ { @ 1 }⁄ } @ ?g)<Å=h

?gj<Å=h, presupus independent de x.

Filtrul se reprezint% ca în figura5.7.

Figura 5.7

Filtrul T se nume#te de convolu%ie dac% exist% un r%spuns – impuls h (d 7 &Ö) astfel încât Ç @ d Ì A; în acest caz, se noteaz% T = C∏. Exemple a) Consider%m circuitul RL din figura 5.1, descris prin ecua$ia diferen$ial% ü¬<6= X î¬Ñ<6= @ u<6= în domeniul timp, cu

266

R > 0, L > 0 constante. Aplicăm operatorul Fourier, notând ˙({) = ℱ{Ç(6)}ș¬4({) = ℱ{u(6)}. Folosind regula de derivare a originalului (formula (6) din Capitolul 3), rezultă îi{˙({) +ü˙({) = 4({) în domeniul FRECVENȚĂ. Așadar, (îi{ + ü)˙({) = 4({) deci funcția de transfer în frecvență a filtrului Z:u(6) ↦ Ç(6) este

‰ { = 1 }ê }

= #ì¥}^+

= #ì∙ #Q^¥}

, unde 9 = +

ì, 9 > 0.

Conform primului tabel de transformate Fourier, rezultă

ℎ(6) = #ìeWQÅG(6). Acesta este răspunsul – impuls al circuitului

(identificat cu filtrul C∏). Filtrul este cauzal, deoarece ℎ(6) = 0 pentru t < 0. b) Mai general, considerăm o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți, de forma Ç B + 9#Ç BW# +⋯+ 9BÇ = : 6 , unde : ∈ $′. Notând ˙({) = ℱ{Ç(6)}, fi({) = ℱ{:(6)}, rezultă (i{)B˙({) + 9#(i{)BW#˙({)+. . . +9B˙({) = fi({). Considerând polinomul ò({) = {B + 9#{BW#+. . . +9B,

ò(i{) ∙ ˙({) = fi({), deci ˙({) = 7(})ô(¥})

.

Dacă :(6) = T(6), atunci fi({) = 1 și răspunsul – impuls

ℎ(6) are spectrul ‰({) = #ô(¥})

.

Așadar, ˙({) = ‰({) ∙ fi({) și aplicând ℱW#, Ç(6) = ℎ(6) ∗ :(6).

267

Notă Așa cum am mai spus, urechea umană este un filtru care reține doar sunete cu frecvențe până la 20000 Hz, dar se întâlnesc multe alte exemple de sisteme intrare – ieșire asimilabile cu filtrele, care pot fi analizate fie în domeniul TIMP, fie în domeniul FRECVENȚĂ.

269

„Lumea este analogică și doar reprezentarea ei este digitală.”

FOLCLOR INGINERESC CAPITOLUL 6: APLICAȚII Vom prezenta câteva aplicații semnificative ale capitolelor anterioare, proiecții în Fizică și în Ingineria electrică a paradisului Fourier. Mai întâi, în paragraful 6.1 indicăm un exemplu important de filtre (≡ sisteme intrare/ ieșire) constituit de canalele de comunicație, descrise prin funcțiile lor de transfer. Paragraful 6.2 prezintă câteva principii și aplicații ale opticii Fourier (difracția, interferența, holografia), iar 6.3 se referă la tomografia computațională, una din binefacerile spectaculoase ale tehnologiilor electronice și informatice. Există de asemenea rezultate considerate de mare perspectivă privind aplicarea undinelor la descifrarea codului genetic sau răspunsul la problema „de ce doi sau mai mulți atomi diferiți dau naștere unor substanțe chimice stabile”, răspuns obținut de Ch. Feferman prin anumite inegalități între spectrele frecvențiale ale acelor atomi. Dar acestea depășesc cadrul propus. §6.1. Canale de comunicație ca filtre Preliminarii Prin canale de comunicație se înțeleg conductori electrici, ghiduri de undă, cabluri de fibră optică sau unde purtătoare de

270

frecvențe radio. Studiul comunicațiilor se referă la transmisia fizică a informației prin curenți electrici sau prin unde electromagnetice, a semnalelor sau mesajelor codificate în prealabil. Atenție: Comunicațiile sunt cu precădere analogice, iar codificările / decodificările sunt digitale. Considerăm un conductor electric prin care este trimis un curent variabil, care produce o diferență de potențial u(6), peste o impedanță 1Ω. Semnalele u(6) sunt asimilate cu funcții de tipul unor sinusoide. Acestea nu satisfac condițiile lui Dirichlet, dar ținând cont că ele au o durată finită, se consideră că există T > 0 astfel încât u(6) să fie neglijabil în afara intervalului [– T, T]. Bineînțeles, valorile u(6) sunt reale, măsurate în [V]. Reamintim câteva noțiuni adaptate scopului urmărit, deși ele au un cadru mai general de manifestare.

Media lui u(6) este u(6) = #%\

u(6)d6\W\ și puterea

medie furnizată este ç = ¯(6) = #%\

u(6)%d6\W\ .

Se mai definește media pătratică u≠h≥ = ç („root mean square”). În cazul unui semnal periodic, de perioadă ZE, media și puterea medie se consideră pe un interval de lungime cât perioada

principală, anume [0,ZE] sau −\ó%, \ó%

.

În practică, u(6) și u≠h≥ se măsoară cu un voltmetru „true rms”.

271

Exemple Dacă voltajul este u(6) = 4 cos{E6și curentul

¬(6) = F cos{E6 (periodice de perioadă ZE =%,}ó

), atunci puterea

curentului este

¯(6) = u(6)¬(6) = #%4F(1 + cos2{E6). Atunci

u(6) = #\ó

4 cos{E6 d6\óE = 0 și similar ¬(6) = 0, dar

puterea medie este

¯(6) = êD%\ó

(1 + cos 2{E6) d6\óE = #

%4F.

Într-un circuit cu rezistența R, u(6) = ü¬(6) și

¯(6) = #+u(6)% deci

ç = #+u(6)% = #

+(u≠h≥)% =

#+u≠h≥ ∙ u≠h≥ și cum

u≠h≥ = ü¬≠h≥, rezultă ç = u≠h≥ ∙ ¬≠h≥. C. Shannon a arătat că dacă puterea medie S a semnalului primit u(6) (la capătul unui canal de comunicație) este suficient de mare în comparație cu puterea medie a zgomotului Z (presupus gaussian) și dacă rata de transmisie în bit/s este strict mai mică decât capacitatea C a canalului de comunicație, atunci probabilitatea de eroare în transmisie poate deveni oricât de mică. Acest rezultat a constituit începutul mariajului dintre teoriile transmisiei informației și sistemelor de comunicație. Puterile medii S și Z ale semnalului u(6) și zgomotului ∫(6) se măsoară în Watt și formula lui Shannon este: Ü = fi log%(1 + ° ˚), unde B este lărgimea de bandă a canalului (măsurată în [Hz]).

272

Raportul r dintre puterile medii ç∑EX, ç¥µ la ieșirea și intrarea în sistemul de comunicație este adimensional; decibelul lui este definit prin dB = 10 log r (logaritm zecimal) deci ç∑EX = ç¥µ ∙ 10˜7 #E. Atunci raportul semnal / zgomot, măsurat în decibeli, este (°/˚)˜7 = 10 log u(6) % ∫(6) % = 20 log u≠h≥ ∫≠h≥ . Notă istorică Claude Shannon (1916 – 2001) a fost revendicat atât de matematicienii cât și de inginerii electrici americani. El este considerat părintele Teoriei informației, prin adâncirea conceptului de entropie informațională (1948). A rămas celebru pentru teza sa de masterat (nu doctorat!), în care a realizat mariajul între logica booleană și circuitele electrice. Shannon a dezvoltat proiectarea circuitelor digitale și a primelor calculatoare moderne, dar și proiectarea canalelor de comunicație și elaborarea unor lucrări de pionierat privind criptografia. În plus, el a fost și un inventator deosebit (primul calculator portabil, șoricelul inteligent, dispozitiv pentru rezolvarea cubului Rubik ș.a.), dar și un jucător de ruletă, care nu și-a devoalat sursa norocului său proverbial care i-a adus o mare avere. Densitate spectrală de putere Reluăm cazul (generic) al voltajului u(6), presupus în clasa Lℝ# ∩ Lℝ% (condiție îndeplinită cu aproximație acceptabilă). Dacă 4(q) = ℱ{u(6)}, atunci conform relației (29) din Capitolul 3 (cu { = 2(q), avem

273

4(q) %dqlWl = u(6) %d6l

Wl = u(6)%d6lWl ,

(1) ultima egalitate rezultând din faptul că valorile u(6) sunt reale. Atunci puterea medie a semnalului u(6) este

P = #%\

u(6)%d6\W\ ≅ #

%\u(6)%d6l

Wl =∂√.(#) #

%\4(q) %dql

Wl .

Definiția 6.1: Mărimea é(q) = #%\

4(q) % se numește

densitatea spectrală de putere a semnalului u(6). Așadar, ç = é(q)dq, ceea ce justifică denumirea de densitate. Reamintim că autocorelația lui v la momentul t este mărimea variabilă

u(G) ∙ u(6 + G)dGlWl ≅ u(G) ∙ u(6 + G)dG\

W\ ,

deoarece v este nulă în afara intervalului [– T, T]; în Capitolul 3, paragraful 3.2, proprietatea 8 arată că transformata Fourier a acestei mărimi este egală cu 4(q) %. Notând

ü(6) = #%\

u(G) ∙ u(6 + G)dG\W\ , rezultă că

ℱ{ü(6)} = #%\

4(q) % = é(q).

Am demonstrat astfel TEOREMA 6.1 (Wiener – Hincin): Densitatea spectrală de putere é(q) a semnalului u(6) este egală cu spectrul frecvențial al funcției de autocorelație ü(6). Reținem următoarele perechi de variabile conjugate timp -

frecvență: u(6) ⇄ℱ4(q)șiü(6) ⇄

ℱé(q).

274

Proprietăți ale densității de putere Fie u(6) semnalul transmis prin canal, 4(q) spectrul lui frecvențial, é(q) densitatea de putere și ü(6) autocorelația.

1. ü(6) = é(q)e%,¥Årdq; (2) Aceasta rezultă conform formulei de inversare a transformării Fourier. 2. ü(0) = ç, puterea medie a semnaluluiu(6). Făcând t=0 în formula (2), rezultă

ü 0 = é q dq =˜¨√.y.#. #%\

4 q %dq ≅

#%\

4(q) %dq\W\ =

∂√.(#) #%\

u(6) %d6\W\ = ¯(6) = ç.

3. Voltajul mediu pătratic este u≠h≥ = ç = ( é q dq)# %. 4. Densitatea spectrală de putere este funcție pară, cu valori reale și pozitive. Într-adevăr, 4(q) = u(6)eW%,¥rÅd6 și

4(q) = u(6)e%,¥rÅd6 = 4(−q); atunci

é −q =˜¨√.y.#. #%\

4 −q % = #%\

4 q%=

= #%\

4(q) % = é(q).

5.ü(6) este pară cu valori reale. În general, transformarea Fourier (directă sau inversă) a unei funcții pare cu valori reale are aceeași proprietate, iar ü 6 = ℱW# é q . 6.é q = 2 ü(6) cos 2(q6 d6l

E .

Într-adevăr, é q = ü(6) (cos 2(q6 − i sin 2(q6)d6lWl .

! 275

Not% Func$ia ü<6=0de autocorela$ie d% o idee asupra frecven$ei semnalului u<6=; dac% ü<6= este constant% pe un interval „mic” [0, ÿ], atunci valorile medii ale lui v într-un interval 8õ' õ X ÿ; sunt practic acelea#i, deci u<6= nu se modific% rapid în medie #i frecven$ele vor fi mici. Dac% ü<6= descre#te pentru t cresc%tor, atunci apar frecven$e înalte. Func$ia ü<6= este m%rginit%, par%, având un maxim în punctul t = 0 #i are graficul ca în figura 6.1.

Figura 6.1.

Exemplu Dac% é q @ π, constant% pentru H m q m qE #i nul% în rest, cu qE fixat, atunci func$ia sa de autocorela$ie este, conform

(2), ü<6= @ é<q=i%,¥År]qlWl @ π i%,¥År]qró

W0ró @ n ≥¥µ %,ÅróÅ .

Graficul acestei func$ii este similar celui din figura 6.1. Tipuri de zgomote Termenul de „zgomot” provine de la fluctua$iile aleatorii ale voltajului care creau un „#uierat” în vechile receptoare telefonice, auzit #i în receptoarele radio care nu sunt acordate pe

276

frecvența de transmisie. Zgomotele sunt asociate cu semnalele aleatoare care nu poartă mesaje sau informații. Definiția 6.2: Zgomotul alb este un concept ideal, reprezentând orice semnal având media nulă și densitatea spectrală de putere constantă (aceeași în toate frecvențele). El amintește de un corp care reflectă toată radiația incidentă primită; lumina Soarelui este considerată albă, toate componentele (culorile) contribuind la fel, ca sumă de oscilații electromagnetice necorelate, cu aceeași intensitate. Dacă autocorelația este ü(6) = FT(6), atunci densitatea de putere a zgomotului este é q = ℱ{ü(6)} = F, constantă și se spune că avem un zgomot alb de intensitate I. În realitate, nu pot exista semnale complet haotice (cu toate eșantioanele distincte necorelate), dar există realizări fizice suficient de bune ale zgomotului alb. De exemplu, funcțiile

3B(6) =B%eWB Å , ? ≥ 1 converg către T(6) pentru ? → ∞ (în

sensul că 3B(6)d6lWl = 1 și pentru orice funcție | din clasa Ú,

3B(6)|(6)d6lWl → |(0)). Atunci pentru ? ≫ 1, semnalul u(6)

având ü(6) = B%eWB Å este o aproximare bună a zgomotului alb de

intensitate 1. Conform primului tabel de transformate Fourier, densitatea spectrală corespunzătoare este é q = ℱ{ü(6)} = ℱ{B

%eWB Å } =

Ba

Ba^x,ara≅ 1 pentru ? ≫ 1, adică é q este aproape constantă

(egală cu 1) într-o bandă largă de frecvențe.

277

Toate sistemele mecanice (respectiv electrice) se află sub acțiunea unor forțe sau momente ale unor forțe aleatoare (respectiv a unor curenți sau voltaje aleatoare). În orice mediu fizic, există numeroase surse de zgomote interne sau externe și o ipoteză confirmată atât teoretic de TLC, dar și practic, este că multe zgomote sunt gaussiene. Zgomotul termic în diverse elemente de circuit - rezistoare, inductoare, capacitori, microprocesoare etc. este datorat mișcării electronilor în rețeaua cristalină a substanțelor ce compun acele elemente; el este asimilat unui zgomot alb într-o bandă de frecvență largă în comparație cu frecvențele uzuale. Se poate arăta că un rezistor cu rezistența R, aflat în echilibru termodinamic, cu temperatura T, este echivalent cu un generator având ca tensiune un zgomot termic cu media nulă și autocorelația ü(6) = 2SüZT(6), unde k este constanta lui Boltzmann; densitatea spectrală de putere este é q = ℱ{ü(6)} = 2SüZ, măsurată în V2/Hz. În semiconductori apare de asemenea un zgomot datorat fluctuației numărului de purtători de sarcină în cadrul fenomenelor de generare și recombinare. Densitatea spectrală a acestui zgomot este de forma

é q = z ∙ ÅóÅóara^#

, unde A > 0 este o constantă și

6E = timpul mediu de viață al putătorului de sarcină (de ordin 10Wƒ s). Autocorelația este dată explicit de formula (2). Într-o bandă largă de frecvențe, de exemplu q ≤ 10ƒ, zgomotul de generare/ recombinare poate fi asimilat unui zgomot alb.

278

Fluctuațiile amplitudinii unui semnal primit de la un radiolocator, datorate îndeosebi reflexiei undelor electromagnetice de suprafețe cu o configurație complexă, conduc la apariția „fading”-ului, un zgomot cu autocorelația ü(6) de forma ›eWQ Å ∙ cos :6, cu a, b constante (a > 0) și D = R(0) puterea medie a fading–ului. Canalele de comunicație sunt de asemenea filtre. Structura filtrelor, aranjamentul elementelor de circuit (rezistori, capacitori, inductori) contează mai puțin; important este efectul pe care filtrele le au asupra semnalelor care le străbat. În practica sistemelor de comunicație, filtrele au fost definite ca impedanțe electrice care depind de frecvențele semnalelor la intrare și ieșire, descrise prin funcțiile de transfer. Până la urmă, se ajunge tot la definiția 5.9. De regulă, filtrele realizează două lucruri: atenuează amplitudinea și deplasează faza. Funcția de transfer este o funcție complexă de variabilă reală, anume ‰({):ℝ → ℂ, ‰({) =˙({)/Ÿ({); așadar, pentru orice { ∈ ℝ, ‰({) = z({)e¥A(}), unde z({) = ‰({) și Φ({) = Arg‰({), asimilate cu coordonatele polare ale punctului ‰({) din planul complex. Funcției ‰({) i se asociază hodograful lui Nyquist, deci curba (C) care trece prin punctele ‰({) când { ∈ ℝ; figura 6.2

! 279

Figura 6.2

În cazul unui filtru pasiv, consumator de energie, z<{= J O. Not%

Cunoa#terea func$iei ‰<{= @ 1<}=ê<}= determin% comportarea

filtrului u<6= . Ç<6=, în sensul urm%tor: - dac% se cunoa#te intrarea u<6=, atunci se determin% 4<{= @ ?gu<6=h #i ca atare, ˙<{= @ ‰<{=4<{=, de unde se deduce ie#irea corespunz%toare Ç<6= @ ?W#g˙<{=h; - iar dac% se cunoa#te ie#irea Ç<6=, atunci se determin%

spectrul ˙<{=, apoi 4<{= @ 1<}=ì<}= #i se deduce intrarea

u<6= @ ?W#g4<{=h care a declan#at acea ie#ire. De asemenea se poate ar%ta c% între densit%$ile spectrale de putere ale intr%rii #i ie#irii are loc rela$ia: é)<{= @ ‰<{= % È éñ<{=. (3) Consider%m un canal de comunica$ie u<6= . Ç<6=; el este

un filtru liniar având func$ia de transfer ‰<{= @ 1<}=ê<}=. Pe canal

280

există un zgomot alb ∫(6) cu densitatea spectrală de putere ˚({) % = z, constantă.

Ieșirea Ç(6) are spectrul ˙({) = ‰({)4({) deci

Ç(6) = #%,

‰({)4({)e¥Å}d{. La un moment final 6¢ al

transmisiei, puterea instantanee este

S∑EX = Ç(6¢)% = #

%,‰({)4({)e¥Åú}d{

%, iar la

ieșire zgomotul va avea, conform definiției 6.1, densitatea

spectrală é({) = #%\‰({)˚({) % = �

%\‰({) %. Raportul dintre

puterea instantanee a semnalului util și zgomot la ieșire este

(° ˚)∑EX = Sì(})ê(})¨Õ$ú#˜}

a

ì(}) a, (4)

cu k > 0 constant. O problemă fundamentală este cea a determinării maximului acestui raport. Aici amintim celebra inegalitate a lui Schwartz: 3b % ≤ 3 % b % cu egalitate ⇄ 3 = Sb, cu k o constantă complexă. Conform (4), rezultă

(° ˚)∑EX ≤U

ì(}) a∙ ‰({) %d{ 4({) %d{ =

S 4({) %d{. Egalitatea (adică atingerea maximului raportului semnal – zgomot) are loc dacă și numai dacă

‰({) = S4({)eW¥Åú}. (5) Aplicând operatorul ℱW#, rezultă, în domeniul TIMP:

ℎ 6 =S2( 4 { eW¥Åú} ∙ e¥Å}d{ =

S2( 4 { e¥(ÅWÅú)}d{ =

! 281

U%, 4<{=i0¥<ÅúWÅ=}]{ W @ Su<6¢ R 6= @ Su<6¢ R 6=. Am demonstrat astfel teorema „matched filter”, a filtrului adaptat semnalului u<6=: TEOREMA 6.2: Se consider% raportul <° ˚=∑EX dintre puterea medie a semnalului u<6= trimis printr-un canal de comunica$ie având func$ia de transfer ‰<{= #i un zgomot aditiv. Maximul acestui raport la momentul 6¢ (la ie#irea canalului) este

atins dac% semnalul u<6= are acela#i con$inut frecven$ial cu ‰<{=. În plus, r%spunsul impuls al filtrului (1 canalului de comunica$ie) este d<6= @ Su<6¢ R 6=, (6) unde k > 0 este constant. Bineîn$eles, cunoscând d<6=, ie#irea corespunz%toare intr%rii u<6= va fi Ç 6 @ d 6 Ì u 6 ë Filtrul adaptat unui semnal u<6= proceseaz% semnalul eliminând (sau atenuând) zgomotul aditiv înso$itor, înainte de demodulare. Presupunând k = 1 în (6), ceea ce nu modific% esen$a problemei, dac% u<6= arat% ca în figura 6.3 a), atunci r%spunsul – impuls d<6= arat% ca în figura 6.3 b), deplasat% #i simetrizat%.

Figura 6.3

!282

Circuitul acordat al unui receptor radio este un exemplu de filtru adaptat; el permite trecerea doar a frecven$elor care con$in informa$ia programat% #i respinge restul spectrului electromagnetic. Similar, monocromatorul face acela#i lucru cu lumina. Filtrele adaptate sunt aplicate la Radar sau Geofizic% (trimi$ând un semnal, m%surând semnalul reflectat #i interpretând rezultatul), ca #i în Astronomie (unde spectrometrul de vitez% radial% este un filtru spa$ial adaptat). De asemenea, cu ajutorul unor filtre adaptate, se pot extrage undine cunoscute dintr-un semnal contaminat de zgomot, prin corelarea semnalului cu undina. Exemplu Fie 0 < a < b. Presupunem c% u<6= @ O dac% 6 7 89' :; #i nul în rest. Alegem 6˜ @ : R 9 deci d<6= @ u<: R 9 R 6=. Graficele lui v #i h sunt indicate în figura 6.4.

Figura 6.4

Atunci ie#irea corespunz%toare este Ç 6 @ d 6 Ì u 6 #i se ob$ine un semnal triunghiular având suportul de lungime 2b – 2a.

283

Filtru trece – jos și filtru trece bandă Definiția 6.3: Dacă B > 0 este un număr real fixat, se numește filtru ideal trece - jos cu frecvența de tăiere B orice filtru, notat Z7, având funcția de transfer

‰({) = 1pentru { ≤ fi0altminteri

(7)

Atunci răspunsul – impuls al filtrului este

ℎ(6) = ℱW#{‰({)} = #%,

e¥Å}d{7W7 = ≥¥µ7Å

,Å(6 ≠ 0), ℎ(0) = 7

,,

și pentru orice intrare A(6), ieșirea corespunzătoare este

Ç 6 = ℎ 6 ∗ A 6 = ≥¥µ7(ÅWª),(ÅWª)

lWl ∙ A(∫)d∫ și

˙({) = ‰({) ∙ Ÿ({) =∂√.(x) Ÿ({)pentru { ≤ fi

0altminteri.

Definiția 6.4: În mod similar, pentru orice bandă de frecvență [B, B'] cu 0 < B < B', se poate considera filtrul ideal trece – bandă Z77Ö având funcția de transfer

‰({) = 1pentrufi < { < fi′0înrest

. (8)

Răspunsul–impuls este ℎ(6) = #,Å(sin fi′6 − sinfi6) și

filtrul asociază oricărei intrări A(6) semnalul Ç 6 = ℎ 6 ∗ A 6 , care teoretic conține frecvențe ˙({) nenule doar dacă fi < { < fi′. Graficele funcțiilor ℎ 6 pentru filtrele Z7 și Z77Ö sunt indicate în figurile 6.5 și 6.6.

!284

Figura 6.5 Figura 6.6

Dac% H J :E J :# Jë ë ë J :B @ fi #i dac% A 6 este un semnal din "!# Z "!% cu banda de frecven$% [– B, B], atunci el se poate descompune în componente având sub-benzi disjuncte de frecven$%: A @ A_ó X A_ó_àXë ë ë XA_£Ãà_£.

Exemple a) Presupunem c% avem un filtru ideal trece – jos, cu nici o atenuare sau transla$ie de faz% pân% la o frecven$% critic% q∂. A#adar, B = 2%q∂. Dac% filtrul este traversat de un puls Heaviside de V vol$i, atunci intrarea este u<6= @ 4G<6=, unde G<6= este treapta unitate; spectrul intr%rii (deci con$inutul s%u frecven$ial)

este 4<{= @ 4<(T<{= R *4ç<#}==; omi$ând impulsul #i $inând

cont c% 4ç<#}= s#}, rezult% 4<{= s R ê¥

}ë Atunci spectrul

frecven$ial al ie#irii este ˙<{= @ 4<{= È ‰<{=, cu ‰<{= dat de (7). Atunci semnalul de ie#ire este

Ç 6 @ ?W# ˙ { @ #%, R ê¥

}7W07 i¥Å}]{ @

@ R ê¥%,

∂∑≥ Å}^¥ ≥¥µ Å}}

7W07 ]{.

! 285

Dar pentru func$ii impare, 3<6=]6QWQ @ H #i pentru func$ii

pare, 3<6=]6QWQ @ & 3<6=]6Q

E .

Atunci Ç<6= @ ê,

≥¥µ Å}}

7E ]{ @jpÅ} ê

, )*+L<A=7ÅE ]A.

Aceast% integral% nu poate fi exprimat% prin func$ii elementare. Ar trebui ca la ie#ire s% reg%sim voltajul V. Dar nu este chiar a#a... Intrarea #i ie#irea filtrului sunt indicate în figura 6.7

Figura 6.7

Timpul de restabilire depinde de B. La osciloscoape se poate confirma experimental aceast% situa$ie. b) Consider%m acum un circuit RC ca în figura 6.8 #i presupunem c% voltajul – intrare este A<6=, iar voltajul – ie#ire este Ç<6=.

Figura 6.8

!286

Atunci A<6= @ ü¬<6= X Ç<6=, unde ¬<6= @ ÜÇÑ<6= #i ca atare, üÜÇÑ<6= X Ç<6= @ A<6=. Aplicând operatorul Fourier, rezult%

üÜ*{˙<{= X ˙<{= @ Ÿ<{=, de unde ‰<{= @ 1<}=⁄<}= @

##^+á}¥.

R%spunsul – impuls al sistemului A<6= 0. 0Ç<6= va fi

d<6= @ ?W#g‰<{=h @ #sóiW0Å só0¶i+eûM06 I H

00000H000000000¶i+eûM06 J H

unde produsul õE @ üÜ se nume#te constanta de timp a circuitului; graficul Ç @ d<6= este indicat în figura 6.9. Notând

{E @ #+á, rezult%

‰<{= % @ ##^+aáa}a @

##^<} }ó=a

. (9)

Figura 6.9

Se poate ar%ta c% ¿ @ ‰<{= % este raportul densit%$ilor de putere ale ie#irii #i intr%rii. Graficul acestei func$ii este indicat în figura 6.10.

! 287

Figura 6.10

Decibelul lui r este dB @ OH ôcf#E ¿ @∂√ë<y= R OH ôf O X <{ {E=% . În figura 6.11 este redat graficul dependen$ei {0 .0dB.

Evident, dB { @ H @ H' dB { @ }ó%s RH'ÇO0 #i

dB { @ {E s RV'HO0. A#adar, comportarea în frecven$% a ie#irii

y(t) la { @ {E este atenuat% la circa 3 dB, în compara$ie cu cea de la { @ H. Din acest motiv, se

Figura 6.11

spune c% banda [–0{E' {E; este „banda 3 dB”.

288

Circuitul anterior este un alt exemplu de „filtru trece – jos”, deoarece pentru { > {E, ‰({) este neglijabil și la fel va fi ˙({) . Se spune că frecvențele care contează sunt cele din banda

[–{E, {E], adică sunt reținute numai frecvențele joase. Așadar, nu

întâmplător, valoarea {E =#+á

este numită frecvența de tăiere a

frecvențelor. c)Trecerea unui tren de delte printr-un filtru ideal trece jos Considerăm un tren de pulsuri cu o frecvență qE, exprimat

printr-un pieptene Dirac ШQ(6), unde a = #ró

. Presupunem că filtrul

transmite cu o relativă precizie, toate frecvențele aflate sub un anumit prag și le respinge pe cele de deasupra pragului. Așadar, funcția de transfer a filtrului este de tipul unui semnal dreptunghiular ⨅rù, cu frecvența de tăiere q∂. Transformarea

Fourier a semnalului transmis va fi, conform teoremei 3.11 (relația

(38) din Capitolul 3), egală cu distribuția #QШ# Q(q) =

#QШró(q)

deci spectrul frecvențial al ieșirii va fi produsul #Q⨅rù ∙ Шró(q), iar

semnalul de ieșire va fi transformarea Fourier inversă a acestuia, deci convoluția dintre trenul de pulsuri original și funcția sinc(2πq∂6). Dacă lățimea benzii filtrului este largă în comparație cu frecvența qE a pulsului, atunci funcția „sinc” este îngustă în comparație cu separarea pulsurilor individuale și fiecare puls va fi înlocuit cu această funcție „sinc” îngustă. Dar dacă lățimea benzii filtrului este „mică”, atunci trenul de impulsuri va aminti de o undă sinusoidală.

! 289

Din tabelul de transformate Fourier, avem ? #Åa^Qa <{= @

,Q i

W0Q } ' 9 K H #i înlocuind { @ &(q, rezult% ? #Åa^Qa <q= @

,Q i

W0%,Q r ; notând 2%a = b, rezult% c% iW0_ r @_%,a?

#Åa^<_a x,a= . A#adar, dac% func$ia de transfer a filtrului este

‰ q @ 0iW0_ r ' : K H (în locul lui Prù=, atunci trenul de

impulsuri la ie#irea va fi convolu$ia pieptenului ˇQ<6= cu _%,a.0

#Åa^<_a x,a=. În acest caz, are loc o atenuare a trenului de

impulsuri cu un filtru trece – jos având o band% îngust% de frecven$%, ca în figura 6.12.

Figura 6.12

Not% Teoria canalelor de comunica$ie abordeaz% o multitudine de aspecte care au condus la cre#terea calit%$ii semnalelor 1D sau 2D transmise. Am prezentat pe scurt aspecte legate de aplicarea aparatului Fourier. Dar merit% men$ionate de asemenea: modula$ia în amplitudine (AM), în frecven$% (FM) sau în faz% (PM), ca #i transmisiile multiplex, a mai multor semnale independente prin

!290

acela#i canal de comunica$ie etc., care fac obiectul unor mari realiz%ri #tiin$ifice #i tehnologice. Semnal analitic, transformarea Hilbert Fie A<6=' 6 7 ! un semnal din "!% cu valori reale #i Ÿ<{= @ ?gA<6=h. Pentru orice { 7 !' Ÿ<{= @ z<{= X ¬fi<{=. Atunci partea real% z<{= este o func$ie par%, iar fi<{= este impar%. De aceea, pentru reconstruc$ia lui A<6= este suficient de cunoscut Ÿ<{= pentru { K H. Presupunem acum c% semnalul A<6= se afl% la intrarea unui filtru liniar de convolu$ie T având func$ia de transfer

‰<{= @ &0¶i+eûM0o K HH0¶i+eûM0{ J H; fig. 6.13 (10)

Figura 6.13

R%spunsul impuls al lui T este d 6 @ T 6 X ¥, 0e…

#Å, deoarece

? d 6 @ O X ¥,? 0e… #Å @ O X ¥

, 0 N (* )f+ @

@ O X )f+{ @ ‰ { . Ie#irea corespunz%toare este Ç 6 @ ZA 6 @ d<6= ÌA<6= @ T<6= Ì A<6= X ¥

, <0e…#Å Ì A<6==.

291

Dar T(6) ∗ A(6) = A(6) și VP #Å∗ A(6) = j(()

ÅW(dGl

Wl

(valoare principală = − #,lim→E

j(Å^()Wj(ÅW()(

dGl ).

Definiția 6.5: Transformata Hilbert a semnalului A(6) este semnalul

ℋ{A(6)} = #,

j(()ÅW(dG, iar asocierea A(6) ↦ ℋ{A(6)} se numește

transformarea Hilbert. Deoarece A(6) are toate valorile reale, ℋ{A(6)} are de asemenea valorile reale. Se poate arăta că aplicația ℋ:Lℝ% → Lℝ% este un izomorfism ℂ – liniar care conservă produsele scalare (deci este un operator unitar); în plus, ℋ ∘ℋ = −id, în sensul că ℋ{ℋ{A}} =−A pentru orice A ∈ Lℝ% și ℱ{ℋ{A(6)}} = iŸ({) ∙ sgn{. De asemenea, ℋ{cos 6} = sin 6; ℋ{sin 6} = − cos 6 ; ℋ{sinc(6)} =#W∂∑≥ ÅÅ

și prin extindere la distribuții, ℋ{T(6)} = #,Å

.

Așadar, ieșirea care corespunde intrării A(6) prin filtrul T, având funcția de transfer ‰({) dată de (10), este Ç(6) = A(6) +

iℋ{A(6)} și aceasta se notează cu A∑(6).

Definiția 6.6: Semnalul

A∑(6) = A(6) + iℋ{A(6)} (11)

se numește semnalul analitic asociat lui A(6); A∑(6) ∈ Lℝ% .

Notă

A da A(6) este echivalent cu a da A∑(6); A(6) = ReA

∑(6).

În ingineria electrică, o mărime fizică reală A(6) se

definește prin A∑(6).

292

Exemplu

Dacă A(6) = cos 6, atunci A∑(6) = cos 6 + i sin 6 = e¥Å și

mai general, dacă A(6) = z cos({E6 + |), cu A, {E, | constante,

atunci A∑(6) = ze¥(}óÅ^d).

Denumirea de semnal analitic a fost sugerată de următoarea analogie: dacă 3 ∫ = ç A, Ç + iò A, Ç este o funcție olomorfă (≡ analitică) în semiplanul superior, atunci au loc condițiile Cauchy – Riemann: çj = ò) , ç) = −òj; înlocuind ∫ = 6, 6 ∈ ℝ, dacă 3 6 = G 6 + iu 6 este un semnal analitic, atunci u =ℋ G și G = −ℋ{u}. §6.2. Elemente de optică Fourier Optica Fourier este un domeniu științific modern, care se referă la studiul luminii, la lungimile de undă vizibile (incluzând și porțiuni de infraroșu și ultraviolet ale spectrului electromagnetic), tratând procesele optice în termeni de frecvențe spațiale și oferind instrumente analitice noi și metode de măsurare nedistructive și non-invazive, realizând o adevărată revoluție prin înlocuirea tehnicilor electromecanice de măsurare cu cele optoelectronice. Fundamentele ei teoretice sunt constituite de ecuațiile lui Maxwell și transformarea Fourier 1D, 2D, 3D. Începuturile utilizării analizei Fourier în optică sunt legate de studiul difracției luminii (Kirchhoff). Dacă lumina (sau orice altă undă) întâlnește un obiect, ea este difractată și undele rezultate au o distribuție complicată de amplitudine și fază. Metoda Fourier a permis să se obțină expresii analitice pentru spectrele spațiale ale

293

obiectelor angajate. Acest fapt determină caracteristicile imaginilor acelor obiecte–locație, contraste, rezoluția dispozitivelor optice, proprietățile luminii folosite. În cadrul opticii Fourier, se studiază diversele tipuri de apertură / orificii, cascade de lentile, măști de fază, filtre spațiale. O idee principală este aceea că o distribuție a luminii este transformată într-o distribuție de frecvență spațială. După ce în 1947, D. Gabor a inventat holografia și în 1964, G.W. Stroke a inventat holografia Fourier, s-a ajuns ca diversele operații matematice: convoluții, corelații, transformări Fourier, Hilbert etc să fie realizate prin metode optice, cu aplicații semnificative în prelucrarea optică a informației: recunoașterea formelor, fibră optică, stocarea optică a informației; totul a culminat cu calculatoarele optice, unde purtătorul de informație nu mai este un flux de electroni ci un curent de fotoni, adică lumină. a) Difracția luminii Aceasta constă în ocolirea obiectelor din drumul razelor de lumină, dacă dimensiunile obiectelor sunt comparabile cu lungimea de undă incidentă. S-a constatat că apariția franjelor de difracție are loc și pentru alte tipuri de unde – 3D sonore, raze X, unde radio, dar și la particule de materie (electroni, neutroni). Oscilațiile având aceeași frecvență și pentru care se ating simultan amplitudini maxime se numesc „în fază”, iar fronturile de undă sunt suprafețele formate din punctele unde oscilațiile sunt în fază, depărtându-se de sursă cu viteza de propagare a undei. Principiul lui Huygens afirmă că fiecare punct al unui front de

294

undă sferică (de exemplu o undă sonoră 3D), care provine de la o sursă, se poate considera ca o sursă secundară a unor unde sferice aflate în fază cu unda incidentă; toate fronturile de undă de la aceste unde secundare se combină și interferează pentru a forma un nou front. Acest principiu nu are loc și în cazul undelor 2D și nu întâmplător, se pot transmite unde de înaltă fidelitate doar în 3D, cu ajutorul sunetelor, luminii sau altor unde electromagnetice. Fenomenul depinde de dimensiunea orificiului și de lungimea de undă; aperturi înguste sunt transformate în paterne largi de difracție (frecvență spațială largă). Difracția se manifestă în natură, în diverse situații: de exemplu, umbra unui obiect mat produce mici franjuri în jurul marginilor obiectului; apoi, particulele fine din atmosferă creează în jurul unei surse puternice de lumină inele circulare. În proiectarea aparatelor foto, telescoapelor și microscoapelor, se ține cont de limitările datorate difracției luminii. Considerăm o situație simplă, cu o singură fantă / apertură, care implică trei elemente: - lumina provenită de la o sursă O; - o suprafață plană (S) având o apertură A, (S)\A fiind presupusă opacă; - un ecran (E) paralel cu (S), aflat la o anumită distanță de (S); fig. 6.14.

! 295

Figura 6.14

Lumina este o und% electromagnetic% oscilant% cu intensitatea E #i frecven$a q, generând un câmp electric punctual de intensitate ~ Lc){6 (adic% semnalul analitic ~i¥}Å), unde { @ &(q. Câmpul luminos într-o fant% A de l%$ime dx va fi ~i¥}Å]A. Considerând un punct generic x al fantei, el este o surs%, conform principiului lui Huygens #i se pune problema determin%rii intensit%$ii câmpului într-un punct P al ecranului (E). Planul S este asimilat cu un front de und% al luminii, iar unda are aceea#i faz% în toate punctele lui (S). Presupunem c% amplitudinea ~E a lui E este constant% pe (S). Efectul principal, care se propag% din punctul x în punctul P la distan$a r= d(x, P), este schimbarea de faz% a undei luminoase, presupus% monocromatic%. Dac% t este lungimea de und%, aceast%

und% face în drumul ei de la x la P, 8w cicli #i ca atare, câmpul

luminos în P va fi ~E È i¥}Å È iW0%@¥8 w È ]A. Prin suprapunere (adic%

!296

însumare a câmpurilor ob$inute variind x în apertura A considerat%), se ob$ine câmpul luminos total în P:

~Î @ ~Ei¥}Å iW0%@¥8 w]A� . (12)

Distan$a r depinde de x #i pe axa vertical% Ox din figura 6.14, situa$ia este urm%toarea:

Figura 6.15

Introducem acum ipoteza fizicianului german Fraunhofer: ¿ — l%$imea fantei A. (13) Notând ¿E @ ]<É' ç=, rezult% ¿ s ¿E R A )*+ ¡ (numit% aproximarea lui Fraunhofer).

Înlocuind în (12) #i notând ¯ @ ≥¥µ≈w , rezult%

~Î @ ~E È i¥}Å È iW0%@¥8ó w i%,¥<üÕ†°

¢ ]A� @

@ S i%,¥Âj]A� , (14)

unde k este o constant% a problemei (c%ci {' ¿E' t sunt fixate). Facem acum o mic% digresiune matematic%. Dac% z ’ Ä este o submul$ime, atunci se define#te func%ia – indicator F� (numit% #i func$ia caracteristic% a submul$imii A), ca fiind

F�40Ä0 / 0!' F�<A= @ 0O0]ùLú0A 7 z0H0]ùLú0A ' z. În cazul nostru, apertura A

este o submul$ime z ’ ! deci rela$ia (14) se scrie astfel:

~Î<¯= @ S F�<A= ÈlW0l i%,¥Âj]A.

! 297

Surpriz%! Am ob$inut o integral% cunoscut%, tocmai transformarea Fourier invers% a func$iei F� (notat% în Capitolul 3, corolarul 2 al teoremei 3.2, cu ?#gF�<A=h0=. A#adar, ~Î<¯= @ ?#gF�<A=hë (15) Cu conven$ia de nota$ie din paragraful 3.8, formula (33), avem perechea conjugat% F�<A= 0G 0 ~Î<¯=. Am ob$inut astfel un prim rezultat fundamental de Optic% Fourier: TEOREMA 6.3 (Kirchhoff – Fraunhofer): Cu nota$iile anterioare, câmpul luminos total ~Î în punctul P este propor$ional

cu valoarea în punctul ¯ @ ≥¥µ≈w a transform%rii Fourier inverse a

func$iei – indicator a aperturii A.

Intensitatea luminoas% este F<¯= @ ~Î È ~Î @ ~Î % #i poate indica regiunile mai luminoase sau mai întunecate, pe care fanta A le proiecteaz% pe ecranul (E). Metoda Fourier anterioar% permite determin&ri cantitative #i în acest sens, d%m câteva consecin$e spectaculoase, confirmate în experimente de laborator. COROLAR 1 (cazul difrac$iei printr-o apertur% dreptunghiular%); figura 6.16

Figura 6.16

!298

În acest caz, apertura se identific% cu intervalul z @ R0Q% 'Q% #i

func$ia–indicator este F�<A= @ PQ<A= #i ?#gF�<A=h @ 9 )*+L<(¯9= deci câmpul luminos în P este ~Î @ S )*+L (9 ≥¥µ≈w #i

intensitatea lui este ~Î %. COROLAR 2 (cazul aperturii punctuale). În acest caz, apertura este T<A= #i ca atare, ?#gT<A=h @ O deci intensitatea luminoas% este constant% (uniform%). COROLAR 3 (cazul Young a dou% fante paralele). Medicul englez Young a studiat interferen$a undelor luminoase, fenomen apropiat de difrac$ie, ob$inând franjuri spectaculoase cu lumina alb% (nu monocromatic%) #i folosind dou% fante paralele. Considerând apertura A indicat% în figura 6.17, ca reuniune

a dou% intervale de lungime a, centrate în punctele _% ' R0_%

(0 < a < b). În acest caz,

Figura 6.17

F� A @ PQ A R _% X PQ A X _

% deci ?# F� A @ iW0¥0£a0Â È

9 )*+L (¯9 X i0W0£a0Â È 9 )*+L<(¯9= @ &9 )*+L<(¯9= È Lc) _Â

% .

299

COROLAR 4 (cazul a două surse punctuale plasate în punctele −Q

%, Q% ).

Apertura este z(A) = T A − Q%+ T A + Q

% și în acest

caz, ~Î = S ∙ cos((¯9). Ca un ultim exemplu, există o anumită similitudine între un grătar de difracție și o linie de dipoli aerieni echidistanți. Un grătar de difracție reflectă sau transmite fronturi plane coerente de undă și o linie de dipoli este alimentată de la un oscilator de frecvență radio comună. O linie aeriană de dipoli se reprezintă printr-o funcție de apertură de forma z(A) = ШQ(A) ∙ ⨅oQ(A), unde N este numărul de dipoli din acea linie și a este spațierea. Atunci conform teoremei 3.11, relația (38), ℱ#{z(A)} =#QШ# Q(¯) ∗ sinc n(¯9 , ¯ =

≥¥µ≈w

. În acest mod, se pot

experimenta și alte aranjamente ale dipolilor, cu modificarea fazelor acestora. Aplicațiile sunt numeroase, extinse la diverse forme ale aperturilor–dreptunghiulare, circulare, 3D, grătare, prisme etc. Notă Difracția Fraunhofer este numit „far–field”, deoarece apertura se află la distanță relativ mare de ecran. Există și o abordare „near–field”, datorată lui Fresnel, în cazul când distanța apertură – ecran este relativ mică. b) Interferometrie / spectrometrie Fourier Interferometria este un ansamblu de metode de măsurare a lungimilor de undă, a variațiilor de mici lungimi, a densităților

300

materialelor transparente sau a indicilor de refracție. Primul pas l-a constituit inventarea în 1887 a interferometrului lui Michelson (folosit pentru a dovedi că viteza luminii este invariantă în raport cu sistemele inerțiale de referință). Schema este bine-cunoscută: un fascicul de lumină coerentă (de exemplu, de la un laser) este divizat în două fascicule de un „splitter”; acestea se propagă pe două brațe diferite, sunt reflectate unul către celălalt și apoi dirijate împreună către un detector, unde se combină și se suprapun; ca rezultat, apare o figură de interferență. Dacă drumul optic al unuia din cele două fascicule parțiale se modifică, atunci se produce o diferență de fază față de fasciculul incident și se modifică figura de interferență. Variațiile drumului optic se obțin prin deplasarea controlată a uneia din oglinzile interferometrului. O lentilă concentratoare produce franjuri concentrice în planul focal și există o apertură prin care lumina de la o franjă poate trece prin detector. Această apertură este echivalentă cu fanta unui spectrometru grătar. Lumina care ajunge la splitter este o undă z = zEe¥}Å({ = 2(q; q = numărul de undă) și după splitter, cele două fronturi de undă luminoasă sunt

z# = z% =�ó %%e¥}Å. Dacă drumurile lor prin brațele

interferometrului sunt Œ# și Œ%, atunci după recombinare în direcția

transmisă ajunge unda �ó%e¥}ıà +�ó

%e¥}ıa ∙ e¥}Å; intensitatea

luminoasă spre detector este

F({) = �ó a

%(1 + cos{(Œ# − Œ%)) =

�ó a

%(1 + cos{∆),

301

unde ∆ = Œ# − Œ% este diferența drumurilor. Intensitatea primită de detector de la o sursă cu banda infinitezimală d{ va fi F({)d{ =�ó a

%(1 + cos{∆)d{ = #

%°({)(1 + cos{∆)d{, unde °({) este

densitatea spectrală de putere a luminii. În final, puterea primită de

detector este F(∆) = F({)d{lE = #

%°({)(1 + cos{∆)d{l

E .

Dar °({)d{lE = puterea totală P livrată detectorului deci

2F ∆ − ç = °({) cos{∆d{lE =

§´b≠ă #%

°({) cos{∆d{lWl =

#%

°({)e¥}∆d{lWl = ( ∙ ℱ#{°({)}(∆).

Așadar, 2F({) − ç este π×inversa transformării Fourier a densității spectrale de putere a luminii. Notă Mărimea 2F({) − ç poate fi interpretată ca o interferogramă; ea poate fi înregistrată digital și modificată continuu prin mișcarea uneia din oglinzile interferometrului. În ultimul timp, se folosesc mijloacele rapide de calcul în timp real (algoritmul FFT, utilizarea diverselor mărimi frecvențiale exprimate prin °({) etc.). c) Holografie Fourier („holos” ≡ total, în grecește) Un ecran poate înregistra amplitudinea luminii incidente, dar nu și faza. În 1947, D. Gabor a inventat totuși o metodă de a înregistra amplitudinea și faza undelor luminoase, pentru care a primit premiul Nobel. O undă împrăștiată („scattered”) °(A, Ç) =9≥(A, Ç)eW¥dü(j,)) de un obiect poartă diverse proprietăți ale acelui

302

obiect. Gabor a reușit reconstrucția frontului de undă, prin interferența undei împrăștiate cu o undă de referință ü(A, Ç) = 9≠(A, Ç)eW¥d•(j,)), obținând o imagine încețoșată a obiectului fotografiat, prin suprapunerea Z(A, Ç) = °(A, Ç) + ü(A, Ç), care conține totuși o bună parte din informație, pe care a numit-o hologramă. În esență, holografia este un proces în doi pași: mai întâi se extrage o hologramă a obiectului 2D fotografiat, care apoi este iluminată pentru a obține o imagine 3D a obiectului. Realizarea efectivă a hologramelor a fost posibilă după inventarea laserului, după care au apărut aplicații spectaculoase (televiziunea 3D, microscopie holografică, telemedicină etc.). În holografia Fourier, în loc de a forma holograma cu fronturi de undă provenite de la un obiect iluminat, se realizează mai întâi transformarea Fourier a frontului de undă incidentă, folosind lentile specializate. De fapt, filmul lui Gabor înregistrează intensitatea câmpului electric Z A, Ç = ° A, Ç + ü A, Ç , adică

F = Z A, Ç % = Z A, Ç ∙ Z A, Ç = ° + ü ∙ ° + ü =

= 9≥eW¥dü + 9≠eW¥d• ∙ 9≥e¥dü + 9≠e¥d• = 9≥% + 9≠% +

9≥9≠ eW¥dü^¥d• + eW¥d•^¥dü = 9≥% + 9≠% + 29≥9≠ cos(|≠ − |≥). Filmul cu această intensitate este tocmai holograma. Holograma este iluminată cu unda de referință, obținând în spatele hologramei I ü A, Ç . Hologramele realizează interferența dintre o lumină coerentă și lumina incidentă reflectată de un obiect. Deosebirea

303

dintre o hologramă și o fotografie convențională este aceea că fotografia înregistrează intensitatea luminii incidente, în timp ce holograma reține intensitatea și faza. §6.3. Aplicații ale transformării Fourier 2D și transformarea Radon a) Transformarea Fourier 2D cu simetrie radială (≡ circulară) Am definit în 5.3 (definiția 5.1) transformata Fourier multidimensională. În cazul 2D, dacă 3(A, Ç) ∈ Lℝa

% , atunci se definește ò(G, u) = ℱ%{3(A, Ç)}, prin

ò(G, u) = 3(A, Ç) ∙ eW¥((j^ñ))dAdÇℝa (16)

și are loc formula de inversare:

3(A, Ç) = #x,a

ò(G, u) ∙ e¥(j(^)ñ)dGduℝa . (17)

Dacă 3(A, Ç) = 3#(A) ∙ 3%(Ç) (se spune atunci că f este cu variabile separabile), atunci ò(G, u) are aceeași proprietate, reducând ò(G, u) la produsul a două transformate Fourier 1D. În cazul simetriei circulare (de exemplu, dacă suportul lui f este un disc sau o coroană circulară), atunci se recomandă folosirea coordonatelor polare, atât în planul funcțiilor – original cât și al funcțiilor – imagine: A = ¿ cos ¡ , Ç = ¿ sin ¡; G = Ë cos| , u = Ë sin|. Relația (16) devine:

ò(Ë, |) = ¿d¿lE 3(¿, ¡)eW¥Í8 ∂∑≥(≈Wd)d¡%,

E .

Dacă 3(¿, ¡) = b(¿), deci f nu depinde de ¡, atunci

!304

ò<Ë' |= @ ¿b<¿=]¿lE iW0¥Í8 ∂∑≥<≈Wd=]¡%,

E #i punând

¡ R | @ ã, rezult% c% integrala interioar% este egal% cu

iW0¥Í8 ∂∑≥Q]ã%,E @ &(€E<Ë¿=, €E fiind func$ia Bessel de

indice zero. În concluzie,

ò<Ë= @ ¿b<¿=€E<Ë¿=0]¿lE ë (18)

Exemple

a) Dac% b<¿= @ 00d' ¶i+eûM0H J ¿ m 90H' ¶i+eûM00¿ K 9 , rezult%

ò<Ë= @ d ¿€E<Ë¿=0]¿QE .

b) Dac% b<¿= @ dT<¿ R 9=, atunci ò<Ë= @ d9€E<Ë9=. Aplica$ie Reluând ra$ionamentul din paragraful 6.2 a), presupunem c% apertura A este situat% în planul xOy #i c% punctul P în care estim%m intensitatea unei surse de lumin% „far – field” se afl% la distan$a ∫E de planul xOy (figura 6.18). Elementul de arie în apertura A este

Figura 6.18

dxdy #i amplitudinea undei luminoase în punctul curent B al

305

aperturii (considerat sursă) este K dxdy și în punctul P(x, y, ∫E),

~Î = ›dAdÇ ∙ e%,¥+ß w (D>0 constantă); notăm S = %,w

(numărul de undă); avem üÖ ≅ ü − ℓA −âÇ, unde ℓ,â sunt cosinușii directori ai dreptei OP și R = d(O, P). Așadar, intensitatea totală a undei luminoase în punctul P va fi obținută însumând amplitudinile după toate punctele B ale aperturii

~Î = π eW¥U ℓj^ä)� dAdÇ =

= π F�(A, Ç) ∙ℝa eW¥U(ℓj^ä))dAdÇ, unde F�(A, Ç) este

funcția – indicator a submulțimii z ⊂ ℝ% și c > 0 este o constantă. Notând ò(G, u) = ℱ%{F�(A, Ç)}, ca în (16), va rezulta ~Î = π ∙ ò(Sℓ, Sâ), (19) o formulă similară cu (15). Așadar, valoarea ~Î a perturbației luminoase depinde de apertură. Exemple a) Dacă apertura A este un dreptunghi cu dimensiunile 2a, 2b, adică z = [−9, 9]×[−:, :], atunci intensitatea difractată în

direcția cu cosinușii directori (ℓ,â, 1 − ℓ% − â%) este proporțională cu F(Sℓ, Sâ), unde

ò ℓ,â = ℱ% F� A, Ç = eW¥UℓjdAQWQ ∙ eW¥Uä)dÇ_

W_ =

= 49: ∙ sinc(Sℓ9) ∙ sinc(Sâ:). b) Dacă apertura A este discul A% + Ç% ≤ ü%, atunci

ò ℓ,â eW¥U ℓj^ä)ja^)a¶+a dAdÇ =´∑Òb≠¨

= ¿d¿+E eW¥U8(ℓ ∂∑≥ ≈^ä ≥¥µ≈)d¡%,

E .

Calculul se finalizează folosind formula

!306

i0¥j ∂∑≥ ≈]¡%,E @ &( È €E<A=. Deoarece €E<A= este de forma

unei sinusoide degenerate, pe ecran se va vedea o succesiune alternat% de inele luminoase #i întunecate; figura 6.19.

Figura 6.19

TABEL DE TRANSFORMATE FOURIER 2D 3 A' Ç 0 ò<G' u=, conform (16)0T<A' Ç= [1]

[1] ±(%T<G' u= T<A R 9' Ç R := i¥Q( È i¥_ñ i¥Qj È i¥_) ±(%T<G R 9= T<u R := iWjaW)a (iW0

#x<(

a^ña= Liniaritate 93 X :b^ 09' : 7 5 aF + bG Variabile separate 3<A= È b<Ç= ò<G= È é<u= Scalare 3<9A' :Ç=^ 09' : 7 ! O

9: òG9 'u:

Glisare / translatare 3<A R 9' Ç R :=0

ò<G' u= È iR0*<9GX:u=

Modulare 3<A' Ç= È i0*<9AX:Ç= ò<G R 9' u R := Convolu$ie 3<A' Ç= Ì b<A' Ç= ò<G' u= È é<G' u=

! 307

Interpretare geometric% În formula definitorie (16), variabilele u, v se numesc frecven$e unghiulare spa$iale în lungul celor dou% axe, m%surate în cicli/m. Rela$ia (17) arat% c% orice semnal 3<A' Ç= din "!a% se descompune ca o suprapunere de armonici spa$iale de diverse frecven$e. Presupunem c% privim imaginea unei podele nem%rginite, acoperit% alternativ cu pl%ci negre #i albe de lungime å, aliniate cu muchii paralele cu direc$iile Ox, Oy. Dac% 3<A' Ç= reprezint% o und% luminoas%, atunci ?%g3<A' Ç=h indic% distribu$ia pe frecven$e a luminii; pentru fiecare plac% de lungime å, perioada spa$ial% în lungul fiec%rei axe este 2å #i frecven$ele spa$iale unghiulare vor fi egale cu ,å; unda incident% 3<A' Ç= este reconstruit% din armonice

i0¥<j(^)ñ=, cu amplitudini date de func$iile complexe ò<G' u=, care alc%tuiesc spectrul frecven$ial spa$ial. Pentru un set fixat de valori (u, v), dreptele cu ecua$ia ux+vu = A, constant sunt perpendiculare pe vectorul de componente u, v; fig. 6.20.

Figura 6.20

!308

În figura 6.21 indic%m o apertur%, unda luminoas% 3<A' Ç= #i reparti$ia pe diverse direc$ii ale componentelor frecven$iale suprapuse ale undei.

Figura 6.21

Not%m cu ¡j' ¡) unghiurile f%cute de un vector de und% ß (perpendicular pe direc$ia unei unde plane) cu axele Ox, Oy. Atunci )*+ ¡j @ tG' )*+ ¡) @ tu #i pentru unghiuri ¡j' ¡) „mici”, avem G s ¡j t 0ï*0u s ¡) t; figura 6.22. Amplitudinea undei plane având direc$ia (¡j' ¡)=

Figura 6.22

este propor$ional% cu ò<G' u=. Und% incident% plan% descris% prin 3<A' Ç= este descompus% în unde plane care c%l%toresc la unghiuri ¡j' ¡); figura 6.23.

! 309

Figura 6.23

În cazul unei unde luminoase propagate printr-o lentil% convergent%, cu distan$a focal% f, în planul focal intensitatea luminoas% într-un punct curent se poate aproxima prin valorile

transform%rii Fourier ò<G' u= a undei 3<A' Ç= în punctul jw¢ '

)w¢ .

În acest mod, lentila apare ca un transformer Fourier fizic. b) Transformarea Radon #i aplicarea ei în Tomografia computa$ional% Defini$ia 6.7: Pentru orice func$ie 340!% 0/ 0!' 3 7 "!a% , rapid descresc%toare, transformata ei Radon este func$ia g definit% prin

b<Ë' ¡= @ 3<Ë Lc) ¡ R 6 )*+ ¡ ' Ë )*+ ¡ X 6 Lc) ¡=]6lW0l .

Se mai scrie b @ ®3 sau ®403<A' Ç= 0. 0b<Ë' ¡=. Dar începând în acest mod, pierdem ocazia unei model%ri matematice de mare frumuse$e #i importan$%. Vom modifica sensul expunerii, începând euristic, astfel încât matematica s% apar% ca rezolvant% final%, ca un „deus exmachina”. Termenul „tomografie” provine din grece#te („tomos” 10sec$iune) #i el este prezentat ca un ansamblu de tehnici de

310

organizare, tratare și control nedistructiv al corpului uman sau al diverselor structuri materiale, în vederea detectării unor tumori, fisuri sau chisturi, prin secțiuni realizate cu raze X, fluxuri de neutroni, ultrasunete etc. Descriere fizică Fundamentul matematic al tomografiei se află într-o lucrare „nevinovată” din 1917 a matematicianului austriac I. Radon, relativ la o clasă de ecuații integrale, pe care medicul sudafrican A. Cormack și fizicianul englez G. Hounsfield au înțeles-o și dezvoltat-o în 1960, construind totodată primul scanner tomograf și obținând premiul Nobel. Tomografia este curent utilizată în medicina radiologică (non-invazivă), dar și în Biologie sau în Tehnologia materialelor. Dificultățile tehnice au fost datorate obținerii de secțiuni 2D ale unor corpuri 3D, din mai multe poziții. Vom prezenta elementele constitutive ale tomografiei, unde se întâlnesc contribuții fizice (interacția radiației cu substanța), matematice (transformarea Radon) și informatice (algoritmi rapizi de prelucrare a datelor și de imagistică), oferind un exemplu magistral de colaborare interdisciplinară. Pentru matematicieni s-a creat un domeniu nou – Geometria integrală și probleme inverse asociate (de tipul reproducerii unor detalii inaccesibile ale unor corpuri 3D, solide sau lichide, cunoscând diverse proiecții 2D ale lor). Pentru fizicieni, studiul interacției substanță – radiație a condus la optica neliniară și la dezvoltarea laserilor, iar specialiștii în IT au elaborat algoritmi de mare finețe, al căror beneficiar principal a fost și este Medicina. Până de

! 311

curând, pacientul care resim$ea dureri ascunse sau ame$eli se ducea la spital s% fie „deschis” de chirurg; acum s-a ajuns nu numai la detec$ie ci #i la neutralizare sau resorb$ie a sursei de durere. În termeni prozaici, obiectul tomografiat este introdus într-o incint% care cuprinde o surs% de raze X (de exemplu), rotit% #i deplasat%; intensitatea radia$iei este m%surat% cu precizie, determinând gradul de atenuare a radia$iei la traversarea zonei analizate; figura 6.24.

Figura 6.24 Figura 6.25 Dac% un fascicul de raze traverseaz% un strat al unei pl%ci dintr-un material de grosime , (figura 6.25), atunci varia$ia ,I a intensit%$ii I a radia$iei este propor$ional% cu grosimea pl%cii, adic%

,I = – bI deci ÓDÓj @ R0:F (unde b > 0 este coeficientul de absorb$ie

al stratului; semnul „–” arat% c% intensitatea scade cu cre#terea grosimii). Aceasta este legea Lambert a radia%iei. Model matematic primar În nota$ie diferen$ial%, am ob$inut ecua$ia diferen$ial% FÖ<A= @ R:F<A=, (20) de unde F<A= @ F<H= È iW0_j.

312

Dacă P este o placă subțire cu fețe paralele, atunci notând cu 3(A, Ç) coeficientul de absorbție/atenuare (un tip de „densitate”) în punctul (x, y) al plăcii, atunci în lungul unei raze curente ∆, aplicând legea Lambert, rezultă relația F7 = F� ∙ eW©, unde F7(respectiv F�) reprezintă intensitatea radiației la ieșirea B

din placă (respectiv la intrarea A), iar € = 3(A, Ç)dè�7 reprezintă

însumarea atenuărilor în lungul segmentului din dreapta ∆ aflat în interiorul plăcii; „ds” este elementul de arc în lungul dreptei ∆;

figura 6.25. Așadar, e© = DkDg

deci € = ln DkDg.

În final, rezultă ecuația

3(A, Ç)dè�7 = ln DkDg, (21)

cu necunoscuta 3(A, Ç). Cunoscând funcția f, chiar și numai în punctele unei rețele discrete 2D, se obțin informații asupra disturbanțelor existente în placa P. După care modificăm ∆... Presupunem că este trimis un fascicul de radiații paralele cu o direcție fixă, având coeficientul unghiular m. Ecuația fasciculului este Ç = âA + t, cu parametrul t. Punând x=t, y=mt+t, rezultă

Dè = dA% + dÇ% = AÖ 6 % + ÇÖ 6 % ∙ d6 =

= 1 +â%d6 și ecuația (21) devine

3(6,â6 + t) ∙jgjk

1 +â%d6 = ln DkDg, adică de forma

ò(6, t)d6_Q = b(t), (22)

cu g funcție cunoscută (deoarece intensitățile de tipul F�, F7 sunt accesibile și ca atare, măsurate).

313

Ecuația (22) este o ecuație integrală de tip Radon. Înainte să apeleze la matematică superioară, Cormack a folosit următorul: ALGORITM (pentru determinarea funcției F din (22)) Pasul 1. Se aleg N funcții liniar independente |#, . . . , |o, presupuse cunoscute și funcția F va fi determinată ca o combinație liniară ò = πU|Uo

Up# a acestora. Așadar trebuie determinați coeficienții πU. Pasul 2. Se aleg N valori t#, . . . , to (adică drepte ale fasciculului) și ecuația (22) devine

πU |U(6, t»)d6_Q

oUp# = b(t»), 1 ≤ ¬ ≤ n.

Dar numerele reale ã»U = |U(6, t»)d6_Q sunt cunoscute.

Pasul 3. Se obține astfel un sistem liniar: ã»UπUo

Up# = b(t»), 1 ≤ ¬ ≤ n, de unde se obțin coeficienții π#, . . . , πo și apoi F. (Ultimul sistem liniar este aproape sigur compatibil determinat, deoarece determinantul lui este nenul; argumentul este manifest: dacă se aruncă la întâmplare un punct pe o axă, este aproape sigur că el nu va cădea chiar în originea axei sau în vecinătate!) Modelul matematic actual Fie S un punct în planul xOy, distinct de O, având coordonatele polare Ë, ¡ deci Ë = É° și ¡ = măs(ÉA, É°); figura 6.26. Notăm cu (C) frontiera plăcii P, adică a obiectului tomografiat. Deoarece °(Ë cos ¡ , Ë sin ¡), dreapta ∆ care trece prin S, perpendiculară pe

!314

Figura 6.26

semidreapta OS va avea ecua$ia cartezian%

Ç R Ë )*+ ¡ @ R0 #X«≈ <A R Ë Lc) ¡=, adic%

A Lc) ¡ X Ç )*+ ¡ R Ë @ Hë Aceast% dreapt% poate fi parametrizat% punând A @ Ë Lc) ¡ R 6 )*+ ¡' Ç @ Ë )*+ ¡ X 6 Lc) ¡, (23) cu parametrul 6 7 !. Atunci AÑ<6= @ R )*+ ¡ ' ÇÑ<6= @ Lc) ¡ #i elementul de arc

este ds = AÑ<6=% X ÇÑ<6=%]6 @ ]6. Presupunând c% f este nul% în afara pl%cii P (ipotez% absolut rezonabil%), ecua$ia (21) devine

3<lW0l Ë Lc) ¡ R 6 )*+ ¡ ' Ë )*+ ¡ X 6 Lc) ¡=]6 @

@ b<Ë' ¡=, (24) cu necunoscuta f. Aceasta este ecua$ia rezolvant% a problemei puse. Dar solu$ia urmeaz%! Membrul întâi se nume#te suma cumulat& pentru toate razele care trec prin punctul S #i ea se noteaz% cu <®3=<Ë' ¡=, iar b<Ë' ¡= depinde de intensit%$ile radia$iei în lungul lui , la intrarea #i ie#irea din obiectul

315

tomografiat. Ecuația (24) se scrie sub formă operațională: ℛ3 = b, iar ℛ se numește transformarea (≡ operatorul) Radon. Am ajuns la definiția 6.7 cu care începusem paragraful (fără nici o motivație!). Acum apelăm la „artileria” Fourier. Notăm cu é({, ¡) transformata Fourier 1D a funcției b(Ë, ¡), considerând ¡ ca parametru. Așadar, é({,⋅) = ℱ#{b(Ë,⋅)} și explicit,

é {, ¡ = b Ë, ¡ eW¥}ÍdËlWl =

∂√. %x

= eW¥}Í 3(lWl Ë cos ¡ − 6 sin ¡ , Ë sin ¡ + 6 cos ¡)dËd6l

Wl =

= 3(Ë cos ¡ − 6 sin ¡ , Ë sin ¡ + 6 cos ¡)eW¥}ÍŒËŒ6ℝa .

În această integrală dublă, facem schimbarea de variabile (Ë, 6) ↦ (A, Ç) dată de relațiile (23), având evident jacobianul egal cu 1. Ca atare,

é {, ¡ = 3(A, Ç)eW¥}(j ∂∑≥ ≈^) ≥¥µ ≈)ŒAŒÇℝa .

Reamintim acum definiția (3) a transformatei Fourier 2D a funcției 3(A, Ç):

3({#, {%) = 3(A, Ç)eW¥(j}à^)}a)ŒAŒÇℝa

și rezultă relația é {, ¡ = 3({ cos ¡, { sin ¡). Așadar, pe de o parte, é = ℱ#{b} = ℱ#{ℛ3} = (ℱ# ∘ℛ){3} și pe de alta, é = ℱ%{3} deci ℱ# ∘ ℛ = ℱ% și ținând cont că operatorii ℱ#, ℱ% sunt inversabili, rezultă că ℛ = ℱ#W# ∘ ℱ% și ℛW# = ℱ%W# ∘ ℱ#.

316

În concluzie, am demonstrat TEOREMA 6.4. (teorema tomografiei 2D computaționale): Soluția ecuației ℛ3 = b este 3 = ℛW#b = ℱ%W#(ℱ#{b}). (25) Ca atare, rezolvarea matematică a problemei tomografiei 2D revine la aplicarea succesivă a două transformate Fourier. Notă Tomografia computațională s-a dezvoltat masiv în ultimele decenii, devenind un domeniu central interdisciplinar, având reviste specializate și multiple aplicații. S-a creat tomografia 3D, s-au utilizat fluxuri „curbate” de radiații, iar analogul complex al transformării Radon (numită transformarea Penrose) este utilizată în Teoria cuantică a interacțiilor și în înțelegerea structurii profunde a materiei. Aplicarea concretă, în diverse ipostaze, a ecuației Radon a necesitat elaborarea unor algoritmi de tipul FFT, care „dizolvă” relația (25) în proceduri computaționale și SOFT – uri introduse în niște „cutii negre” sofisticate numite tomografe. Tomografele se întâlnesc în multe cabinete de medicină preventivă, ca și în tratarea efectivă nedistructivă; în ultimul timp, tomografia permite înțelegerea unor procese din geofizică, microunde, curgerea fluidelor, creșterea cristalelor, recunoașterea formelor, fără a mai vorbi de aplicațiile militare, nu neapărat nucleare. În ultimul timp, o aplicație mai deosebită a tomografiei o constituie controlul bagajelor pe aeroporturi sau vehiculelor la vămi, ca și detecția minelor antipersonal (≡ dispozitive ascunse care, după atingere și detonare, fac multe victime sigure).

! 317

Complet%ri privind transformarea Radon Pentru orice func$ie 3<A' Ç=' 340!% 0/ 0! din "!a% cu suport compact sau m%car rapid descresc%toare, am definit (defini$ia 6.7) transformarea Radon ®403<A' Ç= . b<Ë' ¡= unde

b<Ë' ¡= @ 0 3<lW0l Ë Lc) ¡ R 6 )*+ ¡ ' Ë )*+ ¡ X 6 Lc) ¡=]6.

Considerând în planul xOy dreapta L de ecua$ie A Lc) ¡ X Ç )*+ ¡ R Ë @ H, caracterizat% prin aceea c% trece prin punctul S(Ë Lc) ¡' Ë )*+ ¡= #i este perpendicular% pe vectorul de componente (Lc) ¡' )*+ ¡=, având panta ¡ (figura 6.27); evident, distan$a É° @ Ë . Dreapta L

Figura 6.27

are ecua$iile parametrice: L: A 6 @ Ë Lc) ¡ R 6 )*+ ¡, Ç<6= @ Ë )*+ ¡ X 6 Lc) ¡ ' 6 7 ! (pentru Ë' ¡ fixate); acestea nu sunt chiar coordonate polare, deoarece Ë nu este neap%rat pozitiv%).

318

Atunci rezultă b(Ë, ¡) = 3(lWl A(6), Ç(6))d6; această

integrală se numește suma lui f în lungul dreptei L. Apoi, pentru orice punct fixat (A, Ç) ∈ ℝ%, mărimea

:(A, Ç) = b(A cos ¡ + Ç sin ¡ , ¡)d¡,E ,

se numește acumularea sumelor b(Ë, ¡) pe toate dreptele care trec prin punctul (x, y), iar aplicația b(Ë, ¡) ↦ :(A, Ç) este numită operator de retro–proiecție. Direct din definiție, rezultă: Proprietățile transformării Radon 1. Liniaritate: ℛ{ã3# + ´3%} = ãℛ{3#} + ´ℛ{3%};

2. Dacă A > 0 și 3(A, Ç) = 0 pentru A > �%, Ç > �

%, atunci

b(Ë, ¡) = 0 pentru Ë > � %%

;

3. Periodicitate: b(Ë, ¡) = b(Ë, ¡ + 2(); 4. Dacă b = ℛ{3}, atunci ℛ{3(A − 9, Ç − :)} = b(Ë − 9 cos ¡ − : sin ¡ , ¡); 5. Dacă ℛ{3(A, Ç)} = b(Ë, ¡) și (A′, Ç′) este punctul obținut din (A, Ç) prin rotație cu ¡E în jurul originii, atunci ℛ{3(A′, Ç′)} = b(Ë, ¡ + ¡E). Am demonstrat anterior că ℱ#{ℛ3}(Ë, ¡) = ℱ%{3}(Ë cos ¡ , Ë sin ¡) pentru orice Ë ∈ ℝși¡ ∈ [0, () și că ℛ este o aplicație inversabilă, cu inversa ℛW# = ℱ%W# ∘ ℱ#.

319

§6.4. Cristalografie Fourier Punerea problemei Cristalele sunt corpuri solide având o structură atomică 3D specială, anume o așezare periodică a atomilor. Starea rețelei cristaline paralelipipedice este de echilibru termodinamic. Rețeaua se realizează prin repetarea periodică spațială a unei celule unitare (≡ mai mică celulă, tot paralelipipedică, din care se poate genera cristalul doar prin translații); orice celulă unitară este un complex de atomi. Structura atomică decide proprietățile globale (electrice, termice, magnetice sau optice) ale cristalului. Exemplu Proteinele sunt mici cristale cu molecule mari având lanțuri de aminoacizi. Cunoașterea structurii lor moleculare / atomice este necesară pentru a interpreta corect funcțiile lor și apoi pentru proiectarea medicamentelor și agenților terapeutici. Întrebare: Cum se poate studia structura atomică a cristalelor? Răspuns: În toate observațiile și măsurătorile microscopice, rezoluția (≡ capacitatea de redare a detaliilor) este limitată de radiația electromagnetică utilizată. Astfel, în cazul luminii vizibile, cea mai scurtă lungime de undă este de circa 300 nm și se pot „vedea” doar celulele individuale; în cazul microscopiei electronice, lungimea de undă coboară la 10 nm și se pot distinge detalii ale arhitecturii celulare, de exemplu formele proteinelor. Dar pentru detalii privind structura cristalină, ar fi necesare radiații cu lungimea de undă comparabilă cu distanțele dintre atomi (deci cu lungimi de undă sub 1 nm).

320

În 1895, fizicianul german Roentgen a descoperit razele X (denumirea provenea de la natura lor necunoscută la acea vreme) și în 1902, Max von Laue a propus studiul structurii macroscopice a unor compuși prin experimente de difracție cu raze X, sub ipoteza, dovedită corectă, că acestea vor difracta. Între timp, cristalografii stabiliseră structura de latice a așezării atomilor din cristale, iar distanțele între atomi erau compatibile cu lungimea de undă t a radiației (în cazul razelor X, t ≅ 0,1 nm). Așa s-a ajuns la: Cristalografie cu raze X Matematicienii studiaseră în mod independent grupurile cristalografice (grupuri discrete având o celulă mărginită); astfel, rusul Fedorov și germanul Shönfliess demonstraseră în 1891 că în 2D există 17 grupuri cristalografice distincte și în 3D, 230; între timp, s-au descoperit: pseudocristalele (Penrose), fractalii, creșterea cristalelor cu largi aplicații la fibra optică, semiconductori etc. În 1892, într-o scrisoare către Michelson, lordul Rayleigh arătase că intensitatea luminii într-un sistem de franjuri este transformata Fourier a spectrului luminii transmise. Acesta a fost începutul utilizării transformării Fourier în conjugare cu cristalografia cu raze X. În linii mari, atunci când o radiație X monocromatică difractă un cristal, se realizează o transformare Fourier a undei incidente și dacă unghiul de incidență este variat, atunci apar fenomene cu totul remarcabile. Abia după 60 de ani, folosind FFT și spectroscopia de înaltă rezoluție, s-au putut măsura intensitatea și faza spoturilor difractate.

! 321

Schema este cea întâlnit% adeseori în aceast% carte: un semnal incident (zgomot, lumin%, raze X etc.) este transfuriat printr-un operator ? dup% care frecven$ele înalte (de exemplu) sunt eliminate #i apoi se aplic% ?W#, ob$inând o atenuare a semnalului incident, care con$ine informa$ii relativ la mediul investigat. Radia$iile X sunt difractate de un cristal #i sunt împr%#tiate de norul de electroni ai unor atomi având dimensiuni comparabile cu t. Pe baza figurilor/spoturilor de difrac$ie ob$inute din ansamblul moleculelor/atomilor din cristal, se poate reconstrui densitatea electronilor. Exemplu Presupunem c% un mic cristal (de exemplu de protein%) este plasat într-un flux intens de radia$ii X; razele difractate sunt împr%#tiate sub unghiuri ¡, fiind colectate într-o zon% detector (figura 6.28). Spoturile / figurile de difrac$ie constau din reflexii de diferite intensit%$i #i faze.

Figura 6.28

Întrebare: În ce mod radia$iile X eviden$iaz% structura cristalelor? R%spuns: În 1913, australienii W.H. Bragg #i W.L. Bragg (tat% #i fiu) au ar%tat c% fe$ele cristalelor reflect% razele X având

!322

unghiuri ¡ de inciden$% #i lungimea de und% t astfel încât distan$a

d dintre straturile atomice ale cristalului satisface rela$ia Œ @ w≥¥µ≈.

Ei au stabilit astfel structura cristalelor de NaCl #i ZnS, dar au explicat #i figurile de interferen$% ale razelor X împr%#tiate de cristale, primind în 1915 premiul Nobel. Ulterior, studiul a fost extins la interac$ia substan$elor cu diverse radia$ii (fluxuri de electroni, protoni, neutroni, ioni etc) având lungimi de und% comparabile cu distan$ele dintre structurile atomice sau moleculare de interes. Not% (deducerea legii Bragg) Razele X întâlnesc un cristal #i interac$ioneaz% cu familii de plane paralele (numite laticiale). Cristalul poate fi asimilat cu un paralelipiped dreptunghic (1 latice 3D cu dimensiuni a, b, c exprimate prin numere întregi), divizat în celule cubice cu latura = 1. Fiecare vârf (m, n, p) al unei celule este situat într-un plan laticeal (fig. 6.29). Pentru simplitate,

Figura 6.29 Figura 6.30 renun$%m la o dimensiune #i asimil%m cristalul cu un masiv de dreptunghiuri de dimensiuni 9' : 7 > #i celule p%trate cu latura 1;

323

fig. 6.30; cu buline negre am indicat atomii rețelei, așezați în vârfurile celulelor. Presupunem că razele incidente 1,2 pornesc de la o sursă comună, oscilând în fază; ele întâlnesc planele paralele #, ¯%, ¯Y,... sub unghiul ¡. Aceste plane „atomice” se presupun paralele, la distanța d. Presupunem că raza 1 întâlnește în A un atom și este împrăștiată tot cu înclinarea ¡ față de planul ¯#. Raza 2 pătrunde prin ¯# și întâlnește un atom în B, fiind deviată sub același unghi ¡. Cele două raze își continuă împreună drumul, dar raza 2 va fi întârziată, în raport cu 1, cu distanța z#fi + fiz%(z#, z% fiind picioarele perpendicularelor din A pe raza 2 și pe reflectata ei 2'). Evident, z#fi = fiz% = Œ sin ¡. Fasciculul reflectat 1', 2',... va avea intensitatea maximă dacă razele 1', 2' sunt în „interferență constructivă”, adică și aceste raze să fie în fază, adică diferența de drum menționată (z#fi + fiz%) să fie un multiplu întreg al lungimii de undă t. Așadar, am obținut relația 2Œ sin ¡ = ?t cu ? ∈ ℤ (legea lui Bragg). (26) În acest caz, cele două raze 1', 2' vor fi în fază și vor genera o oscilație cu o amplitudine egală cu suma amplitudinilor razelor 1' și 2'. Relația (26) arată că se poate obține o rezoluție fină variind ¡. În 1928, Dawidson a obținut astfel distanța dintre atomii de Ni. Nu discutăm aici sursa de radiații X, modificarea pozițiilor cristalului sau modul de prelucrare a informațiilor obținute. Legea

324

lui Bragg este o consecință a periodicității rețelei; o generalizare a ei se obține din ecuația de difracție a lui Max von Laue, dar nu mai dăm detalii. „Cristale” 1D sau 2D Presupunem că atomii unui cristal sunt așezați pe o axă. Notăm cu ˛ cantitatea de electroni (ca variabilă aleatoare); pentru un atom plasat în punctul x, notăm

Ë A = lim∏→E

#∏P ˛ ∈ A, A + ℎ , numită distribuția

electronilor în acel atom. Presupunând că atomii sunt echidistanți cu distanța p, atunci distribuția electronilor din întregul atom este ËÂ A = Ë A − S¯l

UpWl . Ținând cont că Ë A − 9 = Ë A ∗ T A − 9 , rezultă Ë A − S¯ = Ë A ∗ T A − S¯ deci ËÂ A = Ë A ∗ T A − S¯U∈ℤ = = Ë(A) ∗ T(A − S¯)U∈ℤ = Ë(A) ∗ ШÂ(A), conform Capitolului 3, 3.8. Așadar, ËÂ = Ë ∗ ШÂ. (27) Dar transformata Fourier a unei convoluții este produsul uzual al transformatelor Fourier ale factorilor și în plus, conform

teoremei 3.11, ℱ{ШÂ(A)} =#ÂШ# Â(q) în cadrul distribuțiilor.

Așadar,

ℱ{ËÂ(A)} = ℱ{Ë(A)} ∙#ÂШ# Â(q). (28)

În mod explicit,

ℱ ËÂ A = #Âℱ Ë A ∙ Ш# Â q =

! 325

#Â ? Ë A È T A R S È #ÂU @

@ #Â ?gËh<UÂ= È T<A R

UÂ=U . (29)

În cazul 2D, se nume#te re%ea bidimensional& (sau latice p&tratic&) mul$imea >% @ >÷>, adic% mul$imea perechilor de numere întregi. Se define#te pieptenele lui Dirac ˇ>a<A#' A%= @ T<A# R S#' A% R S%=Uà'Ua7> 0sau pe scurt, ˇ<A= @ T<AU R S=. A#a cum ?gˇ0<A=h @ 0ˇ<q= în cazul 1D, tot astfel, ?gˇ>ah @ ˇ>a. Analogul 2D al formulei (28) necesit% introducerea no$iunii de latice oblic&. Fix%m doi vectori nenuli #i necoliniari u#' u%, cu componente scalare întregi. Mul$imea M @ gS#u# X S%u%‘S#' S% 7 >h se nume#te celula fundamental& (fig. 6.31) #i definim pieptenele ˇM<A= @ T<AÂ7M R ¯=. Notând cu A

Figura 6.31

matricea componentelor vectorilor u#' u%, se poate considera matricea zW0{ (transpusa inversei lui A) #i laticea reciproc& MÌ

326

asociată. Notând cu D aria paralelogramului construit pe vectorii

u#, u%, se poate arăta că ℱ{Шℒ} =#/Шℒ∗, similar cu (28).

În plus, similar cu relația (27), relativ la distribuția electronilor unui cristal 1D, avem Ëℒ(A) = Ë(A) ∗ Шℒ. Cele expuse pot fi extinse la cristalele „adevărate” 3D, cu ajutorul laticelor 3D și al vectorilor reciproci. Difracția cu raze X produce similar cu relația (29), relația

ℱ Ëℒ A = ℱ Ë A ∙ #/Шℒ∗ ¯∗ =

= ℱ{Ë(Â∗∈ℒ∗ A)}(¯∗)T(A − ¯∗). (30) Această cabalistică notațională, folosind Teoria distribuțiilor, trebuie tradusă într-un limbaj inteligibil pentru cei mai puțin specializați. Difracția printr-o singură moleculă este prea slabă pentru a fi măsurabilă și de aceea, pentru a intensifica semnalul, se utilizează un cristal, care este un masiv 3D ordonat de molecule. O proteină poate conține milioane de molecule și atunci difracția va fi măsurabilă cu o înaltă rezoluție. Razele X sunt difractate de electroni și rezultatul utilizării de raze X este o hartă 3D care arată distribuția electronilor în structură. Cristalul se comportă ca un grătar de difracție și pe ecranul/ detector, el generează o serie de spoturi discrete cunoscute ca reflexii, care conțin informație de la toți atomii și invers, fiecare atom contribuie la intensificarea fiecărei reflexii. Ca toate radiațiile electromagnetice, ele au amplitudine și fază, dar în timp ce cu tehnicile uzuale, amplitudinile sunt înregistrate experimental, informația relativ la faze este pierdută.

! 327

Întrebare: Care este totu#i scopul cristalografiei cu raze X? R%spuns: Este suficient% cunoa#terea densit%$ii spa$iale Ë<A' Ç' ∫= a electronilor din cristal, de unde se deduc alte propriet%$i. Am v%zut c% un cristal este un aranjament al unui motiv/celul% fundamental% într-o latice 3D. Celula poate fi asimetric%, poate con$ine o singur% molecul% sau o combina$ie. Exemplu Proteina RGFF („red – green – fluorescent protein”) are o celul% structural% K de o form% spiralat% special%. Considerând o re$ea paralelipipedic%, având în fiecare vârf câte o celul% K, se ob$ine un cristal de protein%. Vom considera o singur% celul% K #i dou% plane vecine ¯#' ¯% (figura 6.32).

Figura 6.32

O und% plan% incident% difract% un electron în O, având

unghiul de inciden$% ¡ #i alt electron în O' (ÉÉÖ @ ¿), cu vectorii

de und% ßE0ï*0ß având aceea#i amplitudine; notând è @ ßE R ß, raza prin O' va avea o faz% întârziat% cu 2%i(¿ 0 È è=, ceea ce corespunde factorului iW0%,¥ 8ÈJ . Interferen$a constructiv%

corespunde rela$iei ¿ 0 È è @ ?, cu ? 7 > (de fapt, ¿ 0 È è @ %ı ≥¥µ ≈w ,

328

regăsind astfel legea lui Bragg). Difracția care corespunde vectorului de difracție è și electronul din O' multiplică amplitudinea undei împrăștiate cu factorului de fază eW%,¥(8∙J). Dacă Ë(¿) ≡ Ë(A, Ç, ∫)este funcția de densitate a electronului în cristal, atunci efectul asupra lui è este

ò(è) = Ë(¿)ã

∙ eW%,¥(8∙J)d¿. (31)

Notăm cu Fã funcția caracteristică a celulei K (egală cu 1 pe K și nulă în exterior), relația (31) se scrie simplu: ò(è) = ℱY{Ë(¿) ∙ Fã} și aplicând formula de inversare Fourier,

Ë(¿) ∙ Fã = ò(è) ∙ℝΩ e%,¥(8∙J)dè. (32)

Surpriză! Reîntâlnim încă o dată o pereche Ë(¿) ⇄ℱò(è)

(vezi paragraful 3.8 din Capitolul 3). Prin experimente de difracție (bombardarea lui K cu raze X) s-au putut determina valorile intensității ò(è % a spotului care corespunde lui è. Aceste valori nu permit reconstruirea completă a lui Ë(A, Ç, ∫), dar au fost descoperite tehnici speciale pentru determinarea fazei și aplicarea FFT pentru utilizarea formulei (32), care depășesc scopul acestei cărți. §6.5. Muzica electronică Preliminarii Undele sunt asimilate cu vibrații care se deplasează/ propagă; în orice mediu, fluid sau solid, acolo unde există o sursă de oscilații, apar unde elastice, care se propagă longitudinal (dacă

329

particulele mediului se deplasează în lungul direcției de propagare) și transversal în caz contrar. Undele mecanice nu se propagă în vid, dar undele electromagnetice (în particular, lumina) se propagă atât în vid cât și prin substanțe. În paragraful 1.2 am reamintit câteva elemente de Teoria undelor, unde staționare (≡ periodice), lungimi de undă, oscilații armonice, amplitudini, frecvențe, faze. O undă staționară nu își modifică profilul în timp și dacă are perioada principală T și viteza de propagare v, atunci distanța între două creste (≡„peak”–uri) vecine este lungimea de undă t = uZ; frecvența undei este

3 = #\ deci u = t3.

Sunetele (≡ undele sonore) sunt vibrații mecanice ale aerului (sau altor medii); practic, toate obiectele care provoacă mișcări, produc și sunete, prin comprimări sau decomprimări propagate ale mediului. Sunetele staționare cu frecvențe sub 16 Hz se numesc infrasunete, iar cele cu frecvențe peste 20 kHz, ultrasuneteO sursă remarcabilă de sunete o constituie instrumentele muzicale sau vocea umană, toate având o mare diversitate de principii funcționale. Exemple 1) O undă (staționară), propagată în lungul unei corzi întinse, parcurge 10 m în 0,2 s și lungimea de undă este t = 0,6 m. Care este frecvența oscilațiilor?

Răspuns: Viteza de propagare este u = #EE,%= 50 m/s și

frecvența este 3 = ñw= ®EE,y≅ 83Hz.

330

2) O persoană normală percepe în aer sunetele având frecvențe f din intervalul [16, 20000] Hz. Ce lungimi de undă percepe persoana?

Răspuns: t = ñ¢= YxE

¢, ținând cont că u ≅ 340 m/s;

intervalul cerut este între 1,7 cm și 21,2 m. 3) Presupunem că un violonist nu modifică în timp forma de undă în execuția unei note muzicale cu frecvența f = 262 Hz. Dacă un microfon produce un voltaj A(6) proporțional cu presiunea aerului, atunci funcția A(6) este periodică, dar nu este o sinusoidă (adică o oscilație armonică); dar conform teoremei 1.3 a lui Fourier–Dirichlet, ea este suprapunerea unor oscilații armonice de diverse amplitudini, frecvențe sau faze. Ținând cont că viteza de propagare a sunetului în aer este u ≅ 340 m/s, lungimea de

undă a notei produse este t = uZ = 340× #%y%≅ 1,3 m.

Sunetele muzicale Muzica este esențialmente o formă de comunicare, anume, arta sunetelor și ritmurilor dirijate, descoperită (nu inventată!) și ulterior organizată astfel încât să exprime stări emoționale. Notele muzicale sunt sunete având o anumită tonalitate/formă de undă; în cazul staționar, conform analizei Fourier, ele sunt suprapuneri de oscilații armonice. Reamintim că orice oscilație armonică (≡ sinusoidă) este de forma A(6) = z sin({6 + |), 6 ∈ ℝ, unde timpul t este măsurat în s, amplitudinea A (A > 0) măsurată în V, { = 2(3 cu frecvența f măsurată în Hz și faza | în radiani sau grade sexagesimale.

! 331

Scriind {6 X | @ {<6 R õ), m%rimea õ @ R0d} se nume#te

întârzierea fazei. Exemple

a) Fie A<6= @ &'O )*+<OH(6 R ,x=; avem z @ &'O; apoi

{ @ OH(' 3 @ }%, @ ©Hz #i | @ R0,x. Graficul func$iei A @ A<6=

este indicat în figura 6.33. Perioada lui A<6= este Z @ #¢ @ H'&0s.

T este distan$a între dou% „peak”–uri vecine.

Figura 6.33

Scriind A<6= @ &'O )*+ OH(<6 R #xE=, întârzierea fazei este

#xE @ H'H& s.

b) Dac% o oscila$ie armonic% are amplitudinea A = 4, faza | @0,y #i frecven$a f=50 Hz, care este valoarea ei la momentul

t=0,2 s? R%spuns: A#adar, A<6= @ ± )*+<OHH(6 X ,

y= deci

A<H'&= @ ± )*+<&H( X ,y= @ ± )*+

,y @ &.

!332

Considerând o coard% (C) ca în figura 6.34 #i notând u(x, t) = elonga$ia în punctul A 7 8H' î; #i la momentul t,

Figura 6.34

vibra$ii ale corzii se produc în planul xOu. D. Bernoulli a stabilit „ecua$ia corzii vibrante” GÅÅ @ 9%Gjj, unde a > 0 este o constant% depinzând de materialul corzii (ecua$ia (28) din Capitolul 1). Aplicând metoda separ%rii variabilelor, am ar%tat în Capitolul 1, modul cum Fourier a demonstrat c%, presupunând coarda prins% la capete (ca în cazul corzilor de la vioar%, violoncel etc.), adic% u(0, t) = 0 #i u(L, t) = 0 pentru orice t ( 0, atunci G<A' 6= @ zB<6= )*+ B,jì

lBp# , (33)

unde zB<6= @ 9B Lc) QB,Åì X :B )*+ QB,Åì (formula (32) din

Capitolul1). Coeficien$ii 9B' :B depind de forma #i viteza ini$iale ale corzii: G<A' H= @ 3#<A= #i GÅ<A' H= @ 3%<A=. Conform (33), G<A' 6= @ GB<A' 6=l

Bp# , (34) deci oscila$iile corzii (exprimate prin G<A' 6=) reprezint% suprapunerea oscila$iilor armonice (1 armonicelor)

GB<A' 6= @ zB<6= )*+ B,jì . Armonica G#<A' 6= se nume#te tonul

333

fundamental (≡ prima armonică) și are perioada 2( Q,ì= %ì

Q și

frecvența 3 = Q%ì

. Celelalte armonici GB(A, 6) numite supratonuri

au frecvențele 3B =QB%ì

deci 3B = ?3 și amplitudinile 9B% + :B%.

Frecvențele sunt mai joase dacă raportul Qì este mai mic (de

exemplu, corzile de contrabas). Notă Am dat mai multe exemple relativ la instrumente muzicale cu corzi. Dar fenomene similare au loc și în cazul instrumentelor de suflat sau de percuție. De exemplu, un flaut este un tub deschis la ambele capete; aerul intră la un capăt și iese la celălalt. Oscilațiile armonice sunt multipli întregi ai frecvenței fundamentale, anume ≅ 436 Hz, LA bemol ≡ zx. Conversia A/D și D/A a sunetelor Conversia A/D este legată de perechea continuu/discret și revine la a înlocui o listă infinită de numere cu una finită (desigur, lungă). În cazul unui sunet A(6), 6 ∈ [9, :], considerăm un șir finit de momente de eșantionare 9 = 6E < 6# <. . . < 6B < 6B^# = : și aproximăm funcția A(6) cu o funcție constantă pe porțiuni, cu valorile π#, π%, . . . , πB^#; de exemplu A(6) = π# = A(6E)pe [6E, 6#), A(6) = π% = A(6#)pe [6#, 6%),..., A(6) = πB^# = A(6B)pe [6B, 6B^#]. (figura 6.35). Valorile π#, π%, . . . , πB^# se pot reprezenta binar (folosind doar biții 0,1)

!334

Figura 6.35

#i în acest mod, un obiect esen$ialmente analogic precum A<6= poate fi aproximat suficient de bine printr-un #ir de bi$i. Profit%m în fond #i de imprecizia sim$urilor noastre! În mod sugestiv, conversia A/D #i apoi D/A sunt reprezentate în figura 6.36.

Figura 6.36

Diverse func$ii continue – presiunea aerului, undele sonore, voltaje etc. – pot fi astfel e#antionate #i stocate prin valori numerice (A/D). În conversia invers% (D/A), valorile numerice sunt convertite printr-un amplificator #i retransformate într-o vibra$ie continu%. Opera$iile de conversie sunt fundamentale în muzica electronic% #i nu numai.

335

Gama cromatică, gama bine temperată În urmă cu peste 2000 de ani, Pitagora și elevii săi au descoperit (euristic!) un fenomen esențial: considerând două corzi

din același material, cu aceeași grosime, de lungimi L și ì%, fixate

la capete, ele produc două sunete diferite, atunci când sunt ciupite simultan. În limbajul de astăzi, frecvențele lor sunt diferite, f și respectiv 2f. Cea mai scurtă are sunetul mai înalt, cu frecvență dublă. Se spune că sunetele respective se află în octavă. Mai mult, s-a observat că dacă lungimile a două corzi î#, î% cu capetele fixate s-ar afla în rapoarte de numere naturale mici

(î, %ìYsauî, Yì

x), atunci sunete lor ar fi „plăcute”. Un motiv îl

constituie periodicitatea sunetelor produse de cele două corzi împreună și potrivirea supra-tonurilor lor. Cea mai mică frecvență percepută de urechea umană este de 16 Hz. Fixând prima octavă [f, 2f ), cu f > 16 Hz, acest interval a fost divizat inițial în 12 semitonuri, operație care s-a numit „temperarea octavei”. Matematic, aceasta revine la a insera 12 frecvențe aflate în progresie geometrică 9B , ? ≥ 1cu9# = 3 și 9#Y = 23. Din formula 9B = 9#xBW#, rezultă 23 = 3 ∙ x#% deci

x = 2àa ≅ 1,06. Numerele iraționale erau rejectate în Antichitate

(de exemplu, două segmente de lungimi 1 și 2 sunt

incomensurabile și la fel, 1 și 2àa ). A doua octavă este [2f, 3f ), a treia [3f, 4f ) etc. Se obține astfel șirul de frecvențe 3, x3, x%3, . . . , x##3, 23, x#Y3, x#x3, . . . , 43, x%®3, . . . , 83, . ..

336

numit gama cromatică asociată frecvenței f. Prin convenție, nota/tonul cu frecvența f (din prima octavă) a fost numită și notată DO#, cea cu frecvența 2f – DO% etc. și cea cu frecvența 2äW#3 este DOä etc. Pentru a evita numerele iraționale (care au înspăimântat pe matematicienii din Antichitate!), Pitagora a selectat doar 7 frecvențe din prima octavă (repetate corespunzător în octavele următoare), cărora le-a asociat denumirile DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI (cu indicele 1, adică DO#,RE#, . . . , SI#), cu frecvențele următoare:

3, Àƒ3, ƒ#yx3, xY3, Y%3, %-#y3, %xY#%ƒ3.

Sunetul numit cvartă (respectiv cvintă) este al 4–lea

(respectiv al 5–lea), având frecvența xY3 (respectiv Y

%3); apăsând

simultan clapele DO – FA sau DO – SOL din aceeași octavă se obțin „acorduri plăcute”. În secolul 17, Mersenne și Bach au introdus gama bine temperată, adăugând celor 7 note pitagoreice încă 5 „diezi” și „bemoli”, apropiindu-se de gama cromatică; frecvența notei DO#

se obține din frecvența lui DO înmulțită cu %®%x

(care aproximează

mai bine numărul q), iar MIb se obține din frecvența lui MI

înmulțind cu %x%®

etc. Trebuie menționat că în culturile occidentale

notele DO, RE, MI,..., SI sunt notate respectiv cu C, D, E, F, G, A, B. Practic, C# are aceeași frecvență cu Db, D# cu Eb, A# cu Bb

etc (deoarece 3× %®%x≅ x3× %x

%® ).

! 337

Not% La pian, ˘¨# 1 C# are de regul% frecven$a f = 27,5 Hz; clapele negre corespund diezilor #i bemolilor. De exemplu, C## are

frecven$a 27,5÷%®%x s 28,6 Hz. Muzicienii au considerat c%, prin

completarea gamei pitagoreice, s-a ob$inut o intona$ie mai pl%cut%.

Figura 6.37

Dou% note se consider% echivalente #i se noteaz% la fel dac% ele difer% printr-un num%r întreg de octave; de exemplu, notele C#' C%' CY,... sunt echivalente (frecven$ele lor sunt f, 2f, 4f, etc.). Re$inem c% dac% o not% are frecven$a | în prima octav%, atunci nota echivalent% din octava a m–a are frecven$a &äW#|. Acordul standard este nota „LA” din octava a 4 – a, adic% õx, având frecven$a 440 Hz. Nota LA din prima octav% va avea

frecven$a | astfel încât &Y| @ ±±H deci | @ xxEƒ @ ©© Hz.

Un istoric al muzicii, A. Eichenwald a afirmat în 1917 c% atingând clapele unui pian, interpretul „se joac% cu logaritmii”. Sensul cuvintelor sale se afl% în diversele raporturi care se pot stabili între frecven$ele diverselor împerecheri ordonate de note muzicale. Leg%tura dintre muzic% #i matematic%, ini$iat% de Pitagora #i continuat% de Mersenne #i Bach, este #i un domeniu

338

modern de cercetare științifică. Trebuie menționat aici numele lui Anatol Vieru și al unui cunoscut matematician român, dr. Dan Vuza, autor al unor lucrări privind aplicațiile undinelor și „canonul ritmic”, extinzând gamele muzicale actuale, lucrări apreciate în lumea specialiștilor muzicologi neinhibați de matematică. Întrebare: De ce a fost necesară crearea unei scale (game) muzicale? Răspuns: Instrumentele muzicale nu produc sunete de orice frecvență. Scala muzicală diferă de scala temperaturilor unde se fixează punctele de îngheț și fierbere a apei și apoi se adaugă diviziuni echidistante. În Muzică, un mare rol îl are suprapunerea de armonici (≡ consonanța) și în plus, în mod subiectiv, sunetele trebuie să ofere o anumită continuitate agreabilă. Astfel, o dată cu o frecvență f, scala muzicală trebuie să conțină și frecvența 2f (astfel, aceeași melodie poate fi cântată de o soprană și de un bas!). În plus, orice melodie este de fapt un șir de intervale între sunetele care o compun (intervalul dintre două note este raportul frecvențelor). De exemplu, în cazul unei octave, raportul este 2; cvarta este intervalul dintre patru note succesive (ex. DO – FA); intervalul DO – SOL este o cvintă. Prin convenție, se consideră că intervalele muzicale consonante sunt de forma 2Â ∙ 3Ê ∙ 58 cu ¯ ∈ ℤ, x ∈ −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 și ¿ ∈ {−1, 0, 1}; așadar, doar a doua, a treia și a 5–a armonică ale fundamentalei conduc la acorduri plăcute, consonante. În ultimul timp, distonanța este acceptată, iar muzica electronică s-a îndepărtat de armonia clasică. Iată o întrebare care nu și-a găsit răspunsul: de ce unele combinații de

339

note muzicale sunt plăcute urechilor noastre și altele ne deranjează? Prelucrarea sunetelor De regulă, aceasta este controlată prin tensiuni/voltaje electrice, ca și în cazul semnalelor audio. Tensiunile ca diferențe între energii potențiale electrice între câte două puncte sunt asemănate cu căderile de apă de la stăvilare. Sintetizatoarele electronice sunt dispozitive care creează vibrații prin semnale electrice, care pot fi intensificate sau atenuate, producând diverse sunete / note. Există numeroase tipuri de sunete (de exemplu, „Jingle cats”) care pot fi generate, stocate și utilizate la momentele potrivite. Sintetizatoarele au diverse forme și mărimi; ele pot crea sau modifica diverse sunete și pot fi modulate, cu module conectate după dorința utilizatorului. Voltajele pot fi analogice (cu proprietatea că odată cu orice două valori, ele iau toate valorile intermediare) sau digitale. Sintetizatoarele lucrează la ± 15 V, tensiunile de control fiind DC, dar semnalele audio dintr-un sintetizator sunt AC, la frecvența de 60 Hz. Se utilizează generatori de sunet având diverse forme de undă – sinusoidale, dreptunghiulare, rampă etc., A(6), unde timpul t se află într-un anumit interval de timp I (6 ∈ F). Formele de undă au amplitudinea max

Å∈DA(6) , măsurată în V și frecvență, măsurată

în Hz; cu cât amplitudinea este mai mare, cu atât sunetul este mai intens (mai zgomotos); dacă sunetul A(6) este staționar, cu frecvența f și i se dublează frecvența, se spune că el este mai înalt

340

cu o octavă. În general, frecvența unui eveniment arată cât de des se repetă acel eveniment. Atenție! Putem avea două frecvențe diferite cu aceeași intensitate sau două intensități diferite cu aceeași frecvență. De exemplu, Ç = sin 6, Ç = sin 26 au aceeași intensitate, dar

frecvențe diferite, iar Ç = sin 6,Ç = #Ysin 6 au aceeași frecvență,

dar amplitudini diferite. Întrebare: Care este diferența între sunetul unui clarinet și cel al unui flaut? Dar între două voci care cântă aceeași melodie, cu exact aceleași note? [Presupunem că sunetul lor este staționar, cu aceleași amplitudini și frecvențe]. Răspuns: Diferența este dată de timbru, care se referă la alte calități ale sunetului; apelând la analiza Fourier, formele de undă în discuție diferă prin agregarea oscilațiilor armonice componente, adică prin spectrul lor frecvențial (conform definiției 1.8 din Capitolul 1). Spectrul reprezintă distribuția energiei formei de undă pe diverse frecvențe. Întrebare: Cunoașteți plaja de frecvențe ale unui pian și ale vocii umane? Răspuns: Cea mai joasă frecvență la un pian este de 27,5 Hz și cea mai înaltă 4,2 kHz. Vocea feminină are între 150 și 500 Hz, iar vocea masculină între 80 și 240 Hz. Un domeniu important al muzicii pe computer este acela de transformare a sunetelor înregistrate sau sintetizate în transmisie directă; ele se eșantionează în mici segmente, care sunt apoi reordonate, concatenate, stocate, înregistrate, separate în

341

domeniul TIMP sau domeniul FRECVENȚĂ, prin instrumente de prelucrare numite editori de sunet. În anii '70 – 80, muzica electronică, esențialmente analogică, era compusă utilizând magnetofoane, înregistrări, filtre. Compozitorii segmentau formele de undă, similar cu colajele din artele vizuale, pe care apoi le recompuneau, chiar dacă apăreau efecte neplăcute de tipul efectului Gibbs, ce trebuiau filtrate. După 1990, s-a trecut la eșantionări digitale, repetate obsesiv, fără nuanțări emoționale („dance music”, „rap music”, „drum machines”). S-a ajuns apoi la crearea industriei DAW–urilor („digital audio workstations”), care se putea practica într-un studio, constând dintr-un computer, un convertor A/D, D/A, un înregistrator de sunet și alte echipamente de diverse nivele de profesionalitate. S-a ajuns la producerea acasă de CD–uri de calitate, cu costuri reduse; în combinație cu abilitățile de marketing, s-a ajuns la o explozie a comerțului cu muzică. Se poate spune că sistemele DAW au revoluționat nu numai muzica, dar și transmisiile multimedia, filmele sau imagistica. În general, instrumentele muzicale electronice produc sunete artificiale cu ajutorul unor dispozitive electronice; de exemplu, produc semnale electrice audio care ajung la un microfon/ difuzor. Aceste instrumente pot controla amplitudinea, frecvența sau durata fiecărei note, prin „efecte de sunet”. Împreună cu sintetizatoarele și controlerii, ele au creat un nou domeniu al industriei, care a condus la crearea de noi meserii și locuri de muncă.

342

Pentru eșantionarea unui sunet analogic A(6) se alege un

pas de eșantionare õ [s], cu rata eșantionării ¿ = #s [Hz]. Dacă

semnalul este introdus într-un convertor A/D, la ieșire se obține o listă de N numere A(õ), A(2õ), . . . , A(nõ), care este stocată digital. Ar părea că reținând doar aceste valori s-ar pierde informația relativ la A(6). Shannon și Nyquist au arătat că semnalul A(6) se recuperează integral cunoscând eșantioanele A(?õ), dacă rata ¿ > 23hbi, dublul frecvenței maxime a lui A(6). Acesta este un caz particular al teoremei 3.9 (WKS), formula (31). Exemple a) Presupunem că un sunet sinusoidal este eșantionat cu o rată r = 12000 eșantioane/s și că se cunosc trei eșantioane succesive A(10) = 0; A(11) = 9 și A(12) = :. Cum să determinăm frecvența f a sunetului? Răspuns: A(6) = z sin {6 + | , z ≠ 0. Conform ipotezei, z sin(10{ + |) = 0, z sin(11{ + |) = 9 și z sin(12{ + |) = :. Atunci 10{ + | = (, z sin({ + () = 9 și z sin(2{ + () = : deci −z sin{ = 9 și −z sin 2{ = :, de

unde 2 cos{ = _Q și se determină { și 3 = }

%, etc.

b) Considerăm un CD standard conținând 50 minute de muzică. Sunetul muzical este eșantionat cu rata r = 44100 eș/s, cu 16 bit/eș. Atunci numărul de biți stocați pe acel CD va fi 1 B/8 bit × 16 bit/eș × 44100 eș/s × 60 s/min × 50 min = 264300000 B ≅ 250 MB.

343

c) Dacă A(6) este un sunet staționar, periodic T, cu

frecvența fundamentală 3 = #\ și maximă 3hbi = Ä3 [Hz], atunci

A(6) ≅ 9E + (9B cos 2(?36%Bp# + :B sin 2(?36); coeficienții

Fourier 9B, :B determină timbrul sunetului. Cunoscând 9E, 9B, :B (în număr de 2M + 1), se determină cu aproximație valorile A(6) pentru orice t; în teoria din Capitolul 1, Ä → ∞. În practică, se consideră o eșantionare a lui A(6) cu rata o\

eș/s pentru N ≥ 2M + 1 (conform indicației lui Shannon și

Nyquist). Pasul de eșantionare este õ = \o

și eșantioanele vor fi

A(Sõ), 1 ≤ S ≤ n. Înlocuind t = Sõ, rezultă A(Sõ) ≅ 9E + (9B cos 2(?3Sõo

Bp# + :B sin 2(?3Sõ), pentru 1 ≤ k ≤ N și se determină 9E, 9B, :B. Se poate aplica și algoritmul FFT (pentru calculul TFD), prezentat în 4.3, dar nu mai dăm detalii. Analiza de frecvență Sistemele de prelucrare a semnalelor și de organizare a telecomunicațiilor se bazează și pe analiza de frecvență, nu numai pe cea din domeniul TIMP. Am aplicat seriile Fourier pentru forme de undă periodice (≡ staționare) și transformarea Fourier în cazul neperiodic. De exemplu, așa cum o prismă ne arată culorile prezente într-o sursă de lumină, tot astfel, este important de cunoscut ce frecvențe sunt conținute într-o formă de undă și în particular într-un sunet.

344

Studiul comportării unui sistem apelează la răspunsul în frecvență, la funcția de transfer ca raport dintre conținutul de frecvențe ale ieșirii și intrării în sistem, așa cum am văzut în Capitolul 5, paragraful 5.5; aceasta permite proiectarea unor filtre convenabile ale sunetului și de separare a semnalului util de zgomot. Cunoscând conținutul frecvențial al unui semnal și în particular, al unui sunet muzical, se poate determina modul cum el poate fi modificat prin dispozitive fizice. De exemplu, o melodie poate fi sintetizată prin concatenare de oscilații armonice de diverse frecvențe. Producerea fiecărei armonici a unui sunet staționar, urmată de suprapunerea acestora, este o altă operație importantă în muzica electronică, numită sinteza aditivă. Muzica și zgomotul Muzica este un ansamblu de sunete care au structură esențialmente discretă. Zgomotul este un sunet sau ansamblu de sunete cu structură continuă și eventual, haotică. Ce este muzică pentru unii este zgomot pentru alții, fiind implicate elemente subiective! Am văzut că sunetele se caracterizează prin câțiva parametri: intensitate (tărie), înălțime și timbru. Intensitatea I este măsurată în W/m2, fiind energia transmisă în 1 s printr-o suprafață de 1 m2 perpendiculară pe direcția de propagare. Înălțimea depinde de frecvență și timbrul depinde de oscilațiile armonice componente. Exemple Experimental, s-a constatat că intensitatea maximă suportabilă de urechea umană este de 1 W/m2 („pragul de durere”).

345

Pragul minim de audibilitate este FE = 10W#% W/m2. Nivelul de

intensitate al unui sunet este ´ = 10 ∙ lg DDó= 10 lg F + 120,

decibelul lui DDó

. [În general, pentru un număr real r > 0, decibelul

lui este ¿ ≠ = 10 lg ¿; de exemplu, 1000˜≠ = 30 și 0,01˜≠ = −20. Denumirea amintește de numele inventatorului american A.G. Bell]. Dacă F = 10W#E (discuție în șoaptă, foșnet), atunci ´ = 20 dB; dacă F = 10Wy (zgomotul străzii sau al unui automobil), atunci ´ = 60 dB; pentru F = 10Wx (muzică de orchestră), ´ = 80 dB; pentru F = 10W#, ´ = 110 dB și ´hbi = 120 dB, atins pentru F = 1 W/m2. Pentru ´ > 120 dB, se sparg timpanele.

347

A N E X E §ANEXA 1: Integrabilitate Lebesgue Conceptul de integrală Lebesgue În 1853, matematicianul german Riemann a definit integrala care îi poartă numele, studiată și în liceu, pentru funcții continue 3:[9, :] → ℝ. În esență, el a formalizat procedeul aplicat de Arhimede prin divizarea intervalului de integrare și formare a „sumelor integrale”. În spațiul vectorial real C[Q,_]E al funcțiilor

continue 3:[9, :] → ℝ, se poate defini norma 3 # = 3(6) d6_Q ,

dar s-a dovedit că, relativ la această normă, C[Q,_]E nu este complet

(adică există șiruri Cauchy care nu sunt convergente). S-a pus problema completării spațiului C[Q,_]E prin adăugare de noi funcții,

limită de șiruri Cauchy (tot astfel cum se trece de la mulțimea ℚlaℝ prin completare). Abia în 1928, matematicianul francez Lebesgue a rezolvat problema, descoperind o clasă mai largă de funcții integrabile. Vom prezenta fără detalii rezultatele principale ale teoriei lui Lebesgue, considerată importantă nu numai pentru matematicieni. Ideea principală a integrării este aceea ca anumitor mulțimi și anumitor funcții să li se asocieze numere având eventual semnificație geometrică sau fizică – lungimi, arii, volume, centre de masă, fluxuri etc. Integralele definite din liceu au fost extinse la intervale nemărginite, la integrale duble sau triple sau la integrale

348

de forme diferențiale pe curbe sau suprafețe etc. Ne vom limita la cazul 1D. Pentru practicieni, importante sunt semnificațiile obiectelor de lucru și proprietățile lor și nu hățișul construcțiilor matematice. Dacă z ⊂ ℝ este un interval mărginit, măsura –(z) este lungimea lui A; aceasta se extinde prin aditivitate la reuniuni de intervale disjuncte și apoi la o clasă mai largă de submulțimi ale lui ℝ numite măsurabile. Dacă z, fi ⊂ ℝ sunt măsurabile, atunci –(z ∪ fi) = –(z) +–(fi) − –(z ∩ fi) și dacă –(z) = 0, se spune că A este neglijabilă. Există și mulțimi neglijabile nenumărabile. Se poate arăta că o submulțime z ⊂ ℝ este neglijabilă ⇄ pentru orice ÿ > 0 există un șir (zB), ? ≥ 1 de mulțimi măsurabile și mutual disjuncte astfel încât z ⊂ zBB și–( zBB ) = –(zB) < ÿ. [În general, se spune că o proprietate are loc aproape peste tot (a.p.) dacă mulțimea punctelor unde nu are loc este neglijabilă; de exemplu, pentru o funcție continuă pe porțiuni, 3 = 3 a.p.

Printr-o convenție tacită, două funcții egale a.p. se identifică!] O funcție 3:ℝ → ℝ se numește măsurabilă dacă pentru orice număr π ∈ ℝ, mulțimea { f ≤ c} = {A ∈ ℝ|3(A) ≤ π} este măsurabilă. Fie 3:[9, :] → ℝ o funcție mărginită măsurabilă și m, M marginile ei. Lebesgue a avut ideea de a considera o diviziune a intervalului [m, M]: â = ÇE < Ç# <. . . < ÇUW# < ÇU <. . . < ÇB = Ä (deci nu a intervalului [9, :] ca la Riemann!) și a considera pentru

349

1 ≤ k ≤ n, mulțimile măsurabile, ~U = {6 ∈ [9, :]|ÇUW# ≤ 3(6) <ÇU}. Funcția f se numește integrabilă Lebesgue (se scrie 3 ∈ L[Q,_]# ) dacă alegând arbitrar ˛U ∈ [ÇUW#, ÇU), sumele

˛U–(~U)BUp# au o limită finită atunci când norma diviziunii tinde

spre zero; această limită este numită integrala Lebesgue a lui f,

notată (L) 3(6)d6_Q = 3[Q,_] . Dacă f = g a.p. și 3 ∈ L[Q,_]# , atunci

b ∈ L[Q,_]# și b[Q,_] = 3[Q,_] .

Notă Pentru a lămuri această „cabalistică” notațională, dăm un exemplu, sperăm edificator, privind deosebirea dintre integralele Riemann și Lebesgue. Presupunem că 3(6) reprezintă intensitatea curentului într-un circuit electric la momentul t, 6 ∈ [9, :]. Atunci ~U este tocmai mulțimea momentelor când intensitatea are valorile cuprinse în intervalul [ÇUW#, ÇU), iar –(~U) reprezintă „cantitatea de timp” când curentul a avut valorile în acea plajă; suma

˛U–(~U)BUp# , ca și integrala (L) 3[Q,_] capătă astfel un „sens

fizic” (în cazul integralei Riemann se considerau sume Riemann și limita acestora). Exemplu Deosebirea dintre procedurile Riemann și Lebesgue se poate ilustra astfel: presupunem că fiecare persoană x dintr-un anumit colectiv C are venitul lunar 3(A). Pentru a calcula venitul lunar total, „Riemann” adună veniturile om cu om: V = 3(A)j∈É . Dar „Lebesgue” fixează mai întâi mai multe niveluri/ intervale n#, . . . , nU de venit, acoperind toată plaja de venituri și

350

4 = 4»U»p# , unde 4» este venitul însumat al persoanelor cu venitul

aflat la nivelul n». Bineînțeles, în acest caz, rezultatul este același. Revenind la ... matematică, procedurile Riemann și Lebesgue nu dau același rezultat. Astfel, pentru funcția lui Dirichlet 3: 9, : → ℝ, 3 A = 1dacă A ∈ ℚși 3 A = 0 dacă

A ∉ ℚ, avem 3 ∈ L[Q,_]# și (L) 3(6)d6_Q = 0 (căci f = 0 a.p.). Iar

din liceu se știe că această funcție nu este integrabilă Riemann. [Pentru ingineri, acest exemplu pare ezoteric, deoarece toate semnalele întâlnite de obicei, cu excepția impulsurilor, care au altă interpretare, sunt integrabile Lebesgue și char Riemann]. Se poate arăta că orice funcție integrabilă Riemann este integrabilă Lebesgue (reciproc, nu) și există următorul criteriu celebru al lui Lebesgue de integrabilitate Riemann: „O funcție mărginită 3:[9, :] → ℝeste integrabilă Riemann ⇄ f este continuă a.p. (adică mulțimea discontinuităților lui f este de măsură nulă)”. În fine, Lebesgue și-a extins conceptul de integrală la funcții definite pe mulțimi mai generale decât intervalele – intervale nemărginite (integrale improprii), mulțimi măsurabile în plan și spațiu, evenimente etc. Proprietăți ale integralelor Lebesgue Ne restrângem la câteva rezultate utilizate în studiul semnalelor. Dacă M este o mulțime măsurabilă și 3:Ä → ℝo funcție integrabilă pe M, atunci se scrie 3 ∈ L%# .

351

a) Dacă 3, b ∈ L%# și a, b sunt constante, atunci

93 + :b ∈ L%# și (93 + :b)%

= 9 3%

+ : b%

(liniaritatea luării integralei);

b) Dacă 3, b ∈ L%# și f ≤ g, atunci 3%

≤ b%

(monotonia);

c) Dacă 3 ∈ L%# , atunci 3 este integrabilă și reciproc; în

plus, 3%

≤ 3%

;

d) Cu notații transparente,

3%⋃o = 3

%+ 3o − 3

%⋂o ;

e) Dacă f este integrabilă, f ≥ 0 și 3%

= 0, atunci f = 0 a.p.;

f) Dacă (3B) este un șir monoton crescător de funcții integrabile, atunci 3 = lim

B→l3B (limită punctuală) este

integrabilă și 3%

= limB→l

3B% (teorema Lebesgue a

convergenței monotone); g) L%# este un SVN (spațiu vectorial normat) relativ la norma

3 # = 3%

;

h) Dacă 3B → 3este un șir punctual convergent, 3B fiind integrabile și egal mărginite de o funcție integrabilă, atunci

limB→l

3B%= limB→l

3B%(teorema Lebesgue

a convergenței dominate). Atenție: ultimul rezultat există în cadrul integrabilității Riemann numai pentru șiruri uniform convergente! Se extind de asemenea teorema de derivare sub integrală, teorema lui Fubini (de comutare a ordinii de integrare), integrarea

352

prin părți, schimbarea de variabilă, trecerea la coordonate polare etc. „ca în vremuri normale”. În cele mai multe aplicații și exemplificări, integrala Riemann este suficientă, dar în unele situații teoretice, implicând transformarea Fourier sau distribuțiile, este necesară apelarea la integrale Lebesgue. Așa este „le bon ton”! Ca o aplicație directă, dăm TEOREMA: Fie u:ℝ → ℝ (sau ℂ) un semnal din Lℝ# . Atunci funcția

u ∶ ℝ → ℂ, u({) = u(6)eW¥}Åd6lWl

este bine definită pentru orice { ∈ ℝ, este mărginită și continuă pe ℝ. Dacă în plus, 6u(6) ∈ Lℝ# , atunci u ∈ Cℝ# . Demonstrație. Avem eW¥}Å = cos{6 − i sin{6 și eW¥}Å = 1 deci

u(6)eW¥}Å = u(6) , pentru orice 6 ∈ ℝ.

Deoarece u ∈ Lℝ# , rezultă că u ∈ Lℝ# și ca atare,

u(6) eW¥}Åd6lWl < ∞. Apoi u este continuă, conform

proprietăților integralelor cu parametri; de asemenea, ;

;}u(6)eW¥}Å = (−i6)u(6)eW¥}Å și cum 6u(6) ∈ Lℝ# , rezultă că

u este derivabilă în orice punct { ∈ ℝ și uÖ({) =(−¬6)u(6)eW¥}Åd6l

Wl . Ca atare, uÖ este și continuă pe ℝ deci

u ∈ Cℝ# (fiind derivabilă, cu derivata continuă). Exemplu Semnalul dreptunghiular Q ∶ ℝ → ℝ, Q 6 = 1

pe −Q%, Q%, 9 > 0și nul în rest (figura 1.2) este o funcție

353

integrabilă Riemann deci ⨅Q ∈ Lℝ# și ⨅Q({) = eW¥}Åd6ØaWØa

=

%}sin }Q

% dacă { ≠ 0 și ⨅Q(0) = 9.

Spații de semnale Dacă F ⊂ ℝ este un interval nu neapărat mărginit și p ≥ 0 este un întreg fixat, se notează cu CD

Â mulțimea funcțiilor 3:F → ℝ (sauℂ) de p ori derivabile pe I cu derivate continue până la ordinul p. Funcțiile CD

Â se mai numesc de clasă CDÂ pe I. Clasa funcțiilor

indefinit derivabile pe ℝ se notează cu ℇ = Cℝl. Dacă I este un interval compact (≡ închis și mărginit), atunci CD

Â este un SVN relativ la norma N(3) = 3(U)ÂUpE , unde

u = maxj∈D

u(A) este norma uniformă. Spațiul CDE este un spațiu

Banach (≡ SVN complet) relativ la norma uniformă, nu și relativ la norma ∙ #. Pentru o funcție 3:F → ℝ, suportul ei Supp f este complementara celei mai mari mulțimi deschise pe care f se anulează; așadar, f are suport compact ⇄ f se anulează în afara unui interval mărginit. Se notează cu Ú mulțimea funcțiilor 3:ℝ → ℝ (sau ℂ) indefinit derivabile și cu suport compact. Funcțiile din clasa Ú se mai numesc funcții de testare a distribuțiilor. Exemple a) Dacă funcția G(6) este treapta unitate, atunci 3(6) =6%G(6) aparține clasei Cℝ# , dar nu și la Cℝ% ;

!354

b) Func$ia |40! / !'| 6 @ i•¶ #ÅaW# 0 dac% 6 7 <RO'O=

#i nul% în rest, numit% #i „func$ia – cucui”, apar$ine spa$iului Ú; graficul ei este indicat în figura A.1.

Figura A.1

Dac% I este un interval oarecare #i p > 0, atunci se noteaz% "DÂ mul$imea func$iilor 340F / ! (sau 5) m%surabile #i astfel încât

3<6= Â]6D J k. Aceasta este un spa$iu Banach relativ la norma

3 Â @ 3<6= Â]6D# Â

. A#adar, 3 # @ 3<6= ]6D .

c) Fie 34! / !' 3<6= @ #Åa^# #i b40! / !' b<6= @

#Å

pentru 6 7 <H'O= #i nul% în rest. Avem 3 7 "!% 0,0"!# #i b 7 "!# 0,0"!% . d) Dac% I este un interval compact, atunci pentru orice p & 2, CDl ’ CDÂ ’ CDE ’ë ë ë ’ "DÂ ’ "D% ’ "D#. e) Se poate ar%ta c% dac% 3' b 7 "D% atunci 3b 7 "D# #i

punând 3' b @ 3bD , se ob$ine un produs scalar pe spa$iul "D%;

"D% este un spa$iu Hilbert deci #i Banach. În plus, are loc inegalitatea

lui Schwartz: 3bD m 3 % È b %.

355

f) Dacă 3 ∈ Lℝ% și este nulă în afara unui interval [a, b], atunci 3 ∈ Lℝ# (luând b ≡ 1 și aplicând inegalitatea lui Schwartz). În Teoria distribuțiilor se utilizează spațiul LÒ∑∂# al funcțiilor 3:ℝ → ℝ (sau ℂ) local integrabile (adică integrabile pe orice interval compact). Evident, Lℝ# ⊂ LÒ∑∂# și CℝE ⊂ LÒ∑∂# . Funcțiile din LÒ∑∂# se mai numesc funcții uzuale. Notă istorică Bernhard Riemenn (1826–1866) a fost unul din cei mai mari matematicieni ai lumii, fondator al Geometriei diferențiale și precursor al Teoriei relativității generalizate. Talent nativ excepțional, a avut șansa să-l întâlnească la Universitatea din Göttingen pe marele Gauss care i-a condus doctoratul și l-a determinat să elaboreze o teză celebră privind spațiul fizic ca o varietate diferențiabilă 4–dimensională. Tot Riemann a studiat celebra funcție „zeta” și a formulat o conjectură (ipoteza lui Riemann), încă nedecisă, legată de distribuția numerelor prime. Riemann a avut contribuții majore în Analiza reală (prin studiul integralei care îi poartă numele și al seriilor trigonometrice) și în Analiza complexă (studiul suprafețelor riemanniene). Tuberculoza l-a răpus la 40 de ani neîmpliniți, smuls de lângă soția și fiica sa în plină activitate creatoare. Henri Lebesgue (1875–1941) a fost un matematician francez cunoscut pentru descoperirea integralei care îi poartă numele, care a lărgit clasa funcțiilor cărora li se asociază un indicator numeric sintetic, care reprezintă, după caz, o lungime, o arie, un volum, o probabilitate etc. Spațiul funcțiilor integrabile

356

Lebesgue are proprietăți de completitudine care lipsesc în cazul integrabilității Riemann. Lebesgue a stabilit teoreme importante în teoria seriilor Fourier și în teoria măsurii. Lebesgue a avut totodată preocupări legate de didactică și istoria matematicii. Pe cei doi îi leagă rezultate privind seriile Fourier („lema Riemann–Lebesgue”), care arată tinderea spre zero a coeficienților Fourier sau transformatelor Fourier (pentru { → ∞). În Teoria semnalelor, un rol deosebit îl joacă spațiul S˜ al semnalelor discrete A = A ? , ? ∈ ℤ, care practic sunt șiruri de numere reale sau complexe. Se mai scrie AB în loc de A ? . Un subspațiu remarcabil îl constituie S^ = A ∈ S˜ A ? = 0 pentru ? < 0}; semnalele din S^ se numesc semnale discrete cu suport pozitiv. Se consideră de asemenea ℓ# = {A ∈ S˜| AB < ∞}B∈ℤ și ℓ% = {A ∈ S˜| AB % < ∞}B∈ℤ . Pentru A, Ç ∈ ℓ%, seria

ABÇBB∈ℤ este convergentă (deoarece ABÇB ≤#%( AB % + ÇB %)

și se definește produsul scalar A, Ç = ABÇBlBpWl .

ℓ% este un spațiu Hilbert, extinderea directă infinit dimensională a lui ℝB sau ℂB. Exemplu

Fie A = (AB), ? ∈ ℤ, cu AB =#B dacă n ≥ 1 și 0 dacă n < 0.

Avem A ∈ ℓ%\ℓ#; apoi (AB%) ∈ ℓ#. În general, ℓ# ⊂ ℓ% (căci dacă seria AB B∈ℤ este convergentă, atunci AB → 0 pentru ? → ∞ deci șirul (AB)este mărginit, AB ≤ Ä deci AB % ≤ Ä AB și (AB) ∈ ℓ%).

357

§ANEXA 2: Spații Hilbert Conceptul de spațiu prehilbertian Un spațiu vectorial real H se numește prehilbertian dacă este fixat un produs scalar (PS) A, Ç ↦ A, Ç (ca aplicație ‰×‰ → ℝ), presupus comutativ, liniar în fiecare argument și în plus, numărul real A, A este ≥ 0, fiind nul ⇄ x=0. Spațiile prehilbertiene finit dimensionale se mai numesc euclidiene. Pentru orice A», Ç‚ ∈ ‰ și orice scalari t», –‚(1 ≤ ¬ ≤ â, 1 ≤ Ü ≤ ?) are loc relația t»A»» , –‚Ç‚‚ = t»–‚ A», Ç‚»,‚ . Doi vectori A, Ç ∈ ‰ se numesc ortogonali (și se scrie A ⊥ Ç) dacă A, Ç = 0.Pentru oriceA ∈ ‰,se definește norma

A = A, A # %.Orice spațiu prehilbertian este un SVN. Exemple a) Spațiul vectorilor liberi ≥Y este euclidian, relativ la PS clasic ¥,µ = ¥ ∙µ. b)‰ = ℝB(? ≥ 1 fixat) este un spațiu euclidian n–dimensional relativ la PS (A, Ç) = A»Ç»» . Notând cu

{·#, . . . , ·B} baza canonică a lui ℝB, este evident că ·», ·‚ = T»‚. O generalizare a acestui exemplu este următoarea: Fie ‰ = Mä,B(ℝ) mulțimea matricelor â×?, înzestrată cu PS: z, fi = tr(z{fi). c) O generalizare infinit dimensională „prototip” a lui ℝB o constituie spațiul ℓ% al șirurilor A = (AB), ? ≥ 0 de numere reale, pentru care seria AB%B†E este convergentă, înzestrat cu PS: A, Ç = ABÇBl

BpE (convergența acestei serii fiind asigurată,

!358

deoarece ABÇB m #% <AB

% X ÇB%= pentru orice n ( 0). Elementele lui

å% se mai numesc semnale discrete de energie finit%; energia unui semnal A @ <AB= 7 å% este ~<A= @ AB%l

BpE . d) Pe spa$iul vectorial real C8Q'_;E al func$iilor continue

34089' :; / ! se define#te PS: 3' b @ 3b_Q .

Dac% H este un spa$iu prehilbertian real, atunci pentru orice A' Ç 7 ‰ au loc inegalitatea lui Schwartz: A' Ç m A È Ç #i regula paralelogramului: A X Ç % X A R Ç % @ &< A % X Ç %=. Geometrie în spa$ii prehilbertiene În orice spa$iu prehilbertian H se poate dezvolta un limbaj geometric sugestiv, similar celui din !%. Dac% A 7 ‰, atunci simetricul fa$% de origine (vectorul nul) este – x. Vectorul abstract

x se poate identifica cu ÉA. Norma A se mai nume#te lungimea vectorului x #i dac% A' Ç 7 ‰, atunci x–y se identific% cu ÇA #i num%rul real d<A' Ç= @ A R Ç este distan$a dintre x, y (figura A.2).

Figura A.2

! 359

Dac% x, y sunt vectori nenuli, atunci raportul j')j È ) este

un num%r real cuprins între –1 #i 1 (conform inegalit%$ii lui

Schwartz); num%rul real ¡ 7 8H' (; astfel încât Lc) ¡ @ j')j È )

este ecartul unghiular între x, y. În fine, dac% A' Ç 7 ‰ #i A ≤ Ç, atunci A X Ç % @ A % X Ç %. Aceast% rela$ie se interpreteaz% ca „teorema Hilbert–Pitagora” (fig. A.3). Demonstra$ia este imediat%: A X Ç % @ A X Ç' A X Ç @ A' A X Ç' A X A' Ç XÇ' Ç @ A' A X Ç' Ç @ A % X Ç %.

Figura A.3

Orice spa$iu prehilbertian H este un spa$iu metric relativ la distan$a d<A' Ç= @ A R Ç ; se poate vorbi de convergen$a #irurilor de elemente din H, numit% convergen%a în norm&: un #ir <GB=' ? I H converge spre G 7 ‰ dac% ô*ö

B/lGB R G @ H. "irul

<GB=' ? I H se nume#te $ir Cauchy dac% ô*öä'B/l

Gä R GB @ H.

Orice #ir convergent în norm% este evident Cauchy #i dac% este adev%rat% afirma$ia reciproc%, se spune c% H este un spa$iu Hilbert.

360

Exemple a) ≥Y, ℝBșiℓ% sunt spații Hilbert. b) Spațiul prehilbertian C[Q,_]E nu este spațiu Hilbert. Se

poate defini completatul său, notat L[Q,_]# , relativ la norma

3 # = 3(A) dA_Q ; de asemenea completatul, notat L[Q,_]% , relativ

la norma 3 % = 3(A)%dA_Q

# %.

[Mai general, pentru orice spațiu metric (X, d) există un spațiu metric complet Ÿ, care conține un subspațiu izomorf cu X; elementele luiŸ sunt clasele de echivalență ale șirurilor Cauchy din X. În acest mod, se trece de la X=ℚ la Ÿ = ℝ sau de la CDElaLD%, pentru orice interval I]. Se poate arăta că LD% se identifică cu mulțimea funcțiilor

măsurabile 3:F → ℝ (sau ℂ) astfel încât 3(A) %dAD < ∞.

Pentru orice 3, b ∈ LD% se definește PS: 3, b = 3(A)b(A)dAD

și LD% este un spațiu Hilbert. Funcțiile 3 ∈ LD% sunt semnalele continuale de energie finită pe I; energia E(3) = 3 %

% =

3(A) %dAD .

Cele spuse anterior se extind la spații Hilbert complexe, când scalarii sunt numere complexe, iar funcțiile au valori complexe. În această anexă ne referim doar la cazul real. Teoremele fundamentale ale lui Riesz Fixăm un spațiu Hilbert (real), relativ la PS A, Ç ... Dacă 9 ∈ ‰ și z ⊂ ‰, se spune că a este ortogonal la A (9 ⊥ z) dacă 9, A = 0 pentru ori A ∈ z. Mulțimea tuturor elementelor 9 ∈ ‰ care sunt

! 361

ortogonale la A formeaz% un subspa$iu vectorial al lui H, numit ortogonalul lui A #i notat cu zëë Teoria general% a spa$iilor Hilbert este dominat% de dou% teoreme ale matematicianului maghiar F. Riesz: TEOREMA RIESZ I (teorema de proiec$ie): Fie ‰# ’ ‰ un subspa$iu vectorial închis (dac% 9B 7 ‰# #i 9B / 9, atunci 9 7‰#) al spa$iului Hilbert H. Pentru orice vector 9 7 ‰, exist% #i este unic ¯ 7 ‰# astfel încât 9 R ¯ ≤ ‰# #i 9 R ¯ m 9 R A pentru orice A 7 ‰. (fig. A.4)

Figura A.4

Punctul p se nume#te proiec$ia lui a pe ‰# (a–p se identific% cu vectorul ¯9). Dac% 9 7 ‰#, atunci p=a. Din aceast% teorem% rezult% c% ‰ @ ‰#í‰#ë (c%ci a=p+a–p #i ‰#Ø‰#ë @ gHh). [Teorema Riesz I extinde în fond faptul c% „perpendiculara este mai scurt% decât oblica”]. TEOREMA RIESZ II (teorema de reprezentare): Fie H un spa$iu Hilbert #i î40‰ / ! o func$ional% liniar% continu%. Atunci exist% #i este unic un vector u 7 ‰, depinzând de L, astfel încât î<G= @ G' u '0pentru orice G 7 ‰. A#adar, orice func$ional% liniar% continu% pe H se reprezint% printr-un produs scalar: î @ È' u (sau cum scriu fizicienii: î @ ‘u ).

362

Se numește operator liniar și continuu al unui spațiu Hilbert real H orice aplicație ℝ–liniară și continuă Z:‰ → ‰. Un astfel de operator se poate interpreta ca un sistem intrare – ieșire, în care oricărei intrări G ∈ ‰ i se asociază ieșirea ZG ≡ Z(G) ∈ ‰, care variază continuu cu u și în plus, are loc „principiul suprapunerii” (Z( G»» ) = Z(G»)» ). Pentru orice operator liniar și continuu Z:‰ → ‰ există și este unic un alt operator Z∗ ∶ ‰ → ‰ astfel încât ZA, Ç =A, Z∗Ç , pentru orice A, Ç ∈ ‰. Operatorul Z∗ se numește

adjunctul lui T. Dacă Z∗ = Z, atunci T se numește autoadjunct (≡ hermitic). Exemple a) Fie ‰ = ℝB și î ∶ ‰ → ℝ o aplicație (≡ funcțională) liniară. Pentru orice G = (G#, . . . , GB) avem G = G»·»B

»p# deci î(G) = G»î(·»)B

»p# . Dacă notăm 9» = î(·»), 1 ≤ ¬ ≤ ? și 9 = (9#, . . . , 9B), atunci î(G) = 9»G»B

»p# = G, 9 . Așadar, î = ∙, 9 și astfel am demonstrat teorema Riesz II în acest caz particular. b) Dacă Z:ℝB → ℝB este o aplicație ℝ – liniară (automat continuă), atunci operatorul T este autoadjunct ⇄ matricea lui T relativ la baza canonică este simetrică. c) Fie ‰ = ℓ% și operatorul Z: ℓ% → ℓ% care asociază oricărui șir A = (AE, A#, A%, . . . ), șirul Tx= (A#, A%, . . . ). Adjunctul Z∗ al lui T este operatorul definit prin Z∗A = (0, AE, A#, . . . ), deoarece ZA, Ç = A#ÇE + A%Ç#+. . . = A, Z∗Ç , pentru orice A, Ç ∈ ℓ%.

363

Notă istorică David Hilbert (1862 – 1943) a fost un mare savant german, având contribuții esențiale în matematica și fizica secolului 20. Printre altele, amintim: Axiomatizarea geometriei, Logica matematică, Teoria invarianților, Teoria spațiilor care îi poartă numele (care extind spațiile ℝB), ecuațiile fizicii matematice, ecuațiile integrale, etc. În 1900, la Paris, el a prezentat la Congresul matematicienilor o listă de 23 de probleme care au orientat cercetarea matematică pentru 100 de ani. Știa aproape totul... Așa cum se vorbește de matematica până la Gauss și după, tot astfel despre matematica până și după Hilbert. La seminarul pe care l-a organizat la Göttingen, a reunit cei mai mari matematicieni și fizicieni ai lumii. Acolo s-au stabilit bazele Mecanicii cuantice, Teoriei particulelor elementare și fizicii statistice. Pensionat forțat în 1930, conform legii care excludea evreii din învățământ, s-a retras, ajungând la o depresie accentuată. În conștiința matematicienilor, Hilbert a rămas cu multe cuvinte aproape aforistice, printre care: - matematica pură și cea aplicată sunt lucruri distincte; - despre un fost elev al său a spus că „s-a făcut poet pentru că avea puțină imaginație pentru a fi matematician”! Era vorba de Rilke... - pe piatra funerară se află o maximă optimistă a sa: „Wir müssen wissen, wir werden wissen!”

365

§ANEXA 3: Câteva ecuații ale Fizicii matematice Începem amintind câteva cuvinte profetice ale lui Riemann: „În teoriile fizice clasice, legile de bază se aplică pe distanțe mici și pe durate scurte, formulându-se ca ecuații cu derivate parțiale (≡ EDP). Integrarea acestora produce legi valabile pentru domenii extinse în spațiu și timp”. Vom nota un punct curent (A#, . . . , AB) ∈ ℝB cu A; în dimensiuni mici, scriem de exemplu, x, y, z în loc de A#,A%, AY și de regulă, t reprezintă timpul curent. Vom folosi notațiile

următoare pentru derivate parțiale: Gj =;(

;j, Gjj =

;a(

;ja etc. Multe

ecuații ale Fizicii matematice utilizează operatorul lui Laplace;

astfel ∆G = ;a(

;jàa+ ;a(

;jaa+. ..

a) Ecuația undelor este GÅÅ = π%∆G, unde G(A, 6) este amplitudinea undei în poziția A din mediul studiat și la momentul t, iar c este o constantă reală. Această ecuație reprezintă un model pentru mai multe fenomene fizice; de exemplu, vibrațiile unei corzi vibrante sau ale unei coloane de aer dintr-un tub (GÅÅ = π%Gjj pentru n=1), vibrațiile unei membrane sau ale suprafeței apei (GÅÅ = π%(Gjj +G))) pentru n = 2), sau ale aerului atmosferic (n = 3). Dar și pentru undele electromagnetice – radio, lumină, raze X etc. Nu discutăm aici condițiile fizice în care au loc aceste ecuații și nici condițiile inițiale sau la frontieră ori capete, care conduc la soluții unice, bine determinate.

366

b) Ecuația căldurii este GÅ = S∆G și ea descrie difuzia energiei termice într-un domeniu omogen; aici G(A, 6) este temperatura mediului în punctul A și la momentul t, iar k este difuzitivitatea termică. Pentru n=1, ecuația descrie propagarea căldurii în lungul unui conductor sau printr-un perete separator. Aceeași ecuație descrie și alte procese de difuzie, unde efectele convective sunt neglijabile. Menționăm că pentru n = 1 și k>0,

funcția G = #Åexp − j

a

xUÅ satisface ecuația căldurii.

c) Ecuația lui Laplace este ∆u = 0; soluțiile ei se numesc funcții armonice. Această ecuație este satisfăcută de potențialul electrostatic într-o regiune fără surse, sau de potențialul newtonian într-o regiune fără mase materiale. În cazul n = 2, G = ln(A% + Ç%) satisface ecuația lui Laplace în ℝ%\{(0,0)}, iar în cazul n = 3, G = A% + Ç% + ∫% W# % satisface ecuația Laplace în ℝY\{(0,0,0)}. Ecuația Laplace descrie de asemenea unde staționare sau distribuții staționare de căldură. Pentru a obține o soluție bine determinată, sunt necesare condiții inițiale sau condiții la frontieră suplimentare (de tipul Dirichlet). În toate cazurile anterioare, dacă u este o soluție și c o constantă, atunci u + c este de asemenea o soluție. Ecuațiile anterioare pot fi generalizate, adăugând termeni care exprimă forțe externe; de exemplu, GÅÅ − π%∆G = 3(A, 6) sau ∆u = g(A).

367

d) În Mecanica cuantică, se studiază ecuația următoare a

lui Schrödinger: iℏGÅ = −ℏa

%ä∆G + u(A)G, unde u este funcția

de undă a unei particule de masă m, care se deplasează sub potențialul u(A), iar ℏ este constanta „hașbar” a lui Planck. Dacă particula are energia E, se obține ecuația staționară:

ℏa

%ä∆G + u(A)G = ~G.

e) Voltajul v și curentul i într-un cablu electric, în lungul axei Ox, satisfac ecuațiile ¬j + ÜuÅ + éu = 0, uj + î¬Å + ü¬ = 0, unde C, G, L, R reprezintă respectiv capacitanța, conductanța, inductanța și rezistența pe unitatea de lungime a cablului. Atât v cât și i satisfac aceeași ecuație, numită a telegrafistului: Gjj = îÜGÅÅ + (üÜ + îé)GÅ + üéG. Toate EDP prezentate se pot scrie condensat, sub formă operațională ℒG = 3, unde ℒ este un operator liniar. Dacă GU, 1 ≤ S ≤ ? sunt soluții ale ecuației omogene ℒG = 0 și πU– constante, atunci πUGUB

Up# este soluție (se spune atunci că are loc „principiul suprapunerii”). Are loc formula următoare: G«µ = G«∂ + G´µ (soluția generală a ecuației neomogene este suma dintre soluția generală a ecuației omogene și o soluție particulară a ecuației neomogene). Pentru EDP neliniare aceste fapte nu au loc. Notă 1) Rațiunea adâncă a prezenței operatorului ∆ în ecuațiile anterioare are următoarea motivație: ∆ comută cu rotațiile și

368

translațiile spațiului ℝB corespunzător și ca atare, ∆ descrie fenomene spațio–temporale izotrope și omogene. 2) Menționăm în fine că una din metodele folosite în studiul EDP, descoperită de Fourier, este metoda separării variabilelor. De exemplu, în cazul n = 2, se caută soluții de forma G(A, Ç) = Ÿ(A) ∙ ˙(Ç). Această metodă se aplică în probleme având soluție unică (deci nu contează prin ce mijloace se obține aceasta!); de regulă se utilizează următorul fapt: dacă x, y sunt variabile independente și dacă 3(A) = b(Ç) pentru orice x, y, atunci funcțiile f, g sunt constante, egale cu aceeași constantă.

369

§ANEXA 4: Curs scurt de Teoria distribuțiilor Istoric Distribuțiile sunt obiecte matematice mai speciale, având motivații fizice puternice. Ele au fost introduse în anii '30 în Mecanica cuantică de fizicianul englez P. Dirac (premiul Nobel) „pour les besoins de la cause”, fără fundament teoretic. Primul care a prezentat o teorie matematică, inspirată din ideile moderne de dualitate și convergență slabă, a fost matematicianul francez L. Schwartz, care în 1946 a lărgit noțiunea de funcție, incluzând funcțiile local integrabile (eventual discontinue), precum și impulsurile. Pentru o funcție reală 3: › → ℝ(› ⊂ ℝ) în sens uzual, fiecărui A ∈ › îi corespunde valoarea 3(A). Schwartz a considerat funcționale liniare Z:Ú → ℝ, prin care oricărei funcții de testare | ∈ Ú îi corespunde valoarea Z(|), notată Z, | (în acest caz, nu are sens Z(A)). Așadar, așa cum o funcție f se identifică prin ansamblul valorilor ei {3(A)}, o distribuție T se identifică prin mulțimea valorilor {Z(|)}. În Matematică, există și alte identificări spectaculoase: - un număr real a se poate caracteriza (identifica) prin omotetia {:ℝ → ℝ,A ↦ 9A (căci 9 = {(1)); - un vector ¥ = (u#, u%) se caracterizează prin aplicația ℝ% → ℝ,H = (A#, A%) ↦ H,¥ = u#A# + u%A%;

!370

! &!o imagine alb/ negru F ’ !% se caracterizeaz% prin func$ia ei de str%lucire, care asociaz% oric%rui pixel ¯ 7 F, cantitatea de gri din p. În Fizic%, reparti$iile de sarcini sunt descrise prin m%rimi fizice induse – câmpuri sau for$e exercitate. În Mecanic% s-au imaginat multe modele idealizate – mase punctuale, mobile 0– dimensionale, vectori – deplasare infinitezimal%, impulsuri f%r% durat%, zgomot alb etc. Motiva%ii fizice Prezent%m trei probleme clasice importante, care au produs dificult%$i; ele au fost reformulate #i solu$ionate în cadrul Teoriei distribu$iilor. Vom ar%ta cum la sfâr#itul acestei ANEXE. I. Conceptul de impuls Fix%m 9 7 ! (punct pe ax% sau moment). Intuitiv, un impuls aplicat în a este un semnal semnificativ pe un interval scurt 89' 9 X ÿ;, cu ÿ K H „mic” (cât de mic?), de amplitudine constant% A, A > 0. A#adar, se define#te semnalul dreptunghiular

TQ'40! / !0' TQ'<6= @ z0]ùLú06 7 89' 9 X ÿ;H000000000000000000000000"+0ûi)e; (1)

Figura A.5

! 371

Men$ion%m c% TQ' este o func$ie din "Ò∑∂# , pentru orice

ÿ K H. Dac% aria dreptunghiului este 1, atunci z @ # #i TQ' se

nume#te atunci un impuls unitar „impur” aplicat în a; în acest caz,

TQ'<6=]6lW0l @ #

0]6Q^Q @ O.

Întrebare: De ce „impur”? R%spuns: Deoarece depinde de ÿ neprecizat. Impulsul unitar pur se ob$ine pentru ÿ / H. În acest caz, se ob$ine un „monstru matematic”, anume TQ (fig. A.6), având propriet%$ile:

TQ 6 ]6lW0l @ O' TQ 9 @ k #i TQ<6= @ H pentru t $ a.

Figura A.6

În general, prima condi$ie de existen$% a unui obiect matematic este aceea de a nu fi contradictoriu. Aici, în orice teorie a integrabilit%$ii o func$ie nul% a.p. are integrala nul% deci cele trei condi$ii anterioare sunt contradictorii. S-a pus problema s% dea un sens acceptabil deopotriv% pentru matematicieni #i fizicieni, acestui „b%$ vertical infinit” plasat în punctul a.

372

Fără restrângerea generalității, se poate presupune că a = 0. În acest caz, se scrie T în loc de TE și aceasta se numește

„funcția” lui Dirac T:ℝ → ℝ, astfel încât T 6 d6lWl = 1,

T 0 = ∞ și T(6) = 0 pentru t ≠ 0. II. Densitatea unei mase concentrate Considerăm un punct material de masă m (m > 0), plasat în originea unei axe. În Mecanică este necesar să definim un concept de densitate liniară a acelei mase. Procedeul tipic constă în „a împrăștia uniform” masa respectivă într-un interval [–ÿ, ÿ] centrat în origine și a defini în fiecare punct A ∈ ℝ, densitatea medie liniară (≡ masa raportată la lungime); anume:

T(A) =ä%dacăA ∈ [−ÿ, ÿ]

0înrest (2)

Evident, T(A)dAlWl = ä

%dA

W = â.

Masa fiind concentrată în punctul x = 0, trebuie considerată limita lim

→ET(A). Din nou, se obține o funcție delta T = 0 a.p. deci

T(A)dAlWl = 0, în contradicție cu faptul că integrala densității

trebuie să fie egală cu masa. În mod similar, densitatea unei sarcini electrice concentrate într-un punct, densitatea unui dipol electric etc. sunt concepte care nu pot fi definite riguros în cadrul Analizei matematice clasice... III. Comportarea unui circuit electronic LC în serie, conectat la momentul t = 0 la o sursă cu f.e.m. ~E constantă. Conform legii lui Kirchhoff, intensitatea ¬(6) a curentului la fiecate moment t satisface ecuația integro – diferențială

373

î¬Ö(6) + #á

¬(6)d6ÅE = u(6), (3)

unde u(6) este tensiunea la bornele circuitului. Dar

u(6) = 0,pentru6 < 0~E,pentru6 ≥ 0

,

adică u(6) = ~EG(6), unde u este treapta unitate a lui Heaviside. Dacă momentul de conectare era a, atunci u(6) = ~EG(6 − 9). Dar... Funcția u(6) nu este continuă deci nici derivabilă și ecuația anterioară nu poate fi derivată în raport cu t, în cadrul Analizei matematice clasice. Definiția distribuțiilor și exemple Definiție: Se numește distribuție (sau funcție generalizată 1D) orice aplicație ℂ – liniară și continuă Z:Ú → ℂ. Pentru orice funcție |:ℝ → ℂ din clasa Ú a funcțiilor de testare, se scrie Z, | în loc de numărul complex Z(|), numit media lui T pe |. Se notează cu ÚÖ mulțimea tuturor distribuțiilor.

Dacă Z ∈ ÚÖ, atunci T este aplicație liniară și dacă |B →îµÚ|,

atunci Z(|B) →îµℂZ(|). Distribuția nulă O are proprietatea că

É(|) = 0ℂ pentru orice | ∈ Ú. Dacă Z, Z# ∈ ÚÖ, atunci se definesc în mod natural egalitatea Z = Z#, suma Z + Z# sau multiplicarea tZ cu un scalar t ∈ ℂ. ÚÖ este un spațiu vectorial complex. Dacă (ZB), ? ≥ 1 este un șir de distribuții, se spune că

ZB →îµÚß

Z, pentru ? → ∞, dacă pentru orice | ∈ Ú,

ZB(|) →îµℂZ(|).

374

Notă Așa cum o funcție reală 3: ›ℝ(› ⊂ ℝ) este testată pe numerele din D, în sensul că pentru orice A ∈ › are sens 3(A), tot astfel, o distribuție T este testată pe funcțiile | ∈ Ú. Nu are sens Z(A) și totuși, uneori printr-o convenție tacită, se notează Z(A) pentru a arăta cum se notează variabila independentă a funcției | pe care se testează T. Așadar, Z, | ≡ Z(|) se mai notează Z(A), |(A) .

O clasă importantă o constituie distribuțiile regulare. Anume, oricărei funcții uzuale 3:ℝ → ℂ, din clasa LÒ∑∂# a funcțiilor local integrabile, i se asociază distribuția Z = [3], punând

Z(|) = 3(6)|(6)d6lWl , (4)

pentru orice | ∈ Ú De fapt integrala este luată pe un interval compact (deoarece | are suport compact!). Este evident că T este liniară și continuă deci Z ∈ ÚÖ. PROPOZIȚIA 1: Aplicația ¿ ∶ LÒ∑∂# → ÚÖ,3 ↦ 3 este liniară și injectivă. Este suficient de arătat că dacă 3 = 0 în ÚÖ, atunci f = 0 a.p. în ℝ (căci dacă ¿(3) = ¿(b), atunci 3 − b = 0 deci f – g = 0 a.p.]. Fixăm 9 ∈ ℝ și alegem o funcție „cucui” | din clasa Ú, cu graficul ca în figura A.7.

! 375

Figura A.7

Apoi, pentru orice ? 7 >, consider%m func$ia ÙB ∞ ! / 5'ÙB<6= @ |<6= È i,¥BÅ din clasa Ú. Conform ipotezei 3 @ H,

rezult% c% 3<ÙB= @ H #i conform (4), 3<6=ÙB<6=]6lW0l @ H, adic%

3<6=Q^#QW# È |<6= È i,¥BÅ]6 @ H. Restrângând func$ia 3 È | la

(a – 1, a + 1) #i apoi prelungind-o prin periodicitate T = 2 la !, rezult% c% to$i coeficien$ii Fourier sunt nuli deci 3 È | @ H; conform teoremei 1.5 din Capitolul 1, f = 0 a.p. în intervalul (a – 1, a + 1). Deoarece a este ales arbitrar, rezult% c% f = 0 în "Ò∑∂# . Distribu$iile de tipul [ f ] cu 3 7 "Ò∑∂# se numesc regulare (sau de tip func$ie), iar restul distribu$iilor sunt singulare. Not% În general, dac% 340Ä / n este o aplica$ie injectiv% între dou% mul$imi, atunci exist% bijec$ia Ä / 3<Ä=' A . 3<A= deci x se identific% cu 3<A=, iar mul$imea M cu 3<Ä= 0’ n. A#adar, M poate fi privit% ca o submul$ime a lui N. Ca atare, deoarece aplica$ia r este injectiv%, rezult% c% orice func$ie uzual% 3 7 "Ò∑∂# se identific% cu distribu$ia ei asociat% [ f ], iar "Ò∑∂# poate fi privit% ca

!376

o submul$ime a lui ÚÖ. Aplica$ia r stabile#te un izomorfism 5 – liniar între func$iile uzuale (1 local integrabile) #i distribu$iile regulare (figura A.8). L. Schwartz a descoperit clasa ÚÖ de obiecte matematice noi, dintre care unele sunt identificate cu obiecte cunoscute! În matematic% s-au mai întâlnit astfel de construc$ii. Un exemplu simplu îl constituie extinderea func$iilor trigonometrice elementare: ini$ial, acestea au fost definite în triunghiul dreptunghic #i apoi, s-a trecut la cercul trigonometric, unde unghiurile din primul cadran se identific% tocmai cu unghiurile ascu$ite din triunghiul dreptunghic. Aten$ie: Calculul cu distribu$ii s-a dezvoltat extinzând opera$ii #i formule valabile în clasa "Ò∑∂# (deci în cadrul Analizei matematice clasice) la clasa ÚÖ a tuturor distribu$iilor sau la subclase ale acesteia (distribu$ii temperate, distribu$ii cu suport compact sau cu suport pozitiv).

Figura A.8

377

Exemple de distribuții a) Cel mai cunoscut exemplu este distribuția T a lui Dirac; ea este definită prin T, | = |(0), pentru orice | ∈ Ú. (5) Evident, aplicația T:Ú → ℂ este liniară (căci T(9| + :Ù) =9|(0) + :Ù(0) = 9T(|) + :T(Ù) pentru orice |,Ù ∈ Ú și orice

constante a, b) și continuă (căci dacă |B →îµÚß

|, atunci

|B(0) → |(0) deci T(|B) →îµℂT(|)).

În mod similar, dacă 9 ∈ ℝ este fixat, se definește distribuția TQ prin TQ(|) = |(9), ∀| ∈ Ú; TQ este impulsul unitar pur aplicat în a și modelează o masă concentrată în a sau un impuls electric aplicat la momentul a. b) Dacă 3 = sin:ℝ → ℂ (funcție continuă deci din LÒ∑∂# ), atunci se poate considera distribuția – sinus [sin] ∈ ÚÖ, definită

prin [sin](|) = |(6) ∙ sin 6 d6lWl , ∀| ∈ Ú. În mod similar,

funcției constante 1, i se poate asocia distribuția [1], definită prin

[1] (|) = |(6)d6lWl , ∀| ∈ Ú.

c) O altă distribuție importantă este cea asociată treptei unitate u, notată H și numită distribuția lui Heaviside; așadar,

‰ | = G , | = G 6 | 6 d6lWl =

= |(6)d6lE , | ∈ Ú. (6)

PROPOZIȚIA 2: Distribuția T este singulară. Demonstrație. Presupunem prin absurd că T ar fi regulară, asociată unei funcții 3:ℝ → ℂ din LÒ∑∂# . Așadar, [ f ] = T deci pentru orice | ∈ Ú, 3 | = | 0 .

378

Luăm | = ËB, șirul funcțiilor – „cucui” considerat în

paragraful 2.2 deci 3 6 ËB 6 d6lWl = ËB 0 , adică

3(6)ËB(6)d6#W# = n£

∑= Bn

∑ pentru orice n ≥ 1. Dar f este

mărginită pe intervalul [– 1, 1] și fie Ä = maxÅ∈[W#,#]

3(6) . Atunci

Bn∑≤ Ä ËB(6)d6

#W# = Äși? ≤ %∑

n; absurd.

Notă Încă un exemplu de distribuție singulară este următorul:

VP #Å∈ ÚÖ, numită valoarea principală a lui #

Å, definită prin

VP #Å, | = lim

→E

d Å Wd WÅÅ

d6l , ∀| ∈ Ú.

Funcția 3(6) = #Å(6 ≠ 0) nu aparține clasei LÒ∑∂# .

Această distribuție apare în unele formule legate de transformarea Fourier. Operații cu distribuții 1. Pentru orice distribuție T și pentru orice constante reale a, b cu a≠0, se definește distribuția T(at–b), punând

Z(96 − :), |(6) = #QZ(G), |((^_

Q) ≡ #

QZ(6), |(Å^_

Q) ,

pentru orice | ∈ Ú. [Menționăm că notând u = at – b, rezultă

6 = (^_Q

].

Cazuri particulare: Dacă a = – 1, b = 0, se obține distribuția T(– t), numită simetrica lui T și notată Z≥. Așadar, Z≥, | =Z(6), |(−6) . Dacă a = 1, se obține distribuția T(t – b), numită

translatata lui T cu b și notată õ_Z; așadar, õ_Z, | =Z(6), |(6 + :) .

379

Dacă b = 0 și a ≠ 0, se obține omotetica T(at) a lui T,

definită prin Z 96 , | = #QZ(6), |(Å

Q) .

Exemplu T −6 = T 6 , T 6 − : = T_ (7)

pentru orice : ∈ ℝ, T(96) = #QT.

2. Am văzut că pentru 3 ∈ LÒ∑∂# , are loc formula (4), anume

3 6 | 6 d6lWl = 3 | ,| ∈ Ú. Extinzând abuziv această

formulă, pentru orice distribuție T (inclusiv una singulară), se scrie prin convenție

Z | = Z 6 | 6 d6lWl , pentru Z ∈ ÚÖși| ∈ Ú.

De exemplu, pentru Z = TQ ≡ T(6 − 9), rezultă formula

T(6 − 9)|(6)d6lWl = |(9),

numită „formula de filtrare”. De fapt, aceasta este o altă transcriere a definiției T(6 − 9), |(6) = |(9). 3. Multiplicarea unei funcții ã(6) de clasă Cℝl cu o distribuție T Anume, ãZ este distribuția definită prin ãZ, | = Z, ã| , | ∈ Ú. (8) Exemple a)ãT = ã(0)T, deoarece ãT, | = T, ã| =ã(0)|(0) = ã(0) T, | ; în particular, 6T = 0, 6%T = 0. b) Calculăm tH; ∀| ∈ Ú, 6‰, | = ‰(6|) = 6|(6)d6lE .

380

c) Calculăm tVP #Å

; ∀| ∈ Ú, 6VP #Å, | =

VP #Å, 6| = lim

→E

Åd Å WÅd WÅÅ

d6l = (|(6) − |(−6))d6l

E =

|(6)d6lWl = [1](|). Așadar, tVP #

Å = [1].

4. Derivarea distribuțiilor Ca o mare curiozitate, orice distribuție poate fi derivată de ori câte ori. Definiție: Pentru orice distribuție Z ∈ ÚÖ, se definește derivata ei ZÖ, ca fiind distribuția definită prin ZÖ, | = − Z, |Ö (9) și mai general, Z(U), | = (−1)U Z, |(U) , pentru orice | ∈ Ú. Justificarea acestei definiții se obține considerând cazul unei distribuții regulare T=[ f ], identificată cu o funcție 3 ∈ LÒ∑∂# : 3Ö | = 3Ö 6 | 6 d6l

Wl =

3 6 | 6 ∞−∞ − 3 6 |Ö 6 d6l

Wl și cum | −∞ = 0,

|(∞) = 0, avem 3Ö | = −[3](|Ö), adică (9). Exemple

a)‰Ö = T, căci ‰Ö(|) = −‰(|Ö) = − |Ö 6 d6lE =

−|(6) ∞0 = |(0) = T(|), pentru orice | ∈ Ú.

b) Se poate arăta că (VP#Å) = (ln 6 )Ö.)

c) Vom vedea că se pot deriva și funcții discontinue, asimilate cu funcții din LÒ∑∂# .

381

5. Șir convergent de distribuții Definiție: Dacă (ZB), ? ≥ 1 și T sunt distribuții, se spune

că ZB →îµÚß

Z pentru ? → ∞ dacă

ZB(|) →îµℂZ(|), (10)

pentru orice | ∈ Ú. O serie de distribuții ZBB†E se numește convergentă în ÚÖ, cu suma S, dacă șirul sumelor parțiale °B = ZE + Z#+. . . +ZB converge către S în ÚÖ. Cu definițiile și regulile anterioare, se poate de-acum dezvolta un calcul cu distribuții. Ne oprim aici, dar rămâne să dăm răspuns la cele trei probleme care au generat studiul distribuțiilor. I. Am prezentat la început euristic conceptul de impuls

aplicat în punctul 9 ∈ ℝ. Pentru ÿ = #B, am definit impulsul unitar

„impur” TQ,à£(6) și am văzut că limita lim

B→lTQ,à£(6) conduce la o

contradicție. Dar atenție... Funcția TQ,à£(6) aparține clasei LÒ∑∂# și se

pot considera distribuțiile regulare asociate, [TQ,à£].

Pentru ? → ∞ aplicăm definiția (10) și rezultă

ZB | = TQ,à£6 | 6 d6l

Wl = ?| 6 d6Q^à£Q și folosim

formula de medie ( b 6 d6_Q = : − 9 b π ,9 < π < :); așadar,

ZB(|) = (9 +#B− 9) ∙ ? ∙ |(πB) = |(πB) cu 9 < πB < 9 +

#B.

Pentru ? → ∞, avem limB→l

ZB(|) = |(9) = TQ(|), pentru orice

| ∈ Ú.

382

În concluzie ZB → TQ în ÚÖ, ceea ce arată că TQ este într-adevăr impulsul legitim aplicat în a. II. Definiția acceptată în Fizica modernă a densității liniare a unei mase m concentrată în origine este distribuția Z = âT, adică aplicația Z:Ú → ℂ, | ↦ âT(|) = â|(0). Mai general, dacă avem un sistem de puncte materiale A#, A%, . . . , AB plasate pe axa reală, cu masele â#,â%, . . . , âB, atunci densitatea liniară asociată este distribuția Z = âUT(A − AU)B

Up# . Conform formulei de

filtrare, masa totală a sistemului este Z A dAlWl = âUB

Up# .

III. Știind ce înseamnă distribuții egale, cum se adună, cum se multiplică cu funcții indefinit derivabile și cum se derivează, se poate reconsidera întreaga teorie a ecuațiilor diferențiale. Ecuația (3) se poate rescrie în distribuții, identificând voltajul v(t) cu distribuția asociată, adică [u] = ~E‰. Derivând ecuația (3) și ținând cont că ‰Ö = T, se obține ecuația diferențială

î¬ÖÖ(6) + #á¬(6) = ~ET(6), dar în distribuții. Studiul acestei ecuații

este necesar pentru a înțelege ce se întâmplă în momentul t = 0 al conectării circuitului la rețea. Notă istorică Paul Dirac (1902 – 1984) a fost un mare fizician și matematician englez, fondator al Mecanicii cuantice și laureat al premiului Nobel. În Matematică, a introdus în monografia sa „Principiile mecanicii cuantice” (1930) celebra „funcție T” (atât de evocată), care descrie diverse distribuții punctuale, precum și formalismul BRA – KET folosit în Analiza funcțională. În Fizică,

383

a stabilit, printre altele, o ecuație care descrie dinamica fermionilor și a prezis existența antimateriei și a magnetului cu un singur pol. În Filozofie, P. Dirac a fost adeptul principiului antropic, conform căruia Universul are proprietățile pe care le observăm/ măsurăm, pe baza cărora existăm și vom exista pe Pământ. A afirmat că „matematica este unealta care a creat neîncetat concepte abstracte și ar trebui dezvoltate o teorie pentru obiectele mari (care studiază cauzele prin efectele lor) și alta, pentru obiectele mici (unde trebuie considerate și perturbările datorate observatorilor)”. Se spune că la un curs, profesorul Dirac s-a adresat sălii dacă există întrebări... Un student îi spune că nu a înțeles una din formule, la care profesorul îi răspunde: „aceasta nu este o întrebare, ci o afirmație!”. Matematicianul francez Laurent Schwartz (1915–2002) a descoperit, după 1948, Teoria distribuțiilor, ca o extindere a Calculului diferențial și integral, bazată pe Analiza funcțională și Dualitate. În 1950, el a primit medalia Fields și a fost membru al grupului Bourbaki. În cadrul Teoriei distribuțiilor, s-au obținut definiția riguroasă a „funcției T” și cadrul natural al transformării Fourier (spațiul $). L. Schwartz a fost profesor la Școala Politehnică din Paris, evreu cu simpatii comuniste troțkiste și intelectual de atitudine civică fără echivoc. Ca hobby, a fost deținătorul unei colecții de peste 20000 de fluturi. Ca îndemn către tineri, a afirmat că „a descoperi ceva în matematică înseamnă a-ți depăși inhibiția și tradiția; nu poți avansa dacă nu ești un critic subversiv”.

385

Indice de nume și notații

A

Acordul standard ......................................................................................... 337 Acumularea sumelor .................................................................................... 318 Algoritm de reconstrucție a imaginilor ...................................................... 249 Amplificator ideal ........................................................................................ 250 Amplitudinea ................................................................................................ 339 Amplitudinea în frecvență ........................................................................... 123 Amplitudinea oscilației .................................................................................. 26 Analiza semnalului ......................................................................................... 43 Analiza undei sonore ..................................................................................... 25 Aproximarea lui Fraunhofer ...................................................................... 296 Argument ........................................................................................................ 52 Armonică .................................................................................................. 26, 43 Armonică complexă ....................................................................................... 53 Armonică de ordin n ................................................................................ 53, 59 Armonică fundamentală ................................................................................ 53 Autoadjunct .................................................................................................. 362 Autocorelație .................................................................................................. 95

B

Bandă limitată în timp ................................................................................. 157 Banda utilă de frecvență .............................................................................. 173 Bază ortonormală ........................................................................................... 72

C

Calculatoare optice ...................................................................................... 293 Canal de comunicație ................................................................................... 269 Celulă fundamentală .................................................................................... 325 Celulă unitară ............................................................................................... 319 Circuit oscilant al lui Hertz ........................................................................... 31 Coeficienți Fourier ................................................................................... 38, 73 Compresia imaginilor .................................................................................. 239 Compresia semnalelor audio ....................................................................... 238 Compresie ..................................................................................................... 222

386

Compresie video ........................................................................................... 239 Conjugat ......................................................................................................... 51 Constanta de timp ........................................................................................ 286 Constanta lui Calderon ............................................................................... 227 Convergență în medie pătratică ................................................................... 78 Convergența în normă ................................................................................. 359 Convergență în normă în L2 .......................................................................... 78

Convergență punctuală ................................................................................. 78 Conversie analogic – digitală ........................................................................ 55 Convolutabile ................................................................................................. 82 Convoluție ............................................................................................... 82, 107 Convoluție ciclică ........................................................................................... 94 Creastă ............................................................................................................ 25 Cristale .......................................................................................................... 319 Cristale 1D sau 2D ....................................................................................... 324 Cristalografie cu raze X ............................................................................... 320 Cvartă ............................................................................................................ 336 Cvintă ............................................................................................................ 336

D

Decibel ................................................................................................... 272, 345 Densitatea de probabilitate a poziției ......................................................... 176 Densitatea de putere .................................................................................... 160 Densitatea spectrală de putere .................................................................... 273 Determinarea potențialului ......................................................................... 243 Determinări cantitative ............................................................................... 297 Diferența de fază ............................................................................................ 28 Diferențele finite ........................................................................................... 201 Difracția luminii ........................................................................................... 293 Discret (digital) ....................................................................................... 15, 259 Dispersia........................................................................................................ 177 Dispersia frecvențială .................................................................................. 174 Dispersia temporală ..................................................................................... 174 Distribuția lui Heaviside .............................................................................. 377 Distribuția nulă ............................................................................................ 373 Distribuție periodică ...................................................................................... 99 Distribuție temperată ................................................................................... 149 Durata utilă a semnalului ............................................................................ 173

387

E

Ecuația căldurii ............................................................................................ 366 Ecuația Helmholtz 2D .................................................................................. 202 Ecuația lui Laplace ...................................................................................... 366 Ecuația lui Schrödinger ............................................................................... 367 Ecuația oscilațiilor armonice de pulsație ..................................................... 29 Ecuația pendulului ......................................................................................... 30 Ecuația telegrafistului .................................................................................. 367 Ecuația undelor ............................................................................................ 365 Ecuație de convoluție ................................................................................... 108 Ecuație integrală de tip Radon ................................................................... 313 Editor de sunet ............................................................................................. 341 Egalitatea lui Parseval ............................................................................. 55, 75 Energia unui semnal ...................................................................................... 60 Energie ...................................................................................................... 23, 27 Eșantion .......................................................................................................... 16 Eșantionare în frecvență .............................................................................. 157 Excitație ........................................................................................................ 250 Exponențiala complexă .................................................................................. 51

F

Faza în frecvență .......................................................................................... 123 Faza inițială a oscilației ................................................................................. 26 Fenomenul Gibbs ........................................................................................... 64 Fereastră ............................................................................................... 172, 222 Filtru de convoluție .............................................................................. 251, 265 Filtru digital .................................................................................................. 259 Filtru ideal trece - jos ................................................................................... 283 Filtru invariant în timp ............................................................................... 250 Filtru liniar ................................................................................................... 265 Filtru liniar analogic .................................................................................... 250 Formă exponențială ....................................................................................... 52 Formula Fourier de reprezentare integrală a lui ∏(π) .............................. 134 Frecvența ................................................................................................ 24, 339 Frecvența ciclică ............................................................................................. 26 Frecvența de tăiere ....................................................................................... 288 Funcția caracteristică .................................................................................. 182 Funcția de distribuție a frecvențelor .......................................................... 123 Funcția Green ............................................................................................... 253 Funcția Green a sistemului ......................................................................... 170 Funcția tabelată a lui Laplace ..................................................................... 185

388

Funcție – fereastră ......................................................................................... 17 Funcție – indicator ....................................................................................... 296 Funcție armonică ................................................................................. 170, 366 Funcție de eșantionare ................................................................................... 48 Funcție de strălucire ...................................................................................... 96 Funcție de testare ......................................................................................... 353 Funcție netedă pe porțiuni ............................................................................ 18 Funcție original Laplace .............................................................................. 136 Funcții ortogonale .......................................................................................... 36 Funcție periodică de perioadă T ................................................................... 19 Funcție rapid descrescătoare ........................................................................ 88 Funcție uzuală .............................................................................................. 355 Funcție–pondere ............................................................................................. 78 Funcția–semn.................................................................................................. 17

G

Gama bine temperată .................................................................................. 336 Gama cromatică ........................................................................................... 336 Grătar de difracție ....................................................................................... 299

H

Hodograful lui Nyquist ................................................................................ 278 Holografia ..................................................................................................... 293 Holografia Fourier ............................................................................... 301, 302 Hologramă .................................................................................................... 302

I

Imagine Fourier ........................................................................................... 124 Imagine 2D ...................................................................................................... 96 Imaginea originalului .................................................................................. 137 Impuls discret unitar ..................................................................................... 19 Înălțime ......................................................................................................... 344 Indice de creștere ......................................................................................... 136 Inegalitatea lui Heisenberg .......................................................................... 174 Inegalitatea lui Schwartz ..................................................................... 280, 358 Infrasunete .................................................................................................... 329 Instrument muzical electronic .................................................................... 341 Întârziere în frecvență ................................................................................. 129 Întârziere în timp ......................................................................................... 129 Întârzierea cu un tact ................................................................................... 259 Integrabilă Lebesgue ................................................................................... 349

389

Intensitate ..................................................................................................... 344 Interferometrie / spectrometrie Fourier .................................................... 299 Interval dintre note ...................................................................................... 338 Interval consonant ....................................................................................... 338 Invariant în timp .......................................................................................... 262

L

Latice oblică .................................................................................................. 325 Latice pătratică ............................................................................................ 325 Latice reciprocă ............................................................................................ 325 Legătură inversă .......................................................................................... 257 Legea Lambert a radiației ........................................................................... 311 Legea lui Bragg ............................................................................................ 323 Legea oscilațiilor armonice ........................................................................... 28 Lungime de undă ........................................................................................... 25

M

Matrice de covarianță .................................................................................. 220 Media ............................................................................................................. 270 Media pătratică ............................................................................................ 270 Media semnalului ........................................................................................... 59 Metoda rețelelor ........................................................................................... 201 Metoda separării variabilelor ..................................................................... 368 Modul .............................................................................................................. 52 Modulare în frecvență ................................................................................. 130 Modulare în timp ......................................................................................... 130 Muzica ................................................................................................... 330, 344

N

Nivel de intensitate ....................................................................................... 345 Nod .................................................................................................................. 70 Norma unui vector ....................................................................................... 357 Notă staționară ............................................................................................... 24

O

Octavă ..................................................................................................... 25, 335 Operație de corelație ...................................................................................... 95 Operație elementară .................................................................................... 205 Operator ........................................................................................................ 131 Operator de retro–proiecție ........................................................................ 318 Operator liniar și continuu ......................................................................... 362

390

Operatorul Fourier ...................................................................................... 124 Operatorul Radon ........................................................................................ 315 Optica Fourier .............................................................................................. 292 Original Fourier ........................................................................................... 124 Oscilație ........................................................................................................... 23 Oscilație armonică ......................................................................................... 26 Oscilație armonică de ordin n ....................................................................... 43 Oscilație forțată .............................................................................................. 32

P

Paradisul Fourier ............................................................................... 9, 11, 189 Pendul ............................................................................................................. 30 Pieptenul lui Dirac ................................................................................. 99, 162 Pixel ................................................................................................................. 96 Polinom Cebâșev ............................................................................................ 79 Polinom Hermite ............................................................................................ 79 Polinom Legendre .......................................................................................... 79 Polinom ortogonal clasic ................................................................................ 79 Polinom trigonometric ................................................................................... 35 Potențial de volum generat .......................................................................... 118 Principiul incertitudinii ............................................................................... 178 Produs de convoluție ...................................................................................... 82 Produsul unui semnal .................................................................................. 107 Pulsație ............................................................................................................ 26 Puterea medie ............................................................................................... 270 Puterea medie a unui semnal ...................................................................... 274

R

Răspunsul–impuls ........................................................................................ 259 Relația energetică ......................................................................................... 146 Relația lui Parseval ...................................................................................... 195 Relația lui Plancherel ................................................................................... 145 Relația lui Rayleigh ...................................................................................... 126 Rețea bidimensională ................................................................................... 325 Rezonanță ....................................................................................................... 33

S

Scalare ........................................................................................................... 222 Semiconductor .............................................................................................. 277 Semnal analitic asociat ................................................................................ 291 Semnal analogic .............................................................................................. 15

391

Semnal conjugat ........................................................................................... 128 Semnal continual ............................................................................................ 15 Semnal deplasat ............................................................................................ 222 Semnal deterministic ..................................................................................... 16 Semnal digital ................................................................................................. 15 Semnal discret ................................................................................................ 15 Semnal discret cu suport pozitiv ................................................................. 356 Semnal finit ..................................................................................................... 19 Semnal fizic ..................................................................................................... 15 Semnal întârziat ........................................................................................... 128 Semnal periodic .............................................................................................. 39 Semnal periodic continual ............................................................................. 19 Semnal simetric ............................................................................................ 128 Semnal sinusoidal complex ........................................................................... 53 Semnal translatat ......................................................................................... 128 Separarea variabilelor ................................................................................... 67 Serie Fourier asociată .................................................................................... 38 Serie Fourier clasică ...................................................................................... 77 Serie Fourier generalizată ....................................................................... 74, 77 Serie punctual convergentă ........................................................................... 35 Serie trigonometrică ...................................................................................... 35 Serie uniform convergentă ............................................................................ 35

Ș

Șiftare ............................................................................................................ 259

S

Sintetizator .................................................................................................... 339 Sinteza aditivă .............................................................................................. 344 Sinus atenuat .................................................................................................. 48 Sinus cardinal ................................................................................................. 48

Ș

Șir Cauchy .................................................................................................... 359 Șir ce converge spre zero ............................................................................. 104

S

Soluția lui Poisson ........................................................................................ 172 Soluție elementară ........................................................................................ 118 Spațiu euclidian ............................................................................................ 357 Spațiu prehilbertian ..................................................................................... 357

392

Spectru de amplitudine ................................................................................. 61 Spectru de fază ............................................................................................... 62 Spectru de putere ......................................................................................... 160 Spectru discret .......................................................................................... 61, 80 Spectru frecvențial ....................................................................................... 340 Spectru frecvențial discret .......................................................................... 158 Spectrul în amplitudine ............................................................................... 124 Spectrul în frecvență .................................................................................... 123 Studiul difracției luminii ............................................................................. 292 Submulțime măsurabilă .............................................................................. 348 Suma cumulată ............................................................................................. 314 Sunetele ......................................................................................................... 329 Sunetul corzii .................................................................................................. 70 Suprapunerea oscilaților armonice ............................................................ 189 Supraton ......................................................................................................... 70

T

Teorema de eșantionare n–dimensională ................................................... 247 Teorema de interpolare ............................................................................... 156 Teorema Fourier de inversare .................................................................... 131 Teorema Moivre – Laplace ......................................................................... 186 Timbru .................................................................................................. 340, 344 Tomograf ...................................................................................................... 316 Ton fundamental al corzii ............................................................................. 70 Tonul fundamental ...................................................................................... 333 Transformarea Fourier ............................................................................... 124 Transformarea Fourier modificată ............................................................ 177 Transformarea Hilbert ................................................................................ 291 Transformarea Radon ................................................................................. 315 Transformarea Walsh ................................................................................. 216 Transformata Fourier a lui ∏(π) ................................................................. 123 Transformata Fourier discretă ................................................................... 193 Transformata Laplace ................................................................................. 137 Treapta unitate discretă ................................................................................ 19 Treapta unitate Heaviside ............................................................................. 16 Trenul de delte ........................................................................................ 99, 162

U

Ultrasunete .................................................................................................... 329 Unde sonore .................................................................................................. 329 Undină ........................................................................................................... 224

393

Undina lui Haar ........................................................................................... 224 Uniform ........................................................................................................... 27

V

Valoare proprie .............................................................................................. 68 Variabile conjugate .............................................................................. 133, 160 Vectori ortogonali ........................................................................................ 357 Ventre .............................................................................................................. 70 Vibrație ........................................................................................................... 23 Vocile unui semnal ....................................................................................... 228

Z

Zgomot .......................................................................................................... 344 Zgomot alb .................................................................................................... 276 Zgomot termic .............................................................................................. 277

395

„Ce am înțeles este minunat, dar și restul, pe care nu l-am înțeles, trebuie să fie minunat.”

SENECA

BIBLIOGRAFIE

1. P. BEAUME – Distributions et Transformées, ENSEA, 2000. 2. G.B. FOLLAND – Fourier analysis and its applications, Providence, Rhode Island, 2009. 3. L. JALBĂ, O. STĂNĂȘILĂ – Vectori, tensori, câmpuri, Floarea Darurilor, 2015. 4. L. JALBĂ, O. STĂNĂȘILĂ – Sfera incertitudinii (Statistică aplicată), Floarea Darurilor, 2017. 5. J.F. JAMES – Fourier transform (a student's guide), Cambridge Univ. Press, 2011. 6. T.W. KÖRNER – Fourier analysis, Cambridge Univ. Press, 2014. 7. E. KREYSZIG – Advanced Engineering Mathematics, John Wiley, 2005. 8. Y. MEYER – Ondelettes et algorithmes concurrents, Herman, 1994. 9. B. OSGOOD – Lecture Notes for the Fourier transform (EE 261), Stanford University, 2008. 10. W. RUDIN – Analiză reală și complexă, Ed. Theta Buc., 1999. 11. D. STANOMIR, O. STĂNĂȘILĂ – Metode matematice în teoria semnalelor, Ed. Tehnică, 1980.

396

12. O. STĂNĂȘILĂ – Resurse matematice și informatice, Ed. Niculescu, 2014. 13. O. STĂNĂȘILĂ – Analiză matematică, Floarea Darurilor, 2014. 14. D. ȘTEFĂNOIU, O. STĂNĂȘILĂ, D. POPESCU – Undine; teorie și aplicații, Ed. Academiei Române, 2010. 15. T. TAO – Analysis II, Hindusta Boog Agency, 2014. 16. G. TOLSTOV – Fourier series, Dover publ. 2015.

Documents

Paradisul Fourier - 02.03.2017microel.ro/documents/Paradisul_Fourier_L.Jalbă_C.Mănoiu_O.Stăn... · cel al Algebrei, se utilizează simboluri literale nedeterminate – constante,