UNIVERSITATEA BUCURESTIFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

(Catedra de Geometrie Complexa, Topologie si Algebra Computationala)

Lucrare de dizertatie

Combinatorica si algebra polimatroizilor discreti

Student: Cimpoeas MirceaCoordonator: Conf.dr. Becheanu Mircea

2 februarie 2005

Rezumat

Studiul polimatroizilor constituie una din temele centrale ale combinatoricii siale algebrei combinatorice. De asemenea, acest domeniu este extrem de actual, fiind,printre altele, un subiect de teza de doctorat foarte bine apreciata (vezi [6, Vladoiu])

Polimatroizii discreti sunt o generalizare naturala a matroizilor, notiune de multtimp ıncetatenita ın matematica. Mai precis spus, un polimatroid discret este unsistem de vectori din Nn care verifica anumite proprietati. Polimatroizii discreti au orealizare geometrica si exista o legatura stransa cu aceasta.

In acesta lucrare ımi propun sa prezint combinatorica si algebra polimatroizilordiscreti. De asemenea, accentul ıl pun ın aplicarea aceastei teorii combinatorice ınalgebra comutativa, prin intermediul idealelor polimatroidale (Un ideal polimatroidaleste un ideal monomial generat de monoame de acelasi grad si al carui sistem mini-mal de generatori constituie baza unui polimatroid discret) si al subalgebrelor poli-matroidale.

Lucrarea este structurata ın urmatoarele sectiuni. In prima sectiune, prezintdefinitii si rezultate preliminare privind matroizii si polimatroizii. In a doua sectiuneprezint o clasa speciala de polimatroizi: polimatroizii care au proprietatea de schimbtare. In cea de-a treia sectiune, dau cateva rezultate algebrice privind idealele careadmit caturi liniare (idealele polimatroidale vor fi un caz particular, dupa cum voidemonstra ın sectiunea urmatoare). In cea de-a patra sectiune definesc notiunea deideal polimatroidal si prezint cateva dintre proprietatile elementare ale idealelor poli-matroidale. (Lema de schimbare a bazei; un ideal polimatroidal are caturi liniare; pro-dusul de ideale polimatroidale este polimatroidal) In a cincea parte a lucrarii, demon-strez teorema de caracterizare a idealelor polimatroidale Cohen-Macaulay, aratandca acestea pot fi doar ıntr-unul din trei cazuri precise. In fine, ın ultima parte, prezintcateva rezultate fundamentale privind subalgebrele polimatroidale punand accentulpe cazul subalgebrelor Gorenstein care sunt departe de a fi clasificate complet.

Ca materiale de baza ın redactarea acestei lucrari, mentionez articolele ”Discretepolymatroids” pentru primul si ultimul capitol si ”Cohen-Macaulay polymatroidalideals” pentru capitolele 4 si 5, ambele redactare ın colaborare de catre Jurgen Her-zog si Takayuki Hibi. De asemenea, folosesc teza de doctorat a lui Marius Vladoiu,probabil cel mai bun specialist ın teoria polimatroizilor din tara. Celelalte materialeutilizate ın redactarea acestui material sunt prezentate la ”Bibliografie”.

Tin sa precizez ca aceasta teza de dizertatie am scris-o pornind de la un referatde doctorat pe care l-am prezentat ın decembrie 2004. Multumesc domnului Prof.dr.Dorin Popescu pentru sfaturile sale care m-au ıncurajat sa duc la bun sfarsitacel referat. Multumesc domnului Conf.Dr.Mircea Becheanu pentru ca mi-a acceptatsubiectul acestei lucrari. Multumesc si pe aceasta cale domnului cercetator IonelMolnar pentru ca m-a ınvatat sa redactez ın Latex. Nu ın ultimul rand, multumescprietenei mele (Emilia) pentru sprijinul ei moral.

2

1 Matroizi si polimatroizi.

Definitia 1.1. Fie [n] = {1, 2, . . . , n} si P([n]) = multimea submultimilor lui [n]. Senumeste matroid, orice familie nevida M ⊂ P([n]) = 2[n] care verifica urmatoarele pro-prietati:

1. Daca F ∈M si G ⊂ F ⇒ G ∈M.

2. Daca F, G ∈M si |F | < |G| atunci (∃)x ∈ G a.ı. F ∪ {x} ∈ M.

Elementele lui M se numesc multimi independente. O baza ın M este o multime inde-pendenta maximala.

Propozitia 1.2. 1. Multimea bazelor luiM are proprietatea de interschimbare urmatoare:

(B) Daca B1 si B2 sunt doua baze ale lui M si x ∈ B1 \B2, atunci exista y ∈ B2 \B1

astfel ca (B1 \ {x}) ∪ {y} este o baza ın M.

In particular, rezulta ca orice doua baze au acelasi cardinal.

2. De fapt, multimea bazelor lui M are proprietatea de interschimbare simetrica:

(S) Daca B1 si B2 sunt doua baze a lui M si x ∈ B1 \B2, atunci exista y ∈ B2 \B1

astfel ca (B1 \ {x}) ∪ {y} si (B2 \ {y}) ∪ {x} sunt baze ın M.

3. O multime B ⊂ 2[n] este multimea bazelor unui matroid M daca si numai daca Bverifica proprietatea (B).

Exemplul 1.3. 1. Matroidul uniform, Un,k = familia tuturor submultimilor cu cel multk elemente ın [n]. De exemplu, U3,2 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Un,k se numeste simatroid de tip Veronesse.

2. Consideram V un spatiu vectorial peste un corp K si S = {v1, v2, . . . , vm} o multimede vectori. Atunci M = multimea submultimilor liniar independente din S esteun matroid (numit matroid vectorial). Presupunem ca S este un sistem de gen-eratori pentru V . Atunci bazele matroidului M sunt exact bazele spatiului vectorialV continute ın S. Faptul ca M este matroid se traduce exact prin proprietatea deschimbare a bazelor unui spatiu vectorial. De fapt, acest exemplu justifica denumireade baza a multimilor maximale dintr-un matroid.

3. Fie S o multime finita de puncte ıntr-un spatiu afin. Atunci familia submultimilorafin independente ale lui S are structura de matroid.

4. Daca G este un graf pe multimea de varfuri V si cu muchiile E, atunci familia{F ⊂ E|F nu contine nici un ciclu } este un matroid, numit matroidul ciclu algrafului G. De exemplu, daca K3 este graful complet pe multimea de varfuri V = [3],atunci matroidul ciclu asociat este U3,2.

3

Observatia 1.4. Un matroid este, ın particular, un complex simplicial (asta spune punctul1 al definitiei unui matroid) asa ca toate consideratiile privind complexele simpliciale ramanvalabile si pentru matroizi.

Notatii:

• Notam e1, . . . , en baza canonica din Rn (ei = (0, . . . , 1, . . . , 0)).

• Pe Rn consideram ordinea naturala ” ≤ ” (u ≤ v ⇔ ui ≤ vi, (∀)i ∈ [n]).

• Daca u, v ∈ Rn, notam :

u ∧ v = (min{u1, v1}, . . . ,min{un, vn})

u ∨ v = (max{u1, v1}, . . . ,max{un, vn}).

• Daca u ∈ Rn, notam |u| =∑n

i=1 ui.

• Notam Rn+ = {u = (u1, . . . , un) ∈ Rn|ui ≥ 0, (∀)i ∈ [n]}.

• Notam Zn+ = Rn

+ ∩ Zn.

Observatia 1.5. Un matroid poate fi ınteles ca o familie de vectori ın M ⊂ {0, 1}n careverifica proprietatile:

1. Daca u ∈M si v ∈ {0, 1}n astfel ıncat v ≤ u atunci v ∈M.

2. Daca u = (u1, . . . , un) ∈ M si v = (v1, . . . , vn) ∈ M cu |u| < |v| atunci exista unnumar i ∈ [n] cu ui = 0 si vi = 1 si u + ei ∈M.

Aceasta remarca ne permite sa introducem urmatoarea generalizare.

Definitia 1.6. Un polimatroid (geometric) ın Rn+ este o multime compacta nevida P ⊂ Rn

+

care verifica proprietatile:

1. Daca u ∈ P si v ∈ Rn+ cu v ≤ u atunci v ∈ P

2. Daca u = (u1, . . . , un) ∈ P si v = (v1, . . . , vn) ∈ P cu |u| < |v|, atunci exista unnumar i ∈ [n] cu ui < vi si 0 < N < vi − ui astfel ıncat u + Nei ∈ P.

Un polimatroid (geometric) se numeste ıntreg, daca varfurile sale sunt vectori cu elementeıntregi. (Observatie: Un polimatroid geometric este un politop.)

Observatia 1.7. Conditia 2 poate fi rescrisa ın limbaj laticeal, astfel:

(∀)u, v ∈ P cu |u| < |v|, (∃)w ∈ P , astfel incat u < w < u ∨ v.

4

Vectorii polimatroidului P se numesc vectori independenti.O baza a unui polimatroid P ⊂ Rn

+ este un vector independent maximal.Din conditia 2, rezulta ca orice doua baze ale unui polimatroid au acelasi modul, notat

rang(P) si numit rangul polimatroidului P .

Definitia 1.8. Daca P e un polimatroid, functia rang a lui P e o functie ρ : P([n]) → R+

definita prin:

ρ(A) := max{v(A) =∑i∈A

vi|v ∈ P},

pentru orice ∅ 6= A ⊂ [n], si ρ(∅) = 0.

Propozitia 1.9. Fie P un polimatroid pe multimea de baza [n] si ρ functia sa rang. Atunci:

• ρ e crescatoare: Daca A ⊂ B ⇒ ρ(A) ≤ ρ(B).

• ρ e submodulara: ρ(A) + ρ(B) ≥ ρ(A ∪B) + ρ(A ∩B).

Mai mult, P = {x ∈ Rn+|x(A) ≤ ρ(A), A ⊂ [n]}, unde x(A) =

∑i∈A xi.

Reciproc, data o functie crescatoare si submodulara ρ : P([n]) → Rn+ cu ρ(∅) = 0,

multimea compactaP = {x ∈ Rn

+|x(A) ≤ ρ(A), A ⊂ [n]}

este un polimatroid pe multimea baza [n] avand pe ρ drept functie rang.

Observatia 1.10. Un polimatroid P ⊂ Rn+ este un politop convex ın Rn

+. Mai mult,multimea bazelor lui P este o fata a lui P cu hiperplanul suport:

H(P) = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn+|

n∑i=1

xi = rang(P)}.

Se pune problema: Cum putem gasi varfurile unui polimatroid? Un raspuns completni-l ofera urmatoarea teorema. Mai ıntai o notatie:

Pentru fiecare permutare π = (i1, . . . , in), notam Ajπ := {i1, i2, . . . , ij}, unde j =

1, . . . , n. Atunci:

Teorema 1.11. Fie P ⊂ Rn+ un polimatroid pe multimea baza [n] si ρ functia sa rang.

Atunci varfurile lui P sunt toate punctele v = v(k, π) ∈ Rn+, unde v = (v1, . . . , vn) si

vi1 = ρ(A1π), . . . , vik = ρ(Ak

π)− ρ(Ak−1π ), vik+1

= · · · = vin = 0

si k ia toate valorile ıntregi care apartin lui [n], iar π = (i1, . . . , in) parcurge toate per-mutarile lui [n]. In particular varfurile fetei lui P care consta ın toate bazele lui P, sunttoate punctele v = v(n, π) ∈ Rn

+ unde π ∈ Sn.

5

Exemplul 1.12. Fie P polimatroidul al carui functie rang este urmatoarea:

ρ({1}) = 2, ρ({2}) = 3, ρ({3}) = 5, ρ({1, 2}) = 4, ρ({2, 3}) = 6, ρ({1, 3}) = 6, ρ({1, 2, 3}) = 7.

Fie ciclul π = (123). In notatiile teoremei, i1 = 2, i2 = 3, i3 = 1. Calculez ın cele ceurmeaza v(1, π) = (v1, v2, v3). Conform teoremei, vi2 = vi3 = 0 si vi1 = ρ{i1} = ρ{2} = 3.Deci v(1, π) = (0, 3, 0).

In mod similar, pentru v(2, π), avem

v1 = vi3 = 0, v2 = vi1 = ρ({i1}) = ρ({2}) = 3,

v3 = vi2 = ρ({i1, i2})− ρ({i1}) = ρ({2, 3})− ρ({2}) = 6− 3 = 3.

Deci v(2, π) = (0, 3, 3). In mod similar se calculeaza v(3, π) = (1, 3, 3).

Definitia 1.13. Daca P1,. . . ,Pk ⊂ Rn+ sunt polimatroizi (geometrici), definim suma lor,

prin:

P1 ∨ · · · ∨ Pk := {x =k∑

i=1

vi|vi ∈ Pi}.

Propozitia 1.14. Daca P1,. . . ,Pk ⊂ Rn+ sunt polimatroizi cu functiile rang ρi atunci

P1 ∨ · · · ∨ Pk este polimatroid cu functia rang ρ =∑k

i=1 ρi.

In plus, daca P1,. . . ,Pk sunt polimatroizi ıntregi, P1∨· · ·∨Pk este polimatroid ıntreg sipentru fiecare vector ıntreg x ∈ P1 ∨ · · · ∨Pk exista vectorii ıntregi xi ∈ Pi cu x =

∑ki=1 xi.

Observatia 1.15. Sumei polimatroizilor ıi corespunde produsul idealelor polimatroidaleasociate (vezi sectiunea 3). Astfel, faptul ca un produs de ideale polimatroidale este unideal polimatroidal este evident ın lumina propozitiei de mai sus.

Propozitia 1.16. In R2+ avem exact 3 tipuri de polimatrozi nedegenerati:

1. un dreptunghi cu doua laturi asezate pe axele de coordonate si cu un singur vectorbaza.

2. un triunghi dreptunghic isoscel cu doua laturi asezate pe axele de coordonate.

3. un pentagon format dintr-un dreptunghi din care am decupat un triunghi isoscel drep-tunghic din varful liber.

Cred ca mai clar se vad lucrurile ın figura de mai sus:

1

A

2

@@

@@

@

A

B

3

@@

@

A

B

6

Demonstratie. Fie P un polimatroid. Consideram ρ : P([n]) → R+ functia sa rang. Amaratat ca:

(∗)P = {x ∈ R2+|x(A) ≤ ρ(A), (∀)A ⊂ [n]}.

Notam ρ({1}) = a, ρ({2}) = b si ρ({1, 2}) = c. Din faptul ca ρ este o functie crescatoare,rezulta ca 0 ≤ a ≤ c si 0 ≤ b ≤ c, iar din submodularitate rezulta ca c ≤ a + b. Atunci (∗)poate fi reformulata:

P = {x ∈ R2+|x(1) ≤ a, x(2) ≤ b, x(1) + x(2) ≤ c},

unde a,b si c au proprietatile de mai sus.Daca c = a + b, atunci P este dreptunghiul din cazul 1. In plus, multimea bazelor lui

P este formata doar din vectorul corespunzator varfului liber.Daca c = a = b, atunci P este triunghiul din cazul 2. Inecuatia x(1) + x(2) − c ≤ 0

ne arata ca unghiul dreptei AB cu axa absciselor este de 45o. Multimea bazelor lui P esteformata din toti vectorii corespunzatori punctelor de pe segmentul [AB].

Daca c < a+b, atunci P este figura din cazul 3. La fel ca mai ınainte rezulta ca unghiulfacut de dreapta AB cu axa absciselor este de 45o. Multimea bazelor lui P este formatadin toti vectorii corespunzatori punctelor de pe segmentul [AB].

O alta generalizare a notiunii de matroid este cea de polimatroid discret. Vom vedeaulterior legatura dintre polimatroizii discreti si cei ıntregi.

Definitia 1.17. Un polimatroid discret este o familie nevida finita P ⊂ Zn+ care verifica

urmatoarele proprietati:

1. Daca u ∈ P si v ∈ Zn+ cu v ≤ u atunci v ∈ P.

2. Daca u = (u1, . . . , un) ∈ P si v = (v1, . . . , vn) ∈ P cu |u| < |v|, atunci exista unnumar i ∈ [n] cu ui < vi si u + ei ∈ P.

Observatia 1.18. Un polimatroid discret este, datorita primei axiome, un multicomplexsimplicial.

Definitia 1.19. Fie P un polimatroid discret. Un vector u ∈ P se numeste baza, dacaeste maximal fata de relatia ”≤”. Din definitia unui polimatroid, se constata ca daca u1 siu2 sunt vectori baza pentru P atunci |u1| = |u2|.

Notam B(P) multimea vectorilor baza a lui P. Evident, B este o multime finita ın Zn+.

Avem urmatoarea caracterizare:

Propozitia 1.20. O multime finita B ⊂ Zn+ este multime baza pentru un polimatroid

discret P, daca si numai daca verifica urmatoarele proprietati:

• (∀)u, v ∈ B ⇒ |u| = |v|.

• (S) Daca u = (u1, . . . , un) ∈ B si v = (v1, . . . , vn) ∈ B atunci pentru fiecare indice icu ui > vi,exista un indice j cu uj < vj astfel ıncat u− ei + ej ∈ B.

7

Pentru a demonstra propozitia anterioara, avem nevoie de urmatoarea lema:

Lema 1.21. Fie P un polimatroid discret. Atunci:

1. Fie d ≤ rang(P). Atunci multimea P ′ = {u ∈ P| |u| < d} este un polimatroid discretcu multimea bazelor {u ∈ P| |u| = d}

2. Fie x ∈ P. Atunci Px = {v − x| v ≥ x} este un polimatroid discret de rang d− |x|.Demonstratie. 1. Fie u, v ∈ P cu d ≥ |v| > |u|. Atunci exista un w ∈ P astfel ıncatu < w ≤ u ∧ v. Cum w > u si cum P contine toti subvectorii lui w (i.e. vectori mai micidecat w), exista un i cu u + ei ≤ w. Atunci u < u + ei ≤ u ∧ v si deci u + ei ≤ d, adicau + ei ∈ P ′. Asta ne arata ca P ′ este un polimatroid discret. Este evident ca multimea{u ∈ P| |u| = d} este multimea bazelor polimatroidului P ′.2. Fie u′, v′ ∈ Px cu |v′| > |u′| si fie u = u′ + x si v = v′ + x. Atunci u, v ∈ P si |v| > |u|,deci cum P e un polimatroid rezulta ca exista un w ∈ P cu u < w ≤ u∧ v. Fie w′ = w−x.Atunci w′ ∈ Px si u′ < w′ ≤ u′ ∧ v′.

Demonstratia propozitiei 1.20. Fie P un polimatroid discret si B = B(P) multimea bazelorsale. Vrem sa aratam ca B verifica proprietatea de schimb (S). Fie deci u, v ∈ B cuui > vi pentru un i. Atunci ui − 1 ≥ vi si deci |u − ei| = |v| − 1 < |v|. Din definitia unuipolimatroid, exista un ıntreg j astfel ıncat (u− ei) + ej ≤ (u− ei) ∧ v. Avem j 6= i, altfelui = (u − ei + ei)i ≤ max{ui − 1, vi} = ui − 1 ceea ce este evident absurd. Prin urmare,uj + 1 = (u − ei + ej)j ≤ max{uj, vj} ≤ vj, deci vj > uj si astfel se verifiau proprietateade schimb.

Reciproc, sa presupunem ca avem o multime B de vectori de acelasi modul careındeplineste proprietatea de schimb (S). Fie u, v ∈ P cu |v| > |u| si fie w′ ∈ B cu u < w′.Cum toti vectorii w′ ∈ B au acelasi modul, rezulta ca |v| ≤ |w′|. Deci putem alege unsubvector w ≤ w ın P cu u ≤ w si |w| = |v|. Fie P ′ = {x ∈ P| |x| < |v|}. Din lema,rezulta ca P ′ este un polimatroid discret si din implicatia inversa a acestei propozitii, stimca vectorii w si v verifica conditia de schimb. Avem doua cazuri de considerat:

I.Presupunem ca wj ≤ max{uj, vj}. Cum uj ≤ wj pentru toti indicii j rezulta cawj ≤ vj pentru toti j. Dar cum |w| = |v| asta nu se poate decat daca w = v. Deci u < v siafirmatia e triviala.

II.Sa presupunem acum ca exista un indice j cu wj > max{uj, vj}. Atunci, din pro-prietatea de schimb, exista un indice i cu vi > wi astfel ıncat w − ei + ej ∈ P . Cum

u+ei ≤ w−ej+ei rezulta ca u+ei ∈ P . In continuare, obtinem (u+ei)i = ui+1 ≤ wi+1 ≤ vi

si deci u + ei ≤ u ∧ v. Cu aceasta propozitia este demonstrata.

Urmatorul corolar rezulta imediat din propozitia anterioara si din definitia matroizilor:

Corolarul 1.22. Fie B o multime nevida de vectori ıntregi din Rn+. Atunci urmatoarele

afirmatii sunt echivalente:

1. B este multimea bazelor unui matroid.

2. B este multimea bazelor unui polimatroid discret si este formata din vectori u ∈ Bcu toate componentele ui ≤ 1.

8

Exemplul 1.23. (Exemple de polimatroizi)

1. In Zn+, un sistem format dintr-un singur vector este baza unui polimatroid discret.

2. In Z2, sistemul {(2, 0), (1, 1), (0, 2)} este baza unui polimatroid discret. La fel {(3, 1), (1, 3)}.La fel {(3, 0), (1, 2), (2, 1), (0, 3)} etc.

3. In Z3, sistemul {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} este baza unui polimatroid discret. (De-sigur, acoperirea sa convexa este un polimatroid geometric.) Acelasi lucru despre{(0, 1, 1), (0, 2, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 0, 0)}, {(2, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 1), (3, 1, 0), (4, 0, 0)}

4. Daca P este un polimatroid discret si d ≤ rang(P), atunci Pd = {u ∈ P||u| ≤ d}este un polimatroid discret cu multimea bazelor B(Pd) = {u ∈ P||u| = d}.

Propozitia 1.24. Fie P ⊂ Zn+ o familie nevida finita de vectori ıntregi care contin odata cu

un vector u toti subvectorii sai (Altfel spus, P este un multicomplex simplicial). Urmatoareleconditii sunt echivalente

1. P este un polimatroid discret de rang d pe multimea [n].

2. B = {(u, d − |u|)| u ∈ P} este multimea bazelor unui polimatroid discret de rang dpe [n + 1].

Demonstratie. 1 ⇒ 2. Vom arata ca B verifica conditia de schimb. Fie u, v ∈ P , i = d−|u|,j = d − |v| si fie u′ = (u, i) si v′ = (v, j). Putem presupune ca |v| ≥ |u| deci j ≤ i. Dacai = j atunci u si v sunt baze pentru polimatroidul P ′ = {w ∈ P| |w| ≤ d − i}. Deci u′ siv′ satisfac conditia de schimb si deci putem presupune j < i. Consideram doua cazuri:

I. Presupunem ca exista un indice k ∈ [n + 1] cu v′k > u′k. Atunci k ≤ n si v − ek ∈ P(deoarece v − ek < v), si deci v′ − ek + en+1 ∈ B.

II. Presupunem ca u′k > v′k pentru un indice k. Cum |v| > |u|, din definitia polimatroidu-lui, exista un ıntreg l cu u+el ∈ P si u+el ≤ u∧v. Rezulta ca ul < vl+1 ≤ vl. Daca k ≤ n,atunci u−ek+el ∈ P deoarece e un subvector ın u+el. Atunci u′−ek+el = (u−ek+el, i) ∈ B.Pe de alta parte, daca k = n + 1, deci u′k = i, rezulta u′ − ek + el = (u + el, i − 1) ∈ Bdeoarece u + el ∈ P .

2 ⇒ 1. Fie u, v ∈ P cu |v| > |u|. Atunci d − |v| < d − |u|, si deci din proprietatea deschimb pentru B rezulta ca exista un ıntreg i ∈ [n] cu vi > ui si cu (u + ei, d − |u|) ∈ B.Dar asta ne spune exact ca u + ei ∈ P si cum vi > ui avem u + ei ≤ u ∧ v.

Definitia 1.25. Fie P ⊂ Zn+ un polimatroid discret si B(P) multimea bazelor lui P.

Definim functia ρ : P([n]) → R+ asociata lui P, astfel:

ρ(X) := max{u(X)|u ∈ B(P)}.

ρ se numeste functia rang asociata polimatroidului discret P.

9

Notatie. Daca u si v sunt doi vectori din Zn+ de aceiasi lungime, numim distanta dintre

cei doi vectori, numarul ıntreg pozitiv:

d(u, v) :=1

2

n∑i=1

|ui − vi|.

Se constata usor ca d verifica axiomele unei distante.

Lema 1.26. Daca X1 ⊂ X2 ⊂ · · · ⊂ Xs ⊂ [n] este un sir de submultimi ale lui [n], atunciexista un vector baza u ∈ B(P) astfel ıncat u(Xk) = ρ(Xk), (∀)k = 1, . . . , s.

Demonstratie. Folosim inductie dupa s. Cazul s = 1 este evident din definitia lui ρ. Pre-supunem ca exista un u ∈ B(P) astfel ıncat u(Xk) = ρ(Xk), (∀)1 ≤ k < s.

Alegem v ∈ B(P) cu v(Xs) = ρ(Xs) cu v(Xs) = ρ(Xs). Daca u(Xs) = ρ(Xs) amterminat, deci presupun u(Xs) 6= ρ(Xs). Daca u(Xs) < v(Xs) = ρ(Xs), atunci exista unindice i /∈ Xs astfel ıncat ui > vi. Din proprietatea de schimb a bazei, rezulta ca existaun indice j ∈ [n] cu uj < vj si u1 = u − ei + ej ∈ B(P). Cum u(Xs−1) = ρ(Xs−1)rezulta ın particular ca j /∈ Xs−1 si deci u1(Xk) = ρ(Xk) pentru 1 ≤ k < s. Mai mult,u1(Xs) > u(Xs) si d(u, v) > d(u1, v). Daca u1(Xs) = v(Xs) am terminat. Daca nu, repetamprocedeul anterior si gasim un u2 ∈ B(P) etc. Este evident ca acest procedeu se va opri,ceea ce ne garanteaza existenta unei baze care verifica proprietatea dorita.

Corolarul 1.27. Functia ρ : P([n]) → R+ este crescatoare si submodulara.

Demonstratie. Faptul ca ρ este crescatoare este evident din definitie.Fie A, B ⊂ [n]. Conform lemei anterioare, exista un u ∈ B(P) astfel ıncat u(A ∩ B) =

ρ(A ∩B) si u(A ∪B) = ρ(A ∪B). Dar atunci:

ρ(A) + ρ(B) ≥ u(A) + u(B) = u(A ∩B) + u(A ∪B) = ρ(A ∩B) + ρ(A ∪B),

ceea ce ıncheie demonstratia.

Legatura dintre polimatroizii discreti si cei geometrici, este exprimata de urmatoareateorema:

Teorema 1.28. O familie nevida P ⊂ Zn+ este polimatroid discret, daca si numai daca

conv(P) ⊂ Rn+ este un polimatroid ıntreg cu conv(P) ∩ Zn = P.

Am notat conv(P) = acoperirea convexa a lui P.

Demonstratie. Pentru a demonstra prima implicatie, este suficient sa facem observatia cadaca P ⊂ Rn

+ este un polimatroid ıntreg si u, v ∈ P ∩ Zn+ cu |v| > |u| atunci exista un

w ∈ P ∩ Zn+ cu u < w ≤ u ∧ v. Acest rezultat vine din faptul ca functia rang ρ a unui

polimatroid ıntreg ia valori ıntregi.Vom demonstra reciproca. Fie P ⊂ Zn

+ un polimatroid discret si ρ functia sa rangasociata. Fie P ′ ⊂ Rn

+ polimatroidul ıntreg asociat lui ρ, adica:

P ′ = {u ∈ Rn+| u(X) ≤ ρ(X), X ⊂ [n]}.

10

Cum fiecare u ∈ P satisface relatia u(X) ≤ ρ(X), X ⊂ [n] rezulta ca P ⊂ P ′. Mai mult,cum P ′ este convex, rezulta ca conv(P) ⊂ P ′. Coroborand lema 1.26 cu teorema 1.11rezulta imediat ca avem de fapt conv(P) = P ′.

Pentru a termina demonstratia, trebuie sa aratam ca P ′ ∩ Zn+ = P . Pentru fiecare

i ∈ [n], notam Pi ⊂ Zn+ polimatroidul discret Pei

si cu Bi = B(Pi) multimea bazelor lui Pi.Vom calcula ın cele ce urmeaza functiile rang asociate ρi = ρPi

: P([n]) → R+. Dinstingemtrei cazuri:

Cazul a. Daca i /∈ X ⊂ [n] cu ρ(X∪{i}) > ρ(X). Alegem un u ∈ B(P) cu u(X) = ρ(X)si cu u(X ∪ {i}) = ρ(X ∪ {i}). Atunci ui = u(X ∪ {i}) − u(X) ≤ 1 si u ∈ B(P). Cumi /∈ X, avem (u + ei)X = u(X). Cum (u − ei)(X) ≤ ρi(X) ≤ ρ(X) = u(X) rezulta caρi(X) = ρ(X).

Cazul b. Fie i /∈ X ⊂ [n] cu ρ(X ∪ {i}) = ρ(X). Daca u ∈ B(P) cu ui ≥ 1 atunci:

(∗)(u− ei)(X) ≤ (u− ei)(X ∪ {i}) = u(X ∪ {i})− 1 ≤ ρ(X ∪ {i})− 1 = ρ(X)− 1.

De aici rezulta, ρi(X) ≤ ρ(X)− 1. Alegem v ∈ B(P) cu v(X) = ρ(X). Atunci vi = 0, cacialtfel, cum i /∈ X ar rezulta ca ρ(X ∪ {i}) ≥ v(X ∪ {i}) = v(X) + vi > v(X) = ρ(X) ceeace e absurd!

Fie u′ ∈ B(P) cu u′i ≥ 1. Din proprietatea de schimb, rezulta ca exista un j ∈ [n] cuu′j < vj astfel ıncat u′−ei+ej ∈ B(P). Deci putem presupune u′i = 1. Daca u′(X) < v(X)−1atunci u′(X∪{i}) = u′(X)+1 < v(X) = v(V ∪{i}). Deci exista un j /∈ X∪{i} cu u′j > vj.Deci exista un i 6= k ∈ [n] cu u′k < vk si cu u′′ = u′ − ej + ek ∈ B(P). Atunci u′′i = 1,u′′(X) ≥ u′(X) si de asemenea d(u′, v) > d(u′′, v). Ca ın demonstratia lemei 1.26 putemgasi un u ∈ B(P) cu ui = 1 si astfel ıncat u(X) = (u−ei)(X) = v(X)−1. De unde rezultaca ρi(X) = ρ(X)− 1.

Cazul c. Daca i ∈ X ⊂ [n]. Atunci ρi(X) = ρ(X)−1. De fapt, cum i ∈ X, din lema 1.26exista un u ∈ B(P) cu ui = ρ({i}) ≥ 1 si cu u(X) = ρ(X). Atunci (u− ei)(X) = ρ(X)−1.

Fie P ′i ⊂ Rn

+ polimatroizii ıntregi cu ρi drept functii rang. Atunci P ′i = conv(Pi) si

folosind un argument inductiv dupa rangul lui P putem presupune ca P ′i ∩Zn

+ = Pi. Dacax ∈ P ′ ∩ Zn

+ cu xi ≥ 1 atunci y = x − ei apartine lui P ′i. De fapt, daca i /∈ X ⊂ [n] cu

ρi(X) = ρ(X)− 1, dupa cum am aratat, avem ρ(X ∪ {i}) = ρ(X).Inlocuind pe u cu x ın inegalitatile (∗) care au aparut la cazul b obtinem ca y(X) ≤

ρi(X). Deci y ∈ P ′x ∩ Zn = Pi. Deci y ≤ u− ei pentru un u ∈ B(P) cu ui ≥ 1. Dar atunci

x ≤ u ∈ B(P) si x ∈ P . De unde rezulta P ′ ∩ Zn = P dupa cum doream.

Observatia 1.29. Coroborand rezultatele anterioare, obtinem urmatoarele consecinte:

• Daca P este un polimatroid discret si ρ este functia sa rang, atunci

P = {u ∈ Zn+|u(A) < ρ(A), (∀) A ⊂ [n]}.

• Reciproc, daca ρ : P([n]) → Z+ este o functie crescatoare si submodulara, atunci

P = {u ∈ Zn+|u(A) < ρ(A), (∀) A ⊂ [n]}

este un polimatroid discret.

11

Definitia 1.30. Fie P un polimatroid discret si ρ functia sa rang. Spunem ca multimea∅ 6= A ⊂ [n] este ρ-ınchisa daca pentru orice submultime B ⊂ [n] care contine strict pe Aavem ρ(A) < ρ(B).

Multimea ∅ 6= A ⊂ [n] se numeste ρ-separabila daca exista doua submultimi nevide A1

si A2 ale lui A cu A1 ∩ A2 = ∅ si A1 ∪ A2 = A astfel ıncat ρ(A) = ρ(A1) + ρ(A2). In cazcontrar, A se numeste ρ-inseparabila.

Teorema 1.31. (Edmonds) Fie P un polimatroid discret si ρ functia sa rang. Pentru∅ 6= A ⊂ [n] definim hiperplanul HA ⊂ Rn,

HA = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|∑i∈A

xi = ρ(A)}.

In plus, pentru fiecare i ∈ [n] dehinim hiperplanul H i ⊂ Rn,

H i = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|xi = 0}.

Atunci, hiperplanele suport ale polimatroidului ıntreg conv(P) ⊂ Rn+ sunt H i ∩ conv(P),

unde i = 1, . . . n si HA ∩ conv(P), unde A parcurge multimea submultimilor ρ-ınchise siρ-inseparabile ale lui [n].

Un rezultat fundamental legat de polimatroizi discreti, este urmatoarea teorema:

Teorema 1.32. (Teorema de schimb simetric a bazei) Daca u = (u1, . . . , un) siv = (v1, . . . , vn) sunt vectori baza pentru un polimatroid discret P, atunci pentru fiecareindice i cu ui > vi, exista un indice j cu uj < vj astfel ıncat u− ei + ej si v + ei − ej suntvectori baza.

Demonstratie. Notam B′ multimea bazelor lui w ∈ P cu u ∧ v ≤ w ≤ u ∨ v. Evidentmultimea B′ satisface conditia de schimb pentru polimatroizi. Deci exista un polimatroiddiscret P ′ ⊂ Zn

+ cu B′ ca multime a bazelor. Inlocuind pe u si v prin u′ = u − u ∧ v siv′ = v − u ∧ v, putem presupune ca P ′ ⊂ Zs

+ este un polimatroid discret cu s ≤ n si

u = (a1, . . . , ar, 0, . . . , 0) ∈ Zs+, v = (0, . . . , 0, br+1, . . . , bs) ∈ Zs

+,

unde fiecare ai > 0 si fiecare bj > 0 si unde |u| = |v| = rang(P ′). Vrem sa demonstram capentru fiecare 1 ≤ i ≤ r exista un r+1 ≤ j ≤ s astfel ıncat atat u−ei +ej cat si v−ej +ei

sunt baze pentru P ′. Sa zicem, de exemplu, ca i = 1.

Cazul I. Presupunem ca u− e1 + ej sunt baze pentru P ′ pentru toti r +1 ≤ j ≤ s. Dinproprietatea de schimb rezulta ca, dand r ıntregi arbitrari a′1, . . . , a

′r cu 0 ≤ a′i ≤ ai exista

o baza w′ ∈ B(P ′) de forma w′ = (a′1, . . . , a′r; b

′r+1, . . . , b

′s), unde b′j ∈ Z cu 0 ≤ b′j ≤ bj.

In particular, exista un j0 cu r + 1 ≤ j0 ≤ s astfel ıncat v− ej0 + e1 este o baza pentruP ′. Cum u− e1 + ej este o baza pentru P ′ pentru fiecare r + 1 ≤ j ≤ s, ın particular avemca atat u− e1 + ej0 , cat si v − ej0 + e1 sunt baze pentru P ′ asa cum doream.

12

Cazul II.Fie r ≥ 2 si r + 2 ≤ 2. Presupunem ca exista un j cu r + 1 ≤ j ≤ s cuu−e1+ej /∈ P ′. Notam X ⊂ {r+1, . . . , s} multimea acelor indici j pentru care u−e1+ej /∈P ′. Reamintim ca din teorema 1.28 stim ca conv(P ′) ⊂ Rs

+ este un polimatroid ıntreg cuconv(P ′)∩Zs = P ′. Fie ρ = ρP ′ functia rang a lui P ′. Atunci ρ(Y ) = max{w(Y )| w ∈ B′}pentru ∅ 6= Y ⊂ [s] si ρ(∅) = 0. In particular, ρ(Y ) = u(Y ) daca Y ⊂ {1, . . . , r} siρ(Y ) = v(Y ) daca Y ⊂ {r + 1, . . . , s}.

Devreme ce u−e1 +ej /∈ conv(P ′), rezulta ca pentru fiecare j ∈ X, exista o submultimeAj ⊂ {2, 3, . . . , r} cu ρ(Aj ∪ {j}) ≤ u(Aj). Atunci:

ρ{2, 3, . . . , r} ∪ {j} ≤ ρ(Aj ∪ {j}) + ρ({2, 3, . . . , r} \ Aj) ≤

≤ u(Aj) + u({2, 3, . . . , r} \ Aj) = u({2, 3, . . . , r}) = ρ({2, 3, . . . , r}).

Deci pentru j ∈ X, avem ρ{2, 3, . . . , r}∪{j} = ρ({2, 3, . . . , r}). Din [7, Lema 1.3.3] rezultaca ρ({2, 3, . . . , r} ∪X) = ρ({2, 3, . . . , r}). Dar cum ρ este submodulara, avem:

ρ({2, 3, . . . , r} ∪X) + ρ({1} ∪X) ≥ ρ(X) + ρ({1, 2, . . . , r} ∪X) = v(X) + rang(P ′).

Deci u({2, 3, . . . , r}) + ρ({1} ∪X) ≥ v(X) + rang(P ′). Pe de alta parte, cum avem:

rang(P ′)− u({2, 3, . . . r}) = a1 si ρ({1} ∪X) ≤ ρ({1}) + ρ(X) = a1 + v(X)

rezulta ca ρ({1}∪X) = a1 +v(X). Prin urmare, pentru toate submultimile X ′ ⊂ X, avem:

a1 + v(X) = a1 + v(X ′) + v(X \X ′) = ρ({1}) + ρ(X ′) + ρ(X \X ′) ≥

≥ ρ({1} ∪X ′) + ρ(X \X ′) ≥ ρ({1} ∪X) = a1 + v(X).

Deci, pentru toate submultimile X ′ ⊂ X, avem:

ρ({1} ∪X ′) = a1 + v(X ′).

In virtutea lemei 1.26, exista o baza w a lui P ′ cu w1 = a1 si cu wj = vj = ρ({j})pentru toti j ∈ X. Iarasi, din proprietatea de schimb pentru w si v rezulta ca pentru fiecare1 ≤ i ≤ r cu wi > 0, exista un j ∈ {r + 1, . . . , s} \X astfel ıncat w − ei + ej este o bazapentru P ′. Aplicand recursiv acest procedeu, vom obtine ın cele din urma o baza w′ pentruP ′ de forma w′ = v − ej0 + e1, unde j0 ∈ {r + 1, . . . , r} \X. Dar atunci atat u − e1 + ej0

cat si v − ej0 + ei sunt baze pentru P ′, ceea ce termina demonstratia teoremei.

13

Definitia 1.33. O sublatice ın L ⊂ P([n]) este o coletie de submultimi ale lui [n] careverifica proprietatile:

• ∅ ∈ L, [n] ∈ L.

• Daca A, B ∈ L atunci A ∪B, A ∩B ∈ L.

O functie µ : L → R+ se numeste submodulara, daca:

µ(A) + µ(B) ≥ µ(A ∩B) + µ(A ∪B).

Propozitia 1.34. Fie L ⊂ P([n]) o sublatice si µ : L → Z+ o functie submodulara cuµ(∅) = 0. Atunci:

P = P(L,µ) = {u ∈ Zn+| u(A) ≤ µ(A), (∀) A ∈ L}

este un polimatroid discret, numit polimatroidul asociat sublaticei L si lui µ.

Demonstratie. Fie ρ : P([n]) → R+ functia crescatoare definita astfel:

ρ(X) := min{µ(A)| A ⊃ X, A ∈ L}, ρ(∅) = 0.

Atunci ρ este submodulara. Fie Pρ polimatroidul discret determinat de ρ. Deoarece X ⊂ [n]cu X /∈ L nu poate fi ρ-ınchisa, rezulta din teorema 1.29 ca:

Pρ = {u ∈ Zn+| u(A) ≤ ρ(A), (∀) A ∈ L}

Numai ca ρ(A) = µ(A) pentru A ∈ L din definitia lui ρ, deci obtinem ca P = Pρ este unpolimatroid discret.

Exemplul 1.35. (1) Fie L un lant de lungime n ın P([n]), de exemplu:

L = {∅, {n}, {n− 1, n}, . . . , {1, . . . , n}} ⊂ P([n]).

Considerand numerele a1, . . . , an ∈ N definim µ : L → R+ prin:

µ({i, i + 1, . . . , n}) := ai + ai+1 + · · ·+ an, 1 ≤ i ≤ n, µ(∅) = 0.

Atunci polimatroidul discret P = PL,µ ⊂ Zn+ este

P = {u = (u1, . . . , un) ∈ Zn+|

n∑j=1

uj ≤n∑

j=1

aj, 1 ≤ i ≤ n}.

14

O alta modalitate de constructie a polimatroizilor este data de urmatoarea propozitie:

Propozitia 1.36. Fie A = (A1, . . . , Ad) o familie de submultimi nevide, nu neaparatdistincte, ale lui [n]. Fie

BA = {ei1 + · · ·+ eid | ik ∈ Ak 1 ≤ k ≤ d} ⊂ Zn+

si definim functia crescatoare, ρA : P([n]) → R+, astfel:

ρA(X) := card({k| Ak ∩X 6= ∅}), unde X ⊂ [n].

Atunci functia ρA este submodulara, si BA este multimea bazelor polimatroidului discretPA ⊂ Zn

+ determinat de ρA.

Demonstratie. Pentru fiecare 1 ≤ k ≤ d, definim functia ρk : P([n]) → R+ prin:

ρk(X) =

{1, Ak ∩X 6= ∅0, Ak ∩X = ∅

.

Atunci ρk este crescatoare si submodulara. Consideram Pk ⊂ Zn+ polimatroidul discret

determinat de functia ρk. Atunci:

P = P1 ∨ · · · Pd = {x ∈ Zn+|x =

d∑k=1

xk, xk ∈ Pk}

este un polimatroid discret de rang d si functia rang a polimatroidului ıntreg conv(P) ⊂ Rn+

este ρ =∑d

k=1 ρk.Este evident ca:

ρ(X) = card{k| Ak ∩X 6= ∅}, pentru X ⊂ [n]

si deci multimea bazelor lui P coincide cu BA.

Definitia 1.37. Polimatroidul discret PA ⊂ Zn+ se numeste polimatroidul transversal

determinat de A.

15

Exemplul 1.38. Fie r1, . . . , rn ∈ [n] si consideram Ak = [rk] = {1, 2, . . . , rk}, unde1 ≤ k ≤ d. Notam prin min(X) = cel mai mic ıntreg care apartine lui ∅ 6= X ⊂ [n]. DacaA = (A1, . . . , Ad), atunci:

ρA(X) := ρA({min(X)}) = card({k| min(X) ≤ rk}).

Daca ∅ 6= X ⊂ [n] este ρA-ınchisa, atunci

X = {min(X), min(X) + 1, . . . , n}.

Fie ai = card({k|rk = i}) pentru i = 1, n. Atunci:

ρA({i, i + 1, . . . , n}) = ai + ai+1 + · · ·+ an, 1 ≤ i ≤ n.

Polimatroidul transversal P ⊂ Zn+ determinat de A este:

P = {u = (u1, . . . , un) ∈ Zn+|

n∑j=1

uj ≤n∑

j=1

aj ≤, 1 ≤ i ≤ n}.

Deci P coincide cu polimatroidul discret din exemplul 1.32. Sa mai facem observatia cadaca Pi este polimatroidul cu baza Bi = {e1, . . . , ei}, atunci

P = a1P1 ∨ · · · ∨ anPn.

Exemplul 1.39. Fie P ⊂ Z4+ polimatroidul discret de rang 3, constand din toti acei

vectori u = (u1, u2, u3, u4) ∈ Z4+ cu ui ≤ 2, pentru 1 ≤ i ≤ 4 si |u| ≤ 3. Atunci P nu este

transversal.Intr-adevar, sa presupunem prin absurd ca P este polimatroidul transversal determinat

de A = (A1, A2, A3) cu fiecare Ak ⊂ [4]. Deoarece avem (2, 1, 0, 0), (2, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 1) ⊂ Psi (3, 0, 0, 0) /∈ P, putem presupune ca 1 ∈ A1, 1 ∈ A2 si A3 = {2, 3, 4}.

Pentru ca (1, 2, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 2, 0, 1) ⊂ P si (0, 3, 0, 0) /∈ P, presupunem ca 2 ∈ A1

si A2 = {1, 3, 4}.Dar din (0, 0, 2, 1) ∈ P si (0, 0, 3, 0) /∈ P avem 4 ∈ A1. Numai ca de aici ar rezulta ca

(0, 0, 0, 3) ∈ P ceea ce e o contradictie.

16

2 Polimatroizi cu proprietatea de schimbare tare

Definitia 2.1. Daca P ⊂ Zn este un polimatroid discret cu multimea baza B = B(P),spunem ca B verifica conditia tare de schimbare a bazelor, daca:

(T) (∀) u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn) ∈ B, atunci pentru toti indicii i si j astfelıncat ui > vi si uj < vj avem u− ei + ej ∈ B.

Definitia 2.2. Fie s1, s2, . . . , sn si d numere naturale. Polimatrodul cu baza

B(V ) = {u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Zn+| 0 ≤ ui ≤ si si |u| = d}

se numeste de tip Veronese. Daca si ≤ 1, V se numeste Veronese liber de patrate.

Definitia 2.3. Doua multimi A, B ⊂ Rn se numesc izomorfe, daca exista un izomorfismafin φ : Rn → Rn astfel ıncat φ(A) = B.

Exemplul 2.4. 1. Matroizii si polimatroizii de tip Veronese satisfac conditia tare deschimbare a bazelor. Intr-adevar, daca u, v ∈ B(V ) cu ui > vi si uj < vj. atunciui − 1 ≥ 0 si uj + 1 ≤ vj ≤ sj, si prin urmare u− ei + ej ∈ B(V ).

2. Polimatroidul {(2, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 1), (3, 1, 0), (4, 0, 0)} satisface conditia de schim-bare tare a bazelor, dar nu este de tip Veronese. In schimb el este izomorf cu unpolimatroid de tip Veronese, fapt ce rezulta din teorema urmatoare. Mai precis, eleste izomorf cu {(0, 1, 1), (0, 2, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 0, 0)} prin translatia cu vec-torul (−2, 0, 0).

3. Matroidul M = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0)} nu satisface conditiatare de schimbare a bazelor, deoarece considerand u = (1, 0, 1, 0) si v = (1, 1, 0, 0)desi u3 > v3 si u4 < v4, u− e3 + e4 = (1, 0, 0, 1) nu este baza ın M.

Teorema 2.5. Fie P un polimatroid cu proprietatea de schimb tare (T). Atunci B(P) esteizomorfa cu multimea bazelor unui polimatroid de tip Veronese.

Demonstratie. Fie [n] multimea de baza a lui P si d rangul sau. Notam ρ functia sa rang.Presupunem ca pentru un A cu |A| = n − 1, sa zicem A = {1, . . . , n − 1}, avem

c = ρ(A) < ρ([n]). Atunci pentru orice u ∈ B(P) rezulta ca un ≥ d − c. Fie translatiaτ : Rn → Rn , τ(v) = v − (d − c)en pentru v ∈ Rn. Atunci B′ = τ(B(P)) este multimeabazelor unui polimatroid discret P ′ de rang c, pe multimea de baza [n]m a carui functierang ρ′ satisface ρ′([n]) = ρ(A).

Deoarece B(P ′) este afin izomorfa cu B(P) putem presupune de la bun ınceput ca:(∗)ρ(A) = ρ([n]) pentru orice A ⊂ [n] cu |A| = n− 1.

E suficient sa demonstram ca nu exista nici o multime A, ρ-ınchisa si ρ-inseparabila cu2 ≤ |A| ≤ n−2. Demonstratia acestui fapt va implica automat concluzia teoremei noastre,deoarece atunci, singurele hiperplane care definesc fatetele lui P ın afara hiperplanelorxi = 0 si x([n]) = d sunt cele de forma xi = ai (vezi teorema 1.29). Dar un astfel depolimatroid discret este de tip Veronese.

17

Pentru a demostra afirmatia de mai sus putem presupune mai ıntai ca A = [k] cu2 ≤ k ≤ n−2. Pentru u ∈ P notam π1(u) = (u1, . . . , uk) si π2(u) = (uk+1, . . . , un). Aratampentru ınceput:

(a) Exista elementele u, v ∈ B(P) cu u(A) = v(A) si π1(u) 6= π1(v).De fapt, din lema 1.24 rezulta ca exista pentru fiecare i = 1, . . . , k un element ui ∈ P

cu:ui = ρ({i}), ui(A) = ρ(A), ui([n]) = ρ([n]).

Ultima ecuatie ne spune ca ui ∈ B(P).Presupunem ca π1(u1) = π1(u2) = · · · = πk(uk). Atunci ρ(A) =

∑ki=1 ρ({i}), o

contradictie deoarece A este ρ-inseparabila. Deci (a) este demonstrat.In continuare afirmam ca:(b) Exista elementele u, v ∈ B(P) cu u(A) = v(A) si π2(u) 6= π2(v).Folosind iarasi lema 1.24 rezulta ca exista pentru orice i = k + 1, . . . , n un element

ui ∈ P cuui(A) = ρ(A), ui([n] \ {i}) = ρ([n] \ {i}), ui([n]) = ρ([n]).

Ultima ecuatie implica faptul ca toti ui ∈ B(P), ın timp ce din presupunerea (∗) si din adoua ecuatie rezulta ca ui(i) = 0 pentru i = k + 1, . . . , n. Sa presupunem ca π2(uk+1) =· · · = π2(un). Atunci obtinem ca ρ(A) = ρ([n]) ceea ce e absurd din moment ce A esteρ-ınchisa.

Fie H = {u ∈ B(P)| u(A) = ρ(A)}. Consideram doua cazuri:Cazul 1: π1(u) = π1(v) ⇒ π2(u) = π2(v) pentru orice u, v ∈ H.Din (b) exista u, v ∈ H cu π2(u) 6= π2(v). Deci ın acest caz π1(u) 6= π1(v) de asemenea.Cazul 2: Exista u, v ∈ H cu π1(u) = π1(v) si π2(u) 6= π2(v).Din (a) reiese ca exista w ∈ H cu π1(w) 6= π1(u)(= π1(v)). Atunci ori π2(w) 6= π2(u)

ori π2(w) 6= π2(v).Prin urmare, ın ameble cazuri am gasit u, v ∈ H cu π1(u) 6= π1(v) si π2(u) 6= π2(v).Deoarece π1(u) 6= π1(v) atunci exista i ∈ [k] cu ui > vi. Deoarece u, v ∈ H rezulta

ca u([k + 1, n]) = v([k + 1, n]). Pentru ca π2(u) 6= π2(v) rezulta ca exista j ∈ [k + 1, n]astfel ıncat uj < vj. Proprietatea (T ) implica v′ = v + ei − ej ∈ B(P). Aceasta este ınsa ocontradictie deoarece v′(A) = ρ(A) + 1!

Definitia 2.6. Notam V dn = {u ∈ Zn

+| |u| = d}. Fie u, v ∈ V dn . Atunci multimea:

[u, v] := {w ∈ V dn | min{ui, vi} ≤ w(i) ≤ max{ui, vi}, (∀)i}

se numeste intervalul dintre u si v.

Urmatoarea caracterizare a polimatroizilor discreti care satisfac (T ) este de asemeneaextrem de importanta:

18

Propozitia 2.7. Presupunem ca B este o multime de vectori ıntregi din Zn+ de lungime

d. Atunci B este multimea bazelor unui polimatroid discret care satisface proprietatea (T )daca si numai daca B =

⋃u,v∈B[u, v].

Demonstratie. Presupunem ca B =⋃

u,v∈B[u, v] si fie u, v ∈ B astfel ıncat ui > vi siuj < vj. Deoarece u−ei+ej ∈ [u, v] rezulta ca u−ei+ej ∈ B. Deci B satisface proprietateade schimb tare (T ).

Reciproc, presupunem ca B este multimea bazelor unui polimatroid discret care satis-face proprietatea (T ). Reamintim definitia distantei dintre vectorii u si v:

d(u, v) =1

2

n∑i=1

|ui − vi|.

Pentru a demonstra ca [u, v] ⊂ B facem inductie dupa p = d(u, v). In cazul cand p = 1avem 2 =

∑ni=1 |ui − vi|. Deoarece u([n]) = v([n]) trebuie sa avem doi indici diferiti i

si j astfel ıncat ui = vi + 1, vj = uj + 1 si uk = vk pentru k 6= i, j. Rezulta atunci cav = u− ei + ej, iar intervalul [u, v] = {u, v} si deci evident [u, v] ⊂ B.

Fie acum u, v ∈ B(P) cu d(u, v) = p > 1. Fara a restrange generalitatea putempresupune ca exista ıntregii l si m cu 1 ≤ l < m ≤ n astfel ıncat ui > vi pentru 1 ≤ i ≤ lsi uj < vj pentru l + 1 ≤ j ≤ m si uk = vk pentru k > m. Daca notam uij = u − ei + ej,atunci afirm ca:

[u, v] =⋃

1≤i≤l,l+1≤j≤m

[uij, v] ∪ {u}.

Aceasta afirmatie ıncheie demonstratia deoarece d(uij, v) = p − 1 si putem aplica ipotezade inductie.

Este evident ca reuniunea multimilor din partea dreapta este continuta ın [u, v]. Re-ciproc, fie w ∈ [u, v]. Putem presupune ca w 6= u, v. Atunci, deoarece d(u, w) ≥ 1, exista isi j cu 1 ≤ i ≤ l si l + 1 ≤ j ≤ m astfel ıncat ui − wi ≥ 1 si wj − uj ≥ 1. Deoarece:

uij(k) =

uk, pentru k 6= i, j

ui − 1, pentru k = i

uj + 1, pentru k = j

avem wi ≤ uij(k) si w(j) ≥ uij(j) si observam ca w ∈ [uij, v]. Cu aceasta, demonstratiaeste ıncheiata.

Corolarul 2.8. (Algoritm de constructie al polimatroizilor cu proprietatea (T ))Fie A1 = {u1, u2, . . . , uk} ⊂ Zn

+ o multime arbitrara de vectori ıntregi de modul d. Con-sideram A2 =

⋃1≤i<j≤k[ui, uj]. Daca A2 = A1 atunci din lema precedenta rezulta ca A1

este multimea bazelor unui polimatroid cu proprietatea (T ).In caz contrar, consideram A3 =

⋃u,v∈A2

[u, v]. In general, daca avem Ai cu Ai 6= Ai−1,consideram Ai+1 =

⋃u,v∈Ai

[u, v] si daca Ai+1 = Ai atunci Ai este multimea cautata. Cum

|Ai| < |Ai+1| si Ai ⊂ V dn rezulta ca acest procedeu este un algoritm!

19

Urmatorul exemplu va arata mai bine cum functioneza algoritmul prezentat anterior.

Exemplul 2.9. Fie u1 = (1, 2, 3) si u2 = (3, 1, 2) si vrem sa determinam cel mai micpolimatroid discret cu proprietatea (T ) si a carui multime a bazelor contine vectorii u1 siu2. Conform algoritmului si definitiei intervalului dintre doi vectori ıntregi avem:

A1 = [u1, u2] = {(1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (2, 2, 2)},

si u3 = (2, 1, 3), u4 = (2, 2, 2). Deoarece [u1, u3] = {u1, u3}

Algoritmul anterior ne arata ca ındata ce am dat o familie finita de vectori ıntregi deacelasi modul putem construi un cel mai mic polimatroid discret cu proprietatea (T ) acarui multime de baze contine familia data. Mai mult acesta este unic. Pare natural sane ıntrebam daca acest rezultat poate fi generalizat pentru un vector oarecare u ∈ Rn,ın sensul urmator: exista un cel mai mic polimatroid discret P cu proprietatea (T ), astfelıncat u ∈ conv(B(P))? Mai mult este acesta unic? Raspunsul afirmativ la aceste ıntrebarine este oferit de urmatoarea teorema.

Mai ıntai niste notatii:

• Daca x ∈ R, notam bxc cel mai mic ıntreg ≤ x. (Adica partea ıntreaga a lui x)

• Notam dxe cel mai mic ıntreg ≥ x.

Teorema 2.10. Fie u = (u1, u2, . . . , un) un punct fixat din Rn \ Zn cu |u| ∈ N, si astfelıncat u ≥ 0, si fie I = i ∈ [n]|ui /∈ Z. Atunci, ın raport cu incluziunea, exista si este unicun cel mai mic polimatroid discret Pu de rang d = u([n]) cu u ∈ conv(B(Pu)) care satisfaceproprietatea (T ). Mai mult, multimea bazelor B(Pu) ale lui Pu este izomorfa cu multimeabazelor matroidului uniform Uk,m unde k =

∑i∈I(ui − buic) si m = |I|.

Demonstratie. Pentru ınceput facem cateva notatii. Fie

B′ = {v ∈ Zn| vi ∈ {buic , dxe} pentru fiecare i ∈ [n] si v([n]) = u([n])},

Atunci B′ este multimea bazelor unui polimatroid discret Pu care satisface proprietatea(T ) si u ∈ conv(B′). Intr-adevar, daca v1, v2 ∈ B′ si i, j ∈ [n] astfel ıncat v1(i) > v2(i),v1(j) < v2(j), rezulta din definitia lui B′ ca i, j ∈ I si v1(i) = du(i)e, v1(j) = bu(j)c. Deciv1 − ei + ej ∈ B′ si prin urmare B′ satisface proprietatea (T ).

Submultimea Q a lui Rn definita de:

buic ≤ xi ≤ duie pentru fiecare i ∈ [n] si x([n]) = u([n]),

este un politop convex ıntreg a carui multime de varfuri este B′. Rezulta ca Q = conv(B′),si deoarece u ∈ Q deducem ca u ∈ conv(B′).

Pentru a dovedi unicitatea aratam ca pentru orice polimatroid discret P de rang d caresatisface proprietatea (T ) astfel ıncat u ∈ conv(B(P)) avem B′ ⊂ B(P). Fie B(P ) :=u1, . . . , uk. Atunci, u ∈ conv(B(P)) implica faptul ca u(i) =

∑kj=1 αjuj(i), pentru fiecare i

cu 1 ≤ i ≤ n, si pentru numerele reale pozitive α1, . . . , αk astfel ıncat∑k

j=1 αj = 1.

20

Afirm ca pentru fiecare i ∈ [n] exista numerele j, l ∈ {1, . . . , k} astfel ıncat uj(i) = buicsi ul(i) = duie. Intr-adevar, daca pentru orice i ∈ [n] am avea uj(i) > buic, (∀)j ∈{1, . . . , k}, atunci u(i) = buic + 1, ceea ce este o contradictie. Un argument similar nearata ca exista l ∈ {1, . . . , k} astfel ıncat ul(i) = duie.

Consideram acum translatia afina σ : Rn → Rn definita prin

σ(v) = v −n∑

i=1

(minj=1,...,k{uj(i)})ei.

Inlocuind u cu u′ := σ(u), B(P) cu σ(B(P)) si B′ cu σ(B′) putem presupune conformteoremei 2.5 ca B(P) este de tip Veronese definita astfel:

B(P) = {v|v(i) este un intreg cu 0 ≤ v(i) ≤ ai si |v| = d′}, unde

ai = maxj=1,...,k{uj(i)} −minj=1,...,k{uj(i)} si

d′ = d−n∑

i=1

(minj=1,...,k{uj(i)}).

Sa luam acum w ∈ B′. Atunci

w(i) = buic −minj=1,...,k{uj(i)} sau w(i) = duie −minj=1,...,k{uj(i)}

Obtinem prin urmare 0 ≤ w(i) ≤ ai pentru orice i, si deci w ∈ B(P). Prin urmare amdovedit existenta si unicitatea polimatroidului discret Pu care satisface proprietatea (T ), acarui multime de baze este B(Pu) = B′ si u ∈ conv(B(Pu)). Consideram acum translatiaafina τ : Rn → Rn definita de

τ(v) = v −n∑

i=1

(buic)ei.

Este usor de observat ca τ(B′) = B(Uk,m) cu k si m ca in enuntul teoremei.

Corolarul 2.11. Fie B(P) multimea bazelor unui polimatroid discret P. Atunci urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

(a) P satisface proprietatea (T),(b) Pentru orice u ∈ conv(B(P)) avem Pu ⊂ P.

Demonstratie. (a) ⇒ (b) rezulta din teorema anterioara. Pentru reciproca fie v1, v2 ∈ B(P).Fara a restrange generalitatea putem presupune ca exista ıntregii l si m cu 1 ≤ l < m ≤ nastfel ıncat v1(i) > v2(i) pentru 1 ≤ i ≤ l si v1(j) < v2(j) pentru l + 1 ≤ j ≤ m siv1(k) = v2(k) pentru k > m. Acum daca luam un numar real λ astfel ıncat

max1≤i≤j,l+1≤j≤m{1−1

v1(i)− v2(i)}, 1− 1v2(j)−v1(j)

} < λ < 1,

21

atunci u := λv1 + (1 − λ)v2 are urmatoarele proprietati: v1(i) − 1 < u(i) < v1(i) pentru1 ≤ i ≤ l, v1(j) < u(j) < v1(j)+1 pentru l+1 ≤ j ≤ m si u(k) = v1(k) pentru k > m. Dar uapartine segmentului de dreapta S dintre v1 si v2 si S ⊂ conv(B(P)), deci u ∈ conv(B(P)).Folosind ipoteza avem Pu ⊂ P . Acum este usor de observat ca v1 − ei + ej ∈ Pu pentruorice i, j astfel ıncat 1 ≤ i ≤ l si l + 1 ≤ j ≤ m, ceea ce ıncheie demonstratia.

Corolarul 2.12. Fie P o multime de polimatroizi discreti, toti de acelasi rang, care satisfacproprietatea (T ). Atunci urmatoarele conditii sunt echivalente:

(a)⋂

P∈P B(P ) 6= ∅(b)

⋂P∈P conv(B(P )) 6= ∅

Demonstratie. (a) ⇒ (b) este triviala. Pentru reciproca, fie u ∈⋂

P∈P conv(B(P )). Atunci,din teorema 2.10, B(Pu) ⊂ B(P ) pentru orice P ∈ P si deci obtinem concluzia dorita.

Corolarul 2.13. Fie P o multime de polimatroizi discreti, toti de acelasi rang care satisfacproprietatea (T ) si conditiile echivalente ale corolarului anterior. Atunci:⋂

P∈P

B(P ) = B(⋂

P∈P

P ) si conv(⋂

P∈P

B(P )) =⋂

P∈P

conv(B(P )).

Demonstratie. Prima egalitate reiese din conditia corolarului anterior, si anume aceea ca⋂P∈P B(P ) 6= ∅. Incluziunea conv(

⋂P∈P B(P )) ⊂

⋂P∈P conv(B(P )) este triviala. Re-

ciproc, fie u ∈⋂

P∈P conv(B(P )). Atunci din Teorema 2.10 avem B(Pu) ⊂ B(P ) pentruorice P ∈ P . De aici rezulta ca u ∈ conv(B(Pu)) ⊂ conv(

⋂P∈P B(P )).

Corolarul 2.14. Intersectia unei familii P de polimatroizi discreti care au proprietatea(T ) si

⋂P∈P B(P ) 6= ∅ este un polimatroid discret cu proprietatea (T ), a carui multime a

bazelor este intersectia bazelor polimatroizilor din familie.

Exemplul 2.15. (a) Intersectia polimatroizilor discreti nu este ın general un polimatroiddiscret, chiar daca au acelasi rang si intersectia bazelor lor nu este vida. Considerampolimatroizii discreti P1 si P2, ale caror multimi de baze sunt:

B(P1) = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)},B(P2) = {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1)}.

Atunci B(P1)∩B(P2) = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} nu satisface proprietatea de schimb, si prinurmare nu este multimea bazelor unui polimatroid discret.

(b) Conditia⋂

P∈P B(P ) 6= ∅ este esentiala, chiar daca orice P ∈ P satisface propri-etatea (T ). Fie P1, P2, P3 polimatroizi discreti, ale caror multimi de baze sunt:

B(P1) = {(2, 0, 2), (3, 0, 1), (2, 1, 1)},B(P2) = {(2, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1)},B(P3) = {(0, 2, 2), (0, 3, 1), (1, 2, 1)}.

Atunci P1, P2 si P3 satisfac proprietatea (T ), dar

P1∩P2∩P3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}nu este un polimatroid discret.

22

3 Ideale care au caturi liniare.

Definitia 3.1. Fie k un corp si S = K[X1, . . . , Xn] inelul de polinoame ın n variabile pestek. Fie I / S un ideal monomial. Notam G(I) = multimea generatorilor minimali ai lui I.

Se numeste acoperire cu varfuri a lui I o submultime de variabile W = {Xi1 , . . . , Xik}cu proprietatea ca I ⊂ (Xi1 , . . . , Xik). O acoperire minimala este o acoperire din care nu

putem extrage una mai mica. In acest caz, idealul P = (Xi1 , . . . , Xik) este un prim minimalasociat lui I.

Un ideal monomial se numeste nemixtat, daca toate acoperirile minimale ale lui I auacelasi cardinal. Daca S/I este Cohen-Macaulay, atunci I este nemixtat, deoarece toateprimele minimale ale lui I au aceiasi ınaltime h(I) care reprezinta tocmai numarul deelemente al unei acoperiri minimale. Mai mult, ın acest caz avem relatia:

dim(S/I) = n− h(I).

Definitia 3.2. Fie M un S-modul graduat finit generat. Consideram rezolutia libera grad-uata minimala a lui M:

. . . → ⊕jS(−j)βpj → ⊕jS(−j)βp−1,j → · · · → ⊕jS(−j)β0j → M → 0.

Numerele βij = βij(M) se numesc numerele Betti de bigrad ij ale modulului M .

βi(M) :=∑

j

βij(M)

se numeste al i-lea numar Betti al modulului M . Notam:

ti(M) = max{j|βij(M) 6= 0}.

Atunci, regularitatea Mumford-Castelnuovo a lui M este prin definitie:

reg(M) = max{ti(M)− i|i ∈ Z}.

Propozitia 3.3. Daca M este un S-modul graduat, atunci:

βij(M) = dimKTori(M, K)j, βi(M) = dimKTori(M, K).

Observatia 3.4. Regularitatea Mumford-Castelnuovo este o notiune care vine din geome-tria algebrica, unde este definita ın felul urmator: Daca K este un corp si F este un fasciculcoerent pe Pn

k , spunem ca F este m-regulat daca : H i(Pnk ,F(m− i)) = 0, (∀)i ≥ 1.

Echivalenta dintre cele doua definitii este clara atunci cand ın loc de modulul graduatM , consideram fasciculizatul sau M , iar S(d) se traduce prin OPn(d) etc. si reciproc.

Teorema lui Mumford ne spune ca exista o familie de polinoame Fp ∈ Z[T0, . . . , Tn]astfel ıncat orice fascicul coerent generat de p sectiuni globale este m-regulat, unde m =Fp(a0, . . . , an), ai fiind coeficientii polinomului Hilbert asociat lui F ın baza standard

(Xi

).

Algebric, aceasta teorema se traduce astfel: Oricare ar fi S-modului graduat M generatminimal de p elemente,

reg(M) = Fp(a1, . . . , an),

unde ai sunt coeficientii polinomului Hilbert al lui M .

23

Urmatoarea lema este similara cu ”depth-lemma”:

Lema 3.5. Daca 0 → N → M → P → 0 este un sir exact de S-module graduate finitgenerate, atunci:

• reg(M) ≤ max{reg(P ), reg(N)}.

• reg(N) ≤ max{reg(M), reg(P ) + 1}.

• reg(P ) ≤ max{reg(N)− 1, reg(P )}.

Demonstratie. Aplicam sirul lung exact al Tor-urilor, si obtinem

· · · −→ Tori+1(P, k) −→ Tori(N, k) −→ Tori(M, k) −→ Tori(P, k) −→ · · ·

de unde rezulta imediat afirmatia ceruta.

Definitia 3.6. Spunem ca un ideal monomial I /S are caturi liniare, daca exista o ordinepe multimea generatorilor minimali, u1, . . . , us, astfel ıncat:

(∀)2 ≤ j ≤ s, idealul (u1, . . . , uj−1) : uj este generat de variabile.

Lema 3.7. Fie I / S un ideal care are caturi liniare. Atunci:

reg(I) = max{grad(u)|u este un generator minimal pentru I}.

Demonstratie. Fie u1, . . . , us ca ın definitia de mai sus. Notam Ij = (u1, . . . , uj). Avematunci un sir exact:

0 −→ Ij−1 −→ Ij −→ Ij/Ij−1 −→ 0

Dar Ij/Ij−1∼= S/(Ij−1 : uj)(−grad(uj)). Cum reg(S/(Ij−1 : uj)) = 0 ⇒ reg(Ij/Ij−1) =

grad(uj), deci dintr-o lema anterioara, rezulta ca: reg(Ij) ≤ max{reg(Ij−1), grad(uj)}.Aplicand inductie dupa j = 2, s obtinem ceea ce doream.

Definitia 3.8. Spunem ca un ideal I admite o rezolutie liniara, daca admite o rezolutielibera 0 → Lp → Lp−1 → . . . → L0 → S/I → 0 ın care matricile aplicatiilor Li → Li−1

sunt formate din polinoame omogene de gradul 1 (i.e. forme liniare).

Lema 3.9. Fie M un S-modul graduat. Notam i(M) = min{i|Mi 6= 0} si ıl numim gradulinitial al lui M . Atunci M admite rezolutie liniara, daca si numai daca i(M) = reg(M).

Demonstratie. Faptul ca reg(M) = i(M) ne spune ca M e generat de elemente de acelasigrad si ca ın al i-lea termen al rezolutiei minimale graduate pentru M este S(−d− i)βi cud ≤ i(M), si deci matricile aplicatiilor corespunzatoare sunt formate din elemente omogenede gradul 1.Am demonstrat practic urmatoarea teorema:

Teorema 3.10. Daca I / S este un ideal monomial generat de monoame de acelasi gradcare are caturi liniare, atunci I admite rezolutie liniara.

24

Definitia 3.11. Fie I un ideal monomial care are caturi liniare ın raport cu ordineau1, . . . , us. Notam qj(I) numarul de generatori ai idealului (u1, . . . , uj−1) : uj. Notam q(I) =maxj(qj(I)).

Propozitia 3.12. [5, Corolar 1.6] Lungimea unei rezolutii libere minimale pentru S/I esteegala cu q(I) + 1. In particular, din Auslander-Buchsbaum, avem:

depth(S/I) = n− q(I)− 1.

Corolarul 3.13. S/I este Cohen-Macaulay ⇔ h(I) = q(I) + 1.

Demonstratie. S/I Cohen-Macaulay ⇔ dim(S/I) = depth(S/I) ⇔ n− h(I) = n− q(I)−1 ⇔ h(I) = q(I) + 1.

Exemplul 3.14. (1). Fie I = (a2b, abc, bcd, cd2). Atunci I are caturi liniare ın raport cuordinea generatorilor prezentata anterior. Intr-adevar:

(a2b) : abc = (a), (a2b, abc) : bcd = (a), (a2b, abc, bcd) : cd2 = (b).

(2). Exista ideale care admit rezolutii liniare, dar nu au caturi liniare. De exemplu, I =

idealul 2-minorilor matricii:

(a b cd e f

).

(3). Idealul I = (a2b, a2c, ac2, bc2, acd) are caturi liniare, si anume:

(b), (a), (a), (c, a),

avand ın particular rezolutie liniara. Insa idealul I2, nu are rezolutie liniara, deoarecerezolutia sa minimala este de forma:

→ S(−7)27 ⊕ S(−8) → S(−6)15 → I2 → 0.

In particular, I2 nu are caturi liniare.

25

4 Ideale polimatroidale.

Definitia 4.1. Un ideal monomial I / S se numeste (matroidal) polimatroidal daca sis-temul sau de generatori minimali G(I) corespunde bazei unei matroid (polimatroid). Maiprecis spus, avem proprietatea de ”interschimbare”:

(B) Oricare ar fi monoamele u = Xa11 · · ·Xan

n si v = Xb11 · · ·Xbn

n din sistemul minimalde generatori ai lui I, pentru fiecare i cu ai > bi exista un j cu aj < bj astfel ıncatxju/xi ∈ G(I).

Observatia 4.2. Din definitie, un ideal polimatroidal este un generat de monoame deacelasi grad!

Un ideal matroidal este un ideal polimatroidal generat de monoame libere de patrate.

Observatia 4.3. Fie u si v doua monoame de acelasi grad. Definim:

d(u, v) :=1

2

n∑i=1

|νi(u)− νi(v)|.

Sa observam ca d(u, v) este un numar natural. d(u, v) se numeste distanta dintre monoameleu si v. Se constata usor ca d verifica axiomele unei distante, adica:

• d(u, v) ≥ 0. d(u, v) = 0 ⇔ u = v

• d(u, v) = d(v, u)

• d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w)

oricare ar fi monoamele u, v si w de acelasi grad.

Lema 4.4. Fie I / S un ideal polimatroidal. Atunci, daca monoamele u = Xa11 · · ·Xan

n siv = Xb1

1 · · ·Xbnn sunt din G(I), avem proprietatea de schimbare simetrica a bazei:

(S) (∀)i cu ai < bi, exista un j cu aj > bj astfel ca Xiu/Xj ∈ G(I).

Demonstratie. Fixam i cu ai < bi. Presupunem ca exista un k 6= i astfel ca ak < bk. Atunci,din definitie, exista un l astfel ıncat w = Xlv/Xk ∈ G(I). Presupunem w = Xc1

1 · · ·Xcnn .

Cum l 6= i, rezulta ca ci = bi si deci d(u, w) < d(u, v).Repetand acest procedeu, cu w ın locul lui v, vom obtine dupa un numar finit de pasi

un monom w∗ = Xq1

1 · · ·Xqnn ∈ G(I) cu qi = bi si qj ≤ aj, (∀)j 6= i. Din motive de grad

(grad(u) = grad(w)), exista un j0 6= i cu qj0 < aj0 . Atunci, cum I este polimatroidal⇒ Xiu/Xj0 ∈ G(I), asa cum doream.

Observatia 4.5. Aceasta demonstratie este pur si simplu o traducere ın limbaj algebric ademonstratie privind schimbarea bazei unui polimatroid discret. Totusi este instructiv sa odam.

Definitia 4.6. Consideram M = multimea monoamelor din S = K[X1, . . . , Xn]. Evident,M ∼= Nn ca monoizi. Se numete ordine monomiala pe M, o relatie de ordine totala ≤compatibila cu structura de monoid si, ın plus, cu proprietatea ca Xi > 1.

26

Exemplul 4.7. In cele ce urmeaza ne vor interesa urmatoarele ordini monomiale:

• Ordinea lexicografica: u = Xa11 · · ·Xan

n <lex v = Xb11 · · ·Xbn

n

def⇔ a1 = b1, . . . ,ak−1 = bk−1 si ak < bk pentru un k = 1, n.

• Ordinea grad-lexicografica: u = Xa11 · · ·Xan

n <deglex v = Xb11 · · ·Xbn

n

def⇔ |a| < |b| sau|a| = |b| si u <lex v.

• Ordinea invers-lexicografica: u = Xa11 · · ·Xan

n <rev v = Xb11 · · ·Xbn

n

def⇔ an = bn, . . . ,ak+1 = ak+1,ak < bk pentru un k = 1, n.

• Ordinea invers-grad-lexicografica: u = Xa11 · · ·Xan

n <degrev v = Xb11 · · ·Xbn

n

def⇔ |a| <|b| sau |a| = |b| si u <rev v.

Propozitia 4.8. Un ideal polimatroidal I /S are caturi liniare ın raport cu ordinea invers-lexicografica indusa de X1 > X1 > . . . > Xn. Mai precis spus, daca I este un idealpolimatroidal, iar G(I) = {u1, . . . , us} este sistemul sau minimal de generatori ordonatidescrecator u1 >rev u2 >rev . . . >rev us atunci idealul (u1, . . . , uj−1) : uj este generat de omultime de variabile.

Corolarul 4.9. Orice ideal polimatroidal admite rezolutii liniare (din teorema 3.3).

Demonstratie. Fie u ∈ G(I) un generator minimal. Consider idealul J = 〈w ∈ G(I)|w >rev u〉.Atunci, este evident ca avem relatia:

(J : u) = 〈v/[v, u]|v ∈ J〉 ,

unde [v, u] este cel mai mare divizor comun al monoamelor v si u. Morala: Pentru a demon-stra ca (J : u) este generat de monoame de gradul 1, este suficient sa aratam ca pentrufiecare monom v >rev u exista o variabila Xj ∈ (J : u) astfel ca Xj|v/[v, u].

Presupunem u = Xa11 · · ·Xan

n si v = Xb11 · · ·Xbn

n . Cum v >rev u din definitie rezulta caexista un ıntreg i ∈ 1, n astfel ıncat: an = bn, . . . , ai+1 = bi+1 si ai > bi. Cum I este unideal polimatroidal, rezulta ca exista un j cu bj > aj astfel ıncat u′ = Xju/Xi ∈ I. Cumj < i, rezulta u <rev u′ deci u′ ∈ H. Cum Xiu

′ = Xju ∈ J ⇒ Xj ∈ (J : u). Totodata,

exponentul ın Xj al lui v/[v, u] este bj − min{bj, aj} = bj − aj > 0 deci Xj|v/[v, u]. Inconcluzie, v/[v, u] = Xj si deci (J : u) este generat de variabile.

Notatii

• Daca u ∈ S este un monom, u = Xa11 · · ·Xan

n , notam νi(u) := ai.

• Daca u ∈ S este un monom, supp(u) = {Xi|ai 6= 0}.

27

Teorema 4.10. Daca I, J/S sunt ideale polimatroidale, atunci I ·J este ideal polimatroidal.In particular In este polimatroidal.

Demonstratie. Daca u si v sund doua monoame de acelasi grad, consideram

d(u, v) :=1

2

n∑i=1

|νi(u)− νi(v)|.

distanta dintre monoamele u si v.Fie u, u1 ∈ G(I) si v, v1 ∈ G(J). Presupunem νi(u1v1) > νi(uv) si atunci putem

presupune ın plus ca νi(u1) > νi(u). Atunci, din faptul ca I este polimatroidal, existaun numar j1 astfel ıncat νj1(u) > νj1(u1) si u2 = Xj1u1/Xi ∈ G(I). Mai mult, avemd(u2, u) < d(u1, u).

Daca νj1(v) ≥ νj1(v1) ⇒ νj1(uv) > νj1(u1v1), si

Xj1u1v1/Xi = u2v1 ∈ G(IJ).

Dar asta ınseamna ca IJ verifica (B) deci este polimatroidal.Presupunem ca νj1(v) < νj1(v1). Atunci exista un k1 cu νk1(v) > νk1(v1) si v2 =

Xk1v1/Xj1 ∈ G(J). De asemenea, avem d(v2, v) < d(v1, v).I.Daca νk1(u) > νk1(u2) ⇒ nuk1(uv) > νk1(u2v1) = νk1(Xj1u1v1/Xi). Deci, daca k1 6=

i ⇒ nuk1(uv) > νk1(u1v1) si am terminat, doarece:

Xk1u1v1/Xi = u2v2 ∈ G(IJ)

Iar daca k1 = i, atunci u1v1 = u2v2 si cum d(u2, u) < d(u1, u), d(v2, v) < d(v1, v) putemaplica un rationament recursiv pentru a termina demonstratia.

II.Mai avem de discutat cazul νk1(u) < νk1(u2). In acest caz, exista un j2 cu νj2(u) >νj2(u2) si u3 = Xj2u2/Xk1 ∈ G(I). Daca νj2(v) > νj2(v2) atunci νj2(uv) > νj2(u2v2) =νj2(Xk1u1v1/Xi). Daca j2 6= i atunci νj2(uv) > νj2(u1v1), si am terminat, deoarece:

Xj2u1v2/Xi = u3v2 ∈ IJ.

Pe de alta parte, daca j2 = i atunci u3v2 = u1v1 si prin inductie dupa distanta obtinemceea ce dorim (deoarece d(u, u3) < d(u, u1) si d(v, v2) < d(v, v1)).

Mai avem cazul νj2(v2) > νj2(v). Vom proceda dupa urmatorul rationament recur-siv, al carui primi pasi deja i-am facut anterior. Presupunem ca am construit deja sirurileXj1 , . . . , Xjr , Xk1 , . . . , Xjr−1 , si u1, . . . , ur ∈ G(I),v1, . . . , vr ∈ G(J) care verifica urmatoarele:

1. Xki−1|ui si Xji

|vi.

2. ui+1 = Xjiui/Xki−1

si vi = Xki−1vi−1/Xji−1

.

3. d(ui+1, u) < d(ui, u)(i ≤ r) si d(vi+1, u) < d(vi, u) (i < r).

4. νji(u) > νji

(ui) si νki(v) > νki

(vi).

28

Observam ca avem relatiile:

ur+1 = Xjr · · ·Xj1u1/(XiXk1 · · ·Xkr−1) si vr = Xkr−1 · · ·Xk1v1/(Xjr−1 · · ·Xj1).

Daca νjr(v) ≥ νjr(vr) atunci din 4 rezulta ca: νjr(uv) ≥ νjr(urvr) = νjr(Xkr−1u1v1/Xi).Atunci, daca jr 6= i ⇒ νjr(uv) ≥ νjr(u1v1) si am terminat, deoarece ın acest caz avem:

Xjru1v1/Xi = ur+1vr ∈ G(IJ).

Pe de alta parte, daca jr = i atunci u1v1 = ur+1vr si prin inductie dupa distanta obtinemceea ce dorim.

Altfel, νjr(v) < νjr(vr) deci exista un kr astfel ıncat νkr(v) > νkr(vr) si astfel ıncatvr+1 = Xkrvr/Xjr ∈ G(J). Mai mult, avem d(vr+1, v) < d(vr, v). Deci, elementele Xkr sivr+1 satisfac conditiile (1− 4).

Daca νkr(u) ≥ νkr(ur+1) atunci din 4 rezulta ca: νkr(uv) ≥ νkr(ur+1vr) = νlr(Xjru1v1/Xi).Atunci, daca kr 6= i ⇒ νkr(uv) ≥ νkr(u1v1) si am terminat, deoarece ın acest caz avem:

Xkru1v1/Xi = ur+1vr+1 ∈ G(IJ).

Pe de alta parte, daca kr = i atunci u1v1 = ur+1vr+1 si prin inductie dupa distanta obtinemceea ce dorim.

Altfel, νkr(u) < νkr(ur+1) deci exista un jr+1 astfel ıncat νjr+1(u) > νjr+1(ur+1) si astfelıncat ur+2 = Xjr+1ur+1/Xkr ∈ G(I). Mai mult, avem d(ur+1, u) < d(ur, u). Deci, elementeleXjr+1 si ur+1 satisfac conditiile (1− 4).

Aplicand recursiv acest procedeu, din conditia 3, odata si odata ne vom opri. Aceastademonstreaza teorema.

Teorema 4.11. Fie I si J doua ideale matroidale. Definim:

I ∗ J = 〈uv|u ∈ G(I), v ∈ G(J), uv liber de patrate〉 .

I ∗ J se numeste produsul liber de patrate al idealelor I si J . Atunci I ∗ J este un idealmatroidal.

Demonstratie. Analog cu teorema anterioara.

Exemplul 4.12. Un ideal generat de o multime de variabile este (poli)matroidal.

Exemplul 4.13. Fie d > 0 un ıntreg. Definim idealele:Vd = (Xα, |α| = d) idealul Venonese de grad d.V ′

d = (Xα, |α| = d, αi ≤ 1) idealul Venonese de grad d, liber de patrate.Atunci atat Vd cat si V ′

d sunt ideale polimatroidale (V ′d este chiar matroidal).

29

Exemplul 4.14. Consideram ın S = K[X1, X2, X3, X4, X5, X6], urmatorul ideal:

I = (X1X3, X1X4, X1X5, X1X6, X2X3, X2X4, X2X5, X2X6, X3X5, X3X6, X4X5, X4X6).

Atunci I este ideal matroidal si nemixtat, dar I nu este Cohen-Macaulay. Pentru ınceputsa arat ca I este un ideal matroidal: Aceasta o vom face prin verificare directa.

Comparam: u = X1X3 cu v = X1X4. Avem 1 = a3 > b3 = 0 si observam ca 0 = a4 <b4 = 1 si X4X1X3/X3 = X1X4 = v este un generator al lui I. Dealtfel, obtinem acelasilucru daca comparam monoame care au o variabila comuna.

Sa comparam: u = X1X3 cu v = X2X4. Pentru 1 = a1 > b1 = 0, avem 0 = a2 < b2 = 1si X2u/X1 = X2X3 este un generator al lui I. De asemenea, pentru 1 = a3 > b3 = 0avem 0 = a4 < b4 = 1 si X4u/X3 = X1X4 este un generator al lui I. Analog, putem face(de preferat sa utilizam un calculator) verificarile de rigoare pentru toti ceilalti generatoripentru a ne convinge ca avem de-a face cu un ideal matroidal.

Desigur, o alta metoda ar fi sa rescriem sistemul minimal de generatori ın limbaj desubmultimi ale lui [6] dar verificarile ar fi la fel de greoaie. Eu, cel putin, nu cunosc unalgoritm mai eficient pentru a verifica faptul ca un ideal e (poli)matroidal sau nu.

Faptul ca S/I nu este Cohen-Macaulay se poate arata direct, dar prefer sa aduc unargument combinatorial. Evident, I fiind generat de monoame libere de patrate de grad 2este idealul asociat unui graf G.

Consideram ∆(G) complexul simplicial asociat grafului G format din toate submultimileindependente din graful G. Idealul Stanley-Reisner a lui ∆(G), coincide cu idealul luiG, care este I, deci S/I este inelul Stanley-Reisner pentru ∆(G). Numai ca ∆(G) =

〈X1X2, X3X4, X5X6〉 nu este conex. Atunci, conform criteriului Reisner (H0(∆(G)) 6=0),∆(G) nu este Cohen-Macaulay, deci G nu este Cohen-Macaulay, deci S/I nu este Cohen-Macaulay.

����

������

����������

AA

AA

AA

AA

AA

HHHH

HHHHHH

@@

@@

@

HHHHHH

HHHH

��

��

�

������

����

1 4

2 3

5 6

Graful G. ��

��

�

@@

@@

@1 4

2 3

5 6

Complexul ∆(G).

Exemplul 4.15. Fie polimatroidul B(P) = {(2, 1, 1), (3, 0, 1), (2, 2, 0), (3, 1, 0), (4, 0, 0)}.Idealul polimatroidal asociat este I = (X2Y Z, X3Z,X2Y 2, X3Y, X4). Generatorii au fostalesi ın ordinea descrescatoare fata de ordinea rev-lex. Este usor de observat ca I are caturiliniare fata de aceasta ordine: (X2Y Z) : X3Z = (Y ), (X2Y Z, X3Z) : X2Y 2 = (Z),

(X2Y Z, X3Z,X2Y 2) : X3Y = (Y, Z), (X2Y Z, X3Z,X2Y 2, X3Y ) : X4 = (Y, Z).

30

5 Clasificarea idealelor polimatroidale Cohen-Macaulay

Lema 5.1. Daca I / S este un ideal polimatroidal Cohen-Macaulay care nu e principal,atunci

√I este un ideal de tip Veronese liber de patrate.

Demonstratie. Putem presupune ca⋃

u∈G(I) supp(u) = {X1, . . . , Xn}. Fie u ∈ G(I) un

monom cu |supp(u)| minimal. Reordonand variabilele, putem presupune ca:

supp(u) = {Xn−d+1, Xn−d+2, . . . , Xn}.

Consideram idealul J = 〈w ∈ G(I)|w >rev u〉. Din teorema 3.8 stim ca (J : u) este generatde o multime de variabile M ⊂ {X1, . . . , Xn}. Vom arata ca {X1, . . . , Xn−d} ⊂ M .

Pentru fiecare indice 1 ≤ i ≤ n − d, exista un monom din G(I) care se divide prinXi. Rezulta din proprietatea de schimbare simetrica a bazei (S) (lema 4.3) ca exista unj cu n − d + 1 ≤ j ≤ n astfel ca v = Xiu/Xj ∈ G(I). Cum v >rev u ⇒ v ∈ J . CumXiu = Xjv ∈ J ⇒ Xi ∈ (J : u) asa cum doream.

In particular, am obtinut q(I) ≥ n − d. Dar I este Cohen-Macaulay, deci ht(I) =q(I) + 1 ≥ n− d + 1. Altfel spus, orice ar fi submultimea de variabile W ⊂ {X1, . . . , Xn}cu |W | = d, multimea {X1, . . . , Xn} \ W nu poate fi o acoperire cu variabile a lui I. Deaici rezulta ca exista un monom w ∈ G(I) astfel ıncat supp(w) ⊂ W . Dar |supp(u)| esteminimal, de unde d = |W | ≥ |supp(w)| ≥ |supp(u)| = d. Dar atunci supp(w) = W !

In concluzie,√

I este generat de toate monoamele libere de patrate de grad d ın vari-abilele X1, . . . , Xn.

Teorema 5.2. (Teorema de clasificare a idealelor polimatroidale Cohen-Macaulay)Un ideal polimatroidal I / S este Cohen-Macaulay, daca si numai daca, este:

1. un ideal principal,

2. un ideal Veronese sau

3. un ideal Veronese liber de patrate.

Demonstratie. Conform lemei anterioare,√

I = Vd pentru un d ∈ {2, . . . , n − 1}. Cum Ieste Cohen-Macaulay, avem h(I) = h(

√I) = n− d + 1. Presupunem ca I nu este generat

de monoame libere de patrate (echivalent: fiecare monom din G(I) are gradul > d), altfelam avea I =

√I si s-ar termina.

Ca ın lema, aleg u ∈ G(I) un monom cu |supp(u)| minimal si presupun:

supp(u) = {Xn−d+1, Xn−d+2, . . . , Xn}.

Consideram idealul J = 〈w ∈ G(I)|w >rev u〉 despre care am vazut ın demonstratia lemeica (J : u) este generat de o multime de variabile cu {X1, . . . , Xn−d} ⊂ M .

Facem uratoarea presupunere:

(∗) (∃)v =n∏

i=1

Xbii ∈ G(I) cu bn−d+1 > an−d+1.

31

In acest caz, din lema de inteschimbare simetrica, exista j cu n − d + 1 < j ≤ n astfelca u0 = Xn−d+1u/Xj ∈ G(I). Cum u0 >rev u ⇒ u0 ∈ J si cum Xn−d+1u = Xju0 ∈ J ⇒Xn−d+1 ∈ M . Deci |M | ≤ n − d + 1. In particular, q(I) ≥ n − d + 1 = h(I), deci S/I nupoate fi Cohen-Macaulay.

In cele ce urmeaza vom examina presupunerea (∗) pentru a vedea cand este ındeplinitasi cand nu.

Pentru fiecare submultime cu d elemente,

σ = {Xi1 , Xi2 , . . . , Xid} ⊂ {X1, . . . , Xn},

exista un monom uσ ∈ G(I) cu supp(uσ) = σ. Daca exista doua submultimi cu d-elementeσ si τ ale lui {X1, . . . , Xn} astfel ca exista Xk ∈ σ ∩ τ cu ak < bk, (unde uσ =

∏Xai

i

si uτ =∏

Xbii ). Renumerotand variabilele, putem presupune σ = {Xn−d+1, . . . , Xn} si

k = n − d + 1. Dar asta ınseamna tocmai faptul ca (∗) este ındeplinita pentru u = uσ siv = uτ si deci I nu poate fi Cohen-Macaulay.

Presupunem ca (∗) nu este ındeplinita. Atunci, din rationamentul anterior, rezulta caexista un numar e ≥ 0, astfel ca pentru fiecare submultime cu d-elemente,

σ = {Xi1 , Xi2 , . . . , Xid} ⊂ {X1, . . . , Xn},

avem u = (Xi1Xi2 · · ·Xid)e ∈ G(I). Consideram monomul

w = Xn−dXe−1n−d+1(

n∏i=n−d+2

Xei ) ∈ G(I).

(w ∈ G(I) datorita proprietatii (S)). Consideram J = 〈v ∈ G(I)|v >rev w〉.Cum (Xn−dXn−d+1 · · ·Xn−1)

e ∈ G(I), folosind proprietatea de interschimbare, obtinemca w0 = Xn−dw/Xn ∈ J si w1 = Xn−d+1w/Xn ∈ J . Similar cu rationamente anterioare,obtinem ca Xn−d, Xn−d+1 ∈ (J : w), si deci (J : w) este generat de o multime de variabile Mcare contine {X1, . . . , Xn−d, Xn−d+1}. In concluzie, q(I) ≤ n− d + 1 si deci h(I) < q(I) + 1ceea ce este absurd.

Sa tragem o linie si sa vedem ce am obtinut. Mai ıntai sa remarcam faptul ca idealeleprincipale, idealele Vd si V ′

d sunt polimatroidale si Cohen-Macaulay simultan. Cazul 1 esteevident. 2 si 3 sunt evident polimatroidale. 2 si 3 sunt Cohen-Macaulay, deoarece ın ambelecazuri dim(S/I) = 0. Rationamentul de mai sus ne arata ca nu putem avea un alt idealpolimatroidal Cohen-Macaulay.

Exemplul 5.3. In particular, obtinem o noua demonstratie a faptului ca idealul dinexemplul 4.14 nu este Cohen-Macaulay.

32

6 Subalgebre polimatroidale

Definitia 6.1. Fie P ⊂ Zn un polimatroid discret si B = B(P) multimea sa baza. Con-sideram urmatoarele subalgebre ın K[X1, . . . , Xn]:

• K[P ] := K[XuT |u ∈ P ] ⊂ K[X1, . . . , Xn, T ] subalgebra care se numeste inelul Erhartal lui P.

• K[B] := K[Xu|u ∈ B] subalgebra multimii baza a polimatroidului P .

Fie ξ : K[Tu|u ∈ B] → K[B], Tu 7→ Xu surjectia canonica. ξ este un morfism grad-uat, punand grad(Tu) := |u|. Ker(ξ) := IB se numeste idealul toric al subalgebrei K[B].(Analog putem defini IP idealul toric pentru K[P ])

In teoria matroizilor exista urmatoarea conjectura celebra a lui White care spune caidealul IB al unui matroid cu multimea bazelor B este generat de relatii de schimb simetric,adica de binoamele de forma TuTv − Tu−ei+ej

Tv−ej+ei, dupa toti u, v ∈ B si toti indicii i, j

cu ui > vi, uj < vj. Se poate pune urmatoarea problema: Daca aceasta conjectura ar fiadevarata, ar fi ea valabila si pentru polimatroizi? Raspunsul este afirmativ. O a douaproblema: In ce conditii particulare putem spune cu certitudine ca idealul IB e generatde relatii de schimb simetric. Si aceasta problema are o rezolvare partiala ın articolul”Discrete polymatroids” al lui Herzog si Hibi. Dar ınainte sa dam rezultatele, trebuie sadefinim operatorul de sortare al lui Sturmfels.

Definitia 6.2. Fie P un polimatroid discret de rang d cu multimea bazelor B = B(P). Fieu, v ∈ B. Scriem T uT v = Ti1 · · ·Ti2d

cu i1 ≤ i2 ≤ · · · ≤ i2d. Definim u′ si v′ prin relatiile:

T u′ =d∏

j=1

T2j−1, respectiv T v′ =d∏

j=1

T2j.

In acest fel am definit o aplicatie,

sort : B ×B → Md ×Md, sort(u, v) := sort(u′, v′),

unde Md este multimea vectorilor ıntregi de modul d. Aplicatia sort se numeste operatorulde sortare (al lui Sturmfels). Desigur, nimic nu ne ımpiedica sa definim sort : Md×Md →Md ×Md dar pe noi ne intereseaza doar cazul prezentat.

Spunem ca multimea B este sortabila, daca Im(sort) ⊆ B ×B.O pereche (u, v) ∈ B × B se numeste sortata, daca (u, v) ∈ Im(sort) sau, echivalent,

daca sort(u, v) = (u, v). Din definitie, este clar ca (u, v) este sortata, daca si numai daca:

u1 + · · ·+ ui − 1 ≤ v1 + · · ·+ vi ≤ u1 + · · ·+ ui, pentru i = 1, . . . , n.

Daca (u, v) este sortat atunci u − v are componente de modul ≤ 1. Unui asemeneavector ıi atasam un sir de semne ”+”,”-” care citesc de la stanga la dreapta compoentelelui u−v cu +1, respectiv −1. De exemplu, lui (0, 1, 1, 0,−1,−1) i se ataseaza sirul ”++–”.

Exista o lema care caracterizeaza perechile sortate (u, v) ın raport cu sirul semnelorasociat si care poate fi usor demonstrata motiv pentru care o las ca exercitiu!

33

Lema 6.3. Urmatoarele conditii sunt echivalente:

1. (u, v) este sortata;

2. u− v este un vector cu componente ±1 si 0 si cu sirul semnelor +−+− · · ·+−.

Exemplul 6.4. (Exemple de perechi sortate)

• v = (1, 3, 2) si u = (2, 0, 4). T uT v = T1T32 T 2

3 T 21 T 4

3 = T1T1T1T2T2T2T2T3T3T3T3T3T3.De aici rezulta imediat ca T u′ = T1T1T2T3T3T3 si T v′ = T1T2T2T3T3T3,deci u′ = (2, 1, 3) si v′ = (1, 2, 3). Evident, (u, v) nu este o pereche sortata.

• v = (3, 0, 2, 0) si u = (2, 1, 1, 1) atunci T uT v = T 51 T2T

33 T4 si prin sortare obtinem

T u′ = T 31 T 2

3 si T v′ = T 21 T2T3T4, deci (u, v) = (u′, v′) ceea ce arata ca perechea (u, v)

este sortata. Ceea ce era de asteptat, datorita lemei anterioare!

Urmatoarea teorema a lui De Negri este foarte importanta si ne va conduce rapid sprerezultatele dorite.

Teorema 6.5. (De Negri) Presupunem ca B ⊂ Md este sortabila. Atunci IB are o bazaGrobner care consta ın relatii XuXv −Xu′Xv′ cu u, v ∈ B si (u′, v′) = sort(u, v).

Mai avem nevoie doar de o lema tehnica:

Lema 6.6. Fie P un polimatroid discret cu multimea bazelor B si u1, . . . , ud ∈ B. Atunci,prin schimbari ale bazelor, putem rescrie

∏dj Xuj

ca∏d

j Xvjcu |vj(i) − vk(i)| ≤ 1 pentru

toti i, j, k.

Demonstratie. Presupunem ca pentru niste i,k si l avem |uk(i)−vl(i)| ≤ 1. Fara sa pierdemgeneralitatea, putem presupune ca k = 1, l = 2 si u1(i) > u2(i). Din proprietatea de schimbsimetric, exista un j cu u2(j) > u1(j) astfel ıncat u1 − ei + ej, u2 − ej + ei ∈ B. Definim:

u′k :=

uk, pentru k 6= 1, 2

u1 − ei + ej, pentru k = 1

u2 − ej + ei, pentru k = 2.

Este evident ca u′1(i)− u′2(i) = u1(i)− u2(i)− 2 ≥ 0. Introducem numarul:

ci(u1, . . . , ud) :=∑

1≤k<l≤d

|uk(i)− ul(i)|.

Evident, avem urmatoarele relatii:

ck(u′1, . . . , u

′d) = ck(u1, . . . , ud), pentru k 6= i, j

ci(u′1, . . . , u

′d) < ci(u1, . . . , ud), si

cj(u′1, . . . , u

′d) ≤ cj(u1, . . . , ud).

In concluzie, putem aplica un argument inductiv dupa ci(u1, . . . , ud) ceea ce terminademonstratia teoremei.

34

Teorema 6.7. [2, Teorema 5.3] (a) Daca pentru fiecare matroid, idealul toric este generatde relatiile de schimb simetric, atunci acelasi lucru este adevarat pentru fiecare polimatroid.

(b) Daca P ⊂ Zn este un polimatroid discret cu multimea baza B = B(P) care satisfaceconditia tare de schimbare atunci idealul toric IB are baza Grobner patratica.

Mai mult, IB este generat de binoame de forma TuTv − Tu−ei+ejTv−ej+ei

, dupa totiu, v ∈ B si toti indicii i, j cu ui > vi, uj < vj.

Demonstratie. (a) Fie∏

j Xuj−

∏j Xvj

∈ IB. Aplicand lema anterioara, putem presupuneca pentru toti indicii j si k, toate componentele lui uj si uk si ale lui vj si vk difera cel mult

prin 1. Fie w =∑d

j=1 uj =∑d

j=1 vj. Pentru i = 1, . . . , n consideram numerele:

ai = min{uj(i)| j = 1, . . . , d} si bi = min{vj(i)| j = 1, . . . , d}.

Atunci uj(i) = ai sau uj(i) = ai + 1. Fie ki numarul indicilor j cu uj(i) = ai + 1. Atunci

w(i) =∑d

j=1 uj(i) = dai + ki. Cum 0 ≤ ki < d, tragem concluzia ca ai = bw(i)/dc. Inparticular, deducem ca ai = bi pentru i = 1, . . . , n.

Consideram ın cele ce urmeaza submultimea

B′ = {u ∈ B| ai ≤ u(i) ≤ ai + 1} ⊂ B.

Vectorii u1, . . . , un si v1, . . . , vn sunt din B′ care este o submultime ınchisa la schimbareabazelor.

Identificam pe B′ cu multimea bazelor unui matroid B′′ prin aplicatia

Zn+ 3 u 7→ u∗ = u− (a1, . . . , an) ∈ {0, 1}n.

Atunci relatiei∏

j Xuj−

∏j Xvj

∈ IB ıi corespunde o relatie∏

j Xu∗j−

∏j Xv∗j

∈ IB′′ . Din

ipoteza,∏

j Xu∗j−

∏j Xv∗j

∈ IB′′ se reduce la zero modulo IB′ deci si modulo IB.

(b)Impart demonstratia ın doi pasi:(i) Fie (u, v) ∈ B×B. In demonstratia punctului (a) am aratat ca printr-un numar finit deschimbari putem transforma perechea (u, v) ıntr-o pereche a carei diferente consta ın com-ponente ±1 si 0. Deci putem presupune ca perechea initiala (u, v) are aceasta proprietate.Cum u si v au acelasi modul, este evident ca secventa de semne are tot atatea semne de”+” , cat si de ”-”. Daca secventa nu ar fi de tipul dorit, adica ”+−+− · · ·+−”, atunciprintr-un numar finit de schimbari simetrice o aducem la aceasta forma. In concluzie, con-form lemei 6.3, putem presupune (u, v) sortabila. Dar atunci, din teorema 6.5 rezulta carelatiile de sortare genereaza pe IB.(ii)Printr-un numar finit de schimbari simetrice putem sorta orice pereche (u, v) ∈ B ×B.Rezulta ca relatiile sortate XuXv −Xu′Xv′ sunt de fapt niste combinatii liniare de relatiide schimb simetrice. Cum, din punctul (i) relatiile de sortare genereaza pe IB, rezulta ceeace doream.

O alta problema este aceea de a studia normalitatea inelelor K[P ] si K[B]. Raspunsulafirmativ este dat de urmatoarele teoreme:

35

Teorema 6.8. [2, Teorema 6.1] Daca P ⊂ Zn+ este un polimatroid discret, atunci subalge-

bra baza K[P ] este un inel normal.

Demonstratie. Fie C ⊂ Rn+1 conul polimatroidului P , adica

C = R+{(p, 1)|p ∈ conv(P)}.

Fie Q = C∩Zn+1. Q este un semigrup ın Zn+1 cu inelul semigrupal K[Q] = K[T uS|(u, i) ∈Q] ⊂ K[T1, . . . , Tn, S]. Din lema lui Gordan (conform [1][Propozitia 6.1.2]), rezulta ca K[Q]este normal.

Sa obsevam ca K[Q] este graduat cu grad(T uSi) := i. Notam cu A subalgebra pesteK a lui K[Q] generata de elemente de grad 1. Evident, A = K[T uS|u ∈ P] ∼= K[P ]. DeciK[P ] e normal!

Aceasta teorema are urmatoarea consecinta importanta:

Teorema 6.9. [2, Corolar 6.2] Subalgebra baza K[B] este un inel normal.

Demonstratie. Identificam pe K[B] ca subalgebra ın A ın mod natural prin K[B] =K[T uS|u ∈ B]. Observam ca K[B] este de fapt o retracta a lui K[P ] prin morfismulcanonic π : K[P ] → K[B].

Conform [1][Teorema 6.1.4], K[P ] este normal, daca si numai daca semigrupul S generatde {(u, 1)|u ∈ P} este normal. Asta ınseamna ca daca G este cel mai mic subgrup al luiZn+1 care contine pe S si daca ma ∈ S pentru niste m ∈ N si a ∈ G, atunci a ∈ S. Vomaplica acelasi criteriu pentru a arata ca K[B] este normal. Fie H subgrupul lui Zn+1 careconsta din perechile (u, i) cu |u| = id si fie T semigrupul generat de {(u, 1)|u ∈ B}. AtunciH ∩ G este cel mai mic grup care contine semigrupul T . Deci, daca ma ∈ T pentru unm ∈ N si a ∈ H ∩ G, atunci a ∈ S ∩ H = T , dupa cum doream. (Nu ınteleg nimic, dar”Vox Herzog, vox Dei!”)

Urmatoarea teorema ne da o comparatie ıntre proprietatile algebrice ale lui K[P ] sicele ale lui K[B].

Teorema 6.10. (a) Daca K[P ] are relatii patratice, sau admite o baza Grobner patratica,atunci si K[B] are aceleasi proprietati.

(b)Data o proprietate E. Presupunem ca K[B(P)] satisface proprietatea E pentru totipolimatroizii discreti. Atunci K[P ] de asemenea satisface proprietatea E pentru toti poli-matroizii discreti.

Demonstratie. (a) Am vazut deja ca putem gandi K[B] drept algebra de retracta pentruK[P ]. Voi demonstra doar ultima parte a asertiunii, primele doua fiind [11][Propozitia1.4,Corolarul 1.5], si ıntr-un caz chiar mai general.

Fie A ⊂ B o retracta de algebre torice graduate. Presupunem A = K[X1, . . . , Xn]/Isi B = K[X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym]/J cu idealele torice I, respectiv J continute ın patrateleidealelor maximale graduate corespunzatoare, si cu aplicatia de retractie π : B → A definitaprin π(Xi) = Xi si π(Yi) = 0.

36

Utilizam urmatorul rezultate de baze Grobner: Daca J are o baza Grobner G fata de oordine monomiala ” ≤ ”, si presupunem ca pentru to ci f ∈ G cu in(f) ∈ K[X1, . . . , Xn]avem f ∈ K[X1, . . . , Xn], atunci G′ = G ∩ K[X1, . . . , Xn] este o baza Grobner pentru I,cu ordinea indusa.

Cum B este toric, dintr-un rezultat clasic (vezi Villareal), stim ca idealul sa este generatde binoame. Presupunem deci ca f ∈ G cu f = m1−m2 si in(f) = m1 ∈ K[X1, . . . , Xn] sim2 /∈ K[X1, . . . , Xn]. Atunci m1 = π(f) ∈ I ceea ce este absurd, deoarece I este un idealprim. Morala este ca m2 ∈ K[X1, . . . , Xn]! De aici, obtinem ceea ce doream.

(b) Este suficient sa observam ca inelul K[P ] este izomorf cu K[T uSd−u|u ∈ P ] careeste inelul de baza al unui polimatroid. Concluzia este evidenta de aici!

Observatia 6.11. Stiut fiind faptul ca un inel semigrupal normal este Cohen-Macaulay,obtinem ca atat K[P ] cat si K[B] sunt Cohen-Macaulay. Se pune, desigur, problema de avedea ın ce conditii, inelele K[P ] si K[B] sunt Gorenstein, de exemplu. Dar aceasta esteo problema mult mai dificila. Prezint totusi cateva rezultate recente ale lui Herzog si Hibiprivind aceasta problema deschisa. Mai ıntai niste exemple.

Exemplul 6.12. (1) Fie P ⊂ Z3+ polimatroidul discret care consta ın toti vectorii u ∈ Z3

+

cu |u| ≤ 3. Inelul K[B] este subinelul Veronese din K[X, Y, Z]. Deci K[B] este Gorenstein.Pe de alta parte, se poate arata ca seria Hilbert pentru inelul Erhart, K[P ] este

H(λ) =1 + 16λ + 10λ2

(1− λ)4,

deci K[P ] nu e Gorenstein, deoarece coef. de grad maxim al numaratorului e diferit de0 6= 1.

(2) Fie P ⊂ Z3+ polimatroidul discret care consta ın toti vectorii u ∈ Z3

+ cu |u| ≤ 4.Atunci K[B] nu este Gorenstein, dar pe de alta parte, seria Hilbert pentru K[P ] este

H(λ) =1 + 31λ + 31λ2 + λ3

(1− λ)4,

deci K[P ] e Gorenstein.(3) Fie P ⊂ Z3

+ polimatroidul discret cu B(P) = {(1, 2), (2, 1)}. Atunci atat K[B] catsi K[P ] sunt Gorenstein.

Urmatoarea teorema ne da un criteriu concret pentru ca inelul K[P ] sa fie Gorenstein.Totusi ın demonstratia ei se folosesc rezultate importante din teoria politopilor convecsi,motiv pentru care nu o mai redau.

Teorema 6.13. [2, Teorema 7.3] Fie P ⊂ Zn+ un polimatroid discret cu e1, . . . , en ∈ P.

Fie ρ functia sa rang. Atunci inelul Erhart K[P ] este Gorenstein daca si numai daca existaun ıntreg δ ≥ 1 astfel ıncat

ρ(A) =1

δ(|A|+ 1)

pentru toate multimile A ⊂ [n] care sunt ρ-ınchise si ρ-inseparabile.

37

Cred ca acesta teorema va fi mai bine ınteleasa prin cateva exemple:

Exemplul 6.14. [2, Exemplul 7.3](1) Fie Pd

n ⊂ Zn+ polimatroidul discret Veronese de grad d, adica

Pdn = {u = (u1, . . . , un) ∈ Zn

+| |u| ≤ d}.

Notez, Bdn = B(Pd

n) multimea bazelor lui Pdn. Evident:

Bdn = {u = (u1, . . . , un) ∈ Zn

+| |u| = d}.

Functia rang ρ este constanta, ρ(A) = d, (∀)∅ 6= A ⊂ [n]. Deci [n] este singura multimeρ-ınchisa si ρ-inseparabila al lui [n]. Atunci, din teorema anterioara rezulta ca inelul K[Pd

n]este Gorenstein daca si numai daca d divide n + 1.

Sa mai observam ca inelul K[Bdn] este inelul Veronese de grad d si se stie ca acesta este

Gorenstein daca si numai daca d divide n.

(2) Fixam δ ≥ 1 cu δ|n + 1. Definim functia crescatoare ρ : P([n]) → R+,

ρ(A) := d(max(A) + 1)/δe

pentru toate submultimile ∅ 6= A ⊂ [n] si ρ(∅) = 0. Atunci ρ este submodulara. Intr-adevar, avem chiar mai mult: Daca A, B ⊂ [n] sunt nevide si max(B) ≤ max(A), atuncimax(A∪B) = max(A) si max(A∩B) ≤ max(B), deci ρ(A∪B) = ρ(A) si ρ(A∩B) ≤ ρ(B).

Daca ∅ 6= A ⊂ [n] este ρ-ınchisa, atunci A = [r] pentru un 1 ≤ r ≤ n cu δ|r + 1. Maimult, ın acest caz avem ρ(A) = (|A|+ 1)/δ. Notam d := (n + 1)/δ.

Fie P polimatroidul discret asociat lui ρ. Este usor de constatat ca

P = {u = (u1, . . . , un) ∈ Zn+| u1 + u2 + · · ·+ ui,δ−i ≤ i, i = 1, 2, . . . , d}.

Atunci, conform teoremei anterioare, K[P ] este Gorenstein. Mai mult, se poate arata caK[B] este Gorenstein daca si numai daca δ = n + 1.

(3)Fie ρ : P([n]) → R+, ρ(A) = |A|+ 1 pentru ∅ 6= A ⊂ [n] ımpreuna cu ρ(∅) = 0. Atunciρ este submodulara si toate submultimile nevide ale lui [n] sunt ρ-ınchise si ρ-inseparabile.Fie P ⊂ Zn

+ polimatroidul de rang n + 1 asociat lui ρ. Atunci inelul Erhart K[P ] esteGorenstein. Mai mult, cum multimea bazelor lui P este de fapt

B = B(P) = {(2, 1, . . . , 1), . . . , (1, . . . , 1, 2)},

si inelul K[B] este Gorenstein, deoarece este izomorf cu inelul de polinoame ın n variabile.

In continuare vom discuta conditii pentru ca inelul K[B] sa fie Gorenstein.

38

Definitia 6.15. Un polimatroid discret P ⊂ Zn+ se numeste generic, daca sunt ındeplinite

urmatoarele 3 conditii:

1. Fiecare baza u ∈ B(P) are ui ≥ 1, (∀)i;

2. F = conv(B(P)) este o fateta a lui conv(P);

3. F ∩HA este o fateta a lui F , unde

HA = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|∑i∈A

xi = ρ(A)}.

Observatia 6.16. Un polimatroid P este generic daca si numai daca sunt ındepliniteurmatoarele 3 conditii:

1. ρ este strict crescatoare.

2. dim(ϕ(F)) = n − 1, unde ϕ : Hn → Rn este ϕ(u1, . . . , un) = (u1, . . . , un−1), iar Hn

este hiperplanul de ecuatie {un = 0.

3. Fatetele lui ϕ(F) sunt

{u ∈ ϕ(F)| u(A) = ρ(A)} si {u ∈ ϕ(F)| u(A) = n− ρ([n] \ A)}, ∅ 6= A ⊂ [n− 1].

Teorema 6.17. (a) Fie n ≥ 3. Fie P ⊂ Zn+ un polimatroid discret de rang d si presupunem

ca e1, . . . , en ∈ P. Fie ρ : P([n]) → R+ functia sa rang. Daca P este generic si Gorenstein,atunci exista un vector α = (α1, . . . , αn−1) ∈ Zn−1

+ cu fiecare αi > 1 si cu d > |α|+ 1 astfelıncat:

ρ(α) =

{α(A) + 1, daca ∅ 6= A ⊂ [n− 1],

d− α([n] \ A) + 1, daca n ∈ A 6= [n].

(b) Reciproc, dat α = (α1, . . . , αn−1) ∈ Zn−1+ cu n ≥ 3 si fiecare αi > 1 si cu d > |α|+ 1 un

ıntreg, definind functia ρ ca mai sus, ımpreuna cu ρ(∅) = 0 si ρ([n]) = d, atunci:

• ρ este strict crescatoare si submodulara.

• Polimatroidul discret asociat lui ρ este generic.

• Inelul baza K[B] al lui P este Gorenstein.

Demonstratie. (a) Presupunem ca polimatroidul discret P ⊂ Zn+ de rang d este generic

si Gorenstein. Fie F = conv(B). Cum K[B] este Gorenstein, rezulta din teorema 6.13 caexista un ıntreg δ cu

δ(ρ(A)− (d− ρ([n] \ A))) = 2

pentru toate submultimile ∅ 6= A ⊂ [n− 1]. De aici rezulta ca δ = 1 sau δ = 2.

39

Daca δ = 2, atunci (2ρ({1})−1, . . . , 2ρ({n−1})−1) ∈ Zn−1+ este un vector care apartine

interiorului lui 2ϕ(F) (vezi notatiile anterioare). Cum K[B] e Gorenstein, rezulta ca∑i∈A

(2ρ({i})− 1) = 2ρ(A)− 1, ∅ 6= A ⊂ [n− 1]. Deci

ρ(A) =∑i∈A

ρ({i})− 1

2(|A| − 1), ∅ 6= A ⊂ [n− 1].

Cum n ≥ 3, rezulta ca ρ({1, 2}) /∈ Z ceea ce e absurd. Singurul caz posibil ramane aadarδ = 1. Definim ın acest caz:

αi = ρ({i})− 1 = d− ρ([n] \ {i}) + 1 > 1, pentru 1 ≤ i ≤ n− 1.

Atunci α = (α1, . . . , αn−1) ∈ Zn−1+ este unicul vector ıntreg din interiorul lui ϕ(F) ⊂ Rn−1

+

si ϕ(F)− α consta din acei vectori u = (u1, . . . , un) ∈ Rn−1+ cu

d− ρ([n] \ A)− α(A) ≤∑i∈A

ui ≤ ρ(A)− α(A), ∅ 6= A ⊂ [n− 1].

Cum P este generic, egalitatea dorita pentru ρ rezulta imediat. Mai mult, cum ρ([n−1]) =|α|+ 1 < ρ([n]) = d, avem d > |α|+ 1 asa cum doream.

(b) Cum fiecare alphai > 1 si cum d > |α|+ 1, rezulta ca 0 < ρ(A) < ρ([n]) = d pentrutoti ∅ 6= A ⊂ [n] cu A 6= [n]. Mai mult, ρ({i}) > 2 pentru 1 ≤ i ≤ n. Daca ∅ 6= A ⊂ B ⊂ [n]cu n /∈ A si n ∈ B, atunci

ρ(B)− ρ(A) = d− (α([n] \B) + α(A)) > d− |α| > 1,

deci ρ este strict crescatoare. Pentru a vedea ca ρ este submodulara, distingem urmatoareletrei cazuri:

Cazul I. Presupunem A, B ⊂ [n− 1] cu A 6= ∅ si B 6= ∅. Atunci

ρ(A) + ρ(B) = α(A) + α(B) + 2 = α(A ∪B) + α(A ∩B) + 2 = ρ(A ∪B) + ρ(A ∪B),

cu exceptia cazului cand A ∩B = 0.

Cazul II. Presupunem A, B ⊂ [n] cu n ∈ A 6= [n] si n ∈ B 6= [n]. Atunci:

ρ(A) + ρ(B) = 2d− (α([n] \ A) + α([n] \B)) + 2 =

= 2d− (α([n] \ (A ∩B)) + α([n] \ (A ∪B))) + 2 = ρ(A ∪B) + ρ(A ∪B),

cu exceptia cazului cand A ∪B = [n].

40

Cazul III. Presupunem A, B ⊂ [n] cu n ∈ A si n /∈ B, si ın plus A ∩ B 6= ∅ siA ∪B 6= [n]. Atunci avem:

ρ(A) + ρ(B) = d− α([n] \ A) + 1 + α(B) + 1 =

= d− α(([n] \ A) \B) + 1 + α(B \ ([n] \ A)) + 1 =

= d− α([n] \ (A ∪B)) + 1 + α(A ∩B) + 1 = ρ(A ∪B) + ρ(A ∩B).

Fie F = conv(B). Cum

ϕ(F) = {u ∈ Rn−1+ | α(A)− 1 ≤ u(A) ≤ α(A) + 1, ∅ 6= A ⊂ [n− 1]},

rezulta ca ϕ(F) − α ⊂ Rn−1+ consta ın toti acei vectori u = (u1, . . . , un−1) ∈ Rn−1

+ careverifica:

−1 ≤ ui1 + · · ·+ uik ≤ 1, 1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ ik ≤ n− 1.

Deci atunci (ϕ(F) − α) ∩ Zn−1 consta ın toti acei vectori v = (v1, . . . , vn−1) ∈ Zn−1+ care

verifica:−1 ≤ vi ≤ 1, (∀)i |{i| vi = 1}| ≤ 1, si |{i| vi = −1}| ≤ 1.

In particular, rezulta cbaza canonica din Rn−1, {e1, . . . , en−1} ⊂ ϕ(F)−α. Folosind criteriulEdmonds, rezulta ca F este o fateta ın conv(P).

Fie Hi1,...,ik ⊂ Rn−1 hiperplanul dat de ecuatia {xi1 + · · ·+ xik = 1.Fie H′

i1,...,ik⊂ Rn−1 hiperplanul dat de ecuatia {xi1 + · · ·+ xik = −1.

Hiperplanele de tip Hi1,...,ik si H′i1,...,ik

sunt toate hiperplanele suport ale lui F , indexatedupa 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n− 1.

Atunci vectorii ei1 , . . . , eik (respectiv −ei1 , . . . ,−eik) si ei1−ej(respectiv −ei1+ej

), undej ∈ [n−1]\{i1, . . . , ik} apartin fetei (ϕ(F)−α)∩Hi1,...,ik (respectiv (ϕ(F)−α)∩H ′

i1,...,ik).

Deci aceste fete sunt de fapt fatete ın (ϕ(F)− α).Morala e ca polimatroidul P este ın acest caz generic. Mai mult, cum inelul Erhart

K[ϕ(F) − α] este Gorenstein, dupa cum am demonstrat deja, rezulta ca si K[B] ∼=K[ϕ(F)− α] este Gorenstein.

Exemplul 6.18. (a) Fie n = 2 si a2 > a1 > 0 doi ıntregi. Fie P ⊂ Z2+ polimatroidul

discret de rang d constand ın acei vectori u = (u1, u2) ∈ Z2+ cu u1 ≤ a1,u2 ≤ a2 si

u1 + u2 ≤ d. Atunci este usor de observat ca P e generic daca si numai daca a1 < d,a2 < d si d < a1 + a2. Daca P este generic, atunci bazele sale sunt

B = B(P) = (a1, d− a1), (a1 − 1, d− a1 + 1), . . . , (d− a2, a2).

Conform teoremei, K[B] este Goreinstein daca si numai daca a1 + a2 = d + 1 saua1 + a2 = d + 2.

41

(b) Fie n = 3. Fie P ⊂ Z3+ un polimatroid discret de rang d cu multimea bazelor

B si cu functia rang ρ. Fie F = conv(B). Atunci ϕ(F) ⊂ R2+ consta ın acei vectori

u = (u1, u2) ∈ Z2+ care verifica relatiile:

d− ρ({2, 3}) ≤ u1 ≤ ρ({1}),

d− ρ({1, 3}) ≤ u2 ≤ ρ({2}),

d− ρ({3}) ≤ u1 + u2 ≤ ρ({1, 1}).

Atunci, este usor de constatat ca P este generic daca si numai daca:

0 < ρ({i}) < ρ({i, j}) < d, 1 ≤ i 6= j ≤ 3,

ρ({i}) + ρ({j}) > ρ({i, j}), 1 ≤ i 6= j ≤ 3,

ρ({i, j}) + ρ({j, k}) > d + ρ({j}), {i, j, k} = [3].

Mai mult, din teorema, daca P e generic, atunci K[B] e Gorenstein daca si numai daca:

ρ({i}) + ρ({j, k}) = d + 2, {i, j, k} = [3].

Definitia 6.19. O multime de vectori ıntregi S ⊂ Zn+ de modul d se numeste tare stabila

daca pentru orice u ∈ S si orice i ∈ [n] cu ui > 0 si orice j < i avem u− ei + ej ∈ S.O multime tare stabila se numeste principala daca exista un element u ∈ S astfel ıncat

S este cea mai mica multime tare stabila care contine pe u. In acest caz, u se numestegeneratorul Borel al lui S.

Exemplul 6.20. (Exemple de multimi tare stabile)

• S = {(3, 0, 1), (1, 3, 0), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (4, 0, 0)} este o multime tare stabila. Dar S nue multimea bazelor unui polimatroid discret deoarece luand u = (3, 0, 1) si v = (1, 3, 0)avem u1 = 3 > v1 = 1, u2 = 0 < v2 = 3 si u− e1 + e2 = (2, 1, 1) /∈ S.

• O multime tare stabila principala satisface conditia de schimb, deci e baza unui poli-matroid discret. In general ınsa, nu satisface conditia de schimb tare, de exemplu:

S = {(0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (2, 0, 0, 0)}.

• Multimile de tip Veronese sunt tari stabile cu generatorul Borel (0, . . . , 0, d).

• {(2, 1, 1), (3, 0, 1), (2, 2, 0), (3, 1, 0), (4, 0, 0)} este tare stabila cu generatorul Borel (2, 1, 1).

42

Teorema 6.21. Fie a = (a1, . . . , an) ∈ Zn+ cu an ≥ 1 si fie Ba multimea tare stabila

cu generatorul Borel (a1, . . . , an). Dupa cum am vazut, Ba este multimea bazelor pentruun polimatroid discret. Atunci inelul baza K[Ba] este Gorenstein, daca si numai daca severifica:

• a2 + · · ·+ an divide n si

• n−i+2ai+ai+1+···+an

= na2+···+an

pentru orice 3 ≤ i ≤ n cu ai−1 6= 0.

Demonstratie. Conform unei teoreme anterioare, inelul baza K[Ba] este izomorf cu inelulErhart al polimatroidului P ⊂ Zn−1

+ dat de acei vectori u = (u2, . . . , un) cu ui ≥ 0,2 ≤ i ≤ n si

∑nj=i uj ≤

∑nj=i aj pentru i = 2 si pentru toti 3 ≤ i ≤ n cu ai−1 6= 0. Cum

aceste inegalitati definesc fatetele lui P , rezultatul dorit iese imediat.Sa facem totusi observatia ca P este polimatroidul cu functia rang

ρ(A) =n∑

j=min(X)

aj, pentru ∅ 6= X ⊂ {2, . . . , n}.

Exemplul 6.22. In final, dau cateva exemple care sa clarifice teorema anterioara:

• Daca a = (0, 1, . . . , 1, 2) ∈ Zn+ atunci K[Ba] este Gorenstein. Intr-adevar, 1 + · · · +

1 + 2 = n divide pe n iar a doua conditie e ındeplinita automat deoarece nu avem ceverifica.

• Daca a = (0, 1, 0, 2, 0, 3) atunci K[Ba] este Gorenstein.

• Daca a = (0, . . . , 0, an) ∈ Zn+ atunci K[Ba] este Gorenstein daca si numai daca an

divide pe n.

O problema deschisa si interesanta ın combinatorica algebrica este aceea de a clasificapolimatroizii transversali care au inelul de baza Gorenstein.

43

Bibliografie

[1] Jurgen Herzog, Winfred Brunns ”Cohen-Macaulay Rings”, CambridgeUniversity Press 1998.

[2] Jurgen Herzog, Takayuki Hibi ”Discrete polymatroids”, Jurnal ofAlg.Comb.(2003)

[3] Jurgen Herzog, Takayuki Hibi ”Cohen-Macaulay polymatroidal ideals”

[4] Aldo Conca and Jurgen Herzog,”Castelnuovo-Mumford regularity ofproducts of ideals”, Collect.Math. 54(2003)

[5] Jurgen Herzog, Yukihide Takayama ”Resolutions by mapping cones”,Homology, Homotopy an Applications 4,No.2(2),(2002),277-294

[6] Marius Vladoiu ”Teza de doctorat”, iunie 2004

[7] J.G.Oxley,”Matroid theory”, Oxford University Press, Oxford, NewYork, 1992.

[8] R.H.Villareal ”Monomial Algebras”,Marcel Dekker,Inc.,New York 2001.

[9] B.Sturmfels ”Grobner Bases and Convex Polytopes”, A.M.S., Provi-dence, RI,1995.

[10] J.Edmonds ”Submodular functions, matroid, and certain polyhedra”,Gordon and Breach, New-York,1970,pag 69-87.

[11] H.Ohsugi,J.Herzog,T.Hibi, ”Combinatorial pure subrings”, Osaka,J.Math. 37(2000),745-757.

44

Cuprins

1 Matroizi si polimatroizi. 3

2 Polimatroizi cu proprietatea de schimbare tare 17

3 Ideale care au caturi liniare. 23

4 Ideale polimatroidale. 26

5 Clasificarea idealelor polimatroidale Cohen-Macaulay 31

6 Subalgebre polimatroidale 33

Bibliografie 44

Cuprins 45

45