cimpoeas/ Rezumat Studiul polimatroizilor constituie una din temele centrale ale combinatoricii آ¸si

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of cimpoeas/ Rezumat Studiul polimatroizilor constituie una din temele centrale ale combinatoricii...

  • UNIVERSITATEA BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

    (Catedra de Geometrie Complexă, Topologie şi Algebră Computaţională)

    Lucrare de dizertaţie

    Combinatorica şi algebra polimatroizilor discreţi

    Student: Cimpoeaş Mircea Coordonator: Conf.dr. Becheanu Mircea

    2 februarie 2005

  • Rezumat

    Studiul polimatroizilor constituie una din temele centrale ale combinatoricii şi ale algebrei combinatorice. De asemenea, acest domeniu este extrem de actual, fiind, printre altele, un subiect de teză de doctorat foarte bine apreciată (vezi [6, Vlădoiu])

    Polimatroizii discreţi sunt o generalizare naturală a matroizilor, noţiune de mult timp ı̂ncetăţenită ı̂n matematică. Mai precis spus, un polimatroid discret este un sistem de vectori din Nn care verifică anumite proprietăţi. Polimatroizii discreţi au o realizare geometrică şi există o legătură strânsă cu aceasta.

    În acestă lucrare ı̂mi propun să prezint combinatorica şi algebra polimatroizilor discreţi. De asemenea, accentul ı̂l pun ı̂n aplicarea aceastei teorii combinatorice ı̂n algebra comutativă, prin intermediul idealelor polimatroidale (Un ideal polimatroidal este un ideal monomial generat de monoame de acelaşi grad şi al cărui sistem mini- mal de generatori constituie baza unui polimatroid discret) şi al subalgebrelor poli- matroidale.

    Lucrarea este structurată ı̂n următoarele secţiuni. În prima secţiune, prezint definiţii şi rezultate preliminare privind matroizii şi polimatroizii. În a doua secţiune prezint o clasă specială de polimatroizi: polimatroizii care au proprietatea de schimb tare. În cea de-a treia secţiune, dau câteva rezultate algebrice privind idealele care admit câturi liniare (idealele polimatroidale vor fi un caz particular, după cum voi demonstra ı̂n secţiunea următoare). În cea de-a patra secţiune definesc noţiunea de ideal polimatroidal şi prezint câteva dintre proprietăţile elementare ale idealelor poli- matroidale. (Lema de schimbare a bazei; un ideal polimatroidal are câturi liniare; pro- dusul de ideale polimatroidale este polimatroidal) În a cincea parte a lucrării, demon- strez teorema de caracterizare a idealelor polimatroidale Cohen-Macaulay, arătând că acestea pot fi doar ı̂ntr-unul din trei cazuri precise. În fine, ı̂n ultima parte, prezint câteva rezultate fundamentale privind subalgebrele polimatroidale punând accentul pe cazul subalgebrelor Gorenstein care sunt departe de a fi clasificate complet.

    Ca materiale de bază ı̂n redactarea acestei lucrări, menţionez articolele ”Discrete polymatroids” pentru primul şi ultimul capitol şi ”Cohen-Macaulay polymatroidal ideals” pentru capitolele 4 şi 5, ambele redactare ı̂n colaborare de către Jürgen Her- zog şi Takayuki Hibi. De asemenea, folosesc teza de doctorat a lui Marius Vlădoiu, probabil cel mai bun specialist ı̂n teoria polimatroizilor din ţară. Celelalte materiale utilizate ı̂n redactarea acestui material sunt prezentate la ”Bibliografie”.

    Ţin să precizez că această teză de dizertaţie am scris-o pornind de la un referat de doctorat pe care l-am prezentat ı̂n decembrie 2004. Mulţumesc domnului Prof. dr.Dorin Popescu pentru sfaturile sale care m-au ı̂ncurajat să duc la bun sfârşit acel referat. Mulţumesc domnului Conf.Dr.Mircea Becheanu pentru că mi-a acceptat subiectul acestei lucrări. Mulţumesc şi pe această cale domnului cercetător Ionel Molnar pentru că m-a ı̂nvăţat să redactez ı̂n Latex. Nu ı̂n ultimul rând, mulţumesc prietenei mele (Emilia) pentru sprijinul ei moral.

    2

  • 1 Matroizi şi polimatroizi.

    Definiţia 1.1. Fie [n] = {1, 2, . . . , n} şi P([n]) = mulţimea submulţimilor lui [n]. Se numeşte matroid, orice familie nevidă M ⊂ P([n]) = 2[n] care verifică următoarele pro- prietăţi:

    1. Dacă F ∈M şi G ⊂ F ⇒ G ∈M.

    2. Dacă F, G ∈M şi |F | < |G| atunci (∃)x ∈ G a.̂ı. F ∪ {x} ∈ M.

    Elementele lui M se numesc mulţimi independente. O bază ı̂n M este o mulţime inde- pendentă maximală.

    Propoziţia 1.2. 1. Mulţimea bazelor luiM are proprietatea de interschimbare următoare: (B) Dacă B1 şi B2 sunt două baze ale lui M şi x ∈ B1 \B2, atunci există y ∈ B2 \B1 astfel că (B1 \ {x}) ∪ {y} este o bază ı̂n M. În particular, rezultă că orice două baze au acelaşi cardinal.

    2. De fapt, mulţimea bazelor lui M are proprietatea de interschimbare simetrică: (S) Dacă B1 şi B2 sunt două baze a lui M şi x ∈ B1 \B2, atunci există y ∈ B2 \B1 astfel că (B1 \ {x}) ∪ {y} şi (B2 \ {y}) ∪ {x} sunt baze ı̂n M.

    3. O mulţime B ⊂ 2[n] este mulţimea bazelor unui matroid M dacă şi numai dacă B verifică proprietatea (B).

    Exemplul 1.3. 1. Matroidul uniform, Un,k = familia tuturor submulţimilor cu cel mult k elemente ı̂n [n]. De exemplu, U3,2 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Un,k se numeşte şi matroid de tip Veronesse.

    2. Considerăm V un spaţiu vectorial peste un corp K şi S = {v1, v2, . . . , vm} o mulţime de vectori. Atunci M = mulţimea submulţimilor liniar independente din S este un matroid (numit matroid vectorial). Presupunem că S este un sistem de gen- eratori pentru V . Atunci bazele matroidului M sunt exact bazele spaţiului vectorial V conţinute ı̂n S. Faptul că M este matroid se traduce exact prin proprietatea de schimbare a bazelor unui spaţiu vectorial. De fapt, acest exemplu justifică denumirea de bază a mulţimilor maximale dintr-un matroid.

    3. Fie S o mulţime finită de puncte ı̂ntr-un spaţiu afin. Atunci familia submulţimilor afin independente ale lui S are structură de matroid.

    4. Dacă G este un graf pe mulţimea de vârfuri V şi cu muchiile E, atunci familia {F ⊂ E|F nu conţine nici un ciclu } este un matroid, numit matroidul ciclu al grafului G. De exemplu, dacă K3 este graful complet pe mulţimea de vârfuri V = [3], atunci matroidul ciclu asociat este U3,2.

    3

  • Observaţia 1.4. Un matroid este, ı̂n particular, un complex simplicial (asta spune punctul 1 al definiţiei unui matroid) aşa că toate consideraţiile privind complexele simpliciale rămân valabile şi pentru matroizi.

    Notaţii:

    • Notăm e1, . . . , en baza canonică din Rn (ei = (0, . . . , 1, . . . , 0)).

    • Pe Rn considerăm ordinea naturală ” ≤ ” (u ≤ v ⇔ ui ≤ vi, (∀)i ∈ [n]).

    • Dacă u, v ∈ Rn, notăm :

    u ∧ v = (min{u1, v1}, . . . ,min{un, vn})

    u ∨ v = (max{u1, v1}, . . . ,max{un, vn}).

    • Dacă u ∈ Rn, notăm |u| = ∑n

    i=1 ui.

    • Notăm Rn+ = {u = (u1, . . . , un) ∈ Rn|ui ≥ 0, (∀)i ∈ [n]}.

    • Notăm Zn+ = Rn+ ∩ Zn.

    Observaţia 1.5. Un matroid poate fi ı̂nţeles ca o familie de vectori ı̂n M ⊂ {0, 1}n care verifică proprietăţile:

    1. Dacă u ∈M şi v ∈ {0, 1}n astfel ı̂ncât v ≤ u atunci v ∈M.

    2. Dacă u = (u1, . . . , un) ∈ M şi v = (v1, . . . , vn) ∈ M cu |u| < |v| atunci există un număr i ∈ [n] cu ui = 0 şi vi = 1 şi u + ei ∈M.

    Această remarcă ne permite să introducem următoarea generalizare.

    Definiţia 1.6. Un polimatroid (geometric) ı̂n Rn+ este o mulţime compactă nevidă P ⊂ Rn+ care verifică proprietăţile:

    1. Dacă u ∈ P şi v ∈ Rn+ cu v ≤ u atunci v ∈ P

    2. Dacă u = (u1, . . . , un) ∈ P şi v = (v1, . . . , vn) ∈ P cu |u| < |v|, atunci există un număr i ∈ [n] cu ui < vi şi 0 < N < vi − ui astfel ı̂ncât u + Nei ∈ P.

    Un polimatroid (geometric) se numeşte ı̂ntreg, dacă vârfurile sale sunt vectori cu elemente ı̂ntregi. (Observaţie: Un polimatroid geometric este un politop.)

    Observaţia 1.7. Condiţia 2 poate fi rescrisă ı̂n limbaj laticeal, astfel:

    (∀)u, v ∈ P cu |u| < |v|, (∃)w ∈ P , astfel încât u < w < u ∨ v.

    4

  • Vectorii polimatroidului P se numesc vectori independenţi. O bază a unui polimatroid P ⊂ Rn+ este un vector independent maximal. Din condiţia 2, rezultă ca orice două baze ale unui polimatroid au acelaşi modul, notat

    rang(P) şi numit rangul polimatroidului P .

    Definiţia 1.8. Dacă P e un polimatroid, funcţia rang a lui P e o funcţie ρ : P([n]) → R+ definită prin:

    ρ(A) := max{v(A) = ∑ i∈A

    vi|v ∈ P},

    pentru orice ∅ 6= A ⊂ [n], şi ρ(∅) = 0.

    Propoziţia 1.9. Fie P un polimatroid pe mulţimea de bază [n] şi ρ funcţia sa rang. Atunci:

    • ρ e crescătoare: Dacă A ⊂ B ⇒ ρ(A) ≤ ρ(B).

    • ρ e submodulară: ρ(A) + ρ(B) ≥ ρ(A ∪B) + ρ(A ∩B).

    Mai mult, P = {x ∈ Rn+|x(A) ≤ ρ(A), A ⊂ [n]}, unde x(A) = ∑

    i∈A xi. Reciproc, dată o funcţie crescătoare şi submodulară ρ : P([n]) → Rn+ cu ρ(∅) = 0,

    mulţimea compactă P = {x ∈ Rn+|x(A) ≤ ρ(A), A ⊂ [n]}

    este un polimatroid pe mulţimea bază [n] având pe ρ drept funcţie rang.

    Observaţia 1.10. Un polimatroid P ⊂ Rn+ este un politop convex ı̂n Rn+. Mai mult, mulţimea bazelor lui P este o faţă a lui P cu hiperplanul suport:

    H(P) = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn+| n∑

    i=1

    xi = rang(P)}.

    Se pune problema: Cum putem găsi vârfurile unui polimatroid? Un răspuns complet ni-l oferă urma