Parabola Cubica Imbunatatita - ing Radu Constant In, CFDP - Copy

5/12/2018 Parabola Cubica Imbunatatita - ing Radu Constant In, CFDP - Copy

1/18

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTIIBUCURESTI ,., .

. . . . ' .

PARABOLA CUBICAiMBUNATATITA

Prof.dr.ing.C-tin Radu


2/18

CUPRINSI. DEDUCEREA ECUA TfEI.n , RELA TfA DE LEGAnJRA iNTRE XI) . fi L.III. ELEMENTE NECESARE TRASARII PARABOLEICUBICE iMBUNATATITE.

111.1.Paatrarea razei.1 1 1 . 1 . 1 . Determ inarea ungh iului


3/18

-R-RC;q_o> -

PARABOLA CUBICA iMBUNATATITAI.DEDUCEREA ECUATIEl.Daca Ipornind de la ecuatiB clotoidei se considers ca : a) pentruintervalullnchis [0 I L} se accepts x = 8 ;b) se are 1n vedere numai primul termen din

ecuapa de definijie a clotoidei I atunci Isa obtine curba progresjv~ avand ecuapa :Y = x31 (S .xo .R ) (1)1n care (fig.1): R reprezmta raza cercului de pe traseul definitiv .iar ,Xo reprezinUl prolecaa curbei progresive pe aliniamentuJ initial.Sistemul rectangular de axe de coordonate are Ofiginea ln punctul principal AR.v

!. "

....-AR-M=s

,O '-RC=R ,. . . . . .

Fig.1. Par.boIa cubici.Pentru aceasta cuma progresiva: -In punctul AR> ordonata (y(xx;().derivata (Y'(Xd f i i curbura (y"(x)I (1+(Y'(X;!I~x::o sunt nule. Cu alte cuvinte:curoa progresiva ln discutie pomeste de pe aliniamentul initial din punctul AR Ieste tangenta la acest aliniament I jar raza de curoura 1n acest punct esteinfinita ; - 1n punetul principal RC - C8 punct

apal"\inind curbei progresive -ordonata (Yo). derivata(tg(tpo f / i curburQ.{11RRCse determina cu relaVile:(y(x) pentru x = X o) =Yo = ( X O ) ' J (SR ) ; (2)(y '(X ) , pentru x = J C o ) = tg(cpo) = xol (2R) (3)(y"(x)1[1"'(y'(x)ttVl, pentru x = X c) = 11(RRC ) == (1/R) I ( 1 + ( t g ( J ) o 1 1 31 2 (4)Se poate constata ca : 1n punctul principal RC - ca punet apartinlnd curbeiprogresive - curbura obtinuta cu relatia (4) este diferitA de curbura (1 1 R) ,aferentaarcului de Cere (situat 10 continuarea curbei progresrve) . Raportul curburilor (1 1 R)

~ (11 (RRC) rszuna egal cu:


4/18

3(1 1 RRe)1 (1/ R) = (1 + ( tg(cpo2r l f l

sau t prin lnlocuirea lui tg(cpo). egal cu :(11RRC ) 1(11 R) = - - + 1 - + (x o 1(2R2r3 12

(5)

(6)Pentru ~eliminarea acestei varialii de curbura s-a ales- ecuana curbeiprogrestve 1mbunatilite -de forma: 3 - --- y = A .x I (6 .xo .R ) . (7)

1n care A e-ste 0 .eonstanta , care .urmeaza a fi- determinata din condltla ca ,Ja sfAr~itul curbei progresive respective. sa nu mai existe vanane de curbura,Succesiv, rezulta :t(x) = A:cl (2.Xo.A) ~i y'lxg) = A.xJ (2.R)yn(x) = A xI ()C o.R ) ~i y"(xo) = A I R

PunAnd conditia de egalitate a cumurilor rezulta:(AIR) 1[1+ (A.Xo I (2.RlF = 1 I R , sau tA = [1 + (A .X o I (2.R:t1ll2 t

(8)

(9)Din rezolvarea scuatiei (9) sa poate ob~ne valoarea constant.ei A t pentruvalori Xo i R eunoscute. 0 solutte aproximativa se obtine atunei cAnd ,Inmembrul al doilea al -relatiei (9) Isa ia A;;;; 1 ; solutia aproximativil este -1n acestoaz- urmatoarea : A = [1 ... ( X o I( 2.R 2f2 .folo&jnd interpretarea geometrica a derivate. ,respectiv y'(xo) = tg(cpo) ,ecuapa (9) sa poate pune sub forma:

A = [1 + (tg (cp o)t]3 12 ,1n care t daca se are 1n vedere ca : (1 +{tg( tpo1 =1/ (COs(


5/18

4Drept urmare . la stabilirea relatiet care face legatura lntre X O ~I L, poale fiutilizata. dezvoltarea Mac-Laurin a func tie i : (1+ (Y'(X1:]1. '2Ifunqie care intervinein rela~a cunoscuta ds = (1 + (yl(xl]tI.i!dx Tinand seama de (12) ,rezulta :y'(x) = rl (2 .R .Xo .( COS (


6/18

III . ELEMENTE NECESARE TRASARII PARABOLEI_ C UBIC E iMBUNATA TfTE .in continuare se trateaza situatiile care pot interveni la treeerea de la traseulPJirnitiv la traseul definrtiv:-. pastrarea razei (fig. 2);- pastrares centrului (fig. 3).n:~(e.

C'R:" ,_

"F ig. 3.Treceres de Is traseul primitiv Is traseul definitiv-pastrarea centrului.i n ambele situa\ii trebuie sa fie determinate:- po zm a punctLJluiprincipal AR fata de piciorul perpendiculareicoborAte din centrul cercului pe care este situat arcul de cere de pe traseuldefinitiv (cercul definitiv) - manme notata cu p;- retragerea -notata cu m - care reprezinta distanta dintre aliniamentt}i cercul definitiv. masurata pe perpendiculara cobofAt.a din centrul cercului definitivpe aliniament; - distants de la vArful de unghi V pana fa _piciorul perpendiculareicoborAte din centrul cercului definitiv pe aliniament;-Iungimea L a curbei progresiVe (atunei cand lntre datele initialesa afta manmea xo). sau lungimea Xo (atunei cand lntre datele initiale se aftarnanrnea L (fig. 1.in ambele situatii sa cons_idenl cunoscuta manmea unghiului de abatere Udintre aliniamente t}i - de asemenea - sa considera cunoScutl metodologia destabilire a lungimii L a curbei progreatve- "" [1OT. Odata cunoscute aeesteelemente____:___"e pot efactua calculete de tTasa~ referitoare la pozi\ionarea punctelor


7/18

6aparpnand curbei progresive (de exemplu: 1n sistemul de axe de coordonate avanooriginea 10 AR, sa pot determina orrjonatele y(x) pentru punctele de pe axaabsciselor ob~nute prin lmpllrtirea lungimii Xo lntr-un numar de pllr\! egale) .Deasemenea, 1n ambele metode , aste necesara determinarea unghiului c p o .lII.l.pastrarea razei.In acest caz (fig. 2), raza cercului definitiv (Rd) este egala cu raza cerculuiprimitiv, notata cu R p _ ; deci IR p = R e t = R . -

T RA S EU ' PR IH IT IVcu ~AZARp_ -Rd=R ~ __,;

Fig.4.pastrarea razei.1II.1.1.Determinsrea unghiului


8/18

7.. TntrucAt valoarea gasitB pentru L, este diferita de valoarea lui l ,se determinao noua valoare 1mbunB.ta~taa unghiului - notata cu 'Po2 - cu relalia:

C J ' 0 2 =


9/18

8La fel ca i 1n cazul parabolei cubice, din anularea derivatei d(11 Rx)I dx , se

obline:t g ( C P O L ) = O,44n2 ,sau , < P O l = 245'41" ,sau , C J I o L = 26g7-r:19,14ccPentru lungimile L i razele R, 1ntAinite1n practice la curbele de cale terata ,

este sanstacuta inegalitatea : c p o < ! P OL Observatie : Daca unghiul < p o - tacut de tangenta dusa pnn punctul RC cualiniamentul ini~al- depaseste valoarea ' P O L , atunci , 1n cuprinsul curbeiprogresive respective, vor exista curburi superioare curburii aferente arculuide cere ,sau - cu alte cuvinte : 1n cuprinsul curbei progresive vor exista razeinferioare razei arculul de cere.

Din fig. 5 rezulta ca : pe intervalul [ O , q > o d derivata a daua a functiei F estenegativ8.Aceasta caractenstica a functiei F (fig.5} garanteaz8 obt,inerea solutieiprin aproximatii auccesive (garanteaz8 converqenta ,1n cazul itera~ilor).Tot din:fig.5 se poate deduce valoarea maxima pe care 0 poate avea raportulUR 1n cazul analizat; acest raport limila este reprezentat de valoarea funotiei Fpentru < p o = C P O L respectiv: (U R)max. = 0,693638.Ca , i valoarea 'P o l . aceasta valoare maxima nu se lnta.lnete 1n pracnca .Obpnerea valorii unghiului 'Po. din rezolvarea ecuatiei (16) , mseamna derapt (a se vedea fig. 6) gasirea abseisei punctului de Intersec~e dintre dreaptaonzontata care corespunde raportului LIR (conoscut) i funetla F.. ,

~.0;.'..~~ i; ~.(_.''':. " .>,." ~.

~.

Il 2 4 ; 6 3 10 12 14 1618 20 22 24 26 28 3 0~ G R A D [ C E N T E S lM A L EFig. 6 .Determinarea unghiufui


10/18

91I.1.3.Exemplu de caleul pentru determinarea unghiului ~.Date initialale : L :;::120 m ; R :;::500 m . incercarile succesive ( a se vedea 111.1.1)sunt:.. 1ncercarea 1 - a : < P o , : ; : : 0.121183 radiani; L o , = = 119,2963 m -.. lncercarea II-a: ' P u 2 = 0,121898 radiani; l o z : ; : : 119,9n7 m.. 1ncercarea lll-a: < P o a = 0,12192 radiani; Lm: : 119.9993 m.. lncercarea IV-a: Qlo4= 0,121921 radiani; Lo.= 120 mX o 4 = 119,8205 m ".Solutia cautata : < p o = 0,121921 radiani. . "Este de remarcat nurnann redus al lncercarilor~'1II.1.4.Unele precizilri. .a) Daca , pornind de la relatia (14) se au 1n vedera numai primii doi termenidin membrul a t doilea, atunci ,se poate proceda astrel:.. egalitatea (14) conduce ta :

Xo :: Ll[1 + (1/1 0).(tg(qJo)r ] ; iar, egalitatea (11) -In final- poate fi adusa la forma:(s in (< po 3 (10/ 9).sin(cpo) + (5/ 9).(L IR) = 0 (18)Ecua~a (18) se poate rezolva utilizAnd formulele lui Cardanb) uaca , drept date initiale S8 aleg raza R fj i proiectia Xo a curnel progresive pe

aliniamentul ini~al ,atunei, unghiul c p o reprezmta solu,ia ecuatlei (11); 1n acest caz ,locul tuncpei F este luat de P, care reprszmta membrul al doilea al relatiei :xo l R = 2.tg(o3in acest caz S9 parcurg etapele:.. se alege valoarea de pomire 'Po, cu relalia: < P O l = (112).arcsin(XoI A) se calculeaza L a , cu rela~a (14);- sa determina diferen~ 1ntre L, ,fjl l;- se calculeaza 0 valoare 1mbunatatita' ' P o 2 , cu. relatia : < 1 ' 0 2 = < p o , .LA..,- sa continua lncereanle (ca ~i In. cazul cand se conosc R ~i L) pAnacand diferen1B dintre L 1 f J i L este acceptaolta.in fig. 7 58 prezinta atat graficul functii F ,cAt ~i graficul funcVei P ,Seconstata c a . : exista 0valoare limita a raportului xolR: (xci R)rMlJI.. 0.680412

,~FJ-' r ~_"o_ r . ' . ."h .- .-~,. : ; ; ; ; .,~;~t'\ ." ~ --. , 1 \

. . . . . , . r- \r - - = = =6 - . . . .- ,1 - 1 " -t= . ~~ .-4 ~.-- --2 .-. . . . . -v1 ,}---C'L , ' 1 ' 0I .~ \

. I.,. I ~

o .O .0 ,O .0 ,O .O .0 ,0 ;IJ 2 ' 4 6 8 19 12 14 16 18 CO 22 24 ~

G R A D E C E N T E S I M A L [

Rg.7.Graficele tunctntor F " p.


11/18

Pentru unghiuri p o mici ,practic, cele doua curbe se suprapun.Daca lungimea curbei progresive L este mica (respeetiv, daca proiectia curbeiprogresive Xo este mica). atunei , poate fi accsptata aproxirnatia x ItIS (sau Xo:::sL) ;conslderand olrerenta (L xo) ea fiind egala eu marginea erorii de masurare alungimii L rezulta domeniul pentru lungimile L (cuprins lntre axa absciselor ~Icurna L1 din fig.8 ). Pentru lungimi L apartinand acestui domeniu; parabola cubicaltnbunamlita coincide - practic -cu clotoida sau Cll parabola cublca . Curba L1 dinfig.8 corespunde unei margini - pentru eroarea de masurare a lungiumii L 1 - careeste egala eu 0,003-;./ [1 . .

5O-+4-+-4...j1"~++-+4++-H-+---Jj~~--~~~~~~~Hr~7o-++-H++-+d::L..~I1+-~~'fH-f+-__';~--~~~~~~~~--~

,Yc_ ! 90--+-+-+-++++-+-+-+-++++4-+-....qa]!aO-++++I~+++-+-+++4-+-+-_....J_1 1 0 -..j...f:.~fJ-.+.++-++++++++--l.1211-++++-1++++-+++++-+-+-+-----113!l-+++H.f-.I-+++++++-+-+-+----!.140-+++-#++++++++++H----IISO-+++-V-++-++~++++++~l60-+++++++++++++-+-+-+----i1101-+++++-+-H-1-Hr-H-H-f---l.IBO,--t+++++++++++++++---l190~-t++++++++t-++++++--I200--++++-+-+-+-+-HHHH-H-+-~210 -++++-+-+-H-I-HI-HH-4-+-~c~-~++++++++++++~--2~--++++~~HHHH~~~240-+l-++-++H-H-I1-H~+----9~-~~~.~~~~~--

FL/R\0 . - ;naO.7++...j..4...J-I-++++-4-+++++H-.J..+,,J..4-~~""I'=FH0....

~~.~~~~~~~44444444+4~~O . : t l ; i o4 oo++ . . .. . .. .f4'..j. . .... i,..t4-I-- ....-f-+-.......I-+-t-f-.iH--lt-H~M-Ir-Hnft~~~:::::J.-i~-H-H-H++++++-H++ ......+++t .:.O.I...j...I..,..~oj;...J....J....h.l-f..,.ll-h1~P~ll..../ I-+-+-+o+-t-+-t-I-f-H-H-I ."o 1-+-iI~-64III++4--4-+-


12/18

II1I1.1.S.Determinsrea elementelor geometrice ale curbei de pe traseulprimitiv.Se consldera cunoscute : Raza Rp i unghiul de abatere U; eu relatiile,care se pot stabili cu uurinta (fig. 9) ,se determina : tangenta(T) ,biseetoarea(B)i lungimea arculul de cere (C); astfel :

T = Rp.tg(U/2) B = Rp.(1/cos(U/2) - 1) ; C = Rp.U (19)

Fig. 9. Elementele curbei :~ pe traseul-primitiv.1II.1.6.0eterminsrea elementelo; geometrice -pentru curba de petraseul definitiv. -

in cazul dat (pastrarea razei) ,raza aroulul de cere de pe traseul definitiveste acetasl cu raza arcului de cere de pe traseul prirnitiv ,deci Rd:: Rp = R . infig. 10 este reprezentat traseul definitiv .RA

~~3[l ;j!i1 _ " '':'~.,~.:': . . ~ ' 4 .:. .." -_ ,~_"_

pRg. 10.Elementele curbei de pe trsseul definitiv.

II


13/18

12Din conditia ca arcul de cere - de raze. R o i care lneepe 1n punctul RC - saaibe tangenta 1n acest punet aceia~i cu tangenta de la sfArtjitul eurbei progresive,rezutta relatiile de calcul pentru rnarimile care prezmta interes; astfel :p = Xo - R .s in(cpo ) ; m = Y o - R .( 1 - C06


14/18

l31II.2.Pilstrarea centrului areului de cere.in acest caz, centrul arcului de cere de pe traseul definitiv este acelafi cucentrul arcului de cere de pe traseul primitiv (fig. 11). Daca raza arcului de cerede pe traseul primitiv Rp este egahi cu R ,atunci, raza arcului de cere de petraseul definitiv Ad va f i egala cu (R ..m) ,iar, ecuatia parabolei cubice1mbunatatiteva fi de forma:

y = x3 I[6 .xo .(R ..m).(cos( g ) .(COS(cpg)2 jI 1 + (416).( sin(


15/18

14111.2.1.Determinarea unghiului !po.Determinarea unghiului c p o presupune rezolvarea ecuatiei (care se obline dincombinarea egalitali10r (24) ~I (25 urmatoars :sin(2.cpo) = (xol R).[ 1 + (416) . ( s in( o o = 0.12192 radiani; X03 = 119,8193 m;. ~ = 119,9987 m .-lncercarea IV-a: C J I o 4 = 0,121921 radiani; X04 = 119,8204 m; L o . = 120 m.-lncercarea V-a:~ - 0.121921 radiani; x", - 119,8205 m; L m . = 120 m


16/18

15Cu ajutorul relatiei (24) ,se catcuteaza raza arculul de cere de pe traseuldefinitiv : (R - m ) = 500 m ; cunoscand pe R .rezulta m = 1,182231 m . Se poateconstata ca au fost obtinute aceteasl rezultate ca 1n exemplul tratat 1n cazul cupastrarea razei . Drept urmare I elementele geometrice apal1inAnd curbei de pe

traseul primitiv i cele apartinAnd curbei de pe traseul definitiv vor fi aceleai cuceleobtinute 1n capitolul 111.1.IV.Concluzii.

t.Ecuatia de definitie a parabolei cubice 1mbunatatite (forma trigonometrica) este:y = x31 (6. Xo.R.(cos(


17/18

BIBLJOGRAFJE1. Bercu, All fi Radu, C.: Racordarea curbelor pentru circulatia cu viteze manCentrul de documentare I publicalii tehnice din MinisterulCaUor Ferats ,1968.2. Coquand Aoger :DAUMUAI circuJatie - traseu -construope.vot . t ,Circulalie - tra seu ,traducere din limba trancezA .Editura Tehnicci ,1968 .3. Craus, I ~I Gutu, V. : Studiul 1]1 proiectarea drumurilor.Editura didactica ipedagogica, 1965.4. Lefterescu, 0 : Trasee de linii terate. Editura Transporturilor ~iTelecomunicatiilor1960.5. Radu, C. ,I Ungureanu C. :Domeniul de aplicabmtate al curbelor de racordarede cale terata. Lucnlrile sesiunii tiintifice a Institutului de studii Oi cercetaritransporturi 23-24 aprilie 1971.Centrul de documentare Vi publica~i tehnice-1973.6. Aadu, C .: Suprastructura oan- partea 1 - a .Probleme .I.C.B.-1972.7. Aadu, C .: Suprastructuri CF pantru viteze ma n -a pllc ajn - 1 GB 11987.1. ~ahuniant G. M.: Calea ferata. Editura 1'ransporr-Moscova 1969- 1n limba rusa .

9. Vasiliu. I : Curbe de cale terata .Editura Transporturilor ~iTeleoomurucatillor I1960.10. x x x InstruCVa de norma i toterante pentru construetia i lntretinerea can(nr.314) - Editia 1969 .


18/18

FORMULE UTILE:1. Eeuatia parabolei cub ice 1mbunatapte : V = x31 [6.R.xo.(COs(

Documents

Parabola Cubica Imbunatatita - ing Radu Constant In, CFDP - Copy