Curs 02 Cfdp

Metoda Elementului Finitcurs

SL. Dr. Ing. Crișan Andreidep. de Construcții Metalice și Mecanica Construcțiilor

Universitatea POLITEHNICA Timiș[email protected]

2014 - 2015

Curs 2Matematică și mecanică

• Matematică:– Matrice

– Operații cu matrice

• Mecanică:– Eforturi unitare

– Deformații specifice

– Relații între eforturi și deformații

• Forma matricială a ecuațiilor folosite în mecanică


• Matrice– Ce este o matrice?

– o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice

– matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m x n)

– elementele matricei: ai,j


• Matrice – cazuri particulare

– Matrice linie

– Matrice coloana

– Matrice pătratică

– Matrice nulă (toate elementele sunt ”0”)

– Matricea unitate

Transpusa


• Matrice – operații cu matrice– Înmulțirea cu un scalar

– Adunarea matricelor

• 2 matrici se pot aduna doar dacă au același număr de linii și de coloane


• Matrice – operații cu matrice– Transpusa unei matrice

– Dacă A = tA atunci matricea A este simetrică


• Matrice – operații cu matrice– Înmulțirea matricelor


• Matrice – operații cu matrice– Determinantul unei matrice

– Matricea trebuie să fie pătratică

– Matricea pătratică de 2 x 2



• Matrice – operații cu matrice– Determinantul unei matrice

– Matricea trebuie să fie pătratică




• Matrice – operații cu matrice– Matricea pătratică de 4 x 4 ?

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑𝑒 𝑓 𝑔 ℎ𝑖 𝑗 𝑘 𝑙𝑚 𝑛 𝑜 𝑝


• Matrice – operații cu matrice– Matricea singulară

Det(A) = 0

– Matricea nesingulară

Det(A) ≠ 0

– Inversa unei matrice

A × A-1 = A-1 × A = I


• Matrice – operații cu matrice– Opțiuni de calcul a inversei unei matrice

• Folosind adjuncta unei matrice

• Folosind matricea extinsă

transformând [ A | I ] în [ I | A-1 ]



• Folosind adjuncta unei matrice

• Adjuncta unei matrice

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

𝑎 𝑑 𝑔𝑏 𝑒 ℎ𝑐 𝑓 𝑖

transpusa𝑒 ℎ𝑓 𝑖

𝑏 ℎ𝑐 𝑖

𝑒 ℎ𝑓 𝑖

𝑑 𝑔𝑓 𝑖

𝑎 𝑔𝑐 𝑖

𝑎 𝑑𝑐 𝑓

𝑑 𝑔𝑒 ℎ

𝑎 𝑔𝑐 𝑖

𝑎 𝑑𝑏 𝑒

adjuncta

(-1)i+j

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)



• Folosind matricea extinsă


• Matrice – operații cu matrice– La ce folosesc matricele și operațiile cu matrice?

– Rezolvarea sistemelor de ecuații


• Matrice – operații cu matrice– Rezolvarea sistemelor de ecuații


• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare

• Metoda lui Cramer

Δ =

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

Dacă Δ ≠ 0



• Metoda lui Cramer (Exemplu numeric)

Δ =2 3−1 1

= 2 + 3 = 5

Δ𝑥1 =4 35 1

= 4 − 15 = −11

Δ𝑥2 =2 4−1 5

= 10 + 4 = 14

𝑥1 =Δ𝑥1Δ

=−11

5= −2.2

𝑥2 =Δ𝑥2Δ

=14

5= 2.8 Verificare !!!




• Metoda transformărilor elementare (Metoda eliminării GAUSS):

Metoda transformărilor elementare este de fapt procedeul de reducere a necunoscutelor, scris, eventual, sub formă matriceală. În cazul sistemelor de douăecuaţii cu două necunoscute, această metodă este de fapt metoda reducerii.

Există 3 tipuri de transformări elementare

– Schimbarea a două ecuaţii;

– Înmulţirea unei ecuaţii cu un scalar nenul;

– Adunarea unei ecuaţii înmulţite cu un scalar la o altă ecuaţie.




• Metoda GAUSS (Exemplu numeric 1):




• Metoda GAUSS (Exemplu numeric):




• Metoda GAUSS (Exemplu numeric):


• Mecanică– Efort unitar

• Efort unitar normal – σ

• Efor unitar tangențial – τ

unde (i și j = 1, 2, 3)








• Mecanică– Deformație unitară

𝜀 =1

𝐸𝜎





𝜀𝑡𝑟 = 𝜀𝑦 =−𝑣 ∙ 𝜀𝑥

𝜀𝑡𝑟 = 𝜀𝑧 = −𝑣 ∙ 𝜀𝑥




• Mecanică– Deformație unitară (Legea lui Hook în 3D)

• Efort axial pe axa X

• Efort axial pe axa Y

• Efort axial pe axa Z

• Efort tangențial

𝜀 =1

𝐸𝜎 𝛾 =

1

𝐺𝜏


• Mecanică– Relația matricială între deformație specifică și efortul unitar

𝜀𝑥 =1

𝐸𝜎𝑥𝑥 −

𝜈

𝐸𝜎𝑦𝑦 −

𝜈

𝐸𝜎𝑧𝑧

Initial

x

z

y



𝜀𝑥 =1


𝜈


𝜈

𝐸𝜎𝑧𝑧

x

z

yInitial



𝜀𝑥 =1


𝜈


𝜈

𝐸𝜎𝑧𝑧

x

z

yInitial



𝜀𝑥 =1


𝜈


𝜈

𝐸𝜎𝑧𝑧

x

z

y

Final

Initial


• Mecanică– Relația matricială forță și deplasare

𝐷 = 𝐾−1 ∙ 𝐹

Deformații (ε, γ)

Efort unitar (σ, τ)

Flexibilitatea (1/E, 1/G)


• MEF– Relația matricială forță și deplasare

𝐷 = 𝐾−1 ∙ 𝐹

Deplasare nodală

Forța nodală

Flexibilitatea elementului

𝐹 = 𝐾 ∙ 𝐷

Rigiditatea elementului

Deplasare nodală

Forța nodală


• MEF– Relația matricială forță și deplasare

𝐷 = 𝐾−1 ∙ 𝐹

Deplasare nodală

Forța nodală

Flexibilitatea elementului


• MEF (exemplu)– Relația matricială forță și deplasare – Exemplu

y

x

Forte exterioare

Deplasari nodaleMatricea de rigiditate


• MEF (exemplu)– Relația matricială forță și deplasare – Exemplu

y

x

Documents

Curs 02 Cfdp