Paolo Bagnaia Cinematicabellini/ctf/materiale/e1_meccanica.pdf · 2 2 1 Km h v v w = − = fiume (w) Paolo Bagnaia - CTF - 1 - Esercizi di meccanica 6 NB – Non c’è nessun bisogno

E i i di Fi iCinematica

Esercizi di FisicaPaolo Bagnaia Cinematica

Meccanica del puntoMeccanica dei sistemi

Paolo BagnaiaMeccanica dei sistemiMeccanica dei fluidiTermologiagTermodinamicaElettrostaticaCorrenti continueCampo magneticoOttica.

Paolo Bagnaia - CTF - 1 - Esercizi di meccanica 1♠

Alcune avvertenze1 Q il d li i i l i l i b i d ll1. Queste note sono il testo degli esercizi svolti a lezione, con una breve traccia delle

soluzioni. Quindi non sostituiscono né un buon libro di esercizi, né le lezioni in aula.2. La soluzione serve come controllo dello svolgimento autonomo elaborato dallog

studente. Non è molto utile guardarla subito dopo avere letto il testo, invece diprovare a risolvere l’esercizio senza aiuto esterno.

3 Il livello degli esercizi è molto semplice adatto ad una prima comprensione degli3. Il livello degli esercizi è molto semplice, adatto ad una prima comprensione degliargomenti. Il livello degli esercizi d’esame è un po’ più difficile. Esiste anche unaraccolta degli esercizi d’esame degli ultimi anni (guardare su internet).È4. È buona norma risolvere un esercizio in modo simbolico, utilizzando lettere al postodei valori numerici (ex. “v” per velocità, “m” per massa, etc.). Una volta ottenuta lasoluzione, si potrà così controllare la correttezza delle dimensioni e la plausibilità delp prisultato. Poi si otterrà la soluzione numerica, sostituendo i valori dei dati.

5. Talvolta i dati non usano sistemi di misura omogenei (ex. la velocità in Km/h e lospazio in m) In questo caso è bene fare subito le “equivalenze” passando ad unspazio in m). In questo caso è bene fare subito le equivalenze , passando ad ununico sistema di misura.

P.B., Roma, Gennaio 2002.

Paolo Bagnaia - CTF - 1 - Esercizi di meccanica 2

Cinematica


Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40K /h i l t t ll l ità di 80 k /h T l l itàKm/h e poi per lo stesso tempo alla velocità di 80 km/h. Trovare la velocitàmedia.

————————————Soluzione –La velocità media si ottiene dalla definizione :La velocità media si ottiene dalla definizione :

/602121 hKmvvTvTvsv tot =+

=+

==

N è i ( è b li t ) t f d K /h /

./602

hKmTTT

vtot

m ==+

==

Non è necessario (ma non è neppure sbagliato) trasformare da Km/h a m/s.


Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40K /h d i S i l t t itt ll l ità diKm/h, percorrendo un cammino S, e poi per lo stesso tragitto alla velocità di80 km/h. Trovare la velocità media.

————————————Soluzione –La velocità media si ottiene dalla definizione, ricordando che t=s/v :

2SSs +

8040222

/1/12

// 2121

vv

vvvSvSSS

Tsv

tot

totm =

+=

++

==

./3.538040804022

)/()(2

21

21

2121hKm

vvvv

vvvv=

+⋅⋅

=+⋅

=⋅+

=

NB – 1. È differente dal caso precedente (capire bene !!!);2. Non occorre trasformare da Km/h a m/s.


Esercizio – Una barca naviga controcorrente dal punto A al punto B allal ità t t 10 K /h i tt ll i S i t tvelocità costante v1 = 10 Km/h rispetto alla riva. Successivamente torna

indietro alla velocità v2 = 16 Km/h rispetto alla riva. Sapendo che il motoredella barca ha lavorato al massimo della potenza in entrambi i percorsi

————————————

della barca ha lavorato al massimo della potenza in entrambi i percorsi,trovare la velocità della corrente e la velocità della barca rispetto alla corrente.

Soluzione –La velocità della barca rispetto alla corrente (chiamata u) è la stessa nei duecasi. Nel primo caso la velocità della corrente (chiamata w) si sottrae dallavelocità della barca, nel secondo si somma :

;/132

;;

21

21

hKmvvu

wuvwuv

=+=

+=−=

fiume (w)

B Abarca (u)

./3212 hKmvvw =−=

fiume (w)


NB – Non c’è nessun bisogno di trasformare da Km/h a m/s, ma non è vietato.

♠

Esercizio – Stessa situazione del caso precedente. Sono note la velocitàd ll t ( 2K /h) l l ità d ll b i tt ll tdella corrente (w=2Km/h) e la velocità della barca rispetto alla corrente(u=10Km/h). Calcolare la velocità media della barca.

————————————Soluzione – Definendo S la distanza tra A e B, la barca compie un tragittototale 2S Il tempo totale è facile da calcolare :totale 2S. Il tempo totale è facile da calcolare :

)/()/(// SSSS

SSSS

Tsv tot

m =+

=+

==

./6.910

4100)(2)/(1)/(1

2

)/()/(//2222

21

hKmu

wuwuwu

wuwuwu

wuSwuSvSvSTtotm

=−

=−

=++

−=

++=

−+++

10)/(1)/(1 uwuwuwuwu ++−−++

B Abarca (u)

fiume (w)

B Abarca (u)


Esercizio – Un’automobile, durante una frenata uniforme, passa in un minutod ll l ità di 40 K /h ll di 28 K /h T il l d lldalla velocità di 40 Km/h a quella di 28 Km/h. Trovare il valore dellaaccelerazione e lo spazio percorso.

————————————Soluzione –

v 40 Km/h 11 11 m/s; v 28 Km/h 7 78 m/s;v1 = 40 Km/h = 11.11 m/s; v2 = 28 Km/h = 7.78 m/s;

a = (v2 -v1 ) / ∆t = (7.78 - 11.11) / 60 = - 0.055 m/s2;

v1

v2a (v2 v1 ) / ∆t (7.78 11.11) / 60 0.055 m/s ;

[quale è il significato del segno “-” ???] ∆t

s = 1/2 a ∆t2 + v1 ∆t = - 0.5 · 0.055 · 602 + 11.11 · 60 = -100 + 666.6 = 566.6 m.


Esercizio – Un treno si muove tra due stazioni, poste ad 1.5 Km di distanza.P l i tà d l t itt di t if t l t lPercorre la prima metà del tragitto di moto uniformemente accelerato e laseconda di moto uniformemente ritardato. Data la velocità massima (50Km/h),calcolare il valore dell’accelerazione e il tempo totale di percorrenzacalcolare il valore dell accelerazione e il tempo totale di percorrenza.

————————————Soluzione È sufficiente mettere a sistema le equazioni dello spazio e dellaSoluzione – È sufficiente mettere a sistema le equazioni dello spazio e dellavelocità, e poi risolvere per T, a; prima bisogna trasformare la velocità in m/s :

⎞⎛ 3=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

= ;/88.13106.31050

3

3

max smv

⎪⎪

⎨

⎧=

×==

⇒⎪⎪

⎨

⎧ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪

⎨

⎧

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ;/128.0

105.188.13;

2;

221

22

3

22maxmax

2

smd

vaa

vTTad

⎪⎪

⎩

⎨

===

⇒

⎪⎪

⎩

⎨

=⎪⎪

⎩

⎨ ⇒

= .37min32172;21

2;

2max2

maxmax ssa

vTva

dTav


⎩⎩

♠

Esercizio [S 2.39] – In una gara sui 100 m, due atleti impiegano lo stessot di 10 2 Il i i i 2 i l i t t i titempo di 10.2 s. Il primo impiega 2 s in accelerazione costante, poi mantienela velocità costante fino alla fine, mentre il secondo accelera per 3 s, poimantiene la velocità costante Determinare per ciascun concorrentemantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrentel’accelerazione e la velocità massima.

————————————Soluzione –Primo concorrente : ½ a1 t12 + a1t1 (T - t1) = stot ⇒

a s / (½ t 2 + t T t 2) s / (t T ½ t 2)a1 = stot / (½ t12 + t1 T - t12) = stot / (t1 T - ½ t12) == 100 / (2 · 10.2 - 0.5 · 22) = 5.43 m/s2;

v1 = a1t1 = 5.43 · 2 = 10.86 m/s;v1 a1t1 5.43 2 10.86 m/s;

Secondo concorrente : ½ a2 t22 + a2t2 (T - t2) = stot ⇒a2 = stot / (½ t22 + t2 T - t22) = stot / (t2 T - ½ t22) =

= 100 / (3 · 10.2 - 0.5 · 32) = 3.83 m/s2;v = a t = 3 83 3 = 11 5 m/s


v2 = a2t2 = 3.83 · 3 = 11.5 m/s.

♠

Esercizio [S 2.39 parte 2] – Nella stessa gara dell’es. precedente, qualet i t i t t d t di 6 di ?concorrente si trova in testa dopo un tempo di 6 secondi ?

————————————Soluzione –Primo concorrente : s1 = ½ a1 t12 + a1t1 (t* - t1) =

= 0.5 · 5.43 · 22 + 5.43 · 2 · (6 - 2) = 54.3 m;

Secondo concorrente : s = ½ a t 2 + a t (t* t ) =Secondo concorrente : s2 = ½ a2 t22 + a2t2 (t - t2) == 0.5 · 3.83 · 32 + 3.83 · 3 · (6 - 3) = 51.7 m;

È in testa il primo concorrente di una distanza d = 54.3 - 51.7 = 2.6 m.


Esercizio – Un’automobile viaggia a 120 Km/h. Visto un ostacolo, ild t i f i i 110 Q l è l’ l i tconducente riesce a fermarsi in 110 m. Quale è l’accelerazione e quanto

tempo impiega ?

————————————Soluzione –

vo = 120 Km/h = 33.3 m/s;

s = vo T - 1/2 a T2 ; vfin = 0 = vo - aT ⇒

T = vo / a; s = vo2 / a - 1/2 vo

2 / a = 1/2 vo2 / a ⇒

a = vo2 / 2 s = 33.32 / (2 · 110) = 5.040 m / s2 ;

T = vo / a = 33.3 / 5.040 = 6.60 sec.


o

♠

Esercizio – Una palla viene lanciata da terra verso l’alto con velocità inizialedi 12 /di 12 m/s.a) Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto della traiettoria ?b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto ?b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto ?c) Dopo quanto tempo ricade a terra ?d) Con che velocità la palla tocca terra ?e) Quanto vale lo spazio totale percorso dalla palla ?

————————————SoluzioneSoluzione –

a) vf - vi = gt ⇒ t = (vf - vi) / g = (0 - 12) / (-9.8) = 1.24 s;

b) s = - 1/2 g t2 + vi t = -0.5 · 9.8 · 1.242 + 12 · 1.24 = 7.3 m;

c) t2 = t [perché ???];

d) vterra = vi = 12 m/s [perché ???];

e) stot = 2s = 14.6 m.


) tot

♠

Esercizio [S 2.27] – Un oggetto viene lanciato da terra ad un’altezza di 4 m. Ilt itt d 1 5 D t i l l ità d ll’ tttragitto dura 1.5 s. Determinare la velocità dell’oggetto :a) al momento del lancio;b) all’istante di arrivob) all istante di arrivo.

————————————Soluzione –a) h = vo t - ½ g t2 ⇒ vo = (h + ½ g t2) / t = (4 + 0.5 · 9.8 · 1.52) / 1.5 = 10 m/s

b) vfin = vo - g t = 10 - 9.8 · 1.5 = - 4.70 m/s;y

che significa “-” 4.70 m/s ? (l’oggetto sta ricadendo).

h

x


Esercizio – Un uomo lancia un sasso dal tetto di un palazzo verso l’alto, conl ità di 12 25 / Il i il l d 4 25 Si l liuna velocità di 12.25 m/s. Il sasso raggiunge il suolo dopo 4.25 s. Si calcoli :

a) l’altezza del palazzo;b) la massima altezza raggiunta dal sasso;b) la massima altezza raggiunta dal sasso;c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo.

————————————Soluzione –

a) y = h + vot - ½ gt2 ;

y = 0 ⇒ h= ½ gt2 - vot = 0.5·9.8·4.252 - 12.25·4.25 =36.4 m;

b) v(t) = v gt ;b) v(t) = vo - gt ;

v(t) = 0 ⇒ t* = vo/g ; y max = y(t*) = h + vo2/g - ½ vo

2/g = h + ½ vo2/g =

= 36 4 + 0 5 12 252 / 9 8 = 44 1 m;= 36.4 + 0.5 · 12.252 · / 9.8 = 44.1 m;

c) vsuolo = vo - gtsuolo = 12.25 - 9.8 · 4.25 = -29.4 m/s [che vuol dire “-” ?].


Esercizio – Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s. Il suot è i d di d l ità di 2 / i tt ll tmotore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente.

Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi :a) barca in favore di corrente;a) barca in favore di corrente;b) barca contro corrente;c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente.

————————————Soluzione -

;/1)

;/3)

2

1

smwuvb

smwuva

=−=

=+=

./23.25)

;/1)

223

2

smvuvc

smwuvb

==+=

==

vv

u

v3


Esercizio – Una barca a motore si dirige a 7.2 Km/h, in direzionedi l ll i P ò l t l f d 150 iù llperpendicolare alla riva. Però la corrente la fa approdare a 150 m più a valle

di un fiume largo 500 m. Trovare la velocità della corrente e il tempo totale diattraversamento del fiumeattraversamento del fiume.

————————————Soluzione – I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stessoSoluzione I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stessotempo totale T. Pertanto :vy = vmotore = 7.2 Km/h = 2 m/s;vy = vmotore = s / T ⇒ T = s / vy = 500 / 2 = 250 s = 4 min 10 s;vx = vcorrente = d/T = 150 / 250 = 0.6 m/s.

y Bd

A

sfiume


x A

Esercizio – Un oggetto viene lanciato da una torre, alta 25 m, in direzionei t l l ità 15 / A h di t d i tt l b d d llorizzontale, con velocità 15 m/s. A che distanza cade, rispetto al bordo della

torre ? In quanto tempo ?

————————————Soluzione –

in orizzontale : x = vx t;

in verticale : y = h - ½ g t2;y

di conseguenza : y = h - ½ g (x/vx)2

y=0 ⇒ h = ½ g (x /v )2⇒ x 2 = 2 h v 2 / g ⇒

h

y=0 ⇒ h = ½ g (x1/vx) ⇒ x1 = 2 h vx / g ⇒

x1 = vx (2 h / g) ½ = 15 (2 · 25 / 9.8) ½ = 33.9 m; xx1

t = x1 / vx = 33.9 / 15 = 2.26 s.


Esercizio – Un cannone spara un proiettile alla velocità di 100 m/s ad unt l il i i t l Si l li l’ l h l itt tcerto angolo con il piano orizzontale. Si calcoli l’angolo che causa la gittata

massima e il valore della gittata. Si calcoli inoltre l’angolo necessario percolpire un bersaglio a 500 m di distanzacolpire un bersaglio a 500 m di distanza.

————————————Soluzione –⎧ ⎧ y

)cos/(cos vxTvTx ϑϑ⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎨

⎧=

⇒=

y

vo

;cos

tansin22

2

21

221

vgxxygTvTy

ϑϑϑ

⎪⎪

⎩

⎨

⎪⎪

⎩

⎨

−=−=

xϑ

;2sincossin2cos2cossinoppure00

2222

gv

gv

gvxxy ϑϑϑϑ

ϑϑ

====⇒=

gittata max per sin(2ϑ) = 1 ⇒ ϑ = 45° ⇒ ymax = v2/g = 1020 m;

d = v2sin(2ϑ)/g ⇒ ϑ = asin(gd/v2)/2 = asin(9.8·500/1002)/2 = asin(0.49)/2 =14° 40’ 13” ( 59° 40’ 13”) [ hé 2 l ???]


= 14° 40’ 13” (o 59° 40’ 13”) [perché 2 sol. ???]

♠

Esercizio – Trovare la velocità angolare nei seguenti casi :) l T h t tt l S l ( il t i l if )a) la Terra che ruota attorno al Sole (supporre il moto circolare uniforme);

b) la Terra che ruota attorno a se stessa;c) la lancetta delle ore;c) la lancetta delle ore;d) la lancetta dei minuti;e) la lancetta dei secondi.

————————————Soluzione –a) ω1 = 2π / T1 = 2π / (365 · 24 · 60 · 60) = 1.99 · 10-7 rad/s;

b) ω2 = 2π / T2 = 2π / (24 · 60 · 60) = 7.27 · 10-5 rad/s;

c) ω3 = 2π / T3 = 2π / (12 · 60 · 60) = 1.45 · 10-4 rad/s;

d) ω4 = 2π / T4 = 2π / (60 · 60) = 1.7 · 10-3 rad/s;

e) ω5 = 2π / T5 = 2π / 60 = 0.104 rad/s.


5 5

♠

Esercizio – Determinare la velocità e la velocità angolare che devet l ll’ t ffi hé il l i fi ll’ i tmantenere un aeroplano all’equatore affinché il sole appaia fisso all’orizzonte.

L’aereo deve volare verso est o verso ovest ?

————————————Soluzione –

ωaereo = - ωTerra = 7.27 · 10-5 rad/sec (vedi esercizio precedente);

il “ ” i ifi h l’ d d d t til segno “-” significa che l’aereo deve andare da est verso ovest;

vaereo = ω · rTerra = 7.27 · 10-5 · 6.37 · 106 = 463 m/s = 1670 Km/h.vaereo ω rTerra 7.27 10 6.37 10 463 m/s 1670 Km/h.


Esercizio – Un treno, affrontando una curva di raggio 150 m, nei 15 s chei i l ll t d 90 K /h 50 K /h C l limpiega a percorrere la curva rallenta da 90 Km/h a 50 Km/h. Calcolarel’accelerazione tangenziale e normale nel momento in cui la velocità è 50Km/h assumendo che il treno continui a decelerareKm/h, assumendo che il treno continui a decelerare.

————————————Soluzione –a) trasformiamo da Km/h a m/s :

v1 = 90 Km/h = 25.0 m/s; v2 = 50 Km/h = 13.9 m/s;

b) l’accelerazione tangenziale : aTmedia = (v2 - v1) / T = -0.74 m/s 2;

c) accelerazione radiale : aRcentripeta = v2

2 / r = 1.29 m/s2;

d) accelerazione totale (modulo), poiché aT e aR sono ortogonali :

./49.129.1)74.0( 22222 smaaa RTtot =+−=+=


NB – se il treno non continuasse a decelerare, aT=0, atot=aR.♠

Meccanica delpuntopunto


Esercizio – Un filo di ferro si spezza ad una tensione massima di 4400 N.Q l l i i l’ lt ò i i d tt di 400Quale accelerazione massima verso l’alto può imprimere ad un oggetto di 400Kg ?

————————————Soluzione –Per il corpo : ma = T – mg;pertanto : T m (a + g) T m (a + g)pertanto : T = m (a + g) ⇒ Tmax = m (amax + g) ⇒

amax = Tmax /m – g = 4400 / 400 – 9.8 = 1.2 m/s2.

T

mmg


Esercizio – Una fune, collegata ad una carrucola, connette due masseid ti h d ll li è lib di i i i li t di l ϑidentiche, una delle quali è libera di muoversi su un piano inclinato di angolo ϑ(ϑ = 30°), mentre l’altra penzola nel vuoto. Calcolare l’accelerazione suentrambe le masseentrambe le masse.

————————————Soluzione –Soluzione

L’accelerazione è identica per entrambe le masse. Il bilancio delle forze dà :

(m + m ) a = m g m g sin ϑ ⇒ m = m = m ⇒(m1 + m2) a = m2 g – m1 g sin ϑ ⇒ m1 = m2 = m ⇒

a = m g (1 – sin ϑ) / (2m) = g (1 – sin ϑ) / 2 = 9.8 × (1 - 0.5) / 2 = 2.45 m/s2;

l’ l i è di tt il bl’accelerazione è diretta verso il basso per

la massa libera e verso l’alto del piano permquella sul piano inclinato.

aaaaaϑ mm


Esercizio – Un corpo scivola senza attrito su un piano inclinato di angolo 30°,l 40 t d d f D t i il t t t l d l t itt llungo 40 m, partendo da fermo. Determinare il tempo totale del tragitto e lavelocità finale.

————————————Soluzione –

a = g sinϑ;a = g sinϑ;

L = ½ a t2 = ½ g sinϑ t2 ⇒ t = [2 L / (g sinϑ)]½ = 4.04 s;g [ (g )]

v = a t = g sinϑ t = 19.8 m/s.

ϑ


ϑ

Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente] C’è un attrito dinamico, diffi i t k 0 5 D t i il t t t l d l t itt l l ità fi lcoefficiente kd = 0.5. Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale.

————————————SoluzioneSoluzione –

ma = m g sin ϑ - k m g cos ϑ ⇒ a = g sinϑ - kg cos ϑ = g (sinϑ - k cos ϑ);g g g g g ( );

L = ½ a t2 = ½ (g sinϑ - kgcos ϑ) t2 ⇒ t = [2 L / (gsinϑ - kgcos ϑ)]½ = 11.03 s;

v = a t = g (sinϑ - k cos ϑ) t = 7.24 m/s.

ϑ


ϑ

Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente, senza attrito] Al termined l i i li t [ tt it ] ’è t tt i tt it di i didel piano inclinato [senza attrito] c’è un tratto piano, con attrito dinamico dicoefficiente kd = 0.25. Determinare la distanza percorsa dal corpo sul trattopiano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsipiano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsi.

————————————Soluzione –

ma = F = k m g ⇒ a = k g;ma = F = -k m g ⇒ a = -k g;

v(t) = vo - k g t ⇒ tfin = vo / k g = 8.08 s;( ) o g fin o g

Ltot = vo tfin + ½ a tfin2 = vo tfin - ½ k g tfin2 = 80 m.

ϑ


ϑ

Esercizio – Trovare il lavoro necessario per portare un corpo di massa 2 Kgd ll l ità di 2 / ll di 5 /dalla velocità di 2 m/s a quella di 5 m/s.

————————————Soluzione –

L ½ m v 2 ½ m v 2 0 5 × 2 × (52 22) 21 JL = ½ m vfin2 - ½ m vini

2 = 0.5 × 2 × (52 - 22) = 21 J.


Esercizio – Trovare il lavoro necessario a fermare un corpo di massa 2 Kg,h d ll l ità di 8 /che procede alla velocità di 8 m/s.

————————————Soluzione –

L ½ m v 2 0 5 × 2 × 82 64 JL = - ½ m vini2 = - 0.5 × 2 × 82 = - 64 J.

[perché “-” ?][perché ?]


Esercizio – Un carrello di massa 100 Kgi il i di t i fi d

A Ccompie il percorso indicato in figura, passandodal punto A al punto C. Nota la velocità iniziale(vA=0) e le differenze di quota tra A e B (a=20 m)

a c(vA 0) e le differenze di quota tra A e B (a 20 m)e tra C e B (c=18m), calcolare il valoredell’energia potenziale in A e della velocità in B

B

e in C. ————————————

Soluzione – Scegliamo la costante dell’energia potenziale in modo cheSoluzione Scegliamo la costante dell energia potenziale in modo cheEpot

B=0. In tal caso :

EpotA = m g a = 100 × 9.8 × 20 = 19600 J;A g a 00 9 8 0 9600 J;

EpotA + ½ m vA

2 = EpotB + ½ m vB

2 = mga = ½ m vB2 ⇒

vB2 = 2 g a ⇒ vB = (2 × 9 8 × 20)½ = 19 8 m/s;vB = 2 g a ⇒ vB = (2 × 9.8 × 20) = 19.8 m/s;

m g a = ½ m vC2 + mgc ⇒

v 2 = 2 g (a c) ⇒ v = [2 × 9 8 × (20 18)]½ = 6 26 m/s


vC2 = 2 g (a - c) ⇒ vC = [2 × 9.8 × (20-18)]½ = 6.26 m/s.

♠

Esercizio – Un corpo di massa 2 Kg cade dall’altezza di 2 m su una molla dit t l ti 200 N/ Di t i bb l ll ? D ’ lcostante elastica 200 N/m. Di quanto si abbassa la molla ? Dopo un po’, le

oscillazioni si smorzano. Dove è il punto di riposo della molla ?

————————————Soluzione – Si può scrivere : mgh = ½ k d2 ⇒ d2 = 2mgh / k; no ! sbagliato !

khmgkmghgmmgd ?][perche'""segnoilscegliere211222

+⎞

⎜⎜⎛

+±=+±

=

mg (h + d) = ½ k d2 ⇒ k d2 - 2mgd - 2mgh = 0 ⇒

khmgd

mgkkd

22002118.92211

?][perchesegnoilscegliere 11

=⎞

⎜⎜⎛ ××

++×

=⎞

⎜⎜⎛

++=

+⎠

⎜⎜⎝

+±==

mmgk

73.08.92200

=⎠

⎜⎜⎝ ×⎠

⎜⎜⎝

h

Il punto di riposo si ottiene da : mg = kb⇒ b = mg/k = 2 ×9.8 / 200 = 9.8 cm.

d


Esercizio – Un trattore di massa 1200 Kg percorre una salita di pendenza30° il t t di 9800 W C l l l l ità i30°; il motore eroga una potenza di 9800 W. Calcolare la velocità massimadisponibile.

————————————Soluzione –Soluzione –In un tempo t :L = W t = m g h=m g s sinϑ ⇒s / t = v = W / (m g sinϑ) = 9800 / (1200 × 9.8 ×0.5) =

= 1.67 m/s = 6 Km/h.

s

θ

h


Meccanica deisistemisistemi


Esercizio – Una pallina di massa 1 Kg urta alla velocità di 1 cm/s unad lli f di 2 K D l’ t l lli i i iseconda pallina ferma, di massa 2 Kg. Dopo l’urto, le palline si appiccicano.

Trovare la loro velocità e la variazione di energia cinetica nell’urto.

————————————Soluzione –m1vini = (m1 + m2) vfin ⇒

vfin = vini × m1 / (m1 + m2) = .01 × 1 / (1 + 2) = 0.33 cm/s;

∆T = Tfin - Tini = ½(m1 + m2) vfin2 - ½ m1 vini

2 == 0.5 ×(1000 + 2000) × 0.332 - 0.5 × 1000 × 12 = -333 erg;

[perché “-” ???]


Esercizio – Un oggetto di massa 20 Kg è attaccato con una fune lunga 4 m.U ll tt l di 50 l t t d i fi t L’ tt i l diUna pallottola di massa 50 g lo urta, restandovi conficcata. L’oggetto si alza diun angolo di 30°. Trovare la velocità iniziale della pallottola.

————————————Soluzione –

Nel primo urto anelastico vale : mv = (M+m)w ⇒ w = v m / (M+m)

L’energia cinetica dei due corpi si converte poi in energia potenziale :

½(M+m)w2 = ½(M+m) v2 m2 / (M+m)2 = ½ m2 v2 / (M+m) = R

ϑ

= (M+m) g h = (M+m) g R (1 - cos ϑ) ⇒

v2 = 2 (M+m)2 g R (1 - cos ϑ) / m2 ⇒h

( ) g ( )

./1300)30cos1(48.92050.0

050.020)cos1(2 smgRm

mMv =−×××+

=−+

= ϑ


Esercizio – Un oggetto di massa 20 Kg è attaccato con una fune lunga 4 m.U ll tt l di 50 h d ll l ità di 1000 / l tUna pallottola di massa 50 g, che procede alla velocità di 1000 m/s, lo urta,perforandolo, e proseguendo alla velocità di 300 m/s. Trovare l’angolo di cui sialza l’oggettoalza l oggetto.

————————————Soluzione –

Nel primo urto anelastico vale : mv = MW +mw ⇒

W = m (v - w) / M = 1.75 m/s;

L’energia cinetica dell’oggetto si converte poi in energia potenziale : R

ϑ

L energia cinetica dell oggetto si converte poi in energia potenziale :

½MW2 = M g h = M g R (1 - cos ϑ) ⇒

1 cos ϑ = ½ W2 / (gR) ⇒h

1 - cos ϑ = ½ W2 / (gR) ⇒

16961.0489

75.15.048.9cos22

21

≈⇒=×−×

=−

= ϑϑR

WgR


48.9 ×gR

Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 50 cm è attaccatali t i d l ti i di t ti 200 N/ 300 N/ i tti t Iagli estremi con due elastici, di costanti 200 N/m e 300 N/m rispettivamente. In

quale punto della sbarra bisogna porre un corpo puntiforme di massa 5 Kg, inmodo che la sbarra rimanga orizzontale ? Di quanto si allungano gli elastici ?modo che la sbarra rimanga orizzontale ? Di quanto si allungano gli elastici ?

————————————Soluzione – Se la sbarra è orizzontale, l’allungamentodi t bi li l ti i è id ti ( hi i l d) ldi entrambi gli elastici è identico (chiamiamolo d); leforze sono k1d e k2d. Affinché la sbarra rimanga ferma,occorre che il momento totale delle forze sia nullooccorre che il momento totale delle forze sia nullo.Calcolando il momento rispetto al punto in cui è posto ilcorpo, si ha (notare i segni +-) :

kkd

k1dx - k2d(L-x) + mg·0 = 0 ⇒x = k2dL / (k1d + k2d) = k2L / (k1 + k2) = 30 cm;

k1k2

m xL’allungamento si ottiene ponendo la somma vettorialedelle forze uguale a zero (asse positivo verso l’alto) :

Lx


k1d + k2d – mg = 0 ⇒ d = mg / (k1 + k2) = 9.8 cm.

♠

Esercizio – Una bilancia a statera (vedi figura) di massa trascurabile ha lal ( ) di 500 il b i d l i tt ( ) di 40 Q dmassa scorrevole (m) di 500 g, il braccio del piatto (a) di 40 cm. Quando una

certa massa M è posta sul piatto, l’equilibrio richiede che la massa m vengaposta a 20 cm dal punto di sospensione Quanto segna la bilancia ?posta a 20 cm dal punto di sospensione. Quanto segna la bilancia ?

abm

M

————————————Soluzione –SoluzioneEguagliamo a zero il momento totale delle forze :Mga - mgb = 0 ⇒ M = mb / a = 500 × 20 / 40 = 250 g.


Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 2 m è fissata alt lib di t H ll t ità d i tti t di 80centro e libera di ruotare. Ha alle estremità due masse, rispettivamente di 80

Kg e 60 Kg. Dove bisogna mettere una terza massa, di 30 Kg, in modo che lasbarra resti orizzontale ?sbarra resti orizzontale ?

————————————Soluzione –SoluzioneEguagliamo a zero il momento totale, calcolato rispetto al punto centrale(fulcro) :( )

m1gL/2 – m2gL/2 – m3gx = 0 ⇒

x = (m1L/2 – m2L/2) / m3 = L/2 (m1 – m2) / m3 = 66 cm.( 1 2 ) 3 ( 1 2) 3

x

m1 m2m3


Esercizio – Trovare il raggio dell’orbita di un corpo che percorre un’orbitai l t i i [d ti i t t 6 37 106 ]circolare geostazionaria [dati raggio terrestre : 6.37 × 106 m].

————————————Soluzione – Si eguaglia la forza di gravità a quella necessaria per un motoSoluzione Si eguaglia la forza di gravità a quella necessaria per un motocircolare uniforme; si impone inoltre che la velocità angolare sia la stessadella rotazione terrestre :

TRv

RmRg

RmR

RmG

RmmG

Rmv TT

T

TT2

2

2

2

22

2 2; ⇒==⋅==π

TgRRRRg

TR

TRv TT

T

2

223

2

2

2222

442

⇒=⇒==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ

Terra

KmTgRR

RTT

T 332

263

2

22102.42

4)3600241037.6(8.9

4

4

×=×⋅××

==

⎠⎝ π

NB – In genere, un’orbita non deve necessariamente essere tutta al di soprad ll’ t d ò t il t d ll T [ hé ???]

22 44 ππ


dell’equatore; deve però avere come centro il centro della Terra [perché ???].

♠

Esercizio – Determinare la velocità di un corpo che, senza usare alcunt i tt ll T d t di 100 l li ll d lmotore, gira attorno alla Terra ad una quota di 100 m sul livello del mare.

Trascurare la resistenza dell’aria e approssimare la Terra con una sferaperfetta di raggio RT = 6 37 × 106 mperfetta di raggio RT 6.37 × 10 m.

————————————Soluzione –Si eguaglia la forza peso subita dal corpo con la forza centripeta necessaria acompiere il moto in questione :compiere il moto in questione :

mvmvmg22

⇒==

smhRgv

hRRmg

T

T

/109.7)101037.6(8.9)( 326 ⋅=+⋅⋅=+=

⇒+

==

g T )()(


Esercizio – Partendo da fermo, un atleta compie ilpercorso indicato in figura, composto da un trattoin discesa e da una circonferenza di raggio 4 m.Trascurando gli attriti trovare il valore minimo della h

ATrascurando gli attriti, trovare il valore minimo dellaquota h, affinché il percorso riesca. In tale ipotesi,trovare la velocità nei punti più alto e più basso

R B

della circonferenza.————————————

Soluzione – Il punto critico è quello chiamato “A” nella figura; in A, perSoluzione Il punto critico è quello chiamato A nella figura; in A, permantenere la traiettoria circolare, l’accelerazione di gravità deve essere al piùuguale a quella richiesta dal moto circolare uniforme (mg ≤ mvA

2/R). Pertanto :

;10

22

25

25

212

21

mRh

mgRRmgmgRmghRmgm A

==

⇒=+==+v

/14108922;/3.6)4210(8.92)2(2

;102

h

smRhg

mRh

A =×−××=−=v


./14108.922 smghB =××==v

Fine


Documents

Paolo Bagnaia Cinematicabellini/ctf/materiale/e1_meccanica.pdf · 2 2 1 Km h v v w = − = fiume (w) Paolo Bagnaia - CTF - 1 - Esercizi di meccanica 6 NB – Non c’è nessun bisogno