OTROS MTODOS DE ESTUDIO DEL FLUJO PLANO A. TRAZADO DE RC POR MTODOS NUMRICOS. Los mtodos numricos se basan en la solucin de la ecuacin de Laplace por diferencias finitas. La descripcin se har para la contraccin que se muestra para un gasto de 60 lps.

1. El campo de flujo, incluyendo las fronteras, se cubren con la malla de cuadrados paralelamente a un sistema de ejes x, y, con cualquier origen. El tamao de los cuadrados (h) recibe el nombre de intervalo de la red y debe ser lo mas pequeo posible para lograr mayor precisin. 2. A un punto genrico o corresponde la estrella regular.

La funcin en los puntos 1 y 2 en trminos del valor de la funcin en el punto o se obtiene por desarrollo de la serie de Taylor:

Restando:

Y sumando:

Un desarrollo anlogo al anterior pero ahora en la direccin conduce a: s Y

3. Para satisfacer la ecuacin de Laplace en el punto O se debe cumplir:

Es decir: Ec.(1)O bien, Anlogamente:

4. En general las fronteras son curvas por lo que aparecern estrellas irregulares de la forma.

Los brazos incompletos tienen las dimensiones indicadas y los valores de en la frontera se conocen Se demuestra que en este caso: .Ec.(2)O bien, Esta ecuacin es igualmente aplicable en el caso de una estrella irregular de solo un abrazo incompleto. 5. Se sigue un proceso iterativo consistente en asignar valores iniciales de la funcin en los diferentes nudos de la malla; dichos valores sustitutos en la (Ec. 1) de cada punto debe dar residuos cero siempre que los valores iniciales sean los correctos. Por relajacin se entiende la tcnica que consiste en hacer desaparecer dichos residuos. En general en la (Ec. 1) se tendr: ..Ec.(3)Si se efecta un incremento en el nuevo residuo es:

De modo que: Es decir para liquidar el residuo original la funcin se debe incrementar en:

..Ec.(4). Y dicho incremento de la funcin impone cambios en los residuos de los cuatro puntos adyacentes de la malla, de valor:

.Ec.(5)

Esto es, si el valor de la funcin en un punto se relaja una cantidad igual a 1, su residuo cambia en - 4 y el de los cuatro puntos adyacentes en -1.

6. La relajacin debe hacerse en el residuo de mayor absoluto. El valor final de la funcin en cada punto ser la suma algebraica del valor inicial mas todos los incrementos efectuados en la misma. El mtodo se repite hasta que los valores finales de la funcin arrojen residuos cercanos a cero con la precisin deseada. Una eleccin adecuada de los valores iniciales de la funcin puede reducir considerablemente el nmero de etapas de la relajacin. Se puede uno ayudar con una construccin grafica aproximada de la red de flujo.

7. En la contraccin del ejemplo, la frontera inferior corresponde a la l.c. =0 y la superior a la l.c. 60. las fronteras verticales iniciales y final son l.e donde se supone que las perturbaciones ocasionadas por la contraccin ya no tienen influencia por lo que el flujo es informe. Con lneas de puntos se ha trazado a mano un juego de l.c. aproximadas con el objeto de interpolar los valores iniciales de la funcin , que en este caso es ms adecuada para integrar.En cada punto de la malla de cuadrados se anota: en el ngulo correspondiente al segmento cuadrante los valores inicialmente asignados de la funcin y en el primer cuadrante los residuos calculados con la Ec. 3. Debajo de cada punto y encerrados en un rectngulo aparecen los valores finales terminados de acuerdo con la precisin deseada, en este caso hasta la segundo cifra decimal.

8. En un crculo se indica el punto en el que resulto el residuo de dcimo valor absoluto (-2) y que se obtuvo con la ecuacin Ec. 3.

Segn la ecuacin (54) el incremento de la funcin es:

Dicho incremento se anota arriba del valor inicial de y el residuo liquidado se tacha, el cual segn la (Ec. 5) establece cambios en los residuos de los puntos adyacentes; estos son idnticos al incremento de la funcin y sumados algebraicamente con los residuos propios del punto resultan los valores que se consignan en la figura. Se excepta el punto sobre la frontera porque ah el valor de es constante.El proceso se reitera con el punto de mximo residuo, en este caso el inmediato superior al antes analizado.

9. Con los valores finales de en cada punto es posible determinar los de haciendo uso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ecuacin (47), las que desarrolladas por incremento finitos para una estrella regular resultan:..Ec.(6)Para efectuar el calculo se asigna a todos los puntos de la 1.e. que coincide con el eje y el mismo valor (cualquiera que se elija) a partir del cual se obtienen los restantes con ayuda de las ecuaciones ultimas.

10. Para dibujar las l.c. y l.e. definitivas se realiza una interpolacin con los valores finales de y y despus se unen los puntos de = cte, y = cte, conservando la condicin de .Por simplicidad se ha descrito el mtodo de la malla de cuadrados. En la practica existen otros dos mtodos: el matricial y el del elemento finito, basados tambin en la solucin de la ecuacin de Laplace por diferencias finitas. Los tres se resuelven con computadora y de ellos el ltimo de los nombrados es el de mayor versatilidad.

B. SOLUCIN ANALTICA DIRECTAEste mtodo consiste en obtener las funciones por integracin analtica en aquellos casos especiales en que es suficiente especificar la forma como varia la velocidad. Por simplicidad se opta por emplear la representacin escalar del vector velocidad.Los casos de mayor inters se refieren a: Flujo uniforme rectilneo. Fuente. Sumidero. Vrtice libre y combinado.C. SUPERPOSICIN DE FLUJOSEste mtodo se basa en la propiedad de superposicin de la funcin potencial y consiste en combinar las soluciones conocidas de los flujos simples antes enumeradas para encontrar soluciones de otros flujos ms complicadas como: Vrtice espiral. Flujo de una fuente a un sumidero. Doblete. Flujo en torno a un cilindro.D. MTODOS DE TRANSFORMACIN CONFORME (o de mapeo en el plano complejo)Mediante este mtodo las soluciones de flujos conocidas en un plano complejo se transforman en el flujo deseado en el plano tambin complejo Z = X + iY. En algunos casos se utilizan transformaciones conformes sucesivas hasta obtener el flujo deseado.E. ANALOGA ELECTRICA.Es posible emplear la analoga elctrica para obtener la solucin aproximada de un problema de flujo potencial. El mtodo se basa en la semejanza de la funcin potencial con el potencial elctrico E (voltaje), que tambin satisface la ecuacin de la Place, de tal manera que el vector grad E representa la intensidad elctrica del campo y es proporcional al campo de velocidades de un flujo potencial.EJEMPLOS DE APLICACION