Embed Size (px)
Citation preview
Osnove fizičkih mjerenjai statističke analize
- vježbe
Matko Mužević
***
Sadržaj
Uvod 1
1. Matematički uvod - kombinatorika 21.1 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Vjerojatnost 72.1 Osnovni pojmovi vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Uvjetna vjerojatnost. Adicijski i multiplikacijski teorem. Bayesov teorem. 8
3. Slučajne varijable 103.1 Matematičko očekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Diskretne i kontinuirane slučajne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Raspodjele 124.1 Raspodjele diskretnih slučajnih varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Raspodjele kontinuiranih slučajnih varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5. Funkcija izvodnica 145.1 Funkcija izvodnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Karakteristična funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6. Teorija grešaka 17
7. Teorija korelacija 19
8. Teorija uzoraka 208.1 χ 2 test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.2 t - test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Zadaci za vježbu 21
Literatura 23
ii
Uvod
***
1
1. Matematički uvod - kombinatorika
1.1. Kombinatorika
Permutacije bez ponavljanja:PN = N !
Permutacije s ponavljanjem:
PM1,M2,···N = N !
M1 ! M2 ! · · ·
Kombinacije bez ponavljanja:
KMN =
(N
M
)
Kombinacije s ponavljanjem:
K ′MN =
(N +M − 1
M
)
Varijacije bez ponavljanja:VMN = N !
(N −M) !
Varijacije s ponavljanjem:V ′MN = NM
Binomni poučak:
(A+B)N =N∑n=0
(N
n
)AN−nBn
2
1. MATEMATIČKI UVOD - KOMBINATORIKA 3
1.1. Koliko se različitih riječi može napraviti od slova iz riječi
(a) fizika,(b) matematika?
Rješenje:U riječi je važan poredak slova, pa se zato ovdje radi o permutacijama (moraju se ko-ristiti sva slova, pa zato nisu varijacije). Budući da se neka slova pojavljuju više puta(ponavljaju se), to će biti permutacije s ponavljanjem.(a)fizika
P 26 = 6 !
2 ! = 360
(b)matematika
P 2,3,210 = 10 !
2 ! · 3 ! · 2 ! = 151 200.
1.2. Koliko postoji mogućih načina ispunjavanja listića Lota 7/39:
(a) bez dopunskog broja?(b) s jednim dopunskim brojem?
Rješenje:S obzirom da nije važan redoslijed popunjavanja listića, od mogućih 39 brojeva biramo7 poželjnih. Ovdje se očito radi o kombinacijama bez ponavljanja - 39 elemenata kojestavljamo u razrede od 7:
K739 =
(397
)= 39 !
7 ! 32 ! = 15 380 937.
Ako još uključimo jedan dopunski broj, on se bira od preostalih 32 elementa:
K132 =
(321
)= 32
Uz svaku kombinaciju 7 brojeva možemo uzeti bilo koji od dopunskih brojeva pa jeukupni broj popunjavanja listića 7/39 s jednim dopunskim brojem jednak:(
397
)·(
321
)= 492 189 984.
1. MATEMATIČKI UVOD - KOMBINATORIKA 4
1.3. U ravnini je zadano šest točaka od kojih po tri ne leže na istom pravcu. Koliko jerazličitih pravaca određeno s tih šest točaka, a koliko različitih trokuta?
Rješenje:Pravac je određen s dvije točke (čiji poredak nije važan), pa je zato
Npravaca = K26 =
(62
)= 15.
Trokut je određen s tri točke (čiji poredak nije važan), pa je zato
Ntrokuta = K36 =
(63
)= 20.
1.4. U laboratoriju se nalazi po jedan otpornik slijedećih otpora:
1 Ω, 2 Ω, 5 Ω, 20 Ω, 35 Ω.
(a) Koliko se različitih otpora može formirati spajanjem tri otpornika u seriju? Koji suto otpori?(b) Koliko se otpora uopće može formirati serijskim spajanjem gornjih otpornika (bezobzira na broj otpornika u seriji)
Rješenje:(a) Budući da poredak otpornika nije važan, radi se o kombinacijama bez ponavljanjaod pet elemenata trećeg razreda
K35 =
(53
)= 10.
(b) Moguće je napraviti seriju od jednog, dva, tri, četiri ili pet otpornika. Svaka se serijamože formirati na
(5n
)načina i zato je ukupan broj serija jednak(
51
)+(
52
)+(
53
)+(
54
)+(
55
)= 25 − 1 = 31.
1.5. Snop od 52 karte sastoji se od karata u četiri boje, sa po 13 različitih vrijednosti.Iz snopa se biraju 2 karte, ali tako da nakon svakog izbora karte zapišemo njezinu vri-jednost, a samu kartu vratimo u snop. Na koliko se načina mogu odabrati:
(a) dvije karte iste boje,(b) dvije karte iste jakosti?
Rješenje:(a) Imamo četiri različite boje koje možemo izvući, a svaka boja sadrži 13 karata. Kako
1. MATEMATIČKI UVOD - KOMBINATORIKA 5
se prva izvučena karta vraća u špil, moguće ju je izabrati dva puta, stoga se radi okombinacijama s ponavljanjem:
4 ·K ′ 213 = 4 ·(
13 + 2− 12
)= 4 · 14 · 13
2 = 364
(b)Imamo trinaest karata različite jakosti koje možemo izvući, a svaka jakost ima 4različite boje. Kako se opet prva izvučena karta vraća u špil, moguće ju je izabrati dvaputa, stoga se opet radi o kombinacijama s ponavljanjem:
13 ·K ′ 24 = 13 ·(
4 + 2− 12
)= 13 · 5 · 4
2 = 130
1.6. Na raspolaganju su vam znamenke 2, 4, 7, 9. Koliko različitih troznamenkastih bro-jeva možete napisati od zadane četiri znamenke ako(a) se znamenke mogu ponavljati;(b) se znamenke ne mogu ponavljati?
Rješenje:To su varijacije s ponavljanjem četiri elementa trećeg razreda:
43 = 64
Ako se znamenke ne mogu ponavljati, onda su to varijacije bez ponavljanja, kojih ima(samo)
N !(N −M) ! = 4 !
1 ! = 24
1.7. Koliko prirodnih brojeva manjih od 108 sadrži točno pet znamenaka 7?
Rješenje:Za zapis broja manjeg od 108, potrebno je 8 znamenaka. Prema uvjetu zadatka, pet odtih osam znamenaka mora imati vrijednost 7. Ako zamislimo naš osmeroznamenkastibroj kao spoj 5 simbola 7 i 3 simbola koji nisu sedam, onda različitih poredaka sedmicau osmeroznamenkastom broju imamo kao permutacije s ponavljanjem:
P 5,38 = 8 !
5 ! · 3 ! = 56
Na preostala 3 mjesta mogu ići bilo koje od preostalih 9 znamenaka. Pošto različitporedak nam daje različite brojeve i znamenke se mogu ponavljati, radi se o varijacijamas ponavljanjem:
V ′ 39 = 9 3 = 729
1. MATEMATIČKI UVOD - KOMBINATORIKA 6
Svakoj permutaciji sedmica odgovara bilo koja varijacija preostalih 9 znamenaka pa jekonačno rješenje:
56 · 729 = 40 824
1.8. Izračunajte koeficijent uz a36 iz razvoja
(a6 + b7) 22.
Rješenje:
(a6 + b7) 22 =22∑k=0
(22k
)(a6)k (b7)22−k.
a36 = (a6)k∣∣∣k=6
Prema tome, (binomni) koeficijent je:(22k
)=(
226
)= 74 613.
2. Vjerojatnost
2.1. Osnovni pojmovi vjerojatnosti
2.1. Bačeno je dvanaest kocaka. Kolika je vjerojatno da se svaki od brojeva pojavi dvaputa?
Rješenje:...
2.2. Ispunili ste kombinaciju lota 7/39. Kolika je vjerojatnost da pogodite svih sedambrojeva? Kolika je vjerojatnost da pogodite šest od sedam odabranih brojeva? Kolikaje vjerojatnost da pogodite 5 od 7 odabranih brojeva?
Rješenje:...
2.3. U skupu od dvadeset i pet proizvoda pet ih je neispravno.(a) Kolika je vjerojatnost da prvi nasumce uzeti proizvod bude neispravan?(b) Iz skupa uzmemo odjednom pet proizvoda. Kolika je vjerojatnost da među njimabudu dva neispravna?
Rješenje:...
2.4. U kutiji se nalazi šest plavih i četiri crne kuglice. Slučajno se biraju tri kuglice.Kolika je vjerojatnost da su:(a) sve tri kuglice plave?(b) sve tri kuglice iste boje?(c) dvije plave i jedna crna?
7
2. VJEROJATNOST 8
Rješenje:...
2.5. Idealna kovanica se baca dok se ne pojavi pismo.(a) Kolika je vjerojatnost pojave pisma u prvih pet bacanja?(b) Kolika je vjerojatnost da se ne pojavi pismo u bilo kojem bacanju?
Rješenje:...
2.2. Uvjetna vjerojatnost. Adicijski i multiplikacijski te-orem. Bayesov teorem.
2.6. Promatra se skup od 20 000 osoba. Broj muškaraca i žena je 10 000. U skupu jeslijepo na boje 500 muškaraca i 25 žena. Promatraju se dva događaja: Događaj A jebiti slijep na boje, a događaj B je biti muškarac.(a) Izračunajte apsolutnu vjerojatnost događaja A.(b) Izračunajte apsolutnu vjerojatnost da je muškarac slijep na boje.(c) Izračunajte relativnu vjerojatnost da je osoba muškarac, ako je slijep na boje.(d) Provjerite multiplikacijski teorem.
Rješenje:...
2.7. Imamo dva snopa igraćih karata od po 52 karte svaki. Iz svakog snopa se izvlačipo jedna karta. Kolika je vjerojatnost da će bar jedna karta biti pikova dama?
Rješenje:...
2.8. U prvoj kutiji se nalaze dvije bijele i četiri crne kuglice, a u drugoj kutiji tri bijelei dvije crne kuglice. Slučajno se biraju dvije kuglice i prebace u drugu kutiju. Zatim seiz druge kutije izvuče jedna kuglica. Kolika je vjerojatnost da je ta kuglica bijela?
Rješenje:...
2.9. Dva strijelca su, nezavisno jedan od drugoga, gađali istu metu svaki ispalivši po
2. VJEROJATNOST 9
jedan hitac. Vjerojatnost da je prvi strijelac pogodio metu je 0.8, a da je pogodio drugivjerojatnost je 0.4. Poslije gađanja oba strijelca, ustanovljeno je da je meta pogođenasamo jednom. Kolika je vjerojatnost da je prvi strijelac pogodio metu?
Rješenje:...
3. Slučajne varijable
3.1. Matematičko očekivanje
3.1. Mirko i Slavko igraju sa dvije kocke. Mirko dobiva ako padne zbroj sedam, a Slavkoako padne zbroj deset. Dobitak iznosti 1200 kuna. Ako ne padne ni zbroj sedam ni zbroj10, svaki od igrača dobiva 600 kuna. Koliki moraju biti ulozi Mirka i Slavka da bi igrabila pravedna?
Rješenje:...
3.2. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable
3.2. Diskretna slučajna varijabla X može poprimiti vrijednost 1, 2, ..., N s vjerojatnošćurazmjernom vrijednosti varijable. Pronađite raspodjelu vjerojatnosti P (x).
Rješenje:...
3.3. Pronađite vjerojatnost da pravac koji prolazi točkom (0, 1) siječe apscisu u nekojtočki x.
Rješenje:...
10
3. SLUČAJNE VARIJABLE 11
3.4. Kontinuirana slučajna varijabla X je opisana gustoćom vjerojatnosti:
ρ(x) =
A cos 2x, −π
4 6 x 6 π4 ,
0, ostalo
(a) Izračunajte A.(b) Izračunajte funkciju raspodjele.(c) Izračunajte P (0 < x < π
8 )
Rješenje:...
3.5. Gustoća vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabla x i y je dana s:
ρ(x, y) =
k e−(x+2y), x > 0, y > 0
0, inače
gdje je k konstanta. Jesu li x i y međusobno zavisne ili nezavisne varijable? Izračunajtek. Izračunajte P (x > 1, y < 1), P (x < y), P (x 6 2).
Rješenje:...
3.6. Raspodjela vjerojatnosti diskretne slučajne varijable je dana s:
P (x) = 12x , x = 1, 2, 3, ...
Izračunajte raspodjelu diskretne slučajne varijable
Y = cos(πX)
Rješenje:...
4. Raspodjele
4.1. Raspodjele diskretnih slučajnih varijabla
4.1. Dan je niz brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8. Iz tog niza slučajnim izborom uzima seuzorak od tri broja. Označimo li s X najveći broj u uzorku tada je X slučajna varijabla.(a) Koje vrijednosti može poprimiti varijabla X?(b) Koje vjerojatnosti pripadaju pojedinim vrijednostima?(c) Kako glasi raspodjela vjerojatnosti varijable X?(d) Izračunajte očekivanje i standardnu devijaciju varijable X.
Rješenje:...
4.2. Jedna posuda sadrži 4 bijele i 3 crne kuglice. Slučajnim postupkom se uzima uzorakod 3 kuglice. Neka je X broj bijelih kuglica u uzorku. (a) Kolike su vjerojatnosti vrijed-nosti x = 0, 1, 2, 3? (b) Kako glasi raspodjela vjerojatnosti varijable X? (c) Izračunajteočekivanje i standardnu devijaciju varijable X.
Rješenje:...
4.3. Novčić se baca 4 puta za redom. Ako je broj pojavljivanja pisma slučajna varijablaX, izračunajte raspodjelu vjerojatnosti i srednju vrijednost pojavljivanja pisma.
Rješenje:...
4.4. Slučajna varijabla X je opisana Poissonovom raspodjelom. Ako je
P (x = 1) = P (x = 2)
12
4. RASPODJELE 13
izračunajte srednju vrijednost X i vjerojatnost P (x > 4).
Rješenje:...
4.2. Raspodjele kontinuiranih slučajnih varijabla
4.5. Za Gaussovu raspodjelu izračunajte mod i sva tri kvartila.
Rješenje:...
4.6. Za eksponencijalnu raspodjelu izračunajte mod i sva tri kvartila.
Rješenje:...
4.7. Koristeći definiciju gama raspodjele pokažite da je
Γ(1) = 1
Rješenje:...
4.8. Križanjem žutog hibridnog graška sa zelenim graškom dobilo se 138 685 žutih i 46042 zelenih sjemenki. Slaže li se ovaj rezultat s pretpostavkom da je vjerojatnost pojavezelenog graška 1
4?
Rješenje:...
5. Funkcija izvodnica
5.1. Funkcija izvodnica
5.1. Neka slučajna varijabla X može imati samo vrijednosti 0 i 1.(a) Izračunajte funkciju izvodnicu varijable X.(b) Izračunajte srednju vrijednost i varijancu.
Rješenje:...
5.2. Neka je raspodjela vjerojatnost kontinuirane slučajne varijable X na intervalu od 0do ∞ dana sa C e−λx gdje je λ pozitivna konstanta. Izračunajte(a) vrijednost konstante C.(b) izračunajte funkciju izvodnicu varijable X.(c) izračunajte srednju vrijednost i varijancu.
Rješenje:...
5.3. Neka je X kontinuirana slučajna varijabla na intervalu od 0 do 2. Gustoća vjero-jatnosti je(a) ρ(x) = 1
2(b) ρ(x) = x
2(c) ρ(x) = 3
8x2
Provjerite je li gustoća vjerojatnosti normirana. Izračunajte funkciju izvodnicu, srednjuvrijednosti i varijancu.
Rješenje:...
14
5. FUNKCIJA IZVODNICA 15
5.4. Neka je X kontinuirana slučajna varijabla na intervalu od 0 do ∞. Gustoća vjero-jatnosti je(a) ρ(x) = 2e−2x
(b) ρ(x) = e−2x + 12e−x
Provjerite je li gustoća vjerojatnosti normirana. Izračunajte funkciju izvodnicu, srednjuvrijednosti i varijancu.
Rješenje:...
5.2. Karakteristična funkcija
5.5. Diskretna slučajna varijabla X s jednakim vjerojatnostima poprima vrijednosti izskupa −2,−1, 0, 1, 2. Izračunajte njenu karakterističnu funkciju, srednju vrijednost ivarijancu.
Rješenje:...
5.6. Izračunajte karakterističnu funkciju geometrijske raspodjele.
Rješenje:...
5.7. Neka jeX kontinuirana slučajna varijabla na intervalu od 0 do∞. Gustoća vjerojat-nosti je ρ(x) = e−2x+ 1
2e−x. Provjerite je li gustoća vjerojatnosti normirana. Izračunajte
karakterističnu, srednju vrijednosti i varijancu.
Rješenje:...
5.8. Cauchyjeva raspodjela ima karakterističnu funkciju
Cx(k) = e−|k| .
Izračunajte gustoću vjerojatnosti Cauchyjeve raspodjele.
Rješenje:...
5. FUNKCIJA IZVODNICA 16
5.9. Neka raspodjela ima karakterističnu funkciju
Cx(k) = e−k22
Izračunajte gustoću vjerojatnosti te raspodjele. O kojoj se raspodjeli radi?
Rješenje:...
6. Teorija grešaka
6.1. Valna duljina svjetlosti, λ, se može izračunati i pomoću Fresnelovih pruga interfe-rencije, formulom
λ = ad
D
gdje su: a je razmak između koherentnih izvorima svjetlosti, d razmak između susjedniminterferentnim prugama, D je razmak od izvora do zaslona na kome se promatraju pruge.Razmak d se mjeri s točnošću od 10−3 cm. Odredite s kojom najmanjom točnošću trebamjeriti a i D, ako je početnim mjerenjem a, d i D dobiven njihov red veličina:
a = 0, 5 cm, d = 0, 02 cm, D = 160 cm
Rješenje:...
6.2. Kut je mjeren šest puta i dobivene su slijedeće vrijednosti:
φ1 = 3445′52′′
φ2 = 3445′47′′
φ3 = 3445′23′′
φ4 = 3445′39′′
φ5 = 3445′41′′
φ6 = 3445′53′′
pronađite navjerojatniju vrijednost kuta i pridruženu ocjenu greške.
Rješenje:...
17
6. TEORIJA GREŠAKA 18
6.3. Zadane su tri točke: (1, 1), (2, 2), (3, 4). Povucite pravac koji prolazi najbliže (usmislu najmanjih kvadrata) ovim točkama.
6.4. Zadan je skup od N = 21 točke (xn, yn)
−0.011192121900844 −1.36522729793271−1.43313682440581 −0.965462829395738−0.407331033330689 1.40724858888753−1.14016536777290 1.194136181011880.943005523342006 0.5338868484954100.701368029560726 0.9384730332603550.369216706961920 1.21137161426431−1.79213258197845 −0.348924977441798−0.791570667806508 −1.34629232253308
0.701367978334408 −0.9384730630249430.943005534905101 −0.533886878726904−1.79213260006929 0.348924987022810−1.65442236286842 0.677412258171552−1.43313675541534 0.965462909334867−0.791570658662658 1.34629220625940−0.01119216977491 1.365227342491190.369216674809621 −1.21137155981197−0.407330948588808 −1.40724862037250−1.14016548134779 −1.19413621958332−1.65442233858238 −0.677412211626980−1.83887671453875 0.00000000000000.
Izračunajte parametre x0 i R kružnice određene ovim točkama.
7. Teorija korelacija
7.1. Zadan je slijedeći skup podataka:
x = 1 x = 2 x = 3 tyy = 5 119 6 0 125y = 6 103 51 1 155y = 7 10 16 2 28y = 8 1 5 5 11y = 9 0 0 2 2tx 233 78 10 321
Izračunajte i nacrtajte korelacijske krivulje, korelacijske pravce i izračunajte koeficijentkorelacije.
19
8. Teorija uzoraka
8.1. Ako se prigodom bacanja jedne kocke okrene ili broj 4 ili broj 5 ili broj 6, onda tonazivamo događajem A. Izvodi se slijedeći pokus: baci se odjednom 12 kocaka i brojise koliko se puta dogodio A. Taj broj označimo s x. Ovaj pokus se izvede 4 096 puta isvaki se puta utvrdi koliki je x. Rezultat ovakvog prebrojavanja je dan donjom tablicom
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12tx 0 7 60 198 430 731 948 847 536 257 71 11 0. (8.1)
Pomoću ovih podataka pronađite ocjenu za x.
8.1. χ 2 test
8.2. Pomoću χ2 testa, odredite odgovara li raspodjela događaja A u prethodnom zadatkubinomnoj raspodjeli. Komentirajte rezultate.
8.2. t - test
***
20
Zadaci za vježbu
1. Bacimo 5 komada novca od 1 kune. Kolika je vjerojatnost da ćemo dobiti 3 puta"pismo", 2 puta "glavu"?
2. Kutija I sadrži 1 bijelu i 2 crne kuglice, kutija II 3 bijele i 1 crnu, kutija III 2bijele i 3 crne. Iz svake kutije izvuče se jedna kuglica. Kolika je vjerojatnost da ćeizmeđu izvučenih kuglica biti dvije bijele i jedna crna?
3. Iz jednog snopa od 52 karte vučemo jednu kartu za drugom. Kolika je vjerojatnostda će točno 10 karata biti izvučeno prije nego što izvučemo prvi as?
4. Kutija I sadrži 10 bijelih i 3 crne kuglice, kutija II sadrži 3 bijele i 5 crnih kuglica.Prenosimo 2 kuglice iz kutije I i unesimo ih u kutiju II, zatim izvucimo jednukuglicu iz kutije II. Kolika je vjerojatnost da je to bijela kuglica?
5. Kutija I ima 3 bijelih i 2 crne kuglice. Kutija II ima 2 bijele i 5 crnih. Odaberemona sreću jednu kutiju i izvucimo iz nje kuglicu. Kolika je vjerojatnost da je takuglica bijela?
6. Ako je 10 kocaka bačeno istodobno, kolika je vjerojatnost da će pojedini od brojeva1, 2, 3, 4, 5, 6 ispasti barem jedanput?
7. Kutija I sadrži 1 bijelu i 2 crne kuglice, kutija II 2 bijele i 1 crnu, kutija II 2 bijele i2 crne. Jednu kuglicu prenesimo iz I u II, zatim jednu kuglicu iz II u III i konačnoizvucimo jednu iz III. Kolika je vjerojatnost da je izvučena kuglica bijela?
8. Jedan hostel ima 6 soba za samce. Za te sobe ima 10 zainteresiranih, od kojihsu 6 muškarci i 4 žene. Ako se sobe izdaju po redu kako netko dođe, kolika jevjerojatnost:
(a) da će sobu dobiti svi muškarci , a nijedna žena?(b) da će sobu dobiti 4 muškarca i 2 žene?(c) da će barem 2 žene od njih 4 dobiti sobu?
9. 4 karte označene su redom sa 1, 2, 3, 4. Pomiješamo ih i podijelimo osobama kojenose također oznake 1, 2, 3, 4. Kolika je vjerojatnost da nijedna osoba neće dobitikartu svog broja?
21
8. TEORIJA UZORAKA 22
10. Kocka se bacak 12 puta? Kolika je vjerojatnost da će ploha označena sa 4 pastitočno 2 puta?
11. Petar baca kocku dok ne padne 1, ali je može bacati najviše tri puta. Kolika jevjerojatnost da će pasti 1 ili u prvom ili u drugom ili u trećem slučaju?
12. U jednoj kutiji imamo 40 000 kartica numeriranih od 1 do 40 000. Tri karticedobivaju. Ako netko uzme na sreću 8 000 kartica, kolika je vjerojatnost da ćedobiti barem jedan zgoditak? Kolika je vjerojatnost da će dobiti sva tri zgoditka?
13. Koja je vjerojatnost da ćemo ako bacimo 2 kocke 3 puta za redom dobiti najmanjejedanput na obje kocke isti broj?
14. U jednoj kutiji imamo 30 kuglica: 10 bijelih, 10 crnih i 10 crvenih. Uzmimo nasreću 3. Kolika je vjerojatnost da ćemo imati kuglicu svake boje?
15. Kolika je vjerojatnost da ćemo baciti točno tri jedinice ako bacimo pet puta kocku?
16. Kolika je vjerojatnost da ćemo baciti barem tri jedinice ako bacimo pet puta kocku?
17. Za stolom sjede 5 muškaraca i 5 žena. Kolika je vjerojatnost da neće sjediti dvojicajednakog spola zajedno?
18. Imamo kutiju sa 100 čavlića, od kojih su 90 besprijekorni, a 10 pokvareni. Akoiz kutije izvlačimo na sreću 10, kolika je vjerojatnost da će svih 10 biti besprije-korni? Pritom se pretpostavlja da se izvućeni čavlić ne vraća u kutiju. Kolika jevjerojatnost ako izvučeni čavlić opet vratimo u kutiju, da će svih 10 izvučenih bitibesprijekorni?
19. Bacimo tri kocke. Neka su na sve tri kocke različiti brojevi. Kolika je vjerojatnostda će na jednoj od tri kocke biti broj 4?
20. Baca se kocka. Koliko puta treba baciti kocku da bude vjerojatnost 99% da baremjedanput padne 6?
Literatura
23
