Osnove inženjerskog proračuna - unin.hrunin.hr/~kpisacic/Skripta_OIP.pdf · Objašnjenje: Nagib od 10% znači da se primjerice na 100 m ceste, teren uzdiže ili spušta 10 m. Primjer

OsnoveinženjerskogproračunaSkriptazastudenteSveučilištaSjever

Katarina Pisačić, UNIN 2014.

Osnove inženjerskog proračuna

1

1 Kut

Kut je dio ravnine omeđen s dva pravca koja se sijeku. Obično se obilježava

kružnim lukom među pravcima. Ako je duljina luka manja od četvrtine opsega kružnice, kut

je šiljast ili oštar, ako je jednaka četvrtini, kut je pravi, ako je veća od četvrtine a manja od

polovine, kut je tup, ako je jednaka polovini, kut je ispružen, ako je veća od polovine, kut je

izbočen ili konkavan, i napokon, ako je jednaka opsegu kružnice, kut je puni.

Dva kuta su komplementarna ako im je zbroj pravi kut, a suplementarna ako im je zbroj

ispruženi kut. Najvažnije jedinice mjere kuta su stupnjevi (°) i radijani (rad).

Kut od jednog radiana je kut koji obuhvaća kružni luk čija je duljina jednaka radijusu

tog luka.

Slika 1.1 Radijanska mjera kuta

Označimo sa Φ kut izražen u radijanima a sa φ označimo kut izražen u

stupnjevima. Tada formule za pretvorbu izgledaju:

2360

(1)

3602

(2)

Formule u kojima se koristi lučna mjera kuta:

Duljina kružnog luka:

duljina kružnog luka =

1 radian

radiju


2

s r (3)

Opseg kruga:

2O r (4)

Površina kruga:

2A r (5)

Površina kružnog isječka:

2

2

rA

(6)

Kutevi s okomitim kracima su sukladni (sl. 1.1) (Sukladnost je istovremena sličnost i

jednakost odn. podudarnost geometrijskih likova.)

ZADACI – PRETVORBA RADIJANA U STUPNJEVE

1. Zadane su mjere kuta u stupnjevima, pretvorite ih u radijane

50 , 72 , 93 , 105 , 126 , 157 , 293 , 402

2. Zadane su mjere kuta u radijanima, pretvorite ih u stupnjeve

30.2 rad, 2 rad, 6 rad, 7.2 rad, 2.5 rad, rad, rad, 12 rad

2 3

Slika 1.2 Kutevi s okomitim kracima


3

2 Trokut

2.1 Sličnost trokuta Trokut omeđuju tri stranice, a njihove duljine označavamo malim slovima. Obično duljine

stranica označavamo slovima a , b i c .

Vrh trokuta je zajednička točka dviju stranica. Vrhove označavamo velikim tiskanim

slovima, a obično A, B i C. Unutarnji kutovi trokuta označavaju se uglavnom malim grčkim

slovima , i . Uobičajeno je da se označava abecednim redom i to tako da je vrh

kuta točka A, a nasuprot je stranica a (analogijom se označavaju i ostali kutevi, točke i

stranice)

Slični trokuti imaju jednake kuteve i proporcionalne stranice.

Trokuti su slični ako je ispunjen neki od sljedeća četri uvjeta:

SSS: trokuti imaju sve tri stranice proporcionalne

1 1 1: : :a a b b c c . (7)

SKS: trokuti imaju dvije stranice proporcionalne i kuteve među njima jednake

1 1 1, : :b b c c . (8)

KK: trokuti imaju dva kuta jednaka kuta

1 1, . (9)

SSK: trokuti imaju dvije stranice proporcionalne, a kutovi nasuprot većoj stranici su

sukladni

c A

C

B

a b

A' B'

C'

k a k b

k c

Slika 2.1 Sličnost trokuta


4

1 1 1, : : , ( )a a b b a b . (10)

Površine sličnih trokuta proporcionalne su kvadratima stranica.

2.2 Pravokutni trokut

Kutevi u pravokutnom trokutu: 90 , 90

Stranice koje se nalaze uz pravi kut, odnosno zajedno tvore pravi kut nazivaju se katete, a

stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza

Pitagorin teorem:

Površina kvadrata nad hipotenuzom

jednaka je zbroju površina kvadrata

nad katetama

2 2 2c a b

Odnosi kateta i hipotenuze:

sin , sin

cos , cos

a a

c cb a

c c

(11)

Odnosi među katetama:

tg , tg

ctg , ctg

a b

b ab a

a b

(12)

Riječima: Sinus kuta kojeg čine kateta i hipotenuza jednak je omjeru nasuprotne katete i

hipotenuze. Kosinus tog kuta jednak je omjeru priležeće katete i hipotenuze. Tangens tog

kuta jednak je omjeru nasuprotne i priležeće katete. Kotangens kuta jednak je omjeru

Slika 2.2 Pravokutni trokut

AC

B

a

b

c

cos

sintg

ctg

Slika 2.3 Jedinična kružnica


5

priležeće i nasuprotne katete. Tangens i kotangens kuta su obrnuto proporcionalni:

-1 1ctg tg

tg

(13)

2.2.1 Nagib Nagib se izražava u postocima, a dobiva se iz formule:

tan( ) 100% 100%H

iL

(14)

%nagib i - nagib u postocima

mL - horizontalni razmak između

točaka

mH - visinska razlika točaka

Primjer 1. Ako je nagib 10% izračunajte koliki je kut.

10tan( )

100i

10arctan( ) 5.711

100

Objašnjenje: Nagib od 10% znači da se primjerice na 100 m ceste, teren uzdiže ili spušta 10 m. Primjer 2. Koliki je nagib ceste ako kut iznosi 45 ?

tan( ) 100% tan(45 ) 100% 100%i

Slika 2.4 Nagib

B

CA

c

b L

a H


6

ZADACI – PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA (sa rješenjima) 1. Izračunajte duljine stranica i kutove pravokutnog trokuta ako je zadano:

a) 260 cmP , 28 4 '21''

28.072deg sin ( )

a

c cos ( )

b

c P

a b2

b) 23 cma b , 17 cmc


7

a2

b2

c2

a b 23cm c) 24 cma , 6.72 cmv

sin ( )

v

a sin ( )

v

b a2

b2

c2

d) : 3 : 4a b , 19.2 cmv

tan ( )

3

4 sin ( )

v

b sin ( )

v

a 90deg deg a

2b

2 c

2


8

e) 120 cmO , 30

sin ( )

a

c cos ( )

b

c O a b c

2. Visina pravokutnog trokuta dijeli trokut na dva dijela kojima se površine odnose kao 1:4. Koliki su kutovi tog trokuta?

tan ( )b

a

4

1 75.964deg 14.036deg

3. Smetrala pravog kuta pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu na dijelove čije su duljine u

omjeru 2:3. Koliki su kutovi tog trokuta?

2

sin 45deg( )

v

sin ( ) v sin ( )

2

sin 45deg( )

3

sin 45deg( )

v

sin ( )

v

cos ( ) v cos ( )

3

sin 45deg( )

sin ( )2

sin 45deg( ) cos ( )

3

sin 45deg( )

sin ( )

cos ( )

3

sin 45deg( )

sin 45deg( )

2

tan ( )3

2 56.31deg 33.69deg


9

ZADACI – PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA

4. Izračunajte: 55 77 26

sin cos6 3 4

tg

5. Izračunajte: 113 71 115

sin cos3 6 4

ctg

6. Izračunajte:

8

13

8

17

18

9

8

5

ctgctg

ctgctg

7. Izračunajte:

145sin35sin125sin55sin

162sin12sin108sin282sin

8. Izračunajte: 12

23sin

12

41sin

9. Izračunajte:

41cos1

53sin37sin2

10. Izračunajte:xx

xxxx22 cos3cos

sin3coscos5sin

11. Izračunajte: 24

43cos

24

85cos

2.3 Općeniti trokut, sinusov i kosinusov poučak

2.3.1 Sinusov poučak Dužina CD v označava visinu spuštenu iz

točke C. Time je trokut podijeljen na dva

pravokutna trokuta. Iz slike se vidi da je

sinb v , što znači da je sinv b

ali isto tako je sinv a . Znači da vrijedi:

sin sina b , ili sin sin

a b

.

Na potpuno isti način se može

dokazati da je sin sin

b c

Sinusov poučak glasi: Omjer stranice trokuta i sinusa nasuprotnog kuta jednak je za sve

stranice trokuta.

Slika 2.5 Općeniti trokut

c A

C

B

a b

R

D


10

sin sin sin

a b c

(15)

Ovaj odnos jednak je promjeru opisane kružnice:

2sin

aR

ZADACI - SINUSOV POUČAK

1. Riješite trokut ako su zadani 50 , 72 , 4.6 cma

(dva kuta i stranica nasuprot jednoga od njih)

2. Riješite trokut ako su zadani 56 23', 4.56 cm, 5.71 cma b

(dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici)

3. Riješite trokut ako su zadani 3 cm, 5 cm, 30a b (dvije stranice i kut nasuprot

manjoj stranici)

4. Riješite trokut ako su zadani opseg trokuta 20 cm i dva kuta 41.6 i 69.5 .

5. Razlika duljina dviju stranice trokuta je 6 cm , a kutevi nasuprot tim stranicama

su 32.6 i 75.8 . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta.

6. Riješite trokut ako su zadani 3.68 cma i 35 37 ', 36 47 '36''

2.3.2 Kosinusov poučak Dužina CD je visina iz točke C. Iz slike čitamo da je

22 2ADb v

22 2 2( BD ) BDb c a

2 22 2 22 BD BD BDb c c a

2 2 2 2 BDb a c c

Iz slike se vidi da je kut uz B jednak BD

cosa

znači da je BD cosa .

To uvrstimo u gornju formulu i dobijemo:

2sin sin sin

a b cR

R ... polumjer opisane kružnice


11

2 2 2 2 cosb a c ac . (16)

Na isti način možemo izvesti i za ostale stranice

Kosinusov poučak glasi: Kvadrat stranice u trokutu jednak je zbroju kvadrata drugih dviju

stranica, umanjenom za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

(17)

ZADACI - KOSINUSOV POUČAK

1. Riješite trokut ako je 40 cm, 37 cma b i 18

(dvije stranice i kut između njih)

2. Riješite trokut ako je 17 cm, 10 cm, 9 cma b c

(tri stranice)

3. Duljine stranica trokuta su u omjeru 3 : 4 : 5. Odredite najmanji

kut trokuta.

4. Odredite kutove trokuta ako je 20 cm, 13 cm, 21 cma b c

5. Odredite stranicu c ako je 20 cm, 18 cm, 48 40'a b

6. Odredite stranicu a ako je 1.2 m, 3.4 m, 63 50'b c

7. Odredite stranice a i b ako je 10 cm, 5 cm, 62 10'cc v

8. Odredite ct ako je 82 cm, 56 cm, 98 26'a b

ab

cbacos

ac

bcacos

bc

acbcos

2

2

2

222

222

222

cosabbac

cosaccab

cosbccba

2

2

2

222

222

222


12

9. Iz točke A na moru vidi se vrh

svjetionika pod kutem '1911 , a iz

točke B koja je za d = 52,7m bliže,

vidi se vrh pod kutem '4830 , a

podnožje pod kutem '459 . Kolika

je

visina svjetionika?

10. Kolike su napetosti na dijelovima AC i

BC konstrukcije ako je G = 4750N,

',' 45311274 ?

11. Dva broda isplovila su pod kutem od

37 . Dok je jedan brod prešao 32km,

drugi je prešao 25km. Koliko su tada

bili udaljeni jedan od drugoga?

12. Na putu iz grada A u grad B zrakoplov

je skrenuo s kursa '3812 . Nakon 78

km leta pilot je ispravio kurs i letio još

120km do mjesta B. Ako zrakoplov leti

stalnom brzinom 420km na sat,

izračunajte

koliko je

vremena

zrakoplov

dulje letio

zbog skretanja?

13. Brod plovi prema luci i od nje je

udaljen 12km. Nakon što su prešli 5

km kapetan shvati da je skrenuo s

kursa za 21 . Koliko su tada bili

udaljeni od luke?


13

3 Jednadžba pravca

3.1 Implicitna jednadžba pravca Implicitna jednadžba pravca je

ax by c (1)

gdje su a, b i c realni brojevi, pri čemu je barem jedan od brojeva a i b različit od nule.

3.2 Eksplicitna jednadžba pravca Eksplicitna jednadžba pravca je

y kx l (2)

pri čemu su k i l realni brojevi ( k je koeficijent smjera pravca, a l njegov odsječak na osi

y ).

1 0

1 0

tany y

kx x

(3)

3.3 Segmentni oblik jednadžba pravca Segmentni oblik jednadžbe pravca je

1x y

m n (4)

gdje su m i n realni brojevi različiti od nule. Točke ( ,0)m i (0, )n su točke presjeka pravca i

koordinatnih osi.

Slika 3.1 Pravac u ravnini

y

x0 0 0P ( , )x y

1 1 1P ( , )x y

m

n


14

3.4 Jednadžba pravca kroz dvije točke Jednadžba pravca koji prolazi točkama 0 0A( , )x y i 1 1B( , )x y (uz uvjet 0 1x x ) glasi:

1 00 0

1 0

( )y y

y x x yx x

(5)

Implicitna jednadžba se lagano dobije množenjem s 1 0x x i sredivanjem izraza:

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )y y x x x y y y x x x y (6)

pri čemu se ova formula smije upotrijebiti i u slučajevima kada vrijedi 0 1x x .

3.5 Jednadžba pravca sa zadanim koeficijentom smjera koji prolazi kroz jednu točku

Jednadžba pravca koji prolazi točkom 0 0A( , )x y i ima koeficijent smjera k je:

0 0( )y k x x y (7)

presjeci pravca i koordinatnih osi

Točka presjeka pravca i osi x se dobije tako da se u jednadžbu pravca uvrsti 0y i

dobivena jednadžba riješi po x . Dobiveno rješenje 0x određuje traženu točku presjeka s

osi x : 0( ,0)x .

Točka presjeka pravca i osi y se dobije tako da se u jednadžbu pravca uvrsti 0x i

dobivena jednadžba riješi po y . Dobiveno rješenje 0y određuje traženu točku presjeka s

osi y : 0(0, )y .

3.6 Skiciranje pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu Budući je pravac jednoznačno određen s dvije svoje točke, dovoljno je odrediti položaj

dviju njegovih točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu i zatim skicirati pravac koji

njima prolazi. Da bi skica bila preciznija, može se odrediti i više od dvije točke, a korisno je

odrediti i sjecišta pravca s koordinatnim osima.


15

3.7 Skiciranje pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu

Ako su koordinate točke A AA( , )x y i točke B BB( , )x y .

Koordinate polovišta su :

A BP =

2

x xx

i A B

P =2

y yy

(8)

Udaljenost točaka:

2 2A B A BAB = ( ) ( )x x y y (9)

Koeficijent smjera pravca:

A B

A B

= tany y

kx x

(10)

Ako su zadana dva pravca 1 1y k x l i 2 2y k x l :

Pravci su okomiti kada su im koeficijenti smjera recipročni i suprotnog predznaka:

21

1=k

k

(11)

Pravci su paralelni kada imaju jednake koeficijente smjera: 2 1= k k

kut između tih pravaca iznosi:

2 1

2 1

tan( )1

k k

k k

(12)

Površina trokuta kojemu su vrhovi A AA( , )x y , B BB( , )x y , C CC( , )x y :

A B C B C A C A B

1( ) ( ) ( )

2P x y y x x x x x x (13)

Udaljenost točke 0 0T( , )x y i pravca 0Ax By C :

0 0

2 2

Ax By Cd

A B

(14)

ZADACI – JEDNADŽBA PRAVCA (sa rješenjima)

1. Odredite površinu trokuta što ga pravac 8 3y x zatvara s koordinatnim osima.


16

2. Odredite jednadžbu pravca paralelnog pravcu 2 4 0x y koji prolazi točkom

T(-2, -1) .

3. Odredite jednadžbu pravca okomitog na pravac 13 4

x y koji prolazi točkom T(-4, 1) .


17

4. Odredite jednadžbu pravca okomitog na pravac kroz točke: A(1, 2) , B( 2, 4) koji

prolazi točkom T(-3, 0) .


18

5. Odredite udaljenost T(2, 3) od pravca 3

24

y x .

ZADACI – JEDNADŽBA PRAVCA

6. Zadane su točke A( 8, 4) i B(2,9). Napišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik

jednadžbe pravca koji prolazi točkama A i B, odredite sjecišta pravca s koordinatnim

osima i skicirajte pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

7. Zadane su točke A( 3, 3) i B(3, 7) . Napišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik

jednadžbe pravca koji prolazi točkama A i B, odredite sjecišta pravca s koordinatnim

osima i skicirajte pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

8. Zadane su točke A( 3, 3) , B(3, 4) i C(6,8) . Napišite jednadžbe pravca koji prolaze

točkama A i B te B i C, odredite koeficijente smjera pojedinog pravca i skicirajte pravce

u pravokutnom koordinatnom sustavu.


19

4 Metoda najmanjih kvadrata - MNK

Linearna metoda najmanjih kvadrata zasniva se na jednadžbi pravca

y a bx (15)

(Eksplicitni oblik jednadžbe pravca smo u prethodnom poglavlju zapisivali u obliku

y l kx )

koristi se da bismo zadani skup podataka, 1 1,x y , 2 2,x y ,..., ,n nx y , gdje ne 2n opisali

pomoću jednadžbe pravca.

Metoda najmanjih kvadrata zasniva se na izjavi da krivulja koja najbolje aproksimira

zadane podatke ima najmanji kvadrat greške odstupanja:

2 2

1 1

( ) ( ) minn n

i i i ii i

y f x y a bx

(16).

Pri čemu su a i b nepoznati koeficijenti, a zadani su ix i iy . Da bi se postigla najmanja

pogreška razlike kvadrata prva parcijalna derivacija gornjeg izraza po a i b mora dati

nulu.

1

1

2 ( ) 0

2 ( ( )) 0

n

i ii

n

i i ii

y a bxa

y a bx xb

(17)

Sređivanje gornjih izraza dobije se:

1 1 1

2

1 1 1

1n n n

i ii i i

n n n

i i i ii i i

y a b x

x y a x b x

(18)

Odakle nepoznate parametre a i b dobijemo računajući sljedeći izraz:

2

22

22

y x x xya

n x x

n xy x yb

n x x

(19)

Gdje znači 1

...n

ii


20

Pri čemu se ukupna greška računa:

2

1

2

1

( ( ) )n

i ii

n

ii

f x ys

y

(20)

ZADACI – MNK

1. Koristeći linearnu metodu najmanjih kvadrata pronađi pravac koji najbolje aproksimira

zadane točke. Odredi grešku aproksimacije.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0.360024 2.66888 5.98046 9.54012 11.2017 15.0563 18.45 20.3067 24.8276 26.9515 29.4022

Rješenje:

0.08303309090909661 + 2.9787658181818184* x


21

y = 2,978765818182x + 0,083033090909

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Zadana funkcija

Aproksimacija


22

5 Linearna interpolacija

Interpolacija dolazi od riječi inter između i polos os, osovina, odnosno točka, čvor. Svako

izračunavanje nove točke između dviju ili više postojećih točaka podataka je interpolacija.

Postoje mnoge metode interpolacije od kojih mnoge uključuju prilagođavanje nekakve

vrste funkcije zadanim podacima i zatim procjenu vrijednosti te funkcije na željenoj točki.

Danom nizu od n različitih brojeva kx koje nazivamo čvorovi tako da za svaki kx postoji

drugi broj ky , naći ćemo funkciju f za koju vrijedi

( ) , 1,...,k kf x y k n (21)

Par kx , ky naziva se točka podataka, a f se naziva interpolant za te točke podataka.

Jedan od oblika interpolacije je izračun aritmetičke sredine iz vrijednosti dviju susjednih

točaka kako bi se odredila točka u njihovoj sredini. Isti se rezultat dobiva određivanjem

vrijednosti linearne funkcije u srednjoj točki.

Linearna interpolacija (ponekad se naziva linterp) je jedna od najjednostavnijih metoda

interpolacije. Kod ove metode se vrijednosti funkcije između dvije susjedne točke grafa

,a ax y i ,b bx y prikazuju kao da leže na pravcu između te dvije točke. Dakle, za

,a bx x x se uzima da je interpolant zadan:

( )( )

( )b a

a ab a

y yy y x x

x x

(22)

na točki ,x y .

Linearna interpolacija je brza i lagana, no nije odveć precizna.


23

Primjer 1 Pretpostavimo da imamo tablicu u kojoj su navedene vrijednosti nepoznate

funkcije f .

x f(x)

0 0

1 0.8415

2 0.9093

3 0.1411

4 -0.7568

6 -0.9589

6 -0.2794

Interpolacija osigurava način procjenjivanja funkcije na međutočkama, npr. ako 2.5x .

Budući da je 2.5 sredina između 2 i 3 , razumljivo je uzeti sredinu (2.5)f

između (2) 0.9093f i (3) 0.1411f , što daje rezultat od 0.5252 .

(0.1411 0.9093)0.9093 (2.5 2) 0.5252

(3 2)y

Slika 5.1 Vizualno predočeni podaci iz tablice

Slika 5.2 Prikaz podataka sa dodanom linearnom interpolacijom

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6


24

Primjer 2 Na slici je prikazana tablično zadana funkcija.

x ( )f x 0 -1 1 1 3 3 4 5 5 7 8 6

Odredi vrijednost (2.6)f .

(3) (1)(2.6) (1) (2.6 1) 2.6

3 1

y yf y

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Slika 5.3 Vizualni prikaz podataka

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Slika 5.3 Linearna interpolacija


25

6 Mjerne jedinice i SI sustav

Medunarodni sustav jedinica SI (kratica SI izvedena je prema francuskom nazivu Le System

International d'Unites) je moderni metrički sustav mjera, kojeg je uspostavila 1960. Generalna

konferencija o utezima i mjerama (CGPM, Conférence Générale des Poids et Mesures). CGPM je

međunarodna organizacija koja se brine o širenju SI i po potrebi njegovoj modifikaciji, sukladno

napretku u znanosti i tehnologiji. Sadašnja verzija SI, usvojena 1971., temelji se na sedam

osnovnih jedinica za sedam osnovnih veličina koje su medusobno neovisne.

Tablica 6.1 Osnovne fizikalne veličine i pripadne jedinice SI sustava

FIZIKALNA VELIČINA

NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL

Duljina l metar m

Masa m kilogram kg

Vrijeme t sekunda s

Električna struja I amper A

Termodinamička temperatura T kelvin K

Količina tvari n mol mol

Intenzitet svijetlosti Iv kandela cd

Tablica 6.2 Dopunske SI jedinice

FIZIKALNA VELIČINA


Kut , , , ... radijan rad

Prostorni kut , , , ... steradijan sr

Sve druge veličine, nazvane izvedene veličine, mogu se definirati pomoću tih sedam osnovnih

veličina. Sukladno tome, izvedene veličine imaju izvedene jedinice.


26

Tablica 6.3 Neke od izvedenih SI jedinica bez posebnih znakova i naziva

FIZIKALNA VELIČINA


Površina , A S četvorni metar 2m

Volumen V kubni metar 3m

Brzina v metar u sekundi

m/s

Ubrzanje a metara u

sekundi na kvadrat

2m/s

Gustoća kilograma po

kubičnom metru

3kg/m

Obujamni protok Q kubičnih metara u sekundi

3m /s

Moment sile M njutn metara Nm

Neke od izvedenih velicina toliko su česte i važne u praksi da su njihove (izvedene) jedinice dobile

specijalni naziv i oznaku (simbol). SI sustav ima 22 takve specijalne oznake, a za naše potrebe

nabrojat ćemo samo sljedeće:

Tablica 6.4 Neke od izvedenih SI jedinica s posebnim imenom

FIZIKALNA VELIČINA


Frekvencija f herc (hertz) Hz

Sila F njutn (newton) N

Tlak, naprezanje p paskal (pascal) Pa, N/m2

Energija E džul (joule) J

Snaga P vat (watt) W

Električni napon , U V volt V

Količina elektriciteta Q kulon (coulomb)

C

Električni otpor R om (ohm) Ω


27

Primjer:

Po definiciji je sila = masa · akceleracija

masa je osnovna veličina (ne definira se pomoću drugih pojmova)

akceleracija nije osnovna veličina; ona se definira kao brzina/vrijeme, pa zahtjeva prethodno

definiranje brzine: brzina = dužina/vrijeme;

brzina je izvedena veličina koja je definirana samo s osnovnim veličinama.

Konačno, složeni pojam sile može se objasniti korištenjem samo osnovnih pojmova (veličina):

sila = masa · dužina · vrijeme-2 ,

a s jedinicama: N = kg · m · s-2.

Pojmovi tlak, energija i snaga su složeniji od pojma sila, pa bi izražavanje tih veličina s osnovnim

jedinicama bilo vizualno još kompliciranije i stoga nepraktično. To je i razlogom da su za

kompleksnije kombinacije osnovnih jedinica uvedene nove oznake, poput N u našem primjeru.

SI definira 20 prefiksa, za potencije na bazi 10, koji se mogu koristiti uz osnovne ili izvedene

jedinice. U inženjerskoj praksi korištenje prefiksa je svakodnevica, pa samim time i prijeka

potreba, tako da će se u kolegiju dat poseban naglasak na račun s prefiksima, kako bi student čim

brže i bolje savladao njihovo korištenje.

Tablica 6.5 SI prefiksi

Faktor Naziv Oznaka Faktor Naziv Oznaka

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1015 peta P 10-6 micro μ

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto ha 10-21 zepto z

101 deka da 10-24 yocto y


28

ZADACI – JEDINICE (sa rješenjima)

1. Odredite smično naprezanje ako je zadano:

45 kN = 45000 NF 0.6 cm =0.006 m = 2 D r

Površina se računa po izrazu: 2 2 2 = (0.003 m) =0.00003 mA r

Ukupna smična sila se dijeli na četiri zakovice: 45000 N

= 11250 N4 4

FV

Smično naprezanje se računa prema: 2

2

11250 N = 375000000 N/m 375 MPa

0.00003 m

V

A

2. Odredite smično naprezanje ako je zadano:

7500 NmM 10 cm = 0.1 m = 2D R

Polarni moment tromosti: 4 4 41 1

(0.05 m) 0.00000982 m2 2

I R

Smično naprezanje iznosi: 2

4

( 7500 Nm)(0.05 m)= 38200000 N/m 38.2 MPa

0.00000982 m

MR

I

3. Kolika je količina topline potrebna za taljenje 1 kg olova početne temperature

0 24 Ct ?

g tQ Q Q

Gdje je: g – grijanje do tališta t – taljenje

g 2 1(t t )Q m c 1 1

g 1 kg 0.130 kJ kg K (327 24)K 39.4 KJQ 1

t 1 kg 23 kJ kg 23 KJQ m L

39.4 23 62.4 kJ = 62 kJQ 62

62 kW s = kW h = 0.017 kW h3600

Q

4. Koliko je topline potrebno za grijanje 2 kg olova, željeza i aluminija od 0 do 100 C ?

Specifične su topline: olova 0.13 kJ/(kg K) , željeza 0.46 kJ/(kg K) i aluminija

0.92 kJ/(kg K)

Pb p,Pb 2 0.13 100 26 KJQ m c t

Fe 2 0.46 100 92 KJQ


29

Fe 2 0.92 100 184 KJQ

5. Koliko kockica leda temperature 0 C , stranice 2 cm treba otopiti u 1 L vode da bi ju

ohladili s 26.5 C na 10 C ? Specifična toplina taljenja leda je 333 1kJ kg , specifični

toplinski kapacitet vode je 4190 1 1J kg K , gustoća vode je 3 310 kg m , a leda

3920 kg m . Gubitke topline u okolinu valja zanemariti!

Masa leda: 3L Lm N a

Utrošena toplina je za zagrijavanje leda: 3( ) ( )L L L LQ m c T N a c T

Izgubljena toplina hlađenja vode )V V V VQ m c T V c T

Topline su jednake (koliko se ohladi voda, toliko se zagrije led) 3 ( )L L V VN a c T V c T

3=

( )V V

L L

V c TN

a c T

3 3

3 5

10 10 4190 16.5= 25

920 0.02 (3.33 10 4190 10)N

6. U horizontalnoj cijevi promjera10 cm voda teče brzinom 2 m/s pri statičkom tlaku 2 bar .

Koliki je tlak u užem dijelu cijevi promjera 5 cm ?

Da bi tok kroz širi i uži dio cijevi bio jednak vrijedi:

1 1 2 2S v S v , odnosno 2 1

1 2

v S

v S

Površine presjeka cijevi su proporcionalne promjerima pa je: 2

2 12

1 2

v d

v d

2

12 1

2

dv v

d

Prema Bernoullijevom teoremu je 2 2

1 21 22 2

v vp p

4

2 2 2 2 12 1 1 2 1 1 1

22 2

dp p v v p v v

d

4

2 12 1 1

2

12

dp p v

d

Zadano:


30

51= 2 bar = 2 10 Pap

31000 kg/m

1= 2 m/sv 4

52

1000 102 10 4 1 170000 Pa =1.7 bar

2 5p

ZADACI – JEDINICE

7. Pretvorite u određene mjerne jedinice:

a. __0.25 mm 2.5 10 m

b. __7520000 m 7.52 10 m

c. 4 __ __4.285 10 4.28mm cm5 10 4.2 m85 10

d. __ __120000000 1. 10 1. 0km m m2k 1

e. 1 god = ______ s

8. Izračunajte u traženim mjernim jedinicama:

a. 3200 mm 0,0022 km 22 dm 1,5 m 0,284 kmS

_________ mmS

b. 2 2 2 225 m 0,000015 km 17,5 dm 320 cmA

2_________ mA

c. 3 3 31500 cm 22 m 3 dmV

_________ lV

9. Izračunajte vrijednosti u traženim mjernim jedinicama:

a. t

sv

228 km

3 danav

_______ m / sv

b. 1,5 m

1 sv

_______ km / hv

c. 3200 km

4 dana,21 satv


31

_______ m / sv

d. v

st

362500 km

700 m / st

_________ satit


a. t

va

120 km / h

20 mina

2_________ m / sa

b. 6 km / h

2 danaa

2_________ m / sa

c. tav

22,8m / s 25minv

2_________ m / sv


a. xkF

0,3 N/m 0,001 kmF

_______ NF

b. t

vmF

300 g 10 km/h

10 sF

________ NF

c. m

tFv


32

4 N s

0,004 tv

_______m/sv

d. NFt

N

Ft

62,5 10 MN

0,010 kN

_________


a. A

Fp

2

0,001 MN

250000 mmp

2__________ Pa N/mp

b. hgpp 0

3 2 4101300 Pa 1000 kg/m 9,81 m/s 10 mmp

__________ Pap

c. hgp

3 22500 kg/m 9,81 m/s 50cmp

___________ Pap

d. A

Fp

A

gmgmgmp

321

3

2

20 kg 120000 mg 2,8 10 t

12800000 mm

g g gp

___________ Pap


a. hFW

hgmW


33

4 210 mg 9,81 m/s 1500 mmW

2

2

kg m_________ J( )

sW

b. 221

r

mmGF

7 4

2 23

10 kg×9,5×10 t6,67 Nm /kg ×

2,5×10 mF

________ MNF

c. t

WP

135 kJ

2 danaP _______ J/sP

d. vAQ

20,02512m 122km/hQ

___________ l/sQ

e. 2

21

r

QQkF

8 89 2

24

2,23 10 C 1,25 10 C9 10 Nm/C

3 10 kmF

_________μNF

f. Q

FE

8

7

1,5 10 MN

2 10 CE

N

__________C

E

g. r

Qk

k

rQ

9 2

600 V 2,5 cm

9 10 Nm/CQ


34

__________ CQ

h. AE

lF

5 2 2

125 kN 500 cm

4,2 10 MN/m 200 dm

__________ m

Documents

Osnove inženjerskog proračuna - unin.hrunin.hr/~kpisacic/Skripta_OIP.pdf · Objašnjenje: Nagib od 10% znači da se primjerice na 100 m ceste, teren uzdiže ili spušta 10 m. Primjer