Optyka Fourierowska

Wykład 1

Analiza sygnałów i układów dwuwymiarowych

Literatura

• K. Gniadek „Optyka Fourierowska”

• K. Gniadek „Optyczne przetwarzanie informacji”

• J.W. Goodman „Introduction to Fourier Optics”

• O. K. Ersoy „Diffraction, Fourier Optics and Imaging”

Dyfrakcja

• Kiedy pole falowe przechodzi przez przeszkody jego bieg nie może być opisany w koncepcji promieni, zmienia się jego kształt i wielkosć – zjawisko dyfrakcji

• Dyfrakcja dotyczy wszelkich fal: elektromagnetycznych, akustycznych, radiowych, ultradźwiękowych.

• W przeszłości dyfrakcja głównie szkodziła ograniczając rozdzielczość układów optycznych. Dziś powstają technologie ją wykorzystujące: holografia, dyfrakcyjne elementy optyczne DOE (hologramy syntetyczne, komputerowe), optyka dyfrakcyjno-refrakcyjna

Optyka Fourierowska

• Optyka Fourierowska opisuje te tematy i zastosowania optyki, które wykorzystują ciągłą lub dyskretną transformatę Fouriera

• Przede wszystkim jest to skalarna teoria dyfrakcji, ale także np. właściwości transformujące i obrazujące soczewek, analiza częstotliwościowa układów obrazujących, filtracja przestrzenna, optyczne przetwarzanie sygnałów, holografia klasyczna i komputerowa, projektowanie i analiza DOE a także nowe techniki obrazowania.

Zastosowania optyki fourierowskiej

• Gęste zwielokrotnienie falowe (DWDM) – Elementy obrazujące typu PHASAR pozwalają na

łączenie/rozłączanie (multipleksację) kanałów

• Optyczne elementy dyfrakcyjne i subfalowe – Elementy o dowolnych właściwościach fazowych w każdym

punkcie (elektronolitografia, techniki nanofabrykacji)

• Urządzenia nanodyfrakcyjne i ścisła teoria dyfrakcji – Warunki brzegowe równań Maxwella – Mikrozwierciadła MEMS, optyczne układy zintegrowane

• Współczesne metody obrazowania – Obrazowanie koherentne, holografia, przestrzenne

modulatory światła

Układy optyczne • Układem nazywamy pewne mapowanie sygnału

wejściowego na sygnał wyjściowy – W przypadku dyfrakcji i obrazowania najczęściej sygnałem

wejściowym i wyjściowym są fale

• Układy mogą być jednowymiarowe (np. sygnał elektryczny, dźwięk) i zwykle czasowe, lub też dwuwymiarowe (np. obraz) i zazwyczaj przestrzenne

• Światło posiadające koherencję można charakteryzować przez dwu- lub trójwymiarowe rozkłady amplitudy zespolonej, tj. amplitudy i fazy, podczas gdy światło niekoherentne przez rzeczywiste wartości natężenia

Analiza częstotliwościowa

• Zarówno sygnały czasowe jak i przestrzenne mogą być analizowane częstotliwościowo za pomocą transformaty Fouriera

• Transformata Fouriera może być używana także do łączenia (syntezy) sygnałów o poszczególnych częstotliwościach (np. filtracja)

• Właściwość liniowości pozwala rozłożyć złożony sygnał na sygnały elementarne zwane sygnałami bazowymi. W analizie fourierowskiej sygnałami składowymi są sinusoidy o różnych częstotliwościach

Układy liniowe

• a1 i a2 są dowolnymi stałymi zespolonymi

yxuOayxuOayxuayxuaO

yxuOyxg

,,,,

,,

22112211

Funkcja impulsu

• Możliwe są także inne definicje

thdht

dtt

txt

at

a

atx

a

1

lim

022

1

0

hprzypadkachpozostałycw

Odpowiedź impulsowa

• Jest to całka superpozycji fal

111111

111111

111111

1111

,;,,

,,,,

,,,

,,;,

dydxyxyxhyxu

dydxyyxxOyxuyxuOyxg

dydxyyxxyxuyxu

yyxxOyxyxh

Układy niezmiennicze przestrzennie (izoplanarne)

• W układach niezmienniczych przestrzennie wartość odpowiedzi impulsowej zależy jedynie od i możemy zapisać:

• W układach niezmienniczych przestrzennie

11, yyxx

yxOyxh ,0,0;,

yxhyxu

dydxyyxxhyxuyxg

,,

,,, 111111

Funkcja przenoszenia

• Ponieważ transformata Fouriera splotu jest iloczynem transformat, możemy zapisać:

• nazywana jest funkcją przenoszenia układu

dxdyyfxfiyxhyxhffH

ffHffUffG

yxyx

yxyxyx

2exp,,,

,,,

yx ffH ,

Transformata Fouriera (FT) • Sygnały jednowymiarowe (czasowe)

– Równanie analizy:

– Równanie syntezy:

• Sygnały dwuwymiarowe (przestrzenne)

dfiftfUfUtu

dtifttutufU

2exp

2exp

1

dftyfxfiffUffUyxu

dtyfxfiyxuyxuffU

yxyxyx

yxyx

2exp,,,

2exp,,,

1

Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)

• W przypadku sygnału dyskretnego i układu niezmienniczego i liniowego w miejsce splotu sumę:

• Funkcja przenoszenia wyraża się wówczas wzorem:

11

1 1

11 nnmm

m n

nmmn hug

m n

yxmnxx ynfxmfihffH 2exp,

Właściwości FT

• Liniowość

• Splot

• Korelacja

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

dfdfffUffUdxdyyxuyxu

yfxfiffUffGyyxxuyxg

fUfUffGyuxuyxg

ffUffUffGyxuyxuyxg

ffUffUffGyxuyxuyxg

ffUffUffGyxuyxuyxg

ffbUffaUffGyxbuyxauyxg

,,,,

2exp,,,,

,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

**

0000

2121

2121

*

2121

2121

2121

• Modulacja

• Funkcje rozłączne

• Przesunięcie przestrzenne

Właściwości FT

• Rzeczywisty i parzysty sygnał ma rzeczywiste i parzyste widmo

• Rzeczywisty i nieparzysty sygnał ma urojone i nieparzyste widmo

yxyxyxyx

yxyxyxyx

yxyx

ffUffUffUffU

yxuyxuyxuyxu

ffUffUffUffU

yxuyxuyxuyxu

ffUffUyxuyxu

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

*

*

*

*

**

Widmo amplitudowe i fazowe • Widmo możemy zapisać jako

gdzie

Transformata wyraża się w tym przypadku przez:

i jeśli sygnał jest rzeczywisty można to zapisać jako

dffftfUtu

dfefUtu

fU

fUf

fUfU

a

ffti

a

a

2cos

Re

Imarctan

2

fi

a efUfU

Symetria obrotowa

• Jeśli sygnały przestrzenne mają symetrię obrotową łatwiej jest używać współrzędnych radialnych

• Transformata Fouriera

we współrzędnych sferycznych przyjmuje postać:

Transformata Fouriera-Bessela (Hankela)

• Jeśli pole ma symetrię obrotową

można zapisać

i wykorzystując definicję funkcji Bessela zerowego rzędu

otrzymujemy transformatę Fouriera-Bessela (Hankela)

Transformata Fouriera-Bessela (Hankela)

Funkcje specjalne

• Funkcja kwadratowa (rectus)

• Funkcja sincus

• Funkcja znaku (signum)

hprzypadkachpozostałycw0

1

21

21

21

21

x

x

xrect

x

xx

sinsinc

0x1

00

01

sgn x

x

x

b

f

a

f

abbyrectaxrect

yx sincsinc1

yx fifi

abbyax

11sgnsgnsgn

Funkcje specjalne

• Funkcja trójkątna

• Funkcja grzebieniowa (combus)

• Funkcja kołowa (circus)

hprzypadkachpozostałycw0

11 xxx

n

nxxcomb

hprzypadkach pozostałyc w0

1

1122

21

22

22 yx

yx

yxcircrcirc

b

f

a

f

abbyax

yx 22 sincsinc1

b

fcomb

a

fcomb

abbycombaxcomb

yx1

21Jrcirc

Próbkowanie

• Często wygodniej zarówno dla przetwarzania danych jak i dla analizy matematycznej posługiwać się sygnałem dyskretnym

• Jeśli sygnał ma ograniczone widmo można znaleźć taką odległość próbkowania, że możliwe będzie odbudowanie pełnej informacji o sygnale na podstawie ograniczonej liczby dyskretnych wartości

Twierdzenie Whittakera - Shannona

• Zdefiniujmy próbkowany sygnał jako:

• Widmo takiego sygnału dyskretnego będzie równe:

yxgy

combx

combyxgyx

d ,,

n m y

y

x

xyx

n m y

y

x

x

yxyyxxyxyx

yx

yxd

mf

nfGffG

mf

nf

ffGfcombfcombffGy

combx

combffG

,,,

,,,

Twierdzenie Whittakera - Shannona

• Widać, że są to rozsunięte o odległości kompletne widma sygnału

• Zakładając, że widmo sygnału jest ograniczone i mieści się w prostokącie i, że gęstość próbkowania spełnia warunki i filtrując jedynie jeden element widma możemy odtworzyć sygnał

yx

1,

1

yxg ,

yx BB 2,2

y

y

x

xBB 2

1

2

1