Optimización Con Restricción

8/17/2019 Optimización Con Restricción

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Optimización conRestricci

ón

CURSO:Análisis Matepara Economi

PROFESORA:Econ. Verónic

SánchezAU A:!"#$

I%&E'RA%&ES:

Ma()e*o Carr,ristell



Optimización

Es el proceso de hallar el máximoo mínimo relativo de una función.

Incluye el descubrimientode los “mejores valores” de

alguna función objetivo dadoun dominio definido incluyendo

una variedad de diferentestipos de funciones objetivo ydiferentes tipos de dominios.

Defnición:



!e dice "ue la función f es un función creciente en un intervalo I si paracual"uier #$ y #% dentro del intervalo #$& #%implica "ue f'#$( & f'#%(.

F)nci

Crecie

Las funciones crecientes se pueden identificar por lascondiciones de la pendiente.

Si la primera derivada de f es positiva en todo unintervalo, entonces la pendiente será positiva y f será unafunción creciente en el intervalo.

Es decir, en cualquier punto del intervalo, un ligeroincremento en el valor de x se acompañará de unaumento en el valor de f(x).

F)nción Creciente



F)nci$ecreci

Se dice que la unción es un unción decrecienteen un intervalo I si para cualquier X 1 y X 2 dentro

del intervalo X 1 X 2 implica que !X 1 " !X 2 "#

al como es el caso de las funciones crecientes, lasdecrecientes son identifica!les por las condiciones de lapendiente de la tangente.

Si la primera derivada (de f es negativa a lo largo detodo un intervalo, entonces la pendiente será negativa yf será una función decreciente en el intervalo.

F)nción$ecreciente



F)ncionesCrecientes 7$ecrecientesSea f diferencia!le en el intervalo (a, !.).

Si f"(x) # $ para toda x en (a, !), entonces f es creciente en (a, !).Si f"(x) % $, para toda x en (a, !), entonces f es decreciente en (a, !).

Derivamos y’ si vemos cuando es positiva y cuándo es negativa se tiene:

&or medio de esto es posi!le encontrar el signo de f"(x) pro!andolos intervalos determinados por las ra'ces de , esto es, y .



En cada intervalo, el signo f’(x) estádeterminado por los signos de sus factores:

Seg*n los resultados +allados en el diagrama designos que se muestran en la figura, donde lal'nea inferior es una versión esquemática de lo

que dicen los signos de f" acerca e f.

!servamos que los segmentos +ori-ontal en el renglón inferi

tangentes +ori-ontales para f en

s', f es decreciente en ( ∞ /creciente en ( ,

Esto corresponde a la naturcreciente y decreciente de la

mostrada a continuaci



0na función f(x) es cóncava en x 1 a , si alguna pequeña región cercana al punto 2a, f(a)3 grafico de la función se u!ica completamente de!a4o de su l'nea tangente.

0na segunda derivada negativa en x 1 a denota que la función es cóncava en x 1 a.

F)nción Cónca-a

f))'a( & *+ f'x( es c



Pr)e4a (e Conca-i(a(Determinaremos por dónde la función en cóncava hacia

arriba y hacia aba o por medio del m!todo de la "egunda Derivada:

f es cóncava +acia arri!a cuando 5(x 6) # $, es decir cuando x # 6.

f es cóncava +acia a!a4o cuando 5(x 6) % $, esto es cuando x #6.

# continuación usaremos el diagrama de signos para f’’ y haremos una gráfica:



0na función convexa en x 1 a, si en una área cercana a 2a, f(a)3 el grafico esta completamentarri!a de la l'nea tangente.

0na segunda derivada positiva en x 1 a denota que la función es convexa en x1a.

F)nción Con-e8a

f))'a( - *+ f'x( es co



P)ntos (e In9e8ión

omo se locali/apuntos de inflex

7alcule todos los puntos df8 (a) 1 $.

Si f8(x) cam!ia de signo cpasa por x 1 a, +ay un puninflexión en x 1 a.

Es un punto en el graficodonde la función cru/a su

línea tangente y cambia decóncavo a convexo

y viceversa.0ueden ocurrir solo dondela segunda derivada iguala

a cero o es indefinida.

Es decir f” 'a( , *.



$omo locali%ar los puntos de inflexión, tenemos la siguiente función:

Hacemos nuestro diagrama de signos:

En conclusión podemos decir, la curva es cóncava +acia arri!a en( ∞ , $) y (9 , ∞ ) y es cóncava +acia a!a4o en ($, ).:a +a!iendo calculado la concavidad, llegamos a la conclusión deque nuestros puntos de inflexión ocurren en $ y .

Estos puntos finalmente son:

()



Es un punto en el cual la función esta en un máximo o m'nimo.&ara ello, la función de!e estar en un punto en el cual no esta creciendo ni decreciendo, por ende, su primera derivada de!e ser igual a cero o indefinida.0n punto en el dominio de la función donde la derivada igualada a cero es indefinida llamado punto o valor critico.

E8tremo Relati-o

Máximo RelativoSi f se define en unintervalo (!,c) quecontenga x 1 a, se diceque f alcan-a unmáximo relativo en x 1a, si f(a) # f(x) para

todas las x dentro delintervalo (!,c).

Mínimo RelativoSi f se define en unintervalo (!,c) quecontenga x 1 a, se diceque f alcan-a unm'nimo relativo en x 1a, si f(a) % f(x) para

todas las x dentro delintervalo ! c .



eterm nac n e os 8tremoRelati-os&enemos la siguiente función:

'or la regla del producto hallamos la primera derivada:

!serve que siempre es positiva, se o!tienen los valores cr'ticos $ y 9.

Del diagrama de signos de f’(x) dadosen la figura presentada a continuación:

;inalmente, se concluyeque se tiene un máximo relativo

cuando x 1 9 y un m'nimorelativo cuando x 1 $.



Se dice que una función f alcan-a un máximo a!soluto en x 1 a, si f(a) # f(x) para cualquier en el dominio de f.

Se dice que una función f alcan-a un máximo a!soluto en x 1 a, si f(a) % f(x) para cualquieen el dominio de f.

E8tremo A4sol)to

%&imo '(soluto:

)nimo '(soluto:

Son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (m'nimos), que toma una función en unpunto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo) o en el dominio dla función en su totalidad (extremo a!soluto).



Si se consulta de nuevo la figura 65.<, f(x) llega a un máximo a!soluto en x 1 c. : alcan-am'nimo a!soluto cuando x 1 !. 7onviene señalar que un punto en la gráfica de una funcipuede ser a la ve- un máximo (m'nimo) relativo y un máximo (m'nimo) a!soluto.

8



Encontrar los extremos absolutos para la siguiente función:

oca zac n e 8tremosA4sol)tos

$omo f es continua sobre , *+, el procedimiento se aplica de la siguiente manera:

Paso 1: &ara +allar los valores cr'ticos de f, primero +allamosla derivada de f".

f'x = 2x - 4 = 2(x-2) Esto da como valor cr'tico x=2 .

Paso : l evaluar f(x) en los puntos extremos 6 y = as' como enel valor cr'tico 9, se tiene

Paso !: >e los valores de la funci ón en el paso 9, se concluye

que el m áximo es f (=) 1 ? y el m nimo es f (9) 1 6.

"alores de f en los extremos#

"alor de f en el valor crítico en $1%&'#



(as restricciones de un pro)lemade programación matemática*acen +ue empeore el valor

del optimo de la función o),etivo%es decir% +ue disminuya el máximo

y +ue aumente el mínimo#

En los pro)lemas económicoslas restricciones de igualdad%

además de representargeneralmente las limitaciones

de los recursos% indican la exigenciade la utilización de los mismos en

cantidades prefi,adas#

Optimización con Restricción I;)al(a(



*l propósito principal de la imposición de una restricciónes reconocer ciertos

actores limitantes presentes en el pro(lema deoptimización que se estudia#

0or Ejemplo+Consideremos al consumidor con unautilidad simple.

E12345E E 3167I

Consideraremos el poder ddel consumidor, la cual epara ambos bienes, con P1=

4X1 + 2X2 = 60

E<ectos (e )naRestricción



El dominio esta representado por el cuadrante nonegativo del plano - 1% - despu.s de a/adir la funciónpresupuestaria la grafica solo a/ade valores de lasvaria)les +ue satisfagan esta ecuación#

Entonces n)estro inter=s ra(ica sólo en localizar el má8i

en la c)r-a (el (ia;rama 4.

fun

udire

d

p



l +acer igual a cero, o!tenemos la solución y reempo!tenemos a @9A 1 $ 9(B) 1 6=.: o!tenemos la 0A 1 69B/ y puesto que la segunda derivada es d 90Cd@691

estacionario constituye un máximo de 0A (restringido).

=- 1D9- 1 5$ >espe4ando -

0n valor estacionario de una función de una varia!le es cualquier valor en el dominio en dondla función no es diferencia!le o cuando su derivada es $.Es decir un punto estacionario es decir que la grafica llega a un punto en el cual no crece decrece.

ValoresEstacionarios



El m todo de los multiplicadores de LaFrange es convertir un pro!lema dextremo restringido a una forma tal que todav'a sea aplica!le la condición dprimer orden del pro!lema de extremo li!re.El multiplicador de (a0range es representado por $letra griega lam)da'#

Mi(e por tanto el ;ra(o (e sensi4ili(a( (e la <)ncióno4>eti-o <rente a

cam4ios )nitarios ?interpretación económica@ (e lalimitación (el rec)rso tam4i=n s)ele (enominarse

precio som4ra o coste (e oport)ni(a(@.

M)ltiplica(ores (ea'ran;e



Casos (e nB Varia4lesu,eto a la restricción:

2unción de (agrange será:

Para la cual la condición de 13 orden consiste en las siguientes $n 4 1' ecuaciones simultáneas

#segura ue la restricción se cumaun cuando debamos centrar nues

atención en la función lagrangiana



M ltiplesRestricciones

7uando +ay más de una restricción, es igualmente aplica!le el m todo de losmultiplicadores de lagrange, pero siempre que introdu-can tantos multiplicadores como

restricciones +aya la función lagrangiana."ea una función de n variables ue est!n su etos simultáneamente a las dosrestricciones:

Entonces al optar como los multiplicadores indeterminados podemos construir unafunción lagrangiana como sigue:

.a condición de primer orden consiste en las siguientes (n/0) ecuaciones simultáneas:



7onsideremos que en una econom'a derecursos !asada en que cada o!rero (L)puede optar por cosec+ar ar!oles ( ) opescar (&).

$urva de transformación es: "upongamos ue:

E>emplos



2unción 5),etivo Restricción

Por las 6ondiciones de Primer 5rden Resolviendo las 7erivadas Parciales

F)ncióna;ran;iana



Reemplazamos 8 en la restricción:

(as soluciones son : 1 6$ & 1 B$ λ 19?

El valode un

adictra)a,

por

Reemplazan(o laRestricción



Utilizamos el essiano Orla(o para(eterminar si los

-alores cr ticos correspon(en a )nmá8imo o )n m nimo.

essiano Orla(o



La condición de segundo orden todav'a depende del signo .7omo esta ultima es una formacuadrática restringida para las varia!les , su4eta a la relación

Las condiciones para la definitividad positiva o negativa de nuevamente incluyen a un +essianorlado.

Caso (e nBVaria4les



Entonces% las condicione para la definitividad positiva y negativa de son:

En el primer caso, todos los menores principales directores orlados, comen-andcon , de!en ser negativos/ en el ultimo caso, de!en alternar el signo.

7omo antes, un definido positivo es suficiente para esta!lecer un valor estacionarde - como su m'nimo, mientras que un d 9- definido negativo es suficesta!lecerlo como máximo.



uponga +ue *ay n varia)les de elección y m restricciones m ; n de forma:

< el *essiano orlado resulta s

(a función (agrangiana dada es:

Caso (e M ltiplesRestricciones

l + ió S t R t i ió



Maximizar:

u,eto a: Paso 1:2ormar el lagrangiano% pero primero esta)lecemos la restricción igual a cero% sustrayendovaria)les de a constante:

Gultiplicar esta diferencia por y sumar el producto de am!os a la función o!4etivo a fin de formfunción Lagrangiana H.

Paso :6alcular las derivadas parciales de primer orden% igualarlas a cero y resolver simultáneamente

ar la +unción Su,eto a una Restricció

Paso !:



Iesolviendo las derivadas parciales se o!tiene

(uego su)stituyendo tales valores críticos en la función o),etivo:

Paso &: +ora es necesario corro!orar si el punto es cr'tico o!tenido es máximo y m'nimo local. &ara ello,formulara el Jessiano rlado y luego se procederá a anali-ar los test respectivos.

El Hessiano 5rlado re+uiere derivadas de segundo orden:

5rdenando estos valores apropiadamente en el Hessiano 5rlado:

: calculando su determinante

El punto cr'tico ( 5,9$) es un m'nimo relativo.



RACI

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