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Optimización de la concentración de los probióticos del
YOX con Defensis®.
Estudiante Daniel F. Lozano R, Profesor Jorge M. Gómez R.
Departamento de ingeniería química de la Universidad de los Andes, Bogotá (Colombia)
Noviembre, 2013.
Resumen
Se realizó la optimización de la etapa de acidificación del YOX con Defensis® (Lactobacillus Gasseri y Lactobacilus
coryniformis) para maximizar la concentración de microorganismos al final de la etapa. Se estudia el proceso de
acidificación considerando que es el único momento en el cual se da crecimiento de microorganismos dentro del producto
YOX. El modelo del proceso se planteó a partir de las variables que afectan el crecimiento de bacterias anaeróbicas: la
temperatura, la concentración de oxígeno y el pH. Estas variables se relacionan por medio de la ecuación general de
difusión de masa, un ajuste de los datos experimentales de la fermentación de Streptococcus Thermophilus y la cinética
de crecimiento de Ratkowsky. Con el modelo se realizó la simulación del proceso de acidificación, el análisis de
sensibilidad del pH y la concentración de oxígeno sobre la velocidad de crecimiento de los microorganismos. El resultado
de la optimización realizada en GAMS da un perfil de temperaturas óptimo que comienza en 303 K y asciende hasta
313,434 K en 3 horas para obtener una concentración de 65732 cfu/Lt (Unidades formadoras de colonia por litro) lo que
equivale a una cantidad total de 7,4*108cfu.
1. Introducción
Los microorganismos probióticos según la FAO
(Food and Agriculture Oganization) son
microorganismos que, al ser ingeridos, benefician
la salud del consumidor [11]. Existen muchas
especies de microorganismos probióticos sin
embargo los Lactobacillus son los más grandes e
importantes en la tecnología de alimentos por su
abundancia y su compatibilidad con el cuerpo
humano [12], estos organismos tienen un alto
poder de fermentación por lo que su presencia se
da en medios altamente ácidos donde se favorece
su crecimiento [4]. También tienen la habilidad de
colonizar fácilmente diferentes medios, esto
gracias a su capacidad de adaptación y rápida
reproducción. Por sus características los
Lactobacillus se utilizan frecuentemente como
probióticos en los alimentos con el fin de crear
productos funcionales, que además de su valor
nutricional traen un aporte a la salud.
En Colombia, Alpina S.A. es una empresa
productora de alimentos, en su gran mayoría
derivados de la leche, que ha utilizado los
Lactobacillus para desarrollar alimentos
funcionales. El YOX®, es una bebida láctea
fermentada que tiene cultivos probióticos de L.
Gasseri y L. Coryniformis cepas que ayudan al
sistema inmunológico a aumentar las defensas
[21]. Un requisito para garantizar el aumento de
las defensas es que la cantidad mínima de
microorganismos por porción (110ml) debe ser de
10 millones de cfu. Sin embargo, los controles de
calidad que aplica la empresa sobre el producto
han evidenciado que en varias unidades durante la
vida útil no se ha encontrado la concentración
esperada de estos microorganismos denominados
comercialmente Defensis®.
La empresa está buscando la forma de cumplir
con el requisito anteriormente mencionado y
mantener los 10 millones de cfu por porción a los
35 días después de la elaboración del producto.
Esta búsqueda consiste en cambiar las condiciones
de producción (Recibo de leche, mezcla de
ingredientes, acidificación, saborización y
empaque) y/o de distribución (almacenamiento,
abastecimiento y transporte) para encontrar
condiciones en las que el producto mantenga la
concentración requerida en el tiempo necesario.
Por esta razón, se requiere maximizar la
concentración de microorganismos al finalizar el
tiempo de vida útil del producto, optimizando las
condiciones dentro de la cadena de producción y
abastecimiento. Para esto, hay que tener en cuenta
que en la fase de acidificación es donde crecen los
microorganismos, y en el resto de la cadena
mueren, por ello se quiere encontrar la mayor
concentración de microorganismos al final de la
etapa y suponer la máxima muerte durante el resto
de las cadenas de producción y abastecimiento.
Esto para poder garantizar que hasta en el peor
escenario la concentración se mantenga en el
rango deseado. No obstante, la búsqueda hasta
ahora ha sido experimental, lo cual hace que sea
costosa, dispendiosa y poco eficiente.
Debido a lo anterior, este proyecto se concentró en
la optimización de la fase de acidificación,
teniendo en cuenta el crecimiento microbiano y
los factores que inhiben el mismo. En este artículo
se presenta la optimización en GAMS® de un
modelo matemático que simula la etapa de
acidificación, buscando maximizar la
concentración final de los probióticos.
2. El modelo
El sistema consiste en un tanque vertical-
cilíndrico de 13000 litros en el que sucede la
acidificación de la leche con nutrientes y el
crecimiento de los microorganismos. El tanque se
llena con 12500 litros de mezcla láctea hasta una
altura de 2 metros, los 500 litros restantes son
ocupados por aire (figura 1) donde está el
oxígeno que se difunde dentro de la mezcla láctea.
Al tanque se agregan los inóculos de los
probióticos y el cultivo fermentador para que
comience el proceso de fermentación dejándolos
reproducirse durante 3 horas.
Las condiciones del modelo y las características
del caso de estudio permitieron hacer las
siguientes suposiciones:
Concentración de microorganismos
homogénea en el tanque
El aire se comporta como gas ideal
Se desprecian los efectos de la agitación.
La viscosidad de la mezcla es la misma
que la del agua.
2m 12500 Lt
Figura 1. Representación gráfica del equipo de
acidificación
Los elementos del modelo de optimización se
clasificaron de la siguiente forma (la nomenclatura
de los elementos del modelo se encuentra en la
tabla 1):
(i) Conjuntos, agrupación de elementos que
cumplen una misma característica
(ii) Parámetros, valores fijos y propios del
caso de estudio sobre el que se trabajó.
(iii) Variables, aquellos valores de las
propiedades sobre los cuales se tiene
incidencia y que actúan sobre el modelo.
(iv) Ecuaciones, las expresiones matemáticas
que relacionan las variables con los
parámetros y que determinan el cambio
de todo el sistema.
(v) Función objetivo, es la expresión que se
desea optimizar.
2.1. Conjuntos
Los conjuntos agrupan las variables, ecuaciones y
parámetros con características similares. En el
presente caso de estudio, los conjuntos
determinados son:
Tiempos (i)
El conjunto tiempo tiene 10 elementos que
dividen el tiempo total de proceso. Son 10
intervalos de tamaño uniforme Δt (0,3h). El
conjunto determina los instantes de tiempo en los
que se evalúa cada variable. Se identifica por el
subíndice i por ejemplo: i=1, tiempo 0.3. Así hasta
i=10.
500Lt
Aire
Mezcla
láctea
Posiciones (j)
El conjunto posiciones también tiene 10
elementos los cuales representan la sucesión
de posiciones en el tanque. La posición solo
considera la dimensión axial. El intervalo en
cada posición es Δx (0,2m). El conjunto
determina las posiciones en las que se evalúa
la concentración de oxígeno. Se identifica por
el subíndice j por ejemplo: j=1, es la posición
0.2. Así hasta j=10.
Tabla 1. Nomenclatura del sistema: la primera columna es la abreviación, la segunda columna es la representación en el
sistema de la abreviación y la tercera son las unidades.
b Coeficiente de crecimiento 1 K-1 h-1/2
c Coeficiente de crecimiento 2 K-1
Tmin Temperatura mínima de
crecimiento K
Tmax Temperatura máxima de
crecimiento K
pHmin pH mínimo de crecimiento unidpH
pHmax pH máximo de crecimiento unidpH
C* Concentración de oxígeno límite mol/Lt
O0 Concentración de oxígeno en el
aire mol/Lt
CL Concentración inicial de
probióticos cfu/Lt
rO2 Radio atómico del oxígeno m
Ti Temperatura del sistema K
Δx Paso en la posición m
Δt Paso en el tiempo h
Kb Constante de Boltzman J/K
a Coeficiente de regresión de pH 1 unidpH
d Coeficiente de regresión de pH 2 unidpH
I Nodo de tiempo
j Nodo de posición
Ƞi Viscosidad de la mezclaen el
tiempo i Pa*s
Dabi Difusividad del oxígeno en el
sistema en el tiempo i m2/h
COi,j Concentración de oxígeno en el
tiempo i y posición j mol/Lt
Concentración promedio de
oxígeno en el tiempo i mol/Lt
Cmi
μi
pHi
Concentración de probióticos en el
tiempo i
Velocidad de crecimiento en el
tiempo i
pH de la mezcla en el tiempo i
cfu/Lt
h-1
unidpH
2.2. Parámetros
Los valores de los parámetros se obtuvieron de
datos experimentales encontrados en la literatura
para las expresiones utilizadas en la simulación y
con las características propias de los
microorganismos dentro del problema1
. A
continuación se presentan los parámetros
utilizados y en la tabla 2 los valores.
Constante de crecimiento relacionada a la
temperatura mínima (b)[32]
Constante de crecimiento relacionada a la
temperatura máxima (c)[32]
Constante 1 de regresión de la variación
de pH (a)[5]
Constante 2 de regresión de la variación
de pH (d)[5]
Temperatura mínima de crecimiento de
los microorganismos probióticos
(Tmin)[26]
Temperatura máxima de crecimiento de
los microorganismos probióticos
(Tmax)[26]
pH mínimo al que los Defensis ® crecen
(pHmin)[26]
pH máximo al que los Defensis ® crecen
(pHmax)[26]
Concentración máxima de oxígeno al que
crecen los Defensis® (C*)[9]
Concentración de oxígeno en el aire (O0)
Concentración inicial de Probióticos
(CL)
Radio de partícula de oxígeno (rO2)[18]
Tabla 2. Valor de los parámetros encontrados.
Parámetro Valor Unidades
rO2 1,4*10-10 m
b 0,07 K-1 h-1/2
c 0,05 K-1
a -1,5 unidpH
d 6,44 unidpH
Tmin 278 K
Tmax 330 K
pHmin 4,6 unidpH
pHmax 8,5 unidpH
C* 0,01 mol/Lt
O0 0,044 mol/Lt
1
La información utilizada en este artículo como valores
propios de los micro organismos son de la cepa L.Plantarum,
esta especie tiene la capacidad de adaptarse a ambientes
altamente ácidos, y tiene propiedades anti microbianas [28], [32] características que comparte con los Defensis®, lo que
permite tomar los datos como propios de los Defensis®.
2.3. Variables
El modelo tiene 180 variables, las cuales son:
10 variables de tiempo (ti). El tiempo a
los que se observa el proceso. [h]
10 variables de temperatura (Ti). Una por
cada instante de tiempo. [K]
10 variables de viscosidad del agua (ηi).
Una por cada instante de tiempo. [Pa*s]
10 difusividades de oxígeno en el
producto (Dabi). Una por cada instante
de tiempo. [m2/h]
100 variables de concentración de
oxígeno a través del tanque (COi,j). Una
por cada posición e instante de tiempo.
[mol/Lt]
10 concentraciones de oxígeno promedio
( ). Cada una está en un instante de
tiempo diferente. [mol/Lt]
10 concentraciones de microorganismos
(Cmi). Una en cada tiempo. [cfu/Lt]
10 pH del sistema (pHi). Uno por cada
instante de tiempo. [unidpH]
10 velocidades de reacción (μi). Existe
una velocidad por cada instente de
tiempo. [1/h]
2.4. Ecuaciones
En total son 170 ecuaciones dentro del modelo,
éstas son:
Tiempos, 10 ecuaciones
El tiempo es una variable importante dentro del
sistema x se estudia el proceso por instantes de
tiempo. La ecuación 0 muestra como es la
variación del tiempo a través de la acidificación.
Viscosidad del sistema, 10 ecuaciones
Se hace la suposición que la viscosidad de la
mezcla es la del agua, ya que la leche utilizada es
descremada y el resto de componentes están en
bajas concentraciones o en forma de sólidos
suspendidos.
Los valores de η están tabulados en [8] en
función de la temperatura. Obteniendo la
regresión de los datos se tiene que la viscosidad en
función de la temperatura está dada por la
ecuación 1. En la sección A.2. se presenta la
regresión.
(
)
Difusividad de oxígeno en el sistema, 10
ecuaciones
La ecuación de Einstein-Stokes (ecuación 2)
puede ser utilizada para obtener la difusividad del
sistema [23].
Dónde kb y rO2 son la constante de Boltzman y
radio iónico del oxígeno, respectivamente. Cabe
resaltar que la difusividad depende de la
temperatura y de la viscosidad.
Perfil de Concentración de Oxígeno, 100
ecuaciones
El perfil de concentración está dado por la
ecuación general de estado de difusión másica [2],
suponiendo que únicamente hay difusión en una
dirección y variación a través del tiempo. La
ecuación 3 es la ecuación de estado simplifícada:
(
) (
)
Esta expresión diferencial está conformada por
derivadas parciales. En este modo la ecuación no
puede ser utilizada para resolver directamente la
optimización. Por lo que es necesario discretizar
la ecuación, convirtiéndola en un conjunto de
expresiones algebraicas por medio del método de
diferencias finitas [21].
Las diferencias finitas utilizan la definición de la
derivada y dividen el proceso en instantes de
tiempo y posición (dependen de i y j), dando
como respuesta la concentración de oxígeno en el
siguiente instante de tiempo para cada posición.
Esto se observa en la ecuación 4, que es la
ecuación 3 expresada en diferencias finitas.
( )
Donde COi,j es la concentración de oxígeno en el
tiempo i y la posición j dentro del tanque. Para la
optimización la concentración de oxígeno en el
tiempo i+1 y la posición j está dada por la
ecuación 5:
( )
Concentración de oxígeno Promedio, 10
ecuaciones
Como la concentración de microorganismos en el
tanque se supones homogénea, la concentración
de oxígeno se supondrá homogénea también. Esta
representada por el promedio de las
concentraciones en todas las posiciones, la
ecuación 6 presenta la concentración promedio en
cada instante de tiempo:
∑
n es el número de posiciones en el que se divide el
tanque.
Variación de pH, 10 ecuaciones
La variación de pH para cada tiempo está dada por
el inóculo fermentador, según los datos de [5] y
haciendo una regresión se obtiene el
comportamiento descrito por la ecuación 7. En el
apéndice A.3. se muestra el ajuste de los datos
hallados en la literatura.
Crecimiento Microbiano, 10 ecuaciones
La ecuación 8 describe la velocidad de
crecimiento celular [12], donde µ es la velocidad
de crecimiento.
El término μ no depende ni del tiempo ni de la
concentración de microorganismos sino del
entorno. Por esta razón la ecuación 8 se puede
despejar e integrar obteniendo la ecuación 9, que
presenta la concentración de microorganismos en
un tiempo i+1 en función de la concentración de
microorganismos en el tiempo anterior, del tiempo
de reacción y de la velocidad de crecimiento.
Las dependencias de µ respecto a la temperatura
(ecuación 10.a) [32], el pH (ecuación 10.b) [31] y
la concentración de oxígeno (ecuación 10.c) [25]
se basan en Ratkowsky donde cada contribución
se multiplica para obtener µ dependiente de las 3
variables [31]. La ecuación 10 representa a µ en
cada instante de tiempo.
[ ] [ ]
[ ][ ]
*
+
2.5. Función objetivo
El modelo busca la máxima concentración de
microorganismos al final del tiempo de
acidificación. Es decir Cmm. El sub índice m
denota el último instante de tiempo del proceso.
3. Desarrollo Computacional
El modelo consta de 170 ecuaciones y 180
variables y una función objetivo, esto significa
que el modelo tiene grados de libertad las cuales
permiten tener múltiples soluciones al modelo,
donde se requiere encontrar una solución óptima.
La Optimización se llevó acabo en Microsoft
Excel 2010® y GAMS. Con el primer software se
realizó el análisis de sensibilidad y la simulación
del proceso, y con el segundo se realizó la
optimización por facilidad de programación y
capacidad de convergencia. La optimización en
GAMS® no requiere de un esfuerzo
computacional significativo y el tiempo de
simulación (0,008 segundos) es más que
razonable. El modelo no tiene problemas de
convergencia y se estructuró de tal forma que es
fácil encontrar el óptimo.
4. Resultados y Análisis
3.1. Simulación
Se realizó una simulación para corroborar la
consistencia del modelo, dejando la temperatura
como un parámetro, fijado en un valor de 315 K.
3.1.1. Perfil de oxígeno y oxígeno promedio.
La ecuación 5 representa el perfil de oxígeno a
través del tanque y del tiempo, ilustrado en la
figura 2. Debido a que la temperatura es
constante, el valor de la difusividad es constante
también.
Figura 2. Perfiles de concentración de oxígeno en
diferentes tiempos del proceso a través de la altura
del líquido en el tanque. Con T=315K.
Hay que tener en cuenta que la parte superficial
del líquido (figura 1), es la posición 0 y la base
del tanque será la posición final (2 metros). La
figura 2 muestra que la concentración de oxígeno
en la parte superior de la mezcla es mayor que en
la parte inferior del tanque. También es evidente
que la difusión es continua a través del tiempo.
Esto se observa en que el aumento de la
concentración de oxígeno no sólo sea de abajo
hacia arriba en el tanque sino sobre el tiempo
también. Nótese que la concentración de oxígeno
en la parte superior del tanque es mayor a la
concentración máxima a la que crecen los
probióticos, C*. Esto indicaría que no habría
crecimiento en la parte superior, pero el modelo
planteado supone una concentración promedio, la
cual se muestra en la figura 3.
La va creciendo conforme el tiempo va
aumentando, ésta varía en un intervalo de 0.006 a
0.008. Sin embargo, no supera la concentración
máxima ya que el promedio es una función que
hace que valores grandes, como los de la
superficie del tanque, se reduzcan por valores
pequeños, como los del fondo del tanque.
Además, el crecimiento continuo de indica
que posiblemente tiempos de acidificación más
grandes podrían inhibir el crecimiento de los
microorganismos por exceso de oxígeno.
Figura 3. Concentración promedio de oxígeno en el
tanque. Con T=315K
3.1.2. Variación del pH.
La variación del pH está dada por el crecimiento
del cultivo fermentador, el S.Thermophilus. Los
microorganismos Defensis® no aportan descenso
de pH a pesar de ser bacterias ácido-lácticas2.
La curva de acidificación se obtuvo de [5],
ajustándola para que el tiempo de acidificación
fuese de tres horas; Es decir que el
S.Thermophilus tarda en disminuir el pH de la
mezcla hasta el punto límite de pH (4.5) 3 horas.
El descenso de pH, en este caso, es independiente
de la temperatura como se ve en la ecuación 7 y se
muestra en la figura 4.
Figura 4. Variación de pH derivado de la cepa
S.Thermophilus con relación al tiempo.
2 Esta información fue suministrada por Alpina S.A.
0,004
0,007
0,01
0,013
0,016
0,019
0,022
0,025
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Co
ncen
tra
ció
n d
e O
2 [
mo
l/L
t]
Posición del tanque [m]
Tiempo0
Tiempo4
Tiempo7
Tiempo fin
0,006
0,0065
0,007
0,0075
0,008
0,0085
0,009
0 1 2 3
Co
ncen
tra
ció
n P
ro
med
io
[mo
l/L
t]
Tiempo [h]
4
5
6
7
8
9
0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
pH
[U
nid
pH
]
Tiempo [h]
3.1.3. Crecimiento microbiano
De la ecuación 9 podemos decir que la
concentración de microorganismos depende del
tiempo y de μ que depende de T, de pH y de .
El comportamiento de μ en el tiempo se puede
apreciar en la figura 5.
El ascenso de μ al inicio se da debido a la
contribución por del pH, porque la mezcla
comienza en un punto muy cercano al pH max lo
que hace que la ecuación10.b sea cercana a 0. Con
el paso del tiempo hace que el pH descienda y se
aleje de pHmax, aumentando el término de la
ecuación 10.b. y generando aumento en μ. Sin
embargo, tiempo más adelante, el pH se acerca a
pHmin y la contribución a la velocidad de
crecimiento disminuye, del mismo modo que lo
hace μ.
Figura 5. Variación de μ a través del tiempo en la simulación.
La contribución del oxígeno a la velocidad al
inicio del proceso es mínima, ya que a bajas
concentraciones de oxígeno la ecuación 10.c
tiende a 1, pero a medida que pasa el tiempo la
concentración de oxígeno comienza a aumentar y
la contribución disminuye lo que genera
disminución en μ. Debido a las variaciones de μ
respecto al pH y al hacen que la velocidad sea
sensible a estas características.
El resultado del comportamiento de la
concentración de microorganismos es
exponencial. A partir de la segunda hora presenta
un crecimiento acelerado esto se muestra en la
figura 6. El valor de la concentración de
microorganismos al final del proceso es de 160.76
cfu/Lt que equivale 2*106 cfu.
Figura 6. Crecimiento bacteriano durante el proceso
de acidificación con T=315K.
3.2. Optimización
En la optimización se libera la variable
temperatura. Debido a esto, la difusividad y la
viscosidad dejan de ser constantes. Como un
acercamiento preliminar para hallar la solución de
la optimización en el software fue necesario hacer
el análisis de sensibilidad de la función objetivo
respecto al pH y al de forma que se verifica la
consistencia numérica de todas las ecuaciones.
La ecuación 9 muestra que la variable objetivo
depende del tiempo y de μ, sin embargo, el tiempo
no es una variable manipulable en este caso.
Debido a esto, μ es la variable que decidirá el
valor de la concentración de microorganismos al
final del proceso. Pero μ no es una variable
independiente, sino que depende de T, pH y .
Por esta razón se desarrolló el análisis de
sensibilidad.
3.2.1. Sensibilidad del oxígeno sobre la velocidad.
En la figura 7 se muestra la relación que tiene la
μ con la concentración de oxígeno. Para este
análisis no se tiene en cuenta la difusividad, ni la
viscosidad ya que los valores analizados de
fueron escogidos y ya cuentan con los efectos de
la difusividad y de la viscosidad.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
μ[1
/h]
tiempo [h]
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
Cm
[cfu
/Lt]
Tiempo [h]
Figura 7. Velocidad de reacción a diferentes
concentraciones de oxígeno. El pH es 6,6.
Por las características de la ecuación 10.c, se
esperaba que a medida que aumentará la
velocidad disminuyera. Por otro lado según los
valores de la simulación que están entre el rango
de 0,001 y 0,009 mol/Lt, los valores de μ estarán
entre 0,036 y 3,25, lo que indica que la influencia
del oxígeno en la variable objetivo será de alto
impacto ya que pequeñas variaciones de crean
variaciones significativas en μ. Sin embargo, el
efecto de la concentración de oxígeno sobre la
velocidad es variar la magnitud de ésta. Esto,
como se ve en la figura 7, quiere decir que la
temperatura que da el máximo de μ es el mismo,
313 K.
3.2.2. Sensibilidad del pH sobre la velocidad
La relación entre μ y el pH se da por la ecuación
10.b, dejando la concentración de oxígeno fija en
0,006 mol/Lt, la variación del pH a diferentes
temperaturas se observa en la figura 8.
El pH que presenta el mayor μ es 6,5. Como se
evidencio en la simulación el pH desciende en el
tiempo debido a la ecuación7. Revisando la
figura 8, μ será máximo en el punto medio entre el
pHmin y pHmax, lo más alejado de los extremos.
Sin embargo, el pH no se podrá maximizar ni
minimizar debido a que éste no depende de la
temperatura. Por otro lado, al igual que la
concentración de oxígeno, el pH afecta la
Figura 8. Velocidad de reacción a diferentes valores
de pH. La concentración de oxígeno es de 0.006
mol/Lt.
magnitud de la velocidad de reacción más no
genera un desplazamiento de la temperatura que
da el máximo de μ, la cual se mantiene en 313 K.
3.2.3. Perfiles óptimos
A partir de los resultados de la sensibilidad de μ
se estableció un rango para la temperatura desde
290 a 320 K.. Bajo estas condiciones se introdujo
la difusividad como variable.
En la ecuación 2 se observa que uno de los
factores que influyen en el valor de la difusividad
es la temperatura, directamente proporcionales
entre sí (teniendo la viscosidad constante). Esto
significa que a mayor temperatura, mayor
difusividad y por ello mayor concentración de
oxígeno, que se traduce en una menor velocidad
de crecimiento, influyendo negativamente sobre la
función objetivo. Debido a esto el programa lleva
la temperatura a su mínimo para disminuir la
contribución de la concentración de oxígeno sobre
la función objetivo. Sin embargo, esto hace que el
problema termine en una solución inviable. Para
hallar una solución, se establecieron límites en la
difusividad los cuales fueron 0,00496 y 0,011
m2/h obtenidos de la ecuación 2 a 290 y 320 K,
respectivamente. Posteriormente se incorporó la
viscosidad como variable. La viscosidad
disminuye al aumentar la temperatura cómo se
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
280 290 300 310 320 330
μ, [1
/h]
Temperatura [K]
0,0010,0030,0050,0060,0070,009
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
280 290 300 310 320 330
μ [
1/h
]
Temperatura [K]
7
6,5
6
5,5
5
4,8
puede observar en la sección A.2. Al disminuir la
viscosidad la difusividad aumenta y como se
explicó anteriormente el aumento de la
difusividad tiene un efecto negativo en la función
objetivo. En este caso, entonces, el programa
también lleva la temperatura a su mínimo en todos
los tiempos sin hallar solución. Para encontrar
solución se establecen los límites de la viscosidad
a 290 y 320 K, con valores de 1,1*10-6
y 5,17*10-7
Pa*s.
Bajo estas condiciones el programa se desarrolló
en GAMS y la figura 9 muestra el perfil de
crecimiento y el perfil de temperatura óptimo al
que se llegó.
Figura 9. Perfil de concentración y temperatura
óptimas, que dan el máximo crecimiento de
microorganismos Defensis.
La figura 9 A muestra que el crecimiento a través
del tiempo de los microorganismos es exponencial
lo que permitiría pensar que a mayores tiempos de
operación, mayor concentración de
microorganismos, sin embargo mayores tiempos,
en este caso, implicarían la acidificación excesiva
de la mezcla. El valor de la función objetivo, la
última concentración, es de 59681,177 cfu/Lt que
es 7,4*108cfu, bastante mayor al valor de la
concentración de microorganismos en la
simulación. La figura 9 B, es el perfil de
temperatura óptimo que comienza en 303 K y va
ascendiendo.
El perfil se da de esta forma porque al comienzo
del proceso la mezcla no tiene concentraciones de
oxígeno que signifiquen una fuerte variación de μ,
lo que significa que lo ideal es evitar al máximo la
difusión de oxígeno, lo cual se da a temperaturas
lo mpas bajas posibles. Sin embargo, la difusión
de oxígeno es inevitable, y comienza a
ascender. De este modo, existe un tiempo en el
que es más importante la contribución de la
temperatura sobre el crecimiento que la de la
difusión de oxígeno en el sistema. Esto significa
que la temperatura de operación se debe elevar en
el transcurso del proceso. Los resultados de este
comportamiento los da GAMS®, que arrojó como
posible temperatura óptima el perfil mostrado en
la figura9.b.
Conclusiones
El modelo planteado es válido porque es
consistente con los resultados proveídos por
Alpina S.A. Los datos que presentó la empresa no
se muestran en este artículo por confidencialidad.
La temperatura y el oxígeno son los factores que
más influyen en el crecimiento de los
microorganismos. Sin embargo, el proceso se
detiene cuando el pH se la mezcla llega a 4,5.
El perfil de temperatura es constante. La
temperatura comienza en 290 K y al cabo de 20
minutos (0,3 horas) se presenta un crecimiento
acelerado hasta 313 K. Finalmente la temperatura
continua en crecimiento pero a una tasa muy baja
sin superar los 314 K en las tres horas. Este
comportamiento se da por la relación matemática
que tiene la concentración de microorganismos
con las otras variables del modelo; relación que no
es obvia a simple vista por lo que es necesario un
software para realizar los cálculos.
La máxima concentración de microorganismos es
59681,177 cfu/Lt que equivalen a 7,4*108 cfu, una
59681,177
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
Cm
[cfu
/Lt]
Tiempo [h]
302
304
306
308
310
312
314
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
Tem
pera
tura
[K
]
Tiempo [h]
A
B
cantidad suficiente para cumplir con el requisito
establecido.
5. Perspectiva del proyecto
Hace falta revisar si hay alguna forma de
maximizar la concentración al final del proceso
variando el tiempo de entrada de la cepa E.
Thermophilus. Además evaluar la muerte de los
Defensis® en el resto de vida del producto.
6. Referencias
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Anexo
A.1. Cronograma
Cronograma inicial
Cronograma real
Semana Lunes Viernes Desarrollo
1 29-jul 02-ago Determinación de las variables que influyen en el crecimiento de los probióticos
2 05-ago 09-ago Decisión de hacer la optimización sobre la acidificación y no sobre todo el proceso.
3 12-ago 16-ago Creación del modelo matemático, ecuaciones y parámetros. Discretización de ecuaciones y obtención de los valores de los parámetros.
4 19-ago 23-ago
5 26-ago 30-ago
6 02-sep 06-sep Desarrollo de la simulación
7 09-sep 13-sep Consolidación de la información y escritura del artículo.
8 16-sep 20-sep
9 23-sep 27-sep
Desarrollo de la simulación en GAMS 10 30-sep 04-oct
11 07-oct 11-oct
12 14-oct 18-oct
Desarrollo y ajuste del modelo, haciendo corridas para al optimización. 13 21-oct 25-oct
14 28-oct 01-nov
15 04-nov 08-nov Análisis de Sensibilidad
16 11-nov 15-nov Corrida de la Optimización
A.2. Viscosidad del agua
En Ketins et al se encuentran los datos experimentales de la viscosidad del agua a diferentes temperaturas, las cuales
están en la tabla 3.
Tabla 3. Datos experimentales de viscosidad del agua [8].
Temperatura
Viscosidad
[μPa*s]
20 1,002
25 0,890
40 0,652
60 0,466
Los datos se grafican y se halla la regresión. En la Figura 10 se observa la regresión y la ecuación que se utilizó para
obtener la viscosidad. Dependiente de la temperatura.
Figura 10. Viscosidad del agua para correlacionarla con la ecuación de la difusividad.
A.3. Ajuste del descenso del pH
Oliveira et al [5] presentan el desempeño de acidificación del cultivo de streptococcus thermophilus, solo y con otras
cepas probióticas. En este caso se optó por tomar los datos de la acidificación de la cepa streptococcus thermophilus solo.
En la table 4 se muestran los datos de acidificación de la cepa thermophilus.
Tabla 4. Datos experimentales del descenso del pH para el streptococcus thermophilus.
Tiempo [h] 0 5 4,5
pH [unidpH] 6,5 5,1 11,6
El primer término no aparece en el artículo (el primer ajuste realizado), sin embargo es válido ponerlo ya que ese es el pH
aproximado de la leche. La regresión de estos datos se muestra en la figura 11.
Figura 11. Regresión hallada en la literatura de la variación del pH.
Como se puede notar el descenso de pH en 11 horas no llega a 4,5, como los datos suministrados por Alpina S.A. Por esta
razón el modelo fue ajustado. Se varía el termino -1,857 de tal forma que la ecuación descendiera el pH hasta 4,5 en tres
horas.
y = -3E-06x3 + 0,0006x2 - 0,0449x + 1,6799
R² = 1
0,3
0,5
0,7
0,9
10 20 30 40 50 60 70
η [μ
Pa
*s]
Temperatura [°C]
y = -1,857ln(x) + 6,4427
R² = 0,9829
4
5
6
7
0 5,1 11,6
pH
[U
nid
pH
]
Tiempo [h]
Nombre:
Optimización de la concentración de los probióticos del
YOX con Defensis®.
Obejtivos:
Plantear un modelo de Optimización para el crecimiento de los microorganismos del YOX.
Proponer un modelo que simule la etapa de acidificación del YOX con Defensis®
Determinar los valores de los parámetros de los modelos
Determinar variables que influyen sobre la función objetivo
Plantear una función objetivo que determine la concentración máxima de los
microorganismos.
Encontrar una herramienta computacional para la solución del problema.
Proponer un método de solución al modelo de optimización.
