Optimasi Ekonomi

21

BAB 2

OPTIMISASI EKONOMI

MAKSIMISASI NILAI PERUSAHAAN

Dalam ekonomi manajerial, tujuan pokok manajemen adalah memaksimumkan nilai

peoisahaan. Tujuan ini, seperti yang telah di bahas pada Bab 1, ditunjukkan dalam persamaan

2.1 di bawah ini:

Nilai =Laba(1+ )=0

= Total Revenue −Total Cost

(1+ )=0Memaksimumkan persamaan2.1 merupakan pekerjaan yang kompleks, karena

mencakup faktor-faktor penentu penerimaan, biaya, dan tingkat dis-konto (discount rate)

untuk setiap tahun pada masa yang akan datang. Penerimaan, biaya, dan tingkat diskonto

saling berhubungan satu sama lain sehingga membuat masalah ini menjadi lebih rumit.

Penelaahan yang mendalam terhadap hubungan-hubungan dalam persamaan 2.1 tersebut akan

membantu untuk memperjelas baik konsepnya maupun kompleksitasnya. Penerimaan total

(TR) suatu perusahaan secara langsung ditentukan oleh jumlah produk yang terjual dan

hargai jualnya. Ini berarti bahwa TR adalah harga produk (P) dikalikan dengan kuantitas (Q),

atau TR = P x Q. Dalam pembuatan keputusan manajerial, hal-hal penting yang harus

diperhatikan adalah faktor-faktor yang mempengaruhi harga dan kuantitas dan saling

keterkaitan antara faktor-faktor tersebut. Faktor-faktor tersebut termasuk pemilihan produk

yang dirancang perusahaan, pengolahannya, dan penjualannya; strategi periklanan yang

digunakan; kebijaksanaan harga yang ditetapkan; bentuk perekonomian yang dihadapinya;

dan sifat persaingan yang dihadapinya di pasar. Singkatnya, hubungan penerimaan tersebut

mencakup baik pertimbangan-pertimbangan permintaan maupun penawaran.

Hubungan-hubungan biaya dalam proses produksi suatu produk dari suatu perusahaan

juga kompleks. Analisis biaya memerlukan penelaahan sistem-sistem produksi alternatif,

pilihan-pilihan teknologi, kemungkinan-kemungkinan input yang digunakan, dan seterusnya.

Harga faktor-faktor produksi berperanan penting dalam penentuan biaya, dan oleh karena itu

22

masalah penawaran faktor-faktor produksi juga penting untuk dipertimbangkan.

Akhirnya, ada pula hubungan antara tingkat diskonto dan product mix, aset-aset fisik,

dan struktur keuangan dari suatu perusahaan. Faktor-faktor ini mempengaruhi biaya dan

tersedianya sumberdaya keuangan bagi perusahaan tersebut, dan akhirnya menentukan

tingkat diskonto yang digunakan oleh para investor untuk menetapkan nilai dari perusahaan

tersebut.

Untuk menentukan tindakan yang optimal, maka keputusan berkenaan dengan

pemasaran, produksi, dan keuangan harus -seperti halnya dengan keputusan-keputusan yang

berhubungan dengan sumberdaya manusia (SDM), distribusi produk, dan lain-lain-

digabungkan dalam suatu sistem yang terpadu di mana setiap tindakan akan mempengaruhi

seluruh bagian perusahaan tersebut. Teori ekonomi perusahaan memberikan dasar bagi

keterpaduan ini dan prinsip-prinsip analisis ekonomi membuat setiap orang mampu untuk

menganalisis keterkaitan itu.

Kompleksitas yang ada di dalam analisis pengambilan keputusan terpadu tersebut

mengendalai penerapannya dalam pembuatan keputusan-keputusan perencanaan yang utama.

Untuk keputusan sehari-hari, teknik optimisasi parsial yang lebih sederhana sering

digunakan. Optimisasi parsial menyarikan kompleksitas dari proses pengambilan keputusan

yang terpadu itu dan hanya memusatkan kepada tujuan-tujuan yang lebih terbatas di dalam

berbagai departemen dari perusahaan tersebut. Misalnya, departemen pemasaran seringkali

diharuskan untuk menetapkan biaya periklanan minimum yang bisa mencapai tujuan

penjualan, sesuai dengan lini produk (product line) perusahaan dan kendala-kendala harga

pasar.

Sama juga halnya, departemen produksi diharapkan untuk meminimumkan biaya

produksi dengan kualitas yang sama. Disinilah, analisis ekonomis bisa membantu para

manajer untuk mencapai keputusan-keputusan yang optimal.

Proses pengambilan keputusan yang rumit lersebut, baik dalam masalah optimisasi

terpadu atau pun parsial terjadi dalam dua tahap. Pertama, seseorang harus menyajikan

hubungan ekonomi tersebut dalam suatu bentuk yang bisa dianalisis, ini berarti bahwa

penyajian masalah tersebut dalam hubungan analitis. Kedua, seseorang harus menerapkan

berbagai teknik untuk menentukan penyelesaian yang optimal. Dalam pembahasan

selanjutnya, dikenalkan sejumlah konsep yang sangat bermanfaat untuk menyajikan masalah-

masalah pengambilan keputusan dalam suatu kerangka ekonomi. Kemudian, dipelajari

beberapa hubungan ekonomi yang seringkali digunakan dalam bagian kedua dari proses

pengambilan keputusan.

23

METODA PENYAJIAN HUBUNGAN EKONOMI

Hubungan-hubungan ekonomi seringkali disajikan dalam bentuk persamaan, tabel,

dan grafik. Sebuah tabel atau grafik mungkin memadai untuk melukiskan suatu hubungan

yang sederhana, tetapi jika hubungannya kompleks maka model persamaan diperlukan agar

seseorang bisa menggunakan alat analisis matematis dan simulasi komputer dalam

memecahkan masalah tersebut.

Model Persamaan

Mungkin cara yang paling mudah untuk mempelajari hubungan ekonomi dan

memahami optimisasi ekonomi adalah dengan menelaah beberapa bentuk hubungan

fungsional yang berperan penting dalam model dasar penilaian. Perhatikan hubungan antara

jumlah produk yang teijual (Q) dengan penerimaan total (TR). Dengan menggunakan notasi

fungsional, kita bisa menunjukkan hubungan tersebut seperti berikut:

TR = f(Q) (2.2)

Persamaan 2.2 tersebut dibaca “penerimaan total (TR) merupakan fungsi dari jumlah

produkyang terjual”. Nilai dari variabel dependen (TR) ditentukan oleh variabel independen

(jumlah produk yang terjual).

Persamaan 2.2 di atas tidak menunjukkan hubungan yang khusus antara jumlah unit

yang terjual dengan penerimaan total (TR); persamaan tersebut hanya menunjukkan adanya

suatu hubungan. Suatu hubungan fungsional yang lebih khusus diberikan oleh persamaan:

TR = P x Q (2.3)

Di sini P menunjukkan harga tiap unit yang terjual, dan hubungan antara variabel

dependen dengan variabel independen ditetapkan secara tepat. Penerimaan total (TR) selalu

sama dengan harga (P) dikalikan dengan jumlah unit yang terjual. Jika, misalkan, harga

adalah konstan pada Rp150,00 tanpa memperhatikan jumlah unit yang terjual, maka

hubungan antara jumlah unit yang terjual dan penerimaan total (TR) tersebut secara tepat

ditunjukkan oleh fungsi:

TR = Rp150,00 x Q (2.4)

Model Tabel dan Grafik

Selain model persamaan, model tabel dan grafik seringkali digunakan untuk

menyajikan hubungan-hubungan ekonomi. Data pada Tabel 2.1, misalnya, menunjukkan

hubungan fungsional yang sama dengan yang ditunjukkan oleh persamaan 2.4, dan fungsi

yang sama ini secara grafik dilukiskan dalam Gambar2.1. Ketiga metoda penyajian hubungan

tersebut bisa membantu seseorang dalam menganalisis data u

manajerial.

Hubungan Antara TR dengan

Jumlah Unit yang Terjual (Q):

Jumlah unit yang

Gambar 2.1 Grafik Hubungan Antara TR dengan Q

HUBUNGAN ANTARA NILAI TOTAL, RATA

Hubungan antara nilai total, rata

optimisasi. Pengertian total dan rata

perlu bagi kita untuk mendefinisikan istilah marginal. Hubungan marginal didefinisikan

sebagai perubahan variabel dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah

satu variabel independen sebesar satu unit. Dalam fungsi TR, pen

adalah perubahan penerimaan total yang disebabkan oleh perubahan satu unit barang yang

dijual.

24

tersebut bisa membantu seseorang dalam menganalisis data untuk pengambilan keputusan

Tabel 2.1

Hubungan Antara TR dengan

Jumlah Unit yang Terjual (Q):

TR = Rp150,00 X Q

Jumlah unit yang

terjual

Total Revenue

(TR)

1 Rp150,00

2 Rp300,00

3 Rp450,00

4 Rp600,00

5 Rp750,00

6 Rp900,00

Grafik Hubungan Antara TR dengan Q

HUBUNGAN ANTARA NILAI TOTAL, RATA-RATA, DAN MARGINAL

Hubungan antara nilai total, rata-rata, dan marginal sangat berguna dalam anaiisis

optimisasi. Pengertian total dan rata-rata sudah sangat umum diketahui, tetapi mungkin masih



satu variabel independen sebesar satu unit. Dalam fungsi TR, penerimaan marginal (MR)


ntuk pengambilan keputusan

RATA, DAN MARGINAL

rata, dan marginal sangat berguna dalam anaiisis

mungkin masih



erimaan marginal (MR)


25

Oleh karena proses optimisasi mencakup analisis diferensi atau perubahan-perubahan,

maka konsep marginal ini menjadi sangat penting. Secara khusus, kita akan menganalisis

suatu fungsi tujuan dengan melihat perubahan berbagai vanabel independen serta

pengaruhnya terhadap variabel dependen. Dengan kata lain, kita menyelidiki pengaruh

marginal dari perubahan variabel-variabel independen tersebut terhadap variabel

dependennya. Tujuan analisis ini adalah untuk menentukan nilai 'dari variabel-variabel

independen yang bisa mengoptimalkan fungsi tujuan dari para pembuat keputusan.

Hubungan Antara Nilai Total dengan Marginal

Tabel 2.2 menunjukkan hubungan antara total, marginal dan rata-rata dari suatu

fungsi laba hipotetis. Kolom 1 dan 2 menunjukkan hubungan antara output dengan laba;

kolom 3 menunjukkan laba marginal untuk setiap unit perubahan output, dan kolom 4

menunjukkan laba rata-rata pada setiap tingkat output.

Laba marginal menunjukkan perubahan laba yang disebabkan oleh perubahan satu

unit output. Laba marginal untuk unit output yang pertama adalah Rp19,00. Ini menunjukkan

perubahan dari laba Rp0,00 pada tingkat output 0 unit menjadi laba Rp19,00 yang diperoleh

ketika satu unit output diproduksikan. Begitu juga, laba marginal sebesar Rp33,00 berkaitan

dengan unit output kedua yang merupakan kenaikan laba total (Rp52,00-Rp19,00) yang

terjadi jika output dinaikkan dari satu unit menjadi dua unit.

Tabel 2.2

Hubungan Antara Nilai Total, Marginal dan Rata-rata Untuk Sebuah Fungsi Laba

Unit output yang terjual

Unit Output yang terjual

(Q)

LabaTotal

LabaMarginal

LabaRata-rata

0 Rp 0,00 - -

1 Rp 19,00 Rp19,00 Rp19,00

2 Rp 52,00 Rp33,00 Rp26,00

3 Rp 93,00 Rp41,00 Rp31,00

4 Rp136,00 Rp43,00 Rp34,00

5 Rp175,00 Rp39,00 Rp35,00

6 Rp210,00 Rp35,00 Rp35,00

7 Rp217,00 Rp 7,00 Rp21,00

8 Rp208,00 Rp-9,00 Rp26,00

26

Hubungan antara nilai marginal dengan nilai total dalam analisis pengambilan

keputusan berperan penting, karena jika nilai marginal tersebut positif, maka nilai total akan

meningkat, dan jika nilai marginal tersebut negatif, maka nilai total akan menurun. Data pada

Tabel 2.2 bisa juga digunakan untuk menjelaskan hal tersebut. Laba marginal pada

outputyang pertama sampai ketujuh adalahpositif, dan laba total meningkat jika output

meningkat pada kisaran output tersebut. Namun‘demikian, karena laba marginal pada output

sebesar delapan unit adalah negatif, maka laba akan menurun jika output dinaikkan mencapai

tingkat tersebut. Oleh karena, maksimisasi fungsi laba, atau fungsi apa saja, terjadi pada titik

di mana hubungan marginal bergeser dari positif ke negatif. Hubungan ini akan dibahas lebih

lanjut pada akhir bab ini.

Hubungan Antara Nilai Rata-rata dengan Marginal

Hubungan antara nilai rata-rata dengan marginal juga penting dalam analisis

pembuatan keputusan manajerial. Oleh karena nilai marginal menunjukkan perubahan dari

nilai total, maka jika nilai marginal tersebut lebih besar dari nilai rata-rata, pasti nilai rata-rata

tersebut sedang menaik. Misalnya, jika 10 pekerja secara rata-rata menghasilkan 200 unit

output per hari, dan pekerja yang ke 11 (pekerja tambahan) menghasilkan 250 unit, maka

output rata-rata dari para pekerja meningkat. Demikian juga, jika pekerja tambahan tersebut

menghasilkan lebih kecil dari 200 unit per hari, maka output rata-rata tersebut akan turun.

Data pada Tabel 2.2 bisa digunakan untuk menggambarkan hubungan antara nilai

marginal dengan rata-rata. Untuk output yang kedua sampai yang kelima, laba marginal lebih

besar dari laba rata-rata dan pada setiap tingkat output laba rata-rata meningkat. Walaupun

dari unit output yang keempat ke unit output yang kelima laba marginal turun dari Rp43,00

menjadi Rp39,00, tetapi laba marginal tersebut masih lebih besar dari laba rata-rata pada

tingkat output sebanyak 4 unit (Rp34,00). Oleh karena itu, sepanjang nilai marginal itu di atas

nilai rata-rata, maka nilai rata-rata tersebut masih akan naik. Laba marginal pada output

sebanyak 6 unit adalah Rp35,00 sama dengan laba rata-rata pada 5 unit, demikian pula laba

rata-rata tidak berubah antara output sebesar 5 unit dan 6 unit. Akhirnya, laba marginal dari

output yang ketujuh di bawah laba rata-rata pada output sebesar 6 unit dan menyebabkan laba

rata-rata turun.

Penggambaran Hubungan Antara Nilai Total, Marginal dan Rata-rata

Hubungan antara nilai total, marginal dan rata-rata juga bisa ditunjukkan secara

geometris. Gambar 2.2(a) menunjukkan sebuah grafik hubungan antara laba dengan output

27

yang ditunjukkan dalam Tabel 2.2. Setiap titik pada kurva tersebut menunjukkan kombinasi

output laba total yang diambil dari Tabel 2.2. Data laba marginal dan laba rata-rata pada

Tabel 2.2 dilukiskan pada Gambar 2.2(b).

Jika ada hubungan aritmatis antara nilai total, marginal dan rata-rata pada tabel

tersebut, maka hubungan geometrisnya akan tampak pada grafik. Untuk melihat hubungan

ini, lebih dahulu perhatikan laba rata-rata output (per unit) pada setiap titik sepanjang kurva

laba total tersebut. Laba rata-rata selalu sama dengan laba total dibagi jumlah output yang

cocok. Secara geometris hubungan ini ditunjukkan oleh slope (lereng) dari sebuah garis dari

titik asal (origin) menuju titik potong pada kurva laba total. Misalnya, perhatikan slope dari

suatu garis dari titik asal menuju titik B dalam Gambar 2.2(a).

Slope adalah suatu ukuran kemiringan dari sebuah garis, dan didefinisikan sebagai

tingginya kenaikan (atau penurunan) per unit sepanjang sumbu horisontal. Slope dari sebuah

garis lurus yang melalui titik asal ditentukan dengan pembagian koordinat Y pada setiap titik

pada garis tersebut dengan koordinat X yang cocok. Jadi, slope dari garis OB bisa dihitung

melalui pembagian Rp93,00 (koordinat Y pada titik B) dengan 3 (koordinat X pada titik B).

Namun demikian, dalam proses ini kita membagi laba total dengan jumlah output yang

cocok. Inilah pengertian laba rata-rata. Oleh karena itu, pada setiap titik sepanjang sebuah

kurva nilai total, nilai rata-rata yang cocok ditunjukkan oleh slope dari sebuah garis lurus dari

titik asal menuju titik tertentu. Gambar nilai rata-rata ini bisa secara langsung digambarkan

seperti pada Gambar 2.2(b). Di situ, setiap titik pada kurva laba rata-rata adalah sama dengan

laba total dibagi dengan kuantitas output.

Hubungan marginal mempunyai hubungan geometris yang serupa dengan kurva nilai

total. Dalam Tabel 2.2 setiap nilai marginal ditunjukkan oleh perubahan laba total yang

disebabkan oleh kenaikan satu unit output. Kenaikan (atau penurunan) laba total yang

disebabkan oleh kenaikan satu unit output tersebut merupakan slope dari kurva laba totai

pada titik tersebut.

Slope-slope kurva nonlinear dapat diperoleh melalui penggambaran sebuah garis

singgung pada kurva tersebut melalui suatu titik yang diinginkan dan kemudian menentukan

slope dari garis singgung'tersebut. Dalam Gambar 2.2(a), misalnya, laba marginal pada titik

A adalah sama dengan slope kurva laba total pada titik tersebut, yaitu sama dengan slope dari

garis singgung TAN. Oleh karena itu, pada setiap titik sepanjang sebuah kurva total, nilai

marginal yang sesuai ditunjukkan oleh sebuah garis yang digambarkan bersinggungan dengan

kurva nilai total pada titik tersebut. Slope-slope tersebut (atau nilai marginal) bisa juga

digambarkan secara langsung seperti ditunjukkan oleh kurva laba marginal dalam Gambar

2.2(b).

Hubungan-hubungan geometris antara nilai total, marginal dan rata

bisa ditelaah lebih jauh. Pertama, perhatikan bahwa kurva laba total naik dari titik asal

menuju titik C. Oleh karena garis

laba total menjadi lebih cu ram jika titik singgung tersebut mendekati titik C, maka laba

marginal menaik sampai titik singgung tersebut. Ini juga dilukiskan pada Gambar 2.2(b), di

mana kurva laba marginal meningkat sampai pada tingkat output, sama

kurva laba total. Pada titik C tersebut, yang disebut titik belok (inflection point), slope kurva

laba total adalah maksimum. Oleh karena itu, laba marginal adalah maksimum pada titik

tersebut. Antara titik C dan E laba total terus meningkat karena laba marginal masih tetap

positif walaupun sudah menurun. Pada titik E kurva laba total berslope nol dan hal ini berarti

tidak terjadi kenaikan maupun penurunan laba. Oleh karena itu laba mar

tersebut (output Q3 dalam Gambar 2.2(b)) sama dengan nol dan laba total menjadi

maksimum. Setelah melampaui titik E kurva laba total berslope negatif dan laba marginal

menjadi negatif.

Hubungan Antara Nilai Total, Marginal dan

Rata

(a) Laba Total

(b) Laba Marginal dan Rata

28

hubungan geometris antara nilai total, marginal dan rata-rata, sekarang


ris-garis yang digambarkan yang bersinggungan dengan kurva

ram jika titik singgung tersebut mendekati titik C, maka laba


marginal meningkat sampai pada tingkat output, sama dengan titik C pada





tidak terjadi kenaikan maupun penurunan laba. Oleh karena itu laba marginal pada titik E



Gambar 22

Hubungan Antara Nilai Total, Marginal dan

Rata-rata Secara Geometris

Laba Marginal dan Rata-rata

rata, sekarang


garis yang digambarkan yang bersinggungan dengan kurva

ram jika titik singgung tersebut mendekati titik C, maka laba


dengan titik C pada





ginal pada titik E



29

Selain hubungan nilai total rata-rata dan total marginal, hubungan antara nilai

marginal dengan rata-rata juga ditunjukkan pada Gambar 2.2(b). Pada tingkat output yang

rendah, di mana kurva laba marginal terletak di atas kurva laba rata-rata, maka kurva laba

rata-rata sedang menaik. Walaupun laba marginal mencapai titik maksimum pada output Q1

dan kemudian menurun, tetapi kurva laba rata-rata terus meningkat sepanjang kurva laba

marginal masih di atasnya. Pada tingkat output Q2, laba marginal sama dengan laba rata-rata,

dan pada saat ini laba rata-rata mencapai nilai maksimumnya. Setelah melampaui output Q2,

kurva laba marginal terletak di bawah kurva laba rata-rata, dan kurva laba rata-rata tersebut

mulai menurun.

Penurunan Kurva Total dari Kurva Marginal Atau Rata-rata

Jika kita bisa mendapatkan kurva laba marginal dan laba rata-rata dari kurva laba total

dalam Gambar 2.2(a), kita juga bisa mencari laba total dari kurva laba marginal atau kurva

laba rata-rata pada Gambar 2.2(b). Pertama perhatikan penurunan laba total dari kurva laba

rata-rata. Laba total adalah laba rata-rata dikalikan dengan jumlah output. Laba total yang

sesuai dengan output Q, misalnya, adalah laba rata-rata (A) dikalikan output (Q1). Laba total

tersebut sama dengan luas bidang segi empat OABQ1. H ubungan ini berlaku untuk semua

titik sepanjang kurva laba rata-rata.

Hubungan yang sama terjadi antara laba marginal dengan laba total. Mengingat

bahwa laba total adalah sama dengan jumlah semua laba marginal, maka laba total untuk

setiap tingkat output adalah sama dengan jumlah laba marginal sampai dengan tingkat output

tersebut. Secara geometris, laba total tersebut ditunjukkan oleh daerah di bawah kurva laba

marginal dari sumbu Y sampai kuantitas output yang ditentukan. Pada tingkat output Q1, laba

total sama dengan bidang di bawah kurva laba marginal yaitu bidang OCQ1.

Nilai rata-rata/marginal/total ini merupakan dasar bagi prinsip-prinsip penting

ekonomi mikro. Oleh karena itu, seyogyanya hubungan-hubungan tersebut dipahami secara

mendalam. Contoh penggunaan yang paling umum adalah dalam maksimisasi laba jangka

pendek: kurva biaya marginal atau marginal cost (MC) dan kurva penerimaan marginal atau

marginal revenue (MR) diturunkan dari nilai rata-rata atau total. Laba akan maksimum jika

laba marginal (MR -MC) sama dengan nol. Jadi, laba akan maksimum jika MR = MC.

KALKULUS DIFERENSIAL

Walaupun tabel dan grafik bermanfaat untuk menjelaskan konsep-konsep hubungan

ekonomi, tetapi persamaan seringkali lebih cocok untuk digunakan dalam proses pemecahan

30

masalah. Salah-satu alasannya adalah bahwa teknik analisis kalkulus diferensial bisa

digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara

efisien melalui analisis marginal. Selain itu, konsep kalkulus dasar mudah dikembangkan

untuk masalah pengambilan keputusan di mana pilihan-pilihan yang ada bagi pembuatan

keputusan dibatasi oleh beberapa kendala. Oleh karena itu, pendekatan kalkulus ini sangat

bermanfaat bagi masalah optimisasi terkendala yang merupakan ciri dari proses pembuatan

keputusan manajerial.

Kita telah mendefinisikan nilai marginal sebagai perubahan nilai variabel dependen

yang disebabkan oleh perubahan satu unit suatu variabel independen. Perhatikan fungsi

Y=f(X). Dengan menggunakan (delta) sebagai tanda perubahan, kita bisa menunjukkan

perubahan nilai variabel independen (X) dengan notasi X dan perubahan variabel dependen

(Y) dengan notasi Y.

Perbandingan Y/X menunjukkan suatu spesifikasi umum dari konsep marginal:

Marginal Y = ∆∆ (2.5)

Perubahan Y yaitu AY dibagi dengan perubahan X yaitu AX menunjukkan perubahan

variabel dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit nilai X.

Gambar 2.3, yang merupaKan sebuah grafik dari sebuah fungsi yang menghubungkan

Y dengan X, menggambarkan hubungan ini. Untuk nilai-nilai X yang dekat dengan titik asal,

perubahan X yang relatif kecil akan menyebabkan perubahan Y yang cukup besar. Oleh

karena itu, nilai Y/ X = (Y2 -Y-))/(X2 –X1) yang relatif besar menunjukkan bahwa suatu

kenaikan kecil dari X akan menyebabkan kenaikan yang besar pada Y. Keadaan ini terbalik

jika nilai X semakin menjauhi titik asal sepanjang sumbu X. Suatu kenaikan besar dari X,

misalkan dari X3 ke X4, hanya akan menghasilkan suatu kenaikan yang kecil pada Y, dari Y3

ke Y4, maka Y/X juga menjadi kecil.

Jelas bahwa hubungan marginal antara X dengan Y, seperti ditunjukkan pada Gambar

2.3, selalu berubah pada setiap titik yang berbeda pada kurva tersebut. Jika kurva tersebut

relatif curam, maka variabel dependen Y sangat responsif terhadap perubahan variabel

independen; tetapi jika kurva tersebut relatif datar, maka respons dari variabel dependen Y

tidak begitu berarti terhadap perubahan X.

Secara konseptual,-suatu turunan (derivative) merupakan suatu spesifikasi yang tepat

dari hubungan marginal secara umum, Y/X. Untuk mendapatkan sebuah turunan kita

harus mendapatkan nilai dari rasio Y/X untuk suatu perubahan variabel independen yang

sangat kecil. Notasi matematis untuk sebuah turunan adalah:

Gambar 2.3 Perubahan AY/AX Sepanjang Sebuah Kurva

Notasi tersebut dibaca: “turunan Y pada X sama dengan limit dari

nol”.

Konsep turunan sebagai

kurva pada sebuah titik. Gambar 2.4 menunjukkan konsep tersebut dengan menggunakan

kurva yang sama dengan Gambar 2.3. Perhatikan bahwa pada Gambar 2.4 slope rata

kurva tersebut antara titik A dan D dihitung dengan cara berikut:

dan ditunjukkan sebagai slope dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sama

juga halnya, slope rata-rata dari kurva tersebut bisa dihitung sepanjang interval

yang semakin mengecil dan ditunjukkan oleh garis

menghubungkan titik B dan C dengan D. Pada limitnya, jika X mendekati nol, maka

perbandingan Y/X sama dengan slope dari sebuah garis yang bersinggungan dengan kurva

tersebut pada titik D. Slope dari garis singgung ini didefinisikan sebagai tu

fungsi tersebut pada titik D; slope itu menunjukkan perubahan marginal Y yang disebabkan

oleh suatu perubahan X yang sangat kecil pada titik tersebut.

31

ngat kecil. Notasi matematis untuk sebuah turunan adalah:

Gambar 2.3 Perubahan AY/AX Sepanjang Sebuah Kurva

turunan Y pada X sama dengan limit dari Y/ X, jika X mendekati

Konsep turunan sebagai limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope dari sebuah


kurva yang sama dengan Gambar 2.3. Perhatikan bahwa pada Gambar 2.4 slope rata

tik A dan D dihitung dengan cara berikut:


rata dari kurva tersebut bisa dihitung sepanjang interval

yang semakin mengecil dan ditunjukkan oleh garis-garis penghubung lainnya, s


X sama dengan slope dari sebuah garis yang bersinggungan dengan kurva

tersebut pada titik D. Slope dari garis singgung ini didefinisikan sebagai turunan (dY/dX)


oleh suatu perubahan X yang sangat kecil pada titik tersebut.

X, jika X mendekati

limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope dari sebuah


kurva yang sama dengan Gambar 2.3. Perhatikan bahwa pada Gambar 2.4 slope rata-rata dari


rata dari kurva tersebut bisa dihitung sepanjang interval-interval X

garis penghubung lainnya, seperti yang


X sama dengan slope dari sebuah garis yang bersinggungan dengan kurva

runan (dY/dX)


Gambar 2.4 Penggambaran Turunan Sebagai Slope Dari Sebuah Kurva

Misalkan, variabel dependen Y adalah penerimaan total (TR), dan variabel

independennya adalah output. Maka turunan dY/dX menunjukkan bagaimana hubungan

antara penerimaan dengan output pada suatu tingkat output tertentu. Oleh karena perubahan

penerimaan yang disebabkan oleh su

marginal(MR), maka turunan TR adalah sama dengan MR pada s

Keadaan yang sama terjadi untuk biaya total, atau total cost (TC): turunan fungsi TC

pada setiap tingkat output menunjukkan biaya marginal atau marginal

tersebut.

Turunan-turunan ini merupakan informasi yang sangat berharga bagi ekonomi

manajerial. Gambaran lain mengenai kegunaannya akan dibahas belakangan, tetapi kaidah

kaidah untuk mendapatkan turunan

dijelaskan lebih dahulu.

KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI

Mencari turunan dari suatu fungsi bukanlah merupakan pekerjaan yang sulit. Rumus

rumus atau kaidah-kaidah dasar untuk

pembuktian tidak dijelaskan di sini, tetapi

buku teks tentang kalkulus.

Kaidah Konstanta

Turunan dari sebuah konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y

maka: = 0

32


ependen Y adalah penerimaan total (TR), dan variabel



penerimaan yang disebabkan oleh suatu perubahan output didefinisikan sebagai penerimaan

marginal(MR), maka turunan TR adalah sama dengan MR pada setiap tingkat output tertentu.


menunjukkan biaya marginal atau marginal cost (MC) pada output

turunan ini merupakan informasi yang sangat berharga bagi ekonomi

manajerial. Gambaran lain mengenai kegunaannya akan dibahas belakangan, tetapi kaidah

n turunan-turunan dari fungsi-fungsi yang sering dijumpai akan

KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI

Mencari turunan dari suatu fungsi bukanlah merupakan pekerjaan yang sulit. Rumus

kaidah dasar untuk pendiferensiasian disajikan di bawah ini. Pembuktian

pembuktian tidak dijelaskan di sini, tetapi -kalau Anda berminat-bisa diperoleh dalam setiap

Turunan dari sebuah konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y = sebuah konstanta,


ependen Y adalah penerimaan total (TR), dan variabel



atu perubahan output didefinisikan sebagai penerimaan

etiap tingkat output tertentu.


cost (MC) pada output

turunan ini merupakan informasi yang sangat berharga bagi ekonomi

manajerial. Gambaran lain mengenai kegunaannya akan dibahas belakangan, tetapi kaidah-

fungsi yang sering dijumpai akan

Mencari turunan dari suatu fungsi bukanlah merupakan pekerjaan yang sulit. Rumus-

pendiferensiasian disajikan di bawah ini. Pembuktian-

bisa diperoleh dalam setiap

= sebuah konstanta,

Keadaan ini digambarkan pada Gambar 2.5 untuk Y = 2. Oleh karena

sebagai konstanta, maka nilainya tidak berubah

dY/dX pasti sama dengan nol.

Gambar 2.5 Gambar

Kaidah Pangkat

Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = aX

adalah sama dengan pangkat (exponent) b dikalikan dengan koefisien a dikalikan dengan

variabel X pangkat b-1:

Y – aXb

= b.a. X(b-1)

Sebagai contoh adalah fungsi berikut ini:

Y = 2X3

maka:

= 3.2X(3-1)

= 6X2Dua contoh lagi dari fungsi

fungsi Y = adalah:

= 3X2

Pangkat 3 dikalikan dengan koefisien 1, dan kemudian dikalikan dengan Y pangkat 2.

Contoh lain, turunan fungsi Y = 0,5X adalah

= 1.0,5.X1-1

= 1.0.5.X0

= 0,5

33

Keadaan ini digambarkan pada Gambar 2.5 untuk Y = 2. Oleh karena Y

sebagai konstanta, maka nilainya tidak berubah-ubah walaupun X berubah, dan karena itu

Gambar 2.5 Gambar dari Sebuah Fungsi yang Konstan:

Y = Konstanta, dY/dX = 0

Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = aXb, di mana a dan b merupakan konstanta


oh adalah fungsi berikut ini:

Dua contoh lagi dari fungsi-fungsi pangkat akan memperjelas aturan ini. Turunan dari

3 dikalikan dengan koefisien 1, dan kemudian dikalikan dengan Y pangkat 2.

Contoh lain, turunan fungsi Y = 0,5X adalah

Y didefinisikan

ubah walaupun X berubah, dan karena itu

dari Sebuah Fungsi yang Konstan:

, di mana a dan b merupakan konstanta


fungsi pangkat akan memperjelas aturan ini. Turunan dari

3 dikalikan dengan koefisien 1, dan kemudian dikalikan dengan Y pangkat 2.

Pangkat 1 dikalikan dengan koefisien 0,5 dan dikalikan dengan X pangkat nol. Karena

setiap bilangan yang berpangkat nol sama dengan satu, maka hasilnya adalah 0,5.

Sebuah grafik bisa memperjelas konsep fungsi pangkat ini. Pada Gambar 2.6, dua

contoh fungsi pangkat di muka, Y = X

0,5X. Turunan fungsi ini adalah dY/dX = 0,5, merupakan sebuah konstanta, menunjukkan

bahwa slope fungsi tersebut adalah konstan. Hal ini tampak pada gambar tersebut. Turunan

mengukur suatu tingkat perubahan.

tersebut linear, maka turunan fungsi tersebut pasti ko

meningkat jika X bertambah. Turunan fungsi tersebut, dY/dX = 3X

bertambah banyak. Hal tersebut menunjukkan bahwa slope fungsi tersebut meningkat.

Gambar 2.6 Fungsi Pangkat

Kaidah Penjumlahan dan Selisih

Notasi berikut ini akan digunakan terus sampai akhir bab ini untuk menunjukkan

sejumlah aturan diferensiasi:

U = g(X): U adalah g fungsi X

V = h(X): V adalah h fungsi X

Turunan dari suatu penjumlahan (atau

turunan secara individual. Oleh karena itu, jika Y = U + V maka:

Misalkan, U = g(X) = 2X

Y = U + V = 2X2 -X

=4X-3X2

34


gan yang berpangkat nol sama dengan satu, maka hasilnya adalah 0,5.


h fungsi pangkat di muka, Y = X3 dan Y = Q,5X dilukiskan. Pertama perhatikan Y =

i adalah dY/dX = 0,5, merupakan sebuah konstanta, menunjukkan


perubahan. Jika tingkat perubahan tersebut konstan, jika fungsi

aka turunan fungsi tersebut pasti konstan. Fungsi yang kedua, Y = X

meningkat jika X bertambah. Turunan fungsi tersebut, dY/dX = 3X2, selalu meningkat jika X


Kaidah Penjumlahan dan Selisih


U = g(X): U adalah g fungsi X

V = h(X): V adalah h fungsi X

Turunan dari suatu penjumlahan (atau selisih) sama dengan jumlah (atau selisih) dari

turunan secara individual. Oleh karena itu, jika Y = U + V maka:

Misalkan, U = g(X) = 2X2, V = h(X) = -X3, dan

X3 maka:


gan yang berpangkat nol sama dengan satu, maka hasilnya adalah 0,5.


dan Y = Q,5X dilukiskan. Pertama perhatikan Y =

i adalah dY/dX = 0,5, merupakan sebuah konstanta, menunjukkan


tersebut konstan, jika fungsi

nstan. Fungsi yang kedua, Y = X3,

, selalu meningkat jika X



selisih) sama dengan jumlah (atau selisih) dari

35

Turunan fungsi yang pertama (2X2) sama dengan 4X diperoleh melalui kaidah

pangkat; turunan fungsi yang kedua (-X3) sama dengan 3X2 diperoleh dengan cara yang

sama; dan turunan fungsi secara total merupakan jumlah dari turunan-turunan dari bagian-

bagiannya.

Kaidah Perkalian

Turunan dari perkalian antara dua fungsi adalah sama dengan fungsi yang pertama

dikalikan dengan turunan dari fungsi yang kedua, ditambah dengan fungsi yang kedua

dikalikan dengan turunan fungsi yang pertama. Oleh karena itu, jika Y = U . V, maka;

Misalnya, jika Y = 3X2 (3 -X), berarti U = 3X2 dan V = (3 -X)

3 2 (3 ) ( )=3X2 (-1) + (3 -X) (6X)

= -3X2 + 18X-6X2

= 18X-9X2

Faktor yang pertama 3X2 dikalikan dengan turunan dari faktor yang kedua -1, dan

ditambah dengan faktoryang kedua (3-X) dikalikan dengan turunan faktor yang pertama 6X.

Kaidah Hasil Bagi

Turunan dari hasil bagi dari suatu fungsi adalah sama dengan penyebut yang dikalikan

dengan turunan pembilang, dikurangi dengan pembilang dikalikan dengan turunan penyebut,

dan kemudian semuanya dibagi dengan penyebut kuadrat. Maka, jika Y = U/V, maka:

. − .Misalnya, U = 2X -3 dan V = 6X2, maka:

Y = 2 −6

6 .2−(2 − )126 4

12 −2 + 66 4

= −

36

Penyebut 6X2 dikalikan dengan turunan dari pembilang yaitu 2. Kemudian hasil

tersebut dikurangi dengan pembilang (2X -3) dikalikan dengan turunan dari penyebut yaitu

12X. Kemudian hasil tersebut dibagi dengan penyebut kuadrat yaitu 36X4. Hasil akhirnya

merupakan turunan yang dicari.

Kaidah Rantai

Turunan sebuah fungsi dari sebuah fungsi diperoleh dengan cara. Jika Y= f (U), di

mana U = g(X), maka:

Misalkan, Y = 2U -U2, dan U = 2X3, maka kita bisa mendapatkan dY/dX dengan cara

berikut:

Langkah 1

= 2-2U

Dengan mensubstitusikan nilai U diperoleh:

2 – 2(2X3)

Langkah 2

= 6X2

Langkah 3

= (2 – 4X3) 6X2

= 12X2 – 24X5

Dua contoh berikut ini menunjukkan bagaimana penerapan kaidah rantai ini untuk

mendapatkan turunan dari berbagai fungsi.

Contoh 1:

Y = √ 2Misalkan U = X2 -1, maka Y = √ = U1/2

12 U-1/2

= 1

2 /

37

Dengan mensubstitusikan X2 -1 ke dalam U pada turunan tersebut maka diperoleh:

( 2 )1/2

karena U = X2-1, maka dU

Dengan menggunakan kaidah rantai,

, maka:

( 2 )1/2=

1√ −1

Contoh 2:

Y = 1

√ −1Misalkan U=X2 – 2, maka Y=1/U, dengan menggunakan kaidah hasil bagi, kita

memperoleh:

. .2

= -1

Dengan mensubstitusikan (X2 -2) ke dalam U kita memperoleh dY 1

( 2 )2Karena U = X2 -2, maka:

= 2X

dX

Oleh karena itu:

1( −1) 2x

( 2 )2

PENGGUNAAN TURUNAN

FUNGSI

Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang untuk mendapatkan nilai

maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Jika suatu fungsi

maksimum atau minimum, maka slopenya atau nilai marginalnya pasii nol. Turunan suatu

fungsi ditunjukkan oleh slope atau nilai marginalnya pada suatu titik tertentu. Oleh karena

itu, maksimisasi atau minimisasi dari suatu fungsi terjadi

Untuk menjelaskan hal tersebut, perhatikan fungsi laba berikut ini:

= - 10.000 + 400Q-2Q2

Di sini = laba total dan Q adalah jumlah output. Seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.7, jika

output sama dengan nol, maka

tetap atau fixedcosf adalah Rp10.000,00).

meningkat. Titik impas atau break even point (tingkat output yang menghasilkan laba sama

dengan nol) dicapai pada saat output berjumlah 29 unit. Laba maksimum dicapai pada saat

output sebesar 100 unit dan setelah itu laba menurun.

Laba Sebagai Fungsi dan Output

Tingkat output yang memaksimumkan laba bisa diperoleh dengan menghitung nilai

dari fungsi tersebut pada tingkat output tertentu, kemudian menggambarkannya seperti

Gambar 2.7. Laba maksimum tersebut bisa juga diperoleh dengan mendapatkan turunan

(marginal) dari fungsi laba tersebut, kemudian menentukan nilai Q yang membuat turunan

(marginal) tersebut sama dengan nol.

38

TURUNAN UNTUK MEMAKSIMUMKAN/ MEMINIMUMKAN


maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Jika suatu fungsi berada pada keadaan



itu, maksimisasi atau minimisasi dari suatu fungsi terjadi jika turunannya sama dengan nol.

Untuk menjelaskan hal tersebut, perhatikan fungsi laba berikut ini:

2Q2 (2.6)

= laba total dan Q adalah jumlah output. Seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.7, jika

perusahaan tersebut akan rugi sebesar Rp10.000,00 (biaya

cosf adalah Rp10.000,00). Tetapi jika output meningkat, maka laba juga akan


ai pada saat output berjumlah 29 unit. Laba maksimum dicapai pada saat

output sebesar 100 unit dan setelah itu laba menurun.

Gambar 2.7

Laba Sebagai Fungsi dan Output


fungsi tersebut pada tingkat output tertentu, kemudian menggambarkannya seperti



al) tersebut sama dengan nol.

MEMINIMUMKAN


berada pada keadaan



jika turunannya sama dengan nol.

= laba total dan Q adalah jumlah output. Seperti ditunjukkan oleh Gambar 2.7, jika

Rp10.000,00 (biaya

Tetapi jika output meningkat, maka laba juga akan


ai pada saat output berjumlah 29 unit. Laba maksimum dicapai pada saat


fungsi tersebut pada tingkat output tertentu, kemudian menggambarkannya seperti



39

Laba Marginal (MJI) = = 400 -4Q

Dengan menyamakan turunan tersebut sama dengan nol maka:

400-4Q = 0

4Q = 400

Q = 100 unit

Oleh karena itu, jika Q = 100, maka laba marginal sama dengan nol dan laba total

adalah maksimum.

Pembedaan Nilai Maksimum dengan Nilai Minimum

Masalah akan muncul jika turunan digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau

minimum. Turunan pertama sebuah fungsi total menunjukkan suatu ukuran apakah fungsi

tersebut sedang menaik atau menurun pada titik tertentu. Agar suatu fungsi menjadi

maksimum atau minimum, maka fungsi tersebut harus tidak dalam keadaan menaik atau

menurun, oleh karena itu slopenya harus sama dengan nol. Namun demikian, karena nilai

marginal akan menjadi nol baik untuk nilai maksimum maupun minimum dari suatu fungsi,

maka analisis selanjutnya perlu untuk menentukan apakah nilai maksimum atau minimum

tersebut telah ditemukan.

Keadaan tersebut dilukiskan dalam Gambar 2.8 di mana tampak bahwa slope dari

kurva (aba total adalah nol, baik pada titik A maupun titik B. Namun demikian, titik A

menunjukkan tingkat output yang meminimumkan laba, sedangkan titik B menunjukkan

tingkat output yang memaksimumkan laba.

Konsep turunan kedua (second-order derivative) digunakan untuk membedakan nilai

maksimum dengan minimum dari suatu fungsi. Turunan kedua ini merupakan turunan dari

turunan pertama. Jika laba total ditunjukkan oleh persamaan = a-bQ + cO2-dQ3, seperti

ditunjukkan Gambar 2.8, -maka turunan pertamanya yang merupakan fungsi laba marginal

adalah:

= M = -b + 2cQ -3dQ2 (2.7)

Turunan kedua dari fungsi laba total adalah turunan dari fungsi laba marginal (turunan

persamaan 2.7) yaitu:

= 2c-6dQ

Gambar 2.8 Penentuan Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungs

Jika turunan pertama menunjukkan slope fungsi laba iotal, maka turunan kedua

tersebut menunjukkan slope dari turunan pertama tersebut yakni slope dari kurva laba

marginal. Kita bisa menggunakan turunan kedua tersebut untuk membedakan titik maksimum

dan minimum. Jika turunan kedua dari

adalah maksimum, demikian sebaliknya.

Alasan dari hubungan yang terbalik tersebut bisa dilihat dalam Gambar 2.8.

Perhatikan bahwa laba mencapai minimum pada titik A karena

negatif dan karena itu menyebabkan laba total turun, tiba

slopenya positif. Keadaan yang berlawanan terjadi pada titik maksimum; nilai laba marginal

tersebut adalah positif tetapi menurun h

maksimum, dan negatif setelah titik tersebut. Oleh karena itu, fungsi marginal tersebut

berslope negatif pada titik maksimum fungsi total.

Sebuah contoh dengan bilangan akan memperjelas konsep ini. Misa

total dalam Gambar 2.8 ditunjukkan oleh fungsi berikut:

Laba total () = -3.000 -2.400Q + 350Q

Laba marginal ditunjukkan oleh turunan pertama dari laba total tersebut:

Laba marginal (M) =

Laba total akan maksimum atau minimum pada titik

tersebut (laba marginal) sama dengan nol, maka:

= -2.400+ 700Q-25Q =0

40

Gambar 2.8 Penentuan Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi




kedua dari sebuah fungsi negatif maka titik yang ditentukan

adalah maksimum, demikian sebaliknya.


Perhatikan bahwa laba mencapai minimum pada titik A karena laba marginal, yang tadinya

negatif dan karena itu menyebabkan laba total turun, tiba-tiba menjadi positif. Oleh karena itu


tersebut adalah positif tetapi menurun hingga suatu titik di mana fungsi laba total mencapai


berslope negatif pada titik maksimum fungsi total.

Sebuah contoh dengan bilangan akan memperjelas konsep ini. Misalkan fungsi laba

total dalam Gambar 2.8 ditunjukkan oleh fungsi berikut:

2.400Q + 350Q2 -8.333Q3 (2.8)

Laba marginal ditunjukkan oleh turunan pertama dari laba total tersebut:

= -2.400 + 700Q -25Q2 (2.9)

Laba total akan maksimum atau minimum pada titik-titik di mana turunan pertama

tersebut (laba marginal) sama dengan nol, maka:

25Q =0 (2.10)




sebuah fungsi negatif maka titik yang ditentukan


laba marginal, yang tadinya

tiba menjadi positif. Oleh karena itu


ingga suatu titik di mana fungsi laba total mencapai


lkan fungsi laba

titik di mana turunan pertama

41

Dengan menggunakan rumus abc, kita akan menemukan nilai-nilai output yang

memenuhi persamaan 2.10 yaitu 4 dan 24. Oleh karena itu nilai-nilai tersebut merupakan

titik-titik laba maksimum atau minimum.

Pengujian terhadap turunan kedua dari fungsi laba total pada masing-masing tingkat

output tersebut akan menunjukkan apakah nilai-nilai tersebut minimum ataukah maksimum.

Turunan kedua dari fungsi laba total tersebut didapatkan dengan mencari turunan dari fungsi

laba marginal (persamaan 2.9):

= 700 -500

Pada tingkat output atau Q = 4:

= 700-50 . 4 = 500

Karena turunan kedua tersebut positif, yang menunjukkan bahwa laba marginal

sedang menaik, maka laba total adalah minimum pada tingkat output sebesar 4 unit. Dengan

kata lain, laba total pada tingkat output sebesar 4 sesuai dengan titik A.pada Gambar 2.8.

Dengan menilai turunan kedua pada tingkat output sebesar 24 unit, kita memperoleh:

= 700 -50 . 24 = -500

Karena turunan kedua tersebut adalah negatif pada tingkat output sebesar 24, yang

menunjukkan bahwa laba marginal tersebut sedang menurun, maka fungsi laba total

mencapai titik maksimum pada tingkat output sebesar 24 unit tersebut. Tingkat output ini

sesuai dengan titik B pada Gambar 2.8.

Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih Antara Dua Fungsi

Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu MR harus sama dengan MC agar laba

maksimum bisa dicapai, sebenarnya timbul berdasarkan pada asas optimisasi kalkulus

tersebut. Asas tersebut timbul dari adanya kenyataan bahwa jarak antara dua fungsi akan

maksimum pada titik di mana slope kedua fungsi tersebut adalah sama. Gambar 2.9

menggambarkan titik tersebut. Di sini fungsi penerimaan dan fungsi biaya hipotetis

ditunjukkan. Laba total sama dengan TR dikurangi TC, dan oleh karena itu sama dengan

jarak vertikal antara kedua kurva tersebut pada setiap tingkat output. Jarak tersebut akan

maksimum pada tingkat output QB di mana slope dari kurva TR dan TC tersebut adalah sama.

Karena slope kurva TR dan TC masing-masing menunjukkan MR dan MC, maka MR = MC.

Alasan bahwa QB merupakan tingkat output yang me

dengan memperhatikan bentuk dari kurva TR dan TC di sebelah akan titik A. Pada titik A,

TR = TC, berarti di situ terjadi titik impas (break even point), dan oleh karena itu titik A

tersebut menunjukkan tingkat output yang mengh

Gambar 2.9 TR, TC, dan Laba Maksimum

Pada tingkat-tingkat output setelah Q

kata lain, MR > MC. Jika slope TR sama dengan slope TC, maka kedua kurva tersebut akan

sdjajar. Keadaan tersebut terjadi pada tingkat output Q

TC lebih besarslope kurva TR (MC > MR), maka jarak antara kedua kurva tersebut mengecil

dan laba total menurun.

Suatu contoh dengan angka akan mempe

fungsi-fungsi penerimaan, biaya, dan laba berikut ini. Misalkan:

Total Revenue (TR) = 41,5Q

Total Cost (TC) = 150 + 10Q

Laba Total = =TR-TC

Tingkat output yang bisa memaksimumkan laba tersebut bisa diperoleh

mensubstitusikan fungsi TR dan TC ke dalam fungsi laba, kemudian menganalisis turunan

pertama dan kedua dari persamaan tersebut:

= TR-TC

= 41.5Q -1,1Q2 -(150 + 10Q

= 41,5Q-1,1Q2-150-10Q

= -150 + 31,5Q -0.6Q2 -0,02Q

42

merupakan tingkat output yang memaksimumkan laba bisa tampak



tersebut menunjukkan tingkat output yang menghasilkan laba sama dengan nol.

Gambar 2.9 TR, TC, dan Laba Maksimum

tingkat output setelah QA, TR meningkat lebih cepat dari TC, dengan


Keadaan tersebut terjadi pada tingkat output QB. Setelah melampaui Q0 slope kurva


Suatu contoh dengan angka akan memperjelas penggunaan turunan ini. Perhatikan

fungsi penerimaan, biaya, dan laba berikut ini. Misalkan:

Total Revenue (TR) = 41,5Q -1,1Q2

Total Cost (TC) = 150 + 10Q -0,5Q2 + 0.02Q3

Tingkat output yang bisa memaksimumkan laba tersebut bisa diperoleh


pertama dan kedua dari persamaan tersebut:

(150 + 10Q -0.5Q2 + 0.02Q3)

+ 0,5Q2-0,02Q3

0,02Q3

maksimumkan laba bisa tampak



, TR meningkat lebih cepat dari TC, dengan


. Setelah melampaui Q0 slope kurva


ini. Perhatikan

Tingkat output yang bisa memaksimumkan laba tersebut bisa diperoleh dengan


43

Laba marginal atau turunan pertama dari fungsi laba tersebut adalah:

M = = 31,5-1,20 -0,06Q2

Dengan menentukan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan rumus abc

kita bisa menemukan kedua akarnya yaitu Q1 = -35 dan Q2 = + 15. Karena output yang

negatif tidak mungkin terjadi, maka Q1 bukan merupakan tingkat output yang bisa digunakan.

Suatu pengujian terhadap turunan kedua dan fungsi laba tersebut pada tingkat 0=15

akan menunjukkan apakah ini merupakan titik laba maksimum atau titik laba minimum.

Turunan kedua tersebut adalah:

= -1,2-0,120

Dengan menguji turunan tersebut pada 0 = 15 menghasilkan nilai turunan kedua

tersebut sebesar -3, oleh karena itu Q = 15 merupakan titik laba maksimum.

Untuk melihat hubungan MR dan MC dengan maksimisasi laba, perhatikan

persamaan umum laba = TR -TC. Dengan menggunakan kaidah penjumlahan dan selisih

dari diferensiasi, maka persamaan umum laba marginal adalah:

M = Jika dTR/dQ merupakan MR, dan dTC/dQ merupakan MC, maka

M = MR - MC

Sekarang, karena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan turunan pertama sama

dengan nol, maka maksimisasi laba akan terjadi jika

M = MR -MC = 0

atau

MR = MC

Meneruskan contoh kita di muka, MR dan MC diperoleh dengan penurunan fungsi

TR dan TC:

MR = = 41,5-2,20

MC = =10 – 0 + 0,06Q2

Pada tingkat output yang memaksimumkan laba, MR = MC, maka:

MR = 41,5 -2,2Q = 10 – Q + 0,06Q2 = MC

Dengan menggabungkan kedua persamaan

-31,5 +1,2Q + 0,06Q2 =0

Akhirnya diperoleh Q1 =

MC pada tingkat output yang menghasilkan laba maksimum.

Untuk menyimpulkan contoh tersebut, Gambar 2.10 menunjukkan gambar

penerimaan, biaya dan laba. Gambar bagian atas menunjukkan fungsi penerimaan dan biaya,

pada tingkat output sebesar 15 unit, slope kedua kurva tersebut adalah sama, dan MR = MC.

Gambar bagian bawah menunjukkan fungsi laba, dan tingkat output yang me

laba adalah 15 unit, di mana d/dQ = 0 dan d

Gambar 2.10 Syarat-syarat Tingkat Output yang Memaksimumkan Laba

OPTIMISASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK

Oleh karena hampir semua hubungan ekonomi menggunakan dua variabel atau

maka kita perlu untuk memperluas konsep diferensiasi ke dalam persamaan

dengan 3 variabel atau lebih. Perhatikan fungsi permintaan akan suatu produk di mana

kuantitas yang diminta (Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingka

pengeluaran iklan (A). Fungsi tersebut bisa dituliskan sebagai berikut:

Q = f(P,A)

Untuk menganalisis hubungan variabel majemuk, seperti ditunjukkan persamaan 2.11

kita perlu mengetahui pengaruh marginal dari setiap variabel independen terha

dependen. Dengan kata lain, optimisasi dalam kasus seperti ini memerlukan suaiu analisis

44

Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut, kemudian diperoleh

= -35 dan Q2 = 15. Hal ini menunjukkan bukti bahwa MR =

MC pada tingkat output yang menghasilkan laba maksimum.

Untuk menyimpulkan contoh tersebut, Gambar 2.10 menunjukkan gambar



Gambar bagian bawah menunjukkan fungsi laba, dan tingkat output yang memaksimumkan

/dQ = 0 dan d2/dQ2 < 0.

syarat Tingkat Output yang Memaksimumkan Laba

OPTIMISASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK

eh karena hampir semua hubungan ekonomi menggunakan dua variabel atau

maka kita perlu untuk memperluas konsep diferensiasi ke dalam persamaan


kuantitas yang diminta (Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingka

pengeluaran iklan (A). Fungsi tersebut bisa dituliskan sebagai berikut:

(2.11)


kita perlu mengetahui pengaruh marginal dari setiap variabel independen terha


:

35 dan Q2 = 15. Hal ini menunjukkan bukti bahwa MR =

Untuk menyimpulkan contoh tersebut, Gambar 2.10 menunjukkan gambar fungsi



maksimumkan

syarat Tingkat Output yang Memaksimumkan Laba

eh karena hampir semua hubungan ekonomi menggunakan dua variabel atau lebih,

maka kita perlu untuk memperluas konsep diferensiasi ke dalam persamaan-persamaan


kuantitas yang diminta (Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingkat


kita perlu mengetahui pengaruh marginal dari setiap variabel independen terhadap variabel


45

bagaimana perubahan dari setiap vanabel independen mempengaruhi variabel dependen,

dengan menganggap pengaruh seluruh variabel independen lainnya konstan. Turunan parsial

merupakan konsep kalkulus yang digunakan untuk analisis marginal seperti ini.

Dengan menggunakan fungsi permintaan pada persamaan 2.11, kita bisa memperoleh

2 turunan parsial:

1. Turunan parsial Q pada harga (P) = Q/P

2. Turunan parsial Q pada pengeluaran iklan (A) = Q/A

Kaidah untuk menentukan turunan parsial adalah sama dengan kaidah dalam turunan

yang sederhana. Karena konsep turunan parsial menggunakan suatu asumsi bahwa semua

variabel, kecuali satu variabel di mana turunan tersebut diturunkan, tidak berubah. Perhatikan

persamaan Y = 10 -4X + 3XZ -Z2. Dalam fungsi ini ada dua variabel independen, yaitu X dan

Z, oleh karena itu 2 turunan parsial bisa dihitung. Untuk menentukan turunan tersebut pada

X, maka persamaan tersebut bisa dituliskan kembali sebagai:

Y = 10 -4X + (3Z)X -Z2

Karena Z dianggap konstan, maka turunan parsial Y pada X adalah:

f)Y

= C-4 + 3Z-0

= -4 + 3Z

Dalam menentukan turunan parsial Y dan Z, X dianggap konstan, maka kita bisa tulis:

Y = 10 -4X + (3X)Z -Z2

dan turunan parsial Y pada Z adalah:

= 0 - 0 + 3X - 2Z

= 3X – 2Z

Contoh lain akan memperjelas teknik diferensiasi parsial ini. Misalkan Y = 2X +

4X2Z -3XZ2 -2Z3. Maka turunan parsial Y pada X adalah:

= 2+ 8XZ - 3Z2 - 0

dan turunan parsial Y pada Z adalah:

= 0 + 4X2 - 6XZ - 6Z2

46

Maksimisasi Fungsi dengan Variabel Majemuk

Syarat maksimisasi (atau minimisasi) dari fungsi dengan variabel majemuk

merupakan perluasan secara langsung dari fungsi dengan variable tunggal. Semua turunan

parsial pertama harus sama dengan nol. Oleh karena itu, maksimisasi dari fungsi Y = f(X,Z)

mensyaratkan:

= 0

dan

= 0

untuk menjelaskan prosedur ini, perhatikan fungsi:

Y = 4X + Z-X2 + XZ-Z2 (2.12)

yang mempunyai turunan parsial:

= 4-2X + Z

dan

= 1 +X-2Z

Untuk memaksimumkan persamaan 2.12, turunan-turunan parsial tersebut harus

disamakan dengan nol:

= 4-2X + Z = 0

dan

= 1 + X -2Z = o

Di sini kita mempunyai dua porsamaan dengan dua bilangan anu. Penyelesaian secara

simultan akan menghasilkan nilai X = 3 dan Z=2 yang memaksimumkan fungsi tersebut.

Dengan memasukkan nilai-nilai X dan Z tersebut ke dalam persamaan 2.12, kita akan

memperoleh nilai Y = 7, dan oleh karena itu nilai maksimum dari V adalah 7.

Proses yang terjadi di sini bisa diperjelas dengan melihat Gambar 2.11, suatu gambar

tiga dimensi dari persamaan 2.12. Di sini tampak bahwa untuk I nilah X dan Z yang

positif, persamaan 2.12 membentuk suatu bidang dengan titik puncak A. Pada puncak

tersebut, permukaan dari gambar tersebut mendatar. Kemungkinan bentuk lain, bidang datar

yang bersinggungan dengan permukaan pada titik A akan sejajar dengan bidang datar XZ, ini

menunjukkan bahwa slope dari gambar tersebut sama dengan nol. Keadaan ini merupakan

persyaratan untuk menentukan nilai maksimum dari sebuah

Mencari Nilai Maksimum Suatu Fungsi dengan Dua

Variabel: Y = 4X + Z

OPTIMISASI TERKENDALA

Dalam proses pengambilan keputusan yang dihadapi para manajer, ada berbagai

kendala yang membatasi pilihan

seorang manajer produksi ditugaskan untuk meminimumkan biaya total (TC) dalam

memproduksi sejumlah produk tertentu dari perusahaannya. Pada waktu yang lain manajer

produksi tersebut ditugaskan untuk memaksimumkan output dari suatu departemen tertentu,

dengan sejumlah sumberdaya tertentu yang tersedia.

Bidang-bidang tungsional lainnya dari suatu perusahaan

optimisasi terkendaia ini. Para manajer pemasaran seringkali ditugaskan untuk

memaksimumkan penjualan dengan kendala tidak boleh melebihi anggaran ikian yang telah

ditetapkan. Para pegawai keuangan dalam upayanya untuk meminimumkan

memperoleh modal, seringkali harus bekerja di bawah kendala

persyaratan pembiayaan investasi (investment financing) dan keseimbangan kas (cash

balance) dan oleh para kreditor.

Secara umum, masalah optimisasi

Masalah Maksimisasi

Maksimisasi:

Laba, Penerimaan atau Output

Tunduk kepada:

Kendala Sumberdaya

47

persyaratan untuk menentukan nilai maksimum dari sebuah fungsi dengan variabel majemuk.

Gambar 2.11

Mencari Nilai Maksimum Suatu Fungsi dengan Dua

Variabel: Y = 4X + Z -X2 + XZ -Z2

OPTIMISASI TERKENDALA

pengambilan keputusan yang dihadapi para manajer, ada berbagai

kendala yang membatasi pilihan-pilihan yang tersedia bagi para manajer tersebut. Misalnya,


duk tertentu dari perusahaannya. Pada waktu yang lain manajer


dengan sejumlah sumberdaya tertentu yang tersedia.

bidang tungsional lainnya dari suatu perusahaan juga menghadapi masalah



ditetapkan. Para pegawai keuangan dalam upayanya untuk meminimumkan

memperoleh modal, seringkali harus bekerja di bawah kendala-kendala yang ditetapkan oleh


Secara umum, masalah optimisasi terkendaia ini dikelompokkan menjadi 2 kelompok:

Masalah Minimisasi

Minimisasi:

Biaya

Tunduk kepada:

Kendala Kuantitas atau Kualitas Output

fungsi dengan variabel majemuk.

pengambilan keputusan yang dihadapi para manajer, ada berbagai

pilihan yang tersedia bagi para manajer tersebut. Misalnya,


duk tertentu dari perusahaannya. Pada waktu yang lain manajer


juga menghadapi masalah



ditetapkan. Para pegawai keuangan dalam upayanya untuk meminimumkan biaya untuk

kendala yang ditetapkan oleh


terkendaia ini dikelompokkan menjadi 2 kelompok:

atau Kualitas Output

48

Tampak ada kaitan yang erat sekali antara formulasi maksimisasi dan minimisasi pada

masalah optimisasi terkendaia dengan penggunaan sumberdaya yang langka secara optimal.

Masalah optimisasi terkendaia ini bisa dipecahkan dengan berbagai cara. Dalam

beberapa kasus, jika persamaan kendala tidak terlampau rumit, kita bisa memecahkan

persamaan kendala tersebut untuk salah satu dari variabel-variabel pengambilan keputusan

terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikan variabel tersebut ke dalam fungsi tujuan, apakah

perusahaan tersebut bertujuan memaksimumkan atau meminimumkan. Cara ini mengubah

masalah tersebut menjadi maksimisasi atau minimisasi tak terkendala yang bisa diselesaikan

dengan metoda-metoda yang telah dibahas di muka.

Cara tersebut bisa diperjelas dengan melihat penerapannya di dalam masalah

minimisasi terkendala. Misalkan sebuah perusahaan memproduksi produknya dengan

menggunakan dua pabriknya dan bekerja dengan fungsi biaya total (TC) sebagai berikut:

TC = 3X2 + 6Y2 -XY

di mana X merupakan output dari pabrik yang pertama dan Y merupakan output dari pabrik

yang kedua. Manajemen akan berusaha untuk menentukan kombinasi biaya terendah (ieast-

cost combination) antara X dan Y, dengan tunduk kepada kendala bahwa produk total harus

20 unit. Masalah optimisasi terkendala tersebut bisa dituliskan sebagai berikut:

Minimumkan TC = 3X2 + 6Y2 -XY

dengan kendala: X + Y = 20

Dengan menyelesaikan kendala X dan mensubstitusikan nilai tersebut ke dalam fungsi tujuan

maka:

X = 20 -Y

dan

TC = 3(20 -Y)2 + 6Y2 -(20 -Y)Y (2.13)

= 3(400 -40Y + Y2) + 6Y2 -(20Y -Y2)

= 1.200 -120Y + 3Y2 + 6Y2 -20Y + Y2

= 1.200-140Y + 10Y2

Sekarang kita bisa menganggap persamaan 2.13 di atas sebagai masalah minimisasi tak-

terkendala. Untuk menyelesaikannya harus dicari turunannya, menyamakan turunan tersebut

dengan nol, dan mendapatkan nilai Y.

= -140 + 20Y = 0

20Y = 140

Y = 7

49

Suatu pengujian terhadap tanda dari turunan kedua yang ditaksir pada titik tersebut akan

membuktikan bahwa titik minimum ditemukan:

= -140 + 20Y

= +20

Karena turunan kedua tersebut adalah positif, maka Y=7 pastilah merupakan titik minimum.

Dengan memasukkan 7 ke dalam Y di dalam persamaan kendala memungkinkan kita untuk

menentukan kuantitas optimum yang diproduksikan oleh pabrik X.

X + 7 = 20

X = 13

Oleh karena itu, produksi output 13 unit pada pabrik X dan 7 unit pada pabrik Y adalah

kombinasi biaya terendah dalam menghasilkan 20 unit produk dari perusahaan tersebut.

Biaya total (TC) tersebut adalah:

TC = 3(13)2+ 6(7)2-(13x7)

= 507 + 294- 91

= 710Angka Pengganda Lagrange

Sayangnya, teknik substitusi seperti di atas tidak selalu bisa digunakan. Kadang-

kadang kendala terlalu banyak dan terlalu kompleks untuk disubstitusikan. Dalam kasus

seperti ini, teknik angka pengganda Lagrange harus digunakan.

Teknik Lagrange untuk memecahkan masalah-masalah optimisasi terkendala

merupakan suatu cara yang digunakan untuk mengoptimisasi-kan sebuah fungsi dengan caret

menggabungkan fungsi tujuan mula-mula dengan persyaratan kendala. Persamaan gabungan

ini disebut fungsi Lagrange. Fungsi ini dibuat untuk memastikan (1) bahwa jika fungsi

mencapai nilai maksimum (atau minimum), fungsi tujuan mula-muia juga akan maksimum

(atau minimum), dan (2) bahwa semua persyaratan kendala terpenuhi.

Pengujian terhadap masalah optimisasi terkendala di muka akan memperjelas

penggunaan teknik ini. Perhatikan bahwa perusahaan tersebut berusaha untuk

meminimumkan fungsi TC = 3X2 -6Y2 - XY, dengan tunduk kepada kendala X + Y = 20.

Persamaan kendala tersebut diubah sebagai berikut:

0 = 20 – X – Y

Ini merupakan langkah pertama dalam membentuk suatu fungsi Lagrange. Dengan

50

mengalikan kendala tersebut dengan sebuah faktor yang tidak diketahui “X” (lambda) dan

menambahkan hasil tersebut pada fungsi tujuan mula-mula menghasilkan persamaan

Lagrange.

Misalnya:

LTC = 3X2 + 6Y2 -XY + (20 – X – Y)

LTC didefinisikan sebagai fungsi Lagrange untuk optimisasi terkendala.

Oleh karena fungsi Lagrange tersebut memasukkan kendala ke dalam fungsi tujuan,

maka fungsi Lagrange ini bisa dianggap sebagai masalah optimisasi tak terkendala, dan

penyelesaiannya identik dengan penyelesaian masalah optimisasi terkendala mula-mula.

Untuk menggambarkan hal ini, perhatikan masalah minimisasi dari fungsi Lagrange dalam

persamaan 2.14. Pada suatu titik minimum dari fungsi yang menggunakan variabel majemuk,

semua turunan parsial harus sama dengan nol. Turunan-turunan parsial dari persamaan 2.14

bisa dicari untuk variabel X, V dan X, sebagai berikut:

6X – Y -

12Y – X - 1

20 – X - Y

Dengan menentukan ketiga turunan parsial tersebut sama dengan nol, kita mendapatkan tiga

persamaan dengan tiga bilangan anu:

6X-Y- = 0 (2.15)

-X + 12Y - = 0 (2.16)

dan

20 – X – Y = 0 (2.17)

Perhatikan bahwa persamaan 2.17, turunan parsial fungsi Lagrange pada X, merupakan

kendala pada optimisasi mula-mula. Hasil tersebut bukanlah terjadi secara kebetulan belaka.

Fungsi Lagrange tersebut dibentuk secara khusus dan oleh karena itu turunan dari fungsi

Lagrange pada angka pengganda Lagrange (X) tersebut akan selalu merupakan kendala mula-

mula. Selama turunan tersebut sama dengan nol, yang berarti ia berada pada keadaan ekstrim

(maksimum atau minimum), maka persyaratan kendala optimisasi mula-mula tersebut akan

terpenuhi. Selain itu, jika pada persyaratan seperti itu suku terakhir dari persamaan Lagrange

harus sama dengan nol yaitu 0 = 20 -X -Y, maka fungsi Lagrange tersebut akan tetap pada

fungsi tujuan mula-mula, dan oleh karena itu penyelesaian untuk masalah optimisasi tak

51

terkendaia (Lagrange) akan selalu merupakan penyelesaian bagi masalah optimisasi

terkendaia mula-mula.

Penyempurnaan analisis dari contoh di muka akan memperjelas hubungan tersebut.

Kita mulai dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai X dan

Y yang optimal. Dengan mengurangkan persamaan 2.15 dengan persamaan 2.16 diperoleh:

7X – 13Y = 0

Kemudian mengalikan persamaan 2.1/ dengan 7 dan kemudian menambahkan persamaan

2.18 dengan hasil tersebut menghasilkan:

140 –7X – 7Y = 0 7x

7X – 13Y= 0

140 - 20Y= 0

140 = 20Y

7 = Y

6 .13-7-X =0

X = +71

Di sini kita bisa menginterpretasikan X sebagai MC pada tingkat output sebesar 20

unit. Ini menunjukkan kepada kita bahwa jika perusahaan tersebut diharuskan memproduksi

hanya 19 unit output, maka TC akan turun sekitar 71. Sama juga halnya jika output

diharuskan sebesar 21 unit, maka biaya akan naik sejumlah itu (71).

Secara lebih umum, setiap angka pengganda Lagrange (X) menunjuk-kan pengaruh

marginal terhadap penyelesaian fungsi tujuan mula-mula oleh penurunan atau kenaikan

persyaratan kendala sebesar 1 unit. Seringkali, seperti dalam contoh di atas, hubungan

marginal yang dijelaskan oleh angka pengganda Lagrange itu menunjukkan data ekonomis

yang bisa membantu seorang manajer untuk mengevaluasi manfaat-manfaatpotensial dari

pengurangan sebuah kendala.

RANGKUMAN

Optimisasi merupakan suatu proses penentuan kemungkinan pe-nyelesaian yang

terbaik dari suatu masalah. Pada awal bab ini terlebih dahulu dikenalkan metpda-metoda

yang digunakan untuk menyajikan hubungan-hubungan ekonomis dan kemudian mencoba

beberapa alat analisis yang sering digunakan dalam proses optimisasi.

Hubungan ekonomis bisa disajikan dalam bentuk tabel, grafik, atau persamaan.

Variabel-variabel kunci dalam hubungan ekonomis meliputi nilai total, rata-rata, dan

marginal. Nilai-nilai tersebut berkaitan satu sama lain berdasarkan suatu pola tertentu. Oleh

52

karena itu, jika satu variabel diketahui, maka dua variabel lainnya bisa dicari berdasarkan

pola hubungan tersebut.

Analisis optimalitas seringkali merupakan penentuan nilai maksimum atau minimum

dari sebuah fungsi. Nilai-nilai dari suatu fungsi bisa dihitung dan disajikan dalam sebuah

tabel atau pada grafik, dan titik di mana fungsi tersebut maksimum (minimum) bisa diketahui

secara langsung. Penggunaan kalkulus seringkali lebih memudahkan kita untuk menentukan

titik optimum tersebut dengan cara menghitung turunan dari suatu fungsi total dan

menyamakan turunan tersebut dengan nol (dY/dX = 0). Oleh karena itu, penggunaan turunan

untuk menentukan titik maksimum atau minimum juga dijelaskan cukup rinci dalam bab ini.

Sebuah fungsi mempunyai beberapa nilai jika turunannya sama dengan nol, di mana

beberapa titik menunjukkan keadaan maksimum dan yang lainnya menunjukkan keadaan

minimum. Untuk menentukan apakah suatu nilai maksimum atau minimum, turunan kedua

harus dihitung. Jika d Y/dX2 negatif; maka nilai maksimum-lah yang diperoleh; sedangkan

jika positif, maka nilai minimum yang diperoleh.

Jika sebuah fungsi terdiri dari lebih dari dua variabel, maka turunan parsial

digunakan. Untuk memaksimumkan suatu fungsi dengan dua variabel atau lebih, turunan

parsial pada masing-masing variabel harus dihitung, dan turunan*turunan parsial tersebut

harus disamakan dengan nol.

Optimisasi terkendala adalah suatu proses maksimisasi atau minimisasi sebuah fungsi

dengan kendala-kendala tertentu. Dalam optimisasi terkendala ini digunakan angka

pengganda Lagrange dan ditunjukkan bagaimana angka tersebut digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimisasi terkendala. Lebih dari itu, juga dibahas interpretasi angka

pengganda Lagrange sebagai perubahan marginal dalam fungsi tujuan yang disebabkan oleh

1 unit perubahan dari kendala-kendala yang ada.

Alat-alat analisis yang dibahas dalam bab ini digunakan dalam segala bidang analisis

ekonomi, terutama sekali dalam ekonomi manajerial. Oleh karena itu, Anda akan selalu

menggunakannya untuk memahami buku materi ini.

SOAL LATIHAN 2

1. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh persamaan TC = Q3 -

90Q2 + 250Q + 56.500. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marginalnya minimum?

Berapa besarnya biaya marginal minimum tersebut, berapa pula besarnya biaya total pada

tingkat produksi tersebut?

2. Seorang produsen menghadapi fungsi permintan P = 100 -4Q dan biaya totalnya TC = 50

53

+ 20Q. Hitunglah tingkat produksi yang menghasilkan laba maksimum, besarnya laba

maksimum dan harga jual barangnya per unit.

3. Buktikanlah bahwa untuk fungsi biaya total TC = 0,5Q3 -20Q + 25Q, biaya rata-rata

minimum sama dengan biaya marginal.

4. Andaikan fungsi produksi suatu macam bacang dirumuskan dengan Q = K5/8L3/8 jjka

harga input K dan input L masing-masing adalah Rp5,00 dan Rp3,00 per unit, sedangkan

produsen hanya ingin memproduksi 10 unit outpuc, carilah berapa unit masing-masing

input sebaiknya digunakan agar ia berada dalam keseimbangan (biaya produksinya

minimum).

5. Andaikan kepuasan total seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y

dirumuskan oleh persamaan utilitas U = X3 Y2. Jika konsumen tersebut menyediakan

anggaran sebesar Rp4.000,00 untuk membeli X dan Y masing-masing Rp150,00 dan

Rp200,00 per unit, hitunglah berapa unit X dan Y seharusnya ia beli agar kepuasannya

maksimum.

6. Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh Y = 150X2 -2X3,

di mana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang

digunakan.

a. Bentuklah fungsi produk rata-ratanya

b. Berapa produk total dan produk rata-rata jika digunakan 70 unit input?

c. Berapa produk marginal jika input ditambah 1 unit?

Documents

Optimasi Ekonomi