15
Theory and Methodology Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming Hoon Jung, Cerry M. Klein * Department of Industrial and Manufacturing Systems Engineering, The University of Missouri at Columbia, Columbia, MO 65211, USA Received 10 May 1999; accepted 10 May 2000 Abstract In this paper, we establish and analyze two economic order quantity EOQ) based inventory models under total cost minimization and pro®t maximization via geometric programming GP) techniques. Through GP, optimal solutions for both models are found and managerial implications on the optimal policy are determined through bounding and sensitivity analysis. We investigate the eects on the changes in the optimal order quantity and the demand per unit time according to varied parameters by studying optimality conditions. In addition, a comparative analysis between the total cost minimization model and the pro®t maximization model is conducted. By investigating the error in the optimal order quantity of these two models, several interesting economic implications and managerial insights can be ob- served. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Inventory; Geometric programming; EOQ 1. Introduction This paper develops and analyzes two inventory models which extend the classical economic order quantity EOQ) model. One model uses total cost minimization and the other model uses pro®t maximi- zation. The extensions of these models to the classical economic order quantity are: 1) for the cost min- imization model, the cost per unit is a power function of the demand per unit time whereas the cost per unit is assumed to be ®xed in the EOQ model, 2) for the pro®t maximization model, we consider simultaneously the cost per unit and the price per unit as power functions of the demand per unit time whereas in the EOQ model, the cost per unit is assumed to be ®xed and the demand per unit time is independent of the price per European Journal of Operational Research 132 2001) 628±642 www.elsevier.com/locate/dsw * Corresponding author. E-mail address: [email protected] C.M. Klein). 0377-2217/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 3 7 7 - 2 2 1 7 0 0 ) 0 0 1 6 8 - 5

Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

������ �� ������� �

������� ��������� �������� ���� �������� ���� ��������� ��� �������� ��� ������

���� ��� � ����� � ����� �

���������� ��� ������ ��� ��� ��� ���� ������� ������������ ��� ���������� ���� �� �� �� �����

�� ����� �� � !""� ��#

������� � �� �!!!" ������� � �� #

��������

$� ���� ������ %� ����&���� �� �����'� �%� �������� ���� (������� )*�+, &��� ��������� ����� ���� ����� ����

������'����� �� ���-� ��.���'����� ��� �������� ��� ������ )/0, ������(���� ����� � /0� ������� ��������� ���

&��� ����� ��� ���� �� ���� ����� ������������ �� ��� ������� ������ ��� �������� ����� � &����� ��

����������� ��������� 1� ������� ��� ��� �2���� �� ��� ���� �� �� ��� ������� ���� (������� �� ��� ���� ��� ���� ����

������� �� ����� ���������� &� ������ ���������� ���������� $� ������� � ����������� �������� &��%��� ��� �����

���� ������'����� ���� �� ��� ���-� ��.���'����� ���� �� �������� 3� ������� ���� ��� ����� �� ��� �������

���� (������� �� ����� �%� ������ ������� ���������� �������� ������������ �� ���� ����� ���� ��� ��� &� �&4

������ � # � *������� 5������ 3�6� 7�� �� ��� ��������

$��%���& $��������" /�������� ��� ������ " *�+

� ���� ������

���� ����� ������� �� �����'�� �%� ��������� ����� %���� �.��� ��� ��������� �������� ����(������� )*�+, ����� ��� ���� ���� ����� ���� ������'����� �� ��� ����� ���� ���� ���-� ��.���4'������ ��� �.�������� �� ����� ����� �� ��� ��������� �������� ���� (������� ���8 )�, ��� ��� ���� ���4���'����� ����� ��� ���� ��� ���� �� � ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ���� %������ ��� ���� ��� ������ ������ �� &� -.� �� ��� *�+ ����� )#, ��� ��� ���-� ��.���'����� ����� %� ������� ����������������� ���� ��� ���� �� ��� ����� ��� ���� �� ��%�� ��������� �� ��� ���� ��� ���� ���� %������ �� ��� *�+����� ��� ���� ��� ���� �� ������ �� &� -.� �� ��� ���� ��� ���� ���� �� ��������� �� ��� ����� ���

*������� ������� �� ����������� �������� �9# )# �, :#;<:=#%%%�������������>������>�%

������������ �������

�'���� �������& ?�����@����������� )��� �����,�

9AA4##�A> �>B 4 ��� ����� ������ � # � *������� 5������ 3�6� 7�� �� ��� ��������

0$$8 5 9 A A 4 # # � A ) , � : ; 4 C

Page 2: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

����� )9, �� ������ �� �����'�� ��� ������� ���������� %� ������ �������� ��� ������ )/0, ����4��(�� �� %��� �� ��������� &��� ��������� -��� �� ����� ���� ����������

����� ��� �%� ���� ������� ��� �������� ����� �%� ������ ��� -��� ������ �� ��� ��� �� /0 �� �������� ������� ���������� ��� /0 �������� ��� &� �2�������� ������ �� ����� ����� �� ���� ������� �4����� �� ���� ��� ��������� ����� �� �������� ��� ���������� ��� ������ �� %��� &� ���������� �� -��� ���������� ��������� ��� ����� �%� ����� �� �� ��� ���� ����� ������������ ���� ��� &� ����� ��� ���������� ������ ����� � &����� �� ����������� ��������� ��� ����� ��������� ������ �� ��� ������������ ��� ����� �� ��� ������������ &��%��� ��� ������� ��������� ���� ��� &� �������� ���� ����������������� ���� ���������� ����� ���������� ���� ����� ���� ����

/0 ��� &��� ���� ������� �� �� ������� ��� � �������� ����� ��� ��������� �� ��� ����� �!: �� *������� � /0 �� �� �.������� ����� �� ����� ��������� ���&����� ��� ��� �� /0 �� ��������� ����� ��� &������������� �����(����� ������&�� �� D!E %�� ��� -��� �� ����� ��� &���� *�+ ���� ���� /0� $� 1�������� ���� D�9E� /0 ������(��� %��� �����'� �� ����� �� ��������� ���� %��� �������� ����� ��&F��� ���������� ������������ ���� D#�9E ������ /0 �� ����� ���-� *�+ ����� �� �� ������� �������������������� G�� D� E ���� ���������� ��� ���������� �� &����� �� ����������� �������� �� ��� ���-� ��.�4��'����� �����

����� ���� &��� �������� ��&��������� �� *�+ ����� %��� -.� ���� ��� ����� ��������� ��%������������ ������ ����.� ��� ���������� �� ��� -.� ���� ��� ���� ��� ��� *�+ ������ H�� �.������ G��D� ���E ������ ��� ���� ��� ���� �� � �������� �� ��� ���� (�������� ���� ���������� ����� ���� ������������ �.��&��� ��������� �� ����� %��� ��� ���� (������� ���������� $� ���� D9E �� G�� �� ���D�#E� ��� ���� ��� ���� %�� ������ �� &� � �������� �� ��� ���� ��� ���� ���� %���� ����� ���� ���������� ��?�� ������� &����� �(������� �� ���� ��������� ��� ��� ��������� �� ���� ������ %��� ������� ��� ���� ���� ���������� $� ������ �� ����� ���� D=E ���� ����.� ��� -.� ����� ��� ���� �������� ��� ����� ��� ���� �� � �������� �� ��� ���� ��� ���� ����� ���� ��� ��� ����� ��� ���� �� ������ ��&� ������� ���� ��� ���� ��� ���� �����

$� ���� ������ %� ������� ��� ���� ������'����� ���� �� ��� ���-� ��.���'����� ���� �� �����4�� ��� ��� �2������ �� ��� ������� ���� (���������� ��� ���� ������'����� ��������� �� ���� �������������� ��������� ���������� �� �������� � ���� %���� ��� ������ %��� -.� &� ��� �� �� ����������� ��� ����� �� ��� -��� ������� $� ��������� ��� ���-� ��.���'����� �������� ��� &������� �� ��������� ���� %�� ��� &��� ������� )��� ����� �� �� &� ��������, �� %��� �� �������� �� � ������� ������ ������������� ����� ���� ��� ������������ ���?�� �� ��� ���-� ��.���'����� ����� %���� ��� ����� �����������&��� �� ������� %��� ��� ����������� ���?�� �� ��� ���� ������'����� ���� %���� ��� ����� �� ���� &� ��� ���?��� ��� �2������ �� ��� ������� ���� (������� �� ����� ����� �������� ��� (����������� �� ����4�����>����4����� �� �� ��� ����� �� ��������� ��� ���� �������� �� ��� ����� ���������� ��� ������ ���� ��� �� ������� ���� %� ��� ��� ������������ ���?�� )����������� ���?��, %��� �������������� ���?�� )������������ ���?��, ����� ���� &��� ���� H��� ��� ����������� %� ������ ���������������� &��%��� ��� ������� ���� (��������� &� �������� ��� ���� ��������� %������ �������� ��� ������� ���������� ���� ����� ���� %� ��� �������� ������� ��������� ������ &� ��������� ��� ��������������

��� �������� �� ���� ����� �� �� ���'� �� �����%�� H����� %� ������� ����������� �� ��� �%������ ��� ����� ���� ������'����� �� ���-� ��.���'������ 1� ���� ��������� �������� ��� ����(������� ��� ��� ������'����� ���� �� ������� � ����������� ��������� 1� ���� �������� ��� ����(������� �� ���� ��� ��� ��.���'����� ���� �� ������� &����� �� ����������� ��������� $� �����.� �������� %� �&���� ��� ���������� ������� ���� ��� -��� �� ����� ���� ���������� ���� ��� ������� � �� ��� ������� ���� (������� ������� �� ����� ���������� �� �����'� �� ��� ��� �2��� ����������� ������� ����� %� ������� �� �������� ��� ���� ������'����� ���� �� ��� ���-� ��.���4'����� ���� �� ��� ���� ����� ���� ���� H������� %� ��?� �������� �����?� �� ������� �� �������������� ������

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :#!

Page 3: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

� �����������

1� �-�� ��� �����%�� �����&��� �� ���������� ��� ��� �����8

$� ���� ������ ��� �����%�� ����� ������������ %���� ��� ���(������ ���� �� ��� *�+ ���������� )������ �� D;E,� ��� ���8 )�, ������������� �� �������������" )#, �� ������ � �� ����%�" )9, ��� ���� (������� ������� �� &�����

$� ������� ��� �����%�� ��%�� ���������� ��������� ��� ������ ��� ��� ������ H�� ��� ������'���������� ��� ���� ��� ���� �� � ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ���� �������� ��������� �� ������ ������� ���� � ���� %���� � � �� � � � ���� �������� ���� %��� ��� ���� ��� ���� ���� ���������� ��� ������� ���� ��������� ��(����� � � �� �� �&����� �������� ����� � �� � ���� &� ����� ������ G�?�%����� � �� ��(���� ����� ��� ���� ��� ���� �� � �������� ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ����� H�� �����.���'����� ����� ��� ����� ��� ���� �� � �������� ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ����� ���� ���� ��� � ���� %���� � � �� � � � �� ���� ������� ���� %��� ��� ���� ��� ���� ���� ���������� ��� �������� ���� ��������� ��� ����� ���������� %��� ������� �� ��� ���� ��� ���� ���� ���������� ��� �������� ���� ��� ��� ����� %��� ������� �� ��� ����������� �������� ���� � �� ��� ���� )����� � � ���������������,� 7�&������ � � �� �� �&����� �������� ����� 4 �� � ���� &� ����� ������ ��� �������� � � � � %��� &�������� �� ����� ����� %��� ��� /0 �������� �� -� ��� ��� �����&����� ��������� ���� �������� ����������� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ���������� ���� ������ �� ��� ����� ��� ���� ���� � � ��

H�� ��� ��.���'����� ����� %� ���� ������ ���� ��� ���� ��� ���� �� � ��%�� �������� �� ��� ������� ���� ���� %���� �� �������� �� ���� ���%� ��� ��� ������'����� ����� ���� ��� ���� � ���� %����� � � � � � �� �� � � �� ��� � ��� �� ��������� �� ������ �� %���� �� ��� ���� ���������� %��� ������� ����� ���� ��� ���� ����� ���������� ��� �������� ���� � �� ��� ���� %��� ������� �� ��� ����������� �������� ���� � �� ��� ���� )����� � � ���������������,� ��� �������� � � � � %��� &� ������ �������� �����&�� ���� ��� ���� ���� �� ����� � ������ %��� �������� '��� �� %� ������ ���� �� �� �� ������������ ���%� ���� ��� ���� ��� ���� �������� �� � ��������� ���� %��� ��� ���� ��� ���� �������������� ��� �������� � � � ��� ��� ��.���'����� ���� %��� &� ����� ����� � ��� ��� �����&������������� )����� ��� ����� ���������� %��� ������� �� ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ���������� %��� ��������� ��� ����,� ���� ��� ��� ���� � �� ��� ����� ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� � �� ��� ���� ��� ���� %�������� �� � ���� � �� ��� ���� ��� ���� ����� ���� ����� ���� ��� ����� ��� ���� �� ���� ��������� ���� ������� ��� ���� %��� ��� ���� ��� ���� ���� �� ���� ��

� ������������ �� ��

/���� ��� �&��� �-������� �� ������������ %� ���� ��� �����%�� ������������ ����������� ��� �������� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���� ��� /0 �����������8

� ���� ��� ���� ���� )�����>���� ����� ������� �����&�� ��� ��.���'����� ����,� ���� (������� )������ ������� �����&�� ��� ������'����� �� ��.���'����� �����,� ����� ��� ���� )�����>����,� ���� ��� ���� )�����>����,� ����� ���� )�����>&����, ��������� ������� ���� ���� )I>���� ����,� ������ �������� ��� 4� ������ �������� ��� �� ����� ���������� %��� ������� �� ����� � ��� �� ��������� �� �����

:9 () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!

Page 4: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

�� ����� � ����� ���� ��� ���� ����

� �����&�� ���� ��� ���� ����

� ��������� ����� ���� ��� ���� ����

� ����� ������ ������#� ����� � ����� � �C������

���

%���� 5 �� ��� ������� �����&�� �� ���� � �����$� ����� %���� ��� �&F������ �� ���� ���� �� �� ������'� ��� ����� ���� ��� ���� ���� %��� �������

�����&�� 5 %��� ��� ���� ��� ���� �� � �������� ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ����� 1� ���� ������� ����� ���� )����� �����, �� � �������� �� ��� �� ��� ������� �����&�� 5 �� ��������� ������ %� %��� �������� ���� %��� %� ��������� ��� ������� ���� (������� ��� ��%����� �� ��� ����� ���� �� ���������� �� �����

-)") ������� �� ��� ����� ��

��� �&F������ �������� �� ���� ���� �� �� ������������ ���������� %��� '��� � ��� �� �J������������ %� ��� ������ �&���� ��� �����4���� ������� �������� &� ���� ��� ������(�� ������� &� 3�� ������� 0������� D�E �� K�J� �� ��� DAE�

�� ����� ��� ������'����� ���&��� �.������ �� )�, ��� /0 %������ ��� ����� ���� )����� �����,� %� ������ ��� ���&���� %���� �� ������� ������ �� ������ ���� �����

�. ��� � �������� � �C������#�# �#����� �� � �# � ��

� �� � �# � � �9�����# � �

��� ��� �����&���� �� �� �#� ��� ����� ������� �� �� ��� %�� �� �� ���� ���� �� ��� ������ ���&��� ������� ���� (������� 5� $� )9,� ��� -��� ���������� �� ��� ��������� �������� �� ��� ����� �� ��� ����� 4������� ��������� 1� ���� ���� ��� %�� ��� ��� �������� �� /0� ��� � ��� �� �J����� �� '��� �� ���� %� ��������� �&���� ��� ������� %�� �� �������� ����� ��

� � ��# � �C ���� )9,� �� ����� ��� ������ ���&��� &� /0�

%� -��� ��� �� �� ��� � ������ ����� ��� ������� ����� �� 5 �� ��� ������� ����� ����� ������������� $�%� �-�� ��� ��� ���� �� ��� ������� ������ �&F������ �������� �� � �

� %� ����

� �� � ��������

� �# � �C�������

�=�

��� ������� %�� ���� ��� �� ��

#� ��������� ����������� �� ����� ���� �� �� � �� ��������� ����� ���� �� �

# ��� ��� ����� ���� ��� ���� ����� ������������� 1� ���� ���� � �

� �� ����� %����

���� � ��������

�� � �C�������

#��# �

���� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ������ �&F������ �������� �� �(��� �� ��� ��� �&F������ �������� �� �����������%� �&���� ���� � �

��� � ���� ��� ��� �� ���������� %� ��� �&���� ��� �����%�� ������������8

� �� ��

�� � � �

# ���# � �������� �C � �C������� �C� �C�

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :9�

Page 5: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

��� ������� ���� (������� ��� &� ��������� ���� )C, �� �����%�8

�� �������������������������������#����������

�� �:�

-)!) ����������� ��������

��� ����������� �������� ������� ���� �� �� �������� ��� �2���� �� �������� � ���� �� �� ����� ��� �� ������������� �� ��� ������� ��������� 1� %��� -� ��� ������� �������� ���� ����������� �������� %������ ��4������ ��� ���&��� ���� ��� ���� � �� ���� 1� ?��% ���� ��� ���� � �� ��� ���J������ ����� � �� ���.������ ��� �� ��� ����� ���� �������� %��� ��� '��� � ��� �� �J����� %��� ��� ���� � ��� �������� %���� ���������� ��� &� ���� ���� �� ���� �������� )����� ����� �� �C�����,� ���� �� &������ ��� ��������� ������� ������� �(������� ��� ��������� �� ����� ���J������� ������ ��� ��� �����&��� ��� ��� ���� ����� ���� � ���� ���������� ��� ���� �� ���� �������� ��?�� �� ���� �� -� � ��% ������� �������� ��� ����� � �� ���� � �� �� �� ��� ����������� �������� �� ���� ���� �� &��� �� ��� %��? �� ���� D#�9�CE� ����2���� �� ��� ������� ����� ���� �� ���� (������� ��� ���� �� �� ���� � �� �� � ��� �� �����%�8

��% ���� � ������� ������� �

��% ���� � ������� �����������

# �

��% ���� � ������� ����# �

��% ���� � ������� ������# �

��% ���� � �����������# �

��% �� ��������������������������������������������������#���� �������������

��

��% �� �����������������������������������������������������#� ���� ������ ���

�����

��% �� ����������������������������������������������#���������� �����

��

��% �� ������������������������������������������������#����������� ������

��

��% �� ����������������������������������������#�����������������

��

�A�

%���� ��� � ��

# � �C �� ���� �� ��� �������� � ���� � �� � ������ �������� ��������� ��

� ������������ �� ��

L��� ��� �&��� �-������� �� ������������ %� ���� ��� �����%�� ����������� ��� ��� ���-� ��� �������� �� ��8

�. ������ � ������� ��� ���� ����� ������ ���� ��� ���� ���� �����&�� ���� ��� ���� ����

� ��������� ����� ���� ��� ���� ������ � ����� ������ ������ ������#�� ����� � ����� � ����� � �C������

�;�

%���� 5 �� � ��� ������� �����&���� �� ���� � ���� �� ���� � �����

:9# () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!

Page 6: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

��� �&F������ �� ���� ���� �� �� ��.���'� ��� ���-� ��� ���� ���� %��� ������� �����&��� 5 �� � %������ ����� ��� ���� �� � �������� ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ���� %��� �������� ���������� ����� ���� ��� ���� �� � �������� ��%�� �������� �� ��� ���� ��� ���� ���� %��� ��������� �� ������

3)") ������� �� ��� ����� ��

��� ���������� �� ��� �������� �������� ��� ���� ���� �� ������� �� ��� %��? &� G�� D� E� G�� ����� D�#E� �� K�J� �� ��� DAE� ��� �&��� �&F������ �������� �� � �� ������ ���&��� %��� ��� � ��� ���J������ 7����� � ��&�� ���������� �� ��� �������� ��� � �� ������ ���&���� ��� ���-� �������� ��� &����������� ���� � ���������� ���&��� %��� ��� �������� �����&�� �� ����������� ���� ������(�� %��������� &� K�J� �� ��� DAE� ������ %� ��������� ��� �&��� ���&��� �� �����%�8

�.

���� ����� � ����� � ����� � �C����� �� ��!�

%���� �� �(�������� �� ��� �����%�� ���������� ������ ���&���8

�� ��

���� ������� � ��������� � �������� � �C����������� �� ���� �

���� ���������� ������ �������� �� � ���������� ���������� ���&��� %��� ��� � ��� �� �J����� %������ �������� �� ���� � ��&�� ��������

$����� �� ����� %��� )� , �� �&���� ��� ��������� %� ��� ��� �����%�� ��� ���&��� %���� �� ������������� �� �����8

�. ��� � ���� � ���������� ��������#�# ��������9�9 � �C�������=�= �������� � � ��

� � � �� � �

��� ���� � ��# � ��� ���9 � ��� �� ���= � � ��#�� �# � �= � �

� � ��� � � �� #� 9� =�

%���� � � �� � �# � �9 � �=���� ��� �����&���� �� � � �� #� 9� =� ��� ����� ������� �� �� ��� %�� �� ���� �� ��� �������'�� ��� -���

���������� �� ��� ��������� �������� �� ��� ������ ����� �� ������ ��� ��� ����� ������� ���������� H�������� ������������ %� ��� �.����� � �����#��9� �� � �� ����� �� �=8

� � �� � ��

�# � �=�

�9 � ��� �� �#�� �� ���=���� ���� � ��� �� ��� ���=���� ���

��9�

H��� ��� ���������� � � � � �� � � ��� �� ��� ���=���� �� � � %� �&���� � � �� ���������� ��������%�� ��� �����&����� �������� �� �����

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :99

Page 7: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

����� � )K��� �����&����� ��������,� �� � � � � � �� ���� ��� �� �� ��� �� �������

5���� ��� ���� ��� ��� � ��� �� �J������ %� ��� ����� ���� %��� ��� �����%�� ��&������� ��� �����������=�� �� -� �� ������� ��������� 3� ��&�������� )�9, ���� ��� ��� �&F������ �������� )��,� %���� �= �� ������� �����&��� ��� ��&������� ��� ���&��� �� ������

�. ��=� � ��� ������=

� ��= ����� ���� � �� �#�� �� ���=����� ��� ������#�������=��������

�C������=

� ��= ��� � �� ��� ���=����� �� �����������=��������

� ��� ����� ���� � �� �#�� �� ���=����� ��� ������#�������=��������

�C��#����#=

� ��= ��� � �� ��� ���=����� �� �����������=�������� � ��=�

3� ��?�� ��� �� ������ �� ��� �&F������ �������� �� ��� ��&������� ��� ���&���� %� �&���� ��� �����%�� ������� �������� �� ��� �����&�� )���� �� �� DAE ��� ��� ����� �� ��������� �� �� ��=�,8

�. �� ��=� � � �� �� ���� �� �#�� �� ���=����� �� �� ���� �� �#�� �� ���=������ ������� � �= �� ��#

=�� �C��#���� ���� �� ��� ���=����� �� �� ���� �� ��� ���=����� ��� ��C�

5����� ��� -��� ��������� �� '��� �����

��� ��=���=

� �#�� � �� ������ �� �� ��� � �� �#�� �� ���=������ ��������� �� �#

=�� �C��#���� �� ��� � ������ �� �� ��� � �� ��� ���=����� ��

� �� �� �� �#�� �� ���=� �#������������

�� �� ��� ���=� �����������

�#=

� �

� �� ��� ������� �#������������

�� �� �����������

�C��#��

� �� �

��:�

��� ���(�� �������� ��� &� ������ ���� &� ��� ���� ������ ������(��� $� ��� ���������� /0 ���&���� ������ �����&�� ���������� � �� �� ������ ��� %�� ��� �� ��� ����� �� ��� ����������� �� ���������� ���������&���� ���� �� )� ,� ���� ��� �����%�� �(������8

� � ���� � �� #� 9� = %�����=

��

� � � �� � ��=

��

�� ��A�

����� %�� ��� ��������� ����������� �� ��� ���-� ����� ��� ����� ���� ��#�� ��� �����&�� ���� ��9�� �� ������������ ����� ���� ��=� �� ��� ����� ������� �� �����%�8

�� � ������� �

�# � ����������

�9 � ���������

�= � �C������������

��;�

H��� ��� �&��� �(�������� ��� ����������� ������ �������� ��� &� �&������

:9= () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!

Page 8: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

� � �����#�� ��9��� �������� � �����#�� ���������#������� #��=����� ���#������� �

� � ��9��� �������� � #�#�#�=������ � ���#�������

���!�

7���� ��=�� ��

#� �� �&����� ���� )�:,� ��9 �� � ��� &� ��������� ���� )�9,� ��� ������� %�� ��� ��� ����

��������� ���� )�A,� ������ ��� ��� �&F������ ��������� ���=�� ��� &� �&����� ���� )�=,� ��� �����4

������ �� �� �� ��� ��������� ���� )�!,� 7������ �� ��� ������ ������� �� /0� %� ��� �&���� ��

���� ��� ������������ ��� �� � ���� %���� �� � � � �. � ���������� �� � ������� 7���� �� ��� &��&����� ���� ��� ���-� �������� );, ����� �� �� �� ��� ��&��������

3)!) 6 ����� ��������

7������ �� ��� %��? ������ ������� �� /0 )���� �� �� D��AE,� ��� �����%�� ���(������ �� �����-� &� ������ �����&�� �������� �� ��� ��������� ������ ��������8

�� �� � �����=�� ����=�� �# �

%���� ��=� �� � ��� �&F������ �������� )�=,� ���������� ��� ��� �����&�� �������� ������� �� ����� &�����L� �� ��� ����������� ������ �������� ������� � ��%�� &��� ��G� �� ��� ������� ���-� ������

$� ������� %� ��� �������� �� �������� �� ��� ���������� �� ��� ����� ���� ��#� �� ��� �������������� ���� ��=� �� ��� ����� �������� H��� *(� )�A,� %� ����

�� � ���� � ��� ������� ����� �=���# � �= � �#�� � �=�� � ��� ���=����� ����� �=���9 � �9�� � ��� �� �#�� �� ���=����� ����� �=��

�#��

3� ����������� )#�,� %� ��� �&���� ��� �����%�� ������������8

�� � �# � ��� ������ ����� � �9 � �#�� �� ������ ����# � �9 � ��� ������ ���

�##�

%���� �# � �=�$� �# �� �= �� ��������� ���� ��� ����� %�� ��� ��� �������� ���� ��� �&��� �(�������� M��� ���� ���

���������� �� ��� ����� ���� ��#� �� �(��� �� ��� ���������� �� ��� ��������� ����� ���� ��=� �� ���� �����H��� )##, �� � � � �� %� ��� ����� ��� ��������� �������� ��� ���������� �� �����%�8

��. � �#�� �� ������ ��� � �� � ��� ������ ��� � �#��� �=� � ������ ������ ��� ��� ������ ������. ���#�� �� ������ ��� � �9 � ��� ������ ���

�#9�

H�� ��� �&��� ��������� �������� ��� ����������� ��� ������ %�� �� ������ ��� ��� �� %��� ���� ���� ���������� ������ �� �� ��-������ �2����� ���� ����������� ��� ��� �����&�� �����&��� ��� &� �&����� ���� ������������ � � �� %��� � �� ������&��� K�� �� ��� %��? ������ ������� �� /0� ����=� %��� &� �� �����&���� �� ���� ��� ����������� ������ �����&�� ��������� )�!,� � ��%�� &��� �� �������

H��� ��� �&��� &����� ������� %� ��� �&����� ��� �����%�� ��������� �� � �� � ��� ��� ���������

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :9C

Page 9: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

�������� � ���� �# � �= �������� ����������� �� �� �9 ������� ����������

0������� � ������� ���� �� �# � ���� �# �� �= � ���� �

= � ���� �� � ���� �� �� �9 � ���� �

9 � 3��� �� ����� %��&���� ��� �����%�� ������ ���� )�!,�

������ � 7� ������������ )������������, �# �� �= %��� ������ �� � ������� )��� ��, ���� (������� ������ ���� ��� ������� ���� (������� �� �����

��� �&��� ������ ������� ���� �� ��� ���� (������� �� ���� �� ��� ������ ���� %� ��� �F��� �# �� �= �� ���%�� ����� �� �� ������ �� ��� ������� ���������

3)-) ����������� ��������

��� ����������� �������� ������� ���� �� &��� �� ��� %��? �� K��?�� �� ������&�� �� D:E� ���������������� �������� �������� �� ������ �� ��� ��&������� �� ����� ��� ���&���� ���� ���� ������� ������������ ���� ���� ��� ���� �� �� ��� ������� ������ �� ��� ��� �����&��� �� �� ��� ���� �� �� ��������� �&F������ �������� ���J������� ������ %� ��� ������� ��� ��� �2���� �� �������� � ���� �� �� ��������� �&F������ ���J������� �� ���� �� � %��� ����� ������ ��� �2���� �� ��� ��� �����&��� ��� �� �����%�8

� � �� � �

�# � �= � �����

�9 � ���#�� �� ������ �������

� � ���� ������ �������

�#=�

%����

��� � �����# � ���#�� �� ������ ��#���

9 � ����= � ���� ������ ��#����

� � �������������� � ���#�� �� ������ ���������������� � �� �C������� �C������� ���� �� ��� ��� �������� � ���� � �� � ������ �&F������ �������� ���J����� � �� ��� �� ��� ������� ����� ����&��� ��������� %��� ��� ��&������� ��� ���&��� �� ��� ������� �� � �� ��=�� ���� ��� �2������� �������� %� ������ ���� ��� ��% ��� �����&��� � � ��

� �� � � �� #� 9� =� �� ��% � � �� � ������� ��% ��� �����&��� ��� ���� ��� �� ��������� ��� %�� ���� ��� ��������� ������ �����&��� �� �����%�� �� ����� &���� �� ��� ���-� �������

M�%� ������� ��� �2���� �� ��� ����� ��������� ������ �� ��� ������ �� ���4��'�� ������� 5���� ���������� �� ��� �����. ��������� � �� ��=�� �� �������� �-����� ��� � � ���������� ��� �����%�� �� �����

�������� � ��� � � �������� �# �� �=� �� �������� �� �� �9�

����� G�� � &� ��� ��% � ����� ���� �� �� ��� ����� ���������� ���� ������ �� � � � ����

� # � �# � ���

# � �������� � ���� ������ ������� � ��#��

� ���� � ���� ������ �����#������������ � ���� ������ ���������

5���� ���� � � %� ��� ���� � # � �# �� �# � ��� ������ �� ���� ��� �&��� �(������� 5����

�# � ��� ������ �� ���� )##,� � # � �#� %���� ������� ���� �

= � �=� � � � ��� �� �

9 � �9 ������� ��0������� ��

:9: () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!

Page 10: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

M����� ���� �� �������� �� �� � �� � �� � ������� �� � ��?�� � � � 5������ ���� ��� ����� ����� #� ����� ��������� ������� ����� �� ��� ��������� K�� �� 0������� #� ����� ��� �������� �# �� �= %��� &� ��4������ �� �� ������ �� ��� ������� ��������� $� ������� ������� ���� ��� ������ �������� ��� ���� ��� ������� ��� �������� �� ��� ������ �������� ��� ����� ��� ����� �� ��� �������� ����� ���� �� %��� ���� ����������� �������� �# �� �= ���� 0������� #� 3��� �� 0������� #� %� ��� ������� ��� �����%�� ��������

������ � 7�� �������� )�������, �� � �� �� �� ������� )��������, �� � ������� �� ������� )��� ��, ����������� (������� �� ����� 7���� �� �������� )�������, �� # ������� �� ������� )��� ��, ������� �����

���� ������ �� �&����� ���� � � ������#����9������������ � � ���9����������

� ��������� �������

)") ������7���� ����

1� �����'� ���� ���� ������� ���� ��� �����4���� ������� �������� �&����� ���� ��� -��� �� ���������������� 1� ������� ��� ��� ���� �� �� �� ������� �� ��� ���� �� �� ��� ���������� �� � �� �� �� ��

H����� ��� ������� ���� (������� �� �&����� ���� ��� ��������� �� *(� )�,�

�� ��������������������������������#�����������

��#C�

����� ���� ��� -��� �� ����� ��������� �� )#C, %��� ������� �� ��� ����������� �� � �� �� �� �� ��������%�� ������� ��� �&�����8

���

��� �

�#��

��#� �#:�

���

�� �

�#��

�#� � �#A�

���

��� �

�#��

��#� � �#;�

���

��� �

�#��

��#� �� � � ��

�#��

��#� �� � � ��

�#��

��#� �� � � ��

�#!�

���

��� �� � � ��

�#��

��#� �� � � ��

���

��� �� � � ��

�#��

��#� �����%����

���

��� �� � � ��

�9 �

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :9A

Page 11: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

��� �&��� �������� ����� ���� ��� �������� )�������, �� # �� �� �� ������� )��������, �� � �� � ������� �� ���� �� )�������, ������� ���� (�������� ����� ������� ��� ���������� %��� ��� ���� ���� �� � ������������������������������#�������������������� �� # �� � ���������� �� �� �������� �� � �� � ���������� 5���� �� �� � ������� �� ��������� �������� %��� ������� �� ��� ����� ���� #� ��� ������������ &��%��� ��� ����� ���� �� ��� ������� ����(������� �������� ���� ��������� �� # ��� �� �� ��� ��������� ���� �� ���������� �� ��� ���� ����� �� �� ������ $� ��� ��������� ����� ����� �� %���� �� ��� ���� �� ����� ����� ���������� ����� ���� ���������� $� ���� ������ ������� ��?�� %��� ����� �� �� ���� ��� �.����� �� ������ ���������� ��� ���� ���� %��� %� �������� ��������� �������� ��� ���� �������� ���������� ���� �� ��� ���� ��� ���� �� �������� &� ������ ��������� ��

%��� &� ������� &������ �� ��������� �� ������ ��� ���� � �� ��� ������� ���� (������� � ����� ���� � ��� ����� �� ��� ���� ��� ���� �����

)!) ��8���7���� ����

H��� ��� ���-� ��������� *(� );,� %� ��� �&���� ��� �����%�� -��� �� ����� ���� ��������� �� �������� ��&�� ����������8

����

� ����# � �

#���� � � �9��

����

� ��� ������ � ���� � ��� ������ � �

#�������� � � �9#�

�#���#

�#���#

� �#�����

�#�����

�� ���� �������� � ���� �������� � �

#���� �����#���

�� #����9�

� ���#

� �

#�������

���#

� �

#�������

� �

�99�

%����

�#���#

� �#����9 � �

�#���#

� ����� �������� � ���� �������� � �

#���� �����#��� � �

�#�����

� �#�����

� ���# � �

#������� � �

H����� %� ������� ��� ��� ���� � �� ��� ������� ���� (������� �� ��� ������� ���� ��� ���� ���� �� ��������� �������� ��� � � �� ������� H��� ��� -��� ���� ���������� )9�, �� )9#,� ���� ��� �������� ���������%� ����

�����# ���

��� #�������9 ���

��� �C��������� ���

��� � �9=�

:9; () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!

Page 12: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

��� ������� � ���� ���������� ���

��� �����# ���

��� ���� ���������� ���

��

� �C���� �������#���� ���

��� �C��������� ���

��� � �9C�

3� ����������� )9=, �� )9C,� %� �&����

���

���

����� ������# � �C���������

#�������9� ��� ������� ���

�� �

�����# � �C��������� � �9:�

%����

� � ���� ���������� � ���� ���������� � �C���� �������#�����

������ ������ &������

���

��� #��� �������������9

������# � �C���������# � #�������9�� �9A�

3������ ��� ���������� �� )9A, �� �� ����� ���� )99,� %� ��� �&����

���

��� � �9;�

7���� ���� )9:, �� )9;,� %� �&����

���

��� � �9!�

��� �&��� ������� �������� ���� ��� ������� ���� (������� �� ��� ������� ���� ��� ���� ���� ����������� ��������� %��� ������� �� ��� ������ �������� ��

1��� � ������� �������� ��� ��� �� ��� �����%�� ������� ��� �&����� ��� ��� ���������� �� � �� �8

���

��� � �= �

���

�� �

���

�� � �=��

���

��� �

���

��� � �=#�

����� ������� ���� ���� ��� �������� )�������, �� � �� � ������� �� � ������� )��� ��, ������� ���� (��������� ����� 7���� ��� �������� )�������, �� # ������� �� � ������� )��� ��, ������� �����

! "��������#� ��������

��� ����������� �������� ���� �� �� ���� ��� ������������ &��%��� ��� ������� ��������� �� ��� ��.�4��'����� ���� �� ��� ������'����� ����� ��� ��.���'����� ���� �� � ������������ ���?�� &��������� ���� ��� ������� &��� ����� �� ����� ��%����� ��� ������'����� ���� �� � ����������� ���?��%���� ����� ���� ��� ����� �� ���� �� ��� ���?��� ������ &� ������� ���� ��� �2������ �� ��� ������� ����(������� �� ��� ��.���'����� ���� �� ��� ������'����� ����� %� ��� �&����� ���������� ���� �����

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :9!

Page 13: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

���� ���� 1� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� ��� ����� ��� ���� (�������� �� ������� ��� ���� ���� �� ��� ������'����� ���� )��.���'����� ����,� ������������� 7���� ��� �������? �� ������ ���� ��� ����� �� �������� 1� ������ ���� ��� �����%�� ���������� ��� �������� ��� &��� �����8�� � �� �� ��

1� ������� ��� ��� ������ � ��� � ��

� �� &� �������� ��N� �� ��� ��.���'����� ���� �� ��� ������4'����� ���� %���� ������� ��������� �� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ����� 7���� ��� ������� ����(��������� �� &��� ����� ��� ������� %���� ������� ��������� �� ��� ���� ��� ���� ��� ����� 1� ��� ���-��� ��������� �� ��� ����� ���� �� ��� ���-� %��� ������� �� ��� ���� (������� �� ������� ��

� �� ����

H��� ��� -��� ��������� �� ��� ����� ���� �� ��� ������'����� ���� �� ��� -��� ��������� �� ��� ���-��� ��� ��.���'����� ����� %� ����

������� �# � �C����

� � �������

��# � �C�������

� �=9�3� ����������� )=9,� %� ���� ��� �����%�� ������������8

������ �# � ��

�����#

� � �C��� �����

�� ����

����� �==�

*(������ )==, ��� &� ��� �� ������� ��� ������� ���� (��������� �� &��� ����� ��� ��� �����8��

� � �����

�� � ��

�� �� ��� � ��

� ���� ��� ����� ��������� �� � ���� �� � ��

�� �� �� � ���� 1� ���� ���� ��

�� ��� &������ ����� �� ��� ������� ���� ��� ���� ���� �� ��� ��.���'����� ���� &������ �� �����������

��� �&��� ������� ��� �������'� �� ��� �����%�� ���������

�������� �)�, � �� � ��

�� ���� ��� � ��

��)�, � �� � ��

�� ���� ��� � ��

��)�, � �� � ��

�� ���� ��� � ��

��

��� �&��� �������� �� ���������� %��� ��� ���� ���� ��� �

����������������������������#����������

��������� )��������, �� �� ��4������� )��������,�

0���� )�, �� )&, �� 0������� 9 ������� ���� �� �� ��.���� �� ������� &������ ����� �� ���� ��4

����������� ��� �2������ �� ��� ������� ���� (������� ������� ��� (������� ���� �� ����4�����>����4������ ���� ����� ���� %� ��� ��� ������������ ���?�� )����������� ���?��, %��� ��� ��������������?�� )������������ ���?��, ����� ���� &��� ���� ���������� 0������� 9 ���%� ���� %� ��� ��������������� ��������� ������ &� ��������� �� )%� ������ ���� %� ���� �������� ��� �� ��, %������ �������� ��

� �� ����

H��� ����� � �� �� ����

��� � ��� *(� )==, &������

������ �# � ��

������# � �C������ � ���� �=C�

L��� )=C,� %� ��� �.����� ��� ��� ����� ��� � ��

�� ��� � ��

�� �� ��� � ��

� ���� ��� ����� ������������ � ��� �� � ��� �� �� � ��� ���� �����

�������� �

)�, � �� � ��� ���� �� � ��� ��� ��

� � ����

)�, � �� � ��� ���� �� � ��� ��� ��

� � ����

)�, � �� � ��� ���� �� � ��� ��� ��

� � ����

���� �������� �� ���������� %��� ��� ���� ���� ��� �

����������������������������#����������

�������� )���������, �� �� ���������)��������,�

:= () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!

Page 14: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

0������� = �������� ���� �� �� �� �� ��� &� ��������� ��� ������������ &��%��� ��� �� ��

� ��� &������'�� �� �������� ��� ���� �������� ��� &��� ������ %� -��� ������ ���� %� ���� �������� ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� ���� ��������� �� � ����

� � �# � ����# � � � � ��� � ����

� � %� ��� �������� � &� ��?�� ����� ������ �� ��������� ��� ���� �������� ���� � ������ ���� �� ���� ����� ������ ������ �� �������� ��������� ���������� �� �� �� �� ���� �� ��� ������������ &��%��� ��

� �� ��� �� %��� �� ��.���� �� �������

&������ ����� �� ���� 0������� = �������� ���� %� ��� �������� ������� ��������� ������ ���� �� �� ��

%������ �������� ��� �� ��

� �� ��� �2������ �� ��� ������� ���� (������� �� ����� H�� �.������ ���� ����� %� ?��% ��

� � ��� )����� �

�� �� ����4����� �� ��

� �� ����4�����, ���� �� � ��� %� ��� �������� �� )��������� ��, �� ����� ��� ����� �� ��� ������� ���� (�������� ���� �F������� %��� ��� �� ������� ��������� ��� ������

$ "����������

$� ���� ������ %� ������� �� �����'� �%� *�+ &��� ��������� ����� ���� ����� ���� ����4��'����� �� ���-� ��.���'����� ��� /0 ������(���� 3� ���� /0� %� �������� ��� ���� (������� ������ ����� ���� ������'����� ���� %��� ��� ���� ��� ���� �� � �������� �� ��� ���� ��� ���� ����� 7����/0 %�� �����'� �� �������� ��� ���� (������� �� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ��� ���-� ��.���4'����� ���� %��� ��� ���� ��� ���� �� � �������� �� ��� ���� ��� ���� ���� �� %��� �� ��� ����� ��� ������ � �������� �� ��� ���� ��� ���� ����� H�� ��� ����� ���� ������'����� ����� ��� ��������� ���&���%�� ��������� �� � ���������� ���&���� 3������ � ���������� ���&��� ��������� ��&�� �����������%� �&���� ��� ������� ��������� H�� ��� ���-� ��.���'����� ����� ���������� � �� ������ ���&��� %������������ ���� ���&��� %�� ���� ���������� ���� � ���������� ���&��� ����� � �� ������ ���&��������� �������� ��&�� ����������� H�� &��� ������ %� ����� ��� ������� ��������� ���� ��� ��� /0���&����

��� ����������� �������� ��� &��� ����� ��� �� ��� ������� �������� %������ ��4������ ��� ���&��� ���� ��� ���� � �� ���� H��� ��� &����� �������� ��� ��.���'����� ����� �� %�� ���%� ���� �� ����� ��� ���� � �� ��� ������������ �� ������� ��� ����������� ���� �� �� ��� ���� (������� �� ��� ������� ���� ���� �� ����� ������� ������� ��� ���� � �� ��� ������� �������� ������� �� ����� ����������%�� �����'� �� ��� ��� �2��� �� ��������� ������ ���� ��� -��� �� ����� ���� ���������� �����������&��%��� ��.���'����� ���� �� ������'����� ���� ���%� ��� ������������ &��%��� ��� ������� ����(��������� %���� ������� ��������� �� ��� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���� ��� ���� ��� �����

��� �%� ����� %� ���� ������� ��� ��� ������ ��� &���� ��� �������� ������� �������� ������ H���.������ ��� ���-� ��.���'����� ���� ��� &� �.����� %��� � ���� �������� ������ �� ��� ���� (��������� � ���� �������� ������ �� ��� ���� (������� �� ��� ���� ��� ���� ����� ����� %� ��� ������� �������.���'����� ����� �� �&����� ���� ����� ���� ���� 7���� &� �������� ����� ��.���'����� ����� %������ ������'����� ����� %� ��� ������� ��� ���������� ������������� $� ������� ��� �%� ����� ���� &� �&���� ��� ��������� ����� ���� ���� %��� (������� ����� ����� �� ������� ����������� ������ )���� �� ������ D#�CE,�

����������

D�E ��5� 3�� ������ K��� 0�������� ��8 7����� �������� ��� ������ � 1����� M�% O��?� �!A:�

D#E ����*� ���� � 7� �������� ��������� (������� ���� %��� P�.�&����� �� �����&����� �������������� *������� ������� ��

����������� �������� 9! )�!;!, �A=<�A!�

D9E ����*� ���� � 7� �������� ��������� (������� ���� %��� ����4������� ���� ����� *������� ������� �� �����������

�������� = )�!;!, #C#<#C:�

D=E ����*� ���� � 7� *�+ ���� %��� ������ ������������� ��������� �� $�������� *� ������� �; )�!! , C#!<C9=�

() * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3! :=�

Page 15: Optimal inventory policies under decreasing cost functions via geometric programming

DCE ����*� ���� � 7� �������� ��������� (������� ���� %��� ����4������� ���� ��������� ���� �� ��������� ���������

���������� $$* ������������ #9 )�!!�, #9<#;�

D:E ���� K��?��� /�7� ������&�� ��� 7 ���� �� ��&��������� �2���� �� �������� ��� ������ � ��� ����� 5������ # )�!A=, ��=�<

��=9�

DAE ���� K�J�� *�G� 0�������� �� Q����� ��8 /�������� ��� ������ < ������ �� ������������ 1����� M�% O��?� �!A:�

D;E 5��� �������� /��� G��&������ ��8 $���������� �� ���������� ��������� �/��%4����� 5�� H��������� �!! �

D!E /�7� ������&�� ��� $�������� �����8 ������'����� &� �������� ��� ������ � K������� 5������� # )�!A�, �!9<# C�

D� E 1��� G��� K��������� ���� (������� �� ������ ����� &� �������� ��� ������ 8 ������� ��������� &����� �� ������������

K������� 5������� #= )�!!9, A:<;A�

D��E 1��� G��� ������� ���� (��������� �� ������ %��� ����� � ����� �� ��������� ���������� ������������ ��������� �� $��������

*� ������� #: )�!!=, =;�<=;;�

D�#E 1��� G��� K�5� ���� ������� �� ��������� ������� ������ ��� ��� ���� ���� ��������� �� ���?���� ������� � K�������

5������� #= )�!!9, �# 9<�#�9�

D�9E 3�� 1������� �7� ����� ��� �������� �� �� ��������� ������� ���� ���� ���������� �������� ��� ������ � $������������

������� �� 0�������� �������� # )�!;#, :CA<::A�

:=# () * ��� �)�) $���� + � ����� * ���� ���������� ,������� "-! .!//"0 �!12�3!