Optica

Boer Attila

ii

Cuprins

I Optica geometrica 1

1 Introducere ın optica geometrica 31.1 Principiile opticii geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Principiul lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Teorema Malus-Dupin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Stigmatism si astigmatism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Dioptri 132.1 Terminologie generala si conventia de semne . . . . . . . . . . . . 132.2 Ecuatiile lui Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Dioptrul sferic ın aproximatia lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Mariri. Teorema Lagrange-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Astigmatismul dioptrului sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Formularea matricela a relatiilor pentru

dioptrul sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Dioptrul plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Lama cu fete plan-paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Prisma optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9.1 Legile prismei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9.2 Conditia de emergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9.3 Deviatia minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9.4 Dispersia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9.5 Tipuri de prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 Oglinzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.10.1 Oglinzi sferice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.10.2 Aberatia de sfericitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10.3 Oglinda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Sisteme optice centrate 413.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Formulele fundamentale ale sistemelor optice centrate . . . . . . . 423.3 Studiul sistemelor optice centrate prin metoda matriceala . . . . . 473.4 Asocierea sistemelor optice centrate . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

iii

3.5 Lentile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.1 Lentila groasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.2 Lentile subtiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5.3 Asocierea lentilelor subtiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iv

Scurt istoric al dezvoltarii opticii

Fenomenele luminoase au fost observate si cercetate din timpurile cele maivechi. Filozofii greci se preocupau cu explicarea vederii; unii dintre ei considerauca obiectele se vad datorita razelor vizuale care pornesc din ochi. Abia ın secolulXI Alhazen stabileste anatomia ochiului, aratand ca lumina intra si nu pleaca dinochi.

Filozofii din Grecia antica au considerat ca proprietatea fundamentala a lumi-nii este propagarea ei rectilinie ıntr-un mediu omogen. Pana la ınceputul secoluluial XIX-lea dezvoltarea opticii s-a bazat, ın esenta, pe ideea propagarii rectiliniia razelor. Totusi, ıncepand din secolul al XVII-lea au fost cunoscute fapte carearatau ca, ın realitate, au loc unele abateri de la propagarea rectilinie a luminii.S-a observat ca la trecerea luminii prin orificii foarte ınguste, practicate ıntr-unecran opac, dincolo de ecran se observa aparitia unor franje alternativ luminoasesi ıntunecate. Alternanta franjelor luminoase si ıntunecate se poate observa, deasemenea, la marginea umbrei obtinute cu ajutorul unei mici surse luminoase.

Propagarea rectilinie a luminii a dus ın mod firesc la ideea ca lumina este unflux de particule emise de o sursa. Dar aceasta ipoteza era greu de ımpacat nunumai cu faptul ca razele de lumina se curbeaza ın spatele obstacolelor, ci si cuproprietatea acestora de a nu se parturba reciproc atunci cand se intersecteaza.

Renuntand la ipoteza particulelor luminoase, Huygens considera ca luminaeste propagarea unor unde ın eter, un mediu elastic care umple tot spatiul acesibilobservatiilor noastre. Astfel, catre sfarsitul secolului al XVII-lea au luat nasteredoua teorii ale luminii: teoria emisiei (sau teoria corpusculara) care consideralumina drept un flux de particule ce se deplaseaza rectiliniu si teoria ondulatoriecare privea lumina ca propagarea unor unde ın eter.

Ca ıntemeietor si aparator al teoriei corpusculare este considerat, de obicei,Newton, desi ın celebra sa lucrare ,,Optica”, aparuta ın 1704, el a folosit atatconceptia corpusculara, cat si cea ondulatorie. Newton considera ca propagarearectilinie a luminii reprezinta argumentul principal ın sprijinul teoriei corpuscu-lare. In acelasi timp ınsa el si-a dat seama de dificultatile pe care le ıntampinateoria corpusculara ın ıncercarile de a explica formarea la marginea unei umbrea franjelor luminoase si ıntunecate.

Adversarul teoriei corpusculare a fost Huygens. In cartea sa ,,Tratat desprelumina”, aparuta ın 1690, el a scris ca ,,lumina se propaga, ca si sunetul, prin

v

suprafete si unde sferice”. Cu toate ca teoria lui Huygens a stabilit natura ondu-latorie a luminii, ea nu continea ınca destul de precis caracteristica fundamentalaa unui proces ondulatoriu: periodicitatea dubla, spatiala si temporala. Huy-gens chiar nega periodicitatea undelor luminoase. El a scris: ,,nu trebuie sa neınchipuim ca undele urmeaza una dupa alta la distante egale”. Periodicitateaspatiala si temporala a procesului luminos a fost exprimata pentru prima oaraıntr-o forma precisa de catre L. Euler.

Studiul fenomenului de poalrizare a luminii si de interferenta a undelor po-larizate (Fresnel si Arago) a permis sa se stabileasca proprietatile undelor lumi-noase, explicate de catre Young (1817) cu ajutorul ipotezei ca undele luminoasesunt transversale, adica dirctia vibratiilor este perpendiculara pe directia de pro-pagare. Cum undele transversale nu sunt posibile decat ıntr-un corp solid, a fostnecesar sa i se atribuie eterului proprietatile unui corp solid elastic. Pentru a ex-plica vitezele diferite cu care se propaga lumina prin diversele corpuri, a trebuitsa se admita ca proprietatile eterului sunt diferite ın substante disferite. In cazulsubstantelor anizotrope ipotezele care trebuiau facute erau si mai complicate.Aceste fapte scot ın evidenta dificultatile esentiale ale teoriei elastice a luminii.

Intre timp Faraday a reusit sa demonstreze ca fenomenele optice nu reprezintao categorie izolata de procese si ca exista o legatura ıntre fenomenele optice si celeelectromagnetice. In 1846 Faraday a descoperit fenomenul de rotire a planuluide polarizare ın camp magnetic. Pe de alta parte, a fost descoperit si un altfapt remarcabil: s-a constatat ca viteza de propagare a undelor electromagneticecoincide cu viteza luminii.

Pe baza cercetarilor sale, Maxwell (1865) a formulat concluzia ca lumina esteun fenomen electromagnetic. Dupa Maxwell

c =1√ε0µ0

,

unde c este viteza luminii ın vid, ε0 permitivitatea electrica, iar µ0 permeabilitateamagnetica a vidului.

Intr-un mediu avand permitivitatea electrica ε si permeabilitatea magneticaµ viteza de propagare a luminii va fi data de relatia

v =1√εµ

=c√εrµr

,

εr si µr fiind valorile relative ale permitivitatii si permeabilitatii.Cum c

v= n (indicele de refractie), rezulta ca

n =√

εrµr

Aceasta ecuatie stabileste legatura dintre constantele optice, electrice si magne-tice ale substantei. Din aceasta relatie nu rezulta ca n trebuie sa depinda delungimea de unda λ a luminii, cum se stie din experienta (asa-numita dispersie

vi

a luminii). A fost nevoie de o analiza mai detaliata a proceselor de interactiunedintre lumina si substanta). Acest lucru a fost efectuat de catre Lorentz carea elaborat teoria electronica (1896). Din punct de vedere al teoriei electronicepermitivitatea electrica ε depinde de frecventa campului electromagnetic, adicade lungimea de unda λ.

Paralel cu dezvoltarea teoriei ondulatorii a luminii a evoluat si notiunea deeter. Dezvoltarea electrodinamicii mediilor ın miscare a dus la conceptia ca eterul,patrunzand prin toate corpurile, ramane fix ın timpul miscarii acestor corpuri(Lorentz). Eterul, fiind presupus imobil, ar putea fi ales drept sistem de referinta,permitand ın acest fel punerea ın evidenta a miscarii absolute. Acest fapt venea ıncontradictie cu experienta (de exemplu experienta lui Michelson). Prin aparitiateoriei relativitatii s-a renuntat cu totul la notiunea de eter, ca suport materialal proceselor electromagnetice.

Teoria ondulatorie a luminii lasa neexplicate unele fenomene legate de interac-tiunea dintre lumina si materie. Problema distributiei spectrale a energiei ıncazul emisiei unui corp incandescent nu a putut fi rezolvata ın cadrul acesteiteorii. In 1900 Planck a emis ipoteza ca lumina este emisa ın portii distincte, acaror energie este egala cu hν, unde ν este frecventa luminii, iar h constanta luiPlanck. Utilizand ipoteza lui Planck, ın anul 1905 Einstein explica legile efectuluifotoelectric. Astfel, s-a stabilit ca fluxul luminos are o structura discontinua.Acest fapt a dus din nou la conceptia existentei unor particule de lumina, careau fost denumite fotoni. O serie ıntreaga de fenomene optice, cum ar fi efectulfotoelectric sau emisia stimulata a luminii (efectul laser), evidentiaza caracterulcorpuscular al luminii si au condus la aparitia unei noi ramuri a opticii, numitaoptica cuantica.

In cadrul cursului de fata ne vom ocupa doar cu asa-numita optica clasica,bazata pe teoria ondulatorie a luminii.

vii

viii

Partea I

Optica geometrica

1

Capitolul 1

Introducere ın optica geometrica

1.1 Principiile opticii geometrice

Un corp care emite lumina se numeste izvor luminos. Spunem ca izvorul estepunctiform daca dimensiunile lui sunt suficient de mici.

Raza de lumina este o portiune din traiectoria parcursa de lumina. Dacamediul este omogen, raza este o linie dreapta. Intr-un mediu neomogen raza e ocurba.

Un fascicul luminos este constituit dintr-un ansamblu de raze. Fasciculul senumeste homocentric (izogen sau conic) daca razele se intersecteaza ın acelasipunct. Fasciculul poate fi divergent, convergent sau paralel (vezi Fig. 1.1). Unfascicul de lumina este caracterizat prin deschiderea sa, care este unghiulara ıncazul fasciculului conic (unghiul interior al conului geometric) si liniara la unfascicul cilindric (diametrul cilindrului geometric).

divergent convergent paralel

Figura 1.1

La baza opticii geometrice se afla urmatoarele principii si legi:

- principiul propagarii rectilinii a luminii

3

Introducere ın optica geometrica

- principiul independentei propagarii razelor

- principiul reversibilitatii drumului razelor

- legile reflexiei si refractiei luminii

Principiul propagarii rectilinii a luminii afirma ca ıntr-un mediu omogen lu-mina se propaga ın linie dreapta pana la ıntalnirea unui obstacol sau a unui altmediu. Acest principiu se gaseste ın lucrarile de optica atribuite lui Euclid (300ani ı.e.n.). Probabil ınsa ca el a fost cunoscut si utilizat cu mult ınainte.

Principiul propagarii rectilinii a luminii permite explicarea multor fenomene,ca formarea umbrelor si penumbrelor, formarea imaginilor printr-o deschidere,fazele lunii, eclipsele de luna si de soare. Pe acest principiu se bazeaza multiplemetode ıntalnite ın practica si ın tehnica, ca de exemplu metodele folosite ınproblemele de aliniere, de vizare a paratelor optice si mecanice, de ochire, demasurare etc.

Principiul propagarii rectilinii a luminii ısi pierde valabilitatea atunci candprin diafragmare se micsoreaza mult deschiderea fasciculelor luminoase care pa-trund ın sistemele optice. In acest caz fenomenele de difractie devin importante.Rezulta deci ca optica geometrica, bazata pe ipoteza propagarii rectilinii a lumi-nii, constituie doar o prima aproximatie a fenomenelor reale.

Principiul independentei propagarii razelor afirma ca razele de lumina care seintersecteaza ıntr-un punct nu se influenteaza reciproc. Mentionam ca este vorbadespre raze care provin de la susrse necoerente. In cazul ın care razele provin dela surse coerente, apare fenomenul de interferenta.

Principiul reversibilitatii drumului razelor exprima faptul ca traiectoria uneiraze printr-un sistem optic este aceeasi indiferent de sensul de propagare a luminii.

Legile reflexiei luminii au fost cu-

N

R

S

Ii

r

(Σ )

Figura 1.2

noscute ınca din antichitate (ele suntamintite ın ,,Optica” lui Euclid, sec.III ı.e.n.). Cand o raza de luminacade pe o suprafata lucie, ea se re-flecta (Fig. 1.2).

- Raza incidenta, normala la su-prafata si raza reflectata sunt ın acelasiplan, numit plan de incidenta (primalege a reflexiei).

- Unghiul de reflexie este egal cuunghiul de incidenta (a doua lege areflexiei).

r = i (1.1)

Mai corect r = −i, deoarece unghiurile i si r sunt masurate ın sens contrar fatade normala.

4

Principiile opticii geometrice

Legile refractiei au fost formulate mai tarziu (la ınceputul secolului al XVII-lea), dar fenomenul era cunsocut din antichitate (Aristotel, 350 ı.e.n.). Incercareade a stabili legea cantitativa apartine lui Ptolemeu (120 e.n.), care a efectuatmasuratori ale unghiurilor de incidenta si refractie. Insa aceste masuratori derefereau la unghiuri mici si de aceea Ptolemeu a ajuns la concluzia incorecta caunghiul de refractie este proportional cu unghiul de incidenta. In jurul anului 1000opticianul arab Alhazen a constatat ca raportul dintre unghiurile de incidenta sirefractie nu este constant, ınsa nu a putut da expresia corecta a legii. Formu-larea legii refractiei apartine lui Snellius, care a indicat ıntr-o lucrare, ramasanepublicata, ca raportul cosecantelor unghiurilor de incidenta si refractie ramaneconstant, si lui Descartes care ın lucrarea ,,Dioptrica” (1637) a dat formulareaactuala a legii.

Daca o raza de lumina trece dintr-

N

S

R

n

n’

( Σ)

I

i

r

Figura 1.3

un mediu optic ıntr-un alt mediu, tra-versand suprafata de separare (Σ), ease refracta (ısi schimba directia de pro-pagare) (Fig. 1.3).

- Raza incidenta, normala la supra-fata de separare ın punctul de inciden-ta si raza refractata sunt ın acelasi plan(prima lege a reflexiei).

- Intre unghiul de incidenta si un-ghiul de refractie exista relatia

n sin i = n′ sin i′ (1.2)

unde n si n′ sunt constante ce caracterizeaza cele doua medii optice, numite indicide refractie. Relatia (1.2) poarta numele de legea Snellius-Descartes. Produsuln sin i este un invariant (invariantul Snellius-Descartes).

Observam ca indicii de refractie sunt definiti ın aproximatia unei constante.Pentru fixarea coeficientilor se convine a se lua pentru vid (sau aer) n = 1. Inacest caz, indicii relativi la vid se numesc indici absoluti. Cuvantul ,,absolut” seomite de obicei si se spune, simplu, indicele de refractie al mediului dat.

La trecerea dintr-un mediu cu indice de refractie mai mic (mediu mai putindens din punct de vedere optic) ıntr-un mediu cu indice de refractie mai mare(mai dens din punct de vedere optic) raza de lumina se apropie de normala.Invers, la trecerea dintr-un mediu cu indice de refractie mai mare ıntr-un mediucu indice de refractie mai mic, raza se departeaza de normala. In acest cazexista un unghi de incidenta i = ilim mai mic decat π/2, pentru care unghiul derefractie i′ este egal cu π/2, adica raza refractata devine razanta. Pentru unghiuride incidenta i > ilim nu exista raza refractata. Acest fenomen poarta numele dereflexie totala. Unghiul ilim se numeste unghi limita. Valoarea unghiului limita

5

Introducere ın optica geometrica

se deduce din conditia i′ = π/2, de unde, configrm legii refractiei [formula (1.2)]

sin ilim =n′

n(1.3)

O aplicatie tehnica deosebit de importanta a acestui fenomen o constituie fibreleoptice.

Sa observam ın final ca reflexia razei poate fi considerata ca o refractie spe-ciala, unde mediul al doilea are indicele de refractie egal cu al primului, darnegativ: n′ = −n. Introducand aceasta valoare ın (1.2) obtinem i′ = −i, adicatocmai legea a doua a reflexiei.

1.2 Principiul lui Fermat

Intr-un mediu omogen din punct de vedere optic, adica ıntr-un mediu ıncare toate punctele ce caracterizeaza prin aceeasi valoare a indicelui de refractie,lumina se propaga ın linie dreapta, adica pe drumul cel mai scurt dintre douapuncte date.

La trecerea dintr-un mediu ın altul, lumina se refracta si se reflecta la suprafatade separare a mediilor si, ın acest caz drumul ei devine frant. In mediile neomo-gene, unde indicele de refractie n variaza de la un punct la altul, razele luminoase- refractandu-se mereu - formeaza linii curbe. Daca facem abstractie de fenome-nul de difractie, propagarea luminii este descrisa de un principiu general carepoarta numele de principiul lui Fermat (stabilit ın 1679).

l = ns (1.4)

Pentru formularea principiului lui Fermat, tre-

B

A

nds

Figura 1.4

buie sa introducem notiunea de lungime a drumu-

lui optic. Prin lungime a drumului optic l ıntr-unmediu omogen se ıntelege produsul dintre lungimeageometrica s a drumului si indicele de refractie n almediului: In cazul unui mediu neomogen trebuie saımpartim lungimea geometrica a razei ın segmenteds atat de mici, ıncat ın lungul fiecaruia dintre elesa putem considera indicele de refractie n constant.Atunci, lungimea drumului optic elementar va fi

dl = n ds , (1.5)

iar lungimea totala a drumului optic va fi suma tuturor drumurilor optice ele-

6

Principiul lui Fermat

mentare dl, adica va fi exprimata prin integrala

l =

B∫

A

n ds (1.6)

unde integrala se ia de-a lungul curbei AB (Fig. 1.4), dupa care se propagalumina din punctul A pana ın punctul B.

Conform principiului lui Fermat, lumina se propaga pe un drum a carui lun-gime optica are un extremum, adica el este fie cel mai scurt dintre toate drumurileposibile, fie cel mai lung, fie stationar.

Conditia de extremum a lungimii drumului optic se exprima matematic subforma

δ

B∫

A

n ds = 0 (1.7)

Aceasta expresie reprezinta formularea matematica a principiului lui Fermat.Din principiul lui Fermat rezulta, ca te-

I(x, y, 0)

O

x

y

z1 1 2 2 21P (0, y , z ) P (0, y , z )

Figura 1.5

oreme, legile reflexiei si refractiei. Sa con-sideram ca lumina provenita din punctulP1 ajunge ın punctul P2 reflectandu-se lasuprafata plana de separare dintre douamedii (planul xOy ın Fig. 1.5). PuncteleP1 si P2 apartin planului yOz, iar I planu-lui xOy. Drumul optic va fi

l = n

[

√

x2 + (y − y1)2 + z21+

√

x2 + (y2 − y)2 + z22

]

Conform principiului lui Fermat pentru tra-iectoria reala a razei de lumina l are o va-loare extrema.

Conditiile de extremum sunt

∂l

∂x= 0

∂l

∂y= 0

Din prima conditie rezulta:

n

(

x√

x2 + (y − y1)2 + z21

+x

√

x2 + (y2 − y)2 + z22

)

= 0

7

Introducere ın optica geometrica

adicax = 0

Rezulta ca punctul I apartine planului yOz, deci raza incidenta, normala lasuprafata de separare si raza reflectata se afla ın acelasi plan (prima lege a refle-xiei).

Avand ın vedere ca x = 0, calculam∂l

∂y. Obtinem

PP

i r

y

z

OI

1 2

(0, y, 0)

(0, y , z )1 1 (0, y , z )2 2

Figura 1.6

conditia

y − y1√

(y − y1)2 + z21

− y2 − y√

(y2 − y)2 + z22

= 0

de unde rezulta (vezi Fig. 1.6)

sin i = sin r

saui = r

(a doua lege a reflexiei).

In cazul refractiei (Fig. 1.7) lungimea drumului optic este

z

x

y

n

P (0, y , z )1 11

2 2 2

I(x, y, 0)

n’

i

i’ P (0, y , z )

Figura 1.7

l = n√

x2 + (y − y1)2 + z21+

n′

√

x2 + (y2 − y)2 + z22

Conform principiului lui Fermat

∂l

∂x= 0 ,

∂l

∂y= 0

Din prima conditie rezulta x = 0,adica raza incidenta, normala si razarefractata se afla ın acelasi plan (pla-nul yOz) (prima lege a refractiei).

Din a doua conditie obtinem

n(y − y1)√

(y − y1)2 + z21

− n′(y2 − y)√

(y2 − y)2 + z22

= 0

sau (vezi Fig. 1.8)n sin i = n′ sin i′

(legea Snellius-Descartes)

8

Teorema Malus-Dupin

y

P (0, y , z )

OI(0, y, 0)

P (0, y , z )1 1

2 2

i

i’

z

Figura 1.8

P

M

M’

IN

N’

P1 2

I’

Figura 1.9

In cazul reflexiei/refractiei pe o suprafata plana traiectoria reala a luminii co-respunde drumului optic minim. Un exemplu de valoare stationara a drumului ılconstituie cazul reflexiei razelor pe suprafata interioara a unui elipsoid de rotatie,cand punctul luminos P1 este situat ıntr-unul din focare (Fig. 1.9). Raza de lu-mina care vine din punctul P1, dupa reflexia ıntr-un punct oarecare al suprafeteiajunge ın al doilea focar P2. Din proprietatea cunoscuta a elipsei ca suma a douaraze vectoare duse din cele doua focare ıntr-un punct al elipsei este constanta,rezulta ca lungimea drumului P1IP2 este egala cu lungimea oricarui alt drumP1I

′P2, unde I ′ este un punct oarecare situat pe suprafata elipsoidului.

Reflexia pe o suprafata de curbura mai mica (MM ′), de exemplu pe planultangent la elipsoid, corespunde valorii minime, iar reflexia pe o suprafata decurbura mai mare (NN ′) corespunde valorii maxime a drumului.

1.3 Teorema Malus-Dupin

Aceasta teorema este o consecinta a principiului lui Fermat si are urmatorulenunt: Razele unui fascicul homocentric divergent, care sunt normale la o suprafata(Σ), pastreaza aceasta proprietate dupa un numar oarecare de reflexii sau refractii,adica raman normale la o suprafata (Σ′).

Sa consideram o suprafata (Σ) pe care razele incidente sunt normale (Fig.1.10). Fie AI1 si BI2 doua raze infinit vecine care emerg dupa I ′

1A′ si I ′

2B′.

Punctul A′ este luat arbitrar pe raza emergenta. Punctul B ′ ınsa este luat peraza emergenta astfel ca (AI1 . . . I ′

1A′) = (BI2 . . . I ′

2B′) (prin paranteza rotunda

am notat drumul optic).

Sa consideram drumul optic virtual (BI1 . . . I ′

1B′), infinit apropiat de drumu-

rile optice reale. Aplicand principiul lui Fermat, putem scrie (BI2 . . . I ′

2B′) =

(BI1 . . . I ′

1B′).

9

Introducere ın optica geometrica

// //

////

Sistem optic

I

I I’

I’

1 1

2

2

A

B

A’

B’(Σ) ’(Σ )

Figura 1.10

Rezulta atunci ca

(AI1 . . . I ′

1A′) = (BI2 . . . I ′

2B′) = (BI1 . . . I ′

1B′) (1.8)

Deoarece punctele A si B sunt infinit vecine, distantele AI1 si BI1 sunt egale (cuaproximatia unui infinit mic de ordinul doi). Din relatia (1.8) rezulta atunci caI ′

1A′ = I ′

1B′. Deci ın apropierea punctului A′ suprafata (Σ′) se confunda cu sfera

de raza I ′

1A′, adica I ′

1A′ ⊥ A′B′. Rotind pe suprafata (Σ) punctul B ın jurul

lui A, segmentul A′B′ descrie o suprafata (Σ′) ale carui puncte se afla la aceeasidistanta optica de punctelel corespunzatoare ale suprafetei (Σ).

Suprafata normala la raze se numeste suprafata de unda. (Σ) si (Σ′) suntsuprafete de unda si deci teorema Malus-Dupin ne arata ca ıntre doua suprafetede unda razele de lumina strabat drumuri optice egale. In sensul de mai sussuprafata de unda are un sens pur geometric. Semnificatia fizica a suprafetei deunda va fi precizata ın cadrul teoriei ondulatorii.

1.4 Stigmatism si astigmatism

Utilizand conceptiile opticii geometrice, privim fiecare punct luminos ca varfulunui fascicul divergent de raze. Daca fasciculul homocentric divergent ramane,dupa strabaterea mai multor medii optice, tot homocentric, dar convergent,atunci punctul de convergenta S ′ al razelor reprezinta imaginea stigmatica reala

apunctului luminos S (Fig. 1.11a). Daca fasciculul homocentric divergent ramanedupa strabaterea mediilor optice tot homocentric divergent, atunci punctul deintersectie S ′′ al prelungirilor razelor emergente reprezinta imaginea stigmatica

virtuala a punctului luminos S (Fig. 1.11b).In cazurile de mai sus imaginile se numesc stigmatice (punctuale), deoarece

fiecarui punct al izvorului ın corespunde un singur punct imagine. In virtuteareversibilitatii drumului razelor de lumina, imaginea poate fi privita drept izvor,

10

Stigmatism si astigmatism

S S’

// //

// //

(a)

S"S

// //

////

(b)

Figura 1.11

iar izvorul drept imagine. Din aceasta cauza punctele S si S ′ se numesc puncte

conjugate.Daca ın urma unei reflexii sau refractii

n n’

S’

I

S

(Σ)

Figura 1.12

fasciculul ınceteaza de a mai fi homocen-tric, proprietatea de stigmatism a imaginiinu mai este realizata si unui izvor punctualnu-i mai corespunde o imagine punctuala.In acest caz imaginea se numeste astigma-

tica. Deoarece problema cea mai frecventaa opticii practice este obtinerea imagini-lor care sa redea riguros forma obiectu-lui, problema fundamentala a opticii geo-metrice este lamurirea conditiilor ın carese pastreaza homocentricitatea fascicule-lor. Pastrarea homocentricitatii este con-ditionata de prezenta unor suprafete de separare (Σ) de separare care sa satisfacateorema Malus-Dupin. De exemplu, pentru cazul a doua medii izotrope avandindicii de refractie n si n′ (Fig. 1.12) suprafata de separare (Σ) va fi stigmaticadaca satisface conditia

nSI + n′ IS ′ = const. (1.9)

oricare ar fi pozitia punctului I pe (Σ).Suprafetele de revolutie care satisfac relatia generala (1.9) se numesc ovalele

lui Descartes. Ele au, ın general, forme geometrice complicate, greu de realizatpractic. Mediile optice se delimiteaza, de regula prin suprafete mai simple, deforma sferica, parabolica etc. Acestea ınsa nu mai pastreaza homocentricitateafasciculului de raze emergente, deci nu sunt riguros stigmatice. Cu astfel desuprafete despre un obiect punctual S nu se va mai obtine o imagine punctualaS ′, ci una volumetrica.

De multe ori este satisfacator din punct de vedere al calitatii imaginii si un sis-

11

Introducere ın optica geometrica

tem aproximativ stigmatic. Asa stau lucrurile pentru fascicule putin divergente,ın care razele se propaga aproape paralel ıntre ele. Astfel de raze se numescparaxiale, iar aproximatia respectiva poarta numele de aproximatia lui Gauss.

12

Capitolul 2

Dioptri

2.1 Terminologie generala si conventia de semne

Dioptrul este un ansamblu format din doua medii optice omogene si izotrope,cu indici de refractie diferiti, separate printr-o suprafata. Dupa forma suprafeteide separatie se deosebesc urmatoarele forme de dioptri: plan, sferic, cilindric,parabolic.

In cele ce urmeaza ne vom ocupa ın special de dioptrul sferic. Un dioptrusferic este convergent daca centrul se afla ın mediul cu indicele de refractie maimare. In caz contrar dioptrul sferic este divergent.

Un dioptru sferic este caracterizat

n n’

V

A

C

R

axa optica

Figura 2.1

prin urmatoarele elemente:- raza dioptrului, R (raza suprafetei

sferice)- centrul dioptrului, C (centrul su-

prafetei sferice)- varful dioptrului, V (centrul calo-

tei sferice a dioptrului)- axa optica, V C (dreapta care uneste

varful dioptrului V cu centrul dioptru-lui C)

- indicii de refractie n si n′ ai ce-lor doua medii omogene si izotrope caresunt despartite prin suprafata sferica adioptrului (Fig. 2.1).

La un dioptru sferic vom distinge spatiul obiect, spatiul unde se gaseste obiec-tul, considerat ın mod conventional ca fiind situat la stanga suprafetei dioptruluisi spatiul imagine care, ın cazul formarii imaginii reale este situat ın dreaptasuprafetei dioptrului.

13

Dioptri

In optica geometrica se foloseste urmatoarea conventie de semne:

- Lumina se propaga de la stanga la dreapta (schemele optice ale aparatelorse vor reprezenta, conventional, cu prima suprafata a sistemului optic asezata ınstanga).

- Segmentele luate de-a lungul axei optice se masoara luand originea ın varfuldioptrului, considerand ca fiind pozitive segmentele masurate de la V ın sensulpropagarii luminii si negative cele masurate ın sens invers.

- Segmentele perpendiculare pe axa optica sunt pozitive cand se afla deasupraaxei optice si negative ın cazul ın care se gasesc sub aceasta axa.

- Unghiurile se masoara fata de axa optica si sunt pozitive daca se masoaraın sensul de miscare al acelor de ceasornic si negative ın caz contrar. (Unghiurilede incidenta si de refractie se masoara de la normale).

2.2 Ecuatiile lui Young

Consideram un dioptru sferic de raza R si o sursa de lumina O asezata peaxa optica a dioptrului, ın mediul cu indicele de refractie n. Consideram, deasemenea, ca n′ > n (Fig. 2.2).

−u

−du

−i

−i’dω

ω u’

du’

O

B

AN

M

V I s

I t

C

..

Figura 2.2

Toate razele care cad pe dioptru sub acelasi unghi de incidenta (ele se aflape un con cu varful ın O) se ıntalnesc dupa refractie ın Is, imaginea sagitala aizvorului O, imagine care se afla pe axa optica. Daca variem pozitia punctului

14

Ecuatiile lui Young

A, altfel zis unghiul de incidenta i, imaginea Is descrie o portiune din axa optica,focala sagitala.

Pentru a obtine o imagine a punctului O putem grupa razele si altfel. Saconsideram doua raze ce pleaca din O, aflate ın acelasi plan meridian (care cu-prinde axa optica si razele incidente), dar fac unghiuri diferite cu normala. Duparefractie ele se ıntalnesc ın It, imaginea tangentiala a izvorului. Daca deplasamplanul meridian ın care se afla razele OA si OB care au condus la formareaimaginii It, la stanga si dreapta pozitiei initiale, punctul It va descrie un mic seg-ment de dreapta, focala tangentiala, perpendiculara pe pozitia mijlocie a planuluimeridian si deci perpendiculara pe focala sagitala care se afla ın acest plan.

Tinand cont de conevntia de semne prezentata ın paragraful precedent, intro-ducem urmatoarele notatii:

OA = −s , AIt = s′t , AIs = s′s ,V C = R , V A = l , AB = dl .

Aplicand legea refractiei, avem

n sin(−i) = n′ sin(−i′)

saun sin i = n′ sin i′ (2.1)

Derivand relatia (2.1) ın raport cu l obtinem:

n cos idi

dl= n′ cos i′

di′

dl(2.2)

Din Fig. 2.2 se vede ca

−i = −u + ω

ω = −i′ + u′

Prin urmaredi

dl=

du

dl− dω

dl,

di′

dl=

du′

dl− dω

dl

unde l = Rω, dl = R dω.Pe de alta parte

cos i =AM

dl=

s du

dl, cos i′ =

BN

dl=

s′t du′

dl

Introducand aceste expresii ın relatia (2.2) obtinem

n cos i

(

cos i

s− 1

R

)

= n′ cos i′(

cos i′

s′t− 1

R

)

15

Dioptri

saun′ cos2 i′

s′t− n cos2 i

s=

n′ cos i′ − n cos i

R(2.3)

Aceasta este prima ecuatie a lui Young care ne da pozitia imaginilor tangentiale.

Pentru a determina pozitia imaginilor sagitale, folosim asemanarea triunghiu-rilor OPC si CQIs (vezi Fig. 2.3).

Vom aveaOP

QIs

=CP

CQ

−s

−i

−i’ s’s

IsC

Q

O

P

A

.

.

V

Figura 2.3

sau, cu notatiile prezentate mai sus

−s sin(−i)

s′s sin(−i′)=

R + (−s) cos(−i)

s′s cos(−i′) − R

Tinand cont de relatia (2.1) obtinem, dupa cateva transformari simple

n′

s′s− n

s=

n′ cos i′ − n cos i

R(2.4)

Aceasta este a doua ecuatie a lui Young, referitoare la imaginile sagitale.

16