Opruge kao pogonski elementi Uvod Pogonski elementi ......Opruge kao pogonski elementi Opruge kao pogonski elementi Uvod Opruge spadaju u mehaničke pogonske elementekoji akumuliraju

Pogonski elementi pokretnih sklopova

Opruge kao pogonski elementi Uvod

Neophodna pretpostavka svakog kretanja elemenata i sklopova mašina je dejstvo odgovarajućeg pogonskog elementa koji energiju receptora transformiše u mehanički rad.

U aparatima i uredjajima najčešće se koriste:- elektromotorni (za kontinualno i koračno kretanje),- elektromagnetni i- mehanički pogonski elementi (za oscilatorno kretanje),

a nešto manje i:hidraulični, pneumatski, elektrostriktivni, magnetostriktivni, termički i biomehanički pogonski elementi.

Opruge kao pogonski elementiOpruge kao pogonski elementi Uvod

Opruge spadaju u mehaničke pogonske elemente koji akumuliraju potencijalnu energiju i transformišu je u kinetičku. U poredjenju s ostalim pogon. elementima, troškovi izrade opruga su znatno niži.

Mada se koriste i u ostalim oblastima mašinstva, posebno su u aparatima funkcionalno nezamenljive a i konstruktivno pogodne kao pogonski elementi.

Stručna literatura i standardi (JUS C.B6.018) nude konstruktorima uputstva za statički proračun opruga, najčešće sa aspekta:- dinamičke čvrstoće, - sile opruge, - dozvoljenog naprezanja i - hoda opruge.

Opruge kao pogonski elementiOpruge kao pogonski elementi Uvod

Nedostaju, medjutim, instrukcije za dimenzionisanje opruga kao pogonskih elemenata koji treba da:

- savladaju sile korisnog i nekorisnog otpora i

- pomere pokretne delove mašina zahtevanom brzinom.

U praksi se ovaj zadatak rešava uglavnom empirijski ili eksperimentalno, proverom više različitih uzoraka opruge odn. variranjem njihovih parametara sve dok ne budu zadovoljeni postavljeni kinematski zahtevi. Ovakav pristup zahteva dosta vremena i uvećane troškove zbog često neophodnih, naknadnih izmena u konstrukciji i tehnologiji izrade.

Pogon diskontinualnih procesaOpruge kao pogonski elementi Uvod

Mada služe i kao pogonski elementi kontinualnih procesa, opruge se znatno češće koriste kao pogonski elementi diskontinualnih procesa.

Osnovne pogodnosti oprugaOpruge kao pogonski elementi Uvod

Za ovu oblast primene je posebno značajna sposobnost opruge da:

- akumulira relativno veliku količinu energije po jedinici zapremine

i realizuje 2 osnovna zahteva kod pogonskih procesa u aparatima:

- mogućnost startovanja u bilo kom odabranom trenutku i

- što je moguće kraći vremenski interval, potreban da seakumulirana energija preda mehanizmu aparata.

Sopstvena masa oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod

Dinamička analiza pogonskog procesa znatno bi se pojednostavila da je moguće zanemariti sopstvenu masu opruge, kao veličinu nižeg reda u odnosu na masu dela koji opruga treba da pomeri, ili je zameniti odgovarajućom konstantnom ekvivalent-masom.

Cilindrične zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod



Zatezne opruge prekidača od 35 kV


Uvrtne zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod

Uvrtne zavojne oprugeOpruge kao pogonski elementi Uvod

Lisnate opruge kao pogonski elementi


Opruge kao pogonski elementiPogonske opruge Osnove proračuna

Detaljan opis opruge kao pogonskog elementa zahteva poznavanje niza parametara koje odredjuje njena:

- funkcija: vreme za koje opruga izvrši pomeranje, aktivni hod,početni otklon, veličine sila korisnog i nekorisnog otpora i njihovapromena u toku pogonskog procesa, vek trajanja, pouzdanost,...

- struktura: karakteristike materijala od koga je opruga izradjena,prečnik žice, prečnik opruge, broj zavojaka, korak opruge,...

- okolina: ugradni prostor, položaj opruge i njegova promenatokom pogonskog procesa, vrsta veze završetaka opruge sasusednim elementima sklopa, vrsta kretanja elemenata sklopa,...

Cilindrične i uvrtne oprugePogonske opruge Osnove proračuna

Cilindrične i uvrtne zavojne opruge bitno se razlikuju samo u:

kraci u tangentnom, kraci u tangentnom, radijalnom i radijalnom i aksijalnom pravcuaksijalnom pravcu

uuššice (zatezne)ice (zatezne)

stopala (pritisne)stopala (pritisne)oblici zavroblici završšetaka etaka oprugeopruge

pretepretežžno rotacijano rotacijapretepretežžno translacija no translacija ((krukružžni lukovi su delom ni lukovi su delom aproksimirani pravamaaproksimirani pravama))

vrsta kretanja dela koji vrsta kretanja dela koji opruga treba da pomeriopruga treba da pomeri

pretepretežžno na savijanjeno na savijanjepretepretežžno na uvijanjeno na uvijanjenaprezanje naprezanje žžice oprugeice opruge

uvrtne oprugeuvrtne oprugecilindricilindriččne oprugene opruge

Zakon puta realizovanog cilindričnom oprugom

Pogonske opruge Osnove proračuna

0ycym oso =⋅+⋅ &&

mcs=ω

( ) ( )t cos1fts p ω−⋅=

Zakon puta realizovanog uvrtnomoprugom


0cJ oo =ϕ+ϕ⋅ ϕ&&J

cϕ=ω ( ) ( )t cos1t p ω−⋅ϕ=ϕ

Cilindrična i uvrtna oprugaPogonske opruge Osnove proračuna

0cJ oo =ϕ+ϕ⋅ ϕ&&J

cϕ=ω ( ) ( )t cos1t p ω−⋅ϕ=ϕ

0ycym oso =⋅+⋅ &&mcs=ω ( ) ( )t cos1fts p ω−⋅=

Talasna jednačina oscilacijaPogonske opruge Osnove proračuna

o

o

s

o

xy

LcF

∂∂

=⋅

o2o

o2

so dxxyLcdF ⋅

∂∂⋅⋅=

o2o

2

ooi dxty

AydmdF ⋅∂∂⋅⋅ρ=⋅= &&

2o

o2

22

o2

xy

cty

∂

∂⋅=

∂

∂

o

s

mcLc ⋅=

Partikularno rešenje jednačinePogonske opruge Osnove proračuna

2o

o2

22

o2

xy

cty

∂

∂⋅=

∂

∂( ) ( ) ( )tTxXt,xy ooo ⋅=

0XTcTX 2 =⋅′′⋅−⋅′′ − 0XCX =⋅+′′ 0TCcT 2 =⋅⋅+′′

( ) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ω

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ω

⋅⋅ω⋅+ω⋅= oooo xc

sinDxc

cosCt sinBt cosAt,xy

opšti integral:


( ) 0t,0yo =

L2

o2

Lo

os t

ymxyLc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ω

⋅ω⋅+ω⋅= ooo xc

sint sinBt cosAt,xy

Granični uslovi:

- na nepokretnom kraju opruge:

partikularno rešenje jednačine:

- na pokretnom kraju opruge:

( ) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ω

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ω

⋅⋅ω⋅+ω⋅= oooo xc

sinDxc

cosCt sinBt cosAt,xy

Frekventna jednačinaPogonske opruge Osnove proračuna

i frekventna jednačina:Lc

cmLc

ctg1

s ⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ω

⋅ω

kk ctg ⋅χ=

omm

=χ

Beskonačno mnogo rešenja ove jednačine kn definišu beskonačno mnogo sopstvenih kružnih frekvenci:

n=1,2,3,…∞o

snn m

ck ⋅=ω

odnosno:

gde je:


Pošto je zbir rešenja homogene jednačine takodje njeno rešenje to se sva partikularna rešenja mogu napisati u obliku zbira:

( ) ( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅ω⋅+ω⋅=

1no

nnnnnoo x

Lksint sinBt cosAt,xy

( )Lxf0,xy o

poo ⋅=( ) 00,xy oo =&

Pored graničnih moraju biti zadovoljeni i početni uslovi kretanja:

Zakon putaPogonske opruge Osnove proračuna

Zakon slobodnih longitudinalnih oscilacija horizontalnog oscilatora:

( ) ( ) t cosk2 sink 2kLxksink sin

f 4t,xy n1n nnn

onn

poo ω⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅= ∑∞

=

( ) ( ) t cosk2 sink 2k

ksinf 4t,Ly n

1n nnn

n2

po ω⋅+

⋅= ∑∞

=

( ) t cosft,Ly 1po ω⋅= ( ) ( ) ( )t cos1ft,Lyfts 1pop ω−=−=11 kksin ≈

Zakon puta pokretnog kraja opruge (xo=L):

Karakteristične vrednostiPogonske opruge Osnove proračuna

kk ctg ⋅χ=

o

snn m

ck ⋅=ω

omm

=χ

Karakteristična vrednost osnovnog harmonika


kk ctg ⋅χ=

Karakteristična vrednost osnovnog harmonika


kk ctg ⋅χ= ......945

k245k

3k

k1k ctg

51

311

11 −−−−=

31

k1

21−=χ

133k1 +χ

= ( ) o

s1 m13

c 3⋅+χ

=ω

o

s10 m

c 3=ω

3m

m

co

s1

+≈ω

mcs=ω

mo= 0 (χ→∞) m = 0 (χ = 0)

o

snn m

ck ⋅=ω

χ > 5

m∗ = m + mo/3 – redukovana masa

Jednačina kretanja uvrtne oprugePogonske opruge Osnove proračuna

Uvrtna opruga sa mnogo zavojaka može približno da se opišemodelom torziono elastičnog šupljeg cilindra izloženog uvijanju:

2o

o2

22

o2

zc

t ∂

ϕ∂⋅=

∂

ϕ∂

oo J

cLc ϕ⋅=

Znatno širu primenu ima model prostorno zakrivljenog štapaizloženog savijanju za koji se dobija parcijalna diferencijalnajednačina kretanja najmanje četvrtog reda.

Veličina otpora se ne menja s vremenomPogonske opruge Osnove proračuna

Ako se zanemari sopstvena masa opruge, diferencijalna jednačinakretanja sa statičkim otporom biće:

-za pogon cilindričnom zavojnom oprugom: ( ) 0sFycym stoso =−⋅+⋅ &&

( ) 0McJ stoo =ϕ−ϕ⋅+ϕ⋅ ϕ&&-za pogon uvrtnom zavojnom oprugom:

Veličina otpora se menja s vremenomPogonske opruge Osnove proračuna

Ako se zanemari sopstvena masa opruge, a kretanje je prigušeno

otpornom silom: diferencijalna

jednačina kretanja biće : 0ybybycym 2o2o1oso =⋅+⋅+⋅+⋅ &&&&

( )221

2o2o1w sbsbybybF &&&& ⋅+⋅−=⋅+⋅=

Opruga pomera sklop promenljive masePogonske opruge Osnove proračuna

Ako opruga pomera neki mehanizam, masa m (moment inercije J) menja svoju vrednost i može se izraziti kao promenljiva odpomeranja. U tom slučaju se i za najjednostavniji model (nema prigušenja ni statičkih otpornih sila, zanemarena sopstvena masa opruge) dobija nelinearna diferencijalna jednačina kretanja:

0ycydydm

21ym os

2o

oo =⋅+⋅+⋅ &&&

0cddJ

21J o

2o

oo =ϕ⋅+ϕ⋅

ϕ+ϕ⋅ ϕ&&&

Opruga ne menja položaj svoje osePogonske opruge Osnove proračuna

Osa opruge menja položajPogonske opruge Osnove proračuna

Proračun opruge čija osamenja položaj tokompogonskog procesa moguć jesamo ako se zanemari masaopruge pošto bi se u suprotnom dobila nelinearnaparcijalna diferencijalnajednačina kretanja.


Ako se zanemari sopstvena masa opruge,

- masa sklopa nijekonstantna: m(s),

- otporna sila nije konstantna: Fst(s),

- kretanje je prugušeno otpornom silom,

dobija se diferencijalna jednačina kretanja u pravcu x-koordinate: ( ) ( ) ( )

+⋅′+⋅+⋅+⋅+⋅′+′′⋅′

⋅+⋅ 2221

222 xy1bxbx

dxxdm

21x

y1yyxmxxm &&&&&&

( ) ( ) ( ) 0y1

1xFy1yx

yyxllc 2st2220s =′+

⋅−′+⋅+

′⋅+⋅−⋅+


Ukoliko su zavisnosti y(x), m(x) i Fst(x) zadate tabelarno ili grafički, neophodno je aproksimirati ih polinomima (npr. 5. reda).

Za model s konstantnom ekvivalent-masom opruge, zamena m(x) redukovanom masom m∗(x) = m(x) +mo/3.

( ) ( ) ( )+⋅′+⋅+⋅+⋅+⋅

′+′′⋅′

⋅+⋅ 2221

222 xy1bxbx

dxxdm

21x

y1yyxmxxm &&&&&&

( ) ( ) ( ) 0y1

1xFy1yx

yyxllc 2st2220s =′+

⋅−′+⋅+

′⋅+⋅−⋅+

Putanja tačke K je paralelna x-osiPogonske opruge Osnove proračuna

Uvodjenjem smena:

Kyy =

lyl o0 =+

22K

2 lyx =+

0xll1cxm 0

s =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⋅ &&

Putanja tačke K je kružni lukPogonske opruge Osnove proračuna

Uvodjenjem smene:

( ) M2

M2 yxxry +−−=

( )2

M2

M22 yxxrxl ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )2M2

MM2

M2

M20s xxryxxxxrx

lrllc

−−⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−⋅

( )0x

xxrxxmxm 2

2M

2M =⋅

−−−

⋅+⋅+ &&&

Documents

Opruge kao pogonski elementi Uvod Pogonski elementi ......Opruge kao pogonski elementi Opruge kao pogonski elementi Uvod Opruge spadaju u mehaničke pogonske elementekoji akumuliraju