OPERATORDalam bab ini akan dibahas masalah operator, yang menyangkut pengertian operator, peranan operator dalam fisika kuantum, dan formalisme operator dalam fisika kuantum.

1. Pengertian Operator Secara mudah pengertian operator adalah lambang dari suatu perintah matematika untuk dilakukannya operasi matematik tertentu pada obyek yang ada di belakangnya. Obyek yang dimaksud dapat berupa suatu fungsi, parameter, angka, dan sebagainya. Sebagai contoh

Operator , adalah perintah mengalikan apa yang ada di belakang operator ini dengan angka 2. Sehingga: 3 = 6, x = 2x, f(x) = 2 f(x), dan sebagainya. Operator , adalah perintah untuk melakukan penurunan terhadap x, terhadap obyek yang ada di belakangnya.Sehingga:

, , , dan sebagainya.

Operator , adalah perintah untuk mengintegralkan obyek yang ada di belakangnya, terhadap t. Operator integral ini lazim dituliskan sebagai , dengan obyek operasi ada di dalam kurung

Contoh:

, dan sebagainya.

Dalam tulisan ini, suatu operator, ditulis dengan tanda caping di atasnya, seperti misalnya operator Q ditulis .

2. Operator dalam Fisika Kuantum Operator merupakan entitas sangat penting dalam fisika kuantum, dengan peran yang dapat disimak dari postulat berikut.

Postulat: Dalam (dinamika) fisika kuantum, besaran fisik teramati (physical observable) diwakili oleh suatu operator.

Dari postulat di atas, jelas bahwa peranan yang dimainkan oleh suatu operator dalam fisika kuantum adalah mewakili suatu besaran fisik teramati yang bersangkutan, dalam dinamika kuantum. Seperti telah dijelaskan di depan, bahwa fungsi gelombang dalam fisika kuantum adalah persamaan matematik yang menggambarkan keadaan (state) dari suatu sistem. Oleh karena itu, fungsi gelombang haruslah memuat informasi tentang besaran-besaran fisik teramati dari sistem tersebut. Dengan kata lain, jika suatu besaran fisik tertentu, dari suatu zarah yang ada dalam keadaan (state) tertentu, ingin diketahui besarnya, maka pengetahuan itu dapat diperoleh melalui fungsi gelombangnya.

Cara orang mendapatkan informasi tentang nilai suatu besaran fisik tertentu, misalnya besaran q, dari suatu sistem yang dinamikanya digambarkan oleh suatu fungsi gelombang, adalah dengan mengenakan operator yang mewakili q, pada fungsi gelombang tersebut. Jika dimisalkan bahwa operator yang mewakili q adalah , maka untuk mendapatkan harga besaran fisik q kita harus mengenakan operator pada fungsi gelombang. Yang dimaksudkan dengan kata mengenakan dalam hal ini dibedakan menjadi dua macam. Macam pertama adalah apabila fungsi gelombang yang bersangkutan merupakan fungsi pribadi (eigen function) dari besaran fisik q, maka kata mengenakan itu berarti sebagai berikut

(4.1)

Persamaan semacam (4.1) di atas disebut persamaan harga pribadi. Fungsi gelombang diberi label q untuk menandai bahwa fungsi gelombang itu adalah fungsi pribadi dari besaran fisik teramati q.Macam kedua dari maksud kata "mengenakan" adalah operasi dari operator yang menyangkut fungsi gelombang yang bukan fungsi pribadi besaran fisik teramati yang ingin diketahui harganya. Dalam hal besaran fisik teramati itu adalah q, maka fungsi gelombang yang kita hadapi bukan fungsi pribadi dari q. Untuk keadaan ini, nilai dari q ditentukan melalui persamaan harga harap (expectation value), yang diberikan oleh

= (4.2)

Fungsi gelombang adalah konjugan kompleks dari . Dapat ditunjukkan bahwa persamaan harga harap semacam (4.2) di atas sesungguhnya memberikan harga rata-rata dari besaran q. Harga rata-rata ini muncul oleh karena dari fungsi gelombang , yang bukan fungsi pribadi dari q, dapat diperoleh berbagai macam harga q. Sebaliknya, pada persamaan harga pribadi, fungsi pribadi yang bersangkutan dengan suatu besaran fisik q, adalah fungsi di mana pengukuran terhadap harga q dapat dilakukan secara sempurna, tanpa ralat, dengan hasil pengukuran tunggal. Persamaan Schrodinger yang telah dibahas di depan, sesungguhnya, adalah satu contoh persamaan harga pribadi dari operator energi total , dengan fungsi pribadi . Dengan begitu, maka fungsi gelombang yang muncul dari persamaan Schrodinger adalah fungsi pribadi dari besaran fisik energi total.

3. Matematika OperatorDalam bagian ini, akan dijelaskan operasi matematika yang menyangkut operator. Penjelasan yang demikian ini dirasa penting, oleh karena aljabar operator sering mempunyai sifat yang berbeda dengan aljabar parameter bukan-operator. Karena suatu operator adalah suatu perintah operasi matematik, maka pengerjaannya akan lebih baik dilakukan dengan melibatkan suatu fungsi, sebagai operan (yang dikenai operasi). Kecuali bahwa seseorang telah sangat mahir dalam menangani masalah operator, maka memperlakukan operator seperti memperlakukan parameter matematik bukan-operator, yakni tanpa melibatkan fungsi operan, sangat tidak bijaksana. Beberapa operasi matematik yang melibatkan operator adalah sebagai berikut.

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Jika terdapat dua operator dan , maka penjumlahan dan pengurangan satu operator dengan yang lain memberikan hasil berupa operator baru, dan sebagai berikut.

= + = +

dan = =

Dua operator yang dikurung, membentuk kesatuan menjadi operator baru. Telah disampaikan di atas, bahwa operasi operator sebaiknya menggunakan fungsi matematik. Untuk kedua oparasi di atas ini, misalnya, sebaiknya dituliskan dengan, misalnya, menggunakan fungsi f, sebagai

dan(4.3)

Jika operator adalah operator yang linier, maka untuk dua fungsi f dan g, dan tetapan dan , operator ini memenuhi sifat

= (4.4)

Dalam persamaan (3.4) terkandung dua sifat yang merupakan sifat-sifat dari operator linier, yaitu bahwa tetapan dan dapat muncul ke depan operator, tanpa dikenai operasi matematik, dan bahwa operasi terhadap jumlahan dua fungsi sama dengan jumlahan operasi operator terhadap masing-masing fungsi (memenuhi sifat distributif).

Perkalian Operator

Apa yang dimaksudkan dengan perkalian dua atau lebih operator, adalah operasi berurutan dari operator-operator tersebut terhadap suatu obyek. Misalkan, terdapat operator dan yang dikalikan, dalam bentuk , maka ini diartikan bahwa keduanya membentuk kesatuan operator baru, yang bila dikenakan pada fungsi f menghasilkan ()f. Lambang ()f berarti bahwa operator bekerja terlebih dahulu pada f, kemudian diikuti oleh bekerjanya operator terhadap hasil kerja operator . Sebagai contoh, misalkan terdapat operator dan operator , yang dikalikan sehingga memberikan , maka jika hasil kali ini dikenakan pada suatu fungsi akan menghasilkan

Beberapa sifat perkalian dapat dikemukan sebagai berikut. Perkalian suatu operator dengan dirirnya sendirinya akan memberikan pangkat seperti pada variabel aljabar bukan-operator biasa.

Contoh: f = f Pembagian suatu operator oleh operator lain tidak didefinisikan

Perkalian dari dua operator, , umumnya tidak sama dengan . Tetapi jika ada dua operator yang memenuhi =, maka dikatakan bahwa kedua operator bersifat komutatif satu terhadap yang lain. Tentu saja, setiap operator bersifat komutatif terhadap dirinya sendiri. Suatu operator yang komutatif terhadap operator lain , akan komutatif terhadap berpangkat bilangan bulat positif, dan sebaliknya.

Komutator antara dua operator dan , yang ditulis , adalah suatu operator yang didefinisikan oleh

(4.5) Komutator dari dua operator yang komutatif satu terhadap yang lain sama dengan (operator) nol

Contoh:

Akan ditentukan komutator antara operator posisi dan operator momentum, . Dalam fisika kuantum operator momentum satu dimensi, yaitu momentum pada arah x, diberikan oleh

(4.6)

Oleh karena itu komutator antara kedua operator

[,] f = ( ) f(4.7)

=

=

=

Jadi komutator antara dan diberikan oleh

[,] = (4.8)

Dengan cara sama didapatkan komutator antara dan , yaitu

[,] = - (4.9)

Dari persamaan (4.8) dan (4.9) jelas nampak bahwa operator dan tidak bersifat komutatif satu terhadap yang lain.

Soal:

Tentukan, apakah operator momentum bersifat komutatif terhadap operator energi total, , dan terhadap operator energi kinetik, . Jika bersifat komutatif, tentukan komutatornya.

Fungsi dari suatu operator, , dapat dinyatakan ke dalam deret pangka (power series), dengan bentuk yang sama dengan deret dari dari fungsi f(Q), dengan Q adalah argumen bukan operator, asalkan deret dari f(Q) itu bersifat konvergen. Jadi, jika f(Q) dapat dideretkan ke dalam deret konvergen dalam bentuk

maka f() dapat dideretkan menjadi

dengan koefisien deret yang sama di antara kedua deret tersebut.

Contoh:

Oleh karena fungsi eksponen dapat dideretkan menjadi

maka fungsi operator dapat dideretkan menjadi

Penurunan terhadap suatu fungsi operator dilakukan dengan aturan yang sama dengan penurunan terhadap fungsi bukan operator. Hendaknya diingat, bahwa dari persamaan Schrodinger gayut waktu (time dependent) didapatkan bahwa

(4.10)atau

sehingga operator energi total sering digunakan untuk menggantikan peran operator penurunan terhadap waktu.

Formalisme Operator dalam Fisika KuantumDalam bagian ini akan dikemukakan beberapa definisi, postulat, dan teorema yang menyangkut operator dan aspek fisika kuantum yang berkaitan dengan operator tersebut.

Definisi: Suatu operator dikatakan bersifat hermitian, jika untuk sebarang fungsi gelombang dan , operator itu memenuhi

= (4.11)

Jika operator bersifat hermitian, maka , dengan n bilangan bulat positif akan bersifat hermitian pula. Juga, kombinasi linier dari sejumlah operator yang hermitian, bersifat hermitian.

Teorema: Semua harga pribadi dari suatu operator yang hermitian, bersifat nyata (riel)

Bukti: Dari persamaan harga pribadi didapatkan

= =(4.12)

Sedangkan, di sisi lain dapat dituliskan

= =(4.13)

Karena untuk memenuhi syarat sifat hermitian operator , kedua persamaan (4.12) dan (4.13) harus sama, maka haruslah =, yang berarti harga pribadi ini harus riel, karena konjugat kompleksnya sama dengan dirinya sendiri.

Postulat: Sebarang operator yang berkaitan dengan sesuatu besaran fisik teramati (physical observable) bersifat hermitian.

Definisi: Dua fungsi gelombang, dan , bersifat ortogonal satu terhadap yang lain, jika memenuhi

(4.14)

Integral dalam persamaan (3.14) dilakukan untuk keseluruhan ruang di mana kedua fungsi gelombang terdefinisi.

Definisi: Suatu himpunan fungsi bersifat tak gayut secara linier (linearly independent), apabila untuk persamaan linier

= 0(4.15)

maka koefisien-koefisien -lah yang sama dengan nol.

Dengan kalimat lain, himpunan fungsi dikatakan membentuk himpunan fungsi yang tak gayut secara linier, apabila sesuatu anggota dari tak dapat dinyatakan ke dalam kombinasi linier dari anggota yang lain.

Definisi: Suatu harga pribadi q dari suatu persamaan harga pribadi dikatakan berdegerasi tingkat ke-m, bila terdapat sebanyak m fungsi pribadi yang berkaitan dengan harga pribadi itu.

Contoh: Misal terdapat persamaan harga pribadi . Jika untuk beberapa fungsi pribadi yang berbeda, misalnya saja, , , , dan dihasilkan harga pribadi yang sama , yakni bahwa

maka dikatakan bahwa harga pribadi berdegenrasi tingkat keempat (dalam persamaan-persamaan di atas berarti bahwa ===). Masih dari persamaan harga pribadi di atas, jika misalnya

yaitu bahwa =, maka dikatakan bahwa harga pribadi berdegenerasi tingkat kedua. Teorema: Dua fungsi pribadi dari suatu operator ortogonal satu terhadap yang lain, jika harga pribadi yang berkaitan dengan masing-masing fungsi pribadi itu tidak sama

Bukti: Sebagai latihan, silahkan anda membuktikan teorema ini.

Teorema: Bila suatu harga pribadi q berdegenerasi, maka sebarang kombinasi linier dari fungsi-fungsi pribadi itu (yang, tentu saja, tak gayut secara linier) juga merupakan fungsi pribadi q.

Bukti: Misalkan adalah fungsi pribadi q, dan berdegerasi, maka untuk sebarang tetapan berlaku

...

yang dapat kemudian dituliskan

+++ = +++(4.16)

atau = (4.17)

Persamaan (4.17) memperlihatkan bahwa kombinasi linier dari fungsi-fungsi pribadi tersebut, yaitu , juga merupakan fungsi pribadi dari q.

Definisi: Suatu himpunan fungsi yang berkaitan dengan harga pribadi q, dikatakan membentuk himpunan lengkap dari fungsi-fungsi yang tak gayut secara linier, jika pada himpunan itu ditambahkan (sebagai anggota) fungsi lain yang juga berkaitan dengan harga pribadi q, maka sifat tak gayut secara linier itu tak ada lagi.

Teorema: Jika membentuk himpunan lengkap dari fungsi pribadi yang berkaitan dengan harga pribadi q yang berdegenerasi tingkat ke-m, maka fungsi pribadi lain dapat diekspansikan (dikembangkan) dalam .

Bukti:Misalkan terdapat fungsi pribadi dari q, yaitu , yang dengan tetapan a, kita tuliskan persamaan

= 0(4.18)

Jika harga a pada persamaan (4.18) sama dengan nol, maka keseluruhan persamaan (4.18) membentuk definisi dari fungsi-fungsi yang tak gayut secara linier. Artinya, bahwa juga menjadi anggota dari himpunan fungsi pribadi yang tak gayut secara linier (). Tetapi, jika adalah fungsi pribadi yang bukan anggota himpunan itu, tentulah a tidak dapat mengambil harga sama dengan nol. Sehingga, dapat dituliskan

=

atau = (4.19)

Persamaan (4.19) membuktikan teorema di atas.

Teorema: Dari himpunan lengkap fungsi yang memiliki m anggota dapat dibentuk himpunan dari m fungsi yang saling ortogonal, dan juga saling tak gayut secara linier.

Bukti: Bukti dari teorema ini diberikan oleh prosedur ortogonalisasi Schmidt, yang dapat dituliskan sebagai berikut. Persoalan dalam prosedur ini adalah dari m fungsi yang saling tak gayut secara linier, (j=1, 2, 3, , m), akan dibentuk m fungsi lain, yang selain tak gayut secara linier, juga ortogonal. Misalkan fungsi baru itu adalah (j=1, 2, 3, , m), maka sebagai dapat diambil , atau

= (4.20)

Misalkan bahwa = dan =

maka sebagai dapat diambil

= (4.21)

Misalkan kembali bahwa

= , = , =

maka sebagai dapat diambil

= + (4.22)Selanjutnya, jika dimisalkan

= , = , = , =

maka sebagai dapat diambil

= + + (4.23)

Dengan memperhatikan pola perkembangan persamaan (4.20) sampai dengan persamaan (4.23), maka untuk dengan k=2, 3, 4, , dapat diambil

= (4.24)

di mana lambang diberikan oleh

= ()(4.25)

dengan adalah fungsi delta, yang diberikan oleh

=

Soal:

Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi , , , dan yang telah didapat dari persamaan (4.20) sampai dengan persamaan (4.23) bersifat ortogonal satu terhadap yang lain.

Definisi: Dua operator dan adalah setara (equivalent) jika keduanya bekerja pada fungsi pribadi yang sama menghasilkan harga pribadi yang sama pula.

Dengan kata lain, jika dua operator dan sama, maka akan memnuhi

= (4.26)

Sebaliknya, jika dua operator dan memenuhi persamaan (4.26) maka keduanya setara.

Definisi: Dua besaran fisik teramati q dan r dikatakan kompatibel (compatible) jika keduanya memiliki fungsi pribadi yang sama, yang merupakan anggota dari himpunan lengkap fungsi yang tak gayut secara linier.