Operaciones sobre Funciones

Operaciones Aritméticas Dado dos funciones f y g , podemos

combinarlos mediante operaciones comunes de aritmética como se ilustra:

Operaciones (cont.) Notas:

El dominio de f + g , etc. es la intersección, I, de los dominios de f y g …

eso es, los numeros que son comunes a ambos dominios.

En adición, el dominio de es un subconjunto de I que consiste de todos los valores de x en I tal que g(x) ≠ 0 .

EjemploSea .Describe el dominio de cada función.

El dominio de f es .

El dominio de g es

(−∞ ,2 ) ∪ (2 ,∞ )(−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ )

La intersección de estos conjuntos es:

Dom de f

Dom de g

(−∞ ,0 )∪ (0,2 )∪ (2 ,∞ )

EjemploSea .Describe el dominio de cada función.

,

dominio es

dominio es

+

(−∞ ,0 )∪ (0,2 )∪ (2 ,∞ )

(−∞ ,0 )∪ (0,2 )∪ (2 ,∞ )

Ejemplo (cont.)Sea .Describe el dominio de cada función.

dominio es

= ( 44−2 )÷ ( 34 )

¿2÷34

𝑓 (4)𝑔 (4 )

=¿

( 𝑥𝑥−2 )( 3𝑥 )=¿ 3

𝑥−2

(−∞ ,0 )∪ (0,2 )∪ (2 ,∞ )

𝑓 (4 )÷𝑔 (4 )=¿

¿83

DefiniciónSe pueden combinar funciones para formar lo que se conoce como la composición de funciones.

La función compuesta, f ◦ g , (f compuesta con g), se define

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

e implica evaluar f en g.

Funciones Compuestas El dominio de f ◦ g es el conjunto de

todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f .

Se puede nombrar una composición

(g ◦ f)(x) ó g(f(x))

(se lee “g con f”)

Funciones Compuestas (cont.)

Se ilustra f ◦ g con el diagrama:

Ejemplo

Si f(x) = x2 – 16 y entonces

para cada número real x ≥ 0 , mientras que

para cada valor real, x

( 𝑓 𝑜𝑔 ) (𝑥 )=¿(√𝑥 )2−16¿ 𝑥−16

(𝑔𝑜 𝑓 ) (𝑥 )=¿√ x2  – 16

Ejemplo Si f(x) = 3x2 + 6 y determinar

f(g(x))

g(f(x))

= 3(x – 8)2 + 6 = 3(x2 -16x + 64) + 6= 3x2 – 48x + 192 + 6= 3x2 – 48x + 198

= (3x2 + 6

= 3x2 – 2

Ejemplo – continuación

Si f(x) = 3x2 + 6 y determinar f(f(x))

g(g(-3))

= 3(3x2 + 6 )2 + 6 = 3(9x4 + 36x2 + 36) + 6= 27x4 – 108x2 + 108 + 6= 27x4 – 108x2 + 114

g(-3) = (-3

= - 11 g(-11) = (-11

= - 19

g(g(x)) = (x

= x – 16

g(g(-3)) = -3 – 16 = -19

ó

Ejemplo Si f(x) = x2 – 5x + 3 y determinar

f(g(x))

g(f(x)) =

= x4 - 10x3 + 31x2 - 30x + 9

= (x2 )2 – 5(x2) + 3 = x4 – 5x2 +3

f(f(-1)) =

f(-1)= (-1)2 – 5(-1) + 3

= 10

f(f(-1)) = f(10)= (10)2 – 5(10) + 3= 53

(x2 – 5x + 3)2

Ejemplo

Se muestran valores de dos funciones f y g en la siguientes tablas.

Hallar y

EjemploSe muestran las gráficas de dos funciones f y g. Determinar, si es posible, cada uno de los siguientes valores. a) (-2) = g(f(-2)) Vemos que f(-2) = 2. Ahora, buscamos g(2) = 1

b) (0) = g(f(0)) Vemos que f(0) = 0. Ahora, buscamos g(0) = 3

c) (2) = f(g(2)) Vemos que g(2) = 1. Ahora, buscamos f(1) = ½

d) (-5) = f(g(-5)) Vemos que g(-5) = 8. Ahora, buscamos f(8) = no está definido en la gráfica

Descomponer funciones Algunas veces se quiere

“descomponer” una función compuesta.

Esto es, dada una función compuesta y = h(x) , queremos encontrar dos funciones, f y g tal que h(x) = f(g(x))

La descomposición de funciones no es única.

Descomponer funciones1) f(x) = x4 2) f(x)=

3)

g(x) = h(x) = f(g(x))

g(x) = h(x) = f(g(x))

f(x)= g(x) =

f(x) = g(x) = h(x) = f(g(x))

f(x) = g(x) =

EJEMPLOS ADICIONALESOperaciones con Funciones

EjemploSea .Describe el dominio de cada función.

El dominio de g es .

El dominio de f es: El conjunto de valores de x, tal que la expresión en el radicando produce un valor positivo o cero.

ℝ

EjemploSea .Describe el dominio de cada función.

dominio de es

dominio de es

¿ [−2,2 ] + ,

- (= -

¿ [−2,2 ]

(−∞ ,∞ )∩ [−2,2]

(−∞ ,∞ )∩ [−2,2]

EjemploSea .Describe el dominio de cada función.

dominio de es

=dominio de excluye de [-2,2] los valores que hacen el denominador igual a cero. dominio de

), [−2,2 ]

3x + 1 = 0, cuando 𝑥=−13

[-2,]

,

Ejemplo

Complete la tabla.

EjemploComplete la tabla.