OPERACION EN ESTD. ESTACIONARIO.pdf

SEP SEIT DGIT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIN Y DESARROLLO TECNOLGICO

cenidet

DISEO DE UN CONTROLADOR NO LINEAL BASADO EN PASIVIDAD DE UN MOTOR SNCRONO

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: M A E S T R O E N C I E N C I A S E N I N G E N I E R A E L E C T R N I C A P R E S E N T A : ING. MIGUEL ANGEL DURAN FONSECA

DIRECTORES DE TESIS: DR. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMREZ DRA. PATRICIA CARATOZZOLO MARTELLITI CUERNAVACA, MORELOS ENERO DE 2004

Dedicatoria

A Dios, quien me permiti

concluir esta etapa de mi vida

A mi hijo Miguelito, mi mayor motivacin

A mi esposa Marbety, mi compaera en los

momentos difciles

A Miguel y Amelia mis padres, amigos

y consejeros

A mis hermanos Too, Lili, Pablo, Bere

y Mariana

Agradecimientos A mis asesores: Dr. Gerardo V. Guerrero Ramrez y Dra. Patricia Caratozzolo Martelliti, por su tiempo y apoyo durante la realizacin de este trabajo de tesis. A mis revisores: Dr. Alejandro Rodrguez Palacios, Dr. Enrique Quintero-Mrmol Mrquez y Dr. Vctor Alvarado Martnez, por sus comentarios que ayudaron a enriquecer este trabajo. A mis profesores: Dr. Gerardo V. Guerrero Ramrez, M.I. Marino Snchez Parra, M.C. Pedro Mendoza, M.C. Guadalupe Madrigal, Dr. Carlos Astorga Zaragoza, Dr. Marco Oliver Salazar, Dr. Enrique Quintero-Mrmol Mrquez y Dr. Luis Gerardo Vela Valds, por sus conocimientos transmitidos. A mis compaeros de generacin: Braulio, Mariano, Mauricio, Arturo, Carlos, Efran, Efrn, Jacobo, Jaime, Janeth, Jos, Luis Jorge, Mario, Pablo y Tico, por los buenos momentos que vivimos durante mi estancia en el cenidet. Al COSNET y SEP por el apoyo econmico brindado que me permiti desarrollar mis estudios de Maestra. A todo el personal del cenidet.

NDICE

Pgina

NDICE.............................................................................................................................................. i SIMBOLOGA...................................................................................................................................... iii RESUMEN...........................................................................................................................................vi CAPTULO 1 INTRODUCCIN................................................................................................................................. 1

1.1 Estado del arte ........................................................................................................ 2 1.2 Planteamiento del problema ................................................................................... 3 1.3 Justificacin............................................................................................................ 4 1.4 Alcance ................................................................................................................... 4 1.5 Aportacin .............................................................................................................. 4 1.6 Organizacin del trabajo de tesis............................................................................ 6

CAPTULO 2 ANLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO DEL MOTOR SNCRONO............................................... 7

2.1 Construccin y operacin del motor sncrono........................................................ 7 2.2 Determinacin del circuito equivalente del motor sncrono................................. 10 2.3 Operacin del motor sncrono en estado estacionario .......................................... 15

2.3.1 Anlisis de potencia en el motor sncrono.................................................... 17 2.3.2 Modificacin del factor de potencia en el MS con devanado de campo ...... 20

2.4 Simulaciones......................................................................................................... 22 CAPTULO 3 MODELADO DEL MOTOR SNCRONO........................................................................................... 27

3.1 Modelado tradicional del motor sncrono............................................................. 28

3.1.1 Modelo trifsico del motor sncrono de imanes permanentes ..................... 28 3.1.2 Modelo trifsico del motor sncrono con devanado de campo.................... 30

3.2 Modelado del motor sncrono basado en la formulacin de Euler Lagrange.... 33 3.2.1 Motor sncrono de imanes permanentes ...................................................... 35 3.2.2 Motor sncrono con devanado de campo..................................................... 38

i

3.3 Teora del marco de referencia ............................................................................. 41 3.3.1 Modelo del MS de imanes permanentes en el MR fijo al rotor.................... 43 3.3.2 Modelo del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor .................. 46

3.4 Modelo de la carga mecnica ............................................................................... 49 3.5 Simulaciones......................................................................................................... 51

CAPTULO 4 CONTROL POR CAMPO ORIENTADO DEL MOTOR SNCRONO ................................................ 57

4.1 Produccin del par electromagntico en el motor de CD..................................... 57 4.2 Control vectorial del MS de imanes permanentes ................................................ 59

4.2.1 Simulaciones................................................................................................. 63 4.3 Control vectorial del MS con devanado de campo............................................... 67

4.3.1 Simulaciones................................................................................................. 69 CAPTULO 5 CONTROL NO LINEAL BASADO EN PASIVIDAD DE UN MOTOR SNCRONO ........................... 73

5.1 Mtodo de control de motores de corriente alterna basado en pasividad............. 73 5.2 Controlador del subsistema mecnico .................................................................. 75 5.3 Control basado en pasividad del subsistema elctrico del MS de imanes permanentes.. 77

5.3.1 Simulacin.................................................................................................... 83 5.4 Control basado en pasividad del subsistema elctrico MS con devanado de campo ...... 85

5.4.1. Simulacin.................................................................................................... 91 5.5 Anlisis de estabilidad del sistema completo ....................................................... 93

CAPTULO 6 ANLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES.............................................. 97

6.1 Anlisis del ndice de desempeo......................................................................... 97 6.2 Anlisis del error de seguimiento de velocidad.................................................... 99 6.3 Conclusiones....................................................................................................... 101 6.4 Trabajos futuros.................................................................................................. 104

Referencias ..................................................................................................................................... 105 Apndice A ...................................................................................................................................... 107 Apndice B ...................................................................................................................................... 115

ii

SIMBOLOGA ngulo cuyo coseno es el factor de potencia ngulo de potencia Ganancia positiva del error combinado de seguimiento Vector de flujos magnticos debidos a los imanes permanentes en la

formulacin E-L Posicin angular del marco de referencia Densidad del brazo Flujo magntico a, b, c Enlaces de flujo de las fases a, b y c del estator dr y qr Enlaces de flujo de los devanados amortiguadores e Desplazamiento angular elctrico e Velocidad angular elctrica e0 Desplazamiento angular elctrico inicial em Par electromagntico f Enlaces de flujo del devanado de campo l Par de carga m Desplazamiento angular mecnico m Velocidad angular mecnica m Vector de enlaces de flujo debidos a los imanes permanentes m Amplitud mxima del flujo de los imanes permanentes s Velocidad de sincronismo B Coeficiente de friccin viscosa del motor De Matriz de inductancias en la formulacin Euler Lagrange (E-L) eag Voltaje generado por movimiento f Frecuencia elctrica F Funcin de disipacin de Rayleigh h Momento angular I Vector de corrientes ia, ib, ic Corrientes de los devanados de las fases a, b y c del estator idr y iqr Corrientes de los devanados amortiguadores if Corriente del devanado de campo J Inercia rotacional del rotor JB Inercia del brazo Ks Matriz de transformacin de las variables del estator

mL Amplitud mxima de la variacin de la inductancia del estator

mL Valor promedio de la inductancia del estator L Inductancia constante, independiente de la posicin del rotor L Lagrangiano l Longitud del brazo rgido

iii

Ld Inductancia del devanado a lo largo del eje d lii Inductancia propia del devanado i, i={a, b, c, f, dr, qr} Lii0 Inductancia de magnetizacin del devanado i, i={a, b, c, f, dr, qr} Liil Inductancia de dispersin del devanado i, i={a, b, c, f, dr, qr} lij Inductancia mutua entre los devanados i y j Lq Inductancia del devanado a lo largo del eje q Lrr Matriz de inductancias del rotor Ls Inductancia sncrona Lsr Matriz de inductancias mutuas estator rotor Lss Matriz de inductancias del estator m Masa del brazo np Nmero de pares de polos Ns Nmero efectivo de vueltas por fase del devanado del estator P Nmero de polos P Potencia real Pd y Pq Permeancias magnticas a lo largo de los ejes d y q del rotor Pem Potencia electromagntica PR Prdidas en las resistencias Q Potencia reactiva q Coordenadas generalizadas qe Coordenadas generalizadas del subsistema elctrico, carga elctrica qm Coordenada generalizada del subsistema mecnico, posicin mecnica q Velocidades generalizadas

eq Velocidades generalizadas del subsistema elctrico, corriente elctrica mq Velocidad generalizada del subsistema mecnico, velocidad mecnica rq Velocidad de referencia

Re Matriz de resistencias elctricas rf Resistencia del devanado de campo rs Resistencia de los devanados del estator rdr Resistencia del devanado de amortiguacin a lo largo del eje d rqr Resistencia del devanado de amortiguacin a lo largo del eje q S Potencia aparente s Error combinado de seguimiento T* Coenerga cintica u Vector de control V Energa potencial va, vb, vc Voltajes aplicados a los devanados de las fases a, b y c del estator vf Voltaje aplicado al devanado de campo XC=-j/C Reactancia capacitiva XL=jL Reactancia inductiva Xs Reactancia sncrona

iv

a, b, c Subndice, indica variables trifsicas del estator f Subndice, indica variables de campo dr y qr Subndice, indica variables de los devanados amortiguadores e Subndice, indica subsistema elctrico m Subndice, indica subsistema mecnico dq0 Subndice, indica variables en el nuevo MR r Superndice, indica marco de referencia fijo al rotor Indica error de una variable, valor real valor deseado CA Corriente alterna CD Corriente directa E-L Euler Lagrange MR Marco de referencia MS Motor sncrono PI Proporcional Integral

v

RESUMEN Este trabajo de tesis trata sobre el diseo de controladores no lineales basado en pasividad del motor sncrono de imanes permanentes y con devanado de campo. El objetivo del control es lograr el seguimiento de la trayectoria (posicin y velocidad) de referencia de una carga mecnica dada (brazo rgido de un grado de libertad). Aunque en la literatura tcnica existe informacin acerca del anlisis del motor sncrono, no es fcil encontrar un tratamiento completo que incluya modelado, operacin y diseo de controladores. Por otro lado, los trabajos que abordan el diseo de controladores usualmente tratan slo el motor sncrono de imanes permanentes. En este trabajo se contemplan el anlisis de la operacin y el control del motor sncrono tanto de imanes permanentes como con devanado de campo. El modelado se obtiene usando la formulacin basada en funciones de energa (metodologa Euler Lagrange) ya que es la ms adecuada para el diseo de controladores basados en pasividad, el cual presenta ventajas respecto a otras tcnicas de control (escalar y vectorial). Para facilitar el diseo se utilizan herramientas como la transformacin de 3 a 2 fases (Teora de Marco de Referencia), y propiedades estructurales del sistema como son la descomposicin del sistema completo en dos subsistemas pasivos. El diseo del controlador se basa en el anlisis de Lyapunov y se garantiza el seguimiento de trayectoria, la convergencia del estado a los valores deseados y el acotamiento de las seales del sistema. Finalmente se hace un anlisis comparativo del desempeo de los controladores basados en pasividad con respecto de controladores basados en campo orientado (comnmente usados en la industria) y se observa que es mejor el desempeo de los controladores basados en pasividad.

vi

Captulo 1

INTRODUCCIN Los motores de corriente directa (CD) se han usado en aplicaciones de alto desempeo donde se requiere un seguimiento exacto de una trayectoria (posicin y velocidad). Esto se debe que su control es relativamente simple. Sin embargo estos motores tienen varias desventajas, a saber: son caros, se tienen problemas con su conmutador mecnico, requieren un mantenimiento regular, entre otras. Los motores de corriente alterna (CA) no tienen las desventajas asociadas a los motores de CD. Sin embargo la dinmica de los motores de CA presenta no linealidades significativas, lo cual dificulta la tarea de control para aplicaciones de alto desempeo dinmico. En la actualidad los avances en la electrnica de potencia, los microprocesadores y la teora de control no lineal, han permitido el desarrollo de sistemas de control de velocidad para motores de CA. As, en la actualidad se utilizan motores de CA en un gran nmero de aplicaciones antes exclusivas de los motores de CD. Dentro de los motores de CA se encuentran el motor sncrono (MS), en el cual el devanado de estator es semejante al del motor de induccin. Sin embargo, el rotor del MS es diferente al del motor de induccin. Existen varios tipos de MS entre los cuales se encuentran: el MS de imanes permanentes y el MS con devanado de campo. El MS de imanes permanentes tiene montados imanes en su rotor. El MS con devanado de campo cuenta con un devanado inductor en el rotor para generar el campo magntico principal del motor. El devanado de campo se alimenta con una fuente de CD por medio de un par de anillos deslizantes y un juego de escobillas.

1

Captulo 1. Introduccin

1.1 Estado del arte Dentro de la revisin del estado del arte se exploraron los siguientes temas: Funcionamiento del motor sncrono en estado estacionario. Existen varios libros donde se tratan las caractersticas del funcionamiento del MS entre los cuales se revisaron los siguientes: [Chapman, 1995], [Sen, 1989], [Fitzgerald, 1996] y [Kosow, 1991]. En estos textos se presenta el anlisis en estado estacionario del MS, destacando aspectos constructivos y de operacin. El anlisis dinmico completo, incluyendo el transitorio, prcticamente no se trata en estos libros. Modelado del motor sncrono. El modelado del MS para el anlisis dinmico completo y diseo de controladores, se trata en [Krause, 1995], [Lishevsky, 2000], [Kundur, 1994] y [Ong, 1998]. En estos se obtiene el modelo del motor empleando el mtodo tradicional de modelado el cual utiliza el anlisis de mallas para el subsistema elctrico, y la segunda ley de Newton para el subsistema mecnico. En [Lishevsky, 2000] adems se obtiene el modelo del MS de imanes permanentes mediante la ecuacin de Euler Lagrange (E-L). En [Ortega, 1998], [Nicklasson, 1994] y [Nicklasson, 1997] se presenta la metodologa para la obtencin del modelo matemtico de la mquina elctrica en general usando la ecuacin de E-L. Esta metodologa se puede aplicar para varias mquinas elctricas de CA prcticas, entre las cuales se encuentra la mquina sncrona. Es ms comn encontrar en artculos el modelo del MS de imanes permanentes [Petrovic, 2001], [Shouse, 1998] que el del MS con devanado de campo. Esto se debe principalmente a la ventaja del MS de imanes permanentes de que su rotor no necesita conexin al exterior, sin embargo debido a que los flujos producidos por los imanes permanentes son dbiles, este tipo de motores slo se usa para aplicaciones de baja y media potencia. Teora del marco de referencia (MR). La teora del MR se utiliza ampliamente en el anlisis de mquinas elctricas de CA y diseo de sus controladores. Existen diferentes marcos de referencia que se emplean comnmente, cada uno con sus caractersticas particulares, la eleccin del MR a usar depender de las necesidades de la aplicacin. Sin embargo todas las transformaciones se pueden ver como una sola, como se describe en [Krause, 1995]. Controladores tradicionales de motores de CA. Entre los controladores que comnmente se emplean para motores de CA se encuentran el control escalar y el control vectorial (tambin llamado control basado en campo orientado), estas tcnicas de control se describen en [Bose, 1986].

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Diseo de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor sncrono

El control escalar consiste en la linealizacin del modelo del motor en un punto de operacin; este control tiene la ventaja de poder aplicar las tcnicas de control lineal. Entre los mtodos de control escalar se encuentran el control Voltaje/frecuencia constante. El control vectorial es una estrategia utilizada ampliamente en la actualidad, el cual tiene sus inicios en los 70s en [Blachke, 1972]. Esta tcnica de control se describe de manera clara en [Vas, 1990]. Esta tcnica consiste en obtener, mediante una transformacin adecuada, una expresin para el par similar a la del motor de CD de excitacin separada, logrando con esto que se tenga un control desacoplado de las variables flujo y par. La transformacin se puede hacer al MR orientado al flujo del estator, al flujo del rotor o al flujo de magnetizacin del motor (resultante de la suma de los flujos del estator y del rotor). Control basado en pasividad. En [Ortega, 1997] se presenta de una manera introductoria la tcnica de control basado en pasividad para sistemas no lineales en general. Para el control basado en pasividad de mquinas elctricas de CA existen varios artculos para el control de velocidad del motor de induccin [Seleme, 1999], [Bekkouche, 1998]. La metodologa de diseo para el control basado en pasividad para mquinas de CA en general se presenta en [Ortega, 1998], [Nicklasson, 1994] y [Nicklasson, 1997].

1.2 Planteamiento del problema En la bibliografa existe menos informacin sobre el modelado y diseo de controladores para el MS que para el motor de induccin. Es por esto que en este trabajo se plantea el modelado y el diseo de un par de controladores, control basado en campo orientado (control vectorial) y control basado en pasividad, para dos tipos de motores sncronos, el MS de imanes permanentes y el MS con devanado de campo. El problema de control se describe en el siguiente prrafo. Se desea que el MS (de imanes permanentes y con devanado de campo) siga una trayectoria de referencia teniendo un brazo rgido de un grado de libertad acoplado a su eje. La trayectoria de referencia es una funcin suave y acotada con primera, segunda y tercera derivadas con respecto al tiempo conocidas y acotadas. Bajo estas condiciones se disear una ley de control que asegure el seguimiento de la velocidad de referencia. Se asume que las corrientes de los devanados, la posicin, la velocidad y el par electromagntico estn disponibles para medicin. Adems, se considera que todos los parmetros del motor se conocen y son constantes.

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1.3 Justificacin Los avances en la teora de control, la electrnica de potencia y la electrnica digital, aunados a las exigencias de las nuevas aplicaciones para los motores de CA, han motivado reexaminar los esquemas de control usados tradicionalmente para los motores de CA. Actualmente se estn utilizando nuevas metodologas de control para cumplir con desempeos ms exigentes del MS o con la finalidad de optimizar su funcionamiento, se han aplicado diversos tipos de control no lineal, control adaptable y control inteligente. El control basado en pasividad se ha empleado para controlar diversos tipos de sistemas fsicos con muy buenos resultados, ahora se pretende emplear este tipo de control en un MS. En este sentido, es posible mejorar el desempeo del MS al utilizar tcnicas de control no lineal. En el Cenidet existen trabajos previos sobre el control de motores de induccin [Mndez, 2001] y [Corts, 2002]. Ahora se aborda el control del MS de imanes permanentes y el del MS con devanado de campo.

1.4 Alcance Los alcances de este trabajo de tesis son:

1. Analizar el desempeo del MS en estado estacionario, 2. Obtener los modelos de los MS de imanes permanentes y con devanado de campo, 3. Disear un controlador vectorial del MS, 4. Disear un controlador basado en pasividad del MS, 5. Analizar el desempeo de los controladores mediante simulacin, y 6. Realizar un anlisis comparativo de los desempeos de los controladores diseados.

1.5 Aportacin Este primer trabajo en Cenidet sobre motores sncronos podr servir de base para futuros trabajos sobre este motor. Como aportaciones de la tesis se destacan:

El anlisis de funcionamiento del MS en estado estacionario, resaltando aspectos importantes del funcionamiento del motor. Para facilitar este anlisis se realizaron programas amigables con el usuario. Estos programas cuentan con una interfaz

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grfica lo cual facilita la modificacin de los datos introducidos por el usuario, y permite ejecutar el programa repetidamente con slo hacer clic sobre un botn. En particular el programa desarrollado para el anlisis en estado estacionario determina, empleando las ecuaciones que describen el comportamiento del motor en estado estacionario presentadas en el captulo 2, la condicin de operacin del MS por medio de datos relevantes que solicita al usuario (voltaje aplicado, parmetros del motor, potencia demandada por la carga, etc.) y los resultados entregados son: la corriente en los devanados, el voltaje generado, ngulo de potencia, etc., y lo ms importante informa si el motor est operando en la regin estable o si se ha perdido el sincronismo, como se ver en el captulo 2.

El desarrollo de un programa que facilita las transformaciones a distintos marcos de

referencias (MR). Aunque la teora del MR est bien desarrollada en [Krause, 1995] este programa desarrollado permite en forma amigable, usando una interfaz grfica, transformar variables trifsicas y una carga RL a cualquier MR lo que lo hace muy verstil.

La obtencin del modelo del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de

campo en el MR fijo al rotor, usando tanto el mtodo tradicional como la formulacin basada en la ecuacin de E-L. Los modelos del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor no se encontraron en la bibliografa, por tanto son una contribucin del trabajo de tesis.

El desarrollo de un controlador no lineal basado en pasividad del MS. Aunque esta

tcnica de control est bien estudiada, se ha aplicado principalmente al motor de induccin, aqu se aplica al MS. Por otro lado la metodologa empleada asegura el seguimiento de velocidad y como resultados adicionales se tiene el seguimiento de posicin y de par, como se ver en el captulo 5.

Un anlisis comparativo del desempeo de los controladores diseados para el MS,

es decir del controlador vectorial, que tradicionalmente se empela para motores de CA, y del control basado en pasividad. Con base en este anlisis comparativo se concluye que el control basado en pasividad tiene un mejor desempeo que el control vectorial.

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1.6 Organizacin del trabajo de tesis El trabajo de tesis de ha estructurado de la siguiente manera: En el captulo 2 se presenta una descripcin terica de los aspectos constructivos del MS, continuando con los aspectos ms relevantes del funcionamiento del motor en estado estacionario. Se determina el circuito equivalente monofsico del motor el cual es de gran utilidad en el anlisis del MS en estado estacionario. Adems, se analiza la potencia en el MS, y finalmente se presenta la forma en como el MS cambia su factor de potencia. El captulo 3 se dedica a la obtencin del modelo trifsico del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo. Para esto se usa la tcnica tradicional y tambin se describe brevemente el mtodo de modelado basado en la ecuacin de E-L para posteriormente obtener los modelos empleando este ltimo mtodo. A partir del modelo trifsico se obtiene, mediante una transformacin, un modelo para cada motor en el MR fijo al rotor, y en este mismo captulo se obtiene el modelo de la carga mecnica. Tambin se simula la operacin de cada motor en lazo abierto usando Matlab / simulink. En el captulo 4 se disea un controlador de velocidad basado en campo orientado para cada motor, MS de imanes permanentes y MS con devanado de campo. Se da una descripcin de la tcnica de control a emplear, se disea el controlador vectorial orientado al flujo del estator para cada motor. En este mismo captulo se presenta la referencia a seguir para todos los controladores de este trabajo y al final se presentan las simulaciones del desempeo del controlador. En el captulo 5 se presenta el diseo del controlador basado en pasividad para ambos motores, se muestran las simulaciones de la operacin del controlador. Y al final del captulo se presenta el anlisis de estabilidad para demostrar la convergencia de los errores a cero. Para concluir con el trabajo de tesis en el captulo 6 se hace un anlisis comparativo del desempeo de los controladores diseados y se dan las conclusiones del trabajo. Al final se presenta la bibliografa que sirvi de base para la realizacin del trabajo y los Apndices que complementan el trabajo. En el Apndice A se presenta la determinacin de los elementos de la matriz de inductancias y en el Apndice B se dan las instrucciones para el uso de los programas desarrollados a lo largo del trabajo.

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Captulo 2

ANLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO DEL MOTOR SNCRONO Un motor sncrono (MS) es un motor de corriente alterna (CA) que tiene como caracterstica principal que su velocidad es proporcional a la frecuencia del voltaje aplicado a su estator [Fitzgerald, 1996]. La velocidad a la cual gira el rotor del MS es igual a la del campo magntico giratorio generado por el estator la cual se llama de sincronismo, de aqu el nombre que se le da al motor. Existen varios tipos de motores sncronos entre los cuales se encuentran: el MS de imanes permanentes y el MS con devanado de campo [Lyshevski, 2000]. En este captulo se analiza las principales caractersticas constructivas y de operacin en estado estacionario del MS trifsico.

2.1 Construccin y operacin del motor sncrono El MS est formado esencialmente por una parte fija llamada estator y una giratoria llamada rotor. Entre estas dos partes se encuentra un pequeo espacio de aire que se conoce como entrehierro. En las ranuras del estator se encuentra distribuido el devanado de armadura trifsico, y en el rotor, segn el tipo de motor, se encuentra el devanado de campo o imanes permanentes.

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Captulo 2. Anlisis en estado estacionario del motor sncrono

En la figura 2.1 se muestra un diagrama de la distribucin de los devanados del estator (a, b, c) y de campo (f ) del MS de rotor cilndrico. En esta representacin se considera que la mquina es de dos polos y que sus devanados estn concentrados en una sola bobina cada uno, aunque en la prctica los devanados se encuentran distribuidos sinusoidalmente en la periferia del estator. En la figura tambin se indican las direcciones de los ejes magnticos de las tres fases del estator y el eje magntico del rotor. Los devanados del estator estn distribuidos de manera que sus ejes magnticos estn desplazados entre si 2/3 radianes elctricos. Las cruces en el diagrama indican que las corrientes entran por esos extremos de las bobinas y salen por los extremos marcados con un punto.

Eje de lafase c

Eje de lafase a

Eje de lafase b Eje del

rotor

a'

a

b

b'

c

c'

f'

f ee

Figura 2.1 Seccin transversal del MS con devanado de campo.

El movimiento giratorio del rotor est caracterizado por el desplazamiento angular elctrico e y la velocidad angular elctrica e del rotor. Los voltajes aplicados a los devanados de armadura son generalmente mucho mayores que los del devanado de campo, debido a esto es preferible tener el devanado de armadura fijo para facilitar las conexiones. El devanado de armadura se alimenta con CA trifsica, mientras que el devanado de campo se alimenta con corriente directa (CD). En el caso del MS con devanado de campo la alimentacin del rotor se hace generalmente mediante un sistema de dos anillos deslizantes montados sobre el eje y aislados elctricamente. La corriente de campo se lleva al rotor a travs de un juego de escobillas que hacen contacto sobre los anillos deslizantes. El rotor del MS puede ser cilndrico o de polos salientes. El devanado de armadura al ser alimentado con CA trifsica genera un campo magntico giratorio de magnitud constante [Kundur, 1994]. La velocidad de este campo magntico giratorio en revoluciones por minuto (rpm) est dada por:

120 ,sf

P = (2.1)

8


donde: f = Frecuencia elctrica (Hz)

s = velocidad del campo magntico (rpm) P = nmero de polos

En estado estacionario el rotor del motor gira a esta misma velocidad. Como se observa en (2.1), la velocidad depende de la frecuencia del voltaje aplicado a los devanados del estator y del nmero de polos, y no del tipo de carga mecnica que mueve. Ya que el nmero de polos por construccin es fijo, si la frecuencia del voltaje de armadura se mantiene constante la velocidad del motor en estado estacionario ser constante desde su operacin en vaco hasta la potencia mxima. Si el motor se carga ms all de la potencia mxima admisible entra en la regin de operacin inestable y el motor pierde el sincronismo; esta situacin es indeseable. Los motores sncronos pueden tener uno o varios pares de polos. Los motores sncronos con pocos pares de polos son de velocidades altas, mientras que los de un gran nmero de pares de polos son de baja velocidad. El devanado de campo se distribuye de tal manera que se alternen magnticamente las polaridades norte y sur en el rotor. Algunos anlisis en este trabajo de tesis se hacen para un motor con un nico par de polos, sin embargo los resultados pueden extrapolarse a motores con ms de un par de polos. Cuando el nmero de pares de polos np es diferente de uno, el desplazamiento angular elctrico e, no es igual al desplazamiento angular mecnico del motor m, sin embargo estos estn relacionados mediante Esta ltima expresin es muy importante ya que generalmente el valor que se puede medir es el desplazamiento mecnico

.e pn = mm y en el

modelo del subsistema elctrico el que interviene es el desplazamiento elctrico e. Una de las principales caractersticas del MS con devanado de campo es el poder operar con distintos factores de potencia, a diferencia del motor de induccin tipo jaula de ardilla que opera invariablemente en retraso. As se puede tener un MS funcionando con factor de potencia en atraso, adelanto o unitario. El factor de potencia al cual opera el motor se puede modificar variando el voltaje de CD aplicado al devanado de campo. Por otro lado el par neto de arranque del MS es cero. Por lo tanto se necesita en el arranque de algn otro medio para acelerar al motor desde el reposo hasta una velocidad cercana a la de sincronismo. Una solucin bastante empleada para resolver este problema, es agregar devanados de amortiguamiento en el rotor [Chapman, 1995].

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2.2 Determinacin del circuito equivalente del motor sncrono Para analizar el funcionamiento del MS en estado estacionario se emplea frecuentemente un circuito equivalente, esta seccin est dedicada a la determinacin de dicho circuito para un MS de rotor cilndrico. El devanado trifsico de armadura puede conectarse en estrella o en delta. Independientemente de la conexin cada devanado se representa por una resistencia y una inductancia, como se muestra en la figura 2.2. Los devanados del estator por ser simtricos tienen igual resistencia, rs, y el devanado del rotor tiene una resistencia rf. ia, ib, ic e if son las corrientes en los devanados y va, vb, vc y vf son los voltajes aplicados a cada fase del estator.

e

Rotor Estator

vb

va

i b

i a

vci c

rs

lbbrs

rs

laa

lccvf

ifrf

l ff

Figura 2.2 Devanados del estator y del rotor del MS.

Los enlaces de flujo de los devanados de armadura y de campo estn dados por las siguientes ecuaciones [Fitzgerald, 1996]:

(2.2)

,

,

,

.

a aa a ab b ac c af f

b ba a bb b bc c bf f

c ca a cb b cc c cf f

f fa a fb b fc c ff f

l i l i l i l il i l i l i l il i l i l i l il i l i l i l i

= + + += + + += + + += + + +

Donde a, b, c y f son los enlaces de flujo correspondientes a cada uno de los devanados y l son inductancias que pueden ser dependientes del ngulo e entre los ejes magnticos de la fase a y del rotor. Si los subndices de las inductancias son iguales indican que son inductancias propias y si son diferentes indican que es una inductancia mutua entre los dos devanados indicados por los subndices. As, la inductancia mutua lij es la inductancia del devanado de la fase i, debida a la corriente ij del devanado de la fase j.

10


Las inductancias propias de los devanados de armadura y campo, constan de dos componentes, una llamada de dispersin, debida precisamente al flujo disperso en el propio devanado y la otra llamada de magnetizacin, debida a la componente del flujo de magnetizacin causada por ese devanado. As para el devanado del rotor tenemos que su inductancia propia se descompone de la siguiente manera: (2.3) 0.ff ff ffl ffl L L L= = + En (2.3) Lffl es la componente de dispersin y Lff0 es la componente de magnetizacin. Dichas componentes son independientes del tiempo. El empleo de la letra L indica que la inductancia es independiente de e. En el estator debido a la construccin simtrica de sus devanados las inductancias propias son de igual valor y estn dadas por: (2.4) 0.aa bb cc aa aal aal l l L L L= = = = + En cuanto a las inductancias mutuas, estas se encuentran en funcin del coseno del ngulo entre los ejes magnticos de los devanados involucrados. Por tanto las inductancias mutuas entre los devanados del estator son de valor constante, ya que el ngulo entre los ejes magnticos de dos devanados cualesquiera del estator es fijo e igual a 2/3 radianes elctricos. Por la simetra de construccin del estator del MS, las inductancias mutuas entre los devanados del estator son iguales a:

02 1cos .3 2ab bc ac ba cb ca aa aa

l l l l L L = = = = = = = 0l l (2.5) Las inductancias mutuas entre un devanado del estator y el devanado del rotor son variantes. Estas dependen del coseno del ngulo entre los ejes magnticos del rotor y del devanado correspondiente. Las ecuaciones de estas inductancias se expresan en funcin del ngulo e. Para las fases b y c se resta 2/3 y 4/3 al ngulo e respectivamente.

cos ,

2cos - ,34cos - .3

af fa af e

bf fb af e

cf fc af e

l l L

l l L

l l L

= = = = = =

(2.6)

11


Ahora los enlaces de flujo para el devanado de la fase a del estator, sustituyendo en (2.2) las expresiones halladas para las distintas inductancias, se pueden expresar como:

0 01( ) ( ) (cos2a aal aa a aa b c af e f

L L i L i i L i = + + + + ) . (2.7) Si el devanado del estator se alimenta con un voltaje trifsico balanceado como el que se muestra en la figura 2.3, se cumple con es decir, la suma de los voltajes en cualquier instante de tiempo ser igual a cero.

0,a b cv v v+ + =

Tiempo

0

Vm

-Vm

va vb vc

Figura 2.3 Sistema de voltajes trifsicos balanceados

Este sistema de voltajes est dado por las siguientes ecuaciones:

cos( ),2cos ,34cos ,3

a m e

b m e

c m e

v V t

v V t

v V t

= = =

(2.8)

donde Vm es la amplitud mxima de estos voltajes. Los devanados del estator del MS se pueden considerar una carga trifsica balanceada. Por tanto, si estos voltajes (2.8) se aplican a los devanados las corrientes que circulen por dichos devanados cumplirn con: i i (2.9) 0.a b ci+ + =

12


Estas corrientes en estado estacionario tendrn la forma siguiente:

cos( ),2cos ,34cos ,3

a m e

b m e

c m e

i I t

i I t

i I t

= = =

(2.10)

donde Im es la amplitud mxima de las corrientes y es el ngulo cuyo coseno es el factor de potencia al cual opera el motor. A partir de la ecuacin (2.9), podemos decir que i i Sustituyendo esta ltima igualdad en la expresin dada para los enlaces de flujo de la fase a (2.7),

( ).a b i= + c

03 (cos ) .2a aa aal a af e f

L L i L i = + + (2.11) De manera similar se pueden llegar a las siguientes expresiones para los enlaces de flujo de las fases b y c:

0

0

3 2cos ,2 33 2cos .2 3

b aa aal b af e

c aa aal c af e f

L L i L i

L L i L i

= + + = + +

f

(2.12)

El voltaje v aplicado a cualquier devanado, es igual a la cada en la resistencia ms la variacin en el tiempo de los enlaces de flujo,

.dv ridt= + (2.13)

Por tanto el voltaje en la fase a es igual a:

( 03 cos .2a aa s a s a aao aal af f e ed di dv r i r i L L L i tdt dt dt = + = + + + + ) (2.14)

13


En esta ltima ecuacin se sustituy e por et+e0, ya que la velocidad en estado estacionario es constante e igual a e, y e0 es el desplazamiento inicial del rotor. Se considera que la corriente de campo if es constante. Evaluando la derivada de la derecha:

( 03 sin .2a aa s a s a aao aal af f e e ed dii r i L L L i tdt dt = + = + + + )v r (2.15)

De aqu podemos ver que el voltaje en el devanado de la fase a se compone de tres partes: La primera es la cada de voltaje en la resistencia. La segunda es el voltaje en la inductancia efectiva de la fase a en condiciones trifsicas balanceadas, tal inductancia se define como inductancia sncrona [Sen, 1989], la cual est dada por:

03 .2s aa aal

L L L= + (2.16) Y la ltima es un voltaje generado por el movimiento del rotor, y cuyo valor mximo est en funcin de la velocidad angular e del rotor y del valor de la corriente de campo if. A este voltaje lo podemos llamar eag, el cual es igual a:

( )0sin cos .2ag af f e e e af f e e ee L i t L i t = + = + + 0 (2.17)

As el circuito equivalente para la fase a se presenta en la figura 2.4.

Ra Ls

eagv a

+

_

+_

ia

Figura 2.4 Circuito equivalente de la fase a.

Circuitos similares se obtienen para las fases b y c, considerando los defasamientos del voltaje aplicado, la corriente por el devanado y el voltaje generado de -2/3 y 2/3, respectivamente. Por lo que se acostumbra analizar una sola fase, ya que los resultados pueden ser fcilmente extrapolados a las otras dos fases. El circuito de la figura 2.4 comnmente se le llama circuito equivalente monofsico del MS.

14


2.3 Operacin del motor sncrono en estado estacionario Cuando se tiene un circuito elctrico lineal operando en estado permanente donde sus fuentes de voltaje o corriente son de una frecuencia nica, toda corriente o voltaje en el circuito se puede determinar completamente por su amplitud mxima y su ngulo de fase [Fitzgerald, 1996]. El concepto de fasor nos ayuda a representar una funcin senoidal por medio de un nmero complejo en forma polar. As por ejemplo los voltajes descritos por (2.8) podramos describirlos por los siguientes nmeros complejos:

0,2 ,34 .3

a m

b m

c m

V V

V V

= =

=

V V (2.18)

Las letras maysculas y el smbolo ^ indican que las variables son fasores. Sabiendo con anterioridad que la frecuencia de todos estos voltajes es e, (2.18) nos da la misma informacin acerca de los voltajes que su expresin en el tiempo (2.8). A la representacin dada en (2.8) se le llama representacin en el dominio del tiempo, y los llamados fasores (2.18) se les llama representacin en el dominio de la frecuencia. Adems de simplificar la representacin de seales senoidales, esta representacin fasorial simplifica en gran medida el anlisis de estos circuitos. Para realizar la transformacin a fasores de las corrientes y enlaces de flujo se sigue un procedimiento similar al de los voltajes. Tambin existe una transformacin para los elementos pasivos resistencia R, inductor L y capacitor C. Las resistencias pasan igual al hacer la transformacin del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa. Un inductor L al pasar al dominio de la frecuencia como XL=L, lo que se conoce como reactancia inductiva. Un capacitor C al pasa al dominio de la frecuencia como XC=-1/C, que es la reactancia capacitiva. Ambas reactancias, inductiva y capacitiva, cumplen con

, donde V e son el voltaje y la corriente en el elemento, ambos en el dominio de la frecuencia. V XI= I Para obtener una representacin grfica de los voltajes y corrientes en un circuito se emplean los diagramas fasoriales. Un diagrama fasorial es una grfica en el plano complejo de los voltajes y las corrientes. El diagrama fasorial de los voltajes (2.8) y corrientes (2.10) trifsicos balanceados del motor se muestra en la figura 2.5, se observa que el valor mximo de los 3 voltajes es igual y que el defasamiento entre uno de los voltajes con los otros dos es de 2/3. Estas dos condiciones anteriores se cumplen tambin para las corrientes.

15


Va

Vb

Vce

Ia

Ic

Ib

23

23

23

^

^

^^

^

^

Figura 2.5. Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes trifsicos balanceados.

En la figura 2.6 se muestra el circuito equivalente monofsico del MS en el dominio de la frecuencia, este circuito se emplea para estudiar el comportamiento en estado estacionario del MS.

Ra jXs

EagVa

+

_

+_

Ia

^

^

^

Figura 2.6 Circuito equivalente monofsico del MS en el dominio de la frecuencia

Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff al circuito anterior obtenemos la siguiente ecuacin: V R (2.19) ,a a a s a aI jX I E= + + g

donde Xs es la reactancia sncrona, la cual es igual a eLs. El diagrama fasorial correspondiente a esta ecuacin se presenta en la figura 2.7.

Va

Ia

Eag RaI a

jXsI a

^

^

^

^^

Figura 2.7 Diagrama fasorial del motor sncrono.

16


El ngulo entre los fasores V y se llama ngulo de potencia debido a que est relacionado con la potencia (y el par) que desarrolla el MS.

a

agE

2.3.1 Anlisis de potencia en el motor sncrono

La principal funcin del MS es la conversin de potencia elctrica en potencia mecnica. En este proceso se presentan distintos fenmenos de prdida de potencia. La potencia elctrica de entrada es principalmente la potencia en el devanado trifsico de armadura, ya que la potencia del devanado de campo es prcticamente despreciable por ser muy pequea comparada con la potencia en el devanado de armadura. En la figura 2.8 se muestra el diagrama de flujo de potencia del MS.

Potenciade entrada

Prdidas enla resistencia

Prdidas enel ncleo

Prdidasmecnicas

Potenciaelectromagntica

Potenciade salida

Figura 2.8. Diagrama de flujo de potencia.

Las denominadas Prdidas en la resistencia son las que se presentan en las resistencias de los devanados de armadura en forma de calor, y estn dadas por: 23R aP I R= .a (2.20) Las Prdidas en el ncleo que son las prdidas por histresis y por corrientes parsitas que ocurren en el metal del motor. Al restar las prdidas en la resistencia y las prdidas en el ncleo a la potencia de entrada queda lo que se denomina Potencia electromagntica o tambin llamada potencia de conversin, y es precisamente la potencia que se transforma de elctrica a mecnica. Finalmente las Prdidas mecnicas estn relacionadas con las fricciones entre las partes mviles del motor y las fricciones con el aire. La potencia de salida es el resultado de restar el conjunto de todas las prdidas a la potencia de entrada.

17


Una vez definidas las distintas potencias en el motor, centremos nuestro inters en determinar la potencia electromagntica, ya que esta es la que se convierte de elctrica a mecnica. Para esto nos auxiliaremos del circuito equivalente monofsico. La potencia electromagntica se presenta en la fuente de voltaje generado, ya que como se defini es la potencia de entrada menos las prdidas en la resistencia y las prdidas en el ncleo, estas ltimas se consideran cero. Se agrega una representacin de la parte mecnica al circuito equivalente, como se muestra en la figura 2.9, con el objeto de representar la transformacin de potencia elctrica a mecnica en este elemento.

Ra jXs

Va

+

_

+

_

Ia

^

^

Eag^ em

Cargamecnica

Pem

Figura 2.9 Representacin de la parte elctrica y mecnica del MS

La potencia aparente en la fuente de voltaje generado es: (2.21) * .em ag aS E I= El * indica que es el conjugado de la corriente. La corriente que circula por este circuito se encuentra a partir de (2.19),

( ) ,aga ag za zaa s

EV E VI

R jX Z Z += = + (2.22)

donde 2 2a sZ R X= + y arctan sza

XR

= son la magnitud y la fase de la impedancia del MS, respectivamente.

18


Sustituyendo la expresin encontrada para la corriente (2.22) en la ecuacin de la potencia electromagntica aparente (2.21),

2

* ( ) .ag a agzem ag aE V E

S E IZ Z

= = z (2.23) Ya que de (2.23) podemos encontrar que la potencia electromagntica real y reactiva estn dadas por:

,em em emS P jQ= +

2

2

cos( ) cos ,

sin( ) sin .

ag a agem z z

ag a agem z z

E V EP

Z Z

E V EQ

Z Z

=

= (2.24)

Una simplificacin que se hace comnmente, ya que la resistencia de los devanados de armadura del MS es muy pequea comparada con la reactancia sncrona, es considerar la resistencia Ra igual a cero [Sen, 1989]. Tomando en cuenta esto sZ X= y . As, una expresin aproximada para la potencia electromagntica real es:

/ 2Z =

sin .ag aems

E VP

X= (2.25)

Es importante conocer el valor mximo de Pem que el MS puede desarrollar para determinar la regin estable de operacin. El valor mximo de esta potencia se alcanza cuando el ngulo es igual a /2 para el caso particular de . Para el caso donde se considera

el valor del ngulo de potencia se encontr calculando el mximo de P0aR =

0aR em (2.24) el cual resulto ser , este valor no se encontr en las referencias consultadas y por tanto se considera una aportacin de la tesis.

z =

Cabe sealar que esta potencia fue calculada en base a un circuito monofsico, para obtener la potencia total de un MS trifsico balanceado hay que multiplicar la potencia dada en (2.25) por 3,

,3 3 siag a

ems

E VP

X= n . (2.26)

19


El ngulo vara de acuerdo a la potencia demandada por la carga mecnica al motor. En la figura 2.10 se observa como vara la potencia de acuerdo al ngulo . A esta grfica se le llama curva de potencia. En esta curva se tienen dos secciones claramente definidas. En el primer cuadrante tenemos la operacin de la mquina sncrona como generador. En el tercer cuadrante tenemos la mquina sncrona operando como motor. Nuestro inters se centra en la operacin como motor. En la operacin como motor el ngulo de potencia siempre es negativo, es decir, el voltaje generado est retrasado respecto al voltaje en terminales.

/2

/2

Pem

Motor

Generador

Figura 2.10 Curva de potencia del MS.

La potencia electromagntica por ser la potencia que se convierte de elctrica a mecnica, es tambin igual a: (2.27) ,3 ,em m emP = em es el par producido por el motor. Este par se puede expresar en tambin como:

3 siag aemm s

E VX

= n . (2.28)

2.3.2 Modificacin del factor de potencia en el MS con devanado de campo

El factor de potencia del MS con devanado de campo se puede variar fcilmente con tan slo modificar la corriente del devanado del rotor [Chapman, 1995]. Esta es una caracterstica importante, ya que se puede emplear el motor para corregir el factor de potencia. La magnitud del voltaje generado por el MS es proporcional a la corriente de campo (2.17). Por tanto al variar la corriente de campo, vara a su vez la magnitud del voltaje generado.

20


Para mostrar como la corriente de campo afecta al factor de potencia, se suponen las siguientes condiciones:

La carga acoplada al motor es constante, La velocidad del motor en estado estacionario es constante, nicamente se vara la corriente del devanado de campo If.

Si la resistencia de armadura es considerada igual a cero, la potencia electromagntica es igual a la potencia de entrada, la cual es igual a: 3 cos .in a aP V I = (2.29) De aqu se puede ver que dado que la amplitud mxima del voltaje de alimentacin es constante en estado estacionario, para que la potencia sea constante |Ia|cos debe ser constante. A su vez de (2.26) vemos que si la potencia electromagntica es constante, como la amplitud mxima del voltaje de alimentacin es constante y la reactancia sncrona es constante, el trmino |Eag|sin debe ser constante. Para ver como cambia el factor de potencia en el MS, observemos la figura 2.11. Se considera que en un inicio el motor est operando con factor de potencia en retraso, y la corriente del devanado del estator es . Si se incrementa la corriente en el devanado de campo se incrementar la magnitud del voltaje generado, pero slo su componente horizontal, ya que su componente vertical es constante e igual a |E

1aI

ag|sin. Conforme se incrementa el voltaje generado la corriente de armadura comienza a decrecer hasta alcanzar un valor mnimo , y posteriormente empieza a aumentar. El factor de potencia que en un principio estaba en retraso (cos

2aI1) empieza a aumentar hasta llegar a la unidad (cos 2 =

cos 0 = 1) y posteriormente el factor de potencia es en adelanto (cos 3).

Va

Ia1Eag1

1

Eag2 Eag3

Ia2

Ia3

3

| I a |c os = c te .

|E a g |s in = c te .

^

^

^

^

^ ^ ^

Figura 2.11 Efecto del incremento en la corriente de campo.

21


La grfica del voltaje generado (o la corriente de campo) contra la corriente de armadura para 3 diferentes potencias, se presenta en la figura 2.12. A tal grfica se le conoce como curvas V, debido a su forma.

Eag

Ia

F.P. enatraso

F.P. enadelanto

Figura 2.12 Curvas V de un motor sncrono.

La curva inferior corresponde a la menor potencia y la superior a la mayor. A la izquierda del valor mnimo de corriente para cada grfica se encuentra la zona donde el MS est operando en atraso. Para el valor mnimo de corriente el motor est operando con factor de potencia unitario. Y a la derecha del valor mnimo de corriente el motor opera en adelanto. Cuando la corriente de campo es tal que el motor se encuentra operando en atraso se dice que est subexcitado y si el valor de corriente es tan grande que el factor de potencia es en adelanto, el motor se encuentra sobreexcitado.

2.4 Simulaciones Para ejemplificar el comportamiento del MS en estado estacionario se realizaron dos programas en Matlab. Estos programas son amigables con el usuario ya que su interfaz grfica permite cambiar en la pantalla los valores de los datos en forma sencilla por medio de un cuadro de texto y repetir la simulacin con slo hacer un click en un botn. Para estas simulaciones se consider un MS trifsico con los siguientes valores nominales: Voltaje entre lneas aplicado al motor 2300 V Frecuencia del voltaje aplicado 60 Hz Potencia 2000 h.p. Nmero de polos 30 Reactancia sncrona Xs 1.95 Resistencia de armadura Ra 0 Factor de potencia 1.0 Prdidas mecnicas 0 h.p.

22


El primer programa genera las curvas V de un MS. Los datos que se proporcionan al programa son el voltaje entre lneas que se aplica al MS y la potencia a la cual opera el motor, adems de la reactancia sncrona y la resistencia del devanado de armadura del motor. El programa realiza una grfica del voltaje generado vs. la corriente del estator. El programa despliega tres curvas correspondientes a tres diferentes potencias de salida 50% de la potencia nominal, la potencia nominal y 150% de la potencia nominal. En la figura 2.13 se muestran las grficas obtenidas al realizar esta simulacin.

Figura 2.13 Interfaz grfica del programa que genera curvas V de un MS.

El segundo programa calcula datos de importancia en la operacin en estado estacionario del MS como son [Fitzgerald, 1996]:

la velocidad del motor, la corriente de armadura, voltaje generado, ngulo de potencia , potencia mxima de salida, y el mximo par que tericamente puede proporcionar el motor.

Para esto es necesario proporcionar al programa datos del motor como son: voltaje de alimentacin, factor de potencia al cual opera, frecuencia de la alimentacin, potencia demandada a la salida, resistencia del devanado del estator Ra, reactancia sncrona Xs, el nmero de polos y las prdidas mecnicas del motor. El programa presenta dos grficas, una de la curva V del motor a la potencia de operacin y la curva de potencia. En ambas grficas se seala, por medio de un asterisco (*), el punto de operacin del MS. En la figura 2.14 se muestran los resultados que arroja este programa.

23


Figura 2.14 Interfaz del programa para la operacin en edo. estacionario del MS.

Un detalle que hay que observar es que para resistencias de armadura elevada, bajo factor de potencia, grandes prdidas mecnicas, etc., o una combinacin de factores pueden hacer que la potencia demandada a la salida sea mayor que la potencia mxima de salida. Para ejemplificar esto se modificaron los siguientes datos en el programa: la resistencia se elev de 0 a 1 , el factor de potencia se cambio a 0.8 en adelanto y las prdidas mecnicas se fijaron a 50 h.p. El programa calcula la potencia mxima de salida y la compara con la potencia demandada, y manda un mensaje de advertencia en caso de que la primera sea menor que la segunda, como se muestra en la figura 2.15.

Figura 2.15 Potencia mxima de salida del MS excedida.

24


Para ambos programas se considera una conexin en estrella de los devanados de armadura del MS. Esto no presenta muchas limitantes, ya que la mayora de los motores cuentan con este tipo de conexin, la conexin en delta prcticamente no se utiliza en motores sncronos. Si la potencia demandada al motor por la carga mecnica es mayor que potencia mxima que puede desarrollar el motor, como se ejemplifica, el motor entra a la regin inestable y se da la prdida de sincronismo, esto ocasiona que las corrientes en los devanados del estator se eleven, provocando un sobrecalentamiento en los devanados pudiendo llegar a daar al motor.

25

Captulo 3

MODELADO DEL MOTOR SNCRONO Existen diferentes tcnicas para la obtencin de modelos matemticos de sistemas fsicos; una de ellas consiste en aplicar las leyes de fuerzas correspondientes a la naturaleza del sistema, es decir, la segunda ley de Newton para sistemas mecnicos, leyes de Kirchhoff para sistemas elctricos, etc. Sin embargo este mtodo tradicional no es tan sencillo de aplicar a sistemas que contienen dinmicas de naturaleza energtica diferente, por ejemplo sistemas electromecnicos, ya que hay que determinar la interaccin entre las distintas dinmicas. En estos casos se utiliza otra tcnica de modelado que consiste en la aplicacin de tcnicas variacionales, entre las cuales se encuentra el modelado por medio de la ecuacin de EulerLagrange (E-L). En este captulo se presentan los modelos obtenidos para el motor sncrono (MS) con devanado de campo y el MS de imanes permanentes. Para ambos motores se obtuvo el modelo por medio del anlisis tradicional de circuitos elctricos y por medio de la ecuacin E-L. Adems se presentan las simulaciones de la operacin de cada motor en lazo abierto. A los modelos trifsicos obtenidos se transforman al marco de referencia (MR) fijo al rotor. En este captulo tambin se obtiene el modelo de la carga mecnica empleando la ecuacin de E-L.

27

Captulo 3. Modelado del motor sncrono

3.1 Modelado tradicional del motor sncrono En las siguientes subsecciones se presentan los modelos matemticos del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo utilizando el mtodo tradicional de modelado. Para encontrar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinmico de los motores se usan la segunda ley de Kirchhoff para la parte elctrica y la segunda ley de Newton para la parte mecnica.

3.1.1 Modelo trifsico del motor sncrono de imanes permanentes

Para la obtencin de este modelo se considera un MS trifsico de imanes permanentes, de dos polos, conectado en estrella [Lyshevski, 2000]. En la figura 3.1-b se muestran los circuitos involucrados en el anlisis del motor. Los devanados del estator se consideran idnticos, distribuidos en forma sinusoidal y desplazados entre si 2/3 radianes elctricos. Cada devanado tiene una resistencia elctrica rs y las inductancias propias de las fases a, b y c, son laa, lbb y lcc, respectivamente. El motor se alimenta por un sistema trifsico de voltajes balanceado, va, vb y vc, los cuales hacen circular por los devanados del estator un conjunto trifsico de corrientes, ia, ib e ic.

vb

va

ib

i a

vci c

rs

lbbrs

rs

l aa

lcc

a) b) Eje d

Carga

S

N

c'

c

b' b

a

em Lm B

,e

a'

e

Eje de lfase

ab

Eje de laa

Eje q e0 +t e =e

fase

Eje de l fase

ac

Figura 3.1 MS de imanes permanentes: a) diagrama esquemtico, y b) diagrama elctrico de los circuitos del estator.

Usando el mtodo tradicional de anlisis de circuitos elctricos, las ecuaciones del subsistema elctrico se pueden encontrar a partir de los circuitos magnticamente acoplados que se muestran en la figura 3.1-b.

28


Usando la segunda ley de Kirchhoff para los devanados del estator, resultan las siguientes ecuaciones diferenciales:

,

,

.

aa s a

bb s b

cc s c

dv r i

dtd

idt

dv r i

dt

= +

= +

= +

v r (3.1)

Estas ltimas ecuaciones se pueden expresar en forma matricial como:

,edIdt

= + V R (3.2) donde

V v (3.3)

[ ][[ ][ ]

, , ,

,

,

.

e s s s

Ta b c

Ta b c

Ta b c

R diag r r r

v v

I i i i

===

=

]

m

Considerando circuitos magnticos lineales los enlaces de flujo de los devanados del estator a, b y c estn dados por,

(3.4) ,a a

b ss b

c c

iL i

i

= + donde Lss es la matriz de inductancias del estator, tiene dimensiones 3 x 3 (sus elementos se determinan en el Apndice A), y m son los flujo debidos a los imanes permanentes, este es un vector columna de 3 elementos. Los enlaces de flujo del estator pueden ser arreglados en forma matricial. (3.5) ,ss mL I = +

29


Para obtener el modelo del subsistema elctrico del motor se sustituye (3.5) en (3.2), y se despeja el vector de derivadas de las corrientes con respecto al tiempo; acomodando trminos se obtiene:

1 1 1 .ss mss e ss ss ssdI dL dL R I L I L L Vdt dt dt

= + 1 (3.6)

El estado del subsistema elctrico est formado por las corrientes de estator ia, ib e ic. En el subsistema mecnico el par electromagntico generado internamente por el motor equilibra los pares de oposicin como son el par de friccin, el par inercial y el par de la carga. Usando la segunda ley de Newton obtenemos las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento mecnico del motor,

,

,

mem m L

mm

dB Jdt

ddt

= + +

=

(3.7)

donde:

em es el par electromagntico generado por el motor, L es el par de la carga, B es el coeficiente de friccin viscosa del motor, J es la inercia rotacional del rotor.

En el subsistema mecnico el estado est formado por la velocidad m y la posicin m mecnica del motor. Las ecuaciones diferenciales (3.6) y (3.7) describen matemticamente el comportamiento de las partes elctrica y mecnica del MS de imanes permanentes.

3.1.2 Modelo trifsico del motor sncrono con devanado de campo

Los devanados del estator del MS con devanado de campo estn desplazados 2/3 radianes elctricos, son idnticos y estn sinusoidalmente distribuidos. En la figura 3.2 se muestran los circuitos involucrados en el anlisis del MS [Kundur, 1994]. Los circuitos del estator consisten de un devanado trifsico que se alimenta con corriente alterna (CA). El circuito del rotor consta de un devanado de campo y adems se consideran los devanados de amortiguamiento cuyo propsito es permitir el arranque del motor. El devanado de campo

30


se conecta a una fuente de corriente directa (CD). Para propsitos de anlisis se asume que las corrientes en los devanados de amortiguamiento fluyen en dos circuitos cerrados: uno cuyo flujo est en lnea con el que produce el devanado de campo, a lo largo del eje d; y otro cuyo flujo est en ngulo recto con el producido por el devanado de campo, a lo largo del eje q. Los ejes d y q estn fijos al rotor.

Eje de lafase a

e

Eje q

Eje d

e

Rotor Estator

vb

va

i b

i a

vci c

r s

lbbr s

r s

laa

lccvf

idr

iqr

Figura 3.2 Circuitos del rotor y estator del MS con devanado de campo.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a los circuitos magnticamente acoplados que se muestran en la figura 3.2 resultan las siguientes ecuaciones diferenciales que modelan la parte elctrica del motor:

0

0

faa s a f f f

bb s b dr dr

qrcc s c qr qr

ddv r i v r idt dt

dv r i r idt dt

ddv r i r idt dt

= + = +

= + = +

= + = +

Estator Rotor

drd (3.8)

los subndices:

a, b y c denotan a las variables y parmetros de los devanados del estator a, b y c, respectivamente ,

f denota a las variables y parmetros del devanado de campo del rotor, y dr y qr denotan a las variables y parmetros de los devanados de amortiguamiento d

y q, respectivamente. Los voltajes aplicados a los devanados de amortiguamientos son cero, ya que estos se encuentran cortocircuitados, como se muestra en la figura 3.2.

31


En forma matricial las ecuaciones (3.8) se expresan como:

,edIdt

= + V R (3.9)

donde

(3.10)

, , , , , ,

0 0 ,

,

.

e s s s f dr qr

T

a b c f

T

a b c f dr qr

T

a b c f dr qr

R diag r r r r r r

I v v v v

I i i i i i i

= = = =

Los enlaces de flujo de los devanados del estator a, b y c, y los enlaces de flujo de los devanados del rotor f, dr y qr, estn dados por:

(3.11) ,

a a

b b

c css srT

f fsr rr

dr dr

qr qr

iiiL LiL Lii

= donde adicionalmente a la matriz de inductancias del estator Lss se tiene la matriz de inductancias mutuas estator rotor, Lsr y la matriz de inductancias del rotor, Lrr. Todas estas matrices tienen dimensin 3 x 3 (la determinacin de los elementos de estas matrices se presenta en el Apndice A). Arreglando los enlaces de flujo (3.11) en forma matricial: = (3.12) ,LI

donde, .ss srTsr rr

L LL

L L =

Sustituyendo (3.12) en (3.9) y despejando el vector de derivadas de las corrientes con respecto al tiempo, se obtiene la representacin en espacio de estado del subsistema elctrico:

1 1 .edI dLL R I L I L Vdt dt

= + 1 (3.13)

32


El estado del subsistema elctrico est formado por las corrientes de estator, la corriente de campo y las corrientes de los devanados de amortiguamiento. El subsistema mecnico de este motor est dado, al igual que en el MS de imanes permanentes, por la ecuacin

,

.

mem m L

mm

dB J

dtddt

= + +

=

(3.14)

En esta seccin 3.1 se han desarrollado los modelos del MS de imanes permanentes (seccin 3.1.1) y del MS con devanado de campo (seccin 3.1.2) empleando para esto la segunda ley de Kirchhoff para el subsistema elctrico y la segunda ley de Newton para el subsistema mecnico. Otra forma de obtener estos modelos es mediante la ecuacin de E-L, en las siguientes subsecciones se obtienen modelos similares de estos mismos motores empleando esta ltima tcnica.

3.2 Modelado del motor sncrono basado en la formulacin de Euler Lagrange

Para el modelado de sistemas electromecnicos, como alternativa al modelo tradicional que utiliza las leyes de fuerzas ya sea mecnicas, elctricas, etc., se emplea la ecuacin de E-L del movimiento. Esta tcnica de modelado tiene sus races en la mecnica clsica [Goldstein, 1980]. La ecuacin de E-L es:

( ) ( ), , ,q q q qd Q

dt q q

L L = (3.15) donde L = T*V es el Lagrangiano del sistema, T* es la coenerga cintica total del sistema, V es la energa potencial total del sistema, q Rn son las coordenadas generalizadas, R

qn son las velocidades generalizadas, y Q Rn son las fuerzas externas que pueden ser de

tres tipos: las acciones de control, la disipacin y las interacciones del sistema con el medio ambiente, y n es el nmero de coordenadas independientes del sistema. El primer trmino del lado izquierdo de la ecuacin de E-L (3.15) son las fuerzas inerciales debidas a la energa cintica, el segundo son las fuerzas conservativas debidas a la energa potencial, y el trmino de la derecha son las fuerzas externas generalizadas.

33


Se supone que las acciones de control entran linealmente al sistema en la forma Mu Rn, donde M Rnxm es una matriz constante y u Rm es el vector de control.

Las fuerzas disipativas son de la forma ( ) ,qq

F donde F es la funcin de disipacin de

Rayleigh. En el caso del MS para el subsistema mecnico se elige el desplazamiento angular qm R como coordenada generalizada, y para el subsistema elctrico en este trabajo se eligen como coordenadas generalizadas a las cargas elctricas en los devanados qe Rne, donde ne es el nmero de coordenadas independientes del subsistema elctrico, es decir, el nmero de devanados del motor. Las velocidades generalizadas del MS son la velocidad angular m R para el subsistema mecnico, y las corrientes en los devanados Req ne para el subsistema elctrico. Para los elementos pasivos de circuitos elctricos inductor L, capacitor C y resistencia R, tenemos ( ' denota las variables auxiliares de integracin) [Wellstead, 1978],

* 2

0 0

2

0 0

2

0 0

1' ' '2

' 1' '21' ' '2

e e

e e

e e

q q

e e e

q q ee e

q q

e e e

T dq Lq dq L

qV vdq dq qC C

vdq Rq dq Rq

= = =

= = =

= = =

F

,

,

,

e

e

e

q

(3.16)

donde es la corriente en el elemento, son los enlaces de flujo en el inductor L, q

eq eLq = e es la carga en el capacitor C, y v es el voltaje en el elemento; para el capacitor

y para la resistencia v . /ev q C=

eRq= Anlogamente para los elementos de sistemas mecnicos giratorios masa rotacional con inercia rotacional J, resorte rotacional con constante k y disipador rotacional con coeficiente de friccin B, tenemos,

* 2

0 0

2

0 0

2

0 0

1' ' '2

1' ' ' ,2

1' ' '2

m m

m m

m m

m m m

q q

m m m m

m m m

T hd J d J

V dq kq dq kq

d B d B

= = =

= = =

= = =

F

,

,

m

m

(3.17)

donde es la velocidad angular, h J es el momento angular, qm m= m es la posicin angular, y es el par; para el resorte rotacional y para el disipador . mkq = mB =

34


Tomando en cuenta que las fuerzas externas se forman slo por las acciones de control y las fuerzas disipativas, la ecuacin de E-L queda:

( ) ( ) ( ), , .q q q q qd Mu

dt q q q + =

L L F (3.18)

3.2.1 Motor sncrono de imanes permanentes En esta seccin se obtiene el modelo del MS de imanes permanentes (figura 3.1) por medio de la ecuacin de E-L. Las coordenadas generalizadas que se eligen son las cargas en los devanados del estator

y el desplazamiento angular . Las velocidades generalizadas son

las corrientes del estator y la velocidad angular

[ 1 2 3 Teq q q q= ] m]Tb c

],

mq

mq =[T i i=[ ]1 2 3e aq q q q i= .m mq =

Los enlaces de flujo del MS de imanes permanentes se expresan como: [ Ta b c = (3.19) ( ) ( )e m e mD q q q = + esta expresin es similar a (3.5), sin embargo en el modelado basado en la ecuacin de E-L para mquinas elctricas se emplea otra simbologa; el vector de corrientes se representa por , la matriz de inductancias se representa por Deq e(qm), y el vector de flujos magnticos debidos a los imanes permanentes se representa por (qm). Tomando en cuenta que tenemos: e p m pn n = =

( )( )

( )( )

1 1cos 2 cos 2 cos 22 3 2

1 2cos 2 cos 2 cos 22 3 3 2

1cos 2 cos 22 3 2

m mls m m p m m p m m p m

m me m ss m p m ls m m p m m p m

m mm p m m p m ls

L LL L L n q L n q L n q

L LD q L L n q L L L n q L n q

L LL n q L n q L L

+ + = = + + + + +

3

,

2cos 23m m p m

L n q

+ (3.20) En el Apndice A se presenta el desarrollo para determinar los elementos de Lss.

35


Por otro lado, los flujo (qm) se deben a los imanes permanentes, tienen una magnitud m y se encuentran defasados 2/3 radianes elctricos, y estn dados por:

( ) ( ) 2 2sin sin sin .3 3

T

m m p m p m p mq n q n q n q = + (3.21)

Una vez determinados los elementos de De(qm) y (qm) se determinan las funciones de energa del motor. La coenerga cintica de la parte elctrica debida a los campos magnticos (con ' denotando las variables auxiliares de integracin) se calcula como:

3

*

01

1( ') ' ( ) ( ) ,2

ei

n q T Te i i i e e m e m e

idq q D q q

=

== = + T q (3.22) q q

donde ne es el nmero de coordenadas independientes del subsistema elctrico. La coenerga cintica del subsistema mecnico es

* 20

1' '2

mq

m m mq dq J= = ,mqT J (3.23) donde J >0 es la inercia rotacional del rotor. La suma de las coenergas cinticas de la parte elctrica y mecnica nos da la coenerga cintica total del motor,

* 1 1( ) ( )2 2

T Te e m e m e mD q q q q Jq= + + 2 .T q (3.24)

La coenerga de la parte mecnica generalmente no depende de las coordenadas elctricas, pero la coenerga del subsistema elctrico si depende de las coordenadas mecnicas. Considerando que no existen efectos capacitivos en los devanados del motor, que la flecha es rgida y ya que slo se tienen imanes permanentes en el rotor, la energa potencial total del motor V es igual a cero. El Lagrangiano L del MS de imanes permanentes es:

*1 1( ) ( )2 2

T Te e m e m e mT V q D q q q q Jq= = + + L 2 (3.25)

36


Asumiendo que los efectos disipativos son lineales y que se deben a las resistencias de los devanados del estator y a la friccin mecnica, el coeficiente de friccin es B 0. La funcin total de disipacin de Rayleigh del motor est dada por

21 1 ,2 2

Te e e mq R q Bq= + F (3.26)

donde la matriz de resistencias es . El primer trmino de la derecha de (3.26) se debe a la disipacin en la parte elctrica y el segundo a la disipacin en la parte mecnica.

[ , , ]e s sR diag r r r= s

Las fuerzas externas aplicadas al sistema son los voltajes aplicados a los devanados del estator y el par de la carga. Las ecuaciones de E-L para las partes elctrica y mecnica del motor son:

,ee e e

d M udt q q q

+ = L L F

(3.27)

,Lm m m

ddt q q q

+ = L L F (3.28)

donde:

(3.29) [ ]

3

a b c

e

u v v vM I

==

Los trminos de la ecuacin E-L (3.27) de la parte elctrica son:

( ) ( )

( ) ( )( )

0

e m e me

e m me m e m e m

e m

e

e ee

D q q qq

D q qd D q q q q qdt q q q

q

R qq

= + = + +

= =

L

L

L

F

m (3.30)

37


Para la parte mecnica de la ecuacin E-L (3.28) tenemos:

1 ( ) (2

mm

me

T Te m me e e

m m

mm

Jqq

d Jqdt q

D q qq q qq q

Bqdq

= =

= + =

L

L

L

F

)

mq (3.31)

Por tanto las ecuaciones que modelan al motor son,

1 2

1 2

: ( ) ( ) ( )1: ( ) ( )2

e e m e m m e m m e e

T Tm m e m e e m m

D q q W q q q W q q R q M u

Jq q W q q q W q Bq + + + + =

e

L

= (3.32)

donde, por definicin 1 2( ) ( )( ) : , ( ) : .e m mm m

m m

D q qy W qq q

= = W q

El par electromagntico generado por el motor es 1 21 ( ) ( )2

T Tem e m e e mq W q q q W q = + .

Este modelo trifsico del MS de imanes permanentes (3.32) consta de 4 ecuaciones diferenciales, 3 que modelan la parte elctrica y 1 de la parte mecnica. Adems de tener algunos coeficientes variantes con la posicin del rotor.

3.2.2 Motor sncrono con devanado de campo El MS con devanado de campo est compuesto por tres devanados de estator fijos; uno de campo y dos de amortiguamiento montados en el rotor, girando a una velocidad angular e (Figura 3.2). La metodologa de anlisis para obtener el modelo de este motor es similar a la del MS de imanes permanentes de la seccin anterior. Se eligen como coordenadas generalizadas las cargas en los devanados del estator y del rotor, , y el desplazamiento angular . Siendo las velocidades generalizadas las corrientes del estator y del rotor,

, y la velocidad angular

.

[ 1 2 3 4 5 6eq q q q q q q=[ ]1 2 3 4 5 6 Tq q q q q q i=

m m

] m

mq =T

e a b c f dr qrq i i i i i= q =

38


Los enlaces de flujo del motor pueden expresarse como = (3.33) ( )e m eD q q ,

De(qm) es la matriz de inductancias, de dimensin 6 x 6,

(3.34) ( ) ,ss sre m Tsr rr

L LD q

L L =

donde

( )( )

( )

1 1cos 2 cos2 cos22 3 2

1 2cos2 cos2 cos22 3 3 2

1cos2 cos22 3 2

m mls m m p m m p m m p m

m mss m p m ls m m p m m p m

m mm p m m p m ls m m

L LL L L n q L n q L n q

L LL L n q L L L n q L n q

L LL n q L n q L L L

+ + = + + + + +

3

( ) ( ) ( )

,

2cos23

sin sin cos

2 2 2sin sin cos3 3 32 2 2sin sin sin3 3 3

p m

af p m adr p m aqr p m

sr af p m adr p m aqr p m

af p m adr p m aqr p m

n q

L n q L n q L n q

L L n q L n q L n q

L n q L n q L n q

+

= + + +

,

00 .

0 0

lf mf fdr

rr fdr ldr mdr

lqr mqr

L L LL L L L

L L

+ = + +

(3.35)

La determinacin de los elementos de estas matrices se presenta en el Apndice A. El siguiente paso es la determinacin de las funciones de energa del motor.

La coenerga cintica total, elctrica y mecnica, del motor es * 21 1( )2 2

Te e m e mD q q Jq= + .T q

Al igual que en el MS de imanes permanentes la energa potencial del motor es igual a cero. De aqu que el Lagrangiano L sea igual a:

*1 1( )2 2

Te e m e mT V q D q q Jq= = + 2 .L (3.36)

39


La funcin de Rayleigh del motor es 21 1 ,2 2

Te e e mq R q Bq= + F donde la matriz de resistencias

es [ , , , , , ].e s s s f drR diag r r r r r r= qr Las fuerzas externas aplicadas al sistema son los voltajes aplicados al devanado del estator, el voltaje aplicado al devanado de campo y el par de la carga. Las ecuaciones de E-L para la parte elctrica y mecnica del motor son:

,

,

ee e e

Lm m m

d M udt q q q

ddt q q q

+ = + =

L L F

L L F (3.37)

donde:

(3.38) 4

2 4

,

.0

a b c f

ex

u v v v v

IM

= =

donde Ij es una matriz identidad j x j, y 0ixj es una matriz nula de i renglones y j columnas. Aplicando las ecuaciones de E-L (3.37) al Lagrangiano (3.36), obtenemos las ecuaciones que modelan al MS con devanado de campo,

1

1

: ( ) ( )1: ( )2

e e m e m m e e e

Tm m e m e m m

D q q W q q q R q M u

Jq q W q q B q + + + =

e

L

= (3.39)

se define 1( )( ) : e mm

m

D qq

= .W q

El par electromagntico generado por el motor es 11 ( )2

Tem e m eq W q q = .

En este modelo trifsico del MS con devanado de campo tenemos 7 ecuaciones diferenciales, 6 para la parte elctrica y 1 para la parte mecnica, con algunos de sus coeficientes variantes con la posicin del rotor. Los modelos obtenidos en estas las subsecciones 3.2.1 y 3.2.2 por medio de la ecuacin de E-L (similares a los obtenidos en las subsecciones 3.1.1 y 3.1.2 utilizando en mtodo tradicional de modelado, con la diferencia de la nomenclatura empleada en el modelado E-L) son modelos trifsicos, los cuales tienen matrices de inductancias con elementos dependientes de la posicin del rotor e.

40


3.3 Teora del marco de referencia Los modelos matemticos obtenidos en las secciones anteriores para el MS de imanes permanentes (3.32) y para el MS con devanado de campo (3.39) tienen la desventaja de tener coeficientes variantes con la posicin del rotor. Con objeto de eliminar la dependencia que tienen las inductancias con la posicin del rotor y reducir el nmero de ecuaciones diferenciales que modelan al MS se emplean una serie de transformaciones que reducen la complejidad del modelo del motor. Existen distintos tipos de transformaciones, cada una de ellas refiere las variables originales del motor a variables fijas a un MR que gira a una velocidad determinada [Krause, 1995]. La transformacin de las variables trifsicas del estator se realiza por medio de una matriz de transformacin no singular Ks, tal como se expresa en la siguiente ecuacin: (3.40) 0qd s abcf K f=donde:

( )

0 0

00

[ ]

[ ]

2 2cos cos cos3 3

2 2sin sin sin3 3

1 1 12 2 2

Tqd q d

Tabc a b c

s

t

f f f f

f f f f

K

d

==

+ = = +

23

+ (3.41)

f puede representar un voltaje, corriente o enlaces de flujo. El subndice s expresa que se trata de variables del estator. Las variables originales se representan por los subndices abc y las variables transformadas por los subndices qd0. y son la velocidad y la posicin angular del MR al cual se quieren transformar las variables, respectivamente, es una variable auxiliar de integracin y 0 es la posicin inicial del MR. Para realizar la transformacin inversa se emplea la inversa de la matriz Ks. El MR puede girar a cualquier velocidad angular, ya sea constante o variable, o puede permanecer estacionario. Es conveniente visualizar las ecuaciones de transformacin como una relacin trigonomtrica entre las variables como se muestra en la figura 3.3. Las variables fd y fq, llamadas directa y en cuadratura respectivamente, son ortogonales y giran a la velocidad angular del MR. Mientras que fa, fb y fc se consideran variables estacionarias desplazadas cada una respecto a las otras dos por 2/3 grados.

41


fa

fq

fb

fc fd Figura 3.3. Relacin trigonomtrica de la transformacin

Considerando las variables trifsicas del estator balanceadas, al realizar la transformacin la componente f0 es igual a cero. Por tanto es comn eliminar el ltimo rengln de la matriz de transformacin (3.41), reduciendo as el nmero de ecuaciones diferenciales que modelan la parte elctrica del motor. Para realizar la transformacin de un conjunto trifsico de variables elctricas (voltajes, corrientes o enlaces de flujo) y de un circuito RL trifsico a cualquier MR, se realiz un programa en Matlab el cual cuenta con interfaz grfica. Para ejemplificar su uso se realiza la transformacin al MR fijo al rotor ( ) de un conjunto de voltajes trifsicos simtricos y balanceados, de amplitud mxima Vm y frecuencia angular w, y del circuito RL trifsico del estator del MS de imanes permanentes, la resistencia de cada devanado es rs y la matriz de inductancias est dada en (3.20). En la figura 3.4 se muestra la interfaz grfica del programa una vez realizada la transformacin.

p mn q =

En la interfaz grfica (figura 3.4) se tiene varias secciones:

En el recuadro etiquetado como Variables abc se introducen las variables elctricas originales,

En el recuadro Marco de referencia se introduce la expresin de la posicin del MR, la cual se sustituye en la matriz Ks (3.41),

En el recuadro Circuito RL (abc) se introduce los parmetros del circuito RL original,

Una vez introducidos los datos descritos anteriormente y presionado el botn Realizar transformacin en Variables qd0 se despliega la expresin de las variables en el nuevo MR,

En Circuito RL (qd0) se despliegan los parmetros del circuito en el nuevo MR. Los datos introducidos al programa pueden ser numricos o simblicos, por tanto es necesario contar con el Toolbox de lgebra Simblica de Matlab. Si se desea informacin sobre la forma como Matlab reconoce los datos simblicos refirase a la ayuda de dicho paquete.

42


Figura 3.4. Interfaz grfica del programa de transformaciones.

Como en algunos

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