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Captulo 3
Variable AleatoriaVariable Aleatoria
Funcin del Espacio en los nmeros Reales
Rango de la Variable Aleatoria
Conjunto de los valores posibles
de la variable aleatoria.
Evento (X = a)
.
Clasificacin
de las Variables Aleatorias
Una variable aleatoria es discreta,
si su rango es numerable.
Una variable aleatorias es continua,
si su rango no es numerable.
Ejemplo
Sea el espacio obtenido al lanzar una
moneda dos veces y observar si sale cara (c)
o sello (s) cada vez.
= {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.
Sea X el nmero de caras obtenidas.
RX = {0, 1, 2}.
X es discreta.
(X = 1) ={(c,s), (s,c)}.
Ejemplo
Sea el espacio obtenido al lanzar un dado
hasta que salga el As.
Sea X el nmero de lanzamientos.
RX = {1, 2, 3,} = Z+.
X es discreta.
Ejemplo
Sea el espacio obtenido al escoger al azar
un alumno de la Facultad.
Sea X la estatura del alumno.
RX = [ m, M ]
X es continua.
Funcin de probabilidad
La funcin de probabilidad de una variable
discreta X, es una funcin
tal que
Propiedad.
Funcin de probabilidad
Si f(x) es la funcin de probabilidad
de la variable discreta X:
1)
2)
3)
Ejemplo
Sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar
una moneda dos veces.
RX = {0, 1, 2}.
f(0) = P(X = 0) = 1/4.
f(1) = P(X = 1) = 2/4.
f(2) = P(X = 2) = 1/4.
f
0.50
0.25
0 1 2 X
.
Ejemplo
Sea X el nmero de lanzamientos de un dado
hasta que salga el As.
RX = {1, 2, 3,} = Z+.
f(1) = P(X = 1) = (1/6).
f(2) = P(X = 2) = (5/6)(1/6).
f(3) = P(X = 3) = (5/6)(5/6)(1/6).
f(x) = P(X = x) = (5/6)x-1(1/6).
f
(1/6)
. 1 2 3 4 X
.
Funcin de densidad
de probabilidad
La funcin de densidad de probabilidad de una
variable continua X, es una funcin
tal que:
1)
2)
3)
Propiedad.
Funcin de densidad de probabilidad
Si f(x) es la funcin de densidad
de probabilidad de la variable continua X:
1)
2)
Ejemplo
Si las ventas diarias (en miles de soles) en una
tienda es una variable continua X con funcin
de densidad de probabilidad
Encontrar.
a)
b)
c)
f
0.20
0.10
5 10 X
Distribucin de probabilidad
La distribucin de probabilidad f(x)
de una variable aleatoria X, es:
La funcin de probabilidad de X,si X es discreta.
La funcin de densidad de probabilidad de X,si X es continua.
Funcin de Distribucin Acumulada
La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X,
es una funcin
tal que
1) Si X es una variable discreta
con funcin de probabilidad f(x),
2) Si X es una variable continua
con funcin de densidad de probabilidad f(x),
Propiedad.
Funcin de Distribucin Acumulada
Si F(x) es la funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X
1)
2)
Ejemplo
Sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar
una moneda dos veces.
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X
b) P(X 1)
a) f(0) = 1/4. f(1) = 2/4. f(2) = 1/4.
x f(x) F(x)
0 0.25 0.25
1 0.50 0.75
2 0.25 1.00
b) P(X 1) = F(1) = 0.75
Ejemplo
Sea X el nmero de lanzamientos de un dado
hasta que salga el As.
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X.
b) P(X 3).
a) f(x) = P(X = x) = (5/6)x-1(1/6).
b)
Ejemplo
Si las ventas diarias (en miles de soles) en una
tienda es una variable continua X con funcin
de densidad de probabilidad
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X.
b) P(X 5).
a)
b)
Ejemplo
Si X es una variable continua con funcin
de densidad de probabilidad
Encontrar:
a) La funcin de distribucin acumulada
de la variable aleatoria X.
b) P(-0.25 < X < 0.5).
.
a)
b)
Valor Esperado
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
El esperado de H(X):
Media
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La media de X:
Varianza
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La varianza de X:
Desviacin Estndar
La desviacin estndar de X:
Coeficiente de Variacin
El coeficiente de variacin
de una variable aleatoria X es
Moda
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La moda de X es el valor de x que
maximiza f(x).
Mediana
Sea X una variable aleatoria con distribucin de
probabilidades f(x).
La mediana de X es el menor valor de x tal que
F(x) 0.50
Propiedad.
Esperado y Varianza
Sean: X e Y variables aleatorias,
a y b constantes.
1) E(aX + b) = aE(X) + b
( E(b) = b
E(aX) = aE(X)
E(X + b) = E(X) + b )
2) V(aX + b) = a2 V(X)
( V(b) = 0
V(aX) = a2 V(X)
V(X + b) = V(X) )
(
)
3) V(X) = E(X2) (E(X)) 2
4) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
( E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X - Y) = E(X) - E(Y) )
5) Si X e Y son independientes, entonces
E(XY) = E(X)E(Y)
6) Si X e Y son independientes, entonces
V(aX + bY) = a2 V(X) + b2 V(Y)
( V(X + Y) = V(X) + V(Y)
V(X - Y) = V(X) + V(Y) )
7) (Desigualdad de Chebyshev)
8)
Ejemplo
El nmero de licitaciones que gana al ao una
empresa consultora, es una variable aleatoria X
con funcin de probabilidad:
Encontrar la moda, la mediana, la media,
la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.
x01234f(x)0.150.300.250.200.10moda = 1
mediana = 2
Ejemplo
Un fabricante produce cierto tipo de aceite.
La demanda anual (en miles de galones) es una
variable X con funcin de densidad de
probabilidad f(x) = 0.5 , 2 < x < 4.
Por cada unidad vendida se obtiene una ganancia de
300 soles, mientras que por cada unidad no vendida
durante el ao se pierde 100 soles.
Si el fabricante debe decidir al comienzo del ao
cunto producir, cul ser el nivel de produccin
que maximizar su utilidad esperada?
.
.
.
)
:
(
IR
X
W
)
}
/
)
(
{
(
W
=
w
w
X
R
X
}
)
(
/
{
)
(
a
w
X
w
a
X
=
W
=
=
=
A
x
X
dx
x
f
A
P
R
A
Si
)
(
)
(
IR
R
f
X
:
)
(
)
(
x
X
P
x
f
=
=
=
X
R
x
x
f
1
)
(
=
=
+
=
=
1
0
75
.
0
)
1
(
)
0
(
)
(
)
1
(
x
f
f
x
f
X
P
=
A
x
X
x
f
A
P
R
A
Si
)
(
)
(
=
=
=
=
+
+
=
=
=
X
P
X
P
f
f
f
x
f
X
P
x
X
R
x
x
f
"
,
1
)
(
0
X
R
x
x
f
"
,
0
)
(
1
)
(
=
X
R
x
dx
x
f
=
=
=
a
a
dx
x
f
a
X
P
0
)
(
)
(
=
b
a
dx
x
f
b
X
a
P
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
b
x
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P