Operacijska Gospic 2014

Operacijska istrazivanja

Bozidar Ivankovic

Gospic, zima, 2014

Bozidar Ivankovic () Operacijska istrazivanja Gospic, zima, 2014 1 / 89

Uvodno

Poglavlja:

Linearno programiranje

Transportni problem

Transportna mreza

potpis - dva kolokvija domacih zadacaPolaganje:

dva kolokvija

usmeni ispit

pismeni ispit

usmeni ispit


Linearna nejednadzba s dvije nepoznanice

Zadatak

Nacrtajte rjesenja nejednadzbe 4x1 + 6x2 12.

Rjesenje - dio ravnine

Granica - pravac 4x1 + 6x2 = 12.

Dio ravnine - ispitivanjem tocaka.

Zadatak

Rijesite nejednadzbu 3x1 + 8x2 24.

Zadatak

Rijesite nejednadzbu 3x1 5x2.


Sustav Linearnih nejednadzbi s dvije nepoznanice

Zadatak

Nacrtajte rjesenje sustava nejednadzbi

x1 + 2x2 64x1 + 3x2 12

x1 2x2 1

Zadatak

Nacrtajte rjesenje sustava nejednadzbi

x1 + 2x2 64x1 + 3x2 12

x1 2x2 1


Dopustiva rjesenja

Ekonomska priroda problema zahtijeva prirodnu restrikciju x1, x2 0.Zadatak

Rijesite sustav linearnih nejednadzbi

x1 + x2 12x2 8

x1 x2 62x1 + x2 4

x1, x2 0


Vektor rasta linearne funkcije dvije varijable

Definicija

Nivo-pravac funkcije f (x1, x2) = ax1 + bx2 za vrijednost c :

f (x1, x2) = ax1 + bx2 = c.

Zadatak

Nacrtajte nivo-pravce funkcije f (x1, x2) = 2x1 + 3x2 za vrijednostic = 0, 6, 12, 18. Odredite vektor povecanja funkcije cilja.

Teorem

Smjer povecanja funkcije f (x1, x2) = ax1 + bx2 pokazuje vektor

~c = a~i + b~j ,

gdje su ~i i ~j standardni jedinicni vektori.


Ekstrem linearne funkcije

Teorem

Neka je T1 = (x11, x12), a T2 = (x21, x22). Linearna funkcijaf (x1, x2) = ax1 + bx2 definirana samo za tocke duzine T1T2 poprimaekstremne vrijednosti u rubnim tockama duzine.

x1

x2

a~i + b~j

T1

T2


Graficko rjesavanje problema

Primjer

Grafickom metodom rijesite linearni problem maksimuma funkcijeZ = f (x , y) = 3x + 2y uz ogranicenja:

2x + y 182x + 3y 42

3x + y 24x 0, y 0


Zadatak

Zadatak

Grafickom metodom rijesite problem linearnog programiranja:

max(30x1 + 35x2)

4x1 + 6x2 1005.5x1 + 5x2 120

x1 0, x2 0.

Odredite cjelobrojno rjesenje.


Zadatak

Zadatak

Odredite minimum i maksimum linearne funkcije uz navedene uvjete:

f (x1, x2) = 3x1 + 2x2

x1 + x2 6x1 2x2 2

x1 1x2 4

x1, x2 0fmin = fmin(1, 0) = 3, fmax = f (

143 ,

43) =

503 .


Prvi zadatak prve domace zadace

Primjer

Odrediti minimum i maksimum linearne funkcijef (x1, x2) = 4x1 + 3x2 uz uvjete

x1 x2 53x1 + x2 6

2x1 + 3x2 122x1 x2

x1, x2 0

Odredite cjelobrojna rjesenja.

max(x1 = 5.4, x2 = 0.4) = 22.8; min(x1 = 2, x2 = 0) = 8, cjelobrojnimaksimum max(x1 = 5, x2 = 0) = 20


Dopustiva bazicna rjesenja sustava jednadzbi

Zadatak

Rijesite sustav

x + 2z = 8

y + 3z = 9

Dopustivo promijeniti bazicno rjesenje.

Zadatak

Napisite bazicno rjesenje sustava:

2x + z = 5

3x + y = 7

Odrediti dopustivo bazicno rjesenje kod kojeg je x 6= 0.


Zadaci

Zadatak

Zapisite bazicno rjesenje sustava

2x1 + x2 + u1 = 16

x1 + 4x2 + u2 = 12

Odrediti dopustivo bazicno rjesenje kod kojeg su x1, x2 6= 0.

Zadatak

Rijesite sustav

2x1 + 3x2 + x3 + u1 = 60

4x1 + x2 + 2x3 + w1 = 48

Odrediti dopustivo bazicno rjesenje kod kojeg su x1, x3 6= 0.


Linearno programiranje

Definicija

Problem linearnog programiranja:

Maksimum ili minimum linearne funkcije

Zadovoljavanje linearnih ogranicenja

Dopustiva rjesenja


Numericko rjesavanje linearnog problema

Primjer

Rijesite linearni problem numericki

max(7x1 + 9x2 + 8x3)

3x1 + 5x2 + 4x3 242x1 + x2 + 3x3 12

x1, x2, x3 0


Zadatak

Zadatak

Rijesite linearni problem

max(2x1 + 4x2 + 5x3)

x1 3x2 + 4x3 162x1 + x2 + 3x3 12

x1, x2, x3 0rjesenje: x2 = 12,max = 48


Charnesova M-metoda umjetnih varijabli

Primjer

Rijesite problem maksimuma

max(5x1 + 3x2 + 2x3)

x1 + 2x2 + 3x3 162x1 + 4x2 + 5x3 = 24

x1, x2, x3 0


A sada Vi...

Zadatak

Rijesite problem maksimuma

max(2x1 + 4x2 + 5x3)

x1 + x2 + 2x3 = 16

2x1 + x2 + x3 12x1, x2, x3 0

rjesenje: x2 = 8, x3 = 4,max = 52


Problem minimuma

Primjer

Rijesite problem minimuma

min(2x1 + 4x2 + 5x3)

x1 + x2 + 2x3 162x1 + x2 + x3 12

x1, x2, x3 0


Domaca zadaca

1 Rijesiti problem linearnog programiranja simpleks metodom.

max(6x1 + 4x2 + 2x3)

2x1 + 2x2 + x3 62x2 + x3 = 2

x1, x2, x3 0(x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0,max = 16).

2 Rijesite problem minimuma

min(8x1 + 12x2 + 2x3)

3x1 + x2 + 5x3 602x1 + 5x2 = 40

x1, x2, x3 0(x1 = 0, x2 = 8, x3 = 10.4,min = 116, 8)


Zadaci

1 Rijesite linearni problem

min(x1 + x2 + x3)

5x1 + 3x2 + 6x3 1602x1 + x2 + 2x3 = 120

x1, x2, x3 0

2 Rijesite problem minimuma

min(5x1 + 4x2 + 6x3)

3x1 + 3x2 + 4x3 1602x1 + x2 + 3x3 120

x1, x2, x3 0rjesenja: (x1 = 60,min = 60 i x2 = 53.33,min = 213.33)


Teorija linearnog programiranja

Standardni oblik maksimuma:

max(n

i=1

cixi )

ni=1

ajixi bj , j = 1, . . . kn

i=1

alixi = bl , l = k + 1, . . .m

xi 0, i = 1, . . . p,


Dualni problem

min(mi=1

biyi )

mi=1

aijyi cj , j = 1, . . . pmi=1

aijyi = cj , j = p + 1, . . . n

yi 0, i = 1, . . . k

Nejednakosti duala odgovaraju restringiranim varijablama primara iobratno Dualni problemi imaju iste vrijednosti ekstrema funkcije cilja.


Primjeri

1 Zapisite dual i rijesite dual grafickom metodom

max(5x1 + 4x2 + 3x3)

2x1 + 3x2 + x3 54x1 + x2 + 2x3 11

x1, x2, x3 0(max = 15)

2 Rijesite problem numericki, a dual graficki

min(12x1 + 10x2 + 12x3)

x1 + x2 + x3 = 20

x1 + x3 10x1, x2, x3 0

(x1 = 0, x2 = 20, x3 = 0,min = 200)


Domaca zadaca

Zadatak

Grafickom metodom odredite minimum linearnog problema preko duala:

min(18x1 + 12x2 + 84x3 6x4)2x1 + 2x2 + 4x3 2x4 10

3x1 3x2 + 9x3 3x4 15x1, x2, x3, x4 0.

(rjesenje: fmin = 180)


Znacenje dualnih varijabli

Zadatak

Rijesite pomocu dualna i zapisite optimalno rjesenje primarnog problema.

min(3x1 + x2 + 2x3)

3x1 2x2 + 4x3 18x1 + 2x2 + x3 9

2x1 + x2 2x3 6x1, x2, x3 0

Dual problema minimuma je problem maksimuma. Nejednakosti suobratne. Rjesenje: minimum funkcije jednak je maksimumu duala.Vrijednosti bazicnih varijabli su u retku zj cj pod u1, u2 i u3:x1 = 4.826; x2 = 1.371; x3 = 1.971; fmin = 18.17;


Kolokvij domace zadace

1 Odredite minimum i maksimum funkcije f (x1, x2) = 3x1 + 2x2 uz uvjete:

x1 + x2 6 (0.1)x1 2x2 2 (0.2)

x1 1 (0.3)x2 4 (0.4)

x1, x2 0. (0.5)2 Rijesiti problem linearnog programiranja simpleks metodom.

max(6x1 + 4x2 + 2x3)

2x1 + 2x2 + x3 62x2 + x3 = 2

x1, x2, x3 03 Rijesite problem minimuma

min(8x1 + 12x2 + 2x3)

3x1 + x2 + 5x3 602x1 + 5x2 = 40

x1, x2, x3 04 Grafickom metodom odredite minimum linearnog problema preko duala:

min(18x1 + 12x2 + 84x3 6x4)2x1 + 2x2 + 4x3 2x4 10

3x1 3x2 + 9x3 3x4 15x1, x2, x3, x4 0.


Primjena racunala

Zadatak

Rijesite linearni problem:

max(9x1 + 24x2 + 9x3)

x1 + 8x2 + 2x3 103x1 + 16x2 + x3 25x1 + 16x2 + 2x3 30

x1, x2, x3 0(rjesenje: x = 8; x2 = 0; x3 = 1; fmax = 81)


Primjena racunala

Zadatak

Rijesite numericki linearni problem:

max(x1 + 3x2 + x3)

x1 + 2x2 x3 64x1 x2 + x3 = 12x1 + 3x2 2x3 6

x1, x2, x3 0(rjesenje: x1 = 0; x2 = 30; x3 = 42; fmax = 132)


Primjena racunala

Zadatak

Rijesiti linearni problem:

min(x1 + 2x2 + 4x3)

x1 + x2 + x3 54x1 2x2 x3 12

x1 = x3

2x1 + x2 + 3x3 = 6

x1, x2, x3 0(rjesenje: x1 = 1.2; x2 = 0; x3 = 1.2; fmin = 6)


Primjena racunala

Zadatak

Odredite ekstremne vrijednosti linearne funkcijef (x1, x2, x3) = x1 + 3x2 4x3 + 120, ako varijable moraju zadovoljiti uvjete:

5x1 + x2 15 3x34x1 12 2x2 x3

x1 : x2 3 : 42x1 + 7x33x2 + x3

3 : 2x1, x2, x3 0

(rjesenje: x1 = 0; x2 = 4.5; x3 = 3; fmin = 121.5,x1 = 0; x2 = 15; x3 = 0; fmax = 165)


Matematicko modeliranje

Prilagodba problema matematickim teoremima

Izbor varijabli

Funkcija cilja

Uvjeti

Odgovor na pitanje


Racunala

Zadatak

Poduzece proizvodi stolna racunala i laptope. Proizvodnja stolnogracunala zahtijeva 300$ troskova i cetiri radna sata, a proizvodnja laptopa400$ i tri radna sata. Cijena stolnog racunala je 500$, a laptopa 650$.Poduzece ima na raspolaganju investiciju od 80 000$ i 2 160 radnih sati.Programirajte proizvodnju koja ce donijeti najveci profit.

x1: broj stolnih racunala

x2: broj laptopa

Funkcija cilja: Z = max(200x1 + 250x2).


Uvjeti

Ogranicena investicija

300x1 + 400x2 80 000.

Ogranicen kapacitet radnih sati

4x1 + 3x2 2 160.


Formulacija problema

max(200x1 + 250x2)

300x1 + 400x2 800004x1 + 3x2 2160x1, x2 0

Problem trazi cjelobrojna rjesenja


Zadatak

Na svaku kolonu od sto vozila koja krece iz grada A dolazi u pratnji jednaradionica, dva vozila tehnicke pomoci i dva motocikla. Na isto takvukolonu koja krece iz grada B u pratnji su dvije radionice, jedno vozilotehnicke pomoci, no nema motocikla. Jedna kolona koja ide iz grada Apreveze 3000t tereta, dok kolona iz grada B preveze 2500t. Naraspolaganju je 1000 vozila, 16 radionica i isto toliko vozila tehnickepomoci, te 14 motocikala. Koliko je kolona potrebno formirati u svakomgradu, tako da prijevoz tereta bude maksimalan?


Konstrukcija matematickog modela

Pregledan ispis podataka

GRAD GRAD resursiA B

vozila 100 100 1000radionice 1 2 16teh. pom. 2 1 16

motori 2 14teret kolone 3000 2500broj kolona x1 x2


Matematicki model

Iz tablice zapisujemo model:

max(3000x1 + 2500x2)

100x1 + 100x2 1000x1 + 2x2 162x1 + x2 16

2x1 14x1, x2 0.


Rjesenje

Ako se oformi 6 kolona iz grada A i cetiri kolone iz grada B, teret ce bitimaksimalan u iznosu od 28000 t. Ili:

zmax = 28000t, x1 = 6, x2 = 4.

u sirovom zapisu.


Problem u zeljeznickom prometu

S kolodvora polaze brzi i putnicki vlakovi. Kompozicija brzog vlakaobavezno ima postanski vagon, a sastoji se od pet vagona drugog razreda,sest vagona prvog razreda i tri spavaca vagona. Putnicki vlak imapostanski vagon, teretni vagon, 8 vagona drugog, cetiri vagona prvograzreda i jedna spavaca kola. Na kolodvoru se nalazi 12 postanskih, 8prtljaznih, 81 vagon 2. i 70 vagona prvog razreda, te 27 vagona zaspavanje. Ako u jedan vagon 2. razreda stane 58 putnika, ako u jedanvagon 1. razreda stane 40, a u spavaca kola 32 putnika, koliko kompozicijabrzog, a koliko kompozicija putnickih vlakova treba sastaviti, pa da moguprevesti maksimalan broj putnika?


Problem linearnog programiranja

Trgovacko poduzece ima na raspolaganju $ 25 000 koje namjeravapotrositi na TV reklamu. Spot od 30s emitiran od 7 : 00 18 : 00 kosta $1100 i ima 15 000 potencijalnih gledatelja. Spot od 30s emitiran uterminima 18 : 00 23 : 00 kosta $ 2200 i ima 25 000 potencijalnihgledatelja, dok 30s u vremenu 23 : 00 02 : 00 kosta $ 1400 i ima 18 000potencijalnih gledatelja. TV postaja radi zasicenosti nece emitirati vise od15 spotova u svim terminima zajedno. Napisite linearni programoptimalnog reklamiranja u svrhu maksimiziranja broja potencijalnih kupacakoji ce vidjeti spotove.


Kanaderi

Potrebno je nabaviti zrakoplove za gasenje pozara. Na trzistu suzrakoplovi nosivosti 25t po cijeni od 4 milijuna kuna, zatim oni nosivostiod 20t po 3 milijuna i od 40t sa cijenom od 5 milijuna. Ocekuje se da ceodjednom trebati bar 240t vode, ali je u bazi moguce imati najvise 8zrakoplova. Napravite plan kupnje koji ce zahtijevati sto manje troskove.Matematicki model:

min(4x1 + 3x2 + 5x3)

25x1 + 20x2 + 40x3 240x1 + x2 + x3 8

x1, x2, x3 0

Rjesenje:Rjesenje: x1 = 0; x2 = 0; x3 = 6; fmin = 30 milijuna kuna.


Izgradnja brodova

Brodogradiliste gradi brodove od 500,600 i 800 Brt. Za izgradnju brodovatreba 6, 9 i 15 mjeseci. Brodogradiliste ima na raspolaganju jedanslobodan dok. Dosla je narudzba za 10 brodova koji zajedno trebaju imatipreko 5600Brt. Napravite plan izgradnje brodova koji ce imati najkracevrijeme gradnje.

Zadatak

Napravite izbor varijabli, zapisite uvjete, funkciju cilja i matematicki model


Modeliranje

Varijablex1 . . . broj brodova od 500Brtx2 . . . broj brodova od 600Brtx3 . . . broj brodova od 800Brtmatematicki model:

min(6x1 + 9x2 + 15x3)

x1 + x2 + x3 = 10

500x1 + 600x2 + 800x3 5600x1, x2, x3 0

rjesenje: x1 = 8; x2 = 0; x3 = 2;min = 78 mjeseci.


Sef voznog parka

Na raspolaganju su vozila nosivosti deset, pet i tri tone. Za transporttreba odabrati 10 vozila koja ce biti u stanju prevesti ukupno 70t robe.Kako to uciniti uz minimalnu potrosnju, ako najveci kamioni trose20l/100km, srednji 16l/100km, a najmanji 10l/100km


Restoran

U restoranu je moguce imati stolove za 4,6 i 8 ljudi. Stol za cetvero kosta800kn, stol za sestero 900kn, a stol za osmero kosta 1000kn. Ocekuje seodjednom najmanje 240 gostiju. U stolove se namjerava investirati najvise45000kn. Ocekuje se da odjednom mora biti bar 20 stolova za cetiriosobe. Koliko kojih stolova nabaviti da bi restoran mogao odjednomprimiti sto je moguce vise gostiju.


Nocni vlak

Kompozicija nocnog vlaka ima bar jedna spavaca kola, bar dvoja kolaprvog razreda, dok su ostali vagoni drugog razreda. Spavaca kola primaju30 putnika, vagon prvog razreda 60, a vagoni drugog razreda po 90. Morase sloziti kompozicija za bar 600 putnika. Trosak spavacih kola je 400knna noc, vagon prvog razreda kosta 250kn na noc, dok vagon drugograzreda kosta 100kn po jednoj noci. Kako sastaviti kompoziciju koja mozeprimiti ocekivani broj putnika, a da ima najmanje troskove?


Apartmani

Znamo da pri iznajmljivanju apartmana od 40m2 prihod iznosi 5kn/m2,apartman od 50m2 donosi zaradu od 4kn/m2, dok pri najmu apartmanaod 80m2 prihod je 3kn/m2, sve za jedan dan iznajmljivanja. Isto takosvjesni smo mogucnosti najma za najvise 10 najmanjih apartmana, 18srednjih i samo 5 najvecih apartmana dnevno. Gradjevinski je izvedivonapraviti tocno 14 apartmana korisne povrsine od najvise 1000m2. Kolikoje kojih apartmana tada najisplativije graditi? Kolika ce biti dobit odnajma u jednoj sezoni, ako ona traje 80 dana?


Matematicko modeliranje u auto-parku

U auto parku imamo sljedece vrste kamiona:

NOSIVOST UKUPNA TEZINA broj kamiona

5t 7.5t 53t 4.5t 68t 12t 4

Dobit po jednoj prevezenoj toni na kamionu od 5t nosivosti iznosi 100kn,na kamionu nosivosti 3t dobit po toni je 70kn, dok 1t prevezena nanajvecem kamionu donosi 120kn. Treba napraviti konvoj od 12 kamionatako da ukupna dobit koju ce transport donijeti bude najveca. Kakav cebiti sastav konvoja, ako njegova ukupna tezina ne smije biti veca od 120t?Kolika je najveca moguca dobit?


PZO

Zadatak

Potrebno je izgraditi sustav protuzracne obrane (PZO). Poznato je daprotivnik raspolaze sa 100 aviona za napade s malih visina, 150 aviona zanapade sa srednjih visina i 100 aviona za napade s velikih visina, ali se nezna s koje ce visine izvoditi napade. Mogu se osigurati dva tipa raketa.Prvi tip obara ovione s vjerojatnost 75%, 50% i 25%, a drugi tip svjerojatnostima 25%, 50% i 75%, ovisno napadaju li s male, srednje ilivelike visine. Prvi tip raketa kosta 25 stotina $, a drugi je duplo skuplji.Koliko kojih raketa je nuzno osigurati, pa da ocekivani broj oborenihaviona ne bude manji od broja aviona koji mogu izvrsiti napad? Pri tomeizdatke treba svesti na minimum.


Model

Ako je x1 broj raketa prve, a x2 broj raketa druge vrste, matematickimodel glasi:

min(25x1 + 50x2)

0.75x1 + 0.25x2 1000.5x1 + 0.5x2 150

0.25x1 + 0.75x2 100x1, x2 0


Proizvodnja

Zadatak

Poduzece proizvodi dva proizvoda, P1 i P2 na tri grupe strojeva S1, S2 iS3. Prve dvije grupe kapaciteta su po 1 500, a treca 1 800 radnih sati.Prvi proizvod koristi 5 sati kapaciteta prve, 7.5 sati druge i 3 sata i 20minuta trece grupe strojeva, dok proizvod P2 koristi redom 6h, 4h i 9 satikapaciteta svake grupe strojeva. Ako dobit po P1 iznosi 30$, a dobit poP2 50$, isplanirati proizvodnju. Izracunati iskoristivost pojedinih grupastrojeva i uticaj uvjeta na profit i na planiranje proizvodnje.


Model

Ako je x1 broj proizvoda P1, a x2 broj proizvoda P2, matematicki modelglasi:

max(30x1 + 50x2)

5x1 + 6x2 15007.5x1 + 4x2 15003

1

3x1 + 9x2 1800

x1, x2 0

Rjesenje: Maksimalnu zaradu donosi x1 = 108 proizvoda P1 i x2 = 160proizvoda P2.

Zadatak

Rijesite dualni problem i interpretirajte rezultate.


Vitamini

Zadatak

Tri tipa vitamina A, B i C mogu se kupiti u cetiri tipa tableta P, Q, R i S .Prva tableta sadrzi po 1 jedinicu prvog i treceg vitamina; druga sadrzi 1jedinicu drugog i 2 jedinice treceg vitamina; treca sadrzi 1 jedinicu prvog i2 jedinice drugog vitamina; cetvrta sadrzi 1 jedinicu prvog, 2 jedinicedrugog i 1 jedinicu treceg vitamina. Prva tableta stoji 1, druga 3, treca 4 icetvrta 6 novcanih jedinica. Zeli se nabaviti najmanje 2 jedinice prvog, 5jedinica drugog i 4 jedinice treceg vitamina. Koliko se tableta svakoga tipamora nabaviti da bi se zadovoljile potrebe za vitaminima i da bi troskovinabave bili najmanji? Napisite model. rijesite dualom, ispitajtezadovoljenost uvjeta i interpretirajte dualne varijable.


Jelovnik

Zadatak

Za ocuvanje covjekova zdravlja i radne sposobnosti u 24 sata treba uzetinajmanje 400 g masti, 480 g bjelancevina, 640 g ugljikohidrata i 12 gvitamina. U 100 g salame ima 25g bjelancevina i 50 g masti. U 100 gkukuruznog kruha ima 5 g bjelancevina, 2 g masti, 45 g ugljikohidrata i0.4 g vitamina. 100 g jetrica imaju 20 g bjelancevina, 4 g masti, 3 gugljikohidrata i 0.8 g vitamina. Jabuke imaju 1 g masti, 14 gugljikohidrata i 0.5 g vitamina. Ako 1 kg kruha kosta 5 kn, salame 30 kn,jetrica 20 kn i jabuka 10 kn, napravite najjeftiniji jelovnik za jednogcovjeka, tako da udio kruha bude najvise 20 dag


Smjesa

Tvornica stocne hrane proizvodi dvije vrste smjesa kukuruza, zobi i pseniceprema ovoj tablici:

kukuruz zob psenica

1.smjesa 90% 10% nema2.smjesa 70% 20% 10%

Pretpostavimo da tvornica ostvaruje dobit od 27 dolara po toni prve i 21dolar po toni druge smjese. Neka tvornica raspolaze s 1800t kukuruza,1000t zobi i 600t psenice. Koliko tona svake smjese treba proizvesti da semaksimalizira ukupna dobit, ako sva proizvodnja moze biti prodana, aproces mijesanja jednako stoji za svaku smjesu.


Nabava kamiona

Velika gradska prijevoznicka tvrtka zeli nabaviti 300 kamiona nosivosti po3600 i 1200 kilograma, tako da oni zajedno u samo jednoj voznji mogunatovariti barem 432t robe. Kamioni se kupuju na kredit. Mjesecna rataza svaki veci kamoncic iznosi 3300 , dok za manji 2800 Eura. Za otplatupoduzece ne moze mjesecno izdvojiti vise od 924000 Eura. Jedan prijevozvecim vozilom donosi oko 320, a manjim 360 Eura. Koliko bi tvrtkatrebala kupiti vecih, a koliko manjih kamiona, pa da ostvari najvecu dobitza bar jednu voznju svakog kamiona dnevno?


Suha hrana

Za prehranu u nekom periodu raspolozive su tri vrste konzervi, ciji jeosnovni sastav:

tip konzerve kalorija vitaminaC (mg)1 2000 502 1500 1003 1000 60

U tom periodu treba konzumirati barem 600mg vitamina C . Kojih desetkonzervi odabrati da bi se, pored dovoljne kolicine vitamina, konzumirala imaksimalna kolicina kalorija, ako nije raspolozivo vise od 6 konzervi tipa 1.Problem rijesite numericki.


Prekvalifikacija

Planira se otvoriti pogon za proizvodnju triju proizvoda P1, P2 i P3.Ulozena sredstva se isplate ako pogon proizvodi dnevno najmanje 20jedinica P1, 8 proizvoda P2 i najmanje 30 proizvoda P3.Zato treba obuciti radnike kvalifikacija K1, K2 i K3. Radnik kvalifikacijeK1 dnevno proizvede 2 proizvoda P2 i 5 proizvoda P3, radnik kvalifikacijeK2 dnevno proizvede 2 proizvoda P1, cetiri P2 i 2 proizvoda P3, a radnikkvalifikacije K3 dnevno moze proizvesti po jedan proizvod P1 i P3. Ako sutroskovi obuke po kvalifikacijama redom 5 000, 4 000 i 2 000 novaca,koliko radnika pojedinih kvalifikacija treba obuciti tako da obuka najmanjekosta, a da proizvodnja ne trpi?2; 1; 18, za 50 000 ili 2; 10; 0 za istu svotu.


Transportni problem

U okviru jednog poduzeca rade dvije tvornice a proizvodi se prodaju u triskladista. Prva tvornica radi 10000 artikala, a druga 5000. Skladistaprodaju po 4000, 8000 i 3000 komada. Cijene prijevoza po komadu danasu tablicno. Odredite plan transporta s minimalnim troskovima iizracunajte te troskove.

S1 S2 S3T1 3kn 3kn 2kn

T2 6kn 5kn 1kn


Formulacija transportnog problema

roba iste vrste

poznate ponude robe ai u izvorima Ii , i = 1, . . . ,m

poznate potraznje robe bj u odredistima Oj , j = 1, . . . , n

poznate jedinicne cijene prijevoza robe ci j iz izvora Ii u odrediste Oj .

Problem: odrediti najjeftiniji plan prijevoza tako da se svi izvori iscrpe,a sva odredista podmire.

Nuzno: zatvorenost problema:mi=1

ai =n

i=1

bj


Primjer

Nadite optimalni plan prijevoza i izracunajte minimalni trosak transportnogproblema zadanog tablicom u kojoj su navedeni ponuda, potraznja ijedinicni troskovi transporta.

O1 O2 O3 aiI1 3 2 5 600

I2 4 4 2 300

I3 6 3 4 600

bj 900 200 400


Postupak

Pocetni plan izvori prazni, odredista puna

Provjera optimalnosti postoji li jeftiniji plan?

Promjena plana plan s manjim ukupnim troskovima

Ukupni trosak T =i ,j

cijxij , gdje je xij kolicina robe koja se prevozi iz

izvora Ii u odrediste Oj .


Zadatak

Rijesite transportni problem zadan tablicno:O1 O2 O3 ai

I1 2 1 3 40

I2 4 4 1 30

I3 1 2 5 20

bj 10 50 30Izracunajte minimalni trosak. (T = 100)


Otvoreni problem

Napisite optimalni plan razvoza mlijeka iz tri mljekare u tri naselja.

N1 N2 N3 aiM1 7 5 1 80

M2 6 2 4 240

M3 7 1 0 100

bj 200 110 90

Uputa Dodati fiktivno naselje i zatvoriti problem


Zadatak

Rijesite transportni problem zadan tablicno:O1 O2 O3 ai

I1 3 2 1 50

I2 1 4 1 50

I3 5 2 3 60

bj 80 30 90Izracunajte minimalni trosak.


Da li je jasno?

Rijesite transportni problem zadan tablicomO1 O2 O3 O4 ai

I1 1 2 3 5 60

I2 2 6 5 9 90

I3 3 4 4 5 120

bj 70 60 70 100Rj. Optimalni plan ima trosak od 910 novcanih jedinica.


Modifikacije transportnog problema

Nadite optimalni plan prijevoza i izracunajte minimalni trosak transportnogproblema zadanog tablicom u kojoj su navedeni ponuda, potraznja ijedinicni troskovi transporta.

O1 O2 O3 aiI1 3 1 5 450

I2 3 1 2 200

I3 2 2 1 250

I4 4 4 6 350

I5 2 0 3 400

bj 900 200 400

T = 3 250

Za koliko se posto poveca trosak ako je onemogucena komunikacija izI5 u O1?

12.3%.


Forsiranje dostave

Transportni problem zadan je tablicom:O1 O2 O3 ai

I1 3 5 4 6000

I2 4 1 3 7000

I3 1 1 6 3000

bj 6500 7800 9600

Odredite minimalne troskove transporta. (29 700)

Za koliko se posto poveca trosak ako trecem odredistu treba dostavitibarem 50% robe? (10.4%)


Minimizacija vremena transporta

Izuzetno opasan plin treba prevesti zeljeznicom. Proizvodnja plina,potraznja i vrijeme transporta u satima zadana su tablicno:

O1 O2 O3 O4 proizvodnja

P1 3 15 6 4 55

P2 10 8 10 5 80

P3 4 3 6 10 40

potrebe 55 55 90 20

Rijesite problem tako da sto manje plina dugo putuje.


Lakokvarljiva riba

Ribarnica ima cetiri ribarske luke u kojima se dnevno izlovi po 7t robe. Iztih luka riba se dostavlja u pet gradova, koji dnevno potrazuju 4, 5, 6, 8 i 9tona ribe. Ako se iz prve luke do gradova riba dostavi za 3, 4, 2, 5 i 6 sati,iz druge za 4, 2, 3, 1 i 5 sati, iz trece za 1, 2, 3, 3 i 4h, te iz cetvrte treba5, 2, 1, 3 i 4 sata. Zadatak je napraviti plan po kojem ce riba najkrace bitina cesti.


Skupa neisporuka

Rijesite transportni problem, ako svaki neisporuceni transformator donosistetu od 10 novcanih jedinica. Kolicine proizvedenih transformatorapotraznja za njima i jedinicne cijene transporta dani su tablicno:

C1 C2 C3 C4 aiP1 3 4 2 0 240

P2 4 3 5 1 280

P3 2 3 2 4 250

bj 180 160 220 180

(rjesenje: T = 1670, 30 transformatora ostaje u P2).


Trcanje praznih vagona

Na cetiri kolodvora ima redom 28, 22, 36 i 14 praznih vagona. Sest stanicatreba redom: 20, 15, 17, 12, 8 i 28 praznih vagona. Udaljenosti kolodvora istanica dane su tablicom. Napravite plan prijevoza tako da umnozak brojavagona i kilometara bude najmanji.

S1 S2 S3 S4 S5 S6

K1 20 27 30 35 40 45K2 18 35 40 42 50 20K3 40 30 35 25 48 40K4 21 45 28 32 40 44

Za koliko se posto povecaju vagonski kilometri, ako se ukine najkracapruga koja se koristi?


Problemski zadatak

Zadatak

Na skladistima stize redom po 60,70 i 55 tona robe mjesecno. Sest robnihkuca mjesecno potrazuju redom po 20,40,30,55,15 i 35 tona robe.Jedinicni troskovi prijevoza iz prvog skladista u svaku od prodavaonicaiznose redom: 3,2,2,3,3 i 1 kunu. Iz drugog skladista: 2,0,1,1,0 i 1 kunu.Iz treceg:1,4,3,4,2 i 0 kuna. Odredite optimalni plan prijevoza i ukupnitrosak.

(rjesenje: T = 185).


Primjena Maksimizacija

Mesnica proizvodi 480 sunki, 400 salama i 230 hamburgera. Svakiproizvod moguce je prodati kao sirov ili posusen. U vlastitoj pusnicimoguce je susiti 420 proizvoda, a u unajmljenoj jos 250. Cisti dobitci poproizvodu u kunama dani su u tablici.

svjeze dimljeno doma dimljeno sa strane

Sunke 48 84 66Salame 24 72 42

Hamburgeri 24 78 54

Odredite plan proizvodnje koji ce dati najveci prihod i izracunati taj prihod.


Problem s kavom

Tri przionice ispeku mjesecno redom po: 10,15 i 25 tona kave. Kava se izprzionica transportira u cetiri prodajna sredista i to: prvo trazi 5 tona,drugo 10, trece 20 i cetvrto 15. Troskovi transporta po jednoj toni iz prveprzionice u svako od prodajnih sredista redom iznose: 800,300,500 i 200kuna. Za drugu przionicu oni su redom: 400,100,600 i 700 kuna. Trecaprzionica ima po toni trosak do prodajnih mjesta: 100,900,400 i 300 kuna.Treba izracunati minimalni trosak i naci odgovarajuci plan.

(rjesenje: T = 14000 kuna).


Projektni zadatak

Zadatak

U tri skladista nalazi se redom 50, 70 i 100 tona robe koju trebatransportirati u tri tvornice koje su narucile redom 60, 80 i 80 tona robe.Troskovi transporta po toni robe dani su u tablici

T1 T2 T3S1 50 30 30

S2 10 30 50

S3 10 20 40

Koristeci program WINQsb odredite plan transporta za koji ce troskovi bitiminimalni.

T = 5000


Analiza dobivenog rjesenja

1 Postoji li alternativno rjesenje s istim troskom?

2 U kojem podrucju cijena se plan ne mijenja?

3 U kojem podrucju ponude (potraznje) ostaje isti plan?

4 Napraviti sto - ako analizu za cetiri karakteristicna slucaja.5 Naproviti parametarsku analizu:

1 za trosak transporta S2T22 za ponudu S33 za potraznju T2


Projektni zadatak - asfaltne baze

U tri asfaltne baze (A1,A2,A3) pripremi se redom 65, 85 odnosno 95 tonaasfalta koji treba transportirati na tri radilista (R1,R2,R3) s potrebamaredom 75, 95 I 90 tona. Troskovi transporta jedne tone od pojedine bazedo radilista prikazani su u sljedecoj tablici:

R1 R2 R3A1 50 30 30

A2 10 30 50

A3 10 20 40

Koristeci program WINQsb odredite plan transporta za koji ce troskovi bitiminimalni.


Analiza dobivenog rjesenja

1 Postoji li alternativno rjesenje s istim troskom?

2 U kojem podrucju cijena se plan ne mijenja?

3 U kojem podrucju ponude (potraznje) ostaje isti plan?

4 Napraviti sto - ako analizu za cetiri karakteristicna slucaja.5 Naproviti parametarsku analizu:

1 za trosak transporta A1R22 za ponudu A23 za potraznju R3


Transportna mreza

Skup je osnovni pojam koji se ne moze definirati.

Kartezijev produkt skupova A B = {(x , y)|x A, y B}.Relacija R na skupu A je jedan podskup A A.Graf je uredeni par (A,R).

Tocke grafa - elementi skupa.

Lukovi ili komunikacije - elementi relacije.

Pondiranje lukova je funkcija p : R R+.Graf je neorijentiran ako je relacija simetricna:(x , y) R (y , x) R.Ulaz u graf je vrh u A, takav da ne postoji (x , u) R za x A.Izlaz iz grafa je vrh v A, takav da ne postoji (v , x) R za x A.

Transportna mreza je orijentirani graf s jednim ulazom i jednim izlazom.


Matrica transportne mreze

Elementi matrice

aij =

{p(i , j), (i , j) R

0, inace

Zadatak

Nacrtajte transportnu mrezu zadanu matricom A.

A =

0 30 45 0 0 00 0 15 20 0 00 0 0 10 15 00 0 0 0 0 350 0 0 20 0 250 0 0 0 0 0


Najkraci put

Put kroz transportnu mrezu je niz (u, x1), (x1, x2), . . . , (xn1, v)elemenata iz R.

Najkraci put ima najmanji zbroj ponderap(u, x1) + p(x1, x2) + + p(xn1, v)

Zadatak

Odredite najkraci put kroz nacrtanu mrezu.


Maksimalan tok

Maksimalan tok kroz putTi = min{p(u, x1), p(x1, x2), . . . , p(xn1, v)}.Dva se toka Ti i Tj mogu usporedno propustiti ako jeTi + Tj p(xk , xk+1) za svaki luk iz presjeka putova.Maksimalan tok kroz mrezu je zbroj maksimalnih tokova koji se moguistovremeno pustiti.

Poluput ili lanac je niz sukcesivnih lukova bez obzira na orijentaciju.

Tok se moze propustiti suprotnim smjerom u slucaju da jekomunikacija zauzeta.

Zadatak

Odredite maksimalan tok kroz nacrtanu mrezu.


Rez minimalnog kapaciteta

Rez u mrezi je skup lukova cije ukidanje onemogucava komunikacijuulaza i izlaza iz mreze.

Kapacitet reza je zbroj pondera svih lukova u rezu.

Rez minimalnog kapaciteta je rez s najmanjim kapacitetom.

Teorem

Rez minimalnog kapaciteta jednak je maksimalnom toku.

Zadatak

Odredite rez minimalnog kapaciteta za nacrtanu transportnu mrezu.


Patologija

Poluput ili lanac je niz sukcesivnih lukova bez obzira na orijentaciju.

Tok se moze propustiti suprotnim smjerom u slucaju da jekomunikacija zauzeta.

Primjer

Transportna je mreza zadana matricom

M =

0 7 9 00 0 3 90 0 0 80 0 0 0

.Odredite maksimalni tok.


Da li smo razumjeli?

Matricom je zadana transportna mreza. Nacrtajte mrezu. Odreditenajkraci put, a zatim i maksimalan tok, koji provjerite rezom minimalnogkapaciteta.

T =

0 50 85 65 0 0 0 0 0 00 0 20 0 35 0 10 0 0 00 0 0 20 45 0 0 60 0 00 0 0 0 0 30 0 0 35 00 0 0 0 0 0 0 45 0 00 0 20 0 0 0 0 0 40 00 0 0 0 25 0 0 45 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 60 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Primjena racunala

Odredite najkraci put, maksimalni tok i rez minimalnog kapacitetanacrtane transportne mreze.

100

10

20

70

30

20

5040

20

10

30

20

60

50

10

80

60

90

20

40

90

80


Druga primjena racunala

Odredite najkraci put, maksimalni tok i rez minimalnog kapacitetanacrtane transportne mreze.

60

30

40

30

80

10

10

30

20

20

30

100

70

20

10

40

90

80

30

20

20

20

30

60

90

80

70

10

10

100

30


Documents

Operacijska Gospic 2014