BIENVENIDA

Estos apuntes tienen la finalidad de ser un apoyo para lograr aprendizajes correspondientes al curso de Ondas Mecnicas, esperando que sirvan de apoyo al joven estudiante y agradezco que si hay algn error me lo hagan saber. Por lo cual le digo

LA CIENCIA SE COMPONE DE ERRORES QUE A SU VEZ, SON LOS PASOS HACIA LA VERDAD JULIO VERNE

Objetivo General

El alumno analizar los fenmenos ondulatorios que ocurren en los sistemas fsicos, identificando los modelos matemticos de las ondas mecnicas y extendiendo estos conceptos a las ondas electromagnticas.

CONTENIDO

UNIDAD I Caractersticas del movimiento ondulatorio 5

1.1 Introduccin1.2 Caractersticas del movimiento ondulatorio (MO.)1.3 Similitudes y diferencias entre el M.O. y el movimiento oscilatorio1.4 Diferencias entre las ondas mecnicas y las ondas electromagnticasUNIDAD II Descripcin matemtica del M.O. 232.1 La funcin de onda armnica como modelo del M.O.2.2 Elementos de la funcin de onda amplitud de onda, nmero de onda y frecuencia angular2.3 Velocidad de propagacin de los frentes de onda2.4 Relacin de los conceptos: longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagacin

UNIDAD III Ecuacin diferencial del movimiento ondulatorio y solucin 28

3.1 Presentacin de la ecuacin diferencial del movimiento ondulatorio, en una dimensin espacial en medios no dispersivos.3.2 Solucin mediante el mtodo de Fourier de separacin de variables3.3 Teorema de Euler y representacin de soluciones en trminos de funciones armnicas3.4 Solucin general de la forma (x,t) =f(x vt)3.5 Presentacin de la ecuacin diferencial del movimiento ondulatorio en medios dispersivos

UNIDAD Ondas longitudinales 33

4.1 Concepto de ondas longitudinales4.2 Ondas longitudinales elsticas en una barra4.3 Ondas longitudinales de presin y densidad en una columna de gas4.4 Anlisis de la energa transportada Intensidad

UNIDAD V Ondas transversales 47

5.1Concepto de ondas transversales5.2Ondas transversales elsticas en una cuerda5.3Anlisis de la energa transportada. Intensidad5.4Reflexin y transmisin de ondas5.5Ondas estacionarias en una cuerda5.6Ondas elsticas transversales en una barra5.7Ondas de torsin en una barra

UNIDAD VI Ondas de dos y tres dimensiones 60

6.1Ondas planas en tres dimensiones. Vector de propagacin6.2Ecuacin de onda en tres dimensiones6.3Ondas planas y circulares en una superficie lquida6.4Ondas superficiales en una membrana tensa6.5Ondas esfricas en un fluido6.6Ondas ssmicas6.7Efecto Doopler acstico6.8Onda de choqueUNIDAD: VIl Introduccin al Anlisis de Fourier de pulsos y seales. 78 7.1 Analoga entre vectores y seales7.2 Algunos ejemplos de funciones ortogonales7.3 Representacin de una funcin peridica mediante la series de Fourier7.4 Calculo de los coeficientes de Fourier para algunos pulsos tpicos7.5 Velocidad de fase y velocidad de grupo

UNIDAD 1: Caractersticas del Movimiento Ondulatorio1.1 IntroduccinCuando golpeamos una campana o encendemos una radio el sonido se oye en puntos distantes de la campana o del radio. El sonido se ha transmitido a travs del aire que nos rodea. Si estamos en la playa y un bote pasa veloz mente a cierta distancia de la orilla sentimos una onda producida por su rpido movimiento. Aunque el mecanismo fsico puede ser diferente para cada uno de los procesos mencionados, todos ellos tienen caracterstica comn; son situaciones fsicas producidas en un punto del espacio, que se propagan atreves del mismo y se reciben en otro punto.Todos estos procesos son ejemplos del movimiento ondulatorio. Suponiendo que tenemos una propiedad fsica descrita por cierto campo. Este puede ser un campo electromagntico. La deformacin de un resorte, la presin en un gas, la deformacin de un sonido. El desplazamiento transversal de una cuerda, y suponiendo que las condiciones en un lugar lleguen a ser dependientes del tiempo o dinmicas, del modo que haya una perturbacin del estado fsico en la que el lugarLas propiedades fsicas del sistema descritas por las ecuaciones del campo dependiente del tiempo, dan como resultados la propagacin de esta perturbacin (ONDA) a travs del espacio. Entonces decamos que hay una onda asociada al campo particular considerado.Por ejemplo consideremos la superficie libre de un lquido. El capo en este caso es el desplazamiento de cada punto de la superficie con respecto a su posicin de equilibrio; En condiciones de equilibrio o estticas la superficie libre de un lquido ES PLANA Y HORIZONTAL. Pero si en un punto las condiciones de la superficie se perturban dejando car una piedra esta perturbacin se propaga en la superficie del lquido. En esta unidad analizaremos las caractersticas generales del movimiento ondulatorio, para comprender las ondas mecnicas. Onda.-Perturbacin peridica que se propaga a travs de algn medio a partir de un centro emisor. Movimiento Ondulatorio.-Describe una situacin fsica que viaja o se propaga a un medio fsico o material. Movimiento Ondulatorio Longitudinal.-Movimiento en el cual las partculas del medio oscilan a la misma direccin a que avanza la onda, las ondas sonoras son ejemplo. Movimiento Ondulatorio Transversal.-Movimiento en el cual las partculas del medio oscilan en direccin perpendicular a la direccin en la que avanza la onda.

Comentarios del alumno

1.2 Caractersticas Fundamentales del Movimiento Ondulatorio que se propaga en un medio cualquiera:

1- Cada partcula del medio sufre una oscilacin muy pequea con respecto a su posicin de equilibrio2- Mientras unas partculas se estn moviendo en un sentido, otras se estn moviendo en sentido contrario y la combinacin de esos movimientos dan la apariencia de una serie de ondas que avanzan con una gran rapidez.3- Debido a la uniformidad de la oscilacin del centro emisor las crestas y los valles (o bien las ondas de compresin y de dilatacin) estn equidistantemente espaciadas por una distancia llamada longitud de onda.

SonorasSsmicasEsfricasOndas en un CuerdaOndas MecnicasEn una Columna de GasOndas de PresinOndas de Choque

Radio Rayos X,,,Ondas Electromagnticas Luz Microondas

Comentarios por el alumno

Importancia del Movimiento Ondulatorio

Existen muchas formas de energa que se propagan en forma de ondas. As por ejemplo, la energa sonora se propaga en forma de ondas longitudinales en la materia. La energa luminosa se propaga en forma de ondas electromagnticas transversales.En la misma forma se propaga el calor. Tambin depende del movimiento ondulatorio, la radio comunicacin (onda larga, onda corta, radar, televisin, direccin de cohetes y proyectiles para satlites artificiales, etc.). Hay otro tipo de oscilaciones de los fenmenos ondulatorios, como son las grficas en la medicina (electrocardiogramas, electroencefalogramas, tomografas, resonancias magnticas, etc.).

Comentarios del alumno

1.3 Movimiento Ondulatorio VS Movimiento Oscilatorio

124

SimilitudesAmbos se transmiten en un medio fsico.Ambos son oscilantes.Ambos son dinmicos.Ambos tienen frecuencia y periodo.Ambos generan ondas mecnicasAmbos poseen velocidad angular

DiferenciasEl movimiento ondulatorio se puede transmitir en el vaco.El movimiento oscilatorio se efecta en un intervalo mientras que el ondulatorio llega de un punto a otra Ambos movimientos transportan energa, pero el oscilatorio tambin transporta materia.El movimiento oscilatorio puede generar movimiento ondulatorio pero no al revs. El movimiento oscilatorio tiene una fuerza restauradora y el ondulatorio no.El movimiento ondulatorio al tener un obstculo lo rodea o atraviesa mientras que el oscilatorio no.El movimiento oscilatorio pasa por el punto de equilibrio y el movimiento ondulatorio no.

El movimiento peridico es el movimiento repetitivo de un cuerpo en el cual este corre un intervalo fijo. El pndulo es un ejemplo de movimiento peridico.

A los movimientos de un objeto en uno y otro sentido se le llama oscilacin.

Un tipo especial del movimiento peridico es el movimiento armnico simple. El movimiento armnico simple es la base para entender las ondas mecnicas. Las ondas de sonido, las ondas ssmicas, las ondas en las cuerdas estiradas y otras que se producen por alguna fuente de oscilacin son ejemplos de ondas mecnicas. Cuando una onda del sonido se desplaza en el aire, las partculas del aire oscilan en un sentido y otro produciendo las ondas. En general, cuando las ondas se mueven en cualquier medio, las partculas del medio se mueven en ciclos repetitivos, como el de un cuerpo unido a un resorte.

Por ejemplo aun cuando los rascacielos y puentes parecen son rgidos, en realidad oscilan, una condicin que arquitectos e ingenieros que los crean y construyen deben tener en cuenta. Para comprender como funciona la radio y televisin se debe entender el origen y naturaleza de las ondas electromagnticas y la forma en que se propagan.

El Movimiento Armnico Simple (MAS)

Como Modelo para un M.A.S. consideramos un bloque de masa (m) unidad al extremo de un resorte, con el bloque libre de moverse en una superficie horizontal sin friccin y rozamiento en la figura siguiente:

Cuando el resorte no est estirado ni comprimido, el bloque est en la posicin llamada posicin de equilibrio del sistema que identificamos como (x=0).Sabemos por experiencia que este sistema oscila en un sentido y otro si se saca de su pocin de equilibrio. El desplazamiento x desde su posicin de equilibrio es positivo si el resorte se estira y es negativo si el resorte se comprime. En el estado de equilibrio el muelle no ejercer ninguna fuerza sobre el cuerpo. Cuando el cuerpo sebe desplazado en una cantidad x de su posicin de equilibro, el resorte ejerce una fuerza kx que viene dada por la ley de Hook.

Ley de Hook

F = - kx=ma

Donde k es la constante del resorte, caracterstica de su rigidez. El signo menos indica que se trata de una fuerza restauradora; es decir se opone al sentido del desplazamiento respecto al punto de equilibrio. Sin cambios la ecuacin a con la segunda ley de newton tenemos:-kx = maa = a = a = La aceleracin es proporcional al desplazamiento y tiene sentido contrario; por lo tanto la condicin del MAS en funcin de las caractersticas es: siempre que la aceleracin sea proporcional a su desplazamiento pero con sentido opuesto, el objeto se mover con movimiento armnico simple.El tiempo que emplea un objeto desplazado para realizar una oscilacin completa alrededor de su posicin de equilibrio se denomina periodo T el reciproco es la frecuencia f, que es el nmero de oscilaciones por segundo.T = f = Por ejemplo si el tiempo necesario para una oscilacin completa es de 0.25 segundos cual ser la frecuencia f =

f=4 HzExperimentalmente podemos obtener x en funcin de t para una masa unida a un resorte, mediante la siguiente ecuacin:x = Acos(t + )Que es la ecuacin que define al MAS en donde A, y w son constantes.

El desplazamiento mximo de A respecto a la posicin de equilibrio se denomina amplitud. El argumento de la funcin coseno se denomina fase del movimiento y la constante se denomina constante de fase. Esta constante corresponde a la fase cuanto t = 0, obsrvese que:

cos (t + ) = sen (t + +)Por lo tanto, expresar la ecuacin como una funcin coseno o seno depende simplemente de la fase de la oscilacin en el momento en que elijamos t = 0.

Si tenemos solo un sistema oscilante siempre podemos elegir t = 0 de modo que = 0, si tenemos dos sistemas oscilantes con igual amplitud y frecuencia, pero diferente fase podemos elegir = 0 para uno de ellos. Por ejemplo las ecuaciones de los sistemas:x1= A cos (t) x2= Acos (t+)

Si la diferencia = 0 o un numero entero par de base entonces X2 = X1, y se dice que los sistemas estn fase.Si la diferencia de fase es o un numero entero impar de veces entonces X2 = - X1 y se dice que los sistemas estn fuera de fase en 180 Si tenemos la ecuacin:x= A cos (t + )m

Velocidad del M.A.S.v = = - A sen (t + )

Aceleracin del M.A.Sa = = = - A sen (t + ) a = - x

La amplitud A y la constante de fase pueden determinarse a partir de la posicin inicial de X0 y de la velocidad inicial V0 del sistema haciendo t = 0 en X= A cos (w t + ) lo que nos da como resultado X0 = A cos

Las funciones coseno y seno repiten su valor cuando la fase se incrementa 2T = 2 = 2 = 2 fLa constante w se denomina frecuencia angular, cuyas unidades es el radian sobre segundo y sus dimensiones son la inversa del tiempo

x= A cos (2 f t + )f = = f = =

Esto es, el periodo y la frecuencia depende solo de la masa de la partcula y la constante de fuerza del resorte y o solo de los parmetros del movimiento como son A y la constante de fase .La frecuencia es mayor para un resorte ms rgido (el valor ms grande de k) y disminuye con una creciente masa de la partcula.En conclusin podemos obtener la velocidad y aceleracin de una partcula que experimenta MS mediante la siguiente ecuacin: a = = = - A cos ( t + )

Como las funciones seno y coseno oscilan entre 1 los valores extremos de la velocidad V son A del mismo modo los valores extremos de la aceleracin son A. Los valores mximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleracin son:

Velocidad Mximavmx. = A =A

Aceleracin Mximaamx.= A = A

Energa del M.A.S.

Cuando un objeto oscila con MS la energa cintica y potencial de un sistema varan con el tiempo. Su suma, la energa total:ET = Ec + U

Consideremos un objeto a una distancia x del equilibrio sobre el que acta una fuerza restauradora kx la energa potencial de un sistema es:U = kA cos(t + )

La energa cintica del sistema es:Ec = mvEn la cual se sustituye la velocidad del M.A.S.v = - Asen(t + ) = Ec = kA sen (t + )Comosen (t+ ) + cos (t + ) = 1

Entonces la energa total est dada por:ET= kA Comentarios del alumno

Recordemos la clasificacin de las ondas mecnicas y electromagnticasSonorasSsmicasEsfricasOndas en un CuerdaOndas MecnicasEn una Columna de GasOndas de PresinOndas de Choque

Radio Rayos x,,,Ondas Electromagnticas Luz Microondas

1.4 Ondas Mecnicas VS Ondas Electromagnticas

Similitudes Ambas tienen periodo, frecuencia, amplitud y longitud de onda.Ambas se propagan describen una funcin sinusoidal.

DiferenciasLas ondas mecnicas necesitan un medio material para propagarse y las electromagnticas se propagan en un medio material y el vaco.Las ondas electromagnticas radian estn regidas por los campos magnticos.La velocidad de las ondas mecnicas se ven afectadas por las caractersticas del medio y no las electromagnticas.La percepcin fsica que tenemos de las ondas es portada clase de presin y movimiento, la luz y calor.Dos ondas mecnicas pueden superponerse en el mismo punto del medio sin modificar una a la otra

Vibraciones y OndasAmbos conceptos el de vibracin y el de onda son importantes para entender las teoras que tratan de explicar actualmente el mundo que nos rodea. Ambos aparecen en forma fundamental en teoras tales como la luz, el sonido, el calor, las microondas y el estudio ultramicroscpico de los tomos, las partculas y los fenmenos con ellos relacionados. Todo movimiento simple o complejo que repite a intervalos regulares de tiempo recibe el nombre de movimiento peridico. En la vida diaria pueden encontrarse muchos ejemplos de un cierto tipo de movimiento peridico que se denomina MS. El MS se justifica mediante el balanceo de un pndulo de reloj y la medicin de un diapasn ya que estos movimientos se describen en funcin del movimiento peridico. El pndulo simple es un sistema mecnico que consta de una partcula o plomada de masa m suspendida de una cuerda ligera de longitud l que esta fija en el extremo superior.

Para oscilaciones pequeas diferente de 0

Cuando est en equilibrio el pndulo cuelga verticalmente tal como una lnea plomada. Cuando se libera a cierto ngulo con la vertical el movimiento es bidireccional; sin embargo la posicin del pndulo puede describirse completamente mediante un solo parmetro: el ngulo entre la cuerda y la vertical como se puede observar en la siguiente figura

m m

Este ngulo se considera como positiva en el lado derecho de la vertical con respecto a la posicin de equilibrio y como negativa en el lado izquierdo.Dado que la lenteja y la cuerda se balancean con una unidad rgida el movimiento puede considerarse como rotacin en torno de un eje horizontal a travs del punto de suspensin y la ecuacin del movimiento es la de un cuerpo rgido I = TI = Momento de inercia a travs del punto de suspensin = Aceleracin AngularT = Torque o tuercaLa fuerza de suspensin no ejerce torque o tuerca, dado que su punto de aplicacin esta sobre el eje de rotacin (su brazo es cero): T = - mg l senT = l senEl signo menos de la ecuacin indica que esta es un torque o tuerca restauradora que tiende a jalar el pndulo hacia la posicin de equilibrio.El momento de inercia I del sistema cuerda lenteja es simplemente el de una particular de masa m a la distancia I desde el eje de rotacin:I = m L (Kgm2)

Por lo tanto la ecuacin del movimiento de rotacin se convierte en mL = - mg L sen = - () sen Esta ecuacin del movimiento solo se aplicara en el caso especial de oscilaciones pequeas entorno de la posicin de equilibroSen diferente de Cos = 1 - Tan = = () = A cos (t + )f = = ( ) ProblemasCalcular la longitud de un pndulo simple si este hace 30 oscilaciones por minutof = = 0.5 HzT = = 2 segundosT = Despejando l tenemos: = = = 0.99 m

Cul debe ser la longitud de un pndulo simple si se desea que de exactamente un balanceo por segundo, (si una vibracin completa toma exactamente 2 segundos)?T = 2 segundos f = = 0.5 = HzT = despejando tenemos: = = = = 0.99 1m

UNIDAD 2: Descripcin matemtica del M.O. Funcin de Onda.

2.1 La Funcin de Onda Armnica como modelo del Movimiento Ondulatorio.Las ondas armnicas constituyen la clase ms bsica de las ondas peridicas. Todas las ondas, tanto si son peridicas como si no lo son, pueden describirse como la suma de las ondas armnicas. Por consiguiente, el conocimiento del movimiento de las ondas armnicas es fundamental para obtener la descripcin de cualquier clase de movimiento ondulatorio. Si una onda armnica se mueve por un medio, cada punto del medio oscila siguiendo un MAS.Si un extremo de una cuerda se sujeta aun diapasn que est vibrando con movimiento armnico simple, se produce un tren de ondas sinusoidales es que se propaga a lo largo de la cuerda. Este tren de ondas es una onda armnica. La forma de la cuerda es una funcin sinusoidal.

La figura muestra una onda armnica en cierto instante de tiempo donde A es la amplitud y es la longitud de onda.

La Distancia mnima recorriendo el espacio hasta que la funcin de ondas se repite (la distancia entre crestas) se llama longitud de onda landa .Cuando la onda se propaga por la cuerda cada punto de la misma se mueve hacia arriba y hacia abajo (perpendicularmente a la direccin propagacin realizando un MAS cuya frecuencia f es la frecuencia del diapasn.Durante un periodo: T = la onda se mueve una distancia de una longitud de onda de modo que la velocidad viene dado por la siguiente ecuacin.v = = fComo en esta relacin surgen las definiciones de longitud de onda y frecuencia, vlidas para todas las ondas armnicas.

ProblemaUn pescador observa que las crestas de las ondas pasan cada 3 segundos. Mida la distancia entre dos crestas consecutivas en 6.5 m. Calcule la velocidad a la que viajan las ondas.T = 3 segundos = 6.5 m = vTDespejando vv = v =

La funcin sinusoidal que describe el desplazamiento de la figura anterior es: Y (x) = A sen ( + )

En donde A es la amplitud, landa la longitud y delta una constante de fase. Esta ecuacin se expresa de la siguiente manera: Y (x) = A sen (k x + )Donde k es el nmero de onda y est dado pork = Observe que las unidades de k son m-1, como el ngulo debe expresarse en radianes, a veces las unidades de k siempre son radianes sobre metro.Como es el nmero de ondas que existen en un metro de longitud, k = es el numero de ondas en una distancia de 2 m.Para describir una onda que se mueve hacia la derecha con una velocidad v sustituyen x en la ecuacinY (x) = Asen(k x + )x, por x vt

La funcin de onda en este trayecto considera = 0 puede escribirse Y (x, t) = A sen (k ())Y (x, t) = A sen (k x - k v t)Y (x, t) = A sen (k x + t)Esta ltima es Funcin de Onda ArmnicaEn donde = k v es la frecuencia angular, que se encuentra relacionada con la frecuencia de vibracin f y el periodo t en la formula usual

= = T = 2 f = kvk = 2 f = kv = () vLa rapidez de fase v de la onda que a menudo llamaremos rapidez de onda est dado por: v = f = =

f (x) = (x vt) Hacia la Derechaf(x) = (x + vt) Hacia la Izquierda

Comentarios del alumno

.

UNIDAD 3: ECUACION DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.Analizaremos como determinar en un campo dado y en funcin del tiempo, como se propaga una onda sin distorsin. Como los campos asociados a cada proceso fsico, estn gobernados por leyes dinmicas (caractersticas de cada proceso), que pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, debemos de explorar la posibilidad de encontrar una ecuacin diferencial que sea aplicable a todo tipo de movimiento ondulatorio. Entonces cada vez que reconozcamos un campo particular, como resultado de sus propiedades fsicas y que satisface tal ecuacin, podemos estar seguros que el mismo se propaga a travs del espacio con velocidad definida y con distorsin, entonces estamos en condiciones de describir tal campo por medio de diversas ecuaciones compatibles con la ecuacin de onda.

3.1 Presentacin de la ecuacin diferencial del movimiento ondulatorio

La ecuacin que encontramos muchas veces y que describe un movimiento ondulatorio que se propaga con una velocidad (v) definida y sin distorsin segn la direccin (+x o -x) es:

La solucin general de la ecuacin anterior tiene la forma:(x, t) = f (x vt)(x, t) = f1 (x- vt)+ f2 (x+ vt)

3.2 Solucin mediante el mtodo de Fourier de separacin de variables

De este modo la solucin general de la ecuacin anterior se puede expresar como la sper posicin de dos movimientos ondulatorios que se propagan en la misma direccin pero en sentido opuesto desde luego, para una onda que se propaga en un solo sentido aparecer una sola de las dos funciones de la ecuacin anterior.Sin embargo, cuando tenemos una onda incidente que se propaga segn +x y una onda que se refleja y que se propaga segn x se debe usar la forma general de la funcin.Para comprobar que una expresin es una solucin de la ecuacin de onda debemos recordar algunos artificios matemticos.Si tenemos una funcin y= f (v) en donde v es a su vez funcin de x esto es v(x) entonces tendremos que:

Llamada regla de la cadena para derivacin. (Tema a desarrollar en clase)

3.3 Teorema de Euler y representacin de la solucin en trminos de funciones armnicas

/2- /2-

f(x) = 1 si - x - /2

f(x) = 0 si- /2 x 0

f(x) = 0 si0 x /2

f(x) = 1 si /2 x

EntoncesCoeficientes de las series armnicas a0 = 1/ an = 1/ bn = 1/

3.4 Solucin general de la forma (x,t) =f(x vt)

Anlisis de Fourier del movimiento ondulatorio.El teorema de Fourier establece que una funcin peridica f (t) de periodo T= puede expresarse como la sumaF (t)=a0+a1cos t +a2 cos 2 t +...+an cos n t +...+ b1sen t +b2sen 2 t +...+bnsen n t +... Que se conoce como serie de Fourier. La frecuencia w se denomina frecuencia fundamental y las frecuencias 2, 3 ,4... son los armnicosEste mismo resultado se aplica al movimiento ondulatorio peridico. Supongamos que x=f(x-v t) sea un movimiento ondulatorio peridico, esto es un movimiento que se repite a s mismo en los instantes T, 2T, 3T,...,nT,... . En otras palabras

x=f(x-v t) = f [x-v (t+T)]=f(x vt+vT)Esto significa que en un instante dado, el valor de x se repite cuando x aumenta o disminuye en vT, 2vT,...,nvT,... . Por lo tanto, si en lugar de cambiar t, cambiamos x en la cantidad =v T, la onda se repite a s misma en el espacio.Supongamos ahora que x=f(x) es una funcin peridica en el espacio, de periodo , esto es f(x)=f(x+). Por tanto segn el teorema de Fourier podemos escribirx =f(x)=a0+a1coskx +a2cos 2k x +...+ancosnkx +...+ b1senkx +b2sen 2kx +...+bnsen n kx +... Donde k = juega ahora el mismo papel que antes . Entonces el movimiento ondulatorio descrito por x=f(x-v t) puede expresarse comox = f(x- v t)=a0+a1cos k(x-vt) +a2cos 2k (x-vt) +...+an cos nk(x-vt) +...+b1sen k(x-vt) +b2sen 2k(x-vt) +...+bnsen n k(x-vt) +... ya que =kv.x =f(x-vt)=a0+a1cos (kx-t) +a2cos 2(k x-t) +...+ancos n (kx-t) +...+b1sen (kx-t) +b2sen 2(kx-t) +...+bnsen n (kx-t) +... Lo cual indica que cualquier movimiento ondulatorio peridico se puede expresar como una superposicin de movimientos ondulatorios armnicos de frecuencias ,2, 3 ,4 ... y longitudes de onda , , . Comentarios del alumno

UNIDAD 4: ONDAS LONGITUDINALES

4.1 CONCEPTO DE ONDAS LONGITUDINALESLos risos en un estanque, los sonidos musicales, los temblores producidos por un terremoto; todos estos son fenmenos ondulatorios. Surgen ondas siempre que un sistema es perturbado de su posicin de equilibrio y la perturbacin puede viajar o propagarse de una regin del sistema a otra. Al propagarse una onda transporta energa. La energa de las ondas de la luz solar calientan la superficie terrestre; la energa de las ondas ssmicas pueden resquebrajar la corteza terrestre.Una onda viajera que ocasiona que las partculas del medio se muevan paralelas a la direccin del movimiento ondulatorio se le conoce como onda longitudinal.De todas las ondas mecnicas que se dan en la naturaleza, las ms importantes en nuestra vida diaria son las ondas longitudinales en un medio, usualmente el Aire, llamadas ondas sonoras.En general es muy apropiado describir las ondas sonaras en trminos de fluctuaciones de presin, sobre todo porque el odo es sensiblemente principal a cambiar de presin.La definicin ms general del sonido es que una onda longitudinal es un medio y lo que ms nos interesa son las ondas sonoras en el aire, aunque el sonido puede viajar por cualquier gas, liquido o slido. Las ondas sonoras ms sencillas son las sinusoidales, con la amplitud, longitud de onda y frecuencia definidas. El odo humano es sensible a las ondas sonoras en el intervalo de 20 o 20000 HZ llamada gama audible.Comentarios por el alumno

4.2 ONDAS ELSTICAS EN UNA BARRACuando golpeamos un extremo de una barra con un martillo, provocamos una perturbacin que viaja a lo largo de la barra y llega al extremo opuesto de la barra. Lo cual nos indica que se ha propagado una onda elstica a lo largo de la barra. Ahora nuestro propsito ser analizar detalladamente esta onda elstica y conocer como est relacionada su velocidad de propagacin con las propiedades fsicas de la barra. Consideremos una barra de seccin transversal uniforme A, sujeta a una fuerza segn su eje indicada por F.

Fuerza que la porcin derecha ejerce sobre la porcin izquierdaFuerza que la porcin izquierda ejerce sobre la porcin derecha

F

Las fuerzas sobre cualquier seccin transversal de una barra sometida a esfuerzo son iguales y opuestas.

Las fuerzas sobre cualquier seccin transversal de una barra sometida a esfuerzo son iguales y opuestas.

La fuerza F no es necesariamente la misma en todas las direcciones y puede variar a lo largo del eje de la barra. Sobre cada direccin transversal actan dos fuerzas iguales y opuestas como se observa en la figura 1, una en la tensin sobre la parte izquierda debido a la direccin derecha y la otra es la tensin sobre la parte derecha debido a la direccin izquierda de la barra.El esfuerzo normal o tensin sobre cada direccin de la barra se define como la fuerza por unidad de rea que se ejerce perpendicularmente a la seccin transversal en ambos sentidos. Por lo tanto tenemos:

La tensin normal se expresa en Bajo la accin de tales fuerzas cada seccin de la barra experimenta un desplazamiento paralelo al eje, si este desplazamiento es el mismo en todos los puntos de la barra, no se produce deformacin, sino simplemente un desplazamiento rgido de la barra segn su eje. El caso que analizaremos en el caso en el eje y se produce deformacin, de modo que haya una variacin de a lo largo de la barra, esto es que sea una funcin de x

A

X

FF

dXX

Fig.2

Onda longitudinal en una barra

Consideremos dos posiciones A y A separadas, la distancia dx en estado de equilibrio como se puede observar en la figura 2.Cuando la fuerza se manifiesta, la presin A se desplaza la distancia y la reaccin A la distancia .Luego la separacin entre A y A1 en estado de deformacin es:

dxt+(-=dx+d

Donde d=-. La deformacin de la barra es aquella regin ha sido por consiguiente d

La deformacin unitaria normal en la normal es la deformacin por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra. Como la deformacin d corresponde a la longitud dx, tenemos que la deformacin unitaria de la barra es

--- --- --- (2)

Ntese que cuando no hay deformacin, es constante y , o sea que no hay deformacin unitaria normal.La deformacin unitaria, siendo el cociente de dos longitudes, es una cantidad adimensional.

Entre el esfuerzo normal --- --- --- (3)Donde la constante de proporcionalidad es el mdulo de elasticidad de Young, se expresa en , ya que es un factor sin dimensiones.

La ley de Hooke es una buena aproximacin al comportamiento elstico de una sustancia siempre que las deformaciones sean pequeas. Cuando las tensiones y deformaciones son grandes la ecuacin 3 no es vlida y la descripcin de la situacin fsica se complica.

La siguiente tabla muestra las constantes de ciertos materiales, ellas son:

*El mdulo de Young *El mdulo de elasticidad de volumen K*Y el mdulo de rigidez G

Constantes elsticas (1011 Nm-2)

MaterialKG

Aluminio0.700.610.24

Cobre1.251.310.46

Hierro2.061.130.82

Plomo0.160.330.054

Nquel2.11.640.72

Acero2.01.130.80

Introduciendo las ecuaciones 1 y 2 en la ecuacin 3 y despejando F tenemos:

--- --- --- (4)

Cuando tenemos una barra o alambre en equilibrio una borra o alambre en equilibrio con un extremo fijo al punto 0 (fig. 3) y sujeto a una fuerza F aplicada en el otro extremo A, tenemos que la fuerza sobre cada seccin debe ser la misma e igual a F.

Si integramos la ecuacin 4 con F constante obtenemos la deformacin en cada seccin

La deformacin L en el extremo libre A se obtiene haciendo x=L, de modo que .Esta relacin nos permite medir experimentalmente el modulo de Young.Por lo tanto para calcular la velocidad de las ondas sonoras en una barra utilizaremos la siguiente ecuacin:

Donde: = mdulo de elasticidad de Young = densidad volumtrica del material

4.3 ONDAS LONGITUDINALES DE PRESIN Y DENSIDAD EN UNA COLUMNA DE GAS.Ondas de presin en una columna de gasLas ondas elsticas que se producen en un gas son dbiles a las variaciones de presin. El sonido es el ejemplo ms importante de este tipo de onda.Consideremos que las ondas se propagan en un gas encerrado en un tubo o cao cilndrico.Existe una diferencia importante entre las ondas elsticas en un gas y las ondas elsticas en una barra. Los gases son muy comprensibles y cuando se establecen fluctuaciones (vibraciones) de presin en un gas la densidad del mismo experimenta las mismas fluctuaciones de presin. En la siguiente figura el ncleo de un lquido o un gas en un tubo con pared rgida en el extremo derecho y un pistn mvil en el izquierdo. Si imprimimos al pistn mvil en el izquierdo.

Si imprimimos al pistn un movimiento hacia adelante y hacia atrs, el desplazamiento y las fluctuaciones de presin viajaran a lo largo del medio.Una regin comprimida se forma siempre que el pistn se empuje en el tubo. Esta regin comprimida, llamada compresin, se mueve por el tubo como un pulso, continuamente comprimiendo la regin situada frente a l, y la presin y densidad en esta regin caen por debajo de sus valores de equilibrio. Estas regiones de baja presin, llamadas rarefacciones, tambin se propagan.

A lo largo del tubo, siguiendo las compresiones.Cuando el embolo oscila senoidalmente, las regiones de compresin y expansin se forman continuamente. La distancia entre 2 compresiones sucesivas (o dos expansiones sucesivas) es igual a la longitud de onda . Cuando las ondas generadas por la compresin o expansin de cualquier elemento del medio se mueven con m.a.s. en la direccin de las ondas tenemos que S(x,t) en la posicin de un elemento pequeo con respecto a la posicin de equilibrio, la friccin de esta posicin se representa por:S(x,t)=Smx= mxima posicin del elemento con respecto al equilibrio (y tambin se le llama amplitud del desplazamiento)= frecuencia angular del pistn o embolo K= nmero de onda La variacin en la posicin del gas AP medida desde el valor de equilibrio tambin es peridica y est dada por:

= la amplitud de posicin que es el mximo cambio de posicin desde el valor de equilibrio

Comentarios del alumno

Por lo tanto en la figura anterior vemos que una onda de sonido puede ser considerada ya sea como una onda de desplazamiento o una onda de presin. La onda de presin est fuera de fase 90 con la onda de desplazamiento. Ntese que en la variacin de presin es mxima cuando el desplazamiento desde el equilibrio es cero, y el desplazamiento desde el equilibrio es mximo cuando la variacin de presin es cero.

Problema Una onda de sonido en el aire tiene una amplitud de presin igual a 4x10-3 N/m2. Calcule la amplitud de desplazamiento de la onda a una frecuencia de 10 KHz.Solucin: problemaDatos: Pmx = 4x10-3 N/m2f= 10 KHz = 10x103 Hz =1.20 kg/m3

= =

Intensidad del sonido. Cuando un radio funciona a todo volumen decimos que el sonido que emite es un sonido de gran intensidad (o bien, como se dice regularmente es un sonido fuerte), por otra parte el tic tac de un reloj es un sonido de pequea intensidad (o bien, un sonido dbil).La intensidad es una propiedad del sonido, que se relaciona con la energa de vibracin de la fuente de emite la onda sonora. Al propagarse, esta onda transporta energa. A mayor cantidad de energa, mayor ser la cantidad del sonido

ONDAS SONORAS EN UN GAS.

Dnde:R= constante universal de los gases ()T= temperatura del gasM= masa molecular del gas.

ONDAS SONORAS EN UN FLUIDO.Una onda sonora en un volumen de fluido causa compresiones y expansiones del fluido, de modo que el termino de fuerza de restitucin tiene que ver con la fcil o difcil que es de comprimir el fluido.Esto es precisamente lo que nos indica el mdulo de volumen (B) del medio segn la segunda ley de newton la inercia est relacionada con la masa. Lo masivo de un fluido se describe con su densidad (ro) que es la masa por unidad de volumen de ah que la rapidez de las ondas sonoras estn definidas por:

Donde:B= mdulo de volumenK= compresibilidad= densidad

Compresibilidad K (Pa-1) B = LiquidoPa-1Atm-1

Disulfuro de carbono 93x10-1194x10-6

Alcohol etlico110 x10-11111x10-6

Glicerina21 x10-1121x10-6

Mercurio3.7 x10-113.8x10-6

Agua45.8 x10-1146.4x10-6

Mdulo de elasticidad de volumen B (Pa) aproximado.MaterialMdulo de volumenVelocidad

Aluminio7.5x10105270.46 m/s

Latn6.0 x10102626.12 m/s

Cobre14 x10103961.70 m/s

Vidrio ptico5 x10101.38 m/s

Hierro16 x10104511.78 m/s

Plomo4.1 x10101901.45 m/s

Nquel17 x10104370.48 m/s

Acero16 x10104529.10 m/s

ProblemaUna piedra se deja caer partiendo del reposo en un pozo de 80 m de profundidad, a los 4.3 segundos se engancha al chapoteo. Calcule la velocidad del sonido en el aire. Sea t el tiempo que necesita la piedra para llegar a la superficie del agua, entonces se tiene:s = 80 m = Despejando el tiempo se tiene:t = = 4.05 segundos Este es el tiempo que tarda en llegar la piedra a la superficie del agua.Por lo que el tiempo que tarda el sonido en subir desde la superficie del agua a la boca del pozo, es de:t = 4. 3 segundos 4.05 = 0.25 segundosPor lo tanto, la velocidad del sonido ser: =

Comentarios del alumno

4.4 INTENSIDAD DE LAS ONDAS SONORAS.La intensidad de un sonido es la magnitud de la sensacion de equilibrio producida por las ondas sonoras. La intensidad depende del cuadrado de la frecuencia y la amplitud. Pero la sensibilidad del oido varia tanto en los diferentes dominios de frecuencia que intensidades igual produce sensaciones diferentes en los diferentes espectros de frecuencia.Definimos la intensidad I de una onda o la patencia por unidad de area como la tasa a la cual la energia que se transporta por la onda fluye por un rea unitaria A perpendicular a la dureccion de propagacion de la onda.

Intensidad de las ondas de sonido peridicas.La intensidad I de una onda, o la potencia por rea unitaria, es la rapidez a la que la onda transporta energa a un rea unitaria A perpendicular a la direccin de recorrido de la onda.

Debido a que las ondas sonoras se propagan y transfieren energa de una regin del espacio a otra, es til describir la energa transportada por un sonido mediante la intensidad de una onda I igual a la rapidez media con que la onda transporta energa por unidad de rea a travs de una superficie perpendicular a la direccin de propagacin.

Expresaremos la intensidad de una onda sonora en trminos de la amplitud de desplazamiento A o la amplitud de presin Pmx.

ProblemaLos sonidos ms dbiles que el odo humano puede detectar a una frecuencia de 1000Hz corresponden a una intensidad de alrededor de 1x10-12, el as llamado umbral auditivo. Los sonidos ms fuertes que puede tolerar el odo humano a esta frecuencia, corresponden a una intensidad de alrededor de 1 , que es el umbral del dolor. Determine la amplitud de presin y amplitud de desplazamiento asociado con los lmites.

ProblemaUna onda longitudinal sinusoidal continua se enva a lo largo de un resorte enrollado desde una fuente vibratoria conectada a l. La fuente tiene una frecuencia de 25 Hz y la distancia entre las rarefacciones sucesivas del resorte es 24cm. a) determine la velocidad de onda. b) Si el desplazamiento longitudinal mximo en el resorte es 0.30cm y si la onda sigue la direccin x, escriba la ecuacin correspondiente. f=25 Hz

a)

b)

Comentarios del alumno

UNIDAD 5 ONDAS TRANSVERSALES5.1 CONCEPTO DE ONDAS TRANSVERSALES.Considerando las propiedades fsicas de las ondas mcanicas y la direccin del movimiento de las partculas que se relacionan con la propagacin de la onda. Tendremos una onda transversal si el movimiento de las partculas del medio en donde viaja la onda, es perpendicular a la direccin de propagacin de la onda.

5.2 ONDAS TRANSVERSALES ELSTICAS EN UNA CUERDA.Qu se propaga en un movimiento ondulatorio? Es muy importante comprender que es lo que se propaga como onda en un movimiento ondulatorio.La respuesta generales una condicion fisica generado en algun lugar y que como consecuencia de la naturaleza del fenomeno, puede ser transmitido a otra regiones.consideremos los diferentes tipos tipos de ondas discutidos en la sexion anterior.Todas ellas corresponden a siertos tipos de movimiento de atomos o moleculas del medio a travez del cual la onda se propaga pero los atomos en promedio permanece en su pocicion de equilibrio.Entonces lo que se propaga no es la materia sino su estado de movimiento es una condicion dinamica que se transmite de una region a otra. Pero como estamos a costumbrados a describir las condiciones dinmicas empleando los conceptos de momentum y energia, podemos decir que en un movimiento ondulatorio se transmiteo se propaga energia.

El movimiento ondulatorio de la figura anterior podemos observar que los puntos de la cuerda vibran hacia arriva y hacia abajo, mientras se propaga hacia la deracha a lo largo de aquella. Una onda como esta en la que la vibracion de los puntos se hace en direccion perpendicular a la de la propagacion, se denomina onda transversal.La energia total de un segmento de cuerda que transporta una onda armonica es:Una onda transversal es una onda en movimiento que se caracteriza porque sus oscilaciones ocurren perpendiculares a la direccin de propagacin. Si una onda transversal se mueve en el plano x-positivo, sus oscilaciones van en direccin arriba y abajo que estn en el plano y z.Manteniendo una traza comparamos la magnitud del desplazamiento en instantes sucesivos y se aprecia el avance de la onda. Transcurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra como todos los puntos pasan por todos los estados de vibracin.Sin embargo para conocer cmo cambia el desplazamiento con el tiempo resulta ms prctico observar otra grfica que represente el movimiento de un punto. Los puntos en fase con el seleccionado vibran a la vez y estn separados por una longitud de onda. La velocidad con que se propaga la fase es el cociente entre esa distancia y el tiempo que tarda en llegar. Cualquier par de puntos del medio en distinto estado de vibracin estn desfasados y si la diferencia de fase es 90 diremos que estn en oposicin. En este caso los dos puntos tienen siempre valor opuesto del desplazamiento como podemos apreciar en el registro temporal. Este tipo de onda transversal igualmente podra corresponder a las vibraciones de los campos elctrico y magntico en las ondas electromagnticas. Una onda electromagntica que puede propagarse en el espacio vaco no produce desplazamientos puntuales de masa. Son ondas transversales cuando una onda por el nodo se junta con la cresta y crea una gran vibracin.

Problema Una cuerda de 2.72 m de largo tiene una masa de 263 g y est bajo una tensin de 36. 1 N. Cul ser la frecuencia de las ondas viajeras de 7.70 mm de amplitud, con el fin de que la potencia trasmitida promedio sea de 85.5 Watts? = 2.72 mm = 263 gT = 36.1 NPm = 85.5 Watts = ,

Problema Sobre un alambre de 80 cm de longitud de que est bajo tencin de 550 N viajan ondas transversales a 150 m/s. Cul es la masa del alambre?=80 cm v=150 m/s F=550 N v2 = 2 = m=0.0195 Kg m=19.5 gr

Comentarios por el alumno

5.3 NALISIS DE LA ENERGA TRANSPORTADA. INTENSIDADAl vibrar un medio o un objeto la energa no se disipa con la vibracin, sino que el movimiento de cada elemento del medio almacena esta energa.

Energa de las ondas en una cuerdaConsideremos una cuerda sujeta a un diapasn. Cuando ste vibra, imparte energa al segmento de cuerda unido a l. Por ejemplo cuando el diapasn se desplaza a travs de su posicin de equilibrio, tira el segmento aumentando su energa potencial y el diapasn imparte una velocidad transversal al segmento, incrementando su energa cintica. Cuando una onda se mueve a lo largo de la cuerda, la energa se transmite por sta a los segmentos restantes.Mediante la funcin de Onda puede calcularse la energa cintica de un segmento de longitud x y masa x. Su desplazamiento es la funcin de onda y = Asen (kx-t). Su velocidad es dy/dt, en donde x se considera fijo. La energa cintica Ec del segmento de cuerda es por lo tanto Ec= mv2y= x2

Como y = A sen(kx-t), dy/dt= -Acos(kx-t)La energa cintica del segmento ser: Ec=2A2xcos2(kx-t)La energa potencial del segmento es el trabajo realizado al estirar la cuerda y depende de la pendiente dy/dx. Para pequeas pendientes puede demostrarse que depende de la pendiente y de la tensin F por la expresin:U = F2xComo dy/dx=KAcos(Kx-t) y F= v2=2/K2Obtenemos para la energa potencialU = 2 K2A2xcos2(Kx-t)O sea: U = 1/2 2A2xcos2(Kx-t)Que coincide con el valor de la energa cintica. La energa total de un segmento de cuerda que transporta la onda armnica es:E = Ec +U =2A2xcos2(kx-t)Como podemos observar, la energa de un segmento vara con el tiempo. Como el valor medio de cos2(kx-t) en cualquier punto es , la energa media es:Em = 2A2xEste resultado es el mismo que el de una masa x sujeta a un muelle (resorte) que oscila con M.A.S. Sin embargo, en el caso del muelle la energa potencial es mxima cuando el desplazamiento es mximo; para un segmento de cuerda, la energa potencial depende de la pendiente la cuerda y es mxima cuando la pendiente es mxima, como ocurre en la posicin de equilibrio del segmento, la misma posicin para la cual la energa cintica es mxima.

Potencia de las ondas en una cuerda Cuando la onda se mueve a lo largo de la cuerda, esta cantidad de energa pasa por un punto dado de la cuerda durante un intervalo de un periodo de oscilacin. Por lo tanto la potencia o rapidez de transferencia de energa asociada con la onda es:P = 2A2En donde podemos observar que la rapidez de transferencia de energa en cualquier onda senoidal es proporcional a 2 y A2Comentarios del alumno

5.4 REFLEXIN Y TRANSMISIN DE LAS ONDAS.Ahora consideremos la forma en que una onda viajera es afectada cuando se encuentra un cambio de medio. Por ejemplo considere un pulso que se desplaza en una cuerda que esta rgidamente unida a un soporte que se desplaza en una cuerda que esta rgidamente unida a un soporte en un extremo. Cuando el pulso llega al soporte ocurre un gran cambio en el medio de la cuerda termina. El resultado de este cambio es que el pulso experimente reflexin, es decir el pulso reflejado est invertido esta inversin se puede explicar de la siguiente manera:Cuando el pulso llega al extremo fijo de la cuerda esta produce una fuerza hacia arriba sobre el soporte.Situamos el origen en el punto de unin de las cuerdas. A la izquierda del origen tenemos una onda armnica incidente cuyo nmero de onda es k1 tal que k1v1=w, que se propaga de izquierda a derecha. Yi=Y0isen( t-k1x)Y una onda reflejada que se propaga con la misma velocidad de derecha a izquierdaYr=Y0rsen(t+k1x)Y=Y0sen( t - kx) es una forma alternativa de expresar la ecuacin de una onda armnica conveniente para este ejemplo.En la segunda cuerda, tenemos una onda transmitida que se propaga de izquierda a derecha y cuyo nmero de onda es k2 tal que k2v2=.Yt=Y0tsen( t-k2x)A la izquierda del origen, tenemos la superposicin de dos movimientos ondulatorios, el incidente ms el reflejado, Y1=Yi+YrA la derecha del origen, solamente tenemos movimiento ondulatorio correspondiente a la onda transmitida, Y2=YtPor la tercera ley de newton el soporte debe ejercer sobre la cuerda una fuerza de reaccin de igual magnitud y en direccin opuesta.Esta fuerza hacia abajo hace que el pulso sea opuesto a la reflexin.

5.5 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA.Consideremos una cuerda de longitud L que est sujeta por ambos extremos, como la que podramos encontrar en una guitarra o en un violn. Si pulsamos cerca de la mitad de la cuerda y luego examinamos el movimiento, percibiremos Una onda estacionaria se establece con un nodo en ambos extremos y un antinodo a la mitad.Las ondas se propagan por la cuerda, se reflejan en los extremos e interfieren con las otras que se mueven a travs del mismo medio. Las frecuencias ms altas tienden a extinguirse ms rpidamente por amortiguamientos y permanecen slo las ondas estacionarias correspondientes a la frecuencia ms baja posible. El espaciamiento entre los nodos siempre es de /2, por ello en el caso del patrn de las ondas estacionarias de la figura anterior tenemos L=/2.

Podemos generar una onda estacionaria diferente en la cuerda, con slo poner un dedo ligeramente cerca del centro para evitar que se mueva y pulsando aproximadamente del espacio entre ambos extremos. Este procedimiento producir una onda estacionaria con L = .La condicin de una onda estacionaria que debe crearse en una cuerda de longitud L fija en ambos extremos es:

Donde n es la n-sima longitud de onda en esta serie infinita. Ntese que n, es el nmero de medias longitudes de onda o ciclos que aparecen en el patrn de la figura anterior, usando la ecuacin tenemos:

stas son las frecuencias permitidas de las ondas estacionarias en la cuerda, cuando est sujeta por ambos extremos.La frecuencia ms baja f1 que corresponde a n=1, se llama fundamental o frecuencia fundamental y est dada por:

Cuando la cuerda est fija slo por un extremo y manipulable por el otro, slo estn presentes los armnicos impares y se usa la siguiente ecuacin para calcular las frecuencias:

Ondas estacionarias en una columna de aireEs posible formar ondas estacionarias en un tubo de aire, como el que hay en el interior de un tubo de rgano, como resultado de interferencia entre ondas de sonido longitudinales que se desplazan en direcciones opuestas.En un tubo cerrado en un extremo, el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento, porque la pared de este extremo no permite el movimiento longitudinal del aire. Como resultado de esto, en un extremo cerrado de un tubo, la onda de sonido reflejada est 180 fuera de fase con la onda incidente. Adems, como la onda de presin est 90 fuera de fase con la onda de desplazamiento, el extremo cerrado de una columna de aire, corresponde a un antinodo de presin (esto es, un punto de mxima variacin de presin). El extremo abierto de una columna de aire es aproximadamente un antinodo de desplazamiento y un nodo de presin. En un tubo abierto en ambos extremos las frecuencias naturales de oscilacin forman una serie armnica que incluye todos los mltiplos enteros de la frecuencia fundamental y tenemos:

todos los armnicos estn presentes

En un tubo cerrado en un extremo y abierto por el otro, las frecuencias naturales de oscilacin forman una serie armnica que incluye slo mltiplos enteros impares de la frecuencia fundamental y as:

slo los armnicos impares estn presentes

ProblemaLa trquea de una grulla blanca mide 3 pies de largo. Calcule la frecuencia resonante fundamental y las dos siguientes resonantes de la trquea de esta ave; que es modelada como un angosto tubo cerrado en un extremo. Suponga la temperatura a 37 C.T = 37 CL = 3 pies 1 pie = 0.3048 m L = 0.9144 m = = = 354 fn= f = = 96.78 Hzf = = 290.35 Hz f = = 483.92 Hz

5.6 ONDAS ELSTICAS TRANSVERSALES EN UNA BARRA.

Consideremos una barra que en su estado sin distorsin est representada por la parte punteada de la siguiente figura. Si en un instante dado se hace vibrar la barra golpendola transversalmente, adopta la forma de la lnea curva y podemos suponer que cada reaccin de la misma se mueve hacia arriba y hacia abajo pero no horizontalmente. Sea el desplazamiento transversal de una variacin dx en un instante dado.Este desplazamiento debe ser una funcin de la posicin, porque si fuera constante correspondera an desplazamiento paralelo de la barra. La cantidad = , que en la variacin del desplazamiento transversal por unidad de longitud, recibe el nombre de deformacin transversal unitaria. Como resultado de la deformacin, cada seccin de espacio dx, est sometida a dos fuerzas de sentido contrario F y F, tangentes ala superficies ejercidas por las porciones de la barra a cada lado de la seccin transversal. La fuerza tangencial por unidad de rea , se denomina ESFUERZO TANGENCIAL O CORTANTE.

Tambin aqu, como en el caso de la ecuacin de ondas longitudinales en una barra que relaciona el esfuerzo normal con la deformacin normal, hay una relacin similar a la ley de Hooke entre el esfuerzo cortante y la deformacin, esto es , donde G es un coeficiente caracterstico del material, llamado mdulo de torsin. Por consiguiente: .

La fuerza resultante sobre la seccin F F = dF= ( ) dx. Por otra parte, si es la densidad del material, la masa de la reaccin en A dx, y la ecuacin del movimiento en direccin transversal es: dx= Adx = A .Tomando la derivada respecto a x en la ecuacin 1 tenemos:= AG.

Que al sustituirla en la ecuacin 2 tenemos: = .Y obtenemos la ecuacin diferencial = . Indicando que la deformacin transversal se propaga a lo largo de la barra con una velocidad dada por: .

Comentarios por el alumno

5.7 ONDAS DE TORSIN EN UNA BARRA.Supongamos que en el extremo libre de una varilla fija en el otro extremo aplicamos torque variable. Esto produce una torsin de la varilla como se muestra en la siguiente figura.

22AXAOnda de torsin en una barra.

Si el torque en la en funcin del tiempo, el ngulo de torsin cambia con el tiempo, dando como resultado una onda de torsin que se propaga a lo largo de la varilla. Un anlisis matemtico del problema muestra que independientemente de la forma de la ecuacin transversal de la varilla, la velocidad de propagacin de la varilla de torsin se expresaba por la ecuacin 3. No es sorprendente que la onda transversal y la onda de torsin en una varilla se propaguen con la misma velocidad, ya que ambos procesos debidos, esencialmente a los fenmenos que se unen en el interior del material del que est hecho la varilla.Otro aspecto interesante entre las sombras de torsin es que no corresponden a desplazamientos paralelos o perpendiculares a eje de la varilla, sino a rotar alrededor del eje sin cambios en la forma.

UNIDAD 6: ONDAS EN DOS Y TRES DIMENSIONES

6.1 ONDA PLANA EN TRES DIMENSIONES. VECTOR DE PRORAGACIN.Aunque Representa un movimiento ondulatorio que se propaga segn el eje +x, no tenemos necesariamente que interpretarla como significado de una onda concretada sobre el eje. Si la propagacin fsica descrita por se extiende sobre todo el espacio, tenemos que a un tiempo dado la funcin Toma el mismo valor en todos los puntos de la abscisa X. Pero x igual a constante representa un plano perpendicular al eje x (ver la figura siguiente).

Por lo tanto, describe en tres dimensiones una onda plana que se propaga paralelamente al eje X. Si en un desplazamiento (o un campo vectorial) tenemos una onda longitudinal cuando es paralela a la direccin de propagacin o eje x( iniciando por la flecha L), y tenemos una onda transversal cuando es perpendicular a la direccin de propagacin (o sea, paralelo al plano YZ). En este ltimo caso tambin se puede expresar como la superposicin de dos desplazamientos segn direcciones perpendiculares entre s, tal como est indicado por las flechas T y T. Observamos que lo caracterstico en una onda plana es la direccin de propagacin, que se indica como un versor perpendicular al plano de la onda, siendo la orientacin de los ejes coordenados ms y menos arbitraria. Por consiguiente, es conveniente expresar la onda plana en una forma tal que sea independiente de la orientacin de los ejes. En el caso de la figura anterior, el versor es paralelo al eje x. si es el vector de posicin de cualquier punto del frente de onda, tenemos que y por lo tanto podemos escribir

------------------------------ 1

Cualquiera que sea la direccin de , la cantidad es siempre la distancia medida desde el origen 0 segn la direccin de propagacin. Por lo tanto la ecuacin 1 representa una onda plana que se propaga en la direccin .

En el caso de una onda plana armnica sinusoidal propagndose en la direccin tenemos: Es conveniente definir un vector llamado vector de propagacin. Este vector tiene una longitud y apunta en el sentido de la propagacin como , una onda armnica plana se expresa por ---------------------------- 2 Donde son las componentes de k que satisfacen la relacin

Cuando la propagacin tiene lugar en un espacio tridimensional, la ecuacin de onda tiene la siguiente forma: Las ondas planas representadas por la ecuacin 1 y 2 aunque contienen las tres coordenadas x, y, z son en realidad mono-dimensinales, ya que la propagacin es segn una direccin particular y la situacin fsica es la misma en todos los planos perpendicular a la direccin de propagacin, como se puede observar en la siguiente figura.

Pero en la naturaleza hay otras clases de ondas que se propagan en varias dimensiones entre las cuales podemos mencionar a las ondas cilndricas y las esfricas. En el caso de las ondas cilndricas los frentes de onda son superficies paralelas a una lnea dada, digamos al eje z y por lo tanto perpendicular al plano xy. Este tipo de ondas se produce si tenemos un conjunto de fuentes uniformemente distribuidas a lo largo del eje z, todas oscilando en fase.

Si en un cierto punto se origina una perturbacin y sta se propaga en todas direcciones con la misma velocidad, se dice que el medio es istropo (isos: igual, tropos: direccin) y la onda resultante es esfrica. Los frentes de onda son esferas concntricas con centro en el punto donde se origin la perturbacin y tales ondas se producen cuando hay un repentino cambio de presin en un punto de un gas ().Algunas veces la velocidad de propagacin no es la misma en todas las direcciones, en cuyo caso el medio es anistropo. Por ejemplo, un slido sometido a ciertas deformaciones o un cristal, pueden tener propiedades elsticas diferentes en varias direcciones, resultando una velocidad de propagacin diferente para cada direccin. En estos medios las ondas no son esfricas.Algunas veces una onda se propaga sobre una superficie tal como una membrana o la superficie de un lquido. Si se produce una perturbacin en un cierto punto de la superficie aquella se propaga por la superficie en todas direcciones con la misma velocidad, resultando un conjunto de ondas circulares. Esta es una onda bidimensional por la que requiere slo dos coordenadas espaciales para describirla, la ecuacin para esta onda es:

6.2 ECUACIN DE ONDA EN TRES DIMENSIONES.

Cuando la propagacin tiene lugar en un espacio tridimensional, la ecuacin de onda tiene la siguiente forma:

6.3 ONDAS PLANAS Y CIRCULARES EN UNA SUPERFICIE LQUIDALas ondas circulares bidimensionales sobre una superficie de agua de una cubeta de ondas, se generan mediante una fuente puntual que se mueve hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armnico simple.En este caso, la longitud de onda es la distancia entre crestas de ondas sucesivas que son circunferencias concntricas denominadas frentes de onda. En el caso de un foco o fuente puntual de sonido, las ondas se emiten en tres dimensiones. Se mueven alejndose del foco en todas direcciones y los frentes de onda son ahora superficies esfricas concntricas.El movimiento de un conjunto cualquiera de frentes de onda puede indicarse mediante rayos, que son lneas dirigidas perpendicularmente a los frentes de onda. Para ondas circulares o esfricas, los rayos son lneas radiales.Si un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energa a una distancia r del mismo estar distribuida uniformemente sobre una corteza esfrica de radio r y superficie . La potencia por unidad de rea que est incidiendo perpendicularmente a la direccin de propagacin se denomina intensidad:

Y la intensidad debida a un foco puntual:

6.4 ONDAS SUPERFICIALES EN UNA MEMBRANA TENSAOndas Elsticas producidas en una membrana TensaConsideremos que una membrana delgada y tensa, la cual, para simplificar, supondremos rectangular, como se observa en la siguiente figura. La membrana est montada sobre un marco el cual ejerce la tensin T por unidad de longitud expresada en Nm: si la membrana se deforma en un punto particular y experimenta un desplazamiento en direccin perpendicular a ella; esta deformacin se propaga por la membrana, resulta de una onda superficial.

Onda superficial en una membrana tensa

6.5 ONDAS ESFRICAS EN UN FLUIDOCuando una fuente emite sonido igualmente en todas direcciones, identificamos una esfera imaginaria de radio r concentro en la fuente; describiremos el resultado como una fuente esfrica. La potencia promedio Pm emitida por la fuente, debe estar distribuida uniformemente en esta superficie esfrica de rea . Por lo tanto, la intensidad de la onda a una distancia r de la fuente es:

NIVEL DE INTENSIDAD Y SENSACIN SONORALa sensacin de sonoridad es aproximadamente del tipo logartmico. Usando por lo tanto, una escala logartmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora , el cual se mide en decibeles (db) y se define por:

Donde es la intensidad fsica del sonido e es un nivel de referencia que tomaremos como umbral de audicin 10-12 W/m2En esta escala el umbral de audicin es =10 log(/) = 0db y el umbral de dolor = 1 W/m2 es

Una fuente esfrica irradia un sonido uniforme en todas direcciones a una distancia de 10 m; el nivel acstico es de 80 dB.1. A qu distancia de la fuente el nivel acstico es de 60 dB?1. Cul es la potencia irradiada por la fuente?120 dB = 10 I = 1P = I 4r = (1(4) (3m)P = 113.09 w

1. 100 dB = 10 I = 0.01 w/mr = = r = 29.9 m 30 m1. 10 dB = 10 I = 1 x 10 w/mr = r = 9.48 x 10 m

6.6 ONDAS SSMICAS.Cuando se produce un terremoto, hay una sbita liberacin de energa en un determinado punto denominado foco o hipocentro del terremoto (el epicentro es el punto de la superficie terrestre situado, de manera radial, encima del hipocentro). Esta energa se propagara, alejndose del foco del terremoto, por medio de ondas ssmicas. Las ondas ssmicas son similares a las ondas sonoras que hemos estudiado en las secciones anteriores de este captulo: perturbaciones mecnicas que se mueven a travs de un medio.Al analizar las ondas mecnicas en este captulo, hemos identificado dos tipos: Transversales y longitudinales. En el caso de las ondas mecnicas que se mueven en el aire, solo pueden ser longitudinales. Sin embargo, cuando las ondas mecnicas se mueven en un slido, pueden aparecer ambos tipos de ondas debido a las intensas fuerzas interatmicas de las partculas del slido. Por tanto, en el caso de las ondas ssmicas, la energa se propaga alejndose del foco por medio de ondas tanto longitudinales como transversales.En el lenguaje que se emplea en el estudio de los terremotos, estos dos tipos de ondas reciben nombres distintos, de acuerdo con el orden en que llegan a los sismgrafos. Las ondas longitudinales viajan a una rapidez mayor que las ondas transversales. Como resultado, la onda longitudinal llega al sismgrafo en primer lugar y, por ello, se la denomina onda P, donde la P significa primaria La onda transversal, ms lenta, llega despus, por lo que se la denomina onda S, u onda secundaria. La rapidez de onda de una onda ssmica depende del medio por que se mueva. Los valores tpicos son 5km/s para una onda P que se mueva a travs de granito y de 3km/s para una onda S que se mueva a travs de granito. La figura muestra una traza tpica de un sismgrafo correspondiente a un terreno lejano, donde se puede ver claramente como la onda S llega despus que la onda P.

Una taza de un sismgrafo, donde se muestra la llegada de las ondas P y S del terremoto de Northridge a dos sismgrafos situados en San Pablo, Espaa (traza superior), y en Albuquerque, Estados Unidos (traza inferior). La onda P llega primero por que viaja rpidamente, siendo seguida por la onda S, ms lenta. Cuanto ms alejado este el sismgrafo de epicentro, mayor ser el intervalo de tiempo entre las llegadas de las ondas P y S.

Las ondas P y S se mueven a travs de la masa de la tierra y pueden ser detectadas por sismgrafos situados a lo largo y ancho del globo terrqueo. Una vez que estas ondas alcanzan la superficie, la energa se puede propagar mediante tipos adicionales de ondas a lo largo de esta. En una onda rayleigh, el movimiento de las partculas es una combinacin de desplazamientos longitudinales y transversales, de modo que el movimiento neto que describe un punto de la superficie es circular y elptico. Ese movimiento es similar al que experimentan las partculas en la superficie del ocano cuando pasa una ola, como se observa en la siguiente figura. Una onda Love es una onda de superficie transversal en la que las oscilaciones transversales son paralelas a la superficie. Por tanto, las ondas Love no producen ningn desplazamiento vertical de la superficie.

Movimiento de la onda

El movimiento de las partculas en la superficie de una masa profunda de agua, a travs de la cual se propaga una onda, es una combinacin de desplazamientos transversales y longitudinales, con el resultado que las molculas de la superficie se mueven siguiendo trayectorias casi circulares. Cada molcula se desplaza tanto vertical como horizontalmente con relacin a su posicin de equilibrio. Este movimiento es similar al que sufre la superficie terrestre en el caso de una Rayleigh.

Corte transversal de la tierra, mostrando las trayectorias que siguen las ondas producidas por un terremoto. Solo las ondas P se pueden propagar a travs del ncleo lquido. Las ondas S no pueden penetrar en el. Cuando las ondas P se transmiten de una regin a otra, como cuando pasan del manto al ncleo lquido, experimentan una refraccin, un cambio en la direccin de propagacin. Estudiaremos la refraccin de luz en el captulo 7 del volumen II. A causa de la refraccin de las ondas ssmicas, hay una zona de sombra, situada entre los 105 y 140 con relacin al epicentro, a la que no llegan ondas manera directa (es decir siguiendo una trayectoria en la que no se hayan producido refracciones).

Es posible aprovechar las ondas P y las ondas S que viajan a travs de la tierra para obtener informacin sobre la estructura del interior de la tierra. Las mediciones de un determinado terremoto hechas por distintos sismgrafos en diversas ubicaciones de la superficie, indican que la tierra tiene una regin interior que permite el paso de las ondas P, pero no el de las ondas S. este hecho se puede explicar si se modela esta regin como si tuviera las caractersticas de un lquido. De forma similar a los gases, un lquido no puede dar soporte a una fuerza transversal. Es por esta razn que en el aire solo podemos tener ondas sonoras longitudinales y es tambin por esto que las ondas S, transversales no pueden atravesar esa regin del ncleo. Esto nos permite establecer un modelo estructural en el que la tierra tiene un ncleo lquido situado aproximadamente entre los radios 1.2X km y 3.5X.Otras mediciones de las ondas ssmicas permiten realizar interpretaciones adicionales de las capas del interior de la tierra, que incluyen un ncleo slido en el centro, una regin ptrea denominada manto y una capa exterior, relativamente delgada, denominada corteza. La figura anterior muestra esta estructura. La utilizacin de los rayos x o de los ultrasonidos en medicina para poder obtener similitudes con el empleo de las ondas ssmicas para obtener informacin del interior de la tierra.A medida que las ondas P y las ondas S se propagan por el interior de la tierra, se encuentran con cambios en el medio. En cada frontera en la que cambian las propiedades del medio, se producen una reflexin y una transmisin. Cuando la onda ssmica llega a la superficie de la tierra, se transmite una pequea cantidad de energa al aire, en forma de ondas sonoras de baja frecuencia. Otra parte de esa energa se distribuye por la superficie de ondas Love y ondas Rayleigh. El resto de la energa de la onda se refleja de nuevo hacia el interior. Como resultado, las ondas ssmicas pueden recorrer largas distancias por el interior del a tierra y ser detectadas en sismgrafos situados en diversas ubicaciones alrededor del globo. Adems, dado que en cada encuentro con la superficie se refleja una parte relativamente grande de la energa de la onda, esta se puede estar propagando durante mucho tiempo. Se dispone de datos que demuestran que sigue habiendo actividad ssmica varias horas despus de que se haya producido un terremoto, debido a las repetidas reflexiones de las ondas ssmicas en la superficie.Otro ejemplo de reflexin de ondas ssmicas lo tenemos en la tecnologa disponible para la prospeccin petrolfera. Se utilizan dispositivos especiales para aplicar fuerzas impulsivas muy intensas al terreno, lo que provoca que una serie de ondas ssmicas de baja energa se propaguen por el interior de la tierra. Mediante micrfonos especializados, se detectan las ondas reflejadas por las fronteras entre las distintas capas que hay bajo la superficie y, con la ayuda de equipos informticos, es posible generar un mapa de la estructura del subsuelo correspondiente a esas pacas, pudindose as detectar las capas que es ms probable que contengan petrleo.En este captulo, hemos visto como los fenmenos ondulatorios permiten la transferencia de energa desde el punto donde se produce el terremoto hasta el punto donde este situada una edificacin. En el siguiente captulo, veremos lo que sucede cuando estas ondas quedan atrapadas en una depresin geolgica y la amplitud de oscilacin crece hasta hacerse muy grande, lo que se supone, para las edificaciones, un riesgo de daos todava mayor.Comentarios del alumno

6.7 EFECTO DOPPLER ACSTICO.Cuando un oyente se dirige hacia una fuente estacionaria de sonido, el tono (frecuencia) se oye ms alto de lo que lo percibira en oyente en reposo. Escuchar un tono ms bajo si se aleja de la fuente. El tono de un silbido de locomotora o de una sirena de un carro de bomberos es ms alto cuando la fuente se acerca al oyente que cuando ha pasado y se aleja. En un trabajo escrito en 1842, el austriaco Christian Johann Doppler (1803-1853) puso de manifiesto el hecho de que el color de un cuerpo luminoso cambiar con su movimiento relativo y con el del observador. El efecto Doppler, nombre con el que se le conoce, se aplica a las ondas en general. El propio Doppler menciona la aplicacin de su principio a las ondas sonoras.Caso el observador en movimiento, la fuente en reposoEl efecto Doppler en las ondas sonoras, considerando slo el caso especial en que la fuente y el observador se mueven en la lnea que los une. Adoptemos un marco de referencia en reposo en el medio por donde se propaga el sonido. La siguiente figura muestra una fuente sonora S en reposo y un observador O que se dirige a la fuente con una rapidez .Los crculos representan frentes de onda, con una longitud de onda de espaciamiento. Un observador en reposo en el medio recibir ondas en el tiempo t, donde es la velocidad del sonido en el medio y es la longitud de onda. A causa del movimiento hacia la fuente, el observador recibe ms ondas en este mismo tiempo t. La frecuencia fque escucha es el nmero de ondas recibidas por unidad de tiempo, esto es:

Es decir:

La frecuencia f escuchada por el observador es la frecuencia f que se oye en reposo ms el incremento f(/) proveniente del movimiento del observador. Cuando ste se aleja de la fuente estacionaria, disminuye la frecuencia f() correspondiente a las ondas que no llegan a l en cada unidad de tiempo debido al movimiento de alejamiento. Entonces:

Por lo tanto, la relacin general que se da cuando la fuente se halla en reposo respecto al medio, pero cuando el observador se mueve ser:

Donde el signo + se aplica al acercamiento a la fuente y el sino al alejamiento de ella. Ntese que el cambio de frecuencia se debe a que el observador intercepta un nmero mayor o menor de ondas por segundo a consecuencia del movimiento a travs del medio.

Caso la fuente en movimiento, el observador en reposoCuando la fuente se dirige hacia un observador estacionario, el efecto es un acortamiento de la longitud de onda porque la fuente se mueve detrs de las ondas que se acercan, por lo tanto las crestas se compactan ms. Si la frecuencia de la fuente es f y si su rapidez es , durante cada vibracin recorre una distancia y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. As, la longitud de onda del sonido que llega al observador es . La frecuencia que escucha el observador aumenta y est dada por:

Si la fuente se aleja de l, la longitud de onda emitida es mayor que , de manera que el observador oye una frecuencia menor, dada por la siguiente expresin:

As, la relacin general que se da cuando el observador est en reposo respecto al medio y la fuente se mueve a travs de l ser:

Donde el signo se aplica al acercamiento al observador y el signo + a su alejamiento.

Caso la fuente y el observador en movimientoSi ambos la fuente y el observador se mueven por un medio transmisor, ste escucha una frecuencia dada por la siguiente ecuacin:

Comentarios del alumno

6.8 ONDAS DE CHOQUE.Es probable que hayamos experimentado truenos snicos causados por un avin que pasa volando con una rapidez mayor que la del sonido. Denotamos vs, la rapidez del avin relativa al aire, siempre positiva.El movimiento del avin en el aire produce sonido. Si vs es menor que la rapidez del sonido v, las ondas delante del avin se apretarn con una longitud de onda dada por la ecuacin

Cuando vs es mayor en magnitud que v, la fuente del sonido es supersnica. El frente del avin emite una serie de crestas de onda; cada una se expande en un crculo centrado en la posicin del avin cuando emiti la cresta. Despus de un tiempo t la cresta emitida de un punto F1 se extendi a un crculo de radio vt y el avin se ha movido una distancia mayor vst, a la posicin F2. Podemos ver que las crestas circulares se interfieren constructivamente a lo largo de la lnea que forma un ngulo con la direccin de la velocidad del avin, formando una cresta de onda de amplitud muy grande sobre dicha lnea. Esta cresta se llama onda de choque y est dada por:

Llamada onda de ChoqueDonde:Vs es la rapidez de la fuente (la magnitud de su velocidad) relativa al aire y siempre es positiva. La relacin vs/v se llama nmero Mach; es mayor que 1 para todas las velocidades supersnicas y sen en la ecuacin es su recproco.

El frente de onda cnico producido cuando vs es mayor que v (velocidades supersnicas) se conoce como onda de choque.Por lo tanto deducimos que se forma una onda de Choque cuando la rapidez de la fuente es mayor que la del sonido.La onda de choque forma un cono alrededor de la direccin del movimiento de la fuente. Si sta (supongamos, un avin supersnico o una bala de rifle) se mueve con velocidad constante, el ngulo es constante y el cono de la onda de choque se mueve junto con la fuente. Es la llegada de esta onda de choque lo que causa el trueno snico que omos despus de que paso un avin supersnico.

UNIDAD 7: INTRODUCCIN AL ANLISIS DE FOURIER DE PULSOS Y SEALES

Introduccin al anlisis de Fourier de pulsos y seales

Sistema: Es un grupo de objetos que puede interactuar armnicamente y que se combinan con el propsito de alcanzar un determinado objeto.Una seal es un suceso que sirve para iniciar una accin; es decir, puede incitar a la accin. Con las restricciones d energa y potencia, el inters se centra en el concepto de seal y tambin en la respuesta de un sistema a una seal dada.El siguiente diagrama muestra las funciones de la seal, el sistema y la respuesta.

RespuestaSistemaSeal

Usualmente se emplean los conceptos de seal y respuesta para describir las caractersticas de un sistema.El ingeniero est primordialmente interesado en la comunicacin eficiente. Esto implica el problema de la transmisin de mensajes lo ms rpidamente posible y con un mnimo de errores.A menudo los trminos seal y funcin se aplican indistintamente. Una seal es una funcin del tiempo, sin embargo existen diferencias entre seales y funciones. Una funcin f(t) puede ser funcin multivaluada de la variable t. Pero la seal fsica siempre es funcin univaluada de t. En consecuencia siempre que se emplee el trmino funcin se entender que es una funcin univaluada de la variable independiente.Una seal se define como una funcin univaluada del tiempo; es decir, a cada instante del tiempo (variable independiente) corresponde un valor nico de la funcin (variable dependiente). Este valor puede ser un nmero real, en cuyo caso se tiene una seal con valor real o puede ser complejo en cuyo caso se tendr una seal con valor complejo. En cualquier caso la variable independiente del tiempo tendr un valor real.La notacin compleja puede utilizarse para describir seales en trmino de dos variables independientes, por ejemplo x(t) y y(t).Por lo tanto la notacin compleja es conveniente para describir fenmenos bidimensionales, tales como el movimiento circular, la propagacin de la sondas etc. en funcin del tiempo.Las seales utilizadas en los sistemas de comunicacin, se expresan en trminos del tiempo y una sola variable independiente por ejemplo voltaje contra tiempo.Una seal elctrica puede ser una onda de voltaje o de corriente que puede describirse matemticamente. El inters no radica en cada de voltaje corriente de malla etc. sino en las seales con el tiempo, sean estos voltajes o corrientes.En consecuencia, una seal es simplemente una funcin univaluada del tiempo que puede expresarse o emplearse para representar un voltaje o una corriente en una situacin especfica.Las seales senoidales juegan un pale primordial en el anlisis de los sistemas de comunicacin. Tale seales pueden representarse como una funcin del tiempo por la ecuacin:f(t) = A cos(t + )Donde: A es la amplitud es la fase es la rapidez del cambio de fase o frecuencia de la sinusoidal en radianesPor ejemplof = ciclo/seg = Hz y = 2 fEl principio de los mtodos de Fourier para el anlisis de seales es descomponerlas totas en sumatorias de componentes sinusoidales.Esto proporciona la descomposicin de una seal dada, en trminos de funciones sinusoidales.Un importante objetivo es la descripcin de cmo la energa y la potencia de la seal ( la respuesta) estn distribuidas en trminos de tales funciones.Cualquier descripcin de una respuesta a una seal dada mostrar por supuesto las caractersticas del sistema.

7.1 ANALOGA ENTRE VECTORES Y SEALES.Cuando asociamos un problema con un fenmeno conocido lo entendemos de mejor forma. Por esta razn es importante encontrar analoga al estudiar un nuevo problema, En el estudio de los problemas abstractos las semejanzas son muy tiles cuando el problema tratado es anlogo con fenmenos concretos. Al existir analoga entre los vectores y las seales nos permite analizar de mejor forma a stas ltimas.VectoresComo recordar un vector se define como aquella magnitud que tiene asociada una direccin.GeomtricamenteV1

Expresando V1 en trminos de un vector V2 con cV2 la componente de V2

V1V2cV2

Como se puede observar el vector V1 se puede expresar en mltiples formas.

V1V2c1V2

V1V2 c2V2

Un vector error es aqul vector V1 expresado en trminos de V2 ms otro vector Si V1 se aproxima mediante c1V2 entonces el error est dado por Ve1La componente del vector V1 en la direccin del vector V2 est dada por cV2 donde cV2 se escoge donde el vector error sea mnimo.Si la componente de V1 es V2 entonces la magnitud de cV2 es la magnitud de los dos vectores.Definicin de producto escalar de los vectores A y BA B = A B cos La componente de A a lo largo de B es A = A B cos / BLa componente de B a lo largo de A es B = A B cos / A

De igual forma La componente de V1 a lo largo de V 2 es V1 = V1 V 2 cos / V 2La componente de V 2 a lo largo de V1 es V 2 = V1 V 2 cos / ADe tal forma que el error Ve1Ve1 = Con V1 y V 2 ortogonales.

Seales

Considerando dos seales f1(t) y f2(t) y que se desean aproximar a seales f1(t) y f2(t) en trminos de f2(t) en un intervalo t1 < t < t2 f1(t) y cf2(t) en ( t1 < t < t2 )Cmo seleccionar c para obtener la mejor aproximacinTenemos que escoger c que tenga el menor error entre la funcin real y la aproximada en el intervalo ( t1 < t < t2 )DefinicinLa funcin error de fe (t) = f1(t) y cf2(t)Criterio para reducir el mnimo error fe (t) en el intervalo ( t1 < t < t2 ) es reducir el valor promedio de fe (t) en el intervalo reduciendo al mnimo la expresin

Al existir la posibilidad de errores positivos y negativos grandes que se cancelen entre s durante el proceso de promediar procederemos a minimizar el promedio mediante el cuadrado del error designando e= = = 0 de otra forma ] = 0

Comentarios del alumno

7.2 ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES ORTOGONALES.Cuando tenemos la representacin de una funcin en un determinado intervalo mediante una combinacin lineal de funciones mutuamente ortogonales se le llama representacin de una funcin en serie de Fourier. Existe un gran nmero de funciones ortogonales, por lo tanto se puede representar una funcin dada en trminos de diferentes funciones ortogonales. Si tenemos un espacio vectorial, esto es anlogo a la representacin de un vector dado en diferentes conjuntos de sistemas de coordenadas. Cada conjunto de funciones ortogonales corresponde a un sistema de coordenadas. Las funciones trigonomtricas, las funciones exponenciales, los polinomios de Legendre y los polinomios de Jacobi, son algunos ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales. Comentarios del alumno

7.3 REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN PERIDICA MEDIANTE LA SERIE DE FOURIER. Una seal x (t) es peridica de periodo T0 si x (t) = x (t + kT0) para todo k entero. La Expansin en series de Fourier consiste en expresarla como una suma infinita de trminos seno y coseno, que habitualmente se escribe como (*)Los coeficientes ak y bk representan las amplitudes delos trminos coseno y seno, respectivamente. La cantidad 2/T0 = 0 es la frecuencia angular fundamental de la seal, y en consecuencia, la cantidad k(2/T0) = k 0 representa el k-esimo armnico de la frecuencia fundamental. Cada una de las funciones seno y coseno se representan de la siguiente manera

Figura 1La figura 1 es la verificacin grfica de las ecuaciones (1) y (3), para m n, y de la ecuacin (2).

Se denomina funcin base, y forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T0, lo que significa que satisfacen las siguientes relaciones:

(1) (2) (3)

Estas relaciones pueden verificarse analticamente (calculando la integral) o bien estudiando grficamente el producto de dos seales de diferentes frecuencias, tal como se ve en la Fig. 1: el producto de dos armnicos de distinta frecuencia, en el lapso de un periodo fundamental de la seal genera una funcin con idntica rea por encima y por debajo del eje de las abscisas, y por lo tanto el rea neta (la integral) es nula.Para determinar el coeficiente a0, se integran ambos miembros de la siguiente ecuacin sobre un periodo completo:

Ya que las integrales sobre un periodo de tiempo de los trminos cos k 0t y sen k 0t son nulas. Se encuentra entonces que a0 es el valor medio de la seal peridica x (t) sobre un periodo, es decir

Para determinar los coeficientes ak se multiplican ambos miembros de la ecuacin (*) para la funcin cos k 0t, y se integra sobre un periodo completo. Es distinto integrar sobre el intervalo -T0/2 t T0/2 o sobre el Intervalo 0 t T0, como se ver en laUtilizando las Identidades (1) y (2), se encuentra que (5)

De manera anloga aplicando la ecuacin (3) puede determinarse que (6)

Comentarios del alumno

7.4 CLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER PARA ALGUNOS PULSOS TPICOS.

Anlisis de Fourier Resea histricaLa historia del anlisis de Fourier tiene ms de 200 aos. Sus orgenes principian unos 60 aos antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presento la primera versin de su trabajo sobre la teora de la conduccin del calor a la academia de Paris (1807).

En 1750 los esfuerzos de los fsicos y matemticos se concentraban en dos problemas principales, que sentaran las bases de lo que posteriormente se conocera como anlisis de Fourier.

Series exponenciales de FourierLa seal tambin se puede expresar en trminos de componentes exponenciales en el intervalo esta expresin es: para () (1)En donde, de nuevo pero ahora n toma valores desde hasta, sin excluir el cero. constituye ahora los coeficientes de la serie exponencial de Fourier que se calcula con: (2) La ecuacin (1) constituye la representacin de mediante la serie exponencial de Fourier en el intervalo (). Es una suma discreta de exponenciales complejas de frecuencias positivas y negativas de . Debido a que resulta muy interesante, a continuacin se har la demostracin de las ecuaciones (1) y (2).Considerando las frmulas de Euler: y Y sustituyendo en la serie de Fourier:

Llamando: (3)

Fig.1

De la figura 1Por tantoDe la figura 1Por lo tanto Por otro lado

En donde

Como es par, tenemos:

es:

Hall la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguiente seal 0 t 1.SolucinLa seal 0 t 1 y para este ejemplo To=1 y o=2.Primero calcularemos los coeficientes de la formula tenemos que:

Entonces Por las tablas de integrales:

Realizando las sustituciones: a=1 y b=:

Evaluando lmites

De tal forma que:

Ahora calcularemos el coeficiente independiente a partir de la frmula:

Concluimos calculando los coeficientes

Por las tablas de integrales:

Realizando las sustituciones: a=1 y b= , se tendr que:

()

Finalmente la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la seal sera:

-3 -2 -1 2 3 1-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 - 2 3-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 - 2 3-3 -2 -1 2 3 Serie de Fourier de una funcin senoidal

Fig. Espectro discreto de : modulo-fase (a) y parte real parte imaginaria (b).

De modo que el espectro discreto de una seal tipo coseno es real, y solo tiene dos valores no nulos, correspondientes a la primera armnica , o bien a las freucencias , tal como se muestra en la figura anterior, en donde el espectro discreto ha sido graficado en las dos formas tpicas: modulo y fase o parte real parte imaginaria.

De manera similar, puede determinarse el espectro de una seal . Teniendo en cuenta que

Se deduce que el espectro discreto consta solamente de dos valores no nulos, correspondientes a la primera armnica (frecuencia ), para y cuyos valores son:

Este espectro es imaginario puro, como muestra la figura anterior tanto en modulo y fase como en la forma parte real-parte imaginaria.

Serie de Fourier de un tren de pulsos rectangularesLa siguiente figura muestra un tren peridico de pulsos rectangulares de amplitud , duracin y periodo Por convenencia se elige que el origen del tiempo coindica con el centro del pulso. Sobre un periodo de , la seal puede describirse analticamente como

Tren peridico de pulsos rectangulares de amplitud , duracin , y periodo

El espectro discreto de formado por los coeficientes complejos se calcula a partir de:

1. El espectro de amplitud en funcin de los valores discretos de frecuencia , para un ciclo de trabajo = 1/5, se ha graficado en la figura anterior. Se observa que: fundamental de la seal, que es la inversa del periodo .

2. La envolvente de la magnitud del espectro est determinada por la amplitud y la duracin del pulso, y sigue una forma tipo . El valor del espectro a la frecuencia es precisamente el valor medio o de continua de la seal , que vale .

3. La envolvente del espectro de amplitud cruza por cero en frecuencias que son mltiplos de (el ancho del pulso), y que pueden o no coincidir con las lneas espectrales separadas . En este caso particular, como los ceros de la envolvente del espectro se anulan para los mltiplos de 5 veces la frecuencia fundamental, como revela la Figura anterior inciso (a).

4. El espectro de fase toma los valores 0 y , segn sea el signo de (). La eleccin del signo de (positivo o negativo) es irrelevante; en la figura se han elegido de forma de preservar la antisimetria. Debe resaltarse que el valor de la fase es indefinido para aquellos armnicos en donde se anula (en este caso, los mltiplos de 5); esta indefinicin en la fase se ha indicado con cruces en la Figura anterior inciso (b).

Observacin: En las figuras anteriores el espectro se ha graficado en funcin de las armnicas de la frecuencia angular (en radianes/seg) y la variable independiente son los armnicos de la frecuencia fundamental (en ciclos por segundo). Aunque las dos representaciones son equivalentes, se ver ms adelante que en ciertos casos una puede ser ms conveniente que la otra pues algunas constantes de proporcionalidad toman valores unitarios.

Comentarios del alumno

7.5 VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO.La velocidad v = /k, expresada por la ecuacin para una onda armnica de frecuencia angular y longitud de onda =,