Embed Size (px)
Citation preview
Båi dìng to¸n 6
ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUANSố phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào.2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A.Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
*.D¹ng 1: RÌn kÜ n¨ng viÕt tËp hîp, viÕt tËp hîp con, sö dông kÝ hiÖu
Bµi 1: Cho tËp hîp A lµ c¸c ch÷ c¸i trong côm tõ “Thµnh phè Hå ChÝ Minh”
a.H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A.
b.§iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo « vu«ng
Bµi 2: Cho tËp hîp c¸c ch÷ c¸i X = {A, C, O}
a/ T×m chôm ch÷ t¹o thµnh tõ c¸c ch÷ cña tËp hîp X.
b/ ViÕt tËp hîp X b»ng c¸ch chØ ra c¸c tÝnh chÊt ®Æc trng cho c¸c phÇn tö
cña X.
Bµi 3: Cho c¸c tËp hîp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ ViÕt tËp hîp C c¸c phÇn tö thuéc A vµ kh«ng thuéc B.
b/ ViÕt tËp hîp D c¸c phÇn tö thuéc B vµ kh«ng thuéc A.
c/ ViÕt tËp hîp E c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B.
d/ ViÕt tËp hîp F c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B.
Bµi 4: Cho tËp hîp A = {1; 2; a; b}
a/ H·y chØ râ c¸c tËp hîp con cña A cã 1 phÇn tö.
b/ H·y chØ râ c¸c tËp hîp con cña A cã 2 phÇn tö.
c/ TËp hîp B = {a, b, c} cã ph¶i lµ tËp hîp con cña A kh«ng?
Bµi 5: Cho tËp hîp B = {x, y, z} . Hái tËp hîp B cã tÊt c¶ bao nhiªu tËp hîp
con?
*D¹ng 2: C¸c bµi tËp vÒ x¸c ®Þnh sè phÇn tö cña mét tËp hîp
Bµi 1: Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè. Hái tËp hîp A cã bao
nhiªu phÇn tö?
Bµi 2: H·y tÝnh sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau: Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 1
Båi dìng to¸n 6
a/ TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn lÎ cã 3 ch÷ sè.
b/ TËp hîp B c¸c sè 2, 5, 8, 11, …, 296.
c/ TËp hîp C c¸c sè 7, 11, 15, 19, …, 283.
Bµi 3: Cha mua cho em mét quyÓn sè tay dµy 256 trang. §Ó tiÖn theo dâi em
®¸nh sè trang tõ 1 ®Õn 256. Hái em ®· ph¶i viÕt bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh
hÕt cuèn sæ tay?
C.HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ: Bµi 1.H·y x¸c ®Þnh c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp ®ã a, A lµ tËp hîp c¸c ch÷ sè trong sè 2002 b, B lµ tËp hîp c¸c ch÷ c¸i trong côm tõ “ c¸ch m¹ng th¸ng t¸m” c, C lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè d, D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ kh¸c nhau vµ vµ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 5 Bµi 2. §iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo « vu«ng
N N N* N 7 N* N* 0 N*
Bµi 3 . H·y x¸c ®Þnh c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch chØ ra tÝnh chÊt ®Æc trng cña c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp ®ã
a. A = b. B = c. C = d. D =
Bµi 4 . H·y viÕt c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch chØ râ tÝnh chÊt ®Æc trng cña c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp ®ã
a. A = b. B =
Bµi to¸n 5: Cho a) b)
c)
H·y viÕt c¸c tËp hîp A, B b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö. Bµi 5. T×m sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp sau ®©y a. A = b. B = c. C =
d. D = Bµi 6. ViÕt c¸c tËp hîp sau råi t×m sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp ®ã a. TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn x mµ 8 : x = 2 b. TËp hîp B c¸c sè tù nhiªn x mµ x + 3 < 5 c. TËp hîp C c¸c sè tù nhiªn x mµ x – 2 = x + 2 Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 2
Båi dìng to¸n 6 d. TËp hîp D c¸c sè tù nhiªn x mµ x : 2 = x : 4 e. TËp hîp E c¸c sè tù nhiªn x mµ x + 0 = x Bµi 7. Cho A = T×m tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña tËp hîp A Bµi 8. Ta gäi A lµ tËp hîp con thùc sù cña B nÕu A B vµ A ≠ B H·y viÕt c¸c tËp hîp con thùc sù cña tËp hîp B = Bµi 9 . Cho tËp hîp A = {a, b, c, d, e }
a. ViÕt c¸c tËp con cña A cã mét phÇn töb.ViÕt c¸c tËp con cña A cã hai phÇn töc. Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A cã ba phÇn töd. Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A cã bèn phÇn töe. TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp con
Bµi 11 . Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè , C lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn lÎ cã ba ch÷ sè , D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè tËn cïng b»ng 5 . Dïng kÝ hiÖu vµ s¬ ®å ®Ó biÓu thÞ quan hÖ gi÷a c¸c tËp hîp ë trªn Bµi 12 . Cho tËp hîp A = , h·y lËp tËp hîp B gåm c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè kh¸c nhau tõ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A . B¶o r»ng tËp hîp A lµ tËp hîp con cña tËp hîp B ®óng hay sai? T×m tËp hîp con chung cña hai tËp hîp A vµ B Bµi 13 . T×m c¸c tËp hîp b»ng nhau trong c¸c tËp hîp saua. A = b. B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn x mµ 5 . x = 0c. C lµ tËp hîp c¸c sè lÎ nhá h¬n 10d. D lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn x mµ x : 3 = 0Bµi 17 . Trong mét líp häc , mçi häc sinh ®Òu häc tiÕng Anh hoÆc tiÕng Ph¸p. Cã 25 ngêi häc tiÕng Anh , 27 ngêi häc tiÕng Ph¸p, cßn 18 ngêi häc c¶ hai thø tiÕng . Hái líp häc ®ã cã bao nhiªu häc sinhBµi 18 KÕt qu¶ ®iÒu tra ë mét líp häc cho thÊy : cã 20 häc sinh thÝch bãng ®¸ ; 17 häc sinh thÝch b¬i; 36 häc sinh thÝch bãng chuyÒn; 14 häc sinh thÝch bãng ®¸ vµ b¬i;13 häc sinh thÝch b¬i vµ bãng chuyÒn; 15 häc sinh thÝch bãng ®¸ vµ bãng chuyÒn; 10 häc sinh thÝch c¶ ba m«n ;12 häc sinh kh«ng thÝch mét m«n nµo.T×m xem líp häc ®ã cã bao nhiªu häc sinhBµi 19 . Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thÝch v¨n.a. NÕu cã 5 häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n th× cã bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸nb. Cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸nc. Cã Ýt nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸nBµi to¸n 1: Cho tËp hîp .a) ViÕt c¸c tËp hîp con cña A cã mét phÇn tö b) ViÕt c¸c tËp hîp con cña A cã hai phÇn tö.c) Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A cã ba phÇn tö ? cã bèn phÇn tö ?.
Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 3
Båi dìng to¸n 6d) TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp con ?Bµi to¸n 2: XÐt xem tËp hîp A cã lµ tËp hîp con cña tËp hîp B kh«ng trong c¸c trêng hîp sau.a) ; b) ; c) A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n.Bµi to¸n 3: Ta gäi A lµ tËp con thùc sù cña B nÕu H·y viÕt c¸c tËp con thùc sù cña tËp hîp Bµi to¸n 4: Cho c¸c tËp hîp ; ViÕt c¸c tËp hîp võa lµ tËp hîp con cña A, võa lµ tËp hîp con cña BBµi to¸n 5: Cho tËp hîp . a) ViÕt c¸c tËp hîp con cña A mµ mäi phÇn tö cña nã ®Òu lµ sè ch½n.b) ViÕt tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña tËp hîp A.Bµi to¸n 6: Cho 2 tËp hîp vµ B =
a) T×m tËp hîp C cña c¸c phÇn tö võ thuéc tËp hîp A võa thuéc tËp hîp B T×m tËp hîp D cña c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp hîp A HoÆc tËp hîp B
Bµi to¸n 10: Cho tËp hîp . H·y nªu tËp hîp con cña tËp M gåm nh÷ng sè:a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai ch÷ sè c) Lµ sè ch½n.Bµi to¸n 11: Cho ; a) H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A ; tËp hîp B.b) Hai tËp hîp A, B cã b»ng nahu kh«ng ? V× sao ?Bµi to¸n 13: Cho A lµ tËp hîp 5 sè tù nhiªn ®Çu tiªn, B lµ tËp hîp 3 sè ch½n ®Çu tiªn.a) CMR: b) ViÕt tËp hîp M sao cho . Cã bao nhiªu tËp hîp M nh vËy.Bµi to¸n 14: Cho . a) X¸c ®Þnh A b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö ? b) TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A.Bµi to¸n 15: Cho . T×m biÕt Bµi to¸n 10: Cho a) ; b) ; H·y viÕt c¸c tËp hîp gåm 2 phÇn tö trong ®ã mét phÇn tö thuéc A, mét phÇn tö thuéc B. C¸c phÐp to¸n trong N
Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 4
Båi dìng to¸n 61. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân. a + b = b + a ; a.b = b.aKhi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổiKhi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.1. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);2. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac
4. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p.5. Trong phép chia có dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.
NÕu a .b= 0 th× a = 0 hoÆc b = 0.
II. Bµi tËp
*.D¹ng 1: C¸c bµi to¸n tÝnh nhanh
Bµi 1: TÝnh tæng sau ®©y mét c¸ch
hîp lý nhÊt.
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323
+ 87
Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau:
a/ 8 . 17 . 125 b/ 4 . 37 .25
Bµi 3: TÝnh nhanh mét c¸ch hîp lÝ:
a/ 997 + 86 b/ 37. 38 +
62. 37
c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001 d/ 67.
99;
đ, 998. 34 c/ 43. 11 67. 101
Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh:
a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999
b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997
Bµi 5: TÝnh nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72 d)
55. 14
Bµi 6 :TÝnh nhanh:
a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 d)
15.302 e) 125.18 g) 123. 1001
Bµi 7: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng
c¸ch hîp lÝ nhÊt: a) 463 + 318
+ 137 + 22
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12
Bµi 8: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:
a) 5. 125. 2. 41. 8 b) 25. 7.
10. 4
c) 8. 12. 125. 2 d) 4. 36. 25.
50
Chó ý: Quy t¾c ®Æt thõa sè
chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hoÆc
a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d)
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bµi 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:
6.38. 63 + 37. 38
b) 12.53 + 53. 172– 53. 84 Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 5
Båi dìng to¸n 6
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45
d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 +
64.41
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta
cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ
số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị
váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.
vd : 34 .11 =374 ; 69.11
=759
*Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với
101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng
cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau
vd: 84 .101 =8484 ; 63 .101
=6363 ;
*Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với
1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng
cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau
VÝ dô:123.1001 = 123123
*.D¹ng 2: C¸c bµi to¸n cã liªn quan
®Õn d·y sè, tËp hîp
1:D·y sè c¸ch ®Òu:
VD: TÝnh tæng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ...
+ 49
Ta tÝnh tæng S nh sau:
Bµi 1:TÝnh tæng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100
Số số hạng cả dãy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+
201.
Bµi 2: TÝnh c¸c tæng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302
b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+
203.
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . +
301 d) D =8 + 15 + 22 + 29
+ .. . + 351.
Bµi 3: Cho tæng S = 5 + 8 + 11 +
14 + .. .
a)T×m sè h¹ng thø100 cña tæng.
b) TÝnh tæng 100 sè h¹ng ®Çu
tiªn.
Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) .
khoảng cách - số đầu
a. vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bµi 4: Cho tæng S = 7 + 12 + 17
+ 22 + .. .
a)T×m sè h¹ng tø50 cña tæng.
b) TÝnh tæng cña 50 sè h¹ng ®Çu
tiªn.
Bµi 5:TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x, biÕt x lµ sè cã hai ch÷ sè vµ 12
< x < 91
Bµi 6: TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn a , biÕt a cã ba ch÷ sè vµ 119 < a <
501.
Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 6
Båi dìng to¸n 6
TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña a.
Bµi 7: TÝnh 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bµi 8: TÝnh tæng cña:
a/ TÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè. b/ TÊt c¶ c¸c sè lÎ cã 3 ch÷ sè.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bµi 9TÝnh tæng a/ TÊt c¶ c¸c sè: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ TÊt c¶ c¸c sè: 7, 11,
15, 19, .. ., 283
Bµi 10: Cho d·y sè:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17,
21, .. .
H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn.
Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ
, k N
C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ ,
k N)
*D¹ng 3: T×m x
Hoïc, Hoïc nöõa, Hoïc maõi -6 7
Bµi 1:Tìm x N biết
a) (x –15) .15 = 0 b) 32 (x –10
) = 32
Bµi 2:Tìm x N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x
+70) =445
c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x N biết :
a) x –105 :21 =15
b) (x- 105) :21 =15
Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0 b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1)
= 42 d/ ( x – 47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999. tính tổng các chữ số của số đó.1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000.b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000.3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) + 36 = ;
b) + + = 5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10
(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng 4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn.
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
410 2 8
15 2923 5
3 1727 9
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng, cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt đầu từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho. 11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó.12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc một số viên bi tùy ý .người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc.Bài tập cñng cè1. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; 2. Tính nhanha) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42. 3.Tìm x biết:a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ nhất .tìm hai số đó. 5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia. 6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là 3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm hai số đó. 7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3 .nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào? 8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1. 9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35 . 10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia này. 11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N?* C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè viÕt theo quy luËt.Bµi to¸n 1: TÝnh c¸c tæng sau.a) b) c) d) e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001
Gi¶i; a) b)sè sè h¹ng (2n – 2) : 2 + 1= n Tæng =
Bµi to¸n 2: TÝnh nhanh tæng sau: Bµi to¸n 3: a) TÝnh tæng c¸c sè lÎ cã hai ch÷ sè b) TÝnh tæng c¸c sè ch½n cã hai ch÷ sè.
Bµi to¸n 4: a) Tæng 1+2+3+….+n cã bao nhiªu sè h¹ng ®Ó kÕt qu¶ cña tæng b»ng 190. b) Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n sao cho c) Chøng minh r»ng: kh«ng chia hÕt cho 10
Bµi to¸n 5: a) TÝnh nhanh b) ¸p dông kÕt qu¶ phÇn a) tÝnh nhanh c) TÝnh nhanh : H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh tæng a) vµ c) trong trêng hîp tæng qu¸t.Bµi to¸n 6: T×m sè h¹ng thø 100, sè h¹ng thø n cña c¸c d·y sè sau:a) b) c) d) e) g)
Bµi to¸n 7: Cho d·y sè Hái trong d·y sè trªn cã sè nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ 2 kh«ng ? T¹i sao ?.Bµi to¸n 8: Cho . TÝnh .Bµi to¸n 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lý.
a) b) c)
Bµi 21. H·y chøng tá r»ng hiÖu sau cã thÓ viÕt thµnh mét tÝch cña hai thõa sè gièng nhau : 11111111 – 2222Bµi 22 . T×m kÕt qu¶ cña phÐp nh©n sau
a) b)
Bµi 23. Chøng tá r»ng c¸c sè sau cã thÓ viÕt ®îc thµnh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp
a. 111222 b. 444222 c. A=
Gi¶i : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334Bµi to¸n 1: Cho ba ch÷ sè a, b, c. Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm c¶ ba ch÷ sè trªn.a) ViÕt tËp hîp A. b) TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A.
Bµi to¸n 2: Cho ba ch÷ sè a, b, c sao cho a) ViÕt tËp A c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè gåm c¶ ba ch÷ sè trªn.b) BiÕt tæng cña hai sè nhá nhÊt trong tËp A b»ng 448. T×m ba ch÷ sè a, b, c nãi trªn.Bµi to¸n 11: Ngêi ta viÕt liÒn nhau d·y sè tù nhiªn b¾t ®Çu tõ 1: 1,2,3,4,5,…Hái ch÷ sè thø 659 lµ ch÷ sè nµo ?
Bµi to¸n 12: Cho a) TÝnh sè sè h¹ng cña tæng trªn. b) T×m sè h¹ng thø 22 cña tæng. c) TÝnh tæng S
Bµi to¸n 14: Chøng tá r»ng sè A= lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn
tiÕp.Bµi to¸n 15: Trong hÖ thËp ph©n sè A ®îc viÕt b»ng 100 ch÷ sè 3, sè B ®îc viÕt b»ng 100 ch÷ sè 6. H·y tÝnh tÝch A.B
C¸c bµi to¸n vÒ sè vµ ch÷ sè Bµi1. Mét sè cã 3 ch÷ sè, tËn cïng b»ng ch÷ sè 7. NÕu chuyÓn ch÷ sè 7 ®ã lªn ®Çu th× ta ®îc mét sè míi mµ khi chia cho sè cò th× ®îc th¬ng lµ 2 d 21. T×m sè ®ã Bµi 2. T×m sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 7 vµo ®»ng tríc sè ®ã th× ®îc mét sè lín gÊp 4 lÇn so víi sè cã ®îc b»ng c¸ch viÕt thªm ch÷ sè 7 vµo sau sè ®ã Bµi 3 . T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè 2 vµo bªn ph¶i vµ mét ch÷ sè 2 vµo bªn tr¸i cña nã th× sè Êy t¨ng gÊp 36 lÇn Bµi 4 . NÕu ta viÕt thªm ch÷ sè 0 vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cña mét sè cã hai ch÷ sè ta ®îc mét sè míi cã 3 ch÷ sè lín h¬n sè ®Çu tiªn 7 lÇn . T×m sè ®ã Bµi 5. NÕu xen vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cña mét sè cã hai ch÷ sè cña chÝnh sè ®ã, ta ®îc mét sè míi cã bèn ch÷ sè vµ b»ng 99 lÇn sè ®Çu tiªn. T×m sè ®ã Bµi 6 . NÕu xen vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cña mét sè cã hai ch÷ sè mét sè cã hai ch÷ sè kÐm sè ®ã 1 ®¬n vÞ th× sÏ ®îc mét sè cã bèn ch÷ sè lín gÊp 91 lÇn so víi sè ®Çu tiªn. H·y t×m sè ®ã Bµi 7 . T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè míi viÕt theo thø tù ngîc l¹i nh©n víi sè ph¶i t×m th× ®îc 3154; sè nhá trong hai sè th× lín h¬n tæng c¸c ch÷ sè cña nã lµ 27 Bµi 8 . Cho sè cã hai ch÷ sè . NÕu lÊy sè ®ã chia cho hiÖu cña ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cña nã th× ®îc th¬ng lµ 18 vµ d 4 . T×m sè ®· cho Bµi 9 . Cho hai sè cã 4 ch÷ sè vµ 2 ch÷ sè mµ tæng cña hai sè ®ã b»ng 2750. NÕu c¶ hai sè ®îc viÕt theo thø tù ngîc l¹i th× tæng cña hai sè nµy b»ng 8888 . T×m hai sè ®· cho Bµi 10 . T×m sè cã bèn ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè 0 vµo gi÷a hµng ngh×n vµ hµng tr¨m th× ®îc sè míi gÊp 9 lÇn sè ph¶i t×m Bµi 11 . T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, sao cho khi nh©n sè ®ã víi 4 ta ®îc sè gåm bèn ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bµi 12 . T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, sao cho khi nh©n sè ®ã víi 9 ta ®îc sè gåm bèn ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngîc l¹i
Bµi 13 . T×m sè tù nhiªn cã n¨m ch÷ sè, sao cho khi nh©n sè ®ã víi 9 ta ®îc sè gåm n¨m ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngîc l¹i Bµi 14 . T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng tr¨m th× sè Êy gi¶m 9 lÇn Bµi 15 . T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng ngh×n th× sè Êy gi¶m 9 lÇn Bµi 16 . T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng tr¨m b»ng 0 vµ nÕu xo¸ ch÷ sè 0 ®ã th× sè Êy gi¶m 9 lÇn Bµi 17 . Mét sè tù nhiªn t¨ng gÊp 9 lÇn nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè 0 vµo gi÷a c¸c ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cña nã . T×m sè Êy Bµi 18 . T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã võa chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 9 , hiÖu gi÷a sè ®ã víi sè viÕt theo thø tù ngîc l¹i b»ng 297
Bµi 1. TÝnh nhanha. 417 + 235 + 583 + 765 5 +8 +11 +14 + ......+ 38 + 41b. 4 . 7 . 16 . 25 13 . 8 . 250c. ( 1999 + 313) – 1999 ( 1435 + 213) – 13d. 2023 - ( 34 + 1560) 1972 – ( 368 + 972)e. 364 – ( 364 – 111) 249 – ( 75 – 51)Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng sau
a. 1+2+3+4+5+....+n e. 2+5+11+....+47+65b. 1+3+5+7+....+ ( 2n – 1) g. 3+12+48+...+3072+12288c.2+4+6+8+.....+2n h. 2+5+7+12+.....+81+131d. 1+6+11+16+....+46+51
i. 49-51+53-55+57-59+61-63+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36499.12 601.42 199.41b. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa sè nµy, chia thõa sè kia cho cïng mét sè 66.50 72.125 38.515.16.125c. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ chia vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c kh«ng 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 581000 : 125d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt ( a b ) : c = a : c b : c 169 : 13 660 : 15 119 : 7204 : 12Bµi 4 . T×m x
a. (158 - x) :7 = 20 b. 2x – 138 = 23 . 32
c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13 d.10 + 2x = 45 : 43
a.70 - 5.(2x - 3) = 45 b. 156 – (x + 61) = 82 c. 6.(5x + 35) = 330 d. 936 - (4x + 24) = 72
a.5.(3 x + 34) = 515 b. (158 - x) : 7 = 20c. (7x - 28) .13 = 0 d.218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30b. . 2 = 42c.( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40d. .17 = 1785e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 + 23
f. 697 : = 17
g. 92.4 – 27 = + 315
Bµi 5. TÝnh nhanh
a.
b.
c.
d.
1.e. 127 .
36 + 64. 127 – 27. 100 12 : {390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}2.57 : 55 - 7 . 70
2.125.18 + 36.252 + 4.223.93. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100 B = 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20
4.24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]} 1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5.56 : 53 + 3 . 32
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 17686.20 + 22 + 24 +....96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33
7.35 + 38 + 41 +... + 92 + 95 A = 46 – ( 16 + 71.4) : 15 – 28.B = 24 . 5 – 131 – ( 13 – 4 )2 222 + 224 + 226 + . . . . + 4449.33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
(5346 – 2808) : 54 + 5110. 187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38) 23 .16 - 23 . 1411. 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]} 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
Luü thõa víi sè mò tù nhiªnI/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1. Ñònh nghóa: a.a……….a ( n N*) n thöøa soá2. Quy öôùc: a1 = a ; a0 = 1 ( a 0)3. Nhaân, chia hai luõy thöøa cuøng cô soá:
4.Luõy thöøa cuûa moät tích: (a.b)n = an. bn
5. Luõy thöøa cuûa moät luõy thöøa: ( am )n = am.n 6. Luõy thöøa taàng: 7. Soá chính phöông laø soá maø baèng bình phöông cuûa moät soá töï
nhieân. Ví duï: caùc soá 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. laø caùc soá chính phöông
. Bài tập:1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );a) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau: a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương; b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần.6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SAÙNH HAI LUÕY THÖØAA) KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN:1) Ñeå so saùnh hai luõy thöøa, ta thöôøng ñöa chuùng veà daïng hai luõy thöøa coù cuøng cô soá (lôùn hôn 1) hoaëc cuøng soá muõ (lôùn hôn 0) roài môùi so saùnh. Neáu am = an thì m = n, hoaëc neáu an = b n thì a = b
Neáu m > n thì am > an (a> 1) Neáu a > b thì an > b n (n > 0) 2) Tính chaát ñôn ñieäu cuûa pheùp nhaân: Neáu a < b thì a.c < b.c (vôùi c > 0)
II/. Bµi tËp Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biÓu thøc sau b»ng c¸ch dïng luü thõa.
a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
b, a . a . a + b . b . b . b =
c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f,
414 . 528 = (g, 12n: 22n = h. 84. 165b.
540 . 1252 . . 6253
i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004
k. b) c) d) a) b) c) d) a) ; ; ; ; b) ; ; ; ;
; a) b) c) d) e) g)
Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 – 2 . 32 c, d, e, g,
e. g. h. y. ( 1253 . 75 – 1755 : 5 ) :
20012002
k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16) Bµi 4. Cho A = 5. 415. 99 – 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : BC = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 TÝnh C : Da) b) c) d) a)
b) (1 + 2 +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37)
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i)
Bµi tËp 5: T×m x N biÕt
a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1
c, (2x + 1)3 = 125
d, (x – 5)4 = (x - 5)6
d/ x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3
Bµi 1: T×m c¸c sè mò n sao cho luü thõa 3n th¶o m·n ®iÒu kiÖn: 25 < 3n < 250Bµi 2. T×m sè tù nhiªn n biÕt a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243 49.7n = 2401 b. 9 < 3n < 81 25 5n 125
Bµi 3. T×m x lµ sè tù nhiªn, biÕt r»ng : a. 2x . 4 = 128b. x15 = x c. ( 2x + 1 )3 = 125d. ( x – 5 )4 = ( x – 5 )6
e. x2006 = x2
Bµi 4 : T×m biÕt a) b) c) d) Bµi 5 T×m biÕt g) h) i) l) m) n) p) Bµi 6: T×m biÕt:
a) b)
a) 50 < 2n < 100 b) 50<7n < 2500
Bµi 7 T×m x biÕt
a) b) c) d) a) 2x . 7 = 224 b) (3x + 5)2 = 289c) x. (x2)3 = x5 d) 32x+1 . 11 = 2673
Bµi 8: T×m biÕt
a) b)
d) e)
g) h)
i) k) Bµi 9: T×m biÕta)
b)
chuyªn ®Ò: C¸c bµi to¸n so s¸nh hai luü thõa1. §Ó so s¸nh hai luü thõa, ta thêng ®a vÒ so s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè hoÆc cïng sè mò.+ NÕu hai luü thõa cã cïng c¬ sè (lín h¬n 1) th× luü thõa nµo cã sè mò lín h¬n sÏ lín h¬n.
+ NÕu hai luü thõa cã cïng sè mò (>0) th× luü thõa nµo cã c¬ sè lín h¬n sÏ lín h¬n.
2. Ngoµi hai c¸ch trªn, ®Ó so s¸nh hai luü thõa ta cßn dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu, tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña phÐp nh©n. (a<b th× a.c<b.c víi c>0).VÝ dô: So s¸nh 3210 vµ 1615, sè nµo lín h¬n.Híng dÉn:C¸c c¬ sè 32 vµ 16 tuy kh¸c nhau nhng ®Òu lµ luü thõa cña 2 lªn ta t×m
c¸ch ®a 3210 vµ 1615 vÒ luü thõa cïng c¬ sè 2.3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
NÕu m>n th× am>an
(a>1).
NÕu a>b th× an>bn ( n>0).
V× 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.Bµi tËp 1: So s¸nh: Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau?a) 2711 vµ 818. b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n
N* ) Híng dÉn:a) §a vÒ cïng c¬ sè 3. b) §a vÒ cïng c¬ sè 5.c) §a vÒ cïng sè mò 12. d) §a vÒ cïng sè mò nBµi 2: a) 523 vµ 6.522 b) 7.213 vµ 216 c) 2115 vµ 275.498
Híng dÉn:a) §a hai sè vÒ d¹ng mét tÝch trong ®ã cã thõa sè gièng nhau 522.b) §a hai sè vÒ d¹ng mét tÝch trong ®ã cã thõa sè gièng nhau lµ 213.c) §a hai sè vÒ d¹ng mét tÝch 2 luü thõa c¬ sè lµ 7 vµ 3.
Bµi 3: a) 19920 vµ 200315. b) 339 vµ 1121.Híng dÉn :
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.Bµi 4: So s¸nh 2 hiÖu,hiÖu nµo lín h¬n? 72 45-7244vµ 72 44-7243.Híng dÉn: 7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 7244-7244=7244(72-1)=7244.71.
Bµi 5: 27 vµ 72
Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49 V× 128 > 49 nªn 27 > 72
Bµi 6 a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300
a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
V× 310 > 39nªn 95 > 273
b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
V× 9100 > 8100 ; nªn 3200 > 2300
c, 3500 vµ 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
V× 243100 < 343100 => 3500 < 7300
d, 85 vµ 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215
<3.214 = 3.47
=> 85 < 3 . 47
e, 202303 vµ 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Ta so s¸nh 2023 vµ 3032
2023 = 23. 101 . 1013 vµ 3032 =>
3032 < 2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012
vËy 303202 < 2002303
f, 321 vµ 231
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2
. 810
3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 =
1331660
371320 = (372)660 = 1369660
V× 1369660 > 1331660 => 371320 >
111979
Bµi 7: So s¸ch c¸c cÆp sè sau:
a/ A = 275 vµ B = 2433 Ta cã A = 275 = (33)5 = 315
vµ B = (35)3 = 315 VËy A = B
b/ A = 2 300 vµ B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100 vµ B = 3200 = 32.100 = 9100
V× 8 < 9 nªn 8100 < 9100 vµ A < B.Bµi 8: So s¸nh hai luü thõa sau: 3111 vµ 1714
Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nªn 3111 < 1714
Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau, sè nµo lín h¬na) vµ b) vµ c) vµ d) vµ
Bµi 2: So s¸nh c¸c sè saua) vµ b) vµ c) vµ d) vµ e) vµ f) vµ
Bµi 3: So s¸nh c¸c sè saua) vµ b) vµ c) vµ d) vµ
Bµi 4: So s¸nh c¸c sè saua) vµ b) vµ c) vµ d) vµ
Bµi 5: So s¸nh c¸c sè saua) vµ b) vµ c) vµ d) vµ e) vµ g) vµ
Bµi 6: So s¸nh c¸c sè saua) vµ b) vµ c) vµ d) vµ e) vµ g) vµ h) vµ i) vµ
Bµi 7: So s¸nh c¸c sè saua) vµ b) vµ c) vµ
Bµi 8: T×m xem 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n Bµi gi¶i:
Muèn biÕt 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n ta so s¸nh 2100 víi 1030 vµ 1031.
* So s¸nh 2100 víi 1030
Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
V× 102410 > 100010
nªn 2100 > 1030 (*) * So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **) Tõ (*),( **) ta cã:
1031 < 2100 < 1031
Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt Nªn 2100 cã 31 ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n. Bµi 10: So s¸nh A vµ B biÕt.
a) A = ; B =
b) ; B =
c) A = ; B =
Bµi gi¶i:
A = Nªn 19A = = = 1 +
B = nªn 19B = = = 1 +
V× >
Suy ra 1 + > 1 + Hay 19A > 19B Nªn A > B
b) A = nªn 22 . A = = = 1 -
B = nªn 22.B = = = 1-
V× > Suy ra 1 - < 1- Hay 22 A < 22 B
Nªn A < B c) Ta cã:
A = =
T¬ng tù B = Tõ (1) vµ (2) Ta cã
A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B nªn
A > B
Bµi tËp 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
ViÕt A + 1 díi d¹ng mét lòy thõa
Bµi 4: T×m x N biÕt a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bµi gi¶i: a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1 x = 55- 1 x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2
= ( x - 2)2
502 = ( x -2 )2
50 = x -2 x = 50 + 2 x = 52 ( Ta cã: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bµi 5: T×m 1 cÆp x ; y N tho¶ m·n 73 = x2 - y2
Ta thÊy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
VËy 1 cÆp x; y tho¶ m·n lµ: x = 28; y = 21
Bµi 2: T×m x N* biÕt. A = 111....1 - 777 ...7 lµ sè chÝnh ph¬ng
2 x ch÷ sè 1 x ch÷ sè 7
Bµi gi¶i: + NÕu x = 1 Ta cã: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) + NÕu x > 1 Ta cã A = 111...1 - 777...7 = 2
2x ch÷ sè 1 x ch÷ sè 7 mµ 4Suy ra A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng ( lo¹i) VËy x = 1 c) Dïng tÝnh chÊt chia hÕtBµi 1: T×m x; y N biÕt: 35x + 9 = 2. 5y
*)NÕu x = 0 ta cã: 350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y 5y = 5 y =1 *) NÕu x >0
+ NÕu y = 0 ta cã: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( v« lý) + NÕu y > 0 ta thÊy: 35x + 9 5 v× ( 35x 5 ; 9 5 ) Mµ 2. 5y 5 ( v« lý v× 35x + 9 = 2.5y)
VËy x = 0 vµ y = 1 Bµi 1: TÝnh tæng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bµi gi¶i: A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) VËyA = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)4B = 3 - 3101
VËyB = ( 3- 3101) : 4Bµi 2: a) ViÕt c¸c tæng sau thµnh mét tÝch: ; ; b) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 3; 7 vµ 15.
Bµi 3: a) ViÕt tæng sau thµnh mét tÝch b) Chøng minh r»ng:
Bµi 4: Chøng minh r»ng:a) b)
c) Bµi 5 TÝnh c¸c tæng sau b»ng c¸ch hîp lý.
a) b) c) d)
Bµi 6 Cho . H·y viÕt A+1 díi d¹ng mét luü thõa.Bµi 7 Cho . CMR: 2B+3 lµ luü thõa cña 3.Bµi 8 Cho . CMR: C lµ mét luü thõa cña 2.Bµi 9: Chøng minh r»ng:a) b) c) e) g) h) i) k) Bµi 10 TÝnh nhanh
a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449
Bµi 11 TÝnh tæng a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bµi gi¶i:a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1 VËyA = ( 5202 -1) : 24
b) T¬ng tù B =
Bµi 3: TÝnh
A = + + + ... +
B = + - + ...+
Bµi gi¶i:
A = + + + ... +
7A = 1 + + + ... +
=> 7A - A = 1 - A = : 6
B = + - + ...+
5B = -4 + + +...+
B+5B = -4 +
B = : 6
Bµi 3: TÝnh
A =
Bµi gi¶i: BiÕn ®æi mÉu sè ta cã: 2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 = (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) = (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
VËy A = =
Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè khi tÝnh gi¸ trÞ cña nã.
Bµi tËp 13: T×m sè tù nhiªn biÕt (a + b + c)3 = (a b c)
Bµi tËp 14: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn
(a + b + c + d)4 =
C¸c dÊu hiÖu chia hÕtA/. Môc tiªu:
-Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiÖu chia hÕt
vµo trong gi¶i bµi tËp.
-VËn dông thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®æi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
-RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t duy l« gic ãc ph©n
tÝch tæng hîp.
B/. ChuÈn bÞ:
Néi dung chuyªn ®Ò, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sö dông vµ c¸c bµi tËp tù
luyÖn.
C/. Néi dung chuyªn ®Ò.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1) Ñònh nghóa: Cho hai soá töï nhieân a vaø b (b ). a laø boäi cuûa b b laø öôùc cuûa a.2) Tính chaát: 1/ Baát cöù soá naøo khaùc 0 cuõng chia heát cho chính noù.2/ Neáu 3/ Soá 0 chia heát cho moïi soá b khaùc 0.4/ Baát cöù soá naøo cuûng chia heát cho 1.5/ Neáu a m vaø b m thì 6/ Neáu toång cuûa hai soá chia heát cho m vaø moät trong hai soá aáy chia heát cho m thì soá coøn laïi cuõng chia heát cho m.7/ Neáu moät trong hai soá a vaø b chia heát cho m, soá kia khoâng chia heát cho m thì a +b khoâng chia heát cho m vaø a - b khoâng chia heát cho m.8/ Neáu moät thöøa soá cuûa tích chia heát cho m thì tích chia heát cho m.9/ Neáu Heä Quaû: Neáu Neáu A/ LYÙ THUYEÁT:
BAØI TAÄP : 1) Thay caùc chöõ x, y baèng chöõ soá thích hôïp ñeå cho:a/ Soá chia heát cho 5; cho 25; cho125.b/ Soá chia heát cho 2, cho4, cho 8.
Giaûi: a/ 5 ; 25 ; 125
b/ ;
: LUYEÄN TAÄP
1) Cho n N, chöùng minh raèng: a/ 5n – 1 4 b/ n2 + n + 1 khoâng chia heát cho 4. c/ 10n - 1 9 d/ 10n + 8 9 Giaûi: a/ + Vôùi n = 0, ta coù: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4+ Vôùi n = 1, ta coù: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4.+ Vôùi n > 1, ta coù: 5n = …5 neân 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4
Vaäy vôùi n N, 5n – 1 4 . b/ Ta coù n2 + n = n( n + 1) ñaây laø tích cuûa hai soá töï nhieân lieân tieáp neân tích chaún, do ñoù n2 + n + 1 laø soá leõ neân khoâng chia heát cho 4. c/ Ta coù 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 9 n chöõ soá 0 n chöõ soá 9
d/ Ta coù: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9 n chöõ soá 0 n-1 chöõ soá 02) Chöùng minh raèng:a/ 1028 + 8 72b/ 88 + 220 17
Giaûi: a/ Ta coù: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 9 (1) 28 chöõ soá 0 27 chöõ soá 0 Soá 1028 + 8 coù taän cuøng baèng 008 neân chia heát cho 8 (2)
Maët khaùc (8;9) = 1. Vaäy 1028 + 8 chia heát cho 72. b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17 vaây 88 + 220 chia heát cho 17.3/ CMR vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2 + n + 6 khoâng chia heát cho 5.Giaûi: Vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2 + n = n(n + 1) ñaây laø tích cuûa hai soá töï nhieân lieân tieáp neân taän cuøng baèng 0; 2; 6. Do ñoù n 2 + n + 6 taän cuøng baèng 6; 8; 2 neân khoâng chia heát cho 5. 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho 5. b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heát cho 2 vaø 5.
Giaûi: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0 Soá naøy coù chöõ soá taän cuøng baèng 0 neân chia heát cho caû 2 vaø 5.Bµi 1:Chöùng minh raèng:a) chia heát cho 11.b) Chia heát cho 9 vôùi a > b.
a) Ta coù = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vaäy 11.
b) Ta coù : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9 Chuù yù : Neáu Bµi 2 Cho 2) CMR Neáu vieát theâm vaøo ñaèng sau moät soá töï nhieân coù hai chöõ soá soá goàm chính hai chöõ soá aáy vieát theo thöù töï ngöôïc laïi thì ñöôïc moät soá chia heát cho 11. 3) Cho soá Chöùng minh raèng soá Giaûi:
Maø : 7.143 vaø 2) Goïi soá töï nhieân coù hai chöõ soá laø: .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N) Khi vieát theâm soá coù hai chöõ soá aáy vieát theo thöù töï ngöôïc laïi ta ñöôïc soá:
3)
LUYEÄN TAÄP1) CMR toång cuûa ba soá töï nhieân lieân tieáp thì chia heát cho 3, coøn toång cuûa boán soá töï nhieân lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4.2) CMR Toång cuûa 5 soá chaún lieân tieáp thì chia heát cho 10, coøn toång cuûa 5 soá leõ lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 10.3) Tìm n N ñeå:a) 27 – 5n n b) n + 6 n + 2 c) 2n + 3 n – 2 d) 3n + 1 11 –
2n4) Cmr neáu 5) Cho 6) Cho 10 k – 1 19 vôùi k > 1 CMR: 102k – 1 197) Cho n laø soá töï nhieân. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho 2.b/ n(n + 1) (n + 2) chia heát cho caû 2 vaø 3.
8) Chöùng minh raèng neáu Giaûi: 1) Goïi ba soá töï nhieân lieân tieáp ñoù laø: n, n + 1, n + 2 . Ta phaûi chöùng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3Thaät vaäy ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3 Goïi boán soá töï nhieân lieân tieáp ñoù laø: n, n + 1, n + 2, n + 3.Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 khoâng chia heát cho 4 vì 4n chia heát cho 4 coøn 7 khoâng chia heát cho 4.Vaäy toång cuûa ba soá töï nhieân lieân tieáp thì chia heát cho 3, coøn toång cuûa boán soá töï nhieân lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4.2) Goïi 5 soá chaün lieân tieáp laø: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 vôùi n laø soá töï nhieân.Ta coù: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10Goïi 5 soá leõ lieân tieáp laø: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 vôùi n laø soá töï nhieân.Ta coù: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 10. 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ö(27) = nhöng 5n < 27 neân n < 6 Vaäy n
b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, maø n +2 n + 2 => 4 n + 2 => n + 2 => n c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2 => n – 2 => n
d*) 3n + 1 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n=> 11 – 2n nhöng vì n < 6 neân n
Vaäy :
6) Ta coù: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 Vaây 102k – 1 197) a/ (n + 10 ) (n + 15 )Khi n chaün => n = 2k (k N). Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heát cho 2.Khi n leõ => n = 2k + 1 (k N).Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heát cho 2.Vaây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho 2. b/ Ñaêt. A = n (n + 1)(n + 2)+ Trong hai soá töï nhieân lieân tieáp coù moät soá chaún vaø moät soá leõ, soá chaún chia heát cho 2 neân A chia heát cho 2.+ Tröôøng hôïp: n = 3k (k N) thì n chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3. (1)Tröôøng hôïp: n khoâng chia heát cho 3 thì n = 3k + 1 hoaëc n = 3k + 2Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k +
1) chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3. (2)Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k +
4) chia heát cho 3 neân A chia heát cho 3. (3)Töø (1), (2) vaø (3) suy ra: A chia heát cho 3.Vaäy A chia heát cho caû 2 vaø 3.8) Ta coù Maø:
Suy ra: Vaäy:
Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên sau:
a) Số đó chia hết cho 5;a) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5 là: 950 ; 590 ; 905.b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ; Bài 4. Cho số . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5. Giải. Số 5 nên y = 0 hoặc y = 5.
Với y = 0 , ta có số . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 3 hay 12 + (x+ 1) 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta có số . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 3 hay 18 + x 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435
Bài 5:1. Điền chữ số vào dấu * để được số :a) Chia hết cho 2 : ; ; ;a) Chia hết cho 5 : ; ; ;1. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:a) Lớn nhất và chia hết cho 5;a) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và 1995 ≤ n ≤2001 . 4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5. 5. Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5; 6. Chứng tỏ rằng:a) (5n + 7 )(4n + 6) 2 với mọi số tự nhiên n;b) (8n + 1 )(6n + 5) 2 với mọi số tự nhiên n;7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết có chia hết cho 2 hay không? Vì sao?8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai?9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9.a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các chữ số trên?b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5?Bài tập cñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để:a) 2001 + chia hết cho 3;b) chia hết cho 9;2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 : và 3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:a) Chia hết cho 9;b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 3 5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không? 102001 + 2 ; 102001 – 1 .6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 2 và 9.7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 445.8. Tìm tất cả các số có dạng , biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau:a) Là só có ba chữ số;b) Là số chia hết cho 5;c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;
C¸c ph ¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt Ph ¬ng ph¸p 1: ®Ó chøng minh ( ). Ta biÓu diÔn trong ®ã Bµi 1: Cho . Chøng minh r»ng: Bµi 2: Cho . Chøng minh r»ng: a) b) c) Bµi 3: Cho . Chøng minh r»ng :a) b) Bµi 4: Cho Chøng minh r»ng: Bµi 5: Chøng minh r»nga) b) c) d) e) g) h) i) lµ mét sè tù nhiªn.
Ph ¬ng ph¸p 2 : Sö dông hÖ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tængNÕu vµ
Ph ¬ng ph¸p 3: §Ó chøng minh mét biÓu thøc chø ch÷ (Gi¶ sö chøa n) chia hÕt cho b ( )Ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia n cho bBµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. c) Chøng minh r»ng: TÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cña 5 sè tù nhiªn liªn liÕp chia hÕt cho 120
(Chó ý: C¸c bµi to¸n trªn ®©y ®îc sö dông trong chøng minh chia hÕt, kh«ng cÇn CM l¹i)Bµi 7: Chøng minh r»ng: a)
b) kh«ng chia hÕt cho 2
Bµi 8: Chøng minh r»ng: Bµi 9: a) Cho . Chøng minh r»ng: hoÆc chia 3 d 1 b) CMR: Kh«ng tån t¹i ®Ó
Bµi 10: Chøng minh r»ng: ta lu«n cã Bµi 11: Chøng minh r»ng:
Bµi 12: CMR kh«ng tån t¹i ®Ó
Ph ¬ng ph¸p 4: §Ó chøng minh . Ta biÓu diÔn b díi d¹ng . Khi ®ã+ NÕu (m, n)=1 th× t×m c¸ch chøng minh vµ hay + NÕu ta biÓu diÔn råi t×m c¸ch chøng minh th×
tÝch tøc Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. c) TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24. d) TÝch cña 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120
Bµi 14 : Chøng minh r»ng: nÕu a lµ mét sè lÎ kh«ng chia hÕt cho 3 th×
Bµi 15: a) Chøng minh r»ng: TÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 8 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho
48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho
384Bµi 16 : Chøng minh r»ng: Bµi 16: Chøng minh r»ng:
a)
b) sè
Ph ¬ng ph¸p 5: Dïng dÊu hiÖu chia hÕtBµi 17: Chøng minh r»ng:
Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè kh«ng chia hÕt cho 125 (
b) c) Bµi 19: Chøng minh r»ng: a) b)
c) d) Bµi 20: T×m hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã ba ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè kia chia hÕt cho 8.Bµi 21: Chøng minh r»ng th× a) b) c) d) e)
Bµi 22 : Chøng minh r»ng
Bµi 23: Cho sè tù nhiªn b»ng ba lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña nã.a) Chøng minh r»ng: b) Gi¶ sö b=k.a. Chøng minh r»ng k lµ íc cña 10.c) T×m c¸c sè nãi trªn Ph ¬ng ph¸p 6: ®Ó chøng minh ta biÓu diÔn vµ chøng minh c¸c
Bµi 1: CMR: a) th×
b) th×
c)
Bµi 24: Hai sè tù nhiªn a vµ 2a ®Òu cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng k. Chøng minh r»ng Bµi 25: T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó
C¸c bµi to¸n tæng hîp:Bµi 1: T×m ®Ó a) b) c) d) e) g)
Bµi 2: T×m ®Ó:a) b) c) d) e) g) h) i) k) l) m)
Bµi 3: T×m ®Ó c¸c ph©n sè sau cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn
a) b) c) d)
Bµi 4: T×m ®Óa) b) c) d)
Bµi 5: T×m sè tù nhiªn n sao cho c¸c ph©n sè sau cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn
a) b) c)
d) e) g)
Bµi 6: T×m c¸c sè tù nhiªn n sao cho a) b) c) d)
Bµi 4: Chøng minh r»ng: Bµi 5: Chøng minh r»ng: Bµi 6: Cã hay kh«ng hai sè tù nhiªn x, y sao cho Bµi 8 :Chøng minh r»ng nÕu th×
Bµi 9 : Cho hai sè tù nhiªn vµ ®Òu chia 11 d 5. Chøng minh r»ng sè
Bµi 10 : Cho . Chøng minh r»ng: Bµi 11:Cho biÕt sè Chøng minh r»ng: Bµi 12 : Cho sè trong ®ã a, b lµ c¸c ch÷ sè ch½n. Chøng minh r»ng: a) b)
Bµi 13: T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho Bµi 14: Cho . Chøng minh r»ng: Bµi 15:Cho . Chøng minh r»ng: Bµi 16: Chøng minh r»ng: Bµi 17: Chøng minh r»ng: nÕu th× vµ ngîc l¹iBµi 3: BiÕt Chøng minh r»ng: Bµi 4: BiÕt Chøng minh r»ng: nÕu th× b=cBµi 5: T×m sè tù nhiªn sao cho Bµi 6: T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn (a,b) sao cho
a) b)
Bµi 7: Cho sè . Chøng minh r»ng:a) b) c) víi b ch½n
Bµi 8: Chøng minh r»ng:a) b) c) 3
Bµi 9: Chøng minh r»ng: a)
b)
Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè cã hai ch÷ sè chia hÕt cho 7 khi vµ chØ khi tæng cña ch÷ sè hµng chôc vµ 5 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ chia hÕt cho 7.Bµi 12: Víi a, b lµ c¸c ch÷ sè kh¸c 0. Chøng minh r»ng:
a) b) c) d) vµ 101 víi a>b
Bµi 13: Cho sè tù nhiªn A, Ngêi ta ®æi chç c¸c ch÷ sè cña sè A ®Ó ®îc sè B gÊp
ba lÇn sè A. Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 27.
SOÁ NGUYEÂN TOÁ – HÔÏP SOÁ.PHAÂN TÍCH MOÄT SOÁ RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ
A/ LYÙ THUYEÁT: + Soá nguyeân toá laø soá töï nhieân lôùn hôn 1 vaø chæ coù hai öôùc laø 1 vaø chính noù.+ Hôïp soá laø soá töï nhieân lôùn hôn 1 coù nhieàu hôn hai öôùc.+ Ñeå chöùng toû soá töï nhieân a > 1 laø hôïp soá, chæ caàn chæ ra moät öôùc khaùc 1 vaø a.Chuù yù: 10n = 10….0 = 2n.5n n chöõ soá 0+ Caùch xaùc ñònh soá löôïng öôùc cuûa moät soá: Khi phaân tích M ra thöøa soá nguyeân toá, ta coùM = ax.by….cz thì caùc öôùc cuûa M laø (x + 1)(y + 1)…(z + 1). + Neáu ab vôùi P laø soá nguyeân toá thì hoaëc a hoaëc b . Ñaëc bieät: Neáu an thì a B/ VÍ DUÏ:
D¹ng 1:
Bµi 1: Tæng (hiÖu) sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè:
a/ 3150 + 2125
b/ 5163 + 2532
c/ 19. 21. 23 + 21. 25 .27
d/ 15. 19. 37 – 225
Bµi 2: Chøng tá r»ng c¸c sè sau ®©y lµ hîp sè:
a/ 297; 39743; 987624
b/ 111…1 cã 2001 ch÷ sè 1 hoÆc 2007 ch÷ sè 1
c/ 8765 397 639 763
Híng dÉn
a/ C¸c sè trªn ®Òu chia hÕt cho 11
Dïng dÊu hiÖu chia hÕt cho 11 ®ª nhËn biÕt: NÕu mét sè tù nhiªn cã tæng
c¸c ch÷ sè ®øng ë vÞ trÝ hµng ch½n b»ng tæng c¸c ch÷ sè ë hµng lÎ ( sè
thø tù ®îc tÝnh tõ tr¸i qua ph¶i, sè ®Çu tiªn lµ sè lÎ) th× sè ®ã chia hÕt cho
11. Ch¼ng h¹n 561, 2574,…
b/ NÕu sè ®ã cã 2001 ch÷ sè 1 th× tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 2001 chia
hÕt cho 3. VËy sè ®ã chia hÕt cho 3. T¬ng tù nÕu sè ®ã cã 2007 ch÷ sè 1
th× sè ®ã còng chia hÕt cho 9.
c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 lµ hîp sè.
Bµi 3: Chøng minh r»ng c¸c tæng sau ®©y lµ hîp sè
a/
b/
c/
Híng dÉn
a/ = a.105 + b.104 + c.103 + a. 102 + b.10 + c + 7
= 100100a + 10010b + 1001c + 7
= 1001(100a + 101b + c) + 7
V× 1001 7 1001(100a + 101b + c) 7 vµ 7 7
Do ®ã 7, vËy lµ hîp sè
b/ = 1001(100a + 101b + c) + 22
1001 11 1001(100a + 101b + c) 11 vµ 22 11
Suy ra = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ
>11 nªn lµ hîp sè
c/ T¬ng tù chia hÕt cho 13 vµ >13 nªn lµ hîp sè
Bµi 4: a/ T×m sè tù nhiªn k ®Ó sè 23.k lµ sè nguyªn tè
b/ T¹i sao 2 lµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt?
Híng dÉn
a/ Víi k = 0 th× 23.k = 0 kh«ng lµ sè nguyªn tè
víi k = 1 th× 23.k = 23 lµ sè nguyªn tè.
Víi k>1 th× 23.k 23 vµ 23.k > 23 nªn 23.k lµ hîp sè.
b/ 2 lµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt, v× nÕu cã mét sè ch½n lín h¬n 2 th×
sè ®ã chia hÕt cho 2, nªn íc sè cña nã ngoµi 1 vµ chÝnh nã cßn cã íc lµ 2
nªn sè nµy lµ hîp sè.
Bµi 5: T×m mét sè nguyªn tè, biÕt r»ng sè liÒn sau cña nã còng lµ mét sè
nguyªn tè
Híng dÉn
Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè ch½n vµ mét sè lÎ,
muèn c¶ hai lµ sè nguyªn tè th× ph¶i cã mét sè nguyªn tè ch½n lµ sè 2. VËy
sè nguyªn tè ph¶i t×m lµ 2.
D¹ng 2: DÊu hiÖu ®Ó nhËn biÕt mét sè nguyªn tè
Ta cã thÓ dïng dÊu hiÖu sau ®Ó nhËn biÕt mét sè nµo ®ã cã lµ sè nguyªn
tè hay kh«ng:“ Sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho mäi sè nguyªn tè p mµ p2 <
a th× a lµ sè nguyªn tè.
VD1: Ta ®· biÕt 29 lµ sè nguyªn tè.
Ta cã thÓ nhËn biÕt theo dÊu hiÖu trªn nh sau:
- T×m c¸c sè nguyªn tè p mµ p2 < 29: ®ã lµ c¸c sè nguyªn tè 2, 3, 5 (72 =
49 19 nªn ta dõng l¹i ë sè nguyªn tè 5).
- Thö c¸c phÐp chia 29 cho c¸c sè nguyªn tè trªn. Râ rµng 29 kh«ng chia hÕt
cho sè nguyªn tè nµo trong c¸c sè 2, 3, 5. VËy 29 lµ sè nguyªn tè.
VD2: H·y xÐt xem c¸c sè tù nhiªn tõ 1991 ®Õn 2005 sè nµo lµ sè nguyªn
tè?
Híng dÉn
- Tríc hÕt ta lo¹i bá c¸c sè ch½n: 1992, 1994, .. ., 2004
- Lo¹i bá tiÕp c¸c sè chia hÕt cho 3: 1995, 2001
- Ta cßn ph¶i xÐt c¸c sè 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 è nguyªn tè p mµ p2
< 2005 lµ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
- Sè 1991 chia hÕt cho 11 nªn ta lo¹i.
- C¸c sè cßn l¹i 1993, 1997, 1999, 2003 ®Òu kh«ng chia hÕt cho c¸c sè
nguyªn tè tªn.
VËy tõ 1991 ®Õn 2005 chØ cã 4 sè nguyªn tè lµ 1993, 1997, 1999, 2003
C.HDVN: xem lại những bài đã chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số nguyên tố,hợp sốBài tậpVí duï 1: Cho A = 5 + 52 + 53 +……+5100
a) Soá A laø soá nguyeân toá hay hôïp soá?b) Soá A coù phaûi laø soá chính phöông khoâng?
Giaûi: a) Coù A > 5; A 5 ( Vì moãi soá haïng ñeàu chia heát cho 5) neân A laø hôïp soá.b) Coù 52 25, 53 25;…..;5100 25, nhöng 5 25 neân A 25 Soá A 5 nhöng A 25 neân A khoâng laø soá chính phöông.
Ví duï 2 : Soá 54 coù bao nhieâu öôùc. Giaûi: Coù: 54 = 2 .33. Soá öôùc cuûa 54 laø: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 öôùc. Taäp hôïp caùc öôùc cuûa 54 laø: Ö(54) = Ví duï 3: Tìm soá nguyeân toá p sao cho p + 2 , p + 4 cuõng laø soá nguyeân toá.
Giaûi: Vì p laø soá nguyeân toá neân p coù moät trong ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vôùi k laø soá töï nhieân.Neáu p = 3k thì p = 3 (Vì p laø soá nguyeân toá) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 ñeàu laø soá nguyeân toá.Neáu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 2 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi. Neáu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 4 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm.C/ BAØI TAÄP:
1)Toång cuûa 3 soá nguyeân toá baèng 1012. Tìm soá nhoû nhaát trong ba soá ñoù?2)Toång cuûa hai soá nguyeân toá coù theå baèng 2003 hay khoâng?3)Tìm soá nguyeân toá p, sao cho caùc soá sau cuõng laø soá nguyeân toá.
a) p + 2 vaø p + 10.b) P + 10 vaø p + 20.
4) Cho p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3. Bieát p + 2 cuõng laø soá nguyeân toá. Chöùng minh p + 1chia heát cho 6. 5) Cho p vaø p + 4 laø caùc soá nguyeân toá (p > 3).Chöùng minh p + 8 laø hôïp soá. 6) Cho a, n N*, bieát an 5. Chöùng minh: a2 + 150 25.
Giaûi:1) Toång cuûa 3 soá nguyeân toá baèng 1012 laø soá chaún neân moät trong ba soá nguyeân toá ñoù phaûi coù moät soá chaún ñoù laø soá 2. soá 2 laø soá nhoû nhaát trong ba soá nguyeân toá ñaõ cho.
2) Toång cuûa hai soá nguyeân toá coù theå baèng 2003 laø soá leõ neân moät trong hai soá nguyeân toá ñoù phaûi laø soá 2 khi ñoù soá thöù hai laø: 2003 – 2 = 2001 chia heát cho 3 neân laø hôïp soá. Vaäy khoâng toàn tai hai soá nguyeân toá coù toång baèng 2003. 3) a/ Vì p laø soá nguyeân toá neân p coù moät trong ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vôùi k laø soá töï nhieân.Neáu p = 3k thì p = 3 (Vì p laø soá nguyeân toá) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 ñeàu laø soá nguyeân toá.Neáu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 2 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi. Neáu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 10 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm. b/ Vì p laø soá nguyeân toá neân p coù moät trong ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 vôùi k laø soá töï nhieân.
Neáu p = 3k thì p = 3 (Vì p laø soá nguyeân toá) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 ñeàu laø soá nguyeân toá.Neáu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 20 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi. Neáu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia heát cho 3 vaø lôùn hôn 3 neân p + 10 laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi.Vaäy p = 3 laø soá nguyeân toá caàn tìm.
4) Do p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 neân p leõ, => p + 1 laø soá chaün neân p + 1 2 (1)p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 neân coù daïng 3k + 1 hoaëc 3k + 2. (k N)Daïng p = 3k + 1 khoâng xaõy ra. Daïng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3 (2)Töø (1) vaø (2) suy ra p + 1 6 5) p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 neân p coù daïng 3k + 1 hoaëc 3k + 2. (k N)Neáu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia heát cho 3 neân laø hôïp soá, traùi vôùi ñeà baøi. Vaäy p coù daïng 3k + 1 khi ñoù p + 8 = 3k + 9 chia heát cho 3 neân p + 8 laø hôïp soá.
6) Coù an 5 maø 5 laø soá nguyeân toá neân a 5 => a2 25. Maët khaùc 150 25 neân a2 + 150 25. Bµi 1: T×m hai sè nguyªn tè biÕt tæng cña chóng b»ng 2005.Bµi 2: T×m c¸c sè nguyªn tè p ®Ó lµ sè nguyªn tè nhá h¬n 30.Bµi 3: Cho a) Sè A lµ sè nguyªn tè hay hîp sè. b) Sè A cã lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng ?Bµi 4: Tæng hiÖu sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè
a) . b) . c) d) e) g) h) i) k) l)
Bµi 5: Cho . Chøng minh r»ng sè lµ hîp sè.
Bµi 6: a) Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng: chia 3 d 1.b) Cho p lµ sè nguyªn tæ lín h¬n 3. Hái lµ sè nguyªn tè hay hîp sè ?
Bµi 7: Cho vµ n kh«ng chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng: vµ kh«ng thÓ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè.
Bµi 8: Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3.a) Chøng tá r»ng: p cã d¹ng hoÆc víi b) BiÕt còng lµ sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng: lµ hîp sè.Bµi 9: Cho vµ ®Òu lµ sè nguyªn tè (p>3). Hái p+100 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè Bµi 10: Cho víi . Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× n:a) Lµ sè nguyªn tèb) Lµ hîp sèc) Kh«ng lµ sè nguyªn tè còng kh«ng lµ hîp sè.
Bµi 11: Chøng minh r»ng: nÕu 8p-1 vµ p lµ sè nguyªn tè th× 8p+1 lµ hîp sè.Bµi 12: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p, q sao cho vµ ®Òu lµ sè nguyªn tè.Bµi 13: T×m ba sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp ®Òu lµ sè nguyªn tè.Bµi 14: T×m sè nguyªn tè p sao cho a) lµ sè nguyªn tè.
b) p+8 vµ p+10 ®Òu lµ sè nguyªn tè. Bµi 16: Cho . CMR: 6 sè tù nhiªn liªn tiÕp sau ®Òu lµ hîp sè: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7Bµi 17: T×m sè nguyªn tè p sao cho ®Òu lµ sè nguyªn tèBµi 18:Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 24.Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3). Chøng minh r»ng: 4p+1 lµ hîp sè.Bµi 20:Cho p vµ 10p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3). Chøng minh r»ng: 5p+1 lµ hîp sè.Bµi 21:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn tè p >3, ba sè p, p+2, p+4 kh«ng thÓ ®ång thêi lµ nh÷ng sè nguyªn tè.Bµi 22: Hai sè vµ víi n >2 cã thÓ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè hay ®ång thêi lµ hîp sè ®îc kh«ng ? Bµi 23: T×m sè nguyªn tè p ®Ó cã
a) p+10 vµ p+14 ®Òu lµ sè nguyªn tè.b) p+2; p+6 vµ p+8 ®Òu lµ sè nguyªn tè.c) p+6;p+12; p+24; p+38 ®Òu lµ sè nguyªn tè.d) p+2; p+4 còng lµ sè nguyªn tè.
Bµi 24: T×m c¸c sè nguyªn tè a, b, c sao cho Bµi 25: CMR: +1 lµ hîp sè.Bµi 26: T×m sè nguyªn tè p sao cho lµ sè nguyªn tè.Bµi 27: CMR: Hai sè vµ kh«ng thÓ ®ång thêi lµ sè nguyªn tèBµi 28: T×m sè nguyªn tè p sao cho vµ p+1994 còng lµ sè nguyªn tèBµi 29: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p ®Ó còng lµ sè nguyªn tè.
¦íc chung vµ béi chung, ¦CLN, BCNN
A/. Môc tiªu:
-Häc sinh n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt cña íc chung, ¦CLN,
béi chung, BCNN vµo trong gi¶i bµi tËp.
-VËn dông thµnh th¹o c¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt vµo trong c¸c bµi tËp.
-RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t duy l« gic ãc ph©n
tÝch tæng hîp.
B/. ChuÈn bÞ:
Néi dung chuyªn ®Ò, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sö dông vµ c¸c bµi tËp tù
luyÖn.
C/. Néi dung chuyªn ®Ò.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1- TÝnh chÊt chia hÕt liªn quan
a m
a n => a m.n
(m,n)=1
a.b m => b m
(a, m) =1
Bµi 1: T×m ¦CLN cña
a/ 12, 80 vµ 56
b/ 144, 120 vµ 135
c/ 150 vµ 50
d/ 1800 vµ 90
Híng dÉn
a/ 12 = 22.380 = 24. 5 56 = 33.7
VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = 4.
b/ 144 = 24. 32 120 = 23. 3. 5
135 = 33. 5
VËy ¦CLN (144, 120, 135) = 3.
c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt
cho 50.
d/ ¦CLN(1800,90) = 90 v× 1800 chia
hÕt cho 90.
Bµi 2: T×m
a/ BCNN (24, 10)
b/ BCNN( 8, 12, 15)
Híng dÉn
a/ 24 = 23. 3 ; 10 = 2. 5
BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
b/ 8 = 23 ; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5
BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 1205/ Tìm số tự nhiên a là lớn nhất biết rằng 480 a 600 a Hướng dẫn : vì 480 a 600 a và a là lớn nhất Nên a ƯC LN (480,600) Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN của (480,600) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết rằng 126 x 210 x và 15 < x < 30 Hướng dẫn: Vì 126 x 210 x và 15 < x < 30 nên x Ư C (126,210) và 15 < x <30Ta có 126= 2.32..7 210 = 2.3.5.7 => Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do đó Ư C (126,210) =ƯC (42) =
Vì 15 < x < 30 nên x =217/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 a 18 Hướng dẫn : Vì a 15 a 18 a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15,18) Ta có 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy a = 908/ Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5. 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75Nên BCNN(15,25) = B(75) = Các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375Ví dụ1. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 39 cho a thì dư 4, còn khi chia 48 cho a thì dư 6.
Giải. Chia 39 cho a thì dư 4 , nên a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6.Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 .
Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43.
D¹ng 3: C¸c bµi to¸n thùc tÕ
Bµi 1: Mét líp häc cã 24 HS nam vµ 18 HS n÷. Cã bao nhiªu c¸ch chia tæ
sao cho sè nam vµ sè n÷ ®îc chia ®Òu vµo c¸c tæ?
Bµi 2: Mét ®¬n vÞ bé ®éi khi xÕp hµng, mçi hµng cã 20 ngêi, hoÆc 25 ng-
êi, hoÆc 30 ngêi ®Òu thõa 15 ngêi. NÕu xÕp mçi hµng 41 ngêi th× võa ®ñ
(kh«ng cã hµng nµo thiÕu, kh«ng cã ai ë ngoµi hµng). Hái ®¬n vÞ cã bao
nhiªu ngêi, biÕt r»ng sè ngêi cña ®¬n vÞ cha ®Õn 1000?
Híng dÉnGäi sè ngêi cña ®¬n vÞ bé ®éi lµ x (x N)
x : 20 d 15 x – 15 20
x : 25 d 15 x – 15 25
x : 30 d 15 x – 15 30
Suy ra x – 15 lµ BC(20, 25, 35)
Ta cã 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5; BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300
BC(20, 25, 35) = 300k (k N)
x – 15 = 300k x = 300k + 15 mµ x < 1000 nªn
300k + 15 < 1000 300k < 985 k < (k N)
Suy ra k = 1; 2; 3
ChØ cã k = 2 th× x = 300k + 15 = 615 41
VËy ®¬n vÞ bé ®éi cã 615 ngêiBµi 3: 3 khèi 6 – 7 – 8 theo thø tù cã 300 häc sinh- 276 häc sinh – 252 häc
sinh xÕp hµng däc ®Ó ®iÒu hµnh sao cho hµng däc mçi khèi nh nhau. Cã
thÓ xÕp nhiÒu nhÊt thµnh mÊy hµng däc ®Ó mçi khèi kh«ng lÎ ? kho ®ã
mçi khèi cã bao nhiªu hµng ngang?
Bµi 4: Cã 100 quyÓn vë vµ 90 bót ch× ®îc thëng ®Òu cho mét sè häc sinh
cßn l¹i 4 quyÓn vë vµ 18 bót ch× kh«ng ®ñ chia ®Òu. TÝnh sè häc sinh.
Gi¶i: Gäi sè häc sinh lµ a: => 100 – 4 a ; 90 – 18 a
Bµi 5: T×m sè tù nhiªn nhá h¬n 500 sao cho chia nã cho 15, cho 35 ®îc c¸c
sè d lµ 8 vµ 13. Gi¶i Gäi sè ph¶i t×m lµ a
=> a- 8 15 => a – 8 + 30 15 => a + 22 35
a – 13 35 a – 13 + 35 35 a + 22 15
Bµi 6: T×m d¹ng chung cña sè tù nhiªn a sao cho chia 4; 5; 6 lÇn lît cã sè d
lµ 3; 4; 5 vµ chia hÕt cho 13
Gi¶i ; a + 1 BC (4; 5; 6)
=> a + 1 60 => a + 1 – 300 60 => a – 299 60
vµ a 13 a – 13 . 23 13 a – 299 13
=> a – 299 BCNN (60; 13)
a – 299 780
=> a = 780b + 299 (b N)
Bµi 7: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 5; cho 7; 9 d lµ 3; 4; 5
Gi¶i ; Gäi sè ph¶i t×m lµ A
=> 2a chia cho 5; 7; 9 ®Òu d 1
2a – 1 = BCNN (5; 7; 9) = 315
2a – 1 = 315 => a = 158
Bµi 8: Sè HS cña mét trêng trong kho¶ng tõ 2500 ®Õn 2600. NÕu toµn thÓ HS cña trêng xÕp hµng 3 th× thõa mét b¹n, xÕp hµng 4 th× thõa 2 b¹n, xÕp hµng 5 th× thõa 3 b¹n, xÕp hµng 7 th× thõa 5 b¹n. TÝnh sè HS cña trêng ?Lêp gi¶i: Gäi sè HS cña trêng lµ x (x N, 2500 < x < 2600)Tõ gi¶ thiÕt suy ra a + 2 lµ sè chia hÕt cho c¶ 3, 4, 5 vµ 7.Mµ BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + 2 chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420
b»ng 5 d 403 vµ 2601 chia 420 b»ng 6 d 81 nªn a + 2 = 420.6 tøc lµ a = 2518VËy sè HS cña trêng lµ 2518 em.
Bµi 9: Mét thiÕt bÞ ®iÖn tö 605 ph¸t tiÕng bÝp; chiÒu thø 2 625 bÝp lóc
10h s¸ng c¶ 2 cïng kªu hái lóc mÊy giê c¶ 2 cïng kªu (10h 31p)
Bµi 10: Sè HS cña mét trêng THCS lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè mµ
khi chia sè ®ã cho 5 hoÆc cho 6, hoÆc cho 7 ®Òu d 1.
Gäi sè HS cña trêng lµ x (x N)
x : 5 d 1 x – 1 5
x : 6 d 1 x – 1 6
x : 7 d 1 x – 1 7
Suy ra x – 1 lµ BC(5, 6, 7)
Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210
BC(5, 6, 7) = 210k (k N)
x – 1 = 210k x = 210k + 1 mµ x sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè nªn x
1000
suy ra 210k + 1 1000 k (k N) nªn k nhá nhÊt lµ k = 5.
VËy sè HS trêng ®ã lµ x = 210k + 1 = 210. 5 + 1 = 1051 (häc sinh)Bµi 11. Có 100 quyển vở và 90 bút bi. Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số vở và bút thành một số phần thưởng như nhau gôm cả vở và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thì còn lại 4 quyển và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh.tính sô học sinh được thưởng?.Bµi 12 Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó.Bµi 13 Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ.
Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?.Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư.
a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên.a) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên.
Giải.a) Gọi x là số phải tìm thì x – 1 ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6.
BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,…Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301.
a) Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n N*) và x 7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2). Vì 7.8n 7 ,do đó để x 7 thì phải có 4(n + 2) 7 hay n + 2 7 . dặt n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k N*).
x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, …Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần , Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật mấy lần?Bµi 18 Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào?Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau . Tính khoáng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp (Khoảng cách giữa 2 cây là một số tự nhiên với đơn vị là mét ) Khi đó tổng số cây là bao nhiêu ?Hướng dẫn :Gọi khoảng cách giữa 2 cây liên tiếp là a (mét) vì mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa 2 cây liên tiếp bằng nhau và lớn nhất nên 105 a 60 a và a lớn nhất => a ƯCLN(105,60)Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp là 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số cây 330 : 15 = 22 cây 9/ Một khối học sinh khi xếp hàng 2 hàng 3 hàng 4 hàng 5 hàng 6 đều thừa 1 em nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ . Biết số học sinh chưa đến 300 . Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm là a (0<a<300) Theo đề ta có a+1 BC(2,3,4,5,6) và 1<a+1<301Mà BCNN của (2,3,4,5,6) = 23.3.5 = 60
BC (2,3,4,5,6) = B(60) = Vì 1<a+1<301nên a+1 Do a 7 nên a+1 = 120 => a = 119 Vậy số HS đó là 119
