Oleh: Adhi Kurniawan

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

PERTEMUAN 12-MPC 2 PRAKTIK

THREE STAGE

SAMPLING

POKOK

BAHASAN 1

› Secara umum, penarikan sampel tiga tahap dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:

Tahap 1: Memilih 𝑛 dari 𝑁 unit psu

Tahap 2: Memilih 𝑚𝑖 dari 𝑀𝑖 unit ssu di psu terpilih

Tahap 3: Memilih 𝑙𝑖𝑗 dari 𝐿𝑖𝑗 unit tsu/usu di ssu terpilih

› Penarikan sampel untuk tiap tahapan di atas bisa dilakukan secara PPS, SRS, atau sistematik.

› Skema Sampling:

› Overall sampling fraction: 𝑓𝑖𝑗𝑘 = 𝑛𝑝𝑖 ×𝑚𝑖𝑝𝑗|𝑖 × 𝑙𝑖𝑗 𝑝𝑘|𝑖𝑗

› Design weight:

𝑤𝑖𝑗𝑘 =1

𝑓𝑖𝑗𝑘=

1

𝑛𝑝𝑖 ×𝑚𝑖𝑝𝑗|𝑖 × 𝑙𝑖𝑗 𝑝𝑘|𝑖𝑗

Three Stage Sampling

Tahap Unit Indeks Populasi Sampel Peluang Fraksi

sampling

1 psu 𝑖 𝑁 𝑛 𝑝𝑖 𝑛𝑝𝑖

2 ssu 𝑗 𝑀𝑖 𝑚𝑖 𝑝𝑗|𝑖 𝑚𝑖𝑝𝑗|𝑖

3 usu 𝑘 𝐿𝑖𝑗 𝑙𝑖𝑗 𝑝𝑘|𝑖𝑗 𝑙𝑖𝑗𝑝𝑘|𝑖𝑗

Three Stage Sampling (SRS-SRS-SRS)

Deskripsi:

Suatu populasi sebanyak 𝑁 𝑝𝑠𝑢 masing-masing memuat sebanyak 𝑀𝑖 ssu. Tiap 𝑠𝑠𝑢 memuat 𝐿𝑖𝑗 usu.

› Tahap pertama, dari 𝑁 𝑝𝑠𝑢 diambil sampel sebanyak 𝑛 psu secara SRS WOR.

𝑓𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 = 𝑓1 = 𝑛 × 𝑝𝑖 =𝑛

𝑁

› Tahap kedua, dari setiap psu terpilih, diambil sampel sebanyak 𝑚𝑖 dari 𝑀𝑖 𝑠𝑠𝑢 secara SRS WOR.

𝑓𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 = 𝑓2𝑖 = 𝑚𝑖 × 𝑝𝑗|𝑖 =𝑚𝑖

𝑀𝑖

› Tahap ketiga, dari setiap 𝑠𝑠𝑢 terpilih dilakukan penarikan sampel sebanyak 𝑙𝑖𝑗 dari 𝐿𝑖𝑗 𝑢𝑠𝑢 secara SRS WOR.

𝑓𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 = 𝑓3𝑖𝑗 = 𝑙𝑖𝑗 × 𝑝𝑘|𝑖𝑗 =𝑙𝑖𝑗

𝐿𝑖𝑗

Three Stage Sampling (SRS-SRS-SRS)

Overall Sampling Fraction:

𝑓𝑖𝑗𝑘 = 𝑓1 × 𝑓2𝑖 × 𝑓3𝑖𝑗 =𝑛𝑚𝑖𝑙𝑖𝑗

𝑁𝑀𝑖𝐿𝑖𝑗

Design weight:

𝑤𝑖𝑗𝑘 =1

𝑓𝑖𝑗𝑘=𝑁𝑀𝑖𝐿𝑖𝑗

𝑛𝑚𝑖𝑙𝑖𝑗

Estimasi total karakteristik:

Misalkan 𝑦𝑖𝑗𝑘 menunjukkan nilai karakteristik yang diteliti pada psu ke-i ssu ke-j usu ke-k, maka estimasi totalnya:

𝑌 = 𝑤𝑖𝑗𝑘𝑦𝑖𝑗𝑘 =𝑁

𝑛

𝑀𝑖

𝑚𝑖

𝐿𝑖𝑗

𝑙𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

Desain 2: Three Stage Sampling (SRS-SRS-SRS) with unequal size

Estimasi sampling varians:

𝑣 𝑌 = 𝑁21 − 𝑓

𝑛𝑠𝑏2 +

𝑁

𝑛 𝑀𝑖

2 1 − 𝑓2𝑖𝑚𝑖

𝑠𝑖2 +

𝑁

𝑛

𝑀𝑖

𝑚𝑖 𝐿𝑖𝑗

21 − 𝑓3𝑖𝑗

𝑙𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗2

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Keterangan:

𝑠𝑏2 =

1

𝑛 − 1 𝑌 𝑖

∗ − 𝑌 2

𝑛

𝑖=1

𝑠𝑖2 =

1

(𝑚𝑖 − 1) 𝑌 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑖

2𝑚𝑖

𝑗=1

𝑠𝑖𝑗2 =

1

𝑙𝑖𝑗 − 1 𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦 𝑖𝑗

2

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑦 𝑖𝑗 =1

𝑙𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

; 𝑌 𝑖𝑗 =𝐿𝑖𝑗

𝑙𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

; 𝑌 𝑖 =1

𝑚𝑖 𝑌 𝑖𝑗

𝑚𝑖

𝑗=1

; 𝑌 𝑖∗ =

𝑀𝑖

𝑚𝑖 𝑌 𝑖𝑗

𝑚𝑖

𝑗=1

; 𝑌 =1

𝑛 𝑌 𝑖

𝑛

𝑖=1

Jika 𝑛/𝑁 kecil sehingga varians penarikan sampel tahap pertama diasumsikan mempunyai efek yang sangat dominan terhadap total varians, maka pendekatan rumus variansnya:

𝒗 𝒀 =𝟏

𝒏(𝒏 − 𝟏) 𝒀 𝒊 − 𝒀

𝟐𝒏

𝒊=𝟏

Keterangan: 𝒀 𝒊 = 𝑵𝒀 𝒊

∗

Estimasi Total Karakteristik

Tahap 1: pilih psu

Tahap 2: pilih ssu

Tahap 3: pilih tsu/usu

𝑬𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒔𝒊 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒃𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝒂𝒓𝒌𝒂𝒏 𝒔𝒂𝒎𝒑𝒆𝒍

𝒑𝒔𝒖 𝒌𝒆 − 𝒊

𝑬𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒔𝒊 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒃𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝒂𝒓𝒌𝒂𝒏 𝒔𝒆𝒍𝒖𝒓𝒖𝒉

𝒔𝒂𝒎𝒑𝒆𝒍 𝒑𝒔𝒖

SRS/ sistematik

SRS/ sistematik

SRS/ sistematik 𝑌 𝑖 = 𝑁

𝑀𝑖

𝑚𝑖

𝐿𝑖𝑗

𝑙𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑌 =1

𝑛 𝑌 𝑖

𝑛

𝑖=1

PPS WR size 𝑋𝑖

SRS/ sistematik

SRS/ sistematik 𝑌 𝑖 =

𝑋0𝑋𝑖

𝑀𝑖

𝑚𝑖

𝐿𝑖𝑗

𝑙𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑌 =1

𝑛 𝑌 𝑖

𝑛

𝑖=1

PPS WR size 𝑋𝑖

PPS WR size 𝑍𝑖𝑗

SRS/ sistematik 𝑌 𝑖 =

𝑋0𝑋𝑖

𝑍𝑖𝑚𝑖

𝐿𝑖𝑗

𝑍𝑖𝑗𝑙𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑌 =1

𝑛 𝑌 𝑖

𝑛

𝑖=1

PPS WR size 𝑋𝑖

PPS WR size 𝑍𝑖𝑗

PPS WR size 𝐵𝑖𝑗𝑘 𝑌 𝑖 =

𝑋0𝑋𝑖

𝑍𝑖𝑚𝑖

𝐵𝑖𝑗

𝑍𝑖𝑗𝑙𝑖𝑗

𝑦𝑖𝑗𝑘

𝐵𝑖𝑗𝑘

𝑙𝑖𝑗

𝑘=1

𝑚𝑖

𝑗=1

𝑌 =1

𝑛 𝑌 𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑬𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒔𝒊 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒔 𝑺𝒂𝒎𝒑𝒍𝒊𝒏𝒈 → 𝒗 𝒀 =𝟏

𝒏(𝒏 − 𝟏) 𝒀 𝒊 − 𝒀

𝟐𝒏

𝒊=𝟏

Latihan › Suppose there are 𝑁 = 2500 colleges in the country, and a sample of 𝑛 = 5 colleges are selected.

Let 𝑀𝑖 be the number of class of the i-th school, and 𝐿𝑖𝑗 be the number of student of the i-th school j-th class. A sample of 𝑚 = 2 class and 𝑙 = 10 students were selected and interviewed. The data on the number of times they go to movies during a month 𝑦𝑖𝑗𝑘 are as follows:

College 𝒊

Number of Class

𝑴𝒊

Class 𝒋

Number of

student 𝑳𝒊𝒋 𝒚𝒊𝒋𝒌

𝟏𝟎

𝒌=𝟏

1 40 1 30 20

2 30 25

2 20 1 40 20

2 40 30

3 120 1 40 25

2 40 18

4 300 1 50 15

2 50 25

5 220 1 40 20

2 40 22

a. Find 𝑌

b. Find 𝑣 𝑌 , 𝑠𝑒 𝑌 , 𝑎𝑛𝑑 𝑟𝑠𝑒 𝑌

SELFWEIGHTING

DESIGN

POKOK

BAHASAN 2

Pendahuluan

Untuk mendapatkan penduga karakteristik populasi, diperlukan penimbang bagi penduga dari sampel.

Tujuan survei mendapatkan penduga karakteristik populasi dengan data dari sampel.

Penentuan penduga sesuai prosedur penarikan sampelnya memerlukan prosedur yang rumit.

Penduga total populasi:

𝑌 = 𝑤𝑖𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

dg: n = jumlah ultimate sampling unit (usu)

𝑦𝑖 = nilai karakteristik Y yang berpadanan dg usu ke-i. 𝑤𝑖 = penimbang yang berpadanan dg usu ke-i.

Penimbang wi tergantung pada prosedur penarikan sampel dan penduga

yang ditentukan, dan biasanya dipilih yang tak bias (unbiased).

wi dikenal sebagai faktor pengali (multiplier, inflation factor), karena

digunakan untuk mem-blow up nilai yang diperoleh dari sampel untuk

mendapatkan penduga populasi.

• Dalam survei yang besar dengan banyak parameter yang diduga, penghitungan penimbang

dalam tahapan estimasi menjadi rumit dikaitkan dengan waktu dan biaya

• Untuk kepraktisan dan efisiensi sampai tahap tabulasi dibutuhkan rancangan sampling

yang mempunyai satu penimbang yang berlaku utk setiap unit (rancangan penarikan

sampel tertimbang sendiri --self-weighting design atau equi-weighting design)

• Dalam rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri (self-weighting design), persamaan;

𝑌 = 𝑤𝑖𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

bisa disederhanakan menjadi:

𝑌 = 𝑤 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑤 merupakan penimbang yang berlaku untuk semua unit sampling.

Contoh: › Penarikan sampel dua tahap, tahap pertama dari sebanyak 𝑁 unit psu dipilih 𝑛

unit psu secara SRS. Setiap psu memuat jumlah ssu yang sama yaitu 𝑀 ssu. Pada tahap kedua, dari setiap psu terpilih, dilakukan penarikan sampel sebanyak 𝑚 ssu secara SRS.

Fraksi sampling tahap 1: 𝑓1 =𝑛

𝑁

Fraksi sampling tahap 2: 𝑓2 =𝑚

𝑀

Overall sampling fraction: 𝑓12 =𝑛𝑚

𝑁𝑀

Design weight: 𝑤 =1

𝑓12=

𝑁𝑀

𝑛𝑚→ 𝑠𝑒𝑙𝑓𝑤𝑒𝑖𝑔ℎ𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛

Rumus estimasinya:

𝑌 =𝑁

𝑛

𝑀

𝑚 𝑦𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

=𝑁𝑀

𝑛𝑚 𝑦𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑌 = 𝑤 𝑦𝑖𝑗𝑖,𝑗

→ 𝑠𝑒𝑙𝑓𝑤𝑒𝑖𝑔ℎ𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛

Tentukan apakah desain sampling di bawah ini adalah selfweighting design atau bukan !. Turunkan rumus estimasi total dan variansnya !

› Suatu survei pendidikan dilakukan di suatu kabupaten dengan

sampling dua tahap. Diketahui, kerangka sampel siswa sudah

tersedia secara lengkap dan mutakhir. Tahap pertama, memilih

sekolah secara PPS WR dengan size jumlah siswa. Kemudian pada

tahap kedua, dari setiap sekolah terpilih, dilakukan pemilihan

sampel sebanyak 25 siswa secara sistematik.

Tentukan apakah desain sampling di bawah ini adalah selfweighting design atau bukan !. Turunkan rumus estimasi total dan variansnya !

› Suatu survei kesehatan dilakukan untuk estimasi domain

kecamatan. Pada tahap pertama, dilakukan penarikan sampel blok

sensus secara PPS WR dengan size jumlah rumah tangga dari hasil

SP2010. Dari blok sensus terpilih kemudian dilakukan

pemutakhiran (updating) untuk mendapatkan kerangka sampel

rumah tangga yang lengkap dan mutakhir. Berdasarkan hasil

pemutakhiran, dilakukan penarikan sampel sebanyak 10 rumah

tangga secara sistematik.

Tentukan apakah desain sampling di bawah ini adalah selfweighting design atau bukan !. Turunkan rumus estimasi total dan variansnya !

› Suatu survei industri kecil dilakukan di suatu provinsi dengan

sampling dua tahap. Tahap pertama, memilih kecamatan secara

sistematik. Kemudian pada tahap kedua, dari setiap kecamatan

terpilih, dilakukan pemilihan sampel industri secara sistematik

sebanyak 20% dari jumlah industri di tiap kecamatan terpilih.

Tentukan apakah desain sampling di bawah ini adalah selfweighting design atau bukan !. Turunkan rumus estimasi total dan variansnya !

› Suatu survei perumahan dilakukan untuk estimasi domain kabupaten. Sebelum dilakukan penarikan sampel, terlebih dahulu dilakukan pengelompokkan blok sensus di kabupaten tsb kedalam 2 strata, yaitu daerah perdesaan dan perkotaan. Alokasi sampel blok sensus ke dalam strata perdesaan dan perkotaan dilakukan secara proporsional terhadap jumlah rumah tangga di masing-masing strata. Kemudian, dari masing-masing strata dilakukan penarikan sampel dengan tahapan sebagai berikut:

Tahap pertama, memilih blok sensus secara PPS WR dengan size jumlah rumah tangga.

Tahap kedua, memilih 10 rumah tangga secara sistematik dari setiap blok sensus terpilih.

Tentukan apakah desain sampling di bawah ini adalah selfweighting design atau bukan !. Turunkan rumus estimasi total dan variansnya !

› Suatu survei industri sedang dilakukan untuk estimasi level nasional. Tahapan penarikan sampelnya sebagai berikut:

Tahap pertama, memilih 100 kabupaten secara PPS WR dengan size jumlah industri.

Tahap kedua, memilih 3 kecamatan secara PPS WR dengan size jumlah industri

Tahap ketiga, memilih 5 industri secara acak.

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling