old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/31/Sustineri de doctorat/Rezumate2014/StanGabriel.pdfold.unitbv.ro

Universitatea Transilvania din Brasov

Scoala Doctorala Interdisciplinara

Departament: Matematica si Informatica

Ion Gabriel STAN

PROPRIETATI DE CONVERGENTA ALE OPERATORILORDE APROXIMARE A FUNCTIILOR

CONVERGENCE PROPERTIES OF APPROXIMATIONOPERATORS OF FUNCTIONS

Conducator stiintific

Prof. univ. Dr. Radu PALTANEA

Brasov, 2014

MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALEUniversitatea ”Transilvania” din Brasov

BRASOV, B-DUL EROILOR NR. 29, 500036, TEL. 0040-268-413000, FAX 0040-268-410525

RECTORAT

—————————————————————————————D-lui (D-nei) ....................................................................................................

COMPONENTAComisiei de doctorat

Numita prin ordinul Rectorului Universitatii ”Transilvania” din Brasov

Nr. 6881 din 30.09.2014

PRESEDINTE: Prof. univ. dr. Marin MARIN

Decan - Facultatea de Matematica si Informatica

Universitatea ”Transilvania” din Brasov

CONDUCATOR STIINTIFIC: Prof. univ. dr. Radu PALTANEA


REFERENTI: Prof. univ. dr. Octavian AGRATINI

Universitatea ”Babes-Bolyai”, Cluj Napoca

Prof. univ. dr. Mircea Dumitru IVAN

Universitatea Tehnica din Cluj - Napoca

Prof. univ. dr. Cristina Sanda CISMASIU


Data, ora si locul sustinerii publice a tezei de doctorat: 10 noiembrie2014, ora 10:00, ın corpul P al Facultatii de Matematica si Informatica, salaPI2.

Eventualele aprecieri sau observatii asupra continutului lucrarii va rugamsa le transmiteti ın timp util pe adresa: [email protected]

Totodata va invitam sa luati parte la sedinta publica de sustinere a tezeide doctorat.

Va multumim.

CUPRINS

1. Introducere .............................................................................. 1 11.1. Notatii ........................................................................................ 1 11.2. Operatori liniari si pozitivi ......................................................... 4 41.3. Moduli de continuitate ............................................................... 7 71.4. K-functionale .............................................................................. 10 101.5. Teoreme de convergenta ............................................................. 12 121.6. Estimari generale cu moduli de continuitate .............................. 14 14

2. Operatori de tip Kantorovich unidimensionali ................ 18 182.1. Operatori Durrmeyer-Kantorovich ............................................. 19 19

2.1.1. Definitia si caracterizarea operatorilor Durrmeyer-Kantorovichde ordin r, Kr

n ............................................................................ 19 192.1.2. Calculul momentelor operatorilor Kr

n.......................................... 23 202.1.3. Proprietati de convergenta.......................................................... 27 21

2.2. Operatori Baskakov-Kantorovich ................................................ 32 222.2.1. Definitia si caracterizarea operatorilor Baskakov-Kantorovich

de ordin r, V rn ............................................................................. 33 23

2.2.2. Calculul momentelor si relatia de recurenta pentru ope-ratorii V r

n .................................................................................... 37 242.2.3. Proprietati de convergenta.......................................................... 42 25

3. Operatori de tip Kantorovich multidimensionali ............. 45 273.1. Operatori Bernstein-Kantorovich pe simplex .............................. 45 27

3.1.1. Notatii si definirea operatorilor Bernstein-Kantorovichpe simplex ................................................................................... 46 28

3.1.2. Momentelor operatorilor Lrn,µ...................................................... 50 313.1.3. Teoreme de tip Voronovskaja...................................................... 55 32

3.2. Operatori Bernstein-Kantorovich pe cubul multidimensional ..... 60 333.2.1. Definirea operatorilor Bernstein-Kantorovich pe cubul

multidimensional ......................................................................... 60 343.2.2. Proprietati de convergenta........................................................... 45 36

3.2.3. Momentele operatorilor Kn,j........................................................ 68 363.2.4. O teorema de tip Voronovskaja.................................................... 76 38

4. Combinatii Micchelli pentru operatorii Uρn ................................ 80 39

4.1. Definirea combinatiilor iterative Uρn,k .................................................. 81 40

4.2. Aproximare asimptotica ...................................................................... 85 42

5. Transformarea modulului de ordinul al doilea prin operatoriliniari si pozitivi .............................................................................. 89 43

5.1. O teorema generala privind transformarea modulului de ordinul doi . 90 445.2. Aplicatii .............................................................................................. 96 46

Bibliografie ....................................................................................... 100 50

Rezumat ........................................................................................... 60

Curriculum Vitae .......................................................................... 61

TABLE OF CONTENTS

1. Introduction ............................................................................ 1 11.1. Notations .................................................................................... 1 11.2. Positive Linear Operators ........................................................... 4 41.3. Moduli of Continuity .................................................................. 7 71.4. K-functionals .............................................................................. 10 101.5. Convergence Theorems ............................................................... 12 121.6. General Estimations with Moduli of Continuity ......................... 14 14

2. Unidimensional Kantorovich-type Operators ................... 18 182.1. Durrmeyer-Kantorovich Operators ............................................. 19 19

2.1.1. Definition and Description of r-order Durrmeyer-KantorovichOperators, Kr

n ............................................................................ 19 192.1.2. Calculus of Moments of Kr

n Operators........................................ 23 202.1.3. Convergence Properties............................................................... 27 21

2.2. Baskakov-Kantorovich Operators ............................................... 32 222.2.1. Definition and Description of r-order Baskakov-Kantorovich

Operators, V rn ............................................................................. 33 23

2.2.2. Calculus of Moments and Recurence Relation for V rn Operators 37 24

2.2.3. Convergence Properties............................................................... 42 25

3. Multidimensional Kantorovich-type Operators ............... 45 273.1. Bernstein-Kantorovich Operators on simplex ............................. 45 27

3.1.1. Notation and Definition of Bernstein-Kantorovich Operatorson simplex .................................................................................. 46 28

3.1.2. Moments of Lrn,µ Operators........................................................ 50 313.1.3. Voronovskaja-type Theorems...................................................... 55 32

3.2. Bernstein-Kantorovich Operators on multidimensional cube ..... 60 333.2.1. Definition Bernstein-Kantorovich Operators on multidimensional

cube ........................................................................................... 60 343.2.2. Convergence Properties............................................................... 45 36

3.2.3. Moments of Kn,j Operators......................................................... 68 363.2.4. A Voronovskaja-type Theorem.................................................... 76 38

4. Micchelli Combinations for Uρn Operators ................................ 80 39

4.1. Definition of Iterative Combinations Uρn,k .......................................... 81 40

4.2. Asymptotic Approximation ............................................................... 85 42

5. Transformation of the Second Order Modulus by PositiveLinear Operators ........................................................................... 89 43

5.1. A General Theorem on the Transformation of the Second OrderModulus ............................................................................................. 90 44

5.2. Applications ....................................................................................... 96 46

Bibliography ................................................................................... 100 50

Abstract .......................................................................................... 60

Curriculum Vitae .......................................................................... 61

Prefata

Teza abordeaza unele probleme actuale ın teoria aproximarii prin operatoriliniari si pozitivi. Teoria aproximarii functiilor continue a aparut odata cuteorema clasica a lui Cebıshev a celei mai bune aproximari si a teoremei deaproximare polinomiala a functiilor continue a lui Weierstrass de la sfarsitulsecolului XIX. Aceasta teorie a fost dezvoltata ın prima jumatate a secoluluiXX prin aportul altor matematicieni cunoscuti: D. Jackson, S.N. Bernstein,De la Valle Pousen si altii. Teoria moderna a aproximarii functiilor continueprin operatori liniari si pozitivi a luat nastere odata cu teorema Popoviciu(1950)-Bohman (1952)-Korovkin (1953). In ultimele decade teoria a cunoscuto dezvoltare deosebita, scoala romaneasca aducand contributii importante.

Obiective centrale ale teoriei aproximarii sunt: moduri diverse de gene-rare a operatorilor, estimarea vitezei de convergenta cu ajutorul modulilorde continuitate, prin K-functionale sau prin formule asimptotice catre opera-torul identic sau catre un operator limita dat, studiul restului si reprezentareaacestuia, pastrarea globala a netezimii si conservarea anumitor proprietati,cea mai importanta fiind convexitatea.

Principalele directii de cercetare care au fost dezvoltate ın prezenta tezase refera la studiul unor operatori de tip Kantorovich atat unidimensionalcat si pentru prima data, multidimensional, modificari liniare ale sirurilor deoperatori si conservarea netezimii globale prin moduli de continuitate.

Contributiile originale ale tezei formeaza ın ıntregime capitolele 2-5 aleacesteia si sunt cuprinse in 6 lucrari, din care 5 sunt aparute in urmatoarelereviste: Mediterranean J. Math -lucrarea [80], Analls St. Univ. OvidiusConstanta - lucrarea [79], Bull. Univ. Transilvania Brasov, Series III -lucrarile [95], [96], General Mathematics - lucrarea [97], precum si ın lucrarea[98] trimisa spre publicare. Autorul tezei a participat cu lucrari in domeniultezei la doua conferinte internationale de matematica: ” The 1st InternationalConference on Mathematics and Computer Science”, MACOS, Brasov 2014

si ”The 11th Romanian - German Seminar on Approximation Theory andits Applications”, RoGer, Sibiu, 2014.

In primul capitol intitulat ”Introducere” sunt prezentate notatiile folositeın prezenta teza si rezultate de baza din teoria aproximarii functiilor continuecare stau la baza realizarii acestei teze.

Capitolul doi intitulat ”Operatori de tip Kantorovich unidimensionali”este format din doua mari paragrafe: ”Operatori Durrmeyer-Kantorovich” si”Operatori Baskakov-Kantorovich”.

In paragraful ”Operatori Durrmeyer-Kantorovich” autorul generalizeazaoperatorii Durrmeyer ın sens Kantorovich de ordinul r, Kr

n, Definitia 2.1.1,determina o forma explicita pentru operatori Kr

n, Teorema 2.1.1, da o relatiede recurenta pentru calculul momentelor operatorilor Kr

n, Lema 2.1.3 si cal-culeaza momentele de ordinul 0, 1 si 2, Corolarul 2.1.4, respectiv momentelecentrate de ordinul 1 si 2, Lema 2.1.5, care sunt folosite pentru demonstrareaconvergentei operatorilor Kr

n ın spatiul C [0, 1], Teorema 2.1.6 si Teorema2.1.8, respectiv ın spatiul Lp [0, 1] , 2 ≤ p < ∞, Teorema 2.1.9. Rezultateleacestui paragraf au fost publicate de autor pentru cazul r=1 ın lucrarea [95].

In paragraful ”Operatori Baskakov-Kantorovich” autorul generalizeazaoperatorii Baskakov ın sens Kantorovich de ordinul r, V r

n , Definitia 2.2.1,determina o forma explicita pentru operatori V r

n , Teorema 2.2.1, da o relatiede recurenta pentru calculul momentelor operatorilor V r

n , Lema 2.2.4 si cal-culeaza momentele de ordinul 0 si 1, Lema 2.2.3. Autorul determina anumiteinegalitati pentru operatorii V r

n , Corolarul 2.2.5, Lema 2.2.6, Lema 2.2.7 siLema 2.2.8 care sunt folosite ın finalul paragrafului pentru a demonstra oteorema de convergenta uniforma ın spatiul CN [0,∞). Rezultatele acestuicapitol au fost prezentate de autor la Conferinta Internationala ”The 11thRomanian - German Seminar on Approximation Theory and its Applica-tions”, ROGER 2014, Sibiu 2014 si publicate ulterior ın lucrarea [97].

In capitolul trei intitulat ”Operatori de tip Kantorovich multidimensio-nali” autorul genereaza pentru prima data operatori de tip Kantorovich mul-tidimensionali iar rezultatele sunt cuprinse ın doua paragrafe: ”OperatoriBernstein-Kantorovich pe simplex” si ”Operatori Bernstein-Kantorovich pecubul multidimensional”.

In paragraful ”Operatori Bernstein-Kantorovich pe simplex” autorul,ımpreuna cu conducatorul stiintific Radu Paltanea, definesc operatorii Bern-stein-Kantorovich de ordinul r pe simplexul ∆, Kr

n, Definitia 3.1.1, dau oforma explicita pentru acesti operatori, Teorema 3.1.1, calculeaza momentelede ordinul 0, 1 si 2 pentru operatorii Lrn,µ, componentele operatorilor Kr

n,

Lema 3.1.2, determina o relatie de recurenta pentru momentele modificateT r,qn,p,m, Lema 3.1.4, calculeaza momentele centrate pana la ordinul 4, Coro-

larul 3.1.3 si Corolarul 3.1.5 folosind recurenta. In ultima parte a acestuiparagraf sunt prezentate rezultatele principale ale acestui paragraf, o teo-rema de tip Voronovskaja, Teorema 3.1.6, si un rezultat asimptotic pentruaproximare simultana, Teorema 3.1.7. Rezultatele acestui paragraf au fostpublicate de autor alaturi de conducatorul stiintific, ın lucrarea [80].

In paragraful ”Operatori Bernstein-Kantorovich pe pe cubul multidimen-sional” autorul defineste operatorii Bernstein-Kantorovich de ordinul r pecubul multidimensional, Kn, ın forma explicita, Definitia 3.2.1, arata ca acestioperatori sunt de tip Kantorovich, Teorema 3.2.3, demonstreaza convergentaacestor operatori, Teorema 3.2.5, calculeaza momentele si momentele cen-trate pana la ordinul 4 pentru operatorii Kn,j, componentele operatorilor

Kn, Lema 3.2.6 si Lema 3.2.7, care au fost folosite ın final pentru demon-strarea unui rezultat de tip Voronovskaja, Teorema 3.2.8. Rezultatele acestuiparagraf au fost cuprinse de autor ın lucrarea [98], trimisa spre publicare.

In capitolul patru, intitulat ”Modificarea operatorilor Uρn folosind combina-

tii Micchelli”, autorul aplica combinatiile Micchelli sirului de operatori Uρn

ın scopul cresterii gradului de aproximare. In acest capitol sunt definiti ope-ratorii iterativi Uρ

n,k obtinuti prin combinari iterative ale operatorilor Uρn,

Definitia 4.1.1, este demonstrata o relatie de recurenta pentru momentelecentrate Mρ,p

n,r , Lema 4.1.3, sunt demonstrate rezultate privind ordinul deaproximare, Lema 4.1.4 si Lema 4.1.5, iar ın final este prezentat un rezultatde aproximare asimptotica, Teorema 4.2.1, precum si o estimare a gradului deaproximare a unei functii cu o anumita netezime, Teorema 4.2.2. Rezultateleacestui capitol se regasesc ın lucrarea autorului, [96].

Ultimul capitol al tezei ıl constituie ”Transformarea modulului de ordinulal doilea prin operatori liniari si pozitivi”. In acest capitol sunt prezentaterezultate privind pastrarea netezimii globale, data prin transformarea modu-lului de netezime de ordinul doi, atat pe cazul unei clase largi de operatoriliniari si pozitivi, Lema 5.1.1 si Teorema 5.1.2, cat si al unor operatori particu-lari, operatorii Mirakjan-Favard-Szasz, Teorema 5.2.1, si respectiv, operatoriiBaskakov, Teorema 5.2.2. Rezultatele acestui capitol au fost obtinute de au-tor si de conducatorul stiintific, Radu Paltanea. Acestea au fost prezentatela conferinta internationala ” The 1st International Conference on Mathe-matics and Computer Science”, MACOS 2014, Brasov, iar ulterior publicateın lucrarea [79].

In Bibliografie sunt prezentate doar lucrari ale autorului care au legaturacu tema tezei.

In ıncheiere, as dori sa-mi exprim profunda recunostinta si pretuire dom-nului Prof. dr. univ. Radu PALTANEA, conducatorul stiintific al acesteiTeze, pentru ıncrederea investita, pentru ıncurajarile, rabdarea dovedita simai ales pentru discutiile extrem de utile de care am beneficiat pe toataperioada activitatii mele de doctorand.

Capitolul 1

Introducere

1.1 Notatii

Notam N = 1, 2, 3, ... multimea numerelor naturale, R multimea nu-merelor reale, N0 = N ∪ 0 si Rk = R× R× ...× R︸︷︷︸

de k ori

.

Pentru orice numar real x si orice ıntreg k ≥ 0 notam

xk = x (x− 1) ... (x− k + 1) .

Notam cu [α] partea ıntreaga a numarului real α.Pentru o multime finita A vom nota prin cardA sau |A| numarul de

elemente al multimii .Fie I ⊂ R un interval. Consideram urmatoarele multimi:

• F (I) = f : I → R, multimea functiilor reale definite pe intervalul I;

• B (I) = f : I → R |f marginita pe I , multimea functiilor marginitepe I;

• C (I) = f : I → R |f continua pe I , multimea functiilor continue peI;

• Ck (I) = f : I → R |f cu derivata de ordinul k continua, multimeafunctiilor de clasa Ck pe I.

Daca I = [a, b], vom scrie F [a, b] := F ([a, b]),B [a, b] := B ([a, b]), C [a, b] :=C ([a, b]), Ck [a, b] := Ck ([a, b]).

1

Introducere 2

Daca I = [a,∞), vom scrie F [a,∞) := F ([a,∞)),B [a,∞) := B ([a,∞)),C [a,∞) := C ([a,∞)), Ck [a,∞) := Ck ([a,∞)).

Consideram N ∈ N, si definim spatiul functiilor CN [0,∞)astfel

CN [0,∞) :=

f ∈ C [0,∞) : ∃ lim

x→∞

f (x)

1 + xNsi este finita

,

ınzestrat cu norma

‖f‖∗N := supx≥0

|f (x)|1 + xN

.

Observatia 1.1.1 Mentionam ca (CN [0,∞) , ‖•‖∗N) este spatiu Banach.

Pentru orice functie f ∈ F (I) definim supremumul notat ‖f‖ sau ‖f‖Iprin ‖f‖ = sup

x∈I|f (x)| . Pe spatiul B (I), ‖·‖ definita anterior este o norma

numita norma supremum.Pentru orice k ∈ N0 vom nota prin Πk multimea polinoamelor algebrice

de grad cel mult k.Consideram functiile monomiale: em : [a, b]→ R, em (t) = tm, m ∈ N0.Fie f, g : I → R. Prin f ≥ g ıntelegem f (x) ≥ g (x), (∀) x ∈ I.Pentru r ∈ N consideram urmatorii operatori:

i) operatorul diferential de ordinul r, Dr definit astfel

Dr (f) (x) = f (r) (x) , f ∈ Cr [0,∞) , x ∈ [0,∞) ,

ii) operatorul antiderivare de ordinul r, Ir definit astfel,

Ir (f) (x) =

x∫0

(x− u)r−1

(r − 1)!f (u) du, f ∈ C [0,∞) , x ∈ [0,∞) .

Lema 1.1.1 Pentru r ∈ N avem

i) (Dr Ir) (f) = f, pentru orice functie f ∈ C [0,∞),

ii) (Ir Dr) (f) = f, pentru orice f ∈ Cr [0,∞), cu proprietatea f (i) (0) =0, i = 0, 1, ....r − 1.

Introducere 3

Consideram un interval real I ⊂ R si notam cu M0 (I) multimea functiilorf : I → R masurabile pe I si finit aproape peste tot (a.p.t.) pe I. Pe

multimea M0 (I) definim relatia binara σ astfel

fσg ⇔ f (x) = g (x) a.p.t. x ∈ I.

Aceasta este o relatie de echivalenta. Notam cuM0 (I) multimea cat M0 (I) /σ.Aceasta multime formeaza spatiul claselor de functii masurabile si finit a.p.t.pe I.

Consideram spatiul claselor de functii cu puterea p integrabila, p > 0

Lp (I) :=

f ∈M0 (I) : (∃) f ∈ f astfel ıncat

∫I

|f (x)|p dx <∞.

Daca I = [a, b], vom scrie Lp [a, b] := Lp ([a, b]) .

In legatura cu spatiile Lp (I) avem urmatoarele rezultate date independentde F. Riesz [33] si E. Fischer [87].

Propozitia 1.1.2 (F. Riesz [33] si E. Fischer [87]) Daca p ≥ 1 atunci Lp (I)este spatiu Banach ın raport cu norma

‖f‖p :=

(∫I

|f (x)|p) 1

p

.

Propozitia 1.1.3 (F. Riesz [33] si E. Fischer [87]) Daca p=2 atunci L2 (I)este spatiu Hilbert avand produsul scalar dat prin

〈f, g〉L2:=

∫I

f (x) g (x) dx, (∀) f, g ∈ L2 (I) .

Definitia 1.1.1 ([74])Fie f ∈ F (I) si x1, x2, ..., xk puncte distincte din I.Se numeste diferenta divizata atasata functiei f si punctelor x1, x2, ..., xknumarul real notat [f ;x1, x2, ..., xk] definit astfel

[f ;x1] = f (x1) si

[f ;x1, x2, ..., xk] :=k∑i=1

f (xi)∏1≤j≤k, j 6=i

(xi − xj), k ≥ 2.

Introducere 4

Definitia 1.1.2 ([85], [74]) Functia f ∈ F (I) se numeste convexa de or-dinul k, k ≥ −1, daca avem [f ;x1, x2, ..., xk+2] ≥ 0 pentru orice punctedistincte x1, x2, ..., xk+2 din I.

Observatia 1.1.2 i) Din aceasta definitie se observa ca functia f esteconvexa de ordinul −1 daca este pozitiva, convexa de ordinul 0 dacaeste monoton crescatoare si convexa de ordinul 1 daca este convexa ınsensul uzual.

ii) In literatura se foloseste si o alta varianta pentru convexitate de ordinulk, k ≥ 0 si anume: functia f ∈ F (I) derivabila de ordinul k, esteconvexa de ordinul k daca si numai daca f (k) ≥ 0.

1.2 Operatori liniari si pozitivi

Definitia 1.2.1 Fie X si Y doua spatii vectoriale de functii cu valori reale.

• O aplicatie L : X → Y se numeste operator.

• Operatorul L : X → Y este liniar daca si numai daca este aditiv siomogen, adica

– (∀) f , g ∈ X, L (f + g) = L (f) + L (g)

– (∀) f ∈ X, (∀) α ∈ R, L (αf) = αL (f)

• Operatorul L este pozitiv daca si numai daca (∀) f ∈ X astfel ıncatf ≥ 0 rezulta L (f) ≥ 0.

Observatia 1.2.1 Notiunea de operator liniar este echivalenta cu relatia:(∀) f , g ∈ X, (∀) α, β ∈ R, L (αf + βg) = αL (f) + βL (g) .

Pentru a indica imaginea unui argument x ∈ X prin functia L (f) vomfolosi notatiile L (f, x) si L (f) (x) .

Definitia 1.2.2 ([74])Un operator liniar L : V → F (I), unde V este unsubspatiu liniar al lui F (I), se numeste convex de ordinul k, k ≥ −1, dacapentru orice functie, f convexa de ordinul k, rezulta ca si functia L (f) esteconvexa de ordinul k, k ≥ −1.

Introducere 5

Observatia 1.2.2 i) Daca L este un operator convex de ordinul −1 atuncioperatorul L este pozitiv.

ii) Daca L este un operator convex de ordinul k, atunci L (Πk) ⊂ Πk.Folosim conventia ca Π−1 = 0.

Propozitia 1.2.1 Multimea operatorilor liniari

L (X, Y ) = L : X → Y |L operator liniar

formeaza un spatiu liniar real.

Propozitia 1.2.2 Fie L : X → Y un operator liniar si pozitiv.

(i) pentru orice f, g ∈ X cu proprietatea f ≤ g avem L (f) ≤ L (g) (mono-tonia)

(ii) pentru orice f ∈ X are loc |L (f)| ≤ L (|f |) .

Propozitia 1.2.3 (vezi [47])(Inegalitatea lui Holder pentru operatori liniarisi pozitivi) Fie operatorul liniar si pozitiv L : X → Y . Pentru orice p, q ∈(1,∞) cu proprietatea 1

p+ 1

q= 1 si orice functii f, g ∈ X are loc relatia

L (|f · g|) ≤ (L (|f |p))1p · (L (|g|q))

1q . (1.1)

Propozitia 1.2.4 (Inegalitatea lui Cauchy-Scwhartz pentru operatori liniarisi pozitivi) Fie operatorul liniar si pozitiv L : X → Y . Pentru orice functiif, g ∈ X are loc relatia

|L (f · g)| ≤√L (f 2) · L (g2). (1.2)

Observatia 1.2.3 Inegalitatea lui Cauchy-Scwhartz se obtine imediat dininegalitatea lui Holder pentru p=q=2.

Studiul aproximarii prin operatori liniari si pozitivi este strans legat destudiul aproximarii prin functionale liniare si pozitive.

Definitia 1.2.3 Daca V este un subspatiu liniar al lui F (I) atunci o aplicatieF : V → R se numeste pozitiva daca F (f) ≥ 0 pentru orice f ∈ V , f ≥ 0.

Introducere 6

Orice operator liniar si pozitiv L : V → F (I) poate fi reprezentat cao multime de functionale (Fx)x∈I , adica pentru orice punct fixat x ∈ Iobtinem o functionala liniara si pozitiva Fx : V → R definita prin Fx (f) :=L (f, x) , (∀) f ∈ V. Reciproc, daca avem o multime de functionale liniare sipozitive (Fx)x∈I , Fx : Vx → R, unde Vx sunt subspatii liniare ale lui F (I),atunci putem construi un operator liniar si pozitiv L : V → F (I), undeV = ∩

x∈IVx prin L (f, x) := Fx (f), (∀) f ∈ V.

O teorema importanta ın studiul functionalelor liniare si continue esteteorema de reprezentare a lui Riesz.

Teorema 1.2.5 (Teorema de reprezentare a functionalelor, teorema lui Riesz)Fie F : C [a, b]→ R o functionala liniara si continua, atunci exista o functiecu variatie marginita g, g ∈ BV [a, b], astfel ıncat

F (f) =

b∫a

fdg. (1.3)

In cazul particular ın care functionala F este liniara si pozitiva atunciexista o functie crescatoare g cu proprietatea (1.3).

Pentru un studiu amanuntit asupra teoremei Riesz sub diverse forme se poatestudia lucrarea [14].

Propozitia 1.2.6 ([74])Consideram I un interval real. Fie o functionalaliniara si pozitiva F : C (I) → R si x ∈ I care verifica urmatoarele douaconditii:

i) F (ei) = ei, (∀) i = 0, 1

ii) (∃) ηx ∈ C (I), ηx (x) = 0 si ηx (t) > 0, t ∈ I \x astfel ıncat F (ηx) =0.

AtunciF (f) = f (x) , pentru orice f ∈ C (I) .

Corolarul 1.2.7 Fie L : C [a, b]→ F [a, b] un operator liniar si pozitiv astfelıncat L (ei) = ei, i = 0, 1. Atunci

L (f, a) = f (a) ,

L (f, b) = f (b) .

Introducere 7

1.3 Moduli de continuitate

Ordinul de aproximare prin functionale liniare si pozitive si operatori liniarisi pozitivi depinde de proprietatile de netezime ale functiilor. Masurareacantitativa a ordinului de aproximare se realizeaza cu ajutorul modulilor decontinuitate de diferite tipuri sau prin K-functionale.

Pentru moduli de continuitate vom folosi definitia data ın [74]:

Definitia 1.3.1 Fie W ⊂ F (I) un subspatiu liniar cu proprietatea ca Πk ∈W , k ∈ N. O aplicatie

Ωk : W × (0,∞)→ [0,∞) ∪ ∞

se numeste modul de continuitate de ordinul k pe W , sau pe scurt modul deordin k daca satisface urmatoarele conditii:

i) Ωk (f, h1) ≤ Ωk (f, h2), pentru orice f ∈ W si 0 < h1 < h2;

ii) Ωk (f + p, h) = Ωk (f, h), pentru orice f ∈ W , p ∈ Πk−1 si h > 0;

iii) Ωk (0, h) = 0, h > 0.

Modulul de continuitate de ordinul k, Ωk se numeste normalizat dacaverifica si relatia urmatoare

iv) (∃) o constanta M > 0 astfel ıncat Ωk (ek, h) ≤ Mhk, pentru oriceh > 0.

Pentru modulul de continuitate de ordin k, k ≥ 2 se foloseste si denumireade modul de netezime.

In literatura de specialitate sunt definiti mai multi moduli de continu-itate. Pentru un studiu amanuntit se pot studia monografiile [26] si [74].Pentru proprietati speciale ale modulilor de continuitate se poate consultamonografia [5].

In continuare vom prezenta modulul uzual si modulul Ditzian-Totik.Modulul uzual de continuitate de ordinul k este ωk : F (I) × (0,∞) →

[0,∞) ∪ ∞ dat prin

ωk (f, h) = sup∣∣∆k

ρf (x)∣∣ : x, x+ kρ ∈ I, 0 < ρ ≤ h

, (1.4)

Introducere 8

unde k ∈ N, f ∈ F (I), h > 0 iar ∆kρf (x) este diferenta finita de ordinul k

data prin

∆kρf (x) =

k∑j=0

(k

j

)(−1)k−j f (x+ jρ) , x, x+ kρ ∈ I, ρ > 0.

Observatia 1.3.1 i) Daca f ∈ B (I) atunci ωk (f, h) <∞, pentru oriceh > 0.

ii) Diferenta finita de ordin k, k ∈ N poate fi data si recursiv astfel∆1hf (x) = ∆hf (x) = f (x+ h) − f (x) si ∆k

hf (x) = ∆h

(∆k−1h f

)(x)

pentru k ≥ 2.

iii) Daca f ∈ Cr [a, b], x ∈ [a, b− rh], 0 < h ≤ b−ar

atunci diferenta finitade ordin k, k ∈ N se poate scrie

∆khf (x) =

h∫0

...

h∫0︸︷︷︸

de r ori

f (r) (x+ t1 + ...+ tr) dtr...dt1.

Propozitia 1.3.1 ([24], [3], [90])Modulul de continuitate de ordinul k, ωk:C [a, b]× (0,∞)→ [0,∞) definit ın (1.4) are urmatoarele proprietati:

1. ωk este modul de continuitate de ordinul k normalizat pe C [a, b];

2. ωk+1 (f, h) ≤ 2ωk (f, h), (∀) h > 0;

3. ωk (f, ·) este o functie continua;

4. limh→0+

ωk (f, h) = 0;

5. ωk (f, h) = ωk(f, b−a

k

), (∀)h > b−a

k;

6. Daca f ∈ Cr [a, b] atunci ωk+r (f, h) ≤ hrωk(f (r), h

), (∀)h > 0;

7. Daca f ∈ Ck [a, b] atunci ωk (f, h) ≤ hk supt∈[a,b]

|f (t)| , (∀)h > 0;

8. ωk (f, nh) ≤ nkωk (f, h) , (∀)n ∈ N;

Introducere 9

9. ωk (f, λh) ≤ (1 + [λ])k ωk (f, h) , (∀) h, λ > 0;

10. Daca (∃)h0 > 0 astfel ıncat ωk (f, h0) = 0, atunci ωk (f, ·) ≡ 0;

11. limh→0+

ωk(f,h)tk

= 0⇔ f ∈ Πk−1.

Teorema 1.3.2 (inegalitatea Marchaud [64]) Fie intervalul I = [a, b] si l =b − a. Consideram modulii de continuitate ωk : C [a, b] × (0,∞) → [0,∞),k = 1, 2 definiti ın (1.4). Pentru orice k ∈ N are loc urmatoarea inegalitatea:

ω1 (f, h) ≤k∑i=0

ω2 (f, 2ih)

2i+1+

1

2k+1· ω1

(f, 2k+1h

), h ≤ l

3 · 2k. (1.5)

In monografia [26], Ditzian si Totik au studiat modulii Ditzian-Totik deordin superior, ωϕk . Acesti moduli sunt definiti cu ajutorul unor functii pon-dere. O functie pondere este o aplicatie ϕ ∈ C (I) pozitiva. Vom considerafunctia pondere ϕ (x) =

√x (1− x), x ∈ [0, 1] iar modulul Ditzian-Totik de

ordin superior sunt dati prin

ωϕk (f, t) = sup0<h≤t

∥∥∆khϕf∥∥ , pentru f ∈ F [0, 1] ,

unde

∆khϕf (x) =

k∑j=0

(k

j

)(−1)k−j f

(x+

(k

2− j)hϕ (x)

),

pentru x± khϕ(x)2∈ [0, 1] , h > 0.

Modulul Ditzian-Totik de ordinul ıntai se poate scrie mai simplu astfel

ωϕ1 (f, t) = sup

|f (u)− f (v)| : u, v ∈ [0, 1] , |u− v| ≤ hϕ

(u+ v

2

),

iar cel de ordinul doi

ωϕ2 (f, t) = sup

∣∣∣∣f (u)− 2f

(u+ v

2

)+ f (v)

∣∣∣∣ :

u, v ∈ [0, 1] , |u− v| ≤ 2hϕ

(u+ v

2

),

pentru f ∈ F [0, 1] si h > 0.

Introducere 10

Propozitia 1.3.3 ([26]) Modulul Ditzian-Totik are urmatoarele proprietati:

1. ωϕk (·, ·) este modul de continuitate de ordinul k normalizat pe C [0, 1];

2. ωϕk (f, ·) este functie continua si limh→0+

ωϕk (f, h) = 0;

3. ωϕk (f, t) = ωϕk(f, 2

k

), (∀) t > 2

k;

4. ωϕk (f, λh) ≤ Cλkωϕk (f, h) , (∀)λ ≥ 1, h, λh ∈ (0, ho] , ho > 0.

Cu ajutorul modulilor de continuitate putem definii urmatoarele clase defunctii:

i) Lip1(α,M) = f ∈ C [a, b] : ω1(f, ρ) ≤M · ρα, (∀) ρ > 0, unde M >0 si 0 < α ≤ 1 reprezintaclasa Lipschitz de ordinul ıntai;

ii) Lip2(α,M) = f ∈ C [a, b] : ω2(f, ρ) ≤M · ρα, (∀) ρ > 0 , unde M >0 si 0 < α ≤ 2 reprezintaclasa Lipschitz de ordinul doi.

1.4 K-functionale

Un rol important ın teoria aproximarii ıl au K-functionalele. Notiunea deK-functionala a fost introdusa pentru prima data de J. Peetre ın cadrulfunctiilor de interpolare [81], iar importanta ei ın cadrul teoriei aproximariia fost demonstrata de Butzer si Berens [16]. Sinteze asupra caracterizariidiferitelor K-functionale si a importantei lor ın studiul gradului de aprox-imare a unei functii f au fost date de multi autori printre care amintimJ. Peetre [82], Johnen [54], DeVore [22], Gonska [36], Ditzian si Totik [26].Pentru alte referinte a se vedea DeVore si Lorentz [24], Agratini [3], Stancu,Coman, Agratini, Trımbitas [99].

Definitia 1.4.1 (Bennett si Sharpley [11]) Fie T1 si T2 doua spatii topolog-ice. Spunem ca T1 se scufunda continuu ın T2 si vom nota T1 → T2 dacaT1 ⊂ T2 si aplicatia de includere este continua.

O pereche de spatii Banach (X, Y ) se numeste cuplu compatibil daca ex-ista un spatiu vectorial topologic Hausdorff ℵ astfel ıncat X → ℵ si Y → ℵ.

Fie (X, Y ) un cuplu compatibil si ℵ spatiu vectorial topologic Hausdorffcorespunzator.

Introducere 11

Definim spatiul

X + Y := z ∈ ℵ |(∃)x ∈ X, y ∈ Y astfel ıncat z = x+ y

si norma

‖z‖X+Y := inf ‖x‖X + ‖y‖Y |x ∈ X, y ∈ Y, z = x+ y . (1.6)

Teorema 1.4.1 Daca (X, Y ) este un cuplu compatibil atunci

i) X + Y este spatiu Banach ın raport cu norma definita ın (1.6);

ii) X ∩ Y este spatiu Banach ın raport cu norma ‖·‖X∩Y definita prin

‖x‖X∩Y = max ‖x‖X , ‖x‖Y .

Putem defini astfel functionalele lui J. Peetre ([81]).

Definitia 1.4.2 Fie (X, Y ) un cuplu compatibil.

i) K-functionala cuplului este definita pentru orice z ∈ X + Y si t > 0prin

K (z, t) = K (z, t,X, Y ) := inf ‖x‖X + t ‖y‖Y : x+ y = z . (1.7)

ii) J-functionala cuplului este definita pentru orice z ∈ X∩Y si t > 0 prin

J (z, t) = J (z, t,X, Y ) := max ‖z‖X , t ‖z‖Y .

Observatia 1.4.1 Facem observatia ca infimumul din (1.7) se ia ın raportcu toate reprezentarile lui z de forma x+ y unde x ∈ X si y ∈ Y .

In studiul proprietatilor de aproximare este mai utila urmatoarea definitiea K-functionalei, care reprezinta un caz particular.

Definitia 1.4.3 Fie (X, ‖x‖X) un spatiu Banach si (Y, |y|Y ) un subspatiusemi-Banach cu proprietatea ca este complet relativ la norma ‖·‖Y = ‖·‖X +|·|Y . K-functionala lui J. Peetre se defineste astfel: pentru orice x ∈ X sit > 0 avem

K (x, t) = K (x, t,X, Y ) := inf ‖x− y‖X + t |y|Y : y ∈ Y . (1.8)

Introducere 12

Teorema 1.4.2 (Proprietatile K-functionalei) K-functionala definita ın (1.7),ca funtie de t, K (x, ·) este crescatoare, continua, concava si subaditiva.

Se pot definii mai multe K-functionale pe diferite cupluri de spatii. Pentruun studiu asupra K-functionalelor si a echivalentei acestora cu modulii decontinuitate se pot consulta lucrarile [16], [24], [12], [54], [55].

In continuare prezentam o teorema de echivalenta intre K-functionale simoduli de continuitate.

Teorema 1.4.3 (Johnen [54]) Exista constantele c1 (k) si c2 (k) care depinddoar de k ∈ N, astfel ıncat pentru (∀) f ∈ C [a, b] si (∀) t > 0 avem

c1 (k)ωk(f, ρ) ≤ Kk

(f, t, C [a, b] , Ck [a, b]

)≤ c2 (k)ωk(f, ρ),

undeKk

(f, t, C [a, b] , Ck [a, b]

):= K

(f, tk, C [a, b] , Ck [a, b]

).

1.5 Teoreme de convergenta

Bazele teoriei aproximarii prin siruri de operatori liniari si pozitivi au fostpuse de T. Popovici, H. Bohman, P.P. Korovkin, B. Sendov si V. Popov.Acestia au formulat urmatoarele teoreme de convergenta.

Teorema 1.5.1 (Tiberiu Popoviciu [84]) Fie (Ln)n un sir de operatori Ln :C[a, b]→ Πn, n ∈ N, de forma

Ln(f, x) =n∑i=0

pn,i(x)f(xn,i), f ∈ C[a, b],

cu Pn,i ∈ Πn, Pn,i(x) ≥ 0, x ∈ [a, b] si xn,i ∈ [a, b], (1 ≤ i ≤ n). Presupunemca Ln(e0, x) = 1, pentru n ∈ N, x ∈ [a, b]. Notam

µn := supa≤x≤b

n∑i=0

Pn,i(x)(x− xn,i)2.

Daca avem limn→∞ µn = 0, atunci pentru orice functie f ∈ C[a, b] avemlimn→∞ Ln(f) = f , uniform pe intervalul [a, b].

Introducere 13

Teorema 1.5.2 (H. Bohman [13]) Fie ξν,n, n = 1, 2, . . ., ν = 0, 1, 2, . . . unsistem de puncte pe intervalul [0, 1]. Pentru fiecare punct ξν,n consideram ofunctie Ψn,ν(x) ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1. Consideram operatorii An, definiti prin

An(f, x) =∞∑ν=0

f(ξn,ν)Ψn,ν(x). f ∈ C[0, 1].

Daca limn→∞An(ej) = ej, uniform pe [0, 1], j = 0, 1, 2, atunci limn→∞An(f) =f uniform pe [0, 1], pentru orice f ∈ C[0, 1].

Fie F [a, b], spatiul functiilor reale definite pe intervalul [a, b]. Un sistemde trei functii ϕ0, ϕ1, ϕ2 ∈ C[a, b] formeaza un sistem Cebıshev pe intervalul[a, b], daca orice combinatie liniara nenula a lor are cel mult 2 radacini ınintervalul [a, b].

Teorema 1.5.3 (P.P. Korovkin [59],[60]) Fie Fie (Ln)n un sir de operatoriliniari si pozitivi Ln : V → F [a, b], unde V ⊂ F [a, b] este un subspatiuliniar care contine trei functii ϕ0, ϕ1, ϕ2 ∈ C[a, b], care formeaza un sistemCebıshev pe intervalul [a, b]. Daca avem limn→∞ Ln(ϕj) = ϕj, uniform pe[a, b], j = 0, 1, 2, atunci limn→∞ Ln(f) = f uniform pe [a, b], pentru oricef ∈ C[a, b] ∩ V .

Corolarul 1.5.4 ([74]) Daca L : C [a, b] → F [a, b] este un operator liniarsi pozitiv astfel ıncat F (ϕi) = ϕi, (∀) i = 0, 1, 2, unde ϕ1, ϕ2, ϕ2 formeazaun sistem Cebıshev pe intervalul [a, b], atunci

L (f) = f (x) , pentru orice f ∈ C [a, b] .

Observatia 1.5.1 Teorema Korovkin se aplica doar spatiilor de functii peintervale compacte.

Este important studiul proprietatilor functiilor ce pot fi invariate prinoperatori liniari si pozitivi. Cea mai importanta proprietate este conservareaconvexitatii de ordin superior. Din proprietatea de conservare a convexitatiide ordin superior se obtine aproximarea simultana a derivatelor.

Teorema 1.5.5 (B. Sendov si V. Popov [92]) Daca (Ln)n, Ln : C[a, b] →Cp[a, b], p ≥ 1 este un sir de operatori liniari si pozitivi astfel ca limn→∞ ‖Ln(ej)−ej‖[a,b] = 0, pentru j = 0, 1, 2 si care sunt convexi de ordinul m, pentrutoti ıntregii 0 ≤ m ≤ p, atunci pentru orice f ∈ Cp[a, b] si orice interval[c, d] ⊂ (a, b) are loc

limn→∞

‖(Ln(f))(p) − f (p)‖[c,d] = 0.

Introducere 14

1.6 Estimari generale cu moduli de continui-

tate

Estimarea celei mai bune aproximari polinomiale cu moduli de continuitatea fost obtinuta pentru prima data de D. Jackson.

Teorema 1.6.1 (Jackson [52, 53]) Pentru orice interval, [a, b] exista o con-stanta M care depinde doar de a si b, astfel ıncat (∀) f ∈ C [a, b], (∀)n ∈N, (∃) pn ∈ Πn cu proprietatea

‖f − pn‖ ≤M · ω1

(f,

1

n

).

Teorema 1.6.2 Pentru orice r ∈ N0, k ∈ N, exista o constanta Mr,k > 0,care depinde de r si k, astfel ıncat pentru orice functie f ∈ Cr [0, 1] si pentruorice n ≥ r + k − 1 exista un polinom pn ∈ Πn astfel ıncat

|f (x)− pn (x)| ≤Mr,k · [∆n (x)]r · ωk(f (r),∆n (x)

), x ∈ [0, 1] ,

unde∆0 (x) = 1 si

∆n (x) =

√x (1− x)

n+

1

n2, n ∈ N.

Observatia 1.6.1 Teorema 1.6.2 a fost demonstrata de A.F. Timan [104]pentru k = 1, de V.K. Dzjadyk [29, 30] si independent de G. Freud [35]pentru k = 2 si de Yu.A. Brudnyı [15] pentru k ≥ 2.

Teorema 1.6.3 (H.H. Gonska, D. Leviatan, I.A. Shevchuk, H.J. Wenz [40])Fie 1 ≤ k ≤ r. Exista o constanta Mr > 0, care depinde doar de r, astfelıncat pentru orice functie f ∈ Cr [0, 1] si pentru orice n ≥ 2 ·

[r+k+1

2

]exista

un polinom pn ∈ Πn astfel ıncat

|f (x)− pn (x)| ≤Mr · [δn (x)]r · ωk(f (r), δn (x)

), x ∈ [0, 1] ,

unde

δn (x) =

√x (1− x)

n, n ∈ N.

Introducere 15

Observatia 1.6.2 Teorema 1.6.3 a fost demonstrata de S. Telyakovski [103]pentru k = 1 si r = 0, de I. Gopengauz [45] pentru k = 1, r ≥ 1 si n ≥ 4r+4,de R.A. DeVore [22, 23] pentru k = 2 si r = 0 si de H.H. Gonska, E.Hinnemann pentru r ≥ 0, k ≤ r + 2 si n ≥ 4r + 4.

Prima evaluare cu moduli de continuitate pentru operatori a fost datade T. Popoviciu. In 1935 acesta a dat o evaluare cu ajutorul modulului decontinuitate pentru operatorii Bernstein [86] si anume:

‖Bn (f)− f‖ ≤ k · ω1

(f,

1√n

), (∀) f ∈ C [0, 1] ,

unde k = 32.

In 1953 G.G. Lorentz [65] a aratat k = 54, iar ın 1961 P.V. Sikkema [94]

a determinat valoarea exacta a constantei si anume k = 4306+837√

65832

.De asemenea, ın [74], avem urmatoarea evaluarea cu constante optimale

‖Bn (f)− f‖ ≤ ω2

(f,

1√n

), (∀) f ∈ B [0, 1] .

Estimari cu ajutorul modulului de continuitate de ordinul ıntai pentruoperatori liniari si pozitivi au fost date de Mamedov [68] (pentru operatoricare conserva constantele) si de Shisha si Mond [93] (ın general).

Teorema 1.6.4 (Shisha si Mond [93]) Fie L un operator linear si pozitiv,L : C [a, b]→ C [a, b] .

i) Daca f ∈ C [a, b] atunci pentru orice x ∈ [a, b] si pentru orice δ > 0are loc relatia

|L (f, x)− f (x)| ≤ |f (x)| · |L (e0, x)− 1|+

+

L (e0, x) +

1

δ

√L (e0, x)L

((e1 − xe0)2 , x

)· ω1 (f ; δ) .

ii) Daca f este derivabila si f ′ ∈ C [a, b] atunci pentru orice x ∈ [a, b] sipentru orice δ > 0 avem

Introducere 16

|L (f, x)− f (x)| ≤ |f (x)| · |L (e0, x)− 1|+

+ |f ′ (x)| · |L (e1 − xe0, x)|+√L((e1 − xe0)2 , x

)×

×√

L (e0, x) +1

δ

√L((e1 − xe0)2 , x

)· ω1 (f ′; δ) .

Observatia 1.6.3 Daca L (e0, x) = e0, atunci se obtine teorema data deMamedov [68].

O noua varianta a teoremei (1.6.4) a fost data de Mond ın 1976.

Teorema 1.6.5 (Mond [72])Fie L un operator linear si pozitiv, L : C [a, b]→C [a, b] si f ∈ C [a, b]. Pentru orice x ∈ [a, b] si pentru orice δ > 0 avem

|L (f, x)− f (x)| ≤ |f (x)| · |L (e0, x)− 1|+

+

L (e0, x) +

1

δ2L((e1 − xe0)2 , x

)· ω1 (f ; δ) .

In continuare vom prezenta cateva estimari cu ajutorul modulilor de con-tinuitate de ordinul ıntai si doi.

Teorema 1.6.6 (Gonska si Kovacheva [39]) Fie operatorul liniar si pozitivL : C [a, b] → F [a, b]. Pentru orice f ∈ C [a, b], si x ∈ [a, b] si 0 < h ≤ b−a

2

avem

|L (f, x)− f (x)|

≤ |L (e0, x)− 1| · ‖f‖+2

h|L (e1 − xe0, x)| · ω1 (f ;h)

+

[3

4· (1 + L (e0, x)) +

3

4· |L (e0, x)− 1|+ 3

2h· |L (e1 − xe0, x)|

+3

4h·∣∣L ((e1 − xe0)2 , x

)∣∣] · ω2 (f ;h) .

In urmatoarele doua teoreme folosim urmatoarele notatii:

i) Daca I este un interval notam l (I) lungimea sa (aceasta poate fi siinfinita);

Introducere 17

ii) Pentru un numar ρ > 0 scriem ρ l (I) daca ρ ≤ l (I) atunci candI este un interval ınchis, si respectiv ρ < l (I) atunci cand I este uninterval deschis.

Teorema 1.6.7 (R. Paltanea [74]) Fie I ⊂ R un interval arbitrar si V unsubspatiu al lui F (I) astfel ca ej ∈ V , pentru j = 0, 1, 2. Consideram s ≥ 2.Daca L : V → F (I) este un operator liniar si pozitiv, atunci pentru oricef ∈ V , orice h l (I) si orice x ∈ I avem

|L (f, x)− f (x)| ≤ |L (e0, x)− 1| · |f (x)|+ 1

h|L (e1 − xe0, x)| · ω1 (f ;h)

+

(L (e0, x) +

1

2hs· |L (|e1 − xe0|s , x)|

)· ω2 (f ;h) .

Teorema 1.6.8 (R. Paltanea [74]) Fie I ⊂ R un interval arbitrar si V unsubspatiu al lui F (I) astfel ca ej ∈ V , pentru j = 0, 1, 2. Fie L : V → F (I)

un operator liniar si pozitiv pentru care notam mi (x) = L(

(e1 − xe0)i , x)

,

i ∈ N0. Pentru orice x ∈ I presupunem ca m0 (x) > 0 si m2 (x) > 0. Pentruorice f ∈ V , f derivabila, orice h l (I) si orice x ∈ I avem

|L (f, x)− f (x)| ≤ |m0 (x)− 1| · |f (x)|+ m1 (x)

h· ω1 (f ;h)

+

(

16hm0 (x) + 1

2hm2 (x)

)· ω1 (f ′;h) , h ≤ 3

√m2(x)m0(x)(√

m0 (x)m2 (x)− m2(x)h

)· ω1 (f ′;h) , h > 3

√m2(x)m0(x)

.

In aceste teoreme se accepta posibilitatea ca modulii de continuitate safie infiniti.

Teorema 1.6.9 (R. Paltanea [74]) Fie operatorul liniar si pozitiv L : F [0, 1]→F [0, 1]. Pentru x ∈ (0, 1), h ∈

(0, 1

2

]si pentru orice functie f ∈ B [0, 1] avem

|L (f, x)− f (x)| ≤ |L (e0, x)− 1| · ‖f‖+|L (e1 − xe0, x)|

2hϕ (x)· ωϕ1 (f ; 2h)

+

[L (e0, x) +

3

2·∣∣L ((e1 − xe0)2 , x

)∣∣(hϕ (x))2

]· ωϕ2 (f ;h) .

Capitolul 2

Operatori de tip Kantorovichunidimensionali

In acest capitol vom prezenta operatori Kantorovich unidimensionali de or-dinul r si vom demonstra cateva proprietati ale acestor operatori. Pentruaceasta consideram operatorii Kantorovich si operatorii Bernstein.

Operatorii Kantorovich [57], Kn : L1 [0, 1]→ C [0, 1] sunt definiti prin

Kn (f, x) = (n+ 1)n∑k=0

pn,k (x)

k+1n+1∫k

n+1

f (t) dt, f ∈ L1 [0, 1] , x ∈ [0, 1] , n ∈ N.

(2.1)Operatorii Bernstein, Bn : C [0, 1]→ C [0, 1] sunt dati prin

Bn(f, x) =n∑k=0

f

(k

n

)pn,k(x), f : [0, 1]→ R, n ∈ N, x ∈ [0, 1], (2.2)

unde

pn,k (x) =

(n

k

)· xk · (1− x)n−k . (2.3)

Operatorii lui Kantorovich se pot obtine prin modificarea operatorilorBernstein folosind identitatea

Kn = D Bn+1 I,

unde D este operatorul de derivare, iar I este operatorul de antiderivare.

18

Operatori Kantorovich unidimensionali 19

Mai general, daca L : C [a, b]→ C [a, b] este un operator liniar si pozitiv,iar r ∈ N se poate defini un operator de tip Kantorovich de ordin r prinformula

Kn = Dr L Ir.Acesti operatori apar implicit definiti ın lucrarea lui Sendov si Popov [92]

ın legatura cu problema aproximarii simultane.

2.1 Operatori Durrmeyer-Kantorovich

In acest subcapitol vom prezenta operatori de tip Kantorovich pe un intervalcompact. Astfel de operatori sunt obtinuti modificand alte tipuri de opera-tori. Indicam urmatoarele lucrari dedicate acestora: [1], [10], [20], [27], [37],[41], [57], [95], [100], [49], [56], [58], [106], [107].

2.1.1 Definitia si caracterizarea operatorilor Durrmeyer-Kantorovich de ordin r, Kr

n

In abordarea noastra, plecam de la operatorii Durrmeyer

Dn : L1 [0, 1]→ C [0, 1] , f → Dn (f) , n ∈ N,dati prin

Dn (f, x) = (n+ 1)n∑k=0

pn,k (x)

1∫0

pn,k (t) f (t) dt, x ∈ [0, 1] ,

unde

pn,k (x) =

(n

k

)· xk · (1− x)n−k . (2.4)

Acesti operatori au fost introdusi de J.L. Durrmeyer [28] ın 1967 si inde-pendent de Lupas [66]. Ei au fost studiati intensiv de M.M. Derriennic [25]ın 1981.

Vom genera operatorii Durrmeyer ın sensul Kantorovich de ordinul r sivom determina unele proprietati de convergenta pentru acestia. Un astfel derezultat se gaseste in lucrarea [95] pentru r = 1.

Pentru un r ∈ N fixat definim operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordinr.


Definitia 2.1.1 (Stan) Pentru orice n ∈ N definim operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordin r, r ∈ N, Kr

n : Lp [0, 1]→ C [0, 1], dati prin

Krn (f, x) =

(n+ 2r + 1)r+1

(n+ r + 1)r+1

(Dr Dn+r Ir) (f) (x) , (2.5)

pentru f ∈ Lp [0, 1], x ∈ [0, 1].

In teorema urmatoare vom da o forma explicita pentru acesti operatori.

Teorema 2.1.1 (Stan) Pentru orice n, r ∈ N avem

Krn (f, x) = (n+ 2r + 1)

n∑k=0

pn,k (x)

1∫0

pn+2r,k+r (t) f (t) dt, (2.6)

pentru f ∈ Lp [0, 1], x ∈ [0, 1].

2.1.2 Calculul momentelor operatorilor Krn

Lema 2.1.2 (Stan) Operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordin r, Krn sunt

liniari si pozitivi.

Lema 2.1.3 (Stan) Pentru x ∈ [0, 1] si n,m ∈ N operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordin r, Kr

n verifica urmatoarea proprietate de recurenta:

Krn (em+1, x) =

nx+ r +m+ 1

n+ 2r +m+ 2Krn (em, x) +

x (1− x)

n+ 2r +m+ 2(Kr

n (em, x))′ .

(2.7)

Corolarul 2.1.4 (Stan) Pentru x ∈ [0, 1] si n, r ∈ N operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordin r au urmatoarele proprietati:

i)Krn (e0, x) = 1; (2.8)

ii)

Krn (e1, x) =

nx+ r + 1

n+ 2r + 2; (2.9)


iii)

Krn (e2, x) =

(n2 − n)x2 + n (2r + 4)x+ (r + 2) (r + 1)

(n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3). (2.10)

Lema 2.1.5 (Stan) Operatorii Krn definiti ın (2.5) verifica urmatoarele relatii:

i) Krn ((e1 − xe0) , x) = r+1−(2r+2)x

n+2r+2;

ii) Krn

((e1 − xe0)2 , x

)= [2n−2(r+1)(2r+3)]x(1−x)+(r+1)(r+2)

(n+2r+2)(n+2r+3).

2.1.3 Proprietati de convergenta

In aceasta sectiune vom prezenta convergenta operatorilor Krn ın diferite

norme.Prezentam mai ıntai convergenta ın norma C [0, 1].

Teorema 2.1.6 (Stan) Daca functia f ∈ C [0, 1] atunci operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordin r, Kr

n verifica urmatoarele inegalitati:

i) pentru orice x ∈ [0, 1] si pentru orice δ > 0 are loc

|Krn (f, x)− f (x)| (2.11)

≤ 2ω1

(f ;

√[2n− 2 (r + 1) (2r + 3)]x (1− x) + (r + 1) (r + 2)

(n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3)

);

ii) pentru orice δ > 0 are loc

‖Krn (f)− f‖ ≤ 2ω1

(f ;

√n+ r + 1

2 (n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3)

). (2.12)

Corolarul 2.1.7 (Stan) Fie f ∈ C [0, 1]. Atunci

limn→∞

‖Krn (f)− f‖C[0,1] = 0. (2.13)

Teorema 2.1.8 (Stan) Daca functia f ∈ C [0, 1] este derivabila si f ′ ∈C [a, b] atunci operatorii Durrmeyer-Kantorovich de ordin r, Kr

n verificaurmatoarele inegalitati:


i) pentru orice x ∈ [0, 1] si pentru orice δ > 0 avem

|Krn (f, x)− f (x)| (2.14)

≤ |f ′ (x)| ·∣∣∣∣(r + 1) (1− 2x)

n+ 2r + 2

∣∣∣∣+2

√[2n− 2 (r + 1) (2r + 3)]x (1− x) + (r + 1) (r + 2)

(n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3)

×ω1

(f ′;

√[2n− 2 (r + 1) (2r + 3)]x (1− x) + (r + 1) (r + 2)

(n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3)

);

ii) pentru orice δ > 0 are loc

‖Krn (f)− f‖ ≤ r + 1

n+ 2r + 2· ‖f ′‖+

√2 (n+ r + 1)

(n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3)

×ω1

(f ′;

√n+ r + 1

2 (n+ 2r + 2) (n+ 2r + 3)

). (2.15)

In continuare prezentam convergenta ın Lp [0, 1], 2 ≤ p <∞.

Teorema 2.1.9 (Stan) Fie f ∈ Lp [0, 1], pentru 2 ≤ p <∞. Are loc relatia

limn→∞

‖Krn (f)− f‖Lp[0,1] = 0. (2.16)

2.2 Operatori Baskakov-Kantorovich

In acest subcapitol vom prezenta operatori de tip Kantorovich pe un in-terval necompact. Am ales ca operatori de plecare operatorii BaskakovVn : C2 [0,∞)→ C [0,∞) dati prin

Vn (f) (x) =∞∑k=0

vn,k (x) f

(k

n

), x ∈ [0,∞) , n ∈ N, (2.17)

unde

vn,k (x) =

(n+ k − 1

k

)xk · (1 + x)−(n+k) . (2.18)


Acesti operatori au fost introdusi de Baskakov [9] ın 1957 si studiati in-tensiv de Mastroianni [69], Schurer [91], Della Vecchia [21] si altii.

In 1985 Sahai si Prasad [88] au introdus operatorii Baskakov modificatiın forma integrala:

V ∗∗n (f) (x) = (n− 1)∞∑k=0

vn,k (x)

∞∫0

vn,k (t) f (t) dt, x ∈ [0,∞) , n ∈ N,

(2.19)unde f : [0,∞) → R este o functie pentru care integralele exista si seriilesunt convergente.

Scopul acestui subcapitol este de a construi operatori de tip Kantorovichde ordin superior plecand de la operatorii Baskakov si de a obtine o teo-rema de convergenta uniforma pentru acesti operatori. Definirea si uneleproprietati ale acestor operatori Baskakov-Kantorovich sunt prezentate ınparagrafele 2.2.1 si 2.2.2, iar rezultatul principal de convergenta uniformaeste dat ın paragraful 2.2.3.

Acest rezultat se gaseste prezentat ın lucrarea [97].Ideea de baza este considerarea unei functii care compusa cu o anumita

functie fixata devine uniform continua. Aceasta idee apare pentru prima dataın lucrarea lui Totik [108]. Intre alte lucrari care utilizeaza aceasta metodamentionam lucrarile Paltanea [76] si Holhos [51].

2.2.1 Definitia si caracterizarea operatorilor Baskakov-Kantorovich de ordin r, V r

n

In continuare, pentru un r ∈ N fixat, definim operatorii Baskakov-Kantorovichde ordin r.

Definitia 2.2.1 (Stan [97]) Fie r ∈ N fixat. Pentru orice n ∈ N, n >r+ 1 definim operatorii Baskakov-Kantorovich de ordin r, V r

n : CN [0,∞)→C [0,∞) prin

V rn :=

(n− 1)r+1

(n+ r − 1)r+1

·Dr V ∗∗n Ir, n, r ∈ N, n > r + 1 . (2.20)

Observatia 2.2.1 Pentru f ∈ CN [0,∞) integralele exista si seriile suntconvergente.


In teorema urmatoare vom da o forma explicita pentru acesti operatori.

Teorema 2.2.1 (Stan [97]) Fie r, n ∈ N, n > r + 1. Pentru orice functief ∈ CN [0,∞) avem

V rn (f, x) = (n− r − 1)

∞∑k=0

vn+r,k (x)

∞∫0

vn−r,k+r (t) f (t) dt, x ∈ [0,∞) .

(2.21)

Corolarul 2.2.2 (Stan [97]) Operatorii V rn sunt liniari si pozitivi.

2.2.2 Calculul momentelor si relatia de recurenta pen-tru operatorii V r

n

In aceasta sectiune voi determina o relatie de recurenta pentru calculul mo-mentelor de ordin s ale operatorilor V r

n . Pentru aceasta voi demonstra maiıntai urmatoarea lema:

Lema 2.2.3 (Stan [97]) Pentru orice n, r ∈ N, n > r + 2 si x ∈ [0,∞)avem

i) V rn (e0, x) = 1.

ii) V rn (e1, x) = x+ r+1

n−r−2(2x+ 1) .

In continuare vom da o relatie de recurenta pentru momente.

Lema 2.2.4 (Stan [97]) Pentru orice n, r, s ∈ N, n > r+s+2 si x ∈ [0,∞)avem

V rn (es+1, x) (2.22)

=1

n− r − s− 2x (x+ 1) ·D (V r

n (es)) (x) + [(n+ r)x+ r + s+ 1]V rn (es, x) .

Corolarul 2.2.5 (Stan [97]) Pentru orice n, r, s ∈ N, n > r + s + 1 six ∈ [0,∞) avem

V rn (es) ∈ Πs.


Mai multV rn (es, x) = xs +Rn,r,s (x) , (2.23)

unde

|Rn,r,s (x)| ≤ (1 + xs)M

n,

iar M este o constanta care depinde de s si r.

Observatia 2.2.2 Deoarece V rn pastreaza gradul polinoamelor, pentru orice

N ∈ N si n > r +N + 1 avem

V rn (CN [0,∞)) ⊂ CN [0,∞) .

Lema 2.2.6 (Stan [97]) Pentru orice n, r, s ∈ N, n > r+2s+1 si x ∈ [0,∞)avem

V rn (|ts − xs| , x) ≤

√(1 + x2s) ·M

n, (2.24)

iar M este o constanta care depinde de s si r.

Lema 2.2.7 (Stan [97]) Pentru orice n, r, s ∈ N, n > r + 1 si x ∈ [0,∞)avem

V rn

(1

1 + t, x

)≤ 1

1 + x· n+ r

n+ r − 1.

Lema 2.2.8 (Stan [97]) Pentru orice n, r, s ∈ N, n > r + 2 si x ∈ [0,∞)avem

V rn (|ln (t+ 1)− ln (x+ 1)| , x) ≤

√2r + 3√

n+ r − 2.


In acest paragraf voi da o teorema de convergenta uniforma ın spatiul CN [0,∞).

Teorema 2.2.9 (Stan [97]) Fie r, N ∈ N si n > r + N + 1. Dacafunctiaf ∈ CN [0,∞) are proprietatea ca f (ex − 1) · 1

1+(ex−1)Neste uniform continua

pe [0,∞) atunci pentru operatorii Baskakov Kantorovich de ordin r, V rn :

CN [0,∞)→ CN [0,∞) avem

‖V rn (f)− f‖∗N → 0 cand n→∞. (2.25)


Mai mult, pentru orice f ∈ CN [0,∞), r ∈ N si n > r +N + 1 are loc

‖V rn (f)− f‖∗N ≤ ‖f‖

∗N ·

C√n

+2ω1

(f (ex − 1) · 1

1 + (ex − 1)N,

√2r + 3√

n+ r − 2

),

(2.26)unde C ∈ R este o constanta care depinde de N si de r.

Teorema 2.2.10 (Stan [97]) Pentru orice r ∈ N operatorul integral Baskakov,V ∗∗n : CN [0,∞)→ CN [0,∞) are proprietatea ca daca Dr (f) (ex − 1)· 1

1+(ex−1)N

este uniform continua pe [0,∞) si Dr (f) ∈ CN [0,∞) atunci

‖Dr (V ∗∗n ) (f)−Dr (f)‖∗N → 0 cand n→∞.

Mai mult, pentru orice f ∈ CN [0,∞), r ∈ N si n suficient de mare, areloc

‖Dr (V ∗∗n ) (f)−Dr (f)‖∗N

≤ ‖Dr (f)‖∗N ·C√n

+ 2ω1

(Dr (f) (ex − 1) · 1

1 + (ex − 1)N,

√2r + 3√

n+ r − 2

),

unde C ∈ R este o constanta care depinde de N si de r.

Capitolul 3

Operatori de tip Kantorovichmultidimensionali

In acest capitol voi generaliza operatorii Bernstein multidimensionali, atat pesimplex cat si pe cubul n-dimensional folosind metoda Kantorovich. Pentruacesti operatori vom studia teoreme de tip Voronovskaja. Mentionam cateoreme de tip Voronovskaja ın cazul unidimensional au fost obtinute deexemplu ın lucrarile [110], [83], [63], [17], [102], [6], [41], [67].

3.1 Operatori Bernstein-Kantorovich pe sim-

plex

Pentru operatorii Bernstein definiti ın relatiile (2.2) si (2.3), Floater [34]a demonstrat urmatorul rezultat de tip Voronovskaja pentru aproximareasimultana: Daca f ∈ Cr+2[0, 1], atunci

limn→∞

n[(Bn(f))(r)(x)− f (r)(x)

]=

dr

dxr[x(1− x)f ′′(x)] , (3.1)

uniform ın raport cu x ∈ [0, 1].Pentru operatorii Durrmeyer, Heilmann si Muller au demonstrat anterior

un rezultat analog cu acesta ın [48]. In lucrarile [63] si [41] au fost daterezultate de tip Voronovskaja si rezultatele asimptotice pentru aproximaresimultana pentru clase mari de operatori care actioneaza pe functii definite

27

Operatori Kantorovich multidimensionali 28

pe un interval compact. Alte contributii recente ın teoria operatorilor de tipKatorovich au fost date ın articolele [7, 8, 18, 37, 43, 109].

Scopul acestui subcapitol este de a obtine un rezultat de tip Vorovoskajapentru aproximare simultana prin operatorii Bernstein pe simplexul multi-dimensional. In acest scop, vom construi un operator de tip Kantorovichde ordin superior pentru functii vectoriale. Definirea si unele proprietatiale acestor operatori de tip Kantorovich sunt prezentate ın sectiunile 3.1.1si 3.1.2, iar rezultatul principal privind aproximarea simultana este dat ınsectiunea 3.1.3. Acest rezultat se gaseste ın lucrarea [80].

3.1.1 Notatii si definirea operatorilor Bernstein- Kan-torovich pe simplex

Vom lua ın considerare un numar fix k ∈ N. Pentru orice 1 ≤ j ≤ k,notam ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), unde cifra 1 apare pe pozitia j. Considerammultimea ∆ numita simplex k-dimensional definita astfel:

∆ := x = (x1, . . . , xk) : x1, . . . , xk ≥ 0, x1 + . . .+ xk ≤ 1. (3.2)

Fie functia unitate e0 : Rk → R, e0 (x) = 1 si proiectiile Πq : Rk →R, Πq (x) = xq, pentru orice 1 ≤ q ≤ k si x = (x1, x2, ..., xk) ∈ Rk. Notamprin Cr(∆), r ∈ N0, spatiul functiilor reale definite pe simplexul ∆ careadmit diferentiale de ordinul r continue. Pentru r = 0, vom nota pe scurtC(∆) := C0(∆), spatiul functiilor reale continue pe ∆.

Pentru orice r ∈ N notam

Jr := µ = (µ1, . . . , µr) : 1 ≤ µ1, . . . , µr ≤ k, µi ∈ N, 1 ≤ i ≤ r. (3.3)

Extindem aceasta notatie si pentru cazul r = 0, astfel consideram J0 =0.

Pentru f ∈ Cr(∆), r ∈ N0 si µ = (µ1, . . . , µr) ∈ Jr notam

∂rf

∂xµ=

∂rf

∂xµ1 . . . ∂xµr. (3.4)

Pentru r, s ∈ N0 definim multimea

Λsr :=

f = (fµ)µ∈Jr : ∃ψ ∈ Cr+s(∆) astfel ıncat fµ =

∂rψ

∂xµ∀µ ∈ Jr

.

(3.5)


Observam ca Λs0 = Cs(∆), pentru s ∈ N0. Daca µ ∈ Jr, µ = (µ1, . . . , µr),

notam fµ de asemenea prin fµ1,...,µr .Pentru orice r ∈ N0, s ∈ N, consideram operatorul diferential D : Λs

r →Λs−1r+1, dat prin

D((fµ)µ∈Jr) =

(∂fµ∂xµ

)µ∈Jr, µ∈J1

. (3.6)

Teorema Schwartz asigura faptul ca D((fµ)µ∈Jr) ∈ Λs−1r+1, pentru (fµ)µ∈Jr ∈

Λsr. Atunci pentru r ∈ N0 definim Dr := D · · · D (de r ori). Aici,

consideram D0 este operatorul identic. Asadar avem Dr : Λsp → Λs−r

r+p, pentruorice s, p ∈ N0, s ≥ r. De retinut, ca pentru f ∈ Cr(∆), avem

Dr(f) =

(∂rf

∂xµ

)µ∈Jr

. (3.7)

De asemenea, consideram operatorul antiderivare I : Λsr → Λs+1

r−1, r ∈ N,s ∈ N0, definit prin

I((fµ)µ∈Jr) = (gη)η∈Jr−1 , (3.8)

unde, pentru orice η = (η1, . . . , ηr−1) ∈ Jr−1 si x ∈ ∆ avem

gη1,...,ηr−1(x) =

∫ x

0

fη1,...,ηr−1,1dx1 + . . .+ fη1,...,ηr−1,kdxk. (3.9)

Forma diferentiala ω = fη1,...,ηr−1,1dx1 + . . .+fη1,...,ηr−1,kdxk este exacta si prinurmare integrala definita ın (3.9) este independenta de drum.

In continuare definim Ir = I . . . I (de r ori), Ir : Λsp → Λs+r

p−r, pentru

orice p ≥ r ≥ 1. In cazul ın care r = 0, Ir reprezinta identitatea. Avem

Dr(Ir(f)) = f, pentru orice f ∈ Λ0r. (3.10)

Pentru n ∈ N notam

In := ν = (ν1, . . . , νk) : ν1, . . . , νk ∈ N0, ν1 + . . . νk ≤ n (3.11)

Daca ν ∈ In, ν := (ν1, . . . , νk), notam |ν| := ν1 + . . .+ νk,νn

:= 1nν,(

n

ν

):=

n!

ν1! . . . νk!(n− ν1 − . . .− νk)!(3.12)


si

pn,ν(x) :=

(n

ν

)xν11 . . . xνkk (1−x1−. . .−xk)n−|ν|, x = (x1, . . . , xk) ∈ ∆. (3.13)

Operatorul Bernstein n-dimensional pe simplexul ∆ este dat prin

Bn(f, x) =∑ν∈In

pn,ν(x)f

(ν

n

), f ∈ C(∆), x ∈ ∆. (3.14)

In continuare definim operatorul extins Bernstein-Kantorovich de ordinr,Kr

n pe simplexul ∆.

Definitia 3.1.1 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Fie r ∈ N0, n ∈ N.Definim Kr

n : Λ0r → Λ0

r prin

Krn := Dr Bn Ir. (3.15)

Teorema 3.1.1 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Fie r ∈ N0, n ∈ N. Pentruorice f = (fµ)µ∈Jr ∈ Λ0

r avem Krn(f) = (Kr

n,µ(f))µ∈Jr , unde

Krn,µ(f)(x) = lrn

∑µ∈In−r

pn−r,µ(x)

∫[0,1]r

fµ

(ν

n+

r∑s=1

usneµs

)du1 . . . dur,

(3.16)pentru x ∈ ∆ si lrn = n!

(n−r)!nr .

Observatia 3.1.1 Din Teorema 3.1.1 deducem o proprietate remarcabilapentru operatorii Kr

n si anume, pentru fiecare µ ∈ Jr, componentele Krn,µ

(f)

ale functiei vectoriale Krn

(f)

depind doar de componenta fµ ale functiei f .Aceasta proprietate nu este ın general valabila pentru operatorii Kantorovichatasati unor operatori liniari si pozitivi arbitrari pe un simplex.

In continuare, pentru µ ∈ Jr fixat, consideram operatorul liniar si pozitivLrn,µ : C(∆)→ C(∆), definit prin

Lrn,µ (ϕ) (x) =∑ν∈In−r

pn−r,ν (x)

∫[0,1]r

ϕ

(ν

n+

r∑s=1

usneµs

)du, (3.17)

pentru ϕ ∈ C (∆), x ∈ ∆ , unde am folosit notatia du := du1 . . . dur. De aiciobtinem

Krn,µ

(f)

(x) = lrnLrn,µ (fµ) (x) , f = (fµ)µ∈Jr ∈ Λ0

r, x ∈ ∆, (3.18)

unde reamintim ca lrn = n!/((n− r)!nr).


3.1.2 Momentele operatorilor Lrn,µ

In acest paragraf vom calcula momentele operatorilor Lrn,µ. Pentru aceastafixam r ∈ N0 si µ ∈ Jr. Definim multimea Tq (µ) := s ∈ 1, 2, ..., r : µs = qsi notam cardinalul acestei multimi cu cq, |Tq (µ)| = cq.

Lema 3.1.2 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Pentru 1 ≤ q, q1, q2 ≤ n, q1 6=q2, µ ∈ Jr si x = (x1, x2, ..., xk) ∈ ∆ avem:

i) Lrn,µ (e0) (x) = 1;

ii) Lrn,µ (Πq) (x) = n−rnxq + 1

2ncq;

iii) Lrn,µ (Πq1Πq2) (x) =(n−r)2n2 xq1xq2 + n−r

2n2 (cq2xq1 + cq1xq2) + 14n2 cq1cq2 .

Corolarul 3.1.3 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Pentru 1 ≤ q, q1, q2 ≤k, q1 6= q2, x = (x1, x2, ..., xk) ∈ ∆ si µ ∈ Jr avem:

i) Lrn,µ (Πq − xqe0) (x) = 12ncq − r

nxq;

ii) Lrn,µ ((Πq1 − xq1e0) (Πq2 − xq2e0)) (x) = − 1nxq1xq2 +O

(1n2

).

Pentru p,m ∈ N si 1 ≤ q ≤ k consideram momentele modificate T r,qn.p,m,date prin

T r,qn.p,m (x) =∑ν∈In−p

pn−p,ν (x)

∫[0,1]r

(hν(xq, u))m du, x ∈ ∆, (3.19)

undehν(xq, u) :=

νqn

+∑

s∈Tq(µ)

usn− xq, u = (us)s=1,r . (3.20)

Lema 3.1.4 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Pentru orice n,m ∈ N, n >r, q ∈ 1, 2, ..., k si x ∈ ∆ avem

d

dxqT r,qn.r,m (x) = −mT r,qn.r,m−1 (x) +m

n− rn

T r,qn.r+1,m−1 (x) (3.21)

+n− rn2

(m

2

)T r,qn.r+1,m−2 (x) +O

(1

n2

).


Corolarul 3.1.5 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Pentru 1 ≤ q ≤ k, µ ∈ Jrsi x ∈ ∆ avem:

i) Lrn,µ((Πq − xqe0)2) (x) = − 1

nx2q + 1

nxq +O

(1n2

);

ii) Lrn,µ((Πq − xqe0)3) (x) = O

(1n2

);

iii) Lrn,µ((Πq − xqe0)4) (x) = O

(1n2

).

3.1.3 Teoreme de tip Voronovskaja

Fixam din nou un r ∈ N0. Vom da mai ıntai un rezultat de tip Voronovskajapentru operatorii Lrn,µ, µ ∈ Jr, definiti ın (3.17).

Teorema 3.1.6 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Fie ϕ : C (∆) → R ofunctie care admite derivate partiale de ordinul al doilea ıntr-un punct x ∈ ∆,x = (x1, . . . xk). Atunci, pentru orice µ ∈ Jr avem

limn→∞

n(Lrn,µ (ϕ) (x)− ϕ (x)

)=

k∑q=1

∂ϕ

∂xq(x)

(1

2cq − rxq

)(3.22)

+1

2

k∑q=1

∂2ϕ

∂x2q

(x)xq (1− xq)−∑

1≤q1<q2≤k

∂2ϕ

∂xq1∂xq2(x)xq1xq2 .

In continuare vom da teorema principala a acestui capitol. Pentru aceastaconsideram g ∈ C2(∆) si x ∈ ∆. Notam

M2(g, x) :=1

2

k∑q=1

∂2g

∂x2q

(x)(xq − x2q)−

∑1≤q1<q2≤k

∂2g

∂xq1∂xq2(x)xq1xq2 . (3.23)

Teorema 3.1.7 (R. Paltanea, G. Stan [80]) Fie r ∈ N0. Daca g ∈Cr+2(∆), atunci pentru orice µ ∈ Jr si x ∈ ∆ avem

limn→∞

n

(∂r

∂xµBn(g)(x)− ∂r

∂xµg(x)

)=

∂r

∂xµM2(g, x). (3.24)


Observatia 3.1.2 Daca luam ın considerare forma cuadrica asociata derivateide ordinul doi al functiei g ın x, t→ d2g(x) · (t− x)2, si anume:

d2g(x) · (t− x)2 :=∑

1≤q1,q2≤k

∂2g

∂xq1∂q2(x)(tq1 − xq1)(tq2 − xq2), (3.25)

x = (x1, . . . , xt), t = (t1, . . . , tk),atunci din Corolarul 3.1.3 -i) si Corolarul3.1.5 -ii) pentru r = 0, obtinem:

limn→∞

n

2Bn(d2g(x)(• − x)2)(x) = M2(g, x). (3.26)

Cu alte cuvinte, Teorema 3.1.7 poate fi exprimata, de asemenea, si sub forma

limn→∞

n

(∂r

∂xµBn(g)(x)− ∂r

∂xµg(x)

)=

∂r

∂xµ

(limn→∞

n

2Bn(d2g(x)(• − x)2)(x)

),

(3.27)pentru orice g ∈ Cr+2(∆), µ ∈ Jr si x ∈ ∆.

3.2 Operatori Bernstein Kantorovich pe cubul

multidimensional

In acest subcapitol voi generaliza operatorii unidimensionali Bernstein- Kan-torovich ın cubul multidimensional si vom studia proprietati de convergentasi rezultate de tip Voronovskaja pentru acesti operatori, vezi [98].

Operatorii Bernstein ın cubul multidimensional au fost studiati de T. H.Hildebrandt, I. J. Schoenberg [50], G. G. Lorentz [65], R. Schnabl [89] si altii.

Pentru orice (n1, n2, ..., nk) ∈ Nk si f ∈ C(

[0, 1]k)

, operatorii Bernstein

multidimensionali sunt definiti prin:

B(n1,n2,...,nk) (f, x) =∑

0≤is≤ns

s=1,k

f ( i1n1

,i2n2

, ...,iknk

) ∏s=1,k

pns,is (xs)

, (3.28)

unde x = (x1, x2, ..., xk) ∈ [0, 1]k, si pn,i (x) =(ni

)xi (1− x)n−i , i = 0, n,

x ∈ [0, 1] .


3.2.1 Definitia operatorilor Bernstein Kantorovich pecubul multidimensional

In cele ce urmeaza folosim urmatoarele notatii:

• Hk =(C(

[0, 1]k))k

,

• H+k =

ψ = (ψ1, ...ψk) ∈ Hk, ψj (x) ≥ 0, x ∈ [0, 1]k , j = 1, k

.

Pe Hk consideram norma ‖ψ‖ = maxi=1,k‖ψi‖∞, unde ψ = (ψ1, ...ψk).

Observatia 3.2.1 Hk este echivalent cu spatiul formelor diferentiale de or-dinul ıntai.

Fie multimea

Hek =

ψ = (ψ1, ...ψk) ∈ Hk, astfel ıncat

∂ψi∂xj

=∂ψj∂xi

, 1 ≤ i < j ≤ k

.

Observatia 3.2.2 Hek este echivalent cu spatiul formelor diferentiale exacte

de ordinul ıntai.

Definitia 3.2.1 (G. Stan [98]) Pentru orice n = (n1, n2, ..., nk) ∈ Nk

definim operatorii Kn : Hek → Hk, dati prin

Kn (ψ, x) =(Kn,1 (ψ1, x) , Kn,2 (ψ2, x) , ..., Kn,k (ψk, x)

), (3.29)

unde

Kn,j (ϕ, x) = nj∑

0≤is≤ns

s=1,k, s6=j

∏s=1,k, s6=j

pns,is (xs)

nj−1∑ij=0

pnj−1,ij (xj)

×

ij+1

nj∫ijnj

ϕ

(i1n1

, ...,ij−1

nj−1

, t,ij+1

nj+1

, ...,iknk

)dt

, (3.30)

pentru orice j = 1, k, x = (x1, x2, ..., xk) ∈ [0, 1]k si ϕ ∈ C(

[0, 1]k)

.


Acesti operatori ıi numim operatorii multidimensionali Bernstein-Kantorovichpe cubul multidimensional. Vom dovedi mai tarziu (Corolarul 3.2.4 ) ca

Kn (ψ) ∈ Hek pentru ψ ∈ He

k.Pentru acesti operatori avem urmatoarea proprietate de pozitivitate.

Lema 3.2.1 (G. Stan [98]) Daca ψ ∈ H+k ∩ He

k atunci Kn (ψ) ∈ H+k

pentru n = (n1, n2, ..., nk) ∈ Nk.

In continuare consideram urmatorii operatori generalizati:

i) Operatorul diferential D,

D (f, x) =

(∂f

∂x1

(x) , ...,∂f

∂xk(x)

), f ∈ C1

([0, 1]k

), x = (x1, ..., xk) ∈ [0, 1]k ,

ii) Operatorul antiderivare I,

I (ψ, x) =

x∫0

ψ1 (y) dy1 + ψ2 (y) dy2 + ...+ ψk (y) dyk,

unde ψ ∈ Hek, x = (x1, ..., xk) ∈ [0, 1]k , y = (y1, ..., yk) ∈ [0, 1]k , 0 =

(0, ..., 0) ∈ [0, 1]k .

Observatia 3.2.3 D (f) este gradientul functiei f , ∇f .

Observatia 3.2.4 Deoarece ψ ∈ Hek pentru x = (x1, ..., xk) ∈ [0, 1]k, avem

I (ψ, x) =

x1∫0

ψ1 (t, 0, ...0) dt+

x2∫0

ψ2 (x1, t, 0, ...0) dt+ ...

+

xk∫0

ψk (x1, x2, ...xk−1, t) dt.

Lema 3.2.2 (G. Stan [98]) Fie n = (n1, n2, ..., nk) ∈ Nk. Atunci

i) (D I) (ψ, x) = ψ (x) , pentru orice ψ ∈ Hek, x = (x1, ..., xk) ∈ Rk.


ii) (I D) (f, x) = f (x) , pentru orice f ∈ C1(

[0, 1]k)

, astfel ıncat f(0)

=

0.

Teorema 3.2.3 (G. Stan [98]) Pentru orice n = (n1, n2, ..., nk) ∈ Nk ,x = (x1, ..., xk) ∈ Rk si ψ ∈ He

k avem urmatoarea relatie:

Kn (ψ, x) = (D Bn I) (ψ, x) . (3.31)

Corolarul 3.2.4 (G. Stan [98]) Daca ψ ∈ Hek, atunci Kn (ψ) ∈ He

k.


Teorema 3.2.5 (G. Stan [98]) Fie ψ ∈ Hek. Atunci

limn→∞

∥∥∥Kn (ψ)− ψ∥∥∥ = 0, (3.32)

unde prin simbolul n→∞ am notat faptul ca ni →∞,pentru orice i = 1, k.

Observatia 3.2.5 Daca notam I (ψ) = f atunci Teorema 3.2.5 afirma ınesenta ca derivatele partiale ale lui B(n1,n2,...,nk)(f) aproximeaza uniform functiaf .

3.2.3 Momentele operatorilor Kn,j

In acesta sectiune calculam momentele operatorilor Kn,j.Fie functia unitate e0 : Rk → R, e0 (x) = 1 si proiectiile Πq : Rk →

R, Πq (x) = xq, pentru q = 1, k si x = (x1, x2, ..., xk) ∈ Rk.

Lema 3.2.6 (G. Stan [98]) Pentru j, q, q1, q2 = 1, k si x = (x1, x2, ..., xk) ∈[0, 1]k avem:

i)

Kn,j (e0, x) = 1;

ii)

Kn,j (Πq, x) =

xq , q 6= jnj−1

njxj + 1

2nj, q = j

;


iii)

Kn,j

(Π2q, x)

=

(nq−1)

nqx2q + 1

nqxq , q 6= j

(nj−1)(nj−2)

n2j

x2j +

2(nj−1)

n2j

xj + 13n2

j, q = j

;

iv)

Kn,j (Πq1Πq2 , x) =

xq1xq2 , q1, q2 6= j si q1 6= q2

xq1

(nj−1

njxj + 1

2nj

), q2 = j si q1 6= j

;

v)

Kn,j

(Π3q, x)

=(nq − 1) (nq − 2)

n2q

x3q +

3 (nq − 1)

n2q

x2q +

1

n2q

xq, q 6= j;

Kn,j

(Π3j , x)

=(nj − 1) (nj − 2) (nj − 3)

n3j

x3j +

9 (nj − 1) (nj − 2)

2n3j

x2j

+7 (nj − 1)

2n3j

xj +1

4n3j

;

vi)

Kn,j

(Π4q, x)

=(nq − 1) (nq − 2) (nq − 3)

n3q

x4q +

6 (nq − 1) (nq − 2)

n3q

x3q

+7 (nq − 1)

n3q

x2q +

1

n3q

xq, q 6= j;

Kn,j

(Π4j , x)

=(nj − 1) (nj − 2) (nj − 3) (nj − 4)

n4j

x4j

+8 (nj − 1) (nj − 2) (nj − 3)

n4j

x3j

+15 (nj − 1) (nj − 2)

n4j

x2j +

6 (nj − 1)

n4j

xj +1

5n4j

.

Lema 3.2.7 (G. Stan [98]) Pentru j, q, q1, q2 = 1, k si x = (x1, x2, ..., xk) ∈[0, 1]k avem:


i)

Kn,j (Πq − xqe0, x) =

0, q 6= j1−2xj

2nj, q = j

;

ii)

Kn,j

((Πq − xqe0)2 , x

)=

xq(1−xq)

nq, q 6= j

nj−2

n2jxj (1− xj) + 1

3n2j, q = j

;

iii)

Kn,j ((Πq1 − xq1e0) (Πq2 − xq2e0) , x) = 0;

iv)

Kn,j

((Πq − xqe0)4 , x

)=

3 (nq − 2)

n3q

x2q (1− xq)2 +

1

n3q

xq (1− xq) , q 6= j;

Kn,j

((Πj − xje0)4 , x

)=

3n2j − 26nj + 24

n4j

x2j (1− xj)2

+5nj − 6

n4j

xj (1− xj) +1

5n4j

.

3.2.4 O teorema de tip Voronovskaja

Teorema 3.2.8 (G. Stan [98]) Fie ϕ : [0, 1]k → R o functie care admitederivate partiale de ordinul al doilea pe [0, 1]k iar acestea sunt continue ınpunctul fix x = (x1, x2, ..., xk) ∈ [0, 1]k si n1 = n2 = ... = nk = n. Atunciavem

limn→∞

n(Kn,j (ϕ, x)− ϕ (x)

)=

1− 2xj2

∂ϕ

∂xj(x) +

1

2

k∑q=1

xq (1− xq)∂2ϕ

∂x2q

(x) .

(3.33)

Observatia 3.2.6 Teorema 3.2.8 ramane adevarata si daca n = (n1, n2, ..., nk) ∈Nk satisface conditia

limni,nj→∞

ninj

= 1, for i, j = 1, k.

Capitolul 4

Combinatii Micchelli pentruoperatorii U

ρn

Rezultatele obtinute ın acest capitol se regasesc ın lucrarea [96].

Notam prin LB [0, 1] spatiul functiilor integrabile Lebesgue marginite pe[0, 1] si prin Πn spatiul polinoamelor de grad cel mult n ∈ N. Operatorii de tipBernstein-Durrmeyer cu parametru, Uρ

n : LB [0, 1]→ Πn pentru f ∈ LB [0, 1],ρ > 0 si n ≥ 1, sunt dati prin

Uρn (f, x) =

n∑k=0

F ρn,k (f) · pn,k (x) (4.1)

=n−1∑k=1

1∫0

f (t)µρn,k (t) dt

· pn,k (x) + f (0) (1− x)n + f (1)xn,

unde

pn,k (x) =

(n

k

)xk (1− x)n−k , x ∈ [0, 1] , 0 ≤ k ≤ n

µρn,k (x) =xkρ−1 (1− x)(n−k)ρ−1

B (kρ, (n− k) ρ), x ∈ [0, 1] , 1 ≤ k ≤ n− 1

si

B (x, y) =

1∫0

tx−1 (1− t)y−1 dt, x, y > 0.

39

Combinatii Micchelli pentru operatorii Uρn 40

Pentru f ∈ LB [0, 1] operatorii Uρn pot fi scrisi sub forma

Uρn (f, x) =

1∫0

Kρn (t, x) f (t) dt,

unde

Kρn (t, x) =

n−1∑k=1

pn,k (x)µρn,k (t) + (1− x)n δ (t) + xnδ (1− t) ,

este nucleul lui Uρn iar δ (t) este functia Dirac.

Operatorii Uρn au fost introdusi ın Paltanea [73] si investigati ın Gonska

si Paltanea [42] si ın alte lucrari.Pentru ρ = 1 acesti operatori coincid cu operatorii lui Goodman si Sharma

(vezi lucrarea [44]), numiti si ”adevaratii” (din engleza ”genuine”) operatoriDurrmeyer, iar prin trecere la limita ρ→∞ se obtin operatorii lui Bernstein.In plus operatorii Uρ

n invariaza polinoamele de gradul ıntai.Scopul acestui capitol este de a mari rata de convergenta pentru operatorii

Uρn. Pentru acest lucru aplicam tehnica combinarilor iterative data de Mic-

chelli [70] care a fost folosita pentru ımbunatatirea ordinului de aproximarea polinoamelor Bernstein.

Gupta si Vasishtha [46] si Finta, Govil, Gupta [32] au estimat recentunele rezultate directe pentru anumiti operatori de tip integral. In [46],autorii au aratat ca metoda combinatiilor iterative poate fi aplicata pentruacei operatori care reproduc functiile liniare.

4.1 Definirea combinatiilor iterative Uρn,k

In aceasta sectiune definim operatorii obtinuti prin combinari iterative siprezentam proprietati ale acestora.

Pentru r ∈ N∪0, momentul centrat de ordinul r al operatorilor Uρn este

definit astfelMρ

n,r (x) = Uρn ((e1 − xe0)r , x) .

In [42], este dat urmatorul rezultat:


Lema 4.1.1 Pentru x ∈ [0, 1] si n ∈ N avem

Mρn,0 (x) = 1, Mρ

n,1 (x) = 0

si, pentru r ≥ 1,

Mρn,r+1 (x) =

r (ρ+ 1)x (1− x)

nρ+ rMρ

n,r−1 (x)

+r (1− 2x)

nρ+ rMρ

n,r (x) +ρx (1− x)

nρ+ r

(Mρ

n,r (x))′. (4.2)

De aici obtinem

Mρn,2 (x) =

(ρ+ 1)x (1− x)

nρ+ r. (4.3)

Corolarul 4.1.2 i) Functia Mρn,r (x) este un polinom ın x de grad r, r ≥

2.

ii) Pentru orice x ∈ [0, 1] avem ca Mρn,r (x) = O

(n−[ r+1

2 ])

.

Definitia 4.1.1 (G. Stan [96]) Fie k ∈ N. Definim operatorii iterativiUρn,k : LB [0, 1] → Πn obtinuti prin combinari iterative ale operatorilor Uρ

n

prin

Uρn,k (f, x) =

(I − (I − Uρ

n)k)

(f, x)

=k∑p=1

(−1)p−1

(k

p

)Uρ,pn (f, x) , (4.4)

unde Uρ,1n := Uρ

n, Uρ,pn = Uρ

n (Uρ,p−1n ) pentru p ∈ N, p 6= 1 si I este operatorul

identitate.

Pentru operatorii iterativi Uρ,pn , momentul centrat de ordinul r este dat

prinMρ,p

n,r (x) = Uρ,pn ((e1 − xe0)r , x) .

Lema 4.1.3 (G. Stan [96]) Pentru p ∈ N, r ∈ N si x ∈ [0, 1] are locurmatoarea relatie de recurenta

Mρ,p+1n,r (x) =

r∑j=0

(r

j

) r−j∑i=0

1

i!Mρ

n,i+j (x)Di(Mρ,p

n,r−j (x)),

unde Dieste operatorul de derivare de ordinul i.


Lema 4.1.4 (G. Stan [96]) Pentru p ∈ N, r ∈ N0 si x ∈ [0, 1] avem

Mρ,pn,r (x) = O

(n−[ r+1

2 ]). (4.5)

Lema 4.1.5 (G. Stan [96]) Pentru k, l ∈ N avem

Uρn,k

((e1 − xe0)l , x

)= O

(n−k). (4.6)

4.2 Aproximare asimptotica

In aceasta sectiune voi stabili un rezultat asimptotic de tip Voronovskaja sivoi da gradul de aproximare pentru o anumita clasa de functii.

Teorema 4.2.1 (G. Stan [96], formula asimptotica de tip Voronovskaja)Fie f ∈ LB [0, 1] o functie care admite derivata de ordinul 2k ın punctulx ∈ [0, 1]. Atunci

limn→∞

nk[Uρn,k (f, x)− f (x)

]=

2k∑r=1

f (r) (x)

r!Q (r, k, x) (4.7)

silimn→∞

nk[Uρn,k+1 (f, x)− f (x)

]= 0, (4.8)

unde Q (r, k, x) sunt anumite polinoame ın x de grad r.Mai mult, daca f (2k) este continua pe [0, 1] atunci limitele din (4.7) si

(4.8) sunt uniforme pe [0, 1].

In continuare dam o estimare a gradului de aproximare a unei functii cuo anumita netezime.

Teorema 4.2.2 (G. Stan [96]) Fie 1 ≤ p ≤ 2k un numar intreg si f (p) ∈C [0, 1]. Atunci pentru un n suficient de mare avem∥∥Uρ

n,k (f, x)− f (x)∥∥ ≤ max

C1 · n−

p2ω(f (p), n−

12

), C2 · n−k

, (4.9)

unde C1 = C1 (k, p) si C2 = C2 (f, k, p).

Capitolul 5

Transformarea modulului deordinul al doilea prin operatoriliniari si pozitivi

Problema pastrarii netezimii globale consta ın invarianta claselor Lipschitzprin operatori liniari si pozitivi. Mentionam un prim rezultat obtinut de T.Lindvall ın lucrarea [62]:

Bn(Lip1(α,M)) ⊂ Lip1(α,M), n ∈ N, 0 < α ≤ 1, M > 0, (5.1)

unde Bn sunt operatorii Bernstein clasici, dati ın relatiile (2.2) si (2.3) .Pe de alta parte, D. X. Zhou [112] a obtinut faptul ca operatorii Bernstein

nu conserva clasa Lipschitz de ordinul doi Lip2(α,M), unde M > 0 si 0 <α ≤ 2.

In legatura cu problema conservarii netezimii globale este si problematransformarii modulului de continuitate de ordinul doi prin operatori liniarisi pozitivi L definiti pe I ın forma urmatoare:

ω2(L(f), ρ) ≤ c · ω2(f, ρ), f ∈ C(I), ρ > 0, (5.2)

unde c > 0 este o constanta independenta ın raport cu f si ρ. Aceastaproblema are sens doar pentru operatorii L care conserva functiile liniare.In aceasta directie un prim rezultat a fost obtinut de catre C. Cottin si H.Gonska [19], care a demonstrat ca pentru c = 4.5 avem

ω2(Bn(f), ρ) ≤ c · ω2(f, ρ), f ∈ C[0, 1], ρ > 0, n ∈ N. (5.3)

43

Transformarea modulului de ordinul al doilea 44

Mai tarziu J. Adell si A. Perez-Palomares [2] au ımbunatatit acest rezultataratand ca se poate ınlocui constanta c din fata lui ω2(f, ρ) prin c = 4. Inarticolul [78] Paltanea a demonstrat urmatoarea dubla inegalitate

2 ≤ supn∈N

supf ∈ C[0, 1] \ Π1

supρ∈(0, 1

2]

ω2(Bn(f), ρ)

ω2(f, ρ)≤ 3. (5.4)

Pentru un studiu amanuntit al problemei pastrarii netezimii globale sepoate studia monografia [5].

Scopul acestui capitol este de a obtine rezultate pentru o clasa mai largade operatori, folosind unele idei date ın [78]. Apoi dam aplicatii pentruanumiti operatori.

Rezultatul din acest capitol se regaseste ın lucrarea [79].

5.1 O teorema generala privind transformarea

modulului de ordinul doi

Mai ıntai introducem urmatoarele notatii:Pentru A,B ⊂ R scriem A < B daca avem a < b, pentru orice a ∈ A si

b ∈ B.Fie I un interval real. Fie 0 < ρ 1

2l(I). Notam

Γ :=(x, h) ∈ I× (0,∞) : x± h ∈ IΓρ :=(x, h) ∈ Γ, h ≤ ρ.

In continuare introducem o clasa de operatori liniari si pozitivi. Pentruaceasta consideram o multime finita sau numarabila Λ. Fie o multime denoduri (tl)l∈Λ, tl ∈ I, l ∈ Λ. Fie (ql)l∈Λ o multime de functii continue sipozitive pe intervalul I care satisfac conditiile urmatoare∑

l∈Λ

ql(x) = 1 si∑l∈Λ

tlql(x) = x, pentru x ∈ I. (5.5)

Definim un operator liniar si pozitiv L : V → C(R), dat prin

L(f)(x) :=∑l∈Λ

ql(x)f(tl), f ∈ V, x ∈ I, (5.6)

unde V ⊂ C(I) este subspatiul liniar pe care operatorul L exista ( seriaanterioara este convergenta). Presupunem ca e2 ∈ V .


Lema 5.1.1 (R. Paltanea, G. Stan [79]) Fie operatorul L definit ınrelatia (5.6). Pentru (x, h) ∈ Γ si pentru orice l ∈ Λ notam cl := cl(x, h) :=ql(x+ h)− 2ql(x) + ql(x− h).

Presupunem ca multimea Λ se poate scrie ca o reuniune de forma Λ =I ∪ J ∪K, cu I < J < K, astfel ıncat

ci ≥ 0, (i ∈ I), cj < 0, (j ∈ J), ck ≥ 0, (k ∈ K). (5.7)

Atunci exista functionalele liniare si pozitive Gj : V → R, j ∈ J , care auurmatoarele proprietati:

∆2hL(f)(x) =

∑j∈J

(−cj) [Gj(f)− f(tj)] , f ∈ V. (5.8)

Gj(e0) = 1, si Gj(e1) = tj, pentru orice j ∈ J. (5.9)

Rezultatul principal al acestui capitol este teorema urmatoare:

Teorema 5.1.2 (R. Paltanea, G. Stan [79]) Fie L un operator liniar sipozitiv definit ca ın relatia (5.6) care satisface conditiile (5.5). Presupunemca pentru orice pereche (x, h) ∈ Γ, daca notam cl := cl(x, h) := ql(x + h) −2ql(x) + ql(x− h), l ∈ Λ, atunci exista multimile I, J,K, care depind de x sih, astfel ıncat sa avem Λ = I ∪ J ∪K, I < J < K si verifica relatiile (5.7).Presupunem ın plus ca exista o constanta b > 0, astfel ıncat sa avem

|∆2hL(e2)(x)|

2h2≤ b, pentru orice (x, h) ∈ Γ. (5.10)

Atunci, pentru orice functie f ∈ V si pentru orice ρ, 0 < ρ 12l(I) astfel

ıncat ω2(f, ρ) <∞, avem

ω2(L(f), ρ) ≤ (2 + b)ω2(f, ρ). (5.11)

Mai mult, daca avem

limh→0+

∑l∈Λ

|∆2hql(x)| = 0, uniform ın raport cu x ∈ Int(I) (5.12)

si f nu este functie liniara, atunci

lim supρ→0+

ω2(L(f), ρ)

ω2(f, ρ)≤ b. (5.13)


5.2 Aplicatii

1. Operatorii Mirakjan-Favard-SzaszOperatorii Mirakjan-Favard-Szasz sunt dati prin

Sn (f) (x) =∞∑k=0

sn,k (x) f

(k

n

), n ∈ N, x ∈ [0,∞) , (5.14)

unde

sn,k (x) = e−nx(nx)k

k!

si f : [0,∞)→ R este o functie astfel ıncat seria din (5.14) este convergenta.Acesti operatori au fost introdusi de G.M. Mirakjan [71] si studiati inten-

siv de J.Favard [31] si O. Szasz [101].Operatorii Sn conserva functiile liniare. Aratam ca operatorii Sn satisfac

conditiile (5.7) pentru orice x ∈ (0,∞), h > 0, astfel ıncat x− h ≥ 0, pentruanumite multimi I < J < K.

Pentru p ∈ [0, 1] si q ∈ [0,∞) , consideram functia

ψ (t) := e−q (1 + p)t + eq (1− p)t − 2, t ∈ [0,∞) .

Urmatoarele proprietati sunt imediate: ψ (0) > 0 si limt→∞

ψ (t) > 0. Deoarece

ψ′′ (t) = e−q (1 + p)t ln2 (1 + p) + eq (1− p)t ln2 (1− p) > 0

obtinem ca ψ′ este crescatoare pe [0,∞). Daca consideram p := hx

si q := nhavem

cl =nl

l!e−nx (x)l ψ (l) .

Atunci c0 > 0 si liml→∞

cl > 0. Urmeaza ca exista l, 0 < l < ∞ astfel ıncat

cl < 0. De aici exista t0 ∈ (0,∞) astfel ıncat ψ′ (t) ≤ 0, t ∈ [0, t0] si ψ′ (t) ≥ 0,t ∈ [t0,∞) . Din acestea urmeaza ca exista descompunerea N∪0 = I∪J∪Kastfel ıncat I < J < K si are loc (5.7).

Apoi folosind binecunoscuta relatie Sn (e2) (x) = x2 + xn

obtinem∆2hSn(e2)(x) = 2h2, pentru orice n ∈ N si 0 < h ≤ x.


Mai mult, fie x > 0 si h > 0 astfel ıncat x−h ≥ 0. Pentru orice k ∈ N∪0avem (sn,k)

′ = n(sn,k−1 − sn,k). De aici obtinem

∞∑k=0

|sn,k(x+ h)− sn,k(x)| ≤∞∑k=0

∫ x+h

x

|(sn,k)′(t)|dt

=∞∑k=0

∫ x+h

x

|n(sn,k−1 − sn,k)|dt

≤∞∑k=0

∫ x+h

x

nsn,k(t)dt+∞∑k=1

∫ x+h

x

nsn,k−1(t)dt

=

∫ x+h

x

∞∑k=0

nsn,k(t)dt+

∫ x+h

x

∞∑k=1

nsn,k−1(t)dt

= 2nh.

Intr-un mod asemanator obtinem∑∞

k=0 |sn,k(x− h)− sn,k(x)| ≤ 2nh.De aici obtinem

∑∞k=0 |∆2

hsn,k(x)| ≤ 4nh, si astfel se verifica conditia din

(5.12). In consecinta, din Teorema 5.1.2 obtinem urmatoarea teorema:

Teorema 5.2.1 (R. Paltanea, G. Stan [79]) Fie f : [0,∞) → R ofunctie care apartine domeniului pe care sunt definiti operatorii Sn, n ∈ N sifie ρ > 0, astfel ıncat ω2(f, ρ) <∞. Atunci avem

ω2(Sn(f), ρ) ≤ 3ω2(f, ρ). (5.15)

De asemenea, daca f nu este o functie liniara, avem

lim supρ→0+

ω2(Sn(f), ρ)

ω2(f, ρ)≤ 1. (5.16)

Aceeasi metoda poate fi aplicata si altor operatori Mirakjan-Favard-Szaszmodificati care conserva functiile liniare, precum operatorii definiti ın [83] si[77].

2. Operatorii BaskakovConsideram acum operatorii Baskakov care sunt definiti ın relatiile (2.17)

si (2.18).


Operatorii Baskakov Vn conserva functiile liniare. Ramane sa aratam caau loc conditiile (5.7) pentru anumite multimi I < J < K, cand x − h ∈[0,∞), h > 0.

Pentru p, q ∈ (0, 1) p > q si n ∈ N consideram functia

ψ (t) :=

(1 + p

1 + q

)t(1 + q)−n +

(1− p1− q

)t(1− q)−n − 2, t ∈ [0,∞) .

Urmatoarele proprietati sunt imediate: ψ (0) = (1 + q)−n + (1− q)−n −2 > 2

√(1− q2)−n− 2 > 0 si lim

t→∞ψ (t) > 0 (deoarece 1+p

1+q> 1 si 1−p

1−q ∈ (0, 1)).

Deoarece

ψ′′ (t) =

(1 + p

1 + q

)t(1 + q)−n ln2

(1 + p

1 + q

)+

(1− p1− q

)t(1− q)−n ln2

(1 + p

1 + q

)> 0

obtinem ca ψ′ este crescatoare pe [0,∞). Daca consideram p := hx

si q := h1+x

avem

cl =

(n+ l − 1

l

)(x)l (1 + x)−n−l ψ (l) .

Atunci c0 > 0 si liml→∞

cl > 0. Urmeaza ca exista l, 0 < l < ∞ astfel

ıncat cl < 0. De aici exista t0 ∈ (0,∞) astfel ıncat ψ′ (t) ≤ 0, t ∈ [0, t0] siψ′ (t) ≥ 0, t ∈ [t0,∞) .De aici urmeaza ca avem urmatoarea descompunere amultimii N ∪ 0 = I ∪ J ∪ K astfel ıncat I < J < K si relatiile din (5.7)sunt adevarate.

Este binecunoscuta relatia Vn (e2) (x) = x2+x(1+x)n

. Atunci ∆2hVn(e2)(x) =

2h2 n+1n

, pentru orice n ∈ N si 0 < h ≤ x.Pe de alta parte avem (vn,k)

′ = n(vn+1,k−1 − vn+1,k). Folosind aceeasimetoda ca ın cazul operatorilor Mirakjan-Favard-Szasz obtinem

∞∑k=0

|∆2hvn,k(x)| ≤ 4nh

si conditia (5.12) este satisfacuta.Apoi, din Teorema 5.1.2, deducem:


Teorema 5.2.2 (R. Paltanea, G. Stan [79]) Fie f : [0,∞) → R ofunctie care apartine domeniului pe care sunt definiti operatorii Vn, n ∈ N sifie ρ > 0, astfel ıncat ω2(f, ρ) <∞. Atunci avem

ω2(Vn(f), ρ) ≤ 3n+ 1

nω2(f, ρ). (5.17)

De asemenea, daca f nu este o functie liniara, avem

lim supρ→0+

ω2(Vn(f), ρ)

ω2(f, ρ)≤ n+ 1

n. (5.18)

Bibliografie

[1] J.A. Adell, J. de la Cal, Bernstein-Durrmeyer operators, Comput. Math.Appl. 30 (1995), 1-14.

[2] J. Adell and A. Perez-Palomares, Global smothness preservation for theBernstein polynomials, In: Approximation and optimization (Proc. Int.Conf. Approximation and Optimization, Cluj-Napoca 1996, ed. by D.D.Stancu et al.), vol I, Cluj-Napoca: Transilvania Press,(1997).

[3] O. Agratini, Aproximare prin operatori liniari, Presa Universitara Clu-jeana, Cluj Napoca (2000).

[4] F. Altomare, M. Campiti, Korovkin-Type Approximation Theory andIts Applications, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17, Walterde Gruyter and Co., Berlin.

[5] G.A. Anastassiou, S.G. Gal, Aproximation theory. Moduli of continuityand global smoothness preservation, Birkhauser (2000).

[6] G.A. Anastassiou, S.G. Gal, Approximation by complex Bernstein–Schurer and Kantorovich–Schurer polynomials in compact disks, Com-puters & Mathematics with Applications, 58 no. 4 (2009), 734-743.

[7] C. Bardaro, I. Mantellini, On convergence properties for a class of Kan-torovich discrete operators, Numer. Funct. Anal. Optimiz., 33 (4) (2012),374-396.

[8] C. Bardaro, I. Mantellini, On linear combinations of multivariate gen-eralized sampling type series, Mediterr. J. Math., 10 (2013), 1833-1852.

[9] V.A. Baskakov, An example of a sequence of linear positive operators inthe space of continuous functions, Dokl. Acad. Nauk. SSSR, 113 (1957),249-251.

50

BIBLIOGRAFIE 51

[10] D. Barbosu, Kantorovich-Stancu type operators, J. Inequal. Pure Appl.Math. 5 (2004) No. 3, article 53.

[11] C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of operators, Academic Press,Inc., New York, 1998.

[12] J. Bergh, J. Lofstrom, Interpolation Spaces, Springer Verlag (1976).

[13] H. Bohman, On approximation of continuous and analytic functions,Ark. Math., 2 (1952), 43-56.

[14] H. Brezis, Analiza functionala, Editura Academiei Romane, Bucuresti(2002), Traducere din franceza, (Analyse fonctionnelle. Theorie et ap-plications 1983, Dunod, Paris).

[15] Yu.A. Brudnyı, Generalization of a theorem of A.F. Timan (in Russian),Dokl. Akad. Nauk SSSR, 148 (1963), 1237-1240.

[16] P.L. Butzer, H. Berens, Semi-groups of operators and approximation, DieGrundlehren der mathematischen Wissenschaften 145, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York, 1967.

[17] A. Ciupa, A Voronovskaja type theorem for a positive linear operator,International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol2006, Article ID 42368, 7 pages.

[18] D. Costarelli, G. Vinti, Approximation by multivariate generalized sam-pling Kantorovich operators in the setting of Orlicz Spaces, Boll. UnioneMat. Ital., special volume dedicated to Prof. Giovanni Prodi, 9, IV(2011), 445-468.

[19] C. Cottin and H. H. Gonska, Simultaneous approximation and globalsmoothness preservation, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. Vol. 33,(1993), 259-279.

[20] J. De La Cal, Ana M. Valle, A generalization of the Bernstein-Kantorovich operators, Journal of Mathematical Analysis 252 (2000),750-766.

[21] B. Della Vecchia, On the monotonicity of the derivates of the sequencesof Favard and Baskakov operators, Ricerche di Matematica, 36 (1987),263-269.

BIBLIOGRAFIE 52

[22] R.A. DeVore, Degree of approximation, in Approximation Theory II,Academic Press, New York (1976) 117-162.

[23] R.A. DeVore, Pointwise approximation by polynomials and spline, inThe Theory of Approximation of Functions, Proc. Int. Conf. Kaluga1975, Moskow: Nauka, 132-144.

[24] R.A. DeVore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer-Verlag-Berlin, (1993).

[25] M.M. Derriennic, Sur l’approximation des fonctions integrables sur [0, 1]par des polynomes de Bernstein modifies, J. Approx. Theory 31 (1981),325-343.

[26] Z. Ditzian, V. Totik, Moduli of smoothness, Springer, New Zork (1987).

[27] Z. Ditzian, X. Zhou, Kantorovich-Bernstein Polynomials, Constr. Ap-prox. 6 (1990), 421-435.

[28] J. L. Durrmeyer, Une Formule d’inversion de la transformee deLaplace: Application a la theorie des moments, Faculte des Sciencesde l’Universite de Paris (1967).

[29] V.K. Dzjadyk, A further strengthening of Jackson’s theorem on the ap-proximation of continuous functions by ordinary polynomials (in Rus-sian), Dokl. Akad. Nauk SSSR, 121 (1958), 403-406.

[30] V.K. Dzjadyk, Introduction to the theory of uniform approximation offunctions by polynomials (in Russian), Moscow: Izdatel’stvo Nauka(1977).

[31] J. Favard, Sur les multiplicateurs d’interpolation, J. Math. Pures Appl.,23 (9), (1944), 219-247.

[32] Z. Finta, N.K. Govil, V. Gupta, Some results on modified Szasz-Mirakjanoperators, J. Math. Anal. Appl. 327 (2007) 1284-1296.

[33] E. Fischer, Sur la convergence en moyenne, Comptes rendus del’Academie des sciences, 144 (1907), 1022–1024.

[34] M. Floater, On the convergence of derivatives of Bernstein approxima-tion, J. Approx. Theory, 134 (2005), 130-135.

BIBLIOGRAFIE 53

[35] G. Freud, Uber die Approximation reeller stetiger funktionen durchgewohnliche polynome, Math. Ann. 137 (1959), 17-25.

[36] H. Gonska, On approximation by linear operators: Improved estimats,L’Analyse Numer. Th. Approx., 14 (1985), 7-32.

[37] H.H. Gonska, M. Heilmann, I. Rasa, Kantorovich operators of order k,Numerical Functional Analysis and Optimization 32 (2011), 717-738.

[38] H.H. Gonska, E. Hinnemann, Punktweise abschatzungen zur approxima-tion durch algebraische polynome, Acta Math. Hung., 46 (1985), 243-254.

[39] H.H. Gonska, R.K. Kovacheva, The second order modulus revisited: re-mark, applications, problems, Conf. Sem. Mat. Univ. Bari, 257 (1994),1-32.

[40] H.H. Gonska, D. Leviatan, I.A. Shevchuk, H.J. Wenz, Interpolatorypointwise estimates for polynomials approximation, Constr. Approx.,16 (2000), 603-629.

[41] H.H. Gonska, R. Paltanea, General Voronovskaya and asymptotic theo-rems in simultaneous approximation, Mediterr. J. Math., 7 (2010), 37-49.

[42] H.H. Gonska, R. Paltanea, Simultaneous Approximation by a class ofBernstein-Durmezer operators preserving linear functions, CzechoslovakMath. Journal 60 (2010) 783-799.

[43] H.H. Gonska, I. Rasa, Asymptotic behaviour of differentiated Bernsteinpolynomials, Mat. Vesnik 61 (2009), 53-60.

[44] T.N.T. Goodman, A. Sharma, A modified Bernstein-Schoenberg oper-ator, Proc. Conf. Constructive Theory of Functions, Varna 1987 (Bl.Sendov et al., eds.), Publ. House Bulg. Acad. Sci., Sofia, 1988, 166-173.

[45] I. Gopengauz, A theorem of A.F. Timan on the approximation of func-tions by polynomials on a finite segment, Math. Notes, 1 (1967), 110-116.

[46] M.K. Gupta, V. Vasishtha, The iterative combinations of a new sequenceof linear positive operators, Math. Comput. Modelling 39 (2004) 521-527.

BIBLIOGRAFIE 54

[47] M. Haase, Convexity Inequalities for Positive Operators, Positivity, 11(2007), 57-68.

[48] M. Heilmann, M. W. Muller, Direct and converse results on simultane-ous approximation by the method of Bernstein-Durrmeyer operators, in:Algorithms for Approximation II, Proc.2nd Int. Conf., Shrivenhan/UK(1990), 107-116.

[49] M. Heilmann, I. Rasa, K-th order Kantorovich type modification of theoperators U ρ

n , J. Applied Functional Analysis 9 (2014) No. 3-4, 320-334.

[50] T.H. Hildebrandt, I.J. Schoenberg, On linear functional operations andmoment problem, Ann of Math (2), 34 (1933), 317-328.

[51] A. Holhos, Uniform weighted approximation by positive linear operators,Stud. Univ. Babes-Bolyai Math. 56 (3) (2011), 135-146 .

[52] D. Jackson, On the approximation by trigonometric sums and polyno-mials, TAMS, 13 (1921), 491-515.

[53] D. Jackson, The Theory of approximation, Amer. Math. Soc. ColloquiumPublications, XI New York (1930).

[54] H. Johnen, Inequalities connected with moduli of smothness, IEEE Mat.Vesnik, 3 (1972), 389-403.

[55] H. Johnen, K. Scherer, On the equivalence of the K-functional and mod-uli of continuity and some applications, Constructive Theory of Func-tions of Several Variables, 571 (1977), Spinger, Berlin, 119-140.

[56] D. Kacso, Quantitative statements for the Bernstein-Durrmeyer oper-ators with Jacobi-weights, Mathematical Analysis and ApproximationTheory (2002), Burg Verlag, 135-144.

[57] L. V. Kantorovich, Sur certains developpements suivant les polynomesde la forme de S. Bernstein, I, II, C. R. Acad. URSS (1930), 563-568,595-600.

[58] H.B. Knoop, P. Pottinger, Ein satz vom Korovkin-typ fur Ck-raume,Math. Z. 148 (1976), 23-32.

BIBLIOGRAFIE 55

[59] P. P. Korovkin, Asupra convergentei operatorilor liniari si pozitivi pespatiul functiilor vontinue (rusa) Dokl. Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 90,(1953), 961-964.

[60] P. P. Korovkin, Operatori liniari si pozitivi (rusa), Fizmat., Moscova(1959).

[61] C. Li, N. Shi, X. Huo, Some approximate properties for a kind of general-ized Bernstein-Kantorovich operators, (Chinese), J. Fujian Norm. Univ.Nat. Sci. 24 (1008), no. 4, 1-4.

[62] T. Lindvall, Bernstein polynomials and the law of large numbers, Math.Scientist, Vol. 7, (1982), 127-139.

[63] A. J. Lopez-Moreno, J. Martinez-Moreno, F. J. Munoz-Delgado, Asymp-totic expression of derivatives of Bernstein type operators, Rend. Circ.Mat. Palermo, Ser II, 68 (2002), 615-624.

[64] G.G. Lorentz, Approximation of functions, Holt, Rinehart and Winston(1966).

[65] G.G. Lorentz, Bernstein polynomials, Chelsea Publishing Company,New York, 2nd edition, 1986.

[66] A. Lupas, Die Folge der Betaoperatoren, Dissertation UniversitatStuttgart (1972).

[67] N. I. Mahmudov, On q-Parametric Szasz-Mirakjan Operators, Mediter-ranean Journal Mathematics 7(2010), 297-311.

[68] R.G. Mamedov, On the asymtotic value of the approximation of repeat-edly differentiable functions by linear positive operators (in Russian),Doklady SSSR, 146 (1962), 1013-1016.

[69] G. Mastroianni,Su una classe di operatori lineari e pozitivi, Rend. Accad.Scien., Fis. Mat., Napoli, Serie IV, 48 (1980), Anno CXX, 217-235.

[70] C.A. Micchelli, The saturation class and iterates of the Bernstein poly-nomials, J. Approximation Theory 8 (1973), 1-18.

[71] G.M. Mirakjan, Approximation if continuous functions with the aid ofpolynomials (Russian), Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 31, (1941), 201-205.

BIBLIOGRAFIE 56

[72] B. Mond, Note: On the degree of approximation by linear positive oper-ators, J. Approx. Theory, 18 (1976), 304-306.

[73] R. Paltanea: A class of Durrmeyer type operators preserving linear func-tions, Annals of the Tiberiu Popoviciu Seminar on Functional Equations,Approximation and Convexity (Cluj-Napoca), 5 (2007), 109–118.

[74] R. Paltanea, Approximation theory using positive linear operators,Birkhauser (2004).

[75] R. Paltanea, Best constant in estimates with second order moduli ofcontinuity, In: Approximation Theory, (Proc. Int. Dortmund Meetingon Approximation Theory 1995, ed. by M.W. Muller, M. Felten, D.H.Mache), Berlin: Akad Verlag (1995), 251-275.

[76] R. Paltanea, Estimates for general positive linear operators on non-compact interval using weighted moduli of continuity, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math., 56 (3) (2011), 497-504.

[77] R. Paltanea, Modified Szasz-Mirakjan operators of integral form,Carpathian Journal of Mathematics, Vol. 24 (3), (2008), 378-385.

[78] R. Paltanea, On the transformation of the second order modulus byBernstein operators, L’Analyse Num er. et la Th. de l’Approx., Vol. 27(2), (1998), 309-313.

[79] R. Paltanea, G. Stan, Transformation of the second order modulus bypositive linear operators, An. St. Univ. Ovidius Constanta, vol 23 (1)(2015), 237-246.

[80] R. Paltanea, G. Stan, Voronovskaja theorem for simultaneous approxi-mation by Bernstein operators on a simplex, Mediterr. J. Math., aparutaonline DOI 10.1007/s00009-014-0448-4, Springer Basel 2014.

[81] J. Peetre, A theory of interpolation of normed spaces, Notas de Matem-atica, Rio de Janeiro, 39 (1963), 1-86.

[82] J. Peetre, On the connection between the theory of interpolation spacesand approximation theory, Proc. Conf. Const. Theory of Functions, Bu-dapest, Eds. G. Alexits and S.B. Stechkin, akademiai Kiado, Budapest1969, 351-363.

BIBLIOGRAFIE 57

[83] R. S. Phillips, An inversion formula for Laplace transforms and semi-groups of operators, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 59,(1954), 325-356.

[84] T. Popoviciu, Asupra demonstratiei lui Weierstrass cu ajutorul poli-noamelor de interpolare, Lucrarile Ses. Gen. Stiint. a Acad. Romanedin 3 iunie 1950, (1950), 1-4.

[85] T. Popoviciu, Les fonctions convexes, Herman & Cie, Paris (1945)

[86] T. Popoviciu, Sur l’approximation des functions convexes d’ordresuperieur, Mathematica (Cluj), 10 (1935), 49-54.

[87] F. Riesz, Sur les systemes orthogonaux de fonctions, Comptes rendus del’Academie des sciences 144 (1907), 615–619.

[88] A. Sahai, G. Prasad, On simultaneous approximation by modified Lupasoperators, J. Approx. Theory, 45 (1985), 122-128.

[89] R. Schnabl , Eine Verallgemeinerung der Bernstein polynome, Math.Ann., 179:74-82, 1968.

[90] L.L. Schumaker, Spline functions: basic theory, 3rd edition, 2007.

[91] F. Schurer, Linear positive operators in approximation theory, Math.Inst. Techn. Univ. Delft. Report. (1962).

[92] B. Sendov, V. Popov, Convergenta derivatelor operatorilor liniari si poz-itivi (rusa), C.R. Acad. Bulgare Sci,. 22 (1969), 507-509.

[93] O. Shisha, B. Mond, The degree of convergence of linear positive opera-tors, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 60 (1968), 1196-1200.

[94] P.C. Sikkema, Der wert einiger constanten in der Theorie der Approxi-matoin mit Bernstein-Polynomen, Numer. Math., 3 (1961), 107-116.

[95] G. Stan, On the Durrmeyer-Kantorovich type operator, Bulletin of theTransilvania University of Brasov, Vol 6 (55) (2013) no.2, 33-42.

[96] G. Stan, The iterative combinations of Bernstein-Durrmeyer type oper-ators Uρ

n , Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Vol 7 (56)(2014) no.1, 73-80.

BIBLIOGRAFIE 58

[97] G. Stan, Uniform approximation of functions by Baskakov-Kantorovichoperators, prezentat la conferinta internationala Roger 2014, GeneralMathematics 22 (1) (2014), 99-107.

[98] G. Stan, Bernstein-Kantorovich operators on multidimensional cube,trimisa spre publicare la Filomat.

[99] D.D. Stancu, G. Coman, O. Agratini, R. Trımbitas, Analiza numericasi teoria aproximarii, vol. I, Presa Universitara Clujeana, Cluj Napoca(2001).

[100] S. Sucu, E. Ibikli, Approximation by means of Kantorovich-Stancu typeoperators, Numerical Functional Analysis and Optimization , 34 (5)(2013), 557-575.

[101] O. Szasz, Generalization of S. Bernstein’s polynomials to the infiniteinterval, J. Research, National Bureau of Standards 45 (1950), 239-245.

[102] G. Tachev, Voronovskaja’s theorem revisited, J. Math. Anal. Appl., 343no. 1 (2008), 399-404.

[103] S. Telyakovski, Two theorems on the approximation of functions byalgebraic polynomials, Mat. Sb., 70 (112) (1966), 252-265.

[104] A.F. Timan, A strengthening of Jackson’s theorem on the best approxi-mation of continuous functions by polynomials on a finite interval of thereal axis, Dokl., 78 (1951), 17-20.

[105] R. Trigub, Approximation of functions by polynomials with integral co-efficients (in Russian), Izv. Akad. Nauk. SSSR, Ser. Mat., 26 (1962),261-280.

[106] V. Totik, Approximation in L1 by Kantorovich polynomials, Acta Sci.Math. 46, Szeged (1983), 211-222.

[107] V. Totik, Problems and solutions concerning Kantorovich operators, J.Approx. Theory 37 (1983), 51-68.

[108] V. Totik, Uniform approximation by Szasz-Mirakjan type operators,Acta Math. Hungar., 41 (1983), No. 3-4, 291-307.

BIBLIOGRAFIE 59

[109] G. Vinti, L. Zampogni, Approximation by means of nonlinear Kan-torovich sampling type operators in Orlicz spaces, J. Approx. Theory161 (2009), 511-528.

[110] E. Voronovskaja, Determination de la forme asyptotique del’approximation des fonctions par les polynomes de M. Bernstein (inRussian), C. R. Acad. Sc. URSS (1932), 79-85.

[111] W. Zenke, Junfang, A generalization of the Bernstein operators, (Chi-nese), J. Baoji Coll. Arts Nat. Sci. 20 (2000) no.4, 248-250.

[112] D. X. Zhou, On a problem of Gonska, Results Math., Vol. 28 (1-2),(1995), 169-183.

60

REZUMAT

Lucrarea de fata abordeaza unele probleme actuale ın teoria aproximariiprin operatori liniari si pozitivi.

Sunt construiti si studiati operatori de tip Kantorovich de ordin superiorunidimensionali, pe intervale compacte si necompacte, cat si pentru primadata, multidimensionali, pe cuburi si simplexuri multidimensionali. Pentruacestia se studiaza proprietati de convergenta, teoreme de tip Voronovskajasi estimari cu moduli de continuitate. Drept aplicatii se obtin rezultate priv-itoare la aproximarea simultana. O alta directie o constituie considerareacombinatiilor Micchelli aplicate unor siruri de operatori in scopul cresteriigradului de aproximare. In sfarsit, lucrarea mai cuprinde si rezultate privindpastrarea netezimii globale, data prin transformarea modulului de netezimede ordinul doi, atat pe cazul unei clase largi de operatori liniari si pozitivicat si al unor operatori particulari.

ABSTRACT

This paper is concerning with some actual problems in Approxima-tion Theory using positive linear operators.

There are constructed and studied certain Kantorovich-type opera-tors of higher order, both in the unidimensional case, on compact and non-compact intervals and, for the first time, in the multidimensional case, onmultidimensional cubes and simplexes. The convergence properties, Voronovs-kaya-type theorems and estimates with moduli of continuity are studied forthese operators. As applications, there are obtained results in simultaneousapproximation. Another direction is to consider Micchelli-type combinationsapplied to certain sequences of operators in order to increase the degree ofapproximation.The last part of the paper also contains results concerning theglobal smoothness preservation given by the transformation of second ordersmoothness modulus for a large class of linear positive operators and also forcertain specific operators.

61

CURRICULUM VITAE

1. Nume si prenume: STAN Ion Gabriel

2. Data si locul nasterii: 29 septembrie 1975, Campulung, Arges

3. Stare civila: casatorit, cu 2 copii

4. Studii:

• Licenta: 1994 - 1998, Universitatea ”Transilvania” Brasov, Facul-tatea de Stiinte, Matematica

• Masterat: 1998 - 2000, Universitatea ”Transilvania” Brasov, Fa-cultatea de Stiinte, Probabilitati, statistica si fiabilitatea sistemelor

• Doctorand: 2010 -prezent, Universitatea ”Transilvania” Brasov,Facultatea de Matematica si Informatica, Prof. dr. Paltanea Radu

5. Activitate profesionala:

- Sc. gen. nr. 6, Brasov - profesor, 1998 - 2001

- Liceul Rulmentul, Brasov - profesor, 1998 - 2001

- Universitatea ”Transilvania” Brasov, Facultatea de Matematica siInformatica

• preparator universitar, 2000 - 2002

• asistent universitar, 2002 - 2008

• lector universitar, 2008 - prezent

6. Activitate stiintifica:

- articole:

• M. Marin, G. Stan, A study of dislocation in thermoelasticityof dipolar bodies with voids, Appl. Math. And Mech., Vol. 9(2), 2004, 52-61

• M. Marin, G. Stan, Tension of a conic bar, Nonlinear Studies,Vol. 14 (3), 2007, 83-92

• G. Stan, The Topologic Study of the Geometric Trajectories inthe Mathematical Billiards, journal of Sciences and Arts, ISSN1584-5567, vol. 18 (1), 113-118

62

• G. Stan, Extension of Van der Corput’s Inequality, Buletin ofthe Transilvania University of Brasov, Vol 3 (52) 2010,seriesIII, Mathematics, Informatics, Physics, 133-142.

• M. Marin, G. Stan, V. Monescu, On Decay of Dilatational Ac-celeration Waves in porous Thermoelastic Materials, COMEC2009, 29-30 octombrie 2009, Brasov, 922-926

• M. Marin, G. Stan, V. Monescu, Harmonic Vibrations in Ther-moelasticity of Microstrech Materials, COMEC 2009, 29-30 oc-tombrie 2009, Brasov, 912-921

• G. Stan, On the Durrmeyer-Kantorovich type operator, Bul-letin of the Transilvania University of Brasov, Vol 6 (55) (2013)no.2, 33-42

• G. Stan, The iterative combinations of Bernstein-Durrmeyertype operators Uρn , Bulletin of the Transilvania University ofBrasov, Vol 7 (56) 2014 no.1, 73-80

• G. Stan, Uniform approximation of functions by Baskakov-Kantorovich operators, General Mathematics 22 (1) 2014, 99-107

• R. Paltanea, G. Stan, Voronovskaja theorem for simultaneousapproximation by Bernstein operators on a simplex, Mediterr.J. Math., aparuta online DOI 10.1007/s00009-014-0448-4, Sprin-ger Basel 2014 (ISI)

• R. Paltanea, G. Stan, Transformation of the second ordermodulus by positive linear operators, An. St. Univ. OvidiusConstanta, vol 23 (1) 2015, 237-246 (ISI)

• M. Marin, G. Stan, Weak solutions in elasticity of dipolar bo-dies with stretch, Carpathian J. Math.,vol 29 (1) 2013, 33-40(ISI)

• M. Marin, G. Stan, Some basic results in nonlinear theory ofdipolar porous materials, J. Porous Media, 16 (11) 2013, 1035-1042 (ISI)

• M. Marin, G. Stan, Finite energy solutions in thermoelasticityof porous materials, J. Vibration and Control, 20 (11) 2014,1656-1662 (ISI)

• M. Marin, S.R. Mahmoud, G. Stan, Internal state variablesin dipolar thermoelastic bodies, Hacettepe J. Mathematics andStatistics, 43 (1) 2014, 15-26 (ISI)

- carti de specialitate:

• M. Marin, G. Stan, Special Mathematics, Editura UniversitatiiTransilvania din Brasov, 2007, ISBN 978-973-598-016-0

• M. Marin, G. Stan, Teste de Matematica, Bacalaureat, ad-mitere si concursuri, editura Transilvania Expres, Brasov, 2002,ISBN 973-8196-11-6

63

CURRICULUM VITAE

1. First and last name: Ion Gabriel STAN

2. Date and birth place: 29 septembrie 1975, Campulung, Arges

3. Marital status: married, with 2 children

4. Studies:

• Bachelor: 1994 - 1998, ”Transilvania” University of Brasov, Facultyof Sciences, Mathematics

• Master degree: 1998 - 2000, ”Transilvania” University of Brasov,Faculty of Sciences, Probabilities, statistics and reliability of sys-tems

• Ph.d. candidate: 2010 -present, ”Transilvania” University of Brasov,Faculty of Mathematics and Computer Science, Prof. dr. PaltaneaRadu

5. Professional experience:

- Middle school no. 6, Brasov - teacher, 1998 - 2001

- High school Rulmentul, Brasov - teacher, 1998 - 2001

- ”Transilvania” University of Brasov, Faculty of Mathematics andComputer Science

• teaching assistant, 2000 - 2008

• university lecturer, 2008 - present

6. Scientific activity

- papers

• M. Marin, G. Stan, A study of dislocation in thermoelasticityof dipolar bodies with voids, Appl. Math. And Mech., Vol. 9(2), 2004, 52-61

• M. Marin, G. Stan, Tension of a conic bar, Nonlinear Studies,Vol. 14 (3), 2007, 83-92

• G. Stan, The Topologic Study of the Geometric Trajectories inthe Mathematical Billiards, journal of Sciences and Arts, ISSN1584-5567, vol. 18 (1), 113-118

64

• G. Stan, Extension of Van der Corput’s Inequality, Buletin ofthe Transilvania University of Brasov, Vol 3 (52) 2010, seriesIII, Mathematics, Informatics, Physics, 133-142.

• M. Marin, G. Stan, V. Monescu, On Decay of Dilatational Ac-celeration Waves in porous Thermoelastic Materials, COMEC2009, 29-30 octombrie 2009, Brasov, 922-926

• M. Marin, G. Stan, V. Monescu, Harmonic Vibrations in Ther-moelasticity of Microstrech Materials, COMEC 2009, 29-30 oc-tombrie 2009, Brasov, 912-921

• G. Stan, On the Durrmeyer-Kantorovich type operator, Bul-letin of the Transilvania University of Brasov, Vol 6 (55) 2013no.2, 33-42

• G. Stan, The iterative combinations of Bernstein-Durrmeyertype operators Uρn , Bulletin of the Transilvania University ofBrasov, Vol 7 (56) 2014 no.1, 73-80

• G. Stan, Uniform approximation of functions by Baskakov-Kantorovich operators, General Mathematics 22 (1) 2014, 99-107

• R. Paltanea, G. Stan, Voronovskaja theorem for simultaneousapproximation by Bernstein operators on a simplex, Mediterr.J. Math., aparuta online DOI 10.1007/s00009-014-0448-4, Sprin-ger Basel 2014 (ISI)

• R. Paltanea, G. Stan, Transformation of the second ordermodulus by positive linear operators, An. St. Univ. OvidiusConstanta, vol 23 (1) 2015, 237-246 (ISI)

• M. Marin, G. Stan, Weak solutions in elasticity of dipolar bo-dies with stretch, Carpathian J. Math.,vol 29 (1) 2013, 33-40(ISI)

• M. Marin, G. Stan, Some basic results in nonlinear theory ofdipolar porous materials, J. Porous Media, 16 (11) 2013, 1035-1042 (ISI)

• M. Marin, G. Stan, Finite energy solutions in thermoelasticityof porous materials, J. Vibration and Control, 20 (11) 2014,1656-1662 (ISI)

• M. Marin, S.R. Mahmoud, G. Stan, Internal state variablesin dipolar thermoelastic bodies, Hacettepe J. Mathematics andStatistics, 43 (1) 2014, 15-26 (ISI)

- specialized books

• M. Marin, G. Stan, Special Mathematics, Editura UniversitatiiTransilvania din Brasov, 2007, ISBN 978-973-598-016-0

• M. Marin, G. Stan, Teste de Matematica, Bacalaureat, ad-mitere si concursuri, editura Transilvania Expres, Brasov, 2002,ISBN 973-8196-11-6

Documents

old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/31/Sustineri de doctorat/Rezumate2014/StanGabriel.pdfold.unitbv.ro