Embed Size (px)
Citation preview
Określenie całki oznaczonej na półprostej
Definicja 1 Niech funkcja f : [a,∞) → R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dlakażdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a,∞) określamy wzorem∫ ∞
af(x)dx = lim
T→∞
∫ T
af(x)dx
o ile ta granica istnieje.
Analogicznie ∫ b
−∞f(x)dx = lim
S→−∞
∫ b
Sf(x)dx
Określenie całki oznaczonej na prostej
Definicja 2 Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach [S, T ] dla do-wolnych S i T takich, że −∞ < S < T <∞.∫ ∞
−∞f(x)dx =
∫ a
−∞f(x)dx+
∫ ∞a
f(x)dx,
gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Jeżeli obie całki∫ a−∞ f(x)dx i
∫∞a f(x)dx są zbieżne , to mówimy, że całka niewłaściwa∫ ∞
−∞f(x)dx
jest zbieżna.
Wartość główna całki niewłaściwej
Definicja 3 Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach [−S, S] dladowolnych S takich, że 0 < S <∞. Wielkość
V P∫ ∞−∞
f(x)dx = limS→∞
∫ S
−Sf(x)dx
nazywamy wartością główną całki niewłaściwej∫∞−∞ f(x)dx.
Kryteria zbieżności całki niewłaściwej
Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)Jeżeli 0 ¬ f(x) ¬ g(x) dla każdego x ∈ [a,∞), to zbieżność
∫∞a g(x)dx
implikuje zbieżność∫∞a f(x)dx.
Rozbieżność∫∞a f(x)dx implikuje rozbieżność
∫∞a g(x)dx.
Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe) Niech funkcje dodatnie (ujemne) f i g będą cał-kowalne na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a oraz niech
limx→∞
f(x)g(x)
= k,
gdzie 0 < k <∞. Wówczas∫ ∞a
f(x)dx jest zbieżna ⇔∫ ∞a
g(x)dx jest zbieżna.
Analogicznie na (−∞, b].
Zbieżność bezwzględna całki niewłaściwej
Definicja 4 Mówimy, że całka∫∞a f(x)dx jest zbieżna bezwzględnie gdy
∫∞a |f(x)| dx jest
zbieżna.
Twierdzenie 3 Jeśli całka∫∞a f(x)dx jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto∣∣∣∣∫ ∞
af(x)dx
∣∣∣∣ ¬ ∫ ∞a|f(x)| dx.
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
Definicja 5 Niech f : (a, b] → R będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwiepunktu a oraz całkowalna na przedziałach [a+ ε, b] dla każdego 0 < ε < b− a.∫ b
af(x)dx = lim
ε→0+
∫ b
a+εf(x)dx
o ile ta granica istnieje.
Szeregi liczbowe
Definicja 6 Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg(Sn), gdzie
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an.
Szereg oznaczamy przez∑∞n=1 an, an-n-ty wyraz, Sn-n-ta suma częściowa szeregu.
Definicja 7 Mówimy, że szereg∑∞n=1 an jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica
ciągu (Sn).
Oznaczamy: limn→∞ Sn =∑∞n=1 an.
Jeżeli limn→∞ Sn =∞ (−∞), to mówimy, że szereg∑∞n=1 an jest rozbieżny do∞ (−∞).
Jeżeli limn→∞ Sn nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Twierdzenie 4 Jeżeli szeregi∑∞n=1 an,
∑∞n=1 bn są zbieżne i c ∈ R, to
a)∞∑n=1
(an + bn) =∞∑n=1
an +∞∑n=1
bn,
b)∞∑n=1
can = c∞∑n=1
an.
Twierdzenie 5 Szereg geometryczny∑∞n=0 x
n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |x| <1,
∞∑n=0
xn =1
1− x.
Twierdzenie 6 Jeżeli szereg∑∞n=1 an jest zbieżny, to limn→∞ an = 0.
Uwaga 1 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Kryteria zbieżności szeregów
Twierdzenie 7 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n0,∞) → [0,∞), gdzie n0 ∈ N, będziefunkcją nierosnącą. Wówczas
szereg∞∑n=1
f(n) jest zbieżny ⇐⇒ całka∫ ∞n0
f(x)dx jest zbieżna.
∫ ∞n+1
f(x)dx ¬ Rn ¬∫ ∞n
f(x)dx,
gdzie Rn =∑∞i=n+1 f(i) jest n−tą resztą szeregu i n n0.
Twierdzenie 8 Szereg∑∞n=1
1np
jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p ¬ 1.
Twierdzenie 9 (Kryterium porównacze) Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n n0 i niechszereg
∑∞n=1 bn będzie zbieżny. Wtedy szereg
∑∞n=1 an jest zbieżny. Jeśli
∑∞n=1 an jest roz-
bieżny do ∞ to szereg∑∞n=1 bn jest też rozbieżny do ∞.
Twierdzenie 10 (Kryterium ilorazowe) Niech an, bn > 0 (an, bn < 0) dla każdego n n0
oraz niechlimn→∞
anbn
= k,
gdzie 0 < k <∞. Wówczasszereg
∑∞n=1 an jest zbieżny ⇐⇒ szereg
∑∞n=1 bn jest zbieżny.
Twierdzenie 11 (Kryterium d’Alemberta)1. Jezeli
limn→∞
|an+1
an| < 1,
to szereg∑∞n=1 an jest zbieżny.
2. Jeżelilimn→∞
|an+1
an| > 1,
to szereg∑∞n=1 an jest rozbieżny.
W przypadkulimn→∞
|an+1
an| = 1
kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Twierdzenie 12 (Kryterium Cauchego)1. Jezeli
limn→∞
n
√|an| < 1
to szereg∑∞n=1 an jest zbieżny.
2. Jeżelilimn→∞
n
√|an| > 1
to szereg∑∞n=1 an jest rozbieżny.
W przypadkulimn→∞
n
√|an| = 1
kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Twierdzenie 13 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (bn) jestnierosnący od numeru n0 ∈ N i limn→∞ bn = 0 to szereg naprzemienny
∑∞n=1(−1)n+1bn
jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu
|Rn| ¬ bn+1 dla każdego n n0.
Definicja 8 Mówimy, że szereg∑∞n=1 an jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg
∑∞n=1 |an|
jest zbieżny.
Twierdzenie 14 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.
Definicja 9 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbież-nym warunkowo.
Szeregi potęgowe
Definicja 10 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R i współczynnikach cn ∈ R,nazywamy szereg postaci
∞∑n=0
cn(x− x0)n.
Granica górna i dolna ciągu
Definicja 11 Niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (an) będziedowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony wzorem bn = akn,gdzie n ∈ N.
Twierdzenie 15 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej)jest zbieżny do tej samej granicy.
Definicja 12 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istniejepodciąg tego ciągu zbieżny do granicy a.Symbol −∞(∞) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tegociągu zbieżny do −∞(∞).
Definicja 13 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (an) (właściwych lub nie-właściwych). Wtedy
limn→∞an = inf S
jest granicą dolną ciągu, alimn→∞an = sup S
jest granicą górną ciągu.
Twierdzenie 16 (Kryterium Cauchego)1. Jezeli
limn→∞n
√|an| < 1
to szereg∑∞n=1 an jest zbieżny.
2. Jeżelilimn→∞
n
√|an| > 1
to szereg∑∞n=1 an jest rozbieżny.
W przypadkulimn→∞
n
√|an| = 1
kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Promień zbieżności szeregu potęgowego
R =
0 gdy limn→∞
n
√|cn| =∞,
1limn→∞
n√|cn|
gdy 0 < limn→∞n
√|cn| <∞,
∞ gdy limn→∞n
√|cn| = 0.
Uwaga 2
R = limn→∞
1n
√|cn|
,
R = limn→∞
| cncn+1|
- o ile granice w tych wzorach istnieją.
Twierdzenie 17 (Cauchy’ego-Hadamarda) Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbież-ności szeregu potęgowego
∑∞n=0 cn(x − x0)n. Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny
w każdym punkcie przedziału (x0 − R, x0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru(−∞, x0 −R) ∪ (x0 +R,∞).
Definicja 14 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego∑∞n=0 cn(x−x0)n nazywamy zbiór{
x ∈ R : szereg∞∑n=0
cn(x− x0)n jest zbieżny}.
Szereg Taylora funkcji
Wzór TayloraNiech f ma w przedziale (x0 − δ, x0 + δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy
f(x) =n−1∑k=0
f (k)(x0)k!
(x− x0)k +Rn(x)
gdzie
Rn(x) =f (n)(c)n!
(x− x0)n,
c-punkt pośredni między x i xo.
Twierdzenie 18 Jeżeli dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) limn→∞Rn(x) = 0, to
f(x) =∞∑n=0
f (n)(x0)n!
(x− x0)n
dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)
Uwaga 3 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że |f (n)(x)| ¬M dla każdego n ∈ N ∪{0} oraz dlakażdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), to limn→∞Rn(x) = 0.
Różniczkowanie szeregu potęgowego
Twierdzenie 19 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego∑∞n=0 cnx
n. Wtedy
(∞∑n=0
cnxn)′ =
∞∑n=1
ncnxn−1
dla każdego x ∈ (−R,R).
Wniosek 1 Jeżeli f(x) =∑∞n=0 cn(x− x0)n dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), gdzie δ > 0,
to
cn =f (n)(x0)n!
dla n = 0, 1, ...
Całkowanie szeregu potęgowego
Twierdzenie 20 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu∑∞n=0 cnx
n.Wtedy ∫ x
0(∞∑n=0
cntn)dt =
∞∑n=0
cnn+ 1
xn+1
dla każdego x ∈ (−R,R).
Twierdzenie 21 (Abela) Jeżeli szereg f(x) =∑∞n=0 cnx
n jest zbieżny w końcowym prze-dziale zbieżności (np. w R), to
limx→R−
f(x) =∞∑n=0
cnRn.
Funkcje dwóch i trzech zmiennych
Niech R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę,R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń.Odległość punktów będziemy określali następująco:
|P1P0| =√
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2, P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1),
|P1P0| =√
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 + (z1 − z0)2, P0 = (x0, y0, z0), P1 = (x1, y1, z1).
Definicja 15 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyźnie lub w przestrzeninazywamy zbiór
O(P0, r) ={P ∈ R2(R3) : |P0P | < r
}.
Definicja 16 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorzewraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja 17 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R2 (R3) owartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładniejednej liczby rzeczywistej.
z = f(x, y), (x, y) ∈ A
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df .
Definicja 18 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ Df} .
Definicja 19 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamyzbiór
{(x, y) ∈ Df : f(x, y) = h} .
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0, y0).
Definicja 20 f jest ciągła w punkcie (x0, y0), gdy
∧ε>0
∨δ>0
∧(x,y)∈D
[(√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ)⇒ (|f(x, y)− f(x0, y0)| < ε)]
Pochodne cząstkowe
Definicja 21 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0, y0)określamy wzorem
∂f
∂x(x0, y0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)∆x
,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 4 Niech F (x) = f(x, y0). Wtedy ∂f∂x
(x0, y0) = F ′(x0).
Analogicznie∂f
∂y(x0, y0) = lim
∆y→0
f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)∆y
,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 5 Niech G(y) = f(x0, y). Wtedy ∂f∂y
(x0, y0) = G′(y0).
Definicja 22 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioruotwartego D ⊂ R2, to funkcje
∂f
∂x(x, y),
∂f
∂y(x, y), gdzie (x, y) ∈ D
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.
Płaszczyzna styczna
Załóżmy, że pochodne cząstkowe ∂f∂x, ∂f∂y
są ciągłe w punkcie (x0, y0). Wtedy płaszczyznao równaniu
z =∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0) + f(x0, y0)
jest styczna do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x0, y0, f(x0, y0)).
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech f ma pochodne ∂f∂x, ∂f∂y
na zbiorze otwartym D oraz niech (x0, y0) ∈ D.
Definicja 23 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x0, y0) określamy wzora-mi:
∂2f
∂x2(x0, y0) =
∂
∂x(∂f
∂x)(x0, y0) = fxx(x0, y0)
∂2f
∂x∂y(x0, y0) =
∂
∂x(∂f
∂y)(x0, y0) = fxy(x0, y0)
∂2f
∂y∂x(x0, y0) =
∂
∂y(∂f
∂x)(x0, y0) = fyx(x0, y0)
∂2f
∂y2(x0, y0) =
∂
∂y(∂f
∂y)(x0, y0) = fyy(x0, y0)
Twierdzenie 22 (Schwartza o pochodnych mieszanych)Niech pochodne cząstkowe ∂2f
∂x∂y, ∂2f∂y∂x
istnieją na otoczeniu punktu (x0, y0) oraz będą ciągłew punkcie (x0, y0). Wtedy
∂2f
∂x∂y(x0, y0) =
∂2f
∂y∂x(x0, y0).
Pochodna cząstkowa n-tego rzędu
∂nf
∂yk∂xl(x0, y0), gdzie k + l = n
-pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x0, y0) powstała w wyniku l-krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowaniawzględem zmiennej y
Pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Twierdzenie 23 Niech1. funkcje x = x(u, v), y = y(u, v) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie(u0, v0),2. funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x(u0, v0), y(u0, v0)).Wtedy funkcja złożona F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) ma w punkcie (u0, v0) pochodne cząst-kowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami:
∂F
∂u=∂f
∂x· ∂x∂u
+∂f
∂y· ∂y∂u,∂F
∂v=∂f
∂x· ∂x∂v
+∂f
∂y· ∂y∂v.
W szczególności jeśli x = x(t), y = y(t) to
dF
dt=∂f
∂x· dxdt
+∂f
∂y· dydt.
Pochodna kierunkowa funkcji
Niech ~v = (vx, vy) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorzeotwartym D ⊂ R2 oraz niech punkt (x0, y0) ∈ D.
Definicja 24 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0, y0) w kierunku wersora ~vokreślamy wzorem:
∂f
∂~v(x0, y0) = lim
t→0+
f(x0 + tvx, y0 + tvy)− f(x0, y0)t
.
Uwaga 6 Niech F (t) = f(x0 + tvx, y0 + tvy). Wtedy ∂f∂~v
(x0, y0) = F ′+(0).
Gradient funkcji
Definicja 25 Niech istnieją pochodne cząstkowe ∂f∂x
(x0, y0), ∂f∂y
(x0, y0). Gradientem funkcjif w punkcie (x0, y0) nazywamy wektor
grad f(x0, y0) = (∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)).
Twierdzenie 24 Niech pochodne ∂f∂x, ∂f∂y
istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe wpunkcie (x0, y0) ∈ D. Wtedy
∂f
∂~v(x0, y0) = grad f(x0, y0) ◦ ~v.
Interpretacja geometrycznaGradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punk-cie.
Ekstrema lokalne
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0, y0).
Definicja 26 f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne, jeżeli∨δ>0
∧(x,y)∈D
[(x, y) ∈ O((x0, y0), δ)⇒ f(x, y) f(x0, y0)].
Twierdzenie 25 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x0, y0). Jeśli f ma ekstremum lokalne w(x0, y0) i istnieją pochodne cząstkowe ∂f
∂x(x0, y0), ∂f
∂y(x0, y0) to
∂f
∂x(x0, y0) =
∂f
∂y(x0, y0) = 0.
Twierdzenie 26 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0, y0) i∂f∂x
(x0, y0) = ∂f∂y
(x0, y0) = 0 oraz
det
∂2f∂x2
(x0, y0) ∂2f∂x∂y
(x0, y0)∂2f∂x∂y
(x0, y0) ∂2f∂y2
(x0, y0)
> 0
to f ma ekstremum lokalne w (x0, y0) i jest to :minimum lokalne właściwe , gdy ∂2f
∂x2(x0, y0) > 0 albo
maksimum lokalne właściwe, gdy ∂2f∂x2
(x0, y0) < 0.
Uwaga 7 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x0, y0) ekstremum lokalnego.
Ekstrema warunkowe
Definicja 27 Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne właściwe z warunkiemg(x, y) = 0 gdy g(x0, y0) = 0 i∨
δ>0
∧(x,y)∈D
[(x, y) ∈ S((x0, y0), δ) ∧ g(x, y) = 0]⇒ [f(x, y) > f(x0, y0)]
Reguła nieoznaczonego czynnika Lagrange’a
Określamy nową funkcjęΦ(x, y) = f(x, y) + λg(x, y)
gdzie λ jest stałe. Szukamy punktów, w których Φ może mieć ekstremum lokalne
Φx = fx + λgx = 0, Φy = fy + λgy = 0.
Następnie z układu równań : fx(x, y) +λgx(x, y) = 0, fy(x, y) +λgy(x, y) = 0, g(x, y) = 0wyznaczamy punkt (x, y), w którym możliwe jest ekstremum funkcji f przy warunkug = 0,
Zbiory domknięte
Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni:
Definicja 28 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli∧r>0
O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A′ 6= ∅.
A′-dopełnienie zbioru A.
Definicja 29 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Definicja 30 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.
Definicja 31 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu∨P0
∨r>0
D ⊂ O(P0, r).
Twierdzenie 27 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to∨
(x1,y1)∈Df(x1, y1) = sup {f(x, y) : (x, y) ∈ D}
∨(x2,y2)∈D
f(x2, y2) = inf {f(x, y) : (x, y) ∈ D}
Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej nazbiorze domkniętym
1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne(ekstrema warunkowe).Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.
Całki podwójne
Całka podwójna po prostokącie
Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b]× [c, d]
i P = {P1, P2, ..., Pn} będzie podziałem prostokąta P na prostokąty Pk, 1 ¬ k ¬ n.
Oznaczmy
∆xk,∆yk
-wymiary prostokąta Pk, 1 ¬ k ¬ n,
dk =√
(∆xk)2 + (∆yk)2
-długość przekątnej prostokąta Pk, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P ,(x∗k, y
∗k) ∈ Pk
-punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P , 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x∗k, y∗k) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P .
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P.
Definicja 32 Sumę
σ(f,P) =n∑k=1
f(x∗k, y∗k)∆xk∆yk
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli
limn→∞
δ(Pn) = 0.
Definicja 33 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem∫ ∫Pf(x, y)dxdy = lim
n→∞σ(f,Pn)
gdzie (Pn) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dladowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktówpośrednich Σn
Twierdzenie 28 (Warunek wystarczający całkowania funkcji)Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty niecią-głości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).
Twierdzenie 29 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to∫ ∫P
(f(x, y) + g(x, y))dxdy =∫ ∫Pf(x, y)dxdy +
∫ ∫Pg(x, y)dxdy,∫ ∫
Pcf(x, y)dxdy = c
∫ ∫Pf(x, y)dxdy,∫ ∫
Pf(x, y)dxdy =
∫ ∫P1f(x, y)dxdy +
∫ ∫P2f(x, y)dxdy
gdzie {P1, P2} jest podziałem prostokąta P na prostokąty P1, P2.
Twierdzenie 30 Jeżeli istnieje∫ ∫Pf(x, y)dxdy oraz istnieje całka
d∫cf(x, y)dy dla każdego
x, to ∫ ∫Pf(x, y)dxdy =
b∫a
dx
d∫c
f(x, y)dy =d∫c
dy
b∫a
f(x, y)dx.
Wniosek 2 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b]× [c, d]. Wtedy
∫ ∫Pf(x, y)dxdy =
b∫a
dx
d∫c
f(x, y)dy =d∫c
dy
b∫a
f(x, y)dx.
Interpretacja geometrycznaNiech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f(x, y)} . Wtedy
|V | =∫ ∫Pf(x, y)dxdy.
Obszary
Definicja 34 Zbiór D ⊂ R2 (R3) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwapunkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Całka podwójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R2.Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję
f ∗(x, y) ={f(x, y) dla (x, y) ∈ D
0 dla (x, y) ∈ R2 −D.
Definicja 35 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫Pf ∗(x, y)dxdy.
Definicja 36 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór
{(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}
gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b).b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór
{(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)}
gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d).
Twierdzenie 31 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnyma) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
b∫a
(h(x)∫g(x)
f(x, y)dy)dx,
b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
d∫c
(q(y)∫p(y)
f(x, y)dx)dy.
Całka podwójna po obszarze regularnym
Definicja 37 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę-dem osi Ox lub Oy ) D1, ..., Dn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszaremregularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 32 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫D1f(x, y)dxdy + ...+
∫ ∫Dnf(x, y)dxdy.
Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Niech będą dane dwie płaszczyzny uOv i xOy. Na obszarze ∆ płaszczyzny uOv określonajest para funkcji x = ξ(u, v), y = η(u, v).Zbiór D = {(x, y) : x = ξ(u, v), y = η(u, v), (u, v) ∈ ∆} nazywamy obrazem zbioru ∆przez przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)).Załóżmy, że ξ(u, v) i η(u, v) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze ∆.
Definicja 38 Jakobianem przekształcenia T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) nazywamy funkcję
JT (u, v) = det
[∂ξ∂u
(u, v) ∂ξ∂v
(u, v)∂η∂u
(u, v) ∂η∂v
(u, v)
].
Inne oznaczenie ∂(ξ,η)∂(u,v) lub D(ξ,η)
D(u,v) .
Twierdzenie 33 ( o zamianie zmiennych w całce podwójnej )Niech1. przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) odwzorowuje różnowartościowo wnętrze ob-szaru regularnego ∆ na wnętrze obszaru regularnego D,2. funkcje ξ, η mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwar-tym zawierającym obszar ∆,3. funkcja f jest ciągła na obszarze D,4. jakobian JT 6= 0 wewnątrz obszaru ∆.Wtedy ∫ ∫
Df(x, y)dxdy =
∫ ∫∆ f(ξ(u, v), η(u, v))|JT (u, v)|dudv.
Współrzędne biegunoweP = (x, y) ≈ (ϕ, ρ),
gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π),ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych.
B :={x = ρcosϕy = ρsinϕ.
B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y) i JB = −ρ.
Twierdzenie 34 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normal-nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} ,
gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągłana obszarze D = B(U). Wtedy∫ ∫
Df(x, y)dxdy =
∫ ∫Uf(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ =
β∫α
[h(ϕ)∫g(ϕ)
f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.
Całki potrójne
Całka potrójna po prostopadłościanie
Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b]× [c, d]× [p, q]
i P = {P1, P2, ..., Pn} będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany Pk, 1 ¬k ¬ n.
Oznaczmy
∆xk,∆yk,∆zk
-wymiary prostopadłościanu Pk, 1 ¬ k ¬ n,
dk =√
(∆xk)2 + (∆yk)2 + (∆zk)2
-długość przekątnej prostopadłościanu Pk, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P ,(x∗k, y
∗k, z∗k) ∈ Pk
-punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P , 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x∗k, y∗k, z∗k) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P .
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P.
Definicja 39 Sumę
σ(f,P) =n∑k=1
f(x∗k, y∗k, z∗k)∆xk∆yk∆zk
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli
limn→∞
δ(Pn) = 0.
Definicja 40 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem∫ ∫ ∫P
f(x, y, z)dxdydz = limn→∞
σ(f,Pn)
gdzie (Pn) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dladowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktówpośrednich Σn
Interpretacja fizyczna całki potrójnejNiech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę
M =∫ ∫ ∫P
f(x, y, z)dxdydz.
Twierdzenie 35 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R,to∫ ∫ ∫P
(αf(x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α∫ ∫ ∫P
f(x, y, z)dxdydz + β∫ ∫ ∫P
g(x, y, z)dxdydz,∫ ∫ ∫P
f(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫P1
f(x, y, z)dxdydz +∫ ∫ ∫P2
f(x, y, z)dxdydz
gdzie {P1, P2} jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P1, P2.
Twierdzenie 36 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną)Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b]× [c, d]× [p, q]. Wtedy
∫ ∫ ∫P
f(x, y, z)dxdydz =b∫a
dx
d∫c
dy
q∫p
f(x, y, z)dz
Całka potrójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R3.Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję
f ∗(x, y, z) ={f(x, y, z) dla (x, y, z) ∈ V
0 dla (x, y, z) ∈ R3 − V.
Definicja 41 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem∫ ∫ ∫V
f(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫P
f ∗(x, y, z)dxdydz.
Definicja 42 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór
{(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czymD(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U.Analogicznie:b) względem xOz
{(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)}
c) względem yOz{(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} .
Twierdzenie 37 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regu-larnym U , to ∫ ∫ ∫
Vf(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫U
(G(x,y)∫D(x,y)
f(x, y, z)dz)dxdy.
JeżeliU = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} ,
gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to
∫ ∫ ∫V
f(x, y, z)dxdydz =b∫a
dx
g(x)∫d(x)
dy
G(x,y)∫D(x,y)
f(x, y, z)dz.
Całka potrójna po obszarze regularnym
Definicja 43 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę-dem płaszczyzn układu ) V1, ..., Vn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszaremregularnym w przestrzeni.
Twierdzenie 38 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to∫ ∫ ∫V
f(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫V1
f(x, y, z)dxdydz + ...+∫ ∫ ∫Vn
f(x, y, z)dxdydz.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Współrzędne walcoweP = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h),
gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y),0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ <∞, −∞ < h <∞
W :=
x = ρcosϕy = ρsinϕz = h.
W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 39 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normal-nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} ,
gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U), to∫ ∫ ∫V
f(x, y, z)dxdydz =
β∫α
dϕ
g(ϕ)∫d(ϕ)
dρ
G(ϕ,ρ)∫D(ϕ,ρ)
f(ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.
Współrzędne sferyczneP = (x, y, z) ≈ (ϕ, ψ, ρ),
0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), −π2 ¬ ψ ¬ π
2 , 0 ¬ ρ <∞.
S :=
x = ρcosϕcosψy = ρsinϕcosψz = ρsinψ.
S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 40 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normal-nym i ma postać
U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ¬ ρ ¬ G(ϕ, ψ)} ,
gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ψ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U), to∫ ∫ ∫V
f(x, y, z)dxdydz =
β∫α
dϕ
g(ϕ)∫d(ϕ)
dψ
G(ϕ,ψ)∫D(ϕ,ψ)
f(ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ2cosψdρ.
Zastosowania całek wielokrotnych
Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) ∈ D, wyraża się wzorem
|Σ| =∫ ∫D
√1 + (
∂f
∂x)2 + (
∂f
∂y)2 dxdy.
Zakładamy, że ∂f∂x, ∂f∂y
są ciągłe na obszarze D.
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U ⊆ R3 ogęstości objętościowej masy γ.
MSxy =∫ ∫ ∫U
zγ(x, y, z)dxdydz, MSxz =∫ ∫ ∫U
yγ(x, y, z)dxdydz,
MSyz =∫ ∫ ∫U
xγ(x, y, z)dxdydz.
Współrzędne środka masy obszaru U
xc =MSyzM
, yc =MSxzM
, zc =MSxyM
Przekształcenie Laplace’a
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0,∞).
Definicja 44 Przekształceniem Laplace’a funkcji f nazywamy funkcję
F (s) = L{f(t)} =∫ ∞
0f(t)e−stdt,
gdzie s jest zmienną rzeczywistą.
Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Laplace’a.
Twierdzenie 41 Jeżeli f spełnia następujące warunki:1. ma na każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0, skończoną liczbę punktów nieciągłościpierwszego rodzaju,2. istnieją C ∈ R,M > 0 takie, że
|f(t)| ¬MeCt dla każdego t 0,
to L{f(t)} istnieje dla s > C.
Funkcję f spełniającą założenia powyższego twierdzenia będziemy nazywali oryginałem.
Linowość przekształcenia Laplace’a
Twierdzenie 42 Jeżeli istnieją L{f(t)} i L{g(t)} oraz c ∈ R, to
L{f(t) + g(t)} = L{f(t)}+ L{g(t)} ,
L{cf(t)} = cL{f(t)} .
Twierdzenie 43 Jeżeli funkcje f, g są ciągłe i L{f(t)} = L{g(t)} , to f(t) = g(t) dlakażdego t ∈ [0,∞).
Własności przekształcenia Laplace’a
Twierdzenie 44 Niech f będzie oryginałem, i F (s) = L{f(t)}, wtedy
1.L{f(at)} = 1aF ( s
a), gdzie a > 0,
2. L{tnf(t)} = (−1)nF (n)(s),
3. L{eatf(t)} = F (s− a),
4. L{1(t− τ)f(t− τ)} = e−sτF (s), gdzie τ > 0,
5. L{∫ t
0 f(τ)dτ}
= F (s)s.
6. f(0+) = lims→∞ sF (s).
7. Jeżeli istnieje granica f(t) w nieskończoności, to limt→∞ f(t) = lims→0 sF (s).
Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R→ R takich, że całka niewłaściwa∫ ∞−∞|f(x)| dx
jest zbieżna.
Definicja 45 Niech f, g ∈ L(R). Wtedy funkcję
h(x) =∫ ∞−∞
f(y)g(x− y)dy
nazywamy splotem funkcji f, g i oznaczamy f ∗ g.
Uwaga 8 Niech funkcje f(t) i g(t) będą określone na przedziale [0,∞) oraz całkowalnew każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0 wtedy
f(t) ∗ g(t) =∫ t
0f(τ)g(t− τ)dτ.
Twierdzenie 45 (Wzór Borela) Jeżeli funkcje f(t) i g(t) są oryginałami, to
L{f(t) ∗ g(t)} = L{f(t)}L {g(t)} .
Transformata n-tej pochodnej
Twierdzenie 46 Jeżeli f oraz jej pochodne f ′, f ′′, ..., f (n−1) są oryginałami, a ponadtofunkcja ta ma na przedziale (0,∞) ciągłą n-tą pochodną, to istnieje L
{f (n)(t)
}oraz
L{f (n)(t)
}=
snL{f(t)} − sn−1f(0+)− sn−2f ′(0+) + ...− sf (n−2)(0+)− f (n−1)(0+).
Równania różniczkowe zwyczajne liniowe n-tego rzędu o stałychwspółczynnikach
Definicja 46 Są to równania postaci1) any(n) + an−1y
(n−1) + ...+ a1y′ + a0y = f ,
gdzie an 6= 0, a0, ..., an-liczby rzeczywiste i f jest funkcją ciągłą w przedziale (a, b).
Definicja 47 Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) jest każda funkcja y = y(t)n-krotnie różniczkowalna w przedziale określoności (c, d), która spełnia równość
any(n)(t) + an−1y
(n−1)(t) + ...+ a1y′(t) + a0y(t) = f(t)
dla każdego t ∈ (c, d).
Zagadnienie początkowe
Znaleźć rozwiązanie y = y(t) równania (1) takie, że
y(t0) = y0, y′(t0) = y1, ..., y
(n−1)(t0) = yn−1
gdzie t0 ∈ (a, b) i (y0, y1, ..., yn−1) ∈ Rn.
Twierdzenie 47 Każde zagadnienie początkowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Roz-wiązanie to jest określone i n-krotnie różniczkowalne w całym przedziale (a, b).
Transformata Fouriera
Definicja 48 Transformatą Fouriera funkcji f ∈ L(R) nazywamy funkcję
f(y) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−ixydx.
Twierdzenie 48 Jeżeli f ∈ L(R), to transformata f istnieje i jest funkcją ciągłą.
Uwaga 9 Jeżeli f ∈ L(R) oraz f jest funkcją1. parzystą, to
f(y) =
√2π
∫ ∞0
f(x)cosxydx,
2. nieparzystą, to
f(y) = −i√
2π
∫ ∞0
f(x)sinxydx.
Transformata odwrotna do transformaty Fouriera
Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji F : R→ C takich, że całka niewłaściwa∫ ∞−∞|F (x)| dx
jest zbieżna.
Definicja 49 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F ∈ L(R) nazy-wamy funkcję
F (x) =1√2π
∫ ∞−∞
F (y)eixydy.
Zauważmy, że F (x) = F (−x).
Twierdzenie 49 Jeśli f ∈ L(R), to w każdym punkcie x, w którym funkcja f jest róż-niczkowalna,
f(x) =1√2πV P
∫ ∞−∞
f(y)eixydy,
gdzie
V P∫ ∞−∞
= limT→∞
∫ T
−T.
Uwaga 10 Różniczkowalność można zastąpić słabszym warunkiem: Jeżeli istnieje δ > 0taka, że f jest monotoniczna w S−(x, δ) i S+(x, δ) oraz jest ograniczona w O(x, δ) to
f(x+) + f(x−)2
=1√2πV P
∫ ∞−∞
f(y)eixydy.
Własności transformaty Fouriera
Twierdzenie 50 Niech f ∈ L(R) i a ∈ R. Wtedy1. jeżeli g(x) = f(x− a), to g(y) = f(y)e−iay,2. jeżeli a 6= 0, g(x) = f(x
a), to g(y) = af(ay),
3. jeżeli założymy dodatkowo, że f jest funkcją różniczkowalną i f ′ ∈ L(R), to
f ′(y) = iyf(y).
Twierdzenie 51 Jeżeli f, g ∈ L(R), to f ∗ g ∈ L(R) i
f ∗ g =√
2πf · g.
Twierdzenie 52 Jeżeli xnf(x) ∈ L(R) gdzie n ∈ N, to
xkf(x)(y) = ikf (k)(y) dla k = 1, 2, ..., n.
Niezależne zmienne losowe
Funkcje f : [0, 1] → R, które mają skończoną liczbę punktów nieciągłości, będziemynazywali zmiennymi losowymi.Oznaczmy przez {f < x} = {t : f(t) < x} .
Definicja 50 Dystrybuantą zmiennej losowej f nazywamy funkcję
Ff (x) =∫ 1
01{f<x}(t)dt.
Definicja 51 Dystrybuantą typu absolutnie ciągłego nazywamy funkcję postaci
F (x) =∫ x
−∞p(t)dt,
gdzie p(t) 0,∫∞−∞ p(t)dt = 1.
Funkcję p(x) nazywamy gęstością rozkładu.
Definicja 52 Zmienne losowe f i g nazywamy niezależnymi, jeśli∫ 1
01{f<x}∩{g<y}(t)dt = Ff (x)Fg(y)
dla dowolnych x, y ∈ R.
Twierdzenie 53 Jeżeli f i g są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach typuabsolutnie ciągłego z gęstościami p i q to f + g ma rozkład o gęstości p ∗ q.
Definicja 53 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej f o gęstości rozkładu p nazy-wamy funkcję
ϕf (t) =√
2πp(t).
Twierdzenie 54 Jeżeli zmienne losowe f i g o gęstościach rozkładu p i q są niezależne,to
ϕf+g(t) = ϕf (t) · ϕg(t).
