VODENJE PROCESA

S pomočjo funkcijskih odvisnosti G lahko zapišemo sistem modela:x1 = G1 ( y1, y2,….ym; z1, z2,….zr )x2 = G2 ( y1, y2,….ym; z1, z2,….zr )

xn = Gn ( y1, y2,….ym; z1, z2,….zr )

Odprto-zančni sistem: krmiljenje

Zaprto-zančni sistem: regulacija

Krmilno regulacijski sistem z nadzorom

1

PROCES

OKOLJE

VHODI IZHODI

MODELPROCESA

y1 (t)ym (t)

z1 (t)zr (t)

x1 (t)

xn (t)

Krmilnik Proces

Regulator Proces

r (t) y (t) r (t) (t)

x (t)

KRMILJE

PROCES

KOMANDNI PULT

REFERENCE r(t)

KRMILNI SIGNALI y (t)

PERIFERNI KRMILNI SIGNALIx(t)

x (t)

r (t) … referenčna veličina (veličina vodenja)e(t) … regulacijski pogrešeky (t) …regulirna (nastavitvena) veličinax(t) … regulirana veličina

KRMILJE 1

PROCES 1

KOMANDNI PULT 1

REGULATOR 1

NADZOR

PROCES

REGULACIJA PROCESA

Regulacija nivoja vode: Blok shema regulacije: y z

tlak z1 r r y x

regulacijski krog x z2

q

Osnovni pojmi regulacijske tehnike Pojmi Znak Definicije po DIN 19226, DIN 19221Veličina vodenja ali referenčna veličina

wr

Od regulacije neodvisna in v regulator dovedena veličina, kateri naj bi sledila regulirana veličina

Območje vodenja ali referenčno območje

Wh,

Rh

Območje, v kateri sme biti veličina vodenja

Regulacijska naprava - regulator

Celotna naprava, preko katere nastavitveni člen zahtevam primerno vpliva na regulacijsko progo – proces.

Regulacijski krog Vsi členi zaprtega poteka delovanja regulacije Regulacijska proga Del naprave, pri kateri je regulirana veličina primerno doseženaRegulirana veličina x Veličina, ki naj bo konstantna ali poteka po določenem programu Regulacijsko območje

Xh Območje, v katerem je lahko regulirana veličina ob upoštevanju dovoljenih meja motilnih veličin

Regulacij. pogrešek xw Razlika med regulirano veličino in veličino vodenja: xw= x – w (r)Regulacij. diferenca e Negativni regulacijski pogrešek: e = w (r ) – xNastavitvena veličina

y Prenaša krmilno delovanje regulatorja na regulacijsko progo (regulirna veličina)

Nastavitv. območje Yh Območje, v katerem je nastavljiva nastavitvena veličinaNastavitveni člen aliizvršilni člen

Na vhodu regulacijske proge postavljeni člen, ki vpliva na energijski tok glede na vrednost nastavitvene veličine

Motilna veličina z Iz okolja delujoče veličine, ki delujejo na regulacijsko progo in neželeno vplivajo na regulirano veličino

Območje motenj Zh Območje, v katerem smejo ležati motilne veličine, ne da bi bila prizadeta funkcijska sposobnost regulacije.

Regulacijski sistem:

2

regulator

merilna naprava

regulacijskaproga - proces

Km Regulacijska naprava

Nastavitvena naprava

Proces

Merilna naprava

r' (t)r (t)

xm(t)

x(t)e (t) y (t)

z (t)

Km

Časovni potek izhoda reguliranega procesa:

Delovanje regulacijskega sistema

1. Sledilno delovanje

2. Regulacijsko delovanje

Odziv na motnjo na regulirni veličini v regulacijskem sistemu:

3

z(t)

t

x(t)

t

t1

t 1

ed

esreguliran proces

nereguliran proces

ts

r (t)x (t)

tt 1

1,21

Regulator Proces

r (t) = konst. e (t)

y (t)

x (t)

v (t) z (t) n (t)

t

v (t)x (t)

t 1

Regulacijski sistem v delovni točki

Spremembe signalov obravnavamo okoli delovne točke, pri čemer vrednosti delovne točke ne upoštevamo.

Primer delovanja regulacijskega sistema v delovni točki

V prostoru imamo nastavljeno želeno temperaturo na 20 °C. Ta temperatura se vzpostavi po določenem prehodnem pojavu in zahteva moč grelca 5 kW. Če spremenimo želeno temperaturo za 1°C, se po prehodnem pojavu moč grela poveča za 500 W.

Tipi regulacijskih sistemov

- Servo sistem (sledilni sistem pozicioniranja, hitrosti, pospeška …)- Procesni regulacijski sistem (temperatura, tlak, pretok, nivo …)- Stohastični regulacijski (motnje kot naključni signali …)- Adaptivni regulacijski sistem (sprotno prilagajanje RA)- Samo-učeči regulacijski sistem (learning control systems)

Razdelitev regulacijskih sistemov

- Linearni in nelinearni regulacijski sistemi- Časovno nespremenljivi in spremenljivi regulacijski sistemi- Zvezni, diskretni in kombinirani regulacijski sistemi- Zvezni in nezvezni regulacijski sistemi- Eno in večkanalni regulacijski sistemi- Deterministični in stohastični regulacijski sistem

4

Regulator ProcesR=r+R0 E=e+E0 Y=y+Y0 X=x+X0

y (t)

tt1

Y0=5kW

y=500 W

y+Y0

X (t)

tt1

R0 = 20

r = 1

x+X0

r

r+R0

IZVEDBA INDUSTRIJSKEGA REGULACIJSKEGA SISTEMA

Regulirni del regulacijskega sistema tvorijo: merilni sistem, regulator in izvršni sistem.

Merilni sistem - tipalo; namenjeno je tipanju in zajemanju regulirane veličine na merilnem mestu,- merilni pretvornik; namenjen je pretvorbi signala tipala v standardni normirani signal (npr.:4 –

20 mA),- ojačevalnik; ojačanje merilnega signala in filtriranje motenj.

Regulator - primerjalnik; določanje razlike med želeno in pretvorjeno regulirano veličino (reg. diferenca),- regulacijski algoritem; določanje regulirnega (nastavitvenega) signala, - vhodni filter; izločanje motenj.

Izvršni sistem - aktuator; krmilni element končnega izvršnega člena (rele, kontaktor, tiristor, frekvenčni

pretvornik, motor,…) in - končni izvršni člen; neposredni krmilni element nastavljanja regulirne veličine (motorji,

elektromagnetni ventili, lopute, zasuni,…).

5

Regulacijskialgoritem

Aktuator PROCES

Merilnipretvornik

Regulirana veličina x Referenca r (w)

Diferenca e

Merilno mesto

Primerjalnik

Motnje v procesu

Tipalo

Končni izvršničlen

Izvršilno mesto

Ojačevalnik

Motnje v izvršnem sistemu

Motnje v merilnemsistemu

REGULATOR IZVRŠNI SISTEM

MERILNI SISTEM

Nastavitvena veličina y Regulirna veličina y '

Shema regulacije centralnega ogrevanja stanovanjskega objekta

M M

M

Č01

Č02 Č03

Č04

BF 2000

VF 2000

REGULATOR MR-TR

AS-2000-C

AF-2000 230VAC

Cevni termostat

REGULATOR MR-TR

230VAC

AF 2000

VF 2000

KF 2000

ZALOGOVNIK

BOJLER

KOTEL NATRDA GORIVA

H.V

H.V

T.V

TALNO GRETJE

RADIATORSKO OGREVANJE

EMV 110

AS-2000-C

M

M

OBTOČNA ČRPALKA

KROGELČNI VENTIL

TERMOSTATSKI MEŠALNI VENTIL 55°C

TROPOTNI ELEKTROMOTORNI MEŠALNI VENTIL

MOTORNI PREHODNI KROGELNI VENTIL

Č

V

EMV

RAZTEZNA POSODATP

TČ2kW

DIFERENČNI TERMOSTAT DTC 100/2

T1

T2

CEVNI TERMOSTAT

MR-TR

REGULATOR

AS-2000

SOBNA ENOTA

TMV

MV

CT

BF-2000VF-2000AF-2000KF-2000

T1

T2

TALNO TIPALO

CEVNO TIPALO

ZUNANJE TIPALO

KOTLOVNO TIPALO

TIPALO ZALOGOVNIKA

TIPALO BOJLERJA

DIFERENČNI TERMOSTAT

DTC100/2

6

Načini izvajanja krmilno – regulacijskih postopkov

7

1. Regulacija nivoja tekočine brez pomožne energije

4. Regulacija nivoja

5. Kaskadna regulacija nivoja

Hitrost vodenja popravimo, če poleg nivoja merimo tudi pretok dotekajoče vode in namesto navadne regulacije uporabimo kaskadno regulacijsko strukturo.

3. Krmiljenje z izločanjem motnje

2. Krmiljenje nivoja tekočine

qvh

qizh

merilnik nivoja

nastavitev referenčne vrednosti

ventil

qvh

qizh

ročniventil

h

kot odprtja ϕ

nastavitveni člen

PROCES

h

kot odprtja ϕ qvh

qizh

h

qvh

qizhh

KČ

ϕ'qizh'

nastavitveni člen

PROCESϕ'

qvh

qizh

h

krmilničlen

tipaloqizh

merilnipretvornik

qizh'

merilni pretvornik

krmilničlen

qvh

qizhh

Rh

href h'

merilni pretvornik

regulator

nastavitveni člen

PROCES

qvh

qizh

hregulator nivoja Rh

tipaloh

merilnipretvornik

h'

rh

qvh

qizhh

Rqvh

qvh'

h'

Rh

rqvh

NAČRTOVANJE VODENJA SISTEMOV

Potek izgradnje krmilno-regulacijskega sistema

8

rh

nastavitveni člen

PROCES

qvh

qizh

h

Rqvh

tipaloqvh

merilnipretvornik

qvh'

rqvh

tipaloh

merilnipretvornik

h'

Rh

rh

Definicija problema vodenja

PRIMER REGULACIJE NIVOJA 1. Tehnološka shema modela

9

Koncept načrtovanja

Načrtovanje meritevMeritve na sistemu

Analiza meritev

Nelinearni matematični modelLinearni poenostavljeni model

Numerični – eksperimentalni model Verifikacija in vrednotenje modela

Analiza modela

Postavitev konceptov vodenja

Sinteza – načrtovanje elementov sistemov za vodenje

Analiza in vrednotenje vodenja na linearnem, poenostavljenem in

nelinearnem modelu

Vrednotenje vodenja na realnem objektu

Izvedba sistema za vodenje na objektu

2. Modeliranje

3. Matematični model in regulacijska proga modela:

10

MOTNJA

REGULIRANA VELIČINA

REGULIRNA

VELIČINA

hAtqtq iv=− )()(

∫ −=t

iv diiC

e0

))()((1 τττ

)()( titiCe iv −=

MOTNJA

REGULIRANA VELIČINA

REGULIRNA VELIČINA

A = konst.

(fv) (fi)

A = πr2 = 5026 cm2

63,2 %

m s

0 2 5 5 0 7 5 1 0 0 1 2 5 1 5 0

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

1 0

5

0 54 ms

napetosttahogeneratorja

(V)

čas

qvmax=5 l/min qi=10,91 l/min

Električni ekvivalent posode:

G

Izpeljava prenosne funkcije modela v primeru, ko je motnja enaka 0:

a.) P-REGULATOR

b.) PI-REGULATOR

4 Krmilno – regulacijska oprema

11

y1,5

1

0,5

0

u

-1

2

0

1

34

y

0

0Z=( )YRGGGEGGGUGY RČSRČSS −===

RGGG

GGGY

RČS

RČS

+=

1 sTG

SS

1=Č

Č sTG

+=

1

1

PR KG =

RK

sTsT

KsTsT

Y

P

ČS

P

ČS

++

+=

1

111

1

11

( ) RKpsTsT

KY

ČS

P

++=

1

( ) ( ) PČSČS

P

ČS

P

KsTTTTs

K

KpsTsT

K

R

YG

+++=

++==

21

∞→t 0→s 1=G

iPR sT

KG1+=

R

sTK

sTsT

sTK

sTsTY

iP

ČS

iP

ČS

+

++

+

+=

1

1

111

1

1

11

( ) RsTKsTsTsT

KsTY

iPiČS

Pi

11

1

++++

=

1

123 +++

+==

iPiSiČS

Pi

sTKTTsTTTs

KsT

R

YG

∞→t 0→s 1=G

u

napajalna enota

CPU43analogna I/Oenota MAD01

digitalna izhodnaenota OC224N

digitalna vhodna enota ID212

Sistemi analize in načrtovanje vodenja procesov

1. Laplace-ova transformacija  ℒ

12

RS-232C vmesnik

RS-232C kabelRS-232C kabelRS-232C kabel

mehka logična enota FZ001

Fuzzy Support Softw (FSS)

SYSMAC-SCS (SCADA)

Referenčni nivo v [mm] Regulirna veličina (izhod iz P-regulatorja) v [10-1Hz] Regulirana veličina (trenutni nivo) v [mm]

čas [s]

∫

∫

+

−

−

∞−

⋅==

⋅==

ω

ωπ

je

je

st

st

dsesFj

tfsFL

dtetfsFtfL

)(2

1)())((

)()())((

1

0

Teoremi Laplace-ove transformacije

Laplace-ovi transformi

13

[ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ] ,...3,2,1)()1()(

)(

)()(

)(lim)(lim

)(lim)(lim

)()(

)()(

)()(

)0()0()0()()()(

)(lim)()(

)(lim)0();0()()(

)()()()(

)()(

0

0

011

0 0

0

)1()1(211

121

0

0

2121

1 2

=−=

⋅=

+=

=

==−

=

∫ ∫ ∫

=

∫

−−−−=

+++−=

=−=

±=±⋅=⋅

−→∞→

∞→→

−

−

+−+−+−−

−−−

→

→

++

+

+

nsFds

dtftL

sFt

fL

sFtfeL

ssFtf

ssFtf

sFetfL

s

sFdtdtdfL

s

sFdfL

ffsfssFsdt

tfd

dt

tfdstfssFstf

dt

dL

tfffssFtfdt

dL

sFsFtftfL

sFktfkL

n

nnn

t

st

st

s

n

t

n

t t

t

nnnnn

nnn

t

nn

n

t

n

ααα

α

τ

ττ

ττ

α

τ

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )[ ]

+−

+++

++

+++

+

+

−++

−

+−+

−−++

−+

−++

−

+−+

−+

−+

+

+

+

−

−

−

−−

−

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−

+

ta

teass

a

teas

teas

as

ts

s

ts

aebebsas

sab

ateass

a

tess

eatas

s

eebsas

ab

eataass

a

eass

a

etmas

etas

teas

eas

ts

m

ts

ts

ss

ts

t

at

at

at

atbt

at

t

at

btat

at

at

atmm

at

at

at

mm

ωω

ωω

ω

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

ω

ζωζ

ωωζω

ω

δ

ζω

sincos122

sin21

cos20

cos19

sin18

17

1116

1sin12

15

114

13

11

12

111

!1

1110

!2

119

18

17

!6

!35

!24

113

11

2

11

22

22

22

22

22

22

2

2

2

222

2

2

2

1

23

2

1

34

23

2

Signali v Laplace-ovem prostoru

Impulzna funkcija: Stopničasta funkcija:

Linearno naraščajoča funkcija (rampa): Parabolična funkcija:

14

r(t)

t

1)s(R)t(δ)t(r ==r(t)

t

0t;0)t(rs

R)s(R0t;R)t(r 0

0

⟨=

=≥=R0

r(t)

t

R0

1

0t;0)t(rs

R)s(R0t;tR)t(r

20

0

⟨=

=≥=r(t)

t

R0

1

0t;0)t(rs

R)s(R0t;tR)t(r

302

0

⟨=

=≥=

Sinusna funkcija:

2. Diferencialne enačbe

Primer:

Inverzna Laplace-ova transformacija:(pravilo Laplace-ove transformacije št.7)

3. Prenosna funkcija G(s)

15

xbyadt

dya

baa

xbdt

dxb

dt

xdb

dt

xdbya

dt

dya

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n

⋅=⋅+⋅

≠

⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ −

−

−−

−

−

001

001

011

1

1011

1

1

0,,

y x

[ ] [ ] [ ] )0()0()()();0()()();()(

)0(,)0(0232 xxssXstxLxsXstxLsXtxL

bxaxxxx

−⋅−⋅=−⋅==

===++

21

2

)2)(1(

3

23

3)(

3)23()(0)(2))((3))((

0)(2))0()((3))0()0()((

2

22

2

++−

++=

++++=

++++=

++=++⋅=+−⋅+−−⋅

=+−⋅+−⋅−⋅

s

ba

s

ba

ss

abas

ss

abassX

abassssXalisXasXsbassXs

sXxsXsxxssXs

[ ] 0)()2(21

2)()( 2111 ≥+−+=

++−

++== −−−−− tebaeba

s

baL

s

baLsXLtx tt

y(t) x(t)

LL

Y(s) X(s)

)()()(

...

...

)(

)(

)(

)()(

011

1

011

1

sYsGsX

bsbsbsb

asasasa

sY

sX

vhodL

izhodLsG

mm

mm

nn

nn

⋅=++++++++

=== −−

−−

G

)())((

)())(()(

21

21

m

n

pspsps

zszszsksG

++++++

=

r(t)

t

R0

0t;0)t(rωs

ωR)s(R0t;tωsinR)t(r

220

0

⟨=+

=≥=

Osnovna pravila za transformacijo:

4. Prehodna funkcija

Transformacijska tabela najpogostejših funkcij:

16

)1()1)(1(

)1()1)(1()(

21

21

++++++

=sTsTsT

sTsTsTKsG

amaa

bnbb

∫ ==

=

±=±=

)(1

))((),()(),()(

)()())()((),())((

22

2

2121

sXs

dttxLsXstxdt

dLssXtx

dt

dL

sXsXtxtxLskXtkxL

SISTEM

G(s)y(t) x(t)

Prenosna funkcijaG(s)

Prehodna funkcijax(t)

1/s . G(s)

Preureditev izrazov v obliko za

tabelo

Transformacijska tabela

Diferencialne enačbe

1)(1

1()()1)(1(

1

)(1

)()1)(1(

1

)1()()1(

1

)()1(

)(1

)()(1

21

21

21

2121

2

21

21

⋅

−−

−⋅++

−−

⋅++

−⋅+

⋅+

⋅

⋅

−−

−−

−

−

tys

TT

eTeTty

sTsTs

eeTT

tysTsT

etysTs

etysTs

sT

T

tty

Ts

txsGs

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t Primer:

)1()()()1(

1)(

1

1

1)(

T

t

etytxsTs

sGs

sTsG

−−⋅=⇒

+=

+=

5. Blok diagramX(s) = (G1(s) ± G2(s)).Y(s) X(s) = G1(s) .G2(s).Y(s)

6. Modeliranje

Blok diagram zaprtozančnega sistema:

R(p) E(p) C(p) R(p) E(p) C(p)

B(p)

Zaprtozančni sistemi pri motilnem in referenčnem signalu:

Motnja Z(p)R(p) E(p) C(p)

17

G1

G2

Y XG1 G2

YX

G(p) G(p)

H(p)

zankezaprtefunkcijaprenosnapR

pC

pHpG1

pG

zankeodprtefunkcijaprenosnapE

pBpHpG

vejedirektnefunkcijaprenosnapE

pCpG

;)(

)(

)()(

)(

;)(

)()()(

;)(

)()(

=+

=⋅

=

G1(p)

H(p)

[ ])()()()()()(

)()()()(

)()(

)(;)()()(;

)(

)(

)()()(

)()(

)(

)(;)()(;)()()(;

)(

)(

)()()(

)(

pZpRpGpHpGpG1

pGpCpCpC

pH

1

pR

pC1pHpGpG

pR

pC

pHpGpG1

pGpG

0pZ

pC1pHpG1pHpGpG

pZ

pC

pHpGpG1

pG

121

2ZR

R21

R

21

21

Z121

Z

21

2

++

=+=

≈⇒⟩⟩=+

≈⇒⟩⟩⟩⟩=+

G2(p)

Primer – hidravlični sistem z dvema nivojskima posodama:

qi

A1

A2

h1(t) h2(t)

q1 q2

R1 R2

qi(t) vhodni pretokh1(t) nivo v prvi posodi h2(t) nivo v drugi posodiA1 površina gladine v prvi posodi A2 površina gladine v drugi posodiq1(t) pretok med obema posodama q2(t) iztok iz druge posode

18

Ravnotežna enačba prve posode: Ravnotežna enačba druge posode:

Laplace-ova transformacija enačb:

Blok diagram hidravličnega sistema:

Qi(p) Q1(p) C(p) Q2(p)

H1(p) H2(p)

Poenostavitev blok diagrama hidravličnega sistema

PRAVILO 5, PRAVILO 4, PRAVILO 1

19

)()()(

)()()(

tqtqdt

tdhAtqtq

dt

tdhA 21

221i

11 −=−=

1

211 R

ththtq

)()()(

−=

2

22 R

thtq

)()( =

[ ]

[ ]2

2221

222122

1

2111i

111i11

R

pHpQpQpQ

pA

1pHpQpQppHA

R

pHpHpQpQpQ

pA

1pHpQpQppHA

)()(;)()()()()()(

)()()(;)()()()()()(

=−=⇒−=

−=−=⇒−=

1/pA1 1/R1 1/pA2 1/R2

A1R2s

1/sA1 1/R1 1/sA2 1/R2

H 1 (s) H2(s)

Qi(s)Q2(s)Q1(s)

PRAVILO 6, PRAVILO 1

PRAVILO 6

Primer določitve odvisnosti H1 od Qi

20

1/(A1R1s) 1/(A2R2s)

H1(s) H2(s)

Qi(s)

)sAR1()sAR1(

1

2211 +⋅+

A1R2s

Qi(s)

Q2(s)

Q2(s)

)AARR(s)1ARARAR(s1

1

21212

22211 ⋅+++⋅+

Qi(s) Q2(s)

1/sA 1 1/R 1 1/sA 2 1/R 2

H 1 (s) H 2 (s)

Qi(s)Q2(s)Q1(s)

1/sA 1 1/R 1 1/sA 2 1/R 2

H 1 (s) H 2 (s)

Tega dela ne upoštevamo

1/R 1

H2/R1

H1

Qi(s)

ANALIZA SISTEMOV V ČASOVNEM PODROČJU

1. Vpliv polov in ničel na časovni odziv

Prenosno funkcijo G(s) razvijemo v parcialne ulomke:

21

)2)(1(

)2/1(2

23

12

)(

)(

)(

)()(223

2 +++=

+++===+=++

ss

s

ss

s

sI

sŠ

sR

sCsGrrccc

Im(s)

Re(s) -2 -1 -1/2

1/A1R1s R1

H2/R1

H1

Qi(s)

H1(s)

112

1

1 AsRH

R

+−

Qi(s)

Vpliv lege polov na impulzni odziv sistema:

2. Tipi sistemov

22

Proporcionalni P člen:

22

tt eetgssss

ssG 23)(

2

3

1

1

)2)(1(

12)( −− +−=⇒

++

+−=

+++=

Im(s)jω

Re(s)δ

Proporcionalni sistemi

0)0(I;0)0(Š;nm;bsb...sbsb

asa...sasa

)s(Y

)s(X

)s(I

)s(Š)s(G

011m

1mm

m

011n

1nn

n ≠≠≤++++

++++===

−−

−−

y(t)

t

x(t)

y(t)

P člen

x(t)

t

Kp=x/y

)t(yK)t(x

K)s(Y

)s(X)s(G p

⋅=

==

Integrirni sistemi

- j = 0… sistem ničelne vrste (reda) ali stopnje je proporcionalni sistem- j = 1… sistem prve vrste- j = 2… sistem druge vrste itd.

Integrirni člen:

Diferencirni sistem

Števec prenosne funkcije vsebuje enega ali več korenov (ničel) v koordinatnem izhodišču.

Diferencirni D člen:

23

0)0(;0)0(;)(

)(1̧

)(

)(

)(

)()(

'≠≠=== IŠ

sI

sŠ

ssY

sX

sI

sŠsG

j y(t)

x(t)

0)0(;0)0(;)(

)(

)(

)(

)(

)()(

'≠≠=== IŠ

sI

sŠs

sY

sX

sI

sŠsG

jy(t)

x(t)

t

y(t)

I člen

x(t)

t

y(t)=Ki.t

;1

;1

1

)(

)()(

)()(0

ii

i

i

i

t

i

TKy

Tdt

dx

sTs

K

sY

sXsG

dttyKtx

=⋅=

===

= ∫1

Ti

integracijska časovna konstanta

x/y

t

y(t)

D člen

x(t)

t

ddd

dd

TtKdt

dyT

dt

dytx

sTsY

sXsG

dt

dyTtx

⋅=⋅=⋅=

⋅===

)()(

)(

)()(;)(

δ1

x,y

Td… diferencialna časovna konstantaδ … odziv na stopničasto vzbujanje je Dirac-ov impulz

δ

x,y

sT

sT

sY

sXsGPF

tyTtxtxTDE

d

d

dd

'1)(

)()(:

)()()(':

+==

=+

Zakasnilni člen – člen z mrtvim časom

Proporcionalni sistem 1. reda PT1 (P1)

Povratno-zančna blok shema: Poenostavljena shema:

Odziv sistema PT1 na impulz δ (naravni odziv)

24

y(t)

D člen

x(t)

t

1

stopnični odziv: dT

t

d

d eT

Ttx '

'

)(−

⋅=T'd

Td/T'd

y(t)

Tm

x(t)

t

x

msTesY

sXsGPF −==

)(

)()(:

stopnični odziv:

mm

mm

TtTtytx

TtTtytx

≥=−=⟨=−=

;1)()(

;0)()(T'm

sT

1

R(s)C(s)

Ts1

K

)s(R

)s(C)s(G:PF

)t(rK)t(c)t(cT:DE

p

p

+==

=+

1Ts

1

+

R(s) C(s)E(s)

Kp… ojačanje sistemaT … časovna konstanta sistema

0;)(

11

)(

≥⋅=

⋅+

=

−te

T

Ktc

Ts

KsC

T

tp

p

c(t), r(t)

1/T

T

t

eT

1)t(c

−=

Odziv sistema PT1 na stopničasto vzbujanje

Regulacijski sistem v primeru Kp = 1 v ustaljenem stanju nima pogreška:

Odziv sistema PT1 na linearno naraščajoči vhodni signal

Regulacijski sistem ima v primeru Kp = 1 v ustaljenem stanju konstantni pogrešek:

25

0t;)e1(RK)t(c

Ts1

T

s

1RK

s

R

Ts1

K)s(C

T

t

0p

0p0p

≥−=

+−=⋅

+=

− A

B

T 2T 3T t

c(t) / KR0

naklon 1/T

c(t)=1-e-t /T

1

0,632

63,2% 86,5% 95%

0)()()()1()( 000 =∞⇒=−=⇒−=−−

eeRtcRteeRtc T

t

T

t

0;)1()(

1

1

1)(

0

2

202

0

≥+−=

+

+−=⋅+

=

−tTeTtRKtc

Ts

T

s

T

sRK

s

R

Ts

KsC

T

t

p

p

p

TReeTRtctRteTeTtRtc T

t

T

t

0000 )()1()()()()( =∞⇒−=−=⇒+−=−−

T 2T 3T t

c(t)

r(t) = R0 t= t

c(t)

2TT

3T T

T

R0 T= T

T 2T 3T t

Primerjava odzivov

- impulz δ:

- stopnica:

- linearno naraščajoči signal:

Sistemi drugega reda PT2 (P2)

Splošna oblika modela

Dobljeni izraz preko Laplace-ove transformacije transformiramo:

26

0;)( ≥⋅=−

teT

Ktc T

tp

0;)1()( ≥+−=−

tTeTtKtc T

t

p

0;)1()( ≥−=−

teKtc T

t

p

R L

Cuvh = r uizh = c

i

uRuL

uC

vhCCC

vhCCC

CcLRvh

uLC

uLCdt

du

L

R

dt

ud

uudt

udLC

dt

duRC

dt

duCidti

Cdt

diLRiuuuu

11

;;1

2

2

2

2

=++

=++

=⋅++⋅=++= ∫

LCL

CRtrtctctc nnnn

1;

2);()()(2)( 22 ===++ ωζωωζω

))((2)(

)()()()2()(

21

2

22

2222

sssssssR

sCsGsRsssC n

nn

nnnn −−

=++

==⇒⋅=++⋅ω

ωζωω

ωωζω

- ωd faktor dušenega nihanja.

Glede na vrednost dušenja ζ ima stopničasti odziv štiri značilne oblike.

a) dušeno nihanje – podkritično dušenje: 0 < ζ < 1

b) nedušeno nihanje: ζ = 0

Ko je dušenje ζ = 0, ležita oba pola na imaginarni osi in velja: s1,2 = ± jωn. Odziv na stopničasti vhod R(s) = 1/s je nedušeno nihanje:

c(t) = 1 – cos ωnt

c) meja aperiodičnosti – kritično dušenje: ζ = 1

27

2

2222

2,122

1

;)1(4

44

2

2;02

ζωω

ωδζωζωωωζζωωζω

−=

±=−±−=−

±−=⇒=++

nd

dnnnnn

nn jjsss

Im(s)

Re(s)

ζ=0

ωn

ωd

ζωn

ζ=1 ζ =0 =1

arc sin ζ Stopnični odziv R(s) = 1/s

ζζ

φ

ϕφζωζ

ζω

2

2

2

1

)1(sin1

1)(

−=

−−⋅−

−=−

tgarc

te

tc n

tn

Im(s)

Re(s)s1 = s2 = - ωn

Stopnični odziv R(s) = 1/s

)1(1)(

)()(

)(2

2

tetc

ssR

sC

nt

n

n

n ωω

ω

ω +−=

+=

−

d) aperiodični odziv – nadkritično dušenje: ζ > 1

Sistemi z dušilnim faktorjem 0,5<ζ<0,8 najhitreje dosežejo bližino referenčne vrednosti, med aperiodičnimi odzivi pa je najhitrejši odziv pri kritičnem dušenju. Aperiodični odzivi relativno počasi reagirajo na vhodne signale.

Značilni odziv sistema PT2 na stopnico

28

Im(s)

Re(s)s1

Stopnični odziv R(s) = 1/s:

)(12

1)( 221

2

1 T

tT

t

n eTeTtc−−

−−

−=ζω

s2

11

22,1

1);1(

Tss n −=−±−= ζζω

22

1

Ts −=

ζ ≥ 1 kritično in nadkritičodušenje

0 < ζ < 1 dušeno nihanje-podkritično dušenje

ζ = 0 nedušeno nihanje

Tipični parametri odziva sistema

Analiza kvalitete regulacijskih sistemov

Obravnavani časovni odzivi so zapleteni, zato vedenje regulacijskega sistema opišemo s pokazatelji kvalitete, ki so odvisni od lege polov.

Pokazatelji učinkovitosti delovanja regulacijskega sistema

Načrtovanje regulatorja je postopek, s pomočjo katerega dosežemo želene pokazatelje kvalitete. Običajno želimo doseči faktor dušenja ζ med 0,4 in 0,8.

Čas zakasnitve - td je čas, v katerem regulirana veličina prvič doseže 50% končne vrednosti.

29

Mp

td tp tstr

Čas vzpona - tr

Začetek odziva sistema določa čas vzpona tr (rise time). Za sisteme z dušenjem ζ < 1 je čas vzpona tr določen s spremembo od 0 do1, pri sistemih z dušenjem ζ > 1 pa s spremembo izhoda od 10% do 90% njegove vrednosti in ga označimo s tr1.

Čas prvega prenihaja - tp

(čas maksimalnega prevzpona – peak time) določimo za sistem drugega reda:

Prenihaj Mpt

je določen z razliko med maksimalno vrednostjo odziva in vrednostjo 1.

Čas umiritve/stabilizacije - ts

je čas, ki ga potrebuje odziv, da doseže in ostane znotraj tolerančnega področja okoli ustaljene vrednosti x (x = običajno ± 2% oz. ± 5%).

30

nr

nr

d

dr

t

pritarctgarctgt

ωζ

ζωζ

ζσ

ωβ

ωβπ

60.016.2

5.02

;1

;

1

2

+≈

⟨≈−

==−=

21 ζωπ

ωπ

−==

ndpt

%100(%);101)(;10022 1

%1

% ⋅==⟨≤=−=⋅−

= −−

−−

ζ

πζζ

πζ

ζ eMezaveljaetcMM

MMe pdpp

s

sptd

)9.0

1(4.0:9.04.0

6.01:6.00

ζζ

ζζ

−⋅≈≤≤

−≈≤≤

p

p

M

MDušenje ζ 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

Prenihaj Mp(%)

0.2 1.5 4.6 9.5 16.3 25.4 37.2

TtxTtx

prixtx

eee

ns

ns

ns

ttT

t

snn

33

:%5;44

:%2

1

100ln

100;

=≈==≈=

⟨=⇒== −−−

ζ ωζ ω

ζζ ω

ζ ωζ ω

Čas ustaljenega stanja stanja je približno enak 3 do 4 – kratni vrednosti časovne konstante, ki pripada prevladujočemu korenu karakteristične enačbe sistema.

Pri načrtovanju običajno predpišemo pokazatelje, poiščemo ustrezno lego polov, ki zagotovi ustrezne pokazatelje kvalitete in določimo regulator, ki zagotovi želene pole. Za podane vrednosti tr , Mp in ts dobimo naslednje zveze:

Stacionarni pogrešek v regulacijskih sistemih

Glavna zahteva regulacijskega sistema je zagotovitev zahtevanega stacionarnega pogreška.

31

G(s)

H(s)

R(s) E(s) C(s)

)(1

)()(1)(

)()()(1

)()()(1)(

)()(1

)()()(

sG

sRsEsH

sRsHsG

sGsHsGsR

sHsG

sGsRsE

+=⇒=

+−+=

+−=

snp

rn t

Mt

4);1(6.0;

2 ≥=−⋅≥≥ ζωσζω

Neenačbe lahko predstavimo v ravnini 's', kjer je prikazano področje, kjer je potrebno izbrati pole.

Stacionarni pogrešek, ko je H(s) = 1 določimo:

Odprtozančna funkcija v faktorizirani obliki:

Parametri v prenosni funkciji:

- K… ojačanje sistema, - Kp … konstanta pozicijskega pogreška / odprto zančna prenosna funkcija- Tbi … časovne konstante števca;- Tai … časovne konstante imenovalca- j … vrsta sistema oz. število polov v koordinatnem izhodišču (celo število, ki

predstavlja število integratorjev v odprto-zančni funkciji G(s)

Stacionarni pogrešek sistema določimo

- za referenčno stopnico: r(t) = σ(t) - za referenčno naraščajočo funkcijo - rampo: r(t)=t.σ(t)

Stacionarni pogrešek v transformirani obliki pri stopničastem referenčnem signalu

Pri stopničastem referenčnem signalu je pogrešek odvisen od konstante pozicijskega pogreška. Za sistem ničelnega reda (j = 0, proporcionalni sistem) in višjih redov (j ≥ 1) velja:

32

)(1

)(lim)(lim

0 sG

ssRete

ss

t +==

→∞→

t

c(t)

r(t) =t.σ(t)

t

c(t)r(t)

r(t) = σ(t)

es

c(t)

c

es

ps

sp

sss

st

s

K

ResHsGK

sHsG

R

sHsG

sRssEetee

+=⇒⋅=

⋅+=

⋅+⋅

==⇒=

→

→→→∞→

1)()(lim

)()(lim1)()(1

)(lim)(lim)(lim

0

0

0

0

00

)1()1)(1(

)1()1)(1()()(

21

21

++++++

=sTsTsTs

sTsTsTKsHsG

amaaj

bnbb

Vrsta vhodnega signala Stopnica Rampa ParabolaVrsta sistema (j) Kp Kv Ka

es=R0/(1+Kp)es=R0 / Kv es=R0 / Ka

0 K 0 0 R0/(1+K) ∞ ∞1 ∞ K 0 0 R0/K ∞2 ∞ ∞ K 0 0 R0/K3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0

Stabilnost regulacijskih sistemov

Analiza stabilnosti linearnih časovno nespremenljivih sistemov temelji na legi polov regulacijskega sistema Gr(s) = C(s)/R(s) oziroma na legi korenov karakteristične enačbe: 1 + G(s)H(s) = 0. Sistem je stabilen, če je izhodni signal omejen pri kakršnemkoli omejenem vhodnem.

referenčni vhod: r(t)≤ N < ∞ za t ≥ t0 t … poljubni časregulirana veličina: c(t)≤ M < ∞ za t ≥ t0 t0… začetek opazovanja

BIBO stabilnost vodi do zahteve, da koreni karakteristične enačbe v primeru stabilnega sistema ležijo v levem delu ravnine 's'.

33

0:1;1

:0

)1()1)(1(

)1()1)(1(lim:1;

)1()1)(1(

)1()1)(1(lim:0

0

21

21

021

21

0

=≥+

==

∞=++++++

=≥=++++++

==→→

ss

amaaj

bnbb

sp

amaa

bnbb

sp

ejK

Rej

sTsTsTs

sTsTsTKKjK

sTsTsT

sTsTsTKKj

Routh-ov stabilnostni kriterij

Postopek:

1. zapis karakteristične enačbe 1 + G(s)H(s) = 0 v obliki: a0sn + a1sn-1 + a2sn-2 + …+ an

= 0

2. če ležijo koreni v levem delu ravnine, morajo biti koeficienti a,b,c,… pozitivni oz. enakega predznaka (primer enačbe 1.reda: s +a; primer enačbe 2.reda: s2 + bs + c; …)

3. ureditev koeficientov v Routh-ovo shemo po naslednjem vzorcu:

sn a0 a2 a4 a6 …s n-1 a 1 a 3 a 5 a7 …sn-2 b1 b2 b3 b4 …sn-3 c1 c2 c3 c4 …sn-4 d1 d2 d3 d4 …. . . . .

. . . . .. . . . .s3 e1 e2 e3

s2 f1 f2

s1 g1

s0 h1

Primer:

Karakteristična enačba sistema ima obliko: s4 + 2s3 + 3s2 + 4s +5 = 0

Ker so vsi koeficienti pozitivni, je izpolnjen potreben pogoj za stabilnost sistema.

Izračunana Routh-ova shema ima obliko:

34

;...;

;...;;

;...;;

1

31312

1

21211

1

41713

1

31512

1

21311

1

70613

1

50412

1

30211

c

cbbcd

c

cbbcd

b

baabc

b

baabc

b

baabc

a

aaaab

a

aaaab

a

aaaab

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

s4 1 3 5

s3 2 4 0 / x ½

1 2 0

s2 1 5

s1 -3 0

s0 5

Ker se predznak v prvem stolpcu dvakrat zamenja (prehod iz + v – in iz – v +), ni izpolnjen zadostni pogoj za stabilnost. Sistem ima dva pola v desnem delu ravnine 's'.

REGULACIJSKI ALGORITMI

- delitev glede na energijo, ki jo potrebujejo za delovanje

a) regulatorji brez pomožne energije (samodelujoči);- izdelujejo se masovno in so poceni- so zanesljivi in izpolnjujejo varnostne zahteve- območje signalov je omejeno in neprilagodljivo- dinamične lastnosti so zelo omejene (proporcionalna karakteristika)- slabša točnost, posegi v zanko niso možni – ni modularnosti

35

b) regulatorji s pomožno energijo; za delovanje je potrebna dodatna pomožna energija- so bolj splošno namenski- dražji- območje signalov je prilagodljivo- dinamične lastnosti so raznovrstne- omogočajo veliko točnost- poseg v zanko je možen, zato omogočajo veliko modularnost

- delitev glede na vrsto medija ali uporabljene pomožne energijea) mehanskib) pnevmatskic) hidravličnid) električni

- delitev električnih regulatorjeva) analogni; izvedeni so z električnimi oz. elektronskimi komponentamib) digitalni; izvedeni so s sodobnimi računalniškimi komponentami

- delitev glede na vrsto regulirnega signala

a) zvezno delujoči regulatorji; regulirna veličina lahko zavzame poljubno vrednost znotraj regulirnega območja, regulacija je zelo točna; delitev zveznih regulatorjev glede na dinamične značilnosti:- proporcionalni P- proporcionalno - integrirni PI- proporcionalno - diferencirni PD- proporcionalno - integrirno – diferencirni PID

b) stopenjsko (nezvezno) delujoči regulatorji; regulirna veličina lahko zavzame samo dve ali tri različne vrednosti - dvopoložajni ON – OFF- tropoložajni

c) mehki regulatorji (fuzzy)

Regulator s proporcionalnimi lastnostmi – P regulator

Sistem z absolutnimi veličinami: Sistem v delovni točki:

P regulator Y00

r+R00 e y y+Y00

IZHOD r e y - -

VHOD x x+X00

36

Kp Kp

R00 – želena vrednsot; Y00 – delovna vrednost; Kp - ojačanjey(t) = Kp . e(t) = (YH / XR) . e(t)YH – največja možna vrednost regulirne veličine, kjer veljajo linearne razmereXR – regulacijsko območje regulatorja: P območje

y(t)Elektronsko vezje: Kp = - R2 / R1 Odziv na stopnico:

področje nasičenjae

uvh R2 YH

1 XR

R1 uizh

y t e(t)

Kp področje omejene občutljivosti

t področje nasičenja

Značilne lastnosti:

- delovanje regulatorja brez zakasnitve

- nastavljanje želene vrednosti, ojačenja Kp in delovne vrednosti regulirne veličine- proporcionalno območje regulatorja PB (proportional band); območje regulirane

veličine ali pogreška, ki izkoristi 100% regulirno veličino- zapis proporcionalnega algoritma:

- stacionarni pogrešek; ob stopnični spremembi vhodne funkcije je odvisen od ojačenja regulatorja

Proporcionalna regulacija nivoja hidravličnega proporcionalnega sistema 1. reda

Hidravlični regulacijski sistem:

Y+Y00 h(t) x(t)qi+Q00 r+R00 1 ess pogrešek v

KpK ustaljenem 1+KpK stanju

A h+H00

qo+Q00

37

PS

pSs KK

KKe

+=

1

Statična karakteristika:

)((%)

%100)(;

(%)

%100maxte

PBty

PBPB

Y

e

yKp ⋅====

2T1 4T1 6T1 t

Blok diagram sistema:

R(s) E(s) Y(s) Qi(s) H(s)mA mA mA ls-1 m Kp – ojačenje proporcionalnega regulator.

KV – konstanta ventila: mA/ls-1

KB – konstanta merilnega sistema: m /mA m

Poenostavljeni blok diagram sistema:

R(s) X(s) H(s)mA m m K = KV .R.KB

T = R.A

Zveza med želenim nivojem x(t) in regulirano veličino h(t) pri stopničastem poteku spremenljivke x(t):

Regulacijski sistem je za faktor ess zmanjšal časovno konstanto. Pogrešek v ustaljenem stanju:

Kp' … konstanta pozicijskega pogreška

Regulator z integralnimi lastnostmi – I regulator

r e y

x

Regulacijski algoritem in prenosna funkcija:

38

Kp

KB

RRAp + 1

KV

1/KB K Tp + 1

Kp

;1

;11

)(;1

)(;1)(

)(1

1

KK

TTe

KK

KKth

ssX

KKsT

KK

sX

sH

p

T

t

p

p

p

p

+=

−⋅

+==

++=

−

KKe

pss +

=1

1

'1

1

1

1

11

ppp

pssssss

KKKKK

KKhxe

+=

+=

+−=−=

KI

Integrirni regulator je potreben tam, kjer ne želimo pogreška v ustaljenem stanju. Hitrost regulirne veličine je proporcionalna pogrešku e!

dy Elektronsko vezje: Odziv na stopnico dt Statična karakteristika:

ymax

e uvh C

1 R00 R uizh

y t e e+E00

1

-ymax PVB TI t

Značilne lastnosti:

- delovanje regulatorja je počasnejše in v določenih primerih lahko odpravi stacionarni pogrešek es

- regulirno veličino lahko proizvaja, tudi če je pogrešek enak nič (pretekle vrednosti pogreška so napolnile integrator)

- pogrešek med referenčno in regulirano veličino, ki povzroči maksimalno možno hitrost regulirne veličine, imenujemo proporcionalno hitrostno območje PVB (proportional velocity band)

- PVB skupaj z maksimalno hitrostjo določa strmino statične karakteristike oz. ojačenje regulatorja KI:

Primer:

integrirna regulacija nivoja hidravličnega proporcionalnega sistema 1. reda:

Y+Y00

qi+Q00 r+R00 GR Z(s) Gp

R(s) X(s) E(s) Y(s)

A h+H00 R H(s)

39

III

I

IR

III T

KRCTsTs

K

sE

sYGte

TteK

dt

tdydtteKty

1;;

1

)(

)();(

1)(

)(;)()( ==−====== ∫

∫⋅=

⋅==== dtte

PVBT

yty

PVBT

yK

T

yy

PVB

y

e

yK

yyI

yI )()(;;; maxmaxmax

maxmax

KI

s 1Kb

KVKBRRas+1

qo+Q00

KV – konstanta ventila; povezava med regulirnim signalom (mA) in vhodnim pretokom

KB – konstanta merilnega sistema; zveza med regulirano veličino v (m) in (mA)

Pri stopničasti referenci X(s)=1/s je pogrešek v ustaljenem stanju enak nič:

Proporcionalno – integrirni regulator – PI regulator

P del regulatorja trenutno učinkuje na pogrešek, vendar ne odpravlja pogreška v ustaljenem stanju, I del regulatorja zaradi končne hitrosti učinkuje počasneje, vendar odpravi pogrešek v ustaljenem stanju. PI regulator realiziramo s paralelno kombinacijo P in I regulatorja:

y1(t)

40

01)(

lim)(lim;1

1

)(

)(2

2

002

2

=++

+==++

+=+

=→→ sRKKKsRAs

sRAssssEe

RKKKsRAs

sRAs

GGsX

sE

BVIss

s

BVIPR

N

p

II

pp

Ip

Ip

I

Ip

IpR

IpIp

T

K

TK

e

yK

tT

KdtteT

teKtyte

sT

sTK

sTKGdtte

TteKdtteKteKty

===

+=

+=⇒=

+=

+=

+=+=

∫

∫∫

1;

11)(

1)()(1)(

111;)(

1)()()()(

Kp

)(ty)(te

y2(t)

Kp – ojačenje regulatorja (proporcionalnostni faktor); TI – integrirni čas; TN – nastavitveni čas

Elektronsko vezje: Odziv na stopnico: e(t) = 1

y(t) uvh R1 R2 C

uizh y2(t)

-TI TI tKR = R2 / R1 TI = R2.C

Značilne lastnosti:

- v času TI regulirna veličina podvoji začetno vrednost, ki je določena z ojačenjem Kp

- TI … prenastavitveni čas (reset time);

- 1/TI … prenastavitvena frekvenca (reset rate), ki pove s koliko je treba pomnožiti del regulirne veličine, ki pripada P delu regulatorja, da dobimo vrednost regulirne veličine po 1 časovni enoti

- integralski pobeg; pri vseh izvedbah regulatorjev, kjer v paralelni vezavi nastopa integrator, lahko pride do integralskega pobega (v primeru velikih sprememb na vhodu, lahko izhod iz integratorja pobegne v področje nasičenja)

Regulatorji z diferencirnim dodatkom – PD regulatorji

PD regulacijski algoritem: P regulatorju dodamo člen, katerega velikost je proporcionalna odvodu pogreška:

Kp – ojačenje regulatorja, TD - diferencirni čas; KD – diferencialni faktor; TV – diferencialna časovna konstanta

Primer - PD regulacija zasuka rotacijskega mehanskega sistema brez dušenja Rotacijski mehanski sistem z zanemarljivim dušenjem lahko opišemo z naslednjo diferencialno enačbo:

41

KI /s

pK)(ty1

VpDp

p

DpRDpDp

TKKe

yyK

sTKGdt

tdeTteK

dt

tdeKteKty

=−

=

+=+=+=

;

)1(;)(

)()(

)()(

)t(Tdt

)t(cdJ

2

2

=

c(t) … zasuk sistemaT(t) … vzbujalni momentJ …… vztrajnostni moment bremena

Blokovna regulacijska shema regulacije zasuka z uporabo P regulatorja:

Če dodamo P regulatorju diferencirni del, so razmere s PD regulatorjem naslednje:

Zaradi D člena regulatorja se v karakteristični enačbi pojavi dušenje (člen KpTDs v karakteristični enačbi). Lega korenov se je premaknila v levo polravnino, odziv sistema postane stabilnejši in dušen.PID regulacijski algoritem

PI regulatorju dodamo člen, katerega velikost je proporcionalna odvodu pogreška:

42

Kp

r(t)

1/Js2

T(t) c(t)

0KJs:KE

KJs

K

)s(R

)s(C:PF

p2

p2

p

=+

+=

jω

σt

c(t)

1

Lega korenov: Časovni potek zasuka:

0KsTKJs:KE

KsTKJs

)sT1(K

)s(R

)s(C:PF

pDp2

pDp2

Dp

=++

++

+=

jω

σt

c(t)

1

Lega korenov: Časovni potek zasuka:Kp(1+TDs)

r(t)

1/Js2

c(t)

VDN

pI

pp

Dp

I

pp

D

IpR

Dp

DD

I

pI

DI

pRDI

pDIp

TKT

KK

e

yK

pT

pTKD

pT

KIKP

sT

sT

sTKsG

TTK

KT

K

KT

sTsT

KsGdt

tdeTdtte

TteK

dt

tdeKdtteKteKty

===

+===

+++=

−≈==

++=

++=++= ∫∫

;,

1;;;)

1

11()(

)3.01.0(;;

)1

1()(;)(

)(1

)()(

)()()(

//

/

Kp

KI /s

KDs

)(te

)t(y 1

)t(y2

)t(y3

)t(y)t(y)t(y)t(y 321 ++=

Kp - ojačenje regulatorja;

TD - diferencirni čas;

TI - integrirni čas;

T'- realni diferencirni čas

-TI t

Primer - PID regulacija sistema 2. reda

Spodnji primer kaže regulacijsko blokovno shemo 2. reda pri stopničasti motnji na regulirnem signalu in pri naslednjih parametrih regulatorja: Kp = 19, TI = 2, TD = 4/19

Ker velja e(t) = - c(t), ima P regulator pogrešek v ustaljenem stanju. Z D členom povečamo dušenje, odziv je manj nihajoč, z I členom pa odpravimo pogrešek v ustaljenem stanju. Tako v praksi nastavljamo PID regulatorje.

Odziv regulacijskega sistema pri P, PD in PID regulatorju:

43

)(ty

DpTK

)t(y3

)(ty2

)(ty1pK

)(ty

'D

T

K

)(ty3

)(ty2

)(ty1pK

'T

TKK

Dpp +

Kp.e

Kp.e

TnTv

T'

idealni odzivrealni odziv

)sTsT

11(K D

Ip ++

r(t) = 0 e(t)

1(s+1) (5s+1)

c(t) ali x(t)y(t)

z(t) = 1

Primeri stopenjskih regulacijskih sistemov

Dvopoložajni regulacijski algoritmi

Dvopoložajni pulzno-širinski algoritem in primerjava z zveznim

44

Dvopoložajni regulacijski algoritem in motor

Tripoložajni regulacijski algoritmi

45

Nastavitvena pravila regulatorjev

Pri nastavljanju regulatorjev uporabljamo pokazatelje kvalitete regulacije: čas vzpona, maksimalni prevzpon in umiritveni čas in hitrost izreguliranja motenj.

1. Metoda Ziegler – Nichols

a) metoda Ziegler – Nichols s pomočjo odziva na stopnico

46

Regulator Kp TI ali Tn TD ali Tv

P1 T'K Tm'

∞ 0

PI 0.9 T'K Tm'

3.3 Tm' 0

PID 1.2 T'K Tm'

2 Tm' 0.5 Tm'

b) metoda Ziegler – Nichols s pomočjo nihajnega preizkusa. Regulator Kp TI ali Tn TD ali Tv

P0.5 Kkr

∞ 0

PD 0.8 Kkr -- 0.125 Tkr

PI 0.45 Kkr 0.83 Tkr 0PID 0.6 Kkr 0.5 Tkr 0.125 Tkr

PID regulator ima en pol v koordinatnem izhodišču in dvojno ničlo pri s = - 4 / Tkr. 2. Metoda Chien – Hrones – Reswick

RegulatorZnačilni parametri

Aperiodični odziv z najkrajšim umiritvenim

časom

Najkrajši umiritveni čas z 20% prevzponom

motnja referenca motnja referencaP Kp 0.3 T'

K Tm'0.3 T'K Tm'

0.7 T'K Tm'

0.7 T'K Tm'

PIKp 0.6 T'

K Tm'0.35 T'K Tm'

0.7 T'K Tm'

0.7 T'K Tm'

TI 4 Tm' 1.2 T' 2.3 Tm' T'

PIDKp 0.95 T'

K Tm'0.6 T'K Tm'

1.3 T'K Tm'

0.95 T'K Tm'

TI 2.4 Tm' T' 2 Tm' 1.35 T'TD 0.42 Tm' 0.5 Tm' 0.42 Tm' 0.47 Tm'

47

1sT'

Ke

Y(S)

X(S) s'Tm

+=

−

Prenosna funkcija PID regulatorja:

;s

)'T

1(s

T'K

0.6s)'0.5T

s'2T

1(1

Tm'

T'

K

1.2

s)TsT

1(1K(s)G

2

mm

m

DI

pR

+=++=

=++=

PID regulator ima pol v koordinatnem izhodišču indvojno ničlo pri s = - 1 /Tm'.

s

)T

4(s

T0.075Ks)0.125Ts0.5T

1(10.6K

s)TsT

1(1K(s)G

2

krkrkrkr

krkr

DI

pR

+=++=

=++=

Izbira ustreznega regulatorja za določeno progo

RegulatorProga P PI PD PID

Sistem s čistim mrtvim časom neuporabno referenca + motnja neuporabno neuporabnoSistem 1. reda z mrtvim časom neuporabno slabše kot PID neuporabno referenca + motnjaSistem 2. reda z mrtvim časom neustrezno slabše kot PID slabo referenca + motnjaSistem 1. reda z majhnim Tm referenca + motnja motnje referenca pri Tm' motnje pri Tm'Sistem višjega reda neustrezno slabše kot PID neustrezno referenca + motnjaSistem brez izenačenja in Tm' referenca motnje (brez Tm') referenca motnja

Primernost regulatorjev za dani sistem

RegulatorProga P I PI PD PID ON-OFF

P0 - x xx - - -P-T1 x x x - - xP-T2 - - x - xx xP-TT - x xx - - -

P-TT-T1 / τ >>TT

/ τ >TT

x - xx x x x- - x - x -

I0 x - x - - xI-T1 - - x x xx xI-TT - - - x x -

xx: zelo primerenx : primeren- : neprimeren

48

MEHKO VODENJE – FUZZY LOGIKA

Številska premica z ostrim številom r = 4.5. p1: 'temperatura je 4.5 0C'

Mehko število 4.5 in ustrezna mehka množica B. p2: 'temperatura je okrog 4.5 0C'

49

4.5

pripadnost µ1.0

0.3

0 r4.5

nedvomna točka

0 r

0

r

4.4 4.64.5

dvomna točka

x

µA(x)

1

4.5 x

µB(x)

1

0

µC(x)

1

0

mehkost ostrost informiranost

Različne mehkosti števila 4.5

OSNOVNI POJMI FUZZY LOGIKE

Fuzzy sets – fuzzy skupine z mehkimi prehodiLinguistic variables – spremenljivkePossibility distributions – porazdelitev možnostiFuzzy if-then rules – fuzzy pravilaMember ship functions – funkcije pripadnosti (µ): trikotnik, trapez, sinus

50

4.5 x

4.50 x

µD(x)

1

0

Primer spremenljivk črpališča: nivo, hitrost, črpalka

Pravila fuzzy regulatorja:1. if (nivo visok) then (črpalka ne dela)2. if (nivo nizek) then (črpalka polna kapaciteta)3. if (nivo ok) and (hitrost negativna) then (črpalka povprečno delovanje)4. if (nivo ok) and (hitrost nič) then (črpalka ne dela)5. if (nivo ok) and (hitrost pozitivna) then (črpalka ne dela)

Transformacija:1. if (nivo visok) or ((nivo ok) and (hitrost nič) or (hitrost pozitivna)) then (črpalka ne dela) 2. if (nivo nizek) then (črpalka polna kapaciteta)3. if (nivo ok) and (hitrost negativna) then (črpalka povprečno delovanje)

Spremenljivka hitrost pove, ali nivo raste ali pada: odvod d(nivo)/dt

POTEK SNOVANJA MEHKEGA REGULATORJA

1. postopek MEHČANJA ali FUZIFIKACIJE vhodnih spremenljivk (matcing)2. postopek INFERENCE ali PROCESA ODLOČANJA (inference)3. postopek KOMBINACIJE (combination)4. postopek OSTRENJA ali DEFUZIFIKACIJE (defuzzifaction)

51

Vrednosti spremenljivk

nivo- visok- ok- nizek

hitrost- negativna- nič- pozitivna

črpalka- ne dela- povprečno delovanje- polna kapaciteta

1. MEHČANJE ali FUZIFIKACIJA

- določanje množice vhodnih in izhodnih spremenljivk,- določanje področja obravnave vhodnih in izhodnih spremenljivk,- postopek mehčanja vhodnih spremenljivk.

• VHOD: razlika nivojev ″e ″:• VHOD: hitrost spreminjanja nivoja ″de ″:• IZHOD: izhod iz izvršilnega člena ″y ″:

PRIPADNOSTNA FUNKCIJA RAZLIKE NIVOJEV E : PRIP. FUNKC. HITROSTI SPREMINJANJA NIVOJA DE:

PRIPADNOSTNA FUNKCIJA IZHODA IZ REGULATORJA″Y ″: (PRIMER OSTRIH IZHODOV)

3. INFERENCA ali PROCES ODLOČANJA

- sestava množice pravil krmiljenja in- inferenca

PRAVILA KRMILJENJA

52

INFERENCA

3. KOMBINIRANJEPostopek skombinira vse informacije, dobljene preko fuzzy pravil, v eno

53

VHOD (E)razlika nivojev

VHOD (DE): hitrost spreminjanja nivojaIZHOD (Y)

max-min operator ali max-produkt operator

4. OSTRENJE ali DEFUZIFIKACIJA

- težiščna metoda (COG center-of-gravity),- metoda središčnih vsot,- metoda maksimumov,- metoda višine, metoda največje površine …

Snovanje mehkega regulatorja z dvema vhodoma, n pravili in enim izhodom:

Simulacija sistema s fuzzy regulatorjem črpališča z dvema posodama

54

R

p1: IF A =…… AND B =…… THEN Y =……p2: IF A =…… AND B =…… THEN Y =……p3: IF A =…… AND B =…… THEN Y =……..pn: IF A =…… AND B =…… THEN Y =……

FUZIFIKACIJA

VHOD

INFERENCA

DEFUZIFIKACIJA

IZHOD

COG

Primer Winfact Fuzzy PI

Primer Winfact Fuzzy PD

55

56