МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 8 КЛАСС 8 КЛАСС – ОСЕНЬ 2013 …mathwithoutborders.bg/public_html/ru/wp-content/... · 1 х МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ

1

х

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ

8 КЛАСС

8 КЛАСС – ОСЕНЬ 2013

Задача 1. Если и , то :

А) неотрицательное число B) отрицательное число

C) положительное число D) невозможно определить

Задача 2. Число решений уравнения равно

А) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 3. Известно, что сумма внутренних углов некоторого четырехугольника 360

градусов. Если один из углов четырехугольника равен среднему арифметическому

остальных трех угллов, то этот угол:

А) острый B) прямой C) тупой D) другой ответ

Задача 4. Многоугольник имеет больше 30 диагоналей. Тогда число его сторон не

меньше:

А) 9 B) 10 C) 11 D) 12

Задача 5. Если то равно:

А) B) C) D) 0

Задача 6. Равенство является тождеством. Тогда

наименьшее из чисел а, b и c:

А) B) C) D) три числа равны

Задача 7. Eсли и , то значение выражения равно:

А) B) C) D) другой ответ

Задача 8. Сколько из решений уравнения являются решениями

неравенства ?

2

А) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Задача 9. Пусть в некотором треугольнике две стороны равны 2 cm и 4 cm и медиана к

третьей стороне имеет длину m сm. Тогда обязательно верно, что:

А) B) C) D)

Задача 10. Наименьшее натуральное число , для которого делится на 10 с

остатком 0, равно:

А) 8 B) 6 C) 4 D) 2

Задача 11. Скорость поезда 20 m/s. Сколько km проедет этот поезд за 1,5 часа, если в это

время включить 10 минут простоя?

А) 960 B) 108 C) 96 D) другой ответ

Задача 12. Уравнение , где а и b - параметры, имеет бесконечно

много решений. Тогда наибольшее значение выражения равно:

А) 1 B) 2 C) 4 D) 5

Задача 13. Количество десятизначных чисел с суммой цифр 2, равно:

А) 2 B) 4 C) 9 D) 10

Задача 14. Точка М – внутренняя точка квадрата АВСD, такая что угол

. Тогда отношение величины

равно:

А) 2 B) 3 C) 4 D) 5

Задача 15. В разложении двучлена

на множители участвуют два трехчлена, один из которых равен Другой

равен

А) B) C) D)

Задача 16. Некоторое число делится и на 2, и на 3, и на 5, и имеет 2013 делителя.

Наименьшее такое число имеет вид и тогда

3

Задача 17. Ромб имеет диагонали 8 см и 6 см. Площадь четырехугольника с вершинами

на серединах сторон ромба равна..... кв. см.

Задачи 18. В квадрате даны 2013 точки. На какое наибольшее число треугольников с

вершинами в этих точках и вершинах квадрата может быть разрезан этот квадрат?

Задача 19. Прямоугольный лист размером 6 см на 7 см разрезан на наименьшее

возможное число квадратов, стороны которых измеряются целым числом см. Сколько

всего получилось квадратов?

Задача 20. Наибольшее из 22 последовательных четных чисел в 4 раза больше, чем

наименьшее среди них. Каково пятое число?

8 КЛАСС – ЗИМА 2014

Задача 1. В порядке возрастания записаны все четырехзначные числа, образованные

цифрами 0, 1, 2, 4. Найдите разность двух чисел, между которыми находится число 2014.

A) 621 B) 801 C) 1111 D) 2014

Задача 2. После приведения многочлена к нормальному виду

получается многочлен с суммой коэффициентов

A) 2 013 B) 2 014 C) 4 027 D) –

Задача 3. Сумма корней уравнения равна

A) 0 B) 4 C) 5 D) 6

Задача 4. Самое близкое к 2014 число, которое является количеством диагоналей

многоугольника, равно:

A) 1 952 B) 2 013 C) 2 015 D) 2 079

Задача 5. Если числа А, В и С таковы, что выражение

имеет наименьшее значение, то равно:

A) B) 0 C) D) 8

Задача 6. Сколькими способами можно распределить 6 одинаковых груш между 3

детьми так, чтобы каждый ребенок получил грушу?

4

A) 24 B) 10 C) 8 D) 6

Задача 7. При делении 17 на число получается остаток:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 16

Задача 8. При делении на получается частное и остаток:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

Задача 9. Количество целых положительных чисел, которые являются делителями

числа, равного значению выражения , это:

А) четное число B) нечетное число C) простое число D) другой ответ

Задача 10. Два одинаковых квадрата Х и Y с площадью 4 расположены так, что точка

пересечения диагоналей квадрата X является вершиной квадрата Y. Чему равна площадь

общей части двух одинаковых квадратов?

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2

Задача 11. Две медианы треугольника равны сm и сm.. Площадь треугольника,

самое большее:

A) B)

C)

D)

Задача 12. Для скольких целых чисел n число является простым?

A) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 13. Если АВСD – ромб с площади , определите площадь четырехугольника,

полученного при последовательном соединении середин сторон ромба.

A) B) C) D)

Задача 14. Наибольшее целое число, которое не больше, чем

равно:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Задача 15. Число - точный квадрат натурального числа. Тогда при делении на 4 этого

числа может получиться остаток:

5

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6

Задача 16. Квадрат некоторого числа – четырехзначное число, записанное цифрами 0, 2,

3 и 5. Какова цифра сотен?

Задача 17. Сколько из решений уравнения являются решениями

неравенства ?

Задача 18. Пусть - натуральное число. Через Обозначается произведение всех

натуральных чисел от 1 до Если - рациональное число, то равен.....

Задача 19. Если произведение рационального числа Q и иррационального числа I -

рациональное число, то

равно ........

Задача 20. Бабушка раздавала внукам яблоки. Первому внуку дала 1 яблоко и 1/10 от

остальных, второму -2 яблока и 1/10 от остальных, третьему - 3 яблока и 1/10 от

остальных и т.д., пока яблоки не закончились. Оказалось, что все внуки получили по

равному числу яблоки. Сколько было внуков и по сколько яблок они получили?

8 КЛАСС – ВЕСНА 2014

Задача 1.

А) 20 B) 22,5 C) 25 D) 65

Задача 2. На чертеже квадрат, правильный пятиугольник и правильный шестиугольник

имеют общую вершину. Чему равен угол α ?

А) B) C) D)

Задача 3. Квадратные уравнения – и имеют один

общий корень.Чему равна сумма других двух корней?

6

А) B) 6 C) 2 D) 1

Задача 4. Сколько целых чисел удовлетворяют двойному неравенству

?

А) 1 B) 2 C) 3 D) бесконечно

много

Задача 5. Про функцию f (x) = ax + b известно, что f (1) = 3 и f (3) = 13. Чему равно f

(13)?

А) 63 B) 53 C) 33 D) 23

Задача 6. Значение выражения

равно:

А) 1 B) 2 C) D) –1

Задача 7. Параллелограмм ABCD имеет стороны AB = 20 и BC = 14.

Биссектриса угла А пересекает сторону CD в точке L. Если М и N– середины отрезков АL

и ВС соответствено, то МN=

А)12 B)13 C) 14 D)17

Задача 8. Квадратное уравнение x2 + ax + a +3 = 0 имеет два корня. Если один корень 3,

чему равен второй корень?

А) -3 B) 0 C) -6 D)1

7

Задача 9. Из трех одинаковых прямоугольных плиточек размером x cm и y cm можно

сложить прямоугольник с периметром 130 cm или прямоугольник периметром 150 cm.

Сколько квадратных сантиметров составляет площадь одной плиточки?

А) 250 B) 270 C) 280 D) 300

Задача 10. На балу Золушка заметила, что танцуют 20% от присутствующих кавалеров и

30% от присутствующих дам (все время танцевали парами и каждая пара состояла из

кавалера и дамы). Сколько процентов от присутствовавших на балу танцевали?

А) 22% B) 24% C) 25% D) 27%

Задача 11. Прямая l параллельна графику функции y = 2 + 3x и проходит через точку

пересечения графиков y =2x – 1 и y = 4 – 3x. Прямая l пересекает ось ординат в точке с

ординатой:

А) 3 B) –2 C) 2 D) –1

Задача 12. На окружности отмечены красные и синие точки, синих точек на 10 больше,

чем красных. Каждая синяя точка соединена с каждой красной, причем проведен всего

231 отрезок. Сколько точек отмечено на окружности?

А) 28 B) 32 C) – 12 D) 4

Задача 13. Чему равно произведение всех значений параметра a, для которых уравнение

x2 + ax + a + 3 = 0 имеет два равных корня?

А) – 3 B) 6 C) – 12 D) 4

Задача 14. Точки E и D являются серединами, соответственно, AC и BC, а F и H -

серединами AD и BE. Если AB = 12, то чему равно FH?

8

А) 2 B) 3 C) 4 D) 4.5

Задача 15. Четырехзначное число назовем подходящим, если в его записи участвуют

только цифры 1, 2 и 3 и отличаются точно в трех позициях от каждого из чисел 1111,

1222, 2123, 2231, 3132 и 3321. Сколько существует подходящих чисел?

А) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Задача 16. Когда Ане было столько лет, сколько Боби сейчас, Боби было 9 лет. А когда

Боби будет столько лет, сколько Ане сейчас, Ане и Боби вместе будет 33 года. Сколько

лет Ане сейчас?

Задача 17. На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка M и построен

параллелограмм DMCN с площадью 120. Если точки пересечения AN и BN с CD

обозначены соответственно P и L, а AL и BP пересекаются в точке K, то чему равна

площадь треугольника PKL?

Задача 18. Фигура трол находится в поле А на доске 3 х 4 и может двигаться вправо или

вверх по клеткам на доске, пока не дойдет до клетки В (один из возможных маршрутов

показан на чертеже). Игрок имеет право выбрать одну клетку (отличную от А и В) и

запретить тролу проходить через нее. Какое наименьшее число возможных маршрутов

от А до В можно оставить для трола при разумном выборе запрещенной клетки?

9

Задача 19. Чему равна сумма натуральных чисел n и m, для которых

?

Задача 20. Любомир раскрасил некоторые клетки квадратной доски 6 х 6 так, что каждая

клетка (раскрашенная или нет) имеет две соседние по стороне раскрашенные клетки.

Сколько клеток раскрасил Любомир?

8 КЛАСС – ФИНАЛ 2014

Задача 1. 2014 килограмм огурцов содержат 99 % воды. Если количество воды

уменьшится до 98 %, то вес огурцов

А) уменьшится на 2 кг B) уменьшится в 2 раза

C) уменьшится на 4 кг D) уменьшится в 4 раза

Задача 2. Три металлических кубика с ребрами 3 см, 4 см и 5 см расплавили и отлили

новый куб. Ребро нового куба равно

А) 6 см B) 7 см C) 5,5 см D) 6,5 см

Задача 3. Прямоугольник разделен двумя прямыми, параллельными его сторонам, на 4

меньших прямоугольника, три из которых имеют площади 3 кв. см, 4 кв. см и 5 кв. см.

Найдите наименьшее возможное значение площади четвертого прямоугольника.

А) B) C) D)

Задача 4. Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АВ в точке М.

Если АМ > BM, то верно, что

A) АC < ВС B) АC > ВС C) АC = ВС D) другой ответ

Задача 5. Найдите 13-ю цифру, справа налево, числа, полученного при умножении всех

натуральных чисел от 1 до 50.

10

А) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Задача 6. Если равенство

является тождеством, то равно

А) 120 B) 60 C) D)

Задача 7. Сколько существует точек на плоскости с координатами a и b, которые

являются целыми положительными числами и для которых ?

Задача 8. Найдите сумму рациональных чисел и , если - корень уравнения

А) B) 6 C) 3 D)

Задача 9. На балу Золушка заметила, что танцуют 20 % от присутствующих кавалеров и

30 % от присутствующих дам (все время танцевали парами и каждая пара состояла из

кавалера и дамы). Сколько процентов от присутствующих на балу танцевали?

А) 22 % B) 24 % C) 25 % D) 27%

Задача 10. Какая из точек принадлежит графику функции

A) A (2;2) B) B (1;2) C) C (5;2) D) D (2;1)

Задача 11. На сколько сумма чисел в 2014-ой тройке ряда:

(5, 6, 7), (8, 9, 10), (11, 12, 13), (14, 15, 16), .... больше суммы чисел в первой тройке?

Задача 12. Точки М и N – середины боковых сторон АD и BC трапеции ABCD с

площадью S. (AB > CD). Точки P и Q лежат на основании АВ и PQNM - параллелограмм.

Определите площадь этого параллелограмма.

Задача 13. Сколькими способами можно поставить 6 книг, так чтобы две из них всегда

были рядом одна с другой?

Задача 14. Какая прямая является образом прямой при симметрии относительно

оси абсцисс?

Задача 15. Углы при вершинах А и В треугольника АВС равны, соответственно, 70 и 50

градусов. Точка М –внутренняя точка треугольника и .

Найдите

11

Задача 16. Из пяти одинаковых прямоугольных

плиточек размером x и y можно сложить

прямоугольник с периметром 160 или прямоугольник

с периметром 224, как показано на чертеже. Какова

площадь одной плиточки?

Задача 17. Один корень квадратного уравнения в два раза больше

другого. Какова наибольшая возможная величина параметра а?

Задача 18. В квадрате ABCD выбрана внутнняя точка M такая, что

и Сколько градусов содержит

?

Задача 19. Натуральные числа m и n таковы, что Чему равно

произведение mn?

Задача 20. Квадрат со стороной 7 разделен на единичные квадраты и в закрашенный

квадрат поставлена фигура генерал.

Генерал может перемещаться на 4 или 5 квадратов вверх, вниз, налево или направо.

Какое наибольшее число квадратов может обойти генерал, не становясь два раза в один и

тот же квадрат?


Задача 1. Произведение трех натуральных чисел равно 12. Найдите наибольшую

возможную сумму этих чисел.

A) 8 B) 9 C) 7 D) другой ответ

Задача 2. Если N - натуральное число и - простое число, то N:

A) простое число Б) четное число В) число, кратное 3 Г) другой ответ

12

Задача 3. Вычислите

A) B) C) D)

Задача 4. Два мальчика играют в такую игру: из коробки с 13 конфетами они по

очереди за один ход берут 1, 2 или 3 конфеты. Выигрывает тот, кто съест последнюю

конфету. Сколько конфет должен съесть первый игрок первым ходом, чтобы победить в

игре при любых действиях второго игрока?


Задача 5. Треугольник имеет высоты 1 cm, 2 cm и х cm, при любом х из интервала:

A) (0, 4) B) (0, 2/3) C) (2/3, 2) D) (0, 2)

Задача 6. Пусть А - натуральное число, а В и С - целые числа, такие что

В - тождество. Тогда А равно:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Задача 7. Вычислите где

означает произведение всех целых чисел от 1 до N включительно и 0!=1.

A) 100! B) 101! C) 102! D) 1000!

Задача 8. Количество рациональных чисел в последовательности

равно:

A) 100 B) 50 C) 10 D) 0

Задача 9. Сколько существует двузначных чисел N, таких что

делится на 10?

A) 13 B) 22 C) 23 D) 33

Задача 10. Точка О - точка пересечения диагоналей прямоугольника АВСD. Точка М

лежит на стороне АВ и угол АОМ равен 30 градусов. Точка N принадлежит отрезку ОВ и

такая, что ОМ=ON. Найдите угол NMB.

A) 10 градусов B) 15 градусов C) 20 градусов D) 30 градусов

Задача 11. Сумма 10 натуральных чисел равна 2014. Определите наибольшее возможное

значение наибольшего общего делителя этих чисел.

Задача 12. Сколько существует трехзначных чисел, которые в 12 раз больше суммы

своих цифр?

Задача 13. Углы треугольника относятся как 1:5:6, а площадь его равна 8 кв.см.

Определите длину наибольшей стороны этого треугольника.

13

Задача 14. Сколько существует целочисленных решений х и у уравнения

если N - простое число?

Задача 15. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Какая фигура всегда имеет

больший периметр?

Задача 16. Сколько решений имеет неравенство

?

Задача 17. Точка D медианы СМ треугольника АВС такова, что СD: DM=1:3. Если Е -

точка пересечения прямой АD и стороны ВС, найдите СЕ:СВ.

Задача 18. Если я пойду в школу пешком, а вернусь на автобусе, то потрачу полтора

часа. Если и туда и обратно поеду на автобусе– то потрачу 30 минут. За сколько времени

я дойду до школы и вернусь обратно пешком?

Задача 19. Пусть катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны,

соответственно, 3 cm и 4 cm. Пусть точка L принадлежит гипотенузе АВ, а СL -

биссектриса треугольника АВС. Найдите расстоянието от L до катета АС.

Задача 20. Сколько чисел до 1000 имеют сумму цифр 11 и делятся на 11?


Задача 1. Сколько существует натуральных чисел n, для которых

?

A) 77 B) 74 C) 55 D) 54

Задача 2. Какое из указанных чисел не является значением дискриминанта квадратного

уравнения с целыми коэффициентами?

A) 2015 B) C) 2016 D)

Задача 3. Если число а рациональное и число тоже

рациональное, то наибольшее значение b равно:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Задача 4. Если любые две высоты треугольника не меньше стороны, на которую они

опущены, то наименьший угол треугольника равен:

A) 30 градуса B) 45 градуса C) 60 градуса D) 75 градуса

Задача 5. При решении одного и того же квадратного уравнения три ученика получили

корени:

14

Первый ученик получил числа 4 и 2;

Второй ученик: 2 и 3;

Третий ученик: 3 и 5.

Оказалось, каждый нашел правильно точно один корень уравнения.

Сумма корней этого уравнения равна:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 9

Задача 6. Какое из чисел наибольшее?

A) B) C) D)

Задача 7. Длину коробки увеличили на 25 %, а ширину уменьшили на 36 %. На сколько

процентов нужно увеличить высоту коробки, чтобы его объем не изменился?

A) 11 B) 36 C) 25 D) 50

Задача 8. Сколько существует простых чисел, на которые делится число, равное

, где n - натуральное число?

A) 1 B) 2 C) 3 D) больше 3

Задача 9. Четырехугольник АВСD - трапеция с основаниями АВ и СD (АВ > СD). Если

диагонали трапеции пересекаются в точке О и АО:ОC= 3:1, то отношение площади

трапеции АВСD и площади треугольника АВО равно

A) 16:9 B) 4:3 C) 9:1 D) 8:5

Задача 10. Сколько корней уравнения являются отрицательными

числами?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Задача 11. В квадрат АВСD вписан другой квадрат MNPQ

Пусть AM:NC=1:2 и пусть площадь квадрата ABCD в n раз больше площади квадрата

MNPQ. Определите n.

Задача 12. Есть шарики – 4 синих, 3 красных и 1 белый. Сколькими способами можно

положить эти шарики в две коробки, если в одну из них помещается не больше 3, а в

другую – не больше 6 шариков?

Задача 13. Уравнение , где k - параметр, имеет корни p и q - простые

числа. Определите наибольшее значение параметра k.

Задача 14. Высота CH равнобедренной трапеции ABCD ( ) имеет длину 3 cm.

Если AH= 4 cm, найдите площадь трапеции.

Задача 15. Найдите наименьшее значение х, при котором выражение

имеет наименьшую величину.

15

Задача 16. В прямоугольной системе координат заданы точки A (-1; 1) и B (3; 6).

Определите ординату точки М, которая является серединой отрезка АВ.

Задача 17. Если , определите возможное количество целых положительных

значений, которые принимает выражение 8 – 3х.

Задача 18 Если после приведения многочлена

к нормальному виду получается

определите .

Задача 19. Число является полным квадратом и оканчивается на 5. Какие цифры сотен

могут быть?

Задача 20. Многозначное число N записывается цифрами где

и . Найдите сумму цифр числа .

8 КЛАСС – ВЕСНА 2015

Задача 1. Значение выражения 7 2 6 4 2 равно:

A) 2 1 B) 1 2 C) 2 1 D) 2 1

Задача 2. Значение k , для которого уравнение 2 4 1 0kx x имеет один корень, равно:

A) -4 B) 0 C) 0 или 4 D) 4

Задача 3. Медианы AN и BM в ABC пересекаются в точке G . Если расстояние от

G до прямой AB - 12 см, то расстояние от G до MN равно:

A) 0 см B) 3 см C) 6 см D) 12 см

Задача 4. Если график 1 1y ax проходит через точку (2;1)M , а график 2y x b

проходит через точку (1;2)N , то общая точка графиков этих функции имеет координаты:

A) 5 4

;3 3

B) 4 5

;3 3

C) (1;2) D) (2;1)

Задача 5. Отрезок CN , N AB , проходит через середину P медианы AM

треугольника АВС. Точка P делит CN , считая от C , в отношении:

A) 2:1 Б) 1:3 В) 4:1 Г) 3:1

Задача 6. Пусть

,

Величина выражения 2 2 22 2 2 2a b c abc равна:

16

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16

Задача 7. Цифра единиц числа 201523 равна:

A) 1 B) 3 C) 7 D) 9

Задача 8. Если 75 27 12x , то 2015x принадлежит интервалу:

A) ( ;0] B) (0;0,5] C) (0,5;1] D) (1; )

Задача 9. Количество треугольников с вершинами в двенадцати точках,

указанных на чертеже, равно:

A) 198 B) 200 C) 204 D) 220

Задача 10. Правильный многоугольник имеета 35 диагоналей. Сумма углов

многоугольника равна:

A) 1260 B) 1440 C) 1620 D) 1800

Задача 11. Вычислите значение выражения

Задача 12. Точки P и N делят сторону BC треугольника АВС на три равные части, а

M - середина AB . Если 3BC AC найдите PMN .

Задача 13. Пусть x и y - целые числа и 1 1 2

1x y xy . Найдите x y .

Задача 14. Из 729 маленьких кубиков размера 1 1 1 построен один большой куб.

Большой куб покрашен синей краской. Сколько маленьких кубиков имеют точно по две

синих грани?

Задача 15. Даны 6 палочек и из них сложен равносторонний треугольник. Длины пяти

из этих палочек равны 25 см, 29 см, 33 см, 37 см и 41 см. Сколько разных значений

может принимать длина шестой палочки?

Задача 16. Прежде чем попить воды, верблюд на 84% состоял из вода. После того, как

он напился, он стал весить 400 kg и вода составила 85% его веса. Сколько килограмм

весил верблюд перед тем, как попил воды?

Задача 17. В одном месяце три воскресенья приходятся на четные даты. Какой день

недели будет 22 числа этого месяца?

Задача 18. Найдите сколько существует двузначных чисел, которые увеличиваются на

75 % если поменять местами цифры, которые их составляют?

17

Задача 19. Иво спускается по неработающему эскалатору за 90 секунд, а когда экалатор

работает, ему необходимо 60 секунди, чтобы спуститься, стоя без движения. За сколько

секунд спустится Иво, если эскалатор работает и Иво движется по нему?

Задача 20. Найдите площадь треугольника, ограниченного графиками уравнений

4 3 6x y и 2 4x y и осью ординат.


Задача 1. Если 1

6 4 3 13

N N , то значение N равно:

А) 12 B) 15 C) 18 D) 21

Задача 2. Если m и n целые числа, больше, чем 1, то какая из дробей наибольшая?

А) n

m B)

1

1

n

m

C)

1n

m

D)

1

n

m

Задача 3. В одном году в январе было ровно 4 вторника и 4 субботы. Какой день недели

был 1 января этого года?

А) понедельник B) вторник C) среда D) пятница

Задача 4. Если 2x y xy и 2 2 6 4x y xy , то значение x y равно:

А) 4 B) 3 C) 2 D) 0

Задача 5. Сколько процентов от 90 равно 36% от 70?

А) 12 B) 14 C) 18 D) 28

Задача 6. Иван может покрасить забор за 80 минут, Георгий - за два часа, а Петр – за 4

часа. За сколько минут все трое вместе смогут покрасить этот забор?

А) 40 B) 60 C) 90 D) 120

Задача 7. Корень квадратный из 101524 равен:

А) 60 B) 80 C) 80 D) 6000

Задача 8. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна d.

Наименьшее из этих двух чисел можно представить в виде:

А) 1d B) 1

2

d C)

1

2

d D)

2

d

Задача 9. На чертеже ABCD - квадрат, а M и N – середины,

соответственно, сторон AD и CD. Отношение площади к

площади равно

А) 1 : 2 B) 1 : 4 C) 2 : 3 D) 1 : 3

N

M

D C

BA

18

Задача 10. На чертеже прямая BC - график функции

11

4y x . Если 8OA , то площадь равна:

А) 8 B) 12 C) 18 D) 24

Задача 11. Иван ехал на автомобиле по шоссе со скоростью 100 km/h. Петр, чья машина

двигалась в том же направлении с постоянной скоростью, догнал его и через 10 секунд

был на 100 метров впереди Ивана. Сколько километров в час проезжает Петр?

Задача 12. Ученик вычислил среднее арифметическое x 54 чисел. Затем к множеству

этих 54 чисел добавил x и вычислил среднее арифметическое y полученных 55 чисел.

Найдите отношение y к x.

Задача 13. Вычислите значение выражения 1

12 9 8 4 .

Задача 14. Числа x и y удовлетворяют ровно трем из четырех равенств

63x y , 47x y , 392xy , 8x

y .

Чему равно x ?

Задача 15. Дан равнобедренный треугольник ABC, AC BC , . Пусть точка

M внешняя для треугольника, но внутренняя для угла BAC. Если и , найдите величину

Задача 16. Пусть G - точка пересечения медиан треугольника ABC и D - произвольная

точка. Означим через M и N середины, соответственно отрезков AD и BC. Если P –

середина отрезка MN, найдите число k, для которого DP kDG .


1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9

.

Задача 18. Найдите целое число x, если известно, что из четырех неравенств 2 70x ,

3 300x , 4 25x и 5x два верны, а остальные два неверны.

Задача 19. В равнобедренном треугольнике ABC, AC BC , проведена биссектриса BD,

D AC . Через D проведена прямая l, перпендикулярная BD, которая пересекает BA и

BC соответственно в M и N. Если 4AD , найдите длину BM.

Задача 20. Сколько существует различных значений a, при

которых числа 9а и 36а - целые?

y

x

BO

C

A

A B

D

C

M

N

a

P

19


Задача 1. Если определите

A) 2015 B) C) 4030 D)

Задача 2. При делении натурального числа на 6 получается остаток 2, а при делении

натурального числа на 6 - остаток 3. Какой получится остаток, если разделить на

6?

A) 0 B) C) 4 D) 5

Задача 3. Если и , тогда

A) 3 B) C) 4 D)

Задача 4. Найдите цифру десятков числа, которое равно

A) 0 B) 1 C) 2 D) 5

Задача 5. Eсли и , то значение выражения равно:

А) B) C) D) 0

Задача 6. Многоугольник имеет больше 40 диагоналей. Тогда число его сторон не

меньше:

А) 9 B) 10 C) 11 D) 12

Задача 7. При решении одного и того же квадратного уравнения три ученика получили

следующие корни:

Первый ученик получил числа 1 и 2; Второй ученик: 2 и 3; Третий ученик: 3 и 4.

Оказалось, каждый нашел правильно точно один корень уравнения.

Если и корни уравнения, тогда – равно:

A) 1 B) 2 C) 4 D) 9

Задача 8. Если , , то сколько из чисел и

являются рациональными?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Задача 9. Числа и таковы, что выражение имеет

наименьшее значение. Оно равно:

20

A) B) 1 C) 2 D)

Задача 10. Прямоугольник разделен двумя прямыми, параллельными его сторонам, на 4

меньших прямоугольника, три из которых имеют площади 3 кв. см, 4 кв. см и 5 кв. см.

Найдите наименьшую возможную площадь четвертого прямоугольника.

А) B) C) D)

Задача 11. Какое наибольшее число острых углов может быть у выпуклого

шестиугольника?

Задача 12. Сколько существует пятизначных чисел, заканчивающихся цифрой 6,

которые делятся на 3?

Задача 13. Сколько существует натуральных чисел, которые меньше 2015 и которые

можно представить как сумму двух последовательных натуральных чисел и как сумму

трех последовательных натуральных чисел?

Задача 14. Для скольких целых чисел n число является простым?

Задача 15. Какое наибольшее число клеток в квадрате , нарисованном на

клетчатой бумаге, можно закрасить так, чтобы ни в одном квадрате не оказалось

трех закрашеных клеток?

Задача 16. Для скольких целых чисел числа

и

тоже целые?

Задача 17. Сколькими способами можно распределить 7 одинаковых груш между 3

детьми так, чтобы каждый ребенок получил грушу?

Задача 18. Найдите целое число , если

Задача 19. Точка D медианы СМ треугольника АВС такова, что СD=DM. Если Е - точка

пересечения прямой АD и стороны ВС, найдите СЕ:СВ.

Задача 20. При каких простых числах и корни уравнения

целые?

21


Задача 1. Если тождество, тогда

A) B) C) 1 D) другой ответ

Задача 2. Квадрат натурального числа А записывается цифрами 0, 2, 3 и 4. Тогда 5А

записывается цифрами

A) 0, 2, 3 B) 0, 2, 4 C) 2, 3 и 4 D) другой ответ

Задача 3. Если , то

A) 17 B) 33 C) 65 D) 129

Задача 4. Один из внутренних углов треугольника равен 70 градусов, а разность двух

внутренних углов этого треугольника 30 градусов. Сколько всего таких треугольников?

Пояснение: сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Задача 5. На квадратной решетке отмечены 4 точки. Сколько тупых углов образуют

прямые, проведенные через каждые две из этих 4 точек?

A) 2 B) 3 C) 4 D) друг отговор

Задача 6. Известно, что сумма больше двух последовательных чисел равна 20. Сколько

все такие последовательности.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Задача 7. Площадь равнобедренного треугольника с углом 1500

и боковой стороной 10

см в кв.см равна:

A) 100 B) 50 C) 25 D) 12,5

Задача 8.

- Который час? – спросили Пифагора.

- До конца суток остается два раза по две пятых от времени, которое прошло с начала

суток.

Сколько сейчас времени?

22

A) 13 h 20 min B) 13 h 40 min C) 14 h 20 min D) 14 h 40 min

Задача 9. Питер сложил 3 последовательных нечетных числа и получил сумму А. Стивен

сложил 3 последовательных нечетных числа и получил сумму В. Если среди чисел,

которые складывал Питер, есть одно из чисел, которые складывал Стивен, то

наибольшая возможная разность полученных сумм А и В равна:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13

Задача 10. В прямоугольном треугольнике a и b – его катеты, с – гипотенуза, h –высота

отпущенная на гипотенузу. Что больше?

A) B) C) D)

Задача 11. На какое наибольшее количество прямоугольников размером

можно разрезать прямоугольник размером ?

Задача 12. Сколькими способами можно поставить 6 учеников в ряд так, чтобы два из

них, например, А и В, всегда стояли рядом?

Задача 13. На сторонах квадрата построены равнобедренные треугольники

и . Если , найдите

Задача 14. Сколько существует правильных несократимых дробей, у которых сумма

числителя и знаменателя равна 41?

Задача 15. Чему равно наименьшее натуральное число N, для которого произведение 13,

17 и N можно представить как произведение трех последовательных натуральных чисел?

Задача 16. Вычислите .

23

Задача 17. Найдите периметр четырехугольника, полученного при последовательном

соединении середин сторон четырехугольника с диагоналями 4 cm и 5 cm?

Задача 18. В стандартном виде многочлена сумма

коэффициентов при четных степенях х равна…

Задача 19. Какое наибольшее значение принимает число N так, чтобы было верно

выражение «Среди любых 97 целых чисел всегда можно найти N чисел таких, что

разность любыхдвух из них делится на 8».

Задача 20. В квадратики вписали цифры от 0 до 9, каждую по одному разу и

произведение

оказалось наибольшим. Найти найбольшой из множителей.

Указание: Число с цифрами и , увеличится, если цифры поменять

местами. Произведение ( где , увеличится,

если и поменять местами.

8 КЛАСС – ПРОЛЕТ 2016

Задача 1. Наибольшее целое отрицательное число, которое является решением

неравенства равно:

A) B) C) D)

Задача 2. Сумма трех чисел равна 222. Если первое из них увеличить на 2, второе

увеличить в два раза, а третье уменьшить в два раза, получается одно и то же число.

Найдите наименьшее из трех чисел.


Задача 3. Значение выражения

равно:

A) B) C) D) 1

Задача 4. В какую степень нужно возвести , чтобы получить ?

A) 2 B) 6 C) 12 D) 24

Задача 5. На окружности отмечены 8 точек. Каково наибольшее число прямоугольных

треугольников с вершинами в данных точках?

A) 24 B) 30 C) 36 D) 4

Задача 6. 2 года назад А был в два раза старше В, а три года назад В был в три раза

младше А. Сколько лет А сейчас?

24

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6

Задача 7. Для скольких натуральных чисел n можно утверждать, что се дели на

?

A) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 8. Остаток при делении на 13, равен:

A) 6 B) 4 C) 2 D) 0

Задача 9. Сколькими способами можно разлить 26 литров сока в 10 бутылок объемом по

1 литру, 2 литра и 5 литров, если использовать все три вида бутылок

A) 2 B) 3 C) 4 D) 7

Задача 10. График функции , где - параметр, и координатные оси

ограничивают треугольник площадью 2. Тогда наименьшее значение выражения

равно

A) B) 0 C) 1 D) другой ответ

Задача 11. Если и - натуральные числа, такие что вычислите

Задача 12. (по мотивам задачи Иоганна Бутева, жил в 16 веке) Если стоимость 9 яблок,

уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш,

уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1

яблоко?

Задача 13. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника; площади трех из них

равны 4, 6 и 9 кв.см. Определите площадь трапеции.

Задача 14. Число действительных корней уравнения равно:

Задача 15. Если и - 4-значные натуральные числа, определите, сколько решений

имеет уравнение

Задача 16. Числа 187 и 219 дают один и тот же остаток 11 при делении на число .

Число равно:

Задача 17. Четверых детей A, B, C и D нужно посадить в ряд, один за другим, так чтобы

A и B, а также C и D, оставались рядом друг с другом. Сколькими способами можно это

сделать?

25

Задача 18. Пусть Вычислите сумму обратного и противоположного числу

.

Задача 19. Если каждый угол четырехугольника является средним арифметическим

остальных трех углов, найдите наибольшего угла.

Задача 20. Многочлен записан в виде

Тогда значение равно: ...


Задача 1. Если число а рациональное и число тоже

рациональное, то наименьшее значение b равно:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Задача 2. Рассмотрим пары чисел .

Если сумма цифр у чисел в каждой паре равна 23, определите .


Задача 3. В числом равенстве, известном как „задача индийского математика Бхаскара”

вместо последнего числа записана буква . Определите .

A) 5 B) 6 C) D)

Задача 4. Через вершину A параллелограмма ABCD и точку М диагонали ВD проведена

прямая, которая делит диагональ ВD в отношении 1:2, считая от вершины D. В каком

отношении эта прямая делит сторону CD, считая от вершины D?

A) 1:1 B) 1:2 C) 2:1 D) 3:1

Задача 5. Если для каждого значения выполняется, что

тогда

A) - 2 B) -1 C) 2 D) 4

Задача 6. Сумма реальных корней уравнения

равна:

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2

Задача 7. Найдите расстояние от точки пересечения графиков функций и

до оси ординат.

26

A) -3 B) 3 C) - 6 D) 6

Задача 8. Квадрат и круг имеют общую часть. Площадь квадрата, площадь общей части

и площадь круга отнoсятся, как 4 : 1 : 17. Сколько процентов от площади всей фигуры

составляет площадь общей части?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20

Задача 9. В 1808 г. немецкий математик Карл Гаус ввел обозначение , которое

означает наибольшее целое число, не больше . Сколько существует натуральных чисел

, для которых

- простое число?

A) 1 B) 2 C) 3 D) больше 3

Задача 10. Сколько существует точек (x, y), у которых координаты - целые

отрицательные числа, и ?

A) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 11. Треугольник ABC - равносторонний со стороной 3 cm. Точки M, N и P лежат,

соответственно, на сторонах BA, AC и CB, и таковы что MN⏊AC, NP⏊CB и PM⏊AB.

Найдите длину отрезка AM.

Задача 12. Вычислите разность действительных чисел и , если

и

.

Задача 13. Каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 использована по одному разу при

записи пятизначного, трехзначного и однозначного числа. Получилось наибольшее

возможное произведение. Чему равна сумма трех чисел?

Задача 14. Какое наименьшее количество различных цифр потребуется для записи 6

чисел, которые при делении на 6 дают различные остатки?

27

Задача 15. В некотором году три последовательных месяца содержат по 4 воскресенья.

Какой может быть сумма всех дней этих трех последовательных месяцев?


.

Задача 17. От квадрата со стороной 10 см отрезали от двух противоположных углов по

одному квадрату со стороной 1 см каждый. На какое наибольшее число

прямоугольников размера 1 см на 2 см можно разрезать полученную фигуру?

Задача 18. Вычислите произведение действительных корней уравнения

Задача 19. Если N - целое число, то сколько существует различных остатков при

делении на 5?

Задача 20. 200 человек приветствовали трех мушкетеров Атоса, Портоса и Арамиса.

Арамис пожал руки 130 участникам этой группы, Портос –140, а Арамис –150. Какое

наименьшее число человек могло обменяться рукопожатиями со всеми тремя

мушкетерами?

ОСЕНЬ 2016

Задача 1. Наибольшее среди чисел и - это:

A) B) C) D)

Задача 2. Сегодня вторник. Какой день недели будет через 366 дней, считая с

завтрашнего дня?

A) вторник B) среда C) четверг D) пятница

Задача 3. Найдите количество четырехзначных чисел, которые записываются только

цифрами 2 и 3 и которые делятся на 12 (с остатком 0).

A) 1 B) 2 C) 3 D) больше 3

Задача 4. Если найдите

A) 0 B) 2 C) - 2 D) 1

28

Задача 5. Сколько существует выпуклых N-угольников ( ), у которых сумма углов

меньше 9 999 градусов?

A) 55 B) 56 C) 57 D) 58

Задача 6. Амфитеатр состоит из 20 рядов. В самом близком к сцене - 10 мест. Сколько

зрителей могут занять все места, если в каждом ряду на одно место больше, чем в

предыдущем?

A) 195 B) 290 C) 390 D) 300

Задача 7. Из трех квадратов со сторонами в сантиметрах a, b и c (a <b < c) образована

фигура, как показано на чертеже

Выразите через a, b и c разность между суммой периметров трех квадратов и

периметром образованной фигуры?

A) 3a + 3b + c B) 3a + b + 3c C) a + 3b + 3c D) другой ответ

Задача 8. Сколько существует простых чисел, на которые делится число, равное

, где n - натуральное число?

A) 1 B) 2 C) 3 D) больше 3

Задача 9. Прямоугольник 8 cm х 18 cm можно разрезать на две фигуры, из которых

можно сложить квадрат. Вычислите периметр этого квадрата

A) 52 cm B) 48 cm C) 24 cm D) 144 cm

Задача 10. У двух братьев А и B вместе 43 конфеты. A подарил сестре 5 конфет, а B – 13,

и тогда у A стало 2/3 от оставшихся конфет у В. Сколько конфет было сначала у А?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 45

Задача 11. Найдите последнюю цифру разности

Задача 12. Найдите наименьшее число, которое делится на 2017, а при делении на 2015

дает остаток 4.

Задача 13. Прямоугольник А разрезан на четыре прямоугольника, и площади трех из

них, в квадратных сантиметрах, указаны на чертеже.

29

Сколько квадратных сантиметров составляет площадь прямоугольника А?

Задача 14. Какое наименьшее количество целых чисел из ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 18, 19 и

20 нужно выбрать случайным образом, так чтобы среди них нашлось хотя бы 2 с суммой

30?

Задача 15. В выражении 1111 + 11 переместили одну цифру и после вычисления

значения выражения получили наименьшее возможное число. Чему оно равно?

Задача 16. Найдите наименьшее целое положительное значение параметра а, для

которого решение уравнения - целое число.

Задача 17. В N ящиках лежат яблоки (нет ящиков без яблок, ). В каждом ящике

есть хотя бы 1 яблоко, но не больше 80 яблок и хотя бы в 3 ящиках одинаковое число

яблок. Найдите наименьшее значение N, для которого это выполняется.

Задача 18. Средний возраст мой, мамы и папы - лет. Определите, сколько лет моей

сестре, если средний возраст мой, мамы, папы и сестры равен

Задача 19. Пусть - натуральное число, n > 2. Сколько существует натуральных чисел,

которые являются точными квадратами и находятся в интервале

Задача 20. Длины двух сторон треугольника равны, соответственно, 8 cm и 10 cm. Из

высот, проведенных к ним, одна на 2 cm длиннее другой. Найдите наибольший угол

этого треугольника.

ЗИМА 2017

УКАЗАНИЯ

1. Пожалуйста не открывайте тест, пока квестор не дал разрешения.

30

2. Тест содержит 20 задач – 10 задач с выбираемым ответом и 10 задач

со свободным ответом.

3. В листе ответов в задачах с указанным ответом запишите только

букву правильного ответа, а в задачах со свободным ответом - укажите

ответ (ответы).

4. Правильный ответ на задачи от 1 до 10 оценивается в 1 балл,

неправильный или неотмеченный ответ – 0 баллов. Правильный ответ на

задачи от 11 до 20 оценивается в 2 балла, если ответ неполный – 1 балл,

неправильный или не записанный ответ – 0 баллов.

5. Пользоваться учебниками, справочниками с формулами,

калькуляторами, телефонами и другими электронными устройствами

запрещается.

6. Продолжительность работы над заданием 60 минут. В случае

равенства решенных задач, более высокое место в итоговой турнирной

таблице достается тому, кто решил задачи за более короткое время.

7. Запрещается выносить тесты и черновики с соревнования.

8. Во время соревнования не допускается помощь квестора или кого-

либо другого. Самостоятельная и честная работа над заданием – главное

требование организаторов к участникам турнира.

ЖЕЛАЕМ УСПЕХА!

Задача 1. Значением выражения

является несократимая дробь с знаменателем:


Задача 2. Квадрат АВСD и треугольник АВЕ равновелики и имеют площадь 16 кв. см.

Какое из указанных чисел может быть расстоянием от точки Е до прямой DС в

сантиметрах?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Задача 3. Для какого натурального N число, равное произведению , имеет

ровно 99 делителей?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

31

Задача 4. Чему равно рациональное число а, для которого значение данного выражения

- тоже рациональное число?

A) - 1 B) -0,5 C) 0,5 D) 1

Задача 5. Сколько существует треугольников, которые имеют вершины в 3 из данных 6

точек?

A●

X● B● Y●

Z● C●

(точки А, В и С лежат на одной прямой; точки X, B и Y также лежат на одной прямой)

A) 20 B) 18 C) 16 D) 12

Задача 6. Сколько существует двузначных чисел , для которых значение выражения

- простое число?

A) 1 B) 2 C) 3 D) больше 3

Задача 7. Точка D принадлежит стороне ВС треугольника АВС и делит ее в отношении

1:2, считая от вершины С. Прямая АD пересекает медиану СМ треугольника АВС в точке

E, которая делит СМ, считая от вершины С, в отношении:

A) 2:1 B) 3:2 C) 2:3 D) другой ответ

Задача 8. Летела стая из Х гусей. На первом озере сели

гусей. В стае осталось Y

гусей. На втором озере сели

гусей. В стае осталось Z гусей. На третьем озере село

гусей. И так далее, пока все гуси сели. Сколько гусей было в стае?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10

Задача 9. Найдите сумму наибольшего положительного и наибольшего отрицательного

числа, которые являются решениями уравнения

A) - 6 B) - 2 C) 0 D) 2

Задача 10. Какое из указанных чисел является значением дискриминанта квадратного

уравнения с целыми коэффициентами?

A) 1003 B) 1002 C) 1001 D) 999

Задача 11. Найдите сумму трех простых чисел, произведение которых в семь раз

больше, чем сумма.

Задача 12. Я написал несколько чисел, о которых известно, что их произведение не

равно 0 и что каждое из них равно 0,2 от суммы остальных чисел. Сколько чисел я

написал?

Задача 13. В прямоугольной системе координат три вершины треугольника АВС имеют

координаты: А (0; 4), B(2;3), C(3;0). Найдите площадь треугольника АВС.

32

Задача 14. Если найдите

Задача 15. Для какого наименьшего натурального числа X выполняется неравенство

Задача 16. Если 1 и (– 2) - решения уравнения ( x - неизвестное, b и с

- параметры), найдите разность наибольшего и наименьшего корня.

Задача 17. Дан выпуклый четырехугольник и 1 008 различных точек внутри него,

причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Он разрезан на треугольники, все

вершины которых совпадают или с вершинами данного четырехугольника, или с

данными 1 008 точками. Какое наибольшее число треугольников может получиться в

результате такого разрезания?

Задача 18. Если угол при одной из вершин пятиугольной звезды равен 30 градусам, то

сколько градусов составляет сумма остальных четырех углов этой звезды?

Задача 19. Сколько существует натуральных чисел N, для которых и

, и

-

трехзначные числа?

Задача 20. Сколько фунтов весят все мешки вместе, если первый и второй весят вместе 7

фунтов, второй и третий - 9, третий и четвертый – 11 фунтов, четвертый и пятый – 8

фунтов, первый, третий и пятый – 10 фунтов?

ВЕСНА 2017

Задача 1. Если , найдите .


Задача 2. Если и , найдите численное значение выражения

A) 4 B) 2 C) – 4 D) – 2

Задача 3. Если p, q и r - простые числа, такие, что 51 + p = 6 + q = 22 + r, найдите

p + q + r.

A) 80 B) 81 C) 100 D) нельзя определить

33

Задача 4. Сколько существует равнобедренных треугольников, длины сторон которых

измеряются целым числом сантиметров, а периметр равен 10 см?

A) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 5. Четырехугольник АВСD - трапеция с основаниями АВ и СD (AB > CD).

Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а площади треугольников АОD и COD

равны, соответственно, 6 кв. см и 4 кв. см. Сколько площадь трапеции?

A) 19 B) 25 C) 36 D) 49

Задача 6. Чему равно наибольшее значение выражения

A) 10 B) 11 C) 1 D) 2

Задача 7. Какое может быть наибольшее число точек пересечения у 10 прямых на

плоскости?

A) 25 B) 30 C) 35 D) 45

Задача 8. Если , определите число целых отрицательных значений,

которые принимает выражение

.

A) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 9. Для скольких целых значений параметра а уравнение имеет

один корень?

A) 0 B) 1 C) 2 D) больше 2

Задача 10. Найдите площадь фигуры, котрая ограничена графиком функции

и осями координат.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

Задача 11. Если каждый участник шахматного турнира сыграет по 1 партии со всеми

участниками, то будет сыграно всего 66 партий. Сколько участников в турнире?

Задача 12. Найдите все корни уравнения

Задача 13. Точки M, N, P и Q - середины, соответственно, сторон АВ, ВС, СD и DА

четырехугольника АВСD. Если четырехугольник MNPQ является прямоугольником и

диагонали четырехугольника АВCD равны 4 cm и 8 cm, найдите площадь

прямоугольника MNPQ.

Задача 14. Пусть a, b, c, d, e и f различные целые положительные числа, а число x такое,

что x= a + b + c = d + e + f.

34

Для наименьшего возможного значения х найдите сумму a + b + c + d + e + f.

Задача 15. Если и найдите значение выражения

Задача 16. Если разделить 98765432 на 8, какие цифры не используются при записи

частного?

Задача 17. На доске записаны натуральные числа от 1 до 11 включительно. Ученики в

классе играют в следующую игру: один ученик выходит к доске, стирает два числа и на

их место записывает их сумму, уменьшенную на 1. После этого выходит второй ученик и

делает то же самое с числами на доске. Потом выходит третий ученик и т.д. Игра

продолжается, пока на доске останется одно число. Какое число останется на доске?

Задача 18. Два корня биквадратного уравнения , где a и b - параметры,

равны и (- ). Найдите

Задача 19. Для скольких целых значений параметра а, уравнение не

имеет решения?

Задача 20. Дан треугольник, в котором через две его вершины проведены прямые,

пересекающие противоположные стороны. Таким образом на чертеже треугольник

разделен на 12 непересекающихся частей. Если провести 99 прямых через одну вершину

и 999 прямых через другую вершину, на сколько частей разделится треугольник?

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭСТАФЕТА ДЛЯ ВОСЬМОГО КЛАССА

Ответы к каждой задаче скрыты под символами @ , #, &, § и * и используются при

решении следующей задачи. Каждая команда заполняет общий лист ответов.

Время работы – 45 минут.

2014


Задача 1. Наименьшее значение выражения это @.

35

Определите @.

Задача 2. В трапеции АВСD с основаниями АВ и СD, АВ > CD, диагонали пересекаются в

точке О. Если площадь треуольников АВО и СОD соответственно и

то площадь трапеции равна

Определите #.

Задача 3. Для скольких натуральных чисел & уравнение

имеет рациональные корни. Определите &.

Задача 4. В квадрате расположены & точек. Этот квадрат можно разрезать самое

большее на § треугольников. Определите §.

Задача 5. В остроугольном треугольнике АВС угол А равен § градусов. Если АА1 и ВВ1 –

высоты этого треугольника, и угол С равен (3. §) градусов, найдите угол СВ1А1.

Ответ обозначен *. Определите *.

2015


Задача 1. Числа a, b и c, целые и такие, что многочлен равен

Их сумма равна @. Определите @.

Задача 2. Если х - число, которое меньше @, наибольшее целое значение выражения

равно #. Найдите #.

Задача 3. Многоугольник с # вершинами и данными внутри # точками разрезан на &

непересекающихся треугольников с вершинами в данных точках и вершинах

многоугольника. Определите наибольшее возможное значение &.

Задача 4. Количество различных натуральных чисел, которые являются делителями

числа равно §. Определите §.

Задача 5. Среди §+1 чисел обязательно есть *, которые при делении на 8 дают один и тот

же остаток. Определите *.

36

2016


Задача 1. Наименьшее четное натуральное число а, для которого уравнение

имеет ровно два решения, обозначено @. Определите @.

Задача 2. Найдите количество # натуральных чисел N, таких что .

Задача 3. В сторона AB разделена на 5 равных частей. Через точки деления

проведены прямые, параллельные AC, которые образуют 4 отрезка с концами на

сторонах АВ и ВC треугольника. Если сумма длин этих отрезков равна # cm, вычислите

длину стороны АС в сантиметрах. Ответ обозначен &. Определите &.

Задача 4. Сумма цифр числа, равного

обозначена §.

Найдите §.

Задача 5. Из одинаковых на вид § монет одна фальшивая (более легкая). Минимальное

число взвешиваний для выявления фальшивой монеты равно *. Найдите *.

37

8 КЛАСС – ОТВЕТЫ

8 клас

Задачи Autumn

2013

Winter

2014

Spring

2014

Final

2014

Autumn

2014

Winter

2015

Spring

2015

Final

2015

1 B А C B D D C D

2 B B C A D А C B

3 B А C D D C C C

4 B C B B А B D C

5 D А А A C C D D

6 B B А B D D B A

7 B А B A А C C A

8 А C C C C C А B

9 D B D B B А B D

10 D B B D B А B C

11 C B В 18117 106 1.8 1,008 136

12 D C B S/2 1 12 90 1

13 D B C 240 8 55 6 1/2

14 C B B У= - Х 1 12 84 56

15 C А C 140 rectangle -2 3 120

16 72 0 15 240 1 3.5 375 3/4

17 12 0 10 2 1:7 2 Saturday 2

18 4026 2 4 40 2h

30min 2,520 4 6

19 5 0 4 141 12/7 0; 2; 6 36 8

20 22 9; 81 24 36 8 9 3 3

38

Задачи Autumn

2015

Winter

2016

Spring

2016

Final

2016

Autumn

2016

Winter

2017

Spring

2017

Final

2017

1 C C B A A B А

2 A B B D D B C

3 A A C C А C А

4 A C B A C B С

5 B D А A A В B

6 C В D А C А C

7 C С B B D D D

8 C A D A C А С

9 A C B A B D C

10 D D B C B C В

11 3 16 3 2 3 15 12

12

3000 240 2 5 or (-

5) 4 034 6 2; -2 ; 3

13 336 60 25 77 283 56 2,5 8

14 3 20 2 2 16 8 22

15

66 600 6984 89, 90 122 2 1 или -

1

16 0 16 5 2 4 0 и 8

17 15 9 cm 8 48 161 2018 56

18 2 1 2 0 12 150 -1

19 1:3 13 90 2 n -2 2 7

20 2;2 941 30 20 90 20 100000

39


Година

Задача

2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021

1 4 -2 18

2 25 7 30

3 12 19 15

4 26 156 27

5 76 20 3

Documents

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 8 КЛАСС 8 КЛАСС – ОСЕНЬ 2013 …mathwithoutborders.bg/public_html/ru/wp-content/... · 1 х МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ