Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет

Э Л Е К Т Р О М А Г Н Е Т И З М

Методические указания к выполнению контрольной работы № 4 по физике

для студентов специальности 250403.65 «Технология деревообработки»

Архангельск 2010

Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией

факультета механической технологии древесины

Архангельского государственного технического университета

25 марта 2010 года

Составитель

Л.В. Филимоненкова, доц., канд. техн. наук

Рецензент

А.В. Соловьев, доц., канд. техн. наук

УДК 539.1

Электромагнетизм: методические указания к выполнению контрольной

работы № 4 по физике для студентов специальности 250403.65 «Технология деревообработки» / сост. Л.В. Филимоненкова. - Архангельск: Северный

(Арктический) федеральный университет, 2010. - 48 с.

Подготовлены кафедрой физики АГТУ.

В методических указаниях приведены основные понятия и формулы по разделу курса физики «Электромагнетизм», примеры решения задач, вариан­ты контрольных заданий, а также необходимый справочный материал.

Ил. 40. Табл. 3. Библиогр. 6 назв.

© Северный (Арктический) федеральный университет, 2010

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Хорошее усвоение теоретического материала невозможно без решения задач, помогающих лучше уяснить физический смысл явлений, законов, поня­тий. При решении задач целесообразно руководствоваться следующими пра­вилами.

1. Внимательно прочитать условие задачи, уяснить, какой физический процесс или явление в ней рассматриваются.

2. Записать условие задачи в сокращенном виде, применяя обще¬принятые обозначения физических величин. При решении задач следует поль¬зоваться Международной системой единиц (СИ). Все числовые величины должны быть приведены к этой системе. Следует проанализировать, все ли данные, необходимые для решения задачи, приведены в её условии. Недос­тающие данные надо взять из справочных таблиц. Необходимо записывать также и те величины, числовые значения которых не задаются, но о них мож¬но судить по условию задачи. Например, если тело начинает двигаться из со¬стояния покоя, то следует записать, что начальная скорость и0 = 0, если в за¬даче сказано, что какой-то величиной х можно пренебречь, обязательно сле­дует записать, что х = О и т. д.

3. Задачу следует обязательно пояснять чертежом или рисунком (если это возможно), выполняя их аккуратно с помощью чертежных принадлежно¬стей. Обозначения на чертеже и в пояснениях решений должны быть одина¬ковыми. Не следует обозначать одну и ту же величину разными буквами, а также обозначать различные величины одними и теми же символами.

4. Решение задачи должно сопровождаться пояснениями. В пояснениях необходимо указывать те основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи.

5. Как правило, задача по физике решается сначала в общем виде, то есть выводится формула, в которой искомая величина выражена через вели¬чины, заданные в условии задачи. При таком решении не происходит накоп¬ления погрешностей, неизбежных при промежуточных расчетах. В тех случа¬ях, когда преобразования, необходимые для нахождения искомой величины в общем виде, слишком громоздки (например, при расчете токов, текущих в разветвленных цепях), допускается вычисление промежуточных величин.

6. Получив решение в общем виде, сделать анализ его размерности. Для этого подставить в правую часть полученной рабочей формулы вместо симво¬лов величин обозначения единиц измерений, провести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине.

3

7. Произвести вычисления путем подстановки заданных числовых ве¬личин в расчетную формулу. Все вычисления рекомендуется выполнять с по¬мощью микрокалькулятора. При вычислениях соблюдать правила прибли¬женных вычислений и округлений.

8. Оценить правдоподобность ответа. Такая оценка в ряде случаев по¬зволяет обнаружить ошибочность ответа. Например, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме, коэффициент полезного действия теп¬лового двигателя не может быть больше единицы и т.п.

9. Ответ должен быть записан с определенной степенью точности, со¬ответствующей точности исходных данных.

1. М А Г Н И Т Н О Е П О Л Е В В А К У У М Е

Основные понятия, законы и формулы 1.1. Закон Био-Савара-Лапласа: вектор

d В индукции магнитного поля, созданного

элементом тока / dl, в точке удаленной от элемента тока на расстоянии г :

• в векторной форме

dB dl„ г 4кг

в скалярной форме I s m a

4жг di

где г радиус-вектор, проведенный Рис. 1

от эле-мента тока / dl до той точки, в которой опре-

ц 0 деляется индукция поля;

угол между dl и ^ (рис. 1). 1.2. Магнитная индукция поля, созданного

прямолинейным отрезком проводника с током / (рис. 2):

магнитная постоянная ( ц 0 = 4я • 10"7 Гн /м) , а -

В - A A - ( c O S C p ! - C O S ( p 2 ) ;

где г0 - кратчайшее расстояние от точки А до проводника; cpj и ср2 - углы между направлени¬ем тока и радиус-векторами, проведенными в точку А из начала и конца проводника.

Рис.2

d B

4

1.3. При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция, (- cos ф 2 ) = (cos ср!) = cos ф ,и, следовательно,

В Vol 2жжг,

cosq>.

1.4. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным пря¬мым проводником с током / в точке на расстоянии г0 от оси проводника:

т B = [i0 2%гл

1.5. Магнитная индукция в центре кругового проводника с током:

где R

в = *>± >

радиус кривизны проводника.

Вектор индукции В магнитного поля в центре кру-р и с з гового тока направлен согласно правилу правого

винта перпендикулярно плоскости кольцевого тока / (рис.3).

1.6. Магнитная индукция проводника с током, имеющего форму дуги окружности длиной L (в центре дуги):

где R - радиус дуги окружности. 1.7. Магнитная индукция на оси кругового тока на расстоянии х0 от

центра (рис. 4): • в векторной форме

В 4к [R2 + х,

в скалярной форме

2 Ч 3/2

в = / \

2[R2 +x 0

2 ) 3 / 2 '

X

Рис.4

где Рт пРт вектор магнитного момен-та, модуль которого (Рт = IS) равен произведению силы тока / в контуре на

->

площадь S, охватываемую этим контуром (направление вектора Рт совпада¬ет с положительным направлением нормали к плоскости контура и связано с направлением тока в контуре правилом правого винта).

1.8. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным со¬леноидом или тороидом:

5

->

—

N где п

В = [inl ,

число витков, приходящихся на единицу длины соленоида (или \

на единицу длины средней линии тороида). 1.9. Магнитная индукция точеч¬

ного заряда q, равномерно движуще¬

гося с нерелятивистскои скоростью и :

в = л 4кг

и г

Рис. 5 где г - радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения А (рис. 5).

Вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой располо--> - »

жены векторы и и г , и его направление совпадает с направлением поступа--> —>

тельного движения правого винта при его вращении от и к г (рис.5).

1.10. Принцип суперпозиции: при наложении магнитных полей магнит¬

ная индукция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных ->

индукций В\, создаваемых каждым током и движущимся зарядом в отдельно­сти:

B=%Bi. i=\

1.11. Циркуляция вектора магнитной индукции В в вакууме вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охватываемых кон¬туром, умноженной на \i0:

| Bdl = §Bcosadl = \iJ,Ik, L L

где a - угол между векторами В is. dl.

2. Д Е Й С Т В И Е М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я НА ТОКИ. В З А И М О Д Е Й С Т В И Е Т О К О В

Основные понятия, законы и формулы

2.1. Закон Ампера. Сила, действующая на элемент длины проводника с током / со стороны магнитного поля:

6

dF = I dlB dF = I dl В sin a .

где dl - бесконечно малый элемент проводника с током, помещенный в маг-

нитное поле; В - вектор магнитной индукции; a - угол между dl и В . Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки (если

вектор индукции магнитного поля направлен под углом а к направлению тока в проводнике, то при применении правила левой руки входить в ладонь долж¬на его составляющая, перпендикулярная направлению тока в проводнике).

2.2. Результирующая сила Ампера, действующая на контур с током в магнитном поле:

F = jl L

dl,B

где интегрирование проводится по контуру L с током /. 2.3. Сила Ампера, действующая на прямолинейный проводник с током в

однородном магнитном поле л

В = const

F = I Blsina ,

где a - угол между направлением тока в проводнике и вектором В . 2.4. Сила взаимодействия параллельных проводников с током на едини¬

цу длины этой системы при условии / » d :

F = ^ ^ Н ' м 9 1 9 4тг d

где d - расстояние между проводниками, / - длина проводника. 2.5. Сила, действующая на элементарный контур с током в неоднород¬

ном магнитном поле (рис. 6):

т дп

или проекция вектора силы на некоторое направ¬ление х

дВх

К . = RT

где Рт

д х cos a

модуль магнитного момента контура,

дВ д п - производная вектора В по направлению

-> дВ нормали п (по направлению вектора Рт); х

х

Рис. 6

дх производная проекции век-

тора Вх по направлению х; а - угол между векторами Рт и В

7

2.6. Механический момент, действующий на контур с током, помещен¬ный в однородное магнитное поле:

; М = PBsma, М --

где Рт - вектор магнитного момента контура с током; Рт = IS - модуль век-

тора Тт ; S - площадь, охватываемая контуром; а - угол между векторами т

РтиВ.

3. Д В И Ж Е Н И Е З А Р Я Ж Е Н Н Ы Х Ч А С Т И Ц В Э Л Е К Т Р И Ч Е С К О М И М А Г Н И Т Н О М П О Л Я Х

Основные понятия, законы и формулы

3.1. Сила FM , действующая на заряд q, движущийся со скоростью и в

магнитном поле с индукцией В :

В

FM = qvB sin а

где а - угол между векторами и и —>

3.2. Сила F3JI, действующая на заряд q в электрическом поле напря¬

женностью Е : F=qE.

3.3. Полная электромагнитная сила, действующая на заряд q (сила Ло¬ренца):

F=qE+q

Это выражение является универсальным: оно справедливо как для постоян¬ных, так и для переменных электрических и магнитных полей, причем при

любых значениях скорости и заряда.

Направление магнитной силы FM определяется по правилу левой руки.

Как следует из п. 3.1, FM всегда перпендикулярна векторам и и В . Поэтому она сообщает движущейся заряженной частице только нормальное ускорение, не изменяя ее скорости и, следовательно, не совершая работы.

8

В электрическом поле сила F3J1 направлена вдоль линии напряженности

Е для положительно заряженной частицы и противоположна направлению -> -»

вектора Е для отрицательно заряженной частицы. Сила F3JI при перемеще-

нии частицы всегда (за исключением случая, когда и _ L Е ) совершает работу, равную изменению кинетической энергии частицы.

3.4. Траектории движения частицы в магнитном поле. -> - »

• Если угол а между векторами v и В равен 0, тогда сила Лоренца FM равна нулю. Магнитное поле на частицу не действует, и она движется рав¬номерно и прямолинейно.

• Если заряженная частица влетает в магнитное поле под углом ->

а = к/2, т.е. перпендикулярно вектору В , тогда FM = qvB постоянна по моду¬

лю, перпендикулярна скорости и частицы и сообщает ей нормальное ускоре¬

ние ап= —. Частица будет двигаться по окружности, радиус R которой оп-

ределяется из условия

откуда

qvB

R

R

тх> qB

Период вращения частицы не зависит от ее скорости: _ 2KR _2К т

v В q Если частица влетает в магнитное поле под углом а к линиям век-

h

тора В (рис. 7), то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолинейного

движения вдоль линий магнитной индук¬ции со скоростью их = и cos а;

2) равномерного движения со ско¬ростью ъу = и sin а по окружности в плос-

кости, перпендикулярной линиям магнит¬ной индукции.

В результате частица будет двигать¬ся по винтовой линии радиусом

mv sin а

+ В

R qB Рис. 7

и с шагом, равным пути, пройденному

->

—

—

—

частицей вдоль поля со скоростью ъх за время, которое понадобится частице для того, чтобы совершить один оборот:

h = x> Т = х>Тcos а = и % = InRctga.

4. Э Л Е К Т Р О М А Г Н И Т Н А Я И Н Д У К Ц И Я

Основные понятия, законы и формулы 4.1. Магнитный поток:

• в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности Ф = BS cos а или Ф = BnS,

где S - площадь контура, а - угол между нормалью п к плоскости контура и

вектором магнитной индукции В ; Вп - проекция вектора В на нормаль к по¬верхности контура (Вп = В cos а) :

• в случае неоднородного поля и производной поверхности

0 = JBdS = JBdScosa, s s

где интегрирование ведется по всей поверхности dS - вектор, направлен¬ный по нормали к поверхности, модуль которого равен площади dS элемента поверхности.

4.2. Теорема Гаусса для потока вектора В :

поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю, т.е.

§BdS = 0.

4.3. Работа по перемещению замкнутого контура с постоянным то¬ком I в магнитном поле:

Л = / А Ф э

где АФ - изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, огра¬ниченную контуром.

4.4. Потокосцепление, т.е. полный поток, сцепленный со всеми вит¬ками системы (соленоида или тороида):

N \|/= Е ф . = А Ф ,

i=l где Ф г = Ф - магнитный поток через один виток (считаем, что все витки оди¬наковой формы в одном и том же поле), N - число витков.

Магнитный поток, создаваемый током I в контуре: У = Ы,

где L - индуктивность контура. 10

4.5. Индуктивность длинного соленоида с немагнитным сердечником: N2

L = [i0—S = [in 2 V,

N где п = — - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;

\ I - длина; S - площадь поперечного сечения; V - объем соленоида.

4.6. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла): при всевозможных изменениях магнитного потока, пронизы­вающего поверхность, натянутую на проводящий контур, в этом контуре воз¬никает электродвижущая сила индукции, пропорциональная скорости изме¬нения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$ = - Л . 1 dt

4.7. Самоиндукция: возникновение э.д.с. индукции в проводящем кон¬туре при изменении в нем силы тока

£.=_dV = - <LLIy 1 dt dr }

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не меняется (Ь= const), тогда

е—ь* ' dt"

4.8. Сила тока в цепи, обладающей постоянными сопротивлением R и индуктивностью L и содержащей постоянную э.д.с. 80, изменяется при замы¬кании и размыкании цепи по закону:

- ( 1 = 1, / ь ' - З 1-е L

0 R v /

При замыкании цепи начальная сила тока 1=0, при размыкании 80 = 0. 4.9. Заряд, прошедший по контуру сопротивлением R при изменении

магнитного потока сквозь контур на величину АФ за время t:

q= \ Ldt=\ 1 ^ = л ! ^ = - А Ф ,

о о R RJ

Q dt R®i R

где I - индукционный ток в контуре U = 4.10. Взаимная индукция: возникновение ЭДС в одном из двух близко

расположенных друг к другу проводящих контуров при изменении силы тока в другом контуре.

Взаимная индуктивность двух катушек, находящихся на одном сердеч¬нике в вакууме:

где TVj и N2 - число витков первой и второй катушек соответственно.

11

5. М А Г Н И Т Н О Е П О Л Е В В Е Щ Е С Т В Е . Э Н Е Р Г И Я М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я

Основные понятия, законы и формулы

5.1. Намагниченность (вектор намагничивания) j определяется маг­нитным моментом единицы объема магнетика:

-> l N -> 1 --— 2 Ртл ,

AVi=l где AV - физически бесконечно малый объем магнетика; N - число молекул,

содержащихся в объеме A F ; Pj - магнитный момент отдельной молекулы. 5.2. Намагниченность можно представить как

j =П< Pj > ,

где п - концентрация молекул, < Pj > - средний магнитный момент от¬дельной молекулы.

5.3. Токи проводимости и намагничивания. Магнитное поле в веществе является суперпозицией двух полей: внеш¬

него магнитного поля, создаваемого макротоками, которые связаны с пере¬мещением носителей тока, их еще называют токами проводимости / , и внут¬реннего, или собственного, магнитного поля, обусловленного преимущест¬венной ориентацией или индуцированием магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Это же можно сказать и об элементарных кру¬говых токах, связанных с каждой молекулой, их называют молекулярными токами. Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению токов Г, называемых токами намагничивания.

5.4. Теоремы о циркуляции.

• В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают

токи намагничивания, поэтому циркуляция вектор В : $Bdl = \L(l+I'), L

где I и Г - токи проводимости и намагничивания, охватываемые замкнутым контуром L.

->

• Циркуляция вектора намагничивания j :

fjdT= I9 L

где Г - суммарный ток намагничивания, охватываемый замкнутый контуром L.

12

Циркуляция векторов В и j берется по одному и тому же контуру L, тогда:

в_ ^0

- j dl = I.

Величину, стоящую под знаком интеграла в скобках, обозначают Н и назы-

вают напряженностью магнитного поля (вектор Н - это вспомогательный вектор, не имеющий сколько-нибудь глубокого физического смысла)

Я В_ _

Н-о J •

Циркуляция вектора Н вдоль замкнутого контура L:

JHdl = I, L

алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром

—>

5.5. Намагниченность j в изотропном магнетике пропорциональна на-

где I L.

пряженности магнитного поля Н , а именно:

j = гн , где х _ магнитная восприимчивость (безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика). -Q JR

5.6. Магнитная индукция 1,50-.

В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае одно¬родной изотропной среды) соот-ношением

в —>

1,00

где и. - относительная магнитная проницаемость среды ( и. = 1 + %).

По своим магнитным свой¬ствам магнетики подразделяются на три основные группы: диамаг-нетики (х < О), парамагнетики (х > О) и ферромагнетики. У фер¬ромагнетиков зависимости

0,50

о 1000 2000

I - сталь, II - железо НЛ/м

Рис.8

L

13

j=f н ,в = f н являются нелинейными. Эти зависимости получают на \ J \ J

основе экспериментальных данных железа и других ферромагнетиков (рис. 8). 5.7. Магнитная индукция внутри длинного соленоида (или тороида) с

магнитным сердечником: B = \i0\inl,

где и. - магнитная проницаемость вещества сердечника соленоида (или то-роида); п - число витков на единицу длины соленоида (или на единицу длины средней линии тороида).

5.8. Индуктивность бесконечно длинного соленоида (/ » d) объемом V с магнитным сердечником:

L = [i[in2V, где / - длина соленоида; d - диаметр соленоида; и. - магнитная проницае¬мость сердечника.

5.9. Энергия магнитного поля тока / в контуре, обладающем индуктив¬ностью L:

W = ——. 2

5.10. Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, отнесен¬ная к единице объема):

ВН в- WoH' -2

2 2ц 0 ц 2

П Р И М Е Р Ы Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч

Пример 1. По двум длинным параллельным проводам текут в противополож­ных направлениях токи силой Ix = I2 = I = 10,0 А. Расстояние между провода­ми d = 0,30 м. Определить магнитную индукцию в точке А, удаленной на гх = 0,15 м от первого и г2 = 0,20 м от второго провода. Дано: 1Х =12 = / = Щ 0 А ; Л = 0.30м; Г !=0 э 15м; г 2 = 0 , 2 0 м ; ц. 0=4ти-10" 7 Гн/м . Найти: В. Решение. Для нахождения магнитной индук¬ции в указанной точке А (рис. 9), определим

направление векторов индукции В\ и Вг по¬лей, создаваемых каждым проводником в от¬дельности. Направление векторов В\, Вг свя¬зано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Согласно принципу 9

D® I

14

суперпозиции полей магнитная индукция в точке А равна векторной сумме магнитных индукций, созданных каждым током в отдельности:

B=B\ +B2. О) Модуль индукции найдем по теореме косинусов:

В = J В2 +В2

2+ 2ВХВ2 cosp (2)

Значения индукций В\ и В2 выражаются соответственно через силу то­ка и расстояния гх и г2 от провода до точки, индукцию в которой мы вычисля­

ем: ( V

в 2 = ( V

(3) 2% гх 2% г2

Угол между отрезками гх и г2 равен а. Поскольку каждый из векторов -> - »

В\, В2 перпендикулярен соответствующему отрезку, должно выполняться равенство:

а + р = 7и (4) По теореме косинусов для отрезков d, rx,r2 имеем

d = г2 + r2

2 - 2rxr2 cos a. (5) Из соотношений (4), (5) следует

cosp = - cos a = , 2 2 2

2 г < г 2

(6)

Подставив в (2) значения В, В2, определяемые по формулам (3), а также cos р из (6), найдем

В = Ы_ |J_ + J_ + 2 J -2к ]\гх

2 r 2

2 гг

( J2 2 2

П ~г2

)

КЪ Id_ 2% rr2

Подставив числовые значения величин (все они даны в СИ) и произведя вычисление, получим:

В = 4 7 T - 1 Q - 7 - 1 0 , 0 - 0 , 3 0 = 20-ю - б Т л = 20мкТл. 2я-0,15-0,20

Ответ: Б = 20мкТл.

Пример 2. По контуру, изображенному на рис. 10, идет ток силой / = 10,0 А. Определить магнитную

индукцию в точке 0, если радиус дуги R = 10,0см,

Р = 60°.

Дано: контур АБСА; R = 10,0 см = 10,0 • 10"2 м; Р = 60°; ц. 0=4ти-10- 7 Гн /м . Найти: В.

15 Рис. 10

Л

Решение. В силу принципа суперпозиции полей магнитная индукция В в точке 0 равна векторной сумме магнитных индукций, созданных всеми эле¬ментами контура с током. Разобьем весь контур на три участка - дугу АВ и прямолинейные отрезки ВС, СА, чтобы для вычисления их магнитных полей можно было воспользоваться формулами для дуги окружности

в - л Ц 4%R2

и для проводника конечной длины В = - Н * ^ Л (coscp! - c o s c p 2 ) . (2)

4% г 0

Тогда получим -> -> -> ->

В=ВАВ + ВВС + ВСА. (3)

Сначала вычислим модули всех трех слагаемых. Поскольку угол

р = 60°, дуга АВ составляет 1/6 часть окружности, т.е. L = = — . Подста-6 3

вив это значение L в формулу (1), найдем

м AuR1 MR' Далее по формуле (2) определим величину ВВС. Из рисунка видно, что углы,

входящие в эту формулу, равны: cpj = 30°; ср2 = 90°. Расстояние от точки 0 до

проводника ВС равно г0 = ОС = RsinA = Р sin 30° = R/2. Подставив значения г 0 , ср!, ф 2 в формулу (2), найдем

ВС = (cos 30° - cos 90°) = v ^° (5) BL 4%R/2 v 1 4%R

Для вычисления магнитной индукции, созданной проводником СА в i V

точке О, формула В = ~л (созф! - с о з ф 2 ) для проводника конечных разме¬ров оказывается непригодной. Поскольку точка О лежит на продолжении про¬водника СА, каждый из углов ф 1 э ф2 равен %. Следовательно, числитель фор¬мулы равен нулю. Нулю равен и знаменатель этой формулы, так как расстоя¬ние от точки О до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Обратимся непосредственно к уравнению, выражающему в скалярной ->

форме закон Био-Савара-Лапласа. Для любого элемента dl проводника СА —>

угол а, образованный этим элементом и радиусом-вектором г , проведенным от элемента в точку О, равен %. Следовательно, sin а = 0. Однако, при этом знаменатель формулы dB = Л o Л s l n a отличен от нуля. Таким образом,

16

dB = 0 для любого элемента проводника СЛ. Следовательно, весь проводник СА не создает в точке О магнитного поля. Тогда соотношение (3) упростится:

В = ВАВ + ВВС (6) Определим направление векторов. Поскольку точка О и контур ABC

- > - »

лежат в одной плоскости, то оба вектора ВАВ и ВВС перпендикулярны этой плоскости, что следует из закона Био-Савара-Лапласа, и расположены вдоль одной прямой - нормали к плоскости чертежа, проходящей через точку О.

- »

При этом, согласно правилу правого винта, вектор ВАВ направлен от наблю¬

дателя, вектор Вес - к наблюдателю. Приняв направление вектора Вес за

положительное, запишем выражение (6) в скалярной форме

С учетом (4) и (5)

В = V W u ,0_ \ /3~_ 1 }д,7

4KR 12 R R (?)

Подставим числовые значения в формулу (7) и произведем вычисления:

^V3 1 1 47Г-10"7 ' 10,t

12" J 1Q.0-10 -2 В =

Ответ: Б 4тг

6.9мкТл. J

Л _ | _ _

2

I I

Пример 3. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиусом R = 10 м м , вдоль оси ко¬торой расположен тонкий провод (рис. 11). Силы токов в трубке и проводе равны, направления противоположны. Определить магнитную индукцию в точках 1 и 2, удален¬ных соответственно на расстояния гх = 5,0мм и г2=\5мм от оси кабеля, если сила тока / = 0.50 А.

Дано: R = 10 м м ; / = 0,50 А; г = 5 , 0 м м = 5,0-10 - 3

м .

г- =15 ,0мм = 15,0-10"Лм; \i- =4TTJ-10_7 Гн/м .

Найти: В, В.. Решение. Симметрия магнитного поля тока коаксиального кабеля позволяет решить задачу, применив теорему о цир¬куляции вектора индукции магнитного поля:

- > — >

I Bdl = \Bdl cos a = \iJ,I„ L L к

где а - угол между векторами В ndl. Действительно, из соображений симметрии следует, что линии индук¬

ции магнитного поля тока кабеля, являясь замкнутыми, должны иметь форму окружностей, центры которых лежат на оси кабеля и плоскости которых пер-

17

Рис. 11

О )

= ес

пендикулярны этой оси. При этом из тех же соображений симметрии вытека­ет, что во всех точках одной и той же линии магнитной индукции величина В одинакова. В этом случае для всех элементов контура угол между векторами

В ndl равен 0, cos а = 1 (рис. 11) и уравнение (1) принимает вид:

BL = \iZZI. (2)

Рассчитаем магнитное поле в точке 1. В качестве контура интегрирова­ния рассмотрим линию магнитной индукции, проходящую через эту точку. Рассматриваемый контур охватывает только тонкий провод с током, поэтому Ъ1К = I. Учитывая, что длина контура равна Ц = 2пг, запишем:

B.

откуда

А =Н<о I

2пг, (3)

Аналогично определим величину В2 в точке 2. Для этого в качестве контура интегрирования возьмем контур L2, проходящий через точку 2. Контур L2

охватывает токи, текущие и по осевому проводнику и по трубе. Так как они равны по модулю и направлены в разные стороны, то Е 1к = 0, поэтому урав-

нение (2) принимает вид: B2L2=Ak

Таким образом, при г > R В2 = О (R - радиус трубы). Полученные результаты позволяют сделать вывод, что магнитное поле

тока, текущего по коаксильному кабелю, сосредоточено целиком внутри ка¬беля, т.е.

В = В. Выполним вычисления, предварительно выразив в единицах СИ входя­

щие в формулу (3) величины:

В. 4ти-10- 7-0,50 2.(0 •"Ю 5 Тл : 20 мкТл .

Ответ: В, 2к 5,0-10 " з

20мкТл; В2 = 0 .

Пример 4. В однородном магнитном поле (В = 50мТл) в плоскости перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длиной / = 3 см, по которому те­чет ток силой 7 = 10 А (рис. 12). Найти ре¬зультирующую силу, действующую на полу¬кольцо.

Дано: Б = 50мТл = 0,050Тл ; / = 3 см = 3-10"2 м; I

х Рис. 12

10 А.

к

—

—

—

18

Найти: F. Решение. На каждый элемент проводника с током /, помещенного в магнит¬ное поле, действует сила (сила Ампера)

dF = I dlB О )

Результирующую силу, действующую на весь провод в виде полукольца, най¬дем путем интегрирования:

F = jdF9 (2)

где индекс / означает, что интегрирование ведется по всей длине полукольца. Направим ток в проводнике по часовой стрелке и определим направле¬

ние сил, действующих на элементы тока / dl со стороны магнитного поля, по правилу векторного произведения (или по правилу левой руки). Каждый эле¬мент проводника расположен неодинаковым образом относительно магнитно¬

-> —> то п о л я . С и л ы d F , д е й с т в у ю щ и е н а в с е э л е м е н т ы / d 1 , н а п р а в л е н ы п о р а д и у ¬

су полукольца и стремятся растянуть его. При переходе от одного элемента к

другому направление сил d F непрерывно изменяется. ->

Силу dFможно разложить на составляющие:

dF = ldF+AjdFy, (3)

где /' , j - единичные векторы; dFx и dFy - проекции вектора dF на коор­

динатные оси Ох и Оу. Для нахождения результирующей силы следует отдельно искать ее про¬

екции на координатные оси: F=jdF, Fy=\dFy, (4)

где Fx, Fy - проекции искомой результирующей силы.

Проекция элементарной силы на ось Оу (рис. 12): dFy =dFcos а,

где dF - модуль силы dF (dF = IBdl sin p), p - угол между векторами В и dl.

Так как вектор dl перпендикулярен вектору В (р = я / 2 ) , то dF = IBdl. Выразив длину дуги dl через радиус R и угол da, на который опирается

эта дуга, dl = Rda, получим:

dFy = dF cos a = IBR cos a da. (5)

Введем dFy (5) под интеграл второго из выражений (4) и проинтегрируем в

пределах от - я /2 до я/2 (как это видно из рис. 12), учитывая что R =

19

+%/2 +%/2

Fy = j * IBR cos a da = IBR sin a | = 2IBR = lIBl/n. (6) -ж/2 ~Ф

Аналогично найдем проекцию F. Так как dFx = dF sin a=IBR sin a da,

то +%/2 +%j2

Fx = JIBR sina da = -IBRcosa | = 0 . (7) -%j2 ~Ф

Из полученных выражений (6) и (7) видно, что результирующая сила F ~Fy и направлена по оси Оу :

-> > -> F = AjFy=~j2IBI/n.

Выполним вычисления, т.е. найдем модуль результирующей силы: -2

F = FY = 2IBII% = 2-10- 0,05» 3 1 1 0 = 9,6-10"3 И = 9 , 6 м Н . г 1 з , 1 4

Ответ: F = 9,6 мН.

Пример 5. Протон, прошедший ускоряющую разность -> потенциалов U = 600 В, влетает в вакууме в однород- В^ ное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начинает двигаться по окружности (рис.13). Вычислить: 1) ра- х • ; диус R окружности, описываемой протоном в поле; 2) частоту п вращения протона в магнитном поле.

Дано: U = 600 В; В = 0,3 Тл ; т = 1,67 • 10 - 2 7 кг; Х

3 = 1,6.10- 1 9Кл. Рис.13 Найти: R, п . Решение. Протон попадает в магнитное поле, имея скорость и, которую он приобрел, ускоряясь в электрическом поле. Скорость протона задана через ус­коряющую разность потенциалов. По закону сохранения и превращения энер¬гии работа сил электрического поля равна изменению кинетической энергии протона:

А = АЕК

или

<l(<Pl-4>2) = Ek2-kl> где А = q (qf4 - ср2) = qU - работа сил электрического поля по перемещению заряженной частицы (протона) в поле; (qj -ср 2 ) - ускоряющая разность по­тенциалов или ускоряющее напряжение U; Ек1 и Е22 - начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией (Ек1 = 0) и выразив ки¬нетическую энергию через скорость, получим

20

qU = ^ 2

откуда выразим скорость протона:

На влетевший в магнитное поле протон действует сила Лоренца

ъВ (2)

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки (рис. 13). Мо¬дуль силы Лоренца, согласно определению векторного произведения, равен

FR = qvBsina. (3) -> -»

Так как сила FR нормальна к скорости и , она изменяет лишь направление вектора скорости, но не его модуль, т.е. сообщает протону нормальное (цен¬тростремительное) ускорение ап = V>2/R . Под действием этой силы протон бу¬дет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям магнит¬ной индукции.

Согласно второму закону Ньютона: F„ = та,,.

Подставив сюда выражение (3) и ап, получим 2

л т 1 )

о Di j sin а = , (4) R

где q, и, т - заряд, скорость, масса протона; R - радиус кривизны траекто¬рии; а - угол между направлениями векторов и и В (в нашем случае и _ L В, а = 90°).

Из формулы (4) выразим радиус R окружности, учтя, что sin 90° = 1: mv

* = qB (5) Подставив в формулу (5) выражение для скорости (1), получим ответ 1 задачи в общем виде:

\2qqU

= тЛлЛЩ. {6) qB В\ q

Подставим в формулу (6) числовые значения физических величин и выполним вычисления:

1 '12-1,67-Ю" 2 7 -600 R = —J-, Л = 0,0118м = 11,8 м м .

0,3 Д 1.6-10"19

21

Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связы­вающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории:

1 Л 2nR v П = — \ 1 = ; П

Т \) 2%R где Т - период вращения. Подставив R из выражения (5) в формулу для частоты, получим

П = ——В. I m

Выполним вычисления:

1 1.6-10- г 9

П = 2-3,14 167-10 - 2 7

Ответ: R = 11.8 м м ; П = 4,6 • 106 с" 1 .

•0.3 = 4.6-10 6 с" 1

(?)

Пример 6. Квадратная рамка площадью S = 4,0 см 2 , состоящая из N = 50 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения G которой равна 1,0-10~5 Н-м/град (постоянная кручения нити, проволоки оп­ределяется вращающим моментом, необходимым для закручивания нити, проволоки на угол, равный один градус). Плоскость рамки совпадает с на¬правлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индук­цию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока / = 1 А

она повернулась на угол ср = 60°.

Дано: S = 4,0 с м 2 = 4,0 • 10"4 м 2 ; N = 50; G = 1,0-10"5 Н • м / г р а д ; / = 1 А; Ф=60°. Найти: В. Решение. Индукция В внешнего магнитного поля может быть найдена из ус­ловия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в равновесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равно нулю:

>ZMk=0. О ) к

В данном случае на рамку действуют два момента

(рис. 14): М1 - момент сил внешнего магнитного ->

поля и М 2 - момент упругих сил, возникающих при закручивании нити, на которой рамка подве¬шена. Следовательно, формула (1) может быть пе¬реписана в виде

М\+М2 =0. (2) В проекциях на ось z уравнение (2) примет

1

Рис. 14 вид: М, - М: = 0 или М, = М:

(3)

22

Знак минус перед моментом М2 ставится потому, что векторы М i и М 2 про¬

тивоположны по направлению. Выразим векторы M i и М2 через величины,

от которых зависят эти моменты сил:

Mi Рт • М.2 =Gcp.

Или в скалярной форме: л

Мх = ртВsin Р т

л > = РтВъ'та\ М2 = Сф , (4) V )

где рт - магнитный момент рамки с током, модуль которого равен рт = NIS (здесь учтено, что векторы магнитных моментов от всех витков N рамки на­

правлены в одну сторону, перпендикулярную плоскости рамки, т.е. по норма¬

ли к ней) а - угол между векторами рт и В ; ф - угол поворота рамки при

пропускании по рамке тока I. Соотношения (4) подставим в уравнение (3), откуда выразим В:

NISBSma = Gq>,

В= . (5) NISBsina

Из рис. 14. видно, что а = 7и /2 -ф , значит sin а = cos ф. С учетом этого формула (5) примет вид:

N1 SBcosy Подставим числовые значения и произведем вычисления:

1,0-10"5 -60 В = = 0.060Тл = 60 мТл.

50-l-4..0-10" 4cos60 °

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I = 20 А, расположена квадратная рамка со стороной а = 20 см. Рамка расположена так, что ближайшая к проводу сторона парал¬лельна ему и находится от провода на расстоянии, равном стороне рамки (рис.15). Определить магнитный поток Ф , пронизьшающий рамку. Дано: I = 20 А; а = 20 см = 20-Ю" 2 м, ц 0 =4ти-10" 7 Гн /м . Найти: Ф . Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется в общем случае по формуле

ф = JBdS= JBdScos (7В] (1) (s) (s) V )

23

В нашем случае вектор магнитной индукции В

перпендикулярен площади рамки, поэтому для всех уча¬

стков рамки угол между нормалью п к рамке и векто-

ром В равен нулю cos V \

п,В cosO° =1 Магнитная J )

индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводом с током, определяется формулой

B = [i0

2%г

которой опре- Рис. 15 где г - расстояние от провода до точки, в деляется В.

Так как В зависит от г, то площадь рамки разбиваем на узкие элемен­тарные полоски площадью dS = adr (рис. 15). В пределах такой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены на расстояние г от провода.

С учетом сделанных замечаний элементарный поток d<$> запишем в ви­де:

dO =BdS cos —>-Л —>

п . В

Проинтегрировав полученное выражение 2а, получим поток через всю рамку:

2 а Г , la2? dr 1а f

в пределах от г= а до

* о л - .adr = [i—Л — / / I —

02%% 12

\i—%jnrX =[i0—2 л

п 2 . (2)

Проведем вычисления по формуле (2): 20 • 20 1 О 2

Ф = 4тг • 10 -7 ^ In2 = 5,5 • 10"7 Вб = 0.55 мкВб.

Ответ: Ф = 0.55мкВб.

г —

Пример 8. Внутри длинного соленоида находится плоская прямоугольная ка­тушка из N витков с площадью поперечного сечения S. Катушка поворачива­ется с постоянной угловой скоростью со вокруг оси оо', перпендикулярной оси соленоида аа' (рис.16). При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как B = B0sm($t. Найти э.д.с. индукции в катушке, если в момент t = 0 ось катушки совпадала с осью соленоида. Дано: В = В0 sin со? ; N, S, со . Найти: £ (э.д.с). Решение. Мгновенное значение э.д.с. индукции £ i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

24

(3)

о'

где \|/ - полный магнитный поток (потокосцепление). В нашем случае полный магнитный поток - это поток через катушку, он

равен сумме магнитных потоков, пронизывающих каждый виток катушки: у = ЛГФ, (2)

где Ф - магнитный поток через один виток катушки (магнитные потоки, ох¬ватываемые каждым витком, одинаковы), N - число витков катушки.

При вращении катушки магнитный поток Ф изменяется по закону 0 = BScosa = BScos(ot,

где В - магнитная индукция; S - площадь поперечного сечения катушки;

->

а - угол между вектором нормали п к плоскости витка и вектором магнитной

индукции В (рис. 16). Катушка находится в магнитном по¬

ле соленоида, индукция магнитного поля которого меняется согласно условию за¬дачи по закону

В = В0 sin со?. С учетом соотношений (3) и (4) в момент катушку

а - а

о

Рис. 16

(4) t полный магнитный поток сквозь

у N O = NBScosort NB0 sinco/Scosotf=-NBSsm2d)t. 2-

(5)

Продифференцировав по времени уравнение для полного магнитного потока (5), найдем мгновенное значение э.д.с. индукции в общем виде:

е=- dt d dt

1 i i NB£smi2(ot = -- NBS2m cos 2Ш = -NBS cos 2Ш.

\2 ) 2 Ответ: £ = -NBS cos 2cof

Пример 9. Соленоид с индуктивностью L = 0,10 Гн и сопротивлением R = 0,02 Ом замыкается на источник с э.д.с. £0 = 2 В , внутреннее сопротив¬ление которого ничтожно мало. Какой заряд пройдет через соленоид за пер¬вые 5 с после замыкания? Дано: L = 0 ,10Гн; Я = 0,02 О м ; S0 =2 В; t = 5 с. Найти: q. Решение. При замыкании цепи ток в ней начнет нарастать и возникнет э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому нарастанию. Возникший пере¬менный ток - экстраток замыкания нарастает по закону

I=Ir * 1-е L

25

где I = GQ/R - установившийся ток (t —> G O ) ; £0 - э.д.с. источника, внутрен¬нее сопротивление которого г = 0; t - время, прошедшее после замыкания.

Для расчета заряда, который пройдет через соленоид, применим метод дифференциального исчисления, так как в цепи соленоида идет переменный ток, мгновенное значение которого по определению:

1 = dq

dt Разделим промежуток времени t на столь малые интервалы dt, чтобы в пре¬делах каждого такого интервала времени силу тока можно считать приблизи¬тельно постоянной. Тогда элементарно малое количество заряда dq, которое пройдет через соленоид за этот промежуток времени dt:

dq = Idt = Ir 1-е L dt.

Интегрируя по времени (пределы интегрирования от tx = 0 до данного момен­та t2 = t), находим заряд, прошедший через соленоид за время t:

t 9 = \h

о

( 1-е

V

L t

J

dt = IQ

L L

t + — e R

R, L R

t \dt-о

.0

( L J \je L d

R

v

L L

t + R

1 v L j

\

-1

V (i)

Учитывая, что l0 =G/R получим:

4 So R

t +

Проведем вычисления по формуле (2): f

2 q =002

с 0Л0 -5 + 0.02

L R V 0,02

-1 (2)

о я * -1 184 Кл .

Ответ: q = 184Кл.

Пример 10. По обмотке длинного соленоида с желез­ным сердечником течет ток / = 0,06 Л (рис.17). Витки провода диаметром d = 0,40 мм с весьма тонкой изо¬ляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность соленоида при данных условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если

площадь его поперечного сечения S = 4,0 см , а длина соленоида / = 50 см.

d

Рис. 17

о

L

e — —

\ R

t

в

26

Дано: I = 0,06 А ; d = 0,40 м м = 0,40 • 10 3 м ; S = 4,0 с м 2 =4,0-10"4 м 2 ;

/ = 50см = 50-10_ 2 м. Найти: L , W. Решение. Индуктивность длинного соленоида можно рассчитать по формуле:

L = [i[i0n2V, где п - число витков на единицу длины соленоида; V - объем соленоида; |1 0 - магнитная постоянная; и. - магнитная проницаемость железа (ферромаг­нетик). Так как

V =l-S\n = — =

/ N-d d то

L = * l S . (1) d

Магнитное поле в сердечнике характеризуется величинами В и Я, кото­рые связаны соотношением В = \i\igH. Тогда

т > = В/Н. (2) Напряженность магнитного поля внутри соленоида определяется по

формуле

Н =nl = —I. d

Выполним вычисления

H=Ild = — 0 6 0 , =1,5-103 А / м . (3) 0,40-10" 3

По кривой намагничивания железа (см. рис. 8) находим магнитную индукцию в сердечнике:

Б = 1,35Тл. Выразим индуктивность соленоида, используя формулы (1) и (2):

В - —

Зная индуктивность соленоида (4) и выразив ток в обмотке через харак¬теристику магнитного поля Н (I = Н -d ), найдем энергию магнитного поля по формуле:

LP l l H А BH

2 Н d2 2 2 Такой же результат можно получить, применив формулу для объемной плот-

ВН ности энергии магнитного поля сом =—^—:

ИМ W =coMF = — IS.

м 2

L = В - р . (4)

27

Подставляя в формулы (4), (5) числовые значения всех величин, полу¬чим:

_ 1,35-50-10~2-4,0-10~4 _ _ L - 7 - 1Д1 н.

1,5-103(о,40-10~3) U 5 . U . 1 0 3 . 5 0 . 1 0 - 2 . l ; Q . 1 0 - 4

2

Ответ: L = Ц Г н ; W = 0,2 Дж .

0,2 Дж

З А Д А Ч И К К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Е

Контрольная работа включает решение восьми задач. Вариант кон­трольной работы задается преподавателем, номера задач берутся из табли­цы 1. Справочные материалы приведены в приложении. Если в условии зада¬чи не указана среда, то имеется в виду, что заряды и токи находятся в вакууме ( е=1 ;ц = 1)

Таблица 1 Вариант Номера задач

1 1 16 31 46 61 76 91 106 2 2 17 32 47 62 77 92 107 3 3 18 33 48 63 78 93 108 4 4 19 34 49 64 79 94 109 5 5 20 35 50 65 80 95 ПО 6 6 21 36 51 66 81 96 111 7 7 22 37 52 67 82 97 112 8 8 23 38 53 68 83 98 113 9 9 24 39 54 69 84 99 114 10 10 25 40 55 70 85 100 115 11 11 26 41 56 71 86 101 116 12 12 27 42 57 72 87 102 117 13 13 28 43 58 73 88 103 118 14 14 29 44 59 74 89 104 119 15 15 30 45 60 75 90 105 120

1. Два прямолинейных длинных проводника расположены на расстоя¬нии а = 200 мм друг от друга. Определите индукцию магнитного поля в точ­ках, находящихся на середине расстояния между проводниками, если сила то­ка в них по модулю одинакова и равна 7 = 500 А. Рассмотреть случай, когда

токи: а) сонаправлены; б) противоположно направлены. \а) 0; б) 2 • 10~3 Тл J 2. По бесконечно длинному проводнику ANC, изогнутому под прямым

углом (рис. 18), течет ток 7. Во сколько раз изменится индукция магнитного 28

поля в точке М, если в точке N присоединить бесконечно длинный прямой провод ND так, чтобы ток I разветвлялся в точке N на две равные части, а ток

В, • 3 в проводнике AN оставался прежним?

В,

А I М

С

Рис. 18 Рис. 19

3. По проводнику, расположенному в одной плоскости (рис. 19), течет ток. Найдите индукцию магнитного поля в произвольной точке линии АВ, яв­ляющейся осью симметрии проводника. [ 0 ]

4. Определите индукцию В магнитного поля в произвольной точке внутри длинного толстого цилиндрического прямого проводника радиусом R. По проводнику течет ток плотностью j. Ответ представить графической за­висимостью В = f(r), где г - расстояние от оси проводника до заданной точ­

ки. В 2

5. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника со сторона­ми а = 30 см, в = 4 0 с м , течет ток силой I = 6,00 А. Определить индукцию магнитного поля в центре симметрии фигуры. [ 20 мкТл ]

6. По двум длинным параллельным проводам текут в противополож¬ных направлениях одинаковые токи силой I = 15,0 А. Расстояние между про¬водами а = 30 см. Найти максимальное значение индукции магнитного поля для точек, принадлежащих плоскости симметрии проводов. [ 40 мкТл ]

7. Часть длинного прямого провода согнута в виде полуокружности ра¬диуса R = 126 мм. Определить индукцию магнитного поля в центре кривизны, если по проводу течет ток силой I = 4,00 А. [ 10,0 мкТл ]

8. По двум бесконечно длинным пря¬молинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном на¬правлении текут токи 1Х и 12 силой по 5 А (рис. 20). Между проводниками на расстоя¬нии 30 см от первого расположен кольцевой проводник, плоскость которого параллельна прямолинейным проводникам. Сила тока в

f \

т \

1 А

А 7 V j

Рис. 20

•-©

29

кольцевом проводнике 13 равна 5 А. Радиус кольца 20 см. Определить ин­дукцию и напряженность поля, созданного токами в центре кольцевого про­водника в точке Л [Б = 1,58-10~5 Т л ; Я =1,26 А / м J

9. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток си­лой I = 5 А, согнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля на расстоянии а = 10 см от вершины угла в точках, лежащих на биссектрисе прямого угла и на продолжении одной из сторон. [ 24,2 мкТл; 5 мкТл; 5 мкТл ]

10. По двум прямым параллельным проводникам, расположенных на расстоянии г = 10 см друг от друга, текут в противоположных направлениях токи силой 1== \ А и 12 = 2 А. Определить индукцию магнитного поля В в точке, расположенной посередине между ними. [ 12 мкТл ]

11. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом а = 2 я / 3 . Оп­ределить магнитную индукцию В в точке А (рис.21). Расстояние d = 5см. [В = 34,5 мкТл ]

Рис. 22

12. По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи 1= = 30 А и 12 = 40 А. Расстояние d между прово­дами равно 20 см. Определить магнитную индукцию в точке С (рис. 22), оди¬наково удаленной от обоих проводов на расстояние, равное d. [50мкТл]

13. К тонкому однородному проволочному кольцу радиусом R = 0,1 м подводят ток I = 2 А (рис.23). Подводящие провода, расположенные ради-ально, делят кольцо на две дуги, длины которых 1= и / 2 . Найти индукцию маг¬нитного поля в центре кольца. [ 6,3 мкТл ]

14. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи 1= = 70 А и 12 = 50 А в од¬ном направлении. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной на гх = 10 см от первого и г2 = 20 см от второго проводника. [ 178мкТл ]

15. По бесконечно длинному прямому проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 24, течет ток I = 100 А. Определить магнитную индукцию В в точке О, если R = 10 см. [Б = 357мкТл]

30

I I

Р и с . 2 3 Рис. 24

16. Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квад­ратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течет ток I = 5 А. [ 9,43 мкТл ]

17. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током / = 8,0 А имеет вид, показанный на рис. 25. Радиус изогнутой части провод­ника R = 100 м м , прямолинейные участки проводника очень длинные. [0 ,30мкТл]

А Z

Рис. 25 Р и с . 2 6

18. Бесконечно длинный тонкий проводник с током / = 50 А имеет из­гиб в виде плоской петли радиусом R = 10 см (рис. 26). Определить магнит­ную индукцию поля, создаваемого этим током в точке 0. [ 257 мкТл ]

19. По бесконечно длинному прямому проводнику, согнутому под уг­лом а = 120°, течет ток / = 50А. Найти магнитную индукцию в точках, ле­жащих на биссектрисе угла и удаленных от его вершины на расстояние а = 5 см. [ 346 мкТл; 116 мкТл ]

20. По двум длинным параллельным проводам текут в одном направле¬нии одинаковые токи силой / = 15,0 А. Расстояние между проводами а = 30 см. Найти максимальное значение индукции магнитного поля для то¬чек, принадлежащих плоскости симметрии проводов. [ 20 мкТл ]

31

21. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток / = 100 А. Определить магнитную индукцию поля, созданного этим током в точке О (рис. 27). Радиус R изо¬гнутой части контура равен 20 см. [ 236 мкТл ]

/ 2R о /

Рис. 27

22. Используя теорему о циркуляции вектора В, рассчитать магнитную индукцию поля внутри бесконечно длинного соленоида в вакууме, если число витков соле¬ноида равно N и длина соленоида равна /. [ В = \i01 N/l ]

23. Магнитная индукция В на средней линии тороида без сердечника (внешний диаметр тороида d = 60 см, внутренний - d2 = 40 см) , содержаще­го N = 200 витков, составляет 0,16 мТл. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, определить силу тока в обмотке тороида. [ / = 1 А ]

24. Соленоид длиной / = 0,5м содержит J V = 100 В И Т К О В . Определить магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сопротивление его обмот¬ки R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В. [ 126 мТл ]

25. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнит­ная индукция в центре контура? [ 1,15 ]

Рис. 28 Рис. 29

26. Бесконечно длинный тонкий проводник с током / = 50 А имеет из¬гиб в виде плоской петли радиусом R = 10 см (рис. 28). Определить магнит¬ную индукцию поля, создаваемого этим током в точке 0. [ 414 мкТл ]

27. Бесконечно длинный тонкий проводник с током / = 50 А имеет из¬гиб в виде плоской петли радиусом R = 10 см (рис. 29). Определить магнит¬ную индукцию поля, создаваемого этим током в точке 0. [ 214 мкТл ]

28. На рис. 30, изображено сечение трех пря¬молинейных бесконечно длинных проводников с током. Расстояния АС = CD = 5 см; I = I= I; 13 =21. Найти точку на прямой AD, в которой маг­нитная индукция поля, вызванного токами 1Х, 12 и 13 равна нулю. [На расстоянии 3,3 см от точки А между 1Х и 12 ]

h л2 ®

?з

Л

32

29. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 10 см в точке, располо¬женной на расстоянии d = 20 см от центра кольца, если в центре кольца В = 50 мкТл. [4,47 мкТл]

30. Определить циркуляцию вектора маг¬нитной индукции для замкнутых контуров, изо¬браженных на рис. 31, если сила тока в обоих проводниках I = 2 А.

[1) 2,51 мкТл • м; 2) 5,02мкТл • м; 3) 0 ] 31. Проволочное кольцо с током находится в однородном магнитном

поле, индукция которого Б = 0,01Тл. Сила тока в кольце I = 0,5 А. Радиус кольца R = 2 см. Какой максимальный момент сил может действовать на

кольцо со стороны магнитного поля? [б • 10~б Н • м J 32. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена

квадратная рамка площадью S = 25 см . Нормаль к плоскости рамки состав¬ляет с направлением магнитного поля угол 60°. Определить вращающий мо¬мент, действующий на рамку, если по ней течет ток I = 1 А. [ 217 мкН • м ]

33. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл находится прямоугольная рамка длиной а = 8 см и шириной Ь = 5 см, содержащая N = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I = 1 А, а плоскость рамки па¬раллельна линиям магнитной индукции. Определить: 1) магнитный момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку. [о,4 А • м 2 ; 0,2 Н • м]

34. Тонкое кольцо массой 10 г и радиусом R = 8 см несет заряд, равно¬мерно распределенный с линейной плотностью т = 10нКл/м. Кольцо равно¬мерно вращается с частотой и = 15 с - 1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного

момента к моменту импульса кольца L. [1) 1Д2 нА - м 2 ; 2) 251 нКл/кг J 35. Принимая, что электрон в атоме водорода движется по круговой ор¬

бите, определить отношение магнитного момента рт эквивалентного круго¬вого тока к моменту импульса L орбитального движения электрона. [87,8-109 Кл /кг ]

36. Круглая рамка с током (S = 15 см 2 ) закреплена параллельно магнит­ному полю (В = 0,1 Тл), при этом на рамку действует вращающий момент М = 0,45 мН • м. Рамку освободили. После поворота рамки относительно оси,

лежащей в плоскости рамки и проходящей через ее центр, на угол 90° ее уг-

33

ловая скорость стала со = 30 с . Определить силу тока, текущего по рамке. [ З А ]

37. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индук­цией Б = 3 0 м Т л , движется по окружности радиусом R = 10см. Определить

магнитный момент рт эквивалентного кругового тока. [4,21 п А - м 2 ] 38. Рамка гальванометра, содержащая N = 200 витков тонкого провода,

подвешена на упругой нити. Площадь рамки равна 1 с м 2 . Нормаль к плоско¬сти рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции (В = 5 мТл) . Когда через гальванометр был пропущен ток 1 = 2 мкА, то рамка повернулась на

угол а = 30°. Найти постоянную кручения G нити. [ 332 пН • м/рад] 39. По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии

а = 1 м от его плоскости магнитная индукция В = 10 нТл. Определить маг¬нитный момент рт кольца с током. Считать R много меньше а . [50 мА • м 2 J

40. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет заряд д = 10нКл. Кольцо

равномерно вращается с частотой и = 10 с - 1 относительно оси, перпендику¬лярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Найти: 1) магнитный момент кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного мо¬мента к моменту импульса (pJL), если масса кольца равна Ю г .

[1) 3,14 нА • м 2 ; 2) 500 нКл/кг] 41. Катушка гальванометра, состоящая из 400 витков тонкой проволо¬

ки, намотанной на прямоугольный каркас длиной в 3 см и шириной 2 см, подвешена на нити в магнитном поле, индукция которого 0,1 Тл. По катушке

течет ток силой 10~7 А. Найти вращающий момент, действующий на катушку

гальванометра, если плоскость катушки составляет 60° с направлением маг¬нитного поля. [1,2 • 10~9 Н • м]

42. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому те¬чет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с ин¬дукцией В = 1 Тл . Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середины его проти¬воположных сторон на угол ср = 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной. [1,37 Дж]

43. На проволочный виток радиусом R = 10 см, помещенный между по¬люсами магнита, действует максимальный механический момент Мт = 6,5-10~б Н - м . Сила тока I в витке равна 2 А. Определить индукцию магнитного поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Зем¬ли пренебречь. [104мкТл]

44. Определить число N витков катушки тангенс-гальванометра, если магнитная стрелка, помещенная в центре катушки, отклонилась на угол, тан-

34

Рис. 32

гене которого численно равен силе тока, пропускаемого по обмотке катушки. Ось катушки перпендикулярна плоскости магнитного меридиана (горизон­тальная составляющая Вг магнитной индукции поля Земли равна 20мкТл) .

[8] 45. Виток радиусом R согнули по диа­

метру АС под прямым углом и поместили в однородное магнитное поле с индукцией В так, что одна из плоскостей витка оказалась расположенной под углом а, другая - под^уг-лом ( %/2-а) к направлению индукции В . Ток в витке /. Определите момент сил, дейст¬вующих на виток (рис. 32).

[м =(l/2)rci? 2ffi(sina + cosa)J 46. Прямоугольная рамка со сторонами

(3 = 10 см и 6 = 30 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током I = 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны проводу. Сила тока в рамке Ix = 1 А. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии с = 10 см, а ток в ней сона-правлен току /. [Fl = 4,8 мкН; F=F= 1,66 мкН; F3 = 12 мкН ]

47. Между полюсами электромагнита в горизонтальном поле находится проводник, расположенный горизонтально, причем его направление перпен¬дикулярно линиям магнитной индукции. Какой ток должен идти через про¬водник, чтобы он висел, не падая, если индукция поля В = 0,02 Тл и масса единицы длины проводника тг = 0 , 0 1 к г / м ? [4,9 А ]

48. По наклонным рельсам соскальзывает равномер¬но вниз стержень с площадью поперечного сечения S0, из¬готовленный из материала с плотностью р (рис. 33). Рель¬сы расположены в однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен рельсам. Угол между рельсами и горизонтом равен а, коэффициент трения о рельсы - а- По стержню течет ток силой /. Чему равна ин-

Рис. 33

дукция магнитного поля В1 В = - K s m a - (icosa)

49. Прямой проводник длиной 0,2 м с током 5 А под¬вешен к динамометру и помещен в поперечное однородное магнитное поле (рис. 34). Определить индукцию магнитного поля, если при изменении направления тока в проводнике по¬казания динамометра изменились на 4 мН. [В = 2 мТл ]

Рис. 34

35

50. Горизонтальный медный провод подвешен на пружине в горизон­тальном однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл . Линии магнитной

индукции составляют угол 30° с направлением тока, текущего по проводу. Плотность тока в проводе 8,9 А / м м 2 , плотность меди 8 ,9г /см 3 . После вы¬ключения магнитного поля растяжение пружины увеличилось. Во сколько раз изменилось растяжение пружины? Пружину считать непроводящей. [0,5]

51. По двум длинным параллельным прямым проводам, расстояние ме¬жду которыми 1 см, в одном направлении текут токи. Сила тока в первом проводнике 20 А, во втором - 5 А. Где между ними следует поместить па¬раллельный им третий проводник с током, чтобы он находился в равновесии? Проводники считать невесомыми, [на 0,8 см от первого проводника]

52. По трем параллельным проводам, находящимся на одинаковом рас¬стоянии а = 10 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F , действующую на отрезок длиной / = 1 м каждого провода. [F, =F2 = 20 мН; F3 = 34,6 мН ]

53. Два параллельных длинных провода с током I = 6,0 А в каждом (то¬ки направлены в одну сторону) удалили друг от друга так, что расстояние ме¬жду ними стало в два раза больше первоначального. Какую работу на единицу длины проводов совершили при этом силы Ампера? [А = -5,0 мкДж/м ]

54. Между полюсами магнита на двух тонких нитях подвешен горизон¬тально линейный проводник массой 0,01 кг и длиной / = 0,2 м. Индукция од¬нородного магнитного поля В = 0,25 Тл и направлена вертикально. Весь про¬водник находится в магнитном поле. На какой угол а от вертикали отклонят¬ся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток I = 2 А ?

Весом нитей пренебречь, [а = 45° J 55. Прямой проводник АС (рис. 35) длиной / = 20 см

и массой т = 4,9 г подвешен горизонтально на двух лег­ких нитях OA и ОС в однородном магнитном поле, вектор индукции которого имеет горизонтальное направление и р и с 35

перпендикулярен проводнику. Какой величины ток надо

пропустить через проводник, чтобы одна из нитей разорвалась? Величина ин­

дукции магнитного поля В = 4,9 • 10~2 Тл . Каждая нить разрывается при на­

грузке, превышающей 3,92 • 10~2 Н. [ I > 3 А ] 56. Определить силу взаимодействия, приходящуюся на единицу длины,

проводов воздушной линии электропередачи, если ток в линии I = 500 А, а расстояние между проводами А = 50см. Задачу проиллюстрировать черте¬жом, на котором указать направление силы, действующей на проводник со стороны другого. [0,1Н/м]

57. Горизонтальные рельсы поместили в однородное магнитное поле. Рельсы находятся на расстоянии / друг от друга. Перпендикулярно рельсам

36

лежит стержень, масса которого т. По стержню течет ток /. Коэффициент трения стержня о рельсы и.. При каком минимальном значении индукции магнитного поля В стержень начнет двигаться? Какой угол а с вертикалью

будет составлять при этом вектор В ? \irnz В = ; а = a rc tg [I

58. В однородном магнитном поле на тонких вертикальных проволоч­ках одинаковой длины горизонтально подвешен прямолинейный проводник массой т = 10 г и длиной / = 30 см. Индукция поля В = 0,25 Тл и направлена вертикально. Сила тока в проводнике I = 2 А. На какой угол а от вертикали отклоняются проволочки, поддерживающие проводник? Массами проволочек

пренебречь. BII

а = arctg = 5 6 mg

59. В горизонтальном однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл на двух нитях, выдерживающих предельную нагрузку 0,04 Н каждая, подве¬шен горизонтально проводник массой 5 г и длиной 0,2 м. Ток какой силы нужно пропустить, чтобы нити оборвались? [ / = 3 А ]

60. Проводник длиной 1 м подвешен в вертикальном магнитном поле на тонких нитях. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти массу проводника, если при пропускании по проводнику тока силой 1 А нити отклоняются на угол 45°. [ т = 10 г ]

61. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (Б = 0 ,2Тл) , стал двигаться по окружности радиусом R = 5 см. Определить магнитный момент

рт эквивалентного кругового тока. [ рт = 7,03 • 10~12 А • м 2 J 62. Протон влетает в однородное магнитное поле напряженностью

105 А/м перпендикулярно линиям магнитной индукции. Вычислить силу, действующую на протон, и его кинетическую энергию, если в магнитном поле он будет двигаться по окружности радиусом 2 см. \\Vl = 4,8-10~7 Д ж ] ,

[FR =4,8-10" 1 5 н ] 63. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, двигаясь

перпендикулярно скрещенным под прямым углом однородным электрическо¬му (Я = 100кВ/м) И магнитному (Б = 50мТл) П О Л Я М , не отклоняется.

[2 • 10б м /с ]

64. Электрон, обладая скоростью и = 10 м /с , влетел в однородное маг¬нитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция маг¬нитного поля В = 0,1 мТл. Определить нормальное и тангенциальное ускоре¬ния электрона . . \ап = const = 1,76-1014 м / с 2 ; ах = о]

37

65. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 к В , движется параллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии г = 1 см от него. Определить силу, действующую на электрон, если через проводник пропускать ток I = 10 А. [ 4,24 • 10"16 н]

66. Электрон, обладая скоростью и = 106 м /с , влетает в однородное

магнитное поле под углом а = 60° к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля В = 1,88 мТл. Определить: 1) шаг спи¬рали; 2) радиус витка спирали, [1) 9,49 мм; 2) 2,62 мм]

67. Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитной ин¬дукцией В = 0,2 мТл по винтовой линии. Определить скорость и электрона,

если радиус винтовой линии R = 3 см, а шаг h = 9 см. [ 1,17 • 106 м/с J 68. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,2 Тл пер¬

пендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течение 5 мкс включается электрическое поле напря­женностью 0,5 кВ/м в направлении, параллельном магнитному полю. Опре¬делить шаг винтовой траектории заряженной частицы. [ 7,85 см]

69. Влетев в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной ин­дукции, электрон за 8 • 10~9 с прошел путь 18 мм. Ускорение электрона при

движении составляло 2 • 1015 м / с 2 . Определить величину индукции магнитно¬го поля. [В = 5 мТл ]

70. Электрон и протон, ускоренные некоторой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сколько оборотов сделает в магнитном поле электрон за то время, пока протон совершает 400 оборотов? Заряды протона и электрона равны

1,6-10~ 1 9Кл и - 1 , 6 - 1 0 ~ 1 9 К л соответственно. Их массы 1,67-10~ 2 7кг и

9,1-Ю" 3 1 кг. [ДА = 8-105 J

71. Электроны влетают в однородное магнитное поле под углом 60° к линиям магнитной индукции и движутся по винтовой траектории, радиус ко¬торой равен 0,34 см. На какое расстояние переместятся электроны вдоль ли¬нии магнитной индукции за 10 оборотов? [ / = 13 см]

72. Заряженная частица влетела в магнитное поле с индукцией 1,57 мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Через 40 не вектор скорости частицы изменил направление на противоположное. Определить отношение заряда частицы к ее массе, \qfrn = 5 -10 1 0 Кл/кг]

73. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле напряженностью Я = 1 0 к А / м . Вычислить период Т вращения электрона. [ 2,84 не]

38

74. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 9 мТл по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см, а шаг h = 7,8 см. Определить период Г вращения электрона и его скорость. [3,97 не; 25-10 6 м/с]

75. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор парал--7

лельно его пластинам со скоростью и = 2-10 м/с . Длина конденсатора / = 10см, напряженность электрического поля конденсатора Е = 2 0 0 В / с м . При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, линии ин¬дукции которого перпендикулярны линиям напряженности электрического

поля. Индукция магнитного поля В = 2Л0~2 Тл. Найти радиус винтовой тра-Е1

К = — = 5Л0~М v0B ектории электрона в магнитном поле.

76. Вблизи длинного прямого провода, по ко­торому протекает ток Ix = 10 А, расположена квад­ратная рамка с протекающим по ней током I2 = 1 А (рис. 36). Рамка и провод лежат в одной плоскости; стороны рамки равны а = 6,8 см, расстояние Ь = 4 см. Найти работу А, которую нужно совер¬шить, чтобы передвинуть прямой провод в положе¬ние, указанное штриховой линией.

А Л 1 п 7Г

1 + а

Ъ -7 2,72-10"' Д ж

Рис. 36

77. Найти магнитную индукцию и магнитный поток через поперечное сечение никелевого сердечника соленоида, если напряженность однородного магнитного поля внутри соленоида Н = 25 кА/м . Площадь поперечного сече­ния сердечника S = 20 см . Магнитная проницаемость никеля и. = 200. [В = 6,28 Тл; Ф = 12,56 мВб]

78. Индукция однородного магнитного поля В = 0,5 Тл. Найти магнит¬

ный поток через площадку S = 25 см , расположенную перпендикулярно к

линиям индукции. Чему будет равен магнитный поток, если площадку повер­

нуть на угол ф = 60° от первоначального положения? [ 1,25 мВб; 625 мкВб] 79. В железном сердечнике соленоида, содержащего 10 витков на 1 см

длины, индукция равна 13 Тл . Железный сердечник заменили стальным. Оп¬ределить, во сколько раз следует изменить силу тока в обмотке соленоида, чтобы магнитная индукция в сердечнике осталась неизменной (см. рис. 8). [Увеличить в 2 раза]

80. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по ко¬торому течет ток 7 = 5 0 А , расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной / = 65 см параллельны проводу, а расстояние от

—

39

провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный по­

ток Ф, пронизьшающий рамку? Ф ц 0 Л

1п2 = 45 мкВб

81. Определить, во сколько раз отлича­ются магнитные потоки, пронизывающие рамку при двух ее положениях относительно прямого бесконечно длинного проводника с током (рис. 37). Рамка лежит в одной плоско­сти с проводом. [3,8l]

82. Тороид квадратного сечения содер­жит J V = 1000 витков. Наружный диаметр то­роида d2 = 40 см, внутренний d = 20 см . Найти магнитный поток Ф в тороиде, если сила тока I, протекающего по обмотке, равна

I

Рис. 37

10А. ф 4ж Л 1 п л -

di 139мкВб

83. Соленоид длиной / = 1 м и сечением S = 16 см^ содержит N = 2000 витков. Вычислить потокосцепление при силе тока в обмотке I = 1 0 А . [ 80,5 м В б ]

84. Виток, по которому течет ток 1 = 20 А, свободно установился в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл. Диаметр витка d равен 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно повернуть виток на угол 90° относительно оси, совпадающей с диаметром? [31 ,4мДж]

85. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл находится квадратный проводящий контур со стороной / = 20 см и током I = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в 30°. Оп¬ределить работу по удалению контура за пределы поля. [ 0,04 Дж ]

86. Рамка, площадь которой равна 16 с м 2 , вращается в однородном маг¬нитном поле, делая 2 об/с . Ось вращения находится в плоскости рамки и пер¬пендикулярна линиям магнитной индукции. Напряженность магнитного поля равна 7,96-104 А / м . Найти: 1) зависимость магнитного потока, пронизываю­щего рамку, от времени; 2) наибольшее значение магнитного потока.

[Фшах = 1 , б - 1 0 - 4 В б J 87. В магнитном поле, индукция которого равна 0,05 Тл, вращается

стержень длиной 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стерж¬ня, параллельна линиям магнитной индукции. Найти поток линий магнитной индукции, пересекаемый стержнем при каждом обороте. [ Ф = 0,157 Вб ]

40

Рис. 38

88. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинный проводник с постоянным током 10 лежат в одной плоскости (рис. 38). Рамку повер¬нули на 180° вокруг оси ОС, отстоящей от провод¬ника с током на расстояние Ь, и остановили. Опре¬делить приращение магнитного потока сквозь рамку.

д ф = М ^о 1 п 6 + я 2% Ь- а.

89. Внутри длинного соленоида находится кольцевая катушка из N витков с площадью поперечного сечения S. Катушку поворачивают с посто¬янной угловой скоростью со вокруг оси, совпадающей с диаметром одного витка катушки и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как В = В0 sin со?. Найти зависимость полно­го магнитного потока сквозь катушку от времени. [ Ф = 1/2NBS sin 2cof ]

90. Замкнутый соленоид с железным сердечником несет обмотку, со¬держащую 10 витков на каждый сантиметр длины. По проводу течет ток си¬лой 2 А. Определить магнитный поток через сердечник, если площадь его по¬перечного сечения 5 см 2 (см. рис. 8). [ф = 0,72 мВб]

91. В магнитном поле, изменяющемся по закону B = B0cos(Dt

(е„ = 0,1 Тл, со = 4 с 1 ) , помещена квадратная рамка со стороной <я = 50см ,

причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол а = 45°. Опреде¬лить э.д.с. индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 5 с. [64 мВ]

92. Соленоид диаметром d = 4 см, имеющий N = 500 витков, помещен

в магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью 1-10" Тл/с .

Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол а = 45°. Оп¬ределить э.д.с. индукции, возникающую в соленоиде. [444 мкВ ]

93. В катушке длиной / = 0 ,5м, диаметром d = 5 см и числом витков

JV = 1500 сила тока равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду. На

катушку надето кольцо из медной проволоки ( р э = 1 7 н О м - м ) площадью се­

чения S0 =3 м м 2 . Определить силу тока в кольце. [ 0,166 мА ] 94. Катушка диаметром d = 2 см , содержащая один слой плотно приле¬

гающих друг к другу N = 500 витков алюминиевого провода сечением S=l мм , помещена в магнитное поле. Ось катушки параллельна линиям индукции. Магнитная индукция поля равномерно изменяется со скоростью 1 мТл/с . Определить тепловую мощность, выделяющуюся в катушке, если ее концы замкнуть накоротко. Удельное сопротивление алюминия рэ = 26 нОм • м. [ 30,2 мкВт ]

95. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл равномерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной

41

/ = 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определить число оборотов в секунду, при котором на концах стержня возникает разность потенциалов U = 0,1 В. [б,37 с"1 J

96. В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоуголь­ная рамка с частотой п = 600 мин" 1 . Амплитуда индуцируемой в рамке э.д.с. £ 0 = З В . Определить максимальный магнитный поток через рамку. [ 47,7 мВб]

97. В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно вращается прямоугольная рамка, содержащая N = 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см . Определить частоту вращения рам­ки, если максимальная э .д .с , индуцируемая в ней, S,ш„ = 12,6 В . [ 5 с4"J

98. Квадратная рамка помещена в однородное магнитное поле с индук­цией 9 • 10~2 Тл . Плоскость рамки расположена перпендикулярно направле­нию линиий магнитной индукции. Определить длину стороны рамки, если из­вестно, что средняя э.д.с. индукции, возникающая в рамке при выключении поля в течение времени 0,045 с, равна 15 м В . [а = 15 см]

99. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости (см рис. 38). Сопротивление рамки R. Ее повернули на 180° вокруг оси ОС, отстоящей от проводника с

\±с)а1 - Ъ + а током на расстояние Ь. Найти заряд, прошедший по рамке. q — - I n -

litR b-a

Рис. 39 Рис. 40

100. Контур находится в однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 39). Верхнюю часть контура (провод в виде полуокружности радиуса R) вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг оси ОО'. В момент t = 0 магнитный поток через контур максимальный. Найти э.д.с. индукции в конту­ре как функцию времени t. [ 8; = (rc/2)i?25rosincof J

101. Плоский контур (рис. 40), имеющий вид двух квадратов со сторо¬нами а = 20 см и Ь = 10 см , находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого направлены перпендикулярно к плоскости контура. Ин­дукция поля меняется по закону B = Bsm<x>t, где В- = 1 0 м Т л и со = 100 с"1.

42

Найти амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление едини¬цы длины его р э = 5 0 м О м / м . Индуктивностью контура пренебречь. [ 10 = ыВ(а - Ь)/4р. = 0,5 А ]

102. Проволочное кольцо радиусом R находится в однородном магнит¬ном поле, индукция которого меняется с течением времени по закону В = kt.

Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости кольца. Определить

напряженность h электрического поля в витке. Е = 2

103. Рамка из N = 1 ООО витков, имеющих площадь S = 5 см , замкнута на гальванометр с сопротивлением R = 10 кОм и помещена в однородное маг¬нитное поле с индукцией В = 10 м Т л , причем линии индукции поля перпен¬дикулярны к плоскости рамки. Какой заряд q протечет по цепи гальваномет¬ра, если направление вектора индукции магнитного поля плавно изменить на обратное? [ q = 2BSN/R= 1 мкКл ]

104. По параллельным рельсам, наклоненным под углом а = 30° к гори¬зонту, соскальзывает без трения с постоянной скоростью и = 1м/с проводя¬щая перемычка массой т = 100 г. В своей верхней части рельсы замкнуты

проводником. Рельсы с перемычкой находятся в однородном магнитном поле, линии индукции которого направлены вертикально. Сопротивление перемыч¬ки R = 2 Ом гораздо больше сопротивления в остальной части системы. Чему

равна сила тока I в перемычке?. [ 0,5 А ] 105. Два параллельных замкнутых на одном конце провода, расстояние

между которыми / = 5 0 с м , находятся в однородном магнитном поле с индук¬цией В = 5 мТл . Плоскость, в которой расположены провода, перпендикуляр¬на к линиям индукции поля. На провода положен металлический мостик, ко¬торый может скользить по проводам без трения. Мостик под действием силы F = 0,1 мН движется со скоростью и = 10 м/с . Найти сопротивление R мос­тика. Сопротивлением проводов пренебречь, [R = B2l2 v/F = 0,625 Ом J

106. Тонкий медный провод массой т = 1г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Провод помещен в однородное магнитное поле (Б = 0,1Тл) так, что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции поля. Определить заряд q, который пройдет по проводнику, если квадрат, по¬тянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. [е = шВ/16р э р = 41 э 4мКл ]

107. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода распо¬ложена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением R = 0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее противоположным сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны ах = 10 см,

43

а2 = 20 см. Найти силу тока / в проводе, если при его включении через рамку

прошел заряд q = 693 мкКл. 1 = =1кА L \10(а2-а)\па21а1

108. В цепи идет ток 10 = 50 А. Источник тока можно отключить от це­пи, не разрывая ее. Определить силу тока / в этой цепи через t = 0,01 с после отключения ее от источника тока. Сопротивление R цепи равно 20 О м , ее индуктивность L = 0,1 Гн. [ 6,75 А ]

109. К источнику тока с внутренним сопротивлением г = 2 Ом подклю¬чают катушку индуктивностью L = 0,5 Гн и сопротивлением R = 8 Ом. Найти время t, в течение которого ток в катушке, нарастая, достигает значения, от¬личающегося от максимального на 1%. [ 0,23 с ]

ПО. Через катушку, индуктивность L которой равна 200 мГн, протека­ет ток, изменяющийся по закону / = 2cos3/\ Определить: 1) закон изменения э.д.с. самоиндукции; 2) максимальное значение э.д.с. самоиндукции. [s, =l,2sin3f;l,2B ]

111. Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением R = 0,8 Ом. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке че¬рез t = 3 0 м с , если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко [В 1,27раза ]

112. Катушку индуктивностью L = 0,6 Гн подключают к источнику то¬ка. Определить сопротивление катушки, если за время t = 3 с сила тока через катушку достигает 80% предельного значения. [ 322 мОм]

113. Катушку индуктивностью L = 300 мГн и сопротивлением R = 140мОм подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколь­ко времени ток через катушку достигает г) = 50% установившегося значения?

114. Тонкое равномерно заряженное кольцо радиусом R = 10 см враща­ется вокруг своей оси с угловой скоростью со = 100 р а д / с . Найти объемную плотность энергии магнитного поля на оси кольца в точке, отстоящей от его центра на расстояние I = R. Линейная плотность заряда кольца т = 10~8 Кл/см

[ » л = 2 - 1 0 - 1 6 Д ж / м 3 ] 115. Соленоид диаметром 10 см и длиной 60 см имеет 1000 витков. Си¬

ла тока в нем равномерно возрастает на 0,2 А за 1 с. На соленоид надето коль¬

цо из медной проволоки, имеющей площадь поперечного сечения 2 м м 2 .

Найти силу индукционного тока, возникающего в кольце, [ij = 1213 мА] 116. Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20000 витков

медного провода и находится под постоянным напряжением. Определить

44

время, в течение которого в обмотке соленоида выделится количество тепло¬ты, равное энергии магнитного поля в соленоиде. [ t = 1,45 • 10~б с J

117. Обмотка электромагнита имеет индуктивность 0,5 Гн , сопротивле¬ние 15 Ом и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике электромагнита, [t = 0,017 с ]

118. Замкнутый соленоид с железным сердечником длиной 150 см и се¬

чением 20 с м 2 содержит 1200 витков. Определить энергию магнитного поля

соленоида, если по нему проходит ток 1 А. Магнитная проницаемость железа

1400. [W =1,69 Дж]

119. Катушку с ничтожно малым сопротивлением и индуктивностью

3 Гн присоединяют к источнику тока с э.д.с. 15В и ничтожно малым внут¬

ренним сопротивлением. ^ е р е з какой промежуток времени сила тока в катуш­

ке достигнет 50 A ? t S

10с

120. На тор из магнетика намотано N = 500 витков. Найти энергию маг¬нитного поля, если при токе I = 2,0 А магнитный поток через поперечное се-

NOI 1 W = = 0,5 Дж

2

чение тора Ф = 1,0 мВб.

—

45

П Р И Л О Ж Е Н И Е

Удельное сопротивление материалов р э при О °С

Таблица 2

Металл Удельное со­противление,

нОм-м Металл

Удельное сопро¬тивление, нОм-м

Медь Алюминий

17,0 25,3

Железо Нихром

98,0 110,00

Характеристики некоторых частиц, атомов

Таблица 3

Частица Масса, кг Заряд, Кл

Электрон 9,11 ТО" 3 1 -1 ,6 -ю- 1 9

Протон 1,67-Ю"2 7 1,6-ю- 1 9

а-частица 6,64-10"27 3,2-1(Г 1 9

Дейтон 3,35-10"27 1,6-Ю-1 9

46

Б И Б Л И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К

1. Волькенштейн, B . C . Сборник задач по общему курсу физики [Текст]: учеб. пособие для вузов / Волькенштейн B . C . - СПб.: Специальная

литература, 1999. 2. Детлаф, А.А. Курс физики [Текст]: учеб. пособие / А.А. Детлаф,

Б.М. Яворский. - 4-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2002. 3. Савельев, И.В. Курс общей физики [Текст]: учеб. пособие / Са­

вельев, И.В. В Зт. - 7-е изд., стер. - СПб.: Изд-во Лань, 2007. 4. Трофимова, Т.П. Курс физики [Текст]: учеб. пособие для вузов/

Т.П. Трофимова. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2002. 5. Чертов, А.Г. Задачник по физике [Текст]: учеб. пособие для вту­

зов / А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2006.

6. Фиргант, Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей фи­зики [Текст]: учеб. пособие для вузов испр. / Фиргант Е.В. - СПб.: Изд-во Лань, 2008.

47

О Г Л А В Л Е Н И Е

Рекомендации по решению задач 3 Основные уравнения 4

1. Магнитное поле в вакууме 4 2. Действие магнитного поля на токи 6 3. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях 8 4. Электромагнитная индукция 10 5. Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля 12

Примеры решения задач 14 Задачи к контрольной работе 28 Приложение 46 Библиографический список 47

Филимоненкова Людмила Васильевна

Э Л Е К Т Р О М А Г Н Е Т И З М

Методические указания к выполнению контрольной работы № 4 по физике для студентов специальности 250403.65 «Технология деревообработки»

Подписано в печать 05.07.2010. Формат 70x84/16. Усл. печ. л. 3,54. Тираж 150 экз. Заказ № 151.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета

в Северном (Арктическом) федеральном университете

163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, 17