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Übungen zur Vorlesung Formale Systeme
Steffen Schlager
Institut für Theoretische Informatik
Winter 2006/2007
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1 10
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1 10
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
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0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
1
01
P4
0
P4
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0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
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0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
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0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
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0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1
10
0
0
1
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1
1
0
0
0
1
1 10
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1 10
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1 10
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1
10
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1
1
0
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Aufgabe 1
Reduzierter sh-Graph für Paritätsfunktion
f (P1,P2,P3,P4) =
{1 falls die Summe P1 + . . . + P4 ungerade ist0 sonst
P1
P2
0
P2
1
P3
0
P3
10
1
P4
0
P4
1 10
0
0
1
1 10
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P6
1. Schritt: Ordnung herstellensetze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1
= 1: sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P61. Schritt:
Ordnung herstellen
setze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1 = 1: sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P61. Schritt:
Ordnung herstellensetze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1 = 1:
sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P61. Schritt:
Ordnung herstellensetze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1 = 1:
sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P61. Schritt:
Ordnung herstellensetze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1 = 1:
sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P61. Schritt:
Ordnung herstellensetze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1 = 1:
sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P3, sh(P1,P2,P4), sh(P1,P5,P6))
Variablenordnung: P1 < P2 < · · · < P61. Schritt:
Ordnung herstellensetze P1 = 0: sh(P3,P2,P5)setze P1 = 1:
sh(P3,P4,P6)
sh(P1, sh(P3,P2,P5), sh(P3,P4,P6))
setze P2 = 0: sh(P3, 0,P5)setze P2 = 1: sh(P3, 1,P5)
sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5))
Insgesamt:
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
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Aufgabe 2
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
2. Schritt: normieren
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0, sh(P5, 0, 1)), sh(P3, 1, sh(P5, 0,
1))),sh(P3, sh(P4, 0, 1), sh(P6, 0, 1)))
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Aufgabe 2
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0,P5), sh(P3, 1,P5)), sh(P3,P4,P6))
2. Schritt: normieren
sh(P1, sh(P2, sh(P3, 0, sh(P5, 0, 1)), sh(P3, 1, sh(P5, 0,
1))),sh(P3, sh(P4, 0, 1), sh(P6, 0, 1)))
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Aufgabe 3 (a)
(P1 ∧ P2 → P3) ∧ (P1 ∧ P3 → P4) ∧ P1 ∧ (P2 → P4) ∧ P3
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (a)
(P1 ∧ P2 → P3) ∧ (P1 ∧ P3 → P4) ∧ P1 ∧ (P2 → P4) ∧ P3
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (a)
(P1 ∧ P2 → P3) ∧ (P1 ∧ P3 → P4) ∧ P1 ∧ (P2 → P4) ∧ P3
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (a)
(P1 ∧ P2 → P3) ∧ (P1 ∧ P3 → P4) ∧ P1 ∧ (P2 → P4) ∧ P3
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (a)
(P1 ∧ P2 → P3) ∧ (P1 ∧ P3 → P4) ∧ P1 ∧ (P2 → P4) ∧ P3
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (b)
P5 ∧ (P2 ∧ P4 → 0) ∧ (P5 → P1) ∧ (P2 ∧ P5 → P4) ∧ (P1 → P2)
unerfüllbar!
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Aufgabe 3 (b)
P5 ∧ (P2 ∧ P4 → 0) ∧ (P5 → P1) ∧ (P2 ∧ P5 → P4) ∧ (P1 → P2)
unerfüllbar!
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Aufgabe 3 (b)
P5 ∧ (P2 ∧ P4 → 0) ∧ (P5 → P1) ∧ (P2 ∧ P5 → P4) ∧ (P1 → P2)
unerfüllbar!
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Aufgabe 3 (b)
P5 ∧ (P2 ∧ P4 → 0) ∧ (P5 → P1) ∧ (P2 ∧ P5 → P4) ∧ (P1 → P2)
unerfüllbar!
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Aufgabe 3 (b)
P5 ∧ (P2 ∧ P4 → 0) ∧ (P5 → P1) ∧ (P2 ∧ P5 → P4) ∧ (P1 → P2)
unerfüllbar!
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Aufgabe 3 (c)
(P3 → 0) ∧ (P1 → P4) ∧ (P2 ∧ P4 → P3) ∧ (P4 → P5) ∧ P1
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (c)
(P3 → 0) ∧ (P1 → P4) ∧ (P2 ∧ P4 → P3) ∧ (P4 → P5) ∧ P1
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (c)
(P3 → 0) ∧ (P1 → P4) ∧ (P2 ∧ P4 → P3) ∧ (P4 → P5) ∧ P1
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (c)
(P3 → 0) ∧ (P1 → P4) ∧ (P2 ∧ P4 → P3) ∧ (P4 → P5) ∧ P1
erfüllbar!
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Aufgabe 3 (c)
(P3 → 0) ∧ (P1 → P4) ∧ (P2 ∧ P4 → P3) ∧ (P4 → P5) ∧ P1
erfüllbar!
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Aufgabe 4
Satz (2.65 im Skript)Eine Äquivalenzformel A ist eine
Tautologie, gdw. jedeAussagenvariable hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in Aund die Konstante 0 hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in A.
A erfüllbar gdw. ¬A ist keine Tautologiegdw. A ↔ 0 ist keine
Tautologiegdw. es gibt eine Aussagenvariable in A ↔ 0 mit
einer ungeraden Anzahl an Vorkommen oderdie Anzahl der 0 in A ↔
0 ist ungerade
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Aufgabe 4
Satz (2.65 im Skript)Eine Äquivalenzformel A ist eine
Tautologie, gdw. jedeAussagenvariable hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in Aund die Konstante 0 hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in A.
A erfüllbar gdw. ¬A ist keine Tautologie
gdw. A ↔ 0 ist keine Tautologiegdw. es gibt eine
Aussagenvariable in A ↔ 0 mit
einer ungeraden Anzahl an Vorkommen oderdie Anzahl der 0 in A ↔
0 ist ungerade
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Aufgabe 4
Satz (2.65 im Skript)Eine Äquivalenzformel A ist eine
Tautologie, gdw. jedeAussagenvariable hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in Aund die Konstante 0 hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in A.
A erfüllbar gdw. ¬A ist keine Tautologiegdw. A ↔ 0 ist keine
Tautologie
gdw. es gibt eine Aussagenvariable in A ↔ 0 miteiner ungeraden
Anzahl an Vorkommen oderdie Anzahl der 0 in A ↔ 0 ist ungerade
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Aufgabe 4
Satz (2.65 im Skript)Eine Äquivalenzformel A ist eine
Tautologie, gdw. jedeAussagenvariable hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in Aund die Konstante 0 hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in A.
A erfüllbar gdw. ¬A ist keine Tautologiegdw. A ↔ 0 ist keine
Tautologiegdw. es gibt eine Aussagenvariable in A ↔ 0 mit
einer ungeraden Anzahl an Vorkommen oderdie Anzahl der 0 in A ↔
0 ist ungerade
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Aufgabe 5 (a)
Cn = ¬(P1 ↔ (P2 ↔ (P3 ↔ · · · (Pn−1 ↔ (Pn ↔ ¬P1) · · · )) .
Antwort: Ja, für n = 1.
C1 = ¬(P1 ↔ ¬P1)
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Aufgabe 5 (a)
Cn = ¬(P1 ↔ (P2 ↔ (P3 ↔ · · · (Pn−1 ↔ (Pn ↔ ¬P1) · · · )) .
Antwort: Ja, für n = 1.
C1 = ¬(P1 ↔ ¬P1)
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Aufgabe 5 (b)
Satz (2.65 im Skript)Eine Äquivalenzformel A ist eine
Tautologie, gdw. jedeAussagenvariable hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in Aund die Konstante 0 hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in A.
FolgerungDie Formel
A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )
ist wahr in einer Interpretation I , gdw. die Zahl der Ai , die
in Ifalsch sind, gerade ist.
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Aufgabe 5 (b)
Satz (2.65 im Skript)Eine Äquivalenzformel A ist eine
Tautologie, gdw. jedeAussagenvariable hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in Aund die Konstante 0 hat eine gerade Anzahl von
Vorkommen in A.
FolgerungDie Formel
A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )
ist wahr in einer Interpretation I , gdw. die Zahl der Ai , die
in Ifalsch sind, gerade ist.
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Aufgabe 5 (b)
Beweis.“⇒”:Sei I eine Interpretation mit
valI (A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )) = W
Daraus folgt, daß die Äquivalenzformel
B1 ↔ (B2 ↔ · · · (Bk−1 ↔ Bk) · · · )
eine Tautologie ist, wobeiBi = 1, falls I (Ai ) = W und Bi = 0,
falls I (Ai ) = F.Aus Satz 2.65 folgt, daß die Anzahl der 0 gerade
ist und also, daßdie Anzahl der Ai , die in I als F interpretiert
werden, geradeist.
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Aufgabe 5 (b)
Beweis.“⇒”:Sei I eine Interpretation mit
valI (A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )) = W
Daraus folgt, daß die Äquivalenzformel
B1 ↔ (B2 ↔ · · · (Bk−1 ↔ Bk) · · · )
eine Tautologie ist, wobeiBi = 1, falls I (Ai ) = W und Bi = 0,
falls I (Ai ) = F.
Aus Satz 2.65 folgt, daß die Anzahl der 0 gerade ist und also,
daßdie Anzahl der Ai , die in I als F interpretiert werden,
geradeist.
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Aufgabe 5 (b)
Beweis.“⇒”:Sei I eine Interpretation mit
valI (A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )) = W
Daraus folgt, daß die Äquivalenzformel
B1 ↔ (B2 ↔ · · · (Bk−1 ↔ Bk) · · · )
eine Tautologie ist, wobeiBi = 1, falls I (Ai ) = W und Bi = 0,
falls I (Ai ) = F.Aus Satz 2.65 folgt, daß die Anzahl der 0 gerade
ist und also, daßdie Anzahl der Ai , die in I als F interpretiert
werden, geradeist.
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Aufgabe 5 (b)
Beweis.“⇐”:Sei I eine beliebige Interpretation, wobei aber die
Anzahl der Ai ,die in I als F interpretiert werden, gerade ist.Zu
zeigen ist
valI (A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )) = W
Aus Satz 2.65 folgt, dass die Formel (konstruiert wie zuvor)
B1 ↔ (B2 ↔ · · · (Bk−1 ↔ Bk) · · · )
eine Tautologie ist. Daraus folgt
valI (A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )) = W
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Aufgabe 5 (b)
FolgerungDie Formel
A1 ↔ (A2 ↔ · · · (Ak−1 ↔ Ak) · · · )
ist wahr in einer Interpretation I , gdw. die Zahl der Ai , die
in Ifalsch sind, gerade ist.
Da entweder P1 oder ¬P1 falsch ist, ist
Cn = ¬(P1 ↔ (P2 ↔ (P3 ↔ · · · (Pn−1 ↔ (Pn ↔ ¬P1) · · · )) .
genau dann wahr, wenn eine gerade Anzahl der P2, . . . ,Pn
falschist.
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Aufgabe 5 (c)
Cn = ¬(P1 ↔ (P2 ↔ (P3 ↔ · · · (Pn−1 ↔ (Pn ↔ ¬P1) · · · )) .
Antwort: Nein. Gegenbeispiel z.B. n = 2:
C2 = ¬(P1 ↔ (P2 ↔ ¬P1))
und valI (P1) = W , valI (P2) = F .
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Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5
∨¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5 ∨
...
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Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5
∨¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5 ∨
...
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Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5
∨
...
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Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨
¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5 ∨
...
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Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5
∨
¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5 ∨...
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Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5
∨¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5 ∨
...
-
Aufgabe 5 (d)
Nach dem Lemma von vorhin gilt:
valI (Cn) = Wgdw .
die Anzahl der P2, . . . Pn, die in I falsch sind, gerade
ist.
D.h., der Wahrheitswert von Cn ist unabhängig von P1.
Idee: Wie bei einer Wahrheitstafel die Möglichkeiten
aufzählen, fürdie Cn wahr wird:
¬P2 ∧ ¬P3 ∧ ¬P4 ∧ ¬P5 ∨¬P2 ∧ ¬P3 ∧ P4 ∧ P5 ∨¬P2 ∧ P3 ∧ ¬P4 ∧ P5
∨¬P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬P5 ∨
...
-
Aufgabe 5 (d)
Insgesamt folgt darus, daß folgende Formel in
disjunktiverNormalform zu Cn äquivalent ist:∨
I⊆{2,...,n}#I gerade
( ∧i∈I¬Pi ∧
∧j∈{2,...,n}\I
Pj)
-
Aufgabe 5 (d)
Cn ≡∨
I⊆{2,...,n}#I gerade
( ∧i∈I¬Pi ∧
∧j∈{2,...,n}\I
Pj)
Durch Anwendung der de Morganschen Gesetze(die Negation
”nach innen schieben“):
Folgende Formel in konjunktiver Normalform ist zu ¬Cn
äquivalent:∧I⊆{2,...,n}
#I gerade
( ∨i∈I
Pi ∨∨
j∈{2,...,n}\I
¬Pj)
-
Aufgabe 5 (e)
Cn =
Q1︷ ︸︸ ︷¬(P1 ↔ (P2 ↔ · · · (Pn−1 ↔
Qn︷ ︸︸ ︷(Pn ↔ ¬P1)︸ ︷︷ ︸
Qn−1
...︸ ︷︷ ︸Q2
· · · ))
1. Schritt: Einführung neuer Atome
Q1Q1 ↔ ¬(P1 ↔ Q2)Q2 ↔ (P2 ↔ Q3)
. . .
Qn−1 ↔ (Pn−1 ↔ Qn)Qn ↔ (Pn ↔ ¬P1)
-
Aufgabe 5 (e)
Zur Auflösung der Äquivalenzen verwenden wir
folgendeAbkürzungen:
F (A,B,C ) :=( A ∨ B ∨ C ) ∧( A ∨ ¬B ∨ ¬C ) ∧(¬A ∨ B ∨ ¬C ) ∧(¬A
∨ ¬B ∨ C )
G (A,B,C ) :=(¬A ∨ ¬B ∨ ¬C ) ∧( A ∨ B ∨ ¬C ) ∧( A ∨ ¬B ∨ C )
∧(¬A ∨ B ∨ C )
Es gilt (Übung!):
F (A,B,C ) ≡ A ↔ (B ↔ C )G (A,B,C ) ≡ ¬F (A,B,C )
Zudem verwenden wir:
A ↔ ¬B ≡ ¬A ↔ B≡ ¬(A ↔ B)
-
Aufgabe 5 (e)
Ergebnis des 1. Schrittes war:
Q1Q1 ↔ ¬(P1 ↔ Q2)Q2 ↔ (P2 ↔ Q3)
......
...
Qn−1 ↔ (Pn−1 ↔ Qn)Qn ↔ (Pn ↔ ¬P1)
Endergebnis: (Cn)kknf ist die Konjunktion von
Q1G (Q1,P1,Q2)
F (Q2,P2,Q3)...
F (Qn−1,Pn−1,Qn)
G (Qn,Pn,P1)
-
Aufgabe 6
F = (P1 ∧ P2) ∨ (P3 ∧ P4)
G = (Q1 ↔ (P1∧P2))∧(Q2 ↔ (P3∧P4))∧(Q3 ↔ (Q1∨Q2))∧Q3
Die Behauptung stimmt nicht!Gegenbeispiel:I (P1) = W , I (P2) =
W , I (Q3) = F .
-
Aufgabe 6
F = (P1 ∧ P2) ∨ (P3 ∧ P4)
G = (Q1 ↔ (P1∧P2))∧(Q2 ↔ (P3∧P4))∧(Q3 ↔ (Q1∨Q2))∧Q3
Die Behauptung stimmt nicht!Gegenbeispiel:I (P1) = W , I (P2) =
W , I (Q3) = F .
-
Aufgabe 7 (a)
{A,B,¬C} {¬A} {A,B,C} {A,¬B}
{A,B}
{A}
�
-
Aufgabe 7 (a)
{A,B,¬C} {¬A} {A,B,C} {A,¬B}
{A,B}
{A}
�
-
Aufgabe 7 (a)
{A,B,¬C} {¬A} {A,B,C} {A,¬B}
{A,B}
{A}
�
-
Aufgabe 7 (a)
{A,B,¬C} {¬A} {A,B,C} {A,¬B}
{A,B}
{A}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B
1. Schritt: Formel negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C} {B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B1. Schritt: Formel
negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C} {B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B1. Schritt: Formel
negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C} {B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B1. Schritt: Formel
negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C}
{B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B1. Schritt: Formel
negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C} {B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B1. Schritt: Formel
negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C} {B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (b)
(¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B1. Schritt: Formel
negieren
(B ∨ C ∨ ¬D) ∧ (B ∨ D) ∧ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬B
2. Schritt: Klauselschreibweise
{B,C ,¬D} {B,D} {¬C ,¬D} {¬B}
{B,C} {B,¬C}
{B}
�
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
1. Schritt: Formel negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B →
C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C
≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B →
C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C
≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡
(A → (B → C )) ∧ ¬((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A →
B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B → C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B
∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C ≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡
(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B → C )) ∧ ((¬A ∨
B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C ≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡
(¬A ∨ (B → C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨
B) ∧ A ∧ ¬C ≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B →
C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡
(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C ≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B →
C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C
≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))1. Schritt: Formel
negieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
2. Schritt: In KNF transformieren
¬(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ¬((A →
B) → (A → C )) ≡(A → (B → C )) ∧ ((A → B) ∧ ¬(A → C )) ≡(¬A ∨ (B →
C )) ∧ ((¬A ∨ B) ∧ (A ∧ ¬C )) ≡(¬A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B) ∧ A ∧ ¬C
≡
3. Schritt: Klauselschreibweise
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
-
Aufgabe 7 (c)
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
{¬A,C}
{C}
�
-
Aufgabe 7 (c)
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
{¬A,C}
{C}
�
-
Aufgabe 7 (c)
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
{¬A,C}
{C}
�
-
Aufgabe 7 (c)
{¬A,¬B,C} {¬A,B} {A} {¬C}
{¬A,C}
{C}
�
