2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�2.1�확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수확률변수2.1� 확률변수

제� 2� 장� 확률변수와�확률분포

교재� :� 사범대생을�위한�확률과�통계,� 장세경�지음,� 경문사,� 2012

� � � � � � � 2.1� 확률변수 2/�33

정의� 1

확률 시행에서 표본공간 의 각 원소 (단, ⋯ )가 단 하나의 실수에 대응하는 함수

를 확률변수라고 한다. 즉 확률변수는 표본공간 가 정의역이고 실수의 집합 ℝ이 공역인 함수로

표본공간 에서 실수의 집합 ℝ로의 함수를 뜻한다.

기호 : 확률변수 →ℝ

참고.

(1) 확률변수는 함수이므로 →ℝ로 표기해야 정확하나

편의상 간단히 →ℝ로 표기한다.

(2) 일반적으로 확률변수는 알파벳의 대문자 , , 등으로 나타내고 확률변수가 취하는 값,

즉 표본점 는 알파벳의 소문자 , , 등으로 나타낸다.

� � � � � � � 2.1� 확률변수 3/�33

2.1.1� 이산확률변수의�뜻

정의� 2

확률변수의 치역의 원소의 개수를 셀 수 있을 때, 그 확률변수를 이산확률변수라고 한다.

예 : 한 개의 동전을 던지는 시행에서 표본공간은 앞면 뒷면이다.

이때, 앞면의 개수를 확률변수 라 하면 확률변수 에 의하여 대응된 결과는

앞면 , 뒷면 이고, 간단히

,

으로 표현한다.

� � � � � � � 2.1� 확률변수 4/�33

예제� 1. 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면이 나온 개수를 확률변수 라 할

때, 확률변수 를 구하시오.

풀이.

� � � � � � � 2.1� 확률변수 5/�33

예제� 2. 서로 다른 두 개의 주사위를 던지는 시행에서 두 눈의 합을 확률변수 라 할 때,

확률변수 를 구하시오.

풀이.

� � � � � � � 2.1� 확률변수 6/�33

2.1.2�연속확률변수의�뜻

정의� 3

확률변수의 치역의 원소의 개수를 셀 수 없을 때, 즉 어떤 구간의 모든 실수값을 치역의

원소로 가질 때, 그 확률변수를 연속확률변수라고 한다.

예 : 어떤 병원에서 출생한 신생아의 몸무게

어떤 초등학교 3학년 학생들의 키

2011년도 지역별 강우량

� � � � � � � 2.1� 확률변수 7/�33

예제� 3. 어떤 공장에서 생산한 건전지의 수명의 확률변수를 구하시오.

풀이.

2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�2.2�확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포확률분포2.2� 확률분포

제� 2� 장� 확률변수와�확률분포

교재� :� 사범대생을�위한�확률과�통계,� 장세경�지음,� 경문사,� 2012

� � � � � � � 2.2� 확률분포 9/�33

정의� 4

표본공간의 각 원소에 대응된 확률변수에 그 각각의 값을 가질 확률을 대응시킨 관계를 확률분포

라고 한다.

기호 : 확률변수 의 확률분포 = 또는

예 : 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면의 개수를 확률변수 라 할 때,

,

,

� � � � � � � 2.2� 확률분포 10/�33

정의� 5

확률변수 에 대한 누적된 확률을 누적분포함수라고 한다.

기호 : 확률변수 의 누적분포함수 = ≤ 또는

� � � � � � � 2.2� 확률분포 11/�33

2.2.1� 이산확률분포와�확률질량함수

정의� 6

이산확률변수 가 취할 수 있는 값이 , , ⋯, 이고 가 이 값들을 취할 확률이 각각

(단, ⋯ )

일 때, , , ⋯, 과 , , ⋯, 의 대응 관계를 이산확률분포라 하고, 위의 를

확률질량함수라고 한다.

기호 : 이산확률변수 의 확률질량함수 = 또는

� � � � � � � 2.2� 확률분포 12/�33

이산확률분포는 다음과 같이 확률분포표와 확률분포그래프로 나타낼 수 있다.

⋯ 합계

⋯ 1

<확률분포표>

� � � � � � � 2.2� 확률분포 13/�33

예제� 4. 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면이 나온 개수를 확률변수 라 할

때, 이 확률변수에 대한 확률질량함수와 확률분포표를 구하시오.

풀이.

0 1 2 합계

1

� � � � � � � 2.2� 확률분포 14/�33

예제� 5. 서로 다른 두 개의 주사위를 던지는 시행에서 두 눈의 합을 확률변수 라 할 때,

이 확률변수에 대한 확률분포와 확률분포표를 구하시오.

풀이. 교재 참조.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 15/�33

정리� 1

이산확률변수 확률질량함수 (단, ⋯ )에 대하여 다음이 성립한

다.

(1) ≤ ≤

(2)

(3) ≤

, (단, ≤ )

� � � � � � � 2.2� 확률분포 16/�33

예제� 6. 어떤 백화점에서 전시된 15켤레의 신상 구두 중에서 5켤레가 검은색이고 이중 3켤

레가 팔렸다고 한다. 팔린 검은색 구두의 개수를 확률변수 라 할 때, 다음을 구하시오.

(1) 확률변수 에 대한 확률분포표

(2) 확률변수 에 대한 확률질량함수

(3) ≤

풀이. (1)은 교재 참조.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 17/�33

예제� 7. 여학생 4명, 남학생 2명 중에서 2명의 학생을 뽑는다. 뽑힌 여학생의 수를 확률변

수 라 할 때, 다음을 구하시오.

(1) 확률변수 에 대한 확률분포표

(2) 확률변수 에 대한 확률질량함수

(3) ≥

풀이. (1)은 교재 참조.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 18/�33

예제� 8. 확률변수 의 확률질량함수 (단, )일 때, 상

수 의 값을 구하시오.

풀이.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 19/�33

예제� 9. 개가 체외수정을 하여 성공할 확률은 20%라고 한다. 어떤 실험실에서 수정에 성공

할 때까지 실험한 횟수를 확률변수 라 할 때, 실험한 횟수가 4 이상일 확률을 구하시오.

풀이.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 20/�33

정의� 7

이산확률변수 에 대한 누적된 확률의 분포를 이산누적분포함수라고 한다.

기호 : 이산확률변수 의 누적분포함수

≤ ∞

∞

� � � � � � � 2.2� 확률분포 21/�33

예제� 10. 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면이 나온 개수를 확률변수 라 할

때, 이 확률변수에 대한 누적분포함수를 구하고 그래프를 그리시오.

풀이.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 22/�33

정리� 2

이산확률변수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) ≤

(2) ≤≤

(3)

(4) ≤

� � � � � � � 2.2� 확률분포 23/�33

참고. 이산누적분포함수의 성질

이산확률변수 의 확률질량함수 와 누적분포함수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) ∞ lim→∞

이고 ∞ lim→∞

이다. 즉, ≤≤

(2) 이면 ≤. 즉 는 비감소함수이다.

(3) lim→

또는 간단히 이다. (단, ⋯ )

(1)의 다른 표현 ∞ lim→∞

∞

, ∞ lim→∞ ∞

� � � � � � � 2.2� 확률분포 24/�33

예제� 11. 다음 누적분포함수 에 대하여 다음 확률을 구하시오.

≤

≤

≤

≥

풀이.

(1) ≤

(2) ≤≤

(3)

(4) ≤

(5)

� � � � � � � 2.2� 확률분포 25/�33

2.2.2� 연속확률분포와�확률밀도함수

정의� 6

연속확률변수 의 확률분포를 연속확률분포라 하고,

≤ ∞

를 만족하는 함수 가 존재할 때, 이 함수 를 확률밀도함수라고 한다.

기호 : 연속확률변수 의 확률밀도함수 =

� � � � � � � 2.2� 확률분포 26/�33

정리� 3

연속확률변수 의 확률밀도함수 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2) ≤ ≤

(3) ∞

∞

� � � � � � � 2.2� 확률분포 27/�33

정의� 9

연속확률변수 에 대한 누적된 확률의 분포를 연속누적분포함수라고 한다.

기호 : 연속확률변수 의 누적분포함수

≤ ∞

연속확률변수에 대한 한 점의 확률은 이므로 연속누적분포함수는

∞

로도 표현가능하다. 또한, ′ 이다.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 28/�33

정리� 4

연속확률변수 에 대하여 다음이 성립한다.

≤ ≤≤ ≤

� � � � � � � 2.2� 확률분포 29/�33

예제� 12. 연속확률변수 의 확률밀도함수가

≤ ≤ otherwise

일 때, 다음을 구하시오.

(1) 상수

(2)

풀이.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 30/�33

예제� 13. 어떤 공장에서 생산한 건전지의 수명에 대한 확률밀도함수가

≥

otherwise

일 때, 다음을 구하시오.

(1)

(2) 이 건전지를 20시간에서 30시간 사용할 수 있는 확률

풀이.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 31/�33

참고. 앞으로 이후의 모든 특이적분의 계산에서 lim→∞

은 편의상 간단히

∞으로 쓰

기로 한다.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 32/�33

예제� 14. 연속확률변수 의 확률밀도함수가

≤

otherwise

일 때, 다음을 구하시오.

(1) 상수

(2) 누적분포함수

(3) ≥

풀이.

� � � � � � � 2.2� 확률분포 33/�33

예제� 15. 현지는 매일 오후 5시에서 5시 10분 사이에 일정한 확률로 학교에서 집으로 돌아

온다. 이때, 현지가 5시 3분에서 5시 6분 사이에 집에 도착할 확률을 구하시오. (단위 : 분)

풀이. 현지가 집에 도착하는 시간 = 연속확률변수