Запорізький національний університетsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/3.pdf3 ТЕОРІЯ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ Н.М.Д’яченко

3 ТЕОРІЯ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

Н.М. Д’яченко 51


3.1 Поняття послідовності

Означення. Послідовністю називається функція, що перево-дить множину натуральних чисел в деяку множину X , тобто

: âf X⎯⎯→ . X - множина будь-якої природи ( ) nf n x X= ∈

Частіше послідовність записують так: { } { } { }1 21

, ,..., ,...n n nnx x x x x∞

== = .

Приклади. 1) така, що 1 2{ , ,... ,...}na a a , тобто арифметична прогресія; 1n na a d−− =

2) 1 ;2

⎧⎨⎩

2

12 3

1 1; ;...; ;...2 2n

⎫⎬⎭

- геометрична прогресія із знаменни-

ком 12

q = ;

3) ( ) xxf =1

( ) 22 xxf = ( ) 3

3 xxf = ⇒ ( ) ( ) ( )1 2{ , ,..., ,...}nf x f x f x - послідовність функцій.…

( ) nn xxf =

… В якості множини X тут виступає множина функцій.

4) Розглянемо множину { },...,...,, 43 nPPP правильних n-кутників, вписаних в коло: -3-кутник, вписаний в коло, - 4-кутник (квадрат), вписаний в коло… Тут

3P 4PX - множина многокутників.

3.2 Арифметичні операції над числовими послідовностями

Означення. Нехай { } { }nn yix - дві числові послідовності:

,n nx y n∈ ∀ ∈ , X = . Сумою послідовностей { } { }nn yix називається: { } { 1 1 2 2, ,..., ,...n n n nx y x y x y x y+ = + + + } .

Приклад. Нехай

{ } { } { },...,...,3,2,1 nnxn == , { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= ;...

21...;

21;

21;

21

21

32 nnny ,



тоді

{ } 2 3

1 1 1 11 ;2 ;3 ;...; ;...2 2 2 2n n nx y n⎧ ⎫+ = + + + +⎨ ⎬

⎩ ⎭.

Означення. Добутком числових послідовностей { } { }nn yix на-зивається послідовність, що утворилась із елементів, які є добутком чле-нів цих послідовностей з однаковими номерами, тобто { }n nx y⋅ .

Означення. Якщо 0ny n≠ ∀ ∈ , тоді часткою числових послі-

довностей { } називається { }nn yix n

n

yx

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

. Якщо

{ } 0 0: :n ny n n n y⊂ ∃ ∈ ∀ ≥ ≠ 0 ,

тоді визначеною є послідовність 0

n

n n n

yx

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

, яка в цьому випадку назива-

ється часткою послідовностей { } { }nn yix .

3.3 Обмежені, необмежені, нескінченно великі, нескінченно малі послідовності

Означення. { - обмежена зверху }nxdef

⇔ : nM n x∃ ∈ ∀ ∈ ≤ M .

Означення. { - обмежена знизу }nxdef

⇔ ∃ : nm n x m∈ ∀ ∈ ≥ . Означення 1. Послідовність називається обмеженою з обох боків, або

просто обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, тобто

{ }nx - обм. def

⇔ ∃ : nM m n m x∃ ∈ ∧∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤ M

Означення 2. { }nx - обм. def

⇔ ∃ 0 : nA n x> ∀ ∈ ≤ A .

( Довести, що означення 1 і 2 еквівалентні!)

Означення. { - необмежена зверху}nxdef

⇔ ∃ 0 : nA n x> ∀ ∈ > m .

Означення. { - необмежена знизу }nxdef

⇔ ∃ 0 : nA n x> ∀ ∈ < m . Означення. { - необмежена (з обох боків) }nx

def

⇔ ∀ 0 nA n x> ∃ ∈ > A . Означення 3 (на мові 0nε − ). { }nx -нескінченно мала послід. (н.м.п.)

def

⇔ ∀ 0 00 : nn n n xε > ∃ ∈ ∀ ≥ < ε .



Останню нерівність можна переписати у вигляді ( ) ( )ε+ε−=εε∈ 0,0,nx ,

Звідки випливає можливість формулювання наступного означення, що еквівалентне попередньому.

Означення 4 (на мові ε -околу). Послідовність { }nx - н.м.п., якщо в будь-якому ε -околі т. “нуль” лежать усі члени послідовності, по-чинаючи з номера . 0n

Означення. { }nx - нескінченно велика послідовність (н.в.п.) def

⇔ ∀ 0 00 nA n n n x A> ∃ ∈ ∀ ≥ > . Теорема. Якщо послідовність { }nx - н.в.п., то вона необмежена.

( Довести самостійно!) Якщо послідовність необмежена, то вона не обов’язково є н.в.п.

( Вивчити обґрунтування!) Пригадаємо біном Ньютона:

( )nba + = = + + +…+ , knkn

k

kn baC −

=∑

0

nn baC 00 111 −n

n baC 222 −nn baC 0baC nn

n

де =knC

)!(!!

knkn−

.

Теорема. Послідовність nnx q= є н.в.п., якщо | | 1q >

є н.м.п., якщо | | 1q < Доведення. Розглянемо випадок | | , тоді 1q >

0 :| | 1q∃δ > = + δ . Застосуємо біном Ньютона для 1, =δ= ba :

( ) 0nba + = ( ) 01 n+δ = ( )δ≥+⋅δ⋅

−+⋅δ⋅+δ⋅⋅ −−

022001

00 ...1

21111 000 nnnn nnn .

Нерівність An >δ0 виконується, наприклад, для номера

10 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡δ

=An . Якщо , то знаючи, що 0n n≥ | | 1 1q = + δ > , отримаємо здійс-

ненність нерівності , тому . Це означає, що послідовність

00| | | |n nq q n n≥ ∀ ≥ 0| |nq A n n> ∀ ≥

nnx q= є н.в.п., якщо | | . 1q >

Випадок | | 1q < розглянути самостійно. ■



3.4. Основні властивості нескінченно малих і великих послі-довностей

Теорема 1. { } { }nn yix - н.м.п.⇒ { }nn yx ± н.м.п. Доведення. { -н.м.п. }nx ⇔ ∀ 1 10 : nn n n x / 2ε > ∃ ∈ ∀ ≥ < ε { -н.м.п.}ny ⇔ ∀ 2 20 : nn n n y / 2ε > ∃ ∈ ∀ ≥ < ε Якщо , то 0 1max{ , }n n= 2n 0n n∀ ≥ виконуються одночасно обидві нерівно-сті / 2nx < ε і / 2ny < ε , тому

nn yx ± ≤ nx + ny < 2ε +

2ε = ε .

Маємо: ∀ 0 00 : n nn n n x yε > ∃ ∈ ∀ ≥ + < ε . ■ Наслідок. Скінченна сума н.м.п. є н.м.п

Теорема 2. { }nx -обм. { }ny -н.м.п. }⇒ { }nn yx ⋅ -н.м.п.

Доведення. { }nx -обмежена⇔ ∃ 0 : nA n x> ∀ ∈ ≤ A .

{ }ny -н.м.п.⇔ ∀ 0 00 : nn n n y / Aε > ∃ ∈ ∀ ≥ < ε .

Тоді n nx y⋅ = nx ny < 0A n nAε

⋅ = ε ∀ ≥ . ■

Теорема 3. { }nx -н.м.п. ⇒ { }nx - обм.

Доведення. { }nx -н.м.п.⇔ ∀ 0 00 nn n n xε > ∃ ∈ ∀ ≥ < ε .

{ } { }01 2 1max , ,..., ,n nA x x x x A n−= ε ⇒ < ∀ ∈

Тобто отримано: ∃ 0 : nA n x A> ∀ ∈ ≤ ⇒ { }nx - обмежена. ■ Теорема 4. { }nx і { }ny -н.м.п.⇒ { }nn yx ⋅ -н.м.п. Доведення. { }nx - н.м.п.⇒ { }nx - обмежена { }nx -обм. { }ny -н.м.п. }⇒ { }nn yx ⋅ -н.м.п. ■

Теорема 5. { }nx -н.м.п.

cxn = n∀ ∈constc =

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

0=c , тобто 0nx n= ∀ ∈



Доведення. { }nx -н.м.п. ∀⇔ 0 00 nn n n xε > ∃ ∈ ∀ > < ε (!) Пп.. 00 ≠⇒≠ cc . Нехай c=ε , тоді підставимо це і cxn = у співвідно-шення (!), отримаємо c < c , що неможливо. → ■ / Наслідок. { }nx - н.м.п. ∃ (тобто 1 1: nn n n x∈ ∀ ≥ = c { }nx - стаціонарна) }⇒ c =0

Теорема 6 (1 зв’язок між н.м.п. і н.в.п.).

{ }nx – н.м.п. nx∧ ≠ 00 n n∀ ≥ ⇒0

1

n n nx

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

-н.в.п.

Доведення.

{ }nx -н.м.п.⇔ ∀ 1 0 110 : nA n n n n xA

> ∃ ≥ ∀ ≥ > (1)

Оскільки 00nx n n≠ ∀ ≥ , то із (1) отримаємо

1

11 10

n n n n

A n n Ax x

∞

=

⎧ ⎫∀ > ∀ ≥ > ⇒ ⎨ ⎬

⎩ ⎭-н.в.п. ■

Теорема 7. (2 зв’язок між н.м.п. і н.в.п.).

{ }nx -н.в.п.⇒

0

0 01) 012) . . .

n n n

n n n x

н м пx

∞

=

⎧ 1∃ ∈ ∀ ≥ ≠⎪ ⎧ ⎫⎨ −⎨ ⎬⎪ ⎩ ⎭⎩

Доведення. { }nx -н.в.п.⇔ 0 00 : nA n n n x A∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ > . Нехай A=1 ⇒ ∃ 0 0 0 1 0nn n n x x n 0n∈ ∀ ≥ > ⇒ ≠ ∀ ≥ . Першу частину дове-дено. Доведемо тепер другу частину твердження теореми.

Нехай - довільне і A=εε1 ⇒ ∃ 1 1 0 1

1: : nn n n n n x∈ ≥ ∀ ≥ > ⇒ε

11:

n

n nx

⇒ ∀ ≥ < ε ⇒ 0

1

n n nx

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

- н.м.п. ■

3.5 Збіжні послідовності та їх властивості

Означення 1 (на мові н.м.п.).{ –збіжна }nxdef

⇔∃ { }: na x a∈ − – н.м.п. Число називається границею послідовності a { }nx . Позначення:



lim limn nn nx x a

→∞= = ,

n nx a→∞⎯⎯⎯→ (« прагне до а»). nx

Приклад. Розглянемо послідовність 1 1nxn

= + .

Оберемо , тоді { }1a =1 1 1nx an n

1⎧ ⎫ ⎧ ⎫− = + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

–н.м.п.

Висновок: . lim 1nnx =

Оскільки { }axn − – н.м.п., то отримаємо наступне означення гра-ниці послідовності на мові 0nε −

Означення. lim nnx a=

def

⇔ 0 00 : nn N n n x a∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ − < ε .

Означення 2 (на мові 0nε − ). { –збіжна }nx

:def

a⇔∃ ∈ 0 00 : nn N n n x a∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ − < ε .

Означення 3 (на мові ε -околу).{ }nx – збіжна у будь-якому - околі т. а лежать усі члени послідовності, починаючи з номера .

:def

a⇔∃ ∈

ε

0nЗауваження. Із означення збіжності { }nx ⇒ видалення будь-якої

скінченої кількості членів послідовності не сприяє на її збіжність і зна-чення границі.

Означення. { }nx -розбіжна def

⇔ { }nx -не є збіжною. Зауваження. { }nx -н.в.п. ⇒ =

nnxlim ∞ .

nnxlim = ±∞

def

⇔ ∀ 0 00 : nA n n n x> ∃ ∈ ∀ ≥ > A .

nnxlim =+

def

∞⇔∀ 0 00 : nA n n n x> ∃ ∈ ∀ ≥ > A .

nnxlim =-

def

∞⇔∀ 0 00 : nA n n n x> ∃ ∈ ∀ ≥ < −A .

Зауваження. { }nx - збігається до ⇒ a { }axn − -н.м.п., { }n nx aα = − -н.м.п.,

nn ax α+= .



3.6 Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Границя послідовності є єдиною. Доведення. Нехай { }nx -збігається.

Пп.:∃ , : lim limn nn n

a b R a b x a x b∈ ≠ ∧ = ∧ =

lim { }n n nnx a x= ⇔ α = − a -н.м.п

lim { }n n nnx b x= ⇔ bβ = − - н.м.п.

Тоді { - н.м.п., тому }n n a bα −β = − ba − =0, тобто a b= . ■ Теорема 2. { } { }nn yix -збіг.⇒ ( ) nnnnnnn

yxyx limlimlim ±=±

Доведення. { }nx -збіг.⇒ ,lim nn

nn axax α+=⇒= { }nα -н.м.п.

{ }ny -збіг.⇒ , nnn

n byby β+=⇒=lim { }nβ -н.м.п.

Тоді ( ) ( ) ( )lim lim limn n n n n n nn n nnx y a b x y a b x y± = ± − α ±β ⇒ ± = ± = ± ■

Теорема 3. { }nx -збіг. ⇒ { }nx -обмежена Доведення. { }nx -збіг.⇒ axn = + , nα { }nα -н.м.п.

nα{ = –н.м.п. ⇒ обмежена⇒ }axn − ∃ ANnA n <α∈∀> :0 ≤αn A ⇒ ≤− axn A ⇒

⇒ A axax nn −≥−≥ ⇒

⇒ m

a A=

− n

M

x a A=

≤ ≤ + + A ⇒ { }nx -обмежена. ■

Теорема 4. { }nx -збіг. ∧ { }ny -збіг.⇒ ( )n

nn

nnnnyxyx limlimlim ⋅=

Доведення. { }nx -збіг.⇒ +axn = nα , { }nα -н.м.п. { }ny -збіг.⇒ nn by β+= , { }nβ -н.м.п.

⇒αβ+α+β+=⋅ nnnnnn baabyx н.м.п. + н.м.п+ н.м.п =н.м.п.⇒ ( ) abyx nnn

=lim . ■

Теорема 5. byn

n =lim ∧ 0≠b ⇒ Nn ∈∃ 0

∞

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

0

1

nnny-обм.

Доведення. ε<−≥∀∈∃>ε∀⇔= bynnNnby nn

n 010lim



0 002 2n

b bn N n n y bε = > ⇒ ∃ ∈ ∀ ≥ − < ⇒

⇒ byn − byn −≥ ⇒ 2b

b − < ny <2b

b + ⇒ 2b

< < 3ny2b

⇒

⇒ ∀ 0nn ≥ 10n

n

yy

≠ ∧ <b2 ⇒

0

1

n n ny

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

-є обмеженою. ■

1)∃ 0 :n ∈ визн-на послід. ∞

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

0nnn

n

yx , Теорема 6.

{ } { }nn yix -збіг. 0lim ≠= by

nn }

⎧⎪⎪⇒ ⎨⎪⎪⎩

2) n

lim =n

n

yx

nn

nn

y

x

lim

lim.

Доведення. Із власт. №4 0lim ≠nny ⇒ 0 0: 0nn n n y∃ ∈ ∀ ≥ ≠ ⇒

⇒0

n

n n n

xy

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

- визначена.

{ }nx -збіг.⇒ +axn = nα , { }nα -н.м.п. { }ny -збіг.⇒ nn by β+= , { }nβ -н.м.п.

n

y

x ay b

− = n n

n

x b a yby

⋅ − ⋅ = ( ) ( )( )1 1n n

n

a a bb y⋅ ⋅ + α − ⋅ +β ( )1 1

n nn

b ab y⋅ ⋅ ⋅α − ⋅β=

обм ⋅ (н.м.п. – н.м.п.)=н.м.п.

⇒ limn

.n

y

x ay b

= ■

3.7 Граничний перехід рід знаком нерівності Теорема. lim nn

x a=

0 0 nn n n x∃ ∈ ∀ ≥ ≥ b }⇒ lim nnx b≥ , тобто . a b≥

Доведення. Пп.: a b< . 1 0 1lim 0n nn

x a для b a n n n n x a b a= ⇒ ε = − > ∃ ≥ ∀ ≥ − < ε = − ⇒

⇒ ( )nx b a a< − + ⇒ nx b< . ■ →/Теорема.

{ } { }n nx i y -зб.

0 0 n nn n n x∃ ∈ ∀ ≥ ≥ y }⇒ lim limn nn nx y≥ .



n n n n nnz x y z n n z= − ⇒ ≥ ∀ ≥ ⇒ ≥ lim lim 0n n

n nx yДоведення. 00 lim 0 ⇒ . ■ − ≥

bЗауваження.

0 0 nn n n x∃ ∈ ∀ ≥ > { }nx -збіг. }⇒ lim n

nx b≥ .

Тобто після граничного переходу строгий знак замінюється не-строгим. Роглянемо приклад, що підтверджує неможливість залишити після граничного переходу строгий знак.

Якщо 1 0nx bn

= > = , то після граничного переходу отримаємо

10 lim 0n

bn

= ≥ = .

Теорема (принцип двостороннього обмеження (теорема про двох міліціонерів) lim limn nn n

x y a= =

nn x z y∀ ≥ ≤ ≤ }⇒ 1) { }nz -збіг., 2) . lim nn

z a=

n n nx z y≤ ≤

a

0 0 n nn n∃ ∈

Доведення. 0 0 n n nyn n n x z∃ ∈ ∀ ≥ ≤ ≤ ⇒ 0n n nx a z a y a n n− ≤ − ≤ − ∀ ≥ ⇒

⇒ { }max ,n nz a x a y a− ≤ − −n .

Оскільки 1 1lim 0 :n nn

x a n n n x a= ⇔ ∀ ε > ∃ ∈ ∀ ≥ − < ε ,

2 2lim 0 :n nny b n n n y b= ⇔ ∀ ε > ∃ ∈ ∀ ≥ − < ε ,

то для виконуються одночасно обидві нерівності, тобто {0 1max ,n n= }2n

0 nn n x a∀ ≥ − < ε ∧ ny a− < ε . Тому

{ } 0max ,n n nz a x a y a n n− ≤ − − < ε ∀ ≥

Висновок: 1) { }nz -збіг., 2) lim nnz a= . ■

3.8 Монотонні послідовності

Означення.

{ }nx -є зростаючою ( ) (спадною ( ))def

⇔ ( )1 1n n n nn x x x x+ +∀ ∈ < > .



{ }nx -є неспадною або нестрого зрост. (є незростаючою або нестрого спа-

дною) def

⇔ ( )1 1n n n nn x x x x+ +∀ ∈ ≤ ≥ .

{ }nx - монотоннаdef

⇔ { }nx - спадна (зростаюча). Зауваження 1.

{ }nx нестрого ( нестрого) ⇒ обмежена знизу (зверху) числом x1

Теорема Вейєрштрасса (основна теорема теорії послідовнос-тей). { }nx нестрого ( нестрого) ∧ { }nx обм. зверху (знизу) ⇒ { }nx -зб.

Доведення. Нехай { }nx нестрого ∧ { }nx обм. зверху, тоді { }nx -обмежена зверху множина, тому за основною теоремою теорії дійс-них чисел ∃ { }sup nx = x .

Доведемо, що x = lim nnx .

{ }sup nx = x ⇔ 1) nn x x∀ ∈ ≤ , 2)

000 : nn x x∀ε > ∃ ∈ > − ε .

Оскільки { }nx нестрого, то 0 0n nx x n≥ ∀ ≥ n . Скориставшись 2), отри-

маємо: 0 0n nx x x n n≥ > − ε ∀ ≥ . Пригадавши 1), здобудемо

0nx x x n n≥ > − ε ∀ ≥ ⇒ 0nx x n n lim nnx x⇒ = ∧ { }nx -зб. ■ − < ε ∀ ≥

Зауваження 2. Із зауваження 1 і останньої теореми отримаємо: 1){ }nx - нестрого ∧ обмежена зверху ⇒ { }1 lim supn n

nnx x x x≤ ≤ = ,

2){ }nx - нестрого ∧ обмежена знизу ⇒ { }1 lim supn nn

nx x x x≥ ≥ = .

3) Для того, щоб монотонна послідовність збігалась, достатньо, щоб вона була обмежена. 4) Якщо послідовність монотонна ⇒ для того, щоб послідовність була збіжною Н. і Д., щоб вона була обмеженою

Означення. [ ]{ },n na b - послідовність стяжних сегментівdef

⇔

⇔ 1){ }na нестрого ∧ { }nb нестрого ∧ n na b n≤ ∀ ∈ , 2) . ( )lim 0n nn

b a− =

Або інакше: [ ]{ },n na b - послідовність стяжних сегментівdef

⇔ ⇔ 1) , 1 1 2 2[ , ] [ , ] ... [ , ] ...n na b a b a b⊃ ⊃ ⊃ ⊃



2) . ( )lim 0n nnb a− =

Теорема (принцип стяжності сегментів).

[ ]{ ,n na b } - послідовність стяжних сегментів ⇒ [ ]1

,n nn

a b∞

=

=∩ { }c .

Або інакше: ! : [ ,n nc n c a∃ ∈ ∀ ∈ ∈ ]bДоведення.

{ }na нестрого ∧ { }nb нестрого ∧ n na b n≤ ∀ ∈ ⇒ ⇒ 1na b n≤ ∀ ∈ { }na - обмеж. зв. ⇒ (за осн. теоремою) { }na - зб. Позначимо lim nn

a A= . Аналогічно { }nb - зб. Позначимо lim nnb B= .

Оскільки n na b n≤ ∀ ∈ , то за теоремою про граничний перехід під знаком нерівності A B≤ , крім того n na A B b≤ ≤ ≤ .

Доведемо, що A B c= = . Пп..: A B< . Тоді . 0 lim( ) 0 lim( )n n n n n n n nn n

a A B b b a B A b a B A b a≤ ≤ ≤ ⇒ − ≥ − > ⇒ − ≥ − > ⇒ − ≠ 0

→/ ■ Теорема (другий спосіб доведення незчисленного відрізка [ ]0,1 )

Доведення. Пп.: [ ]0,1 a= . Тоді [ ]0,1 ={ } 1 2 3, , ,..., ,...nx x x x

1. Розділимо відрізок [ ]0,1 ділимо на 3 рівні частини.

0 13

23

1

Оберемо той із відрізків 1 1 2 20; ; ; ; ;13 3 3 3

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, куди не потрапив 1x . Позна-

чимо його [ ]1 1,a b . 2. Відрізок [ ]1 1,a b ділимо на 3 рівні частини. Нехай [ ]2 2 2,x a b∉ . 3. Аналогічно 3x [ ]3 3,a b∉ . І т.д. Отримаємо [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2 3 3, , , ... , ...n na b a b a b a b⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ;

1 1 2 2 3 32 3

1 1 1 13

, , ,..., ,...3 3 3 n n nb a b a b a b a− = − = − = − = ⎯⎯ →⎯ ∞→n 0.

Це система стяжних сегментів. Нехай { }c [1

,n nn

a b∞

=

=∩ ] , тоді



c ∈ [ ],n na b n∀ ∈ . (*) За побудовою c ∈ [ ]0,1 ⇒ ∃

00 : nn c x∈ = . Тоді

0nc x=0 0,n na b⎡ ⎤∉ ⎣ ⎦ .

Це суперечить (*). ■ →/

3.9 Приклади застосування теореми Вейєрштрасса

Приклад 1. Розглянемо послідовність , | | 1!

n

nax an

= > . Доведемо,

що вона є н.м.п. Якщо | | , то очевидно, що 1a >

. . .. . .

1lim lim 0! !

nn

n n í ì ïí ì ï

a an n

= ⋅ = .

Для фіксованого числа а виконано: | | 1N n N a n∃ ∈ ∀ ≥ < + .

Тоді1

11

| | | | | | | |: 1 | | | | {| | ( 1)! ! 1

n nn

n n nn

x a a a x x xx n n n

++

+= = < ⇒ < ⇒+ +

} . Крім того, .

Тому { } і обм знизу, а значить за теоремою Вейєрштрасса {

| | 0nx ≥

nx }nx - зб. Нехай. lim nn

A x= . Тоді 1

1| | | | | | | |lim | | lim lim lim | | lim 0 0( 1)! ! 1 1

n n

n nn n n n n

a a a aA x x An n n n

+

+= = = ⋅ = ⋅ = ⋅+ + +

= .

Висновок: lim 0!

n

n

a an

= ∀ ∈ .

Послідовність задана рекурентно, якщо кожний наступний член послідовності заданий через попередній.

Приклад 2. Формула наближеного обчислення , 0a a > .

Розглянемо послідовність 112n n

n

ax xx+

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠, де - довільне. 1 0x >

Довести самостійно за індукцією, що . 0nx n> ∀ ∈Дослідимо обмеженість послід. Зробимо наступні перетворення:

112 2

nn n

n n

xa a ax xx xa+

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ +⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎟ . (1)



Відомо, що 10t tt

∀ > + ≥ 2 , оскільки ця нерівність еквівалентна

2 2 10 t ttt

− +∀ > ≥ 0 . Тому в нерівності (1), якщо позначити nx

ta

= , то бу-

демо мати 1nx a+ ≥ n∀ ∈ . Висновок: послідовність обмежена знизу. Тепер дослідимо послідовність на монотонність, застосувавши

отриману вище оцінку nx a≥ \{1}n∀ ∈ :

( ) ( )1 1

12 2

1 11 1 1 1 {2 2

n nn n n

n nn

x xa a x x xx xx a+ +

+

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ + ≤ ⋅ + = ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

} .

Тому { } і обм знизу, а значить за теоремою Вейєрштрасса {nx }nx - зб. Нехай lim nn

A x= . Тоді

21

1 1lim lim2 2n nn n

n

a aA x x A Ax A+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ + = ⋅ + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

a= .

Оскільки , то 0nx n> ∀ ∈ lim 0nnA x A= ≥ ⇒ = a .

3.10 Число е

Розглянемо послідовність 11n

nxn

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

1. Доведемо, що lim nnx∃ і позначимо його через , тобто e

1lim 1ndef

ne

n⎛= +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ – означення числа . e

2. Наведемо формулу наближеного обчислення числа . e3. Доведемо, що число – ірраціональне. e

3.10.1. Існування границі 1lim 1n

n n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Застосуємо біном Ньютона

2 3

1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 2) 11 12! 3!

( 1) ... ( ( 1)) 1 ( 1) ... ( ( 1)) 1... ;! !

n

n

k n

n n n n nx nn n n n

n n n k n n n nk nn n

⋅ − ⋅ − ⋅ −⎛ ⎞= + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − −

+ ⋅ + +

...

⋅



1 1 1 1 22 1 1 1 ...2! 3!

1 1 2 1 1 1 2 11 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 ;! !

nxn n n

k nk n n n n n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 1 1 1 22 1 1 1 ...2! 1 3! 1 1

1 1 2 1 1 1 2 11 1 ... 1 ... 1 1 ... 1! 1 1 1 ! 1 1 1

1 1 21 1 ... 1( 1)! 1 1

nxn n n

k nk n n n n n n n

n n n

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.1

nn

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠Кожний k-ий доданок у виразі для xn буде менший за k-тий доданок у ви-разі для xn+1. Вираз для xn+1 має (n+1) доданків, а вираз для xn має n дода-нків. „Зайвий”, тобто додатковий доданок більший за нуль. А саме:

21 112!

1 1 21 1 ...3!

1 1 2 11 1 ... 1 ...!

1 1 2 11 1 ... 1 ;!

nx

n

n nk

k n n nn

n n n n

= +⎛ ⎞+ ⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

< < < < додатко-вий до-данок >0

1 21 112! 11 1 21 1 ...3! 1 11 1 2 11 1 ... 1 ...! 1 1 1

1 1 2 11 1 ... 1! 1 1 1

1 1 21 1 ...( 1)! 1 1

nx

n

n nk

k n n nn

n n n n

n n n

+ = +⎛ ⎞+ ⋅ − +⎜ ⎟+⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 ;

1n

n⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟+⎝ ⎠

Висновок: 1n nn x x +∀ ∈ < ⇒ nx { } . Тепер дослідимо послід. на обмеженість. Оскільки

1 21 1 ... 1 kn n n

1−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

<1 2,k n∀ = ,

то

nx < 1 1 1 12 ... ...2! 3! ! !k

+ + + + + +n

. (*)

Оскільки 1! 2 3 4 ... 2 2 2 ... 2 2kk k −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2,k∀ = n , то

nx < 2 1 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1/ 22 ... ... 2 ... ... 2 32 22 2 2 2 2k n n− − −+ + + + + + < + + + + + = + =

−1 1/ 2.

Висновок: послідовність обмежена зверху. Таким чином, { } і обм зверху, а значить за теоремою Вейєр-

штрасса {nx

}nx - зб. Границю послідовності позначимо е. Зауважимо, що



2 < xn < 3, тому за теоремою про граничний перехід під знаком нерівності

2 ≤ е ≤ 3. Відомо, що е = 2,718281828459045...

3.10.2. Формула наближеного обчислення числа . eЗробимо оцінку загального члена послідовності, що розглядаєть-

ся: 1 1 1 1 22 1 1 1 ...2! 3!

1 1 2 1 1 1 2 11 1 ... 1 ... 1 1 ... 1! !

1 1 1 1 2 1 12 1 1 1 ... 12! 3! !

nxn n n

k nk n n n n n n n

n n n k n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 11 ... 1 ,kn n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ −⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

якщо . n k>Здійснимо граничний перехід при , отримаємо n →∞

1 1 12 ...2! 3! !

ek

≥ + + + + .

Позначимо 1 1 12 ...2! 3! !ky

k= + + + + . (**)

Таким чином, із (*) і (**) маємо n nx y e

e

< ≤⇓

Тобто lim nny e= . Має місце ланцюжок нерівностей

1 1 1...( 1)! ( 2)! ( )!

1 1 1 11 ...( 1)! 2 ( 2) ( 3) ( 2) ( 3) ... ( )

n m ny yn n n m

n n n n n n n m

+ − = + + + =+ + +

⎤⎡= ⋅ + + + + ≤⎥⎢+ + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ +⎣ ⎦

2 1

1 1 1 11 ...( 1)! 2 ( 2) ( 2)mn n n n −

⎤⎡≤ ⋅ + + + + ≤⎥⎢+ + + +⎣ ⎦

2

1 1 1 1 1 11 ...1( 1)! 2 ( 1)! ( 1)! 1( 2) 1

2

nn n n n nn

n

⎤ +⎡≤ ⋅ + + + = ⋅ = ⋅⎥⎢+ + + + ++⎣ ⎦ −+

2=



( )2

1 2! !1

nn nn

+= ⋅ <

+

1n

.

Пояснимо останню нерівність:

( )2

2 11

nnn

+< ⇔

+

2 2 2 22 ( 1) 2 2 1n n n n n n n+ < + ⇔ + < + + ⇔ 0 1< . Таким чином отримано:

1!n m ny y

n n+ − <⋅ .

Здійснимо граничний перехід при , отримаємо m →∞10!ne y

n n≤ − ≤

⋅ .

Позначимо (0;1)1!

nn

e y

n n

−θ = ∈ . Тоді !

nne y

n nθ

− = !n

ne yn nθ

⇒ = + .

Висновок: 1 1 12 ...2! 3! ! !

nen n n

θ= + + + + + , де (0;1)nθ ∈

Формула наближеного обчислення числа e

3.10.3. Ірраціональність числа . eПрипустимо, що число - раціональне, тоді e

1 1 12 ...2! 3! ! !

nmen a n n

θ= = + + + + + ,

( 1)! 2 ! 3 4 ... 4 5 ... ...1 nm n n n nn∈∈∉

θ⋅ − = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + .

Отримане є неможливим, тому число - ірраціональне. e 3.11 Довільні послідовності 3.11.1. Обмежені послідовності. Нехай { }nx - довільна послідовність, { }nk - зростаюча послідовність натуральних чисел.



1 2, ,...,

nk k kx x x - ця послідовність має назву підпослідовності по-

слідовності { }nx . Твердження 1. Якщо послідовність { }nx збігається до x , то

будь-яка її підпослідовність збігатися до x , тобто lim { } lim

n nn k kn nx x x x= ⇒∀ = x

Доведення. lim 0nn

x x N n N= ⇔∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ nx x− < ε

}n Nn

n N

k для номера N виконується k N k Nn N k k≥ ⇒ ≥≥ ≥ (за транзитивністю знаку

упорядкування))

nkn N x x⇒∀ ≥ − < ε .

Маємо 0 N n N∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥nkx x− < ε . Висновок:

lim nnx x= .■

Твердження 1. Якщо будь-яка підпослідовність даної послідов-ності { }nx збігається, то сама послідовність { }nx збігається, крім того, кожна підпослідовність буде мати ту саму границю, що і послідовність { }nx .

Доведення. Відомо, що будь-яка підпослідовність послідовності { }nx збігається. Зокрема, послідовність { }nx є підпослідовністю самої себе, тому { }nx збігається. Позначимо її границю через x . Тоді за твер-

дженням 1 { } limn nk kn

x x∀ = x . ■

Твердження. Будь-яка підпослідовність нескінченно великої по-слідовності є нескінченно великою, тобто

{ }nx - н.в.п. { }nkx⇒∀ - н.в.п.

Доведення цього твердження аналогічне доведенню твердження 1.

Означення 1 граничної точки. Дійсне число x∈ називаєть-ся граничною точкою послідовності, якщо у будь-якому ε -околі міс-титься нескінчена кількість членів даної послідовності. Тобто



x∈ гранична точка послідовності { }nx ⇔ ⇔ ∀ ( )0 ,x xε > − ε + ε ∩ { }nx -нескінченна множина.

Означення 2 граничної точки. Дійсне число x∈ називаєть-ся граничною точкою послідовності, якщо існує підпослідовність { }nkx

даної послідовності, яка збігається до x . Тобто x∈ гранична точка послідовності { }nx ⇔ ⇔ ∃ { } : lim

n nk knx x x= .

Твердження. Означення 1 та означення 2 еквівалентні. Доведення.

1. Розглянемо 1-окіл ( 1ε = ) точки x , тобто ( 1, 1)x x− + . За означенням 1) в цьому ε -околі

міститься нескінчена кількість членів послідовності. Виберемо якийсь один з цих членів послідовності. Нехай це буде

. 1

( 1, 1kx x x∈ − +

1 2def def⇒

)

2. Розглянемо 12

-окіл ( 12

ε = ) точки x , тобто 1 1,2 2

x x⎛ − +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . Оберемо

серед нескінченої кількості членів послідовності, що містяться в цьому околі, той, що буде мати номер більш за . Тобто 1k

22 11 1: ,2 2kk k x x x⎛ ⎞∃ > ∈ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

.n Індуктивно припустимо, що члени підпослідовності 1 2, ,...,

nk k kx x x вже обрано.

( 1n+ ) . Розглянемо 1( 1)n +

-окіл, тоді

111 1: ,

1 1nn n kk k x x xn n++

⎛ ⎞∃ > ∈ − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠.

Таким чином, побудовано послідовність номерів , що є номерами членів підпослідовності 1 2 3 1... ...n nk k k k k +< < < < < <

{ }nkx , для якої 1 1,nkx x x

n n⎛ ⎞∈ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

. Тоді



1 1nkx x x

n n

x

− < < +

⇓

Висновок: підпослідовність { }nkx , що збігається до x обрано.

Дано: { }nkx∃ , що збігається до x . За означенням збі-

жної послідовності маємо, що у будь-якому ε -околі точки x буде міститися нескінчена кількість членів послідовності { }nkx ,

а саме усі, починаючи з якогось номера, а тому й нескінченна кількість членів самої послідовності { }nx . ■

2def def⇒ 1

Приклад 1 послідовність з двома граничними точками. Розгля-немо послідовність

1 1 1 1 1 11;1 ; ;1 ; ;1 ; ;...2 2 3 3 4 4

⎧ ⎫− − −⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Тоді 211 1

1k kxk →∞= − ⎯⎯⎯→+

, 2 11 0k kxk− →∞= ⎯⎯⎯→ .

За означенням 2 числа 1 і 0 є граничними точками послідовності. Доведемо, що інших граничних точок ця послідовність не має.

Нехай - гранична точка. Нехай 0 0;1x ≠ { }0 0max 0 , 1x xβ = − − , 3β

ε = .

Тоді ε - околи точок 0 ,0 1x i не перетинаються. Оскільки , то в середині 2 1k kx →∞⎯⎯⎯→ ε - околу точки 1 лежать усі

члени послідовності з парними номерами, починаючи з деякого номера, а значить зовні цього околу лежить скінченна кількість членів послідовно-сті з парними номерами. Оскільки , то аналогічно зовні - околу точки 0 лежить скінченна кількість членів послідовності з непар-ними номерами. Значить, в

2 1 0k kx − →∞⎯⎯⎯→ ε

ε - околі точки 0x лежить скінченна кількість членів послідовності, як з парними, так і з непарними номерами (рис. 1). Тому точка 0x не може бути граничною за означенням 1.

скінчена кількість скінчена кількість скінчена кількість членів { }nx членів { }nx членів { }nx

- ε 0 ε х- ε х х+ 1-ε ε 1 1+ ε Рис. 1.



Висновок. Дана послідовність має дві і тільки дві граничні точки. Приклад 2 послідовності, що має нескінченну, а точніше конти-

нуальну, кількість граничних точок. Розглянемо [0;1]M = ∩ - зчисл. множина. Перенумеруємо її елементи: { }nx M= .

Нехай [0;1]x∈ . Якщо 12

ε < ⇒ хоча б один з кінців околу

попаде у відрізок . Між цим кінцем і точною ( ,x x− ε + ε) [0;1] x лежить нескінченна кількість раціональних чисел, що можна отримати, застосу-вавши індуктивно лему 2 про наближення дійсних чисел раціональними (а саме; між будь-якими двома дійсними числами лежить раціональне число). Таким чином, у будь-якому ε - околі точки x лежить нескінчен-на кількість членів даної послідовності.

Висновок: будь-яке число [0;1]x∈ є граничною точкою даної по-слідовності. Значить множина граничних точок співпадає з усім відріз-ком [0 . ;1]

Означення. 1. Найбільша серед граничних точок – верхня границя послід.: lim nn

x x= . 2. Найменша серед граничних точок – нижня границя послід. lim n

nx x= .

Лема. Якщо послідовність збігається, то існує єдина гранична то-чка послідовності, яка співпадає з границею цієї послідовності, тобто { }nx - збігається гранична точка !⇒∃ x послідовності { }nx : lim nn

x x=

Доведення.{ }nx - збігається у будь-якому околі

точці

lim nnx x⇒∃ = ⇔

x містяться всі члени послідовності, починаючи з якогось номера, тобто в цьому околі міститься нескінченна кількість точок. Значить за означенням 1 граничної точки – точка x є граничною точкою послідов-ності.

За твердженням 1, якщо послідовність збігається до x , то будь-яка її підпослідовність збігається до x . Тому за означенням 2 гр.т. x є граничною точкою і, до того ж, єдиною. ■

Наслідок. Якщо послідовність збігається то верхня і нижня гра-ниця співпадають і дорівнюють x . Тобто

{ }nx - збігається lim nnx x x x⇒ = = = .



Теорема (про існування верхньої і нижньої границі обмеженої послідовності або друга основна теорема теорії послід.). Будь-яка об-межена послідовність має верхню і нижню границю.

Доведення. Нехай { }nx - обмежена , : nm M m x M⇔ ∃ < ≤ n∀ ∈ . Будемо виводити існування верхньої границі, тобто доведемо, що

lim nnx x∃ = . Розглянемо множину

А={ : правіше точки x∈ x лежить скінчена чи порожня множина членів послідовності { }nx }.

Розглянемо x M> . Правіше такого x лежить порожня множина членів . Множина А – обмежена знизу числом . За основ-

ною теоремою дійсних чисел ця множина має нижню межу. Нехай { }nx x A A⇒ ∈ ⇒ ≠∅ m

inf A x= . нескінчена кількість членів { }nx

скінчена кількість членів{ }nx

x − ε x x′ x + ε

Рис. 2.

infx A= ⇒ 1. x A− ε∉ ⇒ правіше за x − ε лежить скінчена кількість членів послід. { }nx . 2. 0 :x A x x′ ′∀ε > ∃ ∈ < + ε . Оскільки x A′∈ правіше за ⇒ x′ лежить скін. кількість елементів { }nx

Висновок: ε -окіл точки x містить нескінчену кількість членів по-слідовності { }nx , тому за означенням 1 гр.т. x - гранична точка.

Доведемо, що x є найбільшою серед усіх граничних точок.

Розглянемо x x> і 2

x x−ε = .

скінчена кількість членів{ }nx

x − ε < x < x + ε = x − ε < x < x + ε Рис. 3.



Оскільки правіше за x′ лежить скінчена або порожня множина

{ }nx то правіше x + ε буде лежати не більш ніж скінчена множина { }nx (див. рис. 2.). Цей факт відобразимо на рис. 3. Тоді із рис. 3 видно, що в

-околі точки ε x лежить скінчена чи порожня множина елементів { }nx ⇒ x (за означенням 1 гр.т.) не може бути граничною точкою.

Аналогічно можна довести, що в якості нижньої границі послід. буде supx B= , де множина В складається з тих елементів, лівіше яких лежить скінчена чи порожня множина членів послідовності { }nx . ■

Наслідок 1. Якщо { }nx - обмежена, то для будь-якого 0ε > в ін-тер. ( ,x x− ε + ε) лежать всі члени послідовності { }nx починаючи з якогось номеру.

скінч. чи порожня { }nx скінч. чи порожня { }nx

x − ε x x x + ε

Рис. 4. Доведення. Із доведення теореми випливає, що зовні ( ,x x )− ε + ε

лежить скінчена чи порожня множина членів послідовності { }nx . Знайде-мо номер , найбільший серед усіх номерів цієї скінченої множини чле-нів послідовності. Тоді усі члени послідовності

N{ }nx , починаючи з но-

мера лежать у середині цього інтервалу. ■ 0 1n N= +Наслідок 2. Якщо послідовність { }nx - обмежена, і зовні інтерва-

лу лежить не більш ніж скінчена множина членів послідовності ( , )a b{ }nx , то має місце наступне включення:

( , ) [ , ]a b x x⊇ а x x b Рис. 5. Доведення. Потрібно довести дві нерівності: a x≤ і x b≤ .



Оскільки зовні лежить не більш, ніж скінчена множина елементів ( , )a b{ }nx , то . Так як b A∈ infx A= , а b A∈ , то x b≤ . Аналогічно доводиться нерівність a x≤ , виходячи із supx B= . ■

Наслідок 3 (теорема Больцано-Вейєрштрасса). Із будь-якої об-меженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність

Доведення. lim

( .2) {. n

nnk

x xî çí x

x ãð ò î ÷êà

⎫∃ = ⎪⇒ ∃⎬− ⎪⎭

} зб. до x . ■

Висновок. Якщо послідовність обмежена, то у відрізку [ , ]x x ле-жать усі граничні точки цієї послідовності. Для обмеженої послідовності { }nx можливі два випадки:

1) { }nx - збігається lim nnx x x x⇒ = = = ( !∃ гранична точка);

2) { }nx - не збігається, то цей відрізок може містити дві чи більше граничні точки.

3.11.2. Необмежені послідовності. Лема (аналог теореми Больцано-Вейєтштраса для не обмеж.

послід). Будь-яка необмежена послідовність має нескінченно велику під-послідовність (зокрема, що складається з елементів одного знаку).

Доведення. Дано:{ }nx - необмежена. Зауважимо що після вики-дання скінченої кількості членів послідовності отримаємо послідовність, яка теж буде необмеженою.

{ }nx - необмежена 0 : nA n x A⇔∀ > ∀ ∈ > . Нехай , тоді 1 0A = >

11 : 1kk x∃ ∈ > . Розглянемо - необмеж. Нехай

1 1{ }n n kx ∞= + 2A = , тоді

22 1 : 2kk k x∃ > > . Індуктивно припустимо, що членів підпослідовності вже обрано: m

{ }1 2, ,...,

mk k kx x x .

Розглянемо - необмеж. Для 1{ }nn n kx ∞

= + 1A m= + 11 : 1

mm m kk k x m++∃ > > + .

Висновок: 1) { }

nkx - підпослідовність послідовності { }nx 2) { }

nkx - н. в. п. Члени

nkx - можуть мати або додатній або від’ємний знак. Обере-мо той знак, який відповідає нескінченої кількості { }

nkx і виділимо із по-



слідовності { }nkx цю підпослідовність { }

knlx , яка вже буде складатися з

одного елементів одного знаку. Вона є нескінченно великою послідовніс-тю (оскільки будь-яка підпослідовність нескінченно великої послідовно-сті є нескінченно великою).■

Лема. Із довільної послідовності (обмеженої або необмеженої) можна вибрати підпослідовність, яка або збігається, або є нескінченно великою з членами одного знаку.

Доведення. { }nx Обмежена, тоді Необмежена, тоді заст. th Б.-В. заст. аналог th Б.-В. для необмеженої ⇒∃ { }

nkx -зб. послідовності ⇒ ∃ { }

nkx -н.в.п., однакові знаки. ■ Означення. Кажуть, що +∞ (-∞ ) є граничною точкою послі-

довності { }nx , якщо ∃ підпослідовність цієї послідовності, яка є нескін-ченно великою і складається із членів лише додатних (від’ємних) знаків, тобто

∃ { }nkx : lim

nknx =+∞ ( −∞ ).

Теорема. Будь-яка послідовність { }nx має верхню (нижню) гра-ницю.

Доведення. Будемо використовувати те саме означення верхньої границі, як найбільшої з усіх граничних точок. Граничні точки можуть бути ±∞ . Д-ти: lim nn

x∃ . { }nx

Обмежена Необмежена

необмежена зверху необмежена знизу, але обмежена зверху ⇔

⇔ 1) 0 : nA n x A∀ > ∃ ∈ <− ; 2) 0 : nM n x M∃ > ∀ ∈ <

lim nnx∃

(друга основна теорема теорії по-слід.).

{ }nkx∃ -н.в.п. з

додатними членами:

limnkn

x =+∞⇒

lim nnx = +∞ .

{ }nx містить скінч. гран. точку y

⇒ 1-окол ( )1, 1y y− + містить не-скінченну кількість членів послідовно-

{ nx } –не міс-тить скінчен. гранич. точ.



сті { }nx ⇒ [ ]1,y M− -містить не-скінченну кількість членів послідовно-сті { }nx . Нехай

[ ]{ } 1,nkx y M= − ∩ { }nx ⇒ за дру-

гою основною th теорії послід. ∃ lim

nknx = x ⇒ lim nn

x x= .

⇒ lim nnx = −∞ .

■

3.12 Критерій Коші збіжності послідовності

Для того, щоб дослідити на збіжність послідовність, ми до цього

часу повинні були наперед вгадати значення її границі.Критерій дасть можливість дослідити послідовність, не знаючи наперед значення її гра-ниці.

Означення. { }nx - фундаментальна послідовність def

⇔

00 :n n n p∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ n p nx x+ − < ε . Теорема. Властивості фундаментальних послідовностей.

1. { }nx - фундаментальна⇒ ∃ 0 :n ∈ в - околі т. ε0nx містяться усі чле-

ни послідовності, починаючи з цього номера , тобто 0n

( )0 0 0,n n nx x x n∈ − ε + ε ∀ ≥ n . 2. { }nx - фундаментальна ⇒ { }nx -обмежена.

Доведення. 1. { }nx - фундаментальна ⇔ 00 :n n n p∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ n p nx x+ − < ε .

Для n=n0

0 0n p nx x+ − <ε ⇔0 0 0n n p nx x x p+− ε < < + ε ∀ ∈ ⇔

0 0n n nx x x− ε < < + ε 0n n∀ > . Оскільки нерівність 0 0 0n n nx x x− ε < < + ε є вірною, то разом з останнім ви-

аємо здійсненністсловлюванням отрим ь ( )0 0 0,n n nx x x n n∈ − ε + ε ∀ ≥ .

2. Із вл.1 ⇒ ( )0 0: nn n n x0 0

,n nx x∃ ∈ ∀ ≥ ∈ − ε + ε .

Якщо { x x }0 0 01 2, ,..., , ,n n nx x x+ ε − ε , то maxA =

nx ≤ A n∀ ∈ . ■ Теорем лідовністьа. Пос { }nx збігається тоді і лише тоді, коли вона

1) { }nx -обмежена,



lim nnx x =2) = lim

nnx x (верхня границя дорівнює ніжній).

Доведення. Н

=

еобхідність.{ }nx - зб.⇒

1) { }nx - зб. (за власт. збіжної послідовності) ⇒ { }nx - обмежена , то ве я

границ2)Відомо, що, якщо послідовність збігається рхня і нижня співпадають і дорівнюють x . Тобто { }nx - збігається

lim nnx x x x⇒ = = = .

стДостатні ь. Якщо послідовність обмежена і x x x= = , то (за на-слідком д.) в із другої осн. теореми теорії послі інтервалі ( , ) ( , )x x x− ε + = − ε + ε лежат усі член послід ності, починаючи з де-

означає (за означенням збіжної послід.), що по-слід. { }n

xε ь и овякого номера. Останнє

x - збігається. ■ еорема (критерТ ій Коші в збіжності послідовності). Послідов-

ність збігається тоді і лише тоді, коли вона фундаментальна. Доведення. Необхідність.

{ }nx - іг.⇔ зб0 0: 0∀ε / 2nx n n n x x∃ ∈ ∃ ∈ ∀ ≥ − < ε

n>

0p n p∀ ∈ + ≥

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

p∀ ∈ / 2n px x+ − < ε

n px x+ − = n p nx x x x+ − + − n p nx x x x+≤ − + − < 0n n pε ∀ ≥ ∀ ∈ . Достатність. { }nx - фундаментальна

1) за вл ід⇒

. 2 фундам. посл { }n. x -обмежена,

( )0 00 0 ,n nn n n x x x∈ ∀ ≥ − ε + ε2) за вл. 1 ∃ n ∈ . мо: усі члени послідовності, починаючи з номера лежать в

інтерваМає 0n лі ( ),n nx x− ε + ε , тому за наслідком із другої осн. теореми теорії

послід. ( )0 0

0 0, [ , ]n nx x− ε + ε ⊃ x x . Тоді 2 0x x− < ε ∀ε > ⇔ x x= .

Таким юютьс т чином, здійсн я усі вимоги останньої еореми, тому { }nx - збігається. ■

Documents

Запорізький національний університетsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/3.pdf3 ТЕОРІЯ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ Н.М.Д’яченко