МИНИСТАРСТВО ОДБРАНЕ

УНИВЕРЗИТЕТ ОДБРАНЕ

ВОЈНА АКАДЕМИЈА

МАСТЕР РАД

ТЕМА: АНАЛИЗА ПЕРФОРМАНСИ ЕСТИМАТОРА

КИНЕМАТСКИХ СТАЊА ЦИЉА У ПРИСУСТВУ ДЕТЕКТОРА

ЊЕГОВОГ МАНЕВРА

Студент Ментор

капетан пуковник ванр. проф.

Бобан Ранковић др Горан Дикић, дипл. инж.

Београд, 2016. година

1

ЗАХВАЛНИЦА

Аутор се захваљује ванр. проф. др Горану Дикићу, на указаном поверењу током

вођења и израде мастер рада, корисним сугестијама и несебичном трансферу знања.

Посебну захвалност аутор дугује колективу Кадетске бригаде, на колегијалности и

разумевању за обавезе током реализације школовања као и катедри Војноелекронског

инжењерстава Војне академије. На крају, аутор се захваљује породици на подршци и

разумевању, којој је уједно посвећен овај рад.

2

САДРЖАЈ

СПИСАК СЛИКА ......................................................................................................................... 3

1. УВОД ......................................................................................................................................... 4

2. СТОХАСТИЧКИ ЕСТИМАТОРИ СТАЊА ........................................................................... 6

2.1. Математички модел кретања циља .................................................................................. 7

2.2. Линеарни Калманов филтар ............................................................................................ 13

2.3. Нелинеарни Калманов филтар ........................................................................................ 17

2.4. Kалманов филтар са променљивом димензијом стања ................................................ 18

3. АДАПТАЦИЈА ЕСТИМАТОРА КИНЕМАТСКИХ СТАЊА ЦИЉА ЗАСНОВАНА НА

ПРОМЕНАМА ЊЕГОВЕ ОРЈЕНТАЦИЈЕ ............................................................................... 24

3.1. Опис програмског решења .............................................................................................. 25

4. ОПИС СИМУЛАЦИЈA И ПРИКАЗ РЕЗУЛТАТА .............................................................. 28

4.1. Приказ резултата 2Д праћења применом VD Калмановог филтра ............................. 31

4.2. Приказ резултата 3Д праћења применом LKF .............................................................. 35

4.3. Приказ резултата 2Д праћења применом линеарног Калмановог филтра ................. 43

4.4. Упоредна анализа побољшања перформанси естиматора ........................................... 44

5. ЗАКЉУЧАК ............................................................................................................................ 47

ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................................. 48

ПРИЛОГ 1 .................................................................................................................................... 49

3

СПИСАК СЛИКА

Слика 2.1. Аутокорелациона функција убрзања циља према Сингеру

Слика 2.2. Функција густине вероватноће убрзања циља

Слика 2.3. Прелазак са CV на VA модел

Слика 3.1. Приказ координатног система слике

Слика 3.2. Блок дијаграм комбиноване обраде слике

Слика 4.1. Приказ координата у правоуглом и сферном координатном систему

Слика 4.2. Приказ азимута лета циља

Слика 4.3. Приказ промене елевације циља

Слика 4.4. Вредности прага μа

Слика 4.5. Вредност прага μV

Слика 4.6. Промена норме иновационе секвенце за 2Д праћење применом VD филтра

Слика 4.7. Приказ трајекторије циља у x равни

Слика 4.8. Приказ трајекторије циља у y равни

Слика 4.9. Приказ трајекторије циља у хоризонатлној равни

Слика 4.10. Промена висине током лета циља

Слика 4.11. Приказ трајекторије лета циља у 3Д равни

Слика 4.12. Резултати обраде 1. фрејма

Слика 4.13. Резултати обраде 90. фрејма

Слика 4.14. Резултати обраде 126. фрејма

Слика 4.15. Резултати обраде 296. фрејма

Слика 4.16. Промена адаптивног коефицијента

Слика 4.17. Промена норме иновационе секвенце 3Д праћења

Слика 4.18. Промена норме иновационе секвенце 2Д праћења

Слика 4.19. Промена норме иновационе секвенце 2Д праћења – упоредна анализа

4

1. УВОД

Дејство борбеног система подразумева претходно уочавање циља, захват односно

довођење оруђа у положај који обезбеђује да циљ буде у видном пољу његовог нишанског

система, праћење циља ради процене оптималних услова гађања и превођење оруђа у стање

тренутне готовости (увођење претицања), односно режим „спреман за дејство”.

Праћење у ужем смислу подразумева процес усмеравања сензора тако да се обезбеди

непрекидно присуство циља у његовом видном пољу уз минимизацију одступања нишанске

линије сензора од линије визирања циља. Уколико се при томе мере само угловне

координате циља, азимут и елевација, овај процес најчешће се назива дводимензионално

или 2Д праћење.

Међутим, у ширем смислу, праћење подразумева процес прикупљања података о

просторном положају и кретању циља као и примену софистицираних алгоритама за обраду

резултата мерења како би се стекла поузданија информација о његовим кинематским

стањима. Имајући у виду садржајност информација о кретању циља, у овом случају је, са

одређеном вероватноћом, могуће реконструисати као и предвидети његову трајекторију па

је овај процес назван тродимензионално, односно, 3Д праћење. При томе се, у зависности

од намене система, најчешће мере угловне координате циља, његова даљина и/или

радијална брзина.

Подаци о тренутном положају циља добијају се применом разноврсних сензора.

Њихов рад најчешће се заснива на пријему електромагнетне енергије рефлектоване од

циља, као што је случај код радара. При раду са новијим системима, поред података о

положају циља, јако је важно и предвиђање наредног положаја циља. У новије време, све

више се уместо електромагнетне енергије користи термичко зрачење самог циља, како би

смањили могућност откривања сопственог положаја. Сигнали који пристижу са већег броја

сензора исте или различите врсте обрађују се у циљу естимације, предикције и праћења

циљева у ваздуху изнад територија земаља или неких ограничених региона од интереса.

Стога не чуди брз развој софистицираних алгоритама за праћење циљева који се базирају

на рекурзивним линеарним и нелинерним филтрима.

За потребе прецизнијег праћења покретних циљева развијени су специфични филтри

у виду нумеричких алгоритама који се реализују уз примену одговарајуће опреме. Неки од

5

ових алгоритама су врло једноставни, као на пример Метод екстраполације кроз две тачке,

али обезбеђују мању тачност. Већа тачност постиже се сложенијим алгоритмима који

захтевају употребу брзих рачунара да би се могли применити у реалним системима. Неки

од њих су: α-β филтар, α-β-γ филтар, Винеров филтар, Калманов и проширени Калманов

филтар.

Како би се обезбедило што боље праћење веома је битан правилан одабир модела

кретања. Тежи се да модел буде што једноставнији у погледу рачунарских захтева уз

истовремено обезбеђење потребног квалитета праћења. У том смислу значајну улогу има

детекција маневра циља како би се у рад укључио модел вишег реда и побољшале

перформансе естиматора.

У овом раду описана је могућност побољшања перформанси естиматора

кинематских стања циља. Примењена је обрада слике у циљу детекције маневра циља и на

основу тога анализиран је утицај корективног коефициента на побољшање праћења једног

циља применом линеарног Калмановог филтра [1].

За илустрацију његовог рада на персоналном рачунару развијени су одговарајући

програми који обухватају процесе генерисања шумова за потребе симулације мерења

координата циља, приказ координата измерене трајекторије лета, симулација мерења

координата циља и моделирање самог Калмановог филтра. Сви програми реализовани су у

оквиру програмског пакета MATLAB® који је намењен управо за решавање сложених

рачунских проблема.

6

2. СТОХАСТИЧКИ ЕСТИМАТОРИ СТАЊА

Проблем естимације стања циља подразумева познавање двеју једначина од којих

прва описује његово кретање, а друга процес мерења његових координата у односу на

примењени сензор. У општем случају ове једначине се могу представити у форми [2]:

𝑑(𝑥)

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥(𝑡) + 𝑤(𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0 (2.1)

𝑧(𝑘) = ℎ(𝑥(𝑘)) + 𝜐(𝑘), 𝑥(𝑘) = |

𝑡 = 𝑘𝑇 (2.2)

где су:

x - вектор стања математичког модела кретања циља,

z - вектор мерења,

T - периода одабирања,

f и h - нелинеарне векторске функције

w и υ - шумови који утичу на трајекторију циља и мерења.

Модел трајекторије циља најчешће се формира на бази једноставних линеарних

кинематских релација у Декартовом координатном систему, мада има и других приступа у

којима се користи на пример поларни координатни систем [3]. Међутим у реалној ситуацији

неопходно је да се наведеним моделом обухвати и маневар циља који је потпуно случајног

карактера.

Кретање циља у овом раду биће описано у сферном и правоуглом координатном

систему. Опис кретања циља у правоуглом координатном систему подразумева могућност

мерења углова ϑ и φ као и растојања до циља ρ, а ово се углавном среће код радара. У раду

је за мерење угловних координата циља примењена термовизијска камера а за добијање

података о удаљености циља је употребљен ласерски даљиномер.

Дефинисањем вектора стања у сферном координатном систему једначина мерења

постаје линеарна, што у конкретном случају поједностављује примену алгоритма

естимације стања. На пример, у случају радарског сензора, положај циља се добија у

сферном координаином сисиему (ρ, ϑ, φ), при чему су шумови мерења међусобно

некорелисани.

7

Гледано из аспекта примене естиматора стања, трансформација координата циља у

Декартов координатни систем намеће потребу сталног израчунавања матрице коваријансе

грешака мерења R што повећава захтеве у погледу неопходних израчунавања [4].

Решавањем дилеме око избора координатног система преостаје проблем дефинисања

математичког модела кретања циља.

2.1. Математички модел кретања циља

Основни задатак праћења је што тачнија процена (estimation) стварне позиције,

брзине и убрзања покретног објекта на основу шумом изобличених мерења даљине и

угловних координата. Велике брзине лета циља условљавају често уношење нових података

на улазу естиматора стања, односно малу периоду одабирања у једначини мерења како би

се обезбедио континуитет процеса праћења. С друге стране генерисање сигнала који се

доводе на улаз аутопилота захтева извесно коначно време за извођење свих рачунских

операција у оквиру имплементираног алгоритма праћења. Коначно, сам хардвер којим се

реализује наведени алгоритам треба да буде смештен у простор ограничених димензија.

Очигледно, присутно је неколико опречних захтева:

мало време дискретизације

тежња да се што више повећа тачност праћења циља, што условљава развој

сложених алгоритама праћења и

потреба минимизације хардвера како се не би нарушила функционалност система у

целини

Све ово условљава примену одређеног модела кретања циља, одабраног за

имплементацију естиматора стања у систему праћења циља, који ће бити једноставан, али

и довољно добар када је у питању тачност естимације жељених стања. У том смислу је

изабран Сингеров модел [5] који полази од претпоставке да се циљ креће праволинијски и

константном брзином. При томе се заокрети, изненадни маневри и убрзања настала услед

ваздушних турбуленција посматрају као поремећаји дуж претпостављене трајекторије.

Једначина кретања циља, за једну физичку димензију у том случају се може дати у виду

8

�̇�(𝑡) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺а(𝑡) (2.3)

где је:

�̇�(𝑡) -[позиција циља у тренутку tбрзина циља у тренутку t

]

а(t) - убрзање циља у тренутку t

𝐹 = [0 10 0

] (2.4)

𝐺 = [0 1]𝑇 (2.5)

С обзиром да се преко убрзања 𝑎(𝑡) уводи одступање од праволинијског кретања

циља оно се може сматрати променљивом маневра. Уколико убрзање постоји у тренутку t

извесно је да ће постојати и у тренитку 𝑡 + 𝜏 за довољно мало 𝜏 па је маневар временски

корелисана појава. Типичан модел којим се моделира колерисаност маневра представља

експоненцијална аутокорелациона функција

𝛾(𝜏) = 𝐸{а(𝑡)а(𝑡 + 𝜏)} = 𝜎𝑚2 exp(−𝛼|𝜏|) , 𝛼 > 0 (2.6)

где је:

𝑚2 - варијанса убрзања циља,

- реципрочна вредност временске константе маневра.

Слика 2.1. Аутокорелациона функција убрзања циља према Сингеру

9

Параметар α представља реципрочну вредност временске константе маневра 𝑡𝑚 и

назива се коефицијент маневра. Типичне вредности параметра α су:

благи маневар: 𝑡𝑚 = 60 секунди → α =1/60

оштар маневар: 𝑡𝑚 = 20 − 30 сек. → α =1/(20-30)

деловања ваздушних турбуленција: 𝑡𝑚 = 1 − 2 сек. → α =1/(1-2)

Сингер претпоставља да се циљ креће максималним убрзањем 𝐴𝑚𝑎𝑥 (−𝐴max ) са

вероватноћама 𝑃𝑚𝑎𝑥 без убрзања са вероватноћом 𝑃0, а осталим убрзањима на интервалу

(𝐴𝑚𝑎𝑥, −𝐴max ) са вероватноћама које одговарају униформној дистрибуцији. У том случају

варијанса 𝜎𝑚2 се израчунава помоћу израза

𝜎𝑚2 =

𝐴𝑚𝑎𝑥2

3[1 + 4𝑃𝑚𝑎𝑥 − 𝑃0] (2.7)

Слика 2.2. Функција густине вероватноће убрзања циља

Типичне вредности за Amax су:

путнички авион Amax = 0.2 - 0.5

борбени авион Amax = 5 - 10

Користећи стандардну процедуру за моделирање процеса са наведеном

аутокорелационом функцијом (процедура Winer-Kolmogorova), убрзање циља се може

изразити као

Pmax Pmax

P0

p(a)

1-(P0+2Pmax)

2Amax

-Amax Amax

10

𝑑а(𝑡)

𝑑𝑡= −𝛼а(𝑡) + 𝑤(𝑡) (2.8)

При чему је w(t) бели Гусов шум варијансом

𝜎𝑤2 = 2𝛼𝜎𝑚

2 𝛿(𝑡) (2.9)

Једначина кретања циља се, на основу (2.3) и (2.8), за једну физичку димензију може

изразити у облику

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑤(𝑡) (2.10)

где су:

𝑥(𝑡) = [

позиција циља у тренутку 𝑡брзина циља у тренутку 𝑡убрзање циља у тренутку 𝑡

]

𝐹 = [0 1 00 0 10 0 −𝛼

] (2.11)

𝐺 = [001] (2.12)

Увођењем претпоставке да је 𝛼=0 добија се модел са константним убрзањем (CA -

Constant Acceleration). У супротном случају када је 𝛼=∞ аутокорелациона функција 𝛾(𝜏)

постаје блиска делта функцији. Како је интервал ове функције у том случају једнак нули,

добија се модел са константном брзином (CV - Constant Velocity) на који делују случајни

поремећаји.

С обзиром на природу проблема потребно је да се модел трајекторије циља (2.10) дат

у континуалном домену, преведе у дискретни домен. Тако се добија стохастичка

диференцна једначина

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐹(𝑇, 𝛼)𝑥(𝑘) + 𝐺𝑤(𝑘) (2.13)

11

где је за CA модел [4] и [5] :

𝑥(𝑘) = [𝑥(𝑘) �̇�(𝑘) �̈�(𝑘)]𝑇 (2.14)

𝐹(𝑇, 𝛼) = [1 𝑇

𝑇2

2

0 1 𝑇0 0 1

] (2.15)

𝐺 = [

𝑇2

4𝑇

2

1

] (2.16)

w(k) - секвенца белог Гаусовог шума са карактеристикама

𝐸{𝑤(𝑘)} = 0, 𝐸{𝑤(𝑘)2} = 2𝛼𝑇𝜎𝑚2 (2.17)

За CV модел се добија:

𝑥(𝑘) = [𝑥(𝑘) �̇�(𝑘)]𝑇 (2.18)

𝐹(𝑇, 𝛼) = [1 𝑇0 1

] (2.19)

𝐺 = [𝑇2

2

𝑇] (2.20)

w(k) - sеквенца белог Гаусовог шума који представља убрзање циља.

Мада је CV модел једноставнији од CA модела (за сваку координату ред је нижи за

један), његова примена је у одређеним случајевима [6] потпуно оправдана.

12

Наравно, користе се и други модели, као што је модел са експоненцијално

корелисаним убрзањем (ECA- Exponential Correlated Acceleration) [7]. Уколико се пође од

дискретног модела кретања циља:

𝑥(𝑘 + 1) = [1 𝑇0 1

] 𝑥(𝑘) + [𝑇2

2

𝑇] а(𝑘) (2.21)

под претпоставком да је убрзање 𝑎(𝑘) обојена Гаус-Марковљева секвенца

а(𝑘 + 1) = ξa(k) + w(k) (2.22)

са карактеристикама

𝐸{а(𝑘)а(𝑘 + 𝑚)} =𝜎𝑘

2

1−𝜉2 ξ|m|

, m=0, 1, 2… (2.23)

𝑉𝑎𝑟{𝑤(𝑘)} = 𝜎𝑘2 (2.24)

𝛏 – коефицијент корелације

Увођењем убрзања, као нове променљиве стања, добија се ECA модел:

𝑥(𝑘) = [𝑥(𝑘) �̇�(𝑘) �̈�(𝑘)]𝑇

𝐹(𝑇, 𝑎) = [1 𝑇

𝑇2

2

0 1 𝑇0 0 𝜉

] (2.25)

𝐺 = [001] (2.26)

w(k) - секвенца белог Гаусовог шума са карактеристикама

𝐸{𝑤(𝑘)} = 0, 𝐸{𝑤(𝑘)2} = 𝜎𝑘2, k= 0, 1, 2, 3…. (2.27)

13

2.2. Линеарни Калманов филтар

Уобичајен начин моделирања физичког система је његово представљање системом

диференцијалних једначина. Да би математички модел тачно описивао стање физичког

система неоходно је установити које од величина су од релевантне а које немају значај.

Често се, међутим, дешава да релевантна променљива није расположива за директно

мерење. У том случају се до ње долази посредно, израчунавањем на основу мерљивих

величина. Додатни проблем представља чињеница да понашање реалног система никада

није потпуно детерминистичко јер на њега делују различити поремећаји (шумови). Мерење

физичких величина, у циљу добијања величина стања, такође је зашумљено и у извесној

мери непоуздано. Због тога ове величине заправо представљају случајне променљиве што

наводи на закључак да је осим детерминистичких за представљање реалних система

неопходно увести и стохастичке диференцијалне једначине.

Параметри који фигуришу у стохастичким једначинама нису потпуно тачни већ

представљају апроксимацију реалних величина. Калманов филтар користи теорију

предвиђања за екстракцију недоступних величина стања динамичког система из

зашумљених или некомплетних мерења. У математичком смислу овај флитар представља

рекурзивни поступак којим се добија апроксимација тражене величине методом најмањих

квадрата. Калманов метод филтрирања револуционаран је у том смислу што употребљава

мерење само из предходног корака за добијање априори и апостериори предвиђања. Ова

предвиђања су међусобно повезана резултатима новог мерења.

Први корак у пројектовању естиматора стања представља одабир модела процеса. У

складу са таквом тенденцијом основна верзија Калмановог алгоритма [1] користи линеарну

функцију за апроксимацију дискретних величина. Ову верзију алгоритма Рудолф Е. Калман

објавио је 1960. године и од тада, упркос муњевитом напретку нумеричких поступака,

Калманов алгоритам није изгубио на значају. Основни разлог лежи у чињеници да

Калманов филтар омогућава процену прошлих, садашњих па чак и будућих стања система

чак и у одсуству прецизног математичког модела.

Због тога Калманов филтар представља оптимално решење у класи линеарних

естиматора с обзиром да обезбеђује минимално очекивање квадрата грешке процене стања

у присуству стохастичких поремећаја. При томе треба имати у виду да је тачност

14

естимираних стања условљена веродостојношћу модела динамике циља и мерног шума. У

развоју конкретног алгоритма полази се од две једначине. Прва од њих описује модел

кретања циља, а друга процес мерења. У најопштијем случају обе једначине су нелинеарне

и могу се записати као:

𝑋(𝑘 + 1) = 𝑓[𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑈(𝑘),𝑤(𝑘)] (2.28)

𝑍(𝑘) = ℎ[𝑘, 𝑋(𝑘), 𝜐(𝑘)] (2.29)

при чему је:

X - вектор кинематских стања циља,

U - позната побуда,

Z - вектор мерења,

f - векторска функција којом се описује кретање циља,

h - векторска функција којом се описује процес мерења,

w - вектор шума процеса који описује неодређеност трајекторије циља условљену његовим

случајним маневром,

υ - вектор шума којим се описује квалитет, односно прецизност мерења,

k - дискретна временска променљива.

У зависности од усвојеног модела кретања циља као и описа процеса мерења

једначине (2.28) и (2.29) се појављују у линеарном или нелинеарном облику. Уколико се

динамика циља може моделовати као временски дискретан Марковљев процес онда је

кретање циља описано једначином:

𝑋(𝑘 + 1) = 𝐹𝑋(𝑘) + 𝑈(𝑘) + 𝑤(𝑘) (2.30)

при чему је F матрица прелаза стања, а U(k) и w(k) већ поменути детерминситички улаз и

шум процеса који омогућава моделовање случајног маневра циља. Као што је познато,

кретање циља се најчешће описује једначинама у континуалном временском домену а затим

се исте преводе у дискретну форму. Уколико је физичка природа мерених величина таква

15

да уједно представљају поједине векторе стања онда је могуће моделовати процес мерења

линеарном једначином

𝑍(𝑘) = 𝐻𝑋(𝑘) + 𝜐(𝑘) (2.31)

при чему је H матрица мерења, а υ(k) већ поменути модел шума мерења. Уколико се

претпостави непостојање детерминистичке побуде, U(k)=0, једначине Калмановог филтра

за систем описан једначинама (2.30) и (2.31) имају облик:

�̂�(𝑘 + 1) = 𝑋(𝑘 + 1) + 𝐾(𝑘 + 1)[𝑍(𝑘 + 1) − 𝑍(𝑘 + 1)] (2.32)

𝑃(𝑘 + 1) = 𝐹�̂�(𝑘 + 1)𝐹𝑇 + 𝑄 (2.33)

𝑆(𝑘 + 1) = 𝐻(𝑘 + 1)𝑃(𝑘 + 1)𝐻𝑇(𝑘 + 1) + 𝑅 (2.34)

𝐾(𝑘 + 1) = 𝑃(𝑘 + 1)𝐻𝑇(𝑘 + 1)𝑆−1(𝑘 + 1) (2.35)

�̂�(𝑘 + 1) = 𝑃(𝑘 + 1) − 𝐾(𝑘 + 1)𝐻(𝑘 + 1)𝑃(𝑘 + 1) (2.36)

При томе су:

𝑋(𝑘 + 1) - предикција вектора стања,

�̂�(𝑘 + 1) - ажурирана, филтрирана, вредност вектора стања,

𝑍(𝑘 + 1) - предикција вектора мерења,

𝑍(𝑘 + 1) - вектор мерења,

𝑃(𝑘 + 1) - предикција коваријационе матрице грешке процене стања,

�̂�(𝑘 + 1) - ажурирана вредност коваријационе матрице грешке процене стања,

𝑆(𝑘 + 1) - коваријациона матрица резидуала 𝜂(𝑘 + 1) = 𝑍(𝑘 + 1) − 𝑍(𝑘 + 1) ,

Q - коваријациона матрица шума процеса,

R - коваријациона матрица шума мерења.

16

У литератури се једначине Калмановог филтра често приказују груписане као :

1) Једначине предикције (предвиђа се следеће стање система у тренутку (𝑘 + 1) на

основу последњег познатог стања система у тренутку (𝑘). Ова процена садржи грешку

услед шума који није узет у обзир

𝑋(𝑘 + 1) = 𝐹�̂�(𝑘) (2.37)

𝑃(𝑘 + 1) = 𝐹�̂�(𝑘)𝐹𝑇 + 𝑄(k)

2) Једначине корекције – коригује се процена стања система на основу измереног излаза

из система у тренутку мерења.

𝐾(𝑘 + 1) = 𝑃(𝑘 + 1)𝐻𝑇(𝑘 + 1)[𝐻(𝑘 + 1)𝑃(𝑘 + 1)𝐻𝑇(𝑘 + 1) + 𝑅]−1

(2.38)

�̂�(𝑘 + 1) = 𝑋(𝑘 + 1) + 𝐾(𝑘 + 1)[𝑍(𝑘 + 1) − 𝐻𝑍(𝑘 + 1)]

�̂�(𝑘 + 1) = 𝑃(𝑘 + 1) − 𝐾(𝑘 + 1)𝐻(𝑘 + 1)𝑃(𝑘 + 1)

Један циклус Калмановог филтра се састоји из фазе предикције и фазе корекције.

Фаза предикције представља временско ажурирање. Ажурирање мерења се обавља у фази

корекције.

Поједини аутори користе ознаке P(k+1/k) и P(k+1/k+1) уместо 𝑃(𝑘 + 1) и �̂�(𝑘 + 1)

како би истакли да P(k+1/k) представља предикцију вредности коваријационе матрице у

тренутку k+1 која је израчуната у тренутку k. Ознаке 𝑃(𝑘 + 1) и �̂�(𝑘 + 1) су усвојене у

овом тексту због краткоће, односно једноставнијег записа.

17

2.3. Нелинеарни Калманов филтар

Кретање циља најчешће се описује у правоуглом координатном систему. Међутим,

током његовог праћења обично се мере угаоне координате и даљина циља у односу на

сензор, као што је на пример радар. Због нелинеарности једначине која повезује елементе

вектора мерења са елементима вектора стања уведен је проширени облик Калмановог

филтра (EKF - Extended Kalman Filter). Његове једначине имају форму као и линеарни

Калманов филтар (LKF - Linear Kalman Filter). Међутим, уместо матрице H при дефинисању

вектора мерења уводи се нелинеарна функција ℎ[𝑥(𝑘/𝑘 − 1)] тако да се једначина

ажурирања стања појављује у облику записа:

�̂�(𝑘 + 1) = 𝑥(𝑘) + 𝐾(𝑘)[𝑧(𝑘) − ℎ[𝑥(𝑘)]] (2.39)

У осталим једначинама LKF неопходно је уместо матрице H увести линеаризовану

матрицу мерења 𝐻𝑥 дефинисану Јакобијаном:

𝐻𝑥 (𝑘) =𝜕ℎ

𝜕𝑥|𝑥=𝑥(𝑘)=𝑥(𝑘/𝑘−1)

(2.40)

У случају нелинеарног модела кинематике циља процена његових кинематских

стања постаје још сложенија. При томе је прво неопходно одредити предикцију стања

𝑥(𝑘) = �̂�(𝑘) + ∫ �̇�(𝜏)𝑑𝜏𝑡𝑘+1

𝑡𝑘 (2.41)

Предикција коваријационе матрице грешке процене стања најчешће се добија као и

у случају LKF, директном применом једначине

𝑃(𝑘) = 𝐹�̂�(𝑘)𝐹𝑇

+ 𝑄 (2.42)

Уколико постоји решење једначине (2.41) у затвореном облику тако да је

𝑥(𝑘 + 1) = 𝑔[𝑥(𝑘)] (2.43)

18

матрица F у једначини (2.42) се дефинише као Јакобијан

𝐹(𝑘) =𝜕𝑔[𝑥(𝑘)]

𝜕𝑥(𝑘)|𝑥=𝑥(𝑘)=𝑥(𝑘/𝑘−1)

(2.44)

Уколико решење (2.43) не постоји у затвореном облику елементи матрице 𝐹 се

израчунавају нумерички [8] или на основу апроксимације другог реда:

𝐹 = 𝐹(𝑘 + 1/𝑘) = 𝐼 + 𝐴(�̂�(𝑘))𝑇 + 𝐴2(�̂�(𝑘))𝑇2/2 + ⋯ (2.45)

При томе је

�̂�(𝑘) = 𝑓(𝑥) (2.46)

𝐴(�̂�) =𝜕𝑓

𝜕𝑥|𝑥=�̂�

(2.47)

2.4. Kалманов филтар са променљивом димензијом стања

Идеја за реализацију Калмановог филтра са променљивом димензијом стања (VD -

Variable Dimension Filter) је проистекла из чињенице да се циљ на већем делу своје путање

креће не вршећи било какав маневар. Услед тога се намеће питање оправданости примене

CA модела кретања циља у оквиру алгоритма за процену стања када нема маневра. Примена

CA модела у том случају само повећава сложеност нумеричког поступка за естимацију

потребних стања као и величину грешке процењеног положаја и брзине циља. У циљу

реализације квалитетнијег естиматора стања Bar-Shalom је формирао алгоритам [6]

заснован на комбинацији два филтра од којих први користи CV, а други CA модел кретања

циља. Основна идеја је да се у сваком тренутку користи најједноставнији расположиви

модел уз истовремено обезбеђење најбољих перформанси алгоритма у целини. Примена

једног или другог филтра је условљена нумеричком вредношћу која се добија у оквиру

процеса детекције маневра циља.

19

CV модел примењен у алгоритму VD филтра се незнатно разликује у односу на већ

описани модел (2.20) што проистиче из дефиниције шума стања. У случају VD филтра овим

шумом се за разлику од модела (2.20) описују мале промене брзине циља. Услед тога

матрица G у CV моделу има облик

𝐺 = [𝑇

2

1] (2.48)

Процес естимације стања у систему праћења циљева почиње уз примену CA модела.

Непосредно након отпочињања праћења потребно је извесно време да сам Калманов филтар

уђе у стабилан режим. Услед тога се истовремено могу очекивати израженије промене

брзине и убрзања што оправдава отпочињање процеса естимације стања уз примену модела

вишег реда (CA).

Одлука о увођењу модела нижег реда (CV) се заснива на статистици

𝛿а(𝑘) = а̂(𝑘)𝑇[�̂�а𝑚(𝑘)]

−1а̂(𝑘) (2.49)

где су:

а̂(𝑘) - процена компоненти убрзања добијена примено CA модела

�̂�а𝑚(𝑘) - одговарајући блок у матрици коваријансе грешке естимације стања �̂�𝑘.

Када сума

𝜇а(𝑘) = ∑ 𝛿а(𝑗)𝑘𝑗=𝑘−𝑝+1 (2.50)

над прозором дужине p падне испод датог прага, убрзање се сматра безначајним и прелази

се на CV модел. Преласком на CV модел мора се дефинисати и стандардна девијација шума

стања с обзиром да наведени шум сада не описује мале промене убрзања већ промене

брзине циља. Величина стандардне девијације у конкретном случају се одређује у односу

на вредност процењене брзине непосредно пре преласка на CV модел (𝜎𝑉 = (0.05 ÷

0.20)�̂�).

20

Поновно увођење CA модела у процес естимације стања изводи се након детекције

маневра циља која се заснива на праћењу секвенце иновација 𝜂(𝑘).

𝜂(𝑘) = 𝑧(𝑘) − 𝐻𝑥(𝑘) (2.60)

Примена статистике

𝛿𝑉(𝑘) = 𝜂(𝑘)𝑇𝑆(𝑘)−1𝜂(𝑘) (2.61)

где је

𝑆(𝑘) = 𝐻(𝑘)𝑃(𝑘)𝐻(𝑘)𝑇 + 𝑅(𝑘) - матрица коваријансе секвенце иновација 𝜂 (k) ( јавља се у

изразу за Kалманово појачање)

У тренутку када сума

𝜇𝑉(𝑘) = 𝛼𝜇𝑉(𝑘 − 1) + 𝛿𝑉(𝑘); (0 < 𝛼 < 1) (2.62)

пређе наведени праг уводи се CA уместо CV модела. Поново се мора дефинисати

стандардна девијација шума стања који сада описује мале промене убрзања циља. Ова

вредност је узета [6] у односу од 𝜎𝑎(𝑘) = 0.05а̂(𝑘).

Имајући у виду да је 𝜂 (k) секвенца са Гаусовом расподелом, може се показати да је

𝛿𝑉(𝑘) случајна променљива са 𝑥2 расподелом и n = 3 степена слободе. Такође се показује

да је

lim𝑘→∞

𝐸{𝜇𝑉(𝑘)} =𝑛

1−𝛼 (2.63)

тако да се ∆= (1 − 𝛼)−1 сматра ефективном дужином “прозора” над којим се тестира

присуство маневра циља.

Усвајајући ниво уверености од 95 посто да постоји маневар у току примене CV

модела, односно да је маневар престао током примене CA модела уз p=2 и 𝛼=0.8 за 2Д

праћење добија се 𝜇а = 9,49 и 𝜇𝑉 = 18,3 а у случају 3Д праћења вредности су 𝜇а = 12,6 и

𝜇𝑉 = 25,0. Наведене вредности су добијене из таблице 𝑥2 расподеле за задани ниво

21

уверености уз 4 односно 6 степени слободе када је у питању величина 𝜇а и 10 односно 15

степени слободе када је у питању величина 𝜇𝑉.

На слици 2.3. је приказан поступак прелаза са CV на CA модел.

Слика 2.3. Прелазак са CV на VA модел

Као што се види на слици 2.3 уколико је у тренутку k установљено постојање маневра

претпоставља се кретање циља са константним убрзањем које је отпочело у тренутку (k-∆-

1). У циљу повезивања рада оба филтра неопходно је извршити репроцесирање измерених

величина почевши од тренутка (k-∆). Иницијализација филтра са CA моделом, у конкретном

случају за x осу је изведена користећи почетну процену вектора стања дефинисану као у

литератури [6]:

𝑥(𝑘 − ∆) = 𝑥(𝑘 − ∆ − 1) + �̇�(𝑘 − ∆ − 1)𝑇 + 1/2𝑎𝑥𝑇2 (2.64)

�̇�(𝑘 − ∆) = �̇�(𝑘 − ∆ − 1)+𝑎𝑥𝑇 (2.65)

𝑎𝑥 = (2

𝑇2) [𝑥(𝑘 − ∆) − 𝑥(𝑘 − ∆ − 1) − �̇�(𝑘 − ∆ − 1)𝑇] (2.66)

�̂�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝑧1(𝑘 − ∆) = 𝑥(𝑘 − ∆) + 𝜐(𝑘 − ∆) (2.67)

време

k-∆-1

k-∆

k-1

k

(детекција)

маневра)

претпоставка тренутка дешавања маневра

иницијализација CA модела

22

�̂�1(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆ − 1) = �̂�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + �̂̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)𝑇 (2.68)

�̂�𝑥 = �̂̈�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = (2

𝑇2) [�̂�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) − �̂�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) −

�̂�(𝑘 − ∆ − 1)𝑇] = (2

Т2) [𝑧1(𝑘 − ∆) − �̂�1(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆ − 1)] (2.69)

�̇�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = �̂̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)+ �̂�𝑥𝑇 (2.70)

Где су 𝑧1 измерене вредности координате x. При томе су елементи одговарајуће

коваријационе матрице �̂�𝑘−∆ дефинисани на следећи начин. Преласком са CA на CV модел

димензије коваријационе матрице �̂� се смањују, а њени елементи постају

𝑃11(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝐸[�̃�(𝑘 − ∆)]2 = 𝐸[𝑥(𝑘 − ∆) − �̂�(𝑘 − ∆)]2 =

𝐸[−𝜐(𝑘 − ∆)]2 = 𝜎𝑥2 (2.71)

𝑃33(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝐸[�̃�𝑥]2 = 𝐸[𝑎𝑥 − �̂�𝑥]

2 = (4

𝑇4)𝐸[−𝜐(𝑘 − ∆) −

�̃�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) − �̃�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)𝑇]2 = (4

𝑇4) [𝜎𝑥2 +

𝑃11(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + 2𝑃12(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)𝑇 +

𝑃22(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)𝑇2] (2.72)

𝑃22(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝐸[�̇�(𝑘 − ∆)]2 = 𝐸[�̇�(𝑘 − ∆) − �̂̇�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆)]2

=

𝐸[�̃̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + �̃�𝑥𝑇]2

= 𝐸 {�̃̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + (2

𝑇) [−𝜐(𝑘 − ∆) −

�̃�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) − �̃̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)𝑇]}2

= 𝐸 [−(2

𝑇) 𝜐(𝑘 − ∆) −

(2

𝑇) �̃�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) − �̃̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)]

2

= (4

𝑇2)𝜎𝑥

2 +

(4

𝑇2)𝑃11(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + 𝑃22(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) +

(4

𝑇) 𝑃12(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) (2.73)

23

𝑃12(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝐸[�̃�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆)�̃̇�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆)]𝐸 {[−𝜐(𝑘 − ∆)] [−(2

𝑇) 𝜐(𝑘 −

∆)]} = (2

𝑇)𝜎𝑥

2 (2.74)

𝑃13(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝐸[�̃�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆)�̃�𝑥] = 𝐸 {[−𝜐(𝑘 − ∆)] [− (2

𝑇2) 𝜐(𝑘 − ∆)]} =

(2/𝑇2)𝜎𝑥2 (2.75)

𝑃23(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) = 𝐸[�̃̇�(𝑘 − ∆|𝑘 − ∆) ∙ �̃�𝑥] = 𝐸 {[− (2

𝑇) 𝜐(𝑘 − ∆) −

(2

𝑇) �̃�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) − �̃̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)] (

2

𝑇2) [−𝜐(𝑘 − ∆) −

�̃�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) − �̃̇�(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1)𝑇]} = (2

𝑇3)𝜎𝑥2 +

(4

𝑇3)𝑃11(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + (2

𝑇)𝑃22(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) + (6/

𝑇2)𝑃12(𝑘 − ∆ − 1|𝑘 − ∆ − 1) (2.76)

Остали елементи наведене матрице су нуле. При томе се као иницијалне вредности

вектора стања користе процене координата добијене у тренутку констатовања престанка

маневра циља.

24

3. АДАПТАЦИЈА ЕСТИМАТОРА КИНЕМАТСКИХ СТАЊА ЦИЉА ЗАСНОВАНА НА

ПРОМЕНАМА ЊЕГОВЕ ОРЈЕНТАЦИЈЕ

Сензори слике нуде додатну могућност за процену маневра циља на основу промене

његове орјентације која се остварује анализом регистроване слике циља. Полазећи од

чињенице да је у случају примене сензора слике могуће уочити маневар циља на основу

промене његове оријентације развијени су алгоритми који омогућавају процену маневра на

основу анализе његове слике као на пример у случају литературе [9].

У овом раду користи се алгоритам који обезбеђује увођење коефицијента корекције

добијеног комбинованом обрадом слике циља. У конкретном случају пошло се од чињенице

да у највећем броју случајева, циљ мења оријентацију током промене правца кретања. Услед

тога настају промене у садржају слике које се могу искористити како би се увела

одговарајућа адаптација и обезбедио бољи рад филтра.

При обради слике користи се координатни систем као на слици 3.1. где су вредности

пиксела представљене координатама x и y као у [10].

(x,y)

Image f(x,y)

y

x

Слика 3.1. Приказ координатног система слике

25

Приликом обраде слике у једном од корака примењује се трансформација

једнодимензионалног дискретног сигнала. У израчунавањима на дигиталном рачунару увек

се ради са коначним дискретним секвенцама, а фреквенцијски спектар се израчунава у

коначном броју дискретних тачака. Због тога се за практичну фреквенцијску анализу

сигнала користи дискретна Фуријеова трансформација (DFT) сигнала. Уколико је дат

дискретни низ {x (n)}, тада је израз за DFT овог низа дат изразом:

𝑋[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗2𝜋

𝑁𝑛𝑘𝑁−1

𝑛=0 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1 (3.1)

Израз за инверзну дискретну Фуријеову трансформацију (IDFT) је:

𝑥[𝑛] =1

𝑁∑ 𝑋[𝑘]𝑒𝑗

2𝜋

𝑁𝑛𝑘𝑁−1

𝑘=0 ,0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 (3.2)

За израчунавње DFT потребно је обавити велики број рачунских операција. Због тога

су развијени многи алгоритми за израчунавање дискретне Фуријеове трансформације са

мањим бројем рачунских операција. Посебан значај има класа алгоритама високе

ефикасности под називом брза Фуријеова трансформација (FFT - Fast Fourier

Transformation). MATLAB® има уграђену функцију fft која омогућава брзо израчунавање

DFT.

3.1. Опис програмског решења

Како би се побољшале могућности естиматора користи се решење које је развијено

на основу комбиноване обраде сликe [11]. Поступак обраде слике и формирања корективног

коефицијента 𝑐𝑘𝑜𝑟 представљен је на блок дијаграму приказаном на слици 3.2. Вредности

коефицијента израчунавају се коришћењем програмског пакета MATLAB®. Овај програм

је реализован као посебна целина како би се приказао описани алгоритам одвојено од

Калмановог филтра. Листинг конкретног програма приказан је у Прилогу 1.

26

Селекција слике и одабир

величине 128x128 пиксела

Потискивање шума

позадине

Сумирање пиксела по

колонама

FFT над вектором добијеног

сумирањем колона

Нормирање спектра са

вредношћу прве компоненте

Израчунавање корективног

коефицијента

Слика 3.2. Блок дијаграм комбиноване обраде слике

Потребно је прво са снимљене секвенце издвојити област која је битна за обраду,

тачније у којој су садржане информације о циљу. У конкретном случају усвојена област има

димензије 128 x 128 пиксела.

Обрада започиње потискивањем шума позадине који може значајно да омета процес

као на пример у присуству појачане облачности. Најједноставнији начин за реализацију

овог поступка је да се вредности свих пиксела који имају интензитет нижи од у напред

одређеног прага усвоје као нуле. При томе вредности пиксела чије су вредности веће од

овог прага остају непромењене. За вредност прага усвојена вредност је 0,7.

Након тога сумирају се вредности свих пиксела, по колонама, унутар области слике

која се користи за праћење циља. На тај начин добија се вектор од 128 вредности над којим

се даље врши брза Фуријеова трансформација. Вредности спектра се затим нормирају тако

што се деле са вредношћу прве компоненте спектра јер је њен интензитет најизраженији.

27

Након описаног процеса израчунава се број компонената спектра које имају

вредност већу од 0,5. На тај начин дефинисана је ширина спектра у којем је садржана

половина снаге обрађеног сигнала. Да би добили корективни коефицијент ове вредности се

нормирају са вредношу N/2, при чему је N укупан број спектралних компонената (у овом

случају 128).

Вредности коефицијента корекције израчунавају се током обраде сваког фрејма

током праћења и користе се у поступку адаптације естиматора кинематских стања циља.

28

4. ОПИС СИМУЛАЦИЈA И ПРИКАЗ РЕЗУЛТАТА

Праћење циљa одвија се у присуству естиматора стања који је реализован у форми

Калмановог филтра. Квалитет естимације кинематских стања одређен је ваљаношћу

претпоставки о моделу процеса и статистичким обележјима шума процеса и шумова

мерења.

Имајући у виду неодређености у погледу познавања шума процеса као и ваљаности

самог модела процеса реализовани су естиматори који подразумевају постојање детектора

маневра каo у поменутој литератури [6]. Њихова основна намена је да обезбеде одабир

најпогоднијег међу иницијално дефинисаним естиматорима како би се добила што боља

процена стања.

Међутим приликом праћења циљева код којих нису изражене промене брзине и

убрзања тешко је уочити маневар на основу промена параметара у једначинама (2.50) и

(2.62) па је неопходно применити алтернативни метод детекције маневра и побољшања

перформанси естиматора.

У том случају користе се добијене вредности адаптивног коефицијента који служи

за корекцију вредности шума процеса унутар линеарног Калмановог филтра. Примењена

адаптација обезбеђује бољи резултат у односу на случај када се током процеса користи

константна вредност овог параметра.

При реализацији конкретног естиматора коришћен је Калманов филтар са

константним убрзањем. Промене шума процеса уводе се сукцесивно током процеса

праћења тако што се у напред дефинисана вредност овог параметра сваки пут помножи

тренутном вредношћу адаптивног коефицијента.

У раду Калмановог филтра користе се мерења која су остварена у сферном

координатном систему. Ово значи да су познати даљина до циља ρ, азимут 𝜗 и елевација

φ. Праћење циља се остварује у сферном и правоуглом координатном систему како би се

извршила упоредна анализа резултата. Приликом праћења циља у правоуглом

координатном систему сферне координате циља трансформишу се у правоугле координате

користећи добро познате једначине:

29

𝑥𝑚 = 𝜌cos (𝜑)cos (𝜗) (4.1)

𝑦𝑚 = 𝜌cos (𝜑)sin (𝜗) (4.2)

𝑧𝑚 = 𝜌sin (𝜑) (4.3)

Слика 4.1. Приказ координата у правоуглом и сферном координатном систему

Полазећи од познатих једначина Калмановог филтра датим у једначинама (2.32 –

2.36) при чему су вредности за једну координату праћења:

TmGGQ 2 (4.4)

1

2/

4/2

T

T

G (4.5)

𝐹 = [1 𝑇

𝑇2

2

0 1 𝑇0 0 1

] (4.6)

𝑃 =

[ 𝜎𝜗

2 𝜎𝜗2

𝑇0

𝜎𝜗2

𝑇

2𝜎𝜗2

𝑇2 0

0 0 0]

(4.7)

x

y z

ϑ

30

𝐻 = [1 0 0] (4.8)

матрица коваријансе шума мерења у СКС-у:

𝑅𝑠 = 𝑑𝑖𝑎𝑔[𝜎𝜌2 𝜎𝜗

2 𝜎𝜑2] (4.9)

При томе се, у сваком кораку ажурира вредност варијансе шума процеса множењем

са корективним коефицијентом добивеним комбинованом обрадом слике:

𝜎𝑚2 = 𝑐𝑘𝑜𝑟 𝜎𝑚0

2 (4.10)

У раду ће бити приказани резултати симулација праћења циља у 2Д применом

Калмановог филтра са променљивом димензијом стања и линеарног Каламовог филтра са

и без увођења корекције. Такође је ради поређења остварено и праћење у 3Д применом

линеарног Калмановог филтра са и без примене корективног коефицијента.

При реализацији тестирања предложеног решења коришћена је секвенца која је

снимљена током праћења циља помоћу одговарајуће инфрацрвене камере.

31

4.1. Приказ резултата 2Д праћења применом VD Калмановог филтра

Приликом реализације конкретног филтра коришћена су два модела кретања циља

CV и CA модел. Сам поступак реализације филтра објашњен је у поглављу 2.4. Праћење

циља остварено је на основу познатих података о азимуту и елевацији циља који су нам

доступни применом пасивног сензора (инфрацрвена камера).

На слици 4.2. приказана је промена азимута лета циља. Може се уочити да се циљ са

азимута 0.1 [rad] приближава нултом азимуту у делу лета између 100. и 200. фрејма секвенце

а затим се поново удаљава.

Слика 4.2. Приказ азимута лета циља

На слици 4.3. приказана је промена угла елевације лета циља. Угао елевације расте а

затим између 180 и 200 фрејма креће да опада. Оваква промена се остварује услед чињенице

да се циљ креће ка сензору мерења и у том периоду долази до повећања угла елевације а

затим када циљ отпочне комбиновани маневар при чему смањује висину угао почиње нагло

да опада.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Redni broj frejma

Azim

ut [r

ad

]

32

Слика 4.3. Приказ промене елевације циља

Како се праћење VD Калмановим филтром остварује у угловним координатама и при

томе се праћење врши у две димензије прелазак са CA на CV модел кретања отпочиње када

вредност променљиве 𝜇а падне испод 9,49. Повратак са CV на CA модел остварује се тек

кад вредност променљиве 𝜇𝑉 пређе праг 18,3.

Слика 4.4. Вредности прага 𝜇а

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.5

0.51

0.52

Redni broj frejma

Ele

va

cija

[ra

d]

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Redni broj frejma

Vre

dn

ost p

rag

a m

i a

33

На сликама 4.4. и 4.5. приказане су вредности поменутих прагова. На слици 4.4.

вредност прага 𝜇а је преко граничне вредности само на почетку праћења јер се по правилу

праћење отпочиње CA моделом а затим пада на нулу и праћење се даље остварује у CV

моделу. На слици 4.5. приказане су промене вредности прага 𝜇𝑉 . Променљива 𝜇𝑉 има нагли

скок приликом преласка на CV модел а затим су вредности овог прага мале, нарочито у делу

лета где је вредност азимута блиска нули што је и очекивано јер су тада промене угловних

брзина мале у односу на сензор мерења. Када циљ крене да се удаљава од нултог азимута

вредност прага 𝜇𝑉 расте али не до границе да би се детектовао маневар и праћење наставило

у CA моделу кретања.

Слика 4.5. Вредност прага 𝜇𝑉

Резултат процеса праћења приказан је на слици 4.6. у виду линије која представља

норму иновационе секвенце [𝑍𝑘+1 − �̅�𝑘+1] што нам је очигледни показатељ квалитета

праћења. Вредност норме у почетку праћења постиже скок док сам Калманов филтар не

постигне стабилан режим, а затим се вредност смањује како се циљ ближи нултом азимуту

а потом расте са повећењем вредности азимута циља.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6x 10

-5

Redni broj frejma

Vre

dn

ost p

rag

a m

i v

34

Слика 4.6. Промена норме иновационе секвенце за 2Д праћење применом VD филтра

Дакле можемо закључити да приликом праћења конкретне секвенце лета циља

детекција маневра применом VD Калмановог филтра није остварива јер се циљ креће на

таквом курсу да су промене угловних брзина недовољно велике како би поменути

алгоритам детектовао маневар који реално постоји у конкретном случају.

Због ове чињенице приступило се алтернатином решењу детекције маневра јер је у

реалним ситуацијама праћења неопходно на време уочити почетак маневра како би се

естиматор преподесио на модел када циљ остварује велике брзине и убрзања.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Redni broj frejma

No

rma

in

ova

cio

ne

se

kve

nce

[ra

d]

35

4.2. Приказ резултата 3Д праћења применом LKF

На основу регистрованих мерења реконструисана је трајекторија лета циља. На

слици 4.7. види се њен облик у х равни, где се уочава да циљ врши маневар у периоду од

90. до 200. фрејма. На слици 4.8. приказана је y координата и закључујемо да је њена

промена линеарна, што нам говори да се не маневрише по y коодринати.

Слика 4.7. Приказ трајекторије циља у x равни

Слика 4.8. Приказ трајекторије циља у y равни

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Redni broj frejma

X -

osa

[m

]

0 50 100 150 200 250 300 350 4001500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Redni broj frejma

Y-

osa

[m

]

36

На слици 4.9. приказана је трајекторија лета циља у хоризонталној равни и на основу

претходне две слике закључујемо да маневар настаје услед промене по x оси при чему су

вредности промене y осе линеарно опадајуће.

Слика 4.9. Приказ трајекторије циља у хоризонатлној равни

Слика 4.10. приказује промену висине циља током снимљене секвенце. Анализом

приказа лета у хоризонталној равни лако се уочава да циљ изводи комбиновани маневар,

односно скреће уз увођење промене висине.

Отпочињање маневра по x оси подудара се са почетком промене висине лета циља.

Све ово указује да приликом реализације поменутог маневра долази до промене орјетације

што је коришћено за формирање коефицијента корекције чијим увођењем побољшавамо

перформансе естиматора тј. у конкретном случају линеарног Калмановог филтра.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

X-osa [m]

Y-o

sa

[m

]

37

Слика 4.10. Промена висине током лета циља

На слици 4.11. дат је приказ лета циља у правоуглом координатном систему. Са

слике се јасно види да се циљ креће ка сензору мерења и да притом мења правац и висину

лета.

Слика 4.11. Приказ трајекторије лета циља у 3Д равни

0 50 100 150 200 250 300 350 400900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

Redni broj frejma

Z-o

sa

[m

]

0100

200300

400500

1000

2000

3000

4000

5000800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

X-ravan [m]Y-ravan [m]

Z-

rava

n [m

]

38

Резултати обраде слике током израчунавања адаптивног коефицијента 𝑐𝑘𝑜𝑟

приказани су на сликама 4.12. – 4.16. При томе су на сликама 4.12. – 4.15. са a) и c) означени

снимци циља пре и после потискивања шума позадине. На истим сликама словима b)

приказан је облик нормираног спектра сигнала који се добија сумирањем пиксела по

колонама. Резултати сумирања означени су на овим сликама словима d).

Слика 4.12. Резултати обраде 1. фрејма

Може се приметити да током кретања циљ мења оријентацију обртањем око свих

својих оса. На првом фрејму види се како након пењања подиже предњи крај да би започео

маневар у хоризонталној равни без губитка висине. На фрејму 90 који је приказан на слици

4.13. види се моменат када се циљ ближи тренутку у којем долази до промене смера угаоне

брзине праћења у хоризонталној равни и отпочињања комбинованог маневра.

Овај тренутак јасно се уочава на слици 4.14. када је силуета циља најужа у

вертикалној равни. Одговарајући део спектра сигнала постаје тада најшири па ће ово имати

за последицу појаву највеће вредности коефицијента 𝑐𝑘𝑜𝑟 у конкретном лету. Ово се може

проверити посматрањем слике 4.16.

39

Слика 4.13. Резултати обраде 90. фрејма

Слика 4.14. Резултати обраде 126. фрејма

40

Слика 4.15. Резултати обраде 296. фрејма

На слици 4.15. види се ситуација када је циљ изашао из маневра. Ширина почетног

дела спектра постала је знатно ужа па је и вредност адаптивног коефициента 𝑐𝑘𝑜𝑟 значајно

смањена. Величина силуете циља указује на чињеницу да је растојање од сензора много

мање него на почетку процеса праћења. Наравно у случају појаве маневра циља због тога

би се појавио значајнији пораст угаоних брзина него када би се циљ налазио на већој

удаљености.

Након комплетне обраде секвенце праћења добијене су вредности адаптивног

коефицијента које су приказане на слици 4.16. Као што је и поменуто вредност

коефицијента директно зависе од величине силуете циља што је такође у директној вези са

ширином фреквенцијског спектра. На основу трајекторије лета закључујемо да се маневар

врши између 90. и 200. фрејма а то је и потврђено вредностима коефицијента корекције који

се у том делу драстично мењају. Највећа вредност коефицијента је у 126. фрејму где је

силуета лика циља најмања.

41

Слика 4.16. Промена адаптивног коефицијента

У циљу тестирања ефеката адаптације шума процеса извршено је поређење

резултата који су добијени применом линеарног Калмановог филтра са моделом који

описује кретање циља у присуству константног убрзања (CA модел).

Слика 4.17. Промена норме иновационе секвенце 3Д праћења

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

12

14

Redni broj frejma

No

rma

in

ova

cio

ne

se

kve

nce

[m

]

sa korekcijom

bez korekcije

42

Резултат овог процеса приказан је на слици 4.17. у виду тачкица које представљају

норму иновационе секвенце праћења без корекције. Резултат примене адаптивног

коефицијента при дефинисању вредности шума процеса приказан је на истој слици пуном

линијом.

Примећује се да су разлике веће у периоду када су промене азимута спорије. Ово

можемо објаснити чињеницом да је при иницијалном дефинисању шума процеса усвојена

вредност варијансе која одговара оштром маневру циља и да се циљ у делу када врши

маневар налази на курсу лета који је близак нули.

Опадањем адаптивног коефициента 𝑐𝑘𝑜𝑟 смањује се и вредност шума процеса па у

случају када циљ престаје да маневрише новодобијена вредност шума процеса више

одговара реалном кретању циља. Због тога се појављују значајније разлике управо када

маневар циља постаје све мање приметан, односно ишчезава.

43

4.3. Приказ резултата 2Д праћења применом линеарног Калмановог филтра

С обзиром да се у реалној ситуацији мерења остварују у сферном координатном

систему тј. од сензора добијамо податке о азимуту 𝜗 и елевацији φ праћење је могуће

остварити и на основу расположивих мерења јер нам подаци о даљини нису увек доступни

због све чешће употребе пасивних сензора.

Приликом формирања корективног коефицијента поступак обраде слике и његовог

формирања је идентичан као и у симулацији где се праћење циља одвија у правоуглом

координатном систему.

На сликама 4.2. и 4.3. су већ приказане и објашњене трајекторије лета циља у

угловним координатама. На основу њих лако је уочити да циљ врши комбиновани маневар

јер поред промене правца долази и до промене његове висине.

Ажурирањем варијансе шума процеса увођењем корективног коефициента 𝑐𝑘𝑜𝑟

долази до побољшања перформанси линеарног Калмановог филтра. Резултат процеса

тестирања ефеката адаптације шума процеса приказан је на слици 4.18. у виду тачкица које

представљају норму иновационе секвенце без корекције. Вредности примене адаптивног

коефицијента при дефинисању шума процеса приказане су на истој слици пуном линијом.

Слика 4.18. Промена норме иновационе секвенце 2Д праћења

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Redni broj frejma

No

rma

in

ova

cio

ne

se

kve

nce

[ra

d]

bez korekcije

sa korekcijom

44

Може се приметити да су разлике веће у периоду када су промене азимута спорије.

До овога долази јер је при иницијалном дефинисању шума процеса усвојена вредност

варијансе која одговара оштром маневру циља.

Опадањем адаптивног коефициента korc смањује се и вредност шума процеса па у

случају када циљ престаје да маневрише новодобијена вредност шума процеса више

одговара реалном кретању циља. Због тога се појављују значајније разлике управо када

маневрисање циља постаје све мање, идентично као у случају приликом праћења у

правоуглом КС.

4.4. Упоредна анализа побољшања перформанси естиматора

Поређењем слика 4.17. и 4.18. уочава се на основу разлике норми иновационих

секвенци да је побољшање праћења увођењем корективног коефицијента израженије

приликом праћења циља по угловним координатама.

Ова тврдња се може проверити поређењем процента побољшања норми

иновационих секвенци. До тих резултата се долази на следећи начин. Прво се одреди

математичко очекивање вредности норме иновационе секвенце за случај када се циљ прати

без корекције а затим када се врши праћење циља са корекцијом. Ове вредности се одузму

и поделе са математичким очекивањем када нема корекције. Множењем добивене

вредности са 100 добијамо проценат побољшања норме иновационе секвенце.

Ако у конкретном случају занемаримо првих 25 вредности норми иновација, које су

велике због флуктуација Калмановог филтра, за конкретни случај добијене су следеће

вредности. Приликом праћења циља по правоуглим координатама вредност је 7,24 % а

приликом праћења по угловним координатама вредност је 17,92 %. На основу ових

вредности закључујемо да је побољшање праћења по угловним координатама 2,47 пута веће

од побољшања праћења по правоуглим координатама. Ово се може објаснити чињеницом

да приликом праћења циља по угловним координатама користимо само два податка о циљу

(азимут и елевацију) а за претварање из сферних у правоугле координате коришћена је и

даљина до циља а том приликом долази и до нелинеарних трансформација које неминовно

повећавају грешке праћења.

45

На слици 4.19. приказане су вредности норми иновационих секвенци

дводимензионог праћења циља. Црним тачкама приказане су вредности мерења применом

CA модела кретања без увођења корективног коефицијента. Плавим звездицама приказане

су вредности норме иновационе секвенце када се врши праћење VD Калмановим филтром

тј. CV моделом кретања јер не долази до детекције маневра. На истој слици су црвеном

линијом означене вредности норме иновационе секвенце када се циљ прати применом CA

модела кретања али са увођењем корективног коефицијента.

Као што је већ речено евидентно је побољшање праћења увођењем корективног

коефицијента с обзиром да се вредности иновационих секвенци разликују за приближно 18

процената.

Слика 4.19. Промена норме иновационе секвенце 2Д праћења – упоредна анализа

Поређењем вредности праћења применом CV модела кретања са праћењем

применом CA модела где се врши корекција уочавамо да су вредности норми иновационих

секвенци приближно једнаке а у одређеним сегментима се чак поклапају. Уочљиве су

разлике једино у делу када циљ остварује веће угаоне брзине јер се удаљава по азимуту од

сензора мерења. Такође се поређењем математичких очекивања добија вредност 5,4 ∙ 10−6

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Redni broj frejma

No

rma

in

ova

cio

ne

se

kve

nce

[ra

d]

bez korekcije CA model

sa korekcijom CA model

CV model kretanja

46

што је занемарљиво. Дакле применом коефицијента корекције систем праћења који

примењује CA модел кретања своди се на систем праћења који користи CV модел.

Поставља се питање оправданости увођења коефицијента корекције и коришћења

CA модела ако је праћење довољно квалитетно и применом модела нижег реда. Сама

чињеница да је снимљена трајекторија лета циља таква да познати детектор не препознаје

маневар оправдано је коришћење алгоритма који све време користи CA модел јер се

праћење коригује увођењем коефицијента корекције и ако дође до маневра алгоритам ће га

препознати и побољшати карактеристике естиматора без обзира на вредности угловних

брзина и убрзања.

47

5. ЗАКЉУЧАК

Приказани резултати потврђују претпоставке о могућности додатног побољшања

квалитета рада естиматора кинематских стања циља, односно процеса његовог праћења у

условима када се, због заштите сопствених снага од откривања зрачења и дејства

противрадарских ракета, користе искључиво пасивни сензори.

У случају праћења циља применом мозаичких пасивних сензора, односно сензора

слике, обично се не располаже довољним бројем мерења која треба да обезбеде праћење у

тродимензионалном формату, односно по све три координате.

У раду је показано да се увођењем додатних информација о циљу, које су добијене

у поступку обраде слике, регистроване термовизијском камером, процес његовог праћења

може значајно унапредити.

Резултати симулација показују да детекција маневра није увек остварива користећи

познате алгоритме (на пример детекција маневра у случају Калмановог филтра са

променљивом димензијом стања) па је у таквим случајевима неопходно применити

адаптацију естиматора засновану на процени промена орјентације циља.

Увођењем предложеног алгоритма адаптације варијансе шума процеса обезбеђује се

да укупна вредност норме иновационе секвенце у оквиру Калманог филтра који је заснован

на примени само једног CA модела кретања циља буде мања него у случају када је вредност

ове варијансе константна.

Уочено побољшање, неминовно захтева повећани обим израчунавања, односно веће

ангажовање рачунарских капацитета у односу на стандардни Калманов филтар. Имајући у

виду перформансе постојећих рачунара ово не би требао да буде проблем у случају

практичне реализације овог алгоритма.

48

ЛИТЕРАТУРА

[1] Rudolf E Kálmán, “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”, Research

Institute for Advanced Study, Baltimore, Maryland, USA, 1960.

[2] Chang C. B., Tabaczynski J.A. ,"Aplication of state estimation to target tracking", IEEE

Transactions on Atomatic Control, Februar 1984.

[3] J. A. Rocker and C. D. McGillem, “Target Tracking in Maneuver-Centered Coordinates”,

IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems AES-25, Nov. 1989. pp. 836-843.

[4] Kolarov A., “Projektovanje filtara za praćenje pokretnih ciljeva”, magistarski rad,

Elektrotehnički fakultet, Beograd, 1987.

[5] Singer A. R.: “Estimating Optimal Tracking Filter Performance for Manned Maneuvering

Targets”, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-6. no. 4, Jul

1970.

[6] Bar-Shalom, Y., and Birmiwal, K.,” Variable dimension filter for maneuvering target

tracking“, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems AES-18, Sept. 1982, pp.

621-629.

[7] Hampton R. L. T., Cooke J. R., "Unsupervised Tracking of Maneuvering Vehicles", IEEE

Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Mart 1973. pp. 197-207.

[8] Grewal M. S. and A. P. Andrews, “Kalman filtering Theory and Practice”, Englewood Cliffs,

NJ: Prentice HAll, 1993.

[9] S Shetty, A. T. Alouani: “A multisenzor tracking System With an Image Based Maneuver

Detector“, IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 32, Sep. 1982. pp.

167 -181, 1996.

[10] R. C. Gonzales and R. E. Woods:”Digital Image Processing”, Prentice Hall Upper Saddle

River, New Jersey 07458, 2002.

[11] Boban Rankovic, Davorin Mikluc: “Adaptacija estimatora kinematike cilja zasnovana na

promenama njegove orijentacije”, Zbornik radova YUINFO, 21. konferencija, pp. 398 – 401,

2016.

49

ПРИЛОГ 1

% Program ad_koef.m

clc; clear all; close all;

% Uvodi se sekvenca pracenja;

seqc=mmreader('Seq_2s.avi')

% Broj frejmova u sekvenci

n=get(seqc,'NumberOfFrames')

n1= 1; % prvi frejm

n2= 300; % poslednji frejm

dn= 5; % korak

for i= n1:dn:n2 %----- ( c1 )

inp_im=read(seqc,i);

inp_im=im2double(inp_im(:,:,1));

D=inp_im(169:296,287:414);

figure(1), subplot(221);

imshow(D);

title([num2str(i),' of ', num2str(n)]);

drawnow

for j=1:128; %----- (c 2 )

for k = 1:128;

if D(j,k) <=0.7;

D(j,k)= 0;

end;

end;

end

figure(1);

subplot(222), imshow(D);

50

im_sum(i,:)= sum(D); % ------ (c 3 )

fftim_sum(i,:)= fft(im_sum(i,:)); % (c 4 )

nrmi= abs(fftim_sum(i,1:64)); % (c 5 )

xdet(i,1:64)=(nrmi)./max(nrmi);

figure(1), subplot(223);

plot(1:64,xdet(i,1:64),'.');

figure(1), subplot(224);

plot(im_sum(i,:),'.')

end

Y=1:64; % (c 6)

for i= n1:dn:n2

% Detektor sirine na nivou 50%

% snage osnovnog spektra

grd= .5*xdet(i,1);

X=xdet(i,:);

mj2(i)= (1/64)* interp1(X,Y,grd);

end

figure(2);

plot((n1:dn:n2),mj2(n1:dn:n2),'.')