គណិតវិទ្យាចែករំលែក ... · 2012. 8. 2. · - 8 - 7 3 2 2 x xy y x y 8 8 8 3 3 3 z x x y z z x y y z1, z2 z1 1 i, z2 2 4i z3 z1, z2, z3 9 1 1 9999

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11212...............7531

........................................................................

..................................................................

81715131197531

7131197531

61197531

597531

47531

3531

231

11

nnn

- 2 -

សមគម មគគភពប ង

ASSOCIATION FRANCAISE DE SOLIDARITE

( A F S )

- 3 -

េរៀបេរៀងេ យ ឃន នន

រតតពនតយេ យ

េ ក យង ធរ (អនបណឌ ត គណតវទយ ) េ ក លម ផលគន ( បរញញ បរត គណតវទយ )

ខញសមអរគណដល + អនកមនគណទងពរ ែដលបន ផតលក ងចតត នង ឧបតថមភដល ករសក +សមគមន មគគភពប ង (AFS) ែដលបនផតលលទធភពឲយខញបន បនតករសក ថន កវទយលយ +េ ករគ លម ផលគន នង េ ករគ ឡវ ហង នង េ ករគ ឃន នល ែដលបន បងហ តបេរង នខញបទឲយមនសមតថភព ចេរៀបេរៀងេសៀវេភ េនះបន +េ ក េចង េអឿន (របធនរគបរគងមណឌ ល AFS )នង េ ក ទម កន ( អនរបធនរគបរគងមណឌ ល AFS ) ែដលេលកទកចតតនងើ គរទករសក របសខញ +មតត ង ចរ ែដលជយរតតពនតយអកខ វរទធ

- 4 -

រមមណកថ សសតមតតអនករស ញវសយគណតវទយ !

េសៀវេភ“៨២ល តនងដេ ះរ យ ”េនះ ន ៃដរ ដបងរបសខ ញស បបេរដលម ជនកនងវសយគណត វទយ។ ខ ញបទមនចតតរក យជខល ងែដលបនេរៀបេរៀង េសៀវេភេនះេឡង។េទះជយង ក ើ េ យខ ញគតថ កហសេលែផនកអកខ វរទ ធឬ ែផនកបណករ យ ចេកតើ ើ មនេ យអេចតន។ កនងនមខ ញជអនកជអនកេរៀបេរៀង មនចតតរក យេ មន ស ចេពះករះគនែបប ថ បនព ស កមតតអនក នេដមបែកលអ ើ េសៀវេភេនះេ យ កនែតរបេសរេឡងជងមន។ើ ើ ជចងេរកយេនះខ ញសមជនព រដលមតត អនក នេ យមន សខភពលអរបជញឆល តវយនង សេរច លបណង របកប េ យគតបណឌ តរគប របករ។

បតដបងៃថងទ ២៧ ែខកកក ឆន ២០១១ ឃន នន

Email : [email protected]

- 5 -

cabcab

cbaa

bac

bacc

acb

acbb

cba

444

ACDABDABC ,,

1, EE

ល ត 1. េគេ យ a,b,c ជរងវ សរជងៃនរតេកណមយ។បងហ ញថ (Greece National Olympaid 2007 )

2.េគេ យរតេកណ ABCែកងរតងC។បងហ ញថអងកតផចតរងវងចរកកនង

រតេកណេនះេសម ើa+b-cែដលAC=b,BC=a,AB=c។ (Indonesia National Science Olympaid 2004) 3. រងវងពររបសពវគន រតងA,B បនទ តគស មAកតរងវងទងពរ រតង P,Q ។ រ យថBP/BQមន រសយ នង ករែរបរបលៃនបនទ ត(PQ)។(កមពជ 2007) 4. េ យបនចនច A,B,C,D រតរតងគន មល បេនះ។េគគសរងវង កត ម ចនច A,B។ គសរងវងកត មចនច B,C បះរងវង ។ (Cambodia IMO team Select Test 2011)

5. AD ជកពសគសពកពល A ៃនរតេកណែកង ABC។រ យបញជ កថ AD េសមើផលបកៃនករងវងចរកកនងរតេកណ ។ ( Olympic Turkey 1997) 6. AD ជកពសគសពកពល A ៃនរតេកណ ែកងABC ។បនទ តគស កត មផចតរងវងចរកកនងរតេកណ ABD,ACDរបសពវអងកតAB,ACរតង K,L េរៀងគន ។ ង ជរក ៃផទៃនរតេកណ ABC,AKLេរៀងគន ។

- 6 -

21

E

E

BC

MN rR,

3

13333

yxw

z

zxw

y

zyw

x

zyx

w

AB

AMt

EF

EG

4321 ,,, xxxx

3 23 23 2 222 abccabbca

PMAMBM .2

រ យបញជ កថ (IMO Shortlist 1988 ) 7. េ យរតេកណ ABC មយ។ េគេ ចនចN,Mេលរជងើ AB,AC ែដល NB=BC=CM។គណនផលេធៀប ជអនគមនៃន ែដលR,r ជករងវងចរកេរកនងចរកកនងរតេកណ ABC ។(APMO 2005)

8. ងw,x,y,zជចននមនអវជជមនែដល wx+xy+yz+zw=1។រ យថ (IMO Shortlist 1990 )

9. អងកតធនAB,CD របសពវគន រតងE។Mជចនចេលអងកតើ BE ។បនទ តបះ រតងEេលរងវងកត មចនចើ D,E,Mរបសពវបនទ តBC.ACេរៀងគន រតងF,Gេរៀងគន ។េប ើ គណន ជអនគមនៃនt។( IMO 1990 ) 10.កណត4ចននពត ែដលផលបកចននមយនង ផលគណប ចននេផ ងេទៀតេសមើ2។ (IMO 1965) 11. េគេ យបចននពតវជជមន a,b,c ែដលផលបកេសមើ6។រកតៃមលធ បផតៃន ។ (Greece Nation Mathematic Olympaid 2011)

12. យកMជចនចក ត លBCៃនរតេកណ ABC។Hជអរតសងៃនរតេកណ ABC។បនទ តគសកត មHែកងនងAMរតងP។ រ យបញជ កថ (Japan Mathematical Olympaid finals 2011)

A

- 7 -

3

2

32323232

cba

d

bad

c

adc

b

dcb

a

22

1433

33

yxyx

yxyx

54 36 nn 2009........,3,2,1n

200942 yx

cba 30

55530 cba

13. េ យa,b,c,dជចននពតវជជមន។រ យបញជ កថ (IMO Shortlist 1993)

14. ងO ជចនចរបសពវរ ងអងកតរទងAC,BDៃនចតេកណេបងABCD។

រងវងចរកេរករតេកណ OAD, OBC របសពវគន រតង M ។បនទ តកត ម ចនច O,M កតរងវងចរកេរករតេកណ AOB, COD េរៀងគន រតង S,T ។ រ យបញជ កថ M ជចនចក ត លអងកត ST ។ ( China Girls’ Mathematical Olympaid 2006 )

15. កណតគចននពត (x,y)ែដលេផទ ងផទ ត (Indonesia National Science Olympaid 2006)

16. រកចននគត ែដលេផទ ងផទ ត ែចក ចនង7។ (Indonesia National Science Olympaid 2009) 17. កណតរគបគចននគត(x,y)ែដល

(Spain Mathematical Olympaid 2009)

18. េគេ យa,b,cជចននគតវជជមន។េបើ រ យបញជ កថ

(Indonesia National Science Olympaid 2006)

- 8 -

7

322

yxyx

yx

8

8

8

3

3

3

xxz

zzy

yyx

iziz 42,1 21 21 , zz

3z 321 ,, zzz

911

19999

144

n nnnn

16111

222

ac

cb

ba

19. កណតគចននគតវជជមន(x,y)ែដលេផទ ផទ ត ។ ( Taiwan National Olympaid 2005 )

20. កណតចននពត(x,y,z)ែដលេផទ ងផទ តរបពនធសមករ


21.េគេ យចននកផលច ែដល

រកចននកផលច ែដល ភចៃន ជកពលទ 3ៃនរត េកណសមង ។(Kosovo National Mathematical Olympaid 2011)

22. បងហ ញថ

(Proposted by Dr Dorin Andrica)

23. ងa,b,cជចននពតវជជមនែដល ab+bc+ca=1។ រ យបញជ កថ

(Proposted By Mircea Becheanu,Bucharest,Romanai)

24.េមដយនAMនងកនលះបនទ តពះម BNរបសពវគន រតងP។បនទ តCPរបសពវ បនទ តABរតងQ។រ យបញជ កថរតេកណ BNQជរតេកណសមបត។

(Proposted by Dr Dorin Andrica)

- 9 -

92 222 zyxyx

4

3

111111

ac

c

cb

b

ba

a

3

4222 abccba

1

1

1

1

1

1

1222

xz

yxyz

zy

xzxy

yx

zyzx

8

15

233

3

233

3

233

3

bac

bac

acb

acb

bba

cba

111 ,, CBA 11CA

11BA

25. កណតចននគតវជជមន(x,y,z)ែដល

(Malaysia National Olympaid 2010)

26. ង a,b,c ជចននពតវជជមនែដល abc=1។រ យថ

(France Team Selection Test 2006)

27. ងa,b,cជរជងៃនរតេកណមយែដល a+b+c=3។ កណតតៃលតចបផតៃន (China Norther olympaid 2007)

28. េគេ យ x,y,z ជចននពតវជជ មន។ បងហ ញថ (Japan Mathematical Olympaid finals 2010)

29. ង a,b,c ជចននពតវជជមន។ រ យបញជ កថ

(Spain Mathematical Olympaid 2010)

30. េគេ យABC ជរតេកណមន ជរងវងចរកេរក។ M ជចនចេនកនង រតេកណ ABC នងេលបនទ តពះម ើ A ផងែដរ។ បនទ តAM,BM,CM ជបរងវង រតង េរៀងគន ។ ឧបមថP ជចនចរបសពវៃន នង AB។ Qជចនចរបសពវៃន នង AC។ រ យថបនទ តPQ រសបបនទ តBC។

(India National Olympaid 2010 )

- 10 -

bcaddbcbdaca 2244244444

2

3

bca

ca

abc

bc

cab

ab

222 QCPBPQ

2231

S

S

1111 zyxxyz

1..0 zyx

31. ចេពះរគបចននពតវជជមន a,b,c,d ចរបងហ ញថ

(Turkey National Olympiad 2005)

32. េ យa,b,c ជចននពតវជជមន នង a+b+c=1 ។ បងហ ញថ

(Kyrgyzstan National Olympaid 2010)

33. បចនចខសគន A, B, C សថតកនងរងវង (O) មយ។ បនទ តបះ (O) រតង A នង B របសពវគន រតង P។បនទ តបះ (o) រតងCកតបនទ ត AB រតងQ។ បងហ ញថ

(Mathematical Olympaid In Poland 2002)

34.េគេ យរតេកណែកងពរ ែដលរងវងចរកកនងរតេកណមយេសមរងវងចរកេរក ើ រតេកណមយេទៀត។ ង S,S1 ជរក ៃផទរតេកណ ទងពរខងេលេរៀងគន ើ ។ បងហ ញថ (France Team Selection Test 2005 )

35. េគេ យx,y,z ជចននពតែដល ។ បងហ ញថ (Slovania National Olympaid 2010 )

- 11 -

4

3 cabcab

1222 2

2

2

2

2

2

abc

c

cab

b

bca

aabc

ab

cab

ca

bca

bc

222 222

3333

2

3

2

3

2 18111

cbab

ca

a

bc

c

ab

36.ឧបមថ a,b,c ជចននពតវជជមនែដល (a+b)(b+c)(c+a)=1 រ យបញជ កថ

(Croatia Team Selection Tests 2006 )

37. អងកតរទងៃនចតេកណពន យ ABCD ែចកចតេកណពន យជរតេកណ 4។ s1នង s2ជៃផទរក ៃនរតេកណែដលមនរជងមយជបទចតេកណពន យ។ រកៃផទរក Sៃនចតេកណពន យអនគមននង s1នង s2។

( របឡងេរជសេរសសស ពែកើ ើ ទទងរបេទសកមពជ ថន កទ៩ ឆន ២០១១ ) 38. េគេ យរតេកណសមបត ABC កពលA ៃផទរក S។MNជបតមធយម

រតវនងបត BC េហយើ O ជរបសពវៃន MN នងកពសគសេចញពកពល A ។ េគបនល យ[CO) កតAB រតងD នងបនល យ [BO) កតAC រតងE ។ ចររករក ៃផទៃនចតេកណ ADOE អនគមនេទនង S។

( របឡងេរជសេរសសស ពែកទទងរបេទសកមពជើ ើ ថន កទ៩ ឆន ២០១១ ) 39. ងa,b,cជចននពតវជជមន។បងហ ញថ

(Romania 1997)

40. ង a, b, c ជចននពតវជជម នែដល abc=1។រ យថ

(Hong Kong 2000)

- 12 -

2tan

2tan

CB

,0,0:f

yxffyxfy 1

0232 2222 babtababta

41-េគេ យរតេកណ ABC មយមនរជង AB, BC, CA បេងកតបនើ ជសវតនពវនតមយ ។ ក-បងហ ញថ SinA,SinB,SinC បេងកតបនជសវតនើ ពវនតមយ។ ខ- បងហ ញថផលគណ មនតៃលេថរ។

( របឡងេរជសេរសេបកខជនចលរមរបឡងើ ើ APMO របសកមពជឆន 2009 ) 42-រតេកណសមបត ABC មយមនម A=90 ។យក M ជចនចក ត ល ៃនAB។បនទ តមយគសេចញពAេហយើ ែកងនងCMកតរជងBCរតងP។ បងហ ញថ AMC=BMP ។ ( Baltic Way 2000 )

43 កណតរគបអនគមន ែដលេផទ ងផទ ត រគបចននពត មនអវជជមន x,y

(Slovenia National Olympaid 2010 )

44. ចេពះចននពត t នងចននពតវជជមន a,b េយងមនើ ចរកណត t ។ (Slovenia National Olympaid 2010 )

- 13 -

xx 2cossin3 93.27

SSS 21

DK

BD

EL

AE

200220073 xxxP

1

1

1

1

1

1

t

t

s

s

r

r

45. កណតចននពត x េនចេនល ះ [0,2) ែដល


46.រងវងចរកេរក ABC រតេកណបះរជង BC នង AC រតងD នង E េរៀងគន ។ បងហ ញថេបើ AD=BE េនះ ABC ជរតេកណសមបត។ (Austraian Mathematical Olympaid 2006)

47.ចតេកណេបង ABCD មយ យកEជរបសពវរ ងអងកតរទងេហើយ S1, S2

S ជរក ៃផទៃន ABE, CDE នង ABCD េរៀងគន ។ ចររ យថ (Austraian Mathematical Olympaid 1990) 48. ចនច D នង E សថតេនេលរជង ើ BCនង ACៃនរតេកណ ABCបនទ ត ADនង BEរបសពវគន រតងP។Kនង Lជចនចេនេលរជងើ BCនង ACេរៀងគន ែដលCLPKជរបេលឡរកម។ បងហ ញថ (Mathematical Olympaid In Poland 2000)

49. េគឲយr,s,tជឬសៃនពហធដេរកទប គណនតៃលៃន ( Irish Mathematical Olympaid 2007 )

- 14 -

27

333

33

cbacba

1111 333 bacacbcba

333333222222444 cabcabbccbbaaccbbacba

50. េគឲយ ABC ជរតេកណែដល BAC 90។ យក O ជផចតរងវង ចរកេរករតេកណ ABC នង ជ ផចតរងវងចរកេរករតេកណ OBC ។ ឧបមថ របសពវនងអងកត AB រតង P ខសព B នង របសពវនងអងកត AC រតង Q ខសព C ។ ង ON ជអងកតផចតៃនរងវង ។បងហ ញថចតេកណ APNQ ជរបេលឡរក ម។ ( APMO 2010 ) 51. ក- កណតរគបចននគតធមមជត n េ យដងថ 2n-1ែចក ចនង 7 ។ ខ-ចបងហ ញថគម នចននគតធមមជត n ែដល 2n+1 ែចក ចនង 7 ។

( IMO 1964 )

52.េគឲយ a, b, c ជចននពតវជជមនែដល (a+b)(b+c)(c+a)=8 បងហ ញថ

( Macedonia National Olympaid 2008 )

53.េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល a+b+c=1។បងហ ញថ

( Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2011 )

54. េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល។បងហ ញថ

( KMO Summer Program Test 2001 )

- 15 -

3222 yyxx

yzxzfzfxyfyfxffzfyfxff 22

accbba

cbaabcdef

4

55. កណតតៃលធបផតនងតចបផតៃន x+y ែដលx,y ជចនន ពតែដល x-2,y-3 នង

( Irish Mathematical Olympaid 2006 )

56. បងហ ញថរតេកណ ABC ជរតេកណែកងលះរ ែត Sin2A+ Sin2B+ Sin2C=2


57.កណតរគបអនគមនf ែដលកណតពសណចននពត ចលកនងសណចននពត ែដលេផយ ងផទ តរគប x, y, z មនសមភព

(APMO 2010 )

58.ឲយរតេកណ ABC មយ ងរងវ សរជង BC, AC, AB េរៀងគន េ យ a, b, c កនលះពះមកនងៃនម BAC, ABC, ACB ជបរជងBC, AC, AB េរៀងគន រតងD, E, F ង AD, BE, CF េ យd, e, f េរៀងគន ។ បងហ ញថ ែដលជរក ៃផទៃនរតេកណ ABC។


- 16 -

222222 cacacbcbbaba

zyxy

zyx

222

zyxy

zyx

222 2

0

ba

ad

ad

dc

dc

cb

cb

ba

1 bfaf bfa,

59-ចននគតវជជមនេ ថ ” good number ” េប េសមើ ើបនដងៃន ផលបកេលខល បកនងរបពនធេដសមលរបស ។ កណតផលបករគបចនន” good number ” ។

(China Northern mathematical Olympaid 2002 )

60.េគឲយ a,b,c ជចននពតវជជមន។បងហ ញថ

(Baltic Way 2000)

61.កណតរគបគចននគត (x,y) ែដល x2-2xy+126y2=2009 ។ ( China South East Mathematical Olympaid 2009 )

62. ង x, y, z ជចននពតវជជមន។កណតតៃលតចបផតៃន a) b)

(Croatia Team Selection Tests 2008 ) 63.េគឲយ a, b, c, d ជចននពតវជជមន។ បងហ ញថ

(Croatia Team Selection Tests 2009 ) 64-កណតអនគមនfទអសពសនចននគតវជជមនេទសនចននគតវជជមន ែដល េផទ ងផទ ត: ចេពះរគបចននគតវជជមនa នង b មនរតេកណមយែដលមនរជង របស មនរបែវង នង

( IMO 2009 )

- 17 -

cabcab

cbaa

bac

bacc

acb

acbb

cba

444

2

4

2 cbaacbbacbb

cba

acbcabbca

acbb

cba45522 222

4

bcabb

acbb

cba552

4

1

abaca

cbaa

bac

acbccbacc

acb

55

55

24

24

3

2

222444

cbacbaa

bac

bacc

acb

acbb

cba

4

1. េគេ យ a,b,c ជរងវ សរជងៃនរតេកណមយ។បងហ ញថ (Greece National Olympaid 2007 )

សរមយ មវសមភព AM-GM េយងពនតយេឃញថើ ើ

វសមភពសមល

េយងបនើ ដចគន ែដរ បកអងគនងអងគៃនវសមភព (1),(2)នង(3)េយងបនើ

- 18 -

2222222 cbacbacabcab

5222 cbacabcab

cabcab

cbaa

bac

bacc

acb

acbb

cba

444

2

24

442

22222

acbr

acbkacbcba

acbcbcbbckrSABC

មយងេទៀត មវសមភព C-S េយើងមន េយងបនើ ម(4)នង (5)

វសមភពខងេលរតវបនរ យបញជ ក។ើ

2.េគេ យរតេកណ ABCែកងរតងC។បងហ ញថអងកតផចតរងវងចរកកនង

រតេកណេនះេសម ើa+b-cែដលAC=b,BC=a,AB=c។ (Indonesia National Science Olympaid 2004) សរមយ ង k,r ជកនលះបរមរត ករងវងចរកកនងៃនរតេកណ ABC េរៀងគន ។ មរបមនតរក ៃផទេយងបនើ

- 19 -

BAOAQB

BAOAPB

2

1

2

12

1

APBSin

AQBSin

BQ

BP

AQBSin

PABABSinQB

PABSin

QB

AQBSin

AB

QABSin

QBAPBSin

PABABSinPB

APBSin

AB

PABSin

PB

180

3. រងវងពររបសពវគន រតងA,Bបនទ តគស ម Aកតរងវងទងពរ រតង P,Q ។ រ យថBP/BQមន រសយន ងករែរបរបលៃនបនទ ត(PQ)។(កមពជ 2007)

សរមយ េយងមនើ សទធែតេថរ (O1,O2ជផចតៃនរងវងទពរ )។ មរទសតបទសនសេយងមន ើ េថរ

4. េ យបនចនច A,B,C,D រតរតងគន មល បេនះ។េគគសរងវង() កត ម ចនច A,B។ គសរងវងកត មចនច B,C បះរងវង ។ (Cambodia IMO team Select Test 2011)

- 20 -

ACBD

BDBCKB

KB

KBBC

BD

AC

KD

KA

KB

KC

KAKBKDKCEK

.

..2

KE,

ACBD

BDBCr

.

សរមយ ង ជរងវងែដលរតវគស៕ យក ជចនចបះៃនរងវងទងពរនងជ

ចនចរបសពវរ ងបនទ តបះរតង E ជមយបនទ ត (AD) េរៀងគន ។ យក ជ ជផចតរងវង () ។េដមបគសរងវងេនះើ រគនែតរកទ ង ។ +េបើ AB ជអងកតផចតរងវង () េនះ រតវជចនចក ត ល CB ។ ែដលB,C រតតេលគនើ ។ -ករណABមនែមនជអងកតផចត មរទសតបទសវ យគណចនច K

េធៀបនងរងវង () នង () េយងបនើ េនះkជចនចរបសពវៃនអងកត [BC] ជមយរងវងផចត Bក បនទ បមក ម k គសបនទ តបះេលរងវង ើ ()េយងបនសងចនចើ E ។ ចនចរបសពវៃនេមដយទអងកត[CE] នង [ED] ជចនច គសរងវងផចត ក D ។ រងវង() រតវបនសង។

A

D

A

BC

D

E

K

- 21 -

21

E

E

1, EE

ACDABDABC ,,

2,

2,

2 21

ACCDADr

ABDBADr

ACABACr

AD

ACCDADABDBADACABACrrr

22221

5. AD ជកពសគសពកពល A ៃនរតេកណែកង ABC។រ យបញជ កថ AD េសមើផលបកៃនករងវងចរកកនងរតេកណ ។ ( Olympic Turkey 1997) សរមយ ង r, r1នង r2ជករងវចរកកនងរតេកណ ABC, ABD នង ACDេរៀងគន មល តទ2េយើងបន

បកអងគនងអងគៃនសមភពខងេលេយងបន ើ ើ េរពះ CD+DB=BC ដចេនះ AD េសមើផលបកៃនករងវងចរកកនង រតេកណ ABC, ABD,ACD។

6. AD ជកពសគសពកពល A ៃនរតេកណ ែកងABC ។បនទ តគស កត មផចតរងវងចរ កកនងរតេកណ ABD,ACDរបសពវអងកតAB,ACរតង K,L េរៀងគន ។ ង ជរក ៃផទៃនរតេកណ ABC,AKLេរៀងគន ។ រ យបញជ កថ (IMO Shortlist 1988 )

- 22 -

NDMDNOMO

MDNNDOMDO

11

11 90MDNO1

451DAO

BACDOODAO 9045 212

KDLO1

2

2

2

2

2

2

.2

.2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

BC

DCDB

AB

DO

DBBC

DBDCDB

AB

DBAD

AB

DO

ABDBADDO

1

2

3 2

2

2

22

BC

DCDB

AC

DO

4AC

DO

AB

DO 21

សរមយ យក r1,r2 ជករងវងចរកកនងរតេកណ ADC.ADC េរៀងគន ។យក O1,O2

ជផចតរងវងចរកេរករតេកណ ADB , ADC េរៀងគន ។ យកM, N ( MAD ) ជចនចបះៃនរងវងចរកកនងរតេកណ ADB េយងបនើ ចតេកណ ជកេរ

ដចគន ែដរ មយងេទៀតDO1ជអងកតរទងកេរ មនរជងO1Kជករងវងចរកេរក រតេកណ ADB េយង មស យល តទ 2 េយងទញបនើ រ យ មលនដចគន ែដរ ម(2)នង(3)េយងបនើ

- 23 -

21ODOABC

ALAK

TDCMLKATMDMCAMT

CLMODOO

45221

AKALADALODAO

ALKADM

22

2.

.2

..

.

.

1

222

1

11

ACAB

ACAB

E

E

ACAB

ACAB

BCAD

BC

E

E

AD

BC

E

E

ADADE

BCADE

ម(1)នង(4)េយងបនើ យកTជចនចរបសពវៃនបនទ តរសបBCកត មA។MជរបសពវACនង DO2។េយងបនើ មយងេទៀត េយងបនើ

O2

O1

A T

D B C

K

L M

N

- 24 -

BC

MN

prRabcprcpbpap

cpbpappR

abcprS ABC

4,))()((

))()((4

2

ACosbccbaaaaccaabb

ACosacabacabMN

22222

222

222

2

222

22222

222

Cosaa

ACoscbacbaAbcCoscbMN

cpbpcbacbacba

A

bc

acbA

bc

acbA

222

cos1

21cos1

2cos

22

222222

1

7. េ យរតេកណ ABC មយ។េគេ ចនចN,Mេលរជងើ AB,AC ែដល NB=BC=CM។គណនផលេធៀប ជអនគមនៃន R,r ែដលR,r ជករងវងចរកេរកនងចរកកនងរតេកណ ABC ។(APMO 2005)

សរមយ េដមបេ យើ មនចនចN, Mេលរជងើ AB, AC ែដល NB=BC=CM លះរ ែត AB>BC & AC>BC េយងបនើ AM= AC-BC , AN= AB-BC ងpជកនលះបរមរត នង a=BC, b=AC,

c=AB េយងមនើ មរទសតបទ កសនស កនងរតេកណ ABC េយងមនើ

មយងេទៀត មរទសតបទ កសនស កនងរតេកណ ANM េយងមនើ

- 25 -

R

r

BC

MN

R

r

BC

MN

R

raa

Rrp

praaMN

21

21

22

42

2

2

222

222

acbACosaa

ACosaACoscbaaMN

12

12122

222

abc

cpbpapaaMN

222 2

cpbpA 2cos1

2

R

r

BC

MN

21

ែត េយងើ បន ម(1)នង(2) េយងបនើ

ដចេនះ

- 26 -

3

13333

yxw

z

zxw

y

zyw

x

zyx

w

22222

2

2

44

21

zyxwzyxw

wzyxywxzzwyzxywx

cyc

cyc

xzwyzwyzxywx

w

wzwywx

w

2

2

2

4

cyc zyx

w3

cyccyc

wxw

ywxzzwwzzyyx

23

02

222222

3

1

3

2

3

cyc

cyc

w

zyx

w

8. ងw,x,y,zជចននមនអវជជមនែដល wx+xy+yz+zw=1។រ យថ

(IMO Shortlist 1990 )

សរមយ េយងមនើ េយងមនើ ែត េយងបនើ ដចេនះវសមភពខងេលពតើ

- 27 -

AB

AMt

EF

EG

MB

ECMDEG

EG

DM

EC

MB

ECGMBD

ACEACDABD

DMBDME

GEDFEDCEG

.

180

180

AM

MDCEEF

MD

AM

EF

CE

AMDCEF

EMDGEDCEF

FCEDCBMADBAD

.

1

2

AMAB

AM

BM

AM

AM

MDECMB

ECMD

EF

EG

.

..

t

t

tAM

AB

AM

AMAB

111

1

1

11

t

t

EF

EG

1

9. អងកតធនAB,CD របសពវគន រតងE។Mជចនចេលអងកតើ BE ។បនទ តបះ រតងEេលរងវងកត មចនចើ D,E,Mរបសពវបនទ តBC.ACេរៀងគន រតងF,Gេរៀងគន ។េប ើ គណន ជអនគមនៃនt។( IMO 1990 )

សរមយ េយងមនើ មយងេទៀត េធវផលេធៀបើ (1)នង (2)េយងបនើ ដចេនះ

E

G

F

D

C

B

A

- 28 -

4321 ,,, xxxx

)4(2

)3(2

)2(2

)1(2

3214

2143

1432

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

101

001

43

21

43

214321 xx

xx

xx

xxxxxx

101

001

12

34

12

431243 xx

xx

xx

xxxxxx

101

001

14

32

14

321432 xx

xx

xx

xxxxxx

0724102

1

02121

121

1

1211

311

432132

xx

x

xxxxx

xxxxxx

14321 xxxx

10.កណត4ចននពត ែដលផលបកចននមយនងផលគណប ចននេផ ងេទៀតេសមើ2។ (IMO 1965)

សរមយ មសមមតកមមេយងបនើ

ដកអងគនងអងគ(1)នង (2)េយងបនើ េប ើ x1=x2 ដកអងគនងអងគ (3)នង (4)េយងបនើ -ករណ x3=x4 ដកអងគនងអងគ (2)នង (3)េយងបនើ +ចេពះ េនះសមករមនចេលយើ

- 29 -

141 xx

234141

41

4132

11

2

2

xxxxxx

xx

xxxx

14321 xxxx

121 xx

214343

43 11

2xxxx

xx

xx

14321 xxxx

1,3

3,1

2

3

43

43

43

43

xx

xx

xx

xx

121 xx

1.3,1,1,3,1,1,1,,, 4321 xxxx

143 xx 221 xx

+ចេពះ ម(2) េនះសមករមនចេលយើ -ករណ ម(2)នង (4)េយងបនើ

េនះសមករមនចេលយើ +ចេពះ ម(2)នង (3) េនះសមករមនចេលយើ េប េនះើ ម(3)នង (4)សមករ ចសរេសរ

- 30 -

202

0

022

2

43

43

43

43

4343

42124

32123

xx

xx

xx

xx

xxxxxxxx

xxxx

14343 xxxx

143 xx

11

221

21

21

xxxx

xx

14321 xxxx

143 xx

1,3

3,1

3

2

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

1.1,1,3,1,1,3,1,,, 4321 xxxx

243 xx

11 2143 xxxx

14321 xxxx

1,1,1,3,1,1,3,1

,1.3,1,1,3,1,1,1,1,1,1,1,,, 4321 xxxx

-ករណ +េបើ ម(1)នង (4) េនះសមករមនចេលយើ +េបើ ម(1)នង (4)េយងបនើ េនះសមករមនចេលយើ ករណ េនះ េនះសមករមនចេលយើ សរបមកសមក រមនចេលយើ

- 31 -

3 23 23 2 222 abccabbca

3333

333

22

3332

333

2222

2222

9

3

...

3

zyxzyx

zyxzyxzyx

zyxzyxzzyyxx

zyx

zyxzyx

3 3339 zyxzyx 3 23 23 2 2,2,2 abczcabybcax

33 23 2

3 23 23 2

123699

222

cba

abccabbca

3 23 23 2 222 abccabbca 3 123

11. េគេ យបចននពតវជជមន a,b,c ែដលផលបកេសមើ6។រកតៃមលធ បផតៃន ។ (Greece Nation Mathematic Olympaid 2011)

សរមយ មវសមភព Cauchy-Schwart េយងមនើ

េនះេយងបនើ យក េយងបនើ ដចេនះតៃលធបផតៃន គ

- 32 -

PMAMBM .2

PMAMBMBMBC

PMAM .2

2

AHADAMPMAM

PMAMAM

AHADAMAPAM

AH

AD

AP

ADMAPHADMAPH

DAMHAP

..

..

90

2

AEACADAH

AD

AE

AC

AHACDAHE

ADCHEA

DACHAE

..

90

2...

222 CBACABAABCosACAEACADAH

1

2

AABCosAE

12. យកMជចនចក ត លBCៃនរតេកណ ABC។Hជអរតសងៃនរតេកណ ABC។បនទ តគសកត មHែកងនងAMរតងP។ រ យបញជ កថ (Japan Mathematical Olympaid finals 2011) សរមយ -េបើ ABC ជរតេកណ ែកងរតង A េនះ A, H នង P រតវសគន េយងបនើ -េបើ ABC មនម A ជមរសចយក AD, BE ជកពសៃនរតេកណ េនះកនង រតេកណ AHP នងរតេកណ AMD មន វបក មយងេទៀតកនងរតេកណ AHE នង រតេកណ ACDមន ែត មរទសតបទកសនស េរពះ

A

B

C

E

D M

H P

- 33 -

42

2222 BCACAB

AM

3

22

222222

4

242.

BMBC

BCACABBCACABPMAM

ADAHAMPMAM

ADAHPMAMAM

ADAHAPAMAM

AH

AD

AP

ADMAPHAPHADM

DAMHAP

..

.

..

2

AACCosABAEABADAHAD

AE

AB

AH

ADBAEHADBAEH

BADHAE

180...

2..

222 BCACABAACCosABADAH

AABCosAE

4

5

មយងេទៀត មរទសតបទេមដយនេយងមន ើ

ម(1),(2)នង (3)េយងទញបនើ -េបើ ABC មនម A ជមទល យក AD,BE ជកពសៃនរតេកណ ។ កនរតេកណ APH នងរតេកណ ADM េយងមនើ មយងេទៀតកនងរតេកណ AEH នងរតេកណ ADB េនះ េរពះ

- 34 -

22

222222

4

242.

BMBC

BCACABBCACABPMAM

642

2222 BCACAB

AM

PMAMBM .2

3

2

32323232

cba

d

bad

c

adc

b

dcb

a

cyccyc cdbdbcadacab

dcba

adacab

a

dcb

a

43232

22

0222222 dcdbcbdacaba

dcba

abdcba,,,

2222 23

2

22

2

34

3

82

dcbaab

ababadcba

cyc

cyccyccyc

3

2

2

332 2

2

dcba

dcba

dcb

a

cyc

មយងេទៀត មរទសតបទេមដយនេយងមន ើ

ម(4)(5)នង (6)េយងបនើ ដចេនះ

13. េ យ a, b, c, d ជចននពតវជជមន។រ យបញជ កថ (IMO Shortlist 1993)

សរមយ េយងមនើ ពនតយ េយងមនសមភពើ េនះ

- 35 -

180 DAODMODMODMT

DACDMT

DAODMT

DCODTODTM 2

1

3AD

DMACMT

AC

DA

MT

DM .

ADBAMS

SMAOMAADOADB 4

ABDABOASOASM 5

AD

DBAMMS

DB

AD

MS

AM . 6

14. ងOជចនចរបសពវរ ងអងកតរទងAC,BDៃនចតេកណេបង ABCD។ រងវងចរកេរករតេកណ OAD, OBC របសពវគន រតង M ។បនទ តកត ម ចនច O,M កតរងវងចរកេរករតេកណ AOB, COD េរៀងគន រតង S,T ។ រ យបញជ កថ M ជចនចក ត លអងកត ST ។ ( China Girls’ Mathematical Olympaid 2006 )

សរមយ (ផលបកមកនងចតេកណ ADMO ចរកកនងរងវង ) េយងបនើ មយងេទៀត ( ម ក តធន DO រម ) ម(1)នង(2)េយងបនើ

វបក មយងេទៀត (ម ក តធន រ មAO) ែត ម(4)នង (5)េយងបនើ

វបក

AB

C D

O

M

S

T

- 36 -

8

10

7BDAM

DMAC

MS

MT

.

.

BD

AC

DM

AM

BOMODMOAMCAM

ACMOCMODMDBM 9

DMBAMC

MTMSACBD

BDAC

MT

MS 1

.

.

េធវផលេធៀបើ (3)នង (6)េយងបនើ មយងេទៀត ( ម ក តធន រម MO ) ែតរ ( ម ក តធន រម MO ) ម(8)នង (9)េយងបនើ

វបក ម (9) នង (10) េយងបនើ

សមភពេនះបញជ កថ M ជចនចក ត លអងកត ST។

- 37 -

22

1433

33

yxyx

yxyx

2

00242 23

x

xxxxx

2,2,2,2,0,0, yx

2

00482 23

x

xxxxx

2,2,2,2,0,0, yx

yxyx &

5523

1

3

2

4

4

2

2

22

22

22

22

22

yxyx

xy

yx

yxyx

yxyx

yxyxyxyx

yxyxyxyx

15. កណតគចននពត (x,y)ែដលេផទ ងផទ ត


ស យ -េបើ x=y ម(1)សមក រេផទ ងផទ ត ម(2)េយងបនើ េនះសមករមនរស -េបើx=-y ម(2) សមក រេផទ ងផទ ត ម(1)េយងបនើ សមក រមនរស -េប ើ របពនធសមករ ចសរេសរ

- 38 -

5 yx

5

1

yx

xy

2

15,

2

15

445

015

21

2

XX

XX

2

15,

2

15,

2

15,

2

15, yx

5 yx

5

1

yx

xy

2

15,

2

15

145

015

21

2

XX

XX

+ករណ េយងបន ើ មរទសតបទែវយត x, y ជរសសមក រ

សមក រមនរស េបើ េយងបនើ មរទសតបទែវយត x, y ជរសសមក រ

- 39 -

2

15,

2

15,

2

15,

2

15, yx

2

15,

2

15,

2

15,

2

15

2

15,

2

15,

2

15,

2

15

2,2,2,2,2,2,2,2,0,0

, yx

54 36 nn 2009........,3,2,1n

7mod554

7mod0

7mod04

7mod0

36

3

6

nn

n

n

n

សមក រមនរស សរបមកសមក រមនចេលយើ

16. រកចននគត ែដលេផទ ងផទ ត ែចក ចនង7។ (Indonesia National Science Olympaid 2009)

សរមយ -ករណ n ែចក ចនង7េយងបនើ ដចេនះ n ែចក ចនង7មនយក

- 40 -

7mod31054

7mod1

7mod44

7mod1

36

3

6

nn

n

n

n

7mod31054

7mod12

7mod42.44

7mod2

36

33

66

nn

n

n

n

7mod2954

7mod13

7mod43.44

7mod3

36

33

66

nn

n

n

n

-ករណn ែចក នង7េ យសណល1 េយងបនើ ដចេនះ n ែចក នង7េ យសណល1 មនយក - ករណn ែចក នង7េ យសណល2 េយងបនើ ដចេនះ n ែចក នង7េ យសណល មនយក - ករណn ែចក នង7េ យសណល3 េយងបនើ ដចេនះ n ែចក នង7េ យសណល3 មនយក

- 41 -

7mod2954

7mod13

7mod43.44

7mod34

36

33

66

nn

n

n

n

7mod2954

7mod12

7mod42.44

7mod25

36

33

66

nn

n

n

n

7mod2954

7mod11

7mod41.44

7mod16

36

33

66

nn

n

n

n

54 36 nn 2009....3,2,1n

- ករណn ែចក នង7េ យសណល4 េយងបនើ ដចេនះ n ែចក នង7េ យសណល4 មនយក - ករណn ែចក នង7េ យសណល5 េយងបនើ ដចេនះ n ែចក នង7េ យសណល5 មនយក - ករណn ែចក នង7េ យសណល6 េយងបនើ ដចេនះ n ែចក នង7េ យសណល6 មនយក ដចេនះគម ន ែដលេផទ ងផទ ត ែចក ចនង7។

- 42 -

200942 yx

41492877

20091414928772009122

yxyx

Iyx

yx

2009

12

2

IIIyx

yx

49

412

2

IIyx

yx

287

72

2

22 yxyx

IVyx

yx

1

20092

2

Vyx

yx

7

2872

2

VIyx

yx

41

492

2

2,45,2,45,2,45,2,45, yx

17. កណតរគបគចននគត(x,y)ែដល (Indonesia National Science Olympaid 2009) សរមយ សមករ ចសេសរ េ យ េយងបនើ បនទ បពេ ះរ យរបពនធសមក រខងេលេយងបនគើ ើ ចេលយជើ ចននគតគ

- 43 -

cba 30

55530 cba

5mod0

5mod1

5mod1

5

5

xx

x

x

xx 55

5mod0

5mod22

5mod2

5

55

xx

x

x

18. េគេ យa,b,cជចននគតវជជមន។េបើ រ យបញជ កថ (Indonesia National Science Olympaid 2006)

សរមយ ដបងេយងនងរ យថ ើ

-េបើxែចក ចនង 5សេណរើ ខងេលពតើ - េបើxែចកនង5េ យសណល1េយងបនើ

សេណរើ ខងេលពតើ - េបើxែចកនង5េ យសណល2េយងបនើ

សេណរើ ខងេលពតើ

- 44 -

5mod0

5mod33

5mod3

5

55

xx

x

x

5mod0

5mod34

5mod4

5

55

xx

x

x

xx 53

3mod0

3mod1

3mod1

5

5

xx

x

x

3mod0

3mod232

3mod2

5

5

xx

x

x

- េបើxែចកនង េ យសណល3េយងបនើ សេណរើ ពត

- េបើxែចកនង 5េ យសណល3េយងបនើ សេណរខងេលពតើ ើ បនតមកេទៀតេយងនើ ងរ យ

-េបើxែចក ចនង3សេណរើ េនះពត - េបើxែចកនង3េ យសណល1េយងបនើ

សេណរើ េនះពត - េបើxែចកនង3េ យសណល 2 េយងបនើ

- 45 -

xx 52

xx 530

cbacba

cc

bb

aa

555

5

5

5

30

30

30

30

55530 cba

7

322

yxyx

yx

e

r

c

b

e

d

c

ba

e

d

m

nam

m

na

c

ba

មយងេទៀតx5នង xមនភពគេសសដចគន េនះ េ យGCD(2,3,5)=1េនះ រគបចននគតវជជមនx។ េយងបនើ េ យa+b+cែចក ចនង30េនះេយងបនើ

19. កណតគចននគតវជជមន(x,y)ែដលេផទ ផទ ត ។ ( Taiwan National Olympaid 2005 )

សរមយ Lemma េបើa,b,c,d,e,fជចននគតែដលេផទ ងផទ ត ែដល GCD(d,e)=1 េនះមនចននគត r ែដលេផទ ងផទ ត សរមយ Lemma ង d= GCD(b,c) េនះមនចននគត n, m ែដល b=nd, c=md នង

GCD(n,m)=1 េយងបនើ េ យ GCD(d,e)=1នងមយងេទៀត ម លករតអគល តេយងបនើ GCD(am-n,m)=GCD(m,n)=1េនះ m=e, am-n=d

- 46 -

rnm

r

c

b

yx

xyyx

yx

yxyx

33

722

9,

l

yx

xykyx

133

1273

l

lklk

13 vl

9

213

22 vv

xy

vyxvk

2992 uvuv

uuxy

uyx

727

92

uu

uuuuuu

uuuXX

1

27

28,0028272810881

07279

222

22

5,4,4,5, yx

ដចេនះ ដចេនះ Lemma េនះពត សមក រ ចសរេសរ េ យ 3 នង 7 ជចននបឋមរ ងគន េនះេយង ច ងើ ែដល k នង l ជចននគត សមករសមល េនះមនចននគត v ែដល េយងបនើ

េនះមនចននគត u ែដល េរពះ 3v-1 ែចកមន ចន ង 9។េនះេយងបនើ

មរទសតបទែវយត x, y ជរសសមករ

ដចេនះ

- 47 -

8

8

8

3

3

3

xxz

zzy

yyx

xxz

zzy

yyx

38

28

18

3

3

3

1

1

1

22

22

22

yyzyzyyx

yxyxyxxz

xxzzxzzy

01111 222222 xzxzzyzyyxyxxzzyyx

yxyxyx

yy

yxyx

.11

0322

2

22

01111 222222 xzxzzyzyyxyx

20. កណតចននពត(x,y,z)ែដលេផទ ងផទ តរបពនធសមករ


សរមយ េយងមនើ ដកអងគនងអងគ (1)នង (2), (2)នង (3), (3)នង (1)េយងបនើ គណអងគនងអងគេយងបន ើ ែត

េនះ

- 48 -

1,1,3,3 yxACAB

23AB

960.. ABCosABACAB

1313. yxACAB

13yx

23 ACAB

275

9cos.4112.22 yxyx

CCBCAyyxxCBCA

4,2 yxBC

-េបើ x-y=0 េនះសមករមនឬស x=y=z=2 -េបើ y-z=0 េនះសមករមនឬស x=y=z=2 -េបើ z-x=0 េនះសមករមនឬស x=y=z=2

សរបមកសមករមនចេលយើ (x=2, y=2, z=2) 21.េគេ យចននកផលច z1នង z2 ែដល z1=-1+i នង z2=2+4i

រកចននកផលច z3 ែដល ភចៃន z1 ,z2 ,z3 ជកពលទ3ៃនរតសមង មយ។

សរមយ ង A, B, C ជ ភចៃន z1 ,z2 ,z3 េរៀងគន ។េយងបនើ

A(-1,1),B(2,4), ងC(x,y)។េយងបនើ នង េនះ

ែត មនយមនយ េរពះ មទនកទនងខងេលេយងបនើ ើ

មយងេទៀត េនះេយងបនើ

- 49 -

2

335,

2

331,

2

335,

2

331, yx

911

19999

144

n nnnn

44

44441

1

1

11

1nn

nn

nn

nnnn

911000011

1 449999

144

n nnnn

16111

222

ac

cb

ba

េយងបនរបពើ នធសមករ (1)នង (2)បនទ បពេ ះរ យរបព នធេនះេយងបនើ ចេលយើ

22. បងហ ញថ

(Proposted by Dr Dorin Andrica) សរមយ េយងមនើ េនះ

23. ងa,b,cជចននពតវជជមនែដល ab+bc+ca=1។ រ យបញជ កថ

(Proposted By Mircea Becheanu,Bucharest,Romanai)

- 50 -

163

7

6111

2111

111

2

3

222

222222

cabcab

abc

acb

cabcabcabcab

a

c

c

b

b

a

cba

cbaa

cc

bb

a

1.. NA

CN

MC

BM

QB

AQ

QBNNBCQNB

BCQNNC

AN

QB

AQ

NA

CN

QB

AQ

1.

MCMB

សរមយ មវសមភព AM-GM នងវសមភព Cauchy-Schwart េយងមនើ

24.េមដយនAMនងកនលះបនទ តពះម BNរបសពវគន រតងP។បនទ តCPរបសពវ បនទ តABរតងQ។រ យបញជ កថរតេកណ BNQជរតេកណសមបត។

(Proposted by Dr Dorin Andrica) សរមយ

មរទសតបទ េស េយងមន ើ ែត េយងមនើ េនះេយងបនើ

ដចេនះ BNQ ជរតេកណសមបត។

- 51 -

92 222 zyxyx

4,1,4,4,2,3,4,3,2,4,4,1,,

4,55

1

91

zyx

zyxzyx

zyx

zyxzyx

4

3

111111

ac

c

cb

b

ba

a

abccbaabccabcabcba 33633 3 2223

cabcabcba 3

cba

abccabcabcbaacabca

abccabcabcbacabcabcba

1113

131114

33334

cba 1114

25. កណតចននគតវជជមន(x,y,z)ែដល

(Malaysia National Olympaid 2010) សរមយ សមករស មមល

26. ង a,b,c ជចននពតវជជមនែដល abc=1។រ យថ

(France Team Selection Test 2006)

សរមយ មវសមភពAM-GM េយងមនើ

ែថមអងគទងពរៃនវសមភពនង េយងបនើ ែចកអងគទងពរនង េយងបនវសមភពែដលរតវរ យើ

- 52 -

3

4222 abccba

R

abccpbpappprs

4

rRprRabc

83

16

3

4

prRpcabcabppr

abcpcabcabpcbappr

cpbpappr

432

222

2

rRrpcabcab 422

22222 223

4rp

abccba

27. ងa,b,cជរជងៃនរតេកណមយែដល a+b+c=3។ កណតតៃលតចបផតៃន

(China Norther olympaid 2007) សរមយ ង sជរក ៃផទៃនរតេកណមន a, b, c ជរងវ សរជង។

p,rនង Rជកនលះបរមរតៃនរតេកណមន a, b, c ជរងវ សរជង។ មរមមនតេហរងនងរបមនតរក ៃផទេយងបន ើ

េយងទញបនើ (1) នង ( េរពះ a+b+c= 2p =3 នង ម (1) abc=4prR ) េយងទញបនើ (2) មសមភព (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca េយងទញបនើ

a2+b2+c2 = (a+b+c)2-(2ab+2bc+2ca)=2p2-2r2-8rR (3)

ម(1)នង(2)េយងបនើ (4)

- 53 -

3

13

2

3

27

52

27

52

27

22

3

42

3222222

ppp

abccba

3

4222 abccba

3

13

1

1

1

1

1

1

1222

xz

yxyz

zy

xzxy

yx

zyzx

zyx

z

yx

zyzx

21

1

មវសមភព Cauchy-Schwart េយងមនើ (ab+bc+ca)2(a2+b2+c2)(a2+b2+c2)

េយងទញបនើ ab+bc+ca a2+b2+c2 (5)

ម (2), (3) នង (5) េយងបនើ p2+r2+4rR2p2-2r2-8rR េយើងទញបន 3r2+12rR p2 (6)

មវសមភពអែលរេយងមន ើ 2rR គណអងគទងពរៃនវសមភពនង 12r េយងទញបន ើ 24r2 12rR (7)

ម(6)នង (7)េយងបនើ 27r2 p2 (8)

ម(4)នង (7)េយងបនើ ដចេនះតៃលតចបផតែដល ចៃន គ

28. េគេ យ x,y,z ជចននពតវជជមន។ បងហ ញថ (Japan Mathematical Olympaid finals 2010)

សរមយ េយងនងរ យេ យេឃញថើ ើ

- 54 -

01

2

222

1

1

2

2

22

2222

2

zyx

yxzyxzyx

zyzxxyzzyzxz

yzxzxyzxyzzyzxzyx

zyx

z

yx

zyzx

1

1

12

cyccyc zyx

z

yx

zyxz

8

15

233

3

233

3

233

3

bac

bac

acb

acb

bba

cba

cbaT

63

172

3

7

3

2

233

3

cTT

cT

T

cT

cT

cba

cba

cyccyc

8

156

9

97

233

3

cbaT

Tcba

cba

cyc

ឧបមថពតេយងបន ើ ពតេយងបន ើ វសមភពេនះរតបនរ យបញជ ក

29. ង a,b,c ជចននពតវជជមន។ រ យបញជ កថ (Spain Mathematical Olympaid 2010)

សរមយ ង វសមភព ចសរេសរ

មវសមភព C-S-I េយងបនើ

- 55 -

111 ,, CBA 11CA

11BA

BCAAA 12

AC

AMAAAP

AC

AA

AM

AP

ACMPAA

MACA

PAA

CACCAAPAA

.

2

11

1

1

1111

BACPAQBACPAQ

AC

AB

AQ

AP

AB

AMAAAQ

1

30. េគេ យABC ជរតេកណមន ជរងវងចរកេរក។ M ជចនចេនកនង រតេកណ ABC នងេលបនទ តពះម ើ A ផងែដរ។ បនទ តAM,BM,CM ជបរងវង រតង េរៀងគន ។ឧបមថ Pជចនចរបសពវៃន នង AB។ Qជចនចរបសពវៃន នង AC។ រ យថបនទ តPQ រសបបនទ តBC។ (India National Olympaid 2010 ) សរមយ យក េយងមនើ រ យ មលនេនះេយងបនើ េ យ P, Q េនេលើ AB, AC េនះបញជ កថបនទ ត PQ រសបបនទ តBC។

- 56 -

hyhnfhgnbthybn


2222

2222222222

222222222222

44244444

2 dcba

dcbadcba

dcbadcba

dbcbdaca

adda 222 22

4

1


bccb 222 22 3

2

bcaddcba 222 2222

31. ចេពះរគបចននពតវជជមន a,b,c,d ចរបងហ ញថ

(Turkey National Olympiad 2005)

សរមយ មវសមភព Minkosky

ែត មវសមភពវសមភព AM-GM េយើងមន បកអងគនងអងគវសមភព (2)នង (3)េយងបនើ ម(1)នង(4)េយងបនើ

- 57 -

2

3

bca

ca

abc

bc

cab

ab

cyccyc cbca

ab

cab

ab

cbca

bababababcab 11111

xyzxzyzyx ,,

xpczpbypa ,,

2,,.

cbapaczcbybax

zcabcayx 2

222

CSin

BSin

ASin

yz

zpyp

cab

ab

cyccyc

2

ASin

yz

zpyp

32. េ យa,b,c ជចននពតវជជមននង a+b+c=1 ។បងហ ញថ

(Kyrgyzstan National Olympaid 2010)

សរមយ ពនតយ េយងបនើ ង

េយងទញបនើ មយងេយងទើ ញបន (េរពះ ) េនះ x, y, z ជរងវ សរជងៃនរតេកណមយ យក A, B, C ជមឈមនងរជង x, y, z (A+B+C=180) េយងបនើ េរពះ

- 58 -

180,0"' oxSinxxfCosxxfSinxxf

2

3

32223

222

CBA

SinC

SinB

SinA

Sincab

ab

cyc

222 QCPBPQ

APQAQCosAPAQ

PABAQCosPAAQAQABAQ

PABAQCosPAAQAB

PABPACosAB

.2

180.2.

.2.

2

2

22

AQABAQAPPAQAQCosAPAQAPPQ ..2 22222 1

ងf(x)=Sinx េយងបនើ មវសមភព Jensen េយើងបន

33. បចនចខសគន A, B, C សថតកនងរងវង (O) មយ។ បនទ តបះ (O) រតង A នង B របសពវគន រតង P។បនទ តបះ (o) រតងCកតបនទ ត AB រតងQ។ បងហ ញថ (Mathematical Olympaid In Poland 2002)

ស យ េ យ P ជចនចរបសពវៃនបនទ តបះរតង A នង B េនះPA=PBេនះ AB=2PACosPAB

េយងមនើ

មយងេទៀត មរទសត បទកសនសកនងរតេកណ APQ េយងបនើ

- 59 -

ABAQAQABAQAQQBQACQ .. 22

222 CQAPPQ

2

2231

S

S

មរទសតបទសវយគណចនច រងវង(O)េធៀបនងបនទ ត CQ េយងមនើ ម(1)នង(2)េយងបនើ

34. េគេ យរតេកណែកងពរែដលរងវងចរកកនងរតេកណមយេសមរងវងចរកេរក ើ រតេកណមយេទៀត។ ង S,S1 ជរក ៃផទរតេកណ ទងពរខងេលេរៀ ើ ងគន ។ បងហ ញថ (France Team Selection Test 2005 ) សរមយ ង a, b, c ជរជងៃនរតេកណមនរក ៃផទ S ( a ជអបេតនស )

នង r ជករងវងចរកកនង។ ង x, y, z ជរជងៃនរតេកណមន រក ៃផទ S1( x ជអបេតនស ) នង R ជករងវងចរកេរក។

Q C

A

B

P

- 60 -

2

acbr

2

xR

xacbxacb

Rr

22

21

yzS

yz

xxa

S

S

2

2

1

x

xaaS

4

acbcbar

cbaS

42

xacb

22

xacbRr

x

a

x

xa

S

S1

22

1

yxzyx 2222

acbacbcb 222 2222

2

12

212

aacbaacb

22

xacbRr

1

មសរមយល តទ2េយងមនើ មយងេទៀត (ករងវងចរកេរករតេកណ ែកងមន x ជអបេតនស ។ែត មប ប r=R េយងបនើ មយងេទៀត មរបមនតរក ៃផទកនងរតេកណទងពរេនះេយងមន ើ នង ែត នង េយងទញបនើ េធវើផលេធៀបរក ៃផទរតេកណទងពរេយងបន ើ មវសមភព AM-GMេយងមនើ

េយងទញបនើ មវសមភព Cauchy-Schwart េយងមនើ

ដកអងគទងពរៃនវសមភពនង a េយងបនើ េ យ េយងបនើ

- 61 -

2231

S

S

12

12

1

22

12

x

axa 2

1111 zyxxyz

1..0 zyx

xzx

zyz

yxy

z

y

x

1

1

1

zyxzxyzxy

11 xyzzxyzxyzyxxyz

0 zyxzxyzzy

1111 zyxxyz

មទនកទនង(1)នង (2)េយងទញបនើ

35. េគេ យx,y,z ជចននពតែដល ។ បងហ ញថ (Slovania National Olympaid 2010 )

សរមយ មសមមតកមមេយងមន ើ 0 x,y,z 1 េយងបនើ

បកអងគនងអងគៃនវសមភពេយងបន ើ េយងទញបនើ វសមភពសមមល េយងបែលងបនើ

- 62 -

4

3 cabcab

rxyzrrzyx

RR

xyzpr

2

3

2

3

24

1

43

3

24 Rr 1

36.ឧបមថ a,b,c ជចននពតវជជមនែដល (a+b)(b+c)(c+a)=1 រ យបញជ កថ (Croatia Team Selection Tests 2006 ) សរមយ ង x = a+b, y = b+c, z=c+a, p = a+b+c, xyz = 1

េយងបនើ a = p-y, b = p-z ,c = p-x

េយងសេងកតេឃញថើ ើ x+y=z+2b>z េនះ x, y,z ជរងវ សរជងៃនរតេកណមយ។ ង r, R ជករងវងចរកកនងនងករងវងចរកេរករតេកណមន

រងវ សរជង x, y, z ។េយងបនើ ab +bc +ca = (p-x)(p-y)+(p-y)(p-z)+(p-c)(p-a) = 3p2-4p2+xy+yz+zx

ដចមនរ យកនងល តទ 27 េយងមនទនកទនងើ xy+yz+zx= p2 +r2 +4rR េនះេយងបនើ ab +bc +ca =-p2 +p2 +r2 +4rR=r2+4rR

មរបមនតរក ៃផទនងវសមភព AM-GM េយងបនើ េយងទញបនើ

- 63 -

12

1

222

Rrr

Rr

4

3

12

1

3

242 Rrrcabcab

2

2

12

2

2

1

S

S

CD

AB

CD

AB

S

S

IBCIBC

IBC

BIC

ACB

S

S

S

SS

CI

AC

BHIC

BHAC

S

S 11 1.

2

1

.2

1

មរបមនត Euler េយងមនើ មទនកទនង(1)នង (2)េយងបនើ

វសមភពេនះពត។

37. អងកតរទងៃនចតេកណពន យABCD ែចកចតេកណពន យជ រតេកណ 4។ s1នង s2ជៃផទរក ៃនរតេកណែដលមនរជងមយជបទចតេកណពន យ។ រងៃផទរក Sៃនចតេកណពន យអនគមននង s1នង s2។ ( របឡងេរជសេរសសស ពែកទទងរបេទសកមពជើ ើ ថន កទ៩ ឆន ២០១១ )

សរមយ យក ACDB =I & H ជចេនលែកង B េលើ AC រតេកណ AIB នង CID ដចគន េយងបនើ មយងេទៀត

C

A B

D

I H

- 64 -

212

11 11 SSSS

S

S

SIBC

IBC

21SSSIAD

221

212121 2

SSS

SSSSSSSSS BICAID

221 SSS

េយងបនើ ដចគន ែដរ ែត ដចេនះ

38. េគេ យរតេកណសមបត ABC កពលA ៃផទរក S។MNជបតមធយម

រតវនងបត BC េហយើ O ជរបសពវៃន MN នងកពសគសេចញពកពល A ។ េគបនល យ[CO) កតAB រតងD នងបនល យ [BO) កតAC រតងE ។ ចររករក ៃផទៃនចតេកណ ADOE អនគមនេទនង S។ ( របឡងេរជសេរសសស ពែកទទងរបេទសកមពជើ ើ ថន កទ៩ ឆន ២០១១ )

សរមយ ង H, K ជចេនលែកងៃន A, D េលើ BC េរៀងគន

េយងមនើ

- 65 -

DCBMOD SS16

1

SS

SSSSSSS

AOD

OADODMOADAHBAOM

12

124

1

8

1

4

1

SSAOE 12

1

6

SSAEOD

M ជចនចក ត ល AB នង OM រសប BC េនះ OM ជបត មធយមៃនរតេកណ ABH េនះ OM=1/2HB=1/4BC េនះ េ យ OM=1/4BC េនះ DM=1/4DB េនះ 3/2DB=AB េនះ ដចគន ែដរ េយងទញបនើ

- 66 -

1222 2

2

2

2

2

2

abc

c

cab

b

bca

aabc

ab

cab

ca

bca

bc

222 222

1

222222 222

2

2

2

2

2

2

2

cabcabcba

cba

abc

c

cab

b

bca

a

abc

ab

cab

ca

bca

bc

2

2

2

2

2

2222

abc

ab

cab

ca

bca

bc

2

2

2

2

2

213

222

abc

ab

cab

ca

bca

bc

2221

222

3333

2

3

2

3

2 18111

cbab

ca

a

bc

c

ab

39. ងa,b,cជចននពតវជជមន។បងហ ញថ

(Romania 1997)

សរមយ មវសមភព Cauchy-Schwart Englel Form េយងបនើ

ែថមអងគទងពរៃនវសមភពេ យ េយងបនើ េយងទញបនើ សេណើ រវសមភពខងេលពតើ

40. ង a, b, c ជចននពតវជជមនែដល abc=1។រ យថ

(Hong Kong 2000)

សរមយ

- 67 -

3

2

3

2

3

2 111

b

ca

a

bc

c

abT

3

2

3

2

3

2

333

111

b

ca

a

bc

c

ab

cbaT

333

333333

333

33

3

333

18

99333

9

cbaT

cbacba

cba

abc

abc

cbaT

2tan

2tan

CB

ង េយងមនើ មវសមភព Cauchy-Schwart នងវសមភព AM-GM េយងបនើ

41-េគេ យរតេកណ ABC មយមនរជង AB, BC, CA បេងកតបនើ ជសវតនពវនតមយ ។ ក-បងហ ញថ SinA,SinB,SinC បេងកតបនជសវើ តនពវនតមយ។ ខ- បងហ ញថផលគណ មនតៃលេថរ។ ( របឡងេរជសេរសេបកខជនចលរមរបឡងើ ើ APMO របសកមពជឆន 2009 )

សរមយ យក P ជកនលះបរមរតៃនរតេកណ ABC មសមមតកមមេយងបន ើ BC-AB =CA-BC

េ យAB, BC, CA បេងកតបនជសវើ តនពវនតមយេនះ SinA,SinB,SinC

មន ចេសមគន ើ េទ។

- 68 -

SinCSinBSinASinASinB

BCCA

SinCSinA

ABBC

SinB

CA

SinA

BC

SinC

AB

2

bpp

cpapB

app

cpbpA

2

tan,2

tan

p

c

p

cpBA

3

1

3

211

2tan

2tan

baccba

p

2,2

មរទសតបទសនសេយងបន ើ

សមភពនះបញជ កថរ SinA, SinB, SinC ជសវតនពវនតមយ េ យរបសមភព

គណអងគទពរៃនសមភពេយង ើ បន េរពះ ដចេនះសេនរទើ ងពរពត។

42-រតេកណសមបត ABC មយមនម A=90 ។យក M ជចនចក ត ល ៃនAB។បនទ តមយគសេចញពAេហយើ ែកងនងCMកតរជងBCរតងP។ បងហ ញថ AMC=BMP ។ ( Baltic Way 2000 )

សរមយ

- 69 -

2

5

4

5

2

222222

aAM

aaaAMACCM

5

1

2

52sinsin

5

2

2

5sinsin

a

a

ACMPAB

a

aAMCPAC

AMCPACBMP

CMABMP

AC

BM

a

a

CP

BPCPBP

CAP

CPAP

BAP

BP

22

1

5

2

5

1

sin45sinsin

យក AB=AC = a មរទសតបទព គ រ កនងរតេកណែកង AMC េយងបនើ មយងេទៀត CMA=PAC&PAB=MCA េនះេយងបនើ មរទសតបទស នសកនងរតេកណ ABP, ACP េយងបនើ

សេណរើ េនះពត។

A

B C

M

P

- 70 -

,0,0:f

yxffyxfy 1

11 yxffyxfy

21x

axf

1

1

111

1

1

11

1

1

1

1

1

11

1

xxf

ayaxyx

yax

y

y

axyxfyx

y

yxf

a

yx

ay

1

1

xxf

43 កណតរគបអនគមន ែដលេផទ ងផទ ត រគបចននពត មនអវជជមន x,y


សរមយ មន យក x = 0 ជសកនង (1) េយងបនើ ម (1) នង (2) េយងបើ ន

ដចេនះ

- 71 -

0232 2222 babtababta

0,0242

2322

2222

batatbabtb

babtababta

111

0462322

2222222

tt

tataababta

211

042222

2222222

tt

attaababta

44. ចេពះចននពត t នងចននពតវជជមន a,b េយងមនើ ចរកណត t ។ (Slovenia National Olympaid 2010 )

សរមយ មសមមតកមមេយងបន ើ

េយងបនើ េរពះ t > 0 មយងេទៀត េរពះ t > 0

ម (1) នង (2) េយងបនើ t =1

- 72 -

xx 2cossin3 93.27

2

1sin1sin

01sin3sin2sin123sin3

cos23sin333

93.27

22

2cos23sin3

cossin3

2

2

xx

xxxx

xxxx

xx

2,0

2

31sin xxx

6

11;

2

3 x

2,0

6

11

2

1sin xxx

45. កណតចននពត x េនចេនល ះ [0,2) ែដល (Slovenia National Olympaid 2010 )

សរមយ មន េបើ េបើ ដចេនះ

- 73 -

ca

BacCos

BEcb

AbcCos

AD

22

,22

ac

bppBCos

bc

appACos

2,

222

2222

22

2

2

2

2

22

22

22

cbabcbapcaabcabp

cbbpacaapb

caac

bppa

cbcb

appb

ca

BacCos

cb

AbcCos

46.រងវងចរកេរក ABC រតេកណបះរជង BC នង AC រតងD នង E េរៀងគន ។ បងហ ញថេបើ AD=BE េនះ ABC ជរតេកណសមបត។ (Austraian Mathematical Olympaid 2006)

សរមយ ង a, b, c ជរជងឈមនងម A, B, C េរៀងគន p ជកនលះបរមរត មរទសតបទកនលះបនទ តពមេយងបន ើ

ែត េ យ AD=BE េនះ AD2=BE2 េនះេយងបនើ

- 74 -

ab

abcabppcabcabppabpcab

abcpabpabpcab

cpabababababcp

ccbacacbabacabcabbcabcbap

cacbabcbacabp

020

02

02

022

0

22

2

2

2222

2222

SSS 21

េយងទញបនើ ដចេនះ ABC ជរតេកណសមបត ។

47.ចតេកណ ABCD មយែកងយកEជរបសពវរ ងអងកតរទងេហើយ S1, S2

S ជរក ៃផទៃន ABE, CDE នង ABCD េរៀងគន ។ ចររ យថ (Austraian Mathematical Olympaid 1990) សរមយ ង S3, S4 ជរក ៃផទរតេកណ AED, BDE េរៀងគន

- 75 -

432

221

180....

.....

SSDIASinDICIBIAI

AIBSinDICIBIAISS

21

2

21

2121

43214321

2

2

SSS

SS

SSSS

SSSSSSSSS

DK

BD

EL

AE

1EL

PK

PE

BP

េយយបនើ មវមភព AM - GM េយងបនើ

ដចេនះសេណរើ ខងេលពត។ើ

48. ចនច D នង E សថតេនេលរជង ើ BCនង ACៃនរតេកណ ABCបនទ ត ADនង BEរបសពវគន រតងP។Kនង Lជចនចេនេលរជងើ BCនង ACេរៀងគន ែដលCLPKជរបេលឡរកម។ បងហ ញថ (Mathematical Olympaid In Poland 2000)

សរមយ កនងរតេកណ BPK នង PEL មន KP ELនងPL KB នង P, E, Kេន េលបនទ តើ ែតមយេយងបន ើ LPE KPB េនះ

- 76 -

2.

PL

DKALPK

PL

AL

DK

PK

3.

.

ELPL

DKAL

PE

BP

4KC

BK

PE

BP

DK

BD

EL

AE

ELBDDKAE

DKBDELELAEDK

PLKCEL LBKDKALKC

BK

ELPL

DKAl

..

...

.

ដចគន ែដរ DPK APL េយងបនើ ម(1)នង(2)េយងបនើ

មរទសតបទ ែលសកនងរតេកណ BCE

ម(3)នង(4)

សេណរើ ខងេលពតើ

- 77 -

200220073 xxxP

1

1

1

1

1

1

t

t

s

s

r

r

200220073 xxxP

111

111

1

1

1

1

1

1

tsr

tsr

t

t

s

s

r

r cyc

rststrtrstsr

rststrtrstsrcyc

1

1

4008

8015

200220071

3200232007

1

33

rsttrstrstsr

rsttsrtrstrs

4008

8015

1

1

1

1

1

1

t

t

s

s

r

r

49. េគឲយr,s,tជឬសៃនពហធដេរកទប គណនតៃលៃន ( Irish Mathematical Olympaid 2007 ) សរមយ េ យr,s,tជឬសៃនពហធដេរកទប េនះ មរទសតបទែវយតេយងបន ើ r + t + s = 0, rs + st + tr =-2007, rst = -2002

េយងមនើ

ដចេនះ

- 78 -

50. េគឲយ ABC ជរតេកណែដល BAC 90។ យក O ជផចតរងវង ចរកេរករតេកណ ABC នង ជ ផចតរងវងចរកេរករតេកណ OBC ។ ឧបមថ របសពវនងអងកត AB រតង P ខសព B នង របសពវនងអងកត AC រតង Q ខសព C ។ ង ON ជអងកតផចតៃនរងវង ។បងហ ញថចតេកណ APNQ ជរបេលឡរកម។ ( APMO 2010 )

សរមយ ង (C) ជរងវងចរកេរករតេកណ OBC េយងមនើ

APN=180 -BPN ( N[AB] )

េ យ P(C) នង B(c) េនះ BPN = BON ( ម ក តធន រ ម BN ) ែត A=1/2BOC (មផចតនងម ក តធន រ ម) ែត BOC=2NOB េនះ BPN=A េនះAPN = 180˚ -A ឬ A+APN=180 ˚ (1) ដចគន ែដរ AQN=180-A (2) េនះ APN=AQN (3) ម (1), (2)នង (3)េយងបនើ

APN=AQN(4)

ម (3) នង (4) េយងបនើ ចតេកណ APNQ ជរបេលឡរកម ។

- 79 -

7mod312

7mod187mod48422 11 23

n

qqn

7mod112

7mod187mod28222 22 13

n

qqn

51. ក- កណតរគបចននគតធមមជត n េ យដងថ 2n-1ែចក ចនង 7 ។ ខ-ចបងហ ញថគម នចននគតធមមជត n ែដល 2n+1 ែចក ចនង 7 ។

( IMO 1964 )

សរមយ ក-េយងដងថរគបចននគត ចែចកនងើ 3េ យសណល 0, សណល1 ឬ សណល 2 -េបើn ≡ 2 (mod 3) េនះមនq1ែដលn=3q1+2េនះ េនះ n ≡ 2 (mod 3)ជករណមន ច -េបើn ≡ 1(mod 3) េនះមន q2 ែដល n=3q2+1 េនះ

េនះ n ≡ 1 (mod 3)ជករណមន ច

- 80 -

7mod012

7mod187mod1822 333

n

qqn

7mod512

7mod187mod48422 11 23

n

qqn

7mod312

7mod187mod28222 22 13

n

qqn

- េបើn ≡ 0(mod 3) េនះមន q3 ែដល n=3q3 េនះ ដចេនះ n ជពហគណៃន 3 េយងបន ើ 2n-1ែចក ចនង 7 មយងេទៀតចេពះសនរ(ខ)េយងបងហ ញដចខងេរកមើ -េបើ n ≡ 2 (mod 3)

េនះមន q1 ែដល n=3q1+2េនះ េនះ n ≡ 2 (mod 3)ជករណែដល 2n+1 ែចកមន ចនង 7 -េបើ n ≡ 1(mod 3) េនះមន q2ែដល n=3q2+1េនះ

េនះ n ≡ 1 (mod 3) ជករណ ែដល 2n+1 ែចកមន ចនង 7 - េបើn ≡ 0(mod 3)

- 81 -

7mod212

7mod187mod1822 333

n

qqn

27

333

33

cbacba

833

33333

3333

cbacba

accbbacbacba

3

cbav

89

33

333

vcba

8989 32727 3 vvvv

89

99111111111327

39 2727

vv

vvv

េនះមនq3ែដលn=3q3េនះ េនះ n ≡ 0 (mod 3)ជករណ ែដល 2n+1 ែចកមន ចនង 7 សរបមក គម នចននគតធមមជត n ែដល 2n+1 ែចក ចនង 7េទ ។

52.េគឲយ a, b, c ជចននពតវជជមនែដល (a+b)(b+c)(c+a)=8 បងហ ញថ ( Macedonia National Olympaid 2008 )

សរមយ មសមភព

ង េនះ

វសមភពសមល ពតេរពះ មវសមភព AM-GM ចេពះរគប v>0 េយងមនើ

- 82 -

1111 333 bacacbcba

31

31

31 cba 3

232

32 cba 3321321321 cccbbbaaa 3

333

33 cba

332

331 ,1 aaacbaa

332

331 ,1 bbbacbb

332

331 ,1 cccbacc

cbacba 31

31

31

cbacba 33

33

33

cbacba 32

32

32

333 111 bacacbcba 321321321 cccbbbaaa

33333 1111 bacacbcbacba

1111 333 bacacbcba

53.េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល a+b+c=1។បងហ ញថ ( Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2011 ) សរមយ មវសមភព Holder ចេពះចននពតវជជមន ai, bi, ci (i=1,2,3)

េយងមនើ

េយងយកើ េយងបនើ េនះវសមភពHolderខងេលេទជើ ដចេនះ

- 83 -

333333222222444 cabcabbccbbaaccbbacba

222222444 accbbacbaT

222222 cacbcbabaT

bccbba 333 444 bccbba 3332

222222 caabccabbT

333 444 cabcab 3332 cabcab

1

2

33322 cabcabT bccbba 3332

54. េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល។បងហ ញថ

( KMO Summer Program Test 2001 ) សរមយ ង មវសមភព Minkosky នង វសមភព AM-GM េយងបនើ

មយងេទៀត មវសមភព Minkosky នង វសមភព AM-GM េយងបនើ បកអងគនងអងគៃនវសមភព (1) នង (2) េយងបនើ សរលអងគទងពរន ង 2 េយងបនវសមភពែដលរតវរ យគពតើ

- 84 -

3222 yyxx

22 324322 yxtyxyx

564,564

0408

408583242

22

t

tt

tyxyxt

1

2

564)( yxMin 564)( yxMax

12222 bcCosAcba

2sin2,sin2,sin2

2sinsinsin

CRcBRbARa

RC

c

B

b

A

a

55. កណតតៃលធបផតនងតចបផ តៃនx+y ែដលx,y ជចនន ពតែដល x-2,y-3 នង ( Irish Mathematical Olympaid 2006 )

សរមយ ង t=x+y មសមភពខងេលេយងបនើ ើ

ែត មវសមភព Cauchy-Schwart េយងមនើ េហតេនះ នង

56. បងហ ញថរតេកណ ABC ជរតេកណ ែកងលះរ ែត Sin2A+ Sin2B+ Sin2C=2


សរមយ មរទសតបទកសនសេយងមន ើ

ែត មរទសតបទសនស

- 85 -

sASinBSinCCoCSinBSinASin 2222

0

0

01

22

222

2

22

CosASinBSinCCosA

ACosASinsASinBSinCCoASin

sASinBSinCCoASin

sASinBSinCCoASinASin

900 ACosA CosASinBSinC

CosASinBSinC

មទនកទនង(1)នង (2)េយងបនើ ែត Sin2A+ Sin2B+ Sin2C=2 េនះ ឬ -េបើ ែត CosA=Cos(180-B-C)=-Cos(B+C)=SinBSinC-CosBCosC

េនះ CosBCosC=0 េយងបនើ CosB=0ឬCosC=0 េនះ B=90 ឬ C=90 ដចេនះេប ើ Sin2A+ Sin2B+ Sin2C=2េនះរតេកណ ABC ជរតេកណែកង។ (*) +េបើ ABC ជរតេកណែកងេនះ R=C/2 ( R ជករងវងចរកកនង )

- 86 -

CBA

c

CBA

cbac

C

c

B

b

A

a

cRC

c

B

b

A

a

222

2

222

2222

2

2

2

2

2

2

sinsinsin

2

sinsinsinsinsinsin

2sinsinsin

yzxzfzfxyfyfxffzfyfxff 22

*22 yzxzfzfxyfyfxffzfyfxff

)1(2032 2 zfxffzfxff

ែត មរទសតបទសនស Sin2A+ Sin2B+ Sin2C=2()

ម (*) នង (**) រតេកណ ABC ជរតេកណែកងលះរ ែត Sin2A+ Sin2B+ Sin2C=2។

57.កណតរគបអនគមនf ែដលកណតពសណចននពត ចលកនងសណចននពត ែដលេផយ ងផទ តរគប x, y, z មនសមភព

(APMO 2010 )

សរមយ មន យក x = y ជសកនង(*)េយងបនើ

- 87 -

0222 2 fxfxf

196

3

2222222

222

czyxCzyx

Czyxfzfyfxff

324

322

2

222

22222

222222

222

zxyCCzyx

CyzxzCzxyyx

yzxzf

Czxyfyxfyzxzfzfxyfyfxff

324196 2222 zxyCCCzyxC

យកf(z)=-2f(x)េទជសកនង(1)េយងបនើ េថរ េនះេយងបនើ fជអនគមនេថរឬ 2x2-2f(x) េថរ +េបើ f ជអនគមនេថរ x ង f(x)=c ម(*)េយងបនើ c = c+c+2c េនះc=0េយងបនើ f(x)=0 x +េបើ 2x2-2f(x) េថរx ង 2x2-2f(x)=C េយងបនើ មសរមយេនះេដមបឲយសមភពើ (*)ពត xេនះ

េដមបឲយសមភពពើ ត រគប x,y,z េយងបនើ C=0 ដចេនះ f(x)=0 ឬ f(x)=x2 ។

- 88 -

accbba

cbaabcdef

4

12cos2

cb

Abc

dAD

1cos2

cos212

cos2cos 22 AAA

A

22

cos

22

122

cos222222

2

bc

appA

bc

app

bc

acb

bc

acbA

bc

app

cb

bcd

2

58.ឲយរតេកណ ABC មយ ងរងវ សរជង BC, AC, AB េរៀងគន េ យ a, b, c កនលះពះមកនងៃនម BAC, ABC, ACB ជបរជងBC, AC, AB េរៀងគន រតងD, E, F ង AD, BE, CF េ យd, e, f េរៀងគន ។ បងហ ញថ ែដលជរក ៃផទៃនរតេកណ ABC។


សរមយ េ យេរបើរទសតបទកនលះបនទ តពះេយងបន ើ មយងេទៀត មសមភព មរទសតបទកសនសេយងបន ើ

ម(1)នង(2)េយងបនើ

- 89 -

ac

bpp

ca

ace

2

ab

cpp

ba

abf

2

,

accbba

cbaabcdef

4

cpbpapp

0121... aaaaaN nn naaaaN ...4 210

n

i

iiaN

1

10

01

01

01

3410

1044

aa

aaaa

n

i

ii

n

i

ii

n

ii

ដចគន ែដរ គណអងគនងអងគៃនសមភពេយងបនើ េរពះ

59-ចននគតវជជមនេ ថ ” good number ” េប េសមើ ើបនដងៃន ផលបកេលខល បកនងរបពនធ េដសមល របស ។ កណតផលបករគបចនន” good number ” ។

(China Northern mathematical Olympaid 2002 )

សរមយ +ដបងេយងរ យថ ើ good number មន ចមនេលខេរចន ើ ជងបខទងេទ។ឧបមថ មន ង N ជ good number េបើ េនះ ែត េយងបនើ

- 90 -

cvjhgdfhfdgjdvx

01aaN

4,3,2,1

2410

1

010101

a

aaaaaa

ែតរគប n2 េយងបន ើ an(10n-4)96>933a0 ដចេនះ good number មន ចមនេលខេរចនជងបខទងេទ។ ើ ង េយងបនើ

-េបើ a1=1 េនះ a0=2 េយងបនើ N=12 -េបើ a1=2 េនះ a0=4 េយងបនើ N=24 -េបើ a1=3 េនះ a0=6 េយងបនើ N=36 -េបើ a1=4 េនះ a0=8 េយងបនើ N=48 មយងេទៀតេបើ N មនេលខមយខទងេនះ N=0 េយងបនផលបកើ រគបេលខ good number គ12+24+36+48+0=120

- 91 -

222222 cacacbcbbaba

2222

2222

2222

4

1

4

3

22

3

22

3

cacacaca

cb

bb

aa

cbcbbaba

60.េគឲយ a,b,c ជចននពតវជជមន។បងហ ញថ

(Baltic Way 2000)

សរមយ មវសមភព Minkosky េយងបនើ

61.កណតរគបគចននគត (x,y) ែដល x2-2xy+126y2=2009 ។ ( China South East Mathematical Olympaid 2009 )

សរមយ -េប ើ y=1ឬy=-1សមក រេទជ x2-2x+126=2009 ឬ x2+2x+126=2009 x2-2x-1883=0 ឬ x2+2x-1883=0 េគបន’=1+1883=1884 មន យកេរពះឌសរគមណងមនែមនជកេរ រ កដ -េបើ y=2 ឬ y=-2 សមករេទជ

- 92 -

,55,y

2009125 22 yyx

2009312525125125 222 yxyyx

,55,y

x2-4x+504=2009 ឬ x2+4x+504=2009 x2-2x-1505=0 ឬ x2+2x-1505=0 េគបន ’=4+1505=1509 មន យកេរពះឌសរគមណងមនែមនជកេរ រ កដ -េបើ y=3 ឬ y=-3 សមក រេទជ x2-6x+1134=2009 ឬ x2+6x+1134=2009 x2-6x-875=0 ឬ x2+6x-875=0 េគបន ’=9+875=884 មន យកេរពះឌស រគមណងមនែមនជកេរ រ កដ

-េប ើ y=4 ឬ y=-4 សមក រេទជ x2-8x+2016=2009 ឬ x2+8x+2016=2009 x2-8x-7=0 (គម នឬសជចននគត)ឬ x2+8x-7=0 េគបន x=-1ឬx=7

-េប ើ សមក រ ចសរេសរ ែត

េនះ ដចេនះសមករមនឬសជចននគតគ (x,y) {(-1,4),(7,4)}

- 93 -

zyxy

zyx

222

zyxy

zyx

222 2

2

2

2

2

1

2

1

222

2222222

yzxy

zyx

yzxyzyyxzyx

zyxy

zyx

222

2

3

62

yzxyzyxzyxy

zyx

3

622

3

622 222222

bbbb

bbaa

baba

03

32

3

6221

9

64

03

6221

3

62

3

6221

2

2'

22

22

62. ង x, y, z ជចននពតវជជមន។កណតតៃលតចបផតៃន a) b)

(Croatia Team Selection Tests 2008 )

សរមយ a) មវសមភព AM - GM េយងមនើ ដចេនះតៃលតចបផតៃន គ

b) ចេលយគើ

េយងនងបងហ ញថើ សេណរើ េនះពតេយងបន ើ

ង x=ay, z=by ែដល a, b>0 វសមភពសមល

- 94 -

yyyzyx

6

6,,

3

6,,

6

6,

3

6 ba

0

ba

ad

ad

dc

dc

cb

cb

ba

4

ba

bd

ad

ac

dc

db

cb

ca

dcba

db

dabc

cadcba

ba

bd

ad

ac

dc

db

cb

ca

2

2

4

4

dcdacbda

dacbdacb

ពតសមភពេក ើតេឡងេពលើ គ

63.េគឲយ a, b, c, d ជចននពតវជជមន។ បងហ ញថ

(Croatia Team Selection Tests 2009 ) សរមយ ដបងេយងន ើ ងរ យថ េយងមនើ មវសមភពAM-GM េយងមនើ

- 95 -

2

2

4

4

dcdacdba

dacbbacd

444

22

dcba

db

dcba

cadcba

ba

bd

ad

ac

dc

db

cb

ca

01111

ba

bd

ad

ac

dc

db

cb

ca

4

ba

bd

ad

ac

dc

db

cb

ca

0

ba

ad

ad

dc

dc

cb

cb

ba

មយងេទៀត េយងបនើ េយងមនើ េយងទញបនើ

- 96 -

1 bfaf bfa,

a 1 bfaf bf

bf 1 bfaf

1 bfaf bf

a

a

:f

41afafafa

afaafafa 1

:f

51 aaffaffa

61 aaffaaff

64កណតអនគមនfទងអសពសនច ននគតវជជមនេទសនចននគតវជជមនែដល េផទ ងផទ ត: ចេពះរគបចននគតវជជមនa នង b មនរតេកណមយែដលមនរជង របស មនរបែវង នង

( IMO 2009 ) សរមយ មសមមតកមមេយងបន ើ

+ > (1) + > (2) + > (3) េហយើ េយើងទញបនaេនះ f(a) ជស b េ យa កនង (1)េយងបនើ ជស a+f(a)-1 េ យ a កនង (4)េយងបនើ យកa=1ជសកនង ()េយបនើ f(1)=1េរពះ យកb=1ជសកនង (1)េយងបនើ យកb=1ជសកនង (3)េយងបនើ

- 97 -

ម(5)នង (6)េយងបនើ f(f(a))=a (7) ម(7)នង ()េយងបនើ

f(f(a))f(a) (8) ជសf(a)េ យaកនង(8)េយងបនើ f(a)a ()

ម()នង ()េយងបនើ f(a)=a

េផទ ងផទ តកនង (1), (2) នង (3) េយងបនើ a+b > a+b-1 ពត 2a+b-1 > b a ពត

2b+a-1 > a b ពត ដចេនះ f(a)=a

- 98 -

3

1

11

22

b

b

a

a

4

ba

bd

ad

ac

dc

db

cb

ca

322

3

22

3

22

3 zyx

xzxz

z

zyzy

y

yxyx

x

10

9

111 222

c

c

b

b

a

a

14

1

4

1

4

1

cabcab

9

38 abccba

ល តអនវតតន 1-េគឲយ a, b ជចននពតវជជមនែដល a+b=1បងហ ញថ (Hungary 1996 )

2-េគឲយa, b, c, dជចននពតវជជមនបងហ ញថរ (Baltic Way 1995)

3-េគឲយ a,b,c ជចននពតវជជមនបងហ ញថរ (Lihuania 1987) 4-េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល a+b+c=1 ។ បងហ ញថរ (Poland 1997)

5-េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល a4+b4+c4=3 ។ បងហ ញថរ ( Moldova 2005 )

6-េគឲយa,b,cជចននពតវជជមនែដល ab+bc+ca=1 ។ បងហ ញថរ ( Khon Vanny 2011)

- 99 -

3

DKFH

HKFD

tNA

DN

MD

CM

LC

BL

KB

AK

222

222

1

1LNKM

t

tBDAC

21

21

222

21 & nnamma

7 រងវងចរកេរករតេកណ ABC បះរជង BC រតង D នង បះរជង AB រតង F េហយរងវងេនះកតើ ADរតងHនង CFរតងKបងហ ញថ ( China South East Mathematical Olympaid 2010)

8 េគឲយ ABCD ជរបេលឡរកមេគេរជសេរសចនច ើ ើ E មយែដលចនច D ឬ B សថតកនងរតេកណ ACE ។ បងហ ញថរ SACE=SABE+SADE ( Post by Khon Vanny for IMO 2011 )

9 កនងចតេកណេបង ABCD េគេ ចនចK, L, M, Nេលរជងើ AB, BC, CD DAេរៀងគន ែដលេផទ ងផទ តសមភព ។បងហ ញថ ( Post by Khon Vanny for IMO 2011 )

10 កណតចននគតតចបផត a > 5ែដលេផទ ងផទ តលកខណ មនចននគតវជជមន m1, m2, n1, n2 ែដល នង m1- n1 = m2 -n2។ (China Girls Math Olympaid 2010 )

- 100 -

ឯក រេយង 1.េគហទពរ www.artofproblemsolving.com 2. េសៀវេភគណតវទយជវញពភពេ ករបសេ ករគ លម ផលគន 3. Topic inequality របស Hojoo Lee

Documents

គណិតវិទ្យាចែករំលែក ... · 2012. 8. 2. · - 8 - 7 3 2 2 x xy y x y 8 8 8 3 3 3 z x x y z z x y y z1, z2 z1 1 i, z2 2 4i z3 z1, z2, z3 9 1 1 9999